مقالات

4.4: معامل ثابت النظم المتجانسة 1 - الرياضيات


الأنظمة المتجانسة ذات المعامل الثابت I

سنبدأ الآن دراستنا للنظام المتجانس

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.1}
{ bf y} '= A { bf y} ،
نهاية {المعادلة}

حيث (A ) هو (n times n ) مصفوفة ثابتة. نظرًا لأن (A ) مستمر في ((- infty، infty) ) ، فإن النظرية ((4.2.1) ) تعني أن جميع حلول ​​eqref {eq: 4.4.1} محددة في ((- infty، infty)). لذلك ، عندما نتحدث عن حلول ​​({ bf y} '= A { bf y} ) ، فإننا نعني الحلول على ((- infty، infty) ).

في هذا القسم ، نفترض أن جميع قيم eigenvalues ​​لـ (A ) حقيقية وأن (A ) يحتوي على مجموعة من (n ) المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا. في القسمين التاليين ، نأخذ في الاعتبار الحالات التي تكون فيها بعض قيم eigenvalues ​​لـ (A ) معقدة ، أو حيث لا يحتوي (A ) على (n ) متجهات ذاتية مستقلة خطيًا.

في المثال ((4.3.2) ) أظهرنا أن المتجه يعمل

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} _1 = left [ begin {array} -e ^ {2t} 2e ^ {2t} end {array} right] quad mbox {and} quad { bf y} _2 = left [ begin {array} -e ^ {- t} e ^ {- t} end {array} right]
نهاية {eqnarray *}

تشكل مجموعة أساسية من حلول النظام

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.2}
{ bf y} '= left [ start {array} {-4} & {-3} 6 & 5 end {array} right] { bf y}،
نهاية {المعادلة}

لكننا لم نوضح كيف حصلنا على ({ bf y} _1 ) و ({ bf y} _2 ) في المقام الأول. لمعرفة كيف يمكن الحصول على هذه الحلول ، نكتب eqref {eq: 4.4.2} على النحو التالي

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.3}
ابدأ {مجموعة} {ccc}
y_1 '& = & - 4y_1-3y_2 y_2' & = & phantom {-} 6y_1 + 5y_2 end {array}
نهاية {المعادلة}

وابحث عن حلول للنموذج

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.4}
y_1 = x_1e ^ { lambda t} quad mbox {and} quad y_2 = x_2e ^ { lambda t} ،
نهاية {المعادلة}

حيث (x_1 ) و (x_2 ) و ( لامدا ) ثوابت يجب تحديدها. التفريق بين عوائد eqref {eq: 4.4.4}

ابدأ {eqnarray *}
y_1 '= lambda x_1e ^ { lambda t} quad mbox {and} quad y_2' = lambda x_2e ^ { lambda t}.
نهاية {eqnarray *}

استبدال هذا و eqref {eq: 4.4.4} في eqref {eq: 4.4.3} وإلغاء إنتاج العامل المشترك (e ^ { lambda t} )

ابدأ {eqnarray *}
ابدأ {مجموعة} {ccc} -4x_1-3x_2 & = & lambda x_1
6 x_1 + 5x_2 & = & lambda x_2. end {array}
نهاية {eqnarray *}

بالنسبة إلى ( lambda ) ، يعد هذا نظامًا جبريًا متجانسًا ، حيث يمكن إعادة كتابته كـ

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.5}
ابدأ {مجموعة} {rcl} (-4- لامدا) x_1-3 x_2 & = & 0
6 x_1 + (5- lambda) x_2 & = & 0. end {array}
نهاية {المعادلة}

الحل البسيط (x_1 = x_2 = 0 ) لهذا النظام ليس مفيدًا ، لأنه يتوافق مع الحل التافه (y_1 equiv y_2 equiv0 ) لـ eqref {eq: 4.4.3} ، والذي يمكن أن تكون جزءًا من مجموعة أساسية من حلول ​​eqref {eq: 4.4.2}. لذلك فإننا نأخذ في الاعتبار فقط قيم ( lambda ) التي ليس لها حلول ​​eqref {eq: 4.4.5} بديهية. هذه هي قيم ( lambda ) التي يكون فيها محدد eqref {eq: 4.4.5} صفرًا ؛ هذا هو،

ابدأ {eqnarray *}
left | start {array} {cc} -4- lambda & -3 6 & 5- lambda end {array} right | & = &
(-4- lambda) (5- lambda) +18 & = & lambda ^ 2- lambda-2
& = & ( لامدا -2) ( لامدا + 1) = 0 ،
نهاية {eqnarray *}

التي لها الحلول ​​( lambda_1 = 2 ) و ( lambda_2 = -1 ).

أخذ ( lambda = 2 ) في eqref {eq: 4.4.5}

ابدأ {eqnarray *}
-6 x_1-3 x_2 & = & 0
6 x_1 + 3 x_2 & = & 0 ،
نهاية {eqnarray *}

مما يعني أن (x_1 = -x_2 / 2 ) ، حيث يمكن اختيار (x_2 ) بشكل تعسفي. ينتج عن اختيار (x_2 = 2 ) الحل (y_1 = -e ^ {2t} ) ،
(y_2 = 2e ^ {2t} ) من eqref {eq: 4.4.3}. يمكننا كتابة هذا الحل في صورة متجهية

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.6}
{ bf y} _1 = left [ begin {array} -1 { phantom {-} 2} e ^ {2t} end {array} right].
نهاية {المعادلة}

يؤدي أخذ ( lambda = -1 ) في eqref {eq: 4.4.5} إلى إنتاج النظام

ابدأ {eqnarray *}
-3 x_1-3 x_2 & = & 0
فانتوم {-} 6 x_1 + 6 x_2 & = & 0 ،
نهاية {eqnarray *}

لذلك (x_1 = -x_2 ). يؤدي أخذ | (x_2 = 1 ) هنا إلى الحل (y_1 = -e ^ {- t} ) ، (y_2 = e ^ {- t} ) من eqref {eq: 4.4.3}. يمكننا كتابة هذا الحل في صورة متجهية

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.7}
{ bf y} _2 = left [ begin {array} -1 { phantom {-} 1} e ^ {- t} end {array} right].
نهاية {المعادلة}

في eqref {eq: 4.4.6} و eqref {eq: 4.4.7} ، فإن المعاملات الثابتة في وسيطات الدوال الأسية هي القيم الذاتية لمصفوفة المعامل في eqref {eq: 4.4.2} ، و ترتبط معاملات المتجه للوظائف الأسية بالمتجهات الذاتية المرتبطة. هذا يوضح النظرية التالية.

نظرية ( PageIndex {1} )

افترض أن (n times n ) مصفوفة ثابتة (A ) لها (n ) قيم ذاتية حقيقية ( lambda_1 ، lambda_2 ، ldots ، lambda_n ) (التي لا يجب أن تكون مميزة) مع المتجهات الذاتية المستقلة الخطية المرتبطة ({ bf x} _1، { bf x} _2، ldots، { bf x} _n ). ثم الوظائف

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} _1 = { bf x} _1 e ^ { lambda_1 t} ، ، { bf y} _2 = { bf x} _2 e ^ { lambda_2 t} ، ، dots ، ، { bf y} _n = { bf x} _n e ^ { lambda_n t}
نهاية {eqnarray *}

تشكل مجموعة أساسية من حلول ​​({ bf y} '= A { bf y}؛ ) أي أن الحل العام لهذا النظام هو

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} = c_1 { bf x} _1 e ^ { lambda_1 t} + c_2 { bf x} _2 e ^ { lambda_2 t} + cdots + c_n { bf x} _n e ^ { lambda_n ر}.
نهاية {eqnarray *}

دليل

التفريق بين ({ bf y} _i = { bf x} _ie ^ { lambda_it} ) والتذكير بأن (A { bf x} _i = lambda_i { bf x} _i ) ينتج

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} _i '= lambda_i { bf x} _i e ^ { lambda_i t} = A { bf x} _i e ^ { lambda_i t} = A { bf y} _i.
نهاية {eqnarray *}

يوضح هذا أن ({ bf y} _i ) هو حل ({ bf y} '= A { bf y} ).

