مقالات

5.4E: حقول المتجهات المحافظة (تمارين) - الرياضيات


1. حقيقي أو خطأ شنيع؟ إذا كان حقل المتجه ( vecs F ) محافظًا على المنطقة المفتوحة والمتصلة (D ) ، فإن تكاملات الخط ( vecs F ) هي مسار مستقل على (D ) ، بغض النظر عن شكل (د).

إجابه:
حقيقي

2. حقيقي أو خطأ شنيع؟ الوظيفة ( vecs r (t) = vecs a + t ( vecs b− vecs a) ) ، حيث (0≤t≤1 ) ، يحدد معلمات مقطع الخط المستقيم من ( vecs a ) إلى ( vecs ب ).

إجابه:
حقيقي

3. حقيقي أو خطأ شنيع؟ حقل المتجه ( vecs F (x، y، z) = (y sin z) ، mathbf { hat i} + (x sin z) ، mathbf { hat j} + (xy cos z) ، mathbf { hat k} ) محافظ.

إجابه:
حقيقي

4. حقيقي أو خطأ شنيع؟ حقل المتجه ( vecs F (x، y، z) = y ، mathbf { hat i} + (x + z) ، mathbf { hat j} −y ، mathbf { hat k } ) محافظ.

5. قم بتبرير النظرية الأساسية لتكامل الخط من أجل ( displaystyle int _C vecs F · d vecs r ) في الحالة عندما ( vecs {F} (x، y) = (2x + 2y) ، mathbf { hat i} + (2x + 2y) ، mathbf { hat j} ) و (C ) جزء من الدائرة الموجبة بشكل إيجابي (x ^ 2 + y ^ 2 = 25 ) من ((5، 0) ) إلى ((3، 4). )

إجابه:
( displaystyle int _C vecs F · d vecs r = 24 ) وحدات العمل

6. [T] أوجد ( displaystyle int _C vecs F · d vecs r، ) حيث ( vecs {F} (x، y) = (ye ^ {xy} + cos x)، mathbf { قبعة i} + left (xe ^ {xy} + frac {1} {y ^ 2 + 1} right) ، mathbf { hat j} ) و (C ) جزء من المنحنى (y = sin x ) من (x = 0 ) إلى (x = frac {π} {2} ).

7. [T] تقييم تكامل الخط ( displaystyle int _C vecs F · d vecs r ) حيث ( vecs {F} (x، y) = (e ^ x sin y y y) mathbf { hat i} + (e ^ x cos y − x − 2) ، mathbf { hat j} ) ، و (C ) هو المسار المعطى بواسطة ( vecs r (t) = ( t ^ 3 sin frac {πt} {2}) ، mathbf { hat i} - ( frac {π} {2} cos ( frac {πt} {2} + frac {π} {2})) ، mathbf { hat j} ) لـ (0≤t≤1 ).

إجابه:
( displaystyle int _C vecs F · d vecs r = left (e− frac {3π} {2} right) ) وحدات العمل

بالنسبة للتمارين التالية ، حدد ما إذا كان حقل المتجه متحفظًا ، وإذا كان كذلك ، فابحث عن الوظيفة المحتملة.

8. ( vecs {F} (x، y) = 2xy ^ 3 ، mathbf { hat i} + 3y ^ 2x ^ 2 ، mathbf { hat j} )

9. ( vecs {F} (x، y) = (- y + e ^ x sin y) ، mathbf { hat i} + ((x + 2) e ^ x cos y) ، mathbf { hat j} )

إجابه:
غير متحفظ

10. ( vecs {F} (x، y) = (e ^ {2x} sin y) ، mathbf { hat i} + (e ^ {2x} cos y) ، mathbf { hat ي} )

11. ( vecs {F} (x، y) = (6x + 5y) ، mathbf { hat i} + (5x + 4y) ، mathbf { hat j} )

إجابه:
محافظة ، (f (x، y) = 3x ^ 2 + 5xy + 2y ^ 2 + k )

12. ( vecs {F} (x، y) = (2x cos (y) −y cos (x)) ، mathbf { hat i} + (- x ^ 2 sin (y) - الخطيئة (س)) ، mathbf { قبعة ي} )

13. ( vecs {F} (x، y) = (ye ^ x + sin (y)) ، mathbf { hat i} + (e ^ x + x cos (y)) ، mathbf { قبعة ي} )

إجابه:
محافظة ، (f (x، y) = ye ^ x + x sin (y) + k )

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بتقييم تكاملات الخط باستخدام النظرية الأساسية لتكاملات الخط.

14. ( displaystyle ∮_C (y ، mathbf { hat i} + x ، mathbf { hat j}) · d vecs r، ) حيث (C ) هو أي مسار من (( 0 ، 0) ) إلى ((2 ، 4) )

15. ( displaystyle ∮_C (2y ، dx + 2x ، dy)، ) حيث (C ) هو مقطع خط من ((0، 0) ) إلى ((4، 4) )

إجابه:
( displaystyle ∮_C (2y ، dx + 2x ، dy) = 32 ) وحدات العمل

16. [T] ( displaystyle ∮_C left [ arctan dfrac {y} {x} - dfrac {xy} {x ^ 2 + y ^ 2} right] ، dx + left [ dfrac {x ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} + e ^ {- y} (1 − y) right] ، dy ) ، حيث (C ) هو أي منحنى سلس من ((1، 1) ) إلى ((- 1،2). )

17. ابحث عن حقل المتجه المحافظ للدالة المحتملة (f (x، y) = 5x ^ 2 + 3xy + 10y ^ 2. )

إجابه:
( vecs {F} (x، y) = (10x + 3y) ، mathbf { hat i} + (3x + 20y) ، mathbf { hat j} )

بالنسبة للتمارين التالية ، حدد ما إذا كان حقل المتجه متحفظًا ، وإذا كان الأمر كذلك ، فابحث عن وظيفة محتملة.

18. ( vecs {F} (x، y) = (12xy) ، mathbf { hat i} +6 (x ^ 2 + y ^ 2) ، mathbf { hat j} )

19. ( vecs {F} (x، y) = (e ^ x cos y) ، mathbf { hat i} +6 (e ^ x sin y) ، mathbf { hat j} )

إجابه:
( vecs F ) ليس متحفظًا.

20. ( vecs {F} (x، y) = (2xye ^ {x ^ 2y}) ، mathbf { hat i} +6 (x ^ 2e ^ {x ^ 2y}) ، mathbf { قبعة ي} )

21. ( vecs F (x، y، z) = (ye ^ z) ، mathbf { hat i} + (xe ^ z) ، mathbf { hat j} + (xye ^ z) ، mathbf { hat k} )

إجابه:
( vecs F ) محافظة والوظيفة المحتملة هي (f (x، y، z) = xye ^ z + k ).

