مقالات

47: القاسم المشترك الأصغر للتعبيرات العقلانية - الرياضيات


47: القاسم المشترك الأصغر للتعبيرات العقلانية - الرياضيات

مشاكل الانقسام


    Dhea يركب الدراجة لمدة 20 دقيقة كل يوم قبل الذهاب إلى المدرسة. نظرت إلى ساعتها وقد حققت بالفعل 10 ساعات من ركوب الدراجة. كم عدد الأيام التي حققتها في المجموع؟
    في سبتمبر ، كلفت الرحلة 12000 كرونة تشيكية. كم كرونة كلفت الرحلة في يونيو من نفس العام ، عندما خفضوا السعر بمقدار الربع و 1200 كرونة تشيكية أخرى؟
    حدد الرقم الذي يقع في خانة الألف بعد الفاصلة العشرية في المفكوك العشرية للكسر 9/28.
    إذا كانت الساعة الآن 7:38 مساءً ، فما هو الوقت بعد 30،033،996،480 دقيقة من الآن؟
    يركض نفس عدد الأرانب والدجاج في المزرعة. 468 قدم يجري حول الفناء. كم عدد الأرانب والدجاج التي لديهم في المزرعة؟
    طائرة تطير 1440 كم في 2 1/4 ساعة. ما هو متوسط ​​سرعته بالكيلومتر في الساعة؟
    قسّم 120 حبة بنسبة 4: 6.
    مزارع يبيع الحليب في صناديق تحتوي على 15 زجاجة. لديها 34125 زجاجة حليب. كم عدد الصناديق التي يمكن للمزارع أن يملأها؟
    ما المدة التي تستغرقها مضخة ذات حجم تدفق 200 لتر في الدقيقة لملء خزان على شكل مكعب حتى 75٪ من ارتفاعه إذا كان طول حافة المكعب 4 أمتار؟
    مستعمرة البستنة بأبعاد 180 م و 300 م تقسم بالكامل إلى مساحات مربعة كبيرة متساوية مع أكبر مساحة ممكنة. احسب عدد المساحات المربعة التي يمكن الحصول عليها وحدد طول ضلع المربع.
    يحتاج كهربائي 1 1/3 لفات من الأسلاك الكهربائية لتوصيل كل غرفة في المنزل. كم عدد الغرف التي يمكنه توصيلها بـ 6 2/3 لفات من الأسلاك؟
    بيتر مريض ويجب أن يتناول الدواء ثلاث مرات في اليوم لقرص واحد. كم عدد الأيام التي تكفيها علبة 30 قرصًا ، بينما في اليوم الثالث يأخذ قرصًا واحدًا فقط في الصباح والمساء؟
    من العودين بطول 240 سم و 210 سم ، من الضروري قطع أطول أوتاد ممكنة للزهور حتى لا تبقى أي بقايا. كم عدد الأوتاد سيكون؟
    يبلغ قياس الكتلة الخشبية 12 سم و 24 سم و 30 سم. يريد بيتر أن يقطعها إلى عدة مكعبات متطابقة. على الأقل كم عدد المكعبات التي يمكنه الحصول عليها؟
    ما هو عدد المكعبات ذات الحافة 2.5 سم التي تناسب صندوقًا بقياس 11.6 سم و 8.9 سم و 13.75 سم؟
    يريد Zhiwei تقسيم 19 لترًا من الماء بالتساوي إلى 6 أواني. أوجد حجم الماء في كل وعاء؟
    كان لدى Jagdeep شريط من الورق قياسه 1.8 م. قطعها إلى 4 شرائح متساوية. ما هو طول كل شريط أقصر من الورق؟
    أعار جاكوب دراجة لأصدقائه الذين أرادوا ركوبها. في رحلة بالدراجة لمدة ثلاث ساعات ، تلقى جاكوب شوكولاين. نعم. إذا كنت تريد دراجة لمدة ساعتين ، فعليك أن تعطي جاكوب 12 قطعة حلوى. أعطى بيتر جاكوب 1 شوكولاتة و 3 حلوى. إلى متى يستطيع بيتر ركوب جا
    كم عدد إجمالي الأعداد الطبيعية المكونة من ثلاثة أرقام قابلة للقسمة دون الباقي على الرقم 9؟
    يتم إنتاج 20.1 طن من فحم الكوك من 30 طنًا من الفحم الأسود. ما مقدار فحم الكوك المصنوع من كيلوغرام واحد من الفحم؟

1911 Encyclopædia Britannica / الحساب

1. ينقسم الحساب عادة إلى الحساب التجريدي و الحساب الخرساني، يتعامل الأول مع الأرقام ويتعامل الأخير مع الأشياء الملموسة. هذا التمييز ، ومع ذلك ، قد يكون مضللا. في ذكر أن مجموع 11 د. و 9 د. هو 1 ثانية. 8 د. لا نعني أن تسعة بنسات عند إضافتها إلى أحد عشر بنسًا تنتج شلنًا وثمانية بنسات. المبلغ المقابل لـ 11 د. قد تتكون في الواقع من عملات معدنية بعدة طرق مختلفة ، بحيث يكون الرمز "11 د". لا يمكن اعتباره دلالة على أي أشياء محددة محددة. الحقيقة الحسابية هي أنه يمكن إعادة تجميع 11 و 9 في صورة 12 و 8 ، والبيان "11 د. + 9 د. = 1 ثانية. 8 د. " ما هو إلا بيان حسابي بقدر ما يشير كل تعبير من التعبيرات الثلاثة إلى كمية عددية (الفقرة 11).

2. يمكن ترتيب المراحل المختلفة في دراسة الحساب بطرق مختلفة ، ويجب أن يتأثر الترتيب المعتمد بالغرض المقصود. هناك ثلاثة أغراض رئيسية ، العملية والتعليمية والعلمية بمعنى آخر. يمكن دراسة الموضوع بهدف الحصول على مهارة تقنية في التعامل مع المشكلات الحسابية التي تنشأ في الحياة الفعلية ، أو من أجل تأثيرها العام على التطور العقلي ، أو كمرحلة أولية في الدراسة الرياضية.

3. الجانب العملي هو جانب مهم. تشمل الأنشطة اليومية للجزء الأكبر من السكان البالغين ، في البلدان التي تُباع فيها السلع بأسعار محددة بكميات محددة ، الحسابات التي غالبًا ما يتم إجراؤها بسرعة ، بناءً على البيانات المقدمة شفهياً ، والتي تؤدي بشكل عام إلى نتائج لا يمكن إلا أن تكون تقريبي وكل فرع من فروع التصنيع أو التجارة له نطاقه الخاص من التطبيقات الحسابية. تم اعتبار الحساب كمادة مدرسية إلى حد كبير من وجهة النظر هذه.

4. من وجهة النظر التعليمية ، عادة ما يُنظر إلى قيمة الحساب على أنها تتكون من التأكيد على الدقة. ومع ذلك ، فإن هذا الجانب من المسألة ينتمي بشكل أساسي إلى الفترة التي تمت فيها دراسة الحساب بالكامل تقريبًا للأغراض التجارية ، وحتى في ذلك الوقت ، لم يتم العثور على الدقة دائمًا للتوافق مع الواقع. يميل تطور العلوم الفيزيائية إلى التأكيد على جانب معاكس تمامًا ، أي. استحالة الحصول على الدقة المطلقة ، خارج نطاق محدود من الموضوعات ، وما يترتب على ذلك من أهمية عدم إضاعة الوقت في محاولة الحصول على نتائج تتجاوز درجة معينة من التقريب.

5. بصفته فرعًا من فروع الرياضيات ، يمكن التعامل مع الحساب منطقيًا أو نفسيًا أو تاريخيًا. كل هذه الجوانب ذات أهمية بالنسبة للمعلم: المنطق ، حتى يعرف الغاية التي يسعى إلى بلوغها النفسية ، حتى يعرف أفضل السبل للوصول إلى هذه الغاية والتاريخية ، وذلك للنور الذي يلقي به التاريخ. علم النفس،

الترتيب المنطقي للموضوع ليس هو الأفضل للدراسة الابتدائية. التقسيم إلى مجردة وملموسة ، على سبيل المثال ، أمر منطقي ، إذا تم اعتبار الأول مرتبطًا بالرقم والأخير بالكمية العددية (الفقرة 11). لكن نتيجة التطبيق الصارم لهذا المبدأ ستكون حساب تكلفة 3 من الشاي عند 2 ثانية. أ إلى ما بعد دراسة اللوغاريتمات. يعترف العلاج النفسي بحقيقة أن الملموس يسبق المجرد وأن المجرد قائم على الملموس كما أنه يعترف بعدم جدوى محاولة التطوير المستمر للذات.

من ناحية أخرى ، التحليل المنطقي ضروري إذا كان الموضوع سيتم فهمه. كتوضيح ، قد نأخذ العمليات الأولية للجمع والطرح والضرب والقسمة. لا تزال هذه تسمى في الكتب النصية "القواعد الأربعة البسيطة" ولكن هذا الاسم يتجاهل بعض الاختلافات الأساسية. (ط) إذا اعتبرنا أننا نتعامل مع كميات عددية ، يجب أن ندرك حقيقة أنه في حين أن الجمع والطرح قد يقتصران في المقام الأول على هذه الكميات ، فإن الضرب والقسمة يقدمان بالضرورة فكرة العدد الصافي. (2) من ناحية أخرى ، إذا اعتبرنا أنفسنا نتعامل مع عدد نقي طوال الوقت ، فعندئذٍ ، نظرًا لأن الضرب هو إضافة مستمرة ، يجب أن ندرج في تصنيفنا عملية الضرب المستمرة. أو قد نقول أنه نظرًا لأن الضرب هو شكل من أشكال الجمع ، والقسمة شكل من أشكال الطرح ، فهناك عمليتان أساسيتان فقط ، أي. جمع وطرح. (3) فشل إدراج العمليات الأربع تحت رأس عام واحد في الإشارة إلى الاختلاف الأساسي بين الجمع والضرب ، كعمليات مباشرة ، من ناحية ، والطرح والقسمة ، كعمليات عكسية ، من ناحية أخرى (الفقرة 59).

6. تتناول هذه المقالة بشكل رئيسي مبادئ الموضوع ، والتي يكون الترتيب المنطقي لها بشكل عام أكثر ملاءمة. لا يقترح أن هذا هو الترتيب الصحيح الذي يجب أن يعتمده المعلم.

7. الأعداد الترتيبية والكاردينالية. —من الفروق الأساسية في استخدام العدد بين الأعداد الترتيبية والأساسية ، أو بالأحرى بين الجوانب الترتيبية والأساسية للعدد. البيان المعتاد هو أن واحد اثنين ثلاثةو. هي أرقام أساسية ، و اول ثان ثالثو. هي أرقام ترتيبية. هذا ، مع ذلك ، بيان غير مكتمل الكلمات واحد ، اثنان ، ثلاثة ،. والرموز المقابلة 1 ، 2 ، 3 ،. أو الأول والثاني والثالث. تستخدم أحيانًا كأرقام ترتيبية ، بمعنى آخر. للدلالة على مكان الفرد في سلسلة ، وأحيانًا كالكرادلة ، بمعنى آخر. للدلالة على العدد الإجمالي منذ بداية السلسلة.

بشكل عام ، ربما يكون الاستخدام الترتيبي هو الأكثر شيوعًا. وهكذا فإن "100" على صفحة كتاب لا تعني أن الصفحة مرقمة 100 مرة الصفحة المرقمة 1 ، بل تعني أنها الصفحة بعد 99. حتى في المعاملات التجارية ، في التعامل مع المبالغ المالية ، فإن بيان غالبًا ما يكون للمبلغ إشارة إلى العنصر الأخير المضاف بدلاً من إجمالي والقياسات الهندسية عملياً (الفقرة 26).

للأغراض الترتيبية ، نستخدم ، كرموز ، ليس فقط الأشكال ، مثل 1 ، 2 ، 3 ،. ولكن أيضًا الحروف ، مثل أ ، ب ، جو. وهكذا يمكن ترقيم صفحات الكتاب 1 ، 2 ، 3 ،. والفصول الأول والثاني والثالث. لكن الأوراق مكتوبة بحروف A ، B ، C ،. يمكن استخدام الأرقام والحروف معًا وبالتالي يمكن أن يتبعها 16أ و 16ب، وهؤلاء بنسبة 17 ، وفي مثل هذه الحالة لا يتوافق العدد الترتيبي 100 مع العدد الإجمالي (الأساسي) حتى هذه النقطة.

من المفترض أن يتعامل الحساب مع الكاردينال ، وليس مع الأعداد الترتيبية ، ولكن سيتضح أن الترقيم الفعلي ، الذي يتجاوز ثلاثة أو أربعة ، يعتمد على الجانب الترتيبي للعدد ، وأن المعالجة العلمية للموضوع تتطلب عادةً العودة إلى هذا. أساس أساسي.

يمكن ملاحظة اختلاف واحد بين معالجة الأعداد الترتيبية والأرقام الأساسية. عندما يتم التعبير عن الرقم من حيث الطوائف المختلفة ، يبدأ الرقم الأساسي عادةً بأكبر فئة ، ورقم ترتيبي بالأصغر. وهكذا نتحدث عن ألف وثمانمائة وستة وسبعين ، ونمثلها بواسطة MDCCCLXXVI أو 1876 ولكن يجب أن نتحدث عن اليوم الثالث من أغسطس 1876 ، ونمثله بحلول 3. 8. 1876. قد يبدو كما لو أن كتابة كان عام 1876 استثناءً لهذه القاعدة ، ولكن في الواقع ، عند استخدام 1876 بهذه الطريقة ، يكون جزئيًا كاردينالًا وجزئيًا ترتيبيًا ، والأرقام الثلاثة الأولى هي الكاردينال والأخير ترتيبي. لجعل العام ترتيبيًا تمامًا ، يجب أن نصفه بالسنة السادسة من العقد الثامن من القرن التاسع من الألفية الثانية بمعنى آخر. يجب أن نمثل التاريخ بحلول 3. 8. 6. 8. 9. 9. 2 ، العدد الإجمالي للسنوات والأشهر والأيام المنجزة هو 1875. 7. 2. عند استخدام الترتيب الترتيبي ، نوجه انتباهنا إلى مصطلح في سلسلة ، بينما في استخدام الكاردينال نوجه انتباهنا إلى الفترة بين فترتين. العدد الإجمالي في السلسلة هو مجموع العددين الأساسيين اللذين تم الحصول عليهما من خلال العد حتى أي فاصل زمني من البداية ومن النهاية على التوالي ، ولكن إذا أخذنا الأرقام الترتيبية من البداية ومن النهاية فإننا نحسب مصطلحًا واحدًا مرتين. ومن ثم ، إذا كان هناك 365 يومًا في السنة ، فإن اليوم المائة من البداية هو 266 ، وليس 265 ، من النهاية.

8. معنى أسماء الأعداد. —ماذا نعني بأي رقم معين ، على سبيل المثال بواسطة سبعة، او بواسطة مائتان وثلاثة وخمسون؟ يمكننا تحديد اثنين مثل واحد و واحد، و ثلاثة مثل واحد وواحد لكن من الواضح أننا لا نستطيع الاستمرار في هذه الطريقة إلى الأبد. لتعريف الأعداد الكبيرة ، قد نستخدم أيًا من طريقتين ، والتي ستسمى التجمع الطريقة و عد طريقة.

(أنا) طريقة التجميع. —تتألف الطريقة الأولى من تحديد الأرقام القليلة الأولى ، وتشكيل أعداد أكبر بواسطة مجموعات أو مجاميع ، تتشكل جزئيًا عن طريق الضرب وجزئيًا عن طريق الجمع. وهكذا ، في نظام denary (§16) يمكننا إعطاء تعريفات مستقلة للأعداد حتى عشرة ، ثم اعتبار (على سبيل المثال) ثلاثة وخمسون كرقم مركب مكون من خمس عشرات وثلاثة آحاد. أو ، في النظام الثنائي ، نحتاج فقط إلى إعطاء تعريفات مستقلة للأعداد حتى خمسة أعداد ستة ، سبعةو. يمكن بعد ذلك اعتباره خمسة وواحد وخمسة واثنانو. سلسلة جديدة تبدأ عندما نصل خمسة وخمسة أو عشرة. تقدم طريقة التجميع الضرب في تعريف الأعداد الكبيرة ولكن هذا ، من وجهة نظر المعلم ، ليس الآن اعتراضًا خطيرًا كما كان في الأيام التي تم فيها تقديم الأطفال إلى الملايين والمليارات قبل أن يكون لديهم أي فكرة عن الحساب الأولي العمليات.

(ثانيا) طريقة العد.— تتمثل الطريقة الثانية في أخذ سلسلة من الأسماء أو الرموز للأرقام القليلة الأولى ، ثم تكرارها وفقًا لنظام منتظم للأرقام المتتالية ، بحيث يتم تعريف كل رقم بالرجوع إلى الرقم الذي يسبقه مباشرة في السلسلة. . هكذا اثنين لا يزال يعني واحد و واحد، لكن ثلاثة يعني اثنان وواحد، ليس واحد وواحد. بصورة مماثلة مائتان وثلاثة وخمسون لا يعني مائتين وخمس عشرات وثلاثة آحاد ، ولكن واحد أكثر من مائتان واثنان وخمسون والعدد الذي يسمى مائة لا يتم تعريفه على أنه عشر عشرات ، بل هو واحد أكثر من تسعة وتسعين.

