مقالات

تحولات فورييه الابتدائية - الرياضيات


قريبا.


مقدمة في تحويل فورييه

تحويل فورييه هو أسلوب رياضي يقوم بتحويل دالة الزمنه ، س (ر)، لدالة التردد ، X (& أوميغا). ترتبط ارتباطًا وثيقًا بسلسلة فورييه. إذا كنت معتادًا على سلسلة فورييه ، فقد يكون الاشتقاق التالي مفيدًا. إذا كنت مهتمًا فقط بالبيان الرياضي للتحويل ، فيرجى التخطي إلى الأمام تعريف تحويل فورييه.

يمكن اشتقاق تحويل فورييه لوظيفة ما كحالة خاصة لسلسلة فورييه عندما تكون الفترة ، T & rarr & infin (ملاحظة: يتم تنفيذ هذا الاشتقاق بمزيد من التفاصيل في مكان آخر). ابدأ بمعادلة توليف سلسلة فورييه

أين جن من خلال معادلة تحليل سلسلة فورييه ،

مثل T & rarr & infin التردد الأساسي ، & أوميغا0= 2 & بي / تي، يصبح صغيرا للغاية والكمية ن & أوميغا0 تصبح كمية مستمرة يمكن أن تأخذ أي قيمة (منذ ذلك الحين ن نطاق من & plusmn & infin) لذلك نحدد متغيرًا جديدًا & أوميغا = ن & أوميغا0 نسمح أيضا X (& أوميغا) = حن. يؤدي إجراء هذه الاستبدالات في المعادلة السابقة إلى الحصول على معادلة التحليل الخاصة بتحويل فورييه (وتسمى أيضًا تحويل فورييه الأمامي).

وبالمثل ، يمكننا اشتقاق تحويل فورييه العكسي (أي معادلة التوليف) بالبدء بمعادلة التوليف لسلسلة فورييه (وضربها وقسمها حسب تي).

مثل T & rarr & infin, 1 / T = & omega0 / 2 & pi. حيث & أوميغا0 صغير جدا (مثل تي يكبر ، استبدله بالكمية د & أوميغا). كما كان من قبل ، نكتب & omega = n & omega0 و X (& أوميغا) = حن. ينتج عن القليل من العمل (واستبدال المجموع بمتكامل) المعادلة التجميعية لتحويل فورييه.


توليد الإشارة وتغيير المرحلة

إذا أردنا وصف إشارة ، فنحن بحاجة إلى ثلاثة أشياء:

  1. تردد الإشارة مما يدل على عدد التكرارات في الفترة التي لدينا.
  2. السعة مما يدل على ارتفاع الإشارة أو بعبارة أخرى قوة الإشارة.
  3. مرحلة التحول من أين تبدأ الإشارة.

المثال الأول الذي أخذناه كان بسيطًا جدًا ، كل إشارة لها نفس الشيء تردد و فرق الطور وفقط مختلف السعات.

سننظر الآن في مثال معقد قليلاً وسننظر إلى الإشارة الفردية من المثال أعلاه لأنه من أجل فهم تحويل فورييه بشكل أفضل ، نحتاج إلى النظر في الإشارات الفردية عن كثب.

فيما يلي الإشارات الأصلية التي كنا نبحث عنها أعلاه.

تكرر: إذا نظرنا عن كثب إلى الإشارات الثلاث ، فسنلاحظ أن تردد جميع الإشارات الثلاث مختلف.

إذا كان هناك عدد n من الموجات في نفس الفترة الزمنية ، فيكون هناك عدد 2n من الموجات في الإشارة 2 والعكس صحيح.

مرحلة: أيضًا ، عندما ننظر عن كثب إلى أين تبدأ الإشارة بالفعل. سوف نجد ذلك بينما الإشارة 1 تبدأ من (0،0), تبدأ الإشارة 2 عند (-0.5،0) إذا تتبعنا الموجة لتلتقي بالمحور y عند 0. لذلك ، عند 0 لدينا بالفعل أقصى سعة للإشارة. هذا ما نسميه مرحلة التحول.

السعة: جميع الإشارات الثلاث لها اتساع مختلف ، للإشارة 1 سعة 1 بينما الإشارة 2 والإشارة 3 لها سعة 2 و 3 على التوالي.

يتم التقاط كل هذا في صيغة رياضية أنيقة وبسيطة للغاية. لذلك ، في الأمثلة المذكورة أعلاه ، إذا كان المحور x يسمى x والمحور y يسمى y. يمكننا توليد y كدالة لـ t بحيث:

باستخدام هذه الصيغة ، يمكننا إنشاء أي نوع من الإشارات التي نريدها ومن ثم يمكننا دمجها معًا واللعب معهم. على سبيل المثال ، إذا قمنا بدمج الإشارات 1 و 2 و 3. فسنحصل على إشارة مثل هذه:


تدريس الرياضيات بالكلية

أخذت استراحة وشاهدت مقطع فيديو مدته 45 دقيقة عن تحويلات فورييه:

بعض النقاط التي يأخذها مدرّسو الرياضيات بالكلية:

1. عندما يتحدث المرء عن تحويل لابلاس ، يجب على المرء أن يميز بين التحويلات ذات الجانب الواحد والتحويلات ذات الوجهين (على سبيل المثال ، يتكامل الأخير عبر الخط الحقيقي الكامل ، بدلاً من 0 إلى.

