مقالات

15.6: الأسقف شبه العادية - الرياضيات


15.6: الأسقف شبه العادية - الرياضيات

15.6: الأسقف شبه العادية - الرياضيات

ستلاحظ أن كل هذه الأسقف شبه الدائرية تستند إلى أحد الأنماط السابقة: مثلثات منتظمة (RT) ، أو مربعات منتظمة (RS) ، أو أشكال سداسية منتظمة (RH).

إذا اجتمع أكثر من ستة أشكال عند p ، فإن واحدًا على الأقل له زاوية داخلية أقل من 52 درجة ، وهو أمر مستحيل.

إذا اجتمعت ستة أشكال عند p ، فإن متوسط ​​الزاوية هو 60 درجة ، وهي أيضًا أصغر زاوية ممكنة ، ومن ثم تلتقي ستة مثلثات عند p ، مما يؤدي إلى تكوين RT. وهكذا سنفترض أن ثلاثة أو خمسة أشكال تلتقي عند p.

ضع ثلاثة أشكال حول p. لقد تعاملنا مع الحالة حيث تكون جميعها سداسية ، لذا فإن الشكل الأول هو شيء أصغر ، على سبيل المثال خماسي الأضلاع. هذا يترك 252 درجة للشكلين المتبقيين. إذا كان أصغرها سداسيًا ، فنحن بحاجة إلى n-gon منتظم بزاوية داخلية 132 درجة ، ولا يوجد مثل هذا الحيوان. ننتقل إلى البنتاغون ، ويبدو أننا ضربنا الراتب. يتناسب شكلان خماسيان وعشري الأضلاع تمامًا حول p. لكن بينما نتجول في البنتاغون نصل إلى تناقض. الأشكال المجاورة للخماسي تعمل بشكل خماسي الشكل بشكل خماسي الشكل خماسي الشكل الشكل الخماسي الشكل الخماسي الشكل ، ثم نعود للبدء. هذا يضع ثلاثة خماسيات معًا ، وهذا لا يتطابق مع النمط. إذا اجتمعت ثلاثة أشكال عند p وكان أحدها فرديًا ، فمن الأفضل أن يكون الشكلان الآخران متماثلين.

انزل إلى المثلث واستخدم مبدأ التجوال ، وبالتالي فإن الأشكال المتبقية هي dodecagons ، أي 12-gons. هذا يخلق أول تبليط شبه دائري. وهو يقوم على RH بتوسيع كل رأس إلى مثلث ، وتتحول الأشكال السداسية إلى dodecagons.

أخيرًا ، دع أحد الأشكال الثلاثة يكون مربعًا. إذا كان أحد الأشكال الأخرى غريبًا ، فإن الشكل الثالث يكون أيضًا مربعًا. هذا يترك 180 درجة للشكل الغريب ، وهو أمر مستحيل. وبالتالي فإن الأشكال المتبقية تكون متساوية وأكبر من المربعات. سوف يعمل اثنان من المثمنين. ابدأ بـ RS وقم بتوسيع كل رأس إلى مربع صغير ، وبالتالي تحويل المربعات الأصلية إلى مثمنات.

التكوين الأخير هو مربع الشكل السداسي dodecagon ، والمختصر 4،6،12. هذا هو النمط 3،12،12 ، مفككًا ، مع توسيع المثلثات إلى أشكال سداسية ومربعات مدرجة بين الاثنا عشرية. تشكل المربعات والسداسيات الجص بين بلاطات dodecagon الكبيرة.

افترض بعد ذلك أن أربعة أشكال تلتقي عند p. أصغر زاوية هي 90 درجة على الأكثر ، وإذا كان مربعًا فلدينا RS ، لذلك افترض أنه مثلث. الزاوية التالية يحدها 100 درجة ويمكن أن تكون مربعة. إذا كان الأمر كذلك ، فإن الشكل التالي يكون أيضًا مربعًا ، والأخير شكل سداسي.

إذا كانت المربعات متجاورة ، فضع ثلاثة مربعات معًا في صف واحد ، مع مثلث أعلى الأول والثالث وسداسي فوق الثاني. ضع مثلثًا ثالثًا فوق السداسي ، وثلاثة مربعات أخرى في الجانب الأيسر من القمة ، وثلاثة مربعات أخرى في الجانب الأيمن من القمة. الشكل السداسي والمثلثات الثلاثة يشكلون مثلثًا واحدًا أكبر ، يحده تسعة مربعات. في كل ركن من الزوايا الثلاث ، يغطي مربعان مثلثًا ويدعوان إلى شكل سداسي. هذا تقريبيا يناسب نمطنا. إحضار الأشكال السداسية الزوايا الثلاثة ورؤوس الزوايا هي 4،6،4،3 ، بينما الرؤوس الستة داخل المثلث هي 4،4،6،3. قم بتدوير الصورة وعكسها ، ولا يمكن تمييز القمم الداخلية الستة. في الوقت نفسه ، لا يمكن تمييز رؤوس الزوايا الثلاثة. هذا هو بلاط شبه دائري. يربط كل رأس مربعين ، سداسي الشكل ، ومثلث ، لكن رؤوس النوع A تعمل 4 ، 6 ، 4 ، 3 ، والرؤوس من النوع ب تعمل 4 ، 4 ، 6 ، 3. لا يمكن تمييز رؤوس النوع أ ولا يمكن تمييز رؤوس النوع ب. النمط يتكرر إلى الأبد. لتصوير هذا النمط ، ابدأ بالحرف RH واسحب الأشكال السداسية بعيدًا ، ثم ارسم مكبرات صوت متصلة بينهما. كل حديث هو ثلاثة مربعات على التوالي. الفجوات بين البرامق مثلثات كبيرة ، كل منها مملوء بشكل سداسي وثلاثة مثلثات. دعونا نرى ما إذا كان هذا النمط لا مفر منه.

