مقالات

1.5E: تمارين لمعادلات الخطوط والمستويات في الفضاء - الرياضيات


في التدريبات من 1 إلى 4 ، يتم إعطاء النقاط (P ) و (Q ). دع (L ) هو الخط الذي يمر عبر النقاط (P ) و (Q ).

أ. أوجد المعادلة المتجهة للخط (L ).

ب. أوجد المعادلات البارامترية للخط (L ).

ج. أوجد المعادلات المتماثلة للخط (L ).

د. ابحث عن المعادلات البارامترية للقطعة المستقيمة المحددة بواسطة (P ) و (Q ).

1) (P (−3،5،9)، Q (4، −7،2) )

إجابه:
أ. ( vecs r = ⟨− 3،5،9⟩ + t⟨7، ،12، ،7⟩، ، t∈R؛ )
ب. (س = −3 + 7 طن ، ، ص = 5−12 طن ، ، ض = 9−7 طن ، ، تي ∈R ؛ )
ج. ( frac {x + 3} {7} = frac {y − 5} {- 12} = frac {z − 9} {- 7}؛ )
د. (س = −3 + 7 طن ، ، ص = 5−12 طن ، ، ض = 9−7 طن ، ، 0 le t le 1 )

2) (P (4،0،5)، Q (2،3،1) )

3) (P (−1،0،5)، Q (4،0،3) )

إجابه:
أ. ( vecs r = ⟨− 1،0،5 + t⟨5،0 ، −2⟩ ، t R ؛ )
ب. (س = −1 + 5 طن ، ص = 0 ، ض = 5−2 طن ، t∈R ؛ )
ج. ( frac {x + 1} {5} = frac {z − 5} {- 2}، y = 0؛ )
د. (س = −1 + 5 ت ، ص = 0 ، ض = 5t2 طن ، تي [0،1] )

4) (P (7، −2،6)، Q (−3،0،6) )

للتمارين من 5 إلى 8 ، يتم إعطاء النقطة (P ) والمتجه ( vecs v ). دع (L ) هو الخط الذي يمر بالنقطة (P ) بالاتجاه ( vecs v ).

أ. أوجد المعادلات البارامترية للخط (L ).

ب. أوجد المعادلات المتماثلة للخط (L ).

ج. أوجد تقاطع الخط مع المستوى (xy ) -.

5) (P (1، −2،3)، ، vecs v = ⟨1،2،3⟩ )

إجابه:
أ. (س = 1 + تي ، ص = −2 + 2 ت ، ض = 3 + 3 طن ، تي ∈R ؛ )
ب. ( frac {x − 1} {1} = frac {y + 2} {2} = frac {z − 3} {3}؛ )
ج. ((0، −4،0) )

6) (P (3،1،5) ، ، vecs v = ⟨1،1،1⟩ )

7) (P (3،1،5)، ، vecs v = vecd {QR}، ) حيث (Q (2،2،3) ) و (R (3،2،3) ) )

إجابه:
أ. (س = 3 + تي ، ص = 1 ، ض = 5 ، تي∈R ؛ )
ب. (ص = 1 ، ض = 5 ؛ )
ج. (الخط لا يتقاطع مع (س ص ) - المستوى. )

8) (P (2،3،0)، ، vecs v = vecd {QR}، ) حيث (Q (0،4،5) ) و (R (0،4،6 ) )

للتمرينين 9 و 10 ، يتم إعطاء السطر (L ).

أ. ابحث عن نقطة (P ) تنتمي إلى الخط ومتجه الاتجاه ( vecs v ) من الخط. Express ( vecs v ) في شكل مكون.

ب. أوجد المسافة من الأصل إلى الخط (L ).

9) (س = 1 + تي ، ص = 3 + تي ، ض = 5 + 4 طن ، تي∈R )

إجابه:
أ. متجه النقطة والاتجاه المحتمل هو (P (1،3،5) ) و ( vecs v = ⟨1،1،4⟩ ) ، لكن هذه الإجابات ليست فريدة.
ب. ( sqrt {3} ) وحدة

10) (−x = ص + 1 ، ض = 2 )

11) أوجد المسافة بين النقطة (A (−3،1،1) ) وخط المعادلات المتماثلة

(س = − ص = −z. )

إجابه:
وحدات ( frac {2 sqrt {2}} { sqrt {3}} = frac {2 sqrt {6}} {3} )

12) أوجد المسافة بين النقطة (A (4،2،5) ) وخط المعادلات البارامترية

(س = −1 − t ، ص = −t ، ض = 2 ، t∈R. )

للتمارين من 13 إلى 14 ، يتم إعطاء الأسطر (L_1 ) و (L_2 ).

أ. تحقق مما إذا كانت السطور (L_1 ) و (L_2 ) متوازيتان.

ب. إذا كان الخطان (L_1 ) و (L_2 ) متوازيان ، فأوجد المسافة بينهما.

13) (L_1: x = 1 + t ، y = t ، z = 2 + t ، t∈R ، L_2: x − 3 = y − 1 = z − 3 )

إجابه:
أ. (موازي؛)
ب. وحدات ( frac { sqrt {2}} { sqrt {3}} = frac { sqrt {6}} {3} )

14) (L_1: x = 2، y = 1، z = t، L_2: x = 1، y = 1، z = 2−3t، t∈R )

15) بيّن أن الخط المار بالنقاط (P (3،1،0) ) و (Q (1،4، −3) ) عمودي على الخط الذي يحتوي على المعادلة (x = 3t، y = -32 + 8 طن ، ض = −9 + 6 طن ، ر. )

إجابه:
( vecd {PQ} = lt -2، 3، -3 gt ) هو متجه الاتجاه للخط المار بالنقاط (P ) و (Q ) ، ومتجه الاتجاه للخط المحدد بالمعادلات البارامترية أعلاه هي ( vecs v = lt 3، 8، 6 gt. )
نظرًا لأن ( vecs v cdot vecd {PQ} = -6 + 24-18 = 0 ) ، فإن متجهي الاتجاه متعامدين.
كل ما نحتاج إلى توضيحه الآن هو أن المستقيمين يتقاطعان.
الخط المار بالنقاط (P (3،1،0) ) و (Q (1،4، −3) ) له معادلات حدودية: (x = 3 - 2u )، (y = 1 + 3u ) و (z = -3u ).
عند تعيين إحداثيات (x ) - و (z ) - للخطين متساوية ، نحصل على نظام المعادلات:
[3t = 3 - 2u quad text {and} quad -9 + 6t = -3u nonumber ]
يعطينا حل هذا النظام باستخدام الاستبدال (u = -3 ) و (t = 3 ). إن إدخال قيم (t ) و (u ) مرة أخرى في المعادلات البارامترية لهذين الخطين يعطينا نقطة التقاطع مع الإحداثيات ( يسار (9 ، -8 ، 9 يمين) ) على كلا السطرين .
لذلك تتقاطع الخطوط والخط المار بالنقطتين (P ) و (Q ) مع متجه الاتجاه ( vecd {PQ} ) عموديًا على الخط الآخر.

16) هل خطوط المعادلات (x = 2 + 2t ، y = −6 ، z = 2 + 6t ) و (x = −1 + t ، y = 1 + t ، z = t ، t∈ R ، ) عمودي على بعضها البعض؟

17) أوجد نقطة تقاطع خطوط المعادلات (x = −2y = 3z ) و (x = −5 − t، y = −1 + t، z = t − 11، t∈R. )

إجابه:
( (−12,6,−4))

18) ابحث عن نقطة تقاطع المحور (س ) مع خط المعادلات البارامترية (س = 10 + تي ، ص = 2−2 طن ، ض = −3 + 3 طن ، تي آر. )

للتمارين من 19 إلى 22 ، يتم إعطاء الأسطر (L_1 ) و (L_2 ). تحديد ما إذا كانت الخطوط مساو, موازية لكن غير متساوية, انحراف، أو متقاطعة.

19) (L_1: x = y − 1 = z ) و (L_2: x − 2 = −y = frac {z} {2} )

إجابه:
الخطوط منحرفة.

20) (L_1: x = 2t ، y = 0 ، z = 3 ، t∈R ) و (L_2: x = 0 ، y = 8 + s ، z = 7 + s ، s∈R )

21) (L_1: x = −1 + 2t ، y = 1 + 3t ، z = 7t ، t∈R ) و (L_2: x − 1 = frac {2} {3} (y − 4) = frac {2} {7} z − 2 )

إجابه:
الخطوط متساوية.

22) (L_1: 3x = y + 1 = 2z ) و (L_2: x = 6 + 2t ، y = 17 + 6t ، z = 9 + 3t ، t∈R )

23) ضع في اعتبارك السطر (L ) من المعادلات المتماثلة (x − 2 = −y = frac {z} {2} ) والنقطة (A (1،1،1). )

أ. ابحث عن المعادلات البارامترية لخط موازٍ لـ (L ) يمر بالنقطة (A ).

ب. ابحث عن معادلات متماثلة لخط مائل إلى (L ) والذي يمر بالنقطة (A ).

ج. ابحث عن معادلات متماثلة لخط يتقاطع مع (L ) ويمر بالنقطة (A ).

إجابه:
أ. (س = 1 + ر ، ص = 1 − ر ، ع = 1 + 2 ت ، ر∈ ص )
ب. على سبيل المثال ، الخط الذي يمر عبر (A ) مع متجه الاتجاه (j: x = 1 ، z = 1 )
ج. على سبيل المثال ، الخط الذي يمر عبر (A ) والنقطة ((2،0،0) ) التي تنتمي إلى (L ) هي خط يتقاطع ؛ (L: frac {x − 1} {- 1} = y − 1 = z − 1 )

24) ضع في اعتبارك السطر (L ) من المعادلات البارامترية (x = t ، y = 2t ، z = 3 ، t∈R. )

أ. ابحث عن المعادلات البارامترية لخط موازٍ لـ (L ) يمر عبر الأصل.

ب. ابحث عن المعادلات البارامترية لانحراف الخط إلى (L ) الذي يمر عبر الأصل.

ج. أوجد المعادلات المتماثلة لخط يتقاطع مع (L ) ويمر عبر الأصل.