9. الأرقام الملموسة والمجردة. —الرقم ملموس أو مجرّد وفقًا لما يرتبط به أو لا يرتبط بأشياء معينة. بشكل عام ، تشير طريقة التجميع بشكل أساسي إلى الأرقام الملموسة وطريقة العد إلى الأرقام المجردة. إذا قمنا بفرز العناصر إلى مجموعات مكونة من عشرة ، ووجدنا أن هناك خمس مجموعات من عشرة مع ثلاثة منها ، فإننا نعتبر الخمس وثلاث أسماء للمجموعات الفعلية من المجموعات أو الأفراد. الثلاثة ، على سبيل المثال ، يعتبرون ككل عندما نسميهم ثلاثة. ومع ذلك ، إذا عدنا هذه الثلاثة على أنها واحد ، اثنان ، ثلاثة ، فإن عدد المرات التي نحسبها هو رقم مجرد. وبالتالي ، فإن الرقم في الملخص هو عدد المرات التي يتم فيها إجراء عملية العد في أي حالة معينة. ومع ذلك ، يعد هذا وصفًا وليس تعريفًا ، وما زلنا نريد تعريفًا لكلمة "رقم" في عبارة "عدد المرات".

10. تعريف "الرقم".- لنفترض أننا حددنا تسلسلًا معينًا من الأسماء "واحد" ، "اثنان" ، "ثلاثة". أو رموز مثل 1 ، 2 ، 3 ،. هذا التسلسل هو نفسه دائمًا. إذا أخذنا مجموعة من الأشياء الملموسة ، وقمنا بتسميتها بالتتابع "واحد" ، "اثنان" ، "ثلاثة". تسمية كل مرة ومرة ​​واحدة فقط ، لن نتجاوز اسمًا معينًا ، على سبيل المثال "ستة." ثم ، بقولنا أن عدد العناصر ستة ، ما نعنيه هو أن اسم آخر كائن اسمه ستة. لذلك نحن نحتاج فقط إلى قانون محدد لتشكيل الأسماء أو الرموز المتعاقبة. الرموز 1 ، 2 ،. 9 ، 10 ،. على سبيل المثال ، يتم تشكيلها وفقًا لقانون محدد وإعطاء 253 كـ عدد لمجموعة من الكائنات نعني أنه إذا ربطنا بها الرموز 1 ، 2 ، 3 ،. على التوالي ، وفقًا لهذا القانون ، سيكون الرمز المرفق مع الكائن الأخير هو 253. إذا قلنا أن هذا الإجراء الخاص بإرفاق رمز قد تم إجراؤه 253 مرة ، فإن 253 هو نبذة مختصرة (أو نقي) عدد.

أساس هذا التعريف هو افتراض معين ، بمعنى. أنه إذا أخذنا الأشياء بترتيب مختلف ، فسيظل الرمز الأخير المرفق هو 253. هذا ، في معالجة أولية للموضوع ، يجب اعتباره بديهيًا ولكنه في الحقيقة حالة بسيطة من الاستقراء الرياضي. (انظر الجبر.) إذا أخذنا شيئين A و B ، فمن الواضح أنه سواء أخذناهما على أنهما A أو B أو B ، A ، فسنحصل في كل حالة على التسلسل 1 ، 2. لنفترض أن هذا كان صحيحًا بالنسبة ، على سبيل المثال ، ثمانية كائنات ، تم وضع علامة عليها من 1 إلى 8. ثم ، إذا أدخلنا كائنًا آخر في أي مكان في السلسلة ، فسيتم إزاحة كل من يأتون بعده بحيث يتم إرفاق العلامة السابقة بالعلامة التالية التي تليها ، وبالتالي ستكون الأخيرة 9 بدلاً من 8. هذا صحيح ، بغض النظر عن ترتيب العناصر الأصلية ، وأينما يتم تقديم الشيء الجديد ، وبالتالي ، إذا كانت النظرية صحيحة بالنسبة لـ 8 ، فهذا صحيح بالنسبة لـ 9. ولكن هذا صحيح بالنسبة لـ 2 هذا صحيح بالنسبة لـ 3 وبالتالي لـ 4 وهكذا.

11. الكميات العددية. —إذا كان المصطلح عدد يقتصر على الرقم في الملخص ، ثم يمكن وصف الرقم في الخرسانة بأنه الكمية العددية. وبالتالي فإن 3 جنيه إسترليني تعني 1 جنيه إسترليني تم أخذها 3 مرات. 1 جنيه استرليني يسمى وحدة. وبالتالي ، فإن الكمية العددية تمثل قيمة معينة وحدة، اتخذت بعض عدد الاوقات. إذا أخذنا 3 جنيهات إسترلينية مرتين ، فسنحصل على 6 جنيهات إسترلينية وإذا أخذنا 3 ث. مرتين ، نحصل على 6s. ، بمعنى آخر. 6 ضرب 1 ثانية. وبالتالي ، فإن العمليات الحسابية تتعامل مع الكميات العددية من خلال التعامل مع الأرقام ، بشرط أن تكون الوحدة هي نفسها طوال الوقت. إذا احتفظنا بالوحدة ، فإن الحساب يكون ملموسًا إذا تجاهلناه ، فالحساب يكون مجرّدًا. ولكن في الحالة الأخيرة ، يجب أن يُفهم دائمًا أن هناك وحدة ما معنية ، والنتائج ليس لها معنى حتى يتم إعادة تقديم الوحدة.

ثانيًا. التدوين والترقيم والتفكير الرقمي

12. المصطلحات المستخدمة. —يتم استدعاء تمثيل الأرقام بالأصوات المنطوقة الترقيم يسمى تمثيلهم بالإشارات المكتوبة الرموز. الأنظمة المعتمدة للترقيم والتدوين لا تتفق دائمًا مع بعضها البعض ولا تتوافق دائمًا مع الفكرة التي تمثلها الأرقام بشكل شخصي. يمكن استدعاء هذا التقديم الأخير ، في حالة عدم وجود أي مصطلح مقبول عدد الأفكار هذه الكلمة لا تغطي فقط إدراك أو التعرف على أرقام معينة ، ولكن أيضًا تشكيل مفهوم الأرقام.

13. تدوين الأرقام.— النظام الذي يستخدم الآن بشكل شبه عالمي بين الدول المتحضرة لتمثيل الأعداد الأصلية هو النظام الهندوسي ، والذي يُطلق عليه أحيانًا بشكل غير صحيح النظام العربي. السمات الأساسية التي تميز هذا عن الأنظمة الأخرى هي (1) الحد من عدد الرموز المختلفة ، يتم استخدام عشرة فقط ، مهما كان العدد الكبير الذي سيتم تمثيله قد يكون (2) استخدام صفر للإشارة إلى عدم وجود رقم و (3) مبدأ القيمة المحلية ، حيث يمثل الرمز في الواقع أرقامًا مختلفة ، وفقًا لموقعه. تسمى الرموز التي تدل على رقم به أرقام.

سيتم العثور على حساب موجز لتطوير النظام تحت Numeral. نحن هنا معنيون بالمبدأ ، الذي يختلف تفسيره وفقًا للمضي قدمًا في نظام التجميع أو نظام العد.

(ط) في نظام التجميع ، قد نعتبر في المقام الأول أن لدينا رموزًا منفصلة للأرقام من "واحد" إلى "تسعة" ، ولكن عندما نصل إلى عشرة كائنات ، نضعها في مجموعة ونشير إلى هذه المجموعة بالرمز تستخدم لكلمة "one" ولكنها مطبوعة بنوع مختلف أو مكتوبة بحجم مختلف أو (في التدريس) بلون مختلف. وبالمثل عندما نصل إلى عشر عشرات فإننا نشير إليها من خلال تمثيل جديد للرقم الذي يشير إلى واحد. وبالتالي قد يكون لدينا:

منها 1 2 3 4 5 6 7 8 9
عشرات 1 2 3 4 5 6 7 8 9
المئات 1 2 3 4 5 6 7 8 9
& أمبير. & أمبير. & أمبير.

على هذا المبدأ 24 سيمثل أربعة وعشرين ، 24 مئتان و اربعون و 24 مئتان واربعة. لمنع الارتباك صفر أو "لا شيء" ، بحيث أن الأرقام المتتالية ، بدءًا من اليمين ، قد تمثل الآحاد والعشرات والمئات. ثم لدينا ، على سبيل المثال, 240 للدلالة على مائتين وأربع عشرات وقد نتبنى الآن نوعًا موحدًا لجميع الأرقام ، ونكتب 240.

(2) في نظام العد ، قد نعتبر أن لدينا سلسلة من الكائنات (ممثلة في الرسم البياني المجاور بالنقاط) ، وأننا نعلق على هذه الكائنات بالتتابع الرموز 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 0 ، تكرار هذه السلسلة إلى أجل غير مسمى. لا يوجد حتى الآن أي تمييز بين الكائن الأول الذي تم وضع علامة 1 عليه والعنصر الثاني المميز بعلامة 1. ومع ذلك ، يمكننا إرفاق نفس الرموز 1 ، 2 ، بـ 0. 0 على التوالي ، في عمود منفصل ، مع تكرار السلسلة إلى أجل غير مسمى ، ثم افعل الشيء نفسه مع كل 0 من هذه السلسلة الجديدة وما إلى ذلك. يتم بعد ذلك تحديد أي كائن معين بالكامل من خلال مجموعة الرموز التي تم تدوينها مؤخرًا في كل سلسلة ويمكن استخدام هذه المجموعة من الرموز بشكل متساوٍ للإشارة إلى عدد الكائنات حتى آخر عنصر (الفقرة 10).

عند كتابة عدد يزيد عن 1000 ، يكون من المعتاد في إنجلترا وأمريكا تجميع الأرقام في مجموعات من ثلاثة (باستثناء الحالات التي يمثل فيها الرقم سنة معينة) ، بدءًا من اليمين ، وتمييز المجموعات بفاصلات. في قارة أوروبا ، يتم أخذ الأرقام في مجموعات من ثلاثة ، ولكنها متباعدة فقط ، حيث يتم استخدام الفاصلة في نهاية الرقم للإشارة إلى بداية العلامة العشرية.

الصفر ، المسمى "لا شيء" ، هو بالطبع شيء مختلف عن الحرف O من الأبجدية ، ولكن قد يكون هناك ارتباط تاريخي بينهما (§ 79). ربما يكون من المثير للاهتمام أن نلاحظ أن مشغل الهاتف في اليوم الأخير يتصل بـ 1907 "تسعة عشر أو سبعة" بدلاً من "تسعة عشر صفرًا سبعة".

14. اتجاه سلسلة الأرقام. —لا يوجد اصطلاح ثابت فيما يتعلق بالاتجاه الذي تشير فيه سلسلة الرموز إلى الأرقام المتتالية واحد ، اثنان ، ثلاثة ،. هو أن يكتب.

(ط) إذا كانت الأرقام مكتوبة على التوالي ، فإنها ستنتقل بشكل طبيعي من اليسار إلى اليمين ، وبالتالي: -1 ، 2 ، 3 ،. ومع ذلك ، يتطلب هذا النظام أنه عند التمرير إلى "الأرقام المزدوجة" ، يجب كتابة الرقم الذي يشير إلى العشرات إما أعلى أو أسفل الرقم الذي يشير إلى الأرقام ، على سبيل المثال

1
1, 2, . 8, 9, 0 ، 1 ، 2 ،. أو 1 ، 2 ،. ، 8 ، 9 ، 0, 1, 2, .
1


لن يبدو وضع رقم العشرات على يسار رقم الآحاد أمرًا طبيعيًا ما لم تعمل سلسلة الأرقام إما لأعلى أو لأسفل.

(2) عند كتابة أي رقم معين ، تكتب القوى المتتالية العشرة من اليمين إلى اليسار ، على سبيل المثال 5،462،198 هو

(6) (5) (4) (3) (2) (1) (0)
5 4 6 2 1 9 8

الأرقام الصغيرة بين قوسين تشير إلى القوى المتتالية. من ناحية أخرى ، في كتابة الكسور العشرية ، يكون التسلسل (للقوى السالبة) من اليسار إلى اليمين.

(3) في عمل القوائم والجداول والجداول الرياضية (على سبيل المثال جدول الضرب) ، والجداول الإحصائية ، والأرقام مكتوبة رأسياً إلى أسفل. في حالة القوائم والجداول ، تكون الأرقام ترتيبية فقط ، ولكن في حالة الجداول الرياضية أو الإحصائية ، عادةً ما يُنظر إليها على أنها كرادلة ، على الرغم من أنها عندما تمثل قيم كمية مستمرة ، يجب اعتبارها عددًا ترتيبيًا (§§ 26 ، 93).

(4) عادة ما يتم إجراء قياسات التمثيل البياني للأعلى اعتمادًا على هذا الاتجاه بناءً على بعض الأفكار العميقة الجذور (الفقرة 23).

تعتبر مسألة الاتجاه هذه ذات أهمية في الإشارة إلى تطوير أشكال الأرقام المفيدة (الفقرة 23) ووجود الطريقتين المذكورتين في الفقرتين (3) و (4) أعلاه يؤدي إلى الارتباك في مقارنة الجدولة الرقمية مع التمثيل البياني. من المقبول عمومًا أن الاتجاه الأفقي للزيادة ، حيث يكون الاتجاه الأفقي ضروريًا ، يجب أن يكون من اليسار إلى اليمين ، ولكن لا يمكن تحقيق التوحيد فيما يتعلق بالاتجاه الرأسي إلا عن طريق طباعة جداول رياضية لأعلى أو عن طريق أخذ "لأسفل" بدلاً من " إلى الأعلى "، باعتباره الاتجاه" الإيجابي "لأغراض الرسوم البيانية. سيتم اتخاذ الاتجاه الهابط في هذه المقالة باعتباره الاتجاه الطبيعي لتعاقب الأرقام (على سبيل المثال في الضرب) ، وحيث يكون الترتيب أفقيًا ، يجب فهم أن هذا لتسهيل الطباعة. تجدر الإشارة إلى أنه عند كتابة مكونات الرقم 253 مثل 200 و 50 و 3 ، كل مكون تحت المكون الأكبر التالي ، فإننا نعتمد حقًا مبدأ التنازلي ، لأن الأرقام التي تشكل 253 ستكون وفقًا لهذا المبدأ متتالية 2 و 5 و 3 (§ 13 (ii)).


15. الأرقام الرومانية. - على الرغم من أن الأرقام الرومانية لم تعد مستخدمة لتمثيل الأرقام الأصلية ، إلا في بعض الحالات الخاصة (على سبيل المثال وجوه الساعة والمعالم ووصفات الكيميائيين) ، لا تزال تستخدم للترتيب.

يختلف النظام تمامًا عن النظام الهندوسي. لا توجد رموز مفردة لكل من اثنين ، وثلاثة ، وأم بي سي. ولكن يتم تمثيل الأرقام بمجموعات من الرموز لواحد ، وخمسة ، وعشرة ، وخمسين ، ومائة ، وخمسمائة ، والأرقام التي تحتوي على رموز مفردة ، أي. I ، V ، X ، L ، C ، D ، M ، متابعًا بمضاعفات خمسة واثنين بالتناوب. وهكذا فإن 1878 هو MDCCCLXXVIII ، بمعنى آخر. ألف وخمسمائة مائة وخمسون وخمسون وخمسة وخمسة وواحد واحد.

لذلك فإن النظام هو في الأساس نظام أساسي وتجميعي ، بمعنى آخر. يمثل رقمًا كمجموع مجموعات من الأرقام الأخرى. لذلك من اللافت للنظر أنه يجب الآن استخدامه فقط للأغراض الترتيبية ، في حين أن النظام الهندوسي ، وهو ترتيبي بطبيعته ، نظرًا لتكرار سلسلة واحدة باستمرار ، يُستخدم بشكل حصري تقريبًا للأرقام الأساسية. يبدو أن هذه الحقيقة توضح حقيقة أن مبدأ العد هو المبدأ الأساسي ، والذي يجب في النهاية الرجوع إليه في تفسير الأعداد المجمعة.

يتم تعديل العملية العادية لكتابة الأعداد الكبيرة على اليسار في بعض الحالات في النظام الروماني عن طريق كتابة رقم أمام رقم أكبر للدلالة على الطرح. هكذا أربعة، الذي كتب في الأصل IIII ، كتب لاحقًا IV. قد يكون هذا بسبب واحد أو كلا السببين ، الميل البدائي لإحالة الأرقام ، في الترقيم ، إلى أقرب رقم كبير (§ 24 (iv)) ، وصعوبة إدراك عدد مجموعة من العناصر التي تتجاوز حوالي ثلاثة (الفقرة 22). وبالمثل ، تمت كتابة IX و XL و XC لمدة تسعة وأربعين وتسعين على التوالي. هذه ، مع ذلك ، كانت تطورات لاحقة.

16. مقاييس التدوين.— في النظام الهندوسي ، تتم عملية الترقيم بالعشرات ، والعشرات ، & أمبير ؛ أمبير. وبالتالي ، فإن الرقم في المركز الخامس ، الذي يعد من اليمين ، يشير إلى حاصل ضرب الرقم المقابل بأربع عشرات على التوالي. ثم يقال أن التدوين في مقياس منها عشرة هي يتمركز، أو في مقياس الرفض. النظام الروماني ، باستثناء استخدام الرموز من أجل خمسة وخمسين وأم بي سي ، هو أيضًا في مقياس denary ، على الرغم من التعبير عنه بطريقة مختلفة. ينتج عن إدخال هذه الرموز الأخرى مقياسًا مركبًا يمكن تسميته a ثنائي ثنائي، أو بشكل أقل صحة ، أ خماسي ديناري مقياس.

يمكن استخدام الأرقام المستخدمة في التدوين الهندوسي للتعبير عن الأرقام في أي مقياس آخر غير الديناري ، بشرط إدخال رموز جديدة إذا تجاوزت قاعدة المقياس عشرة. وهكذا 1878 في ثنائي ثنائي سيكون المقياس 1131213 ، و 1828 سيكون 1130213 ، ويمكن رؤية معنى هذه في الحال بالمقارنة مع MDCCCLXXVIII و MDCCCXXVIII. وبالمثل ، فإن الرقم الذي في مقياس الدنم هو 215 في المقياس الرباعي (الأساس 4) سيكون 3113 ، يساوي 3 · 4 · 4 · 4 + 1 · 4 · 4 + 1 · 4 + 3.