افترض أن هناك رأس 4،4،6،3 في مكان ما في النموذج. يوجد واحد آخر على الجانب الآخر من المثلث ، وبالتالي يبني زاوية المثلث الأكبر المحاط بالمربع. ضع الشكل السداسي في الزاوية ، كما فعلنا من قبل ، ثم انظر أسفل المربع المزدوج. الاحتمال الوحيد هو مثلث سداسي آخر ، تمامًا كما يظهر أعلاه. هذا يستدعي مربعًا مزدوجًا آخر ، وهكذا على طول الطريق حول مسدس الزاوية. إذا كان أحد هذه المربعات المزدوجة مغطى بمثلث ، ومربعان آخران على كلا الجانبين ، يكون لدينا نوع جديد من الرأس 4 ، 6 ، 4 ، 3 ، حيث المثلث محاط بمربعات. هذا ليس هو نفسه الرأس 4،6،4،3 الذي رأيناه من قبل. إذا أردنا أن تظل رؤوس النوع A غير قابلة للتمييز ، فإن المربعات المزدوجة تمتد إلى مربعات ثلاثية ، وتملأ المثلثات على أي جانب ، ويظهر النمط السابق.

للعثور على نمط جديد ، افترض أن جميع الرؤوس هي 4،6،4،3. وهكذا يغطى كل سداسي نفسه في حلقة من المربعات والمثلثات المتناوبة. ابدأ بالحرف RH واسحب البلاط بعيدًا. ضع مربعًا بين كل زوج من الأشكال السداسية ومثلثًا بين كل ثلاثي. وهكذا تشكل المربعات والمثلثات الجص بين البلاط السداسي.

بعد ذلك ، دع مثلثين يتقابلان مع شكلين آخرين عند p. يمكن أن تكون الأشكال المتبقية عبارة عن أشكال سداسية. افترض أن كل رأس هو 3،6،3،6 ، وبالتالي فإن كل مسدس له أسنان مثلثة ، مثل الترس ، مع وجود المزيد من الأشكال السداسية في هذه الأسنان. لتصوير النمط بأكمله ، ابدأ بالحرف RH واسحب المربعات بعيدًا ، ثم قم بتدوير كل سداسي 30 درجة في اتجاه عقارب الساعة ، بحيث تصبح الفجوات مثلثات.

إذا كان الرأس يمتد 6،6،3،3 ، فاتبع الحد بين المثلثين وابحث عن رأس آخر يجب أن يمتد 6،6،3،3. اتبع الحد الفاصل بين الأشكال السداسية واصطدم بمثلثين آخرين ، ثم شكلين سداسيين آخرين ، وهكذا إلى الأبد. يحتوي هذا الصف من المثلثات المزدوجة والسداسية المزدوجة على شقوق أعلى وأسفل يجب ملؤها بالمثلثات. تشكل هذه الرؤوس 6،3،6،3. والنتيجة هي شريط مستطيل أملس ، ارتفاعه سداسيان. رص هذه الخطوط فوق بعضها البعض لبناء نمط شبه دائري بأعمدة متناوبة من السداسيات والمثلثات.

ماذا لو تم إزاحة الشريط ، بالنسبة للشريط أدناه؟ وهكذا تكون الأشكال السداسية فوق المثلثات والمثلثات فوق الأشكال السداسية. يقدم هذا مجموعة أخرى من الرؤوس 6،3،6،3 ، حيث تلتقي الخطوط. يحتوي كل مثلث في مثل هذا الرأس على أشكال سداسية من الجوانب الثلاثة. ومع ذلك ، توجد رؤوس 6،3،6،3 أخرى داخل الشريط ، مع وجود مثلثات مزدوجة وواقعة. إذن ، الرؤوس 6،3،6،3 ليست كلها متشابهة.

"ما الخطأ فى ذلك؟" ربما تسال.

