مقالات

49: التعبيرات العقلانية المعقدة - الرياضيات


49: التعبيرات العقلانية المعقدة - الرياضيات

الطبقات

كيف يمكن العثور على انتقالات الفصل الفردية للتحضير الرئيسي في مركز النقل. قبل اختيار أي دورات ، يرجى مراجعة مستشار للحصول على المساعدة في التخطيط لبرنامجك.

تحتوي الخطوط العريضة للسجل (COR) على المعايير الموحدة المطبقة على جميع أقسام دورة معينة والتي سيتم على أساسها تقييم كل طالب في عملية الحصول على درجة رسمية. يتم تخزين جميع الخطوط العريضة لسجلات كلية سانتا مونيكا على Curriucnet ويمكن للمرء البحث عن طريق الدورة التدريبية دون اسم مستخدم وكلمة مرور.


1.6 التعبيرات المنطقية

لاحظ أن النتيجة عبارة عن تعبير متعدد الحدود مقسومًا على تعبير متعدد الحدود ثاني. في هذا القسم ، سوف نستكشف خارج قسمة التعبيرات متعددة الحدود.

تبسيط التعبيرات المنطقية

يسمى حاصل تعبيرين متعددي الحدود بالتعبير المنطقي. يمكننا تطبيق خصائص الكسور على المقادير الكسرية ، مثل تبسيط المقادير بإلغاء العوامل المشتركة من البسط والمقام. للقيام بذلك ، علينا أولًا تحليل كل من البسط والمقام. لنبدأ بالتعبير المنطقي الموضح.

يمكننا تحليل البسط والمقام إلى عوامل لإعادة كتابة المقدار.

ثم يمكننا تبسيط هذا التعبير بحذف العامل المشترك (x + 4). (x + 4).

كيف

بالنظر إلى المقدار المنطقي ، بسطه.

مثال 1

تبسيط التعبيرات المنطقية

بسّط x 2-9 x 2 + 4 x + 3. × 2-9 × 2 + 4 × + 3.

حل

تحليل

يمكننا حذف العامل المشترك لأن أي تعبير مقسوم على نفسه يساوي 1.

لا ، العامل هو تعبير مضروب في تعبير آخر. الحد x 2 x 2 ليس عاملاً من عوامل البسط أو المقام.

ضرب التعابير المنطقية

يعمل ضرب التعبيرات الكسرية بنفس طريقة ضرب أي كسور أخرى. نضرب البسط لإيجاد بسط حاصل الضرب ، ثم نضرب المقامات لإيجاد مقام حاصل الضرب. قبل الضرب ، من المفيد تحليل البسط والمقام معًا كما فعلنا عند تبسيط المقادير الكسرية. غالبًا ما نكون قادرين على تبسيط حاصل ضرب التعبيرات المنطقية.

كيف

اضرب في المقدارين المنطقيين.

  1. حلل البسط والمقام إلى عوامل.
  2. اضرب البسط.
  3. اضرب القواسم.
  4. تبسيط.

مثال 2

ضرب التعابير المنطقية

اضرب التعبيرات المنطقية واعرض حاصل الضرب في أبسط صورة:

حل

اضرب التعبيرات المنطقية واعرض حاصل الضرب في أبسط صورة:

قسمة التعبيرات المنطقية

تعمل قسمة التعبيرات المنطقية بنفس طريقة قسمة الكسور الأخرى. لقسمة تعبير عقلاني على تعبير عقلاني آخر ، اضرب التعبير الأول في مقلوب الثاني. باستخدام هذه الطريقة ، نعيد كتابة 1 x ÷ x 2 3 1 x ÷ x 2 3 في صورة حاصل الضرب 1 x ⋅ 3 x 2. 1 × 3 × 2. بمجرد إعادة كتابة تعبير القسمة كتعبير ضرب ، يمكننا الضرب كما فعلنا من قبل.

كيف

بالنظر إلى تعبيرين منطقيين ، اقسمهما.

  1. أعد كتابته كأول تعبير كسري مضروبًا في مقلوب الثاني.
  2. حلل البسط والمقام إلى عوامل.
  3. اضرب البسط.
  4. اضرب القواسم.
  5. تبسيط.

مثال 3

قسمة التعبيرات المنطقية

قسّم التعابير المنطقية وعبر عن حاصل القسمة في أبسط صورة:

حل

اقسم التعابير المنطقية وعبر عن حاصل القسمة في أبسط صورة:

جمع وطرح التعبيرات النسبية

تعمل عملية جمع وطرح التعبيرات النسبية تمامًا مثل جمع وطرح الكسور العددية. لجمع الكسور ، علينا إيجاد مقام مشترك. لنلق نظرة على مثال على جمع الكسور.

علينا إعادة كتابة الكسور بحيث تشترك في المقام المشترك قبل أن نتمكن من الجمع. يجب أن نفعل الشيء نفسه عند إضافة أو طرح المقادير المنطقية.

سيكون المقام المشترك الأسهل للاستخدام هو المقام المشترك الأقل أو LCD. شاشة LCD هي أصغر مضاعف تشترك فيه المقامات. لإيجاد LCD لتعبرين منطقيين ، نقوم بتحليل المقدارين وضرب كل العوامل المميزة. على سبيل المثال ، إذا كانت المقامات المحللة إلى عوامل هي (x + 3) (x + 4) (x + 3) (x + 4) و (x + 4) (x + 5) ، (x + 4) (x + 5) ، فإن شاشة LCD ستكون (x + 3) (x + 4) (x + 5). (س + 3) (س + 4) (س + 5).

بمجرد إيجاد شاشة LCD ، علينا ضرب كل تعبير في الصورة 1 التي ستغير المقام إلى LCD. سنحتاج إلى ضرب التعبير بمقام (x + 3) (x + 4) (x + 3) (x + 4) ب x + 5 x + 5 x + 5 x + 5 والتعبير بمقام من (x + 4) (x + 5) (x + 4) (x + 5) بواسطة x + 3 x + 3. س + 3 س + 3.


7.3 تبسيط التعبيرات المنطقية المعقدة

الكسور المركبة هي كسور يحتوي فيها البسط أو المقام على كسر. لقد قمنا سابقًا بتبسيط الكسور المعقدة مثل هذه:

في هذا القسم ، سنبسط المقادير المنطقية المعقدة ، وهي تعبيرات كسرية ذات تعبيرات كسرية في البسط أو المقام.

تعبير عقلاني معقد

التعبير المنطقي المعقد هو تعبير نسبي يحتوي فيه البسط و / أو المقام على تعبير نسبي.