يرجع استخدام مقياس denary في التدوين إلى استخدامه في الترقيم (§ 18) ، وهذا أيضًا مستحق (كما يتضح من استخدام الكلمة رقم) إلى الاستخدام البدائي للأصابع في العد. إذا كان للبشر ستة أصابع في كل يد وستة أصابع في كل قدم ، فيجب أن نستخدم a مقياس الاثني عشر (الأساس الثاني عشر) ، والذي كان من الممكن أن يكون أكثر ملاءمة.

17. تدوين الكميات العددية.— على جزء كبير من العالم المتحضر ، تسبب إدخال النظام المتري (§ 118) في أن تكون جميع الكميات العددية في مقياس denary. ومع ذلك ، في بريطانيا العظمى ومستعمراتها ، وفي الولايات المتحدة ، لا تزال أنظمة التدوين الأخرى قائمة ، على الرغم من عدم وجود أي منها في مقياس واحد بشكل ثابت ، بخلاف المنكر. الطريقة هي تشكيل الكميات في مجموعات ، وهذه مرة أخرى في مجموعات أكبر ولكن عدد المجموعات التي تشكل واحدة من أكبر المجموعات التالية يختلف كلما تقدمنا ​​على طول المقياس. تسمى المجموعات أو الوحدات المتتالية التي تم تشكيلها على هذا النحو الطوائف. وهكذا فإن اثني عشر بنسًا يصنع شلنًا ، وعشرون شلنًا للرطل ، في حين أن البنس نفسه مقسم إلى أربعة أثواب (أو نصف بنس). هناك ، إذن ، أربع فئات ، وأسس تحويل إحدى الطوائف إلى التالية هي أربعة (أو اثنتان) ، واثنتا عشرة وعشرون على التوالي. داخل كل فئة ، ومع ذلك ، يتم استخدام تدوين النفي حصريًا ، على سبيل المثال يُرمز إلى "اثني عشر شلن" بالرمز 12.

يبدو أن تنوع المقاييس يرجع أساسًا إلى أربعة أسباب: (1) الميل إلى التجميع في الدرجات (§ 20) (2) الميل إلى التقسيم إلى اثني عشر (3) الميل إلى الانقسام إلى قسمين أو أربعة ، مع التكرار ، جعل التقسيم الفرعي إلى ستة عشر أو أربعة وستين و (4) الاعتماد المستقل لوحدات مختلفة لقياس نفس النوع من الحجم.

عندما يكون هناك تقسيم إلى ستة عشر جزءًا ، يمكن تشكيل مقياس ثنائي عن طريق التقسيم إلى مجموعات من جزأين أو أربعة أو ثمانية. وبالتالي فإن الأوزان المستخدمة عادة للقياس من أوقية. حتى 2 تعطي الأساس لمقياس ثنائي لا يزيد عن ثمانية أرقام ، يتم استخدام 0 و 1 فقط. قد يتم التعبير عن نقاط البوصلة أيضًا بأرقام في مقياس ثنائي ، لكن الأرقام ستكون ترتيبية ، وستكون التعبيرات مماثلة لتلك الخاصة بالأرقام العشرية بدلاً من الأعداد الصحيحة.

من أجل تطبيق العمليات الحسابية على كمية معبر عنها في فئتين أو أكثر ، يجب علينا أولاً التعبير عنها من حيث فئة واحدة عن طريق مقياس تدوين متغير. وبالتالي 254 جنيهًا إسترلينيًا ، 13 جنيهًا إسترلينيًا. 6 د. قد تكون مكتوبة يشير كل رقم من الأرقام الموجودة بين قوسين إلى عدد الوحدات في فئة واحدة والتي تشكل وحدة في الفئة الأعلى التالية. للتعبير عن الكمية من حيث £ ، يجب كتابتها هذا يعني 254 جنيهًا إسترلينيًا (13 6-12) / 20 أو جنيهًا إسترلينيًا (254 + 13-20 + 6-20 · 12) ، وبالتالي قد يتضمن عددًا كسريًا.

عادة ما تسمى الكمية المعبر عنها بفئتين أو أكثر أ رقم مركب أو الكمية المركبة. من الواضح أن المصطلح الأول غير صحيح ، لأن الكمية ليست رقمًا والأخيرة ليست موحية للغاية. للاتفاق مع مصطلحات الأعداد الكسرية (§ 62) سنصف هذه الكمية على أنها a كمية مختلطة. توضع الحروف أو الرموز الوصفية لكل فئة بشكل مرئي بعد أو (في الحسابات الفعلية) فوق الأرقام التي تشير إلى أرقام الوحدات المقابلة ولكن في حالات قليلة ، على سبيل المثال في حالة £ ، يتم وضع الرمز قبل الأشكال. سيكون هناك راحة كبيرة في التبني العام لهذه الطريقة الأخيرة ، الجمع بين الطريقتين في تعبير مثل £ 123 ، 16s. 4½ د. محرج بشكل خاص.

18. العد. - تستند أسماء الأرقام بالكامل تقريبًا إلى مقياس ديناري ، وبالتالي فإن ثمانية عشر تعني ثمانية وعشرة ، وأربعة وعشرون تعني ضعف عشرة وأربعة. الكلمات أحد عشر و اثني عشر من المفترض أن تشير اشتقاقيًا إلى أساس رفض (انظر ، مع ذلك ، العدد).

اثنين من الاستثناءات ، ومع ذلك ، يمكن ملاحظتها.

(ط) استخدام دزينة, أزداد (= دزينة دزينة) ، و الإجمالي العظيم (= دزينة إجمالي) يشير إلى محاولة على أساس الاثني عشر. لكن النظام لم ينتشر أبدًا وكلمة "دزينة" نفسها مبنية على مقياس الرفض.

(2) إن نتيجة تم استخدام (عشرين) كأساس ، ولكن بدرجة محدودة. ومع ذلك ، لا يوجد فرق جوهري بين هذا وأساس الرفض. نظرًا لأن هذا الأخير يرجع إلى حساب الأصابع ، فإن استخدام أصابع اليدين والقدمين أنتج مقياسًا حيويًا. ترد أمثلة على ذلك في الفقرة 20 ، ومن الجدير ملاحظة أن نظام vigesimal (أو بالأحرى خماسي رباعي) تم استخدامه من قبل Mayas of Yucatan ، وأيضًا في شكل أكثر كمالًا من قبل Nahuatl (Aztecs) من المكسيك.

تم أخذ الرقم عشرة كأساس للترقيم ، وهناك طرق مختلفة يمكن اعتمادها باستمرار لتسمية الأعداد الكبيرة.

(ط) قد نقوم فقط بتسمية الأرقام الواردة في الرقم. غالبًا ما يتم اعتماد هذه الطريقة في الحياة العملية ، حتى فيما يتعلق بالكميات المختلطة وبالتالي 57،593 جنيه إسترليني ، 16 ثانية. 4 د. سيُقرأ كـ خمسة سبعة ، خمسة تسعة ثلاثة ، ستة عشر وأربعة بنسات.

(2) الكلمة عشرة قد يتم تقديمه ، على سبيل المثال سيكون 593 خمسة عشر وعشرة وتسعين (= تسعة عشرة) وثلاثة.

(3) يمكن إعطاء الأسماء للقوى المتتالية للرقم عشرة ، حتى النقطة التي من المحتمل أن يذهب ترقيم الآحاد إليها. تم العثور على التطبيقات الجزئية لهذه الطريقة في العديد من اللغات.

(4) قد يكون الحل الوسط بين الطريقتين الأخيرتين هو الحصول على أسماء لسلسلة الأرقام ، بدءًا من عشرة ، كل منها يمثل "مربع" الطريقة السابقة. سيكون هذا في الواقع هو تحليل الأرقام في مكونات النموذج أ. 10 ب أين أ أقل من 10 ، والفهرس ب يتم التعبير عنها في المقياس الثنائي ، على سبيل المثال 7،000،000 سيكون 7 · 10 4 · 10 2 ، و 700000 سيكون 7 · 10 4 · 10 1.

الطريقة البريطانية عبارة عن مزيج من الأسلوبين الأخيرين ، ولكن باستخدام مقياس مؤشر والذي يكون جزئيًا ثلاثيًا وجزئيًا ثنائيًا. هناك أسماء منفصلة لعشرة أضعاف عشرة (= مائة) ، وعشر مرات عشرة في عشرة (= ألف) ولكن الاسم الفردي التالي هو مليون، تمثل ألف مرة بالألف. الاسم التالي هو مليار، والتي تعني في بريطانيا العظمى مليون مليون ، وفي الولايات المتحدة (كما في فرنسا) ألف مليون.

19. التناقضات بين العد والتدوين.— على الرغم من أن الترقيم والتدوين كلاهما ظاهريًا في نظام denary ، إلا أنهما ليسا دائمًا متوازيين تمامًا. فيما يلي بعض التناقضات.

(ط) تُقرأ مجموعة الرموز المكتوبة أحيانًا بأكثر من طريقة ، بينما من ناحية أخرى ، يمكن قراءة مجموعتين مختلفتين من الرموز (بأي معدل إذا كانت تشير إلى كميات عددية) بنفس الطريقة. وبالتالي يمكن قراءة عام 1820 على أنه ألف وثمانمائة وعشرون إذا كان يمثل عددًا من الرجال ، فسيتم قراءته على أنه ثمانمائة وعشرون إذا كان يمثل سنة من العصر المسيحي بينما 1 ثانية. 6 د. و 18 د. يمكن قراءة كلاهما كـ ثمانية عشر بنس. فيما يتعلق بالمثال الأول من هذين المثالين ، سيكون من الأصح كتابة 1،820 للأول من المعنيين (راجع § 13).

(2) يُقرأ الرمزان 11 و 12 على أنهما أحد عشر و اثني عشر، ليس (إلا في التعليم الابتدائي) مثل عشرة واحد و عشرة اثنين.

(3) أسماء الأرقام التالية التالية ، حتى 19 شاملة ، توحي بخفة فقط أ عشرة. لا يتم التعرف على هذه الصعوبة دائمًا من قبل المعلمين ، الذين ينسون أنه يجب إخبارهم بذلك الثامنة عشر يعني ثمانية وعشرة.

(4) حتى ما بعد عشرين ، حتى مائة ، الكلمة عشرة لا يستخدم في الترقيم ، على سبيل المثال نحن نقول اربع وثلاثون، ليس ثلاثة عشرة أربعة.

(5) القاعدة القائلة بأن العدد الأكبر يأتي أولاً لا يتم ملاحظته عالميًا في الترقيم. لا يلاحظ ، على سبيل المثال ، في أسماء الأعداد من 13 إلى 19 ولا في الأسماء التي منها أحد عشر و اثني عشر مشتق. بعد عشرين عامًا ، عادة ، ولكن ليس دائمًا ، نلاحظ أننا في بعض الأحيان بدلاً من اربع وعشرون قل أربعة وعشرون. (هذا الأخير هو النظام العالمي باللغة الألمانية ، حتى 100 ، ولأي جزء من 100 في الأعداد التي تتجاوز 100.)

20. طرق أخرى في العد والتدوين. —يمكن هنا فقط الإشارة بإيجاز إلى أنظمة أخرى غير تلك المستخدمة حاليًا.

(أنا) مقياس Vigesimal. —نظام العد حتى العشرينات بدلاً من العشرات موجود في العديد من البلدان ، وعلى الرغم من عدم وجود تدوين مماثل ، إلا أنه لا يزال يظهر في أسماء الأعداد. هذا هو الحال ، على سبيل المثال ، في اللغات السلتية وقد أثرت أسماء بريتون أو غوليش على النظام اللاتيني ، بحيث تكون الأسماء الفرنسية لبعض الأرقام موجودة في النظام الحي. يظهر هذا النظام أيضًا في الأرقام الدنماركية. في اللغة الإنجليزية استخدام الكلمة نتيجة لتمثيل عشرين -على سبيل المثال في "عشرة وسبعين" للسبعين - متراكب على نظام denary ، ولم يشكل أبدًا جزءًا أساسيًا من اللغة. كلمة مثل دزينة و زوج، لا يزال قيد الاستخدام ، ولكن بشكل غامض وليس بمعنى دقيق.

(ثانيا) النظام الروماني. - تم شرح التدوين الروماني أعلاه (§ 15). على الرغم من أنه ملائم لعرض تكوين أي رقم معين ، إلا أنه كان غير مريح لأغراض الحساب وفي الواقع تم إجراء الحساب بالكامل (أو بالكامل تقريبًا) بواسطة العداد (q.v.). كان الترقيم في مقياس الرفض ، بحيث لا يتفق تمامًا مع الترميز. ظهر مبدأ الطرح من رقم أعلى ، والذي ظهر في التدوين ، أيضًا في الترقيم ، ولكن ليس للأرقام نفسها تمامًا أو بالطريقة نفسها تمامًا ، وهكذا كان الثامن عشر اثنان من عشرين ، والرقم التالي كان واحدًا من - عشرين ، لكنها كتبت التاسع عشر ، وليس IXX. (ثالثا) أنظمة أخرى في العصور القديمة. - كان الترميز المصري عبارة عن علامة dener محضة ، والعلامات المنفصلة الوحيدة هي تلك الخاصة بـ 1 ، 10 ، 100 ، & أمبير. كان التدوين العادي للبابليين عبارة عن كلمة رفض ، لكنهم استخدموا أيضًا مقياسًا ستينيًا ، بمعنى آخر. مقياس قاعدته 60.كان لدى العبرانيين تدوين يحتوي على علامات منفصلة (أحرف الأبجدية) للأرقام من 1 إلى 10 ، ثم لمضاعفات العدد من 10 حتى 100 ، ثم لمضاعفات العدد 100 حتى 400 ، ولاحقًا حتى 1000.

كان أقدم نظام تدوين يوناني مشابهًا للنظام الروماني ، فيما عدا أن رموز 50 و 500 و ampc كانت أكثر تعقيدًا. في وقت لاحق ، تم اعتماد نظام مشابه للعبرية ، وتم توسيعه عن طريق إعادة إنتاج الرموز التسعة الأولى من السلسلة ، مسبوقة بحركات ، للدلالة على الضرب في 1000.

في جزيرة سيلان ، لا يزال يوجد ، أو موجود حتى وقت قريب ، نظام يجمع بين بعض خصائص اليونانية (أو السامية) اللاحقة والتدوين الأوروبي الحديث ، ويُعتقد أن هذا كان النظام الهندوسي الأصلي.

للحصول على وصف إضافي للأنظمة المذكورة أعلاه ، انظر العدد ، والسلطات المقتبسة في نهاية هذا المقال.

21. مفهوم الرقم. - من المحتمل أن قلة قليلة من الناس لديهم أي عرض ذهني محدد للأرقام الفردية (بمعنى آخر. أرقام المضي قدما من خلال الاختلافات واحد) أكثر من 100 ، أو بأي معدل يتجاوز 144. يتم استيعاب الأعداد الأكبر من خلال تكوين الأرقام في مجموعات أو عن طريق التعامل مع بعض الأعداد الكبيرة كوحدة. يقدر الإنسان الفرق بين 93.000.000 م. و 94.000.000 م. كمسافة بين مركز الشمس ومركز الأرض في لحظة معينة ، لكنه بالتأكيد لن يقدر الفرق النسبي بين 93.000.000 م. و 93000001 م. من أجل الحصول على فكرة عن 93.000.000 ، يجب أن يأخذ مليون كوحدته. وبالمثل ، في النظام المتري ، لا يمكنه أن يقارن عقلياً بين وحدتين ، إحداهما تساوي 1000 مرة الأخرى. لا يمكن مقارنة المتر والكيلومتر ، على سبيل المثال ، أو المتر والمليمتر ، بشكل مباشر ولكن يمكن تصور أن العداد يحتوي على 100 سم.

من ناحية أخرى ، يبدو أنه بالنسبة لمعظم المتعلمين ، ستة عشر وسبعة عشر أو ستة وعشرون وسبعة وعشرون ، وحتى ستة وثمانون وسبعة وثمانون ، أرقام فردية ، تمامًا مثل ستة وسبعة ، وهم لا تتكون من مجموعات من عشرات وآحاد. بعبارة أخرى ، مقياس الرفض ، على الرغم من اعتماده في التدوين والترقيم ، لا ينشأ في المفهوم العقلي المقابل حتى نتجاوز 100.

مرة أخرى ، عند استخدام الكسور العشرية ، من غير المعتاد إعطاء أقل من رقمين. وبالتالي فإن 3.142 أو 3.14 ستكون مفهومة تمامًا ولكن 3.1 لا تنقل هذه الفكرة الجيدة لمعظم الناس إما 3 1⁄10 أو 3.10 ، بمعنى آخر. كتعبير يدل على كسر أو نسبة مئوية.

لذلك يبدو أن هناك ميلًا لاستخدام عدد أكبر من عشرة كأساس للتجميع في وحدات جديدة أو للتقسيم إلى أجزاء. اعتمد البابليون 60 لكل من هذه الأغراض ، مما أعطانا التقسيم الجنسي للزوايا والوقت.

هذا الرأي مدعوم ، ليس فقط من خلال وضوح النسب المئوية للأشخاص العاديين ، ولكن أيضًا من خلال النزعة المشار إليها أعلاه (الفقرة 19) ، لتجميع السنوات في قرون ، وتجنب استخدام الآلاف. وهكذا فإن 1876 ليس 1 ألف و 8 مائة و 7 عشرات و 6 ، بل 18 مائة و 76 ، كل من الرقمين 18 و 76 يُسمى كما لو كان رقمًا واحدًا. كما أنه يتوافق مع ما هو معروف حتى الآن عن أشكال الأرقام (المادة 23).