حسنًا ، إنه يسمح بعدد لا نهائي من الأسقف. إذا كان الشريط في الطور مع الشريط الأساسي ، فقم بتعيينه بالرقم 0. إذا تم إزاحته عن الطور ، فقم بتعيينه الرقم 1. الآن ، تقوم الخطوط ، التي تصعد المستوى ، بتهجئة تسلسل ثنائي. أي تكرار تسلسل هو لعبة عادلة. جرب 01010101 & # 8230 أو 001001001001 & # 8230 أو 0001000100010001 & # 8230 إلخ. لذلك هناك عدد لا نهائي من الأسقف الدورية مع نفس مجموعة n-gons في كل رأس. أفضل استكشاف الأسقف المنتظمة وشبه المنتظمة وشبه الدائرية ، فلا يوجد سوى عدد محدود منها.

إذا التقى مثلثا وخماسي ، يترك ذلك 132 درجة ، ولا يوجد مثل هذا الحيوان. إذا اجتمعت ثلاثة مثلثات فإنها تترك 180 درجة ، مستحيل أيضًا. المجموعة الأخيرة المكونة من أربعة أشكال عبارة عن مثلثين مربعين ومثلثين. ابدأ برأس 12،3،4،3 واسأل عن الضلع الثالث للمثلث. سيضع الدوديكاناجونان على رأس واحد ، والمربع سيضع مربعين في رأس واحد. وهكذا لدينا مثلث به مربع بينه وبين الضلع الثنائي ، وبينه وبين المربع. لسوء الحظ ، يحدث نفس الشيء على الجانب الآخر ، ومن هنا تلتقي الزاوية البعيدة من المربع بزوجين من dodecagons ، وهو أمر مستحيل. لذلك يعمل كل رأس على 12،3،3،4. يكسو الدوديكاجون نفسه في حلقة من المربعات المتناوبة والمثلثات الثلاثية. هذا يضع ثلاثة مثلثات في نقطة ، وهو أمر مستحيل. هذا كل شيء لأربعة أشكال تجتمع في p.

عندما تلتقي خمسة أشكال عند p ، فإن أصغر زاوية تكون على الأكثر 72 درجة ، وهذا يجب أن يكون مثلثًا. الشكلان الأصغر التاليان هما أيضًا مثلثات ، ويمكن أن يكون الشكلان الأخيران إما مربعين أو مثلثًا وسداسيًا. لنبدأ بالأخير.

دع 4 مثلثات وشكل سداسي يلتقيان عند نقطة ما. تجول حول محيط الشكل السداسي ولاحظ أنه يغطي نفسه تمامًا في مثلثات. ضع سداسيًا آخر في الجانب الآخر من أحد هذه المثلثات ، كما أنه يحيط نفسه بمثلثات. افعل ذلك 6 مرات وسيُحاط الشكل السداسي الأصلي بستة أشكال سداسية أخرى ، مع مثلثات تعمل كجص. هذا نمط شبه دائري صالح.

أخيرًا ، ضع في اعتبارك مربعين وثلاثة مثلثات. أبسط نمط يتكون من صفوف من المربعات وصفوف من المثلثات. تتسبب المثلثات ، الموجهة للأعلى والموجهة للأسفل ، في إزاحة صف المربعات أعلاه بمقدار نصف مربع ، بالنسبة لصف المربعات أدناه.

إذا اصطفت ثلاثة مربعات في صف واحد ، ضع خمسة مثلثات متبادلة فوقها ومربعين آخرين فوقها. مطلوب مربع ثالث ، لمطابقة الصف الأول من المربعات ، وهذا يجلب مثلثًا سادسًا. سوف يفرض المربع الرابع صفًا لا نهائيًا من المربعات ، لذلك دعونا نحاول تجنب ذلك. نأمل أن يتطابق الرأسان ، حيث تلتقي المربعات الثلاثة مع المثلثات الخمسة أعلاه ، تحت انعكاس عبر المربع الأوسط. يتأرجح المربع الثالث في الصف العلوي من المربعات حوله ويصبح مربعًا رابعًا ، مما يفرض صفًا لا نهائيًا من المربعات. لقد اكتشفنا بالفعل صفوفًا متناوبة من المربعات والمثلثات ، لذا افترض أن المربعات الثلاثة لا تصطف أبدًا في صف واحد.

إذا كان مربعان متجاورين ، لكن ليس ثلاثة ، فضع ثلاثة مثلثات فوق المربع المزدوج ، ومربع آخر فوقه. اجعل هذا مربعًا مزدوجًا ، واتركه يشير إلى الأعلى مثل مدخنة في المنزل. الآن يجب أن يبدو المربع الأفقي المزدوج مثل المدخنة والمنزل الموضوعة على جانبه. هذا يعني أنه يحتوي على 3 مثلثات إلى اليمين ، ومربع رأسي مزدوج على يمين ذلك. ضع مثلثات ومربع أفقي مزدوج فوق هذا ، وأغلق الحلقة بثلاثة مثلثات أخرى. هذا يترك حفرة مربعة في الداخل. يتكرر هذا النمط شبه الدائري إلى الأبد.