للتمارين 25-28 ، يتم إعطاء النقطة (P ) والمتجه ( vecs n ).

أ. ابحث عن المعادلة العددية للمستوى الذي يمر عبر (P ) وله متجه عادي ( vecs n ).

ب. ابحث عن الشكل العام لمعادلة المستوى الذي يمر عبر (P ) وله متجه عادي ( vecs n ).

25) (P (0،0،0)، n = 3 hat { imath} −2 hat { jmath} +4 hat {k} )

إجابه:
أ. (3 س − 2 ص + 4 ع = 0 )
ب. (3 س − 2 ص + 4 ع = 0 )

26) (P (3،2،2)، vecs n = 2 hat { imath} +3 hat { jmath} - hat {k} )

27) (P (1،2،3) ، vecs n = ⟨1،2،3⟩ )

إجابه:
أ. ((x − 1) +2 (y − 2) +3 (z − 3) = 0 )
ب. (س + 2 ص + 3 ع 14 = 0 )

28) (P (0،0،0) ، vecs n = ⟨− 3،2 ، −1⟩ )

بالنسبة للتدريبات 29 - 32 ، يتم إعطاء معادلة المستوى.

أ. ابحث عن المتجه العادي ( vecs n ) إلى المستوى. التعبير عن ( vecs n ) باستخدام متجهات الوحدة القياسية.

ب. ابحث عن تقاطعات المستوى مع كل من محاور الإحداثيات (تقاطعاتها).

ج. ارسم الطائرة.

29) [T] (4x + 5y + 10z − 20 = 0 )

إجابه:
أ. ( vecs n = 4 hat { imath} +5 hat { jmath} +10 hat {k} )
ب. ((5،0،0)، (0،4،0)، ) و ((0،0،2) )

ج.

30) (3 س + 4 ص − 12 = 0 )

31) (3 س − 2 ص + 4 ع = 0 )

إجابه:
أ. ( vecs n = 3 hat { imath} −2 hat { jmath} +4 hat {k} )
ب. ((0،0،0) )

ج.

32) (س + ض = 0 )

33) معطى النقطة (P (1،2،3) ) والمتجه ( vecs n = hat { imath} + hat { jmath} ) ، ابحث عن النقطة (Q ) على (x ) - محور مثل ( vecd {PQ} ) و ( vecs n ) متعامدين.

إجابه:
( (3,0,0))

34) أظهر عدم وجود مستوى عمودي على ( vecs n = hat { imath} + hat { jmath} ) يمر عبر النقاط (P (1،2،3) ) و (Q (2،3،4) ).

35) أوجد المعادلات البارامترية للخط المار بالنقطة (P (2،1،3) ) المتعامدة على مستوى المعادلة (2x − 3y + z = 7. )

إجابه:
(س = −2 + 2 طن ، ص = 1−3 طن ، ض = 3 + تي ، تي ∈R )

36) أوجد المعادلات المتماثلة للخط المار بالنقطة (P (2،5،4) ) المتعامدة على مستوى المعادلة (2x + 3y − 5z = 0. )

37) أظهر أن السطر ( frac {x − 1} {2} = frac {y + 1} {3} = frac {z − 2} {4} ) يوازي المستوى (x − 2y + ض = 6 ).

38) أوجد الرقم الحقيقي (α ) بحيث يكون خط المعادلات البارامترية (س = t ، ص = 2 − t ، z = 3 + t ، t∈R ) موازٍ لمستوى المعادلة ( αx + 5y + z − 10 = 0. )

بالنسبة للتدريبات 39-42 ، يتم إعطاء معادلتين.

أ. تحديد ما إذا كانت الطائرات موازى, متعامد، أو لا هذا ولا ذاك.

ب. إذا لم تكن المستويات متوازية ولا متعامدة ، فأوجد قياس الزاوية بين المستويين. عبر عن الإجابة بالدرجات مقربة لأقرب عدد صحيح.

ج. إذا تقاطعت المستويات ، فابحث عن خط تقاطع المستويات ، مقدمًا المعادلات البارامترية لهذا الخط.

39) [T] (x + y + z = 0 ، 2x − y + z − 7 = 0 )

إجابه:
أ. الطائرات ليست متوازية ولا متعامدة.
ب. (62 درجة )
ج. (س = -1 + 2 طن )
(ص = -4 + ر )
(ض = 5 - 3 طن )

40) (5x − 3y + z = 4، x + 4y + 7z = 1 )

41) (x − 5y − z = 1، 5x − 25y − 5z = −3 )

إجابه:
أ. الطائرات متوازية.

42) [T] (x − 3y + 6z = 4 ، 5x + y − z = 4 )

للتدريبات 43-46 ، حدد ما إذا كان الخط المعطى يتقاطع مع المستوى المحدد. إذا تقاطعوا ، فاذكر نقطة التقاطع.

43) المستوى: (2x + y - z = 11 ) الخط: (x = 1 + t ، ، y = 3-2t ، ، z = 2 + 4t )

إجابه:
يتقاطعان عند النقطة ((-1 ، 7 ، -6) ).

44) المستوى: (- x + 2y + z = 2 ) الخط: (x = 1 + 2t ، ، y = -2 + t ، ، z = 5 - 3t )

إجابه:
يتقاطعان عند النقطة ((- frac {1} {3}، - frac {8} {3}، 7) ).

5) المستوى: (x - 3y + 2z = 4 ) الخط: (x = 2 - t، ، y = t، ، z = 4 + 2t )

إجابه:
لا يتقاطع الخط مع هذا المستوى.

46) المستوى: (x - 3y + 2z = 10 ) الخط: (x = 2 - t ، ، y = t ، ، z = 4 + 2t )

إجابه:
الخط في الواقع مضمن بالكامل في هذا المستوى ، لذا فإن كل نقطة على الخط موجودة على المستوى. على سبيل المثال ، عندما (t = 0 ) لدينا النقطة ، ((2 ، 0 ، 4) ).

47) بيّن أن خطوط المعادلات (x = t، y = 1 + t، z = 2 + t، t∈R، ) و ( frac {x} {2} = frac {y − 1 } {3} = z − 3 ) انحراف ، وأوجد المسافة بينهما.

إجابه:
وحدات ( frac {1} { sqrt {6}} = frac { sqrt {6}} {6} )

48) أظهر أن خطوط المعادلات (x = −1 + t ، y = −2 + t ، z = 3t ، t∈R ، ) و (x = 5 + s ، y = −8 + 2s ، z = 7s، s∈R ) انحراف ، وأوجد المسافة بينهما.

49) ضع في اعتبارك النقطة (C (−3،2،4) ) ومستوى المعادلة (2x + 4y − 3z = 8 ).

أ. أوجد نصف قطر الكرة التي يكون مركزها (ج ) مماسًا للمستوى المحدد.

ب. أوجد النقطة P من التماس.

إجابه:
أ. (r = frac {18} { sqrt {29}} = frac {18 sqrt {29}} {29} )
ب. (P (- frac {51} {29}، frac {130} {29}، frac {62} {29}) )

50) ضع في اعتبارك مستوى المعادلة (x − y − z − 8 = 0. )

أ. أوجد معادلة الكرة التي يكون المركز (C ) عند نقطة الأصل مماسًا للمستوى المحدد.

ب. أوجد المعادلات البارامترية للخط الذي يمر عبر الأصل ونقطة التماس.

51) طفلان يلعبان بالكرة. الفتاة ترمي الكرة إلى الصبي. تتحرك الكرة في الهواء ، وتنحني (3 ) قدم إلى اليمين ، وتسقط (5 ) قدمًا بعيدًا عن الفتاة (انظر الشكل التالي). إذا كان المستوى الذي يحتوي على مسار الكرة عموديًا على الأرض ، فأوجد معادلتها.

إجابه:
(4x − 3y = 0 )

52) [T] يخصص جون (د ) دولارات لاستهلاك ثلاث سلع شهريًا من الأسعار (أ ، ب ) ، و (ج ). في هذا السياق ، يتم تعريف معادلة الميزانية على أنها (ax + by + cz = d ، ) حيث (x≥0 ، y≥0 ) ، و (z≥0 ) تمثل عدد العناصر المشتراة من كل من البضائع. يتم تحديد مجموعة الميزانية بواسطة ({(x، y، z) | ax + by + cz≤d، x≥0، y≥0، z≥0}، ) ومستوى الميزانية هو جزء من المستوى من المعادلة (ax + by + cz = d ) التي (x≥0 ، y≥0 ) ، و (z≥0 ). ضع في اعتبارك (أ = 8 دولارات ، ب = 5 دولارات ، ج = 10 دولارات ، ) و (د = 500 دولار. )

أ. استخدم CAS لرسم مجموعة الميزانية ومستوى الميزانية.

ب. بالنسبة إلى (z = 25، ) ، ابحث عن معادلة الموازنة الجديدة ورسم بيانًا بيانيًا للميزانية المحددة في نفس نظام الإحداثيات.

53) [T] ضع في اعتبارك ( vecs r (t) = ⟨ sin t، cos t، 2t⟩ ) متجه موضع الجسيم في الوقت (t∈ [0،3] ) ، حيث يتم التعبير عن مكونات ( vecs r ) بالسنتيمتر ويتم قياس الوقت بالثواني. لنفترض أن ( vecd {OP} ) يكون متجه موضع الجسيم بعد (1 ) ثانية.

أ. حدد متجه السرعة ( vecs v (1) ) للجسيم بعد (1 ) ثانية.

ب. أوجد المعادلة العددية للمستوى المتعامد مع (v (1) ) ويمر بالنقطة (P ). يسمى هذا المستوى المستوى الطبيعي لمسار الجسيم عند النقطة (P ).

ج. استخدم CAS لتصور مسار الجسيم مع متجه السرعة والمستوى العادي عند النقطة (P ).

إجابه:
أ. ( vecs v (1) = ⟨ cos 1، - sin 1، 2⟩ )
ب. (( cos 1) (س− الخطيئة 1) - ( الخطيئة 1) (y− cos 1) +2 (ض − 2) = 0 )
ج.