فيما يلي بعض التعبيرات المنطقية المعقدة:

تذكر أننا نستبعد دائمًا القيم التي تجعل أي مقام صفراً.

سنستخدم طريقتين لتبسيط المقادير المنطقية المعقدة.

لقد رأينا بالفعل هذا التعبير المنطقي المعقد في وقت سابق من هذا الفصل.

لاحظنا أن أشرطة الكسور تطلب منا القسمة ، لذا أعد كتابتها على أنها مسألة القسمة:

ثم ضربنا المقدار الكسري الأول في مقلوب الثاني ، تمامًا كما نفعل عندما نقسم كسرين.

هذه طريقة واحدة لتبسيط التعبيرات المنطقية المعقدة. نتأكد من أن المقدار المنطقي المركب بالصيغة التي بها كسر واحد على كسر واحد. ثم نكتبها كما لو كنا نقسم كسرين.

مثال 7.24

بسّط التعبير المنطقي المركب بكتابته على هيئة قسمة: 6 x - 4 3 x 2 - 16. 6 × - 4 3 × 2 - 16.

حل

هل هناك أي قيمة (قيم) لـ x لا ينبغي أن يسمح؟ كان للتعبير المنطقي المركب الأصلي مقامات x - 4 x - 4 و x 2 - 16. × 2 - 16. سيكون هذا التعبير غير معرّف إذا كانت x = 4 x = 4 أو x = −4. س = −4.

بسّط التعبير المنطقي المركب بكتابته على هيئة قسمة: 2 x 2-1 3 x + 1. 2 × 2-1 3 × + 1.

بسّط التعبير المنطقي المركب بكتابته كقسمة: 1 x 2 - 7 x + 12 2 x - 4. 1 × 2 - 7 × + 12 2 × - 4.

تعمل أشرطة الكسور كرموز تجميع. إذن ، لاتباع ترتيب العمليات ، نبسط البسط والمقام قدر الإمكان قبل أن نتمكن من إجراء القسمة.

مثال 7.25

بسّط التعبير المنطقي المركب بكتابته كقسمة: 1 3 + 1 6 1 2 - 1 3. 1 3 + 1 6 1 2-1 3.

حل

بسّط البسط والمقام.
ابحث عن شاشة LCD واجمع الكسور في البسط.
أوجد LCD واطرح الكسور الموجودة في
المقام - صفة مشتركة - حالة.
بسّط البسط والمقام.
أعد كتابة المقدار المنطقي المركب كقسمة
مشكلة.
اضرب الأول بمقلوب الثاني.
تبسيط. 3

بسّط التعبير المنطقي المركب بكتابته كقسمة: 1 2 + 2 3 5 6 + 1 12. 1 2 + 2 3 5 6 + 1 12.

بسّط التعبير المنطقي المركب بكتابته كقسمة: 3 4 - 1 3 1 8 + 5 6. 3 4-1 3 1 8 + 5 6.

نتبع نفس الإجراء عندما يحتوي التعبير المنطقي المعقد على متغيرات.

مثال 7.26

كيفية تبسيط التعبير العقلاني المعقد باستخدام القسمة

بسّط التعبير المنطقي المركب بكتابته على هيئة قسمة: 1 x + 1 y x y - y x. 1 س + 1 ص س ص - ص س.

حل

بسّط التعبير المنطقي المركب بكتابته على هيئة قسمة: 1 x + 1 y 1 x - 1 y. 1 س + 1 ص 1 س - 1 ص.

بسّط التعبير المنطقي المركب بكتابته كقسمة: 1 a + 1 b 1 a 2 - 1 b 2 1 a + 1 b 1 a 2-1 b 2.

نلخص الخطوات هنا.

كيف

بسّط تعبيرًا منطقيًا معقدًا بكتابته في صورة قسمة.

  1. الخطوة 1. بسّط البسط والمقام.
  2. الخطوة 2. أعد كتابة المقدار المنطقي المعقد كمسألة قسمة.
  3. الخطوة 3. قسّم التعبيرات.

مثال 7.27

بسّط التعبير المنطقي المعقد بكتابته على هيئة قسمة: n - 4 n n + 5 1 n + 5 + 1 n - 5. ن - 4 ن ن + 5 1 ن + 5 + 1 ن - 5.

حل

بسّط البسط والمقام.
أوجد القواسم المشتركة للبسط و
المقام - صفة مشتركة - حالة.
بسّط البسط.
اطرح التعابير الكسرية في البسط و
أضف في المقام.
تبسيط. (لدينا الآن تعبير منطقي واحد
تعبير عقلاني واحد.)
أعد كتابته كقسمة كسرية.
اضرب المقلوب الأول في الثاني.
حلل أي تعبيرات إلى عوامل إن أمكن.
تخلص من العوامل المشتركة.
تبسيط.

بسّط التعبير المنطقي المركب بكتابته كقسمة: b - 3 b b + 5 2 b + 5 + 1 b - 5. ب - 3 ب ب + 5 2 ب + 5 + 1 ب - 5.

بسّط التعبير المنطقي المعقد بكتابته كقسمة: 1 - 3 c + 4 1 c + 4 + c 3. 1 - 3 ج + 4 1 ج + 4 + ص 3.

تبسيط تعبير منطقي معقد باستخدام شاشة LCD

لقد "مسحنا" الكسور عن طريق الضرب في شاشة LCD عندما حللنا المعادلات مع الكسور. يمكننا استخدام هذه الاستراتيجية هنا لتبسيط المقادير المنطقية المعقدة. سنضرب البسط والمقام في LCD لجميع المقادير الكسرية.

دعونا نلقي نظرة على التعبير المنطقي المعقد الذي قمنا بتبسيطه بطريقة واحدة في المثال 7.25. سنبسطها هنا بضرب البسط والمقام في LCD. عندما نضرب بواسطة LCD LCD LCD ، فإننا نضرب في 1 ، وبالتالي تظل القيمة كما هي.

مثال 7.28

بسّط التعبير المنطقي المعقد باستخدام شاشة LCD: 1 3 + 1 6 1 2 - 1 3. 1 3 + 1 6 1 2-1 3.

حل

شاشة LCD لجميع الكسور في التعبير الكامل هي 6.
امسح الكسور بضرب البسط و
المقام من خلال شاشة LCD.
نشر.
تبسيط.

بسّط التعبير المنطقي المعقد باستخدام شاشة LCD: 1 2 + 1 5 1 10 + 1 5. 1 2 + 1 5 1 10 + 1 5.

بسّط التعبير المنطقي المعقد باستخدام شاشة LCD: 1 4 + 3 8 1 2-5 16. 1 4 + 3 8 1 2-5 16.