ابدأ بالمربع المزدوج والمثلثات الثلاثة كما في السابق ، لكن دع المدخنة تشير إلى الجانب. هذا يجلب مثلثًا رابعًا. يحتوي المربع العلوي المزدوج على ثلاثة مثلثات أخرى فوقه. لنفترض أن p هي النقطة التي يلتقي فيها المربع المزدوج السفلي مع مثلثاته ، وليكن q هي النقطة التي يلتقي فيها المربع المزدوج العلوي مع مثلثاته. كيف يمكننا تعيين p إلى q؟ افترض أن الصورة انعكست عبر الخط العمودي عند p ، ثم تحولت إلى q. هذا يعني أن المربعات المزدوجة تنسج للداخل وللخارج ، لليمين واليسار ، بينما نتحرك لأعلى ولأسفل العمود. يتم تغطية جميع المربعات المزدوجة بمثلثات على اليسار واليمين لتجنب ثلاثة مربعات متتالية. املأ جميع الشقوق الموجودة على يمين هذا العمود المتموج. ركز على أحد المربعات المزدوجة التي تم إزاحتها لليمين. له غطاء من ثلاثة مثلثات ومربعين آخرين على يمين ذلك. هذا يشبه المنزل والمدخنة على جانبها. لقد تعاملنا بالفعل مع هذه الحالة ، لذا لا يتم تعيين p لـ q عن طريق الانعكاس.

بدلاً من ذلك ، الخريطة عبارة عن ترجمة بسيطة ، ويتم نشر المربعات المزدوجة لأعلى وإلى اليمين إلى الأبد. نسمي هذا الشريط المتعرج. يمكننا لصق نسخة من هذا الشريط بجوار نفسه ، سيكون مناسبًا تمامًا ، لكن هذا سيضع أربعة مربعات في صف. بدلاً من ذلك ، خذ نسخة من الشريط وعكسها بطولها ، ثم ضعه على يمين الشريط الأصلي. افعل هذا مرارًا وتكرارًا ، لبناء نمط شبه دائري.

عُد إلى الشريط الأصلي المتعرج ، وحاول ألا تضع شريطًا آخر بجانبه. أضف طبقة من المثلثات والمربعات على يمين هذا الشريط ، ثم أضف طبقة أخرى على يمين ذلك الشريط. ينتج عن هذا نمط شبه دائري يجب أن يتكرر إلى الأبد. تعمل الشرائط المتعرجة بالتوازي مع بعضها البعض ، مع وجود فجوات بينهما. الفجوة واسعة بما يكفي لطبقة من المربعات والمثلثات. تقع الرؤوس 4،4،3،3،3 داخل الأشرطة المتعرجة ، وتربط الرؤوس 4،3،4،3،3 الشرائط بالجص بينهما. هذا يعتني بالمربع المزدوج أعلى المنزل.

ابدأ بالمربع المزدوج والمثلثات الثلاثة كما في السابق وضع مربعًا آخر في الأعلى. هذا ليس مربعًا مزدوجًا ، لذا فهو يحتوي على مثلثات في الجوانب الأربعة. يملأ مربعان آخران الشقوق على اليسار واليمين. هذه المربعات واقعة على المربع المزدوج. يظهر نفس النمط أسفل المربع المزدوج ، وهذا يفرض وجود ثلاثة مثلثات على يمين المربع المزدوج. يبدو هذا وكأن المنزل والمدخنة موضوعة على جانبها ، وقد تعاملنا بالفعل مع ذلك.

ابدأ بالمربع المزدوج والمثلثات الثلاثة كما كان من قبل ، وضع مثلثًا رابعًا فوق المثلثات الثلاثة ، لعمل مثلث أكبر ، يجب أن يكون محاطًا بستة مربعات. كل ركن يجلب مثلثين آخرين. يظهر نفس النمط أسفل المربع المزدوج ، وهذا يفرض وجود ثلاثة مثلثات على يمين المربع المزدوج. يبدو هذا وكأن المنزل والمدخنة موضوعة على جانبها ، وقد تعاملنا بالفعل مع ذلك. هذا يعتني بالمربع المزدوج. فيما يلي المربعات ليست متجاورة.

ابدأ بـ RS وافصل المربعات قليلاً. الآن قم بتدوير كل مربع في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة ، في نمط بديل. ركز على أربعة مربعات أثناء تدويرها. ينضمون إلى الزوايا لإنشاء ثقب على شكل الماس. إذا كان هذا الماس عموديًا ، فإن الماسات الموجودة أعلى وأسفل واليسار واليمين أفقية. لدينا شبكة من ثقوب الماس التي تتناوب بين الرأسي والأفقي. املأ كل ماسة بمثلثين وابحث عن نمط شبه دائري.