الخطأ الخاطئ لـ ( {{ bf y} _1، { bf y} _2، ldots، { bf y} _n } ) هو

ابدأ {eqnarray *}
اليسار | start {array} x_ {11} e ^ { lambda_1 t} & x_ {12} e ^ { lambda_2 t} & cdots & x_ {1n} e ^ { lambda_n t} x_ {21 } e ^ { lambda_1 t} & x_ {22} e ^ { lambda_2 t} & cdots & x_ {2n} e ^ { lambda_n t} vdots & vdots & ddots & vdots x_ {n1} e ^ { lambda_1 t} & x_ {n2} e ^ { lambda_2 t} & cdots & x_ {nn} e ^ { lambda x_n} end {array} right | = e ^ { lambda_1 t} e ^ { lambda_2 t} cdots e ^ { lambda_n t} left | start {array} x_ {11} & x_ {12} & cdots & x_ {1n} x_ {21} & x_ {22} & cdots & x_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots x_ {n1} & x_ {n2} & cdots & x_ {nn} end {array} right |.
نهاية {eqnarray *}

نظرًا لأن أعمدة المحدد على اليمين هي ({ bf x} _1 ) ، ({ bf x} _2 ) ، ( dots ) ​​، ({ bf x} _n ) ، التي من المفترض أن تكون مستقلة خطيًا ، فإن المحدد ليس صفريًا. لذلك تشير النظرية ((4.3.3) ) إلى أن ( { bf y} _1 ، { bf y} _2 ، ldots ، { bf y} _n } ) هي مجموعة أساسية من الحلول من ({ bf y} '= A { bf y} ).

مثال ( PageIndex {1} )

(أ) أوجد الحل العام لـ

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.8}
{ bf y} '= left [ start {array} 2 & 4 4 & 2 end {array} right] { bf y}.
نهاية {المعادلة}

(ب) حل مشكلة القيمة الأولية

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.9}
{ bf y} '= left [ start {array} 2 & 4 4 & 2 end {array} right] { bf y}، quad { bf y} (0) = يسار [ start {array} 5 - 1 end {array} right].
نهاية {المعادلة}

إجابه

(أ) كثير الحدود المميز لمصفوفة المعامل (A ) في eqref {eq: 4.4.8} هو

ابدأ {eqnarray *}
يسار | ابدأ {مجموعة} {cc} 2- لامدا & 4 4 & 2- لامدا نهاية {مجموعة} يمين |
& = & ( lambda-2) ^ 2-16
& = & ( lambda-2-4) ( lambda-2 + 4)
& = & ( لامدا -6) ( لامدا + 2).
نهاية {eqnarray *}

ومن ثم ، فإن ( lambda_1 = 6 ) و ( lambda_2 = -2 ) هي قيم ذاتية لـ (A ). للحصول على المتجهات الذاتية ، يجب علينا حل النظام

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.10}
يسار [ start {array} {cc} 2- lambda & 4 4 & 2- lambda end {array} right]
يسار [ يبدأ {مجموعة} {c} x_1 x_2 end {array} right] =
يسار [ يبدأ {مجموعة} {c} 0 0 نهاية {مجموعة} يمين]
نهاية {المعادلة}

مع ( لامدا = 6 ) و ( لامدا = -2 ). ضبط ( lambda = 6 ) في eqref {eq: 4.4.10}

ابدأ {eqnarray *}
يسار [ start {array} -4 & 4 4 & -4 end {array} right] left [ begin {array} x_1 x_2 end {array} right] = left [ start {array} 0 0 end {array} right] ،
نهاية {eqnarray *}

مما يعني أن (x_1 = x_2 ). أخذ (x_2 = 1 ) ينتج عنه المتجه الذاتي

ابدأ {eqnarray *}
{ bf x} _1 = left [ start {array} 1 1 end {array} right] ،
نهاية {eqnarray *}

وبالتالي

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} _1 = left [ start {array} 1 1 end {array} right] e ^ {6t}
نهاية {eqnarray *}

هو حل eqref {eq: 4.4.8}. ضبط ( lambda = -2 ) في eqref {eq: 4.4.10}

ابدأ {eqnarray *}
يسار [ يبدأ {مجموعة} 4 & 4 4 & 4 نهاية {مجموعة} يمين] يسار [ ابدأ {مجموعة} x_1 x_2 end {array} right] = يسار [ start {array} 0 0 end {array} right] ،
نهاية {eqnarray *}

مما يعني أن (x_1 = -x_2 ). أخذ (x_2 = 1 ) ينتج عنه المتجه الذاتي

ابدأ {eqnarray *}
{ bf x} _2 = left [ start {array} -1 1 end {array} right] ،
نهاية {eqnarray *}

وبالتالي

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} _2 = left [ start {array} -1 1 end {array} right] e ^ {- 2t}
نهاية {eqnarray *}

هو حل eqref {eq: 4.4.8}. من النظرية ((4.4.1) ) ، الحل العام لـ eqref {eq: 4.4.8} هو

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.11}
{ bf y} = c_1 { bf y} _1 + c_2 { bf y} _2 = c_1 left [ start {array} {r} 1 1 end {array} right] e ^ {6t } + c_2 left [ start {array} {r} -1 1
end {array} right] e ^ {- 2t}.
نهاية {المعادلة}

(ب) للوفاء بالشرط الأولي في eqref {eq: 4.4.9} ، يجب أن نختار (c_1 ) و (c_2 ) في eqref {eq: 4.4.11} بحيث

ابدأ {eqnarray *}
c_1 left [ start {array} 1 1 end {array} right] + c_2 left [ begin {array} -1 1 end {array} right] = يسار [ start {array} 5 -1 end {array} right].
نهاية {eqnarray *}

هذا يعادل النظام

ابدأ {eqnarray *}
c_1-c_2 & = & phantom {-} 5
c_1 + c_2 & = & - 1 ،
نهاية {eqnarray *}

لذلك (c_1 = 2 ، c_2 = -3 ). لذلك فإن حل eqref {eq: 4.4.9} هو

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} = 2 left [ start {array} 1 1 end {array} right] e ^ {6t} -3 left [ begin {array} -1 1 end {array} right] e ^ {- 2t} ،
نهاية {eqnarray *}

أو من حيث المكونات ،

ابدأ {eqnarray *}
y_1 = 2e ^ {6t} + 3e ^ {- 2t}، quad y_2 = 2e ^ {6t} - 3e ^ {- 2t}.
نهاية {eqnarray *}

مثال ( PageIndex {2} )

(أ) أوجد الحل العام لـ

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.12}
{ bf y} '= left [ start {array} {rrr} 3 & -1 & -1 - 2 & 3 & 2 4 & -1 & -2 end {array} right] { bf y}.
نهاية {المعادلة}

(ب) حل مشكلة القيمة الأولية

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.13}
{ bf y} '= left [ start {array} {rrr} 3 & -1 & -1 - 2 & 3 &
2 4 & -1 & -2 نهاية {مجموعة}
right] { bf y}، quad { bf y} (0) = left [ start {array} {r} 2
-1 8 نهاية {مجموعة} يمين].
نهاية {المعادلة}

إجابه

(أ) كثير الحدود المميز لمصفوفة المعامل (A ) في eqref {eq: 4.4.12} هو

ابدأ {eqnarray *}
اليسار | start {array} 3- lambda & -1 & -1 -2 & 3- lambda & 2 4 & -1 & -2- lambda end {array} right | = - ( لامدا -2) ( لامدا -3) ( لامدا + 1).
نهاية {eqnarray *}

ومن ثم ، فإن القيم الذاتية لـ (A ) هي ( lambda_1 = 2 ) ، ( lambda_2 = 3 ) ، و ( lambda_3 = -1 ). لإيجاد المتجهات الذاتية ، يجب علينا حل النظام