إذا كان هناك هذا الاتجاه لاعتماد 100 كأساس بدلاً من 10 ، فقد يتم أحيانًا تبسيط تدريس الكسور العشرية بالانتقال من النسب المئوية إلى النسب المئوية ، بمعنى آخر. بالبدء بـ سنتيمترات بدلا من مع الكسور العشرية.

22. تصور العدد.— عند استخدام الأشياء المادية كأساس لتطوير مفهوم الأرقام ، يجب أن نتذكر أنه فقط عندما يكون هناك عدد قليل من الكائنات يمكن إدراك عددها دون الحاجة إلى العد أو أداء بعض العمليات الحسابية مثل الجمع. إذا تم وضع أربع عملات معدنية على طاولة ، قريبة من بعضها البعض ، فيمكن (بالنسبة لمعظم البالغين) رؤيتها على أنها أربعة ، دون احتساب ولكن يجب فصل سبع عملات عقليًا إلى مجموعتين ، يتم إضافة أرقامها ، أو أن مجموعة واحدة ليتم رؤيتها ويتم عد الأشياء المتبقية ، قبل أن يكون الرقم سبعة.

الحد الفعلي للرقم الذي يمكن "رؤيته" -بمعنى آخر. يُرى بدون حساب أو جمع - يعتمد على أي فرد على شكل الأشياء وترتيبها ، ولكن في ظل ظروف مماثلة ، لا يكون الأمر نفسه بالنسبة لجميع الأفراد. لقد تم اقتراح أنه يمكن رؤية ما يصل إلى ستة أشياء في وقت واحد ولكن ربما هذا هو الحال فقط مع عدد قليل من الأشخاص ، ومعهم فقط عندما يكون للأشياء ترتيب هندسي معين. الحد الأقصى لمعظم البالغين ، في ظل ظروف مواتية ، هو حوالي أربعة. في ظل ظروف معينة ، يكون هذا أقل من IIII ، التدوين الروماني القديم لـ أربعة، يصعب تمييزه عن III ، وقد يكون هذا هو السبب الرئيسي لاستبداله بـ IV (الفقرة 15).

في حالة الأطفال الصغار ، ربما يكون الحد هو اثنان. أن هذا كان أيضًا الحد الأقصى في حالة الأجناس البدائية ، وأن تصنيف الأشياء كان في واحد ، اثنان والعديد ، قبل أي عملية عد محددة (على سبيل المثال بالأصابع) ، يتضح من استخدام "الرقم المزدوج" في اللغة ، ومن الطريقة التي تعتمد بها أسماء الثلاثة والأربعة غالبًا على أسماء واحد واثنين. مع الفرد ، كما هو الحال مع السباق ، يزيد حد العدد الذي يمكن رؤيته تدريجياً حتى أربعة أو خمسة.

إن العبارة التي تشير إلى أن عددًا من العناصر يمكن رؤيته على أنه ثلاثة أو أربعة لا يجب أن يؤخذ على أنه يعني أن هناك تصورًا متزامنًا لجميع الكائنات. قد يتم توجيه الانتباه بالتتابع إلى الأشياء المختلفة ، بحيث يكون الإدراك إيقاعيًا والإيقاع المميز مما يساعد على إدراك الرقم المحدد.

نتيجة لهذا الحد من قوة إدراك العدد ، من المستحيل عمليا استخدام مقياس denary خالص في تدريس الأرقام الأولية. إذا لم يتم اعتماد نظام ثنائي ثنائي (مثل الذي يتلاءم بشكل طبيعي مع العد على الأصابع) ، يلجأ المعلمون دون وعي إلى نظام ثنائي خماسي. عادة ما يتم ذلك عند استخدام المكعبات ، وبالتالي يتم تمثيل السبعة بثلاثة أزواج من المكعبات ، مع وجود مكعب واحد في الأعلى.

23. تصور السلسلة. - الحقيقة المذهلة ، في إشارة إلى أفكار العدد ، هي وجود أشكال الأرقام ، بمعنى آخر. من الترتيبات المحددة ، على مستوى متخيل أو في الفضاء ، للتمثيلات الذهنية للأرقام المتتالية من 1 فصاعدًا. تم تقدير نسبة الأشخاص الذين توجد فيهم أشكال الأرقام بشكل مختلف ولكن هناك سبب للاعتقاد بأن الأشكال تنشأ في مرحلة مبكرة جدًا من الطفولة ، وأنها كانت موجودة في وقت ما في العديد من الأفراد الذين نسوها بعد ذلك. هؤلاء الأشخاص الذين يمتلكونها هم أيضًا عرضة لإجراء ترتيبات مكانية لأيام الأسبوع أو الشهر ، وأشهر السنة ، وحروف الأبجدية ، و ampc. ومن المؤكد عمليا أن الأطفال فقط هم من يتخذون مثل هذه الترتيبات للأحرف الأبجدية. يبدو أن الأشكال ناتجة عن ميل عام للتخيل كوسيلة مساعدة للذاكرة ، قد تكون أشكال الحروف في المقام الأول متكررة تمامًا مثل أشكال الأرقام ، لكنها تختفي في مرحلة الطفولة المبكرة ، كونها غير ذات قيمة عملية ، بينما تستمر أشكال الأرقام كعامل مساعد في العمل الحسابي.

الأشكال متنوعة ، ولها نقاط مشتركة قليلة ولكن الاتجاهات التالية موضحة.

(ط) في معظم الحالات ، تقع الأرقام على خط متصل (ولكن ربما متعرج).

(2) يوجد دائمًا تقريبًا (بأي معدل في حالات اللغة الإنجليزية) فاصل في الاتجاه عند 12. من 1 إلى 12 تكمن الأرقام أحيانًا في محيط الدائرة ، وهو ترتيب يقترحه بوضوح وجه الساعة في هذه الحالات تتصاعد السلسلة عادةً لأعلى من 12. ولكن في عدد كبير من الحالات ، يكون الاتجاه صعودًا بشكل مطرد من 1 إلى 12 ، ثم يتغير. في بعض الحالات يكون الاتجاه الأولي من اليمين إلى اليسار أو من اليسار إلى اليمين ولكن هناك القليل جدًا من الاتجاه إلى الأسفل.

(3) عادةً ما يتم تمييز مضاعفات العدد 10 بقوة ولكن يتم أيضًا وضع ضغط خاص على الأرقام المهمة الأخرى ، على سبيل المثال مضاعفات العدد 12.

(4) تصل السلسلة أحيانًا إلى أرقام عالية جدًا ، ولكنها تتوقف أحيانًا عند 100 ، أو حتى قبل ذلك. لا يُذكر ، في معظم الحالات ، ما إذا كانت جميع الأرقام الموجودة في حدود السلسلة لها مواضع محددة ، أو ما إذا كانت هناك أرقام معينة فقط تشكل جزءًا أساسيًا من الشكل ، بينما توجد أرقام أخرى محتملة فقط. ربما يكون هذا الأخير هو الحال عالميا تقريبا.

يتم تطوير هذه الأشكال تلقائيًا ، دون اقتراح من الخارج. إن إمكانية استبدالها بشكل قياسي ، والتي يمكن استخدامها لأداء العمليات الحسابية ، تستحق النظر في بعض الصعوبات في طريقة التقييس التي سبق الإشارة إليها (الفقرة 14). الميل العام لتفضيل الاتجاه التصاعدي مهم وتقترح عباراتنا الحالية أن هذا هو الاتجاه الذي يُنظر إليه بشكل طبيعي على أنه يسير. هكذا نتحدث عن العد فوق لعدد معين ويتحدث علماء الرياضيات بالمثل عن عالي و تصاعدي القوى ، بينما يتحدث المهندسون عن الضغط العالي والسرعة العالية والطاقة العالية و أمبير. من المحتمل أن يكون هذا الاتجاه مدعومًا باستخدام الطوب أو المكعبات في تدريس الأرقام الأولية.

24. أفكار بدائية للعدد.— تعطي أسماء الأرقام فكرة عن الطريقة التي تطورت بها فكرة العدد. عندما تكون الحضارة متقدمة على الإطلاق ، عادة ما تكون هناك أسماء معينة ، لا يمكن تتبع أصلها ، لكن كلما عدنا إلى الوراء ، تقل هذه الأسماء ، ووجدت الأسماء مكونة من أنظمة معينة. تتنوع الأنظمة ، ومن المستحيل وضع أي قوانين مطلقة ، ولكن يبدو أن الاستنتاجات التالية هي الاستنتاجات الرئيسية.

(ط) من بين بعض القبائل الدنيا ، (مع استثناءات قليلة) بين الحيوانات ، يكون التمايز الوحيد بين واحد وكثير ، أو بين واحد ، واثنين ، والعديد من القبائل ، أو بين واحد ، واثنين ، وثلاثة ، والعديد من القبائل. عندما يصبح من الضروري استخدام أعداد أكبر ولكن صغيرة ، يتم تشكيلها من خلال مجموعات من واحد واثنين ، أو ربما من ثلاثة مع واحد أو اثنين. وبالتالي ، فإن العديد من القبائل الأسترالية والأمريكية الجنوبية تستخدم فقط واحدة واثنتان وسبعة ، على سبيل المثال ، ستكون اثنان اثنان اثنان واحد.

(2) بعد عشرة ، وفي كثير من الحالات أكثر من خمسة ، تشير الأسماء إلى استخدام الأصابع ، وأحيانًا أصابع القدم ، للعد ، وقد يكون المقياس خماسيًا أو نقيًا أو قويًا ، وفقًا لجهة واحدة ، الزوج من اليدين أو اليدين والقدمين كوحدة جديدة. خمسة يمكن أن تدل عليها كلمة اليد وإما عشرة أو عشرين بالكلمة ل رجل. أو قد تشير الكلمات التي تدل على هذه الأرقام إلى اكتمال بعض أعمال العد. بين خمسة وعشرة أو أكثر من عشرة ، قد تكون الأسماء ناتجة عن مجموعات ، على سبيل المثال قد يكون الرقم 16 عبارة عن 10 + 5 + 1 أو قد تكون الأسماء الفعلية للأصابع التي تم عدها مؤخرًا.

(3) هناك حالات قليلة ، ولكن قليلة فقط ، يتم فيها تسمية الرقم 6 أو 8 مرتين أو مرتين 4 وهناك أيضًا حالات قليلة تم فيها تسمية 7 و 8 و 9 على أنها 6 + 1 ، 6 + 2 و 6 + 3. في الغالبية العظمى من الحالات ، تكون الأرقام 6 و 7 و 8 و 9 هي 5 + 1 و 5 + 2 و 5 + 3 و 5 + 4 ، ويتم تسميتها إما مباشرة من تكوينها بهذه الطريقة أو كأصابع اليد الثانية.

(4) هناك اتجاه معين لتسمية 4 و 9 و 14 و 19 على أنها واحدة قصيرة من 5 و 10 و 15 و 20 على التوالي ، حيث يكون المبدأ بالتالي هو نفسه الموجود في Roman IV و IX و ampc. من الممكن في مرحلة مبكرة أن عدد الأصابع في يد واحدة أو اليدين معًا كان يُنظر إليه بشكل غامض على أنه عدد كبير مقارنةً بـ 2 أو 3 ، وأن الرقم لم يصل إلى الوضوح حتى تم ربطه مع الأصغر بإدخال الوسيطة وقد يحدث الارتباط في كلا الاتجاهين.

(5) في حالات قليلة ، تكون أسماء بعض الأرقام الصغيرة هي أسماء الكائنات التي تقدم هذه الأرقام بطريقة واضحة. وهكذا كانت الكلمة التي استخدمها Abipones للدلالة على 5 هي اسم إخفاء معين من خمسة ألوان. لقد تم اقتراح أن الأسماء من هذا النوع قد تكون أصل الكلمات العددية للأجناس المختلفة ولكن من غير المحتمل أن يؤدي الإدراك البصري المباشر إلى اسم رقم ما لم يكن قد تم تقديم اسم يستند إلى عملية العد سابقًا إليها.

25. نمو مفهوم الرقم. —المبدأ العام القائل بأن تطور الفرد يتبع تطور العرق يكون جيدًا إلى حد ما في حالة مفهوم الرقم ، ولكن يتم تعديله من خلال وجود لغة تتعامل مع مفاهيم بعيدة عن متناول الطفل ، وكذلك ، بالطبع ، من خلال المحاولات المباشرة للتعليم. إحدى النتائج هي تكوين سلسلة رقمية كمجرد تعاقب الأسماء دون أي أفكار مقابلة للعدد ليس بالضرورة أن تكون السلسلة صحيحة.

عندما يبدأ الترقيم ، يتم إرفاق أسماء الأرقام المتتالية بالأشياء الفردية وبالتالي فإن الأرقام هي في الأصل ترتيبية وليست أساسية.

مفهوم العدد كردينال ، بمعنى آخر. كشيء ينتمي إلى مجموعة من الأشياء ككل ، هو شيء متأخر نسبيًا ، ولا ينشأ حتى يتم تشكيل فكرة الكل المكون من أجزائه. هذا ال كمي جانب من الرقم.

إن التطور من سلسلة الاسم إلى المفهوم الكمي يساعده ترقيم الأشياء المادية وأداء العمليات الأولية للمقارنة والإضافة و أمبير. ، معهم. وقد يساعد أيضًا ، إلى حد ما ، الميل إلى إيجاد إيقاعات في تسلسل الأصوات. هذا الاتجاه شائع عند البالغين وكذلك عند الأطفال ، فقد يتم ، على سبيل المثال ، تجميع ضربات الساعة في أربع ، وبالتالي يتم تمثيل أحد عشر في شكل أربع ضربات وثلاثة. يعد تعداد الأصابع أمرًا طبيعيًا للأطفال بالطبع ، ويؤدي إلى التجمع في الخمسات ، وفي النهاية إلى فهم نظام التنبيه بالرفض.

26. تمثيل الحجم الهندسي بالرقم. - يطرح تطبيق الأساليب الحسابية على القياس الهندسي بعض الصعوبة. في الواقع ، هناك انتقال من نظام أساسي إلى نظام ترتيبي ، ولكن إلى نظام ترتيبي لا يتفق مع النظام الترتيبي الأصلي الذي اشتُق منه النظام الأساسي. لرؤية هذا ، قد نمثل الأعداد الترتيبية بالأرقام العادية 1 ، 2 ، 3 ،. والأرقام الأصلية من قبل الرومان الأول والثاني والثالث. ثم في المرحلة الأولى ، يكون كل كائن محسوبًا غير قابل للتجزئة ، إما أننا نحسبه ككل ، أو لا نحسبه على الإطلاق. الرموز 1 ، 2 ، 3 ،. ثم أشر إلى الكائنات الفردية ، كما في الشكل. 1 هذه هي المرحلة الترتيبية الأولية. تين. 2 و 3 يمثلان المرحلة الأساسية في الشكل. 2 يوضح كيف أن الأول والثاني والثالث. تشير إلى مجموعات الكائنات الأكبر على التوالي ، بينما الشكل. يوضح الشكل 3 كيف يتم تحديد الاسم II للكل بالاسم 2 من آخر اسم تم حسابه.

عندما ننتقل الآن إلى القياس الهندسي ، فإن كل "واحد" هو شيء قابل للقسمة في حد ذاته ، ولا يمكن القول أننا في أي لحظة نحسبه ، فإنه فقط عندما يكتمل القياس يمكننا حسابه. الأسماء 1 ، 2 ، 3 ،. لأن الأشياء الفردية تتوقف عن الحصول على معنى واضح ، ويتم القياس بواسطة الأرقام الأساسية I ، II ، III ،. مثل كلمة fig. 4. ومع ذلك ، أصبحت هذه الأرقام الأساسية تشير الآن إلى نقاط فردية في خط القياس ، بمعنى آخر. نقاط فصل وحدات الطول الفردية. النقطة الثالثة في الشكل. 4 لا يتضمن النقطة II بنفس الطريقة التي يتضمن بها الرقم III الرقم II في الشكل. 2 ، وبالتالي يجب الإشارة إلى النقاط بالأرقام الترتيبية 1 ، 2 ، 3 ،. مثل كلمة fig. 5 ، الصفر 0 يسقط في مكانه الطبيعي مباشرة قبل بدء الوحدة الأولى.

وهكذا ، بينما يشير الترقيم الحسابي إلى الوحدات ، فإن الترقيم الهندسي لا يشير إلى الوحدات بل إلى الفترات الفاصلة بين الوحدات.

ثالثا. حساب الأعداد الصحيحة

27. المساواة والهوية. - هناك فرق معين بين استخدام الكلمات التي تشير إلى المساواة والهوية في الحساب وفي الجبر على التوالي ما هو المساواة في السابق أصبح هوية في الأخير. وبالتالي فإن العبارة القائلة بأن 4 مرات 3 تساوي 3 مرات 4 ، أو ، في شكل مختصر ، 4 × 3 = 3 × 4 (§ 28) ، هي بيان ليس للهوية ولكن للمساواة بمعنى آخر. 4 × 3 و 3 × 4 تعنيان أشياء مختلفة ، لكن العمليات التي تدلان عليها تنتج نفس النتيجة. لكن في الجبر ، يُطلق على أ × ب = ب × أ هوية ، بمعنى أنها صحيحة على أي حال أ و ب قد يكون الوقت ن × X = A تسمى المعادلة ، لأنها صحيحة ، متى ن يتم إعطاء A لقيمة واحدة فقط من X. وبالمثل ، فإن الأرقام التي يمثلها 6-12 و not ليست متطابقة ، ولكنها متساوية.