54) [T] لوح شمسي مركب على سطح منزل. يمكن اعتبار اللوحة موضوعة عند نقاط الإحداثيات (بالأمتار) (A (8،0،0) و B (8،18،0) و C (0،18،8) و ) و ( د (0،0،8) ) (انظر الشكل التالي).

أ. ابحث عن الشكل العام لمعادلة المستوى الذي يحتوي على اللوحة الشمسية باستخدام النقاط (A ، B ، ) و (C ) ، وأظهر أن متجهها الطبيعي يعادل ( vecd {AB} × vecd {م}. )

ب. ابحث عن المعادلات البارامترية للخط (L_1 ) التي تمر عبر مركز اللوحة الشمسية ولها متجه اتجاه ( vecs s = frac {1} { sqrt {3}} hat { imath} + frac {1} { sqrt {3}} hat { jmath} + frac {1} { sqrt {3}} hat {k}، ) الذي يشير إلى موقع الشمس في وقت معين من يوم.

ج. أوجد المعادلات المتماثلة للخط (L_2 ) الذي يمر عبر مركز اللوحة الشمسية ويكون عموديًا عليها.

د. حدد زاوية ارتفاع الشمس فوق الألواح الشمسية باستخدام الزاوية بين الخطوط (L_1 ) و (L_2 ).

المساهمون

جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

تمارين و LaTeX من تحرير بول سيبرغر

المشكلات 15 و 43 - 46 التي أنشأها Paul Seeburger


حساب التفاضل والتكامل والمتجهات

سيقوم الطلاب بتوسيع فهمهم لمعدلات التغيير ليشمل مشتقات الدوال متعددة الحدود ، والعقلانية ، والأسية ، واللوغاريتمية ، والمثلثية ، وسوف يطبقونها على نمذجة العلاقات في العالم الحقيقي. سيتم تقديم حساب التفاضل والتكامل المتكامل وتطبيقاته. سيحل الطلاب المسائل التي تتضمن المتجهات والخطوط والمستويات في ثلاثة مسافات. هذه المناهج التعليمية مخصصة للطلاب الذين درسوا أو يدرسون حاليًا الوظائف المتقدمة ودورات ما قبل حساب التفاضل والتكامل ، وسيُطلب منهم أخذ حساب التفاضل والتكامل على مستوى الجامعة أو الجبر الخطي أو دورة الفيزياء أو قد يفكرون في متابعة الدراسات في مجالات مثل الرياضيات أو علوم الكمبيوتر أو الهندسة أو العلوم أو الأعمال أو الاقتصاد.


تتشكل الزاوية بين الخط والمستوى عندما يكون الخط مائلاً على مستوى ، ويتم رسم الخط العادي على المستوى من النقطة التي يتلامس فيها الخط. هذه الزاوية بين الخط والمستوى تساوي تكملة الزاوية بين الخط العمودي والخط.

يمكن أن تكون هناك السيناريوهات الثلاثة التالية عندما يمكن أن يوجد خط مستقيم والمستوى معًا:

  • يمكن أن يكون الخط على المستوى
  • يمكن أن يكون الخط موازٍ للمستوى
  • يمكن أن يكون الخط قاطعًا

ستكون الزاوية المتكونة بين المستوى والخط المستقيم مختلفة في كل من الظروف الثلاثة المذكورة أعلاه.

  • إذا كان الخط المستقيم موجودًا على المستوى أو موازيًا له ، فإن الزاوية المتكونة بين الخط والمستوى ستكون 0 درجة.
  • إذا كان الخط قاطعًا للمستوى ، فسيتم تمثيل الزاوية المتكونة بينهما . هذه الزاوية التي تتكون بين الخط والمستوى هي في الواقع الزاوية التي شكلها الخط المستقيم به الإسقاط المتعامد على متن الطائرة.

بمعنى آخر ، يمكننا القول أن الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى هي زاوية تكونت بين الخط وإسقاطه المتعامد على المستوى.

تظهر هذه الظاهرة في الشكل أدناه حيث توضح الزاوية بين الخط r والمستوى .

إذا كانت لدينا معلومات حول العناصر التالية ، فيمكننا تحديد الزاوية بين الخط والمستوى باستخدام الصيغة أدناه:

  • الطائرة
  • الخط المستقيم
  • ناقل الحكم
  • المتجه الطبيعي للطائرة

إذا كان الخط ، صوالطائرة π، عموديًا ، فإن متجه اتجاه الخط والمتجه الطبيعي للمستوى لهما نفس الاتجاه ، وبالتالي فإن مكوناته متناسبة:

الآن ، دعنا ننتقل إلى الأمثلة التالية التي سنستخدم فيها الصيغة أعلاه لتحديد الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى.


1.5E: تمارين لمعادلات الخطوط والمستويات في الفضاء - الرياضيات

  • المشغل أو العامل :أ ب هي تقسيم المصفوفة من A إلى B ، وهو تقريبًا نفس تقسيم المصفوفة INV (أ) * ب . إذا كانت A عبارة عن مصفوفة NXN و B عبارة عن متجه عمود بمكونات N أو مصفوفة بها عدة أعمدة ، إذن س = أ ب هو حل المعادلة أ * س = ب . تتم طباعة رسالة تحذير إذا تم تحجيم A بشكل سيئ أو شبه مفرد. A EYE (SIZE (A)) ينتج معكوس A.
  • مشغل لينسولف:X = LINSOLVE (A، B) يحل النظام الخطي A * X = B باستخدام عامل LU مع التمحور الجزئي عندما تكون A مربعة ، وعامل QR مع محور العمود. يتم إعطاء تحذير إذا كان A غير مشروط بالمصفوفات المربعة وكان الترتيب ناقصًا للمصفوفات المستطيلة.

مثال 1 : نظام غير متجانس Ax = b ، حيث A مربع وقابل للعكس. في مثالنا سننظر في المعادلات التالية:


المشاكل والنظرية والحلول في الجبر الخطي

ماريانا أويلر أستاذة مشاركة في الرياضيات في جامعة لوليا للتكنولوجيا ، حيث تقوم بتدريس العديد من مقررات الرياضيات الجامعية لطلاب الهندسة ، بما في ذلك دورات في الجبر الخطي والمعادلات التفاضلية والتحليل الخطي. هي باحثة نشطة في subje

نوربرت أويلر هو أستاذ دير الرياضيات بجامعة لوليا للتكنولوجيا في شويدين. Er hält seit über 25 Jahren eine Vielzahl von Mathematik-Vorlesungen und war an mehreren Universitäten weltweit tätig.

Zudem hat er als Wissenschaftler bisher mehr als 70 in Peer Reviews überpr

  • كتبه خبراء رائدون في الصناعة
  • تنسيق صغير الحجم (وقت القراءة من ساعة إلى ساعتين)
  • قارئ إلكتروني سهل الاستخدام ويمكن الوصول إليه
  • أكمل القراءة من حيث توقفت
  • كتب إلكترونية جديدة تضاف كل أسبوع

هذا الكتاب هو الجزء الأول من سلسلة من ثلاثة أجزاء بعنوان المشكلات والنظرية والحلول في الجبر الخطي. يحتوي هذا الجزء الأول على أكثر من 100 مشكلة محلولة و 100 تمرين على المتجهات والمصفوفات والأنظمة الخطية وكذلك التحولات الخطية في الفضاء الإقليدي. الغرض منه هو أن يكون ملحقًا لكتاب مدرسي في الجبر الخطي والهدف من السلسلة هو تزويد الطالب بمجموعة جيدة التنظيم ومختارة بعناية من المشكلات التي تم حلها بالإضافة إلى مراجعة شاملة للمواد التي يتم تدريسها في دورة تدريبية حول هذا موضوع لطلاب الهندسة والعلوم الجامعيين.

ماريانا أويلر أستاذة مشاركة في الرياضيات في جامعة لوليا للتكنولوجيا ، حيث تقوم بتدريس العديد من مقررات الرياضيات الجامعية لطلاب الهندسة ، بما في ذلك دورات في الجبر الخطي والمعادلات التفاضلية والتحليل الخطي. وهي باحثة نشطة في موضوع المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية ومجموعات تحويل تناظر الكذب والتي نشرت عليها أكثر من 40 مقالة بحثية.


20 حلول معادلات ماكسويل في الفضاء الحر

20-1 موجات في موجات طائرة الفضاء الحر

في الفصل الثامن عشر وصلنا إلى النقطة التي كانت لدينا فيها معادلات ماكسويل في شكل كامل. يمكن العثور على كل ما يمكن معرفته عن النظرية الكلاسيكية للمجالين الكهربائي والمغناطيسي في المعادلات الأربع: ابدأ يبدأ <6> & نص& & FLPdiv < FLPE> && = frac < rho> < epsO> quad & quad & text& & FLPcurl < FLPE> && = - ddp < FLPB> [1ex] & text& & FLPdiv < FLPB> && = 0 quad & quad & text& c ^ 2 & FLPcurl < FLPB> && = frac < FLPj> < epsO> + ddp < FLPE> نهاية ضع الكلمة المناسبة نهاية يبدأ يبدأ <3> & نص&& FLPdiv < FLPE> & = & frac < rho> < epsO> [1ex] & text&& FLPcurl < FLPE> & = & - ddp < FLPB> [1ex] & text&& FLPdiv < FLPB> & = & 0 [1ex] & text& quad c ^ 2 & FLPcurl < FLPB> & = & frac < FLPj> < epsO> + ddp < FLPE> نهاية ضع الكلمة المناسبة نهاية عندما نجمع كل هذه المعادلات معًا ، تحدث ظاهرة جديدة ملحوظة: الحقول الناتجة عن الشحنات المتحركة يمكن أن تترك المصادر وتنتقل بمفردها عبر الفضاء. لقد اعتبرنا مثالًا خاصًا يتم فيه تشغيل ورقة تيار لانهائي فجأة. بعد تشغيل التيار لفترة $ t $ ، توجد مجالات كهربائية ومغناطيسية منتظمة تمتد على مسافة $ ct $ من المصدر. افترض أن الورقة الحالية تقع في المستوى $ yz $ مع كثافة تيار سطحي $ J $ تتجه نحو الموجب $ y $. سيحتوي المجال الكهربائي على مكون $ y $ فقط ، والمجال المغناطيسي ، $ z $ فقط مكون. يتم إعطاء مكونات الحقل بواسطة start ضع الكلمة المناسبة E_y = cB_z = - frac<2 epsO c>، end للقيم الموجبة التي تبلغ $ x $ أقل من $ ct $. بالنسبة إلى $ x $ الأكبر ، تكون الحقول صفرًا. هناك ، بالطبع ، حقول مماثلة تمتد على نفس المسافة من الورقة الحالية في الاتجاه السالب $ x $. في الشكل 20-1 نعرض رسمًا بيانيًا لمقدار الحقول كدالة $ x $ عند اللحظة $ t $. مع مرور الوقت ، تتحرك "جبهة الموجة" عند $ ct $ للخارج في $ x $ بسرعة ثابتة $ c $.

