مقالات

10.8: الأعداد المركبة - الرياضيات


10.8: الأعداد المركبة - الرياضيات

هل الأعداد المركبة موجودة بالفعل؟

تتضمن الأعداد المركبة الجذر التربيعي لسالب واحد ، ويجد معظم غير الرياضيين صعوبة في قبول أن هذا الرقم له معنى. في المقابل ، يشعرون أن الأرقام الحقيقية لها معنى واضح وبديهي. ما هي أفضل طريقة للشرح إلى عالم غير رياضيات أن الأعداد المركبة ضرورية وذات مغزى ، بنفس الطريقة التي تكون بها الأعداد الحقيقية؟

هذا ليس سؤالًا أفلاطونيًا حول واقع الرياضيات ، أو ما إذا كانت التجريدات حقيقية مثل الكيانات المادية ، ولكنها محاولة لسد فجوة الفهم التي يواجهها كثير من الناس عند مواجهة أرقام معقدة لأول مرة. على الرغم من أن الصياغة استفزازية ، فقد تم تصميمها عن عمد لتتناسب مع الطريقة التي يسأل بها كثير من الناس هذا السؤال بالفعل.


الجواب دائمًا هو 5

ابدأ بالتفكير في رقم.

خذ رقمك الأصلي.

جرب هذا بأرقام مختلفة وأذهل جمهورك بهذه الخدعة السحرية البسيطة في الرياضيات.

أعرف كم من المال حصلت عليه!

دون إعطائك أي معلومات ، اطلب من الطلاب حساب قيمة مجموعة عشوائية من العملات المعدنية وكتابة المبلغ على قطعة من الورق. ثم اطلب منهم اتباع الخطوات التالية-

ضاعف المبلغ.
أضف أول عدد أولي فردي إلى المجموع الجديد.
اضرب الناتج في 1/4 من 20.
اطرح المضاعف المشترك الأصغر للعددين 2 و 3.

للإجابة النهائية - قم بإزالة الرقم الأخير وستكون قادرًا على تخمين قيمة العملات المعدنية!

تخمين أعمارهم وحجم الحذاء!

اطلب من طفلك اتباع التوجيهات المقدمة ولكن لا يقدم لك أيًا من الحسابات -

اطلب منهم كتابة أعمارهم
اضربها في 1/5 من 100.
أضف تاريخ اليوم & # 39 (على سبيل المثال 2 إذا كان اليوم الثاني من الشهر).
اضرب في 20٪ من 25.
أضف الآن مقاس حذائك (إذا كان نصف الحجم تقريبًا إلى رقم صحيح).
أخيرًا ، اطرح 5 مرات تاريخ اليوم & # 39.

اطلب منهم الكشف عن الإجابة النهائية -
المئات هي الأعمار والأرقام المتبقية هي مقاس الحذاء. على سبيل المثال ، إذا أظهر لك شخص ما 1206 ، فهناك 12 مائة - العمر ، والأرقام المتبقية 06 (أو 6) تدل على حجم الحذاء.

الإجابة الصحيحة هي دائمًا 37!

لتنفيذ هذه الحيلة ، اطلب من أي من أصدقائك اختيار رقم مكون من ثلاثة أرقام بنفس الأرقام.

على سبيل المثال ، 222
اجمع الأرقام معًا. إذن ، 2 + 2 + 2 = 6
اقسم الرقم الأصلي على هذا المجموع. إذن ، 222/6 = 37.

تعرف على كيفية إضافة أرقام مكونة من رقمين عند سقوط قبعة!

احصل على فهم راسخ للمبادئ الأساسية لأماكن العشرات ووحدات الأمبير ، وستتمكن من إضافة أرقام مكونة من رقمين بسرعة البرق.

على سبيل المثال ، خذ رقمين من رقمين ،

ثم قسّم الرقم الثاني إلى عشرات وأمبير ليصبح 79 = 70 + 9.
بعد ذلك ، ارفع جمع العشرات لأعلى ، وهي 57 + 70 = 137.
للحصول على الإجابة النهائية ، يجب عليك إضافة الخانة اليسرى للوحدة ، وهي 137 + 9 = 146.

توقع أي رقم!

للبدء بهذه الخدعة السحرية في الرياضيات ، اختر أي رقم مثل 22

اطرح منه واحدًا ، 22 & - 1 = 21
اضربها بثلاثة. (21 × 3 = 63)
أضف 12 إلى هذا الرقم. (63 + 12 = 75)
اقسمها على ثلاثة. (75/3 = 25)
أضف الآن 5 إلى الرقم أعلاه. (25 + 5 & - 30)
أخيرًا ، اطلب من زملائك طرح الرقم الأصلي من المجموع أعلاه.
ستكون الإجابة دائمًا 8. (30 & ndash 22 = 8)

تحويل ستة أرقام إلى ثلاثة

للقيام بهذه الحيلة ، خذ أي عدد مكون من ثلاثة أرقام واكتبه مرتين لتكوين رقم مكون من ستة أرقام.

مثل 371371
ثم قسّم الرقم على 7 وهو 371371/7 = 53.053
ثم قسّمه على 11 وهو 53،053 / 11 = 4823
ثم اقسمه على 13 وهو 4823/13 = 371
الجواب هو العدد المكون من ثلاثة أرقام. لذلك ، 371

اختر أي رقم ، سيكون منتجك النهائي 2 فقط!

لتنفيذ هذه الحيلة ، اطلب من صديقك التفكير في رقم ، دع & rsquos يقول 8

القاعدة 11

باستخدام هذه الحيلة ، يمكنك تعلم الضرب السريع لأي رقم بـ 11 عقليًا.

اختر أي رقم وافصل بين الرقمين في عقلك.

اجمع الرقمين معًا.

ضع الرقم من الخطوة 2 بين الرقمين.

إذا كان الرقم من الخطوة 2 أكبر من 9 ، لكن احتفظ بالرقم & # 39 في الفراغ واحمل الرقم العشر.
أمثلة: 72 × 11 = 792.

57 × 11 = 5 _ 7 ، لكن 5 + 7 = 12 ، لذا ضع 2 في الفراغ وأضف 1 إلى 5 لتحصل على 627.

الضرب في متناول يدك!

هل تعلم أنه يمكنك مضاعفة أي عدد من الأرقام باستخدام يديك بشكل فعال؟

تتمثل إحدى الطرق البسيطة لعمل جدول الضرب & quot9 & quot في وضع كلتا يديك أمامك مع تمديد الأصابع والإبهام.

لضرب 9 في رقم ، قم بطي هذا الإصبع الرقمي ، مع العد من اليسار.

على سبيل المثال - لضرب 9 في 5 ، قم بطي الإصبع الخامس من اليسار. عد الأصابع على جانبي & quotfold & quot للحصول على الإجابة. في هذه الحالة ، الإجابة هي 45.


محتويات

ضع في اعتبارك العملية التالية على عدد صحيح موجب تعسفي:

في التدوين الحسابي المعياري ، حدد الدالة f كما يلي:

الآن قم بتكوين تسلسل عن طريق إجراء هذه العملية بشكل متكرر ، بدءًا من أي عدد صحيح موجب ، وأخذ النتيجة في كل خطوة كمدخل في الخطوة التالية.

(هذا هو: أأنا هي قيمة f المطبقة على n بشكل متكرر i مرات أأنا = F أنا (ن) ).

تخمين Collatz هو: ستصل هذه العملية في النهاية إلى الرقم 1 ، بغض النظر عن العدد الصحيح الموجب الذي يتم اختياره في البداية.

إذا كان التخمين خاطئًا ، فيمكن أن يكون ذلك فقط بسبب وجود بعض أرقام البداية التي تؤدي إلى ظهور تسلسل لا يحتوي على 1. مثل هذا التسلسل إما أن يدخل في دورة متكررة تستبعد 1 ، أو يزيد بدون حدود. لم يتم العثور على مثل هذا التسلسل.

أصغر أنا من هذا القبيل أأنا & lt أ0 يسمى وقت التوقف من وبالمثل ، فإن أصغر k مثل ذلك أك = 1 يسمى إجمالي وقت التوقف من [3] إذا كان أحد الفهارس i أو k غير موجود ، فإننا نقول إن وقت التوقف أو إجمالي وقت التوقف ، على التوالي ، لا نهائي.

يؤكد تخمين Collatz أن إجمالي وقت التوقف لكل n محدود. كما أنه يعادل قول ذلك كل ن ≥ 2 له وقت توقف محدود.

منذ 3ن + 1 حتى عندما تكون n فردية ، يمكن للمرء بدلاً من ذلك استخدام صيغة "الاختصار" لوظيفة Collatz

على سبيل المثال ، بدءًا من ن = 12 ، يحصل المرء على التسلسل 12 ، 6 ، 3 ، 10 ، 5 ، 16 ، 8 ، 4 ، 2 ، 1.

الرقم ن = 19 يستغرق وقتًا أطول للوصول إلى 1: 19 ، 58 ، 29 ، 88 ، 44 ، 22 ، 11 ، 34 ، 17 ، 52 ، 26 ، 13 ، 40 ، 20 ، 10 ، 5 ، 16 ، 8 ، 4 ، 2 ، 1.

تسلسل ن = 27 ، المدرجة والمرسومة أدناه ، تأخذ 111 خطوة (41 خطوة من خلال الأرقام الفردية ، بالخط العريض) ، وتتسلق إلى 9232 قبل أن تنخفض إلى 1.

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 (تسلسل A008884 في OEIS)

الأرقام التي لها وقت توقف إجمالي أطول من أي قيمة ابتدائية أصغر تشكل تسلسلاً يبدأ بـ:

1 ، 2 ، 3 ، 6 ، 7 ، 9 ، 18 ، 25 ، 27 ، 54 ، 73 ، 97 ، 129 ، 171 ، 231 ، 313 ، 327 ، 649 ، 703 ، 871 ، 1161 ، 2223 ، 2463 ، 2919 ، 3711 ، 6171 و. (تسلسل A006877 في OEIS).

قيم البداية التي تكون نقطة مسارها القصوى أكبر من أي قيمة بداية أصغر هي كما يلي:

1 ، 2 ، 3 ، 7 ، 15 ، 27 ، 255 ، 447 ، 639 ، 703 ، 1819 ، 4255 ، 4591 ، 9663 ، 20895 ، 26623 ، 31911 ، 60975 ، 77671 ، 113383 ، 138367 ، 159487 ، 270271 ، 665215 ، 704511 ، . (تسلسل A006884 في OEIS)

عدد الخطوات لـ n للوصول إلى 1 هو

0 ، 1 ، 7 ، 2 ، 5 ، 8 ، 16 ، 3 ، 19 ، 6 ، 14 ، 9 ، 9 ، 17 ، 17 ، 4 ، 12 ، 20 ، 20 ، 7 ، 7 ، 15 ، 15 ، 10 ، 23 ، 10 ، 111 ، 18 ، 18 ، 18 ، 106 ، 5 ، 26 ، 13 ، 13 ، 21 ، 21 ، 21 ، 34 ، 8 ، 109 ، 8 ، 29 ، 16 ، 16 ، 16 ، 104 ، 11 ، 24 ، 24 ، . (تسلسل A006577 في OEIS)

قيمة البداية التي لها أكبر وقت توقف إجمالي أثناء الوجود

أقل من 10 يساوي 9 ، والذي يحتوي على 19 خطوة ، وأقل من 100 هو 97 ، والذي يحتوي على 118 خطوة ، وأقل من 1000 يساوي 871 ، الذي يحتوي على 178 خطوة ، وأقل من 10 4 يساوي 6171 ، والذي يحتوي على 261 خطوة ، وأقل من 10 5 هو 77 031 ، الذي يحتوي على 350 خطوة ، أقل من 10 6 هو 837799 ، الذي يحتوي على 524 خطوة ، أقل من 10 7 يساوي 8400511 ، الذي يحتوي على 685 خطوة ، أقل من 10 8 هو 63728127 ، الذي يحتوي على 949 خطوة ، أقل من 10 9 هو 670617279 ، الذي يحتوي على 986 خطوة ، وأقل من 10 10 يساوي 97806567630 ، الذي يحتوي على 1132 خطوة ، [11] أقل من 10 11 هو 75128138247 ، الذي يحتوي على 1228 خطوة ، أقل من 10 12 هو 989345275647 ، الذي يحتوي على 1348 خطوة ، أقل من 10 13 هو 7887663552367 ، الذي يحتوي على 1563 خطوة ، أقل من 10 14 يساوي 80867137596217 ، الذي يحتوي على 1662 خطوة ، أقل من 10 15 هو 942488 749153153 ، الذي يحتوي على 1862 خطوة ، أقل من 10 16 هو 7579309213675935 ، الذي يحتوي على 1958 خطوة ، أقل من 10 17 يساوي 93571393 692802302 ، الذي يحتوي على 2091 خطوة وأقل من 10 18 هو 931386 509544713451 ، به 2283 درجة. [12]

هذه الأرقام هي الأدنى مع عدد الخطوات المشار إليه ، ولكن ليس بالضرورة الأرقام الوحيدة التي تقل عن الحد المعطى. على سبيل المثال ، يحتوي 9780657631 على 1132 خطوة ، وكذلك 9780657630.

