مقالات

3.15: تيلور متعدد الحدود إذا دالات متغيرين (تمارين) - الرياضيات


13.7: معادلات تايلور متعددة الحدود لوظائف متغيرين

في التدريبات من 1 إلى 8 ، ابحث عن التقريب الخطي (L (x، y) ) والتقريب التربيعي (Q (x، y) ) لكل دالة عند النقطة المحددة. هذه هي (1 ^ { text {st}} ) - و (2 ^ { text {nd}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود لهذه الدوال في هذه النقاط. استخدم أداة رسم ثلاثية الأبعاد مثل CalcPlot3D للتحقق من أن كل تقريب خطي يكون مماسًا للسطح المحدد عند نقطة معينة وأن كل تقريب تربيعي ليس فقط مماسًا للسطح عند نقطة معينة ، ولكنه يشترك أيضًا في التقعر نفسه مثل السطح عند هذا الحد هدف.

1) (f (x، y) = x sqrt {y}، quad P (1،4) )

إجابه:
(L (x، y) = 2x + frac {1} {4} y − 1 )
(Q (x، y) = -1 + 2x + frac {1} {4} y + frac {1} {4} (x-1) (y - 4) - frac {1} {64 } (ص -4) ^ 2 )

2) (f (x، y) = e ^ x cos y؛ quad P (0،0) )

3) (f (x، y) = arctan (x + 2y)، quad P (1،0) )

إجابه:
(L (x، y) = frac {1} {4} π− frac {1} {2} + frac {1} {2} x + y )
(Q (x، y) = frac {1} {4} π− frac {3} {4} + x + 2y - frac {x ^ 2} {4} - xy - y ^ 2 )

4) (f (x، y) = sqrt {20 − x ^ 2−7y ^ 2}، quad P (2،1) )

5) (f (x، y) = x ^ 2y + y ^ 2، quad P (1،3) )

إجابه:
(L (س ، ص) = 12 + 6 (س -1) + 7 (ص -3) = -15 + 6 س + 7 ص )
(س (س ، ص) = - 15 + 6 س + 7 ص + 3 (س - 1) ^ 2 + 2 (س -1) (ص - 3) + (ص -3) ^ 2 )

6) (f (x، y) = cos x cos 3y، quad P (0،0) )

7) (f (x، y) = ln (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)، quad P (0،0) )

إجابه:
(L (س ، ص) = 0 )
(س (س ، ص) = س ^ 2 + ص ^ 2 )

8) (f (x، y) = sqrt {2x - y}، quad P (1، -2) )

9) تحقق من أن صيغة معادلات تايلور متعددة الحدود ذات الدرجة الأعلى تعمل مع تيلور متعدد الحدود من الدرجة الأولى (L (x، y) = P_1 (x، y) ). للراحة ، يتم إعطاء الصيغة أدناه.
[P_n (x، y) = sum_ {i = 0} ^ n sum_ {j = 0} ^ {n - i} frac { frac {d ^ {(i + j)} f} {∂ x ^ i∂y ^ {j}} (a، b)} {i! j!} (xa) ^ i (yb) ^ j nonumber ]

10) حدد المصطلحات الجديدة التي ستتم إضافتها إلى (P_3 (x، y) ) (التي وجدتها في التمرين 13.7.1) لتشكيل (P_4 (x، y) ) وتحديد الدرجة الرابعة تايلور متعدد الحدود لإحدى الوظائف التي درسناها ورسمها مع الرسم البياني للسطح للوظيفة المقابلة في غرافر ثلاثي الأبعاد مثل CalcPlot3D للتحقق من استمرار ملاءمتها للسطح بشكل أفضل.

المساهمون

  • بول سيبرغر (كلية مجتمع مونرو)
  • تم تكييف التدريبات 1-4 من المشكلات المقدمة في القسم الخاص بمستويات الظل والتفاضل من كتاب OpenStax Calculus 3.

3.15: تيلور متعدد الحدود إذا دالات متغيرين (تمارين) - الرياضيات

سلسلة تايلور عبارة عن معادلات متعددة الحدود تقارب الوظائف.

بالنسبة لوظائف متغيرين ، تعتمد سلسلة Taylor على المشتقات الجزئية الأولى والثانية وما إلى ذلك في مرحلة ما (x0، ذ0).

يترك ص1(س ، ص) تمثل تقريب تايلور من الدرجة الأولى لوظيفة من متغيرين و (س ، ص). معادلة التقريب من الدرجة الأولى هي ص1(س ، ص) = و (س0، ذ0) + (س - س0)Fx(x0، ذ0) + (ص - ص0)Fذ(x0، ذ0). نحن بالفعل على دراية بهذه المعادلة لأنها تحدد مستوى مماس.

بشكل عام ، فإن نتقريب ترتيب تايلور لوظيفة ما و (س ، ص) هي كثيرة الحدود التي لها نفس الشيء نالمشتقات الجزئية والصغرى كدالة و (س ، ص) في هذه النقطة (x0، ذ0).

هذا هو العرض التوضيحي الذي يظهر المكافئ المماس إلى نقطة على السطح (س ، ص ، و (س ، ص))، كتوضيح لتقريب تايلور من الدرجة الثانية في بعدين. نحن نتوسع و (س ، ص) كسلسلة تايلور حول النقطة الساخنة ج، وإسقاط جميع شروط النظام 3 أو أعلى. لنرى أن هذا ليس سوى تقريب للسطح ، فإننا ننظر إلى الأسطح التي تمثل الرسم البياني لوظيفة ما و (س ، ص) بدرجة 3. لاحظ أن درجة f = 2 أو أقل من ذلك ، فإن تقدير تايلور من الدرجة الثانية دقيق.

جميع حقوق النشر والمواد محفوظة 2004 بواسطة توماس بانشوف. كل الحقوق محفوظة.


3.15: تيلور متعدد الحدود إذا دالات متغيرين (تمارين) - الرياضيات

3 & raquo ثلاثة متغيرات حساب التفاضل والتكامل

سلسلة تايلور عبارة عن كثيرات حدود تقريبية للوظائف.

بالنسبة لوظائف ثلاثة متغيرات ، تعتمد سلسلة Taylor على المشتقات الجزئية الأولى والثانية وما إلى ذلك في مرحلة ما (x0، ذ0، ض0).

hyperparaboloid الظل عند نقطة ما P = (س0، ذ0، ض0) هو الترتيب التقريبي الثاني للسطح الفوقي.

نقوم بتوسيع السطح الفائق في سلسلة تايلور حول النقطة ص

و (س ، ص ، ض) = و (x0، ذ0، ض0) + (س - س0)Fx(x0، ذ0، ض0) + (ص - ص0)Fذ(x0، ذ0، ض0) + (ض - ض0)Fض(x0، ذ0، ض0)
+ 1/2 ((س - س0) 2 وxx(x0، ذ0، ض0) + (س - س0) (ص - ذ0)Fس ص(x0، ذ0، ض0) + (س - س0) (ض - ض0)Fxz(x0، ذ0، ض0)
+ (س - س0) (ص - ذ0)Fyx(x0، ذ0، ض0) + (ص - ص0) 2 وس ص(x0، ذ0، ض0) + (ص - ص0) (ض - ض0)Fyz(x0، ذ0، ض0)
+ (z - z0) (س - س0)Fzx(x0، ذ0، ض0) + (ض - ض0(ص - ذ0)Fزي(x0، ذ0، ض0)
+ (z - z0) 2 وض(x0، ذ0، ض0)) + R.3(س ، ص ، ض)

ثم نسقط شروط النظام 3 أو أعلى للحصول على hyperparaboloid الظل PB (س ، ص ، ض)

PB (س ، ص ، ض) = و (x0، ذ0، ض0) + (س - س0)Fx(x0، ذ0، ض0) + (ص - ص0)Fذ(x0، ذ0، ض0) + (ض - ض0)Fض(x0، ذ0، ض0)
+ 1/2 ((س - س0) 2 وxx(x0، ذ0، ض0) + (س - س0) (ص - ذ0)Fس ص(x0، ذ0، ض0) + (س - س0) (ض - ض0)Fxz(x0، ذ0، ض0)
+ (س - س0) (ص - ذ0)Fyx(x0، ذ0، ض0) + (ص - ص0) 2 وس ص(x0، ذ0، ض0) + (ص - ص0) (ض - ض0)Fyz(x0، ذ0، ض0)
+ (z - z0) (س - س0)Fzx(x0، ذ0، ض0) + (ض - ض0(ص - ذ0)Fزي(x0، ذ0، ض0) + (ض - ض0) 2 وض(x0، ذ0، ض0) )

بشكل عام ، فإن نتقريب ترتيب تايلور لوظيفة ما و (س ، ص ، ض) هي كثيرة الحدود التي لها نفس الشيء نالمشتقات الجزئية والصغرى كدالة و (س ، ص ، ض) في هذه النقطة (x0، ذ0، ض0).

