مقالات

8.7: تكامل الدوال المعقدة وذات القيمة المتجهية - الرياضيات


أنا. أولاً ، نأخذ في الاعتبار الدوال (f: S rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right). ) لمثل هذه الوظائف ، من الطبيعي (والسهل) تعريف التكامل "elementwise" على النحو التالي.

تعريف

يقال إن الدالة (f: S rightarrow E ^ {n} ) قابلة للتكامل في (A in mathcal {M} ) iff مكوناتها (n ) (الحقيقية) ، (f_ { 1} ، ldots ، f_ {n} ، ) هي. في هذه الحالة ، نحدد

[
int_ {A} f = int_ {A} fdm = left ( int_ {A} f_ {1} ، int_ {A} f_ {2} ، ldots ، int_ {A} f_ {n} right) = sum_ {k = 1} ^ {n} overline {e} _ {k} cdot int_ {A} f_ {k}
]

حيث ( overline {e} _ {k} ) هي متجهات وحدة أساسية (كما في الفصل 3، §§1-3، Theorem 2 () ).

على وجه الخصوص ، يمكن تكامل الدالة المعقدة (f ) في (A ) إذا كانت أجزائها الحقيقية والخيالية ( يسار (f _ { text {re}} text {and} f _ { text {im}) } right) ) هي. ثم نقول أيضًا أن ( int_ {A} f ) موجود. بواسطة ((1) ، ) لدينا

[
int_ {A} f = left ( int_ {A} f _ { mathrm {re}}، int_ {A} f _ { mathrm {im}} right) = int_ {A} f _ { mathrm {re}} + i int_ {A} f _ { mathrm {im}}.
]

إذا (f: S rightarrow C ^ {n}، ) نستخدم ((1)، ) مع مكونات معقدة (f_ {k} )

باستخدام هذا التعريف ، يتم تقليل تكامل الوظائف (f: S rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right) ) إلى تكامل (f_ {k}: S rightarrow E ^ {1 } (C)، ) ويمكن للمرء أن يحصل بسهولة على نفس النظريات الموجودة في §§4-6 ، بقدر ما تكون منطقية للمتجهات.

نظرية ( PageIndex {1} )

دالة (f: S rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right) ) قابلة للتكامل في (A in mathcal {M} ) iff isc (m ) - قابل للقياس في (A ) و ( int_ {A} | f | < infty. )

(تعريف بديل!)

دليل

افترض أن مساحة النطاق هي (E ^ {n} ).

حسب تعريفنا ، إذا كان (f ) قابلاً للتكامل في (A ، ) فإن مكوناته (f_ {k} ) هي. وبالتالي من خلال النظرية 2 والنتيجة الطبيعية 1 ، كلاهما في §6 ، من أجل (k = 1،2، ldots، n، ) الوظائف (f_ {k} ^ {+} ) و (f_ {k} ^ {-} ) قابلة للقياس ؛ علاوة على ذلك،

[ int_ {A} f_ {k} ^ {+} neq pm infty text {and} int_ {A} f_ {k} ^ {-} neq pm infty. ]

هذا يعني

[ infty> int_ {A} f_ {k} ^ {+} + int_ {A} f_ {k} ^ {-} = int_ {A} left (f_ {k} ^ {+} + f_ {k} ^ {-} right) = int_ {A} left | f_ {k} right |، quad k = 1،2، ldots، n. ]

بما أن (| f | ) (m ) - قابل للقياس بالمشكلة 14 في §3 ( (| cdot | ) هو تعيين مستمر من (E ^ {n} ) إلى (E ^ {1} )) و

[| f | = left | sum_ {k = 1} ^ {n} overline {e} _ {k} f_ {k} right | leq sum_ {k = 1} ^ {n} left | overline {e} _ {k} right | left | f_ {k} right | = sum_ {k = 1} ^ {n} يسار | f_ {k} يمين | ، ]

نحن نحصل

[ int_ {A} | و | leq int_ {A} sum_ {1} ^ {n} left | f_ {k} right | = sum_ {1} ^ {n} int_ {A} left | f_ {k} right | < infty. ]