الآن فكر في التسلسل التالي للأحداث. نقوم بتشغيل تيار قوة الوحدة لفترة ، ثم فجأة نزيد القوة الحالية إلى ثلاث وحدات ، ونبقيها ثابتة عند هذه القيمة. كيف تبدو الحقول بعد ذلك؟ يمكننا أن نرى كيف ستبدو الحقول بالطريقة التالية. أولاً ، نتخيل تيارًا من قوة الوحدة يتم تشغيله عند $ t = 0 $ ويترك ثابتًا إلى الأبد. حقول موجب $ x $ معطاة من خلال الرسم البياني في الجزء (أ) من الشكل 20-2. بعد ذلك ، نسأل ماذا سيحدث إذا قمنا بتشغيل تيار ثابت من وحدتين في الوقت $ t_1 $.

الحقول في هذه الحالة ستكون ضعف الارتفاع السابق ، ولكنها ستمتد في $ x $ فقط المسافة $ c (t-t_1) $ ، كما هو موضح في الجزء (ب) من الشكل. عندما نضيف هذين الحلين ، باستخدام مبدأ التراكب ، نجد أن مجموع المصدرين هو تيار وحدة واحدة للوقت من صفر إلى $ t_1 $ وتيار ثلاث وحدات لمرات أكبر من $ t_1 $ . في الوقت $ t $ ستتنوع الحقول بمقدار $ x $ كما هو موضح في الجزء (c) من الشكل 20-2.

الآن دعونا نتعامل مع مشكلة أكثر تعقيدًا. ضع في اعتبارك تيارًا يتم تشغيله على وحدة واحدة لفترة ، ثم يتم تشغيله إلى ثلاث وحدات ، ثم يتم إيقافه لاحقًا إلى الصفر. ما هي المجالات لمثل هذا التيار؟ يمكننا إيجاد الحل بنفس الطريقة - بإضافة حلول ثلاث مشاكل منفصلة. أولاً ، نجد الحقول لتيار الخطوة لقوة الوحدة. (لقد حللنا هذه المشكلة بالفعل). بعد ذلك ، نجد الحقول التي تم إنتاجها بواسطة تيار متدرج من وحدتين. أخيرًا ، قمنا بإيجاد حقول تيار الخطوة ناقص ثلاث وحدات. عندما نضيف الحلول الثلاثة ، سيكون لدينا تيار وهو وحدة واحدة قوية من $ t = 0 $ إلى وقت لاحق ، لنقل $ t_1 $ ، ثم ثلاث وحدات قوية حتى وقت لاحق $ t_2 $ ، ثم يتم إيقاف تشغيله —هذا هو ، إلى الصفر. يظهر رسم بياني للتيار كدالة للوقت في الشكل 20-3 (أ). عندما نضيف الحلول الثلاثة للمجال الكهربائي ، نجد أن تباينه مع $ x $ ، في لحظة معينة $ t $ ، كما هو موضح في الشكل 20-3 (ب). الحقل هو تمثيل دقيق للتيار. توزيع المجال في الفضاء هو رسم بياني لطيف للتغير الحالي مع الوقت - مرسوم فقط للخلف. مع مرور الوقت تتحرك الصورة بأكملها للخارج بسرعة $ c $ ، لذلك هناك نقطة صغيرة من الحقل تنتقل باتجاه موجب $ x $ ، والتي تحتوي على ذاكرة مفصلة تمامًا عن تاريخ جميع الاختلافات الحالية. إذا كان علينا أن نقف على بعد أميال ، فيمكننا أن نستنتج من تباين المجال الكهربائي أو المغناطيسي بالضبط كيف تغير التيار عند المصدر.

ستلاحظ أيضًا أنه بعد فترة طويلة من توقف كل النشاط في المصدر تمامًا وتصبح جميع الشحنات والتيارات صفرًا ، تستمر كتلة المجال في التنقل عبر الفضاء. لدينا توزيع للمجالات الكهربائية والمغناطيسية التي توجد بشكل مستقل عن أي شحنات أو تيارات. هذا هو التأثير الجديد الذي يأتي من المجموعة الكاملة من معادلات ماكسويل. إذا أردنا ، يمكننا إعطاء تمثيل رياضي كامل للتحليل الذي قمنا به للتو من خلال كتابة أن المجال الكهربائي في مكان معين ووقت معين يتناسب مع التيار عند المصدر ، فقط ليس في نفس الوقت ، ولكن في سابقا الوقت $ t-x / c $. يمكننا أن نكتب نبدأ ضع الكلمة المناسبة E_y (t) = - frac<2 epsO c>. نهاية

صدقنا أو لا تصدق ، لقد اشتقنا بالفعل هذه المعادلة نفسها من وجهة نظر أخرى في المجلد. أنا عندما كنا نتعامل مع نظرية معامل الانكسار. بعد ذلك ، كان علينا معرفة المجالات التي نتجت عن طبقة رقيقة من ثنائيات الأقطاب المتذبذبة في ورقة من مادة عازلة مع حركة ثنائيات الأقطاب بواسطة المجال الكهربائي لموجة كهرومغناطيسية واردة. كانت مشكلتنا هي حساب المجالات المجمعة للموجة الأصلية والموجات التي تشعها ثنائيات الأقطاب المتذبذبة. كيف يمكننا حساب الحقول التي تم إنشاؤها عن طريق تحريك الرسوم عندما لا تكون لدينا معادلات ماكسويل؟ في ذلك الوقت أخذنا كنقطة انطلاق (بدون أي اشتقاق) معادلة لحقول الإشعاع الناتجة على مسافات كبيرة من نقطة تسارع الشحنة. إذا كنت ستنظر في الفصل 31 من المجلد. أنا ، سترى أن المعادلة. (31.9) هناك نفس المعادلة. (20.3) الذي كتبناه للتو. على الرغم من أن اشتقاقنا السابق كان صحيحًا فقط على مسافات كبيرة من المصدر ، فإننا نرى الآن أن نفس النتيجة لا تزال صحيحة حتى وصولاً إلى المصدر.

نريد الآن أن ننظر بطريقة عامة إلى سلوك المجالات الكهربائية والمغناطيسية في الفضاء الفارغ بعيدًا عن المصادر ، أي عن التيارات والشحنات. قريبة جدًا من المصادر - قريبة بدرجة كافية بحيث أنه أثناء التأخير في الإرسال ، لم يتح للمصدر الوقت للتغيير كثيرًا - الحقول هي نفسها إلى حد كبير كما وجدنا في ما أطلقنا عليه الحالات الكهروستاتيكية أو المغناطيسية. إذا ذهبنا إلى مسافات كبيرة بما يكفي بحيث تصبح التأخيرات مهمة ، فإن طبيعة الحقول يمكن أن تختلف اختلافًا جذريًا عن الحلول التي وجدناها. بمعنى ما ، تبدأ الحقول في اتخاذ شخصية خاصة بها عندما تقطع شوطًا طويلاً من جميع المصادر. لذا يمكننا أن نبدأ بمناقشة سلوك الحقول في منطقة لا توجد فيها تيارات أو رسوم.

في المساحة الخالية ، تفي الحقول الكهربائية $ FLPE $ و $ FLPB $ أيضًا بمعادلة الموجة. على سبيل المثال ، منذ $ FLPB = FLPcurl < FLPA> $ ، يمكننا الحصول على معادلة تفاضلية لـ $ FLPB $ بأخذ تجعيد المعادلة. (20.7). نظرًا لأن Laplacian هو عامل قياسي ، يمكن تبادل ترتيب عمليات Laplacian و curl: start FLPcurl <( nabla ^ 2 FLPA)> = nabla ^ 2 ( FLPcurl < FLPA>) = nabla ^ 2 FLPB. نهاية وبالمثل ، فإن ترتيب عمليات curl و $ ddpl <>يمكن استبدال $: start FLPcurl < frac <1>، فارك < جزئي ^ 2 FLPA> < جزئي t ^ 2 >> = فارك <1>، فارك < جزئي ^ 2> < جزئي t ^ 2> ( FLPcurl < FLPA>) = فارك <1> ، فارك < جزئي ^ 2 FLPB> < جزئي t ^ 2>. نهاية باستخدام هذه النتائج ، نحصل على المعادلة التفاضلية التالية لـ $ FLPB $: begin ضع الكلمة المناسبة nabla ^ 2 FLPB- frac <1> ، فارك < جزئي ^ 2 FLPB> < جزئي t ^ 2> = FLPzero. نهاية لذا فإن كل مكون من مكونات المجال المغناطيسي $ FLPB $ يفي بمعادلة الموجة ثلاثية الأبعاد. وبالمثل ، باستخدام حقيقة أن $ FLPE = - FLPgrad < phi> - ddpl < FLPA>$ ، يترتب على ذلك أن المجال الكهربائي $ FLPE $ في الفضاء الحر يفي أيضًا بمعادلة الموجة ثلاثية الأبعاد: start ضع الكلمة المناسبة nabla ^ 2 FLPE- frac <1> ، فارك < جزئي ^ 2 FLPE> < جزئي t ^ 2> = FLPzero. نهاية