22. ( vecs F (x، y، z) = ( sin y) ، mathbf { hat i} - (x cos y) ، mathbf { hat j} + ، mathbf { قبعة ك} )

23. ( vecs F (x، y، z) = dfrac {1} {y} ، mathbf { hat i} - dfrac {x} {y ^ 2} ، mathbf { hat j} + (2z − 1) ، mathbf { hat k} )

إجابه:
( vecs F ) محافظة والدالة المحتملة هي (f (x، y، z) = dfrac {x} {y} + z ^ 2-z + k. )

24. ( vecs F (x، y، z) = 3z ^ 2 ، mathbf { hat i} - cos y ، mathbf { hat j} + 2xz ، mathbf { hat k} )

25. ( vecs F (x، y، z) = (2xy) ، mathbf { hat i} + (x ^ 2 + 2yz) ، mathbf { hat j} + y ^ 2 ، mathbf { قبعة ك} )

إجابه:
( vecs F ) محافظة والوظيفة المحتملة هي (f (x، y، z) = x ^ 2y + y ^ 2z + k. )

بالنسبة للتمارين التالية ، حدد ما إذا كان حقل المتجه المحدد متحفظًا وابحث عن وظيفة محتملة.

26. ( vecs {F} (x، y) = (e ^ x cos y) ، mathbf { hat i} +6 (e ^ x sin y) ، mathbf { hat j} )

27. ( vecs {F} (x، y) = (2xye ^ {x ^ 2y}) ، mathbf { hat i} +6 (x ^ 2e ^ {x ^ 2y}) ، mathbf { قبعة ي} )

إجابه:
( vecs F ) محافظة والوظيفة المحتملة هي (f (x، y) = e ^ {x ^ 2y} + k )

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بتقييم التكامل باستخدام النظرية الأساسية لتكاملات الخط.

28. قم بتقييم ( displaystyle int _C vecs ∇f · d vecs r ) حيث (f (x، y، z) = cos (πx) + sin (πy) −xyz) و ( C ) هو أي مسار يبدأ عند ((1،12،2) ) وينتهي عند ((2،1، −1) ).

29. [T] قم بتقييم ( displaystyle int _C vecs ∇f · d vecs r ) حيث (f (x، y) = xy + e ^ x ) و (C ) هو خط مستقيم من ( من (0،0) ) إلى ((2،1) ).

إجابه:
(displaystyle int _C vecs F · d vecs r = left (e ^ 2 + 1 right)) وحدات العمل

30. [T] قم بتقييم ( displaystyle int _C vecs ∇f · d vecs r، ) حيث (f (x، y) = x ^ 2y − x ) و (C ) هو أي مسار في مستوى من (1 ، 2) إلى (3 ، 2).

31. قم بتقييم ( displaystyle int _C vecs ∇f · d vecs r، ) حيث (f (x، y، z) = xyz ^ 2 − yz) و (C ) لها نقطة أولية ( (1، 2، 3) ) ونقطة طرفية ((3، 5، 2). )

إجابه:
( displaystyle int _C vecs F · d vecs r = 38 ) وحدات العمل

للتمارين التالية ، دعنا ( vecs {F} (x، y) = 2xy ^ 2 ، mathbf { hat i} + (2yx ^ 2 + 2y) ، mathbf { hat j} ) و (G (x، y) = (y + x) ، mathbf { hat i} + (y − x) ، mathbf { hat j} )، وليكن (C_1 ) هو المنحنى الذي يتكون من دائرة نصف قطرها 2 ، تتمحور حول الأصل وموجهة عكس اتجاه عقارب الساعة ، و (C_2 ) يكون المنحنى المكون من مقطع خطي من ((0 ، 0) ) إلى ((1 ، 1) ) متبوعًا بمقطع خط من ((1 ، 1) ) إلى ((3 ، 1). )

32. احسب تكامل خط ( vecs F ) على (C_1 ).

33. احسب تكامل خط ( vecs G ) على (C_1 ).

إجابه:
( displaystyle ∮_ {C_1} vecs G · d vecs r = −8π ) وحدات العمل

34. احسب تكامل خط ( vecs F ) على (C_2 ).

35. احسب تكامل خط ( vecs G ) على (C_2 ).

إجابه:
( displaystyle ∮_ {C_2} vecs F · d vecs r = 7 ) وحدات العمل

36. [T] دع ( vecs F (x، y، z) = x ^ 2 ، mathbf { hat i} + z sin (yz) ، mathbf { hat j} + y sin (yz) ، mathbf { hat k} ). احسب ( displaystyle ∮_C vecs F · d vecs {r} ) حيث (C ) هو مسار من (A = (0،0،1) ) إلى (B = (3) ، 1،2) ).

37. [T] ابحث عن سطر متكامل ( displaystyle ∮_C vecs F · dr ) من حقل متجه ( vecs F (x، y، z) = 3x ^ 2z ، mathbf { hat i} + z ^ 2 ، mathbf { hat j} + (x ^ 3 + 2yz) ، mathbf { hat k} ) بطول المنحنى (C ) معلمات بواسطة ( vecs r (t) = ( frac { ln t} { ln 2}) ، mathbf { hat i} + t ^ {3/2} ، mathbf { hat j} + t cos (πt)، 1≤t≤4. )

إجابه:
( displaystyle int _C vecs F · d vecs r = 150 ) وحدات العمل

بالنسبة للتمارين 38-40 ، أظهر أن الحقول الموجهة التالية متحفظة. ثم احسب ( displaystyle int _C vecs F · d vecs r ) لمنحنى معين.

38. ( vecs {F} (x، y) = (xy ^ 2 + 3x ^ 2y) ، mathbf { hat i} + (x + y) x ^ 2 ، mathbf { hat j} ) ؛ (C ) هو المنحنى الذي يتكون من مقاطع خطية من ((1،1) ) إلى ((0،2) ) إلى ((3،0). )

39. ( vecs {F} (x، y) = dfrac {2x} {y ^ 2 + 1} ، mathbf { hat i} - dfrac {2y (x ^ 2 + 1)} {(y ^ 2 + 1) ^ 2} ، mathbf { hat j} ) ؛ (C ) معلمات بواسطة (x = t ^ 3−1، ؛ y = t ^ 6 − t ) ، لـ (0≤t≤1. )

إجابه:
( displaystyle int _C vecs F · d vecs r = −1 ) وحدات العمل

40. [T] ( vecs {F} (x، y) = [ cos (xy ^ 2) −xy ^ 2 sin (xy ^ 2)] ، mathbf { hat i} −2x ^ 2y sin (xy ^ 2) ، mathbf { hat j} ) ؛ (C ) هو المنحنى ( langle e ^ t، e ^ {t + 1} rangle، ) لـ (- 1≤t≤0 ).

41. تبلغ كتلة الأرض تقريبًا (6 × 10 ^ {27} جم ) وتبلغ كتلة الشمس 330 ألف ضعف. ثابت الجاذبية هو (6.7 × 10 ^ {- 8} cm ^ 3 / s ^ 2 · g ). تبلغ المسافة بين الأرض والشمس حوالي (1.5 × 10 ^ {12} سم ). احسب تقريبًا العمل اللازم لزيادة المسافة بين الأرض والشمس بمقدار (1 ؛ سم ).