سنستخدم نفس المثال كما في المثال 7.26. حدد الطريقة التي تناسبك بشكل أفضل.

مثال 7.29

كيفية تبسيط التعبير المنطقي المعقد باستخدام شاشة LCD

بسّط التعبير المنطقي المعقد باستخدام شاشة LCD: 1 x + 1 y x y - y x. 1 س + 1 ص س ص - ص س.

حل

بسّط التعبير المنطقي المعقد باستخدام شاشة LCD: 1 a + 1 b a b + b a. 1 أ + 1 ب أ ب + ب أ.

بسّط التعبير المنطقي المعقد باستخدام شاشة LCD: 1 x 2-1 y 2 1 x + 1 y. 1 × 2 - 1 ص 2 1 × + 1 ص.

كيف

بسّط تعبيرًا منطقيًا معقدًا باستخدام شاشة LCD.

  1. الخطوة 1. أوجد شاشة LCD لجميع الكسور في التعبير المنطقي المركب.
  2. الخطوة 2. اضرب البسط والمقام في شاشة LCD.
  3. الخطوة 3. بسّط التعبير.

تأكد من البدء بتحليل جميع القواسم إلى عوامل حتى تتمكن من العثور على شاشة LCD.

مثال 7.30

بسّط التعبير المنطقي المعقد باستخدام شاشة LCD: 2 x + 6 4 x - 6-4 x 2 - 36. 2 × + 6 4 × - 6 - 4 × 2 - 36.

حل

بسّط التعبير المنطقي المعقد باستخدام شاشة LCD: 3 x + 2 5 x - 2 - 3 x 2-4. 3 × + 2 5 × - 2-3 × 2-4.

بسّط التعبير المنطقي المركب باستخدام شاشة LCD: 2 x - 7-1 x + 7 6 x + 7-1 x 2 - 49. 2 × - 7 - 1 × + 7 6 × + 7 - 1 × 2 - 49.

تأكد من تحليل المقامات أولاً. تابع بعناية حيث يمكن أن تصبح الرياضيات فوضوية!

مثال 7.31

بسّط التعبير المنطقي المعقد باستخدام شاشة LCD: 4 m 2-7 m + 12 3 m - 3 - 2 m - 4. 4 م 2-7 م + 12 3 م - 3-2 م - 4.

حل

بسّط التعبير المنطقي المعقد باستخدام شاشة LCD: 3 x 2 + 7 x + 10 4 x + 2 + 1 x + 5. 3 × 2 + 7 × + 10 4 × + 2 + 1 × + 5.

بسّط التعبير المنطقي المركب باستخدام LCD: 4 y y + 5 + 2 y + 6 3 y y 2 + 11 y + 30. 4 ص ص + 5 + 2 ص + 6 3 ص ص 2 + 11 ص + 30.

مثال 7.32

بسّط التعبير المنطقي المعقد باستخدام شاشة LCD: y y + 1 1 + 1 y - 1. ص ص + 1 1 + 1 ص - 1.

حل

بسّط التعبير المنطقي المعقد باستخدام شاشة LCD: x x + 3 1 + 1 x + 3. س س + 3 1 + 1 س + 3.

بسّط التعبير المنطقي المعقد باستخدام شاشة LCD: 1 + 1 x - 1 3 x + 1. 1 + 1 س - 1 3 س + 1.

وسائط

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة مع الكسور المعقدة.

القسم 7.3 تمارين

مع التدريب يأتي الإتقان

تبسيط تعبير عقلاني معقد من خلال كتابته على هيئة قسمة

في التمارين التالية ، بسّط كل تعبير منطقي معقد بكتابته كقسمة.

x - 2 x x + 3 1 x + 3 + 1 x - 3 x - 2 x x + 3 1 x + 3 + 1 x - 3

ص - 2 ص - 4 2 ص - 4 + 2 ص + 4 ص - 2 ص ص - 4 2 ص - 4 + 2 ص + 4

تبسيط تعبير منطقي معقد باستخدام شاشة LCD

في التدريبات التالية ، قم بتبسيط كل تعبير منطقي معقد باستخدام شاشة LCD.

5 z 2-64 + 3 z + 8 1 z + 8 + 2 z - 8 5 z 2-64 + 3 z + 8 1 z + 8 + 2 z - 8

3 ق + 6 + 5 ث - 6 1 ث 2 - 36 + 4 ث + 6 3 ث + 6 + 5 ث - 6 1 ث 2 - 36 + 4 ث + 6

4 أ 2 - 2 أ - 15 1 أ - 5 + 2 أ + 3 4 أ 2 - 2 أ - 15 1 أ - 5 + 2 أ + 3

5 ب 2 - 6 ب - 27 3 ب - 9 + 1 ب + 3 5 ب 2 - 6 ب - 27 3 ب - 9 + 1 ب + 3

5 ص + 2 - 3 ص + 7 5 ص 2 + 9 ص + 14 5 ج + 2 - 3 ص + 7 5 ج ص 2 + 9 ج + 14

6 d - 4 - 2 d + 7 2 d 2 + 3 d - 28 6 d - 4 - 2 d + 7 2 d d 2 + 3 d - 28

في التمارين التالية ، بسّط كل تعبير منطقي معقد باستخدام أي من الطريقتين.

3 ب 2-3 ب - 40 5 ب + 5 - 2 ب - 8 3 ب 2 - 3 ب - 40 5 ب + 5 - 2 ب - 8

x - 3 x x + 2 3 x + 2 + 3 x - 2 x - 3 x x + 2 3 x + 2 + 3 x - 2

تمارين الكتابة

الاختيار الذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ بعد الاطلاع على قائمة المراجعة ، هل تعتقد أنك مستعد جيدًا للقسم التالي؟ لما و لما لا؟

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، أندريا هانيكوت ماتيس
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Intermediate Algebra 2e
    • تاريخ النشر: 6 مايو 2020
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/7-3-simplify-complex-rational-expressions

    © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    49: التعبيرات العقلانية المعقدة - الرياضيات

    كلية الجبر
    البرنامج التعليمي 11: التعبيرات العقلانية المعقدة

    درس تعليمي

    جزء معقد

    بعبارة أخرى ، يوجد جزء صغير واحد على الأقل ضمن الكسر الكلي.