تلبي جميع المجالات الكهرومغناطيسية لدينا نفس معادلة الموجة ، Eq. (20.8). قد نسأل: ما هو الحل الأكثر عمومية لهذه المعادلة؟ ومع ذلك ، بدلاً من معالجة هذا السؤال الصعب على الفور ، سننظر أولاً في ما يمكن قوله بشكل عام عن تلك الحلول التي لا يختلف فيها أي شيء في $ y $ و $ z $. (قم دائمًا بعمل حالة سهلة أولاً حتى تتمكن من رؤية ما سيحدث ، وبعد ذلك يمكنك الانتقال إلى الحالات الأكثر تعقيدًا.) لنفترض أن أحجام الحقول تعتمد فقط على $ x $ - حيث لا يوجد الاختلافات من الحقول التي تحتوي على $ y $ و $ z $. نحن ، بالطبع ، نفكر في الموجات المستوية مرة أخرى. يجب أن نتوقع الحصول على نتائج مثل تلك الموجودة في القسم السابق. في الواقع ، سنجد بالضبط نفس الإجابات. قد تسأل: "لماذا تفعل ذلك من جديد؟" من المهم القيام بذلك مرة أخرى ، أولاً ، لأننا لم نظهر أن الموجات التي وجدناها كانت الحلول الأكثر عمومية للموجات المستوية ، وثانيًا ، لأننا وجدنا الحقول من نوع معين جدًا من المصادر الحالية. نود أن نسأل الآن: ما هو النوع الأكثر عمومية من الموجات أحادية البعد التي يمكن أن توجد في الفضاء الحر؟ لا يمكننا العثور على ذلك من خلال رؤية ما يحدث لهذا المصدر أو ذاك ، ولكن يجب أن نعمل بمزيد من العمومية. كما سنعمل هذه المرة مع المعادلات التفاضلية بدلاً من الصيغ التكاملية. على الرغم من أننا سنحصل على نفس النتائج ، إلا أنها طريقة للتمرن ذهابًا وإيابًا لإظهار أنه لا يحدث أي فرق في الاتجاه الذي تسلكه. يجب أن تعرف كيفية القيام بالأشياء بكل طريقة ، لأنه عندما تواجه مشكلة صعبة ، ستجد غالبًا أن طريقة واحدة فقط من الطرق المختلفة يمكن تتبعها.

يمكننا النظر مباشرة في حل معادلة الموجة لبعض الكمية الكهرومغناطيسية. بدلاً من ذلك ، نريد أن نبدأ مباشرة من البداية مع معادلات ماكسويل في الفضاء الحر حتى تتمكن من رؤية علاقتها الوثيقة بالموجات الكهرومغناطيسية. لذلك نبدأ بالمعادلات الموجودة في (20.1) ، بحيث تكون الرسوم والتيارات مساوية للصفر. يصبحون يبدأون يبدأ <3> & نص&& FLPdiv < FLPE> & = & 0 [1ex] & text&& FLPcurl < FLPE> & = & - ddp < FLPB> [1ex] & text&& FLPdiv < FLPB> & = & 0 [1ex] & text& رباعي c ^ 2 & FLPcurl < FLPB> & = & ddp < FLPE> نهاية ضع الكلمة المناسبة نهاية

نكتب المعادلة الأولى في المكونات: start ضع الكلمة المناسبة FLPdiv < FLPE> = ddp+ ddp+ ddp= 0. نهاية نفترض أنه لا توجد اختلافات بين $ y $ و $ z $ ، لذا فإن آخر حدين هما صفر. تخبرنا هذه المعادلة أن ابدأ ضع الكلمة المناسبة ddp= 0. نهاية الحل هو أن $ E_x $ ، مكون المجال الكهربائي في الاتجاه $ x $ ، ثابت في الفضاء. إذا نظرت إلى IV في (20.12) ، بافتراض عدم وجود تباين $ FLPB $ في $ y $ و $ z $ أيضًا ، يمكنك أن ترى أن $ E_x $ ثابت أيضًا في الوقت المناسب. يمكن أن يكون هذا المجال هو مجال التيار المستمر الثابت من بعض لوحات المكثف المشحونة على بعد مسافة طويلة. لسنا مهتمين الآن بمثل هذا المجال الثابت غير المثير للاهتمام ، فنحن مهتمون في الوقت الحالي فقط بالمجالات المتغيرة ديناميكيًا. ل متحرك الحقول ، $ E_x = 0 دولار.

ثم لدينا النتيجة المهمة وهي انتشار الموجات المستوية في أي اتجاه ، يجب أن يكون المجال الكهربائي بزاوية قائمة لاتجاه الانتشار. بالطبع ، يمكن أن يختلف بطريقة معقدة باستخدام الإحداثيات $ x $.

يمكن دائمًا حل الحقل المستعرض $ FLPE $ إلى مكونين ، على سبيل المثال $ y $ - المكون والمكون $ z $. فلنعمل أولاً على إيجاد حالة يكون فيها المجال الكهربائي مكونًا عرضيًا واحدًا فقط. سنأخذ أولاً مجالًا كهربائيًا يكون دائمًا في الاتجاه $ y $ ، مع صفر $ z $ -component. من الواضح ، إذا حللنا هذه المشكلة ، يمكننا أيضًا حل الحالة التي يكون فيها المجال الكهربائي دائمًا في الاتجاه $ z $. يمكن دائمًا التعبير عن الحل العام على أنه تراكب حقلين من هذا القبيل.

ما مدى سهولة معادلاتنا الآن. المكون الوحيد للمجال الكهربائي الذي لا يساوي صفرًا هو $ E_y $ ، وجميع المشتقات - باستثناء تلك المتعلقة بـ $ x $ - هي صفر. ثم تصبح بقية معادلات ماكسويل بسيطة للغاية.

دعونا نلقي نظرة بعد ذلك على الثانية من معادلات ماكسويل [II من Eq. (20.12)]. كتابة مكونات curl $ FLPE $ ، لقد بدأنا <4> & ( FLPcurl < FLPE>) _ x && = ddp&& - ddp&& = 0، [1.5ex] & ( FLPcurl < FLPE>) _ y && = ddp&& - ddp&& = 0، [1.5ex] & ( FLPcurl < FLPE>) _ z && = ddp&& - ddp&& = ddp. نهاية المكون $ x $ لـ $ FLPcurl < FLPE> $ هو صفر لأن المشتقات المتعلقة بـ $ y $ و $ z $ تساوي صفرًا. المكوّن $ y $ هو أيضًا صفر ، المصطلح الأول هو صفر لأن المشتقة بالنسبة إلى $ z $ صفر ، والمصطلح الثاني هو صفر لأن $ E_z $ يساوي صفرًا. المكونات الوحيدة في curl $ FLPE $ التي لا تساوي صفرًا هي $ z $ -component ، والتي تساوي $ ddpl$. تعيين المكونات الثلاثة لـ $ FLPcurl < FLPE> $ تساوي المكونات المقابلة لـ $ - ddpl < FLPB>$ ، يمكننا استنتاج ما يلي: start ضع الكلمة المناسبة & ddp= 0 ، رباعي ddp=0.[1ex] label &ddp=-ddp. نهاية Since the $x$-component of the magnetic field and the $y$-component of the magnetic field both have zero time derivatives, these two components are just constant fields and correspond to the magnetostatic solutions we found earlier. Somebody may have left some permanent magnets near where the waves are propagating. We will ignore these constant fields and set $B_x$ and $B_y$ equal to zero.

Incidentally, we would already have concluded that the $x$-component of $FLPB$ should be zero for a different reason. Since the divergence of $FLPB$ is zero (from the third Maxwell equation), applying the same arguments we used above for the electric field, we would conclude that the longitudinal component of the magnetic field can have no variation with $x$. Since we are ignoring such uniform fields in our wave solutions, we would have set $B_x$ equal to zero. In plane electromagnetic waves the $FLPB$-field, as well as the $FLPE$-field, must be directed at right angles to the direction of propagation.

Equation (20.16) gives us the additional proposition that if the electric field has only a $y$-component, the magnetic field will have only a $z$-component. So $FLPE$ and $FLPB$ are at right angles لبعضهم البعض. This is exactly what happened in the special wave we have already considered.

We are now ready to use the last of Maxwell’s equations for free space [IV of Eq. (20.12)]. Writing out the components, we have egin يبدأ <4>&c^2(FLPcurl)_x&&= c^2,ddp&&-c^2,ddp&&=ddp,[1ex] &c^2(FLPcurl)_y&&= c^2,ddp&&-c^2,ddp&&=ddp,[1ex] &c^2(FLPcurl)_z&&= c^2,ddp&&-c^2,ddp&&=ddp. نهاية ضع الكلمة المناسبة نهاية Of the six derivatives of the components of $FLPB$, only the term $ddpl$ is not equal to zero. So the three equations give us simply egin ضع الكلمة المناسبة -c^2,ddp=ddp. نهاية

The result of all our work is that only one component each of the electric and magnetic fields is not zero, and that these components must satisfy Eqs. (20.16) and (20.18). The two equations can be combined into one if we differentiate the first with respect to $x$ and the second with respect to $t$ the left-hand sides of the two equations will then be the same (except for the factor $c^2$). So we find that $E_y$ satisfies the equation egin ضع الكلمة المناسبة frac-frac<1>,frac=0. نهاية We have seen the same differential equation before, when we studied the propagation of sound. It is the wave equation for one-dimensional waves.

You should note that in the process of our derivation we have found something أكثر than is contained in Eq. (20.11). Maxwell’s equations have given us the further information that electromagnetic waves have field components only at right angles to the direction of the wave propagation.

Let’s review what we know about the solutions of the one-dimensional wave equation. If any quantity $psi$ satisfies the one-dimensional wave equation egin ضع الكلمة المناسبة frac-frac<1>,frac=0, end then one possible solution is a function $psi(x,t)$ of the form egin ضع الكلمة المناسبة psi(x,t)=f(x-ct), end that is, some function of the أعزب variable $(x-ct)$. The function $f(x-ct)$ represents a “rigid” pattern in $x$ which travels toward positive $x$ at the speed $c$ (see Fig. 20–4). For example, if the function $f$ has a maximum when its argument is zero, then for $t=0$ the maximum of $psi$, will occur at $x=0$. At some later time, say $t=10$, $psi$ will have its maximum at $x=10c$. As time goes on, the maximum moves toward positive $x$ at the speed $c$.