إجابه:
(4 × 10 ^ {31} ) إر

42. [T] دعونا ( vecs {F} (x، y، z) = (e ^ x sin y) ، mathbf { hat i} + (e ^ x cos y) ، mathbf { hat j } + z ^ 2 ، mathbf { hat k} ). احسب التكامل ( displaystyle int _C vecs F · d vecs r ) حيث ( vecs r (t) = langle sqrt {t}، t ^ 3، e ^ { sqrt {t }} rangle ، ) لـ (0≤t≤1. )

43. [T] لنفترض أن (C: [1،2] → ℝ ^ 2 ) يُعطى بواسطة (x = e ^ {t − 1}، y = sin left ( frac {π} {t} right) ). استخدم الكمبيوتر لحساب التكامل ( displaystyle int _C vecs F · d vecs r = int _C 2x cos y ، dx − x ^ 2 sin y ، dy ) حيث ( vecs {F} (x، y) = (2x cos y) ، mathbf { hat i} - (x ^ 2 sin y) ، mathbf { hat j}. )

إجابه:
( displaystyle int _C vecs F · d vecs s = 0.4687 ) وحدات العمل

44. [T] استخدم نظام الجبر الحاسوبي لإيجاد كتلة السلك الذي يقع على طول المنحنى ( vecs r (t) = (t ^ 2−1) ، mathbf { hat j} + 2t ، mathbf { hat k} ، ) حيث (0≤t≤1 ) ، إذا كانت الكثافة معطاة بواسطة (d (t) = dfrac {3} {2} t ).

45. ابحث عن دوران وتدفق الحقل ( vecs {F} (x، y) = - y ، mathbf { hat i} + x ، mathbf { hat j} ) حول وعبر نصف دائري مغلق المسار الذي يتكون من قوس نصف دائري ( vecs r_1 (t) = (a cos t) ، mathbf { hat i} + (a sin t) ، mathbf { hat j}، quad 0 ≤t≤π ) متبوعًا بقطعة سطر ( vecs r_2 (t) = t ، mathbf { hat i}، quad −a≤t≤a. )

إجابه:
( نص {تدوير} = πa ^ 2 ) و ( نص {تدفق} = 0 )

46. احسب ( displaystyle int _C cos x cos y ، dx− sin x sin y ، dy، ) حيث ( vecs r (t) = langle t، t ^ 2 rangle، رباعي 0≤t≤1. )

47. أكمل إثبات النظرية المعنونة اختبار استقلالية المسار للحقول المحافظة بإظهار أن (f_y = Q (x، y). )

جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


5.7 الحقول المتجهة التي هي عبارة عن تدرجات أو تجعيد

بالنظر إلى دالة (f ) أو حقل متجه ( bfF ) ، يمكننا بسهولة حساب ( nabla f ) أو ( curl bfF ). هنا نطرح نوعًا من الأسئلة "المعكوسة". بالنظر إلى حقل متجه ( bfG ) ، يمكننا تحديد:

  • هل توجد وظيفة (f ) مثل ( bfG = nabla f )؟ إذا كان الأمر كذلك ، فهل يمكننا إيجاد (f )؟
  • هل يوجد حقل متجه ( bfF ) مثل ( bfG = curl bfF )؟ إذا كان الأمر كذلك ، فهل يمكننا إيجاد ( bfF )؟

سنناقش التدرجات أولاً.


1 إجابة 1

قيل لي دائمًا أنه لمعرفة ما إذا كان الحقل متحفظًا أم لا ، انظر ما إذا كان الضفيرة صفرًا.

هذا صحيح دائمًا تقريبًا ، لكنه ليس صحيحًا دائمًا.

لقد قيل لي الآن أنه لمجرد أن الضفيرة تساوي صفرًا لا يعني بالضرورة أنها متحفظة.

لتوضيح ما يحدث ، لنقم بمثال. بجانب حقل المتجه التالي: $ vec(x، y) = frac <-y hat+ x قبعة>. $ لاحظ أن $ vecلم يتم تعريف $ في الأصل. هو $ vecالمحافظ $؟ دعونا نحدد "المحافظة" على النحو التالي

حقل متجه $ vec$ متحفظ إذا كان لأي مسار مغلق $ C $ ، يكون $ int_C vec لا يتجزأ نقطة ، د vec=0.$

ضع في اعتبارك معلمات المسار مثل $ x (t) = r cos (2 pi t) $ و $ y (t) = r sin (2 pi t) $ لـ $ t $ الانتقال من 0 إلى 1. هذا المسار هي مجرد دائرة نصف قطرها $ r $ تتمحور حول الأصل. الإزاحة على المسار هي

$ فارك<>>

= 2 pi r left (- hat الخطيئة (2 pi t) + قبعة cos (2 pi t) right). $

إذا قمنا بدمج مثالنا $ vec$ على هذا الطريق نحصل عليه

$ تبدأ int_C vec cdot د vec & amp = int_^ 1 يسار ( frac <-y hat+ x قبعة> يمين) cdot (2 pi r) يسار (- hat الخطيئة (2 pi t) + قبعة cos (2 pi t) يمين) ، dt & amp = 2 pi end$ مما يدل على أن $ vec$ بالتأكيد ليس متحفظًا. لاحظ أن التكامل لا يعتمد على نصف القطر $ r $ للمسار.

الآن ، نحسب الضفيرة $ vec$. للراحة ، حدد $ r equiv x ^ 2 + y ^ 2 $ ، أي أن $ r $ هو الإحداثي القطبي القطري.

$ تبدأ nabla مرات vec & amp equiv frac<>_y> - فارك<>_x> & أمبير = فارك - frac <-r ^ 2 + 2 y ^ 2> & amp = frac <2r ^ 2 - 2r ^ 2> & amp = 0. النهاية$ لقد أظهرنا الآن أن $ vec$ لديه صفر حليقة. والنتيجة هي أننا إذا أردنا دمج $ vec$ على طول أي مسار صغير حول النقطة التي يكون فيها $ vecيتم تعريف $ ، ونحن نضمن الحصول على الصفر.

وهكذا ، $ vec$ ليس لديه حليقة صفرية ولكنه ليس متحفظًا. ماذا يحدث هنا؟

إذا كنت تتخيل $ vec$ سترى أنها دوامة من خطوط متجهة تدور حول الأصل. يتناقص حجم الخطوط كلما ابتعدت عن الأصل. هذا الانخفاض صحيح تمامًا بحيث إذا كنت ستتكامل حول حلقة صغيرة لا تطوق الأصل (أي إذا قمت بفحص الضفيرة) ، فستحصل على صفر. ومع ذلك ، بسبب الدوران العام حول الأصل ، إذا قمت بالتكامل على طول حلقة تحيط بالأصل ، فستحصل على شيء غير صفري. وبالتالي ، يمكنك التفكير في التكامل على أنه إما "الشعور" بوجود الأصل والتقاط $ 2 pi $ الذي حسبناه ، أو عدم الشعور بالأصل وإعطاء الصفر. يبدو الأمر وكأن الأصل نقطة خاصة تساوي 2 دولار pi $.

هذا مثير للاهتمام حقًا! مجالنا $ vec$ محافظ في كل مكان محليا، ولكن إذا قمت بعمل مسار حول الأصل ، يمكنك الحصول على تكامل غير صفري ، لذلك $ vec$ ليس متحفظًا عالميا.

تذكر أننا أشرنا إلى أن $ vecلم يتم تعريف $ في الأصل؟ هذا ليس من قبيل الصدفة. الحقول المتجهة التي تعتبر محافظة محليًا ولكن ليس عالميًا يجب بها "ثقوب" لم يتم تحديدها عندها. في الواقع ، يجب أن تقترب حقول المتجهات هذه من اللانهاية بالقرب من ثقوبها ، والتي $ vecبالتأكيد $ هو ، كما يمكنك التحقق من [1]. هذه النقاط اللانهائية لها "بقايا" تظهر في تكاملات تدور حولها. بالنسبة للخبراء في الجمهور ، هذا هو بالضبط نفس البقايا التي تحصل عليها من الاندماج حول قطب بسيط في المستوى المعقد.