لاحظ أن فرط البارابولويد المماس PB يعتمد على نفس عدد المتغيرات مثل الوظيفة F، أي على 3 متغيرات. لذلك ، لا يمكن تصور فرط البارابولويد المماس لدالة من ثلاثة متغيرات مباشرة ، فهي تقع في 4 مسافات.

ومع ذلك ، يمكننا تقطيع فرط بارابولويد المماس على طول x-, ذ- و ض- المحاور. إذا كانت كل نقطة (س ، ص ، ض ، و (س ، ص ، ع)) يحتوي على فرط بارابولويد مماس ثم تقطيع السطح مع hyperparaboloid المماس عند نقطة معينة ينتج عنه ثلاثة مكافئ مكافئ مماس لسطح الشريحة المعني من السطح الزائد.

في هذا العرض ، يمكنك مشاهدة هذه x-, ذ- و ض-قطع من فرط بارابولويد المماس.

جميع حقوق النشر والمواد محفوظة 2004 بواسطة توماس بانشوف. كل الحقوق محفوظة.


المرتبة الثانية من سلسلة Taylor لوظيفة في 3 أو أكثر من المتغيرات؟

عادةً لا أحب مقاطع الفيديو للتدريس ، لكن هذا ليس سيئًا:

يميز بعض الأشخاص بين سلسلة Taylor و McLaurin Series. لنفترض أنك تعني أنك تريد تعبيرًا لـ ## f (x ، y ، z) ## في صلاحيات ## x ، y ، z ## بدلاً من قوى ## (xa) ، (yb) ، (zc ) ##

إنه تمرين شاق في LaTex لكتابته في ترتيب أعلى للتوسعات متعددة المتغيرات في التدوين العادي. (لا عجب أنك حصلت على تلميحات فقط - وأنا لا أتطوع لكتابتها بهذه الطريقة بنفسي!)

يمكنك العثور عليه مكتوبًا في & quotmulti-index notation & quot https://en.wikipedia.org/wiki/Multi-index_notation
لست ماهرًا في قراءة التدوين متعدد الفهارس. سأحاول بعض الأمثلة الملموسة.

مثال: ضع في اعتبارك التوسع من الدرجة السادسة ## f (x ، y ، z ، w) ## ما هو معامل ## x ^ 3 y ^ 1 z ^ 2 w ^ 0 ## في هذا التوسع؟

حيث يتم تقييم المشتقات الجزئية عند x = y = z = w = 0 مع الأخذ في الاعتبار التعريف 0! = 1! = 1 وباستخدام الاصطلاح أن ## frac < جزئي ^ 0 f> < جزئي w ^ 0> = 1 ##

تستخدم التعبيرات أعلاه ضمنيًا الفهرس المتعدد <3،1،2،0>.

لتوسيع من الدرجة الثالثة في صلاحيات ## f (x ، y ، z) ## ، يمكننا استخدام بعض الرموز المختصرة (والوحشية؟) مثل القول ## T (a ، b ، c) ## سوف تختصر # # فارك <1> frac < جزئي ^ af> < جزئي x ^ a> frac < جزئي ^ bf> < جزئي y ^ b> frac < جزئي ^ cz> < جزئي z ^ c> x ^ ay ^ bz ^ ج ## وحدد ## T (0،0،0) = f (0،0،0) ##

## f (x ، y ، z) = ##
## T (0،0،0) ##
## + T (1،0،0) + T (0،1،0) + T (0،0،1) ##
## + T (2،0،0) + T (1،1،0) + T (1،0،1) + T (0،2،0) + T (0،1،1) + T ( 0،0،2) ##
## + T (3،0،0) + T (2،1،0) + T (2،0،1) + T (1،2،0) + T (1،1،1) + T ( 1،0،2) + T (0،3،0) + T (0،2،1) + T (0،1،2) + T (0،0،3) ##


أحد الأسباب هو أنه يمكننا تقريب الحلول للمعادلات التفاضلية بهذه الطريقة: على سبيل المثال ، إذا كان لدينا

سيكون من الصعب حل هذا من أجل $ y $ ، إذا كان ذلك ممكنًا على الإطلاق. ولكن من خلال تمثيل $ y $ كسلسلة Taylor $ sum a_nx ^ n $ ، يمكننا تبديل الأشياء وتحديد معاملات سلسلة Taylor هذه ، مما يسمح لنا بتقريب الحل حول النقطة المطلوبة.

إنه مفيد أيضًا في تحديد مجاميع لا نهائية مختلفة. على سبيل المثال:

$ frac 1 <1-x> = sum_^ infty x ^ n $ frac 1 <1 + x> = sum_^ infty (-1) ^ nx ^ n $ التكامل: $ ln (1 + x) = sum_^ infty frac <(- 1) ^ nx ^>تعويض $ x = 1 $ يعطي

هناك أيضًا تطبيقات في الفيزياء. إذا كان النظام الخاضع لقوة محافظة (واحد له دالة طاقة مرتبطة به ، مثل الجاذبية أو القوة الكهروستاتيكية) عند نقطة توازن مستقرة $ x_0 $ ، فلا توجد قوى صافية وتكون وظيفة الطاقة مقعرة لأعلى (الطاقة موجودة أعلى على كلا الجانبين هو أساسًا ما يجعله مستقرًا). من حيث سلسلة تايلور ، فإن دالة الطاقة $ U $ المتمركزة حول هذه النقطة هي في الشكل

حيث $ U_0 $ هي الطاقة عند الحد الأدنى $ x = x_0 $. بالنسبة لعمليات التهجير الصغيرة ، ستكون شروط الترتيب العالية صغيرة جدًا ويمكن تجاهلها. لذا يمكننا تقريب هذا بالنظر فقط إلى أول حدين:

القوة الآن هي المشتق السلبي للطاقة (القوى ترسلك من طاقة عالية إلى منخفضة ، بشكل متناسب مع انخفاض الطاقة). بتطبيق هذا ، حصلنا على ذلك

إعادة الصياغة بدلالة $ y = x-x_0 $:

وهي معادلة مذبذب توافقي بسيط. في الأساس ، لحالات النزوح الصغيرة حولها أي توازن مستقر يتصرف النظام تقريبًا مثل زنبرك متذبذب ، مع سلوك جيبي. لذلك في ظل ظروف معينة ، يمكنك استبدال نظام يحتمل أن يكون معقدًا بنظام آخر مفهوم جيدًا ومدروس جيدًا. يمكنك أن ترى هذا في البندول ، على سبيل المثال.

كنقطة أخيرة ، فهي مفيدة أيضًا في تحديد الحدود:

التي كان من الصعب نسبيًا تحديدها لولا ذلك. نظرًا لأن كثيرات الحدود تتصرف بشكل أفضل بكثير من الوظائف الأخرى ، يمكننا استخدام سلسلة تايلور لتحديد المعلومات المفيدة التي يصعب تحديدها بشكل مباشر ، إن أمكن ذلك.

تحرير: نسيت أن أذكر الجد:

$ e ^ x = 1 + x + frac12x ^ 2 + frac16x ^ 3 + frac1 <24> x ^ 4 cdots $ $ e ^= 1 + ix- frac12x ^ 2-i frac16x ^ 3 + frac1 <24> x ^ 4 cdots $ $ = 1- frac12x ^ 2 + frac1 <24> x ^ 4 cdots + ix-i frac16x ^ 3 + i frac1 <120> x ^ 5 cdots $ $ = cos x + i sin x $ e ^= cos x + i sin x $

والتي ربما تكون أهم معادلة في التحليل المعقد. هذا وحده يجب أن يكون دافعًا كافيًا ، والآخرون هم في الحقيقة مجرد تثليج على الكعكة.