    بعض الأمثلة على الكسور المعقدة هي:


    الطريقة الأولى
    تبسيط كسر مركب

    * أعد كتابة الكسور باستخدام LCD من أب

    * إعادة كتابة div. كمتعدد. متبادلة

    * اقسم على العامل المشترك أب

    * أعد كتابة الكسور باستخدام LCD لـ ( x - 4)

    * أعد كتابة الكسور باستخدام LCD لـ ( x - 4)

    * إعادة كتابة div. كمتعدد. متبادلة

    * قسّم العامل المشترك ( x - 4)

    الطريقة الثانية
    تبسيط كسر مركب

    * متعدد. الأسطوانات وعرين. بواسطة ( x + 1)( x - 1)

    * اقسم العامل المشترك x

    * متعدد. الأسطوانات وعرين. بواسطة ( x + 5)( x - 5)

    مشاكل الممارسة 1 أ - 1 ب: تبسيط.


    تم إنشاء وإنتاج مقاطع الفيديو في هذا الموقع بواسطة Kim Seward و Virginia Williams Trice.
    تمت آخر مراجعة في 15 ديسمبر 2009 بواسطة Kim Seward.
    جميع حقوق الطبع والنشر للمحتويات (C) 2002 - 2010 ، WTAMU و Kim Seward. كل الحقوق محفوظة.


    الكيفية: تبسيط التعبيرات المنطقية المعقدة

    لتبسيط التعبيرات المنطقية المعقدة ، من المهم أن تكون قادرًا على إيجاد القاسم المشترك الأصغر. التعابير المنطقية المعقدة هي كسور مقسومة على كسور. عندما تجد القاسم المشترك الأصغر ، يجب أن تضرب كلا الكسرين في المقام المشترك. مع قسمة 4 / x على 3 / y ، فإن المقام المشترك هو xy. لذلك ، يجب أن تضرب الجزء العلوي والسفلي في xy. بعد ذلك ، بسّط التعبير. سيعطيك هذا 4y / 3x. بغض النظر عن مدى تعقيد المشكلة ، ستظل العملية دائمًا هي نفسها تمامًا هذه المشكلة البسيطة. انظر إلى جميع القواسم. ثم اكتشف ما هو القاسم المشترك الأصغر. ثم اضرب كل المعادلات في المقام المشترك. ثم قم بتبسيطها. ثم حلها. تأكد من أنه في أبسط صورة.

    هل تريد إتقان برنامج Microsoft Excel ونقل آفاق العمل من المنزل إلى المستوى التالي؟ ابدأ حياتك المهنية من خلال حزمة التدريب Premium A-to-Z Microsoft Excel من متجر Gadget Hacks الجديد واحصل على وصول مدى الحياة إلى أكثر من 40 ساعة من التعليمات الأساسية إلى المتقدمة حول الوظائف والصيغة والأدوات والمزيد.


    49: التعبيرات العقلانية المعقدة - الرياضيات

    تذكر ، كثيرات الحدود تتصرف مثل الأعداد الصحيحة إلى حد كبير. كما أن مجاميع الأعداد الصحيحة واختلافاتها ونواتجها هي أعداد صحيحة بحد ذاتها - فالمجموع والاختلافات ومنتجات كثيرات الحدود هي نفسها دائمًا متعددة الحدود. بالنسبة للقسمة ، يمكن أن تكون حواصل الأعداد الصحيحة في بعض الأحيان أعدادًا صحيحة ، ولكن لا يلزم أن تكون كذلك ، وأحيانًا يمكن التعبير عن حاصلات اثنين من كثيرات الحدود على أنها كثيرة الحدود ، ولكن في أحيان أخرى لا يتم التعبير عنها. يمكن تحليل الأعداد الصحيحة إلى عوامل كثيرة الحدود. هناك أوجه تشابه أخرى أيضًا ، على الرغم من أنه من الأفضل حفظ هذه المناقشة لوقت آخر.

    دعونا نفكر بعمق أكبر في ما يحدث عندما نقسم عديدي حدود بدلاً من ذلك.

    أولًا ، تمامًا كما نسمي قسمة عددين صحيحين القيم المنطقية، نسمي قسمة اثنين من كثيرات الحدود تعابير عقلانية. كما يوحي اصطلاح التسمية هذا ، فإن هذين المفهومين الرياضيين مرتبطان ارتباطًا وثيقًا.

    يمكننا اختزال القيم المنطقية إلى "أدنى حد" يمكننا بالمثل تقليل التعبيرات المنطقية إلى "أدنى حد". يمكننا جمع القيم المنطقية وطرحها وضربها وقسمتها ، وبشرط ألا نقسم على صفر ، يمكن دائمًا التعبير عن النتيجة كقيمة عقلانية. يمكن قول الشيء نفسه عن التعبيرات المنطقية.

    علاوة على ذلك ، نظرًا لأننا غالبًا ما نفكر في المتغيرات في كثيرات الحدود (ومن ثم كثيرات الحدود نفسها) على أنها ذات قيم حقيقية ، طريق حيث نقوم بتقليل التعبيرات المنطقية وإضافة وإضافة وطرح وضرب وقسمة يوازي بالضبط نفس العمليات على نظائرها العددية.

    نظرًا لأن الضرب هو أبسط هذه العمليات الأربع ميكانيكيًا فيما يتعلق بالقيم النسبية ، فلنبدأ من هناك.

    ضرب وتبسيط التعبيرات المنطقية

    كما هو مقترح أعلاه ، تم العثور على حاصل ضرب كل من القيم المنطقية والتعبيرات المنطقية بالطريقة نفسها تمامًا - اضرب البسط واضرب المقامات لإيجاد البسط والمقام ، على التوالي ، للنتيجة.

    تعطينا هذه الآلية لإيجاد حاصل الضرب وسيلة لتبسيط المقادير الكسرية.

    ضع في اعتبارك العملية المماثلة للقيم المنطقية.

    على سبيل المثال ، لتبسيط (على سبيل المثال ، اختزال إلى "أدنى حد") الكسر $ frac <385> <2730> $ نحلل البسط والمقام ، ثم نعيد تجميع أي عوامل مشتركة موجودة بين الاثنين لتكوين عملية الضرب بواسطة "one" ، والتي يمكن إلغاؤها بعد ذلك ، كما هو موضح أدناه $ required$

    بطريقة مماثلة ، يمكننا تبسيط التعبير الكسري عن طريق تحليل كل من البسط والمقام إلى عوامل ثم إلغاء أي عوامل مشتركة موجودة بين الاثنين ، كما هو موضح في المثال أدناه (يمكنك افتراض $ b ne 3 $):

    تقترح التقنية المذكورة أعلاه طريقة أفضل للعثور على منتجات مبسطة للقيم المنطقية (وبالتالي ، التعبيرات المنطقية).

    ضع في اعتبارك ما يحدث إذا ضرب المرء البسطين معًا وكلا المقامين معًا. إذا أردنا الحصول على إجابة مبسطة تمامًا ، فسنحتاج فقط إلى الالتفاف حول هذين المنتجين وتحليلهما بالكامل ، بحيث يمكن إيجاد العوامل المشتركة.