2. يهتم المهندسون بالقدرة على اتخاذ حدود (على سبيل المثال ، باستخدام قاعدة L & # 8217Hopitals وبشأن مشكلات مثل)

3. يهتم المهندسون بالمجالات التي تهمهم كثيرًا.

4. في بعض الأحيان ، يتم تطوير (dabble) بأخذ حدود تسلسل الوظائف (بالمعنى غير الرسمي) هنا دلتا ديراك (وظيفة أو توزيع معمم) (بشكل غير رسمي) كحد من تحويلات فورييه لوظيفة نبضية للارتفاع 1 وزيادة العرض .

5. حتى الطلاب في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا يجب أن يتم حثهم على إصدار الإجابات.

6. يهتمون بعمل الجبر ، خاصة في حالة تغيير المتغير.

لذلك ، أقوم بتدريس قسمين من حساب التفاضل والتكامل في الفصل الدراسي الأول. سأؤكد على الأمور التي يشكو منها الطلاب (وأحيانًا أعضاء هيئة التدريس في الأقسام الأخرى).


محتويات

ينبع هذا التطبيق الواسع من العديد من الخصائص المفيدة للتحولات:

  • التحولات هي عوامل خطية ، ومع التطبيع المناسب ، تكون وحدوية أيضًا (خاصية تعرف باسم نظرية بارسيفال أو ، بشكل عام ، باسم نظرية بلانشيريل ، وبشكل عام عن طريق ثنائية بونترياجين). [2]
  • عادة ما تكون التحولات قابلة للعكس.
  • الدوال الأسية هي دوال ذاتية للتمايز ، مما يعني أن هذا التمثيل يحول المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة إلى معادلات جبرية عادية. [3] لذلك ، يمكن تحليل سلوك النظام الخطي الثابت الزمني عند كل تردد على حدة.
  • من خلال نظرية الالتواء ، يحول فورييه عملية الالتواء المعقدة إلى عملية ضرب بسيطة ، مما يعني أنها توفر طريقة فعالة لحساب العمليات القائمة على الالتواء مثل الضرب متعدد الحدود وضرب الأعداد الكبيرة. [4]
  • يمكن تقييم النسخة المنفصلة من تحويل فورييه (انظر أدناه) بسرعة على أجهزة الكمبيوتر باستخدام خوارزميات تحويل فورييه السريع (FFT). [5]

في الطب الشرعي ، تستخدم أجهزة قياس الطيف الضوئي بالأشعة تحت الحمراء في المختبر تحليل تحويل فورييه لقياس الأطوال الموجية للضوء التي تمتص فيها المادة في طيف الأشعة تحت الحمراء. تُستخدم طريقة FT لفك تشفير الإشارات المقاسة وتسجيل بيانات الطول الموجي. وباستخدام الكمبيوتر ، يتم تنفيذ حسابات فورييه هذه بسرعة ، بحيث في غضون ثوانٍ ، يمكن لأداة FT-IR التي يتم تشغيلها بواسطة الكمبيوتر إنتاج نمط امتصاص للأشعة تحت الحمراء يمكن مقارنته بأداة المنشور. [6]

يعد تحويل فورييه مفيدًا أيضًا كتمثيل مضغوط للإشارة. على سبيل المثال ، يستخدم ضغط JPEG متغيرًا من تحويل فورييه (تحويل جيب التمام المنفصل) لقطع مربعة صغيرة من صورة رقمية. يتم تقريب مكونات فورييه لكل مربع لتقليل الدقة الحسابية ، ويتم التخلص من المكونات الضعيفة تمامًا ، بحيث يمكن تخزين المكونات المتبقية بشكل مضغوط للغاية. في إعادة بناء الصورة ، يتم إعادة تجميع كل مربع صورة من مكونات فورييه التقريبية المحفوظة ، والتي يتم تحويلها عكسيًا لإنتاج تقريب للصورة الأصلية.

التطبيقات في معالجة الإشارات تحرير

عند معالجة الإشارات ، مثل الصوت ، وموجات الراديو ، والموجات الضوئية ، والموجات الزلزالية ، وحتى الصور ، يمكن لتحليل فورييه عزل المكونات ضيقة النطاق لشكل موجة مركب ، وتركيزها لتسهيل اكتشافها أو إزالتها. تتكون مجموعة كبيرة من تقنيات معالجة الإشارات من تحويل إشارة فورييه ، والتلاعب بالبيانات المحولة من فورييه بطريقة بسيطة ، وعكس التحول. [7]

    من التسجيلات الصوتية مع سلسلة من مرشحات ممر الموجة
  • استقبال راديو رقمي بدون دائرة فائقة التغاير ، كما هو الحال في الهاتف الخلوي الحديث أو الماسح الضوئي الراديوي لإزالة القطع الأثرية الدورية أو متباينة الخواص مثل jaggies من الفيديو المتشابك أو القطع الأثرية من التصوير الجوي الشريطي أو أنماط الموجة من تداخل تردد الراديو في كاميرا رقمية مماثلة صور للمحاذاة المشتركة لإعادة بناء بنية بلورية من مقياس الطيف الكتلي لنمط الحيود لتحديد كتلة الأيونات من تردد حركة السيكلوترون في مجال مغناطيسي
  • العديد من أشكال التحليل الطيفي الأخرى ، بما في ذلك مطياف الرنين المغناطيسي النووي والأشعة تحت الحمراء
  • توليد مخططات طيفية صوتية لتحليل الأصوات
  • يستخدم السونار السلبي لتصنيف الأهداف بناءً على ضوضاء الآلات.