28. رموز العملية. - غالبًا ما يؤدي الفشل في ملاحظة التمييز بين الهوية والمساواة إلى تفكير فضفاض ، ومن أجل منع ذلك من المهم أن تُلحق معاني محددة بجميع رموز العملية ، ولا سيما تلك التي تمثل العمليات الأولية. تعني الرموز - و على التوالي أن الكمية الأولى المذكورة يجب تخفيضها أو تقسيمها على الثانية ولكن هناك بعض الغموض حول + و ×. في هذا المقال أ + ب سيعني ذلك أ يتم أخذها أولاً و ب يضاف إليها ولكن أ × ب سيعني ذلك ب يتم أخذها أولاً ، ثم يتم ضربها في أ. في حالة الأرقام ، يمكن استبدال × بنقطة وبالتالي 4 · 3 تعني 4 مرات 3. عندما يكون من الضروري كتابة المضاعف قبل المضاعف ، سيتم استخدام الرمز X ، بحيث يعني b X a نفس الشيء كما أ × ب.

29. البديهيات.— هناك بعض العبارات التي تعتبر أحيانًا بديهية على سبيل المثال أنه إذا تمت إضافة قيم متساوية إلى مساوية ، فإن النتائج متساوية ، أو أنه إذا كانت A أكبر من B ، فإن A + X أكبر من B + X. ومع ذلك ، فإن هذه العبارات قادرة على إثبات منطقي ، وهي تعميمات للنتائج التي تم الحصول عليها تجريبياً في مرحلة ابتدائية وبالتالي فهي تنتمي بشكل أكثر ملاءمة لقوانين الحساب (§ 58).

30. جمع وطرح.—إضافة هي عملية التعبير (بالترقيم أو الترميز) عن الكل ، وقد تم التعبير عن أجزائه بالفعل ، إذا تم التعبير عن الكل وكذلك جزء أو أجزاء ، الطرح هي عملية التعبير عن الباقي.

باستثناء الأرقام الصغيرة جدًا ، فإن الجمع والطرح ، في نظام التجميع ، يتضمن التحليل وإعادة الترتيب. وبالتالي لا يمكن التعبير عن مجموع 8 و 7 على أنهما واحد يمكننا إما تشكيل الكل وإعادة تجميعه في 10 و 5 ، أو يمكننا تقسيم 7 إلى 2 و 5 وإضافة 2 إلى 8 لتشكيل 10 ، وبالتالي الحصول على 8 + 7 = 8 + (2 + 5) = (8 + 2) + 5 = 10 + 5 = 15. بالنسبة للأعداد الأكبر تكون إعادة الترتيب أكثر شمولاً وبالتالي 24 + 31 = (20 + 4) + (30 + 1) = (20 + 30) + (4 + 1) = 50 + 5 = 55 ، تظل العملية أكثر تعقيدًا عندما يكون عدد المشتركين معًا أكثر من عشرة. وبالمثل ، لا يمكننا طرح 8 من 15 ، إذا كان 15 تعني 1 عشرة + 5 آحاد ، فعلينا إما أن نكتب 15-8 = (10 + 5) - 8 = (10-8) + 5 = 2 + 5 = 7 ، أو نحل 15 في عدد لا يمكن وصفه من الآحاد ، ثم اطرح 8 منهم ، فيتبقى 7.

يجب أن تكون الكميات العددية ، المراد إضافتها أو طرحها ، من نفس الفئة التي لا يمكننا ، على سبيل المثال ، إضافة 55 شلن و 100 بنس ، أي أكثر مما يمكننا إضافة 3 ياردات و 2 متر.

31. المركز النسبي في السلسلة. - الطريقة المذكورة أعلاه للتعامل مع الجمع والطرح تركيبية ، ومناسبة لطريقة التجميع للتعامل مع العدد. نبدأ بالعمليات ونرى ما تؤدي إليه وبالتالي نحصل على فكرة عن المبالغ والاختلافات. إذا اعتمدنا طريقة العد ، يجب أن نواصل بطريقة مختلفة ، وطريقتنا تحليلية.

رقم واحد أصغر أو أكبر من الآخر ، وفقًا لأن رمز (أو ترتيبي) الأول يأتي قبل أو بعد ذلك الأخير في سلسلة الأرقام. وهكذا (كتابة تراتبي في النوع الخفيف ، وكتابة الكرادلة في النوع الثقيل) 9 يأتي بعد 4 ، وبالتالي 9 أكبر من 4. لإيجاد المقدار الأكبر ، نقارن سلسلتين ، في إحداهما نرتفع إلى 9 ، بينما في الأخرى نتوقف عند 4 ثم نعاود العد. يتم عرض السلسلة أدناه ، حيث يتم وضع الأرقام أفقيًا لتسهيل الطباعة ، بدلاً من وضعها عموديًا (§ 14): -

1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 1 2 3 4 5

هذا المعارض 9 كمجموع 4 و 5 من المفهوم أن مجموع 4 و 5 يعني أننا نضيف 5 ل 4. أن هذا يعطي نفس نتيجة الجمع 4 ل 5 يمكن رؤيته من خلال حساب السلسلة بالعكس.

وبالتالي ، من الملائم إدخال الصفر

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5

يشير إلى أنه بعد الوصول إلى الرقم 4 ، فإننا نبدأ بداية جديدة من الرقم 4 باعتباره صفرًا.

للطرح ، يمكننا المضي قدمًا بإحدى الطريقتين. طرح 4 من عند 9 قد تعني إما "ما يجب إضافته إليه 4 من أجل الحصول على إجمالي 9، "أو" إلى ما له 4 ليتم إضافتها من أجل تكوين إجمالي 9. " بالنسبة للمعنى السابق ، نعد للأمام ، حتى نصل إلى 4 ، ثم نحسب عددًا جديدًا ، بالتوازي مع استمرار السلسلة القديمة ، ونرى ما هو الرقم الذي نصل إليه عندما نصل إلى 9. وهذا يتوافق مع الطريقة الملموسة ، التي لدينا 9 الأشياء ، يسلبها 4 منهم ، ويروي الباقي. الطريقة البديلة هي تتبع خطوات الإضافة ، بمعنى آخر. للعد التنازلي ، معاملة 9 من سلسلة واحدة (قياسية) على أنها مطابقة لـ 4 من سلسلة أخرى ، وإيجاد أي عدد من الأول يتوافق مع 0 من الثانية. هذه طريقة أكثر تقدمًا ، والتي تؤدي بسهولة إلى فكرة الكميات السالبة ، إذا كان الطرح بحيث يتعين علينا تجاوز الصفر في السلسلة القياسية.

32. كميات مختلطة. - لا يمثل تطبيق المبادئ المذكورة أعلاه ، والمبادئ المماثلة فيما يتعلق بالضرب والقسمة ، على الكميات العددية المعبر عنها في أي من الطوائف البريطانية المتنوعة ، أي صعوبة نظرية إذا اعتبرت الطوائف المتعاقبة على أنها تشكل مقياسًا متنوعًا للتدوين ( §17). وبالتالي ، فإن التعبير 2 قدم 3 بوصة يشير إلى أننا في عد البوصات نستخدم 0 إلى 11 بدلاً من 0 إلى 9 كأول سلسلة متكررة ، بحيث نضع 1 للفئة التالية عندما نصل إلى 12 بدلاً من عندما نحصل إلى عشرة. وبالمثل 3 ياردة. 2 قدم. يعني

ياردة. 0 1 2 3
قدم. 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2

تكمن الصعوبة العملية ، بالطبع ، في أن إضافة رقمين ينتج عنها نتائج مختلفة وفقًا للمقياس الذي نحن فيه في الوقت الحالي ، وبالتالي فإن مجموع 9 و 8 هو 17 أو 15 أو 13 أو 11 وفقًا لما نتعامل معه شلن أو بنس أو جنيه (أفوردوبوا) أو أوقية. يمكن تقليل الصعوبة إلى أدنى حد باستخدام الترميز الموضح في الفقرة 17.

(ثالثا) المضاعفات والمضاعفات الفرعية والقيم.

33. عمليه الضرب و قسم هي الأسماء المعطاة لعمليات عددية معينة يجب إجراؤها من أجل العثور على نتيجة بعض العمليات الحسابية. قد تنشأ كل عملية من عمليتين مختلفتين ولكن المصطلحات تعتمد على العمليات ، وليس على العمليات التي تنتمي إليها ، والأخيرة ليست دائمًا مفهومة بوضوح.

34. التكرار والتقسيم.—عمليه الضرب يحدث عندما يتم التعامل مع رقم معين أو كمية رقمية على أنها a وحدة (§ 11) ، ويؤخذ بعين الاعتبار عدد من المرات. لذلك ينشأ بطريقة أو أخرى من طريقتين ، وفقًا للوحدة أو الرقم موجود أولاً في الوعي. إذا تم ترتيب البنسات في مجموعات من خمسة ، فإن المبالغ الإجمالية المرتبة على التوالي مرة واحدة 5d. ، مرتين 5d. ، ثلاثة في 5d. ،. التي تمت كتابتها 1 × 5d. ، 2 × 5d. ، 3 × 5d. ،. (المادة 28). هذه العملية تكرار، والكميات 1 × 5 د ، 2 × 5 د ، 3 × 5 د. ،. هم المتعاقبون مضاعفات من 5 د. من ناحية أخرى ، إذا كان لدينا مجموع 5s ، ونعامل الشلن على أنه يعادل اثني عشر بنسًا ، 5s. يعادل 5 × 12 د. هنا ينشأ الضرب من أصل التقسيم من الوحدة الأصلية 1 ثانية. في 12 د.

على الرغم من أن الضرب قد ينشأ بأي من هاتين الطريقتين ، إلا أن العملية الفعلية في كل حالة تتم من خلال البدء بالوحدة وأخذ العدد اللازم من المرات. في حالة التقسيم أعلاه ، على سبيل المثال ، يتم تحويل كل من الشلنات الخمسة بشكل منفصل إلى بنس ، لذلك نجد في الواقع على التوالي مرة واحدة 12 د. ، مرتين 12 د. ،. بمعنى آخر. نجد مضاعفات 12 د. تصل إلى 5 مرات.

نتيجة الضرب تسمى منتج من الوحدة بعدد مرات أخذها. 35. مخطط الضرب. —تتم عملية الضرب من أجل الحصول على مثل هذه النتائج على النحو التالي: -


أساسيات الرياضيات سلسلة الجبر 1

تتضمن هذه الدورة التدريبية جميع الأنواع الممكنة من مشاكل الكسور مع محاضرات الفيديو وشروحات نصية تساعدك على اكتساب ثقة بنسبة 100٪ أثناء التعامل مع أي نوع من أنواع الكسور. وجد 95٪ من الطلاب الراحة والثقة في حل الكسور بعد أخذ هذه الدورة. في محاضرات الفيديو ، قمت بحل بعض المشكلات بطريقتين مختلفتين ، بحيث يمكنك اتباع أي من الطرق التي تجعلك تفهم المفهوم بشكل أفضل.

في نهاية كل محاضرات فيديو ، سيتم تزويدك بأسئلة مهمة وأسئلة اختبار لمساعدتك على اختبار فهمك على طول الطريق.

لتصبح درجة الماجستير في الكسور ، تم تنظيم الدورة في الأقسام التالية. * العوامل الرئيسية. * المضاعف المشترك الأصغر (LCM)* العامل المشترك الأكبر (GCF) / العامل المشترك الأكبر (HCF). * تبسيط الكسر (أو تقليل الكسر) إلى الحد الأدنى. * تحويل عدد كسري إلى كسر غير فعلي. * تحويل الكسر غير الصحيح إلى عدد كسري. * جمع الكسور ذات القواسم المتشابهة. * طرح الكسور ذات القواسم المتشابهة. * جمع الكسور ذات القواسم المختلفة. * طرح الكسور ذات القواسم المختلفة. * اضرب الكسور. * قسمة الكسور. * جمع وطرح الأعداد المختلطة (الكسور المختلطة) ذات المقامات المتشابهة. * جمع وطرح الأعداد المختلطة (الكسور المختلطة) ذات المقامات المختلفة. * اضرب وقسم الكسور المختلطة.

ملاحظات: قسم الملاحظات هو المكان الذي تجد فيه أهم الأشياء لتتعلمها وتتذكرها وتجدد معلوماتك.

محاضرات الفيديو: شاهد محاضرات الفيديو بعناية لفهم كل خطوة من خطوات المشكلة. لقد قمت بتغطية جميع الأسئلة الشائعة المحتملة التي يتم طرحها عادةً في الاختبار الخاص بك.

أسئلة التعيين: سيغطي قسم المهام الأسئلة ذات الصلة التي تمت مناقشتها في محاضرات الفيديو والتي تساعدك على اختبار نفسك وبناء الثقة.

أسئلة الاختبار: عندما تعتقد أن لديك ثقة كافية في موضوع ما ، يمكنك اختبار معلوماتك من خلال إجراء أحد اختبارات الاختبار لدينا. تحتوي أسئلة الاختبار على أربعة خيارات مختلفة وسيُطلب منك تحديد الخيار الصحيح. بمجرد انتهاء الاختبار ، يمكنك التحقق من نسبة درجاتك.


ثالثا. حسابية لأعداد ntegral N

(أنا.) تمهيدي

27. المساواة والهوية

هناك فرق معين بين استخدام الكلمات التي تشير إلى المساواة والهوية في >> & lt & ltarithmetic وفي الجبر على التوالي ما هو المساواة في السابق الذي أصبح هوية في الأخير. وبالتالي ، فإن العبارة القائلة بأن 4 مرات 3 تساوي 3 مرات 4 ، أو ، في شكل مختصر ، 4X3 = 3X4 (& # 167 28) ، هي بيان ليس للهوية ولكن للمساواة أي 4X3 و 3 × 4 تعنيان أشياء مختلفة ، لكن العمليات التي تدلان عليها تنتج نفس النتيجة. ولكن في الجبر ب = ب س أ تسمى هوية ، بمعنى أنها صحيحة مهما كان ب قد يكون بينما n X X = A تسمى معادلة ، لأنها صحيحة ، متى ن يتم إعطاء و A لقيمة واحدة فقط من X. وبالمثل ، فإن الأرقام التي يتم تمثيلها بواسطة و a ليست متطابقة ، ولكنها متساوية.

28. رموز العملية

غالبًا ما يؤدي الفشل في ملاحظة التمييز بين الهوية والمساواة إلى تفكير فضفاض ومن أجل منع ذلك من المهم أن يتم ربط المعاني المحددة بجميع رموز العملية ، وخاصة تلك التي تمثل العمليات الأولية. تعني الرموز - و = على التوالي أن الكمية الأولى المذكورة سيتم تخفيضها أو تقسيمها على الثانية ولكن هناك بعض الغموض حول + و X. في هذه المقالة أ + ب سيعني أنه تم أخذ a أولاً ، و ب يضاف إليها ولكن أ X ب سيعني ذلك ب يتم أخذها أولاً ، ثم يتم ضربها في أ. في حالة الأرقام ، يمكن استبدال X بنقطة ، وبالتالي فإن 4.3 يعني 4 مرات 3. عندما يكون من الضروري كتابة المضاعف قبل المضاعف ، فسيتم استخدام الرمز & gte ، بحيث تعني a نفس علامة X ب. 29. البديهيات. - هناك هي بعض العبارات التي تعتبر أحيانًا بديهية على سبيل المثال أنه إذا تمت إضافة قيم متساوية إلى تساوي ، فإن النتائج متساوية ، أو أنه إذا كانت A أكبر من B ، فإن A + X أكبر من B + X. ومع ذلك ، فإن مثل هذه العبارات قادرة على إثبات منطقي ، وهي تعميمات للنتائج التي تم الحصول عليها تجريبيًا في مرحلة أولية ، وبالتالي فهي تنتمي بشكل أكثر ملاءمة لقوانين الحساب (& # 167 58).

(ثانيا.) المبالغ والاختلافات

30. جمع وطرح

إضافة هي عملية التعبير (بالترقيم أو الترميز) عن الكل ، وقد تم التعبير عن أجزائه بالفعل ، إذا تم التعبير عن الكل وكذلك جزء أو أجزاء ، الطرح هي عملية التعبير عن الباقي.

باستثناء الأرقام الصغيرة جدًا ، فإن الجمع والطرح ، في نظام التجميع ، يتضمن التحليل وإعادة الترتيب. وبالتالي فإن مجموع 8 و 7 لا يمكن التعبير عنها كوحدات يمكننا إما تشكيل الكل ، وإعادة تجميعها في 10 و 5, أو يمكننا تقسيم 7 إلى 2 و 5 ، وإضافة 2 إلى 8 لتشكيل io ، وبالتالي الحصول على 8 + 7 = 8+ (2 + 5) = (8 + 2) +5=10+5=15. بالنسبة للأعداد الأكبر ، تكون إعادة الترتيب أكثر شمولاً وبالتالي 24 + 31 = (2 0 + 4) + (3 0 + 1) = (20 +3 0) + (4+ أنا) = 5 0 +5 = 55 ، لا تزال العملية مستمرة أكثر تعقيدًا عندما يكون عددهم معًا أكثر من عشرة وبالمثل ، لا يمكننا طرح 8 من 15 ، إذا كان 15 تعني 1 عشرة + 5 آحاد ، فعلينا إما أن نكتب 15-815-8 = (10 + 5) -8 = (I o - 8) +5 = 2 + 5 = 7, أو حلل 15 إلى عدد لا يمكن وصفه من الآحاد ، ثم اطرح 8 منهم ، واترك 7.

يجب أن تكون الكميات العددية ، المراد إضافتها أو طرحها ، من نفس الفئة التي لا يمكننا ، على سبيل المثال ، إضافة شلن S5 و loo pence ، أي أكثر مما يمكننا إضافة 3 ياردات و 2 متر.