هل ما سبق لا مفر منه؟ تذكر ، لا يمكننا وضع المربعات معًا. دع مثلثين يشكلان ماسة رأسية وضع مثلثًا مربعًا على كلا الجانبين. يحتوي الجزء العلوي والسفلي من هذا الماس على مربعين ، ويجب ملئهما بمثلثين ، أي ماسات أفقية. هذه لها ماسات عمودية في أطرافها ، وهكذا في جميع أنحاء الطائرة بأكملها. هذا النمط لا مفر منه.

إذا كنت تحتفظ بالنتيجة ، فهناك 3 أسطح منتظمة ، و 8 أسقف نصف دائرية ، و 5 أسقف شبه دائرية. هذا إجمالي 16 نمطًا.


التغطية بالفسيفساء: رياضيات التبليط

ربما لاحظت أن الأرضيات عادة ما تكون مبلطة في مربعات أو أحيانًا في مستطيلات. ما الذي يميز هذه الأشكال؟ ما هي عيوب استخدام الأشكال الأخرى؟

أهم شيء يجب مراعاته عند التبليط هو أن شكل البلاط يجب أن يغطي الأرضية بدون فجوات وبدون تداخل. المحتمليمكن تلبية هذه الحالة بسهولة إذا كان البلاط المستخدم له نفس الشكل والحجم.

إذا كنا سنستخدم المضلعات العادية في التبليط ، فيمكننا استخدام المربعات أو المثلثات متساوية الأضلاع أو الأشكال السداسية المنتظمة كما هو موضح في الشكل 2. ستغطي هذه المضلعات الأرضية بدون فجوات وتداخلات ، وبالتالي ستقلل من الحاجة إلى القطع.

الشكل 1 & # 8211 قرص العسل هو مثال على التبليط السداسي. *

في الرياضيات ، المصطلح المستخدم لتبليط الطائرة (الأرضية في سياقنا) بدون فجوات ولا تداخل هو التغطية بالفسيفساء. بالطبع ، لسنا الوحيدين الذين أدركوا مزايا الأشكال التي يمكن أن تتشكل بالفسيفساء. يصنع النحل أقراص عسل في فسيفساء سداسية كما هو موضح في الشكل 1.

الشكل 2 - أمثلة على المضلعات العادية التي يمكنها تجانب الأرضية بدون فجوات وتداخلات.

ملحوظة: إذا كنت تتساءل عن كيفية إنشاء هذه الرسوم البيانية الجميلة ، فقد قمت بإنشاء برنامج تعليمي حولها هنا.

بالنظر إلى الشكل 3 ، يمكننا أن نرى أنه ليس كل المضلعات المنتظمة تعرض الخاصية الموضحة بواسطة المضلعات في الشكل 2. من الواضح أن المضلعات المنتظمة ، أي الخماسيات ، والسباعات ، والمثمنات لا تفسد المستوى.

الشكل 3 - أمثلة على المضلعات التي لا يمكن أن تفسد المستوى.

من المناقشة أعلاه ، نريد طرح الأسئلة التالية:

  1. ما هي خصائص المضلعات التي يمكن أن تفسد المستوى؟
  2. بصرف النظر عن المثلثات متساوية الأضلاع والمربعات والسداسيات المنتظمة ، ما هي المضلعات الأخرى التي يمكن أن تفسد المستوى؟

الغوص أعمق

في الشكل 4 ، لاحظ أنه لكي يقوم المضلع المنتظم بتغطية المستوي بالفسيفساء ، يجب أن يساوي مجموع الزوايا الداخلية التي تلتقي عند نقطة مشتركة 360 درجة.

الشكل 4 - الزوايا الداخلية للمضلعات التي يمكن أن تفسد المستوى بالفسيفساء تضيف ما يصل إلى 360 درجة.

من ناحية أخرى ، فإن المضلعات الثلاثة في الشكل 5 لا تفسد المستوى بالفسيفساء. في الرسم التوضيحي الموجود في أقصى اليسار ، قياس الزوايا الداخلية لخماسي منتظم هو 108 درجات. إذا حاولنا تجانب المستوي ، يمكننا أن نرى أن قياس الزوايا الثلاث التي تلتقي عند نقطة مشتركة يصل مجموعها إلى 324 درجة. الآن ، هذا يترك "زاوية خارجية" بزاوية 36 درجة كما هو موضح. في الجزء المتبقي من هذه المقالة ، سنشير إلى هذا النوع من الزوايا (يُشار إليها بقياسات النص الأحمر) كـ الزوايا الخارجية.

عندما نزيد عدد أضلاع المضلع المنتظم ، نلاحظ أيضًا أنه لا يمكننا أن نجعل ثلاث زوايا داخلية تلتقي عند نقطة مشتركة دون تداخل. يظهر هذا في الشكل التوضيحي للمنتصف وأقصى اليمين في الشكل 5. يمكن فقط لمضلعين اثنين فقط ربط رؤوسهما عند نقطة مشتركة دون تداخل.

الشكل 5 - الزوايا الخارجية التي تنتجها بعض المضلعات.

