بالتفصيل

الحقيقة الخامسة


كيف يمكننا أن نجعل "الحدس"الاتحاد ، التقاطع ، الفرق ، المكمل ، والفرق المتماثل ، المفاهيم الرياضية؟ لنبدأ بالتقاطع. نعرّف مجموعة التقاطع بين A و B على أنها مجموعة من المجموعات التي تنتمي إلى A و B في وقت واحد. من خلال النظرية التي تسمح لنا بإعطاء هذا التعريف هو أن المجموعات المعينة A و B تشكل مجموعة غير فارغة D والتي سنكتبها على النحو التالي: D = {A، B}. بواسطة Axiom 2 ، بديهية مجموعات فرعية ، يمكننا أن نقول ذلك هناك مجموعة من x بحيث "تنتمي إلى A و B في وقت واحد" لأن هذه الخاصية تشير إلى مجموعات من المجموعة غير الفارغة D. وبالتالي ، نحن مخولون من قبل Axiom 2 لتأكيد وجود مجموعة متقاطعة من مجموعتين A و B. وبالمثل ، يمكننا القول أنه في ظل وجود مجموعة من المجموعات D ، هناك مجموعة من المجموعات x تنتمي إلى جميع مجموعات D. باختصار ، بالنظر إلى مجموعتين A و B ، هناك مجموعة

A Ç B = {x: x ينتمي إلى A و x ينتمي إلى B}.

من أجل تحديد تجميع المجموعتين A و B ، لا يمكننا المتابعة بنفس الطريقة. بمعنى أنه لا يمكننا إثبات أن هناك مجموعة تجميع من A و B من البديهيات الأربعة التي لدينا حتى الآن (البديهيات 0 و 1 و 2 و 3). نحن بحاجة إلى البديهية الجديدة: اكسيوم 4 ، ودعا ريونيون اكسيوم.

اكسيوم 4

لكل مجموعة C ، هناك مجموعة U من هذا القبيل

إذا كان x ينتمي إلى M ، وبالنسبة لبعض M الذي ينتمي إلى C ، فإن x ينتمي إلى U.

بعبارة أخرى ، بالنظر إلى مجموعة من المجموعات C ، هناك مجموعة من المجموعات التي تنتمي إلى مجموعة من C. لا يزال بإمكاننا قراءة هذه البديهية بطرق أخرى. على سبيل المثال ، يمكننا أن نقول أن هناك مجموعة من المجموعات تنتمي إلى مجموعات C لأي مجموعة معينة C. على سبيل المثال مرة أخرى ، يمكننا القول أنه بالنظر إلى المجموعتين A و B ، هناك مجموعة من المجموعات تنتمي إلى A و B في وقت واحد. في هذه الحالة ، نقوم أولاً بتشكيل المجموعة C = {A ، B} ثم نقوم بتشكيل المجموعة U من المجموعات التي تنتمي إلى A أو B. أي ، نكتب: U = A È B.

لدينا الآن خمس بديهيات وأحدثها يسمح لنا بتشكيل مجموعة التجميع. من خلال بديهية الاجتماع يمكننا تشكيل مجموعة "العطاء" ، وتعميم مفهوم "الزوج". المجموعات المحددة A و B و C ، نعرّف ، بمساعدة من بديهية الاجتماع ، {A و B و C} كمجموعة مجموعات {A} و {B} و {C}. لاحظ أن المجموعة {A} موجودة نظرًا لوجود مجموعة بديهية للزوج توضح {A، A}. وهذا هو ، {A ، A} = {A} هي مجموعة جديدة. وبالمثل ، فإن المجموعات {B} و {C} موجودة أيضًا ، وبالتالي ، من خلال بديهية الاجتماع ، يمكننا تشكيل مجموعة الاجتماع {A} È {B} È {C} = {A، B، C}.

من المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه من أجل تجميع المجموعتين أو أكثر ، نحتاج إلى بديهية جديدة ، بديهية الاجتماع. نقترح أن تفكر ملياً في الحاجة إلى هذه البديهية الجديدة. حاول التفكير في الكيفية التي يمكن بها تصور التجمع دون أن يتم اختراع "حقيقة" جديدة حتى لا يتم استجوابك.

من السهل تحديد تكميل B إلى A: A - B = {x: x ينتمي إلى A لكنه لا ينتمي إلى B}. يمكننا أن نقول أيضًا أن A - B هو الفرق بين A و B. أخيرًا ، يتم تعريف الفرق المتماثل بين A و B بواسطة: A D B = (A - B) È (B - A).

التحدي بالنسبة لك: كن على يقين من أن الفرق ، والفرق ، والفرق المتماثل لا يحتاجان إلى البديهيات الجديدة.

العودة إلى الأعمدة

<