31. المركز النسبي في السلسلة. - ال أعلاه طريقة التعامل مع الجمع والطرح تركيبية ، ومناسبة لطريقة التجميع للتعامل مع العدد. نبدأ بالعمليات ونرى ما تؤدي إليه وبالتالي نحصل على فكرة عن المبالغ والاختلافات. إذا اعتمدنا طريقة العد ، يجب أن نواصل بطريقة مختلفة ، وطريقتنا تحليلية.

رقم واحد أصغر أو أكبر من الآخر ، وفقًا لأن رمز (أو ترتيبي) الأول يأتي قبل أو بعد ذلك الأخير في سلسلة الأرقام. وهكذا (كتابة تراتبي في النوع الخفيف ، وكتابة الكاردينالات في النوع الثقيل) 9 يأتي بعد 4 ، وبالتالي 9 أكبر من 4. لإيجاد كم أكبر ، نقارن سلسلتين ، في إحداهما نرتفع إلى 9 ، بينما في والآخر نتوقف عند 4 ثم نعاود العد. يتم عرض السلسلة أدناه ، حيث يتم وضع الأرقام أفقيًا لتسهيل الطباعة ، بدلاً من وضعها عموديًا (& # 167 14): 1234 5678 9 I 2 3 4 I 2345 هذا يعرض 9 كمجموع 4 و 5 يُفهم أن مجموع 4 و 5 يعني أننا نجمع 5 إلى 4. أن هذا يعطي نفس النتيجة مثل إضافة 4 إلى 5 يمكن رؤيتها من خلال حساب المتسلسلة بشكل عكسي.

من الملائم إدخال الصفر ، وبالتالي فإن 0 I 2345 6789 o I 2345 يشير إلى أنه بعد الوصول إلى 4 ، فإننا نبدأ بداية جديدة من 4 على أنها صفر.

للطرح ، يمكننا المضي قدمًا بإحدى الطريقتين. قد يعني طرح 4 من 9 إما "ما يجب إضافته إلى 4 للحصول على إجمالي 9" ، أو "إلى ما يجب إضافته إلى 4 للحصول على إجمالي 9." بالنسبة للمعنى السابق ، نعد للأمام ، حتى نصل إلى 4 ، ثم نحسب عددًا جديدًا ، بالتوازي مع استمرار السلسلة القديمة ، ونرى ما هو الرقم الذي نصل إليه عندما نصل إلى 9. وهذا يتوافق مع الطريقة الملموسة ، التي لدينا 9 أشياء ، خذ 4 منها ، وأعد العد الباقي. الطريقة البديلة هي تتبع خطوات الإضافة ، بمعنى آخر. للعد التنازلي ، معاملة 9 من سلسلة واحدة (المعيار) على أنها مطابقة لـ 4 من الأخرى ، وإيجاد أي عدد من الأول يتوافق مع o من الثانية. هذه طريقة أكثر تقدمًا ، والتي تؤدي بسهولة إلى فكرة الكميات السالبة ، إذا كان الطرح على هذا النحو يجب أن نتخلف عن المتسلسلة القياسية.

32. كميات مختلطة

تطبيق المبادئ المذكورة أعلاه ، والمبادئ المماثلة فيما يتعلق بالضرب والقسمة ، على الكميات العددية المعبر عنها في أي من الطوائف البريطانية المتنوعة ، لا يمثل صعوبة نظرية إذا كانت الطوائف المتعاقبة تشكل مقياسًا متنوعًا للترميز (& # 16717). وبالتالي فإن التعبير 2 قدم 3 بوصة يشير إلى أننا في عد البوصات نستخدم o إلى 11 بدلاً من o إلى 9 كأول سلسلة متكررة ، لذلك نضع i للفئة التالية عندما نصل إلى 12 بدلاً من عندما نحصل إلى عشرة. وبالمثل 3 ياردة. 2 قدم يعني ياردة. o I 2 3 ft. 0 I 2 0 I 2 0 I 2 0 I 2 ، بالطبع ، الصعوبة العملية هي أن إضافة عددين ينتج نتائج مختلفة وفقًا للمقياس الذي نحن فيه في الوقت الحالي ، وبالتالي فإن المجموع 9 و 8 هي 17 أو 15 أو 13 أو 11 وفقًا لأننا نتعامل مع شلن أو بنس أو جنيه (أفوردوبوا) أو أوقية. يمكن تقليل الصعوبة باستخدام الترميز الموضح في & # 167 17.

(ثالثا) المضاعفات والمضاعفات الفرعية والقواسم

33. عمليه الضرب و قسم

هي الأسماء المعطاة لعمليات عددية معينة يجب إجراؤها من أجل العثور على نتيجة بعض العمليات الحسابية. قد تنشأ كل عملية من عمليتين مختلفتين ولكن المصطلحات تعتمد على العمليات ، وليس على العمليات التي تنتمي إليها ، والأخيرة ليست دائمًا مفهومة بوضوح.

34. التكرار والتقسيم

يحدث الضرب عندما يتم التعامل مع رقم معين أو كمية عددية على أنها a الوحدة (& # 167 الثاني) ، ويؤخذ بعين الاعتبار عدد من المرات. لذلك ينشأ بطريقة أو أخرى من طريقتين ، وفقًا للوحدة أو الرقم موجود أولاً في الوعي. إذا تم ترتيب البنسات في مجموعات من خمسة ، فإن المبالغ الإجمالية المرتبة على التوالي مرة واحدة 5d. ، مرتين 5d. ، ثلاثة في 5d. . التي تمت كتابتها 1 × 5 د. ، 2 × 5 د. ، 3 × 5 د. .. (& # 167 28). هذه العملية تكرار، والكميات 1 × 5 د ، 2 × 5 د ، 3 × 5 د. .. هي المتتالية مضاعفات من 5 د. من ناحية أخرى ، إذا كان لدينا مجموع 5s ، ونعامل الشلن على أنه يعادل اثني عشر بنسًا ، 5s. يعادل 5 × 12 د. هنا ينشأ الضرب من أصل التقسيم من الوحدة الأصلية. في 12 د.

على الرغم من أن الضرب قد ينشأ بأي من هاتين الطريقتين ، إلا أن العملية الفعلية في كل حالة تتم من خلال البدء بالوحدة وأخذ العدد اللازم من المرات. في حالة التقسيم أعلاه ، على سبيل المثال ، يتم تحويل كل من الشلنات الخمسة بشكل منفصل إلى بنس ، لذلك نجد في الواقع على التوالي مرة واحدة 12 د ، مرتين 12 د. . بمعنى آخر. نجد مضاعفات 12 د. تصل إلى 5 مرات.

نتيجة الضرب تسمى منتج من الوحدة بعدد مرات أخذها.

35. مخطط الضرب تتم عملية الضرب من أجل الحصول على مثل هذه النتائج كما يلي: - إذا تلقى الصبي 7 تفاحات ، فسيحصل 3 أولاد على 21 تفاحة أو إذا كان. يعادل 12 د ، ثم 5 ثوانٍ. يعادل 60 د.

قد يتم عرض الأجزاء الأساسية من هذه البيانات ، من وجهة النظر الحسابية ، في شكل المخططات A و BAB أو بشكل أكثر إيجازًا ، كما في C أو C 'و D أو D': - CC 'الترتيب العام لـ الرسم البياني كما هو موضح في E أو E ': - EE' الضرب بالتالي يعادل إكمال الرسم التخطيطي عن طريق إدخال المنتج.

36. جداول متعددة يمثل الشكل C أو D للعدد & # 167 35 جزءًا من جدول كامل يوضح المضاعفات المتتالية للوحدة المعينة. إذا أخذنا عدة وحدات مختلفة ، وكتبنا مضاعفاتها المتتالية في أعمدة متوازية ، مسبوقة بسلسلة الأرقام ، نحصل على متعدد الجداول مثل ما يلي: يجب اعتبار أن كل عمود قد يمتد إلى أسفل إلى أجل غير مسمى.

37. الضرب المتتالي الضرب بالتكرار ، الوحدة نفسها عادة ما تكون مضاعفًا لبعض الوحدات الأخرى ، بمعنى آخر. إنه منتج يؤخذ كوحدة جديدة.عندما يتم ضرب هذه الوحدة الجديدة في رقم ، يمكننا مرة أخرى أخذ حاصل الضرب كوحدة لغرض عملية ضرب أخرى وهكذا إلى أجل غير مسمى. وبالمثل ، عندما ينشأ الضرب من التقسيم الفرعي لوحدة ما إلى وحدات أصغر ، يمكننا مرة أخرى تقسيم هذه الوحدات الأصغر حجمًا. وهكذا نحصل على عمليات الضرب المتتالية ولكنها تمثل عمليات مختلفة تمامًا وفقًا لكونها ناتجة عن التكرار بمعنى & # 167 34 أو التقسيم الفرعي ، وستظهر هذه العمليات بمخططات مختلفة. من المخططين أدناه ، يعرض A الضرب المتتالي لـ & # 1633 في 20 و 12 و 4 ، و B التخفيض المتتالي لـ & # 1633 إلى شلن وبنس وفارثينغ. المبدأ الذي تم بناء المخططات على أساسه واضح من & # 167 35. وتجدر الإشارة إلى أنه في ضرب & # 1633 في 20 نجد قيمة 20.3 ، ولكن في تقليل & # 1633 إلى شلن ، حيث أن كل & # 163 يصبح 20S ، نجد قيمة 3.20.

38 يتم التعبير عن علاقة الوحدة بمضاعفاتها المتتالية كما هو موضح في جدول متعدد بالقول إنها فرع فرعي للمضاعفات ، حيث تكون المضاعفات المتتالية نصف ، ثلث ، ربع. . وهكذا ، في الرسم البياني & # 167 36 ، هو. 5 د. نصف 2S. r od. ، ثلث 4s. 3d. ، ربع 5s. 8 د. . هذه مكتوبة "2 من 2S. iod." ، "1 من 4s. 3d. ،" "4 من 5s. 8d. ،" ...

إن علاقة التابع هي عكس علاقة المضاعف إذا كان a هو I لـ ب، ومن بعد ب 5 مرات أ. وبالتالي ، فإن تحديد التابع يكافئ إكمال الرسم البياني E أو E 'لـ & # 16735 عن طريق إدخال الوحدة ، عندما يتم تقديم عدد المرات التي يتم فيها أخذها ، والمنتج. العملية هي العكس أو التكرار الذي يطلق عليه عادة تقسيم، باعتبارها تمثل التقسيم إلى عدد من الأسهم المتساوية.

39. القواسم عكس التقسيم الفرعي هو تكوين الوحدات إلى مجموعات ، كل منها يشكل وحدة أكبر ، ويسمى عدد المجموعات المكونة من عدد محدد من الوحدات الأصلية حاصل القسمة. تحديد حاصل القسمة يعادل إكمال الرسم التخطيطي بإدخال الرقم عند إعطاء الوحدة والمنتج. لا يوجد اسم مرضٍ للعملية ، حيث يُطلق عليه أحيانًا اسم مميز عن القسم قياس، لكن هذا يعني وجود مساواة في الوحدات الأصلية ، وهي ليست سمة أساسية للعملية.

40. - من القانون التبادلي للضرب ، والذي يوضح أن 3 × 4 د. = 4 × ثلاثي الأبعاد. = 12 د ، يتبع ذلك عدد بنس في ربع 12 د. يساوي حاصل القسمة عند تشكيل 12 بنسًا إلى وحدات من 4 د. يقال أنه تم الحصول على كل من هذه الأرقام الفاصل 12 بواسطة 4. المصطلح قطاع لذلك يستخدم في الكتب النصية لوصف العمليتين الموصوفتين في & # 167 & # 167 38 و 39 ، المنتج المذكور في & # 167 34 هو توزيعات ارباح، الرقم أو الوحدة ، أيهما معطى ، يسمى المقسوم عليه، والوحدة أو الرقم الذي سيتم العثور عليه يسمى حاصل القسمة. يستخدم الرمز - للإشارة إلى كلا النوعين من القسمة وبالتالي أ = ن يشير إلى الوحدة ، n التي تشكل A ، و A = B تشير إلى عدد المرات التي يجب أن تؤخذ B لتعويض A. في هذه المقالة يتم تجنب هذا الالتباس عن طريق كتابة الأول اعتبارًا من A.

تعتبر طرق القسمة لاحقًا (& # 167 & # 167106-108).

41. مخططات تقسيم. - منذ نكتب من اليسار إلى اليمين أو إلى أسفل ، قد يكون من المناسب للقسمة تبادل الصفوف أو أعمدة مخطط الضرب. وبالتالي فإن الرسم التخطيطي غير المكتمل للقسم هو F أو G ، بينما بالنسبة للقياس عادة ما يكون H هو الجزء الشاغر للوحدة في F أو G ، وبالنسبة للرقم في H. قد يكون من المناسب في بعض الحالات قياس لإظهار كلا الوحدات ، كما في K.

42. القسمة المتتالية يمكن إجراؤها على أنها عكس الضرب المتتالي. المخططات A و B أدناه هي عكس (مع تغيير طفيف) المخططات المقابلة 12 د.

7 تفاحات 21 تفاحة 5 3 7 تفاح 21 تفاحة 3 رقم الوحدة المنتج # 1632880 & # 1633 60 ثانية.

4 صبي 7 تفاح 3 أولاد 21 تفاحة رقم الوحدة المنتج في & # 167 37 أ يمثل تحديد 2 0 من 7 1 2 من 4 من 2880 فارثًا ، و B تحويل 2880 فارثًا إلى L.

(رابعا) خواص الأعداد

(أ) الخصائص لا تعتمد على مقياس التدوين

43. القوى والجذور واللوغاريتمات

السلسلة القياسية I ، 2 ، 3 ،. .. يتم الحصول عليها من خلال الإضافات المتتالية لـ I إلى آخر رقم تم العثور عليه. إذا بدلاً من البدء بـ I وإجراء عمليات الجمع المتتالية لـ 1 ، بدأنا بأي رقم مثل 3 وقمنا بضربات متتالية في 3 ، نحصل على سلسلة 3 ، g ، 27 ،. .. مثل 0 1 = 3 ° n ° موضحة أسفل الخط في الهامش. العضو الأول في السلسلة هو 3 ، والثاني هو حاصل ضرب n 1 رقمين ، كل منهما يساوي 3 ، والثالث هو القناة المكونة من ثلاثة أعداد ، كل منها يساوي 3 وهكذا.

n3 هذه مكتوبة 3 1 (أو 3) ، 3 2 ، 3 3 ، 3 4 ،. .. حيث 4 n P يدل على حاصل ضرب ص الأرقام ، كل منها يساوي ن. إذا كتبنا ن P = N ، إذن ، إذا كان هناك أي رقمين من الأرقام الثلاثة ن ، ص ، N معروفة ، والثالث محدد. إذا عرفنا n و ص ، ص يسمى فهرس، و ن، ن 2 ،. .. ن تسمى القوة الأولى ، القوة الثانية ،. .. pth القوة من ن، المسلسل نفسه يسمى سلسلة الطاقة. ال القوة الثانية و القوة الثالثة عادة ما تسمى ميدان و مكعب على التوالى. إذا علمنا ص و N ، n يسمى الجذر pth من N ، لذلك ن هل ثانيا (أو الجذر التربيعي من ن 2 ، فإن الثالث (أو cube) الجذر من ن 3 ، ال الجذر الرابع من ن 4 ،. .. إذا عرفنا n و N إذن ص هل اللوغاريتم من N إلى قاعدة حساب القوى (أي N عندما ن و ص يعطى) هو الالتفاف حساب الجذور (أي ن متي ص و N) هو تطور حساب اللوغاريتمات (أي ص متي ن و N) ليس له اسم خاص.

الالتفاف هو عملية مباشرة ، تتكون من عمليات مضاعفة متتالية ، أما العمليتان الأخريان فهي عمليات معكوسة. يمكن إجراء حساب اللوغاريتم عن طريق التقسيمات المتتالية ، يتطلب التطور طرقًا خاصة.

التعريفات أعلاه للوغاريتمات ، & أمبير ؛ أمبير. ، تتعلق بالحالات التي ن و ص هي أعداد صحيحة ، ويتم تعميمها لاحقًا.

44قانون المؤشرات. - إذا نضرب n P في ن ف ، نضرب حاصل ضرب ص n بمنتج ف ن ، والنتيجة إذن هي n P + ف. وبالمثل ، إذا قسمنا n P على n q ، فأين ف اقل من ص والنتيجة هي ن ف - ف. وبالتالي ، فإن الضرب والقسمة في سلسلة القوى يتوافقان مع الجمع والطرح في سلسلة الفهرس ، والعكس صحيح.

إذا قسمنا n 9 على n P ، يكون الناتج بالطبع 1. يجب كتابة هذا رقم °. وبالتالي قد نجعل سلسلة الطاقة تبدأ بـ 1 ، إذا جعلنا سلسلة الفهرس تبدأ بـ o. تظهر المصطلحات المضافة أعلى الخط في الرسم البياني في & # 167 43.

45. العوامل ، الأعداد الأولية والعوامل الأولية. - إذا نأخذ المضاعفات المتتالية للعدد 2 ، 3..

مثل & # 167 36 ، ووضع كل 2 2 ..

مضاعف مقابل نفس الرقم 3 3 في السلسلة الأصلية ، 4 4

4 نحصل على ترتيب مثل 6 6 6.5 6 في الرسم التخطيطي المجاور. إذا كان 7 .. 7 أي رقم N يحدث في 8 8 8 .. 8 سلسلة عمودية تبدأ 9 9 برقم ن (بخلاف Io Io I) ثم يُقال إن n هي a عامل 12 12 12 12 .. 12 من N. وهكذا 2 و 3 و 6 هي.

عوامل العدد 6 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12 هي عوامل العدد 12.