في عصر الآلة الحاسبة ، غالبًا ما لا ندرك مدى عدم أهمية الحصول على تقدير تقريبي تعسفي جيد لرقم مثل $ e $ ، أو الأفضل من ذلك ، $ e ^ < sin ( sqrt <2>)> $. اتضح أنه في المخطط الكبير للأشياء ، فإن $ e ^ x $ ليست وظيفة سيئة للغاية على الإطلاق. منذ ل تحليلي، على سبيل المثال ، لديه سلسلة تايلور ، إذا أردنا حساب قيمه ، فإننا نحسب فقط الشروط القليلة الأولى لتوسع تايلور في مرحلة ما.

هذا منطقي كثيرًا للحوسبة ، على سبيل المثال ، $ e ^ <1/2>: 1 + 1/2 + 1/2! (1/2) ^ 2 + 1/3! (1/2) ^ 3 +. من الواضح أن $ سيتقارب بسرعة كبيرة: $ 1/4! 2 ^ 4 & lt1 / 100 $ و $ 1/5! 2 ^ 5 & lt1 / 1000 $ ، لذلك نعرف على سبيل المثال أنه يمكننا الحصول على $ e ^ <1/2> $ إلى 2 $ المنازل العشرية بجمع أول 5 دولارات من شروط توسعة تايلور.

ولكن لماذا يجب أن يعمل هذا لحساب شيء مثل $ e ^ <100> $؟ الآن يبدو التوسع كالتالي $ 1 + 100 + 100 ^ 2/2 + 100 ^ 3/3! +. $ ، وفي البداية ينفجر بسرعة مذهلة. هذا هو المكان الذي تُظهر فيه الدوال التحليلية مدى تميزها حقًا: تنمو المقامات $ n! $ بسرعة كبيرة بحيث لا يهم ما لدينا $ x ^ n $ في البسط ، قبل وقت طويل جدًا سوف تتقارب السلسلة. هذا هو جوهر تقريب تايلور: الوظائف التحليلية هي تلك الموجودة قريب بشكل غير معقول إلى كثيرات الحدود.

هناك طرق أسرع بكثير للحصول على تقديرات تقريبية مثل طريقة $ sqrt$ ، من الناحية النظرية: استخدام طريقة نيوتن لحل $ x ^ 2-e = 0 $ سيعطيك تقريبًا لـ $ sqrt$ دقيق لعدد من الأماكن مثل ميدان من عدد التكرارات التي قمت بها. لكن كيف نطبق طريقة نيوتن هنا؟ الصيغة الأولى هي $ x_1 = x_0- frac <2x_0>$ لذا ، إذا أردنا توسيعًا عشريًا بقيمة $ sqrt$ ، من الأفضل أن نتمكن من الحصول على واحد من $ x_0 ^ 2-e $. وكيف سنحصل على ذلك؟ سلسلة تايلور.

تمت دراسة سلسلة تايلور لأن الوظائف متعددة الحدود سهلة وإذا كان بإمكان المرء أن يجد طريقة لتمثيل الوظائف المعقدة كسلسلة (متعددات الحدود اللانهائية) فيمكن للمرء بسهولة دراسة خصائص الوظائف الصعبة.

تقييم التكاملات المحددة: لا تحتوي بعض الوظائف على مشتق عكسي يمكن التعبير عنه من خلال وظائف مألوفة. هذا يجعل تقييم التكاملات المحددة لهذه الوظائف صعبًا لأنه لا يمكن استخدام النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل. إذا كان لدينا تمثيل متعدد الحدود لدالة ، فيمكننا في كثير من الأحيان استخدامه لإيجاد قيمة تكامل محدد.

فهم السلوك المقارب: في بعض الأحيان ، يمكن لسلسلة Taylor أن تخبرنا بمعلومات مفيدة حول كيفية تصرف الوظيفة في جزء مهم من مجالها.

فهم نمو الوظائف

حل المعادلات التفاضلية

أنا متأكد من أن هذا ليس كل شيء ولكن مع القليل من البحث يمكنك العثور على أكبر عدد ممكن.

تطبيقات سلسلة تايلور هي أساسًا لتقريب الوظائف القبيحة إلى وظائف لطيفة (متعددات الحدود)!

مثال: خذ $ f (x) = sin (x ^ 2) + e ^$. هذه ليست وظيفة جيدة ، ولكن يمكن تقريبها إلى كثير الحدود باستخدام سلسلة تايلور.

من الأمثلة الجيدة على سلسلة Taylor ، وعلى وجه الخصوص سلسلة Maclaurin ، في النسبية الخاصة ، حيث تُستخدم سلسلة Maclaurin لتقريب عامل Lorrentz $ gamma $. يعطي أخذ أول حدين من السلسلة تقديرًا تقريبيًا جيدًا جدًا للسرعات المنخفضة. يمكنك في الواقع إظهار أنه عند السرعات المنخفضة ، تقل النسبية الخاصة إلى الفيزياء الكلاسيكية (النيوتونية). على سبيل المثال ، في النسبية الخاصة ، يُعطى الزخم بواسطة $ p = gamma mv $ ، وبسرعة منخفضة $ gamma حوالي 1 $ ، لذا $ p almost mv $ ، وهو الزخم (الخطي) في الميكانيكا الكلاسيكية .

أيضا ، المعادلة الأكثر شهرة في الفيزياء ، $ E = m$ ، هو في الواقع تقدير تقريبي للسرعات المنخفضة ، والذي ، مرة أخرى ، يمكن اشتقاقه باستخدام سلسلة تايلور.

بالمناسبة ، $ gamma = frac <1> < sqrt <1 - v ^ 2 / c ^ 2 >> ، $ حيث $ v $ هي السرعة و $ c $ هي سرعة الضوء.

مثال آخر من الفيزياء: عندما ندرس لأول مرة حركة البندول ، غالبًا ما نبدأ بافتراض $ sin theta almost theta $ ، والذي يأتي أيضًا من سلسلة تايلور لأن $ sin theta = theta - frac < theta ^ 3> <3!> + frac < theta ^ 5> <5!> - frac < theta ^ 7> <7!> + cdots $

علاوة على ذلك ، فإن أي برنامج يرسم وظائف مختلفة يستخدم في الواقع تقديرات تايلور جيدة جدًا.

توفر سلسلة Taylor الطريقة الأساسية لحساب الوظائف المتعالية مثل $ e ^ x $ و $ sin x $ و $ cos x $.

لم يذكر أحد الجانب الاندماجي للأشياء ، لذلك سأكون أول من يقول ذلك: توليد الوظائف. نحن نستخدم وظائف توليد لتمرير مشاكل العد المنفصلة الصعبة إلى المستمر ، حيث تكون الأمور سهلة. تعد وظائف التوليد أداة مركزية في التوافقية (العد ، نظرية الرسم البياني ، إلخ) والاحتمال (حيث لدينا وظائف توليد اللحظة). سلسلة تايلور هي الفكرة الأساسية وراء كل هذه. اقرأ: http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function للحصول على التفاصيل ، واحصل على فئة الاحتمالات الرياضية أو التوافقية لمعرفة المزيد.

في الفيزياء ، غالبًا ما تقرب وظيفة معقدة من خلال أخذ المصطلحات القليلة الأولى في سلسلة تايلور (تيلور متعدد الحدود). بالنسبة للقيم الصغيرة للمتغير المستقل ، غالبًا ما تفترض الخطية ، والتي يمكن أن تتيح لك الحصول على حل نموذج مغلق. على سبيل المثال ، إذا أخذت فصلًا تمهيديًا في الفيزياء ، فعادة ما تدرس حركة البندول عن طريق تقريب $ sin ( theta) $ by $ theta $ للزوايا الصغيرة.

كل العلوم الحسابية مبنية على نظرية تايلور.

أكبر مطرقة إلى حد بعيد هي طريقة نيوتن ، وهي هشة في شكلها الخام ولكنها تعمل كأساس لها عديدة خوارزميات فعالة وعملية لحل المعادلات $ f (x) = 0 $ للوظائف غير الخطية المرعبة $ f $. من الصعب أن تكون أكثر عمومية من ذلك!

اسمحوا لي أن أذكر تطبيقًا محددًا آخر: محاكاة الفيزياء ، باستخدام قوانين نيوتن. لنفترض أن لديك كائنًا بالموقع $ x (t) $ يتم التعامل معه بواسطة عدة قوى غير خطية معقدة محتملة. ينص القانون الثاني على أن $ F = ma $ أو $ F = m frac.$

نموذجيًا $ F $ هي دالة $ x $: على سبيل المثال ، تخضع قوة الجاذبية لجسم ما يعمل على آخر لقانون التربيع العكسي ، والذي يعتمد على $ x $. هذا يعطينا الدرجة الثانية ODE $ F (x) = m fracإذا كان $ F $ معقدًا بدرجة كافية ، فلا أمل في حل هذه المعادلة تحليليًا. لكن لنفترض أننا نعرف الموضع المبدئي $ x (0) = x_0 $ والسرعة الابتدائية $ frac

(0) = v_0 $ ، ونريد أن نعرف ما سيكون عليه الموضع والسرعة في ذلك الوقت $ h $. يمكننا توسيع تايلور $ x (t) $: $ x (h) = x (0) + h frac
(0) + فارك<2> فارك(0) + O (ح ^ 3). $

إذا كان $ h $ صغيرًا ، فيمكننا تجاهل شروط الترتيب الأعلى ، وإدخال ما سبق في قانون نيوتن للحصول على $ F (x (0)) حوالي 2m frac<>

(0)>$ أو $ x (h) almost x_0 + hv_0 + frac<2m> F (x_0) و $ وبالمثل $ v (h) almost v_0 + hF (x_0). $

بمجرد حصولك على المركز والسرعة في الوقت $ h $ ، يمكنك توقعهما في الوقت $ 2h $ ، باستخدام الحسابات أعلاه واستبدال $ x_0 $ بـ $ x_h $ و $ v_0 $ بـ $ v_h $. بتكرار هذه العملية ، يمكنك الحصول على تقدير تقريبي جيد لـ $ x (t) $ لكل $ t $!

سيعتمد الخطأ في كل خطوة أعلاه على الخطأ الذي تعرضت له من خلال اقتطاع سلسلة Taylor ، والتي تعتمد على $ h $. لكنك تعلم أن الخطأ يجب أن يكون حجمه تقريبًا مثل $ h ^ 3 / h ^ 2 = h $ ، لذا فإن خفض $ h $ إلى النصف في كل خطوة. يمكن تطوير طرق أكثر دقة على طول هذا المسار ، حيث من خلال مراعاة المزيد من مصطلحات سلسلة تايلور ، يكون لديك خطأ أقل في كل خطوة ، على حساب تكلفة حساب كل خطوة.

يمكننا أيضًا استخدام سلسلة Taylor لتقريب التكاملات المستحيلة مع تقنيات التكامل الأخرى.

المثال الكلاسيكي هو $ int sin (x ^ 2) ، mathrm× دولار.

لا يمكننا بالفعل دمج هذا ، ولكن باستخدام سلسلة taylor لـ $ sin (x) $ يمكننا استبدال $ x ^ 2 $ بـ $ x $ عند كل حد من المتسلسلة ، ثم دمج كل حد على حدة. بعد القيام بذلك ، يمكننا كتابة مبلغ جديد.

تُستخدم سلسلة Taylor في تحليل تدفق الطاقة لأنظمة الطاقة الكهربائية (طريقة Newton-Raphson).

تُستخدم سلسلة Taylor متعددة المتغيرات في تقنيات تحسين مختلفة تقارب وظيفتك كسلسلة من الأشكال الخطية أو التربيعية ، ثم تكررها على التوالي للعثور على القيمة المثلى.

لنفترض أنك كنت تتنقل أو تتوجه وكان لديك متسع من الوقت: يمكن للمرء استخدام قانون الجيب (وسلسلة تايلور) لتقييم أطوال المثلثات على الخرائط (SineA / A = SineB / B = SineC / C). وبالتالي يمكن عمل المسافات بدقة لا تصدق. ثلاثة شروط في السلسلة ستكون كثيرة. يسمح لك بحساب الجيب بدون آلة حاسبة. من الواضح أن هذا سخيف بعض الشيء ولكنه مفيد إلى حد ما. إذا لم يكن لديك ورق يمكنك حسابه في الرمال!

يعد تحليل الانحدار أحد الأدوات الرئيسية في العلوم الإحصائية (التي يمكنك أن تجدها تقريبًا في كل بحث في العلوم الاجتماعية والاقتصاد والطب). أحد مبررات صحة هذا التحليل هو أنه يمكن النظر إلى الانحدار الخطي على أنه تقريب خطي لبعض الوظائف غير المعروفة $ f (x) $. أي أن لديك مجموعة بيانات هي $ _^ n $ وتفترض أن بياناتك تأتي من بعض العمليات $ Y_i = f (X_i) + epsilon_i، $
حيث $ mathbb[Y | X] = f (x) = f (0) + f '(0) x + R_1 (x) = beta_0 + beta_1x + R_1 (x) $ تحديدًا ، يمكنك تقريب عملية توليد البيانات عن طريق التقدير $ y_i = beta_0 + beta_1x_i + epsilon_i. $ في مثل هذه الحالة ، يمكنك استخدام بعض الطرق البسيطة جدًا لتقدير المعلمات ، ولكن في النماذج غير الخطية يمكن للمرء استخدام طريقة Newton-Raphson التي تستخدم تقريبًا خطيًا (توسعة تايلور من الدرجة الأولى) لتقدير المعلمات. ينطبق نفس المنطق على نماذج الانحدار المتعددة ، حيث يكون الانحدار الخطي مجرد توسع تايلور من الدرجة الأولى (يمكن النظر إلى النماذج ذات التفاعلات والمصطلحات التربيعية على أنها توسعات تايلور من الدرجة الثانية).

تطبيق مفيد آخر هو النتيجة التي تسمى طريقة دلتا. في سياق الاستدلال الإحصائي وتقدير المعلمات. لنفترض أن $ theta $ هو معامل الاهتمام و $ X_n $ مقدّره ، ثم إذا كان $ sqrt(X_n - theta) xrightarrow N (0، sigma ^ 2) $ ودعنا $ g $ بعض الدوال حيث $ g '( theta) $ موجود ولا يساوي صفرًا ، ثم $ sqrt(X_n - theta) xrightarrow ن (0، ز '( ثيتا) ^ 2 سيجما ^ 2). هذه النتيجة هي نتيجة مباشرة لتوسع تايلور بقيمة $ g (X_n) $ عند $ theta $. تسمح لنا هذه النتيجة (ومتغيراتها المتعددة) بحساب فترات الثقة الصحيحة المقاربة إلى معلمات مختلفة ، بما في ذلك معلمات الانحدار المذكورة أعلاه.

باستخدام نفس المنطق الأساسي ، يسمح توسع تايلور بتقريب التباين في التكوينات المعقدة (الوظائف) حيث يكون التباين الصريح معقدًا للغاية لإجراء حسابات تحليلية دقيقة.

خلاصة القول هي أنه في العلوم الحسابية حيث الأدوات الأساسية هي النماذج والأهداف الرئيسية تقريبية للوظائف (غير المعروفة) ، ربما تكون سلسلة تايلور واحدة من أكثر الأدوات الأساسية للبدء بها.