قيم البداية التي لها أصغر وقت توقف إجمالي فيما يتعلق بعددها من الأرقام (في الأساس 2) هي قوى الرقمين منذ 2 ن يتم خفضه إلى النصف n مرة للوصول إلى 1 ، ولا يتم زيادته أبدًا.

رسم بياني موجه يوضح مدارات أول 1000 رقم.

يمثل المحور x رقم البداية ، ويمثل المحور y أعلى رقم تم الوصول إليه أثناء السلسلة إلى 1. يُظهر هذا المخطط محور y مقيدًا: تنتج بعض قيم x وسيطة تصل إلى 2.7 × 10 7 (بالنسبة إلى x = 9663 )

شجرة جميع الأرقام التي تحتوي على أقل من 20 خطوة (اضغط للتكبير).

على الرغم من عدم إثبات التخمين ، يعتقد معظم علماء الرياضيات الذين نظروا في المشكلة أن التخمين صحيح لأن الأدلة التجريبية والحجج الاستكشافية تدعمه.

تحرير الأدلة التجريبية

اعتبارًا من عام 2020 [تحديث] ، تم التحقق من التخمين بواسطة الكمبيوتر لجميع قيم البداية حتى 2 68 ≈ 2.95 × 10 20. تنتهي جميع القيم الأولية التي تم اختبارها حتى الآن في نهاية المطاف في دورة التكرار (421) من الفترة 3. [13]

هذا الدليل الحاسوبي ليس كافيًا لإثبات أن التخمين صحيح لجميع قيم البداية. كما في حالة بعض التخمينات غير المثبتة ، مثل تخمين Pólya ، يمكن العثور على أمثلة مضادة عند التفكير في أعداد كبيرة جدًا.

ومع ذلك ، قد يكون لمثل هذا التحقق آثار أخرى. على سبيل المثال ، يمكن للمرء اشتقاق قيود إضافية على الفترة والشكل الهيكلي لدورة غير تافهة. [14] [15] [16]

تحرير ارشادي احتمالي

أوقات التوقف تحرير

كما ثبت من قبل Terras ، فإن كل عدد صحيح موجب n لديه وقت توقف محدود. [18] بعبارة أخرى ، يصل كل تسلسل Collatz تقريبًا إلى نقطة أدنى تمامًا من قيمته الأولية. يعتمد الدليل على توزيع نواقل التكافؤ ويستخدم نظرية الحد المركزي.

في عام 2019 ، قام Terence Tao بتحسين هذه النتيجة بشكل كبير من خلال إظهاره ، باستخدام الكثافة اللوغاريتمية ، أن جميع مدارات Collatz تقريبًا تنخفض إلى ما دون أي وظيفة معينة لنقطة البداية ، بشرط أن تتباعد هذه الوظيفة إلى اللانهاية ، بغض النظر عن مدى بطئها. ردا على هذا العمل ، مجلة كوانتا كتب أن تاو "خرج بواحدة من أهم النتائج على تخمين Collatz منذ عقود." [19] [20]

تحرير الحدود السفلية

في برهان بمساعدة الكمبيوتر ، أظهر كراسيكوف ولاجارياس أن عدد الأعداد الصحيحة في الفترة [1 ،x] التي تصل في النهاية إلى 1 تساوي على الأقل x 0.84 لكل x كبير بما فيه الكفاية. [21]

في هذا الجزء ، ضع في اعتبارك صيغة الاختصار لوظيفة Collatz

الدورة عبارة عن تسلسل (أ0, أ1, . أف) من الأعداد الصحيحة الموجبة حيث F(أ0) = أ1 , F(أ1) = أ2 و. و F(أف) = أ0 .

الدورة الوحيدة المعروفة هي (1،2) من الفترة 2 ، وتسمى الدورة التافهة.

طول الدورة تحرير

من المعروف أن طول الدورة غير التافهة هو 17087 915 على الأقل. [15] في الواقع ، أثبت Eliahou (1993) أن الفترة p من أي دورة غير تافهة هي في شكل

ع = 301994 أ + 17087915 ب + 85137581 ج

هناك تفكير مشابه يفسر التحقق الأخير من التخمين حتى 2 68 يؤدي إلى تحسين الحد الأدنى 114208327604 (أو 186565759595 بدون "الاختصار"). يتوافق هذا الحد الأدنى مع النتيجة أعلاه ، نظرًا لأن 114208327604 = 17087915 × 361 + 85137581 × 1269.

ك تعديل الدراجات

دورة k هي دورة يمكن تقسيمها إلى 2ك المتتاليات المتجاورة: k تسلسل متزايد للأرقام الفردية بالتناوب مع k المتتالية المتناقصة للأرقام الزوجية. [16] على سبيل المثال ، إذا كانت الدورة تتكون من تسلسل واحد متزايد من الأرقام الفردية متبوعًا بتسلسل متناقص من الأرقام الزوجية ، فإنها تسمى 1 دورة.

أثبت شتاينر (1977) أنه لا توجد دورة واحدة غير الدورة التافهة (12). [22] استخدم Simons (2004) طريقة شتاينر لإثبات عدم وجود دورة ثنائية. [23] قام Simons & amp de Weger (2005) بتوسيع هذا الدليل حتى 68 دورة: لا توجد دورة k تصل إلى ك = 68. [16] لكل منهما ك بعد 68 ، تعطي هذه الطريقة حدًا أعلى لأصغر مدة في دورة k: على سبيل المثال ، إذا كانت هناك دورة 77 ، فعندئذٍ يكون عنصر واحد على الأقل من الدورة أقل من 38137 × 2 50. [16] جنبًا إلى جنب مع التحقق من التخمين حتى 268 ، فهذا يعني عدم وجود دورة k غير تافهة تصل إلى ك = 77. [13] مع استمرار عمليات البحث الشاملة على الكمبيوتر ، يزداد حجمها ك قد يتم استبعاد القيم. لتوضيح الحجة بشكل أكثر بديهية: لا نحتاج إلى البحث عن الدورات التي تحتوي على 77 دائرة على الأكثر ، حيث تتكون كل دائرة من عمليات صعود متتالية تليها فترات هبوط متتالية.

في العكسي تحرير

هناك نهج آخر لإثبات التخمين ، والذي يأخذ في الاعتبار الطريقة التصاعدية لتنمية ما يسمى الرسم البياني Collatz. ال الرسم البياني Collatz هو رسم بياني تحدده العلاقة العكسية

كآلة مجردة تحسب في الأساس الثاني

يمكن تمثيل التطبيقات المتكررة لوظيفة Collatz كآلة مجردة تتعامل مع سلاسل من البتات. سيقوم الجهاز بتنفيذ الخطوات الثلاث التالية على أي رقم فردي حتى يتبقى "1" واحد فقط:

  1. قم بإلحاق 1 بالنهاية (اليمنى) للرقم في النظام الثنائي (إعطاء 2ن + 1 )
  2. أضف هذا إلى الرقم الأصلي عن طريق الجمع الثنائي (إعطاء 2ن + 1 + ن = 3ن + 1 )
  3. قم بإزالة كل "0" اللاحقة (أي قسمة بشكل متكرر على اثنين حتى تكون النتيجة فردية).

مثال تحرير

رقم البداية 7 مكتوب في الأساس الثاني كـ 111. تسلسل Collatz الناتج هو:

كتسلسل تماثل تحرير

في هذا القسم ، ضع في اعتبارك وظيفة Collatz بصيغة معدلة قليلاً

يمكن القيام بذلك لأنه عندما تكون n فردية ، 3ن + 1 دائمًا زوجي.

إذا كان P (...) هو تماثل رقم ، فهذا هو P (2ن) = 0 و P (2ن + 1) = 1 ، ثم يمكننا تحديد تسلسل التكافؤ Collatz (أو متجه التكافؤ) لرقم n كـ صأنا = ف (أأنا) ، أين أ0 = ن ، و أأنا+1 = F(أأنا) .

استخدام هذا النموذج ل F(ن) ، يمكن إثبات أن متواليات التكافؤ لعددين m و n ستوافقان في شروط k الأولى إذا وفقط إذا كانت m و n متكافئتان مع المعامل 2 ك . هذا يعني أن كل رقم يتم تحديده بشكل فريد من خلال تسلسل التكافؤ الخاص به ، علاوة على أنه إذا كانت هناك عدة دورات Hailstone ، فيجب أن تكون دورات التكافؤ المقابلة لها مختلفة. [3] [18]

تطبيق الدالة f k مرات على الرقم ن = 2 ك أ + ب سيعطي النتيجة 3 ج أ + د ، حيث d هي نتيجة تطبيق الدالة f k مرات على b ، و c هي عدد الزيادات التي تمت مواجهتها خلال هذا التسلسل (على سبيل المثال لـ 2 5 أ + 1 هناك 3 زيادات لأن 1 يتكرر مع 2 ، 1 ، 2 ، 1 ، وأخيرًا إلى 2 ، وبالتالي تكون النتيجة 3 3 أ + 2 مقابل 2 2 أ + 1 هناك زيادة واحدة فقط عندما يرتفع 1 إلى 2 وينخفض ​​إلى 1 وبالتالي تكون النتيجة 3أ + 1). عندما تكون ب 2 ك - 1 سيكون هناك ارتفاع k والنتيجة ستكون 2 × 3 ك أ - 1. عامل الضرب 3 a مستقل عن قيمة a يعتمد فقط على سلوك b. هذا يسمح للشخص بالتنبؤ بأن أشكالًا معينة من الأرقام ستؤدي دائمًا إلى رقم أصغر بعد عدد معين من التكرارات ، على سبيل المثال 4أ + 1 يصبح 3أ + 1 بعد تطبيقين من f و 16أ + 3 يصبح 9أ + 2 بعد 4 تطبيقات لـ f. ومع ذلك ، يعتمد استمرار هذه الأرقام الأصغر إلى 1 على قيمة a.

كنظام علامة تحرير

لوظيفة Collatz في النموذج

يمكن حساب تسلسلات Hailstone بواسطة نظام 2 علامة بسيط للغاية مع قواعد الإنتاج

أقبل الميلاد , بأ , جأأ .

في هذا النظام ، يتم تمثيل العدد الصحيح الموجب n بسلسلة من n نسخ من a ، ويتوقف تكرار عملية الوسم عند أي كلمة طولها أقل من 2. (مقتبس من De Mol.)

تنص حدسية Collatz بشكل مكافئ على أن نظام العلامات هذا ، مع سلسلة منتهية تعسفية من a ككلمة أولية ، يتوقف في النهاية (انظر نظام العلامات # مثال: حساب تسلسلات Collatz للحصول على مثال عملي).

التكرار على جميع الأعداد الصحيحة تحرير

امتداد حدسية Collatz هو تضمين جميع الأعداد الصحيحة ، وليس فقط الأعداد الصحيحة الموجبة. إذا تركنا جانباً الحلقة 0 → 0 التي لا يمكن إدخالها من الخارج ، فهناك ما مجموعه 4 دورات معروفة ، والتي يبدو أن جميع الأعداد الصحيحة غير الصفرية تقع في النهاية تحت تكرار f. يتم سرد هذه الدورات هنا ، بدءًا من الدورة المعروفة للإيجابية n:

يتم سرد القيم الفردية بخط غامق كبير. يتم سرد كل دورة مع أعضائها الأقل قيمة مطلقة (وهو أمر فردي دائمًا) أولاً.

دورة طول دورة القيمة الفردية طول الدورة الكاملة
1 → 4 → 2 → 1 . 1 3
−1 → −2 → −1 . 1 2
−5 → −14 → −7 → −20 → −10 → −5 . 2 5
−17 → −50 → −25 → −74 → −37 → −110 → −55 → −164 → −82 → −41 → −122 → −61 → −182 → −91 → −272 → −136 → −68 → −34 → −17 . 7 18

تخمين Collatz المعمم هو التأكيد على أن كل عدد صحيح ، تحت التكرار بواسطة f ، يقع في النهاية في إحدى الدورات الأربع أعلاه أو الحلقة 0 → 0. غالبًا ما تعتبر الدورة 0 → 0 "تافهة" من خلال الوسيطة ، كما هي يتم تضمينه فقط من أجل الاكتمال.