دعنا نعود إلى سؤالك

لإظهار هذا أمر متحفظ ، سأمضي قدمًا وأخذ حليقة. ستكون صفرا - لكن هذا ليس دليلا قاطعا على أنها متحفظة؟ كيف يمكنني أن أظهر ذلك؟

كما قلتم ، وقد أوضحنا ، عدم وجود تجعيد صفري لا يضمن أن يكون الحقل متحفظًا. ماذا او ما يفعل ضمان أن الحقل متحفظ هو أنه يمكنك التعبير عنه كتدرج لدالة عددية. بعبارات رياضية عامة ، إذا كانت هناك دالة $ f $ مثل أن $ nabla f = vec$ ، ثم $ vecيقال أن يكون $ بالضبط. حقل ناقل دقيق مضمون تمامًا بنسبة 100٪ للمحافظين.

إذن ، إجابة واحدة على سؤالك هي أنه لإظهار أن حقل متجه متحفظ ، فقط أظهر أنه يمكن كتابته كتدرج لدالة. إجابة أخرى هي ، احسب المسار العام المغلق لا يتجزأ من حقل المتجه وأظهر أنه يساوي صفرًا في جميع الحالات.

دعنا نستمر على الرغم من ذلك ، لأن هذه أشياء مثيرة للغاية حقًا.

الحقول المتجهية التي لا تحتوي على حليقة صفرية مضمونة لتكون دقيقة ، مما يعني أن الصفر الضفيرة يضمن التحفظ ، ما لم يكن حقل المتجه به ثقوب (أي النقاط التي لم يتم تعريفها عندها). لذا ، فإن المانترا التي تعلمتها أن صفر حليقة تشير إلى التحفظ تقريبيا صحيح دائمًا ، لكنه يفشل في الحقول المتجهة التي تحتوي على ثقوب ، مثل مثالنا $ vec$ يفعل في الأصل.

الآن هذا هو الجزء المذهل حقًا. إذا أخبرتك أن الحقل المتجه به ثقب واحد بالضبط ، وأنه يحتوي على صفر تجعيد ولكنه ليس دقيقًا ، فهناك فقط واحد يمكن أن يكون حقل متجه (حتى إضافة حقول متجه دقيقة أخرى). بمعنى آخر ، إذا أخبرتك أن حقل متجه $ vec$ لديه تجعيد صفري ، وله ثقب واحد ، وليس انحدارًا لأي دالة ، فأنت تعلم بالتأكيد أن $ vec= vec + vec < lambda> $ حيث $ vec < lambda> = nabla f $ لبعض $ f $. إذا كرر نفس الموقف ولكن مع وجود فتحتين ، فأنت تعلم أن $ vecيمكن التعبير عن $ كمزيج خطي من حقول محددة بدون تجعيد ولكن ليست متجهية دقيقة مرتبطة بالفتحتين. يتم تعميم هذا العمل بأكمله على المساحات عالية الأبعاد. إذا كنت ترغب في ذلك ، اقرأ عن الأشكال التفاضلية. يمكنك تجربة الكتاب "تحليل على المشعبات" بواسطة Munkres ، على الرغم من أن هذا كتاب "ماثي" للغاية.

شيء أخير. بدلاً من الحديث عن وجود تجعيد صفري وكونه تدرجًا لوظيفة ما ، يمكنك التحدث عن عدم وجود تباعد وكونها تجعيدًا لحقل متجه آخر. عادةً ، إذا كان حقل المتجه لا يحتوي على أي اختلاف ، فيمكنك كتابته على أنه تجعيد لشيء آخر. المجال الكهربي لشحنة نقطية متحفظ وليس له أي اختلاف. ومع ذلك ، فهو ليس تجعيدًا لأي حقل متجه. في الواقع ، هو فقط $ ^ <[2]> حقل متجه $ في ثلاثة أبعاد والذي لا يوجد به تباعد ولا يمثل عقدة لشيء آخر. وبالطبع ، ينتقل المجال الكهربائي لشحنة نقطية إلى ما لا نهاية عند نقطة الشحن ، لذلك هذا أحد تلك المجالات حيث يسمح لها وجود "ثقب" بخرق القواعد المعتادة. كيف عرفت الطبيعة أن تفعل ذلك؟

[1] بسط $ vecيذهب $ كـ $ r $ بينما يتحول المقام إلى $ r ^ 2 $. لذلك فإن الأمر برمته يتحول إلى $ 1 / r $ والذي يتباعد بالقرب من الأصل.


1 إجابة 1

لمثل هذه الأسئلة ، من الواضح أنه لا يتوقع إجابة تحليلية.

إجاباتك صحيحة ، أعتقد أن هذا هو نوع التفكير المتوقع.

نهج آخر سيكون على النحو التالي. تذكر أن تجعيد الحقل مرتبط بالدوران: بمعنى أدق ، الدوران حول محور التجعيد ، بسرعة تتناسب مع حجم الضفيرة. في الصورة الأولى ، يمكننا أن نرى أن الحقل يميل إلى الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة ، وبالتالي فإن الانحناء ليس $ vec <0> $ ، مما يشير إلى أن الحقل ليس متحفظًا. وبالنسبة للثاني ، يبدو أنه لا يوجد دوران محدد ، مما يعني أن الضفيرة $ vec <0> $ ، والحقل محافظ.

ومع ذلك ، لا يمكننا أن نكون متأكدين بنسبة 100 ٪ ، كما قلت ، من الصعب رؤية أنه لا يوجد مثال مضاد ، أو أنه لا يوجد تناوب على الإطلاق.

في الختام ، أود أن أقول أبق الأمور بسيطة ، لا أعتقد أن هذه التمارين تهدف إلى خداعك ، فالغرض منها هو جعلك تفهم خصائص الحقول المتجهة من وجهة نظر رسومية.


انسايت الرياضيات

فيما يلي مثالين لاختبار ما إذا كانت حقول المتجه ثلاثية الأبعاد محافظة (والتي تسمى أيضًا مستقلة عن المسار).

مثال 1

هل التكامل $ int_ dlc (x ^ 2-ze ^ y) dx + (y ^ 3-xze ^ y) dy + (z ^ 4-xe ^ y) dz $ يعتمد على المسار المحدد $ dlc $ يأخذ؟

حل: ال. لا يتجزأ من حقل المتجه $ dlvf (x، y، z) = (x ^ 2-ze ^ y، y ^ 3-xze ^ y، z ^ 4-xe ^ y) $. حقل المتجه $ dlvf $ المعرف على $ R ^ 3 $ ، وهو متصل ببساطة. يمكننا إظهار استقلالية المسار إذا كان الانحناء صفرًا.

المشتقات الجزئية لـ $ dlvf $ هي begin pdiff < dlvfc_1> & amp = pdiff < dlvfc_2> = -ze ^ y pdiff < dlvfc_1> & amp = pdiff < dlvfc_3> = -e ^ y pdiff < dlvfc_2> & amp = pdiff < dlvfc_3> = -xe ^ y. نهاية لذلك ، فإن curl هو صفر ، و $ dlvf $ متحفظ. لا يعتمد تكامل $ dlvf $ على المسار المحدد الذي يتخذه $ dlc $ ، ولكنه يعتمد فقط على نقاط نهاية المنحنى.