(مستمر) تعديل تحويل فورييه

في أغلب الأحيان ، مصطلح غير مؤهل تحويل فورييه يشير إلى تحويل وظائف وسيطة حقيقية مستمرة ، وينتج دالة مستمرة للتردد ، تُعرف باسم التوزيع بتكرار. يتم تحويل وظيفة إلى أخرى ، وتكون العملية قابلة للعكس. عندما يكون مجال دالة الإدخال (الأولية) هو الوقت (t) ، ومجال وظيفة الإخراج (النهائية) هو التردد العادي ، فإن تحويل الوظيفة س(ر) عند التردد f يُعطى بالرقم المركب:

ينتج عن تقييم هذه الكمية لجميع قيم f مجال التردد وظيفة. ثم س(ر) يمكن تمثيلها على أنها إعادة تركيب للأسس المعقدة لجميع الترددات الممكنة:

وهي صيغة التحويل العكسي. العدد المركب س( F ) ، ينقل كلاً من الاتساع وطور التردد f.

راجع تحويل فورييه لمزيد من المعلومات ، بما في ذلك:

  • اتفاقيات لتطبيع الاتساع وقياس / وحدات التردد
  • خصائص التحويل
  • تحويلات مجدولة لوظائف محددة
  • امتداد / تعميم لوظائف ذات أبعاد متعددة ، مثل الصور.

سلسلة فورييه تحرير

تحويل فورييه لدالة دورية ، سص(ر) ، مع الفترة P ، تصبح دالة مشط Dirac ، يتم تعديلها بواسطة سلسلة من المعاملات المعقدة:

التحويل العكسي ، المعروف باسم سلسلة فورييه، هو تمثيل سص(ر) من حيث تجميع عدد لا حصر له من الجيوب ذات الصلة المتناسقة أو الوظائف الأسية المعقدة ، لكل منها سعة ومرحلة محددة بواسطة أحد المعاملات:

أي سص(ر) يمكن التعبير عنها كجمع دوري لوظيفة أخرى ، س(ر) :

والمعاملات تتناسب مع عينات من س( F ) على فترات منفصلة من 1 / ص :

لاحظ أن أي س(ر) يمكن استخدام تحويلها بنفس قيم العينة المنفصلة في التجميع الدوري. شرط كاف للشفاء س(ر) (وبالتالي س( F )) من هذه العينات فقط (أي من سلسلة فورييه) هو أن الجزء غير الصفري من س(ر) في فاصل زمني معروف من المدة P ، وهو مجال التردد المزدوج لنظرية أخذ العينات Nyquist-Shannon.

انظر سلسلة فورييه لمزيد من المعلومات ، بما في ذلك التطور التاريخي.

تعديل تحويل فورييه (DTFT) للوقت المنفصل

DTFT هو ثنائي رياضي لسلسلة فورييه ذات المجال الزمني. وبالتالي ، يمكن تمثيل التجميع الدوري المتقارب في مجال التردد من خلال سلسلة فورييه ، والتي تكون معاملاتها عينات من دالة زمنية متصلة ذات صلة:

والتي تعرف باسم DTFT. وهكذا DTFT التابع س[ن] التسلسل هو أيضا تحويل فورييه من وظيفة مشط ديراك المعدلة. [ب]

يتم تحديد معاملات سلسلة فورييه (والتحويل العكسي) بواسطة:

سبب آخر للاهتمام س1 / ت( F ) هو أنه غالبًا ما يقدم نظرة ثاقبة على مقدار التعرج الناجم عن عملية أخذ العينات.

لا تقتصر تطبيقات DTFT على وظائف العينة. راجع تحويل فورييه للوقت المنفصل لمزيد من المعلومات حول هذا الموضوع وموضوعات أخرى ، بما في ذلك:

  • وحدات التردد الطبيعي
  • النوافذ (متواليات محدودة الطول)
  • خصائص التحويل
  • تحويلات مجدولة لوظائف محددة

تحويل فورييه المنفصل (DFT) تحرير

على غرار سلسلة فورييه ، DTFT للتسلسل الدوري ، سن[ن] ، مع الفترة N ، تصبح دالة مشط Dirac ، يتم تعديلها بواسطة سلسلة من المعاملات المعقدة (انظر DTFT § البيانات الدورية):

ال س[ك] التسلسل هو ما يعرف عادة باسم DFT لدورة واحدة من سن . كما أنه دوري N ، لذا فليس من الضروري أبدًا حساب أكثر من معاملات N. يُعطى التحويل العكسي ، المعروف أيضًا باسم سلسلة فورييه المنفصلة ، من خلال:

متي سن[ن] كجمع دوري لوظيفة أخرى:

على العكس من ذلك ، عندما يريد المرء حساب عدد تعسفي (N) من العينات المنفصلة لدورة واحدة من DTFT المستمر ، س1 / ت( F ) ، يمكن القيام بذلك عن طريق حساب DFT البسيط نسبيًا لـ سن[ن] ، على النحو المحدد أعلاه. في معظم الحالات ، يتم اختيار N مساويًا لطول الجزء غير الصفري من س[ن]. زيادة N ، والمعروفة باسم حشوة صفرية أو إقحام، ينتج عنه عينات متقاربة أكثر لدورة واحدة من س1 / ت( F ). يؤدي التناقص N إلى حدوث تداخل (إضافة) في المجال الزمني (مشابه للتسمية المستعارة) ، والذي يتوافق مع التدمير في مجال التردد. (انظر DTFT § أخذ عينات من DTFT) في معظم الحالات ذات الأهمية العملية ، فإن س[ن] يمثل التسلسل تسلسلًا أطول تم اقتطاعه من خلال تطبيق وظيفة نافذة ذات طول محدود أو صفيف مرشح FIR.