ذكر أحدهم بالفعل فائدة سلسلة تايلور في النسبية ، أود أن أنفق بضع كلمات لاستكشاف هذه النقطة بشكل أكبر لأن النسبية هي ساحة جيدة لاختبار الدور المهم للغاية لسلسلة تايلور في حل المشكلات العملية في الفيزياء. دعونا نفكر في صيغة الطاقة الحركية النسبية ابدأ E_K = mc ^ 2 left ( frac <1> < sqrt <1- frac>> -1 يمين) نهاية تقول سلسلة تايلور أنه مقابل $ v ll c $ تكون الطاقة الحركية على وشك البدء E_K تقريبا فارك<2> + frac <3m v ^ 4> <8 c ^ 2> end وهذا يسمح لك بتقييم القيمة النسبية عندما تكون في نظام كلاسيكي ، ومن ثم الحصول على فكرة عن مدى ابتعاد التصحيحات النسبية عن تجربتنا اليومية. للوهلة الأولى يمكنك قول & quotالذين يهتمون بـ $ E_K حوالي $ بلاه بلاه. نحن في القرن الحادي والعشرين ، ولست بحاجة إلى صيغ تقريبية لتبسيط العمليات الحسابية للقلم والورق ، يمكنني ببساطة أخذ جهاز الكمبيوتر وإدخال الأرقام لمعرفة ما سيحدث& مثل. حسنًا ، الأمور ليست بهذه البساطة. لنفكر في هذا التمرين الذي أخذته من كتاب طه سوتشي: نحن نقيم الطاقة الحركية لجسم 1 كجم يتحرك بسرعة 100 م / ث. الميكانيكا الكلاسيكية تقول 5000 J لكن ما هي الإجابة النسبية؟ إجابة الكتاب خاطئة تمامًا ومن المفيد جدًا رؤية ما حدث هنا. أعتقد أن المؤلف استخدم $ 3.33 cdot10 ^ <-7> $ بدلاً من $ frac$ ، أخذ جهاز الكمبيوتر الخاص به ، وأدخل القيمة ، ووجد 4996 J عبثية: طاقة نسبية أقل من الطاقة الكلاسيكية! قد تعتقد أن هذه مشكلة تتعلق بالعادة السيئة للغاية للقيام بجولات كبيرة في خطوات وسيطة. يمكنك أن تقول: & quotيمكنني تصحيح هذا الخطأ الساذج بسهولة: دعنا نستخدم بعض الأرقام الإضافية في $ fracقيمة $!& مثل. فكرة استخدام العديد من الأرقام حتى تستقر النتيجة تبدو معقولة. يمكنك إجراء العمليات الحسابية عن طريق استغلال جداول البيانات أو WolframAlpha أو ببساطة خلية بحث Google ، ربما ستجد (جرب!) 5009 J (أو 5016 J إذا كنت تستخدم القيمة التقريبية $ 3 cdot 10 ^ 8 $ لـ $ c $ المستخدمة من قبل مؤلف). قد تشعر بالرضا وتشعر أن النتيجة صحيحة ، فهي في النهاية أكبر قليلاً من الكلاسيكية. لكن انتظر لحظة! هل من المعقول أنه بالنسبة لكرة وزنها 1 كجم تتحرك بسرعة منخفضة للغاية لسيارة سريعة أو طائرة بطيئة ، فإن التصحيح النسبي هو بعض الجول؟ سيكون هذا ضخمًا بالتأكيد: الإجابة الثانية أيضًا خاطئة تمامًا. تكمن المشكلة في أن أجهزة الكمبيوتر تعمل عادةً بعدد محدود جدًا من الأرقام ، ومن مبلغ مثل 1،0000000 دولار (. صغير) دولار - 1 دولار يمكنك الحصول على صفر أو أي نتائج غريبة أخرى! الطريقة الوحيدة لحل هذه المشكلة ، على حد علمي ، هي استخدام صيغة تايلور (ما لم تكن تعرف كيفية إجبار الكمبيوتر على استخدام المزيد من الأرقام ، فمن الممكن القيام بذلك باستخدام بعض لغات البرمجة ، ولكن من المحتمل أن يكون هذا أكثر تعقيدًا وأقل طريقة مؤكدة لحل المشكلة). باستخدام صيغة تايلور المكتوبة من قبل (إضافة المزيد من مصطلحات تايلور ، فإن التغيير لا يكاد يذكر) تحصل ببساطة على الطاقة الحركية النسبية الصحيحة للكرة المتحركة لدينا: حوالي 5000.000000000417 $ J ($ frac <3mv ^ 4> <8c ^ 2> حوالي 4.17 cdot 10 ^ <-10> $ J). لذلك في هذه الحالة ، تختلف النتائج الكلاسيكية والنسبية عن .00000000001 ٪ $. كل هذا يدل على أن سلسلة تايلور ليست فقط مفيدة ومضيئة ، ولكنها في بعض الأحيان لا غنى عنها عمليًا.


CalcPlot3D ، بيئة استكشاف لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات - تيلور متعدد الحدود لدالة لمتغيرين (الدرجة الأولى والثانية)

الطريقة التي تتقارب بها معادلات تايلور متعددة الحدود لدالة متغير واحد تدريجيًا إلى الرسم البياني للدالة مثل ذ = كوس x هو حقًا مثير للإعجاب ومثير للاهتمام بطبيعته. يمكننا توسيع هذا الموضوع إلى ثلاثة أبعاد باستخدام CalcPlot3D.

كتمرين ، أطلب من طلابي إنشاء متغيرات تايلور الخطية والتربيعية لوظيفة من متغيرين باستخدام المشتقات الجزئية للوظيفة التي تم تقييمها في نقطة معينة.

(f (x، y) = sin (2x) + cos y ) بالنسبة إلى x، y بالقرب من (0،0)

هناك أيضًا ميزة في التطبيق الصغير تسمح لك بإثبات متغيرات تايلور متعددة الحدود ذات درجة أعلى لوظيفة من متغيرين.

مثال:

  1. ارسم الدالة ، (f (x، y) = cos (x) sin (y) ). ثم قم بالتصغير إلى -4 إلى 4 في تنسيق x و ذ-الاتجاهات.
  2. الآن حدد ملف مشاهدة ملف Taylor Polynomials خيار من أدوات القائمة في الجزء العلوي من التطبيق الصغير. سيستغرق الأمر بضع ثوانٍ حيث يقوم الكمبيوتر بحساب المشتقات الجزئية وإنشاء تيلور متعدد الحدود. تم حساب هذا المثال بنجاح حتى درجة 15 متعددة الحدود. بمجرد أن تصبح جاهزة ، يتم رسم الوظيفة الأصلية كإطار سلكي ويظهر تيلور متعدد الحدود من الدرجة الأولى (المستوى المماس). يظهر شريط التمرير على طول الحافة السفلية للمخطط ثلاثي الأبعاد. استخدم شريط التمرير هذا للتمرير عبر العديد من حدود تايلور المتعددة لهذه الوظيفة. لاحظ أن الدرجات الفردية فقط هي التي تضيف حدودًا جديدة لهذه الوظيفة المعينة. كلما زادت درجة تيلور متعدد الحدود ، كيف أن متعدد الحدود لمتغيرين يناسب السطح الأصلي بشكل أفضل وأفضل حول الأصل حتى يصبح تقريبًا جيدًا إلى حد ما لكامل السطح المرئي عند درجة 15.
  3. لعرض تيلور متعدد الحدود بشكل أفضل (كما هو موضح في نافذة النص أعلى الرسم ثلاثي الأبعاد) ، يمكنك النقر فوق المعادلة وسحبها وعرض جميع المصطلحات ، وسحب المعادلة إلى اليسار واليمين. يمكنك أيضًا استخدام ملف أدوات خيار القائمة استخدم العوامل في Taylor Polynomials لتشغيل هذه الخاصية أو إيقاف تشغيلها. استخدام العوامل يجعل شكل مصطلحات ترتيب تايلور متعدد الحدود أسهل في الرؤية ، كما أن المصطلحات تشغل مساحة أفقية أقل بشكل عام.
  4. يمكنك أيضًا تغيير النقطة المركزية لتوسيع Taylor باستخدام خيار القائمة Tools الموجود أسفل View Taylor Polynomials مباشرةً. نقطة المركز الافتراضية هي الأصل.
  5. تشمل الوظائف الرائعة الأخرى التي يمكنك تجربتها والتي تتمحور حول الأصل ما يلي:
    • (و (س ، ص) = كوس (س) - الخطيئة (ص) )
    • (f (x، y) = sin (2x) - cos (y) )
    • (و (س ، ص) = خطيئة (س ^ 2 + ص ^ 2) )
    • (و (س ، ص) = س ^ ص + 1 )
    • (و (س ، ص) = ه ^)
    • (و (س ، ص) = أركتان (س ص) )
    • (و (س ، ص) = أركتان (س + ص) )

انقر هنا لفتح ملف pdf يحتوي على تعليمات النشاط.

Paul Seeburger (كلية مجتمع مونرو) ، "CalcPlot3D ، بيئة استكشاف للتفاضل والتكامل متعدد المتغيرات - Taylor Polynomials لوظيفة متغيرين (الدرجة الأولى والثانية) ،" التقارب (نوفمبر 2011) ، DOI: 10.4169 / loci003781


الجبر التطبيقي: النمذجة والوظائف

هي حالات خاصة من وظائف كثيرة الحدود. بشكل عام ، نقوم بالتعريف التالي.