    أليس من المنطقي بدلاً من ذلك عامل كلا البسطين والمقامين معًا ، والبحث عن العوامل المشتركة في ذلك الوقت؟ يمكن أيضًا إعادة تجميع أي عوامل مشتركة بين البسطين وواحد من المقامين لتكوين عملية ضرب في "واحد" وبالتالي يتم إلغاؤها.

    بعد ذلك - وبعد ذلك فقط - نضرب العوامل المتبقية معًا لنشكل بسط إجابتنا النهائية ومقامها.

    بالنسبة للقيم المنطقية ، يساعد هذا في الحفاظ على الأرقام صغيرة ، وهذا بدوره يجعل عملية التحليل أسهل ، كما هو موضح أدناه:

    بالنسبة للتعبيرات المنطقية ، تعمل نفس الاستراتيجية على تقليل درجات كثيرات الحدود في البسط والمقام الناتج. هذه الاستراتيجية عامل الغاء الجمع مهم جدًا ، نظرًا لأن تحليل كثيرات الحدود التعسفي بدرجة كبيرة أمر صعب للغاية - ومتعددة الحدود بدرجة كبيرة هي بالضبط ما ننتجه غالبًا إذا فشلنا في إلغاء العوامل المشتركة قبل توسيع المنتجات في البسط والمقام.

    يقدم ما يلي مثالاً ، بافتراض أن جميع المتغيرات الحالية لها قيم بحيث يتم تعريف جميع التعبيرات أدناه (أي لا يوجد مقام يساوي صفرًا).

    لاحظ أننا أعلاه نتعامل مع كل تعبير منطقي على أنه أ القيمة - واحد مرتبط ببعض القيم المحددة لـ $ x $ و $ y $ و $ z $. & dagger وهذا يفسر الحاجة إلى افتراض أن قيم هذه المتغيرات قد تم اختيارها بحيث لا توجد قواسم صفرية.

    قسمة التعبيرات المنطقية

    سواء كان المرء يتحدث عن القيم المنطقية أو التعبيرات المنطقية - فإن القسمة هي بالطبع مجرد عملية ضرب بواسطة متلقي (أي ، معكوس الضرب). لذلك ، عند إعطاء حاصل قسمة ، يمكن للمرء دائمًا إعادة كتابة التعبير كمنتج ، والمتابعة على النحو المقترح أعلاه.

    لا تنسَ أنه يمكن أيضًا كتابة حاصل القسمة $ a div b $ في صورة كسر $ displaystyle < frac>$.

    على هذا النحو ، كان من الممكن أن نبدأ المثال الأخير بـ $ frac < displaystyle < frac>> < displaystyle <، ، frac، ، >> = cdots $ وكان سيتم تبسيطها بنفس الطريقة بالضبط.

    إضافة التعابير المنطقية

    تذكر أن إضافة القيم المنطقية أكثر تعقيدًا قليلاً من ضربها أو تقسيمها. إن العمل مع كثيرات الحدود بدلاً من الأعداد الصحيحة في البسط والمقام يزيد الأمور تعقيدًا ، نظرًا لأنه غالبًا ما يكون من الصعب القيام بضربها معًا أو تحليلها عن طريق الاستقصاء - خاصةً عند تضمين أكثر من اثنين من كثيرات الحدود.

    بالنظر إلى ذلك ، دعنا أولاً نراجع كيف يتم عادةً إضافة القيم المنطقية معًا ، ثم كيف يمكن تعديل هذه العملية قليلاً بحيث يتم تعميمها بشكل أفضل على أسلوب لإضافة التعبيرات المنطقية.

    عندما تكون مقامات الكسرين متساوية ، نجمع البسطين ببساطة ، ونضع مجموعهما فوق المقام المشترك. ذلك بالقول،

    ومع ذلك ، إذا اختلف مقامات الكسرين ، فعلينا أولاً إعادة التعبير عن الكسور بمقام مشترك قبل المتابعة. غالبًا ما يتم ذلك عن طريق الفحص عندما تكون الأرقام المعنية صغيرة.

    على سبيل المثال ، بملاحظة أن $ 42 $ هو أصغر عدد صحيح يقبل القسمة على كل من $ 6 $ و $ 21 $ ، يمكننا تحديد

    ومع ذلك ، عندما تكون الأرقام المعنية أكبر ، يكون العثور على القاسم المشترك عن طريق الاستقصاء أكثر صعوبة. على هذا النحو ، دعونا نفكر في مسار عمل مختلف قليلاً.

    أولاً ، لاحظ أن القاسم المشترك الأصغر هو مضاعف كلا المقامين ، وبالتالي يحتوي في تحليله على جميع عوامل المقام في الكسور التي يتم جمعها. للتوضيح ، ضع في اعتبارك المثال التالي حيث تم تحليل القواسم بالكامل:

    تخبرنا الصيغة المحللة إلى عوامل المقام الأول أن المقام المشترك الذي نسعى إليه يجب أن يحتوي على العوامل $ 3 $ و $ 7 ^ 2 $. تخبرنا الصيغة المحللة إلى عوامل المقام الثاني أن المقام المشترك يجب أن يحتوي على العوامل $ 7 $ (الذي عرفناه بالفعل) و 13 دولارًا.

    وبالتالي ، يجب أن يحتوي المقام المشترك على الحد الأدنى من العوامل $ 3 $ و $ 7 ^ 2 $ و $ 13. تعمل أي عوامل إضافية على زيادة القيمة فقط ، لذا فإن المقام المشترك الأقل هو $ 3 cdot 7 ^ 2 cdot 13 $.

    ليست هناك حاجة لمضاعفة ذلك حتى الآن (في الواقع ، في بعض المشكلات لن نضطر أبدًا إلى العثور على هذا المنتج - لذلك لا ينبغي لأحد أن يضيع الوقت في القيام بذلك). بدلاً من ذلك ، نسأل أنفسنا فقط ما هي العوامل التي تفتقر إليها قواسم موجزاتنا الموجودة في القاسم المشترك؟

    بالتساوي ، ولكن بشكل أكثر كفاءة - بمجرد أن نضع مقامات الكسرين في الاعتبار ، نرغب في إضافتهما ، نسأل أنفسنا السؤال: "ما الذي يفتقر إليه كل مقام كعامل يقدمه المقام الآخر كعامل؟"

    في المثال أعلاه ، يفتقر المقام الأول إلى 13 دولارًا أمريكيًا ، بينما يفتقر الثاني إلى 3 دولار أمريكي والعامل (الثاني) 7 دولار أمريكي.