يمكن حساب DFT باستخدام خوارزمية تحويل فورييه السريع (FFT) ، مما يجعلها تحولًا عمليًا وهامًا على أجهزة الكمبيوتر.

راجع تحويل فورييه المنفصل لمزيد من المعلومات ، بما في ذلك:

  • خصائص التحويل
  • التطبيقات
  • تحويلات مجدولة لوظائف محددة

تحرير الملخص

بالنسبة للوظائف الدورية ، يشتمل كل من تحويل فورييه و DTFT فقط على مجموعة منفصلة من مكونات التردد (سلسلة فورييه) ، وتتباعد التحويلات عند تلك الترددات. إحدى الممارسات الشائعة (التي لم تتم مناقشتها أعلاه) هي التعامل مع هذا الاختلاف عبر وظائف مشط ديراك وديراك. ولكن يمكن تمييز نفس المعلومات الطيفية من دورة واحدة فقط من الوظيفة الدورية ، لأن جميع الدورات الأخرى متطابقة. وبالمثل ، يمكن تمثيل دوال المدة المحددة كسلسلة فورييه ، مع عدم وجود خسارة فعلية للمعلومات فيما عدا أن دورية التحويل العكسي هي مجرد قطعة أثرية.

من الشائع في الممارسة لمدة س(•) يقتصر على الفترة ، P أو N. لكن هذه الصيغ لا تتطلب هذا الشرط.

س(ر) يتحول (الوقت المستمر)
التردد المستمر ترددات منفصلة
تحول S (و) ≜ ∫ - ∞ ∞ ث (t) ⋅ e - i 2 π ftdt ^ s (t) cdot e ^ <- i2 pi ft> ، dt> 1 الفوسفور ⋅ S (ك الفوسفور) ⏞ S [ك] ≜ 1 الفوسفور ∫ - ∞ ∞ الصورة (t) ⋅ e - i 2 π ك الفوسفور tdt ≡ 1 الفوسفور الفوسفور (t) ⋅ ه - أنا 2 π ك الفوسفور tdt

> cdot S left (< frac

> يمين)> ^، triangleq ، < frac <1>

> int _ <- infty> ^ < infty> s (t) cdot e ^ <- i2 pi < frac

> t> ، dt equiv < frac <1>

> int _

س_

(t) cdot e ^ <- i2 pi < frac

> t> ، dt>

معكوس الصورة (t) = ∫ - ∞ ∞ S (f) ⋅ e i 2 π f t d f ^ S (f) cdot e ^، df> ث الفوسفور (t) = ∑ ك = - ∞ ∞ S [ك] ⋅ e i 2 π ك الفوسفور t ⏟ صيغة جمع بواسون (سلسلة فورييه)

(ر) = مجموع _^ < infty> S [k] cdot e ^

> t >> _ < text>,>

س(nT) يتحول (وقت منفصل)

خصائص التناظر تحرير

عندما تتحلل الأجزاء الحقيقية والخيالية لوظيفة معقدة إلى أجزائها الفردية والزوجية ، فهناك أربعة مكونات ، يُشار إليها أدناه بالرموز الفرعية RE و RO و IE و IO. وهناك تعيين واحد لواحد بين المكونات الأربعة لدالة زمنية معقدة والمكونات الأربعة لتحويل التردد المعقد الخاص بها: [8]

من هذا ، تظهر علاقات مختلفة ، على سبيل المثال:

  • تحويل دالة ذات قيمة حقيقية ( سإعادة+ سRO ) هي الدالة الزوجية المتماثلة Sإعادة+ أنا SIO . على العكس من ذلك ، فإن التحويل الزوجي المتماثل يعني نطاقًا زمنيًا حقيقيًا.
  • تحويل دالة ذات قيمة خيالية (i سبمعنى آخر+ أنا سIO ) هي الدالة المتماثلة الفردية SRO+ أنا Sبمعنى آخر والعكس صحيح.
  • تحويل دالة زوجية متماثلة ( سإعادة+ أنا سIO ) هي الدالة ذات القيمة الحقيقية Sإعادة+ S.RO والعكس صحيح.
  • تحويل دالة فردية متماثلة ( سRO+ أنا سبمعنى آخر ) هي الوظيفة ذات القيمة التخيلية i Sبمعنى آخر+ أنا SIO والعكس صحيح.

يتحول فورييه إلى مجموعات طوبولوجية أبيلية مدمجة محليًا تعسفيًا

يمكن أيضًا تعميم متغيرات فورييه على تحويلات فورييه على مجموعات أبليان طوبولوجية مدمجة محليًا تعسفية ، والتي تمت دراستها في التحليل التوافقي هناك ، يأخذ تحويل فورييه وظائف على مجموعة للوظائف في المجموعة المزدوجة. يسمح هذا العلاج أيضًا بصياغة عامة لنظرية الالتواء ، والتي تربط تحويلات فورييه والتلافيفات. انظر أيضًا ثنائية Pontryagin لمعرفة الأسس المعممة لتحويل فورييه.