Sometimes it is more convenient to say that a solution of the one-dimensional wave equation is a function of $(t-x/c)$. However, this is saying the same thing, because any function of $(t-x/c)$ is also a function of $(x-ct)$: egin F(t-x/c)=Figgl[-fraciggr]=f(x-ct). نهاية

Let’s show that $f(x-ct)$ is indeed a solution of the wave equation. Since it is a function of only one variable—the variable $(x-ct)$—we will let $f'$ represent the derivative of $f$ with respect to its variable and $f''$ represent the second derivative of $f$. Differentiating Eq. (20.21) with respect to $x$, we have egin ddp=f'(x-ct), end since the derivative of $(x-ct)$ with respect to $x$ is $1$. The second derivative of $psi$, with respect to $x$ is clearly egin ضع الكلمة المناسبة frac=f''(x-ct). نهاية Taking derivatives of $psi$ with respect to $t$, we find egin &ddp=f'(x-ct)(-c), otag[1.5ex] label &frac=+c^2f''(x-ct). نهاية We see that $psi$ does indeed satisfy the one-dimensional wave equation.

You may be wondering: “If I have the wave equation, how do I know that I should take $f(x-ct)$ as a solution? I don’t like this backward method. Isn’t there some إلى الأمام way to find the solution?” Well, one good forward way is to know the solution. It is possible to “cook up” an apparently forward mathematical argument, especially because we know what the solution is supposed to be, but with an equation as simple as this we don’t have to play games. Soon you will get so that when you see Eq. (20.20), you nearly simultaneously see $psi=f(x-ct)$ as a solution. (Just as now when you see the integral of $x^2,dx$, you know right away that the answer is $x^3/3$.)

Actually you should also see a little more. Not only is any function of $(x-ct)$ a solution, but any function of $(x+ct)$ is also a solution. Since the wave equation contains only $c^2$, changing the sign of $c$ makes no difference. في الواقع، فإن most general solution of the one-dimensional wave equation is the sum of two arbitrary functions, one of $(x-ct)$ and the other of $(x+ct)$: egin ضع الكلمة المناسبة psi=f(x-ct)+g(x+ct). نهاية The first term represents a wave travelling toward positive $x$, and the second term an arbitrary wave travelling toward negative $x$. The general solution is the superposition of two such waves both existing at the same time.

We will leave the following amusing question for you to think about. Take a function $psi$ of the following form: egin psi=cos kxcos kct. نهاية This equation isn’t in the form of a function of $(x-ct)$ or of $(x+ct)$. Yet you can easily show that this function is a solution of the wave equation by direct substitution into Eq. (20.20). How can we then say that the general solution is of the form of Eq. (20.24)?

Applying our conclusions about the solution of the wave equation to the $y$-component of the electric field, $E_y$, we conclude that $E_y$ can vary with $x$ in any arbitrary fashion. However, the fields which do exist can always be considered as the sum of two patterns. One wave is sailing through space in one direction with speed $c$, with an associated magnetic field perpendicular to the electric field another wave is travelling in the opposite direction with the same speed. Such waves correspond to the electromagnetic waves that we know about—light, radiowaves, infrared radiation, ultraviolet radiation, x-rays, and so on. We have already discussed the radiation of light in great detail in Vol. I. Since everything we learned there applies to any electromagnetic wave, we don’t need to consider in great detail here the behavior of these waves.

We should perhaps make a few further remarks on the question of the polarization of the electromagnetic waves. In our solution we chose to consider the special case in which the electric field has only a $y$-component. There is clearly another solution for waves travelling in the plus or minus $x$-direction, with an electric field which has only a $z$-component. Since Maxwell’s equations are linear, the general solution for one-dimensional waves propagating in the $x$-direction is the sum of waves of $E_y$ and waves of $E_z$. This general solution is summarized in the following equations: egin يبدأ FLPE&=(0,E_y,E_z)[.5ex] E_y&=f(x-ct)+g(x+ct)[.5ex] E_z&=F(x-ct)+G(x+ct)[1ex] FLPB&=(0,B_y,B_z)[.5ex] cB_z&=f(x-ct)-g(x+ct)[.5ex] cB_y&=-F(x-ct)+G(x+ct). نهاية ضع الكلمة المناسبة نهاية Such electromagnetic waves have an $FLPE$-vector whose direction is not constant but which gyrates around in some arbitrary way in the $yz$-plane. At every point the magnetic field is always perpendicular to the electric field and to the direction of propagation.

If there are only waves travelling in one direction, say the positive $x$-direction, there is a simple rule which tells the relative orientation of the electric and magnetic fields. The rule is that the cross product $FLPE imesFLPB$—which is, of course, a vector at right angles to both $FLPE$ and $FLPB$—points in the direction in which the wave is travelling. If $FLPE$ is rotated into $FLPB$ by a right-hand screw, the screw points in the direction of the wave velocity. (We shall see later that the vector $FLPE imesFLPB$ has a special physical significance: it is a vector which describes the flow of energy in an electromagnetic field.)

20–2 Three-dimensional waves

We want now to turn to the subject of three-dimensional waves. We have already seen that the vector $FLPE$ satisfies the wave equation. It is also easy to arrive at the same conclusion by arguing directly from Maxwell’s equations. Suppose we start with the equation egin FLPcurl=-ddp نهاية and take the curl of both sides: egin ضع الكلمة المناسبة FLPcurl<(FLPcurl)>=-ddp<>(FLPcurl). نهاية You will remember that the curl of the curl of any vector can be written as the sum of two terms, one involving the divergence and the other the Laplacian, egin FLPcurl<(FLPcurl)>=FLPgrad<(FLPdiv)>- abla^2FLPE. نهاية In free space, however, the divergence of $FLPE$ is zero, so only the Laplacian term remains. Also, from the fourth of Maxwell’s equations in free space [Eq. (20.12)] the time derivative of $c^2,FLPcurl$ is the second derivative of $FLPE$ with respect to $t$: egin c^2,ddp<>(FLPcurl)=frac. نهاية Equation (20.26) then becomes egin abla^2FLPE=frac<1>,frac, end which is the three-dimensional wave equation. Written out in all its glory, this equation is, of course, egin ضع الكلمة المناسبة frac+ frac+ frac- frac<1>,frac=FLPzero. نهاية

How shall we find the general wave solution? The answer is that all the solutions of the three-dimensional wave equation can be represented as a superposition of the one-dimensional solutions we have already found. We obtained the equation for waves which move in the $x$-direction by supposing that the field did not depend on $y$ and $z$. Obviously, there are other solutions in which the fields do not depend on $x$ and $z$, representing waves going in the $y$-direction. Then there are solutions which do not depend on $x$ and $y$, representing waves travelling in the $z$-direction. Or in general, since we have written our equations in vector form, the three-dimensional wave equation can have solutions which are plane waves moving in any direction at all. Again, since the equations are linear, we may have simultaneously as many plane waves as we wish, travelling in as many different directions. Thus the most general solution of the three-dimensional wave equation is a superposition of all sorts of plane waves moving in all sorts of directions.

Try to imagine what the electric and magnetic fields look like at present in the space in this lecture room. First of all, there is a steady magnetic field it comes from the currents in the interior of the earth—that is, the earth’s steady magnetic field. Then there are some irregular, nearly static electric fields produced perhaps by electric charges generated by friction as various people move about in their chairs and rub their coat sleeves against the chair arms. Then there are other magnetic fields produced by oscillating currents in the electrical wiring—fields which vary at a frequency of $60$ cycles per second, in synchronism with the generator at Boulder Dam. But more interesting are the electric and magnetic fields varying at much higher frequencies. For instance, as light travels from window to floor and wall to wall, there are little wiggles of the electric and magnetic fields moving along at $186<,>000$ miles per second. Then there are also infrared waves travelling from the warm foreheads to the cold blackboard. And we have forgotten the ultraviolet light, the x-rays, and the radiowaves travelling through the room.

Flying across the room are electromagnetic waves which carry music of a jazz band. There are waves modulated by a series of impulses representing pictures of events going on in other parts of the world, or of imaginary aspirins dissolving in imaginary stomachs. To demonstrate the reality of these waves it is only necessary to turn on electronic equipment that converts these waves into pictures and sounds.

If we go into further detail to analyze even the smallest wiggles, there are tiny electromagnetic waves that have come into the room from enormous distances. There are now tiny oscillations of the electric field, whose crests are separated by a distance of one foot, that have come from millions of miles away, transmitted to the earth from the Mariner II space craft which has just passed Venus. Its signals carry summaries of information it has picked up about the planets (information obtained from electromagnetic waves that travelled from the planet to the space craft).

There are very tiny wiggles of the electric and magnetic fields that are waves which originated billions of light years away—from galaxies in the remotest corners of the universe. That this is true has been found by “filling the room with wires”—by building antennas as large as this room. Such radiowaves have been detected from places in space beyond the range of the greatest optical telescopes. Even they, the optical telescopes, are simply gatherers of electromagnetic waves. What we call the stars are only inferences, inferences drawn from the only physical reality we have yet gotten from them—from a careful study of the unendingly complex undulations of the electric and magnetic fields reaching us on earth.

There is, of course, more: the fields produced by lightning miles away, the fields of the charged cosmic ray particles as they zip through the room, and more, and more. What a complicated thing is the electric field in the space around you! Yet it always satisfies the three-dimensional wave equation.

20–3 Scientific imagination

I have asked you to imagine these electric and magnetic fields. ماذا تفعل؟ Do you know how? كيف أنا imagine the electric and magnetic field? ماذا أنا actually see? What are the demands of scientific imagination? Is it any different from trying to imagine that the room is full of invisible angels? No, it is not like imagining invisible angels. It requires a much higher degree of imagination to understand the electromagnetic field than to understand invisible angels. لماذا ا؟ Because to make invisible angels understandable, all I have to do is to alter their properties قليلا—I make them slightly visible, and then I can see the shapes of their wings, and bodies, and halos. Once I succeed in imagining a visible angel, the abstraction required—which is to take almost invisible angels and imagine them completely invisible—is relatively easy. So you say, “Professor, please give me an approximate description of the electromagnetic waves, even though it may be slightly inaccurate, so that I too can see them as well as I can see almost invisible angels. Then I will modify the picture to the necessary abstraction.”