في Angle sum of Polygon post ، ناقشنا أن مجموع الزوايا الداخلية لمضلع بأضلاعه موصوفة بالصيغة. نظرًا لأن لدينا زوايا متطابقة ، فهذا يعني أن قياس كل زاوية. نتيجة لذلك ، مع زيادة قيمة ، يزداد قياس الزوايا الداخلية. في الواقع ، مقياس خارج، الزاوية ينخفض ​​كقيمة الزيادات.

الشكل 6 - جدول يوضح خصائص المضلعات بالفسيفساء والغير فسيفساء.

بالنظر إلى الجدول في الشكل 6 ، يمكننا أن نرى أن المضلعات التي يكون ناتجها من الزوايا الداخلية وعدد الرؤوس المجاورة هو 360 فسيفساء. وبالتالي ، فإن قياس زواياهما الخارجية يساوي صفرًا.

علاوة على ذلك ، لاحظ أنه كلما زاد عدد جوانب المضلعات ، قل عدد الرؤوس التي يمكننا إصلاحها في نقطة مشتركة دون تداخل المضلعات. نظرًا لأن جميع المضلعات العادية التي تحتوي على أكثر من ستة جوانب لها زوايا داخلية قياسها أكبر من 120 درجة ، فإن وضع زواياها الداخلية الثلاث عند نقطة مشتركة سيجعل اثنتين منها متداخلة. هذا لأن مجموع زاويتهم سيكون أكبر من 360 درجة (يمكننا التحقق من ذلك باستخدام Tessellation GeoGebra الصغير) ، وبالتالي ، بالنسبة للمضلعات التي تزيد عن ستة جوانب ، يمكن وضع رأسين فقط متجاورين دون تداخل. الآن ، للتغطية بالفسيفساء ، يجب أن يكون مجموع الزاويتين الداخليتين المتجاورتين لهذه المضلعات حتى 360 درجة ، مما يعني أن كل منهما يجب أن يساوي 180 درجة. بالطبع ، لا يوجد مثل هذا المضلع. ومن ثم ، لا توجد طريقة يمكننا من خلالها جعل المستوى فسيفساء بمضلعات منتظمة لها عدد أضلاع أكبر من ستة. هذا يثبت أن المضلعات العادية الوحيدة التي يمكننا استخدامها لتكسير المستوى بالفسيفساء هي المضلعات الثلاثة الموضحة في الشكل 2.

الفسيفساء غير العادية

بالطبع لن نحد من إبداعنا باستخدام المضلعات العادية فقط في الأرضيات المبلطة. المضلعات الموضحة في الشكل 7 هي بعض المربعات التي ليست مضلعات منتظمة. في الشكل الموجود في أقصى اليمين ، استخدمنا مثمنات ومربعات في التبليط ، والذي يُعتبر بالفسيفساء شبه المنتظم.

الشكل 7 - مثال للفسيفساء المضلع غير المنتظم.

الذهاب إلى أبعد من ذلك

لم يتم إنشاء كل الفسيفساء في المستوى الإقليدي. في الرسم التوضيحي الموجود في أقصى اليسار في الشكل 8 ، تم تقسيم الكرة بالفسيفساء بواسطة مجسم عشري مجسم مبتور.

الشكل 8 & # 8211 تبليط في المستوى الكروي والقطعي والإقليدي **.

الرسم التوضيحي المركزي هو مثال على التغطية بالفسيفساء للمستوى الزائدي ، الذي أنشأه MC. Escher والتوضيح الموجود في أقصى اليمين هو مثال آخر على التغطية بالفسيفساء للطائرة الإقليدية - lso بواسطة MC. ايشر.

الصور المستخدمة في هذا المقال:

** 1. كروي مقطوع Icosidodecahedron. مقتبس من ملف ويكيميديا ​​كومنز & # 8220 الصورة: Uniform_tiling_532-t012.png & # 8221


تناظرات

التناظر الانتقالي هو نوع واحد فقط من التناظر. هناك أيضًا تناسق دوراني وانعكاس.

اسحب النقطة الحمراء لعمل لوحة! أي من الصور له تماثل دوراني وأي منها له انعكاس تماثل أزرق أو أخضر؟

تحتوي الصورة على ملف التناظر الدوراني إذا كان بإمكانك تدوير الصورة حول نقطة ما والحصول على نفس الصورة.

تحتوي الصورة على ملف تناظر الانعكاس إذا كان بإمكانك عكس الصورة في سطر ما والحصول على نفس الصورة.


15.6: الأسقف شبه العادية - الرياضيات

، J. UCS 1:10 (1995). يصف Culik و Kari كيفية زيادة أبعاد مجموعات الأسقف غير الدورية ، وتحويل مجموعة من البلاط المكونة من 13 مربعًا إلى مجموعة مكونة من 21 مكعبًا.

. يعمم كارل شيرير وإريك فريدمان مفهوم الزواحف (تبليط الشكل بنسخ أصغر منه) للسماح للنسخ بأن يكون لها مقاييس مختلفة. انظر أيضًا لغز Karl Scherer المكون من جزأين.