التكرار في الأسس المنطقية ذات القواسم الفردية تحرير

يمكن تمديد خريطة Collatz إلى أرقام منطقية (موجبة أو سالبة) لها مقامات فردية عند كتابتها بأدنى حد. يتم أخذ الرقم على أنه "فردي" أو "زوجي" وفقًا لما إذا كان البسط فرديًا أم زوجيًا. عندئذٍ تكون صيغة الخريطة هي نفسها تمامًا عندما يكون المجال هو الأعداد الصحيحة: يتم قسمة هذا العقل "الزوجي" على 2 ، ويتم ضرب هذا العقل "الفردي" في 3 ثم يتم إضافة 1. هناك حقيقة مرتبطة ارتباطًا وثيقًا وهي أن خريطة Collatz تمتد إلى الحلقة المكونة من 2-adic ، والتي تحتوي على حلقة من المبررات ذات المقامات الفردية كإطار فرعي.

عند استخدام تعريف "الاختصار" لخريطة Collatz ، من المعروف أن أي تسلسل تكافؤ دوري يتم إنشاؤه بواسطة عقلاني واحد بالضبط.[26] على العكس من ذلك ، من المفترض أن كل عقلاني بمقام فردي له تسلسل تكافؤ دوري في نهاية المطاف (حدس الدوري [3]).

إذا كان طول دورة التكافؤ n وتتضمن أرقامًا فردية بالضبط m مرة في المؤشرات ك0 & lt ⋯ & lt كم−1 ، فإن العقلاني الفريد الذي يولد على الفور وبشكل دوري دورة التكافؤ هذه


مجموعات الأرقام المشتركة

هناك مجموعات من الأرقام المستخدمة غالبًا لها أسماء ورموز خاصة:

الأعداد الصحيحة من 1 إلى الأعلى. (أو من 0 إلى أعلى في بعض مجالات الرياضيات). قراءة المزيد - & GT

الأعداد الصحيحة <1،2،3. > الأعداد الصحيحة السالبة <. -3 ، -2 ، -1> وصفر <0>. لذا فإن المجموعة

(ض هو من الألمانية & quotZahlen & quot أرقام المعنى ، لأن أنا يستخدم لمجموعة الأرقام التخيلية). قراءة المزيد - & GT

الأرقام التي يمكنك تكوينها بقسمة عدد صحيح على آخر (لكن لا تقسم على صفر). بمعنى آخر الكسور. قراءة المزيد - & GT

س هو لـ & quototient & quot (لأن ص يستخدم لمجموعة الأعداد الحقيقية).

أمثلة: 3/2 (= 1.5) ، 8/4 (= 2) ، 136/100 (= 1.36) ، -1/1000 (= -0.001)

(س هي من حاصل القسمة & quotQuoziente & quot المعنى ، نتيجة قسمة رقم على آخر.)

أي رقم حقيقي ليس رقم منطقي. قراءة المزيد - & GT

أي رقم يمثل حلًا لمعادلة كثيرة الحدود ذات معاملات منطقية.

يشمل جميع الأعداد النسبية ، وبعض الأعداد غير النسبية. قراءة المزيد - & GT

أي رقم ليس رقم جبري

تتضمن أمثلة الأعداد المتسامية & pi و ه. قراءة المزيد - & GT

جميع الأعداد المنطقية والغير منطقية. يمكن أن تكون أيضًا موجبة أو سالبة أو صفرية.

يشمل الأعداد الجبرية والأعداد التجاوزية.

طريقة بسيطة للتفكير في الأعداد الحقيقية هي: أي نقطة في أى مكان على خط الأعداد (وليس فقط الأعداد الصحيحة).

يطلق عليهم & quot ؛ أرقام حقيقية & quot لأنهم ليسوا أرقامًا خيالية. قراءة المزيد - & GT

الأعداد التي عند تربيعها تعطي نتيجة سالبة.

إذا قمت بتربيع رقم حقيقي ، فستحصل دائمًا على نتيجة موجبة أو صفرية. على سبيل المثال 2 & times2 = 4 ، و (-2) & times (-2) = 4 أيضًا ، لذا قد تبدو & quotimaginal & quot الأرقام مستحيلة ، لكنها لا تزال مفيدة!

أمثلة: & radic (-9) (= 3أنا), 6أنا, -5.2أنا

& quotunit & quot الأعداد التخيلية هي & amp ؛ الجذر (-1) (الجذر التربيعي لسالب واحد) ، ورمزها هو أنا، أو في بعض الأحيان ي.

مزيج من رقم حقيقي ورقم وهمي في النموذج أ + ثنائي، أين أ و ب حقيقية و أنا هو خيالي.

القيم أ و ب يمكن أن تكون صفراً ، لذا فإن مجموعة الأعداد الحقيقية ومجموعة الأرقام التخيلية هي مجموعات فرعية من مجموعة الأعداد المركبة.

أمثلة: 1 + أنا, 2 - 6أنا, -5.2أنا, 4


مرحبا!

هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)


الخصائص البارزة لأرقام محددة & # 8195 & # 8195

هذه بعض الأرقام ذات الخصائص البارزة. (تم سرد معظم الخصائص الأقل شهرة هنا.) قام أشخاص آخرون بتجميع قوائم مماثلة ، ولكن هذه القائمة الخاصة بي & # 8212 تتضمن الأرقام التي أعتقد أنها مهمة (-:

بعض القواعد التي استخدمتها في هذه القائمة:

يمكن فهم كل شيء من قبل طالب جامعي نموذجي.

إذا كانت هناك عدة أرقام لها خاصية مشتركة ، فسيتم وصف هذه الخاصية تحت رقم "تمثيلي" واحد مع تلك الخاصية. أحاول اختيار أصغر ممثل لم يتم الاستشهاد به أيضًا لخاصية أخرى.

عندما يحتوي رقم معين على أكثر من نوع واحد من الخصائص ، يتم سرد الخصائص بهذا الترتيب:

1. خصائص رياضية بحتة لا علاقة لها باستخدام الأساس 10 (مثال: 137 عدد أولي.)

2. الخصائص الرياضية الخاصة بـ Base-10 (على سبيل المثال: 137 عبارة عن رقم أولي ، قم بإزالة "1": 37 هو أيضًا أساسي ، وإزالة "3": 7 هو أيضًا أولي)

3. الأشياء المتعلقة بالعالم المادي ولكن خارج الثقافة البشرية (على سبيل المثال: 137 قريب من مقلوب ثابت البنية الدقيقة ، الذي كان يُعتقد أنه دقيق ولكن وجد لاحقًا أنه أقرب إلى 137.036.)

4. جميع الخصائص الأخرى (مثال: 137 غالبًا ما أعطيت أهمية صوفية إلى حد ما نظرًا لقربها من ثابت البنية الدقيقة ، وأشهرها إدينجتون)

بسبب التحيز الشخصي الصارخ ، أعطي إدخالًا واحدًا فقط لكل من الأرقام المعقدة والخيالية والسالبة والصفر ، مع تخصيص الباقي (27 صفحة) لأرقام حقيقية موجبة. لدي أيضًا القليل من التحيز في عدد صحيح ولكن هذا لم يكن له مثل هذا التأثير الشديد. يوجد هنا المزيد حول الأعداد المركبة والمربعات وما إلى ذلك.

تهدف هذه الصفحة إلى مواجهة قوى قوانين مونافو للرياضيات. إذا كنت ترى مجالًا للتحسين ، فأخبرني!

أحد الجذور التربيعية لـ i.

عندما كان عمري حوالي 12 عامًا ، قدم لي أخي سؤالاً لتمضية الوقت: إذا كنت الجذر التربيعي لـ -1 ، فما هو الجذر التربيعي لـ i؟ . لقد رأيت بالفعل رسمًا للمستوى المعقد ، لذلك استخدمته للبحث عن أنماط مفيدة ولاحظت بسرعة أن قوى i تدور في دائرة. لقد قدرت الجذر التربيعي لـ i بحوالي 0.7 + 0.7 i.

لا أتذكر لماذا لم أحصل على الإجابة الدقيقة: إما أنني لم أكن أعرف علم المثلثات أو نظرية فيثاغورس ، أو كيف أحل المعادلات متعددة المتغيرات ، أو ربما كنت قد سئمت من حل الرياضيات (كنت قد أصبت بوضوح بصيغة أويلر وهناك فرصة جيدة أن التفكير في قوى 1+ كنت سأقودني طوال الطريق من خلال اللوغاريتمات الأساسية وصيغة De Moivre إلى الدالة الأسية المعقدة).

لكنك لست بحاجة إلى ذلك لإيجاد الجذر التربيعي لـ i. كل ما عليك فعله هو معاملتي كنوع من القيمة غير المعروفة مع الخاصية الخاصة التي يمكن تغيير أي i 2 إلى -1. تحتاج أيضًا إلى فكرة حل المعادلات بالمعاملات والمتغيرات ، والجذر التربيعي لـ i هو شيء على شكل "a + b i". ثم يمكنك إيجاد الجذر التربيعي لـ i عن طريق حل المعادلة:

قم بتوسيع (a + b i) 2 بالطريقة العادية للحصول على 2 + 2ab i + b 2 i 2 ، ثم قم بتغيير i 2 إلى -1:

ثم فقط ضع الأجزاء الحقيقية معًا:

نظرًا لأن الإحداثي الحقيقي للجانب الأيسر يجب أن يكون مساويًا للإحداثيات الحقيقية للجانب الأيمن ، وبالمثل بالنسبة للإحداثيات التخيلية ، فلدينا معادلتان متزامنتان في متغيرين:

من المعادلة الأولى a 2 -b 2 = 0 ، نحصل على a = b بالتعويض عن ذلك في المعادلة الأخرى نحصل على 2a 2 = 1 ، و a = & # 1771 / & # 8730 2 وهذه أيضًا قيمة b. وبالتالي ، فإن الجذر التربيعي الأصلي المطلوب لـ i هو a + b i = (1+ i) / & # 8730 2 (أو سالب هذا).

(هذا هو الرقم المركب الوحيد الذي يحتوي على الإدخال الخاص به في هذه المجموعة ، ويرجع ذلك أساسًا إلى أنه الرقم الوحيد الذي كنت مهتمًا به كثيرًا في الاطلاع على ملاحظة "التحيز الشخصي الصارخ" أعلاه :-).

وحدة الأعداد التخيلية وأحد الجذور التربيعية للعدد -1.

(هذا هو الرقم التخيلي الوحيد الذي يحتوي على مُدخلة خاصة به في هذه المجموعة ، ويرجع ذلك أساسًا إلى أنه يتفوق على البقية في القدرة على التمييز. بالإضافة إلى ذلك ، لا يبدو أن الأرقام غير الحقيقية تهمني كثيرًا.

-1 هو الرقم السالب "الأول" ، ما لم تحدد "الأول" ليكون "الأدنى".

في تمثيل "مكمل اثنين" المستخدم في أجهزة الكمبيوتر لتخزين الأعداد الصحيحة (ضمن نطاق ثابت) ، يتم تخزين الأرقام في الأساس 2 (ثنائي) بأرقام أساس 2 منفصلة في "بتات" مختلفة من السجل. الأرقام السالبة لها 1 في أعلى موضع في السجل. يتم تمثيل قيمة -1 بـ 1 في جميع المواضع ، وهو نفس ما ستحصل عليه إذا كتبت برنامجًا للحساب

واتركها طويلة بما يكفي لتفيض.

كما اتضح ، يمكن التعامل مع مجموع السلسلة هذا كمثال على مجموع السلسلة العام

كما تمت مناقشته في إدخال 1/2 ، فإن المجموع يساوي 1 / (1- x) ، ولكن هذا صالح فقط عندما | x | س = 2 واستخدم الصيغة على أي حال ، نحصل على 1 / (1- س) = 1 / (1-2) = -1 ، وهو نفس التفسير التكميلي للاثنين.

(ليس لدي العديد من الإدخالات للأرقام السالبة ، لأنها لا تهمني كثيرًا. ربما ما زلت أتعلق بالأرقام من حيث عد أشياء مثل "الخروف الـ27 على هذا التل" أو "التباديل 40320 لأجراس برج لوبورو" .)

المجموع (في) الشهير للأعداد الصحيحة الموجبة:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + . = 1 /12

في القرن التاسع عشر ، تم تطوير تقنيات جديدة (سيزارو ، أبيل) لترويض بعض المبالغ المتسلسلة اللانهائية التي لا تتقارب بشكل طبيعي. يتم عرض الأمثلة في إدخالات 1/4 و 1/2. لكن هذه التقنيات وحدها لا تكفي للتعامل مع مجموع السلسلة اللانهائي:

ج = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +.

يتباعد هذا المجموع بشكل رتيب (يزداد نحو اللانهاية ، دون اتخاذ خطوة في الاتجاه السلبي) ولن ينجح سيزارو / أبيل.

كان على أويلر أن يتعامل معها عند إجراء متابعة تحليلية لما يسمى الآن وظيفة ريمان زيتا:

زيتا = 1 - ث + 2 - ث + 3 - ث + 4 - ث +.