    يمكننا إضافة هذه العوامل إلى كل مقام مع بعض المضاعفات الذكية في "واحد" ، ثم نجمع الكسور الناتجة حيث أن مقاماتها المشتركة أصبحت الآن متساوية ، كما هو موضح أدناه:

    لاحظ أنه في هذه اللحظة نريد تجنب إغراء ضرب مقام النتيجة. نود الحصول على إجابتنا النهائية في صورة مبسطة (أي "الحد الأدنى") ، والتي تتطلب إزالة جميع العوامل المشتركة بين البسط والمقام. فلماذا نضرب المقام في المقام فقط لنستدير ونحللها مرة أخرى حتى نتمكن من تحديد أي من هذه العوامل المشتركة؟

    في الواقع ، الإجراء الأكثر ملاءمة هنا هو تحليل البسط ثم إلغاء أي عوامل مشتركة مناسبة يمكن العثور عليها. فقط بعد أن يتم ذلك ، يجب أن نضاعف كل شيء ، كما هو موضح أدناه

    يمتد هذا الأسلوب المعدل قليلاً لإضافة القيم المنطقية الآن بشكل جيد إلى إضافة التعبيرات المنطقية.

    طرح التعبيرات المنطقية

    تمامًا كما هو الحال مع طرح القيم المنطقية ، لطرح تعبيرين منطقيين ، فإننا ببساطة "نضيف السالب" (على سبيل المثال ، $ a - b = a + (-1) b $).

    من هناك ، يمكننا المضي قدمًا في التقنية الموضحة في القسم السابق لإضافة تعبيرات منطقية:

    الكسور المعقدة

    عندما يتكون بسط ومقام الكسر من التعبيرات المنطقية - أو المجاميع أو الاختلافات المتشابهة - فإننا نسمي الكسر أ جزء معقد. وفيما يلي بعض الأمثلة على ذلك:

    بالنظر إلى هيكلها - وبشرط أن تظل المقامات غير صفرية - يمكننا دائمًا تقليل هذه التعبيرات إلى دالة عقلانية باتباع الخطوات التالية:

    1. طي البسط إلى تعبير منطقي واحد
    2. طي المقام إلى تعبير منطقي واحد ثم
    3. أوجد خارج قسمة هذين المقدارين الكسريين عن طريق الضرب في متلقي.

    في كثير من الأحيان ، يمكننا أن نكون أكثر كفاءة من خلال الضرب في "قيمة واحدة مُختارة جيدًا" أولاً. هذا هو الحال بالتأكيد مع المثال السابق ، كما هو موضح أدناه.

    كما يمكن رؤيته أعلاه ، نختار عوامل "القيمة المختارة جيدًا للواحد" بحيث يتم تقليل أكبر عدد ممكن من التعبيرات المنطقية إلى كثيرات الحدود في تعبيرنا العام.

    & خنجر: في وقت ما في المستقبل القريب ، سنتعامل مع التعبيرات المماثلة مثل المهام في حين أن. في ذلك الوقت سيتعين علينا إعادة النظر في ما نعنيه بالضبط بكلمة "متساوية". ستكون إعادة التفسير دقيقة ، ولكن سيكون لها عواقب مهمة ، خاصة فيما يتعلق بتقييم بعض التعبيرات في حساب التفاضل والتكامل تسمى "حدود".


    لتعيين مسار الدلائل التي يجب أن يراها ماتلاب:
    المسار (المسار ، 'c: mydocu

    اكتب هذا في ملف "startup.m" في الدليل $ Matlab toolbox local

    اكتب ملف m لتعريف الوظائف أو الأوامر القابلة للتنفيذ ، والتي يمكن استدعاؤها عن طريق كتابة اسم الملف.

    لكسر خط استخدم. (ثلاث نقاط).

    -ascii استخدم تنسيق الأرقام المكون من 8 أرقام

    -ascii - مزدوج استخدم تنسيق أرقام مكون من 16 رقمًا

    -ascii -مزدوجة -tabs تعيين عناصر صفيف مع علامات تبويب.

    -v4 قم بإنشاء ملف لـ Matlab4

    - إلحاق البيانات بملف MAT موجود

    حيث x و y صفيفتان من نفس البعد.

    لتغيير حجم العلامة ، استخدم MarkerSize ، # (12 ، على سبيل المثال)

    الخيارات: المحور ([x_initial x_final y_initial y_final])

    المحور التلقائي لإعادة تمكين التحديد التلقائي للحدود

    الشبكة خارج٪ لحذف الشبكة

    يمكننا تحديد قطع متعددة باستخدام وسيلة الإيضاح. السابق:

    COLORDEF تعيين الإعدادات الافتراضية للألوان.

    يقوم COLORDEF WHITE أو COLORDEF BLACK بتغيير الإعدادات الافتراضية للألوان على الجذر بحيث تنتج الأشكال اللاحقة قطعًا باللون الأبيض أو
    المحاور السوداء لون الخلفية. يتم تغيير لون خلفية الشكل إلى ظل رمادي والعديد من الإعدادات الافتراضية الأخرى يتم تغييرها بحيث يكون هناك
    يكون تباينًا مناسبًا لمعظم المؤامرات.

    text (x، y، '.'، 'Fontsize'. 'FontName'، 'Times')

    يحدد Fontsize أبعاد الخطوط ، FontName الخطوط

    لعرض قطع متعددة في نفس النافذة:

    حيث يتم تقسيم النافذة في مصفوفة m x n ، وتحدد p موضع الحبكة الفرعية الحالية

    لفتح نافذة رسم جديدة ، اكتب:

    لطباعة شكل في ملف eps ، بمعاينة TIFF:

    طباعة -depsc2 -tiff الشكل. eps

    مذيبات المعادلات التفاضلية

    لحل المعادلة التفاضلية عدديًا ، هناك طرق مختلفة:

    حدد وظيفة في ملف m منفصل:

    dy = الأصفار (4،1)
    dy (1) = y (3)٪ y (1) = x
    dy (2) = y (4)٪ y (2) = y
    dy (3) = -y (3)٪ y (3) = v_x
    dy (4) = -y (4) -9.81٪ y (4) = v_y

    الأمر لحساب الحل هو:

    [T ، Y] = قصيدة. ("الوظيفة" ، [T_initial T_final] ، [الشروط الأولية] ، خيارات)

    لتعيين الخيارات ، اكتب قبل السطر السابق:

    options = odeset ('RelTol'،. 'AbsTol'، [أكبر عدد من المتغيرات في ODE])