. بلاط بلاستيكي مثلثي ومربع وخماسي يمكن النقر عليه معًا لبناء نماذج من الأسطح متعددة السطوح والمضلع. يتضمن معرض نموذج رياضي يعرض أمثلة للأشكال القابلة للبناء من Jovo.

، يمكن للمسطحات السداسية متساوية الأضلاع ذات الزوايا العقلانية أن ترسم الطائرة بأنماط مختلفة مثيرة للاهتمام راجع أيضًا تطبيق أحجية العدسة الصغير لـ Jorge Mireles: قم بتدوير الأشرعة والنجوم للحصول على القطع في الأماكن الصحيحة.

معروضات متحف وحدثت الهزة الارضية التفاعلية لاستكشاف المفاهيم الهندسية مثل مجموعات التناظر والتبليط وورق الحائط.

شبه البلورات والبلاط غير الدوري ، A. Zerhusen ، U. كنتاكي. يتضمن وصفًا رائعًا لكيفية صنع بلاط غير دوري ثلاثي الأبعاد من قطع zometool.

الكتل البرمجية الإنشائية وبرامج Windows القائمة على تبليط مساحة ثلاثية الأبعاد بواسطة رباعي السطوح المتطابق.

، شكل حلزوني مزدوج مثلثي بلاط الطائرة والعديد من الأسطح الأخرى. مع صور تجارب طي الورق ذات الصلة.

برنامج جافا لتوليد أنماط نجمة متماثلة على النمط الإسلامي.

. يوفر T. E. Dorozinski معرضًا لصور ثلاثية الأبعاد متعددة السطوح ، وأسقف ثنائية وثلاثية الأبعاد ، وتقسيمات فرعية للأسطح المنحنية.

. يصف Mario Szegedy خوارزمية لتحديد ما إذا كان البوليومينو (من المحتمل أن يكون غير متصل) سيقوم بترجمة المستوى عن طريق الترجمة ، في الحالة التي يكون فيها عدد المربعات في polyomino أولًا أو أربعة.

. يستخدم هذا المبنى في ملبورن تبليط المروحة كعنصر تصميمي. شكراً لخالد كريم للتعرف عليه. الصور بواسطة ديك هيس ، تم مسحها ضوئيًا بواسطة Ed Pegg Jr. شاهد مجموعة الصور الفوتوغرافية هذه على Flickr للحصول على العديد من الصور الأخرى.

قائمة بريدية لمناقشة الأسقف الإقليدية وغير الإقليدية.

من Geometry Junkyard ، مؤشرات الهندسة الحسابية والترفيهية.
أرسل بريدًا إلكترونيًا إذا كنت تعرف صفحة مناسبة غير مدرجة هنا.
ديفيد إبشتاين ، مجموعة النظريات ، ICS ، جامعة كاليفورنيا في إيرفين.
تمت تصفيته شبه تلقائيًا من ملف مصدر شائع.


15.6: الأسقف شبه العادية - الرياضيات

ل مثلث، الزاوية الفردية 180/3 = 60درجات.
ل ميدان، الزاوية الفردية 360/4=90 درجات.
ل البنتاغون العادي. 3*180/5 = 540/5 =108 درجات.

الآن ل سداسي الزوايا (6 جوانب) مجموع الزوايا 720 درجة.
وبالتالي . ل مسدس منتظم,



اسم المضلع
درجات من الداخل
قياس كل زاوية
360 درجة مقسمة
بواسطة # في العمود 2
مثلث متساوي الاضلاع 3
60 360 / 3 = 120
ميدان 4
90 360/4= 90
البنتاغون العادي 5
3*180/5= 108
360/5= 72
سداسي منتظم 6
4*180/6=120
360/6= 60
سباعي منتظم 7
5*180/7
360/7
مثمن منتظم 8
6*180/8=135
360/8 = 45
دوديكاجون عادي
12
10*180/12=1800/12=150
360/12=30

  • تحميل Wingeometry! وإظهار الفسيفساء.
  • أسقف التسمية (منتدى الرياضيات)
    • تمثل الأرقام عدد الأضلاع في المضلعات.
    • يشير الترتيب إلى الترتيب الذي يتم به ترتيب المضلعات حول قمة الرأس.

    (180-360 / ن) + (180-360 / ك) + (180-360 / ع) = 360

    لذلك ، على سبيل المثال ، n = 3 ، k = 4 و p = 5 غير ممكن منذ ذلك الحين

      أمثلة: إذا كان هناك مثلث متساوي الأضلاع متضمن مع مضلعين آخرين ، فيجب أن يكون للمضلعين الآخرين نفس عدد الأضلاع. لأنه: إذا كان هناك مضلعان مختلفان حول المثلث ، فلن تحتوي المضلعات الثلاثة الموجودة في الرأس على جميع المضلعات الثلاثة التي تشترك في ذلك الرأس. (مثل 3-10-15)


    أ شبه منتظم يتكون التغطية بالفسيفساء من مضلعين منتظمين أو أكثر. يجب أن يكون النمط في كل قمة هو نفسه!