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.14}
left [ start {array} {ccc} 3- lambda & -1 & -1 - 2 & 3- lambda & 2 4 & -1 & -2- lambda end {array} right] left [ begin {مجموعة} {c} x_1 x_2 x_3 end {array} right] = left [ start {array} {r} 0 0 0 end {array} right]
نهاية {المعادلة}

مع ( لامدا = 2 ) ، (3 ) ، (- 1 ). باستخدام ( lambda = 2 ) ، تكون المصفوفة المعززة لـ eqref {eq: 4.4.14} هي

ابدأ {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & -1 & -1 & vdots & 0 -2 & 1 & 2 & vdots & 0 4 & -1 & -4 & vdots & 0 نهاية {مجموعة} يمين] ،
نهاية {eqnarray *}

وهو ما يعادل الصف

ابدأ {eqnarray *}
left [ start {array} 1 & 0 & -1 & vdots & 0 0 & 1 & 0 & vdots & 0 0 & 0 & 0 & vdots & 0 end {array} حق].
نهاية {eqnarray *}

ومن ثم ، (x_1 = x_3 ) و (x_2 = 0 ). أخذ عوائد (x_3 = 1 )

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} _1 = left [ start {array} 1 0 1 end {array} right] e ^ {2t}
نهاية {eqnarray *}

كحل لـ eqref {eq: 4.4.12}. باستخدام ( lambda = 3 ) ، تكون المصفوفة المعززة لـ eqref {eq: 4.4.14} هي

ابدأ {eqnarray *}
left [ begin {array} 0 & -1 & -1 & vdots & 0 -2 & 0 & 2 & vdots & 0 4 & -1 & -5 & vdots & 0 end {مجموعة} يمين] ،
نهاية {eqnarray *}

وهو ما يعادل الصف

ابدأ {eqnarray *}
left [ start {array} 1 & 0 & -1 & vdots & 0 0 & 1 & 1 & vdots & 0 0 & 0 & 0 & vdots & 0 end {array} حق].
نهاية {eqnarray *}

ومن ثم ، (x_1 = x_3 ) و (x_2 = -x_3 ). أخذ عوائد (x_3 = 1 )

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} _2 = left [ start {array} 1 -1 1 end {array} right] e ^ {3t}
نهاية {eqnarray *}

كحل لـ eqref {eq: 4.4.12}. باستخدام ( lambda = -1 ) ، تكون المصفوفة المعززة لـ eqref {eq: 4.4.14} هي

ابدأ {eqnarray *}
left [ start {array} 4 & -1 & -1 & vdots & 0 - 2 & 4 & 2 & vdots & 0 4 & -1 & -1 & vdots & 0 نهاية {مجموعة} يمين] ،
نهاية {eqnarray *}

وهو ما يعادل الصف

ابدأ {eqnarray *}
left [ start {array} 1 & 0 & - {1 over 7} & vdots & 0 0 & 1 & {3 over 7} & vdots & 0 0 & 0 & 0 & vdots & 0 end {array} right].
نهاية {eqnarray *}

ومن ثم ، (x_1 = x_3 / 7 ) و (x_2 = -3x_3 / 7 ). أخذ عوائد (x_3 = 7 )

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} _3 = left [ start {array} 1 -3 7 end {array} right] e ^ {- t}
نهاية {eqnarray *}

كحل لـ eqref {eq: 4.4.12}. بواسطة Theorem ((4.4.1) ) ، الحل العام لـ eqref {eq: 4.4.12} هو

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} = c_1 left [ start {array} 1 0 1 end {array} right] e ^ {2t} + c_2 left [ begin {array} 1 -1 1 end {array} right] e ^ {3t} + c_3 left [ begin {array} 1 -3 7 end {array} right] e ^ {-t} ،
نهاية {eqnarray *}

والتي يمكن كتابتها أيضًا باسم

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.15}
{ bf y} = left [ begin {array} {crc} e ^ {2t} & e ^ {3t} & e ^ {- t}
0 & -e ^ {3t} &
-3e ^ {- t} e ^ {2t} & e ^ {3t} & phantom {-} 7e ^ {- t} end {array}
right] left [ start {array} {c_1 c_2 c_3 end {array} right].
نهاية {المعادلة}

(ب) لتلبية الشرط الأولي في eqref {eq: 4.4.13} يجب أن نختار (c_1 ) ، (c_2 ) ، (c_3 ) في eqref {eq: 4.4.15} بحيث

ابدأ {eqnarray *}
يسار [ start {array} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -3 1 & 1 & 7 end {array} right] left [ begin {array} c_1 c_2 c_3 end {array} right] = left [ begin {array} 2 -1 8 end {array} right].
نهاية {eqnarray *}

ينتج عن حل هذا النظام (c_1 = 3 ) ، (c_2 = -2 ) ، (c_3 = 1 ). ومن ثم ، فإن حل eqref {eq: 4.4.13} هو

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} & = & left [ begin {array} {ccc} e ^ {2t} & e ^ {3t} &
ه ^ {- t} 0 & -e ^ {3t}
& -3e ^ {- t} e ^ {2t} & e ^ {3t} & 7e ^ {- t} end {array}
حق]
يسار [ يبدأ {مجموعة} {r} 3 - 2 1 نهاية {مجموعة} يمين]
& = & 3 left [ start {array} {r} 1 0 1 end {array} right] e ^ {2t} -2
يسار [ يبدأ {مجموعة} {r} 1 - 1 1 نهاية {مجموعة} يمين]
e ^ {3t} + left [ start {array} {r} 1 - 3 7 end {array}
صحيح] ه ^ {- t}.
نهاية {eqnarray *}

مثال ( PageIndex {3} )

أوجد الحل العام لـ

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.16}
{ bf y} '= left [ start {array} {rrr} -3 & 2 & 2
2&-3&2\2&2&-3
end {array} right] { bf y}.
نهاية {المعادلة}

إجابه

كثير الحدود المميز لمصفوفة المعامل (A ) في eqref {eq: 4.4.16} هو

ابدأ {eqnarray *}
left [ start {array} -3- ​​ lambda & 2 & 2 2 & -3- lambda & 2 2 & 2 & -3- lambda end {array} right] = - ( لامدا -1) ( لامدا + 5) ^ 2.
نهاية {eqnarray *}

ومن ثم ، فإن ( lambda_1 = 1 ) هي القيمة الذاتية للتعددية (1 ) ، بينما ( lambda_2 = -5 ) هي القيمة الذاتية للتعددية (2 ). المتجهات الذاتية المرتبطة بـ ( lambda_1 = 1 ) هي حلول للنظام بمصفوفة معززة

ابدأ {eqnarray *}
left [ start {array} -4 & 2 & 2 & vdots & 0 2 & -4 & 2 vdots & 0 2 & 2 & -4 & vdots & 0 end {array } حق]،
نهاية {eqnarray *}

وهو ما يعادل الصف

ابدأ {eqnarray *}
left [ begin {array} 1 & 0 & -1 & vdots & 0 0 & 1 & -1 & vdots & 0 0 & 0 & 0 & vdots & 0 end {مجموعة } حق].
نهاية {eqnarray *}

ومن ثم ، (x_1 = x_2 = x_3 ) ، ونختار (x_3 = 1 ) للحصول على الحل

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.17}
{ bf y} _1 = left [ start {array} {r} 1 1 1 end {array} right] e ^ t
نهاية {المعادلة}

من eqref {eq: 4.4.16}. المتجهات الذاتية المرتبطة بـ ( lambda_2 = -5 ) هي حلول للنظام بمصفوفة معززة

ابدأ {eqnarray *}
left [ start {array} 2 & 2 & 2 & vdots & 0 2 & 2 & 2 & vdots & 0 2 & 2 & 2 & vdots & 0 end {array} حق].
نهاية {eqnarray *}