على العكس من ذلك ، إذا كان (f ) يرضي

[ int_ {A} | f | < infty ]

ومن بعد

[( forall k) quad left | int_ {A} f_ {k} right | < infty. ]

أيضًا ، (f_ {k} ) (m ) - قابل للقياس إذا كان (f ) (راجع المشكلة 2 في الفقرة 3). ومن ثم فإن (f_ {k} ) قابلة للتكامل في (A ) (بواسطة النظرية 2 من §6) ، وكذلك (f. )

إثبات (C ^ {n} ) مماثل. ( quad square )

وبالمثل بالنسبة للنظريات الأخرى (انظر المشكلات من 1 إلى 4 أدناه). لقد لاحظنا بالفعل أن النظرية 5 من الفقرة 6 تنطبق على الوظائف المعقدة وذات القيمة المتجهة. وكذلك الحال بالنسبة للنظرية 6 في الفقرة 6. نثبت عرضًا آخر من هذا القبيل (Lemma 1) أدناه.

II. بعد ذلك ، نعتبر الحالة العامة ، (f: S rightarrow E ) ( (E ) مكتملة). نعتمد الآن النظرية 1 كتعريف. (يتفق مع التعريف 1 من §4. تحقق!) حتى لو (E = E ^ {*}، ) نفترض دائمًا (| f | < infty ) a.e .؛ وبالتالي ، بإسقاط مجموعة فارغة ، يمكننا جعل (f ) محدودًا واستخدام المقياس القياسي على (E ^ {1}. )

أولاً ، نتناول القضية (m A < infty ).

Lemma ( PageIndex {1} )

إذا (f_ {n} rightarrow f ) (بشكل موحد) في (A ) ( (m A < infty )) ، إذن

[ int_ {A} left | f_ {n} -f right | rightarrow 0. ]

دليل

حسب الافتراض،

[( forall varepsilon> 0) text {} ( موجود k) text {} ( forall n> k) quad left | f_ {n} -f right | < varepsilon text { على؛]

وبالتالي

[( forall n> k) quad int_ {A} left | f_ {n} -f right | leq int_ {A} ( varepsilon) = varepsilon cdot m A < infty. ]

نظرًا لأن ( varepsilon ) تعسفي ، فإن النتيجة تتبع. ( quad square )

Lemma ( PageIndex {2} )

إذا

[ int_ {A} | f | < infty quad (m A < infty) ]

و

[f = lim _ {n rightarrow infty} f_ {n} text {(بشكل موحد) on} A-Q text {} (m Q = 0) ]

بالنسبة لبعض الخرائط الأولية (f_ {n} ) في (A ، ) فإن جميعها باستثناء عدد محدود (f_ {n} ) تكون أولية وقابلة للتكامل في (A ، ) و

[ lim _ {n rightarrow infty} int_ {A} f_ {n} ]

موجود في (E ؛ ) علاوة على ذلك ، لا يعتمد الحد الأخير على التسلسل ( يسار {f_ {n} يمين } ).

دليل

بواسطة Lemma 1 ،

[( forall varepsilon> 0) text {} ( موجود q) text {} ( forall n، k> q) quad int_ {A} left | f_ {n} -f right | < varepsilon text {and} int_ {A} left | f_ {n} -f_ {k} right | < varepsilon. ]

(يمكن تحقيق هذا الأخير منذ ذلك الحين

[ lim _ {k rightarrow infty} int_ {A} left | f_ {n} -f_ {k} right | = int_ {A} left | f_ {n} -f right | < varepsilon.) ]

لم يكن

[ يسار | f_ {n} يمين | leq يسار | f_ {n} -f يمين | + | و | ، ]

المشكلة 7 في 5 ينتج عنها

[( forall n> k) quad int_ {A} left | f_ {n} right | leq int_ {A} left | f_ {n} -f right | + int_ {A} | f | < varepsilon + int_ {A} | f | < infty. ]

وبالتالي فإن (f_ {n} ) أساسي وقابل للتكامل لـ (n> k، ) كما هو مطلوب. أيضًا ، من خلال النظرية 2 والنتيجة الطبيعية 1 (ii) ، كلاهما في §4 ،