لاحظ أن استقلالية المسار لا تعتمد على $ pdiff < dlvfc_1>$ ، $ pdiff < dlvfc_2>$ أو $ pdiff < dlvfc_3>$. يمكنك أيضًا أن تستنتج بسهولة من هذا المثال أن تبدأ dlvf (x، y، z) = (x ^ 2-ze ^ y + x ^ <1000>، y ^ 3-xze ^ y- cos y ^ <372>، z ^ 4-xe ^ y + e ^) نهاية هو أيضا محافظ.

مثال 2

هل التكامل $ int_ dlc (x ^ 2-xe ^ y) dx + (y ^ 3-xze ^ y) dy + (z ^ 4-xe ^ y) dz $ يعتمد على المسار المحدد $ dlc $ يأخذ؟

حل: التكامل هو حقل المتجه $ dlvf (x، y، z) = (x ^ 2-xe ^ y، y ^ 3-xze ^ y، z ^ 4-xe ^ y) $. المشتقات الجزئية لـ $ dlvf $ هي begin pdiff < dlvfc_1> = -xe ^ y neq pdiff < dlvfc_2> = -ze ^ y pdiff < dlvfc_1> = 0 neq pdiff < dlvfc_3> = -e ^ y pdiff < dlvfc_2> = pdiff < dlvfc_3> = -xe ^ y end تجعيد $ dlvf $ ليس صفراً ، لذا فإن $ dlvf $ يعتمد على المسار. سيعتمد التكامل بشكل عام على المسار المحدد لـ $ dlc $.


انسايت الرياضيات

إذا كان حقل المتجه $ dlvf $ هو حقل متجه متحفظ (يُسمى أيضًا حقل متجه مستقل عن المسار) ، عندئذٍ يكون سطر التكامل يبدأ dlint النهاية لا يعتمد على المسار الفعلي الذي يتخذه $ dlc $ يعتمد التكامل فقط على نقطة البداية (أطلق عليه $ vc

$) ونقطة النهاية (أطلق عليها $ vc$) للمنحنى $ dlc $.

لنفترض ، على سبيل المثال ، أن لدينا منحنيين $ dlc_1 $ و $ dlc_2 $ نقطة اتصال $ vc

$ بالنقطة $ vc$.

ثم نعرف ذلك ابدأ lint < dlc_1> < dlvf> = lint < dlc_2> < dlvf> label نهاية لأن $ dlvf $ متحفظ.

الآن ، ما سيحدث هو أننا قلبنا المسار $ dlc_2 $ بحيث يبدأ عند النقطة $ vc$ وينتهي عند النقطة $ vc

$؟ (سنشير إلى هذا المنحنى بالاتجاه المعاكس مثل $ dlc_2 ^ - $.) في أي نقطة ، سيكون متجه المماس لـ $ dlc_2 ^ - $ عكس متجه الظل لـ $ dlc_2 $ لأن المسار هو تسير في الاتجاه المعاكس. وبالتالي تبدأ lint < dlc_2 ^ -> < dlvf> = - lint < dlc_2> < dlvf>. ضع الكلمة المناسبة نهاية

إذا حددنا المنحنى $ dlc $ ليكون المنحنى $ dlc_1 $ متبوعًا بالمنحنى $ dlc_2 ^ - $ ، فسيبدأ مسار $ dlc $ عند النقطة $ vc

$ ، انتقل إلى النقطة $ vc$ (عبر $ dlc_1 $) ثم ارجع إلى النقطة $ vc

$ (عبر $ dlc_2 ^ - $). بمعنى آخر ، سيكون $ dlc $ منحنى مغلق.

تكامل السطر فوق $ dlc $ هو ببساطة تكامل السطر فوق $ dlc_1 $ بالإضافة إلى تكامل السطر فوق $ dlc_2 ^ - $. بدمج المعادلتين السابقتين ، نرى أن هذه التكاملات متناقضة ابدأ lint < dlc_2 ^ -> < dlvf> = - lint < dlc_1> < dlvf>. نهاية نستنتج أن تكامل السطر على $ dlc $ هو صفر: start dlint = lint < dlc_1> < dlvf> + lint < dlc_2 ^ -> < dlvf> = 0. نهاية

إذا كان $ dlc $ منحنى مغلق ، فإننا نسمي التكامل start dlint النهاية ال الدوران من $ dlvf $ حوالي $ dlc $. إذا كان $ dlvf $ يمثل تدفق السوائل ، فإن هذا التكامل يشير إلى ميل السائل للدوران حول المنحنى $ dlc $. يمكننا استخدام الوسيطة أعلاه لإظهار أن $ dlvf $ متحفظ إذا وفقط إذا كان التداول موجودًا أي المنحنى المغلق يساوي صفر.

يمكننا استخدام هذه النتيجة كاختبار للاعتماد على المسار. إذا تمكنا من العثور على منحنى مغلق واحد $ dlc $ حيث تبدأ dlint ne 0، end ثم نعلم أن $ dlvf $ يعتمد على المسار. بالنسبة لمثال حقل المتجه $ dlvf (x، y) = (y، -x) $ المعروض في نهاية مقدمة الحقول المحافظة ، يمكن للمرء أن يرى الدوران غير الصفري حول أي مسار دائري متمركز في الأصل. هذه الملاحظة كافية لاستنتاج أن $ dlvf $ يعتمد على المسار.

النقطة الأساسية التي يجب تذكرها هي أن استقلالية المسار تعني عدم وجود دوران حول أي منحنى مغلق.


انسايت الرياضيات

إن عملية إيجاد وظيفة محتملة لحقل متجه متحفظ هي إجراء متعدد الخطوات يتضمن كلاً من التكامل والتمايز ، مع إيلاء اهتمام وثيق للمتغيرات التي تدمجها أو تميزها فيما يتعلق بها. لهذا السبب ، نظرًا لحقل المتجه $ dlvf $ ، نوصيك أولاً بتحديد أن $ dlvf $ متحفظ بالفعل قبل بدء هذا الإجراء. بهذه الطريقة تعرف أن هناك وظيفة محتملة ، لذا يجب أن ينجح الإجراء في النهاية.

في هذه الصفحة ، نركز على إيجاد دالة محتملة لحقل ناقل متحفظ ثنائي الأبعاد. نعالج الحقول ثلاثية الأبعاد في صفحة أخرى.

نقدم الإجراء الخاص بإيجاد وظيفة محتملة عبر مثال. لنستخدم حقل المتجه ابدأ dlvf (x، y) = (y cos x + y ^ 2، sin x + 2xy-2y). نهاية

الخطوة الأولى هي التحقق مما إذا كان $ dlvf $ متحفظًا. منذ البداية pdiff < dlvfc_2> & amp = pdiff <>( sin x + 2xy-2y) = cos x + 2y pdiff < dlvfc_1> & amp = pdiff <>(y cos x + y ^ 2) = cos x + 2y، end نستنتج أن الانحناء القياسي $ dlvf $ يساوي صفرًا ، كما تبدأ pdiff < dlvfc_2> - pdiff < dlvfc_1> = 0. النهاية بعد ذلك ، نلاحظ أن $ dlvf $ تم تعريفه على $ R ^ 2 $ بالكامل ، لذلك لا توجد حيل تقلق بشأنها. حقل المتجه $ dlvf $ محافظ بالفعل.

نظرًا لأن $ dlvf $ محافظ ، فإننا نعلم أن هناك بعض الوظائف المحتملة $ f $ بحيث يكون $ nabla f = dlvf $. كخطوة أولى نحو إيجاد $ f $ ، نلاحظ أن الشرط $ nabla f = dlvf $ يعني أن ابدأ يسار ( pdiff، pdiff right) & = ( dlvfc_1، dlvfc_2) & = (y cos x + y ^ 2، sin x + 2xy-2y). نهاية معادلة المتجه هذه معادلتان عدديتان ، واحدة لكل مكون. نحتاج إلى إيجاد دالة $ f (x، y) $ تحقق الشرطين start pdiff(x، y) = y cos x + y ^ 2 label نهاية و تبدأ pdiff(س ، ص) = الخطيئة س + 2 س ص -2 ص. ضع الكلمة المناسبة نهاية لنأخذ هذه الشروط واحدة تلو الأخرى ونرى ما إذا كان بإمكاننا إيجاد $ f (x، y) $ الذي يفي بكليهما. (نحن نعلم أن هذا ممكن لأن $ dlvf $ متحفظ. إذا كان $ dlvf $ يعتمد على المسار ، فإن الإجراء التالي سيواجه عقبة في مكان ما.)

لنبدأ بالحالة eqref. يمكننا أن نأخذ المعادلة نبدأ pdiff(x، y) = y cos x + y ^ 2، end والتعامل مع $ y $ كما لو كان رقمًا. بمعنى آخر ، نتظاهر بأن المعادلة هي ابدأ فرق(x) = a cos x + a ^ 2 end لبعض عدد $ a $. يمكننا تكامل المعادلة بالنسبة إلى $ x $ والحصول على ذلك begin و (س) = أ الخطيئة س + أ ^ 2 س + ج. نهاية ولكن ، علينا أن نتذكر أن $ a $ كان بالفعل المتغير $ y $ لذلك تبدأ و (س ، ص) = ص خطيئة س + ص ^ 2 س + ج. نهاية لكن في الواقع ، هذا ليس صحيحًا أيضًا. نظرًا لأننا كنا ننظر إلى $ y $ باعتباره ثابتًا ، فقد يكون التكامل & ldquoconstant & rdquo $ C $ دالة على $ y $ ولن يحدث فرقًا. المشتق الجزئي لأي دالة لـ $ y $ بالنسبة إلى $ x $ هو صفر. يمكننا استبدال $ C $ بأي دالة $ y $ ، لنقل $ g (y) $ ، و condition eqref سيكون راضيا. التعبير الجديد للدالة المحتملة هو start و (س ، ص) = y sin x + y ^ 2x + g (y). ضع الكلمة المناسبة نهاية إذا كنت لا تزال متشككًا ، فحاول أخذ المشتق الجزئي بالنسبة إلى $ x $ من $ f (x، y) $ المحدد بالمعادلة eqref. نظرًا لأن $ g (y) $ لا يعتمد على $ x $ ، يمكننا استنتاج أن $ displaystyle pdiff <> ز (ص) = 0 دولار. في الواقع ، الشرط eqref يرضى عن $ f (x، y) $ للمعادلة eqref.

الآن ، نحن بحاجة إلى تلبية الشرط eqref. يمكننا أخذ $ f (x، y) $ للمعادلة eqref (حتى نعرف هذا الشرط eqref سيتم إرضاءه) وأخذ مشتقه الجزئي بالنسبة إلى $ y $ ، والحصول على begin pdiff(س ، ص) & = pdiff <> يسار (y sin x + y ^ 2x + g (y) right) & = sin x + 2yx + diff(ذ). نهاية مقارنة هذا بالشرط eqrefنحن محظوظون. يمكننا بسهولة جعل هذا $ f (x، y) $ يفي بشرط eqref طالما أن تبدأ فرق(ص) = - 2 ص. نهاية إذا كان حقل المتجه $ dlvf $ يعتمد على المسار ، فسنجد أنه من المستحيل تلبية كلا الشرطين eqref والحالة eqref. كنا سنواجه مشكلة في هذه المرحلة ، حيث وجدنا أن $ diffيجب أن يكون $ دالة في $ x $ بالإضافة إلى $ y $. منذ $ فرق$ هي دالة $ y $ وحدها ، عملية الحساب لدينا تتحقق من أن $ dlvf $ متحفظ.

إذا دعونا نبدأ ز (ص) = -ص ^ 2 + ك نهاية لبعض ثابت $ k $ ، ثم ابدأ pdiff(x، y) = sin x + 2yx -2y، end وقد استوفينا كلا الشرطين.

دمج تعريف $ g (y) $ مع المعادلة eqref، نستنتج أن الدالة تبدأ و (س ، ص) = y sin x + y ^ 2x -y ^ 2 + k end هي دالة محتملة لـ $ dlvf. $ يمكنك التحقق من ذلك بالفعل ابدأ nabla f = (y cos x + y ^ 2، sin x + 2xy -2y) = dlvf (x، y). نهاية

مع هذا في متناول اليد ، حساب التكامل يبدأ dlint النهاية بسيط ، بغض النظر عن المسار $ dlc $. يمكننا تطبيق نظرية التدرج لاستنتاج أن التكامل هو ببساطة $ f ( vc) -f ( vc

) $ ، حيث $ vc

$ هو نقطة البداية و $ vc$ هي نقطة النهاية لـ $ dlc $. (لهذا السبب ، إذا كان $ dlc $ منحنى مغلق ، فإن التكامل هو صفر.)

قد نرغب في تقديم مشكلة مثل البحث ابدأ dlint النهاية حيث $ dlc $ هو المنحنى المعطى بواسطة الرسم البياني التالي.

الجواب ببساطة ابدأ dlint & amp = f ( pi / 2، -1) - f (- pi، 2) & amp = - sin pi / 2 + frac < pi> <2> -1 + k - ( 2 sin (- pi) - 4 pi -4 + k) & amp = - sin pi / 2 + frac <9 pi> <2> + 3 = frac <9 pi> < 2> +2 النهاية (دائمًا ما يتم ضمان إلغاء $ k $ الثابت ، لذا يمكنك فقط تعيين $ k = 0 $.)

إذا كان المنحنى $ dlc $ معقدًا ، يأمل المرء أن يكون $ dlvf $ متحفظًا. إنه دائما فكرة جيدة للتحقق مما إذا كان $ dlvf $ متحفظًا قبل حساب تكامل السطر start dlint. نهاية قد توفر على نفسك الكثير من العمل.


انسايت الرياضيات

حقل متجه متحفظ (يسمى أيضًا حقل متجه مستقل عن المسار) هو حقل متجه $ dlvf $ الذي يعتمد خطه $ dlint $ فوق أي منحنى $ dlc $ فقط على نقاط النهاية $ dlc $. التكامل مستقل عن المسار الذي يسلكه $ dlc $ من نقطة البداية إلى نقطة النهاية. يوضح التطبيق الصغير أدناه حقل المتجه المحافظ ثنائي الأبعاد $ dlvf (x، y) = (x، y) $.

ما هي بعض الطرق لتحديد ما إذا كان الحقل المتجه متحفظًا؟ من الواضح أن التحقق المباشر لمعرفة ما إذا كان تكامل الخط لا يعتمد على المسار أمر مستحيل ، حيث سيتعين عليك التحقق من عدد لا حصر له من المسارات بين أي زوج من النقاط. لكن إذا وجدت مسارين يعطيان قيمًا مختلفة للتكامل ، فيمكنك استنتاج أن حقل المتجه يعتمد على المسار.

فيما يلي بعض الخيارات التي يمكن أن تكون مفيدة في ظل ظروف مختلفة.

كما هو مذكور في سياق نظرية التدرج ، فإن حقل المتجه $ dlvf $ يكون متحفظًا إذا وفقط إذا كان يحتوي على دالة محتملة $ f $ مع $ dlvf = nabla f $. لذلك ، إذا تم إعطاؤك دالة محتملة $ f $ أو إذا كان بإمكانك العثور على واحدة ، وتم تحديد هذه الوظيفة المحتملة في كل مكان ، فلا يوجد شيء آخر للقيام به. أنت تعلم أن $ dlvf $ هو حقل متجه متحفظ ، ولا داعي للقلق بشأن الاختبارات الأخرى التي نذكرها هنا. وبالمثل ، إذا كان بإمكانك إثبات أنه من المستحيل العثور على دالة $ f $ ترضي $ dlvf = nabla f $ ، فيمكنك أيضًا استنتاج أن $ dlvf $ غير متحفظ أو يعتمد على المسار.

لهذا السبب ، يمكنك تخطي هذه المناقشة حول اختبار اعتماد المسار والانتقال مباشرةً إلى الإجراء الخاص بالعثور على الوظيفة المحتملة. إذا نجح هذا الإجراء أو إذا تعطل ، فقد وجدت إجابتك حول ما إذا كان $ dlvf $ متحفظًا أم لا. ومع ذلك ، إذا كنت مثل الكثيرين منا وتميل إلى ارتكاب خطأ أو خطأين في إجراء متعدد الخطوات ، فمن المحتمل أن تستفيد من الاختبارات الأخرى التي يمكنها تحديد استقلالية المسار بسرعة. بهذه الطريقة ، يمكنك تجنب البحث عن وظيفة محتملة عندما لا تكون موجودة والاستفادة من الاختبارات التي تؤكد حساباتك.

اختبار محتمل آخر يتضمن الارتباط بين استقلالية المسار والدورة الدموية. يمكن للمرء أن يوضح أن حقل المتجه المحافظ $ dlvf $ لن يكون له دوران حول أي منحنى مغلق $ dlc $ ، مما يعني أن تكامله $ dlint $ حول $ dlc $ يجب أن يكون صفرًا. إذا تمكنت بطريقة ما من إظهار أن $ dlint = 0 $ لكل منحنى مغلق (صعب نظرًا لوجود عدد لا نهائي من هذه) ، فيمكنك استنتاج أن $ dlvf $ محافظ. أو ، إذا تمكنت من العثور على منحنى مغلق واحد حيث يكون التكامل غير صفري ، فأنت بذلك قد أظهرت أنه يعتمد على المسار.

على الرغم من أن التحقق من التدوير قد لا يكون اختبارًا عمليًا لاستقلال المسار ، فإن حقيقة أن استقلالية المسار تعني عدم وجود دوران حول أي منحنى مغلق يعد أمرًا أساسيًا لما يعنيه أن يكون حقل المتجه متحفظًا.

إذا كان $ dlvf $ حقل متجه ثلاثي الأبعاد ، $ dlvf: R ^ 3 to R ^ 3 $ (confused؟) ، فيمكننا اشتقاق شرط آخر. يعتمد هذا الشرط على حقيقة أن حقل المتجه $ dlvf $ محافظ إذا وفقط إذا كان $ dlvf = nabla f $ لبعض الوظائف المحتملة. يمكننا حساب أن عقدة التدرج اللوني هي صفر ، $ curl nabla f = vc <0> $ ، لأي مرة يمكن تمييزها مرتين بشكل مستمر $ f: R ^ 3 to R $. لذلك ، إذا كان $ dlvf $ محافظًا ، فيجب أن يكون تجعيده صفرًا ، مثل $ curl dlvf = curl nabla f = vc <0> $.

بالنسبة إلى حقل متجه ثنائي الأبعاد قابل للتفاضل باستمرار ، $ dlvf: R ^ 2 to R ^ 2 $ ، يمكننا أيضًا أن نستنتج أنه إذا كان حقل المتجه متحفظًا ، فيجب أن يكون الانحناء القياسي صفرًا ، $ pdiff < dlvfc_2>- pdiff < dlvfc_1> = frac < جزئي f ^ 2> < جزئي x جزئي y> - frac < جزئي f ^ 2> < جزئي y جزئي x> = 0. $

علينا أن نكون حذرين هنا. العبارة الصحيحة هي أنه إذا كان $ dlvf $ متحفظًا ، فيجب أن يكون curl صفرًا. بدون شروط إضافية في مجال المتجه ، قد لا يكون العكس صحيحًا ، لذلك نحن لا تستطيع استنتج أن $ dlvf $ متحفظ فقط من كون تجعيده صفرًا. توجد حقول متجهة تعتمد على المسار مع صفر تجعيد. من ناحية أخرى ، يمكننا أن نستنتج أنه إذا كان الانحناء $ dlvf $ غير صفري ، فلا بد أن $ dlvf $ يعتمد على المسار.

هل يمكننا الحصول على اختبار آخر يتيح لنا تحديد ما إذا كان حقل المتجه متحفظًا؟ We can by linking the previous two tests (tests 2 and 3). Test 2 states that the lack of &ldquomacroscopic circulation&rdquo is sufficient to determine path-independence, but the problem is that lack of circulation around any closed curve is difficult to check directly. Test 3 says that a conservative vector field has no &ldquomicroscopic circulation&rdquo as captured by the curl. It's easy to test for lack of curl, but the problem is that lack of curl is not sufficient to determine path-independence.

What we need way to link the definite test of zero &ldquomacroscopic circulation&rdquo with the easy-to-check test of zero &ldquomicroscopic circulation.&rdquo This link is exactly what both Green's theorem and Stokes' theorem provide. Don't worry if you haven't learned both these theorems yet. The basic idea is simple enough: the &ldquomacroscopic circulation&rdquo around a closed curve is equal to the total &ldquomicroscopic circulation&rdquo in the planar region inside the curve (for two dimensions, Green's theorem) or in a surface whose boundary is the curve (for three dimensions, Stokes' theorem).

Let's examine the case of a two-dimensional vector field whose scalar curl $pdiff-pdiff$ is zero. If we have a closed curve $dlc$ where $dlvf$ is defined everywhere inside it, then we can apply Green's theorem to conclude that the &ldquomacroscopic circulation&rdquo $dlint$ around $dlc$ is equal to the total &ldquomicroscopic circulation&rdquo inside $dlc$. We can indeed conclude that the &ldquomacroscopic circulation&rdquo is zero from the fact that the &ldquomicroscopic circulation&rdquo $pdiff-pdiff$ is zero everywhere inside $dlc$.

According to test 2, to conclude that $dlvf$ is conservative, we need $dlint$ to be zero around كل closed curve $dlc$. If the vector field is defined inside every closed curve $dlc$ and the &ldquomicroscopic circulation&rdquo is zero everywhere inside each curve, then Green's theorem gives us exactly that condition. We can conclude that $dlint=0$ around every closed curve and the vector field is conservative.

The only way we could run into trouble is if there are some closed curves $dlc$ where $dlvf$ is not defined for some points inside the curve. In other words, if the region where $dlvf$ is defined has some holes in it, then we cannot apply Green's theorem for every closed curve $dlc$. In this case, we cannot be certain that zero &ldquomicroscopic circulation&rdquo implies zero &ldquomacroscopic circulation&rdquo and hence path-independence. Such a hole in the domain of definition of $dlvf$ was exactly what caused in the problem in our counterexample of a path-dependent field with zero curl.

On the other hand, we know we are safe if the region where $dlvf$ is defined is simply connected, i.e., the region has no holes through it. In this case, we know $dlvf$ is defined inside every closed curve $dlc$ and nothing tricky can happen. We can summarize our test for path-dependence of two-dimensional vector fields as follows.

If a vector field $dlvf: R^2 o R^2$ is continuously differentiable in a simply connected domain $dlr in R^2$ and its curl is zero, i.e., $pdiff-pdiff=0,$ everywhere in $dlr$, then $dlvf$ is conservative within the domain $dlr$.

It turns out the result for three-dimensions is essentially the same. If a vector field $dlvf: R^3 o R^3$ is continuously differentiable in a simply connected domain $dlv in R^3$ and its curl is zero, i.e., $curl dlvf = vc<0>$, everywhere in $dlv$, then $dlvf$ is conservative within the domain $dlv$.

One subtle difference between two and three dimensions is what it means for a region to be simply connected. Any hole in a two-dimensional domain is enough to make it non-simply connected. But, in three-dimensions, a simply-connected domain can have a hole in the center, as long as the hole doesn't go all the way through the domain, as illustrated in this figure.

The reason a hole in the center of a domain is not a problem in three dimensions is that we have more room to move around in 3D. If we have a curl-free vector field $dlvf$ (i.e., with no &ldquomicroscopic circulation&rdquo), we can use Stokes' theorem to infer the absence of &ldquomacroscopic circulation&rdquo around any closed curve $dlc$. To use Stokes' theorem, we just need to find a surface whose boundary is $dlc$. If the domain of $dlvf$ is simply connected, even if it has a hole that doesn't go all the way through the domain, we can always find such a surface. The surface can just go around any hole that's in the middle of the domain. With such a surface along which $curl dlvf=vc<0>$, we can use Stokes' theorem to show that the circulation $dlint$ around $dlc$ is zero. Since we can do this for any closed curve, we can conclude that $dlvf$ is conservative.

The flexiblity we have in three dimensions to find multiple surfaces whose boundary is a given closed curve is illustrated in this applet that we use to introduce Stokes' theorem.

Applet loading

Macroscopic and microscopic circulation in three dimensions. The relationship between the macroscopic circulation of a vector field $dlvf$ around a curve (red boundary of surface) and the microscopic circulation of $dlvf$ (illustrated by small green circles) along a surface in three dimensions must hold for any surface whose boundary is the curve. No matter which surface you choose (change by dragging the green point on the top slider), the total microscopic circulation of $dlvf$ along the surface must equal the circulation of $dlvf$ around the curve. (We assume that the vector field $dlvf$ is defined everywhere on the surface.) You can change the curve to a more complicated shape by dragging the blue point on the bottom slider, and the relationship between the macroscopic and total microscopic circulation still holds. The surface is oriented by the shown normal vector (moveable cyan arrow on surface), and the curve is oriented by the red arrow.

Of course, if the region $dlv$ is not simply connected, but has a hole going all the way through it, then $curl dlvf = vc<0>$ is not a sufficient condition for path-independence. In this case, if $dlc$ is a curve that goes around the hole, then we cannot find a surface that stays inside that domain whose boundary is $dlc$. Without such a surface, we cannot use Stokes' theorem to conclude that the circulation around $dlc$ is zero.


Conservative vector field question

Hey guys, got a multi-var calc exam coming up. Need your help with something. I wanna show that a certain vector field is conservative. say F=(P,Q,R). (derivatives are partial) set df/dx=P then f=integral(p)+h1(y) + h2(z) + h3(y)h4(z)? then take partials for y,z and try and work out the hi , i=1,2,3,4?? seems like the right idea but i can't get it to work. is there a condition i can use like dP/dy=dQ/dx in the 2-d case? or is it just "guesswork"? thanks in advance

افترض F is a vector field on some domain ه. نقول ذلك F is conservative if there is some scalar function F (called a potential) that has partial derivatives on ه and such that F = grad(F). The following implications hold:

F is conservative if and only if F has path-independent line integrals for paths entirely within ه.

F is conservative if and only if the line integral of F along any loop entirely within ه is 0.

إذا F is conservative on ه, then curl(F) = 0 on ه.

If curl(F) = 0 on ه و ه is simply connected, then F is conservative on ه.

Note the extra condition on ه in the last implication. This condition is necessary. The vector field F = (-y/r, x/r), where r = x 2 + y 2 has zero curl on the domain ه = ص 2 <(0,0)>(the punctured plane, which is not simply connected), but F is not conservative. (Why? The line integral of F on a loop around the origin is not 0.)

However, note that if curl(F) = 0 و ه is not simply connected, this does not mean that F is not conservative. For instance, just let F be any vector field that is conservative on ص 2 , and then restrict its domain to some non-simply-connected region. The vector field F is still conservative: restricting its domain has not changed that. For a less trivial example, consider F = (2x/r, 2y/r), whose natural domain is the punctured plane, which is not simply connected. لكن F is conservative on this domain since F = grad(ln(x 2 + y 2 )).

Finally, note that sometimes by restricting the domain a vector field becomes conservative. For instance, again consider F = (-y/r, x/r), but where the domain is the plane minus the non-negative x-axis. ثم F = grad(θ) on this domain, where θ is the usual polar angle. In the first quadrant, θ = arctan(y/x), and this function can be suitably extended to the plane minus the non-negative x-axis.


4 Answers 4

Air speed/direction on a weather map) is a very intuitive one. There's also other fluid velocity (and flux) vector fields in various chemE, mechE, and nukeE applications.

I personally think the air speed is most intuitive as something where you really need speed and direction (i.e. a vector, not a scalar) and it's something people encounter in daily life. Electrostatics is a little mysterious as I always find electrical things more "hidden" then mechanics or fluids. But the nice thing is you can actually do demonstrations of magnetic fields using iron filings on the overhead projector (showing the hidden field).

My concern a little about the two force fields, you listed is that many familiar two point calculations can be done, rather more conveniently, using scalars to solve for forces, potential energy change etc. I.e. it's not clear why we need to invoke vector calculus. Granted, it is possible to complicate the problems. But, I just would think to list some situations like air flow, where it's very clear the situation is more complex.

[Edit: for Steve. It's an interesting question, but I would be pretty hesitant about showing such an example to beginning general calc 3 students. After all, most econ undergrads don't even have a calc 3 requirement, sometimes taking "business calculus" rather than even a normal calc 1/2 sequence. Note: it's very important to differentiate between the requirements of research level econ and typical undergrad work. This in contrast to say engineering or physics, which are fairly mathematical even at the BS level.]