وبشكل أكثر تحديدًا ، يمكن إجراء تحليل فورييه على مستحضرات التجميل ، [9] وحتى مجموعات التجميل المنفصلة.

الوقت - التردد يحول التحرير

من حيث معالجة الإشارات ، فإن وظيفة (الوقت) هي تمثيل إشارة مع الكمال دقة الوقت، ولكن لا توجد معلومات تردد ، في حين أن تحويل فورييه مثالي دقة التردد، ولكن لا توجد معلومات عن الوقت.

كبدائل لتحويل فورييه ، في تحليل الوقت والتردد ، يستخدم المرء تحويلات الوقت والتردد لتمثيل الإشارات في شكل يحتوي على بعض معلومات الوقت وبعض معلومات التردد - وفقًا لمبدأ عدم اليقين ، هناك مفاضلة بينهما. يمكن أن تكون هذه تعميمات لتحويل فورييه ، مثل تحويل فورييه قصير المدى ، أو تحويل غابور أو تحويل فورييه الجزئي (FRFT) ، أو يمكن أن تستخدم وظائف مختلفة لتمثيل الإشارات ، كما هو الحال في تحويلات المويجات وتحويلات الشرنقة ، مع التناظرية المويجة من (المستمر) تحويل فورييه كونه التحويل المويجي المستمر.

يعود شكل مبكر من السلاسل التوافقية إلى الرياضيات البابلية القديمة ، حيث تم استخدامها لحساب التقويم الفلكي (جداول المواضع الفلكية). [10] [11] [12] [13]

ارتبطت المفاهيم اليونانية الكلاسيكية الخاصة بفلك التدوير والفلك في النظام البطلمي لعلم الفلك بسلسلة فورييه (انظر مؤجل وفلك التدوير § الشكلية الرياضية).

في العصر الحديث ، استخدم Alexis Clairaut المتغيرات من تحويل فورييه المنفصل في 1754 لحساب مدار ، [14] والذي تم وصفه على أنه الصيغة الأولى لـ DFT ، [15] وفي عام 1759 بواسطة جوزيف لويس لاغرانج ، في الحوسبة معاملات سلسلة مثلثية لسلسلة مهتزة. [15] من الناحية الفنية ، كان عمل Clairaut عبارة عن سلسلة لجيب التمام فقط (شكل من أشكال تحويل جيب التمام المنفصل) ، بينما كان عمل لاغرانج عبارة عن سلسلة جيبية فقط (شكل من أشكال تحويل الجيب المنفصل) ، استخدم غاوس جيب التمام الحقيقي + شرط الجيب DFT في 1805 من أجل الاستيفاء المثلثي لمدارات الكويكبات. [16] قام كل من أويلر ولاغرانج بتقدير مشكلة الأوتار المهتزة ، مستخدمين ما يسمى اليوم بالعينات. [15]

كان التطور الحديث المبكر نحو تحليل فورييه هو ورقة عام 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations بواسطة Lagrange ، التي استخدمت في طريقة مذيبات Lagrange تحلل فورييه المعقد لدراسة محلول مكعب: [17] قام Lagrange بتحويل الجذور x1, x2, x3 في المذيبات:

حيث ζ هو جذر تكعيبي للعدد واحد ، وهو DFT من الرتبة 3.

استخدم عدد من المؤلفين ، ولا سيما جان لو روند دالمبيرت ، وكارل فريدريش جاوس ، المتسلسلة المثلثية لدراسة معادلة الحرارة ، [18] ولكن التطور الاختراق كان ورقة 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides بقلم جوزيف فورييه ، الذي كانت رؤيته الحاسمة هي التصميم الكل الدوال من خلال المتسلسلة المثلثية ، وتقديم سلسلة فورييه.

ينقسم المؤرخون حول مقدار ما يُنسب إلى لاجرانج وآخرين لتطوير نظرية فورييه: قدم دانيال برنولي وليونهارد أويلر تمثيلات مثلثية للوظائف ، وأعطى لاجرانج حل سلسلة فورييه لمعادلة الموجة ، لذلك كانت مساهمة فورييه أساسًا ادعاء جريء أن دالة تعسفية يمكن أن تمثلها سلسلة فورييه. [15]

يُعرف التطور اللاحق للمجال بالتحليل التوافقي ، وهو أيضًا مثال مبكر لنظرية التمثيل.

تم اكتشاف أول خوارزمية تحويل فورييه السريع (FFT) لـ DFT حوالي عام 1805 بواسطة Carl Friedrich Gauss عند استيفاء قياسات مدار الكويكبات Juno و Pallas ، على الرغم من أن خوارزمية FFT المعينة تُنسب غالبًا إلى إعادة اكتشافها الحديثة Cooley و Tukey. [16] [14]

في معالجة الإشارات ، غالبًا ما يأخذ تحويل فورييه سلسلة زمنية أو دالة للوقت المستمر ، ويرسمها في طيف ترددي. أي أنها تأخذ وظيفة من المجال الزمني إلى مجال التردد ، إنها تحلل وظيفة إلى أشباه جيبية بترددات مختلفة في حالة سلسلة فورييه أو تحويل فورييه المنفصل ، فإن الجيوب الأنفية هي توافقيات للتردد الأساسي للوظيفة يجري تحليلها.

عندما تكون الوظيفة f دالة للوقت وتمثل إشارة مادية ، فإن التحويل له تفسير قياسي مثل طيف التردد للإشارة. يمثل حجم الدالة ذات القيمة المعقدة الناتجة F عند التردد ω اتساع مكون التردد الذي تعطى طورته الأولية بواسطة طور F.

لا تقتصر تحويلات فورييه على وظائف الوقت والترددات الزمنية. يمكن تطبيقها بالتساوي على التحليل مكاني الترددات ، وفي الواقع لأي مجال وظيفي تقريبًا. هذا يبرر استخدامها في فروع متنوعة مثل معالجة الصور والتوصيل الحراري والتحكم الآلي.


مثال 1

أوجد تحويل فورييه لـ exp $ left (-a x ^ right) $.

من خلال صيغة تحويل فورييه لدينا ،

هذا هو الرسم البياني لتحويل فورييه

المثال رقم 2

أوجد تحويل فورييه لوظيفة غير دورية أدناه

الوظيفة المذكورة أعلاه ليست وظيفة دورية.
لا يمكن تمثيل دالة غير دورية على أنها سلسلة فورييه ، ولكن يمكن تمثيلها على أنها تكامل فورييه.

ثم باستخدام صيغة فورييه المتكاملة نحصل عليها ،

هذا هو تحويل فورييه للوظيفة المذكورة أعلاه.

يمكننا إيجاد تمثيل فورييه المتكامل للدالة أعلاه باستخدام تحويل فورييه معكوس.

هذا ال تمثيل فورييه المتكامل من وظيفتنا غير الدورية.


تطور جديد لتحولات فورييه

باستخدام الحلزون المتأصل في تعبير تحويل فورييه ، يوضح هذا الكتاب كلاً من تحويلات فورييه وخصائصها في الجولة. يعتمد المؤلف على الجبر المعقد الأولي لمعالجة التحولات ، وتقديم الأفكار بطريقة تتجنب صفحات الرياضيات المعقدة. وبالمثل ، لا يتم استخدام الاختصارات طوال الوقت ويتم الحفاظ على اللغة واضحة بشكل متعمد بحيث تكون النتيجة نصًا يمكن الوصول إليه من قِبل عدد أكبر من القراء.
يتم تمديد العلاج باستخدام عينات البيانات للتحويلات المحدودة والمنفصلة ، تحويل فورييه السريع ، أو FFT ، كونه حالة خاصة للتحويل المنفصل. تم توضيح تطبيق تحويلات فورييه في الإحصاء لأول مرة باستخدام أمثلة البحث التشغيلي وكشف الرادار لاحقًا. بالإضافة إلى ذلك ، تمت إضافة فصل كامل عن وظائف الاستدقاق أو الترجيح كمرجع. يتم تقريب الكل من خلال مسرد وأمثلة من الرسوم البيانية في ثلاثة أبعاد أصبحت ممكنة بفضل برامج الرياضيات الحالية.


تحريك سبايك الوقت

لا يحدث كل شيء عند t = 0. هل يمكننا تغيير السنبلة إلى (0 4 0 0)؟

يبدو أن مكونات الدورة يجب أن تكون مشابهة لـ (4 0 0 0) ، ولكن يجب أن تتماشى الدورات عند t = 1 (ثانية واحدة في المستقبل). هنا يأتي دور المرحلة.

تخيل سباقا مع 4 متسابقين. السباقات العادية تصطف الجميع عند خط البداية ، وهو النمط الزمني (4 0 0 0). ممل.

ماذا لو أردنا أن يفعل الجميع ينهي في نفس الوقت؟ سهل. فقط حرك الناس للأمام أو للخلف بالمسافة المناسبة. ربما يمكن أن تبدأ الجدة بمسافة قدمين أمام خط النهاية ، ويمكن أن يبدأ يوسين بولت 100 متر للخلف ، ويمكنهم عبور الشريط ممسكًا بأيديهم.

تحولات الطور ، زاوية البداية ، هي تأخيرات في دورة الكون. فيما يلي كيفية ضبط وضع البداية لتأخير كل دورة ثانية واحدة:

  • لا تتحرك دورة 0 هرتز ، لذا تمت محاذاتها بالفعل
  • تستغرق دورة 1 هرتز دورة واحدة في الأربع ثوانٍ بأكملها ، لذا فإن التأخير لمدة ثانية هو ربع دورة. تحول الطور 90 درجة للخلف (-90) ويصل إلى المرحلة = 0 ، القيمة القصوى ، عند t = 1.
  • دورة 2 هرتز أسرع مرتين ، لذا أعطها ضعف الزاوية المراد تغطيتها (-180 أو 180 تحول طور - إنها عبر الدائرة ، في كلتا الحالتين).
  • دورة 3 هرتز أسرع 3 مرات ، لذا امنحها 3x مسافة التحرك (-270 أو +90 تحول طور)

إذا كانت النقاط الزمنية (4 0 0 0) مصنوعة من الدورات [1 1 1 1] ، فإن النقاط الزمنية (0 4 0 0) مصنوعة من [1 1: -90 1: 180 1:90]. (ملاحظة: أنا أستخدم "1Hz" ، لكنني أعني "دورة واحدة على مدار الفترة الزمنية بأكملها").

توقف - نحن ندير الدورات في رؤوسنا!

تصور التداخل مشابه ، باستثناء المحاذاة عند t = 1.