[( forall n، k> q) quad left | int_ {A} f_ {n} - int_ {A} f_ {k} right | = left | int_ {A} left ( f_ {n} -f_ {k} right) right | leq int_ {A} left | f_ {n} -f_ {k} right | < varepsilon. ]

وبالتالي ( left { int_ {A} f_ {n} right } ) هو تسلسل كوشي. عند اكتمال (E ) ،

[ lim int_ {A} f_ {n} neq pm infty ]

موجود في (E ، ) كما تم التأكيد عليه.

أخيرًا ، افترض (g_ {n} rightarrow f ) (بشكل موحد) على (AQ ) لبعض الخرائط الأولية والقابلة للتكامل (g_ {n}. ) حسب ما تم عرضه أعلاه ، ( lim int_ {A} g_ {n} ) موجود و

[ left | lim int_ {A} g_ {n} - lim int_ {A} f_ {n} right | = left | lim int_ {A} left (g_ {n} - f_ {n} right) right | leq lim int_ {A} left | g_ {n} -f_ {n} -0 right | = 0 ]

بواسطة Lemma 1 ، مثل (g_ {n} -f_ {n} rightarrow 0 ) (بشكل موحد) على (A. ) وهكذا

[ lim int_ {A} g_ {n} = lim int_ {A} f_ {n}، ]

وقد ثبت كل شيء. ( رباعي مربع )

وهذا يقودنا إلى التعريف التالي.

تعريف

إذا كان (f: S rightarrow E ) قابلاً للتكامل في (A in mathcal {M} ) ((m A < infty) ، ) قمنا بتعيين

[ int_ {A} f = int_ {A} f d m = lim _ {n rightarrow infty} int_ {A} f_ {n} ]

لأي خرائط أولية وقابلة للتكامل (f_ {n} ) مثل (f_ {n} rightarrow f ) (بشكل موحد) على (A-Q ، m Q = 0 ).

في الواقع ، توجد مثل هذه الخرائط بواسطة النظرية 3 من الفقرة 1 ، ويستبعد Lemma 2 الغموض.

* الملاحظة 1. إذا كانت (f ) نفسها أولية وقابلة للتكامل ، فإن التعريف 2 يتفق مع الفقرة 4. لاختيار (f_ {n} = f (n = 1،2 ، ldots) ، ) نحصل عليها

[ int_ {A} f = int_ {A} f_ {n} ]

(الأخير كما في §4).

*ملاحظة 2. قد نهمل المجموعات التي (f = 0، ) مع مجموعات فارغة. إذا (f = 0 ) في (AB ) ((A supseteq B ، B in mathcal {M}) ، ) قد نختار (f_ {n} = 0 ) في (AB ) في التعريف 2. ثم

[ int_ {A} f = lim int_ {A} f_ {n} = lim int_ {B} f_ {n} = int_ {B} f. ]

هكذا نحدد الآن

[ int_ {A} f = int_ {B} f ، ]

حتى لو (m A = infty ، ) تم توفيره (f = 0 ) في (A-B ، ) أي ،

[f = f C_ {B} text {on} A ]

((C_ {B} = ) دالة مميزة لـ (B) ، ) مع (A supseteq B ، B in mathcal {M} ، ) و (m B < infty ).

إذا كان هذا (ب ) موجودًا ، فنحن نقول أن (f ) لديه (م ) - دعم محدود في (أ ).

*ملاحظة 3. بواسطة النتيجة الطبيعية 1 في §5 ،

[ int_ {A} | f | < infty ]

يعني أن (A (f neq 0) ) هو ( سيجما ) - محدود. إهمال (A (f = 0) ، ) قد نفترض ذلك

[A = bigcup B_ {n}، m B_ {n} < infty، text {and} left {B_ {n} right } uparrow ]

(إذا لم يكن الأمر كذلك ، فاستبدل (B_ {n} ) بـ ( cup_ {k = 1} ^ {n} B_ {k} )) ؛ لذلك (B_ {n} بالقرب من أ ).