ومن ثم ، فإن مكونات هذه المتجهات الذاتية تحتاج فقط إلى تلبية الشرط الفردي

ابدأ {eqnarray *}
x_1 + x_2 + x_3 = 0.
نهاية {eqnarray *}

نظرًا لوجود معادلة واحدة فقط هنا ، يمكننا اختيار (x_2 ) و (x_3 ) بشكل تعسفي. نحصل على eigenvector واحد باختيار (x_2 = 0 ) و (x_3 = 1 ) ، وآخر باختيار (x_2 = 1 ) و (x_3 = 0 ). في كلتا الحالتين (x_1 = -1 ). لذلك

ابدأ {eqnarray *}
يسار [ start {array} -1 0 1 end {array} right] quad mbox {and} quad left [ begin {array} -1 1 0 end {array} right]
نهاية {eqnarray *}

هي متجهات ذاتية مستقلة خطيًا مرتبطة بـ ( lambda_2 = -5 ) ، والحلول المقابلة لـ eqref {eq: 4.4.16} هي

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} _2 = left [ begin {array} -1 0 1 end {array} right] e ^ {- 5t} quad mbox {and} quad { bf y} _3 = left [ begin {array} -1 1 0 end {array} right] e ^ {- 5t}.
نهاية {eqnarray *}

بسبب هذا و eqref {eq: 4.4.17} ، تشير النظرية ((4.4.1) ) إلى أن الحل العام لـ eqref {eq: 4.4.16} هو

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} = c_1 left [ start {array} 1 1 1 end {array} right] e ^ t + c_2 left [ begin {array} -1 0 1 end {array} right] e ^ {- 5t} + c_3 left [ begin {array} -1 1 0 end {array} right] e ^ { -5 ت}.
نهاية {eqnarray *}

الخصائص الهندسية للحلول عند (n = 2 )

سننظر الآن في الخصائص الهندسية لحلول ​​(2 مرات 2 ) نظام معامل ثابت

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.18}
left [ begin {array} {y_1 '} {y_2'} end {array} right] = left [ begin {array} {cc} a_ {11} & a_ {12} أ_ {21} و أ_ {22}
end {array} right] left [ start {array} {y_1} {y_2} end {array} right].
نهاية {المعادلة}

من المناسب التفكير في `` (y_1 ) - (y_2 ) مستوى "، حيث يتم تحديد نقطة بإحداثيات مستطيلة ((y_1، y_2) ). إذا ({ bf y} = displaystyle { left [ begin {array} {y_1} {y_2} end {array} right]} ) هو حل غير ثابت لـ eqref {eq: 4.4.18} ، إذن النقطة ((y_1 (t) ، y_2 (t)) ) تتحرك على طول منحنى (C ) في (y_1 ) - (y_2 ) المستوى حيث (t ) يختلف عن ( - infty ) إلى ( infty ). نسمي (C ) ( textcolor {blue} { mbox {trajectory}} ) لـ ({ bf y} ). (نحن لنفترض أيضًا أن (C ) هو مسار النظام eqref {eq: 4.4.18}.) من المهم ملاحظة أن (C ) هو مسار عدد لا نهائي من الحلول لـ eqref {eq: 4.4. 18} ، بما أنه إذا كان ( tau ) أي رقم حقيقي ، فإن ({ bf y} (t- tau) ) هو حل eqref {eq: 4.4.18} (تمرين (( 4.4E.28) ) الجزء (ب)) ، و ((y_1 (t- tau) ، y_2 (t- tau)) ) يتحرك أيضًا على طول (C ) حيث (t ) يختلف من (- infty ) إلى ( infty ). علاوة على ذلك ، فإن التمرين ((4.4E.28) ) الجزء (ج) يعني أن المسارات المميزة لـ eqref {eq: 4.4.18} لا يمكن أنا n ، وأن الحلين ({ bf y} _1 ) و ({ bf y} _2 ) من eqref {eq: 4.4.18} لهما نفس المسار إذا وفقط إذا ({ bf y} _2 (t) = { bf y} _1 (t- tau) ) لبعض ( tau ).

من التمرين ((4.4E.28) ) الجزء (أ) ، لا يمكن أن يحتوي مسار الحل غير البسيط لـ eqref {eq: 4.4.18} على ((0،0) ) ، والذي نحدده ليكون مسار الحل التافه ({ bf y} equiv0 ). بشكل عام ، إذا ({ bf y} = displaystyle { left [ begin {array} {k_1} {k_2} end {array} right]} ne { bf 0} ) هو حل ثابت لـ eqref {eq: 4.4.18} (والذي يمكن أن يحدث إذا كان الصفر قيمة ذاتية لمصفوفة eqref {eq: 4.4.18}) ، نحدد مسار ({ bf y } ) لتكون النقطة الواحدة ((k_1، k_2) ).

على وجه التحديد ، هذا هو السؤال: كيف تبدو المسارات ، وكيف يتم اجتيازها؟ سنجيب في هذا القسم عن هذا السؤال ، بافتراض أن المصفوفة

ابدأ {eqnarray *}
A = left [ begin {array} a_ {11} & a_ {12} a_ {21} & a_ {22} end {array} right]
نهاية {eqnarray *}

لـ eqref {eq: 4.4.18} قيم ذاتية حقيقية ( lambda_1 ) و ( lambda_2 ) مع المتجهات الذاتية المستقلة الخطية ({ bf x} _1 ) و ({ bf x} _2 ). ثم الحل العام لـ eqref {eq: 4.4.18} هو

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.19}
{ bf y} = c_1 { bf x} _1
هـ ^ { lambda_1 t} + c_2 { bf x} _2e ^ { lambda_2 t}.
نهاية {المعادلة}

سننظر في المواقف الأخرى في القسمين التاليين.

نترك الأمر لك (تمرين ((4.4E.35) )) لتصنيف مسارات eqref {eq: 4.4.18} إذا كان الصفر قيمة ذاتية لـ (A ). سنقتصر اهتمامنا هنا على الحالة التي تكون فيها كلتا القيم الذاتية غير صفرية. في هذه الحالة أبسط موقف هو حيث ( lambda_1 = lambda_2 ne0 ) ، لذلك يصبح eqref {eq: 4.4.19}

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} = (c_1 { bf x} _1 + c_2 { bf x} _2) e ^ { lambda_1 t}.
نهاية {eqnarray *}

نظرًا لأن ({ bf x} _1 ) و ({ bf x} _2 ) مستقلان خطيًا ، يمكن كتابة المتجه التعسفي ({ bf x} ) كـ ({ bf x} = c_1 { bf x} _1 + c_2 { bf x} _2 ). لذلك يمكن كتابة الحل العام لـ eqref {eq: 4.4.18} كـ ({ bf y} = { bf x} e ^ { lambda_1 t} ) حيث ({ bf x} ) هو (2 ) - متجه تعسفي ، ومسارات الحلول غير البديهية لـ eqref {eq: 4.4.18} عبارة عن نصف أسطر من خلال (ولكن لا تشمل) الأصل. اتجاه الحركة بعيدًا عن الأصل إذا ( lambda_1> 0 ) (الشكل (4.4.1 )) ، باتجاهه إذا ( lambda_1 <0 ) (الشكل (4.4.2 )) . (في هذه الأشكال والأشكال التالية ، يشير السهم المار بنقطة إلى اتجاه الحركة على طول المسار عبر النقطة.)

الشكل (4.4.1 )

مسارات نظام (2 مرات 2 ) بإيجابية متكررة

الشكل (4.4.2 )

مسارات نظام (2 مرات 2 ) مع تكرار السالب

افترض الآن ( lambda_2> lambda_1 ) ، ودعنا (L_1 ) و (L_2 ) تشير إلى الخطوط من خلال الأصل الموازي لـ ({ bf x} _1 ) و ({ bf x} _2 ) ، على التوالي. بنصف سطر من (L_1 ) (أو (L_2 )) ، فإننا نعني أيًا من الأشعة التي تم الحصول عليها عن طريق إزالة الأصل من (L_1 ) (أو (L_2 )).

السماح (c_2 = 0 ) في eqref {eq: 4.4.19} بإنتاجية ({ bf y} = c_1 { bf x} _1e ^ { lambda_1 t} ). إذا كان (c_1 ne0 ) ، فإن المسار المحدد بواسطة هذا الحل هو نصف خط (L_1 ). يكون اتجاه الحركة بعيدًا عن الأصل إذا ( lambda_1> 0 ) ، باتجاه الأصل إذا ( lambda_1 <0 ). وبالمثل ، فإن مسار ({ bf y} = c_2 { bf x} _2e ^ { lambda_2 t} ) مع (c_2 ne0 ) هو نصف سطر (L_2 ).

من الآن فصاعدًا ، نفترض أن (c_1 ) و (c_2 ) في eqref {eq: 4.4.19} كلاهما ليس صفريًا. في هذه الحالة ، مسار eqref {eq: 4.4.19} لا يمكن أن يتقاطع مع (L_1 ) أو (L_2 ) ، لأن كل نقطة على هذه السطور تقع على مسار الحل الذي إما ( c_1 = 0 ) أو (c_2 = 0 ). (تذكر: لا يمكن أن تتقاطع المسارات المميزة!). لذلك يجب أن يقع مسار eqref {eq: 4.4.19} بالكامل في أحد القطاعات الأربعة المفتوحة التي يحدها (L_1 ) و (L_2 ) ، ولكن لا يجب أن تكون أي نقطة على (L_1 ) أو (L_2 ). منذ النقطة الأولية ((y_1 (0)، y_2 (0)) ) المحددة بواسطة

ابدأ {eqnarray *}
{ bf y} (0) = c_1 { bf x} _1 + c_2 { bf x} _2
نهاية {eqnarray *}

على المسار ، يمكننا تحديد القطاع الذي يحتوي على المسار من علامتي (c_1 ) و (c_2 ) ، كما هو موضح في الشكل (4.4.3 ).

اتجاه ({ bf y} (t) ) في eqref {eq: 4.4.19} هو نفس اتجاه

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.20}
ه ^ {- lambda_2 t} { bf y} (t) =
c_1 { bf x} _1e ^ {- ( lambda_2- lambda_1) t} + c_2 { bf x} _2
نهاية {المعادلة}

وبناءا على

ابدأ {المعادلة} التسمية {eq: 4.4.21}
هـ ^ {- lambda_1 t} { bf y} (t) = c_1 { bf
x} _1 + c_2 { bf x} _2e ^ {( lambda_2- lambda_1) t}.
نهاية {المعادلة}

نظرًا لأن الجانب الأيمن من eqref {eq: 4.4.20} يقترب من (c_2 { bf x} _2 ) كـ (t to infty ) ، يكون المسار موازيًا بشكل مقارب لـ (L_2 ) كـ (t to infty ). نظرًا لأن الجانب الأيمن من eqref {eq: 4.4.21} يقترب من (c_1 { bf x} _1 ) كـ (t to- infty ) ، يكون المسار موازيًا بشكل مقارب لـ (L_1 ) كما (t to- infty ).

يعتمد شكل واتجاه اجتياز مسار eqref {eq: 4.4.19} على ما إذا كانت ( lambda_1 ) و ( lambda_2 ) كلاهما موجب ، أو سالب ، أو إشارات معاكسة. سنقوم الآن بتحليل هذه الحالات الثلاث.

من الآن فصاعدًا ، يشير ( | { bf u} | ) إلى طول المتجه ({ bf u} ).

الشكل (4.4.3 )

أربعة قطاعات مفتوحة يحدها (L_1 ) و (L_2 )

الشكل (4.4.4 )

اثنان من قيم eigenvalues ​​الإيجابية ؛ الابتعاد عن الأصل

الحالة 1: ( lambda_2> lambda_1> 0 )

يوضح الشكل (4.4.4 ) بعض المسارات النموذجية. في هذه الحالة ، ( lim_ {t to- infty} | { bf y} (t) | = 0 ) ، وبالتالي فإن المسار ليس فقط موازيًا تقاربيًا لـ (L_1 ) كـ ( t to- infty ) ، ولكنه في الواقع مماس مقارب لـ (L_1 ) في الأصل. من ناحية أخرى ، ( lim_ {t to infty} | { bf y} (t) | = infty ) و

ابدأ {eqnarray *}
lim_ {t to infty} left | { bf y} (t) -c_2 { bf x} _2 e ^ { lambda_2 t} right | = lim_ {t to infty} | c_1 { bf x_1} e ^ { lambda_1 t} | = إنفتي ،
نهاية {eqnarray *}

لذلك ، على الرغم من أن المسار موازٍ بشكل مقارب لـ (L_2 ) كـ (t to infty ) ، فإنه ليس مماسًا مقاربًا لـ (L_2 ). اتجاه الحركة على طول كل مسار بعيدًا عن الأصل.

الحالة 2: (0> lambda_2> lambda_1 )

يوضح الشكل (4.4.5 ) بعض المسارات النموذجية. في هذه الحالة ، ( lim_ {t to infty} | { bf y} (t) | = 0 ) ، لذلك يكون المسار مماسًا مقاربًا لـ (L_2 ) في الأصل كـ ( t to infty ). من ناحية أخرى ، ( lim_ {t to- infty} | { bf y} (t) | = infty ) و

ابدأ {eqnarray *}
lim_ {t to- infty} left | { bf y} (t) -c_1 { bf x} _1 e ^ { lambda_1 t} right | = lim_ {t to- infty} | c_2 { bf x} _2 e ^ { lambda_2 t} | = إنفتي ،
نهاية {eqnarray *}

لذلك ، على الرغم من أن المسار موازٍ بشكل مقارب لـ (L_1 ) كـ (t to- infty ) ، فإنه ليس مماسًا مقاربًا له. اتجاه الحركة على طول كل مسار نحو الأصل.

الشكل (4.4.5 )

اثنان من قيم eigenvalues ​​السلبية ؛ الحركة نحو الأصل

الشكل (4.4.6 )

القيم الذاتية لعلامات مختلفة

الحالة 3: ( lambda_2> 0> lambda_1 )

يوضح الشكل (4.4.6 ) بعض المسارات النموذجية. في هذه الحالة،

ابدأ {eqnarray *}
lim_ {t to infty} | { bf y} (t) | = infty quad mbox {and} quad lim {| t to infty} left | { bf y} (t) -c_2 { bf x} _2 e ^ { lambda_2 t} right | = lim_ {t to infty} | c_1 { bf x} _1 e ^ { lambda_1 t} | = 0 ،
نهاية {eqnarray *}

لذلك يكون المسار مماسًا مقاربًا لـ (L_2 ) كـ (t to infty ). بصورة مماثلة،

ابدأ {eqnarray *}
lim_ {t to infty} | { bf y} (t) | = infty quad mbox {and} quad lim_ {t to infty} left | { bf y} (t) -c_1 { bf x} _1 e ^ { lambda_1 t} right | = lim_ {t to infty} | c_2 { bf x} _2 e ^ { lambda_2 t} | = 0 ،
نهاية {eqnarray *}

لذلك يكون المسار مماسًا مقاربًا لـ (L_1 ) كـ (t to- infty ). اتجاه الحركة نحو الأصل على (L_1 ) وبعيدًا عن الأصل على (L_2 ). يكون اتجاه الحركة على طول أي مسار آخر بعيدًا عن (L_1 ) باتجاه (L_2 ).


لكل منها ، عليك أن تجد عامل تفاضل ذي معامل ثابت يلغيها ، وبعد ذلك يمكنك تكديسها معًا (أي تكوينها) ، لأنه إذا كانت المعاملات ثابتة ، فإن المشغلين يتنقلون. على سبيل المثال ، $ cos$ و $ sinيتم إبادة $ بواسطة $ (d / dx) ^ 2 + 1 $. يمكن التخلص من الثلاثة الأخرى بواسطة نفس العامل ، $ (d / dx-1) ^ 3 $: $ left ( frac-1 يمين) x ^ 2e ^ x = 2xe ^ x + x ^ 2e ^ x-x ^ 2e ^ x = 2xe ^ x ، left ( frac-1 يمين) xe ^ x = e ^ x + xe ^ x-xe ^ x = e ^ x left ( frac-1 يمين) e ^ x = e ^ x-e ^ x = 0 $ ومن ثم يتم التخلص من الخمسة جميعها بواسطة $ left ( frac-1 يمين) ^ 3 يسار ( frac+1 right) $ ، ويمكنك إيجاد الصيغة الفعلية للمعادلة التفاضلية من خلال تطبيق ذلك على التابع $ y $ والتوسع للخارج.

يمكن حل كل ODE متجانس مع معاملات ثابتة من خلال إيجاد جذور كثير الحدود المميز ، على سبيل المثال $ y '' - 3y '+ 2y = 0 $ له كثير الحدود المميز $ r ^ 2-3r + 2 = (r-1) (r-2) $ ويتم حله بواسطة $ y = c_1e ^ t + c_2e ^ < 2 طن> دولار. إذا كانت لديك الدالتان $ e ^ t $ و $ e ^ <2t> $ كوظائف أساسية للحلول ، فستعرف أن كثيرة الحدود المميزة لها جذور $ 1 $ و $ 2 $. وبالتالي يمكننا بناء ODE يحتوي على الحلول المقدمة إذا كانت لدينا وظائف الأساس (طالما أنها متسقة).

لذلك إذا كان لدينا $ e ^، te ^، cdots ، t ^ه ^$ كوظائف أساسية ، سنعلم أن كثير الحدود المميز لدينا له جذر $ s $ مع تعدد $ k $ ، أي $ p (r) = (sr) ^ kq (r) $ حيث $ p (r) $ هو كثير الحدود المميز لدينا و $ q (r) $ متعدد الحدود آخر. إذا كان لدينا $ e ^ < alpha t> cos ( beta t) ، e ^ < alpha t> sin ( beta t) ، e ^ < alpha t> t cos ( beta t ) ، e ^ < alpha t> t sin ( beta t) ، cdots ، e ^ < alpha t> t ^ cos ( beta t) ، e ^ < alpha t> t ^ sin ( beta t) $ كوظائف أساسية ، فإن كثير الحدود المميز سيكون له جذر $ alpha + beta i $ و $ alpha - beta i $ من التعددية $ k $.

لنأخذ مثالك ، فإن $ e ^ x ، xe ^ x ، x ^ 2e ^ x $ تتوافق مع جذر $ 1 $ مع تعدد $ 3 $ و $ cos (x) ، sin (x) $ تتوافق مع الجذور $ i $ و $ -i $. كثير الحدود المميز للخاصية المرشحة سيكون $ (r-1) ^ 3 (ri) (r + i) = r ^ 5-3r ^ 4 + 4r ^ 3-4r ^ 2 + 3r -1. $ y ^ <(5)> - 3y ^ <(4)> + 4y ^ <(3)> - 4y '+ 3y' -y = 0. $

لاحظ أن هذا لن يعمل مع أي اختيار لوظائف الأساس. على سبيل المثال ، لا يوجد معامل ODE متجانس ثابت مع $ te ^ t $ كدالة أساسية فقط (نحتاج $ e ^ t $ أيضًا). لا يمكننا أيضًا استخدام $ cos (t) $ فقط كدالة أساسية (نحتاج إلى $ sin (t) $ أيضًا).


4.4: معامل ثابت النظم المتجانسة 1 - الرياضيات

كما هو الحال مع المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية ، لا يمكننا حل معادلة تفاضلية غير متجانسة ما لم نتمكن أولاً من حل المعادلة التفاضلية المتجانسة. سنحتاج أيضًا إلى حصر أنفسنا في المعادلات التفاضلية للمعامل الثابت لأن حل المعادلات التفاضلية غير الثابتة أمر صعب للغاية ، وبالتالي لن نناقشها هنا. وبالمثل ، سننظر فقط في المعادلات التفاضلية الخطية.

فلنبدأ بالمعادلة التفاضلية التالية ،

الآن ، افترض أن حلول هذه المعادلة التفاضلية ستكون بالصيغة (y left (t right) = << bf>^> ) وقم بالتعويض عن هذا في المعادلة التفاضلية وببساطة بسيطة نحصل عليها ،

ولكي يكون هذا صفرًا ، سنحتاج إلى ذلك

هذا يسمى كثير الحدود / المعادلة المميزة وجذورها / حلولها ستعطينا حلول المعادلة التفاضلية. نحن نعلم أنه ، بما في ذلك الجذور المتكررة ، (n ) متعدد الحدود من الدرجة (التي لدينا هنا) سيكون له جذور (n ). لذلك ، نحن بحاجة إلى استعراض كل الاحتمالات التي لدينا للجذور هنا.

هذا هو المكان الذي نبدأ فيه في رؤية الاختلافات في كيفية تعاملنا مع (n ) المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية مقابل المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية. لا تزال هناك ثلاث حالات رئيسية: الجذور الحقيقية المتميزة والجذور المتكررة والجذور المعقدة (على الرغم من إمكانية تكرارها الآن كما سنرى). في المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية ، يمكن أن تتضمن كل معادلة تفاضلية واحدة فقط من هذه الحالات. الآن ، ومع ذلك ، لن يكون هذا هو الحال بالضرورة. يمكننا بسهولة الحصول على معادلات تفاضلية تحتوي على كل حالة من هذه الحالات.

على سبيل المثال ، افترض أن لدينا معادلة تفاضلية من الدرجة التاسعة. يمكن أن تحتوي القائمة الكاملة للجذور على 3 جذور والتي تحدث مرة واحدة فقط في القائمة (بمعنى آخر. جذور مميزة حقيقية) ، جذر مع تعدد 4 (بمعنى آخر. تحدث 4 مرات في القائمة) ومجموعة من الجذور المترافقة المعقدة (تذكر أنه نظرًا لأن جميع المعاملات هي جميع الجذور المعقدة الحقيقية ، فستحدث دائمًا في أزواج مترافقة).

لذلك ، لكل (n ) معادلة تفاضلية من الرتبة سنحتاج إلى تكوين مجموعة من (n ) وظائف مستقلة خطيًا (بمعنى آخر. مجموعة أساسية من الحلول) من أجل الحصول على حل عام. في العمل التالي ، سنناقش الحلول التي نحصل عليها من كل حالة ، لكننا سنترك الأمر لك للتحقق من أنه عندما نجمع كل شيء معًا لتشكيل حل عام ، فإننا بالفعل نحصل على مجموعة أساسية من الحلول. تذكر أنه من أجل ذلك نحتاج إلى التحقق من أن Wronskian ليس صفرًا.

حسنًا ، لنبدأ العمل هنا. لنبدأ بافتراض أنه في قائمة جذور المعادلة المميزة لدينا (>,>، ldots،> ) وتحدث مرة واحدة فقط في القائمة. سيكون الحل من كل من هؤلاء بعد ذلك ،

لا يوجد شيء جديد حقًا هنا فيما يتعلق بجذور مميزة حقيقية.

الآن دعونا نلقي نظرة على الجذور المتكررة. النتيجة هنا هي امتداد طبيعي للعمل الذي رأيناه في حالة الترتيب الثاني. لنفترض أن (r ) هو جذر التعددية (ك ) (بمعنى آخر. (r ) يحدث (ك ) مرات في قائمة الجذور). سنحصل بعد ذلك على الحلول التالية (ك ) للمعادلة التفاضلية ،

So, for repeated roots we just add in a (t) for each of the solutions past the first one until we have a total of (k) solutions. Again, we will leave it to you to compute the Wronskian to verify that these are in fact a set of linearly independent solutions.

Finally, we need to deal with complex roots. The biggest issue here is that we can now have repeated complex roots for 4 th order or higher differential equations. We’ll start off by assuming that (r = lambda pm mu ,i) occurs only once in the list of roots. In this case we’ll get the standard two solutions,

Now let’s suppose that (r = lambda pm mu ,i) has a multiplicity of (k) (بمعنى آخر. they occur (k) times in the list of roots). In this case we can use the work from the repeated roots above to get the following set of 2(k) complex-valued solutions,

The problem here of course is that we really want real-valued solutions. So, recall that in the case where they occurred once all we had to do was use Euler’s formula on the first one and then take the real and imaginary part to get two real valued solutions. We’ll do the same thing here and use Euler’s formula on the first set of complex-valued solutions above, split each one into its real and imaginary parts to arrive at the following set of 2(k) real-valued solutions.