الدالة متعددة الحدود.

حيث (a_0 text <،> ) (a_1 text <،> ) (a_2 text <،> ) ( ldots text <،> ) (a_n ) هي ثوابت و (a_n ne 0 text <.> ) يُطلق على المعامل (a_n ) لأعلى حد للقدرة اسم.

بعض الأمثلة على كثير الحدود هي

تمت كتابة كل من كثيرات الحدود أعلاه ، مما يعني أن الحد الأعلى من الدرجة يأتي أولاً ، وتنخفض درجات المصطلحات من الأكبر إلى الأصغر. من المفيد أحيانًا كتابة كثير الحدود ، بحيث تزداد درجات المصطلحات. على سبيل المثال ، يمكن كتابة كثير الحدود (f (x) ) أعلاه كـ

منتجات فرعية من كثيرات الحدود

عندما نضرب اثنين أو أكثر من كثيرات الحدود معًا ، نحصل على كثير حدود آخر من الدرجة الأعلى. (انظر تنشيط مهارات الجبر أ 7 للتعرف على الدرجة.)

مثال 7.1.
نقطة تفتيش 7.2.

اضرب ((y + 2) (y ^ 2 - 2y + 3) text <.> )

في المثال 7.1 أ ، قمنا بضرب كثير حدود من الدرجة 1 في كثير حدود من الدرجة 3 ، وكان الناتج كثير حدود من الدرجة 4. في المثال 7.1 ب ، حاصل ضرب ثلاث كثيرات حدود من الدرجة الأولى هو متعدد حدود من الدرجة الثالثة.

درجة المنتج.

درجة حاصل ضرب كثيرات الحدود غير الصفرية هي مجموع درجات العوامل. هذا هو،

إذا كان (P (x) ) لديه درجة (m ) و (Q (x) ) لديه درجة (n text <،> ) فإن منتجهم (P (x) Q (x) ) لديه درجة (n + m text <.> )

مثال 7.3.

دع (P (x) = 5x ^ 4 - 2x ^ 3 + 6x ^ 2 - x + 2 text <،> ) و (Q (x) = 3x ^ 3 - 4x ^ 2 + 5x + 3 نص <.> )

ما هي درجة منتجهم؟ ما هو معامل مصطلح الرصاص؟

أوجد معامل (x ^ 3 ) - حد حاصل الضرب.

درجة (P ) هي (4 نص <،> ) ودرجة (س ) هي (3 نص <،> ) لذا فإن درجة منتجهم هي (4 + 3 = 7 نص <.> ) الحد الوحيد (7 ) للمنتج هو ((5x ^ 4) (3x ^ 3) = 15x ^ 7 text <،> ) الذي له معامل (15 نص <.> )

في المنتج ، يتم ضرب كل حد من (P (x) ) في كل مصطلح من (Q (x) text <.> ) نحصل على شروط الدرجة (3 ) بضرب شروط الدرجة (0 ) و (3 نص <،> ) أو (1 ) و (2 نص <.> ) بالنسبة إلى كثيرات الحدود ، فإن التوليفات المحتملة هي:

مجموع شروط الدرجة الثالثة للمنتج هو (34x ^ 3 text <،> ) بالمعامل (34 text <.> )

نقطة تفتيش 7.4.

أوجد معامل حد الدرجة الرابعة لحاصل ضرب (f (x) = 2x ^ 6 + 2x ^ 4 - x ^ 3 + 5x ^ 2 + 1 ) و (g (x) = x ^ 5 - 3x ^ 4 + 2x ^ 3 + x ^ 2 - 4x - 2 text <.> )

قسم المنتجات الخاصة

في القسم A.8 لتجديد مهارات الجبر ، يمكنك مراجعة المنتجات الخاصة التالية التي تتضمن تعبيرات تربيعية.

المنتجات الخاصة ذات الحدين.

هناك أيضًا منتجات خاصة تؤدي إلى وجود كثيرات حدود مكعبة. في مشاكل الواجبات المنزلية ، سيُطلب منك التحقق من المنتجات التالية.

مكعب ذو الحدين.

إذا أصبحت معتادًا على هذه الأشكال العامة ، يمكنك استخدامها كنماذج للعثور على أمثلة محددة لهذه المنتجات.

مثال 7.5.

اكتب ((2w - 3) ^ 3 ) ككثير حدود.

استخدم المنتج 2 أعلاه ، مع استبدال (x ) بـ ( تنبيه <2w> ) واستبدال (y ) بـ ( blert <3> text <.> )

بالطبع ، يمكننا أيضًا فك حاصل الضرب في المثال 7.5 ببساطة عن طريق الضرب متعدد الحدود والوصول إلى نفس الإجابة.

نقطة تفتيش 7.6.

اكتب ( left (5 + x ^ 2 right) ^ 3 ) ككثير الحدود.

مكعبات التخصيم الفرعي

زوج آخر من المنتجات مفيد في تحليل كثيرات الحدود التكعيبية. في مشاكل الواجبات المنزلية ، سيُطلب منك التحقق من المنتجات التالية:

عند عرض هذه المنتجات من اليمين إلى اليسار ، لدينا العوامل الخاصة التالية لمجموع وفرق مكعبين.

تحليل مجموع أو فرق مكعبين.

عندما نتعرف على كثير الحدود كمجموع أو فرق لمكعبين كاملين ، نحدد المقدارين التكعيبيين ونطبق الصيغة.

مثال 7.7.

كثير الحدود هذا هو مجموع مكعبين. التعبيرات المكعبة هي (2a text <،> ) لأن ((2a) ^ 3 = 8a ^ 3 text <،> ) و (b text <.> ) استخدم الصيغة 1 كنمط ، مع استبدال (x ) بـ ( alert <2a> نص <،> ) و (y ) بـ ( blert نص <.> )

كثير الحدود هذا فرق مكون من مكعبين. التعبيرات المكعبة هي (1 نص <،> ) لأن (1 ^ 3 = 1 نص <،> ) و (3 س ^ 2 نص <،> ) لأن ((3 س ^ 2) ^ 3 = 27 ساعة ^ 6 نص <.> ) استخدم الصيغة 2 أعلاه كنمط ، مع استبدال (x ) بـ ( alert <1> text <،> ) و (y ) بواسطة ( blert <3h ^ 2> text <:> )

نقطة تفتيش 7.8.

نمذجة القسم الفرعي مع كثيرات الحدود

تعد كثيرات الحدود نموذجًا للعديد من العلاقات المتغيرة ، بما في ذلك الحجم ومساحة السطح.

مثال 7.9.

A closed box has a square base of length and width (x) inches and a height of (8) inches, as shown at right.

Write a polynomial function (S(x)) that gives the surface area of the box in terms of the dimensions of the base.

What is the surface area of a box of length and width (18) inches?

The surface area of a box is the sum of the areas of its six faces,

Substituting (x) for (l) and (w ext<,>) and (8) for (h) gives us

We evaluate the polynomial for (x = 18) to find

Checkpoint 7.10 .

An empty reflecting pool is (3) feet deep. It is (8) feet longer than it is wide, as illustrated below.

Write a polynomial function (S(x)) that gives the surface area of the empty pool.

Write a polynomial function (V(x)) for the volume of the pool.

Cubic polynomials are often used in economics to model cost functions. The cost of producing (x) items is an increasing function of (x ext<,>) but its rate of increase is usually not constant.

Example 7.11 .

Pegasus Printing, Ltd. is launching a new magazine. The cost of printing (x) thousand copies is given by

What are the , that is, the costs incurred before any copies are printed?

Graph the cost function in the window below and describe the graph.

How many copies can be printed for $1200?

What does the concavity of the graph tell you about the cost function?

Fixed costs are given by (C(0) = 250 ext<,>) or $(250 ext<.>) The fixed costs include expenses like utility bills that must be paid even if no magazines are produced.