I’m sorry I can’t do that for you. I don’t know how. I have no picture of this electromagnetic field that is in any sense accurate. I have known about the electromagnetic field a long time—I was in the same position 25 years ago that you are now, and I have had 25 years more of experience thinking about these wiggling waves. When I start describing the magnetic field moving through space, I speak of the $FLPE$- and $FLPB$-fields and wave my arms and you may imagine that I can see them. I’ll tell you what I see. I see some kind of vague shadowy, wiggling lines—here and there is an $E$ and $B$ written on them somehow, and perhaps some of the lines have arrows on them—an arrow here or there which disappears when I look too closely at it. When I talk about the fields swishing through space, I have a terrible confusion between the symbols I use to describe the objects and the objects themselves. I cannot really make a picture that is even nearly like the true waves. So if you have some difficulty in making such a picture, you should not be worried that your difficulty is unusual.

Our science makes terrific demands on the imagination. The degree of imagination that is required is much more extreme than that required for some of the ancient ideas. The modern ideas are much harder to imagine. We use a lot of tools, though. We use mathematical equations and rules, and make a lot of pictures. What I realize now is that when I talk about the electromagnetic field in space, I see some kind of a superposition of all of the diagrams which I’ve ever seen drawn about them. I don’t see little bundles of field lines running about because it worries me that if I ran at a different speed the bundles would disappear, I don’t even always see the electric and magnetic fields because sometimes I think I should have made a picture with the vector potential and the scalar potential, for those were perhaps the more physically significant things that were wiggling.

Perhaps the only hope, you say, is to take a mathematical view. Now what is a mathematical view? From a mathematical view, there is an electric field vector and a magnetic field vector at every point in space that is, there are six numbers associated with every point. Can you imagine six numbers associated with each point in space? That’s too hard. Can you imagine even واحد number associated with every point? I cannot! I can imagine such a thing as the temperature at every point in space. That seems to be understandable. There is a hotness and coldness that varies from place to place. But I honestly do not understand the idea of a عدد at every point.

So perhaps we should put the question: Can we represent the electric field by something more like a temperature, say like the displacement of a piece of jello? Suppose that we were to begin by imagining that the world was filled with thin jello and that the fields represented some distortion—say a stretching or twisting—of the jello. Then we could visualize the field. After we “see” what it is like we could abstract the jello away. For many years that’s what people tried to do. Maxwell, Ampère, Faraday, and others tried to understand electromagnetism this way. (Sometimes they called the abstract jello “ether.”) But it turned out that the attempt to imagine the electromagnetic field in that way was really standing in the way of progress. We are unfortunately limited to abstractions, to using instruments to detect the field, to using mathematical symbols to describe the field, etc. But nevertheless, in some sense the fields are real, because after we are all finished fiddling around with mathematical equations—with or without making pictures and drawings or trying to visualize the thing—we can still make the instruments detect the signals from Mariner II and find out about galaxies a billion miles away, and so on.

The whole question of imagination in science is often misunderstood by people in other disciplines. They try to test our imagination in the following way. They say, “Here is a picture of some people in a situation. What do you imagine will happen next?” When we say, “I can’t imagine,” they may think we have a weak imagination. They overlook the fact that whatever we are مسموح to imagine in science must be consistent with everything else we know: that the electric fields and the waves we talk about are not just some happy thoughts which we are free to make as we wish, but ideas which must be consistent with all the laws of physics we know. We can’t allow ourselves to seriously imagine things which are obviously in contradiction to the known laws of nature. And so our kind of imagination is quite a difficult game. One has to have the imagination to think of something that has never been seen before, never been heard of before. At the same time the thoughts are restricted in a strait jacket, so to speak, limited by the conditions that come from our knowledge of the way nature really is. The problem of creating something which is new, but which is consistent with everything which has been seen before, is one of extreme difficulty.

While I’m on this subject I want to talk about whether it will ever be possible to imagine beauty that we can’t يرى. It is an interesting question. When we look at a rainbow, it looks beautiful to us. Everybody says, “Ooh, a rainbow.” (You see how scientific I am. I am afraid to say something is beautiful unless I have an experimental way of defining it.) But how would we describe a rainbow if we were blind? نحن نكون blind when we measure the infrared reflection coefficient of sodium chloride, or when we talk about the frequency of the waves that are coming from some galaxy that we can’t see—we make a diagram, we make a plot. For instance, for the rainbow, such a plot would be the intensity of radiation vs. wavelength measured with a spectrophotometer for each direction in the sky. Generally, such measurements would give a curve that was rather flat. Then some day, someone would discover that for certain conditions of the weather, and at certain angles in the sky, the spectrum of intensity as a function of wavelength would behave strangely it would have a bump. As the angle of the instrument was varied only a little bit, the maximum of the bump would move from one wavelength to another. Then one day the physical review of the blind men might publish a technical article with the title “The Intensity of Radiation as a Function of Angle under Certain Conditions of the Weather.” In this article there might appear a graph such as the one in Fig. 20–5. The author would perhaps remark that at the larger angles there was more radiation at long wavelengths, whereas for the smaller angles the maximum in the radiation came at shorter wavelengths. (From our point of view, we would say that the light at $40^circ$ is predominantly green and the light at $42^circ$ is predominantly red.)

Now do we find the graph of Fig. 20–5 beautiful? It contains much more detail than we apprehend when we look at a rainbow, because our eyes cannot see the exact details in the shape of a spectrum. The eye, however, finds the rainbow beautiful. Do we have enough imagination to see in the spectral curves the same beauty we see when we look directly at the rainbow? I don’t know.

But suppose I have a graph of the reflection coefficient of a sodium chloride crystal as a function of wavelength in the infrared, and also as a function of angle. I would have a representation of how it would look to my eyes if they could see in the infrared—perhaps some glowing, shiny “green,” mixed with reflections from the surface in a “metallic red.” That would be a beautiful thing, but I don’t know whether I can ever look at a graph of the reflection coefficient of NaCl measured with some instrument and say that it has the same beauty.

On the other hand, even if we cannot see beauty in particular measured results, we تستطيع already claim to see a certain beauty in the equations which describe general physical laws. For example, in the wave equation (20.9), there’s something nice about the regularity of the appearance of the $x$, the $y$, the $z$, and the $t$. And this nice symmetry in appearance of the $x$, $y$, $z$, and $t$ suggests to the mind still a greater beauty which has to do with the four dimensions, the possibility that space has four-dimensional symmetry, the possibility of analyzing that and the developments of the special theory of relativity. So there is plenty of intellectual beauty associated with the equations.

20–4 Spherical waves

We have seen that there are solutions of the wave equation which correspond to plane waves, and that any electromagnetic wave can be described as a superposition of many plane waves. In certain special cases, however, it is more convenient to describe the wave field in a different mathematical form. We would like to discuss now the theory of spherical waves—waves which correspond to spherical surfaces that are spreading out from some center. When you drop a stone into a lake, the ripples spread out in circular waves on the surface—they are two-dimensional waves. A spherical wave is a similar thing except that it spreads out in three dimensions.

Before we start describing spherical waves, we need a little mathematics. Suppose we have a function that depends only on the radial distance $r$ from a certain origin—in other words, a function that is spherically symmetric. Let’s call the function $psi(r)$, where by $r$ we mean egin r=sqrt, end the radial distance from the origin. In order to find out what functions $psi(r)$ satisfy the wave equation, we will need an expression for the Laplacian of $psi$. So we want to find the sum of the second derivatives of $psi$ with respect to $x$, $y$, and $z$. We will use the notation that $psi'(r)$ represents the derivative of $psi$ with respect to $r$ and $psi''(r)$ represents the second derivative of $psi$ with respect to $r$.

The Laplacian is the sum of these three derivatives. Remembering that $x^2+y^2+z^2=r^2$, we get egin ضع الكلمة المناسبة abla^2psi(r)=psi''(r)+frac<2>,psi'(r). نهاية It is often more convenient to write this equation in the following form: egin ضع الكلمة المناسبة abla^2psi(r)=frac<1>,frac(rpsi). نهاية If you carry out the differentiation indicated in Eq. (20.32), you will see that the right-hand side is the same as in Eq. (20.31).

If we wish to consider spherically symmetric fields which can propagate as spherical waves, our field quantity must be a function of both $r$ and $t$. Suppose we ask, then, what functions $psi(r,t)$ are solutions of the three-dimensional wave equation egin ضع الكلمة المناسبة abla^2psi(r,t)-frac<1>, frac,psi(r,t)=0. نهاية Since $psi(r,t)$ depends only on the spatial coordinates through $r$, we can use the equation for the Laplacian we found above, Eq. (20.32). To be precise, however, since $psi$ is also a function of $t$, we should write the derivatives with respect to $r$ as partial derivatives. Then the wave equation becomes egin frac<1>,frac,(rpsi)- frac<1>,frac,psi=0. نهاية

We must now solve this equation, which appears to be much more complicated than the plane wave case. But notice that if we multiply this equation by $r$, we get egin ضع الكلمة المناسبة frac,(rpsi)- frac<1>,frac,(rpsi)=0. نهاية This equation tells us that the function $rpsi$ satisfies the one-dimensional wave equation in the variable $r$. Using the general principle which we have emphasized so often, that the same equations always have the same solutions, we know that if $rpsi$ is a function only of $(r-ct)$ then it will be a solution of Eq. (20.34). So we know that spherical waves must have the form egin rpsi(r,t)=f(r-ct). نهاية Or, as we have seen before, we can equally well say that $rpsi$ can have the form egin rpsi=f(t-r/c). نهاية Dividing by $r$, we find that the field quantity $psi$ (whatever it may be) has the following form: egin ضع الكلمة المناسبة psi=frac. نهاية Such a function represents a general spherical wave travelling outward from the origin at the speed $c$. If we forget about the $r$ in the denominator for a moment, the amplitude of the wave as a function of the distance from the origin at a given time has a certain shape that travels outward at the speed $c$. The factor $r$ in the denominator, however, says that the amplitude of the wave decreases in proportion to $1/r$ as the wave propagates. In other words, unlike a plane wave in which the amplitude remains constant as the wave runs along, in a spherical wave the amplitude steadily decreases, as shown in Fig. 20–6. This effect is easy to understand from a simple physical argument.