Lemma ( PageIndex {3} )

دع ( phi: S rightarrow E ) يكون قابلاً للتكامل في (A ). اسمح (B_ {n} nearrow A، m B_ {n} < infty ) وقم بتعيينها

[f_ {n} = phi C_ {B_ {n}} ، quad n = 1،2 ، ldots. ]

ثم (f_ {n} rightarrow phi ) (بإتجاه النقطة) على (A، ) الكل (f_ {n} ) قابلة للتكامل في (A، ) و

[ lim _ {n rightarrow infty} int_ {A} f_ {n} ]

موجود في (E. ) علاوة على ذلك ، لا يعتمد هذا الحد على اختيار ( left {B_ {n} right } ).

دليل

أصلح أي (x in A. ) كـ (B_ {n} nearrow A = cup B_ {n} ) ،

[ يسار ( موجود n_ {0} يمين) نص {} يسار ( forall n> n_ {0} right) quad x in B_ {n}. ]

على افتراض ، (f_ {n} = phi ) في (B_ {n}. ) وبالتالي

[ left ( forall n> n_ {0} right) quad f_ {n} (x) = phi (x)؛ ]

لذلك (f_ {n} rightarrow phi ) (بإتجاه) على (A ).

علاوة على ذلك ، (f_ {n} = phi C_ {B_ {n}} ) (m ) - قابل للقياس على (A ) (مثل ( phi ) و (C_ {B_ {n }}) نكون)؛ و

[ يسار | f_ {n} يمين | = | phi | C_ {B_ {n}} ]

يدل

[ int_ {A} left | f_ {n} right | leq int_ {A} | phi | < infty. ]

وبالتالي فإن جميع (f_ {n} ) قابلة للتكامل في (A ).

كـ (f_ {n} = 0 ) في (A-B_ {n} (m B < infty) ) ،

[ int_ {A} f_ {n} ]

ويعرف. منذ (f_ {n} rightarrow phi ) (بإتجاه النقطة) و ( left | f_ {n} right | leq | phi | ) في (A، ) النظرية 5 في §6 ، مع (g = | phi |، ) ينتج عنه

[ int_ {A} left | f_ {n} - phi right | rightarrow 0. ]

الباقي كما في Lemma 2 ، مع نظريتنا الحالية 2 أدناه (بافتراض (m ) - الدعم المحدود لـ (f ) و (g) ، ) لتحل محل النظرية 2 من الفقرة 4. وهكذا ثبت كل شيء. ( كواد مربع )

تعريف

إذا كان ( phi: S rightarrow E ) قابلاً للتكامل في (A in mathcal {M} ، ) قمنا بتعيين

[ int_ {A} phi = int_ {A} phi d m = lim _ {n rightarrow infty} int_ {A} f_ {n}، ]

مع (f_ {n} ) كما في Lemma 3 (حتى لو لم يكن ( phi ) لا (م ) - دعم محدود).

النظرية ( PageIndex {2} ) (الخطية)

إذا كانت (f، g: S rightarrow E ) قابلة للتكامل في (A in mathcal {M}، ) كذلك

[p f + q g ]

لأي عددية (ص ، ف. ) علاوة على ذلك ،

[ int_ {A} (p f + q g) = p int_ {A} f + q int_ {A} g. ]

علاوة على ذلك ، إذا كانت (f ) و (g ) ذات قيمة عددية ، فقد تكون (p ) و (q ) متجهات في (E ).

دليل

في الوقت الحالي ، تشير (f ، g ) إلى التعيينات مع (m ) - الدعم المحدود في (A. ) التكامل واضح لأن (p f + qg ) قابل للقياس في (A ) ( مثل (و ) و (ز )) و

[| p f + q g | leq | p || f | + | q || g | ]

عائدات

[ int_ {A} | p f + q g | leq | g | int_ {A} | f | + | q | int_ {A} | g | < infty. ]

الآن ، كما هو مذكور أعلاه ، افترض ذلك

[f = f C_ {B_ {1}} text {and} g = g C_ {B_ {2}} ]

بالنسبة لبعض (B_ {1} ، B_ {2} مجموعة فرعية أ (م ب_ {1} + م ب_ {2} < infty). ) دع (B = B_ {1} كوب B_ {2} ؛) وبالتالي

[f = g = p f + q g = 0 text {on} A-B ؛ ]

بالإضافة إلى ذلك،

[ int_ {A} f = int_ {B} f، int_ {A} g = int_ {B} g، text {and} int_ {A} (p f + qg) = int_ { ب} (p f + qg). ]

أيضًا ، (m B < infty ؛ ) لذلك من خلال التعريف 2 ،

[ int_ {B} f = lim int_ {B} f_ {n} text {and} int_ {B} g = lim int_ {B} g_ {n} ]

لبعض الخرائط الأولية والتكامل

[f_ {n} rightarrow f text {(موحد) و} g_ {n} rightarrow g text {(بشكل موحد) on} B-Q، m Q = 0. ]

هكذا

[p f_ {n} + q g_ {n} rightarrow p f + q g text {(بشكل موحد) on} B-Q. ]

ولكن من خلال النظرية 2 والنتيجة الطبيعية 1 (7) ، كلاهما من §4 (للخرائط الأولية والقابلة للتكامل) ،

[ int_ {B} left (p f_ {n} + q g_ {n} right) = p int_ {B} f_ {n} + q int_ {B} g_ {n}. ]

لذلك

[ start {align} int_ {A} (p f + qg) = & int_ {B} (p f + qg) = lim int_ {B} left (p f_ {n} + q g_ {n} right) & = lim left (p int_ {B} f_ {n} + q int_ {B} g_ {n} right) = p int_ {B} f + q int_ {B} g = p int_ {A} f + q int_ {A} g. نهاية {محاذاة} ]

هذا يثبت بيان النظرية ، بشرط أن (f ) و (g ) لديهما (m ) - دعم محدود في (A. ) للحالة العامة ، نستأنف الآن التدوين (f، g ، ldots ) ​​لأية وظائف ، وتمديد النتيجة إلى أي وظائف قابلة للتكامل.

باستخدام التعريف 3 ، حددنا

[A = bigcup_ {n = 1} ^ { infty} B_ {n} ، left {B_ {n} right } uparrow ، m B_ {n} < infty، ]

و

[f_ {n} = f C_ {B_ {n}}، g_ {n} = g C_ {B_ {n}}، quad n = 1،2، ldots. ]

ثم بالتعريف ،

[ int_ {A} f = lim _ {n rightarrow infty} int_ {A} f_ {n} text {and} int_ {A} g = lim _ {n rightarrow infty} int_ {A} g_ {n}، ]

و حينئذ

[p int_ {A} f + q int_ {A} g = lim _ {n rightarrow infty} left (p int_ {A} f_ {n} + q int_ {A} g_ { n} يمين). ]

نظرًا لأن (f_ {n}، g_ {n} ) لها (م ) - دعامات محدودة ، ينتج عن الجزء الأول من الإثبات

[p int_ {A} f_ {n} + q int_ {A} g_ {n} = int_ {A} left (p f_ {n} + q g_ {n} right). ]

هكذا كما ادعى ،

[p int_ {A} f + q int_ {A} g = lim int_ {A} left (p f_ {n} + q g_ {n} right) = int_ {A} (p f + qg). رباعي مربع ]

وبالمثل ، يقوم المرء بتوسيع النتيجة الطبيعية 1 (ii) (iii) (v) من §4 أولاً للخرائط ذات الدعم المحدود (m ) ، ثم إلى جميع الخرائط القابلة للتكامل. الأجزاء الأخرى من تلك النتيجة الطبيعية لا تحتاج إلى دليل جديد. (لماذا؟)

النظرية ( PageIndex {3} ) (الجمع)

(i) إذا كان (f: S rightarrow E ) قابلاً للتكامل في كل من (n ) مفكك ( mathcal {M} ) - مجموعات (A_ {k} ، ) فهو كذلك على اتحاد

[A = bigcup_ {k = 1} ^ {n} A_ {k}، ]