كان لدى أويلر s = -1 ، مما يعطي Zeta (s) = 1 + 2 + 3 + 4 +. كان نهج أويلر هو التعبير عنها كمزيج خطي من نفسه مع سلسلة سيزارو أو أبيل سومابل الحالية ، أي 1-2 + 3-4 +. = 1/4 سلسلة ، ولكن بطريقة أويلر الأسهل بكثير:

ج = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +.
= 1 + (4-2) + 3 + (8-4) + 5 + (12-6) + 7 + .
= 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 + . + 4 (1 + 2 + 3 + . )

يعطي كل من طريقة سيزارو / أبيل وأويلر مجموع 1 / (1 + 1) 2 = 1 /4 بالنسبة للجزء الأول لدينا

قيمة دالة Riemann Zeta ذات الوسيطة -1 هي -1/12. كما وصفه جون بايز 100:

يلعب الرقمان 12 و 24 دورًا رئيسيًا في الرياضيات بفضل سلسلة من "الصدف" التي بدأت للتو في الفهم. كانت إحدى الإشارات الأولى لهذه الحقيقة هي "إثبات" أويلر الغريب على ذلك

التي حصل عليها قبل إعلان هابيل أن "السلسلة المتباينة هي اختراع الشيطان". يمكن الآن فهم صيغة أويلر بدقة من منظور دالة زيتا ريمان ، وهي تفسر في الفيزياء سبب عمل الأوتار البوزونية بشكل أفضل في أبعاد 26 = 24 + 2.

يشير بايز ، في نهاية محاضرته "24" ، إلى أن أهمية 24 مرتبطة بحقيقة أن هناك طريقتين لبناء شبكة على المستوى مع تناظر دوراني: واحدة مع تناظر دوراني 4 أضعاف والأخرى مع 6 - تماثل دوراني أضعاف & # 8212 و 4 & مرات 6 = 24. العلاقة بين زيتا (-1) = - 1/12 وتماثل المستوى أكثر منطقية في ضوء كيفية حساب دالة زيتا للحجج المعقدة العامة. أيضًا ، المضاعف المشترك الأصغر للعددين 4 و 6 هو 12.

راجع أيضًا قيم زيتا 1.202056. و 1.644934. .

أوضح سرينيفاسا رامانوجان أيضًا 1 + 2 + 3 + 4 +. = -1 /12، ولكن بطريقة أكثر عمومية من أويلر. استخدم استمرارًا تحليليًا جديدًا لوظيفة ريمان زيتا.

في رسالة رامانوجان عام 1913 إلى ج. سجل هاردي ، العبقري الهندي في الرياضيات الذي لم يكتشف بعد ، العديد من اكتشافاته ومشتقاته. وذكر في القسم الحادي عشر:

لقد حصلت على نظريات حول سلسلة متباعدة ، نظريات لحساب القيم المتقاربة المقابلة للسلسلة المتباعدة ، بمعنى.

1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + . = 1 /120,

نظريات لحساب هذه القيم لأي سلسلة معينة (على سبيل المثال: 1 - 1 2 + 2 2 - 3 2 + 4 2-5 2 +.) ، ومعنى هذه القيم.

في التدوين الحديث ، نلحق () بنهاية مثل هذا المبلغ المتسلسل ، للدلالة على مجموع رامانوجان:

يحدد مجموع Ramanujan دالة f (x) التي تمثل قيم العدد الصحيح x المصطلحات الموجودة في السلسلة التي يتم جمعها. ثم

1 + 2 + 3 + 4 +. ن (ℜ)
= سيجما ك = 1 ن و (ك)
= متكامل س = 0 ن و (س) + سيجما ك = 1 & # 8734 بك / ك ! (و (ك -1) (ن) - و (ك -1) (0)) + R.

حيث "f (k -1)" هو المشتق (k -1) th من f (). اعتبر هاردي ورامانجوان مجرد أجزاء من هذا لا تعتمد على n:

بالنسبة للسلسلة المتقاربة ، تقترب f (x) من الحد عندما يقترب x من اللانهاية ، وهذا سيعطي قيمة تساوي مجموع المتسلسلة اللانهائية. في حالتنا تتباعد f (x) ، ويكون مجموع السلسلة لانهائيًا ، لكن مبلغ هاردي رامانوجان هذا ليس كذلك. f (0) تساوي 0 ، والمشتق الأول ثابت f '(x) = 1 ، وجميع المشتقات الأعلى تساوي صفرًا ، لذا فهي تختزل إلى

ب 2 هو رقم برنولي الثاني وهو 1/6 ، لذلك نحصل على -1/12.

كلمة "صفر" هي اسم الرقم الوحيد في اللغة الإنجليزية الذي يمكن إرجاعه إلى اللغة العربية (صِفر ʂifr "لا شيء" ، "cipher" التي أصبحت zefiro باللغة الإيطالية ، تم التعاقد عليها لاحقًا عن طريق إزالة fi). جاءت الكلمة مع الرمز ، في نفس الوقت تقريبًا جاءت الأرقام العربية الغربية إلى أوروبا. 44 ، 105

تعود ممارسة استخدام رمز للاحتفاظ بمكان رقم آخر عندما لا توجد قيمة في ذلك المكان (مثل 0 في 107 يشير إلى عدم وجود 10) إلى الهند في القرن الخامس ، حيث كان يطلق عليه shunya أو nyatā 107.

(هذا هو الرقم صفر الوحيد الذي يحتوي على الإدخال الخاص به في هذه المجموعة ، ويرجع ذلك أساسًا إلى أن الحقل يمكن أن يحتوي على هوية مضافة واحدة فقط.)

هذا هو وقت بلانك بالثواني فهو مرتبط بميكانيكا الكم. وفقًا لمقال ويكيبيديا بلانك تايم ، "في إطار قوانين الفيزياء كما نفهمها اليوم ، لأوقات أقل من وقت بلانك ، لا يمكننا قياس أو اكتشاف أي تغيير". يمكن للمرء أن يفكر في الأمر على أنه "أقصر فترة زمنية قابلة للقياس" ، ولأي غرض في العالم الحقيقي (إذا كان المرء يؤمن بميكانيكا الكم) ، يمكن اعتبار أي حدثين مفصولين بأقل من هذا المقدار من الوقت متزامنين.

يستغرق الضوء (يسافر بسرعة الضوء) هذه المدة الطويلة للسفر بوحدة طول بلانك ، والتي هي نفسها أصغر بكثير من البروتون أو الإلكترون أو أي جسيم معروف حجمه.

هذا هو طول بلانك بالأمتار ويرتبط بميكانيكا الكم. أفضل تفسير لمعظم الناس هو أن طول بلانك هو أصغر طول يمكن قياسه ، أو أصغر طول له أي صلة بالأحداث التي يمكننا مراقبتها. يستخدم هذا قيمة CODATA 2014 50. راجع أيضًا 5.390 & times10-44 و 299792458.

ثابت بلانك "المختزل" في جول-ثانية ، من كوداتا 2014 قيمته 50.

هذا هو ثابت بلانك في جول-ثانية ، من كوداتا 2014 قيم 50. هذا يعطي النسبة بين طاقة الفوتون وطوله الموجي.

اعتبارًا من 1 مايو 2019 ، تم تعريف ثابت بلانك (بالثواني الجول) على أنه هذه القيمة بالضبط ، من أجل تحديد الكيلوجرام من حيث خصائص الطبيعة التي يمكن ملاحظتها. التعريف يقرأ:

الكيلوجرام ، الرمز كجم ، هو وحدة الكتلة في النظام الدولي للوحدات. يتم تعريفه من خلال أخذ القيمة العددية الثابتة لثابت بلانك h لتكون 6.62607015 × 10 -34 عند التعبير عنها بالوحدة J s ، والتي تساوي kg · m 2 · s -1 ، حيث يتم تعريف المتر والثاني من حيث ج و # 948 & # 957سي اس.

حيث c هي سرعة الضوء حسب التعريف الحالي (منذ 1967) (انظر 299792458) و & # 948 & # 957سي اس هو تردد الانتقال عالي الدقة غير المضطرب للحالة الأرضية للسيزيوم -133 (انظر 9192631770).

كتلة الإلكترون بالكيلوغرام ، من CODATA 2014 قيم 50. انظر أيضا 206.786.

كتلة البروتون بالكيلوغرام ، من CODATA 2014 قيم 50.

كتلة النيوترون بالكيلوغرام ، من CODATA 2014 قيم 50.

الوقت التقريبي (بالثواني) الذي يستغرقه الضوء لاجتياز عرض البروتون.

قيمة ثابت بولتزمان حسب التعريف القديم (قبل 2019) ، كما هو وارد في CODATA 2014 50. استندت هذه القيمة إلى الملاحظات التجريبية وأيضًا على تعريف كلفن ، والذي تم تحديده عن طريق قياس درجة حرارة النقطة الثلاثية للماء وتحديد كلفن بحيث تصل درجة حرارة النقطة الثلاثية إلى 273.16 كلفن للتيار (2019) وما بعده) انظر التعريف 1.380649 & times10 -23.

ثابت بولتزمان (بالجول لكل درجة كلفن) من خلال إعادة تعريف 2019 ، والتي تنص على:

كلفن ، الرمز K ، هو وحدة SI لدرجة الحرارة الديناميكية الحرارية. يتم تعريفها بأخذ القيمة العددية الثابتة لثابت بولتزمان k لتكون 1.380649 & مرات 10 -23 عند التعبير عنها بالوحدة JK -1 ، والتي تساوي كجم م 2 ث -2 ك -1 ، حيث الكيلوجرام والمتر والثانية يتم تعريفها من حيث h و c و & # 948 & # 957سي اس.

حيث h هو ثابت بلانك بالتعريف الجديد (انظر 6.62607015 & times10 -34) ، c هي سرعة الضوء بالتعريف الحالي (منذ 1967) (انظر 299792458) و & # 948 & # 957سي اس هو تردد الانتقال عالي الدقة غير المضطرب للحالة الأرضية للسيزيوم -133 (انظر 9192631770).

كمية الشحنة الكهربائية في كولوم (ثلث شحنة الإلكترون) ، بناءً على قيم CODATA 2014 50. تحتوي البروتونات والإلكترونات والكواركات على شحنات عدد صحيح (موجب أو سالب) مضاعف لهذه القيمة.

الشحنة الأولية أو "شحنة الوحدة" ، شحنة الإلكترون في كولوم ، من CODATA 2014 بقيمة 50. لم يعد هذا يعتبر أصغر كمية شحنة ، والآن بعد أن أصبح من المعروف أن المادة تتكون إلى حد كبير من الكواركات التي لها شحنة بمضاعفات كم يساوي 1/3 هذه القيمة بالضبط.

اعتبارًا من 1 مايو 2019 ، لم يتم قياس الشحنة الأولية من حيث الكولوم بدلاً من ذلك تم تعريفها على أنها 1.602176634 بالضبط و 10 -19 كولوم ، بمعنى آخر ، الكولوم محدد الآن من حيث الشحنة الأولية.

القيمة المتبادلة للكولوم بوحدات الشحنة الأولية ، حسب التعريف الجديد (2019).

في عام 2019 ، تم تحديث النظام الدولي للوحدات (SI) لتحديد وحداته الأساسية السبعة بطريقة تحدد جميع الوحدات السبع من حيث خصائص الطبيعة التي يمكن ملاحظتها ، والتي تُعطى قيمًا رقمية عشوائية من حيث الوحدات الأساسية:

الأمبير ، الرمز A ، هو وحدة SI للتيار الكهربائي. يتم تعريفه من خلال أخذ القيمة العددية الثابتة للشحنة الأولية e لتكون 1.602176634 & مرات 10 -19 عند التعبير عنها بالوحدة C ، والتي تساوي A s ، حيث يتم تحديد الثانية من حيث & # 948 & # 957سي اس.

أين & # 948 & # 957سي اس هو تردد الانتقال عالي الدقة غير المضطرب للحالة الأرضية للسيزيوم -133 (انظر 9192631770).

"الحجم" التقريبي للبروتون 71 ، بالمتر (بناءً على "نصف قطر الشحنة" البالغ 0.875 فيمتومتر). "الحجم" مفهوم غامض جدًا للجسيمات ، وهناك حاجة إلى تعريفات مختلفة لمشاكل مختلفة. انظر 10 40.

ثابت سماحية الفراغ بالفاراد لكل متر ، باستخدام التعريفات القديمة (ما قبل 2019) لنفاذية الفراغ (انظر 4 & # 960/107) والتعريف (الحالي) لسرعة الضوء (انظر 299792458). في الأزمنة القديمة كان هذا يسمى "سماحية المساحة الحرة".بسبب مجموعة من التعريفات القياسية ، ولا سيما التعريف الدقيق لسرعة الضوء ، فإن هذا الثابت يساوي بالضبط 10 7 / (4 & # 960 299792458 2) = 625000/22468879468420441 & # 960 فاراد لكل متر.

في عام 2019 وما بعده ، يجب حساب سماحية الفراغ بناءً على القياس. أكبر عدم يقين يساهم في قيمته هو قياس ثابت البنية الدقيقة.

ثابت الجاذبية بالمتر المكعب لكل كيلوغرام في الثانية تربيع ، من كوداتا 2014 قيم 50. هذا هو أحد أهم الثوابت الفيزيائية في الفيزياء ، ولا سيما علم الكونيات والجهود المبذولة لتوحيد النسبية مع ميكانيكا الكم. كما أنه من أصعب الثوابت في القياس. انظر أيضًا 1.32712442099 (10) & times1020.

كتلة بلانك بالكيلوغرام ، باستخدام قيم CODATA 2014. ترتبط كتلة بلانك بسرعة الضوء وثابت بلانك وثابت الجاذبية بالصيغة Mp = & # 8730 hc / 2 & # 960 G.

الثابت 4 & # 960/10 7 الذي يظهر في التعريف القديم (قبل 2019) لـ "الثابت المغناطيسي" أو نفاذية الفراغ. يتعلق الأمر بالتعريف القديم للأمبير ، والذي ينص على أنه إذا كان أمبير واحد بالضبط يتدفق في موصلين متوازيين مستقيمين بطول لانهائي بطول متر واحد ، فإن القوة الناتجة ستكون 2 × 10 - 7 نيوتن لكل متر من الطول. هذا مستمد من تعريف قديم ينص على أن إعدادًا مشابهًا مع الأسلاك التي تفصل بينها مسافة سنتيمتر واحد سينتج قوة مقدارها 2 داين لكل سنتيمتر من الطول (واحد داين هو 10-5 نيوتن).

ثابت الهيكل الدقيق ، كما هو موضح في CODATA 2014 (انظر 50). "(17)" هو نطاق الخطأ. انظر 137.035. صفحة للتاريخ والتفاصيل.

هناك عدد قليل من "الصدف" فيما يتعلق بمضاعفات 1/127:

ه / & # 960 = 0.865255. & asymp 110/127 = 0.866141.
& # 8730 3 = 1.732050. & asymp 220/127 = 1.732283.
& # 960 = 3.141592. & asymp 399/127 = 3.141732.
& # 8730 62 = 7.874007. & asymp 1000/127 = 7.874015.
ه & # 960 = 23.140692. & asymp 2939/127 = 23.141732.

هناك عدد قليل آخر لـ 1/7. تمت مناقشة المصادفة & # 8730 62 في الإدخال & # 8730 62 ، و & # 960 و e & # 960 معًا (انظر e & # 960).

هذا هو الانحراف اللامركزي لمدار مركز الأرض والقمر الباري في العصر J2000 ، القيمة تتناقص حاليًا بمعدل حوالي 0.00000044 سنويًا ، ويرجع ذلك في الغالب إلى تأثير الكواكب الأخرى. القمر ضخم بما يكفي وبعيد بما يكفي لإزاحة الأرض نفسها على بعد بضعة آلاف من الكيلومترات من مركز الباري. راجع أيضًا 0.054900.

نسخة من ثابت الجاذبية الجاوسي حسب سايمون نيوكومب في عام 1895.

"ثابت الجاذبية الغاوسي" k ، كما تم حسابه في الأصل بواسطة Gauss ، المرتبط بالسنة الغاوسية & # 916 t بالصيغة & # 916 t = 2 & # 960 / k. تم استبدال القيمة لاحقًا بقيمة Newcomb 0.01720209814 ، ولكن في عام 1938 (ومرة أخرى في عام 1976) تبنت IAU قيمة Gauss الأصلية.

متوسط ​​الانحراف لمدار القمر & # 8212 متوسط ​​التباين في مسافة القمر عند الحضيض (أقرب نقطة إلى الأرض) والأوج. نظرًا لتأثير جاذبية الشمس ، يختلف الانحراف الفعلي بمقدار كبير ، حيث يصل إلى حوالي 0.047 ويصل ارتفاعه إلى حوالي 0.070 ، كما أن القطع الناقص يسبق دائرة كاملة كل 9 سنوات (انظر 27.554549878). يكون الانحراف أكبر عندما يتزامن الحضيض والأوج مع القمر الجديد والمكتمل. في مثل هذه الأوقات ، تختلف مسافة القمر بإجمالي 14٪ ، ويختلف حجمه الظاهري (المساحة في السماء) بنسبة 30٪ عندما يُقارن الحجم عند الأوج بالحجم عند نقطة الحضيض. هذا يعني أن سطوع البدر يختلف بنسبة 30٪ على مدار العام. في عام 2004 ، كان ألمع قمر مكتمل هو القمر يوم 2 يوليو / تموز ، نظرًا لدور المدار ، كان ألمع قمر كامل في عام 2006 بعد شهرين ، السادس من أكتوبر.

هذا التغيير في الحجم صغير جدًا بحيث لا يمكن للناس ملاحظته من خلال الملاحظة العرضية (باستثناء خسوف الشمس ، عندما يغطي القمر أحيانًا الشمس بأكملها ولكن في أوقات أخرى ينتج كسوفًا حلقيًا). لكن الانحراف كبير بما يكفي لإحداث اختلافات كبيرة في سرعة انتقال القمر عبر السماء من يوم إلى آخر. عندما يكون القمر بالقرب من الحضيض ، يمكن أن يتحرك بقدر 16.5 درجة في اليوم عندما يكون بالقرب من الأوج يتحرك 12 درجة فقط ، ويكون المتوسط ​​13.2. التأثير التراكمي لهذا هو أن القمر يمكن أن يظهر بقدر 22 درجة إلى الشرق أو الغرب من المكان الذي سيكون فيه إذا كان المدار دائريًا ، وهو ما يكفي للتسبب في حدوث المراحل بقدر 1.6 يومًا قبل أو خلف التنبؤ مصنوعة من مدار دائري مثالي. كما أنه يؤثر على الاهتزاز ("التذبذب" الظاهر للقمر والذي يمكننا من رؤية القليل من الجانب البعيد من القمر اعتمادًا على الوقت الذي تنظر فيه).

هذه هي أدنى قيمة لـ z التي يستخدمها برج الطاقة اللانهائي

يتقارب إلى قيمة محدودة. (أعلى قيمة من هذا القبيل هي e (1 / e) = 1.444667. راجع هذا الإدخال لمزيد من المعلومات).

هذا هو ثابت كبلر-بوكامب المرتبط ببناء هندسي لدوائر ومضلعات منقوشة متحدة المركز. ابدأ بدائرة وحدة (دائرة نصف قطرها 1). اكتب مثلثًا متساوي الأضلاع داخل الدائرة ، ثم اكتب دائرة داخل المثلث. سيكون نصف قطر الدائرة الأصغر هو cos (& # 960/3) = 1/2. اكتب الآن مربعًا داخل تلك الدائرة ، ودائرة داخل المربع هذه الدائرة الأصغر لها نصف قطر cos (& # 960/3) & timecos (& # 960/4) = & # 8730 1/8. استمر في الكتابة باستخدام البنتاغون والسداسي وكل مضلع منتظم متتالي. تصبح الدوائر أصغر لكنها لا تنخفض إلى الصفر ، الحد هو هذا الرقم ، حوالي 10/87.

الكسر 1/7 هو أبسط مثال على كسر بكسر عشري متكرر له نمط مثير للاهتمام. راجع المقال السابع للتعرف على بعض خصائصه المثيرة للاهتمام.

يشير القارئ سي لوسيان إلى أنه يمكن تقريب العديد من الثوابت المعروفة بمضاعفات 1/7:

جاما = 0.5772156. & asymp 4/7 = 0.571428.
ه / & # 960 = 0.865255. & asymp 6/7 = 0.857142.
& # 8730 2 = 1.414213. & asymp 10/7 = 1.428571.
& # 8730 3 = 1.732050. & asymp 12/7 = 1.714285.
ه = 2.7182818. & asymp 19/7 = 2.714285.
& # 960 = 3.1415926. & asymp 22/7 = 3.142857.
ه & # 960 = 23.140692. & asymp 162/7 = 23.142857.

هذه في الغالب جميع المصادفات دون أي تفسير آخر ، باستثناء ما هو مذكور في إدخالات & # 8730 2 و e & # 960. انظر أيضًا 1/127.

هذا هو جزء لا يتجزأ من الخطيئة (1 / * x) ، من 0 إلى 1. سيعطي Mathematica أو Wolfram Alpha المزيد من الأرقام: 0.5040670619 & shy0692837198 & shy9856117741 & shy1482296249 & shy8502821263 & shy9170871433 & shy1675557800 & shy7436 & shy12760184.

اقترح لي أحد القراء [206] فكرة أن بعض الناس قد يعرّفون "زيليون" على أنه "1 متبوعًا بمليار زيرو". هذا يشبه إلى حد ما تعريف googolplex ولكنه يناقض نفسه ، من حيث أنه بغض النظر عن القيمة التي تختارها لـ X ، فإن 10 X أكبر من X.

ومع ذلك ، هذا صحيح فقط إذا حددنا X ليكون عددًا صحيحًا (أو رقمًا حقيقيًا). إذا سُمح لـ X أن تكون عددًا مركبًا ، فإن المعادلة 10 X = X بها عدد لا نهائي من الحلول.

باستخدام Wolfram Alpha [219] ، أدخل "10 ^ x = x" وستحصل على:

x & asymp -0.434294481903251827651 واطن (-2.30258509299404568402)

مع ملاحظة تصف Wك باعتبارها "وظيفة سجل المنتج" ، والتي ترتبط بوظيفة Lambert W (انظر 2.50618.). هذه الوظيفة متاحة أيضًا في Wolfram Alpha (أو في Mathematica) باستخدام الاسم "ProductLog [k، x]" حيث k هي أي عدد صحيح و x هي الوسيطة. لذلك إذا أدخلنا "-0.434294481903251827651 * ProductLog [1، -2.30258509299404568402]" ، نحصل على:

0.529480508259063653364. - 3.34271620208278281864. أنا

أخيرًا ، أدخل "10 ^ (0.529480508259063653364 - 3.34271620208278281864 * i)" واحصل على:

0.52948050825906365335. - 3.3427162020827828186. أنا

إذا استخدمنا -2 كوسيطة أولية لـ ProductLog [] ، نحصل على 0.5294805 + 3.342716 i ، وبشكل عام تحدث جميع الحلول كأزواج مترافقة معقدة. تتضمن الحلول الأخرى x = -0.119194. & # 1770.750583. أنا و س = 0.787783. & # 1776.083768. أنا .

في ضوء حقيقة أن المليون رقم هي كلها قوى لـ 1000 ، اقترح قارئ آخر [211] أن على المرء أن يفعل ما سبق بدءًا من 10 (3 X +3) = X. يؤدي هذا إلى نتائج مماثلة ، حيث أن أحد الجذور الأولى هو:

-0.88063650680345718868. - 2.10395020077170002545. أنا

الكسر الأول في برنامج FRACTRAN لكونواي ([151] الصفحة 147) الذي يبحث عن جميع الأعداد الأولية. البرنامج الكامل 17 /91, 78 /85, 19 /51, 23 /38, 29 /33, 77 /29, 95 /23, 77 /19, 1 /17, 11 /13, 13 /11, 15 /2, 1 /7, 55 /1. "لتشغيل" البرنامج: بدءًا من X = 2 ، ابحث عن الكسر الأول N / D في التسلسل الذي يكون فيه XN / D عددًا صحيحًا. استخدم هذه القيمة NX / D كقيمة جديدة لـ X ، ثم كرر. في كل مرة يتم فيها ضبط X على قوة 2 ، تكون قد وجدت عددًا أوليًا ، وستحدث بالتسلسل: 2 2 ، 2 3 ، 2 5 ، 2 7 ، 2 11 وهكذا. إنها ليست فعالة للغاية على الرغم من أن & # 8212 يستغرق 19 خطوة للعثور على أول شرط ، 69 للثاني ، ثم 281 ، 710 ، 2375. (سلون A7547).

هذا هو e - & # 960/2 ، والذي يساوي أيضًا i. (لأن e ix = cos (x) + i sin (x) ، ei & # 960/2 = i ، وبالتالي ii = (ei & # 960/2) i = ei 2 & # 960/2 = e - & # 960/2.)

مجموع سيزارو لمجموع السلسلة اللانهائية المتباعدة بالتناوب:

والتي يمكن استخدامها لاشتقاق مجموع أويلر / رامانوجان "سيئ السمعة" 1 + 2 + 3 + 4 +. = -1/12.

تم توضيح طريقة سيزارو من الدرجة الأولى في الإدخال لمدة 1/2. هنا سنطبق الطريقة مرتين. نبدأ بشروط السلسلة اللانهائية:

هذا له مبالغ جزئية:

هذه تتباعد وغير محدودة فوق وتحت. مجموع أول n من هذه السلسلة هو:

متوسط ​​أول حرف n لـ A o (n) هو A '(n) / n:

(C ، 1) -sum = A '(n) / n: 1 ، 0 ، 2/3 ، 0 ، 3/5 ، 0 ، 4/7 ،.

هذا ليس متقاربًا ولكنه يوفر الأمل في أنه (مثل 1-1 + 1-.) يمكنه على الأقل أن يظل مقيدًا من أعلى وأسفل. الحدود الزوجية كلها 0 بينما تقترب الحدود الفردية من 1/2.

لنأخذ المتوسطات المتتالية لهذا التسلسل: مجموع سيزارو لمجموع سيزارو. مجموع المصطلحات n الأولى لما ورد أعلاه "(C ، 1) -sum" هو

1, 1, 5/3, 5/3, 34/15, 34/15, 298/105, .

والمتوسطات المتتالية هي فقط تلك التي تزيد عن n:

1, 1/2, 5/9, 5/12, 34/75, 34/90, 298/735, .

التي تتقارب في 1/4 ، على الرغم من أنه قد يكون من الصعب بعض الشيء رؤيتها هنا. هذه ليست الطريقة التي حدد بها سيزارو طريقة الترتيب الثاني. بدلاً من ذلك ، وضع مجموع أول n حد من A '(n) في البسط:

والمعاملات ذات الحدين ن ج 2 (الأعداد المثلثة) ، المسماة "E '' (n)" ، في المقام:

هـ '' (اسم): 1 ، 3 ، 6 ، 10 ، 15 ، 21 ، 28 ، 35 ،.

متوسطات الدرجة الثانية بطريقة سيزارو هي:

(C، 2) -sum = A '' (n) / C (n، 2): 1، 1/3، 3/6، 3/10، 6/15، 6/21، 10/28،.

وهذه تتلاقى أيضًا على 1 /4. تجعل الإضافة بهذه الطريقة من السهل رؤيتها لأن على سبيل المثال حتى n ، يمكننا ترك h يكون n / 2 ونحصل على:

أ '' (ن) / ج (ن ، 2) = ح ج 2 / 2 ح ج 2
= (ح (ح -1) / 2) / (2 س (2 س -1) / 2)
= (ح 2 - ح) / (4 س 2 -2 س)
= (1/2) (2 س 2 - ح - ح 2) / (2 س 2 - ح)
= (1/2) ((2 س 2 - ح) / (2 س 2 - ح) - ح 2 / (2 س 2 - ح))
= 1/2 - 1/2 (ح 2 / (2 س 2 - ح))

من الواضح أن الجزء "h 2 / (2 h 2 - h)" يتقارب عند 1/2 ، لذا فإن كل شيء يتقارب إلى 1/2 - 1/4.

هذا المبلغ 1 /4 يظهر كـ "1 / (1 + 1) 2" في دفتر ملاحظات Ramanujan. يمكن اشتقاق ذلك من خلال ملاحظة أن 1-1 + 1-1 + 1-1 +. يحتوي على 1 st-order Cesaro sum 1/2 ، ثم قم بذلك:

(1 - 1 + 1 - 1 + 1 - . ) 2
= (1 - 1 + 1 - 1 + 1 -.) & مرات (1 - 1 + 1 - 1 + 1 -.)
= 1 + (-1 & times1 + 1 & times-1) + (1 & times1 + -1 & times-1 + 1 & times1) + (-1 & times1 + 1 & times-1 + -1 & times1 + 1 & times-1) +.
= 1 - 2 + 3 - 4 + .

إذن مجموع 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 -. يجب أن يكون مربع مجموع 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -. وهو مربع 1/2 ، أي 1/4.

هناك طريقة أخرى ، ربما تكون أسهل ، للحصول على نفس الإجابة. ابدأ بمجموع السلسلة اللانهائية وافترض أن لها قيمة ، تسمى هنا C:

اطرح الثاني من الأول:

ج - Cx = 1
ج (1- س) = 1
ج = 1 / (1- س)

إذا كانت x تشبه 1/2 ، فمن السهل أن ترى أن المجموع 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +. هي 2 ، و 1 / (1- x) = 1 / (1-1 / 2) هي أيضًا 2 ، لذا فإن الاشتقاق صالح. ولكن إذا كانت س ، على سبيل المثال ، -1 ، فسنحصل على 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -. = 1/2 ، الذي تمت مناقشته في الإدخال لـ 1/2. لم يقلق أويلر بشأن التقارب الصارم ومضى قدمًا في:

1 + س + س 2 + س 3 + س 4 +. = 1 / (1- س)

دعونا نفرق بين الجانبين!

1 + 2 × + 3 × 2 + 4 × 3 +. = 1 / (1- س) 2

إذا كانت x = -1 لدينا المبلغ المطلوب:

ومرة أخرى الجواب هو 1/4.

هذا منتج لانهائي من (1-2 - N) لجميع N. هذا أيضًا هو حاصل ضرب (1- x N) مع x = 1/2. أوضح أويلر أنه في الحالة العامة ، يمكن اختزال هذا المنتج اللانهائي إلى المجموع اللامتناهي الذي يسهل حسابه كثيرًا 1 - x - x 2 + x 5 + x 7 - x 12 - x 15 + x 22 + x 26 - x 35 - × 40 +. حيث الأسس هي الأرقام الخماسية N (3 N -1) / 2 (لكل من N الموجبة والسالبة) ، سلون A1318. 30

هذا هو ثابت لوكاس لومير لغوتفريد هيلمز "LucLeh" انظر 1.38991066352414. للمزيد من.

1/3 هو أبسط عقلاني غير ثنائي ، والأبسط مع عدد عشري غير منتهي في الأساس 10.

1/3 هو "مجموع رامانوجان" لمجموع السلسلة اللانهائية غير المتقاربة -2 ن:

على الرغم من أنه لا يُسمح لنا بذلك ، يمكننا محاولة تطبيق صيغة مجموع السلسلة:

الذي يتقارب بالطريقة العادية فقط عندما يكون -1 س س = -2 ويكون المجموع 1 / (1 - (- 2)) = 1/3.

هذا هو "Artin's Constant" المنتج (1-1 / 2) (1-1 / 6) (1-1 / 20). (1-1 / (ص (ص -1))) لجميع الصفحات الأولية. يتعلق الأمر بالتخمين المتعلق بـ "كثافة" الأعداد الأولية p حيث 1 / p لها جذر بدائي ، حيث يفي a بشروط تسلسل OEIS A85397. يتضمن ذلك 10 ، مما يعني أن حوالي 30٪ من الأعداد الأولية لها مقلوب مع توسع عشري يكرر كل p -1 رقم أول رقمين هما 7 و 17.

لها قيمة قريبة جدًا من & # 960/8 ، ولكن ليس بالضبط. من برنارد ماريس الابن عبر بيلي وآخرون. [188] المزيد عن MathWorld في Infinite Cosine Product Integral.

إذا أخذت سلسلة من 1 و 0 واتبعتها بمكملها (تم تبديل نفس السلسلة مع 1 إلى 0 والعكس بالعكس) ، فستحصل على سلسلة أطول مرتين. إذا كررت العملية إلى الأبد (بدءًا من 0 كسلسلة أولية) ، فستحصل على التسلسل

وإذا جعلت هذا كسرًا ثنائيًا 0.0110100110010110. 2 المكافئ في الأساس 10 يساوي 0.41245403364. ويسمى ثابت Thue-Morse أو ثابت التكافؤ. يتم إعطاء قيمته من خلال نسبة المنتجات اللانهائية:

4 ك = 2 - منتج [2 2 ن -1] / منتج [2 2 ن]
= 2 - (1 مرات 3 مرات 15 مرات 255 مرات 65535 مرة) / (2 مرات 4 مرات 16 مرات 256 مرة 65536 مرة.)

مجموع سيزارو لأبسط مجموع سلسلة لانهائية من سلسلة سيزارو:

تقنية Cesaro sum هي تعميم لتعريف مجموع سلسلة لانهائية كحد لمجموعها الجزئية. لتوضيح المبدأ ، دعنا نفكر في مبلغ لا نهائي يتقارب بالفعل بالطريقة العادية:

هذا له مبالغ جزئية:

والتي يمكن رؤيتها بسهولة (وإثباتها ، عن طريق الاستقراء الرياضي) لتتقارب مع 2. نظر سيزارو في سلسلة المتوسطات (الوسائل الحسابية) للمجاميع الجزئية N الأولى:

1, (1 + 3/2)/2, (1 + 3/2 + 7/4)/3, (1 + 3/2 + 7/4 + 15/8)/4, ..

1, 5/4, 17/12, 49/32, 129/80, 321/128, 769/448, .

والتي تتقارب أيضًا في 2 ، وإن كانت أبطأ. يمكن أن تعطي تقنية حساب متوسط ​​أول n من المجاميع الجزئية إجابة للسلسلة اللانهائية التي يتم أخذ مجموعها الجزئي بشكل فردي حتى لا تتقارب. أبدا ب:

هذا لا يتقارب ، لكن لنأخذ متوسط ​​أول n من هؤلاء. مجاميع أول n من هؤلاء (لـ n = 1 ، 2 ، 3 ،.) هي:

إذن ، متوسط ​​أول n من المجاميع الجزئية هو:

الذي يتقارب في 1/2. انظر 1/4 للحصول على مثال للطلب الثاني من تلخيص سيزارو ، و -1/12 لرؤية امتداد رامانوجان.

يستخدم دفتر ملاحظات Ramanujan ، عند مناقشة سلسلة -1/12 ، "1 / (1 + 1) 2" ، مما يشير إلى أنه شاهد المجموع 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -. ليكون "1 / (1 + 1)". يمكن اشتقاق هذا من تعميم مجموع السلسلة:

الذي يتقارب بالطريقة العادية فقط عندما يكون | x | س = -1 سنحصل على "1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -. = 1 / (1- س) = 1 / (1 + 1)". لذلك يمكن "تبرير" القيمة 1/2 بطريقتين.

احتمالات خسارة لعبة الحظ. اقلب عملة: إذا حصلت على وجهاً لوجه ، فستزيد درجاتك بمقدار & # 960 ، إذا حصلت على ذيول ، تقل درجاتك بمقدار 1. كرر عدة مرات كما يحلو لك & # 8212 ولكن إذا أصبحت درجاتك سلبية ، فإنك تخسر. بافتراض استمرار اللاعب في اللعب إلى أجل غير مسمى (بدافع إغراء الحصول على درجة أعلى من أي وقت مضى) ، ما هي احتمالات الخسارة؟

يتم الحصول على الإجابة من خلال مجموع متسلسل: 1/2 + 1/2 5 + 4/2 9 + 22/2 13 + 140/2 17 + 969/2 21 + 7084/2 25 + 53820/2 29 + 420732 / 2 34 +. (البسط في سلون A181784) وهو ما يصل إلى 0.5436433121.

يتقارب التحليل الأكثر تعقيدًا باستخدام الأرقام المنطقية مثل 355/113 في الإجابة بسرعة أكبر ، مما يعطي 0.54364331210052407755147385529445. (انظر [196]).

هذا هو ثابت أوميغا ، الذي يفي بكل من هذه المعادلات البسيطة (جميعها مكافئة):

وبالتالي فهي نوع من مثل النسبة الذهبية. في المعادلات أعلاه ، إذا تم استبدال e بأي رقم أكبر من 1 (و "ln" باللوغاريتم المقابل) وتحصل على ثابت "أوميغا" آخر. على سبيل المثال:

إذا كانت 2 x = 1 / x ، فإن x = 0.6411857445.
إذا & # 960 x = 1 / x ، إذن x = 0.5393434988.
إذا كانت 4 س = 1 / س ، إذن س = 1/2
إذا كانت 10 x = 1 / x ، فإن x = 0.3990129782.
إذا كان 27 × = 1 / س ، إذن س = 1/3
إذا كان 10000000000 x = 1 / x ، إذن x = 1/10

(ثابت أويلر ماشيروني)

هذا هو ثابت أويلر-ماسكيروني ، المُشار إليه عادةً بالحرف اليوناني جاما. يتم تعريفه بالطريقة التالية. ضع في اعتبارك المبلغ:

س ن = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +. + 1 / ن

يبدأ التسلسل 1 ، 1.5 ، 1.833333. 2.083333. الخ. عندما تقترب n من اللانهاية ، يقترب المجموع من ln (n) + gamma. يحتوي Numberphile على فيديو حول هذا الثابت: لغز 0.577.

فيما يلي بعض التقديرات التقريبية غير المهمة بشكل خاص لجاما:

1/(√ π - 1/25) = 0.5772159526.
جاما = 0.5772156649.
1/(1+ 1/√ 10 ) 2 = 0.5772153925.