اختبر حدسك: هل يمكنك إجراء (0 0 4 0) ، أي تأخير لمدة ثانيتين؟ 0 هرتز ليس له مرحلة. 1 هرتز يحتوي على 180 درجة ، و 2 هرتز يحتوي على 360 (ويعرف أيضًا باسم 0) ، و 3 هرتز يحتوي على 540 (يعرف أيضًا باسم 180) ، لذلك فهو [1 1: 180 1: 180].


تحولات فورييه الابتدائية - الرياضيات

اتضح أن الشكل المعقد للمعادلات يجعل الأمور أكثر بساطة وأناقة. على هذا النحو ، يستخدم الجميع الأعداد المركبة ، من علماء الفيزياء إلى المهندسين وعلماء الرياضيات. لذا تعتاد على ذلك ، إنه في الواقع شيء جميل للغاية.

في هذه الصفحة سنبدأ بإدخال الأعداد المركبة وبعض الخصائص البسيطة المفيدة في دراسة تحويل فورييه.

رقم مركب ض يمكن كتابتها في شكل قياسي على النحو التالي:

العدد المركب ض له جزء حقيقي قدمه x و الجزء الخيالي قدمها y. الجزء الحقيقي من ض مكتوب على النحو التالي:

الجزء الخيالي من ض مكتوب على النحو التالي:

في المعادلات [1،2،3] ، أنا تعطى على النحو التالي:

مثال. Z = 4 + i5 ==> ثم Re [Z] = 4 ، Im [Z] = 5.

الجمع والضرب

عمليات الجمع والطرح مباشرة. جمع عددين مركبين (z1 و z2) هما مجموع أجزائهما الحقيقية والخيالية:

يمكن إجراء الطرح بطريقة مشابهة للمعادلة [5]. يتبع ضرب الأعداد المركبة قواعد أسلوب الجبر:

ستتم مناقشة القسمة بعد التمثيل القطبي للأعداد المركبة.

الاقتران المعقد والحجم

مقدار العدد المركب z يُعطى من خلال:

شكل قطبي

يمكن اشتقاق المعادلة [9] عن طريق توسيع الجانب الأيسر في سلسلة تايلور (مع متغير ثيتا). ثم قم بتوسيع الجانب الأيمن باستخدام توسعات سلسلة Taylor لجيب التمام والجيب والنتائج متطابقة.

يُكتب الشكل القطبي للعدد المركب بالمقدار والزاوية:

باستخدام المعادلة [9] ، يمكن تحويل الصورة القطبية مرة أخرى إلى أجزائها الحقيقية والخيالية:

يمكن تحديد زاوية ثيتا للعدد المركب من الجزء الحقيقي والخيالي:

تكون الزاوية ثيتا صفرًا عندما يكون الجزء الحقيقي من رقم مركب موجبًا والجزء التخيلي صفرًا. زاوية ثيتا تساوي 90 درجة عندما يكون الجزء التخيلي موجبًا والجزء الحقيقي يساوي صفرًا.

ومن ثم ، يمكننا التحويل بين الشكل المستطيل (الجزء الحقيقي والخيالي) والشكل القطبي (الحجم والزاوية).

كمثال ، ضع في اعتبارك العدد المركب z = 3 + i4. يمكن رسم هذا الرقم على طول محوري x و y ، كما هو موضح في الشكل 1. لاحظ أن x يمثل الجزء الحقيقي من z ، و y يمثل الجزء التخيلي من z.

الشكل 1. شكل توضيحي لرقم مركب في المستوى المركب.

في الشكل 1 ، | z | = 5 (من المعادلة [8]) ، وثيتا = 53.13 درجة (من المعادلة [12]).

قسم

الشكل القطبي يجعل القسمة بسيطة للغاية.

مثال افترض أن z1 = 1 + i3 ، و z2 = -1 - i1. ما هو (z1 * z2) و z1 / z2؟


تحويل فورييه المنفصل

ال تحويل فورييه المنفصل (DFT) هي طريقة لتحويل سلسلة من الأعداد المركبة N N N x 0 ، x 1 ، ... ، x N - 1 x_0 ، x_1 ، ldots ، x_ x 0 ، x 1 ، ... ، x N - 1 إلى تسلسل جديد للأرقام المركبة N N N ،

يعتبر DFT مفيدًا في العديد من التطبيقات ، بما في ذلك التحليل الطيفي البسيط للإشارة الموضح أعلاه. إن معرفة كيفية التعبير عن الإشارة كمجموعة من الموجات يسمح بمعالجة تلك الإشارة ومقارنات الإشارات المختلفة:

يمكن تقليص الملفات الرقمية (jpg ، mp3 ، إلخ) عن طريق حذف المساهمات من الموجات الأقل أهمية في المجموعة.

يمكن مقارنة ملفات الصوت المختلفة بمقارنة المعاملات X k X_k X k من DFT.

يمكن ترشيح موجات الراديو لتجنب "الضوضاء" والاستماع إلى المكونات الهامة للإشارة.

تنشأ تطبيقات أخرى لـ DFT لأنه يمكن حسابها بكفاءة عالية بواسطة خوارزمية تحويل فورييه السريع (FFT). على سبيل المثال ، يتم استخدام DFT في خوارزميات حديثة لمضاعفة كثيرات الحدود والأعداد الصحيحة الكبيرة معًا بدلاً من العمل مع الضرب متعدد الحدود مباشرةً ، فقد تبين أنه أسرع في حساب DFT للوظائف متعددة الحدود وتحويل مشكلة ضرب كثيرات الحدود في مشكلة مماثلة تتضمن DFTs الخاصة بهم.