    لا يوجد سوى 8 أنواع فسيفساء شبه منتظمة:

    لتسمية التغطية بالفسيفساء ، قم بالالتفاف حول الرأس واكتب عدد الجوانب التي يحتوي عليها كل مضلع ، بالترتيب. مثل & quot3.12.12 & quot.

    السؤال 1: بالنسبة للفسيفساء أعلاه ، هل النمط هو نفسه عند كل قمة؟
    السؤال 2: يصبح أحد هذه الأنماط مختلفًا عندما نصنع صورة معكوسة له. أي واحد؟


    خيارات الوصول

    شراء مقال واحد

    الوصول الفوري إلى المقال الكامل PDF.

    سيتم الانتهاء من حساب الضريبة أثناء الخروج.

    اشترك في المجلة

    الوصول الفوري عبر الإنترنت إلى جميع الإصدارات اعتبارًا من عام 2019. سيتم تجديد الاشتراك تلقائيًا سنويًا.

    سيتم الانتهاء من حساب الضريبة أثناء الخروج.


    الفسيفساء شبه العادية

    تستخدم الفسيفساء المنتظمة مضلعات منتظمة متطابقة لملء المستوى. يجب أن تصطف المضلعات من الرأس إلى الرأس ، ومن الحافة إلى الحافة ، دون ترك فجوات.

    هل يمكنك إقناع نفسك بأنه لا يوجد سوى ثلاث قطع فسيفساء عادية؟

    • تتكون من نوعين أو أكثر من المضلعات المنتظمة ، ولكل منها نفس طول الضلع
    • كل رأس له نفس نمط المضلعات حوله.

    استكشف الفسيفساء شبه المنتظمة باستخدام تفاعل التغطية بالفسيفساء أدناه.
    إذا لم تستخدم التفاعل من قبل ، فهناك بعض الإرشادات وفيديو.


    تُظهر الصورة ترتيبًا للمثلثات والمربعات متساوية الأضلاع. يبدو أن هناك مساحة لمثلث آخر لملء الفراغ في الأعلى. ولكن هل يمكنك إثبات أنها مناسبة؟

    إذا قمنا بتقسيم المستوى بهذا النمط ، فيمكننا تمثيل التجانب على النحو التالي <3 ، 4 ، 3 ، 3 ، 4> ، لأنه حول كل نقطة ، يتم اتباع النمط "مثلث ، مربع ، مثلث ، مثلث ، مربع". كيف سيبدو النمط إذا قمت بتغيير هذا الترتيب؟


    يمكنك العثور على جميع الفسيفساء شبه العادية؟

    هل يمكنك إظهار أنك وجدتهم جميعًا؟

    لمساعدتك عندما تعمل بعيدًا عن الكمبيوتر ، انقر أدناه للحصول على نسخ متعددة من المضلعات المختلفة. يمكنك طباعتها وتقطيعها واستخدامها لاختبار المضلعات المتوافقة مع بعضها: 3 4 5 6 8 9 10 12


    هناك مثالان يوضحان كيفية استخدام الصيغة أعلاه لتحديد الأشكال التي سوف تتشكل بالفسيفساء.

    حدد ما إذا كان البنتاغون العادي سوف يتشكل بالفسيفساء

    البنتاغون له 5 جوانب ، لذا ن = 5.

    الزاوية الداخلية للبنتاغون = [180 & # 215 (5-2)] / 5

    الزاوية الداخلية للبنتاغون = [180 & # 215 3] / 5

    الزاوية الداخلية للبنتاغون = 540/5

    الزاوية الداخلية للبنتاغون = 108 درجات

    لا توجد طريقة لجعل 360 مع 108 لأن 108 + 108 + 108 = 324 و 108 + 108 + 108 + 108 = 432

    لذلك فإن البنتاغون لن يكون فسيفساء كما ترون أدناه:

    تظهر الفجوة بسهم أحمر!

    تحديد ما إذا كان 16-gon عاديًا بالفسيفساء

    16-gon له 16 جانبًا ، لذلك n = 16.

    الزاوية الداخلية لـ 16-gon = [180 & # 215 (16-2)] / 16

    الزاوية الداخلية لـ 16-gon = [180 & # 215 14] / 16

    الزاوية الداخلية لـ 16-gon = 2520/16

    الزاوية الداخلية لـ 16-gon = 157.5 درجة

    157.5 ليس عامل 360 ، لذا فإن 16-gon لن تكون فسيفساء.

    يمكن أن تحدث الفسيفساء مع الترجمات والدوران والانعكاسات ويمكن أن تحدث أيضًا بأشكال غير منتظمة.


    شاهد الفيديو: الامتحان الوطني لمادة الرياضيات شعبة العلوم التجريبية 2020 (شهر اكتوبر 2021).