The graph is shown in figure (a). It is increasing from a vertical intercept of (250 ext<.>) The graph is concave down for (x lt 8) approximately, and concave up for (xgt 8 ext<.>)

We must solve the equation

We will solve the equation graphically, as shown in figure (b). Graph (y = 1200) along with the cost function, and use the intersect command to find the intersection point of the graphs, ((15.319, 1200) ext<.>) (C(x) = 1200) when (x) is about (15.319 ext<,>) so (15,319) copies can be printed for $(1200 ext<.>)

Although the cost is always increasing, it increases very slowly from about (x = 5) to about (x = 11 ext<.>) The flattening of the graph in this interval is a result of economy of scale: By buying supplies in bulk and using time efficiently, the cost per magazine can be minimized. However, if the production level is too large, costs begin to rise rapidly again.

In Example 7.11c, we solved a cubic equation graphically. There is a cubic formula, analogous to the quadratic formula, that allows us to solve cubic equations algebraically, but it is complicated and not often used. See the Projects for Chapter 7 if you would like to know more about the cubic formula.

Cubic polynomials are also used to model smooth curves connecting given points. Such a curve is called a .

Checkpoint 7.12 .

Leon is flying his plane to Au Gres, Michigan. He maintains a constant altitude until he passes over a marker just outside the neighboring town of Omer, when he begins his descent for landing. During the descent, his altitude, in feet, is given by

where (x) is the number of miles Leon has traveled since passing over the marker in Omer.

What is Leon’s altitude when he begins his descent?

Use the Trace feature to discover how far from Omer Leon will travel before landing. (In other words, how far is Au Gres from Omer?)


Math Insight

Remember one-variable calculus Taylor's theorem. Given a one variable function $f(x)$, you can fit it with a polynomial around $x=a$.

For example, the best linear approximation for $f(x)$ is egin f(x) approx f(a) + f,'(a)(x-a). نهاية This linear approximation fits $f(x)$ (shown in green below) with a line (shown in blue) through $x=a$ that matches the slope of $f$ at $a$.

We can add additional, higher-order terms, to approximate $f(x)$ better near $a$. The best quadratic approximation is egin f(x) approx f(a) + f,'(a)(x-a) + frac<1> <2>f,''(a)(x-a)^2 end We could add third-order or even higher-order terms: egin f(x) approx f(a) + f,'(a)(x-a) + frac<1> <2>f,''(a)(x-a)^2 + frac<1> <6>f,'''(a)(x-a)^3 + cdots. نهاية The important point is that this Taylor polynomial approximates $f(x)$ well for $x$ near $a$.

We want to generalize the Taylor polynomial to (scalar-valued) functions of multiple variables: egin f(vc)= f(x_1,x_2, ldots, x_n). نهاية

We already know the best linear approximation to $f$. It involves the derivative, egin f(vc) approx f(vc) + Df(vc) (vc-vc). ضع الكلمة المناسبة نهاية where $Df(vc)$ is the matrix of partial derivatives. The linear approximation is the first-order Taylor polynomial.

What about the second-order Taylor polynomial? To find a quadratic approximation, we need to add quadratic terms to our linear approximation. For a function of one-variable $f(x)$, the quadratic term was egin frac<1> <2>f,''(a)(x-a)^2. نهاية For a function of multiple variables $f(vc)$, what is analogous to the second derivative?

Since $f(vc)$ is scalar, the first derivative is $Df(vc)$, a $1 imes n$ matrix, which we can view as an $n$-dimensional vector-valued function of the $n$-dimensional vector $vc$. For the second derivative of $f(vc)$, we can take the matrix of partial derivatives of the function $Df(vc)$. We could write it as $DDf(vc)$ for the moment. This second derivative matrix is an $n imes n$ matrix called the Hessian matrix of $f$. We'll denote it by $Hf(vc)$, egin Hf(vc) = DDf(vc). نهاية


Engineering Mathematics

Looking for free Engineering Math help? We have a collection of free Engineering Mathematics Videos.

The topics covered are Chain rule, Partial Derivative, Taylor Polynomials, Critical points of functions, Lagrange multipliers, Vector Calculus, Line Integral, Double Integrals, Laplace Transform, Fourier series.

We also have free math calculators and tools to help you understand the steps and check your answers.

Chain rule: partial derivative Chain rule: identity involving partial derivatives
Chain rule & partial derivatives
Partial derivatives and PDEs tutorial
Partial derivatives and error estimation Taylor polynomials: functions of two variables Leibniz' rule: Integration via differentiation
Evaluating challenging integrals via differentiation: Leibniz rule How to find critical points of functions Critical points + 2nd derivative test: Multivariable calculus
How to find and classify critical points of functions Lagrange multipliers Extreme values of a function subject to a constraint
Lagrange multiplier example: Minimizing a function subject to a constraint
Multivariable Calculus: Directional derivative of $f(x,y)$
Lagrange multipliers example Vector Calculus Divergence of a vector field
Curl of a vector field (ex. no.1 & 2)
Path integral (scalar line integral) from vector calculus Line integral example in 3D-space
Line integral from vector calculus over a closed curve
Line integral from vector calculus over a closed curve
Line integral example from Vector Calculus Double integral tutorial Double integrals in polar coordinates
Double integrals and area Double integrals Volume between two surfaces
Volume of a tetrahedron
Reversing the order of integration Reversing order in double integrals Homogeneous first order ordinary differential equation Solution to a 2nd order, linear homogeneous ODE with repeated roots
2nd order ODE with constant coefficients: simple method of solution
2nd order ODE with constant coefficients: non-standard method of solution Intro to Laplace transform Laplace transform + differential equations
First shifting theorem of Laplace transforms
Laplace Transform: First Shifting Theorem Second shifting theorem of Laplace transforms Laplace Transform: Second Shifting Theorem
Laplace Transform of tf(t) Intro to Fourier series and how to calculate them How to compute a Fourier series: an example
Fourier series + differential equations

Math Calculators and Tools

Chain Rule Calculator
This tool will help you to understand the differentiation process of a composite function. Use show steps to see possible differentiation steps.

Partial Derivative Calculator
This tool will help you to understand the possible partial derivative steps.

Double Integral Calculator
This tool allows you to calculate double integrals in f(x, y)

Laplace Transform Calculator
This tool allows you the calculate the Laplace Transform of the given function.

Fourier Series Calculator
This tool allows you to calculate the Fourier series of a function.

Calculus Calculator with step by step solutions
Functions, Operations on Functions,
Polynomial and Rational Functions,
Exponential and Logarithmic Functions,
Sequences and Series,
Evaluating Limits, Derivatives,
Applications of Differentiation,
Integrals, Applications of Integration,
Techniques of Integration,
Parametric Equations and Polar Coordinates

Try the free Mathway calculator and problem solver below to practice various math topics. Try the given examples, or type in your own problem and check your answer with the step-by-step explanations.

We welcome your feedback, comments and questions about this site or page. Please submit your feedback or enquiries via our Feedback page.


مثال

To multiply two binomials containing more than one variable, you can still use the FOIL (First, Outer, Inner, Last) method that works for binomials with one variable. After all, FOIL is simply a shortcut for using the distributive property to multiply each term in one binomial by each term in the other binomial. This process works for multiplying any two binomials. Two examples follow.

تتضاعف. (4x – 7xy)(2ذ + 3x)

4x • 2ذ = 8xy

4x • 3x = 12x 2

− 7xy • 2y = − 14xy 2

− 7xy • 3x = − 21x 2 ذ

Be careful about including the negative sign with − 7xy, since this term is being subtracted.

8xy + 12x 2 – 14xy 2 – 21x 2 ذ

Combine terms into one expression.

The product is 8xy + 12x 2 – 14xy 2 – 21x 2 ذ.

The next example shows the product of a binomial and a trinomial, each with two variables. Since FOIL can only be used with the product of two binomials, you need to systematically multiply each term in the binomial by each term in the trinomial.

تتضاعف. (9بab)(5أ 2 ب + 7abب)

9ب(5أ 2 ب + 7abب)

45أ 2 ب 2 + 63ab 2 – 9ب 2

ab (5أ 2 ب + 7abب)

− 5أ 3 ب 2 – 7أ 2 ب 2 + aب 2

Multiply 9ب by each term in the trinomial, paying attention to the signs.

Multiply − ab by each term in the trinomial, paying attention to the signs.