Once again, we’ll leave it to you to verify that these do in fact form a fundamental set of solutions.

Before we work a couple of quick examples here we should point out that the characteristic polynomial is now going to be at least a 3 rd degree polynomial and finding the roots of these by hand is often a very difficult and time consuming process and in many cases if the roots are not rational (بمعنى آخر. in the form (frac

)) it can be almost impossible to find them all by hand. To see a process for determining all the rational roots of a polynomial check out the Finding Zeroes of Polynomials page in the Algebra notes. In practice however, we usually use some form of computation aid such as Maple or Mathematica to find all the roots.

So, let’s work a couple of example here to illustrate at least some of the ideas discussed here.

The characteristic equation is,

So, we have three real distinct roots here and so the general solution is,

Differentiating a couple of times and applying the initial conditions gives the following system of equations that we’ll need to solve in order to find the coefficients.

The actual solution is then,

So, outside of needing to solve a cubic polynomial (which we left the details to you to verify) and needing to solve a system of 3 equations to find the coefficients (which we also left to you to fill in the details) the work here is pretty much identical to the work we did in solving a 2 nd order IVP.

Because the initial condition work is identical to work that we should be very familiar with to this point with the exception that it involved solving larger systems we’re going to not bother with solving IVP’s for the rest of the examples. The main point of this section is the new ideas involved in finding the general solution to the differential equation anyway and so we’ll concentrate on that for the remaining examples.

Also note that we’ll not be showing very much work in solving the characteristic polynomial. We are using computational aids here and would encourage you to do the same here. Solving these higher degree polynomials is just too much work and would obscure the point of these examples.

So, let’s move into a couple of examples where we have more than one case involved in the solution.

The characteristic equation is,

So, we have two roots here, (> = frac<1><2>) and (> = - 2) which is multiplicity of 3. Remember that we’ll get three solutions for the second root and after the first one we add (t)’s only the solution until we reach three solutions.

The general solution is then,

The characteristic equation is,

So, we have one real root (r = 0) and a pair of complex roots (r = - 3 pm 5,i) each with multiplicity 2. So, the solution for the real root is easy and for the complex roots we’ll get a total of 4 solutions, 2 will be the normal solutions and two will be the normal solution each multiplied by t.

Let’s now work an example that contains all three of the basic cases just to say that we that we’ve got one work here.

The characteristic equation is

[ - 15 + 84 - 220 + 275r - 125 = left( ight) ight)^2>left( <- 4r + 5> ight) = 0]

In this case we’ve got one real distinct root, (r = 1), and double root, (r = 5), and a pair of complex roots, (r = 2 pm i) that only occur once.

The general solution is then,

We’ve got one final example to work here that on the surface at least seems almost too easy. The problem here will be finding the roots as well see.

The characteristic equation is

So, a really simple characteristic equation. However, in order to find the roots we need to compute the fourth root of -16 and that is something that most people haven’t done at this point in their mathematical career. We’ll just give the formula here for finding them, but if you’re interested in seeing a little more about this you might want to check out the Powers and Roots section of the Complex Numbers Primer.

The 4 (and yes there are 4!) 4 th roots of -16 can be found by evaluating the following,

Note that each value of (k) will give a distinct 4 th root of -16. Also, note that for the 4 th root (and ONLY the 4 th root) of any negative number all we need to do is replace the 16 in the above formula with the absolute value of the number in question and this formula will work for those as well.

Here are the 4 th roots of -16.

So, we have two sets of complex roots : (r = sqrt 2 pm isqrt 2 ) and (r = - sqrt 2 pm isqrt 2 ). The general solution is,

So, we’ve worked a handful of examples here of higher order differential equations that should give you a feel for how these work in most cases.

There are of course a great many different kinds of combinations of the basic cases than what we did here and of course we didn’t work any case involving 6 th order or higher, but once you’ve got an idea on how these work it’s pretty easy to see that they all work pretty in pretty much the same manner. The biggest problem with the higher order differential equations is that the work in solving the characteristic polynomial and the system for the coefficients on the solution can be quite involved.


4.4: Constant Coefficient Homogeneous Systems I - Mathematics

1.1 Some Basic Mathematical Models Direction Fields

1.2 Solutions of Some Differential Equations

1.3 Classification of Differential Equations

1.3 Classification of Differential Equations

Chapter 2 Frist Order Differential Equations

2.1 Linear Equations Method of Integrating Factors

2.3 Modeling with First Order Equations

2.3 Modeling with First Order Equations

2.4 Differences Between Linear and Nonlinear Equations

2.4 Differences Between Linear and Nonlinear Equations

HW 2.4: 2,7,14,22,31(see the hint in 27)

2.5 Autonomous Equations and Population Dynamics

2.5 Autonomous Equations and Population Dynamics

2.6 Exact Equations and Integrating Factors

2.6 Exact Equations and Integrating Factors

3.1 Homogeneous Equations with Constant Coefficients

3.2 Fundamental Solutions of Linear Homogeneous Equations The Wronskian

3.2 Fundamental Solutions of Linear Homogeneous Equations The Wronskian

Oct 10 (Low grade reports due to Registrar)

3.3 Complex Roots of the Characteristic Equation

3.4 Repeated Roots Reduction of Order

3.5 Nonhomogeneous Equations Method of Undetermined Coefficients

3.5 Nonhomogeneous Equations Method of Undetermined Coefficients

3.6 Variation of Parameters

3.6 Variation of Parameters

Oct 24 (Note: Oct 25, last day to drop)

3.7 Mechanical and Electrical Vibrations

use calculators to help you with plotting.

4.1 General Theory of nth Order Linear Equations

4.1 General Theory of nth Order Linear Equations

4.2 Homogeneous Equations with Constant Coefficients

4.2 Homogeneous Equations with Constant Coefficients

4.3 The Method of Undetermined Coefficients

4.4 The Method of Variation of Parameters

6.1 Definition of the Laplace Transform

6.2 Solution of Initial Value Problems

6.4 Differential Equations with Discontinuous Forcing Functions

6.6 The Convolution Integral

6.6 The Convolution Integral

7.3 Systems of Linear Algebraic Equations Linear Independence, Eigenvalues, Eigenvectors


Subsection Characteristic Polynomial: Complex Roots ¶ permalink

What if the characteristic equation has a complex root? Actually, we know from the quadratic fomula that complex roots always come in complex conjugate pairs. Suppose the roots are (r = a pm ib) where (a,b in R ext<.>) What does (e^<(a+ib)x>) even mean? The answer comes from the Taylor series for (e^ ext<.>) egin e^r amp = 1 + r + frac <2>+ frac <3!>+ frac <4!>+ frac <5!>+ cdots e^ amp = e^a e^ = e^a left(1 + ib + frac<(ib)^2> <2>+ frac<(ib)^3> <3!>+ frac<(ib)^4> <4!>+ frac<(ib)^5> <5!>+ cdots ight) e^ amp = e^a left(1 + ib - frac <2>- ifrac <3!>+ frac <4!>+ ifrac <5!>- frac <6!>- ifrac <7!>+ cdots ight) end Recall that the terms of an absolutely convergent power series can be rearranged and the power series will still converge, thus we can rearrange the above. يبدأ e^ amp = e^a left[ left(1 - frac <2>+ frac <4!>- frac <6!>+ cdots ight) + ileft(b - frac <3!>+ frac <5!>- frac <7!>+ cdots ight) ight] e^ amp = e^a ( cos b + i sin b) end The above derivation can also be done for the complex conjugate root. These derivations result in Euler's formulas: egin e^ <(a+ib)x>amp = e^ ( cos bx + i sin bx), e^ <(a-ib)x>amp = e^ ( cos bx - i sin bx). نهاية These expressions are still complex valued but we want real–valued solutions. It turns out that a real–valued solution is possible if we create a linear combination with complex coefficients. That is, let (y_1 = e^<(a+ib)x>) and let (y_2 = e^<(a-ib)x>) then create the linear combination: egin c_1 y_1 + c_2 y_2 amp = c_1 e^ <(a+ib)x>+ c_2 e^<(a-ib)x> amp = c_1 e^(cos bx + i sin bx) + c_2 e^(cos bx - i sin bx) amp = e^ left[ (c_1 + c_2)cos bx + i(c_1 - c_2) sin bx ight] end Now if (c_1) and (c_2) are complex conjugates, say (c_1 = frac<1><2>(A-iB)) and (c_2 = frac<1><2>(A+iB)) where (A) and (B) are any real numbers, then egin c_1 + c_2 amp = A c_1 - c_2 amp = -iB, end and the linear combination can be written more simply as: egin c_1 y_1 + c_2 y_2 amp = e^ left[ Acos bx - i(iB)sin bx ight] amp = e^ left[ Acos bx + Bsin bx ight]. نهاية Notice that we assumed no restrictions on (A) and (B ext<,>) so they are allowed to be any real numbers whatsoever. Thus we have shown that when the characteristic equation of a linear, homogeneous equation has two complex conjugate roots, then two solutions can be generated according to the above procedure.