واحدة من المبالغ اللانهائية في خطاب رامانوجان عام 1913 إلى G.H. هاردي ، القسم الحادي عشر:

انظر -1/12 للحصول على مثال أبسط.

يتباعد هذا المجموع ، ولكن يمكن التفكير في مبلغ جزئي:

0 + 1 + 2 +. + ن
= المجموع أنا في [0 .. n] و (ط)
(حيث f (x) = x)

= - و (0) / 2 + أنا متكامل0..∞ (f (it) - f (- it)) / (e 2 & # 960 t - 1) dt

في هذا المثال المحدد نحصل عليه

قيمة مجموع السلسلة اللانهائية

إنها (1 - & # 8730 2) ضعف دالة زيتا ريمان البالغة 1/2. المزيد من الأرقام: 0.604898643421630370247265914. (تسلسل سلون A113024). الغريب ، على الرغم من أن مجموع المتسلسلة يتقارب مع قيمة محدودة صغيرة بشكل معقول ، إذا قمت بتربيع مجموع السلسلة:

ولخص الشروط بالترتيب المطلوب:

تستمر مقادير الأجزاء الموجودة بين قوسين في النمو ، وبالتالي يتباعد المجموع التسلسلي. ومع ذلك ، من الواضح أن هناك مجموعًا ، ويمكن استخدام تقنيات مثل مجموع سيزارو (انظر المدخل لـ 1/4) لتقييمه والحصول على الإجابة المناسبة ، ومن أجل مبالغ مثل هذه ، فإن مجموع سيزارو ضروري حقًا.(من الصعب جدال قضية 1/4.)

النسبة الذهبية (شكل مقلوب): انظر 1.618033. .

تتضمن مشكلة إبرة بوفون تقدير احتمالية أن قطعة خطية موضوعة بشكل عشوائي من بعض الطول المعطى سوف تعبر واحدة من مجموعة من الخطوط المتوازية المتباعدة بمسافة ثابتة. إذا كان طول مقطع الخط هو نفسه التباعد بين السطور ، فإن الاحتمال هو 2 / & # 960.

هذه هي أدنى نقطة في الدالة y = x x. راجع أيضًا 1.444667. .

اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2 مكتوب "ln (2)". انظر 69.3147.2009 و 72.

ln (2) هي قيمة مجموع هذه السلسلة اللانهائية:

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + .
= 1/2 + 1/12 + 1/30 + 1/56 + .

وهذا ما يسمى "سلسلة متقاربة مشروط" لأن السلسلة تتقارب إذا تمت إضافتها بالطريقة الموضحة أعلاه ، ولكن إذا قمت بإعادة ترتيب المصطلحات:

1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + . - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + . )

ثم لديك سلسلتان لا تتقاربان وسلسلة غير محددة "اللانهاية ناقص اللانهاية".

يمكنك إنشاء سلسلة طويلة من 1 و 0 باستخدام "قواعد الاستبدال" والتكرار من سلسلة بداية صغيرة مثل 0 أو 1. إذا كنت تستخدم القاعدة:

وابدأ بـ 0 ، تحصل على 1 ، 10 ، 101 ، 10110 ، 10110101 ، 1011010110110 ،. حيث تكون كل سلسلة هي السلسلة السابقة متبوعة بالسلسلة التي تسبقها (Sloane's A36299 أو A61107). حد هذا هو سلسلة لا نهائية من 1 و 0 والتي يمكنك تحويلها إلى كسر ثنائي: 0.1011010110110. 2، تحصل على هذا الثابت (0.709803. في الأساس 10) والذي يسمى ثابت الأرنب. لها بعض العلاقات الخاصة مع متوالية فيبوناتشي:

  • في التكرار الموصوف أعلاه ، فإن عدد الأرقام في كل سلسلة هو تسلسل فيبوناتشي: 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ،.
  • معبرًا عنه ككسر مستمر ، يكون الثابت هو 0 + 1 / (2 0 + 1 / (2 1 + 1 / (2 1 + 1 / (2 2 + 1 / (2 3 + 1 / (2 5 + 1 / ( 2 8 +.))))))) حيث الأس 2 هم أرقام فيبوناتشي.
  • إذا أخذت جميع مضاعفات النسبة الذهبية 0.618033 وقربتها لأسفل إلى أعداد صحيحة ، فستحصل على 1 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 9 ، 11 ، 12 ،. تخبرك هذه الأرقام بمكان الآحاد في الكسر الثنائي.

إذا تركت أول رقمين ثنائيين (10) ، فستحصل على 110101101101011010110110101. نمط البت الذي تم إنشاؤه بواسطة آلة Turing في نهاية آلة Turing Google Doodle. ككسر (0.1101011.) تساوي 0.8392137714451.

قيمة x مثل أن x = cos (x) ، باستخدام الراديان كوحدة للزاوية. يمكنك العثور على القيمة باستخدام آلة حاسبة علمية فقط عن طريق إدخال أي رقم قريب بشكل معقول والضغط على مفتاح جيب التمام مرارًا وتكرارًا. فيما يلي بعض الأرقام الإضافية: 0.73908513321516064165531208767387340134117589007574649656. 26

هذا هو 3 & # 8730 5 ، ويرتبط بتسلسل أرقام التطعيم التي وجدها مات باركر. بمزيد من الدقة ، فهي: 0.76393 وخجول 20225 وخجول 00210 وخجول 30359 وخجول 08263 وخجول 31268 وخجول 72376 وخجول 45593 وخجول 81640 وخجول 38847.

خذ عددًا فرديًا من الأرقام بعد الفاصلة العشرية ، وأضف 1 ، وستحصل على رقم تطعيم. على سبيل المثال ، 76393 + 1 = 76394. تسلسل الأرقام المشتق بهذه الطريقة يبدأ: 8 ، 764 ، 76394 ، 7639321 ، 763932023 ، 76393202251 ، 7639320225003 ،.

تقريب شيطاني للإجابة على مشكلة "شبكة المقاوم اللانهائية" في xkcd 356 ، والتي أدخلت العالم إلى رياضة "القنص الذي يذاكر كثيرا". انظر ريس و 0.773239. .

الإجابة على مشكلة "شبكة المقاومة اللانهائية" الجذابة في xkcd 356 ، والتي أدخلت العالم إلى رياضة "القنص الذي يذاكر كثيرا" 90. راجع أيضًا 0.636619. و 0.772453. .

هذا الرقم ، في آلة حاسبة مبكرة بشاشة عرض من 7 أجزاء ، يقول "مرحبًا" عند رؤيته مقلوبًا:

& rarr

هذا تكامل0..1 x x d x ، وهو ما يثير الفضول في تساوي - SIGMAi..inf (- ن) - ن ، والذي تم إثباته بواسطة برنولي. مع المزيد من الأرقام ، يكون 0.78343051071213440705926438652697546940768199014. تشترك مع (1.291285. لقب "حلم طالبة".

هذا هو 0.1101011011010110101101101011011010110101101101011010110110. في شكل ثنائي ، وهو إصدار مختلف قليلاً من ثابت الأرنب الذي تم إنشاؤه بواسطة آلة تورينج Google Doodle من يونيو 2012. المزيد من الأرقام: 0.8392137714451652585671495977783023880500088230714420678280105786051.

القيمة العشرية لـ "تسلسل طي الورق العادي" 1 1 0 1100 1 1100100 1 110110001100100 1 1101100111001000110110001100100. تحويلها إلى كسر ثنائي. يعطي هذا التسلسل المكون من 1 و 0 المنعطفات اليمنى واليسرى بينما يمشي المرء على طول منحنى التنين. إنه مجموع 8 2 k / (2 2 k +2 -1) لجميع k & ge0 ، وهو مجموع متسلسل يعطي ضعف عدد الأرقام مع كل حد إضافي.

الحد الأدنى لقيمة دالة جاما مع الحجج الحقيقية الإيجابية. دالة جاما هي التناظرية المستمرة لوظيفة العوامل. هذا هو جاما (1.461632144968.). (لمزيد من الأرقام لكليهما ، راجع تسلسل OEIS A30171 و A30169.)

هذا هو 1/2 من الجذر التربيعي لـ & # 960. إنها جاما (3/2) ، وتسمى أحيانًا (1/2)! ، مضروب 1/2.

هذا هو جاما (5/4) ، أو "مضروب 1/4". بينما بعض قيم دالة جاما مثل 0.886226. و 1.329340. ، لديك صيغ بسيطة تتضمن فقط & # 960 لقوة عقلانية ، هذه الصيغة أكثر تعقيدًا. إنه & # 960 مرفوعًا للقوة 3/4 ، مقسومًا على (& # 8730 2 + 4 & # 8730 2) ، مضروبًا في مجموع سلسلة لانهائية لوظيفة إهليلجية.

هذه هي (4 + 4 & # 8730 2) / (5 + 4 & # 8730 2) ، وهي أفضل كثافة يمكن تحقيقها من خلال تعبئة مثمنات منتظمة متساوية الحجم في المستوى. والجدير بالذكر أنه أصغر قليلاً من 0.906899. ، الكثافة التي يمكن تحقيقها بالدوائر.

هذه هي & # 960/12 ، الكثافة التي يمكن تحقيقها عن طريق تعبئة دوائر متساوية الحجم في المستوى. راجع أيضًا 0.906163. .

ثابت كتالان ، ويمكن تعريفه من خلال:

G = 1 - 1/3 2 + 1/5 2 - 1/7 2 + 1/9 2 -.

إذا كان لديك رقعة شطرنج 2 n & 2 n ومورد 2 n 2 دومينو كبير بما يكفي لتغطية مربعين من رقعة الشطرنج ، فكم عدد الطرق المتاحة لتغطية اللوحة بأكملها بالدومينو؟ بالنسبة إلى n الكبيرة ، يتم تقريب الإجابة عن كثب بـ

هذا هو الجذر التكعيبي لـ (5 & # 8730 27-5 & # 8730 2). اكتشف بيل جوسبر الهوية التالية ، وهو أمر رائع لأن الجانب الأيسر لديه فقط قوى 2 و 3 ، لكن الجانب الأيمن لديه قوة 5 في المقام 108:

( 5 √ 27 - 5 √ 2 ) (1/3) = ( 5 √ 8 5 √ 9 + 5 √ 4 - 5 √ 2 5 √ 27 + 5 √ 3 ) / 3 √ 25

(3 (3/5) -2 (1/5) ) (1/3) = (- 2 (1/5) 3 (3/5) + 2 (3/5) 3 (2/5) + 3 (1/5) + 2 (2/5) ) / 5 (2/3)

صفحات روبرت مونافو الرئيسية على HostMDS & # 8195 & copy 1996-2020 Robert P. Munafo.
& # 8195 حول & # 8195 الاتصال
هذا العمل مُرخص بموجب رخصة المشاع الإبداعي نَسب المُصنَّف - غير تجاري 4.0 دولي. التفاصيل هنا.
تمت كتابة هذه الصفحة بلغة الترميز RHTF "المقروءة بشكل محرج" ، وتم آخر تحديث لبعض الأقسام في 26 مارس 2020. القسم 11


MATH209 / 309

تمثل الرياضيات 309 تتويجًا لبرنامج الرياضيات 307-8-9 في التحليل الخطي. فهو يجمع بين الأدوات التحليلية من الرياضيات 307 (على سبيل المثال ، الحلول العامة ومشاكل القيمة الأولية للمعادلات التفاضلية ، والأرقام المعقدة والأسي) مع المفاهيم والطرق من الرياضيات 308 (على سبيل المثال ، القيم الذاتية والمتجهات الذاتية ، والاستقلالية الخطية ، والقواعد ، والقواعد المتعامدة). يتم تطبيق هذه الأدوات على الحل والدراسة النوعية للأنظمة الخطية للمعادلات التفاضلية العادية ومشاكل القيمة الحدية للمعادلات التفاضلية الجزئية الكلاسيكية (الحرارة ، الموجة ، لابلاس). بالنسبة للأخير ، يتم استخدام فصل المتغيرات لتوليد حلول سلسلة فورييه.

يشير هذا المنهج الدراسي إلى أن الموضوعات التي سيتم تغطيتها قد يختلف المدرسون في الترتيب والتركيز. في فصلي الشتاء والربيع (الأقصر) ، اختر عددًا أقل من المحاضرات حيث يتم إعطاء نطاق لإتاحة الوقت لنصف الفصل الدراسي الثاني أو عدة اختبارات قصيرة.