الرقم (بخلاف I) الذي ليس له أي عامل باستثناء نفسه يسمى a رقم اولي، أو باختصار أ رئيس. وهكذا 2 ، 3 ، 5 ، 7 وأنا هي أعداد أولية ، لكل منها مرتين فقط في الجدول.

يسمى الرقم (بخلاف r) الذي ليس رقمًا أوليًا بالرقم المركب.

إذا كان الرقم عاملًا لرقم آخر ، فهو عامل لأي مضاعف لهذا الرقم. ومن ثم ، إذا كان للرقم عوامل ، فيجب أن يكون أحد هذه العوامل على الأقل عددًا أوليًا. وبالتالي فإن 12 لديها 6 لعامل ولكن 6 ليست عددًا أوليًا ، أحد عواملها هو 2 وبالتالي 2 يجب أن تكون أيضًا عامل 12. بقسمة 12 على 2 ، نحصل على الضابط الفرعي 6 ، الذي لديه أيضًا شرطًا رئيسيًا 2 باعتباره a عامل. وبالتالي فإن أي رقم ليس في حد ذاته عدد أولي هو نتاج عدة عوامل ، كل منها عدد أولي ، على سبيل المثال 12 هو حاصل ضرب 2 و 2 و 3. هذه تسمى العوامل الأولية. فيما يلي أهم خصائص الأرقام بالرجوع إلى العوامل: (1) إذا كان الرقم عاملًا لرقم آخر ، فهو عامل لأي مضاعف لهذا الرقم.

(2) إذا كان الرقم عاملًا يتكون من رقمين ، فهذا عامل في مجموعهما أو (إذا كانا غير متساويين) في الاختلاف بينهما. (يتم إدراج الكلمات الموجودة بين قوسين لتجنب صعوبة القول ، في هذه المرحلة ، أن كل رقم هو عامل o ، على الرغم من أنه من الصحيح بالطبع أن o. ن = س ، أيا كان n.) (3) يمكن حل الرقم إلى عوامل أولية بطريقة واحدة فقط ، دون أخذ ترتيبها النسبي في الاعتبار. وهكذا ، فإن 12 = 2 × 2 × 3 = 2 × 3 × 2 = 3 × 2 × 2 ، ولكن هذا يعتبر طريقة واحدة فقط. إذا حدث أي عدد أولي أكثر من مرة ، فمن المعتاد كتابة عدد مرات التكرار كمؤشر وبالتالي 144 = 2X2X2X2X3X3 = 24 32.

عادةً ما يتم تضمين الرقم r بين الأعداد الأولية ، ولكن إذا تم ذلك ، فإن الفقرة الأخيرة تتطلب تعديلًا ، حيث يمكن التعبير عن 144 كـ 1.2 4.32 ، أو 1 2.2 4.3 2 ، أو IP. 2 4.32 ، أين ص قد يكون أي شيء.

إذا لم يكن هناك عامل مشترك بين رقمين (باستثناء 1) ، يُقال أن كل منهما أولي للآخر.

مضاعفات 2 (بما في ذلك 1.2) تسمى حتى في أرقام أرقام أخرى الفردية أعداد.

46. ​​القاسم المشترك الأكبر

إذا حللنا عددين في عواملهما الأولية ، فيمكننا إيجادهما القاسم المشترك الأكبر أو اعلى عامل مشترك (مكتوبة GCD أو GCF أو HCF) ، بمعنى آخر. أكبر عدد هو عامل كلاهما. وهكذا فإن 144 = 24.3 2 ، و 756 = 2 2.33 7 ، وبالتالي فإن G.C.D. من 144 و 756 هو 2 2.3 2 = 36. إذا طلبنا G.C.D. من رقمين ، ولا يمكننا حلهما في عواملهما الأولية ، نستخدم عملية موصوفة في الكتب المدرسية. تعتمد العملية على (ii) من & # 167 45 ، بالصيغة الموسعة التي ، إذا x هو عامل من ب، إنه عامل pa-qb ، أين ص و ف هي أي أعداد صحيحة.

جى سى دى من ثلاثة أرقام أو أكثر بنفس الطريقة.

47. المضاعف المشترك الأصغر

المضاعف المشترك الأصغر ، أو LCM ، المكون من رقمين ، هو أقل عدد يكون كلاهما عاملين. وهكذا ، بما أن 144 = 24 3 2 ، و 756 = 2 2.33 7 ، فإن L.C.M. من 1 44 و 756 هو 24 33 7. من الواضح ، بالمقارنة مع الفقرة الأخيرة ، أن منتج G.C.D. و L.C.M. من عددين يساوي حاصل ضرب العددين أنفسهم. هذا يعطي قاعدة لإيجاد L.C.M. من رقمين. لكن لا يمكننا تطبيقه على العثور على L.C.M. من ثلاثة أعداد أو أكثر إذا لم نتمكن من حل هذه الأعداد في عواملها الأولية ، فيجب علينا إيجاد L.C.M. من الأولين ، ثم L.C.M. من هذا والرقم التالي ، وما إلى ذلك.

(ب) الخصائص حسب مقياس التدوين

48. اختبارات القسمة

فيما يلي القواعد الأساسية لاختبار ما إذا كانت أرقام معينة هي عوامل لرقم معين. الرقم قابل للقسمة (i) على io إذا انتهى بـ o (ii) على 5 إذا انتهى بـ o أو 5 (iii) على 2 إذا كان الرقم الأخير زوجيًا (iv) على 4 إذا كان الرقم مكونًا من الأخير رقمين قابلين للقسمة على 4 (v) على 8 إذا كان الرقم المكون من آخر ثلاثة أرقام قابل للقسمة على 8 (vi) على 9 إذا كان مجموع الأرقام قابلاً للقسمة على 9 (vii) على 3 إذا كان sl um من الأرقام قابلة للقسمة على 3 I 3 = 31 2 9 = 32 3 27 = 33481 = 34 (viii) على II إذا كان الفرق بين مجموع الأول والثالث والخامس. .. أرقام ومجموع 2 ، 4 ، 6 ،. .. هو صفر أو يقبل القسمة على أنا.

(9) لمعرفة ما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 7 أو II أو 13 ، رتب الرقم في مجموعات من ثلاثة أرقام ، بدءًا من النهاية ، تعامل مع كل مجموعة كرقم منفصل ، ثم ابحث عن الفرق بين مجموع الأول ، 3 ،. .. من هذه الأرقام ومجموع 2 ، 4 ،. .. إذن ، إذا كان هذا الاختلاف صفرًا أو كان قابلاً للقسمة على 7 أو II أو 13 ، فإن الرقم الأصلي أيضًا قابل للقسمة والعكس. على سبيل المثال ، يعطي الرقم 31521 521-31 = 49 0 ، وبالتالي فهو قابل للقسمة على 7 ، ولكن ليس على II أو 13.

49. إخراج تسعة

هي عملية تستند إلى (6) من الفقرة الأخيرة. الباقي عند قسمة رقم على 9 يساوي الباقي عندما يتم قسمة مجموع أرقامه على 9. أيضًا ، إذا كانت الباقي عند قسمة رقمين على 9 هي على التوالي a و ب، الباقي عند قسمة حاصل ضربهم على 9 هو نفس الباقي عندما أ ب مقسومة على 9. هذا يعطي قاعدة لاختبار الضرب ، والتي توجد في معظم الكتب المدرسية. ومع ذلك ، من المشكوك فيه أن تكون هذه القاعدة ، التي تعطي اختبارًا غير مكتمل بالضرورة ، ذات قيمة تعليمية كبيرة.

(الخامس.) الحجم النسبي

50. الكسور

جزء من الكمية هو ضابط فرعي أو مضاعف تابع لتلك الكمية. وهكذا ، منذ 3 X Is. 5 د. = 4 ثانية. 3D. ، هو. 5 د. يمكن الإشارة إليها بـ s من 4s. ثلاثي الأبعاد. وأي من مضاعفات هو. 5d. ، يُرمز إليها بـ n X Is. 5 د ، يمكن الإشارة إليه أيضًا بـ - 3 4s. ثلاثي الأبعاد. لذلك نستخدم "أ من أ" للإشارة إلى أننا نجد كمية س مثل س س = أ ، ثم نضرب س في ن. يجب ملاحظة (1) أن هذا تعريف لـ "a of" وليس تعريفًا لـ "a" و (ii) أنه ليس من الضروري أن ن يجب أن يكون أقل من أ. 51. تقسيم فرعي من الخاضع. - بواسطة 7 من أ نعني 5 أضعاف الوحدة ، و 7 مرات أي أ. إذا اعتبرنا هذه الوحدة 4 مرات أقل ، فإن Aris 7.4 أضعاف هذه الوحدة الأصغر ، و 7 من A هي 5.4 أضعاف الوحدة الأصغر. ومن ثم فإن 7 من A تساوي 7: 4 من A ، وعلى العكس من ذلك ، فإن 7: 4 من A تساوي 7 من A. وبالمثل ، كل من هذه تساوي 73 من A. ومن ثم فإن قيمة الكسر لا تتغير بالتعويض. للبسط والمقام الأرقام المقابلة في أي عمود آخر من جدول متعدد (& # 167 36). إذا كتبنا 74 في الصورة 47 ، فيمكننا القول إن قيمة الكسر لا تتغير بضرب أو قسمة البسط والمقام على أي رقم.

52. كسر من كسر لإيجاد 7 من A ، علينا تحويل 7 من A إلى 4 مرات بعض الوحدات. يتم ذلك من خلال الفقرة السابقة. ل 7 من أ = 74 من أ = 7: 4 من أ بمعنى آخر. إنها 4 أضعاف الوحدة التي هي نفسها 5 أضعاف وحدة أخرى ، 7.4 مرات وهي A. وبالتالي ، أخذ الوحدة السابقة II مرات بدلاً من 4 مرات ، 7 من A = 11 ' 5 من أ.

7.4 يُطلق على جزء من الكسر أحيانًا اسم a جزء مركب. 53. المقارنة والجمع والطرح من الكسور يتم التعبير عن الكميات 4 من A و 7 من A من حيث الوحدات المختلفة. لمقارنتهم أو جمعهم أو طرحهم ، يجب علينا التعبير عنهم من حيث الوحدة نفسها. وبالتالي ، بأخذ 2 دولار من A كوحدة ، لدينا (& # 167 51) IofA = 2 * من A -ofA = 2-2 ofA.

ومن ثم فإن الأول أكبر من الأخير ، ومجموعهما 41 جم من A وفرقهما 2 ، من A.

وبالتالي يجب اختزال الكسور إلى أ القاسم المشترك. يجب أن يكون هذا المقام ، إذا كانت الكسور بأدنى حد لها (& # 167 54) ، مضاعفًا لكل من المقامات ، فعادة ما يكون من الأنسب أن يكون LCM الخاص بهم. (& # 167 47).

54. كسر في أدنى شروطه. - أ يقال أن يكون الكسر بأدنى شروطها عندما لا يوجد مشترك بين البسط والمقام ، فإن الطريقة الصحيحة هي كتابته أ: ب. إذا كانت كميتان أو رقمان P و Q متشابهتان في نسبة ص ل ف ، يتضح من الرسم التخطيطي أن ص مرات س = ف مرات P ، بحيث Q = f ، P.

57. نسبة- إذا من أي عمودين في الجدول & # 167 36 نقوم بإزالة الأرقام أو الكميات في أي صفين ، نحصل على رسم تخطيطي مثل ذلك الموضح هنا. قد يحتوي زوج المقصورات على كلا الجانبين ، كما هو الحال هنا ، على كميات عددية ، أو قد يحتوي على أرقام. لكن زوجي الحجرات سيتوافقان مع زوج واحد من الأرقام ، على سبيل المثال 2 و 6 ، في السلسلة القياسية ، بحيث تشير M إلى N بنفس النسبة التي P إلى Q ، حيث تشير M p إلى Q على التوالي. N مثل P إلى Q ، يتم كتابة العلاقة M: N :: P: Q ثم يُقال أن الكميات الأربعة هي في نسبة أو أن تكون النسب. هذا هو التعبير الأكثر عمومية عن الحجم النسبي لكميتين بمعنى آخر. تتضمن العلاقة المعبر عنها بالتناسب العلاقات التي يتم التعبير عنها بواسطة مضاعف ، فرعي ، كسر ونسبة.

إذا كانت M و N على التوالي م و ن مرات في الوحدة ، و P و Q على التوالي ص و ف ضرب وحدة ، ثم الكميات متناسبة إذا م ق = ن وعلى العكس من.


أساسيات الرياضيات - سلسلة برايم

في نهاية كل محاضرات فيديو ، تتوفر أسئلة التخصيص والاختبار لمساعدتك على اختبار فهمك على طول الطريق.

اسم المواضيع:

القابلية للقسمة ، والعوامل الأولية ، والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) ،العامل المشترك الاكبر (GCF) ، القيمة المطلقة ، القيمة المكانية

الأعداد الصحيحة أو الأعداد السالبة (الجمع والطرح والضرب والقسمة) ، التقريب (عدد صحيح ورقم عشري)

الكسور العشرية (قسّم على 10 و 100 و 100 ، الجمع والطرح والضرب والقسمة)

الكسور (التحويل والجمع والطرح والضرب والقسمة بالمقامات المتشابهة وغير المتشابهة)

أعداد كسرية (التحويل والجمع والطرح والضرب والقسمة بالمقامات المتشابهة وغير المتشابهة)

ترتيب العمليات وقاعدة PEMDAS ، تحديد عدد المصطلحات والمتغيرات والفاعلية المشتركة والدرجة والثابت

تحديد وإضافة وطرح المصطلحات المتشابهة

قواعد الأس وخصائصه (تقييم الأسس ، وقاعدة المنتج ، وقاعدة الحاصل ، وقاعدة القوة ، والقاعدة العكسية ، والقاعدة الموسعة ، وقاعدة الصفر)

الترميز العلمي (التحويل من التدوين العلمي إلى التدوين القياسي ، والمعيار إلى الترميز العلمي ، والجمع والطرح والضرب والقسمة) ، الجذر التربيعي والجذر المكعب ، الجذور (الجمع والطرح والضرب والقسمة) ، قيم التعبيرات

مفهوم النسب ومشكلات الكلمات والنسب والنسب ومشكلات الكلمات والنسبة المئوية ومشكلات الكلمات

وحدة التحويلات (مثال ، ملم إلى كيلومتر ، كيلومتر إلى متر ، جرام إلى كيلومتر ، بوصة إلى قدم ، إلخ) ، أسعار الوحدات والممتلكات التوزيعية

التعرف على ذاتي ، وحدين ، وثلاثي الحدود ، ومتعدد الحدود

ملاحظات: قسم الملاحظات هو المكان الذي تجد فيه أهم الأشياء لتتعلمها وتتذكرها وتجدد معلوماتك.

محاضرات الفيديو: شاهد محاضرات الفيديو بعناية لفهم كل خطوة من خطوات المشكلة. لقد قمت بتغطية جميع الأسئلة الشائعة المحتملة التي يتم طرحها عادةً في الاختبار.

أسئلة التعيين: سيغطي قسم المهام الأسئلة ذات الصلة التي تمت مناقشتها في محاضرات الفيديو والتي تساعدك على اختبار نفسك وبناء الثقة.

أسئلة الاختبار: عندما تعتقد أن لديك ثقة كافية في موضوع ما ، يمكنك اختبار معلوماتك من خلال إجراء أحد اختبارات الاختبار لدينا. أسئلة الاختبار لها خيارات إجابة مختلفة وسيُطلب منك تحديد الخيار الصحيح. بمجرد انتهاء الاختبار ، يمكنك التحقق من نسبة درجاتك.