و

[ int_ {A} f = sum_ {k = 1} ^ {n} int_ {A_ {k}} f. ]

(2) ينطبق هذا أيضًا على النقابات المعدودة ، إذا كان (f ) قابلاً للتكامل في جميع (أ )

دليل

دع (f ) لدينا (m ) - دعم محدود: (f = f C_ {B} ) في (A، m B < infty. ) ثم

[ int_ {A} f = int_ {B} f text {and} int_ {A_ {k}} f = int_ {B_ {k}} f، ]

أين

[B_ {k} = A_ {k} cap B، quad k = 1،2، ldots، n. ]

حسب التعريف 2 ، أصلح الخرائط الأولية والقابلة للتكامل (f_ {i} ) (on (A )) ومجموعة (Q ) ((m Q = 0) ) بحيث (f_ {i } rightarrow f ) (بشكل موحد) في (BQ ) (ومن هنا أيضًا في (B_ {k} -Q )) ، مع

[ int_ {A} f = int_ {B} f = lim _ {i rightarrow infty} int_ {B} f_ {i} quad text {and} int_ {A_ {k}} f = lim _ {i rightarrow infty} int_ {B_ {k}} f_ {i}، quad k = 1،2، ldots، n. ]

نظرًا لأن (f_ {i} ) أولية وقابلة للتكامل ، فإن النظرية 1 في §4 تنتج

[ int_ {A} f_ {i} = int_ {B} f_ {i} = sum_ {k = 1} ^ {n} int_ {B_ {k}} f_ {i} = sum_ {k = 1} ^ {n} int_ {A_ {k}} f_ {i}. ]

لذلك

[ int_ {A} f = lim _ {i rightarrow infty} int_ {B} f_ {i} = lim _ {i rightarrow infty} sum_ {k = 1} ^ {n} int_ {B_ {k}} f_ {i} = sum_ {k = 1} ^ {n} left ( lim _ {i rightarrow infty} int_ {A_ {k}} f_ {i} right) = sum_ {k = 1} ^ {n} int_ {A_ {k}} f. ]

وبالتالي فإن البند (i) ينطبق على الخرائط ذات الدعم المحدود (m ). بالنسبة للوظائف الأخرى ، (1) يتبع الآن بشكل مشابه تمامًا ، من التعريف 3. (تحقق!)

أما بالنسبة لـ (ii) ، فليكن (f ) قابلاً للتكامل في

[A = bigcup_ {k = 1} ^ { infty} A_ {k} text {(disjoint)،} quad A_ {k} in mathcal {M}. ]

في هذه الحالة ، اضبط (g_ {n} = f C_ {B_ {n}}، ) حيث (B_ {n} = bigcup_ {k = 1} ^ {n} A_ {k}، n = 1 ، 2 ، ldots ). بالبند (ط) ، لدينا

[ int_ {A} g_ {n} = int_ {B_ {n}} g_ {n} = sum_ {k = 1} ^ {n} int_ {A_ {k}} g_ {n} = sum_ {k = 1} ^ {n} int_ {A_ {k}} و ، ]

منذ (g_ {n} = f ) في كل (A_ {k} subseteq B_ {n} ).

أيضًا ، كما يمكن رؤيته بسهولة ، ( left | g_ {n} right | leq | f | ) على (A ) و (g_ {n} rightarrow f ) (بالنقطة) على ( أ ) (الإثبات كما في Lemma 3). وهكذا من خلال نظرية 5 في §6 ،

[ int_ {A} left | g_ {n} -f right | rightarrow 0. ]

مثل

[ left | int_ {A} g_ {n} - int_ {A} f right | = left | int_ {A} left (g_ {n} -f right) right | leq int_ {A} left | g_ {n} -f right | ، ]

نحصل

[ int_ {A} f = lim _ {n rightarrow infty} int_ {A} g_ {n}، ]

والنتيجة تليها (3). ( رباعي مربع ).


شاهد الفيديو: تكامل الدالة tanx المرفوعة لاس فردي او زوجي (شهر اكتوبر 2021).