محتويات


تحويل فورييه

تحويل فورييه عبارة عن صيغة رياضية تربط إشارة تم أخذ عينات منها في الزمان أو المكان بنفس الإشارة التي تم أخذ عينات منها في التردد. في معالجة الإشارات ، يمكن أن يكشف تحويل فورييه عن خصائص مهمة للإشارة ، ألا وهي مكونات التردد الخاصة بها.

يتم تعريف تحويل فورييه للمتجه x مع عدد n من النقاط التي تم أخذ عينات منها بشكل منتظم

y k + 1 = ∑ j = 0 n - 1 ω j k x j + 1.

ω = e - 2 π i / n هي إحدى الجذور المعقدة للعدد واحد n حيث i هي الوحدة التخيلية. بالنسبة إلى x و y ، تتراوح المؤشرات j و k من 0 إلى n - 1.

تستخدم الدالة fft في MATLAB & # 174 خوارزمية تحويل فورييه السريعة لحساب تحويل فورييه للبيانات. ضع في اعتبارك الإشارة الجيبية x التي هي دالة للوقت t بمكونات تردد 15 هرتز و 20 هرتز. استخدم متجهًا زمنيًا تم أخذ عينات منه بزيادات قدرها 50 1 من الثانية على مدى 10 ثوانٍ.

احسب تحويل فورييه للإشارة ، وأنشئ المتجه f الذي يتوافق مع أخذ عينات الإشارة في حيز التردد.

عندما ترسم حجم الإشارة كدالة للتردد ، فإن الارتفاعات في الحجم تتوافق مع مكونات تردد الإشارة البالغة 15 هرتز و 20 هرتز.

ينتج التحويل أيضًا نسخة معكوسة من التموج ، والتي تتوافق مع الترددات السالبة للإشارة. لتصور هذه الدورية بشكل أفضل ، يمكنك استخدام وظيفة fftshift ، التي تقوم بإجراء تحول دائري محوره الصفر على التحويل.

إشارات صاخبة

في التطبيقات العلمية ، غالبًا ما تتلف الإشارات بضوضاء عشوائية تخفي مكونات ترددها. يمكن لتحويل فورييه معالجة الضوضاء العشوائية وكشف الترددات. على سبيل المثال ، قم بإنشاء إشارة جديدة ، xnoise ، عن طريق حقن ضوضاء Gaussian في الإشارة الأصلية ، x.

قوة الإشارة كدالة للتردد هي مقياس شائع يستخدم في معالجة الإشارة. القوة هي الحجم التربيعي لتحويل فورييه للإشارة ، المقيس بعدد عينات التردد. احسب ورسم طيف القدرة للإشارة الصاخبة المتمركزة عند التردد الصفري. على الرغم من الضوضاء ، لا يزال بإمكانك تحديد ترددات الإشارة بسبب الارتفاع المفاجئ في الطاقة.

الكفاءة الحسابية

يتطلب استخدام صيغة تحويل فورييه مباشرة لحساب كل عنصر من العناصر n لـ y بترتيب n 2 من عمليات الفاصلة العائمة. تتطلب خوارزمية تحويل فورييه السريعة فقط ترتيب عمليات n log n للحساب. تعد هذه الكفاءة الحسابية ميزة كبيرة عند معالجة البيانات التي تحتوي على ملايين من نقاط البيانات. تكون العديد من التطبيقات المتخصصة لخوارزمية تحويل فورييه السريعة أكثر كفاءة عندما تكون n قوة 2.

ضع في اعتبارك البيانات الصوتية التي تم جمعها من الميكروفونات تحت الماء قبالة سواحل كاليفورنيا. يمكن العثور على هذه البيانات في مكتبة يحتفظ بها برنامج أبحاث الصوتيات الحيوية بجامعة كورنيل. قم بتحميل وتنسيق مجموعة فرعية من البيانات في bluewhale.au ، والتي تحتوي على نطق الحوت الأزرق في المحيط الهادئ. نظرًا لأن نداءات الحوت الأزرق أصوات منخفضة التردد ، فهي بالكاد مسموعة للإنسان. يتم ضغط المقياس الزمني في البيانات بمعامل 10 لرفع درجة الصوت وجعل المكالمة مسموعة بشكل أكثر وضوحًا. يمكنك استخدام صوت الأمر (x ، fs) للاستماع إلى ملف الصوت بأكمله.

حدد طول إشارة جديدًا بحيث يكون القوة التالية لـ 2 أكبر من الطول الأصلي. Then, use fft to compute the Fourier transform using the new signal length. fft automatically pads the data with zeros to increase the sample size. This padding can make the transform computation significantly faster, particularly for sample sizes with large prime factors.

Plot the power spectrum of the signal. The plot indicates that the moan consists of a fundamental frequency around 17 Hz and a sequence of harmonics, where the second harmonic is emphasized.


شاهد الفيديو: تمدد الأشكال الهندسية. الرياضيات. التحولات (شهر اكتوبر 2021).

التردد المستمر ترددات منفصلة
تحول 1 T S 1 T (f) ≜ ∑ n = - ∞ ∞ s (n T) ⋅ e - i 2 π f n T ⏟ صيغة جمع بواسون (DTFT) > S _ < frac <1>> (f) ، triangleq ، sum _^ < infty> s (nT) cdot e ^ <- i2 pi fnT >> _ < text>>