مشاكل الانقسام


    ما هي قيمة أصغر زوج من الأعداد مجموعهما 78 وحاصل قسمةهما 0.3؟
    2 كغم من الدقيق يكلف 100 كرونة تشيكية. كم يكلف نصف كيلو جرام؟
    كتلة قاعدتها 50 سم 2 مملوءة بالماء 5 سم تحت الحافة. كم عدد مكعبات السكر التي يبلغ طول حافة 2 سم يمكن إلقاؤها في وعاء يفيض الماء؟
    تحتوي مجموعة ليغو اللانهائية على كتل 6 ، 9 ، 20 كيلوغرام فقط والتي لم يعد من الممكن صقلها أو كسرها. أخذهم العمال إلى صالة الألعاب الرياضية وبدأوا على الفور في بناء مبانٍ مختلفة. وبالطبع ، قاموا بتدوين مقدار وزن المبنى. ال
    إذا قلصت مجموع الأعداد 70 والعدد المجهول ثلاث مرات ، فسأحصل على 100. ما هو الرقم المجهول؟
    يجب أن يتلقى الطفل جرعة مقدارها 0.5 ملعقة صغيرة من دواء السعال كل 12 ساعة. إذا كانت الزجاجة تحتوي على 60 جرعة ، فكم يوم سيستمر الدواء؟
    في يوم الطفل ، اشترى المنظمون 252 علكة و 396 حلوى و 108 مصاصات. إنهم يريدون عمل أكبر عدد ممكن من الحزم نفسها. أخبرهم بما يجب أن يضعوه في كل حزمة وكم عدد الحزم التي يمكنهم صنعها بهذه الطريقة.
    A هو عدد صحيح تعسفي يعطي الباقي 1 في القسمة مع 6. B هو عدد صحيح تعسفي يعطي الباقي 2 القسمة على. ما الذي يجعل الباقي في القسمة على 3 حاصل ضرب الأعداد أ × ب؟
    في الصف السادس 60 فتاة و 72 فتى. نريد تقسيمهم إلى مجموعات بحيث يكون عدد الفتيات والفتيان متساويًا. كم عدد المجموعات التي يمكنك إنشاؤها؟ كم عدد الفتيات في المجموعة؟
    مستعمرة الحدائق بأبعاد 180 م و 300 م تقسم بالكامل إلى نفس المربعات الكبيرة من أعلى مساحة. احسب عدد المربعات التي يمكن الحصول عليها وحدد طول الضلع المربع.
    صندوق واحد يحمل 50 برتقالة. إذا احتاج بوب إلى شحن 932 برتقالًا ، فكم عدد الصناديق التي سيحتاجها؟
    النقاط P & Q تنتمي إلى الجزء AB. إذا كان AB = a ، AP = 2PQ = 2QB ، فأوجد المسافة: بين النقطة A ونقطة منتصف المقطع QB.
    اشترت السيدة فيتكوفا القميص نفسه لكل من أطفاله الثلاثة بمبلغ 1000 كرونة تشيكية. البائعة عادت 568،60 كرونة تشيكية. كم كان سعر القميص الواحد؟
    كم عدد الكتاكيت التي تم فقسها من 4500 بيضة عندما فقس متوسط ​​100 بيضة 87 دجاجة؟
    كم عدد المنتجات التي تزن 12.5 كجم يمكن تحميلها على عربة شحن بحمولة 1.5 طن لتحميل ثلثيها؟
    تحتاج أمي إلى 6 حبال بطول 360 سم. كم تحتاج عندما يتم بيعها على مسافة 9 أمتار ولا تريد ضمها؟
    قم بقص جزء من خط طوله 15 سم إلى مقطعين مستقيرين بحيث تكون أطوالهم بنسبة 2: 1. ما الطول الذي سيكون لكل منهما؟
    أوجد X في هذه المعادلة البسيطة: X / 9 = 96/108
    إذا طرح حاصل قسمة 8/13 و 2 من حاصل ضرب 1 3/4 و 8/21 ، فما الفرق؟
    مرت الشاحنة 4550 كم في 5 أيام. مرت الأيام الثلاثة الأولى من كل يوم بنفس الطريقة. اليوم الرابع مر 630 كلم واليوم الخامس 920 كلم. كم عدد الكيلومترات مرت الأيام الثلاثة الأولى؟

وجدنا على الأقل 10 يتم إدراج مواقع الويب أدناه عند البحث باستخدام أوجد أقل القاسم المشترك آلة حاسبة في محرك البحث

القاسم المشترك الأصغر (LCD) حاسبة

Symbolab.com DA: 16 السلطة الفلسطينية: 22 رتبة موز: 38

  • حر القاسم المشترك الأصغر (LCD) حاسبة - تجد شاشة LCD المكونة من رقمين أو أكثر خطوة بخطوة يستخدم هذا الموقع ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة
  • باستخدام هذا الموقع ، فإنك توافق على سياسة ملفات تعريف الارتباط الخاصة بنا.

القاسم المشترك الأصغر حاسبة

Byjus.com DA: 9 السلطة الفلسطينية: 37 رتبة موز: 47

  • ال القاسم المشترك الأصغر حاسبة هي أداة مجانية عبر الإنترنت تعرض المضاعف المشترك الأصغر الخاص بـ القواسم
  • BYJU'S على الإنترنت القاسم المشترك الأصغر آلة حاسبة أداة تجعل العمليات الحسابية أسرع وأسهل حيث المضاعف المشترك الأصغر لـ القواسم من الكسرين يتم عرضها في جزء من الثواني.

حاسبة LCD. أوجد المقام المشترك الأصغر

  • ال القاسم المشترك الأصغر، والمعروف أيضًا باسم الأدنى القاسم المشترك، هو الأدنى المضاعف المشترك التابع القواسم من مجموعة معينة
  • عادة ما نبحث عن القاسم المشترك الأصغر عندما نريد إجراء عملية على الكسور ، مثل جمع الكسور (والطرح) أو مقارنة الكسور.

القاسم المشترك الأصغر حاسبة

  • ال القاسم المشترك الأصغر آلة حاسبة سوف يساعدك تجد شاشة LCD التي تحتاجها قبل إضافة الكسور أو طرحها أو مقارنتها
  • طريقة واحدة لفهم القاسم المشترك الأصغر هو سرد جميع الأعداد الصحيحة التي هي من مضاعفات الاثنين القواسم
  • على سبيل المثال ، بالنسبة للكسرين 1/3 و 2/5 فإن القواسم هي 3 و 5.

أصغر آلة حاسبة للمقام المشترك

Hackmath.net DA: 16 السلطة الفلسطينية: 39 رتبة موز: 59

  • الأخفض القاسم المشترك أو القاسم المشترك الأصغر (اختصار LCD) هو ملف أقل مضاعف مشترك التابع القواسم من مجموعة الكسور
  • إنه أصغر عدد صحيح موجب وهو أ مضاعف لكل واحد المقام - صفة مشتركة - حالة في المجموعة
  • تكتب الكسور بشريط كسر / مثل 3/4
  • مثال: لحساب LCD لثلاثة كسور 1/2 2/3 5/4

حاسبة LCD كيفية العثور على المقام المشترك الأصغر لـ

Lcmgcf.com DA: 10 السلطة الفلسطينية: 16 رتبة موز: 31

  • استفد من شاشة LCD آلة حاسبة ل تجد ال القاسم المشترك الأصغر وإجراء جميع حساباتك بوتيرة أسرع
  • فقط أدخل أرقام الإدخال في حقل الإدخال وانقر على زر الحساب للاستفادة من النتائج في جزء من الثانية.

ال سي دي حاسبة القاسم المشترك الأقل حاسبة

  • لجعل حساباتك بسيطة وسهلة يمكنك تجربة ذلك القاسم المشترك الأصغر آلة حاسبة
  • القاسم المشترك الأصغر عملية حسابية
  • لمجموعة من الكسور ، 1/2 و 5/6 و 3/7
  • LCM من القواسم 2،6 و 7 هي 42
  • الجزء المعاد ترتيبه للسلسلة المعينة هو 21/42 و 35/42 و 18/42.

القاسم المشترك (LCD) حاسبة

  • شاشة LCD آلة حاسبة يستخدم كسرين أو أكثر أو أعداد صحيحة أو أرقام مختلطة ويحسب القاسم المشترك الأصغر، بمعنى آخر
  • أصغر عدد صحيح موجب يقبل القسمة على كل منهما القواسم من هذه الأرقام
  • إنها أداة رياضية عبر الإنترنت مبرمجة خصيصًا لـ تجد خارج ال القاسم المشترك الأصغر لكسور مختلفة أو غير متساوية القواسم.

القاسم المشترك الأصغر المتغيرات حاسبة

Softmath.com DA: 12 السلطة الفلسطينية: 50 رتبة موز: 70

  • القاسم المشترك الأصغر مع المتغيرات ، وحل المعادلات الموازنة ، والتوسع ذي الحدين عبر الإنترنت ، والغش والقصور ، وأسئلة القطع الزائد والقطع المكافئ لـ gre ، ودليل حل محاسبة التكاليف ، & quot ، & quot + & quot ، متعدد الحدود من الدرجة الثالثة & quot
  • مشروع استقصائي في الرياضيات ، ورقة عمل قسمة المونوميل ، الجذر التربيعي على الإنترنت آلة حاسبة.

القاسم المشترك الأصغر على الإنترنت

  • الموقف الذي تبنته تجاه القاسم المشترك الأصغر آلة حاسبة الإنترنت ليس جيدًا
  • أنا أفهم أنه لا يمكن للمرء أن يفكر حقًا في شيء آخر في مثل هذه الحالة
  • من الجيد أنك ما زلت تريد المحاولة
  • مفتاحي لحل المعادلات السهل هو Algebrator ، أنصحك بتجربته الأقل بمجرد.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM) حاسبة

Symbolab.com DA: 16 السلطة الفلسطينية: 22 رتبة موز: 48

  • حر الأقل شيوعا المضاعف (LCM) آلة حاسبة - تجد المكوّن من رقمين أو أكثر خطوة بخطوة يستخدم هذا الموقع ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة

المضاعف المشترك الأصغر

Calculator.net DA: 18 السلطة الفلسطينية: 20 رتبة موز: 49

  • هذا LCM مجاني آلة حاسبة يحدد أقل مضاعف مشترك لمجموعة معينة من الأرقام
  • تعرف على المزيد حول الطرق المختلفة لـ العثور على LCM ، أو استكشف المئات من الآلات الحاسبة الأخرى التي تتناول موضوعات مثل الرياضيات والتمويل واللياقة والصحة وغيرها.

القاسم المشترك الأصغر حاسبة

  • احسب القاسم المشترك الأصغر (LCD) لمجموعة معينة من الأرقام
  • يدعم الكسور الصحيحة والكسور غير الصحيحة والأعداد الصحيحة والأرقام المختلطة.

إيجاد المقام المشترك (الأصغر)

  • العثور على ال (القاسم المشترك الأصغر
  • هذا درس مجاني حول العثور على أ القاسم المشترك بالإضافة إلى الكسر
  • ال القاسم المشترك يجب أن يكون مضاعف من كل من القواسم
  • ال أقل مضاعف مشترك التابع القواسم هو أصغر ما يمكن القاسم المشترك، لكنها ليست الوحيدة الممكنة.

آلة حاسبة على الانترنت. المقام المشترك الأصغر لكسرين

  • في جزء آلة حاسبة يمكنك إدخال أعداد صحيحة وكسور عشرية وكسور وأرقام كسرية
  • ، ستقوم بمسح محتوى الكسر
  • يمكنك التنقل بين حقول إدخال الكسور بالضغط على المفاتيح & quotleft & quot و & quotright & quot على لوحة المفاتيح
  • اضغط على زر & quot تحويل الكسور إلى القاسم المشترك الأصغر

المضاعف المشترك الأصغر ل 5 أرقام حاسبة المقام المشترك الأصغر لـ

Hcflcm.com DA: 10 السلطة الفلسطينية: 29 رتبة موز: 54

  • أداة مجانية عبر الإنترنت LCM من 5 أرقام تجعل حساباتك أسرع وتعرض أقل مضاعف مشترك من 5 أرقام في غضون ثوان
  • تحتاج فقط إلى توفير المدخلات في أقسام الإدخال والضغط على زر الحساب للحصول على LCM المعني على الفور
  • مثال: المضاعف المشترك الأصغر للعدد 10 أو 20 أو 55 أو 40 أو 45 (أو) المضاعف المشترك الأصغر للعدد 24

القاسم المشترك الأصغر آلة حاسبة

Softmath.com DA: 16 السلطة الفلسطينية: 50 رتبة موز: 82

  • متي القواسم مختلفة ، يجب عليك استخدام الكسور المتكافئة كأداة لإنشاء كسور جديدة بنفس الشيء المقام - صفة مشتركة - حالة
  • هذا سيجعل المقارنة بينهما سهلة
  • هذا الجديد المقام - صفة مشتركة - حالة يسمى القاسم المشترك الأصغر (LCD)
  • الأقل شيوعًا المقام - صفة مشتركة - حالة هو أصغر رقم وهو a مشترك مضاعفات كل من الأصل القواسم.

المضاعف المشترك الأصغر

Alcula.com DA: 14 السلطة الفلسطينية: 22 رتبة موز: 53

  • استخدم LCM آلة حاسبة لحساب أقل مضاعف مشترك من مجموعة من رقمين إلى 10 أعداد
  • يجب أن تكون القيم الفردية أعدادًا صحيحة بين -2147483648 و 2147483647 ، مفصولة بفواصل أو مسافات أو علامات جدولة أو أسطر جديدة
  • بمجرد الانتهاء من إدخال القيم ، اضغط على Calculate LCM لإرسال بياناتك
  • زر "إعادة التعيين" يمسح النموذج ويبدأ جلسة جديدة.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM) حاسبة

Rapidtables.com DA: 19 السلطة الفلسطينية: 30 رتبة موز: 67

  • تجد ال أقل مضاعف مشترك رقم 8 و 12: مضاعفات 8 هي: 8 ، 16 ، 24 ، 32 ، 40 ، مضاعفات 12 هي:

المضاعف المشترك الأصغر مع حاسبة الأس

  • من عند أقل مضاعف مشترك مع الأس آلة حاسبة لحل المعادلة التربيعية ، قمنا بتضمين كل جزء
  • تعال إلى Solve-variable.com واكتشف المثلثية وتقسيم الكسور وكمية كبيرة من مجالات مواضيع الرياضيات الإضافية

المضاعف المشترك الأصغر للكسور لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر

  • المضاعف المشترك الأصغر للكسور آلة حاسبة: إذا كنت تريد حساب ملف أقل مضاعف مشترك من الكسور تأخذ المساعدة من الأداة اليدوية هنا
  • حقق أقصى استفادة منها ووفر وقتك ، وتغلب على متاعب إجراء حسابات مطولة
  • بالإضافة إلى ذلك ، قمنا بتجميع الإجراء خطوة بخطوة حول كيفية تحديد المضاعف المشترك الأصغر للكسور.

LCM من 3 أرقام حاسبة كيفية حساب الأقل

Lcmgcf.com DA: 10 السلطة الفلسطينية: 29 رتبة موز: 60

  • استخدم المضاعف المشترك الأصغر المفيد لـ 3 أرقام آلة حاسبة لتقييم أقل مضاعف مشترك من ثلاثة أرقام معطاة كمدخلات
  • كل ما عليك فعله هو ببساطة توفير أرقام الإدخال في الحقل المعني والنقر على زر الحساب للحصول على LCM في أي وقت من الأوقات
  • مثال: LCM 12 ، 48 ، 64 (أو) LCM 16 ، 56 ، 22 (أو) LCM 8 ، 72 ، 48.

حاسبة GCD التي توضح الخطوات

Mathportal.org DA: 18 السلطة الفلسطينية: 50 رتبة موز: 90

  • مثال: تجد GCD لـ 45 و 54 من خلال سرد العوامل
  • الخطوة 1: تجد جميع قواسم الأعداد المعطاة: قواسم 45 هي 1 و 3 و 5 و ⑨ و 15 و 45
  • قواسم 54 هي 1 و 2 و 3 و 6 و، 18 و 27 و 54
  • الخطوة 2: القاسم الأكبر = ⑨

القاسم المشترك الأصغر حاسبة

Ezcalc.me DA: 9 السلطة الفلسطينية: 37 رتبة موز: 69

  • في الرياضيات ، فإن القاسم المشترك الأصغر أو الأدنى القاسم المشترك (LCD) هي الأدنى المضاعف المشترك التابع القواسم من مجموعة الكسور
  • العثور على تعد شاشة LCD مهمة لأن جميع الكسور يجب أن يكون لها نفس الشيء المقام - صفة مشتركة - حالة عند القيام بعمليات الجمع أو الطرح أو المقارنة معهم.

ركن الآلة الحاسبة - إيجاد المضاعف المشترك الأصغر

يوتيوب DA: 15 السلطة الفلسطينية: 6 رتبة موز: 45

  • آلة حاسبة ركن - العثور على ال أقل مضاعف مشترك
  • آلة حاسبة ركن - العثور على ال أقل مضاعف مشترك.

كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) في TI-84 Plus

يوتيوب DA: 15 السلطة الفلسطينية: 6 رتبة موز: 46

  • هذا مقطع فيديو في TI-84 Plus CE Graphing آلة حاسبة سلسلة دروس
  • في هذا الفيديو ، أريكم كيفية القيام بذلك تجد ال المضاعف المشترك الأصغر (LCM) من 2 أو أكثر ن

الآلة الحاسبة المتعددة الشائعة الأقل (LCM) - DQYDJ - لا تفعل ذلك

دقيدج.كوم DA: 9 السلطة الفلسطينية: 34 رتبة موز: 69

  • ال أقل مضاعف مشترك مفيد للكسور - الأدنى القاسم المشترك هو فقط أقل مضاعف مشترك تنطبق على المقام - صفة مشتركة - حالة من قائمة الكسور
  • العثور على ال أقل مضاعف مشترك
  • دعونا تجد ال أقل مضاعف مشترك 63 و 3 و 6
  • (على سبيل المثال ، لجمع الكسور 1/63 + 1/3 + 1/6): سنفعل ذلك باستخدام أولي

حساب المضاعف المشترك الأصغر

Hackmath.net DA: 16 السلطة الفلسطينية: 36 رتبة موز: 79

  • ال أقل مضاعف مشترك (وتسمى أيضًا الأقل المضاعف المشترك أو أصغر المضاعف المشترك أو LCM) لرقم صحيح واحد أو أكثر هو أصغر عدد صحيح موجب يقبل القسمة على كل هذه الأرقام
  • طريق واحد الى تجد ال أقل مضاعف مشترك من عددين هو أولًا يسرد العوامل الأولية لكل عدد.

القاسم المشترك الأصغر على الإنترنت

  • تم تشغيل أوراق العمل العثور على ال القاسم المشترك الأصغر
  • الرسم البياني على الإنترنت caculator التربيعية
  • حل أنظمة المعادلات الخطية عن طريق الرسوم البيانية آلة حاسبة
  • إجابات الكتاب المدرسي لما قبل الجبر عبر الإنترنت
  • حل مشكلة المعادلات العقلانية
  • حل ODE من الدرجة الأولى غير متجانسة
  • المعادلات التفاضلية و Excel.

إيجاد القواسم المشتركة (فيديو) أكاديمية خان

Khanacademy.org DA: 19 السلطة الفلسطينية: 50 رتبة موز: 98

مطلوب منا إعادة كتابة الكسرين التاليين في صورة كسرين مع a القاسم المشترك الأصغر القاسم المشترك الأصغر لذلك أ القاسم المشترك الأصغر لكسرين سيكون حقًا هو أقل مضاعف مشترك كلاهما القواسم هنا والسبب في قيمة القيام بذلك هو إذا كان بإمكانك فعل ذلك القاسم المشترك ثم يمكنك إضافة الاثنين


شاهد الفيديو: طريقة إقليدس (شهر اكتوبر 2021).