    لإيقاف التكامل في حدث معين:
    في نوع الملف الرئيسي:

    options = odeset (. 'Events'، 'on')٪ هذا يتحقق من الحدث في الوظيفة
    [T، Y، te، ye، ie] = solver ('function'، [tspan]، [Incon]، options)

    function varargout = myfunction (t، y، flag)٪ varargout يسمح بأي عدد من وسيطات الإخراج من دالة.
    تبديل العلم ٪ فتح التبديل

    حالة ''٪ بلا علم
    دى = أصفار (ن ، 1)
    دى (1) =.
    .
    دى (ن) =.
    [varargout <1>] = دي

    حالة "أحداث"
    [varargout <1: 3>] = الأحداث (t ، y)

    الوظيفة [القيمة ، الخطية ، الاتجاه] = الأحداث (تي ، ص)
    القيمة =. متغير٪ ليتم فحصها
    متساوي =. ٪ متجه 1 أو 0 بنفس أبعاد القيمة. 1 وقف التكامل.
    الاتجاه =. ٪ متجه بنفس أبعاد القيمة. حدد اتجاه نقطة العبور الصفرية:
    ٪ -1 للقيمة السالبة ، 1 للإيجابية و 0 بدون تفضيل.

    h = الرسم (x1، y1، 'marker'، 'o'، 'markersize'، n، 'erase'، 'xor')٪ هذا يضبط الكائن الرسومي ، ويحدد نوع العلامة ('o') ، و
    ٪ size (n) ، ومظهر الكائن عند الرسم
    تم إعادة رسم٪ شاشة (xor مسح الإصدار السابق من الكائن ،
    ٪ لا شيء يترك الإصدارات السابقة على الشاشة.

    x1 =. ٪ يمكن أن يذهب هذا أيضا من قبل.
    y1 =.

    المحور ([.]) المحور التربيعي٪ للحصول على نفس المقياس على الرسم ونطاق محدد.

    لـ k = 2: length (T)٪ بداية للدورة ، مع عدد التكرارات التعسفي
    مجموعة (h1، 'xdata'، x1، 'ydata'، y1)٪ ارسم النقطة في الموضع الجديد
    drawnow٪ مسح إخراج الرسومات على الشاشة دون انتظار
    ٪ السيطرة للعودة إلى MATLAB.
    end٪ end للدورة

    لـ k = 1: n
    مؤامرة (أيا كان)
    M (k) = getframe (gcf)٪ التي تخزن المؤامرات في مصفوفة ، (gcf) هي الحصول على الشاشة الكاملة والمحور والتسمية
    متضمن
    نهاية

    فيلم (M)٪ يعرض الفيلم

    movie2avi (M، 'filename'، 'fps'، #)٪ fps = إطار في الثانية (عادة 16)

    للحصول على أبعاد المصفوفة:

    لإنشاء متجه من الأعداد الصحيحة:

    يمكن العثور على قائمة بالوظائف التي توفر تحليل البيانات الموجه نحو الأعمدة في:

    القيم المتطرفة: كيفية القضاء عليها.

    يمكنك إزالة القيم المتطرفة أو نقاط البيانات في غير محلها من مجموعة البيانات بنفس الطريقة مثل NaNs. لحساب حركة مرور المركبات
    data, the mean and standard deviations of each column of the data are (count is the data file):

    mu = mean(count)
    sigma = std(count)

    The number of rows with outliers greater than three standard deviations is obtained with:

    [n,p] = size(count)
    outliers = abs(count - mu(ones(n, 1),:)) > 3*sigma(ones(n, 1),:)
    nout = sum(outliers)
    nout =
    1 0 0

    There is one outlier in the first column. Remove this entire observation with

    POLYFIT Fit polynomial to data.

    POLYFIT(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial P(X) of degree N that fits the data, P(X(I))

    =Y(I), in a least-squares sense.

    [P,S] = POLYFIT(X,Y,N) returns the polynomial coefficients P and a structure S for use with POLYVAL to obtain error estimates on
    predictions. If the errors in the data, Y, are independent normal with constant variance, POLYVAL will produce error bounds which
    contain at least 50% of the predictions.

    The structure S contains the Cholesky factor of the Vandermonde matrix (R), the degrees of freedom (df), and the norm of the
    residuals (normr) as fields.

    To find the time behavior of a ditribution assumed linear

    To find for the error in the exponent p, you need to determine the quantity S of above:

    p_min=polyfit(t, y+delta,1)
    p_max=polyfit(t,y-delta,1)

    The error in p is the differnce between p_min and p_max

    To compute the module of an angle (normalized to 360 o ).


    Creating Symbolic Variables and Expressions

    To create a symbolic variable:

    To create more than one (more practical command):

    syms a b c x (equivalent to a = sym('a') b = sym('b') etc.)

    To simplify a symbolic expression use simplify(f)

    Symbolic and Numeric Conversions

    sym(t,'f') returns a symbolic floating-point representation

    sym(t,'r') returns the rational form

    (default setting for sym, sym(t,'r') is equivalent to sym(t)).

    A particular effective use of sym is to convert a matrix from numeric to symbolic form. على سبيل المثال

    1.0000 0.5000 0.3333
    0.5000 0.3333 0.2500
    0.3333 0.2500 0.2000

    By applying sym ل أ

    [ 1, 1/2, 1/3]
    [ 1/2, 1/3, 1/4]
    [ 1/3, 1/4, 1/5]

    Other options of sym نكون ه (returns the rational form of ر plus the difference between the theoretical rational expression for ر and its actual (machine) floating-point value in terms of eps (the floating-point relative accuracy. E.g.

    و d, which returns the decimal expansion of ر up to the number of significant digits specified by digits. E.g .

    Constructing Real and Complex Variables

    syms x y real
    z = x + i*y

    returns a complex (ض) variable. conj(z) returns:

    Creating a Symbolic Matrix

    We can create a circulant matrix with elements a, b, و c, with the commands:

    syms a b c
    A = [ a b c b c a c a b]

    [ a, b, c]
    [ b, c, a]
    [ c, a, b]

    حيث أ is circulant, the sum over each row and column is the same. على سبيل المثال

    The command sum(A(:,1)) == sum(A(:,2)) % This is a logical test.