45أ 2 ب 2 + 63ab 2 – 9ب 2 – 5أ 3 ب 2 – 7أ 2 ب 2 + aب 2

45أ 2 ب 2 + 63ab 2 – 9ب 2 - 5أ 3 b 2 7أ 2 b 2 + aب 2

38أ 2 ب 2 + 64ab 2 – 9ب 2 – 5أ 3 ب 2

The product is 38أ 2 ب 2 + 64ab 2 – 9ب 2 – 5أ 3 ب 2 .

When multiplying multivariable polynomials like this, some people prefer to set up the multiplication in a vertical fashion—as you would do if you were multiplying 45 • 189. The example below shows (9بab)(5أ 2 ب + 7abب) set up in vertical fashion.

(9ب ab)(5أ 2 ب + 7ab ب)

Set up the problem in a vertical form, and begin by multiplying

9بab by − ب. Make sure to pay attention to the signs! Place the products underneath, as shown.

7أ 2 ب 2

Now multiply 9بab by +7ab. Notice that (9ب)(7ab) = 63ab 2 since this term is like ab 2 , place it directly beneath it.

+ 45أ 2 ب 2

Finally, multiply 9بab by 5أ 2 ب.

− 5أ 3 ب 2 + 38أ 2 ب 2 – 9ب 2 + 64ab 2

Notice that the products of the two examples are the same, although the order of the individual terms is different due to the different solution methods.

− 4pt 2 (5pt 3 + 3pt 2 – ر)

A) − 20ص 2 ر 5 – 12ص 2 ر 4 + 4pt 3

B) − 20ر 5 + 12ص 2 ر 4 – 4pt 3

C) − 20pt 6 – 12pt 4 + 4pt 2

D) − 20ص 2 ر 5 + 3pt 2 – ر

A) − 20ص 2 ر 5 – 12ص 2 ر 4 + 4pt 3

Correct. Rewriting the subtraction as adding the opposite gives − 4pt 2 (5pt 3 + 3pt 2 + ( − ر)). Distributing the monomial − 4pt 2 gives − 4pt 2 • 5pt 3 + ( − 4pt 2 • 3pt 2 ) + ( − 4pt 2 • − ر), which is

− 20ص 2 ر 5 – 12ص 2 ر 4 + 4pt 3 .

B) − 20ر 5 + 12ص 2 ر 4 – 4pt 3

Incorrect. The negative must be distributed to all terms along with the 4pt 2. This changes the sign of the middle and last terms. The correct answer is − 20p 2 t 5 – 12ص 2 ر 4 + 4pt 3 .

C) − 20pt 6 – 12pt 4 + 4pt 2

Incorrect. By the laws of exponents, you add (not multiply) exponents when multiplying:

− 4pt 2 • 5pt 3 + ( − 4pt 2 • 3pt 2 ) + ( − 4pt 2 • − ر) is − 20p 2 t 5 – 12ص 2 ر 4 + 4pt 3 .The correct answer is

− 20ص 2 ر 5 – 12ص 2 ر 4 + 4pt 3 .

D) − 20ص 2 ر 5 + 3pt 2 – ر

Incorrect. You must distribute the monomial to all three terms in the polynomial, not just the first one: − 4pt 2 • 5pt 3 + ( − 4pt 2 • 3pt 2 ) + ( − 4pt 2 • − ر). The correct answer is − 20ص 2 ر 5 – 12ص 2 ر 4 + 4pt 3 .

Dividing Polynomials with More Than One Variable

The fourth arithmetic operation is division. Polynomials with more than one variable can also be divided. When dividing monomials with more than one variable, you divide the coefficients and then divide variables. When there are exponents with the same base, the law of exponents says you divide by subtracting the exponents. Consider this example.

To make it easier, you can break up the coefficients and variables into numeric and variable factors.

Divide the coefficients, and divide the variables by subtracting the exponents with like bases.

Rewrite with positive exponents.

Now let’s look at an example of dividing a trinomial with more than one variable by a monomial with more than one variable. This follows the same procedure as when you have one variable, but you need to pay attention to distinguishing between the variables.

To make it easier, you can break the division out by the terms in the polynomial since each term is being divided by 2x 2 y.

Perform the division of each term by dividing the coefficients and dividing the variables by subtracting the exponents of variables with like bases.

A) 5st 2 – 2s 2 ر + 1

B) 5st 2 – 10s 3 ر 3 + 5st 2

C) 20st 2 – 5s 2 ر

A) 5st 2 – 2s 2 ر + 1

Correct. Divide each term in the polynomial by the monomial: .

B) 5st 2 – 10s 3 ر 3 + 5st 2

Incorrect. You only divided the first term. Divide each term in the polynomial by the monomial: . The correct answer is 5st 2 – 2s 2 ر + 1.

C) 20st 2 – 5s 2 ر

Incorrect. Divide, don’t subtract, the coefficients The correct answer is 5st 2 – 2s 2 ر + 1.

Incorrect. Perform the division to simplify. It’s okay that they are not like terms, you can still divide. You have to have like terms when you add or subtract terms, not when you multiply and divide terms. Divide each term in the polynomial by the monomial: . The correct answer is 5st 2 – 2s 2 ر + 1.

Performing addition, subtraction, multiplication, and division of polynomials with more than one variable follows the same steps as operating on polynomials in one variable. The key things to pay attention to are combining only like terms and applying the laws of exponents, integer operations, and the order of operations accurately.


3.15: Taylor Polynomials if Functions of Two Variables (Exercises) - Mathematics

Recall that for a function of one variable, the mathematical statement

means that for x close enough to c, the difference between f(x) and L is "small". Very similar definitions exist for functions of two or more variables however, as you can imagine, if we have a function of two or more independent variables, some complications can arise in the computation and interpretation of limits. Once we have a notion of limits of functions of two variables we can discuss concepts such as continuity andderivatives.

The following definition and results can be easily generalized to functions of more than two variables. Let f be a function of two variables that is defined in some circular region around (x_0,y_0). The limit of f as x approaches (x_0,y_0) equals L if and only if for every epsilon>0 there exists a delta>0 such that f satisfies

whenever the distance between (x,y) and (x_0,y_0) satisfies

We will of course use the natural notation

when the limit exists. The usual properties of limits hold for functions of two variables: If the following hypotheses hold :

  • Linearity 1:
  • Linearity 2:
  • Products of functions:
  • Quotients of functions:

    (provided L is non-zero)
  • The limit of a sum of functions is the sum of the limits of the functions.
  • The limit of a product of functions is the product of the limits of the functions.

It is important to remember that the limit of each individual function must exist before any of these results can be applied.

مثال

Find the limit of the function f(x,y)=x^3+2yx^2 as (x,y) approaches (1,2). Since the limits of the functions x^3, x^2, and y all exist, we may apply the linearity and product properties of limits to get

مثال

The product property of limits cannot be applied to the function f(x,y)=xlog(y) as (x,y) approaches (0,0) since the log function approaches minus infinity as y approaches zero. L'Hopital's rules must be used for this type of problem.

With functions of a single variable, if the limits of a function f as x approached a point c from the left and right directions differed, then the function was found to not have a limit at that point. The same is true for functions of two variables, but now there are an infinite number of directions to choose from rather than just two. Consider the function xy/(x^2+y^2). As (x,y) approaches (0,0) along the x-axis (y=0), the function has limit 0 but, as (x,y) approaches (0,0) along the line y=x, the function has limit 1/2. Thus, the function f does not have a limit as (x,y) approaches (0,0).

  1. f(x_0,y_0) is defined
  2. exists

This definition is a direct generalization of the concept of continuity of functions of one variable. The three requirements ensure that f does not oscillate wildly near the point, does not become infinite at the point, or have a jump discontinuity at the point. These are all familiar properties of continuous functions. As with functions of one variable, functions of two or more variables are continuous on an interval if they are continuous at each point in the interval.

  • The sum of a finite number of continuous functions is a continuous function.
  • The product of a finite number of continuous functions is a continuous function.
  • The quotient of two continuous functions is a continuous function wherever the denominator is non-zero.

مثال

The functions sin(xy), x^2y^3+ln(x+y), and exp(3xy) are all continuous functions on the xy -plane, whereas the function 1/xy is continuous everywhere except the point (0,0).


شاهد الفيديو: تحليل كثيرات الحدود من الدرجة الخامسة لإيجاد الأصفار الحقيقية. الرياضيات (شهر اكتوبر 2021).