1. الأنظمة الخطية لـ ODE (12-13 محاضرات)

  • §§7.1-7.3: الجبر الخطي (3 محاضرات)
    مراجعة قيم eigenvalues ​​والمتجهات الذاتية ، الامتداد إلى المصفوفات المعقدة ، فراغات الدوال ذات القيمة المتجهية ، معادلات المصفوفة التفاضلية
  • §§7.4-7.8: حل الأنظمة الخطية المتجانسة (6 محاضرات)
  • §7.9: معادلات غير متجانسة (محاضرتان)
    طريقتان أو ثلاث طرق من هذا القسم
  • §9.1: ملخص صور مستوى الطور للأنظمة الخطية (محاضرة واحدة)
  • اختياري: §§9.2-9.3: استقرار النقاط الحرجة للأنظمة غير الخطية المستقلة (0-1 محاضرة)

2. سلسلة فورييه ومشاكل القيمة الحدية (13-15 محاضرة)


فهم LTE مع MATLAB: من النمذجة الرياضية إلى المحاكاة والنماذج الأولية

يعد كل من LTE (التطور طويل الأجل) و LTE-Advanced من بين أحدث معايير الاتصالات المتنقلة ، المصممة لتحقيق حلم الوصول إلى تقنية النطاق العريض الآمنة العالمية والسريعة والقائمة على بروتوكول الإنترنت.

يفحص هذا الكتاب الطبقة المادية (PHY) لمعايير LTE من خلال دمج ثلاثة عناصر مفاهيمية: نظرة عامة على النظرية الكامنة وراء تقنيات التمكين الرئيسية ، ومناقشة موجزة بشأن المواصفات القياسية وخوارزميات MATLAB & # 174 اللازمة لمحاكاة المعيار.

يعد استخدام MATLAB & # 174 ، وهي لغة حوسبة تقنية مستخدمة على نطاق واسع ، أحد السمات المميزة لهذا الكتاب. من خلال سلسلة من برامج MATLAB & # 174 ، يستكشف المؤلف كل من تقنيات التمكين ، ويجمع تربويًا نموذج نظام LTE PHY ، ويقيم أداء النظام في كل مرحلة. باتباع هذه العملية خطوة بخطوة ، سيحقق القراء فهمًا أعمق لمفاهيم ومواصفات LTE من خلال عمليات المحاكاة.

& # 8226 أحد الكتب القليلة التي يمكن الوصول إليها وبديهية والتقدمية للتركيز بشكل أساسي على النمذجة والمحاكاة وتنفيذ معيار LTE PHY
& # 8226 يشمل دراسات الحالة ومنصات الاختبار في MATLAB & # 174 ، والتي تبني المعرفة تدريجياً وبشكل متزايد حتى يتم الوصول إلى المواصفات الوظيفية لـ LTE PHY
& # 8226 يشتمل موقع الويب المصاحب على جميع برامج MATLAB & # 174 ، جنبًا إلى جنب مع شرائح PowerPoint وأمثلة توضيحية أخرى

شغل الدكتور هومان زرينكوب منصب مدير التطوير والآن يشغل منصب مدير أول للمنتجات في شركة MathWorks ومقرها ماساتشوستس بالولايات المتحدة الأمريكية. خلال 12 عامًا في MathWorks ، كان مسؤولاً عن أدوات برمجيات معالجة الإشارات والاتصالات المتعددة. قبل انضمامه إلى MathWorks ، كان عالم أبحاث في Wireless Group في Nortel Networks ، حيث ساهم في العديد من مشاريع التقييس لتقنيات 3G المتنقلة. حصل على براءات اختراع متعددة في مواضيع تتعلق بمحاكاة الكمبيوتر. وهو حاصل على درجة البكالوريوس في الهندسة الكهربائية من جامعة ماكجيل ودرجتي الماجستير والدكتوراه في الاتصالات من المعهد الوطني للبحوث العلمية في كندا.


10.8: الأعداد المركبة - الرياضيات

تم النشر في ٢٧ فبراير ٢٠١٨

تركز مدونة CORE Excellence in Education لهذا الشهر # على أهمية الطلاقة الرياضية وحس الأرقام كأساس حاسم لإدخال الرياضيات في المدارس المتوسطة والثانوية.

(بقلم ماري باك ، كبير مستشاري الخدمات التعليمية لـ CORE ، مع دين بالارد ، مدير الرياضيات في CORE)

بصفتي مدرسًا للرياضيات ومدربًا واستشاريًا ، أتيحت لي الفرصة للعمل مع طلاب ومدرسين من رياض الأطفال إلى الصف الثاني عشر في جميع أنحاء الولايات المتحدة وغوام واليابان. التشابه الوحيد في جميع البلدان هو أن تعلم مفاهيم جديدة في الرياضيات مبني على أساس متين لفهم المفاهيم والمهارات السابقة. في عملي ، أكثر الأشياء التي تكسر القلب التي لاحظتها هي أن الطلاب في أي صف يكافحون مع المفاهيم الجديدة في الغالب لأنهم لا يستطيعون القيام بالحسابات البسيطة المضمنة في العمل. في العديد من فصول الجبر 1 ، شاهدت الطلاب بألم وهم يحسبون حقائق الضرب على أصابعهم أو يكتبون المضاعفات باستخدام الجمع.

دعونا نواجه الأمر ، تدريس الرياضيات يمثل تحديًا على جميع المستويات. كل عام مليء بمحتوى جديد مبني على التعلم المسبق ، وبالتالي ، فإن الوقت الذي يقضيه في تدريس الطلاقة الأساسية هو الوقت الضائع في التركيز على المفاهيم الجديدة. لقد لاحظت مؤخرًا حفيدتي (التي ستخبرك أختي أنها رائعة) العد على أصابعها 4 + 1. منذ أن أكملت للتو الصف الأول ، شعرت بالخوف! أدرك أهمية استراتيجيات العد المختلفة لبناء التفاهم والعمل نحو الطلاقة. ومع ذلك ، بحلول نهاية الصف الأول ، يجب أن يكون لدى ابنة أخي 4 + 1 على طرف لسانها وليس على طرف أصابعها.

يوضح هذا المثال سبب وجودي في مهمة لتحسين الإحساس بالأرقام والطلاقة في جميع المدارس. تحقيقا لهذه الغاية ، دليل الممارسة IES ، مساعدة الطلاب الذين يعانون من الرياضيات (2009) ، يوصي بتوفير 10 دقائق من الممارسة اليومية لتعزيز الطلاقة المطلوبة مع الحقائق والإجراءات (ص 79-83). يدعم هاتي وفيشر وفري (2017) هذه التوصية من خلال توثيق أن الممارسة المتباعدة والممارسة المتكررة للمعرفة المكتسبة سابقًا على مدى "فترة طويلة من الزمن" لها حجم تأثير عالٍ يبلغ 0.71 (ص 129). بالإضافة إلى ذلك ، وجدت اللجنة الاستشارية الوطنية للرياضيات (2008) أن الطلاقة مع الأعداد الصحيحة والكسور هي جزء من أساس حاسم لتعلم الجبر (ص 17-18). عندما كنت في المدرسة الثانوية ، لوحظ أن الجبر 1 كان حارس البوابة لرياضيات القسم العلوي. إذا لم ينجح الطلاب في الجبر 1 ، فلن يأخذوا صفوفًا أعلى في الرياضيات. أنا أزعم أن الافتقار إلى الطلاقة وإدراك الأرقام هما حراس البوابة إلى رياضيات المدرسة الإعدادية والثانوية.

إذن ، ما معنى الرقم وما هي الطلاقة؟ تصف المعايير الأساسية المشتركة (CCSSM) الطلاقة الإجرائية بأنها "مهارة في تنفيذ الإجراءات بمرونة ودقة وكفاءة وبشكل مناسب" (2010). معنى الرقم هو فهم الأرقام - فهم الأرقام وكيفية عملها معًا. على سبيل المثال ، في الصفوف الابتدائية يفهم الطلاب كيف يمكن تقسيم الأرقام وتجميعها معًا عندما يستكشفون ويبنون الطلاقة بمفاهيم مثل كيفية تكوين 10 وكيفية تقسيم 12 إلى 10 و 2. يبني الضرب على هذا الأساس ومع يتم تعريف طلاب الضرب على خاصية التوزيع: 8 × 12 هي نفسها 8 (10 + 2) = (8 × 10) + (8 × 2). يطبق الطلاب فهم هذه المفاهيم لإجراء العمليات الحسابية العقلية ، وفهم الخوارزمية القياسية للضرب متعدد الأرقام ، وتطبيق خاصية التوزيع في العمل مع التعبيرات الجبرية. نريد من الطلاب بناء الطلاقة وإحساس الأرقام حتى يتمكنوا من الاستمرار في فهم وحل المشكلات الأكثر تعقيدًا في كل مستوى صف جديد. إذا لم يتمكن الطلاب من إجراء & # 8220arithmetic & # 8221 أو العمليات الحسابية بسهولة ، فمن الصعب عليهم حل المشكلات التي تتطلب عمليات حسابية بسيطة. سبب هذه الصعوبة هو مقدار الذاكرة العاملة المتوفرة لدينا عند حل المشكلات. إذا كانت ذاكرتنا العاملة مشغولة بمحاولة اكتشاف الحساب ، فمن الصعب علينا فهم المفاهيم الرياضية ذات المستوى الأعلى التي يتم التعامل معها في تلك اللحظة. وبالمثل ، عند القراءة ، إذا كافح الطلاب لفك تشفير الكلمات ، فسيواجهون صعوبة في فهم المعنى الأكبر للنص. ومن ثم ، من المهم أن يكون لدى الطلاب تلقائية مع حقائق الأرقام:

ستكون قدرتنا على التفكير محدودة بالفعل إذا لم تكن هناك طرق للتغلب على قيود المساحة للذاكرة العاملة. إحدى الآليات الأكثر أهمية هي تطوير التلقائية. عندما العمليات المعرفية. . . تصبح تلقائية ، فهي تتطلب مساحة صغيرة جدًا في الذاكرة العاملة ، وتحدث بسرعة ، وغالبًا ما تحدث دون جهد واع.

يعد فهم علاقات الأرقام والتقنيات المختلفة لتجميع الأرقام معًا وفصلها عن بعضها جزءًا أساسيًا من بناء الشعور بالأرقام. التلقائية مع الحقائق العددية ضرورية بنفس القدر للنمو المستمر في الرياضيات. بصفتي مدرسين ، أعتقد أنه من مسؤوليتنا التأكد من أننا نفعل كل ما في وسعنا لضمان مغادرة الطلاب فصل الرياضيات لدينا في نهاية العام يتقنون متطلبات الطلاقة على النحو المبين في CCSSM والمضمنة في جميع معايير الولاية. في أي وقت يترك الطفل صفًا دراسيًا دون أن يكون لديه الطلاقة المطلوبة ، تبدأ الفجوة الرياضية وتستمر في النمو على مر السنين حيث يتخلف الطلاب أكثر في تلقائية الحقائق وفهم الأرقام. بينما نواصل تدريس الرياضيات ، فلنتأكد من أننا نقوم بدورنا في تعليم الطلاقة المطلوبة في كل مستوى صف.

Gersten، R.، Beckmann، S.، Clarke، B.، Foegen، A.، Marsh، L.، Star، J.R، & amp Witzel، B. (2009). مساعدة الطلاب الذين يعانون من الرياضيات: الاستجابة للتدخل (RtI) للمدارس الابتدائية والمتوسطة (NCEE 2009-4060 ed.). واشنطن العاصمة: المركز الوطني لتقييم التعليم والمساعدة الإقليمية ، معهد العلوم التربوية ، وزارة التعليم الأمريكية. تم الاسترجاع من https://ies.ed.gov/ncee/wwc/PracticeGuide/2

هاتي ، ج. ، فيشر ، د. ، وأمب فراي ، إن. (2017). التعلم المرئي للرياضيات. ألف أوكس ، كاليفورنيا: كوروين.

المركز الوطني لاتحاد الحكام لأفضل الممارسات ومجلس رؤساء المدارس الحكومية. (2010). معايير الدولة الأساسية المشتركة للرياضيات. واشنطن العاصمة: المؤلفون.

الهيئة الاستشارية الوطنية للرياضيات. (2008). أسس النجاح: التقرير النهائي للهيئة الاستشارية الوطنية للرياضيات. واشنطن العاصمة: وزارة التعليم الأمريكية. تم الاسترجاع من https://www2.ed.gov/about/bdscomm/list/mathpanel/report/final-report.pdf

Willingham ، D. T. (2004 ، Spring). الممارسة تجعلها مثالية - ولكن فقط إذا مارست ما بعد نقطة الكمال [النسخة الإلكترونية]. مدرس أمريكي. دوى: https://www.aft.org/periodical/american-educator/spring-2004/ask-cognitive-scientist

لتلقي الإصدارات المستقبلية من هذه المدونة عبر البريد الإلكتروني ، أضف اسمك إلى القائمة البريدية.


شاهد الفيديو: تمارين الكتاب المرسي 1- 1 الأعداد المركبة 1 (شهر اكتوبر 2021).