    Now replace the (2,3) entry of أ مع beta and the variable ب مع alpha. The commands:

    syms alpha beta
    A(2,3) = beta
    A = subs(A,b,alpha)

    [ a, alpha, c]
    [ alpha, c, beta]
    [ c, a, alpha]

    The Default Symbolic Variable

    This is the variable used by default to differentiate, integrate, etc. symbolic expression. It is generally the letter that is closest to 'x' alphabetically. If there are two equally close, the letter later in the alphabet is chosen.
    على سبيل المثال

    syms x n
    f = x^n

    To find the default symbolic variable use the command findsym. على سبيل المثال

    To differentiate with respect to the default symbolic variable, use diff. على سبيل المثال

    syms a x
    f = sin(a*x)
    diff(f)

    To differentiate with respect to the variable أ, type

    ans =

    cos(a*x)*x

    To calculate the second derivative (with respect to x):

    diff(f,x,2)

    ans =

    -sin(a*x)*a^2

    We can also differentiate a symbolic matrix:

    syms a x
    A = [cos(a*x), sin(a*x) -sin(a*x),cos(a*x)]

    A =

    [ cos(a*x), sin(a*x)]
    [ -sin(a*x), cos(a*x)]

    diff(A)

    ans =

    [ -sin(a*x)*a, cos(a*x)*a]
    [ -cos(a*x)*a, -sin(a*x)*a]

    We can also perform differentiation of a column vector with respect to a row vector, like the Jacobian of a transformation. Consider the transformation from Euclidean (x,y,z) to sperical (r,l,f) coordinates:

    syms r l f
    x = r*cos(l)*cos(f) y =r*cos(l)*sin(f) z=r*sin(l)
    J = jacobian([xyz],[r l f])

    J =

    [ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)]
    [ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)]
    [ sin(l), r*cos(l), 0]

    and the command

    detJ = simple(det(J))

    returns

    simple returns the expression with the fewest possible number of characters.


    Rational and Polynomial Functions

    Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. Tasks are limited to polynomial, rational, or exponential expressions. For example, see x 4 - y 4 as (x 2 ) 2 - (y 2 ) 2 , thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x 2 - y 2 )(x 2 + y 2 ).

    Write expressions in equivalent forms to solve problems. Derive the formula for the sum of a finite geometric series (when the common ratio is not 1), and use the formula to solve problems. For example, calculate mortgage payments.

    Understand the relationship between zeros and factors of polynomials. Know and apply the Remainder Theorem: For a polynomial p(x) and a number a, the remainder on division by x - a is p(a), so p(a) = 0 if and only if (x - a) is a factor of p(x).

    Understand the relationship between zeros and factors of polynomials.​ Identify zeros of polynomials when suitable factorizations are available, and use the zeros to construct a rough graph of the function defined by the polynomial. Tasks include quadratic, cubic, and quartic polynomials and polynomials in which factors are not provided. For example, find the zeros of f(x) = (x 2 - 1)(x 2 + 1).

    Create equations that describe numbers or relationships. Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

    Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning. Explain each step in solving a simple equation as following from the equality of numbers asserted at the previous step, starting from the assumption that the original equation has a solution. Construct a viable argument to justify a solution method.

    Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning. Solve simple rational and radical equations in one variable, and give examples showing how extraneous solutions may arise.

    Solve equations and inequalities in one variable. Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x 2 = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi for real numbers a and b.

    Represent and solve equations and inequalities graphically. Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y=f(x) and y=g(x) intersect are the solutions of the equation f(x)=g(x) find the solutions approximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.

    Interpret functions that arise in applications in terms of the context. For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negative relative maximums and minimums symmetries end behavior and periodicity.

    Rewrite rational expressions. Rewrite simple rational expressions in different forms write a(x) /b(x) in the form q(x) + r(x) /b(x), where a(x), b(x), q(x), and r(x) are polynomials with the degree of r(x) less than the degree of b(x), using inspection, long division, or, for the more complicated examples, a computer algebra system. From the PARCC Model Content Frameworks: “This standard sets an expectation that students will divide polynomials with remainder by inspection in simple cases. For example, one can view the rational expression (x+4) /(x+3) as (x+4) /(x+3) = (x+3) +1 /(x+3) = 1 + 1 /(x+3) ."

    Analyze functions using different representations. Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

    Perform arithmetic operations with complex numbers. Know there is a complex number i such that أنا 2 = -1, and every complex number has the form a + bأنا with a and b real.

    Perform arithmetic operations with complex numbers. Use the relation أنا 2 = -1 and the commutative, associative, and distributive properties to add, subtract, and multiply complex numbers.

    Use complex numbers in polynomial identities and equations. Solve quadratic equations with real coefficients that have complex solutions.

    Use polynomial identities to solve problems. Prove polynomial identities and use them to describe numerical relationships. For example, the polynomial identity (x 2 + y 2 ) 2 = (x 2 - y 2 ) 2 + (2xy) 2 can be used to generate Pythagorean triples.

    Solve Systems of equations. Solve systems of linear equations exactly and approximately (e.g., with graphs), focusing on pairs of linear equations in two variables.

    Solve Systems of equations. Solve a simple system consisting of a linear equation and a quadratic equation in two variables algebraically and graphically. For example, find the points of intersection between the line y = -3x and the circle x 2 + y 2 = 3.

    Translate between the geometric description and the equation for a conic section. Derive the equation of a parabola given a focus and directrix.

    Use complex numbers in polynomial identities and equations. Know the Fundamental Theorem of Algebra show that it is true for quadratic polynomials.

    In this unit, students will study properties of rational and polynomial expressions as they appear in both functions and equations. They will also use solving polynomial equations of various forms to extend the number system into the Complex Plane. Students will identify algebraic terms, write equivalent expressions in factored form, and use the zero product property to understand that all polynomials can be expressed as a product of factors added to a remainder. This allows us to arrive at the remainder theorem, to identify the zeroes of the polynomial, and to sketch its graph.


    SUMMARY

    Key Words

    • أ monomial is an algebraic expression in which the literal numbers are related only by the operation of multiplication.
    • أ polynomial is the sum or difference of one or more monomials.
    • أ binomial is a polynomial having two terms.
    • أ trinomial is a polynomial having three terms.
    • If x 2 = y, then x is a square root of y.
    • ال principal square root of a positive number is the positive square root.
    • The symbol is called a radical sign and indicates the principal square root of a number.
    • أ perfect square number has integers as its square roots.

    إجراءات

    • The first law of exponents is x a x b = x a+b .
    • To find the product of two monomials multiply the numerical coefficients and apply the first law of exponents to the literal factors.
    • To multiply a polynomial by another polynomial multiply each term of one polynomial by each term of the other and combine like terms.
    • The second law of exponents is (x a ) b = x ab .
    • The third law of exponents is
    • To divide a monomial by a monomial divide the numerical coefficients and use the third law of exponents for the literal numbers.
    • To divide a polynomial by a monomial divide each term of the polynomial by the monomial.
    • To divide a polynomial by a binomial use the long division algorithm.