We know that the energy density in a wave depends on the square of the wave amplitude. As the wave spreads, its energy is spread over larger and larger areas proportional to the radial distance squared. If the total energy is conserved, the energy density must fall as $1/r^2$, and the amplitude of the wave must decrease as $1/r$. So Eq. (20.35) is the “reasonable” form for a spherical wave.

We have disregarded the second possible solution to the one-dimensional wave equation: egin rpsi=g(t+r/c), end or egin psi=frac. نهاية This also represents a spherical wave, but one which travels inward from large $r$ toward the origin.

We are now going to make a special assumption. We say, without any demonstration whatever, that the waves generated by a source are only the waves which go outward. Since we know that waves are caused by the motion of charges, we want to think that the waves proceed outward from the charges. It would be rather strange to imagine that before charges were set in motion, a spherical wave started out from infinity and arrived at the charges just at the time they began to move. That is a possible solution, but experience shows that when charges are accelerated the waves travel outward from the charges. Although Maxwell’s equations would allow either possibility, we will put in an additional fact—based on experience—that only the outgoing wave solution makes “physical sense.”

We should remark, however, that there is an interesting consequence to this additional assumption: we are removing the symmetry with respect to time that exists in Maxwell’s equations. The original equations for $FLPE$ and $FLPB$, and also the wave equations we derived from them, have the property that if we change the sign of $t$, the equation is unchanged. These equations say that for every solution corresponding to a wave going in one direction there is an equally valid solution for a wave travelling in the opposite direction. Our statement that we will consider only the outgoing spherical waves is an important additional assumption. (A formulation of electrodynamics in which this additional assumption is avoided has been carefully studied. Surprisingly, in many circumstances it does ليس lead to physically absurd conclusions, but it would take us too far astray to discuss these ideas just now. We will talk about them a little more in Chapter 28.)

We must mention another important point. In our solution for an outgoing wave, Eq. (20.35), the function $psi$ is infinite at the origin. That is somewhat peculiar. We would like to have a wave solution which is smooth everywhere. Our solution must represent physically a situation in which there is some source at the origin. In other words, we have inadvertently made a mistake. We have not solved the free wave equation (20.33) في كل مكان we have solved Eq. (20.33) with zero on the right everywhere, except at the origin. Our mistake crept in because some of the steps in our derivation are not “legal” when $r=0$.

Let’s show that it is easy to make the same kind of mistake in an electrostatic problem. Suppose we want a solution of the equation for an electrostatic potential in free space, $ abla^2phi=0$. The Laplacian is equal to zero, because we are assuming that there are no charges anywhere. But what about a spherically symmetric solution to this equation—that is, some function $phi$ that depends only on $r$. Using the formula of Eq. (20.32) for the Laplacian, we have egin frac<1>,frac,(rphi)=0. نهاية Multiplying this equation by $r$, we have an equation which is readily integrated: egin فارك,(rphi)=0. نهاية If we integrate once with respect to $r$, we find that the first derivative of $rphi$ is a constant, which we may call $a$: egin ddt<>,(rphi)=a. نهاية Integrating again, we find that $rphi$ is of the form egin rphi=ar+b, end where $b$ is another constant of integration. So we have found that the following $phi$ is a solution for the electrostatic potential in free space: egin phi=a+frac. نهاية

Something is evidently wrong. In the region where there are no electric charges, we know the solution for the electrostatic potential: the potential is everywhere a constant. That corresponds to the first term in our solution. But we also have the second term, which says that there is a contribution to the potential that varies as one over the distance from the origin. We know, however, that such a potential corresponds to a point charge at the origin. So, although we thought we were solving for the potential in free space, our solution also gives the field for a point source at the origin. Do you see the similarity between what happened now and what happened when we solved for a spherically symmetric solution to the wave equation? If there were really no charges or currents at the origin, there would not be spherical outgoing waves. The spherical waves must, of course, be produced by sources at the origin. In the next chapter we will investigate the connection between the outgoing electromagnetic waves and the currents and voltages which produce them.


The possibilities for the solution set of a system of linear equations

An $m imes n$ system of linear equations هو
يبدأ ag<*>
a_ <1 1>x_1+a_<1 2>x_2+cdots+a_<1 n>x_n& =b_1
a_ <2 1>x_1+a_<2 2>x_2+cdots+a_<2 n>x_n& =b_2
a_ <3 1>x_1+a_<3 2>x_2+cdots+a_<3 n>x_n& =b_3
vdots qquad qquad cdotsqquad qquad &vdots
a_ x_1+a_x_2+cdots+a_x_n& =b_m,
نهاية
where $x_1, x_2, dots, x_n$ are unknowns (variables) and $a_, b_k$ are numbers.
Thus an $m imes n$ system of linear equations consists of $m$ equations and $n$ unknowns $x_1, x_2, dots, x_n$.
A system of linear equations is called homogeneous if the constants $b_1, b_2, dots, b_m$ are all zero. Namely, a homogeneous system is
يبدأ
a_ <1 1>x_1+a_<1 2>x_2+cdots+a_<1 n>x_n& =0
a_ <2 1>x_1+a_<2 2>x_2+cdots+a_<2 n>x_n& =0
a_ <3 1> x_1 + a_ <3 2> x_2 + cdots + a_ <3 n> x_n & # 038 = 0
vdots qquad qquad cdots qquad qquad & # 038 vdots
أ_ x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n & # 038 = 0.
نهاية
أ المحلول النظام (*) عبارة عن سلسلة من الأرقام $ s_1، s_2، dots، s_n $ بحيث أن الاستبدال $ x_1 = s_1، x_2 = s_2، dots، x_n = s_n $ يفي بجميع المعادلات $ m $ في النظام (*).
نستخدم أحيانًا ترميز المتجه ونقول
[ mathbf= ابدأ
x_1
x_2
vdots
x_n
نهاية= ابدأ
s_1
s_2
vdots
s_n
نهاية] هو أحد حلول النظام.
على سبيل المثال ، كل نظام متجانس له الامتداد حل صفر $ x_1 = 0 ، x_2 = 0 ، dots ، x_n = 0 $ ، أو
[ mathbf= ابدأ
0 \
0 \
vdots
0
نهاية. ] نلخص هنا عدة نظريات تتعلق بإمكانيات عدد حلول نظام المعادلات الخطية.

نقول أن النظام هو ثابتة إذا كان لدى النظام حل واحد على الأقل.
نظام يسمى تتعارض إذا لم يكن لدى النظام حلول على الإطلاق.

وبالتالي ، على سبيل المثال ، إذا وجدنا حلين متميزين لنظام ما ، فإنه يتبع من النظرية أن هناك عددًا لا نهائيًا من الحلول للنظام.

بعد ذلك ، نظرًا لأن النظام المتجانس لديه الحل الصفري ، فهو دائمًا ثابت. هكذا:

دعونا نحسن هذه النظريات. افترض أنه تم توفير نظام المعادلات الخطية $ m times n $. أي أن هناك معادلات خطية $ m $ و $ n $ غير معروف.


حل. دعنا نستخدم الصيغة

د = |2·0 + 4·3 + (-4)·6 - 6| = |0 + 12 - 24 - 6| = |- 18| = 3
√ 4 + 16 + 16 √ 36 6

إجابه: المسافة من نقطة إلى مستوى تساوي 3.

مرحبا بكم في OnlineMSchool. مالك موقع الويب هذا هو عالم الرياضيات Dovzhyk Mykhailo. لقد صممت موقع الويب هذا وكتبت جميع النظريات الرياضية والتمارين والصيغ والآلات الحاسبة عبر الإنترنت.


يمكنك إدخال أعداد صحيحة أو كسور فقط في هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت. اقرأ المزيد من المعلومات المتعمقة في هذه القواعد.

طائرة هو سطح يحتوي على كل خط مستقيم بالكامل ، يربط بين أي نقاط له.

يمكن العثور على معادلة المستوى بالطرق التالية:

    إذا كانت إحداثيات النقاط الثلاث A (x 1، ذ 1، ض 1) ، ب (x 2، ذ 2، ض 2) و C (x 3، ذ 3، ض 3) الكذب على مستوٍ ثم يمكن إيجاد معادلة المستوى باستخدام الصيغة التالية

يمكنك فقط إدخال أعداد صحيحة أو كسور عشرية أو كسور في هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت (-2.4 ، 5/7 ،.). اقرأ المزيد من المعلومات المتعمقة في هذه القواعد.


1.5E: تمارين لمعادلات الخطوط والمستويات في الفضاء - الرياضيات

الهندسة هو فرع الرياضيات الذي يتعامل مع أشكال وزوايا وقياسات ونسب الأشياء العادية. توجد أشكال ثنائية الأبعاد وأشكال ثلاثية الأبعاد في الهندسة الإقليدية. الأشكال المسطحة عبارة عن شكلين في الهندسة المستوية يتضمنان مثلثات ومربعات ومستطيلات ودوائر. تُعرف الأشكال ثلاثية الأبعاد مثل المربع والمكعب والمخروط وما إلى ذلك أيضًا باسم المواد الصلبة في الهندسة الصلبة. تعتمد الهندسة الأساسية على النقاط والخطوط والمستويات ، كما هو موضح في هندسة الإحداثيات.

تساعدنا الأشكال المختلفة للأشكال في الهندسة على فهم الأشكال التي نراها في حياتنا اليومية. يمكننا قياس مجال الأشكال ومحيطها وحجمها باستخدام المبادئ الهندسية.

قائمة المحتويات

الهندسة المستوية

تهتم هندسة الطائرة بالمنصات التي يمكن رسمها على الورق. الخطوط والدوائر والمثلثات ذات البعدين هي أمثلة. هندسة الطائرة هي اسم آخر للهندسة ثنائية الأبعاد. جميع الأشكال ثنائية الأبعاد لها بعدين فقط: الطول والعرض. لا يأخذ في الاعتبار عمق الأشكال. تحتوي الأشكال المستوية على مربعات ومثلثات ومستطيلات ودوائر وما إلى ذلك. أي من المصطلحات الأساسية في هندسة الطائرة موصوفة هنا في المقالات التالية: