مقالات

4.7: تباين المعلمات للأنظمة الخطية غير المتجانسة - الرياضيات


تباين المعلمات للأنظمة الخطية غير المتجانسة

نحن الآن نعتبر النظام الخطي غير المتجانس

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} '= A (t) { bf y} + { bf f} (t) ،
نهاية {eqnarray *}

حيث (A ) هي (n times n ) دالة مصفوفة و ({ bf f} ) هي (n ) - دالة فرض متجه. يرتبط بهذا النظام ( textcolor {blue} { mbox {النظام المكمل}} ) ({ bf y} '= A (t) { bf y} ).

النظرية التالية مماثلة للنظرية ((2.3.2) ) و ((3.1.5) ). يوضح كيفية العثور على الحل العام لـ ({ bf y} '= A (t) { bf y} + { bf f} (t) ) إذا كنا نعرف حلًا معينًا لـ ({ bf y} '= A (t) { bf y} + { bf f} (t) ) ومجموعة أساسية من حلول النظام التكميلي. نترك الإثبات كتمرين (تمرين ((4.7E.21) )).

نظرية ( PageIndex {1} )

افترض أن (n times n ) دالة المصفوفة (A ) و (n ) - دالة المتجه ({ bf f} ) متصلة على ((a، b). ) دعنا ({ bf y} _p ) يكون حلاً خاصًا لـ ({ bf y} '= A (t) { bf y} + { bf f} (t) ) في ((a، ب) ) ، وليكن ( {{ bf y} _1 ، { bf y} _2 ، النقاط ، { bf y} _n } ) مجموعة أساسية من حلول المعادلة التكميلية ( { bf y} '= A (t) { bf y} ) في ((أ ، ب) ). إذن ({ bf y} ) هو حل ({ bf y} '= A (t) { bf y} + { bf f} (t) ) في ((a، b )) إذا وفقط إذا

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} = { bf y} _p + c_1 { bf y} _1 + c_2 { bf y} _2 + cdots + c_n { bf y} _n ،
نهاية {eqnarray *}

حيث (c_1، ) (c_2، ) ( dots )، (c_n ) هي ثوابت.

دليل

أضف إثباتًا هنا وسيتم إخفاؤه تلقائيًا إذا كان لديك قالب "رقم تلقائي" نشط على الصفحة.

إيجاد حل خاص لنظام غير متجانس

نناقش الآن امتدادًا لطريقة تغيير المعلمات للأنظمة الخطية غير المتجانسة. ستنتج هذه الطريقة حلاً معينًا لنظام غير متجانس ({ bf y} '= A (t) { bf y} + { bf f} (t) ) بشرط أن نعرف مصفوفة أساسية للمصفوفة التكميلية النظام. لاشتقاق الطريقة ، افترض أن (Y ) مصفوفة أساسية للنظام التكميلي ؛ هذا هو،

ابدأ {eqnarray *}
Y = left [ begin {array} y_ {11} & y_ {12} & cdots & y_ {1n} y_ {21} & y_ {22} & cdots & y_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots y_ {n1} & y_ {n2} & cdots & y_ {nn} end {array} right] ،
نهاية {eqnarray *}

أين

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} _1 = left [ start {array} y_ {11} y_ {21} vdots y_ {n1} end {array} right]، quad { bf y} _2 = left [ start {array} y_ {12} y_ {22} vdots y_ {n2} end {array} right] quad cdots، quad { bf y} _n = left [ start {array} y_ {1n} y_ {2n} vdots v_ {nn} end {array} right]
نهاية {eqnarray *}

هي مجموعة أساسية من حلول النظام التكميلي. في القسم 4.3 ، رأينا أن (Y '= A (t) Y ). نحن نسعى لحل خاص ل

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.7.1}
{ bf y} '= A (t) { bf y} + { bf f} (t)
نهاية {المعادلة}

النموذج

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.7.2}
{ bf y} _p = Y { bf u} ،
نهاية {المعادلة}

حيث سيتم تحديد ({ bf u} ). التفريق بين عوائد eqref {eq: 4.7.2}

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} _p '& = & Y' { bf u} + Y { bf u} '
& = & A Y { bf u} + Y { bf u} ' mbox {(منذ (Y' = AY ))} & = &
A { bf y} _p + Y { bf u} ' mbox {(منذ (Y { bf u} = { bf y} _p ))}.
نهاية {eqnarray *}

توضح مقارنة هذا بـ eqref {eq: 4.7.1} أن ({ bf y} _p = Y { bf u} ) هو حل eqref {eq: 4.7.1} إذا وفقط إذا

ابدأ {eqnarray *}
Y { bf u} '= { bf f}.
نهاية {eqnarray *}

وبالتالي ، يمكننا إيجاد حل معين ({ bf y} _p ) من خلال حل هذه المعادلة لـ ({ bf u} ') ، والتكامل للحصول على ({ bf u} ) ، والحساب (نعم { bf u} ). يمكننا اعتبار جميع ثوابت التكامل صفرًا ، حيث يكفي أي حل معين.

التمرين ((4.7E.22) ) يرسم دليلًا على أن هذه الطريقة مماثلة لطريقة تغيير المعلمات التي تمت مناقشتها في الأقسام (3.4 ) للمعادلات الخطية العددية.

مثال ( PageIndex {1} )

(أ) إيجاد حل معين للنظام

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.7.3}
{ bf y} '= left [ start {array} 1 & 2 2 & 1 end {array} right] { bf y} + left [ start {array} {c} 2e ^ {4t} e ^ {4t}
نهاية {مجموعة} يمين] ،
نهاية {المعادلة}

الذي نظرنا إليه في المثال ((4.2.1) ).

(ب)
أوجد الحل العام لـ eqref {eq: 4.7.3}.

إجابه

(أ) النظام التكميلي هو

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.7.4}
{ bf y} '= left [ start {array} 1 & 2 2 & 1 end {array} right] { bf y}.
نهاية {المعادلة}

كثير الحدود المميز لمصفوفة المعامل هو

ابدأ {eqnarray *}
اليسار | start {array} 1- lambda & 2 2 & a- lambda end {array} right | = ( لامدا + 1) ( لامدا - 3).
نهاية {eqnarray *}

وباستخدام طريقة المقطع (4.4 ) نجد ذلك

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} _1 = left [ begin {array} e ^ {3t} e ^ {3t} end {array} right] quad mbox {and} quad { bf y } _2 = left [ begin {array} e ^ {- t} -e ^ {- t} end {array} right]
نهاية {eqnarray *}

هي حلول مستقلة خطيًا عن eqref {eq: 4.7.4}. لذلك

ابدأ {eqnarray *}
Y = left [ begin {array} e ^ {3t} & e ^ {- t} e ^ {3t} & -e ^ {- t} end {array} right]
نهاية {eqnarray *}

هي مصفوفة أساسية لـ eqref {eq: 4.7.4}. نسعى لحل معين ({ bf y} _p = Y { bf u} ) من eqref {eq: 4.7.3} ، حيث (Y { bf u} '= { bf f} ) ؛ هذا هو،

ابدأ {eqnarray *}
left [ begin {array} e ^ {3t} & e ^ {- t} e ^ {3t} & -e ^ {- t} end {array} right] left [ begin {مجموعة} {u_1 '} {u_2'} end {array} right] = left [ begin {array} 2e ^ {4t} e ^ {4t} end {array } حق].
نهاية {eqnarray *}

محدد (Y ) هو Wronskian

ابدأ {eqnarray *}
اليسار | start {array} e ^ {3t} & e ^ {- t} e ^ {3t} & -e ^ {- t} end {array} right | = -2e ^ {2t}.
نهاية {eqnarray *}

بحكم كرامر ،

ابدأ {eqnarray *}
تبدأ {مجموعة} u_1 '& = & - displaystyle {1 over 2e ^ {2t}} left | start {array} 2e ^ {4t} & e ^ {- t} e ^ {4t} & -e ^ {- t} end {array} right | & = & displaystyle {3e ^ {3t} over 2e ^ {2t}} & = & displaystyle {3 over 2} e ^ t، u_2 '& = & - displaystyle {1 over 2e ^ {2t}} اليسار | start {array} e ^ {3t} & 2e ^ {4t} e ^ {3t} & e ^ {4t} end {array} right | & = & displaystyle {e ^ {7t} over 2e ^ {2t}} & = & displaystyle {1 over 2} e ^ {5t}. نهاية {مجموعة}
نهاية {eqnarray *}

لذلك

ابدأ {eqnarray *}
{ bf u} '= {1 over 2} left [ start {array} 3e ^ t e ^ {5t} end {array} right].
نهاية {eqnarray *}

تكامل وأخذ ثوابت التكامل على أنها صفر غلة

ابدأ {eqnarray *}
{ bf u} = {1 over 10} left [ start {array} 15e ^ t e ^ {5t} end {array} right] ،
نهاية {eqnarray *}

وبالتالي

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} _p = Y { bf u} = displaystyle {1 over 10} left [ begin {array} e ^ {3t} & e ^ {- t} e ^ {3t } & -e ^ {- t} end {array} right] left [ begin {array} 15e ^ t e ^ {5t} end {array} right] = phantom {0 } displaystyle {1 over 5} left [ begin {array} 8e ^ {4t} 7e ^ {4t} end {array} right]
نهاية {eqnarray *}

هو حل خاص لـ eqref {eq: 4.7.3}.

(ب) من النظرية ((4.7.1) ) ، الحل العام لـ eqref {eq: 4.7.3} هو

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.7.5}
{ bf y} = { bf y} _p + c_1 { bf y} _1 + c_2 { bf y} _2 =
{1 over5} left [ begin {array} {c} 8e ^ {4t} 7e ^ {4t} end {array} right]
+ c_1 left [ start {array} {r} e ^ {3t} e ^ {3t} end {array} right]
+ c_2 left [ start {array} {r} e ^ {- t} - e ^ {- t} end {array} right]،
نهاية {المعادلة}

والتي يمكن كتابتها أيضًا باسم

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} = {1 over 5} left [ begin {array} 8e ^ {4t} 7e ^ {4t} end {array} right] + left [ begin {array } e ^ {3t} & e ^ {- t} e ^ {3t} & -e ^ {- t} end {array} right] { bf c}،
نهاية {eqnarray *}

حيث ({ bf c} ) متجه ثابت تعسفي.

كتابة eqref {eq: 4.7.5} من حيث عوائد الإحداثيات

ابدأ {eqnarray *}
y_1 & = & {8 over5} e ^ {4t} + c_1e ^ {3t} + c_2e ^ {- t}
y_2 & = & {7 over5} e ^ {4t} + c_1e ^ {3t} -c_2e ^ {- t} ،
نهاية {eqnarray *}

لذلك تتوافق نتيجتنا مع مثال ((4.2.1) ).

إذا لم يكن (A ) مصفوفة ثابتة ، فمن الصعب عادةً العثور على مجموعة أساسية من الحلول للنظام ({ bf y} '= A (t) { bf y} ). إنه خارج نطاق هذا النص لمناقشة طرق القيام بذلك. لذلك ، في الأمثلة التالية وفي التمارين التي تتضمن أنظمة ذات مصفوفات معامل متغيرة ، سنوفر مصفوفات أساسية للأنظمة التكميلية دون شرح كيفية الحصول عليها.

مثال ( PageIndex {2} )

ابحث عن حل خاص لـ

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.7.6}
{ bf y} '= left [ start {array} {cc} 2 & 2e ^ {- 2t} 2e ^ {2t} & 4 end {array} right] { bf y} + left [ ابدأ {مجموعة} 1 1 نهاية {مجموعة} يمين] ،
نهاية {المعادلة}

بشرط

ابدأ {eqnarray *}
Y = left [ begin {array} e ^ {4t} & -1 e ^ {6t} & e ^ {2t} end {array} right]
نهاية {eqnarray *}

هي مصفوفة أساسية للنظام التكميلي.

إجابه

نسعى لحل معين ({ bf y} _p = Y { bf u} ) من eqref {eq: 4.7.6} حيث (Y { bf u} '= { bf f} ) ؛ هذا هو،

ابدأ {eqnarray *}
left [ begin {array} e ^ {4t} & -1 e ^ {6t} & e ^ {2t} end {array} right] left [ begin {array} { u_1 '} {u_2'} end {array} right] = left [ begin {array} 1 1 end {array} right].
نهاية {eqnarray *}

محدد (Y ) هو Wronskian

ابدأ {eqnarray *}
اليسار | start {array} e ^ {4t} & -1 e ^ {6t} & e ^ {2t} end {array} right | = 2e ^ {6t}.
نهاية {eqnarray *}

بحكم كرامر ،

ابدأ {eqnarray *}
تبدأ {مجموعة} u_1 '& = & displaystyle {1 over 2e ^ {6t}} left | start {array} 1 & -1 1 & e ^ {2t} end {array} right | & = & displaystyle {e ^ {2t} + 1 over 2e ^ {6t}} & = & displaystyle {e ^ {4t} + e ^ {- 6t} over 2} u_2 '& = & displaystyle {1 over 2e ^ {6t}} left | start {array} e ^ {4t} & 1 e ^ {6t} & 1 end {array} right | & = & displaystyle {e ^ {4t} - e ^ {6t} over 2 e ^ {6t}} & = & displaystyle {e ^ {- 2t} - 1 over 2}. نهاية {مجموعة}
نهاية {eqnarray *}

لذلك

ابدأ {eqnarray *}
{ bf u} '= {1 over 2} left [ start {array} e ^ {- 4t} + e ^ {- 6t} e ^ {- 2t} - 1 end {array } حق].
نهاية {eqnarray *}

تكامل وأخذ ثوابت التكامل على أنها صفر غلة

ابدأ {eqnarray *}
{ bf u} = - {1 أكثر من {24}} يسار [ تبدأ {مجموعة} 3e ^ {- 4t} + 2e ^ {- 6t} 6e ^ {- 2t} + 12t end {مجموعة} يمين] ،
نهاية {eqnarray *}

وبالتالي

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} _p = Y { bf u} = - displaystyle {1 over 24} left [ begin {array} e ^ {4t} & -1 e ^ {6t} & e ^ {2t} end {array} right] left [ begin {array} 3e ^ {- 4t} + 2e ^ {- 6t} 6e ^ {- 2t} + 12t end {array} right] = displaystyle {1 over 24} left [ begin {array} 4e ^ {- 2t} + 12t - 3 -3e ^ {2t} (4t + 1) -8 end { مجموعة} يمين]
نهاية {eqnarray *}

هو حل خاص لـ eqref {eq: 4.7.6}.

مثال ( PageIndex {3} )

ابحث عن حل خاص لـ

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.7.7}
{ bf y} '= - {2 over t ^ 2} left [ begin {array} {cc} t & -3t ^ 2 1 & -2t end {array} right] { bf y} + t ^ 2 left [ start {array} 1 1 end {array} right] ،
نهاية {المعادلة}

بشرط

ابدأ {eqnarray *}
Y = left [ start {array} 2t & 3t ^ 2 1 & 2t end {array} right]
نهاية {eqnarray *}

هي مصفوفة أساسية للنظام التكميلي على ((- infty ، 0) ) و ((0 ، infty) ).

إجابه

نسعى إلى حل معين ({ bf y} _p = Y { bf u} ) من eqref {eq: 4.7.7} حيث (Y { bf u} '= { bf f} ) ؛ هذا هو،

ابدأ {eqnarray *}
يسار [ start {array} 2t & 3t ^ 2 1 & 2t end {array} right] left [ begin {array} {u_1 '} {u_2'} end {array} right] = left [ start {array} {t ^ 2} {t ^ 2} end {array} right].
نهاية {eqnarray *}

محدد (Y ) هو Wronskian

ابدأ {eqnarray *}
اليسار | start {array} 2t & 3t ^ 2 1 & 2t end {array} right | = t ^ 2.
نهاية {eqnarray *}

بحكم كرامر ،

ابدأ {eqnarray *}
start {array} u_1 '& = & displaystyle {1 over t ^ 2} left | ابدأ {مجموعة} t ^ 2 & 3t ^ 2 t ^ 2 & 2t end {array} right | & = & displaystyle {2t ^ 3 - 3t ^ 4 over t ^ 2} & = & 2t - 3t ^ 2، u_2 '& = & displaystyle {1 over t ^ 2} left | start {array} 2t & t ^ 2 1 & t ^ 2 end {array} right | & = & displaystyle {2t ^ 3 - t ^ 2 over t ^ 2} & = & 2t-1. نهاية {مجموعة}
نهاية {eqnarray *}

لذلك

ابدأ {eqnarray *}
{ bf u} '= left [ start {array} 2t - 3t ^ 2 2t-1 end {array} right].
نهاية {eqnarray *}

تكامل وأخذ ثوابت التكامل على أنها صفر غلة

ابدأ {eqnarray *}
{ bf u} = left [ start {array} t ^ 2 - t ^ 3 t ^ 2 - t end {array} right]،
نهاية {eqnarray *}

وبالتالي

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} _p = Y { bf u} = left [ start {array} 2t & 3t ^ 2 1 & 2t end {array} right] left [ begin {array} t ^ 2 - t ^ 3 t ^ 2 - t end {array} right] = left [ start {array} t ^ 3 (t-1) t ^ 2 (t -1) نهاية {مجموعة} يمين]
نهاية {eqnarray *}

هو حل خاص لـ eqref {eq: 4.7.7}.

مثال ( PageIndex {4} )

(أ) إيجاد حل معين ل

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.7.8}
{ bf y} '= left [ begin {array} 2 & {-1} & {-1} 1 & 0 & {-1} 1 & {-1} & 0 end {array} right] { bf y} + left [ begin {array} {c} e ^ {t} 0 e ^ {- t} end {array} right].
نهاية {المعادلة}

(ب) أوجد الحل العام لـ eqref {eq: 4.7.8}.

إجابه

(أ) النظام التكميلي لـ eqref {eq: 4.7.8} هو

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.7.9}
{ bf y} '= left [ begin {array} 2 & {-1} & {-1} 1 & 0 & {-1} 1 & {-1} & 0 end {مجموعة} يمين] { فرنك بلجيكي ذ}.
نهاية {المعادلة}

كثير الحدود المميز لمصفوفة المعامل هو

ابدأ {eqnarray *}
اليسار | start {array} 2 - lambda & -1 & -1 1 & - lambda & -1 1 & -1 & - lambda end {array} right | = - لامدا ( لامدا -1) ^ 2.
نهاية {eqnarray *}

وباستخدام طريقة المقطع (4.4 ) نجد ذلك

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} _1 = left [ start {array} 1 1 1 end {array} right]، quad { bf y} _2 = left [ begin {array} e ^ t e ^ t 0 end {array} right] ، quad mbox {and} quad { bf y} _3 = left [ begin {array} e ^ t 0 e ^ t end {array} right]
نهاية {eqnarray *}

هي حلول مستقلة خطيًا عن eqref {eq: 4.7.9}. لذلك

ابدأ {eqnarray *}
Y = left [ start {array} 1 & e ^ t & e ^ t 1 & e ^ t & 0 1 & 0 & e ^ t end {array} right]
نهاية {eqnarray *}

هي مصفوفة أساسية لـ eqref {eq: 4.7.9}. نسعى إلى حل معين ({ bf y} _p = Y { bf u} ) من eqref {eq: 4.7.8} ، حيث
(Y { bf u} '= { bf f} ) ؛ هذا هو،

ابدأ {eqnarray *}
left [ start {array} 1 & e ^ t & e ^ t 1 & e ^ t & 0 e & 0 & e ^ t end {array} right] left [ begin {مجموعة} {u_1 '} {u_2'} {u_3 '} end {array} right] = left [ begin {array} e ^ t 0 e ^ {-t} end {array} right].
نهاية {eqnarray *}

محدد (Y ) هو Wronskian

ابدأ {eqnarray *}
اليسار | start {array} 1 & e ^ t & e ^ t 1 & e ^ t & 0 1 & 0 & e ^ t end {array} right | = -e ^ {2t}.
نهاية {eqnarray *}

وهكذا ، بحكم كرامر ،

ابدأ {eqnarray *}
تبدأ {مجموعة} u_1 '& = & - displaystyle {1 over e ^ {2t}} left | start {array} e ^ t & e ^ t & e ^ t 0 & e ^ t & 0 e ^ {- t} & 0 & e ^ t end {array} right | & = & - displaystyle {e ^ {3t} - e ^ t over e ^ {2t}} & = & e ^ {- t} - e ^ t u_2 '& = & - displaystyle {1 أكثر من e ^ {2t}} left | start {array} 1 & e ^ t & e ^ t 1 & 0 & 0 1 & e ^ {- t} & e ^ t end {array} right | & = & - displaystyle {1 - e ^ {2t} over e ^ {2t}} & = & 1 - e ^ {- 2t} u_3 '& = & - displaystyle {1 over e ^ { 2t}} اليسار | start {array} 1 & e ^ t & e ^ t 1 & e ^ t & 0 1 & 0 & e ^ {- t} end {array} right | & = & displaystyle {e ^ {2t} over e ^ {2t}} & = & 1. end {array}
نهاية {eqnarray *}

لذلك

ابدأ {eqnarray *}
{ bf u} '= left [ start {array} e ^ {- t} - e ^ t 1 - e ^ {- 2t} 1 end {array} right].
نهاية {eqnarray *}

تكامل وأخذ ثوابت التكامل على أنها صفر غلة

ابدأ {eqnarray *}
{ bf u} = left [ begin {array} -e ^ t - e ^ {- t} displaystyle {e ^ {- 2t} over 2} + t t end { مجموعة} يمين] ،
نهاية {eqnarray *}

وبالتالي

ابدأ {eqnarray *}
start {array} { bf y} _p = Y { bf u} & = & left [ start {array} 1 & e ^ t & e ^ t 1 & e ^ t & 0 1 & 0 & e ^ t end {array} right] left [ begin {array} -e ^ t - e ^ {- t} displaystyle {e ^ {- 2t} over 2} + t t end {array} right] & = & left [ begin {array} e ^ t (2t-1) - displaystyle {e ^ {- t} over 2} e ^ t (t-1) - displaystyle {e ^ {- t} over 2} e ^ t (t-1) - displaystyle {e ^ {- t}} end { مجموعة} يمين] نهاية {مجموعة}
نهاية {eqnarray *}

هو حل خاص لـ eqref {eq: 4.7.8}.

(ب) من النظرية ((4.7.1) ) الحل العام لـ eqref {eq: 4.7.8} هو

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} = { bf y} _p + c_1 { bf y} _1 + c_2 { bf y} _2 + c_3 { bf y} _3 = left [ start {array} e ^ t (2t-1) - displaystyle {e ^ {- t} over 2} e ^ t (t-1) - displaystyle {e ^ {- t} over 2} e ^ t (t -1) - displaystyle {e ^ {- t}} end {array} right] + c_1 left [ begin {array} 1 1 1 end {array} right] + c_2 left [ start {array} e ^ t e ^ t 0 end {array} right] + c_3 left [ begin {array} e ^ t 0 e ^ t end {array} right] ،
نهاية {eqnarray *}

والتي يمكن كتابتها كـ

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} = { bf y} _p + Y { bf c} = left [ begin {array} e ^ t (2t-1) - displaystyle {e ^ {- t} over 2} e ^ t (t-1) - displaystyle {e ^ {- t} over 2} e ^ t (t-1) - displaystyle {e ^ {- t}} end { صفيف} يمين] + يسار [ start {array} 1 & e ^ t & e ^ t 1 & e ^ t & 0 1 & 0 & e ^ t end {array} right ] { bf c}
نهاية {eqnarray *}

حيث ({ bf c} ) متجه ثابت تعسفي.

مثال ( PageIndex {5} )

ابحث عن حل خاص لـ

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.7.10}
{ bf y} '= {1 over2}
left [ begin {array} {ccc} 3 & e ^ {- t} & - e ^ {2t} 0 & 6 & 0 - e ^ {- 2t} & e ^ {- 3t} & - 1 end {array} حق]
{ bf y} + left [ start {array} {c} 1 e ^ t e ^ {- t} end {array} right] ،
نهاية {المعادلة}

بشرط

ابدأ {eqnarray *}
Y = left [ begin {array} e ^ t & 0 & e ^ {2t} 0 & e ^ {3t} & e ^ {3t} e ^ {- t} & 1 & 0 نهاية {مجموعة} يمين]
نهاية {eqnarray *}

هي مصفوفة أساسية للنظام التكميلي.

إجابه

نسعى لإيجاد حل خاص لـ eqref {eq: 4.7.10} بالصيغة ({ bf y} _p = Y { bf u} ) ، حيث (Y { bf u} '= { bf F})؛ هذا هو،

ابدأ {eqnarray *}
left [ begin {array} e ^ t & 0 & e ^ {2t} 0 & e ^ {3t} & e ^ {3t} e ^ {- t} & 1 & 0 end {array} right] left [ start {array} {u_1 '} {u_2'} {u_3 '} end {array} right] = left [ begin {array} 1 e ^ t e ^ {- t} end {array} right].
نهاية {eqnarray *}

محدد (Y ) هو Wronskian

ابدأ {eqnarray *}
اليسار | start {array} e ^ t & 0 & e ^ {2t} 0 & e ^ {3t} & e ^ {3t} e ^ {- t} & 1 & 0 end {array} الحق | = -2e ^ {4t}.
نهاية {eqnarray *}

بحكم كرامر ،

ابدأ {eqnarray *}
تبدأ {مجموعة} u_1 '& = & - displaystyle {1 over 2e ^ {4t}} left | start {array} 1 & 0 & e ^ {2t} e ^ t & e ^ {3t} & e ^ {3t} e ^ {- t} & 1 & 0 end {array} الحق | & = & displaystyle {e ^ {4t} over 2 e ^ {4t}} & = & displaystyle {1 over 2} u_2 '& = & - displaystyle {1 over 2 e ^ {4t }} اليسار | start {array} e ^ t & 1 & e ^ {2t} 0 & e ^ t & e ^ {3t} e ^ {- t} & e ^ {- t} & 0 end {مجموعة} حق | & = & displaystyle {e ^ {3t} over 2e ^ {4t}} & = & displaystyle {1 over 2} e ^ {- t} u_3 '& = & - displaystyle {1 over 2e ^ {4t}} يسار | start {array} e ^ t & 0 & 1 0 & e ^ {3t} & e ^ t e ^ {- t} & 1 & e ^ {- t} end {array} حق | & = & - displaystyle {e ^ {3t} - 2e ^ {2t} over 2e ^ {4t}} & = & displaystyle {2e ^ {- 2t} - e ^ {- t} over 2} نهاية {مجموعة}
نهاية {eqnarray *}

لذلك

ابدأ {eqnarray *}
{ bf u} '= {1 over 2} left [ start {array} 1 e ^ {- t} 2e ^ {- 2t} - e ^ {- t} end { مجموعة} يمين].
نهاية {eqnarray *}

تكامل وأخذ ثوابت التكامل على أنها صفر غلة

ابدأ {eqnarray *}
{ bf u} = {1 over 2} left [ begin {array} t -e ^ {- t} e ^ {- t} - e ^ {- 2t} end { مجموعة} يمين] ،
نهاية {eqnarray *}

وبالتالي

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} _p = Y { bf u} = {1 over 2} left [ begin {array} e ^ t & 0 & e ^ {2t} 0 & e ^ {3t} & e ^ {3t} e ^ {- t} & 1 & 0 end {array} right] left [ begin {array} t -e ^ {- t} e ^ {-t} - e ^ {- 2t} end {array} right] = displaystyle {1 over 2} left [ begin {array} e ^ t (t + 1) - 1 -e ^ t e ^ {- t} (t-1) end {array} right]
نهاية {eqnarray *}

هو حل خاص لـ eqref {eq: 4.7.10}.


4.7: تباين المعلمات للأنظمة الخطية غير المتجانسة - الرياضيات

نحتاج الآن إلى إلقاء نظرة على الطريقة الثانية لتحديد حل معين لمعادلة تفاضلية. كما فعلنا عندما رأينا لأول مرة تباين المعلمات ، سنمر بالعملية بأكملها ونشتق مجموعة من الصيغ التي يمكن استخدامها لإنشاء حل معين.

ومع ذلك ، كما رأينا سابقًا عند النظر إلى المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية ، يمكن أن تؤدي هذه الطريقة إلى تكاملات ليس من السهل تقييمها. لذلك ، بينما يمكن دائمًا استخدام هذه الطريقة ، على عكس المعاملات غير المحددة ، على الأقل لكتابة معادلة لحل معين ، لن يكون من الممكن دائمًا الحصول على حل فعليًا.

فلنبدأ هذه العملية. سنبدأ بالمعادلة التفاضلية ،

ونفترض أننا وجدنا مجموعة أساسية من الحلول ، ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط left (t right) ) ، للمعادلة التفاضلية المتجانسة المصاحبة.

نظرًا لأن لدينا مجموعة أساسية من الحلول للمعادلة التفاضلية المتجانسة ، فإننا نعلم الآن أن الحل التكميلي هو ،

[ص يسار (t يمين) = يسار (t يمين) + يسار (t يمين) + cdots + يسار (t يمين) ]

تتضمن طريقة تغيير المعلمات محاولة العثور على مجموعة من الوظائف الجديدة ، ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط يسار (t يمين) ) بحيث ،

[يبدأص يسار (t يمين) = يسار (t يمين) يسار (t يمين) + يسار (t يمين) يسار (t يمين) + cdots + يسار (t يمين) يسار (t يمين) التسميةنهاية]

سيكون حلاً للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة. من أجل تحديد ما إذا كان ذلك ممكنًا ، والعثور على ( left (t right) ) إذا كان ذلك ممكنًا ، فسنحتاج إلى إجمالي (n ) المعادلات التي تتضمن وظائف غير معروفة يمكننا (نأمل) حلها.

إحدى المعادلات سهلة. التخمين ، ( eqref) ، يجب أن تفي بالمعادلة التفاضلية الأصلية ، ( eqref). لذلك ، دعونا نبدأ في أخذ بعض المشتقات وكما فعلنا عندما نظرنا لأول مرة في تباين المعلمات ، سنضع بعض الافتراضات على طول الطريق التي ستبسط عملنا وفي العملية تولد المعادلات المتبقية التي سنحتاجها.

المشتق الأول لـ ( eqref) هو،

لاحظ أننا أعدنا ترتيب نتائج عملية التمايز قليلاً هنا وأسقطنا الجزء ( left (t right) ) على (u ) و (y ) لجعل هذا أسهل قليلاً في القراءة . الآن ، إذا واصلنا التمييز بين هذا الأمر ، فسوف يصبح سريعًا غير عملي ، لذا دعونا نفترض أنه نبسط الأمور هنا. لأننا بعد ( left (t right) ) ربما يجب أن نحاول تجنب ترك المشتقات في هذه تصبح كبيرة جدًا. لذا ، فلنفترض أن ،

السؤال الطبيعي في هذه المرحلة هو هل هذا منطقي؟ الإجابة هي ، إذا انتهى بنا المطاف بنظام (n ) المعادلات التي يمكننا حلها من أجل ( left (t right) ) ثم نعم ، من المنطقي القيام بذلك. بالطبع ، الإجابة الأخرى هي أننا لن نفترض هذا الافتراض إذا لم نكن نعرف أنه سينجح. ومع ذلك ، لقبول هذه الإجابة يتطلب أن تثق بنا في وضع الافتراضات الصحيحة ، لذلك ربما تكون الإجابة الأولى هي الأفضل في هذه المرحلة.

عند هذه النقطة ، يكون المشتق الأول لـ ( eqref) هو،

ويمكننا الآن أخذ المشتق الثاني للحصول على ،

هذا يشبه إلى حد كبير المشتق الأول الأصلي قبل أن نبسطه ، لذا دعونا نجعل التبسيط مرة أخرى. سنرغب مرة أخرى في الاحتفاظ بالمشتقات على ( left (t right) ) إلى الحد الأدنى ، لذا لنفترض هذه المرة ،

وبهذا الافتراض يصبح المشتق الثاني ،

نأمل أن تبدأ في رؤية نمط يتطور هنا. إذا واصلنا هذه العملية للمشتقات (n - 1 ) الأولى ، فسنصل إلى الصيغة التالية لهذه المشتقات.

للوصول إلى كل من هذه الصيغ ، كان علينا أيضًا افتراض ذلك ،

وتذكر أن المشتق 0 للدالة ما هو إلا الوظيفة نفسها. لذلك ، على سبيل المثال ، (y_2 ^ < left (0 right)> left (t right) = يسار (t يمين) ).

لاحظ كذلك أن مجموعة الفروض في ( eqref) أعطنا في الواقع (n - 1 ) المعادلات من حيث مشتقات الدوال المجهولة: ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط يسار (t يمين) ).

كل ما علينا فعله بعد ذلك هو الانتهاء من إنشاء المعادلة الأولى التي بدأنا هذه العملية للعثور عليها (بمعنى آخر. يسد ( eqref) إلى ( eqref)). للقيام بذلك ، سنحتاج إلى مشتق آخر للتخمين. التفريق بين (< left ( right) ^ << mbox>>> ) ، والتي يمكننا الحصول عليها من ( eqref) ، للحصول على المشتق (n ) الذي يعطي ،

هذه المرة أيضًا لن نفترض أي افتراضات لتبسيط هذا ولكن بدلاً من ذلك فقط عوض عن ذلك مع المشتقات الواردة في ( eqref) في المعادلة التفاضلية ، ( eqref)

بعد ذلك ، أعد ترتيب هذا قليلاً للحصول عليه ،

أذكر ذلك ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط left (t right) ) كلها حلول للمعادلة التفاضلية المتجانسة ، وبالتالي فإن جميع الكميات في ( left [< ، ،> right] ) هي صفر وهذا يقلل إلى ،

إذن ، هذه المعادلة جنبًا إلى جنب مع المعطيات الواردة في ( eqref) ، أعطنا (n ) المعادلات التي نحتاجها. دعنا نعرضها جميعًا هنا من أجل الاكتمال.

إذن ، لدينا معادلات (n ) ، لكن لاحظ أنه مثلما حصلنا عليه عندما فعلنا ذلك في المعادلات التفاضلية ذات الترتيب الثاني ، فإن المجهولات في النظام ليست كذلك ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط يسار (t يمين) ) لكنهم بدلاً من ذلك هم المشتقات ، ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط يسار (t يمين) ). هذه ليست مشكلة كبيرة مع ذلك. شريطة أن نتمكن من حل هذا النظام ، يمكننا حينئذٍ دمج الحلول للحصول على الوظائف التي نسعى وراءها.

أيضًا ، تذكر أن ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط left (t right) ) يُفترض أنها دوال معروفة ولذا فهي مع مشتقاتها (التي تظهر في النظام) كلها كميات معروفة في النظام.

الآن ، نحن بحاجة إلى التفكير في كيفية حل هذا النظام. إذا لم يكن هناك الكثير من المعادلات ، فيمكننا حلها مباشرة إذا أردنا ذلك. ومع ذلك ، بالنسبة إلى الحجم الكبير (n ) (ولن يستغرق الأمر الكثير حتى يصبح كبيرًا هنا) ، فقد يكون ذلك مملاً للغاية وعرضة للخطأ ولن يعمل على الإطلاق بشكل عام (n ) كما فعلنا هنا .

أفضل طريقة حل لاستخدامها في هذه المرحلة هي قاعدة كريمر. لقد استخدمنا قاعدة Cramer عدة مرات في هذه الدورة التدريبية ، ولكن أفضل مرجع لأغراضنا هنا هو عندما استخدمناها عندما حددنا لأول مرة مجموعات أساسية من الحلول مرة أخرى في مادة الترتيب الثاني.

عند استخدام قاعدة كريمر لحل النظام ، فإن الحل الناتج لكل () سيكون حاصل قسمة اثنين من محددات (n ) x (n ) المصفوفات. سيكون مقام كل حل هو المحدد لمصفوفة المعاملات المعروفة ،

ومع ذلك ، هذا هو مجرد Wronskian لـ ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط left (t right) ) كما هو مذكور أعلاه ولأننا افترضنا أن هذه تشكل مجموعة أساسية من الحلول ، نعلم أيضًا أن Wronskian لن يكون صفرًا. يخبرنا هذا بدوره أن النظام أعلاه قابل للحل في الواقع وأن جميع الافتراضات التي قدمناها على ما يبدو من اللون الأزرق أعلاه قد نجحت بالفعل.

بسط حل () سيكون محددًا لمصفوفة المعاملات مع استبدال العمود (i ) بالعمود ( left (<0،0،0 ، ldots ، 0 ، g left (t right)> حق)). على سبيل المثال ، البسط الأول ، () هو،

الآن ، من خلال خاصية جيدة للمحددات إذا أخذنا شيئًا ما من أحد أعمدة المصفوفة ، فإن محدد المصفوفة الناتجة سيكون العامل مضروبًا في محدد المصفوفة الجديدة. بمعنى آخر ، إذا أخرجنا (ز يسار (t يمين) ) من هذه المصفوفة نصل إلى ،

لقد فعلنا هذا لأول واحد فقط ، ولكن كان بإمكاننا القيام بذلك بنفس السهولة باستخدام أي من الحلول ​​(n ). لذا دع () يمثل المحدد الذي نحصل عليه عن طريق استبدال العمود (i ) من العمود Wronskian بالعمود ( left (<0،0،0 ، ldots ، 0،1> right) ) والحل إلى النظام يمكن كتابتها بعد ذلك ،

رائع! كان هذا مجهودًا كبيرًا لإنشاء النظام وحلّه ولكننا على وشك الانتهاء. مع حل النظام في متناول اليد ، يمكننا الآن دمج كل من هذه المصطلحات لتحديد الوظائف غير المعروفة فقط ، ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط left (t right) ) نحن بعد كل شيء.

أخيرًا ، حل خاص لـ ( eqref) من قبل ،

يجب أن نلاحظ أيضًا أنه في عملية الاشتقاق هنا افترضنا أن معامل (> ) كان المصطلح واحدًا وقد تم تضمينه في الصيغة أعلاه. إذا لم يكن معامل هذا المصطلح واحدًا ، فسنحتاج إلى التأكد منه وقسمته قبل محاولة استخدام هذه الصيغة.

قبل أن نعمل على مثال هنا ، يجب أن نلاحظ حقًا أنه بينما يمكننا كتابة هذه الصيغة ، فإن حساب هذه التكاملات قد يكون مستحيلًا.

حسنًا ، دعنا نلقي نظرة على مثال سريع.

المعادلة المميزة هي

إذن ، لدينا ثلاثة جذور مميزة حقيقية هنا ، وبالتالي فإن الحل التكميلي هو ،

حسنًا ، لدينا الآن العديد من المحددات لحسابها. سنترك الأمر لك للتحقق من الحسابات المحددة التالية.

الآن ، بالنظر إلى أن (g left (t right) = 3 + 4 << bf> ^ <- t >> ) يمكننا حساب كل من (). ها هي تلك التكاملات.

لاحظ أننا لم نقم بتضمين ثوابت التكامل في كل من هذه لأن تضمينها كان سيقدم للتو مصطلحًا يمكن استيعابه في الحل التكميلي تمامًا كما رأينا عندما كنا نتعامل مع المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية.

أخيرًا ، الحل المعين لهذه المعادلة التفاضلية هو ،

الحل العام إذن ،

سنقوم بعمل مثال واحد فقط في هذا القسم لتوضيح العملية أكثر من أي شيء آخر لذلك سنغلق هذا القسم.


رياضيات 284 المعادلات التفاضلية (ربيع 2021)

MWF 11: 00-11: 50 صباحًا (وجه لويس 304)

T 11: 00-11: 50 صباحًا (عبر الإنترنت WeBeX)

T مجرد محاضرة أخرى ولكن عبر الإنترنت.

وضع العلامات: يتم تحديد النسبة المئوية للدورة من خلال:

منتصف المدة 1 M1100
منتصف المدة 2 م 2100
نهائي F 100
الاختبارات القصيرة س 100
________________________________
400

النهائي ليس شاملا.
ستة اختبارات كل منها تساوي 20 نقطة
سيعطى. أفضل 5 مسابقات
عشرات تحدد س أعلاه.

ستكون درجات الامتحان والاختبار
نشر في D2L.

يشار إلى مواعيد الامتحانات والاختبارات
على ال الجدول أدناه. محتواها
سيتم الإعلان عنها في الفصل و
نشرت أدناه

جميع الاختبارات / الاختبارات هي كتاب مغلق.

لا توجد أجهزة / هواتف إلكترونية
مسموح.

المنهج: المواد التي يغطيها النص مأخوذة من:

الفصل 1 تعريفات تمهيدية
الفصل 2 طرق ODE من الدرجة الأولى
الفصل 3 النماذج من الدرجة الأولى
الفصل 4 طرق ODE الخطية من الدرجة الثانية
الفصل 6 معادلات تفاضلية ذات رتبة أعلى
الفصل 7 تحويلات لابلاس
الفصل 9 الأنظمة الخطية

الواجب المنزلي: مقترح الواجب المنزلي مدرج أدناه.

على الرغم من أن الواجب المنزلي لا متدرج
إنه ممثل لأنواع
الأسئلة التي ستكون في الاختبارات
والامتحانات.

نشرات مراجعة إضافية ومحاضرة
سيتم نشر الملاحظات في D2L تحت
"المحتويات" كما تتطور الدورة.



جدول

الواجبات والمناهج المقترحة

النهائي: الأربعاء. 28 أبريل ، 11: 00-11: 50 صباحًا

Lews Hall 304 (درجة عادية)

الفصل 9: الوصف أدناه

مراجعة المشاكل المنشورة في D2L

الامتحان والاختبار أوصاف المحتوى:

التعريفات الأساسية (الخطية ، المرتبة.) ، الحلول الصريحة والضمنية للمعادلات التفاضلية ، التحقق من أن y (x) هو الحل ، وإيجاد ODE للحلول الضمنية ، والمعادلات القابلة للفصل وحل مشاكل القيمة الأولية (IVP). لن يكون هناك أي شيء بخصوص مشكلة الجسم الساقط في (2.1) ولا طريقة سلسلة تايلور في الفصل 1.

تعرف على تعريفات وتقنيات برنولي القابلة للفصل والخطية والدقيقة والمتجانسة. سيكون أحد الأسئلة عبارة عن مخطط حيث تقرر ما إذا كان البرنولي خطيًا ومتجانسًا وقابل للفصل. ثلاثة أسئلة ستكون حلول مباشرة من الدرجة الأولى ODE من الأنواع المذكورة أعلاه.

المصفوفات الأساسية ، الحلول العامة وحل مشاكل القيمة الأولية. بالنسبة للمصفوفة 2 × 2 A ، إيجاد حل عام لـ x '= Ax حيث يحتوي A على i) قيم ذاتية مميزة حقيقية وقيم ذاتية معقدة وقيم ذاتية متكررة حقيقية

سيغطي الاختبار مادة من الأقسام التالية من الكتاب المدرسي:

  1. القسم 1.1 تعريفات ونظريات ODE
  2. القسم 1.2 IVP حلول صريحة / ضمنية ، تفرد الوجود
  3. القسم 2.2 المعادلات القابلة للفصل
  4. قسم 2.3 المعادلات الخطية
  5. القسم 2.4 المعادلات الدقيقة
  6. القسم 2.6 المعادلات المتجانسة ومعادلات برنولي فقط
  7. القسم 3.2 مشاكل الاختلاط (لا توجد مشاكل سكانية)
  8. القسم 3.4 الميكانيكا النيوتونية - الأجسام المتساقطة ، الاحتكاك ، الصواريخ
  • سيكون عليك حل معادلة برنولي قابلة للفصل ، خطية ، دقيقة ، متجانسة. هذا يشكل الجزء الأكبر من الامتحان (حوالي 70٪)
  • ستكون هناك مشكلة في التطبيق: مشكلة خلط فقط (15٪)
  • سيكون هنالك لا أسئلة حول تطبيقات أخرى: ميكانيكا نيوتن ، دوائر.
  • سيتطلب منك سؤال واحد تصنيف أنواع المعادلات التفاضلية (15٪).
  • تعد مشكلات العينة المنشورة في D2L مؤشرًا جيدًا على مستوى صعوبة المشكلات.

وصف محتوى منتصف المدة 2

سيغطي الاختبار مواد من الأقسام التالية من الكتاب المدرسي: 4.2-4.7 ، 4.9

  1. معامل ثابت الدرجة الثانية متجانسة y ح (ر)
  2. معامل ثابت الدرجة الثالثة متجانسة ذ ح (ر) مع حل واحد معروف (انظر ورقة المراجعة)
  3. الدرجة الثانية المعامل الثابت: طريقة المعاملات غير المحددة لـ y ص (ر)
  4. الحلول العامة y (t) = y ح (ر) + ص ص (ر) ، مشاكل القيمة الأولية ، Wronskian من أجل الاستقلال
  5. كوشي أويلر المرتبة الثانية متجانسة ذ ح (ر)
  6. تباين طريقة المعلمة لـ y ص (ر) - النموذج القياسي.
  7. تخفيض الترتيب: حل متجانس ذ 2 (t) من y متجانسة معطاة 1 (ر)
  8. الاهتزازات الميكانيكية: نموذج طور السعة y = A sin (wt + phi) لـ لا يوجد حالة احتكاك
  • ستكون هناك مشكلة اتساع طور (10-15٪). في الواقع ، سيكون هناك سؤال من كل نقطة من 1 إلى 8 أعلاه مع الاستثناء الوحيد الممكن وهو 2.
  • تعد مشكلات مراجعة العينة المنشورة في D2L مؤشرًا جيدًا على مستوى صعوبة المشكلات ولكن هذه الورقة بها مشكلة واحدة فقط في الطور.
  • ملحوظة: المعاملات غير المحددة هي فقط لـ L (y) = ay '' + by '+ cy = f وليس L (y) = ax 2 y' '+ bxy' + cy = f
  • لن تكون هناك أسئلة حول تحويل لابلاس

نهائي: وصف المحتوى

الأربعاء 28 أبريل - 11: 00-11: 50 صباحًا في قاعة لويس 304 (موقع الفصل العادي)

المواد من الأقسام 9.4-9.8 من الكتاب المدرسي

المواضيع التي تمت تغطيتها

  • الأنظمة: الاستقلال ، Wronskian ، المصفوفة الأساسية X (t)
  • الأنظمة: حل عام للأنظمة المتجانسة / غير المتجانسة
  • الأنظمة: حل مشكلات القيمة الأولية باستخدام المصفوفة الأساسية X (t)
  • الأنظمة: ثابت أ (2 × 2): قيم ذاتية مميزة حقيقية
  • الأنظمة: ثابت أ (2 × 2): قيم ذاتية متكررة حقيقية
  • الأنظمة: ثابت أ (2 × 2): قيمة ذاتية معقدة
  • الأنظمة: اختلاف المعلمات

مارك بيرناروفسكي
استاذ مساعد
قسم العلوم الرياضية
جامعة ولاية مونتانا
بوزمان ، MT 59717


المعادلات التفاضلية الكسرية ذات المعاملات الفردية

11.2.1 المعادلات التفاضلية الخطية العادية غير المتجانسة ذات الترتيب الكسري على أنصاف المحاور

هنا ، باتباع [241] ، نطبق تحويلات ميلين التكاملية المباشرة والعكسية أحادية البعد لاشتقاق حلول معينة لمثل هذه المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة مثل

مع الثوابت A k ∈ R، k = 0،. . . ، 1.

طريقة تحويل ميلين لحل المعادلة. (11.17) على أساس العلاقة التالية:

الذي حصلنا عليه من (9.30).

بتطبيق تحويل ميلين على (11.17) وباستخدام (11.18) نحصل عليه

باستخدام معكوس تحويل ميلين نشتق الحل التالي (11.17):

نقدم التناظرية الجزئية Mellin للوظيفة الخضراء:

تطبيق خاصية الالتواء ميلين

نحصل على حل لـ (11.17) بشرط أن يكون P α، γ، m (s) ≠ 0 بالشكل


مخطط مقرر الرياضيات 2171


1.1 خلفية
1.2 الحلول ومشاكل القيمة الأولية
1.3 مجالات الاتجاه
1.4 طريقة التقريب لأويلر
2.1 مقدمة: حركة جسم ساقط
2.2 المعادلات القابلة للفصل
2.3 المعادلات الخطية
2.4 المعادلات الدقيقة
2.5 محذوف
2.6 البدائل والتحولات
3.1 النمذجة الرياضية
3.2 أو 3.3 التحليل الجزئي أو التدفئة والتبريد للمباني
3.4 ميكانيكا نيوتن
3.5 الدوائر الكهربائية
3.6 الطرق العددية: نظرة فاحصة على خوارزمية أويلرز
3.7 الطرق العددية ذات الترتيب الأعلى: تايلور ورونج كوتا
4.1 مقدمة إلى الدرجة الثانية: مذبذب كتلة الربيع
4.2 المعادلات الخطية المتجانسة: الحل العام
4.3 المعادلات المساعدة ذات الجذور المعقدة
4.4 المعادلات غير المتجانسة: طريقة المعاملات غير المحددة
4.5 إعادة النظر في مبدأ التراكب والمعاملات غير المحددة
4.6 تباين المعلمات
4.7 معادلات معامل المتغير (اختياري)
4.8 محذوف
4.9 نظرة فاحصة على الاهتزازات الميكانيكية المجانية
4.10 نظرة فاحصة على الاهتزازات الميكانيكية القسرية
5.7 الأنظمة الكهربائية (دوائر RLC)
7.1 مقدمة: مشكلة خلط
7.2 تعريف تحويل لابلاس
7.3 خصائص تحويل لابلاس
7.4 تحويل لابلاس المعكوس
7.5 حل مشاكل القيمة الأولية
7.6 تحولات الوظائف غير المستمرة
7.7 تحولات الوظائف الدورية ووظائف الطاقة
تم حذف 7.8
7.9 نبضات ووظيفة ديراك دلتا

سرعة الدورة

أكمل الفصل 2 تقريبًا ربع خلال
الفصل الثالث ، أكمل الفصل 3 في منتصفه ، ابدأ الفصل 7 في موعد لا يتجاوز ثلاثة أرباع
من الطريق خلال الفصل الدراسي (السماح بالمراجعة للاختبار النهائي في نهاية الفصل الدراسي)

الامتحانات

عدد وتوقيت اختبارات الفصل الدراسي هي من الامتياز
من المدرب. يوصى بإجراء ثلاثة اختبارات متباعدة في الفصل. نهائي
الامتحان مطلوب ويجب أن يكون عاملاً مهمًا في درجة المقرر الدراسي.


الرياضيات 251 هـ - ربيع 2011

جدول الحصص :
MTW F 04: 40P - 05:30P في 115 OSMOND (الجدول رقم 559501)

ساعات العمل (قابلة للتغيير): الثلاثاء 5:45 - 6:45 مساءً ، الخميس 5 - 6 مساءً ، الجمعة 1:15 - 2:15 مساءً.
نهائيات الأسبوع: الأثنين مايو 2 و الثلاثاء 3 مايو ، 11 صباحًا - 12 ظهرًا

سيغطي MIDTERM 2 الأقسام 3.3 - 7.5 المدرجة (قائمة الموضوعات) ، ولكن ليس 7.4.
مراجعة المشاكل
نموذج امتحان منتصف الفصل الثاني (من مقرر الأستاذ Xianto Li) ، مع حلول.

سيغطي MIDTERM 1 الأقسام 1.1 - 3.2 المدرجة (قائمة الموضوعات).
نموذج امتحان منتصف الفصل الأول (من مقرر الأستاذ Xianto Li). تخطي المشاكل 5 ، 6.


مراجعة الامتحان النهائي: الجمعة 29 أبريل في الفصل.
اختبار 9: الثلاثاء 26 أبريل (الأقسام 9.2 و 9.3 و 10.1).
اختبار 8: يوم الاثنين 18 أبريل (الأقسام 7.6 و 7.8 و 9.1).
استعراض منتصف الفصل الثاني: الثلاثاء 5 أبريل في الفصل.
اختبار 7: الجمعة 1 أبريل (الأقسام 7.1 ، 7.2 ، 7.3 ، 7.5).
اختبار 6: الجمعة 25 مارس (الأقسام 6.3-6.6).
اختبار 5: الأربعاء 16 مارس (الأقسام 3.7-3.8-6.1-6.2).
اختبار 4: الجمعة 25 فبراير (الأقسام 3.3-3.6 مضمنة).
اختبار 3: الثلاثاء 15 فبراير (الأقسام 2.6 ، 2.8 ، 3.1 ، 3.2).
اختبار 2: الجمعة 4 فبراير (الأقسام 2.2-2.5 متضمنة).
اختبار 1: الجمعة 21 كانون الثاني (يناير) (تشمل الأقسام 1.1-2.1).

  1. مقدمة: النماذج الرياضية وحقول الاتجاه (القسم 1.1) ، بعض نماذج ODE البسيطة وحلولها (القسم 1.2) ، تصنيف ODE (القسم 1.3).
  2. معادلات ODE من الدرجة الأولى: تكامل العوامل (القسم 2.1) ، المعادلات القابلة للفصل (2.2) ، الأمثلة (2.3) ، المعادلات الخطية وغير الخطية (2.4) ، المعادلات الذاتية وديناميكيات السكان (2.5) ، المعادلات الدقيقة وعوامل التكامل (2.6) ، الوجود ونظرية التفرد (2.8). في الوقت الحالي ، تخطي طريقة أويلر (2.7) ومكافئ الفرق (2.9). أيضًا ، تخطي النمو اللوجستي بحد أدنى (في 2.5.).
  3. المعادلات غير المتجانسة من الدرجة الثانية: المعادلات الثابتة والمتجانسة (3.1) ، المعادلات الخطية المتجانسة ، Wronskian (3.2) ، الجذور المعقدة (3.3) ، الجذور المتكررة واختزال الترتيب (3.4) ، المعادلات غير المتجانسة وطريقة غير محددة المعاملات (3.5) ، تباين المعلمات (3.6). قم بتغطية بعض أجزاء القسم 3.7 (التذبذبات الميكانيكية والكهربائية) و 3.8 (الاهتزازات القسرية).
  4. تحويل لابلاس: التعريف (القسم 6.1) ، حل مشكلة القيمة الأولية لـ ODE (6.2) ، وظائف الخطوة (6.3) ، ODE مع التأثير غير المستمر (6.4) ، وظائف النبض (6.5) ، تكاملات الالتفاف (6.6). سنتخطى الفصلين الرابع والخامس.
  5. أنظمة المعادلات الخطية من الدرجة الأولى: مقدمة وأمثلة (7.1) ، مراجعة المصفوفات (7.2) ، الأنظمة الخطية للمعادلات الجبرية: القيم الذاتية والمتجهات الذاتية (7.3) ، أنظمة المعادلات الخطية من الدرجة الأولى (7.4) ، متجانسة ، أنظمة المعامل الثابت (7.5-7.8) ، تصنيف النقاط الحرجة ومستوى الطور (9.1) ، الأنظمة غير المتجانسة (7.9). أنظمة غير متجانسة (7.9). القسم 7.9 عبارة عن مهمة قراءة ، ولن يتم اختبارك فيها. سنتخطى أنظمة كتلة الربيع المتعددة في القسم 7.6.
  6. المعادلات الخارجية غير الخطية والاستقرار: ملخص لتحليل مستوى الطور للأنظمة الخطية (9.1) ، الأنظمة غير المستقلة والاستقرار (9.2) ، الأنظمة الخطية محليًا (9.3) ، جاذب لورنز والفوضى (9.8). سنغطي 9.8 * في النهاية * إذا كان هناك وقت.
  7. المعادلات التفاضلية الجزئية: مسائل القيمة الحدية (10.1) ، سلسلة فورييه (10.2) ، التوصيل الحراري (10.5) ، معادلة الموجة والوتر المهتز (10.6). سنغطي فقط المفاهيم الرئيسية في كل قسم.
  1. القسم 1.2: 1 ، 3 ، 6 ، 8 ، 12 ، 13 ، 17. القسم 1.3: 3 ، 5 ، 13 ، 30.
  2. القسم 2.1: 4 ، 10 ، 14 ، 19 ، 24 ، 27 ، 31 ، 40. القسم 2.2: 2 ، 5 ، 11 ، 14 ، 21 ، 24 ، 36.
  3. القسم 2.3: 7 ، 12 ، 17 ، 27. القسم 2.4: 3 ، 5 ، 10 ، 12 ، 15 ، 22 ، 26 ، 31 ، 33. القسم 2.5: 2 ، 5 ، 12 ، 15 ، 27.
  4. القسم 2.6: 1 ، 4 ، 8 ، 13 ، 16 ، 18 ، 20 ، 24 ، 28. القسم 2.8: 2 ، 9 ، 15. القسم 3.1: 4 ، 6 ، 13 ، 18 ، 22 ، 27.
  5. القسم 3.2: 4 ، 6 ، 9 ، 15 ، 32 ، 38 ، 44 ، 49 ، 51. القسم 3.3: 6 ، 12 ، 19 ، 25 ، 28 ، 34.
  6. القسم 3.4: 7 ، 12 ، 18 ، 19 ، 29 ، 32 ، 38 ، 40. القسم 3.5: 13 ، 15 ، 16 ، 17.
  7. القسم 3.6: 4 ، 7 ، 17 ، 20 ، 21. القسم 3.7: 3 ، 5 ، 10 ، 14 ، 15 ، 18 ، 32 أ) و ب) فقط. القسم 3.8: 2 ، 6 ، 13 ، 16.
  8. القسم 6.1: 4 ، 10 ، 14 ، 18 ، 22 ، 26. القسم 6.2: 5 ، 12 ، 20 ، 25. القسم 6.3: 11 ، 15 ، 23 ، 25 ، 37.
  9. القسم 6.4: 4 ، 15 ، 17 ، 18. القسم 6.5: 2 ، 10 ، 16 ، 18 ، 25. القسم 6.6: 2 ، 6 ، 11 ، 17 ، 22 ، 28 ، 29.
  10. القسم 7 ، 1: 3 ، 5 ، 15 ، 19. القسم 7.2: 2 ، 9 ، 11 ، 17 ، 20 ، 23. القسم 7.3: 4 ، 5 ، 13 ، 19 ، 24 ، 30–34.
  11. القسم 7.4: 3 ، 4 ، 7 ، 9. القسم 7.5: 2 ، 3 ، 8 ، 12 ، 17 ، 22 ، 24 ، 29 ، 31.
  12. القسم 7.6: 2 ، 4 ، 8 ، 10 ، 12 14 ، 22 ، 28. القسم 7.7: 5 ، 8 ، 12 ، 15 ، 16 ، 17.
  13. القسم 7.8: 4 ، 6 ، 8 ، 18 (أ ، ب ، ج ، د فقط) ، 19. القسم 9.1: 5 ، 8 ، 15 ، 19 ، 20. القسم 9.2: 4 ، 6 ، 11 ، 19 ، 24.
  14. القسم 9.3: 2 ، 7 ، 12 ، 21 ، 22 ، 27 ، 28. القسم 10.1: 5 ، 11 ، 15 ، 19 ، 23.
  15. القسم 10.2: 3 ، 4 ، 8 ، 16 ، 18 ، 27 ، 28. القسم 10.5: 6 ، 7 ، 11. القسم 10.7: 2 ، 5 ، 9 ، 23.

امتحان الممارسة 2 ، خريف 2004. تخطي سلسلة السلطة (سلسلة من الوظائف).
حلول.


لقد صادفت هذا الخطأ لأن الصفحة التي كنت تحاول زيارتها غير موجودة.

لقد قمنا مؤخرًا بإعادة تصميم الموقع بحيث لا تعمل الروابط القديمة. ألق نظرة على بعض هذه التغييرات.

قد ترغب في تحديث إشاراتك المرجعية أو محاولة العثور على المعلومات المحدثة باستخدام الروابط أدناه. إذا كنت لا تزال غير قادر على العثور على المعلومات التي تبحث عنها ، فيرجى الاتصال بمسؤول الموقع باستخدام المعلومات أدناه.

ساعدني في العثور على صفحتي

طلاب المستقبل - اعثر على معلومات حول التقديم إلى UWI

الطلاب الحاليون - ابحث عن روابط لجميع المعلومات التي تركز على الطالب - النماذج والكتيبات والخدمات الطلابية والأنظمة عبر الإنترنت والمزيد

الكليات / الأكاديميون - ابحث عن روابط لجميع الكليات والأقسام والموارد الأكاديمية الأخرى ، على سبيل المثال كتيبات ، نشرة

الزائرين - معلومات لزوار الحرم الجامعي على سبيل المثال الإقامة والخرائط

المركز الاعلامي- ابحث عن معلومات العلاقات الإعلامية هنا على سبيل المثال. النشرات الإخبارية والأحداث والإعلانات المعلومات

UWI سانت أوغسطين - معلومات عن حرم القديس أوغسطين

الادارة - عرض قائمة المكاتب الإدارية المختلفة

البرامج - الاطلاع على كتيبات الكلية التي تحتوي على البرامج المتوفرة في الحرم الجامعي القديس أوغسطين

مكتبات- ابحث عن قائمة بالمكتبات المختلفة في الحرم الجامعي

البحث والابتكار - عرض أحدث الأبحاث التي يتم إجراؤها في حرم القديس أوغسطين

الحياة في الحرم الجامعي - تعرف على الحياة في حرم القديس أوغسطين

الخريجون والأصدقاء - ابحث عن روابط متعلقة بخريجي UWI

اتصل بمسؤول الموقع

إذا كنت لا تزال تواجه مشكلات في العثور على صفحة ويب و / أو محتوى موقع ويب ، فيمكنك الاتصال بمسؤول موقع Campus:


مواضيع محاضرة MAP2302 ، واجبات منزلية ، وإعلانات

الاختبار 1 يوم الجمعة ، 16 سبتمبر. حلول الاختبار 1
الاختبار 2 يوم الاثنين ، 17 أكتوبر. حلول الاختبار 2
الاختبار 3 يوم الاثنين 21 نوفمبر. حلول الاختبار 3
موعد الاختبار 1 يوم الاثنين 3 أكتوبر في LIT 101 ، E2-E3. حلول الامتحان 1
تعوض عن الامتحان 1 (بسبب العطلة اليهودية (نيويورك 5777)) يوم الثلاثاء 4 أكتوبر ، LIT 418 ، 2-4 مساءً
الاختبار 2 يوم الاثنين 31 أكتوبر في حلول LIT 101 و E2-E3 Exam 2

الاختبار النهائي يوم الخميس ، 15 ديسمبر ، LIT 121 (قاعة اجتماعات الفصل العادية) ، 12: 30-2: 30 مساءً.
حلول الامتحان النهائي
يغطي الاختبار جميع L27-L38 (قد تتوقع أيضًا مشكلة واحدة أو مشكلتين في L1-L26). لذلك ، راجع جميع الطرق الأساسية لحل المعادلات التفاضلية. راجع اختبار Take-Home النهائي أدناه (كنموذج نهائي).
ساعات العمل الإضافية: الأربعاء 14 ديسمبر ، 3-5 مساءً في NPB 2180
خذ الاختبار النهائي للمنزل. الطلاب الذين لا يكون الاختبار النهائي إلزاميًا بالنسبة لهم (كما هو موضح في صفحة النتيجة) يمكنهم إما خوض الاختبار النهائي المعتاد كما هو مقرر أعلاه أو إجراء اختبار نهائي (منشور أعلاه) يتم احتساب درجة الامتحان النهائي الخاص بأخذ المنزل على أنها نتيجة الامتحان النهائي في مجموع الدرجات (التقييم). من المقرر إجراء الامتحان النهائي في المنزل يوم الأحد ، 11 كانون الأول (ديسمبر) ، الساعة 5 مساءً في LIT 127. يمكنك أيضًا تسليمه مسبقًا في LIT 418 أو NPB 2180 (قم بتثبيته ، وحركه أسفل باب المكتب ، وأرسل لي بريدًا إلكترونيًا يقول متى و في أي مكتب سلمته). وقّع على تعهد صدق الطالب على الصفحة الأولى من عملك! خذ الاختبار النهائي مع الحلول .

يمكنك الحصول على النتيجة النهائية التي تحصل عليها من المنزل في NPB 2180 ، من 3 إلى 5 مساءً ، الأربعاء ، 14 ديسمبر ، أو أثناء الاختبار النهائي العادي.

22 نوفمبر & # 8211 ، 9 ديسمبر 2016 ، هي فترة تقييم التدريس في UF. يجب عليك ملء نموذج التقييم عبر الإنترنت. الآن يجب أن تكون قد تلقيت إشعارًا من أمين السجل حول إجراء التقييم عبر الإنترنت. يجب عليك تسجيل الدخول إلى صفحة التقييم باستخدام اسم مستخدم وكلمة مرور Gatorlink. من فضلك لا تنسى أن تفعل ذلك!

L1، 08/22/2016: أمثلة أولية للمعادلات التفاضلية. مشكلة النمو السكاني. مشكلة البندول. الحل العام. حل مشكلة القيمة الأولية لحركة البندول. الحركة الدورية للبندول. المفهوم العام للمعادلة التفاضلية من الرتبة التاسعة. ثوابت التكامل. الحل العام.
HW-1.2: 3, 5, 7, 21, 22

L2، 08/24/2016: المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. وجود وتفرد حل مشكلة القيمة الأولية. معادلات منفصلة.
HW-1.2: 23, 25, 27, 29, 31
HW-2.2: 3, 5, 7, 9, 13, 19, 21, 29, 31, 34, 38

L3 ، 08/26/2016: المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى. الحل العام. وجود مشكلة القيمة الأولية وتفردها. التطبيقات: سرعة سقوط جسم حر في الغلاف الجوي.
HW-2.3: 3 ، 7 ، 13 ، 19 ، 23 ، 25 (أ) ، 31 ، 35

L4، 08/29/2016: تفاضل دالة لمتغيرين. المعادلات الدقيقة. اختبار الدقة. الحل العام كمنحنيات مستوى لوظيفة من متغيرين.
HW-2.4: 3, 5, 7, 9, 13, 19, 21, 27, 31, 33

L5، 08/31/2016: تكامل العوامل. معادلة عامة لعامل تكامل.

L6، 09/07/2016: عوامل تكامل خاصة تعتمد على متغير واحد u = x أو u = y أو u = xy أو u = x + y.
HW-2.5: 1, 3, 5, 11, 13, 16, 17

L7 ، 09/09/2016: البدائل والتحولات. التغيير العام للمتغيرات في معادلات الدرجة الأولى. تحولات الفوارق. الحلول العامة للمعادلات المتجانسة dy = g (v) dx، v = y / x.المعادلات بالصيغة dy = g (v) dx، v = ax + by
HW-2.6: 1, 5, 11, 13, 16, 46, 45

L8، 09/012/2016: معادلات برنولي. التغيير الخطي للمتغيرات ، u = ax + by ، v = px + qy.
HW-2.6: 17, 19, 21, 25, 47

L9، 09/14/2016: التطبيقات: مشكلة العاكس الشمسي ، نموذج السوق البسيط. منحنى المطاردة ، نماذج النمو السكاني ، مشكلة الخلط الكيميائي ، مشكلة تبريد المباني ، ميكانيكا نيوتن
HW-3.2: 2, 3, 11, 12, 15, 19, 25
HW-3.3: 5, 9, 15, 16
HW-3.4: 7, 13, 14, 24, 25
HW 2- المراجعة: 21, 25, 29, 39, 35

الاختبار الأول ، 16/09/2015 ف: يغطي الاختبار 1 HW لـ L1-L9. قد تظهر مواضيع L9 فقط في الاختبار الذي تمت مناقشته في الفصل. على سبيل المثال ، إذا لم تتم مناقشة مشكلة تبريد المبنى في المستوى 9 ، فلن تظهر مشكلة المخلفات الخطرة ذات الصلة في الاختبار.

L10، 09/19/2016 م: ارقام مركبة. العمليات الأساسية ذات الأعداد المركبة. صيغة أويلر & # 8217s. الجذور المعقدة لكثير الحدود ذات المعاملات الحقيقية. دالة أسية لمتغير معقد.
HW- اقرأ المشروع F في الكتاب المدرسي ، ص 239-240 ، بالإضافة إلى ملاحظاتك لـ إل 10 و إل 11.

L11، 09/21/2016 W: المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية. المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية المتجانسة. حلول مستقلة خطيًا. حلول عامة. المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة. معادلة مساعدة. حل عام في حالة الجذور الحقيقية والمعقدة للمعادلة المساعدة. مشكلة القيمة الأولية. مثال: بندول مع احتكاك.
HW-4.2: 1, 3, 5, 9, 13, 15, 17, 19
HW-4.3:5, 9, 17, 21, 23, 24

L12، 09/23/2016 ف: المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة ذات الرتب الأعلى ذات المعاملات الثابتة. طريقة الجذور المعقدة للمعادلة المساعدة. جذور حقيقية متعددة وجذور معقدة متعددة.
HW-4.2: 37, 39, 41, 43
HW-4.3: 19, 27, 29, 37

L13، 09/26/2016 م: المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة ذات الرتب الأعلى ذات المعاملات الثابتة. الحل العام. مشكلة القيمة الأولية.
HW-4.2: 37, 39, 41, 43
HW-4.3: 19, 27, 29, 37

L14، 09/28/2016 W: حل عام لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة ذات معاملات ثابتة. أمثلة.

L15، 09/30/2016 F: طريقة المعاملات غير المحددة لإيجاد حل معين للمعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة ذات المعاملات الثابتة. حالة خاصة. استخدام الحلول المعقدة للمعادلة المميزة للحصول على حل عام.
HW-4.4: 9, 11, 13, 15, 21, 23, 25, 33, 35

L16، 10/03/2016 م: مبدأ التراكب. حل خاص للمعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة ذات المعاملات الثابتة عندما يكون الجانب الأيمن عبارة عن مجموعة من الدوال متعددة الحدود والأسية والجيب وجيب التمام.
HW-4.5:1, 5, 7, 11, 14, 17, 19, 27, 29, 33, 35, 37, 39, 45

الامتحان الأول بتاريخ 10/03/2016: يغطي الاختبار 1 موضوعات L1-L15. (لاحظ الفترات المسائية من E2-E3 للامتحان)

L17، 10/05/2016 W: معاملات التفاضل الخطي. مجموعة جميع حلول المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة كمجموعة خالية من المشغل التفاضلي. مجموعة الحلول الأساسية. الحل العام لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة
HW-6.2: 3, 5, 9, 11, 15, 17, 19, 31
HW-6.3: 1, 3, 5, 9, 13, 17, 19, 25, 31

L18، 10/07/2016 F: طريقة المعاملات غير المحددة للمعادلات التفاضلية الخطية ذات الرتبة الأعلى. مبدأ التراكب للمعادلات التفاضلية الخطية ذات الرتبة الأعلى.
HW-6.2: 3, 5, 9, 11, 15, 17, 19, 31
HW-6.3: 1, 3, 5, 9, 13, 17, 19, 25, 31

L19، 10/10/2016 م: نظم المعادلات التفاضلية الخطية. طريقة الحذف لنظام المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة.
HW-5.2: 3, 5, 9, 11, 23, 25, 29, 31, 33

L20، 10/12/2016 W: تطبيقات طريقة الإزالة للأنظمة الكهربائية وأنظمة الزنبرك الكتلي المقترنة. الترددات الرنانة لنظام الزنبرك الكتلي. الترددات الرنانة للدوائر الكهربائية. إعادة النظر.
HW-5.6: 1, 7, 8, 9
HW-5.7: 3, 7, 11, 13

L21، 10/14/2016 F: التطبيقات. الاهتزازات الميكانيكية. اهتزاز قضيب صلب وخيط. ترددات Eigen. الاهتزازات القسرية. ظواهر الرنين. لماذا تنهار بعض الجسور؟
HW-4.10: 3, 5, 7, 11, 13

مسابقة 2 ، 10/17/2016 م: اختبار QUIZ 2 يغطي الواجب المنزلي للموضوعات L11-L19.

L22، 10/19/2016 W: المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة. طريقة تغيير المعلمات لإيجاد حل معين.
HW-4.6:1, 5, 7, 11, 13, 17, 20

L23، 10/21/2016 F: المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات المتغيرة. وجود الحلول وتفردها. معادلة كوشي أويلر. الحل العام. الجذور الحقيقية والمعقدة للمعادلة المميزة.
HW-4.7:1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 23, 24

L24، 2016/10/24 م: المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات المتغيرة. مشكلة القيمة الأولية. الحلول المستقلة خطيًا للمعادلة المتجانسة. Wronskian. طريقة تغيير المعلمات لمعادلة خطية من الدرجة الثانية غير متجانسة لإيجاد حل معين.
HW-4.7: 25, 27, 31, 45, 47, 52, 37, 39, 41

L25، 2016/10/26 دبليو: تخفيض الترتيب (إيجاد حل مستقل آخر إذا كان أحد الحلول معروفًا). طريقة تغيير المعلمات لمعادلة خطية من الدرجة الثانية غير متجانسة لإيجاد حل معين.
HW-4.7: 25, 27, 31, 45, 47, 52, 37, 39, 41

L26، 10/28/2016 F:قاعدة Cramer & # 8217s لحل نظام المعادلات الخطية. التطبيق على مشكلة القيمة الأولية للحصول على معادلات تفاضلية خطية ذات رتبة أعلى. طريقة تغيير المعلمات للمعادلات التفاضلية الخطية ذات الرتب الأعلى.
HW-6.4: 1 ، 5 ، 7 ، 8 ، 11

L27، 10/31/2016 م: تحويل لابلاس. وجود تحويل لابلاس. الخصائص الأساسية: الخطية ، التفاضل ، تحويل لابلاس لدالة مضروبة في دالة طاقة و / أو دالة أسية.
HW-7.2:9, 11, 13, 19, 29, 31
HW-7.3: 9, 11, 13, 16, 19, 27

الامتحان الثاني 31/10/2015: يغطي الاختبار 2 موضوعات L16-L26. لا يتم تضمين الدوائر الكهربائية في L20 في الاختبار. (المكان: LIT 101 ، E2-E3 (8: 20-10: 10 مساءً))

L28، 11/02/2016 W: تحويل لابلاس ومسألة القيمة الأولية للمعادلات التفاضلية الخطية. معكوس تحويل لابلاس.
HW-7.3: 29, 30, 31, 37

L29، 11/04/2016 F: معكوس تحويل لابلاس. طريقة الكسور الجزئية: عوامل خطية غير متكررة ، عوامل خطية متكررة ، عوامل تربيعية
HW-7.4: 1, 4, 13, 15, 25, 27, 29, 33, 35, 36

L30، 11/07/2016 م: حل مشكلة القيمة الأولية للمعادلات التفاضلية الخطية بطريقة تحويل لابلاس. المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات التي تكون وظائف خطية (تقليل الترتيب بطريقة لابلاس). طرق إضافية للعثور على تحويلات لابلاس المعكوسة باستخدام خصائص تحويل لابلاس.
HW-7.5: 35, 36, 37, 38

L31، 11/09/2016 W: تحويل لابلاس للوظائف المتقطعة. وظيفة الخطوة وتحويل لابلاس الخاص بها. وظيفة النافذة. حل مشكلة القيمة الأولية للمعادلات الخطية غير المتجانسة مع عدم التجانس غير المستمر.
HW-7.6: 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 20, 33, 35, 39

L32، 11/14/2016 م: تحويل لابلاس للوظائف الدورية المتقطعة. حل مشكلة القيمة الأولية للمعادلات الخطية ذات عدم التجانس الدوري.
HW-7.6: 21, 23, 25, 27, 32

L33، 11/16/2016 W: التفاف وظيفتين. الخصائص الأساسية للالتواء. تحويل لابلاس للالتفاف. دالة الاستجابة لمعادلة تفاضلية خطية. حل مشكلة القيمة الأولية عن طريق دالة الاستجابة. المعادلات الخطية التفاضلية التكاملية. استخدام طريقة لابلاس لحلها.
HW-7.7: 1, 3, 13, 15, 17, 21, 22

L34، 11/18/2016 F: دالة ديراك دلتا. تفسير وظيفة الاستجابة. حل أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية بطريقة تحويل لابلاس. تطبيقات لأنظمة النوابض والدوائر الكهربائية.
HW-7.8: 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 30 HW-7.9: 3, 9, 11, 13, 17, 19

مسابقة 3، 11/21/2016 م: يغطي الاختبار الواجب المنزلي لـ L27-L34 (تمت مناقشة جميع الموضوعات المتعلقة بتحويل لابلاس في الفصل)

L35، 11/28/2016 م: مراجعة تقريب تايلور متعدد الحدود وسلسلة القوة. الفكرة الأساسية لتقريب حل مشكلة القيمة الأولية بواسطة تيلور متعدد الحدود. سلسلة الطاقة. نصف قطر التقارب لسلسلة القدرة. وظائف تحليلية حقيقية.
HW-8.1: 1, 3, 5, 7, 13, 15
HW-8.2: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 19, 31

L36، 11/30/2016 W: حلول المتسلسلات الكهربائية للمعادلات التفاضلية الخطية. النقاط العادية والمفردة لمعادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية. مشكلة القيمة الأولية.
HW-8.3: 1, 5, 11, 15, 17, 19, 23, 25, 27

L37، 11/02/2016 F: المعادلات الخطية ذات المعاملات التحليلية. وجود حلول تحليلية. مشكلة القيمة الأولية. الحل العام كسلسلة طاقة ونصف قطر التقارب.
HW-8.4: 1, 3, 7, 9, 15, 19

L37، 11/05/2016 م: النقاط الفردية المنتظمة في المعادلات التفاضلية الخطية. طريقة فروبينيوس.
HW-8.6: 1, 3, 5, 19, 21, 23, 25, 31

L38، 11/07/2016 W: إيجاد حل ثاني مستقل خطيًا بطريقة Frobenius.
HW-8.7: 3 ، 5 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 31 (قارن مع HW-8.6: 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 31!)


4.7: تباين المعلمات للأنظمة الخطية غير المتجانسة - الرياضيات

محاضرات: يحتاج كل طالب إلى اختيار قسم محاضرة واحد وقسم مناقشة واحد. هناك أربعة أقسام للمحاضرات.
القسم 01: الاثنين / الأربعاء / الجمعة ، 10:00 صباحًا - 10:50 صباحًا في المبنى 370 ، غرفة 370.
القسم السابع: الاثنين / الأربعاء / الجمعة ، 11:00 صباحًا - 11:50 صباحًا في المبنى 380 ، غرفة 380Y.
المدرب: أمير ديمبو ، غرفة 383 ج ، أمير "في" math.stanford.edu
ساعات العمل: الأربعاء / الجمعة ، 1:45 م - 2:45 م (حتى 28 مايو).

القسم 04: الاثنين / الأربعاء / الجمعة ، 1:15 مساءً - 2:05 مساءً في المبنى 300 ، الغرفة 300.
القسم 02: الاثنين / الأربعاء / الجمعة ، 2:15 م - 3:05 م في المبنى 380 ، غرفة 380W.
المدرب: فلاديسلاف كارجين ، غرفة 382 لتر ، كارجين "في" math.stanford.edu
ساعات العمل: الأربعاء / الجمعة ، 3:15 م - 4:15 م.

أقسام المناقشة: هناك ثمانية أقسام مناقشة. عادةً ما تقوم مناقشة يوم الخميس بمراجعة وتوضيح المواد المحاضرة يومي الاثنين والأربعاء من نفس الأسبوع ، بينما تقوم مناقشة يوم الثلاثاء بمراجعة وتوضيح المواد المحاضرة يومي الاثنين والجمعة السابقة (باستثناء المناقشات في مواعيد الامتحان النصفي والتي ستساعدك في المراجعة والتحضير للامتحان ).

أقسام المناقشة للطلاب في أقسام المحاضرات 01/07 (محاضرات ديمبو):

Olena Bormashenko، Room 380M، olenab "at" math.stanford.edu
القسم 06: الثلاثاء / الخميس 10:00 AM - 10:50 AM: الغرفة: 300-300.
القسم 08: الثلاثاء / الخميس 11:00 صباحًا - 11:50 صباحًا ، الغرفة: 320-109.
ساعات العمل: الاثنين 4:30 م - 6:00 م ، الجمعة 4:30 م - 6:00 م.

Xiannan Li ، غرفة 380H ، xli "في" math.stanford.edu
القسم 09: الثلاثاء / الخميس 1:15 مساءً - 2:05 مساءً ، الغرفة: 380-380 درجة مئوية.
القسم 12: الثلاثاء / الخميس 2:15 م - 3:05 م القاعة: علوم الأرض الخضراء 124.
ساعات العمل: الثلاثاء 11:00 ص - 12:30 م ، الخميس 3:30 م - 5:00 م.

أقسام المناقشة للطلاب في أقسام المحاضرات 02/04 (محاضرات كارجين):

جيف دانسيجر ، غرفة 380N ، danciger "في" math.stanford.edu
القسم 10: الثلاثاء / الخميس 10:00 صباحًا - 10:50 صباحًا ، الغرفة: McCullough 122.
القسم 05: الثلاثاء / الخميس 11:00 صباحًا - 11:50 صباحًا ، الغرفة: الكيمياء العضوية 103.
ساعات العمل: الاثنين 6:00 مساءً - 7:30 مساءً ، الأربعاء 5:00 مساءً - 6:30 مساءً.

بريان كروميل ، غرفة 380S ، bkrummel "في" math.stanford.edu
القسم 03: الثلاثاء / الخميس 1:15 مساءً - 2:05 مساءً ، الغرفة: ماير 147.
القسم 11: الثلاثاء / الخميس 2:15 مساءً - 3:05 مساءً ، الغرفة: ماير 147.
ساعات العمل: الاثنين 3:00 م - 4:30 م ، الخميس 5:00 - 6:30 م.

نرحب بك لزيارة أي ساعات مكتب TA (ليس فقط الذي يقوم بتدريس القسم الخاص بك) ، ولكن لضمان الائتمان الكامل أرسل جميع الواجبات المنزلية إلى TA المطابقة لقسم المناقشة الذي قمت بالتسجيل فيه.

وصف الدورة التدريبية: هذه هي الدورة الأولى في المعادلات التفاضلية العادية. تتضمن المادة فصل المتغيرات التي تدمج العوامل وأنظمة المعادلات التفاضلية الدقيقة للمعادلات التفاضلية الخطية والقيم الذاتية والمتجهات الذاتية ، وطريقة تغيير المعلمات وأنظمة تحويل لابلاس للمعادلات التفاضلية غير الخطية ، وقوانين الحفظ. هذه دورة بأسلوب "كتاب الطبخ" ، وينصب التركيز الرئيسي على إجراء الحسابات. إذا كنت مهتمًا بدورة تدريبية إثباتية حول المعادلات التفاضلية العادية ، ففكر في أخذ الرياضيات 53H.

المتطلبات الأساسية: الرياضيات 51 (أو ما يعادلها)
يجب أن تكون على دراية بالقيم الذاتية والمتجهات الذاتية. يجب أن تعرف أيضًا الحيل القياسية لحساب تكاملات وظائف متغير واحد (التكامل بالأجزاء ، الاستبدال ، إلخ) ، وأن تكون قادرًا على استخدامها في الممارسة.

كتاب مدرسي: نص الدورة هو "المعادلات التفاضلية: مقدمة للطرق والتطبيقات الحديثة" (الطبعة الثانية) ، بقلم برانان وبويس (ثلاث نسخ محفوظة في مكتبة الرياضيات).

الجدول الزمني المؤقت:
الفئة 1 (الاثنين 28 مارس): المعادلات التفاضلية: ما هي ولماذا تعتبر أمثلة مهمة (تسخين وتبريد المبنى ، الأجسام المتساقطة ، نماذج السكان) حلول توازن مجالات السلوك النوعي (القسم 1.1)
الفئة 2 (الأربعاء 30 مارس): المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى مع معاملات متغيرة تكامل أمثلة العوامل (القسم 1.2)
الفئة 3 (الجمعة ، 1 أبريل): معادلات برنولي (انظر المشكلة في القسم 2.3) أمثلة متغيرات منفصلة عن المعادلات التفاضلية المستقلة والقابلة للفصل (القسم 2.1) نموذج النمو اللوجستي (القسم 2.4)
الفئة 4 (الاثنين 4 أبريل): ديناميكيات السكان ، تحليل المعادلات المستقلة (القسم 2.4) المعادلات التفاضلية المتجانسة (راجع المشكلة 30 في الصفحة 51)
الفئة 5 (الأربعاء 6 أبريل): المعادلات التفاضلية الدقيقة وعوامل التكامل (القسم 2.5) معادلات قابلة للفصل كحالة خاصة للمعادلات الدقيقة
الفئة 6 (الجمعة 8 أبريل): نظرة عامة على طرق الحل وجود وتفرد للمعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى (القسم 2.3) فترة وجود الحل
الفئة 7 (الإثنين ، 11 أبريل): نظام ODE الخطي من الدرجة الثانية كنظام مقترن من معادلتين تفاضليتين من تدوين مصفوفة من الدرجة الأولى حل التوازن للأنظمة المستقلة.
الفئة 8 (الأربعاء 13 أبريل): تطبيقات الأنظمة المزدوجة مقابل تطبيقات الأنظمة غير المقترنة لمشاكل الخلط (القسم 3.2) حل الأنظمة المتجانسة ذات المعاملات الثابتة (القسم 3.3) القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.
الفئة 9 (الجمعة 15 أبريل): حل الأنظمة المتجانسة ذات المعاملات الثابتة (تابع) فضاء الطور يخطط السلوك المقارب للحلول (القسم 3.3).
الفئة 10 (الاثنين 18 أبريل): مراجعة منتصف الفصل الأول.
الفئة 11 (الأربعاء 20 أبريل): مصفوفات 2 × 2 بقيم ذاتية معقدة (القسم 3.4) كيفية حل أنظمة ODE عندما تحتوي مصفوفة المعامل على قيم ذاتية معقدة تعبر عن الحل في شكل حقيقي. كيفية حل الأنظمة ذات القيم الذاتية المتكررة (القسم 3.5).
الفئة 12 (الجمعة 22 أبريل): السلوك المقارب لأحواض الحلول والمصادر وتصنيف السروج من حيث تتبع ومحدد مصفوفة المعامل (الرسم البياني في الصفحة 190).
الفئة 13 (الاثنين 25 أبريل): المعادلات الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة (القسم 4.3) ، التذبذبات الخطية المخمدات في الميكانيكا (القسم 4.4).
الفئة 14 (الأربعاء 27 أبريل): مجموعات الحلول الأساسية ، محدد Wronskian ونظرية Abel (القسم 4.2) مبدأ التراكب للمعادلات غير المتجانسة (نظرية 4.5.1).
الفئة 15 (الجمعة 29 أبريل): طريقة المعاملات غير المحددة (القسم 4.5). التذبذبات الخطية في وجود قوة خارجية (القسم 4.6).
الفئة 16 (الاثنين 2 مايو): التذبذبات الخطية في وجود قوة خارجية (تابع) وظيفة كسب استجابة التردد ورنين إزاحة الطور (القسم 4.6). معادلات كوشي أويلر (القسم 4.3 ، الصفحة 252).
الفئة 17 (الأربعاء 4 مايو): صيغة تغيير المعلمات (القسم 4.7). تخفيض الطلب (القسم 4.2 ، صفحة 238).
الفئة 18 (الجمعة 6 مايو): أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة. تم إجراء الحالة غير المعيبة عبر أمثلة نظام 3x3 (الأقسام 6.3 ، 6.4).
الفئة 19 (الاثنين 9 مايو): مراجعة الأنظمة الخطية والمعادلات الخطية من الدرجة الثانية - لمنتصف الفصل الثاني.
الفئة 20 (الأربعاء 11 مايو): تحويل لابلاس: التعريف والخصائص الأساسية معادلة لتحويل لابلاس للمشتق رقم n للدالة (القسمان 5.1 و 5.2) ، تحويل لابلاس المعكوس (القسم 5.3)
الفئة 21 (الجمعة ، 13 مايو): تحويل لابلاس لـ t * f (t) حل المعادلات التفاضلية باستخدام تحويل لابلاس (القسم 5.4) تحويل لابلاس المعكوس للدالة المنطقية باستخدام الكسور الجزئية (القسم 5.4)
الفئة 22 (الاثنين 16 مايو): حل أنظمة الدرجة الأولى و ODE-s ذات الترتيب الأعلى باستخدام تحويل لابلاس (القسم 5.4) تكامل الالتفاف والاستجابة القسرية ووظيفة النقل (القسم 5.8)
الفئة 23 (الأربعاء 18 مايو): الدوال المتقطعة والوظائف الدورية (القسم 5.5) المعادلات التفاضلية مع دوال التأثير المتقطع (القسم 5.6).
الفئة 24 (الجمعة 20 مايو): الأنظمة غير الخطية للمعادلات التفاضلية ونظرية التفرد (القسم 3.6) الأنظمة المستقلة والنقاط الحرجة والخطية (القسم 7.2).
الفئة 25 (الإثنين 23 مايو): أنظمة هاميلتونية ، المحافظة على البندول الرياضي للطاقة (القسم 7.1 ، مثال 1 والمسألة 19).
الفئة 26 (الأربعاء 25 مايو): الخطية للنظام غير الخطي ، مثال على البندول المخمد (القسم 7.2).
الفئة 27 (الجمعة ، 27 مايو): نماذج المفترس والفريسة ، الخطية لمعادلات Lotka-Volterra (القسم 7.4).
الفصل 28 (الأربعاء 1 يونيو): مراجعة تحويل لابلاس وعلى نظام المعادلات غير الخطية - للنهائي.

الامتحانات تركز امتحانات الرياضيات 53 على القيام بالحسابات. جميع الاختبارات عبارة عن كتاب مغلق وملاحظات مغلقة ، ولا يُسمح باستخدام آلات حاسبة أو وسائل مساعدة إلكترونية أخرى إذا كان لديك جدول زمني صالح يتعارض مع اختبار منتصف الفصل الدراسي ، فيجب عليك الاتصال بمدرسك قبل ثلاثة أيام على الأقل من الاختبار (تشمل التعارضات الصالحة إجراء اختبار آخر في نفس التاريخ والوقت ، كونك رياضيًا جامعيًا ولديك لعبة خارج المدينة في فترة الامتحان المقررة ، أو جدول فصل آخر في نفس الوقت). يتمتع الطلاب الذين يعانون من تعارض شرعي بخيار إجراء اختبار منتصف الفصل الدراسي البديل قبل امتحان الفصل الدراسي وسيتم إخطارهم بموقع ووقت الاختبار البديل ، أو إذا لم ينجح ذلك ، فسيتم احتساب متوسط ​​درجاتهم النهائية وغيرها من درجات منتصف الفصل الدراسي لهؤلاء الطلاب بدلا من الامتحان الفائت.

مواعيد الامتحان / القاعات / المادة / الممارسة:
أول امتحان نصفي: الثلاثاء 19 أبريل ، 7:00 مساءً - 9:00 مساءً ، القاعة: Braun Auditorium in Mudd Chemistry Building. حل
المواد: الأقسام 1.1 و 1.2 و 2.1 و 2.5 و 3.2 من النص.

الامتحان النصفي الثاني: الثلاثاء 10 مايو ، 7:00 مساءً - 9:00 مساءً ، القاعة: Braun Auditorium in Mudd Chemistry Building. حل
المواد: الأقسام 3.2-3.5 و4.2-4.7 من النص.

الامتحان النهائي: الجمعة 3 يونيو ، 7:00 مساءً - 9:45 مساءً ، القاعة: قاعة براون في مبنى مود للكيمياء. حل تم النشر!

  • اقرأ نصائح جيسيكا بورسيل للنجاح في دورات الرياضيات للمرحلة الجامعية للحصول على نصائح جيدة حول كيفية الدراسة لامتحان الرياضيات.
  • مراجعة الواجب المنزلي المرتجع ذات الصلة والحلول المنشورة الخاصة بهم.
  • انظر الرابط إلى اختبارات الرياضيات 53 للسنوات السابقة (التي يمكنك استخدامها لأغراض التدريب).يتكون اختبارنا من 8 مشاكل ، 5 منها على مادة الأقسام 3.6 و 5.1-5.6 و 5.8 و 6.3-6.4 و 7.1 و 7.2 و 7.4 من النص و 3 مشاكل متداخلة مع مادتي منتصف المدة.
  • اطرح أسئلة في محاضرة المراجعة ومناقشة TA (المحاضرة الأخيرة وآخر مناقشة TA).

الواجب المنزلي 1 (يوم الثلاثاء 5 أبريل الساعة 5 مساءً)
الواجب المنزلي 2 (يوم الثلاثاء 12 أبريل الساعة 5 مساءً)
الواجب المنزلي 3 (يوم الثلاثاء 19 أبريل الساعة 5 مساءً)
الواجب المنزلي 4 (يوم الثلاثاء 26 أبريل الساعة 5 مساءً)
الواجب المنزلي 5 (يوم الثلاثاء 3 مايو الساعة 5 مساءً)
الواجب المنزلي 6 (يوم الثلاثاء 10 مايو الساعة 5 مساءً)
الواجب المنزلي 7 (يوم الثلاثاء 17 مايو الساعة 5 مساءً)
الواجب المنزلي 8 (يوم الثلاثاء 24 مايو الساعة 5 مساءً)
الواجب المنزلي 9 (يوم الثلاثاء 31 مايو الساعة 5 مساءً)

وضع العلامات: في نهاية ربع السنة ، سنحسب متوسطًا مرجحًا لدرجات مجموعة المشكلات الخاصة بك (20٪) ، ونتائج نصف الفصل (25٪ لكل منهما) ، ودرجاتك في الامتحان النهائي (30٪). ستؤخذ جميع درجات الواجبات المنزلية في الاعتبار عند حساب هذا المتوسط ​​المرجح. الدرجات النهائية بالحرف المعينة بناءً على هذا المتوسط ​​المرجح لإنتاجها تقريبًا نفس النسبة من درجات الحروف A-s و B-s في هذه الدورة كما هو الحال في أي مقرر دراسي كبير آخر نموذجي في جامعة ستانفورد. .

بعض النصائح العامة: تأكد من حضور المحاضرات. تخطي المحاضرات بشكل منتظم يضمن أداءً أقل من ممتاز في الامتحانات.
استفد من ساعات العمل واطرح الكثير من الأسئلة أثناء الفصل! نرحب دائمًا بالأسئلة (أثناء الفصل الدراسي وأثناء ساعات العمل) ، ولكن من مسؤوليتك إعلامنا إذا كانت هناك مشكلة تتطلب توضيحًا.


طلاب المرحلة الجامعية الذين يدرسون المعادلات التفاضلية.

الفصل 1 مقدمة في المعادلات التفاضلية

1.2 حلول المعادلات التفاضلية

1.3 مشكلات القيمة الأولية ومشكلات القيمة الحدودية

الفصل 2 معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى

2.5 خطوط الطور وصور الطور

2.6 نقاط التوازن: الأحواض والمصادر والعقد

2.8 وجود الحلول وتفردها

الفصل 3 التقريب العددي للحلول

3.2 طريقة أويلر المحسّنة

3.3 طرق عددية أكثر تعقيدًا: Runge-Kutta وغيرها

الفصل 4 معادلات الدرجة الثانية والعليا

4.1 المعادلات الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة

4.2 المعادلات الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة

4.3 طريقة المعاملات غير المحددة

4.4 تباين المعلمات

4.5 المعادلات الخطية ذات الترتيب العالي ذات المعاملات الثابتة

4.6 المعادلات ذات الترتيب الأعلى والأنظمة المكافئة لها

4.7 التحليل النوعي للأنظمة المستقلة

4.9 الوجود والتفرد

الفصل 5 أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية

5.2 أنظمة ثنائية الأبعاد للمعادلات الخطية من الدرجة الأولى

5.3 استقرار الأنظمة الخطية المتجانسة: القيم الذاتية الحقيقية غير المتكافئة


4.7: تباين المعلمات للأنظمة الخطية غير المتجانسة - الرياضيات

المدربون: باتريشيا أوكلي ، تيم بيركوبيك ، مونيكا نيتشه.

تعليمات عن بعد: سيتم تسليم جميع أقسام الرياضيات 316 "عن بعد مجدولة". يجب أن تكون قادرًا على حضور الفصل عبر Zoom في الوقت المحدد. سيتصل بك مدرسك لإبلاغك بالتفاصيل قبل بدء الدروس في 17 أغسطس.

مساعدو التدريس: سيعقد ديفيد وبيرلا ساعات تلاوة (اختيارية) في بعض الأحيان يتم الإعلان عنها في Learn

وصف: الرياضيات 316 هي دورة تمهيدية في المعادلات التفاضلية العادية. تشمل موضوعات هذه الفئة النظرية الأولية للمعادلات التفاضلية العادية ، والطرق التحليلية لحل المعادلات الخطية من الدرجة الأولى والثانية ، والطرق العددية ، وتحليل مستوى الطور للمسائل غير الخطية ، وطرق تحويل لابلاس.
تمثل المعادلات التفاضلية نموذجًا للعديد من الظواهر الطبيعية بالإضافة إلى تطبيقات في العلوم الهندسية والفيزيائية. الهدف من هذه الدورة هو ثلاثة أضعاف: 1) تزويدك بالأدوات والمهارات التي ستحتاجها في فصولك الدراسية القادمة في الهندسة والعلوم الطبيعية. 2) قم ببناء مهارات العرض والاستنتاج الاستنتاجي. بصفتك عالمًا أو مهندسًا ، سيتعين عليك شرح نتائجك للآخرين. ينصب التركيز في هذا الفصل على عرض نتائجك ، والذي يجب أن يكون دائمًا واضحًا حتى يتمكن الآخرون الذين لا يعرفون النتيجة من متابعة عملك. 3) كوّن إحساسك بكيفية استخدام المعادلات التفاضلية لنمذجة التطبيقات.

المتطلبات المسبقة: الرياضيات 163. سنستخدم طرق التفاضل والتكامل التي تعلمتها في الرياضيات 162 والرياضيات 163. تم نشر عينة من مسائل المراجعة -> مشكلات المراجعة -> هنا حتى تتمكن من المراجعة قبل بدء الفصل الدراسي والاستعداد جيدًا. الهدف من دورات الرياضيات في UNM هو -> بناء مهاراتك وتقويتها -> مع تقدمك فصلاً دراسيًا بعد فصل دراسي. المراجعة مطلوبة ، -> ولكن لا تقلق إذا كنت لا تشعر بالثقة بنسبة 100٪ في البداية. سنراجع كما نمضي -> ونكتسب المهارة والثقة طوال الوقت. إذا لم تكن قد التحقت بدورة الرياضيات في آخر 3 فصول دراسية ، فقد ترغب في التفكير في إعادة دراسة الرياضيات 163 حتى تكون مستعدًا بشكل أفضل لدراسات الرياضيات القادمة. يتم تقديم Math 316 كل صيف في UNM مما يمنحك فرصة لأخذها في تلك المرحلة. يرجى مقابلة معلمك إذا كنت ترغب في التحدث عن الدورة التدريبية المناسبة لك.

المتطلبات الأساسية: فئة البرمجة التمهيدية ، ويفضل Matlab: CS 150 أو CS 251 أو PHYS 290 أو ECE 131.
سيكون لدينا عدد قليل من تمارين Matlab ولكنك مسؤول عن تشغيل واستخدام لغة برمجة مثل Matlab أو Python أو Octave للقيام بمخططات بسيطة واستكشاف حلول المعادلات التفاضلية.

تعلم UNM: سيتم نشر جميع درجات الواجبات المنزلية والاختبارات ، بالإضافة إلى تقدير النسبة المئوية الإجمالية الحالية ، على موقع دورات Blackboard Learn الدراسي الخاص بنا. سيتم أيضًا نشر واجبات الواجبات المنزلية وجميع الاختبارات في Learn. يجب تقديم الواجب المنزلي من خلال Learn ، موعد التسليم الساعة 11:30 مساءً في تاريخ الاستحقاق المذكور أدناه. ستحتاج إلى تطبيق مسح لجهازك المحمول لمسح واجبك المنزلي المكتوب كملف pdf وإرسال ملف pdf على Learn. (من فضلك لا ترسل صور jpg أو png لعملك)

وضع العلامات: سيتم تحديد درجة الدورة من

الواجبات الأسبوعية
4 امتحانات نصف الفصل الدراسي
الامتحان النهائي التراكمي
100 نقطة
100 نقطة لكل منهما
200 نقطة
مجمل النقاط 700 نقطة

الواجب المنزلي: يتم نشر مجموعات الواجبات الأسبوعية على هذا الموقع في بداية كل أسبوع. يتم تعيين الواجب المنزلي يوميًا لكل فصل دراسي. ستكون هناك مشكلة واحدة بسيطة مستحقة في كل يوم دراسي للتأكد من مواكبة المادة وعدم التخلف عن الركب -> -> هذه المشكلات مستحقة مرة واحدة في الأسبوع. ومع ذلك ، تحتاج إلى العمل عليها بشكل يومي. كل يوم يجب عليك حل المشاكل المتعلقة بالمواد التي يتم تناولها في ذلك اليوم في الفصل. بعد ذلك لن تكون مثقلًا بك في الليلة السابقة لتاريخ الاستحقاق ، وسوف تتابع الفصل بسهولة أكبر ، وستتاح لك فرص لطرح الأسئلة.
يتمثل أحد الأهداف الرئيسية للدورة التدريبية في تطوير مهاراتك في الكتابة الرياضية ، وإظهار جميع الخطوات التي تم اتخاذها بوضوح باستخدام الجبر والتدوين الصحيحين. لذلك ، سيتم تصنيف واجبك على مدى وضوح وصحة عرضك الرياضي. يرجى الحرص على تقديم حلول مرتبة ومقروءة ، مع ذكر المشاكل بالترتيب. لن تحصل الحلول التي يصعب العثور عليها أو قراءتها على أي رصيد. سيتم تطبيق نفس المعايير على الاختبارات.

ساعات التلاوة (اختياري): افتتح قسم الرياضيات مؤخرًا أ

-> مركز تدريس فسيح وودود -> لحساب التفاضل والتكامل والعديد من دورات الرياضيات على مستوى 300+. لسوء الحظ ، سيكون هذا الفصل الدراسي في الخريف ** افتراضيًا ** فسيحًا وودودًا مركزًا خصوصيًا ، منظمًا بشكل مختلف قليلاً: سيحمل 316 TAs David و Perla ساعات قراءة اختيارية كل أسبوع في 4 فترات زمنية مختلفة 1.5 ساعة. لم يتم بعد تحديد أوقات هذه الساعات وسيتم الإعلان عنها في Learn. خلال هذه الفترات الزمنية ، سيعملون على حل بعض مشاكل الواجبات المنزلية ، وسيكونون منفتحين على أي أسئلة قد تكون لديكم. إذا لم تتمكن من حضور أي من جلسات التلاوة هذه ، فيمكنك عرض تسجيل للمشاكل التي تم التمرين عليها كل أسبوع ، والذي سيكون متاحًا بعد مساء الجمعة. يتمتع مدرسوك أيضًا بساعات مفتوحة يمكنك من خلالها طرح الأسئلة عليهم. سينشر كل مدرس ساعاته على Learn. تفضل بزيارتنا في أي من هذه الأوقات ، نريد أن نسمع منك.

أدوات الدراسة:
1) -> يمكن أن يكون العمل في مجموعات مفيدًا. -> يمكنك مقارنة نتائجك بالآخرين لتثق أنك حصلت عليها بشكل صحيح. يمكنك معرفة التفاصيل التي فاتتك أو الاطلاع على طرق مختلفة لمشكلة ما. يمكنك أن تشرح للآخرين. أنت تطور فهمًا أعمق بكثير عندما تحاول شرح شيء ما للآخرين بوضوح.
2) -> طرح الأسئلة !!

style = "color: green"> -> تتعلم أكثر عندما تكتشف الأسئلة التي لديك ، وتضعها ، وتجد الإجابات عليها. هذا ليس هو نفسه السؤال "كيف تفعل هذه المشكلة؟". سيكون السؤال الأفضل هو "لقد جربت هذا وتعثرت ، لا أرى بدائل ، هل يمكنك المساعدة؟" أو ، في الفصل ، "لا أرى كيف سيتبع ذلك ، هل يمكنك شرح ذلك؟"
ملاحظة: يتم تشجيعك كثيرًا على العمل على واجبات الواجبات المنزلية في مجموعات ولكنك تحتاج إلى الكتابة حلولك الخاصة بكلماتك الخاصة.

النزاهة الأكاديمية: أنت تأخذ هذه الدورة لأنك -> تريد أن تكون محترفًا ماهرًا ومختصًا في مجالك. -> قد يكون من المغري البحث عن حلول في العديد من الأماكن المتاحة عبر الإنترنت. هدفنا هو دعمك حتى تخرج من هذا الفصل بفهم ورؤية واضحين للأدوات التي توفرها لك الرياضيات. ومع ذلك ، للوصول إلى هناك ، عليك القيام بدورك. -> تتعلم الرياضيات ، تمامًا كما تتعلم العزف على الكمان ، أو كرة القدم ، من خلال الممارسة ، والممارسة ، والممارسة. -> لا أحد يستطيع لعب الميزان أو القيام بالتدريبات نيابة عنك. -> سوف تصطدم بحواجز الطرق ، وهذا جزء من العملية. -> ولكن عندما تصل إلى نتائجك بعد عدد قليل من الالتفافات ، فإنك تكون قد فهمت حقًا. إذا قمت بدلاً من ذلك بالاتصال بالإنترنت ونسخ الإجابات ، فلن تتعلم المواد. لذا ، يرجى العلم أن النضال على ما يرام. -> لكن لا تدق رأسك في الإحباط! -> من الجيد تمامًا المحاولة والتفكير في شيء ما قليلاً ، ثم الحصول على مزيد من البصيرة عن طريق طرح الأسئلة.


شاهد الفيديو: الرياضيات للثالث الثانوي العلمي. كتاب الجبر-الدرس التاسع عشر- جمل المعادلات الخطية (شهر اكتوبر 2021).