Example 6.2.4

Find a general solution to (y'' + 2y' + 17y = 0 ext<.>)

The characteristic equation is: (D^2 + 2D + 17 = 0) which does not factor. To solve for (D) we can complete the square. يبدأ D^2 + 2D amp = -17 D^2 + 2D + 1 amp = -17 + 1 (D + 1)^2 amp = -16 D + 1 amp = pm sqrt<-16> D amp = -1 pm 4i end These two roots correspond to the following two real–valued solutions: egin y = e^<-x>left( c_1 cos 4x + c_2 sin 4x ight). نهاية


4.4: Constant Coefficient Homogeneous Systems I - Mathematics

Last Updated: December 10, 2018

Math 2065 Elementary Differential Equations
Fall 2018
Section 2

  • Math 2065 Syllabus
  • كتاب مدرسي:Ordinary Differential Equations by W. A. Adkins and M. G. Davidson, Springer 2012. (ISNB 978-1-4614-3617-1) An e-book version of the text can be downloaded here by LSU students through the LSU library. You will need to log on to your MyLSU account to access this link. A student's solution manual can be downloaded from the Springer.com website for the text . An errata sheet for the text and student's solution manual can be found here.
  • Supplemental Materials:
      is a sheet with commonly used properties of the exponential, logarithm and trigonometric functions.
  • Integral Table is a brief table of integrals with which you should be familiar from your calculus class.
  • Homework assignments
  • Exam Reviews
  • Exams (Including copies of some old exams.)

Homework assignments


4.4: Constant Coefficient Homogeneous Systems I - Mathematics

It’s time to start solving constant coefficient, homogeneous, linear, second order differential equations. So, let’s recap how we do this from the last section. We start with the differential equation.

Write down the characteristic equation.

Solve the characteristic equation for the two roots, (r_<1>) and (r_<2>). This gives the two solutions

Now, if the two roots are real and distinct (بمعنى آخر. ( e )) it will turn out that these two solutions are “nice enough” to form the general solution

As with the last section, we’ll ask that you believe us when we say that these are “nice enough”. You will be able to prove this easily enough once we reach a later section.

With real, distinct roots there really isn’t a whole lot to do other than work a couple of examples so let’s do that.

The characteristic equation is

Its roots are (r_ <1>= - 8) and (r_ <2>= -3) and so the general solution and its derivative is.

Now, plug in the initial conditions to get the following system of equations.

[يبدأ0 & = yleft( 0 ight) = + - 7 & = y'left( 0 ight) = - 8 - 3نهاية]

Solving this system gives ( = frac<7><5>) and ( = - frac<7><5>). The actual solution to the differential equation is then

The characteristic equation is

Its roots are (r_ <1>= - 5) and (r_ <2>= 2) and so the general solution and its derivative is.

Now, plug in the initial conditions to get the following system of equations.

[يبدأ4 & = yleft( 0 ight) = + - 2 & = y'left( 0 ight) = - 5 + 2نهاية]

Solving this system gives ( = frac<<10>><7>) and ( = frac<<18>><7>). The actual solution to the differential equation is then

The characteristic equation is

Its roots are (r_ <1>= frac<4><3>) and (r_ <2>= -2) and so the general solution and its derivative is.

Now, plug in the initial conditions to get the following system of equations.

[يبدأ - 6 = yleft( 0 ight) & = + - 18 = y'left( 0 ight) & = frac<4><3> - 2نهاية]

Solving this system gives (c_ <1>= -9) and (c_ <2>= 3). The actual solution to the differential equation is then.

The characteristic equation is

The roots of this equation are (r_ <1>= 0 ) and (r_ <2>= frac<5><4>). Here is the general solution as well as its derivative.

Up to this point all of the initial conditions have been at (t = 0) and this one isn’t. Don’t get too locked into initial conditions always being at (t = 0) and you just automatically use that instead of the actual value for a given problem.

So, plugging in the initial conditions gives the following system of equations to solve.

The solution to the differential equation is then.

In a differential equations class most instructors (including me….) tend to use initial conditions at (t = 0) because it makes the work a little easier for the students as they are trying to learn the subject. However, there is no reason to always expect that this will be the case, so do not start to always expect initial conditions at (t = 0)!

Let’s do one final example to make another point that you need to be made aware of.

The characteristic equation is.

The roots of this equation are.

Now, do NOT get excited about these roots they are just two real numbers.

Admittedly they are not as nice looking as we may be used to, but they are just real numbers. Therefore, the general solution is

If we had initial conditions we could proceed as we did in the previous two examples although the work would be somewhat messy and so we aren’t going to do that for this example.

The point of the last example is make sure that you don’t get to used to “nice”, simple roots. In practice roots of the characteristic equation will generally not be nice, simple integers or fractions so don’t get too used to them!


First-Order Ordinary Differential Equations

2.5.2 Variation of Parameters and the Method of Undetermined Coefficients

Observe that equation ( 2.4 ) is separable:

Notice that any constant multiple of a solution to a linear homogeneous equation is also a solution. Now suppose that ذ is any solution of equation ( 2.3 ) and ذص is a particular solution of equation ( 2.3 ). Then,

أ particular solution is a specific function that is a solution to the equation that does not contain any arbitrary constants.

هكذا، ذذص is a solution to the corresponding homogeneous equation of equation ( 2.3 ). لذلك،

where y h = C e − ∫ p ( x ) d x . That is, a general solution of equation ( 2.3 ) is

أين ذص is a particular solution to the nonhomogeneous equation and ذح is a general solution to the corresponding homogeneous equation. Thus, to solve equation ( 2.3 ), we need to first find a general solution to the corresponding homogeneous equation, ذح, which we can accomplish through separation of variables, and then find a particular solution, ذص, to the nonhomogeneous equation.

If ذح is a solution to the corresponding homogeneous equation of equation ( 2.3 ) then for any constant ج, Cyح is also a solution to the corresponding homogeneous equation. Hence, it is impossible to find a particular solution to equation ( 2.3 ) of this form. Instead, we search for a particular solution of the form ذص = ش(x)ذح، أين ش(x) هو ليس a constant function. Assuming that a particular solution, ذص, to equation ( 2.3 ) has the form ذص = ش(x)ذح, differentiating gives us

and substituting into equation ( 2.3 ) results in

Because u y h ′ + p ( x ) u y h = u y h ′ + p ( x ) y h = u ⋅ 0 = 0 , we obtain

Because we include an arbitrary constant of integration when evaluating ∫ e ∫ p ( x ) d x q ( x ) d x , it follows that we can write a general solution of equation ( 2.3 ) as

Example 2.5.5 (Exponential Growth)

يترك ذ = ذ(ر) denote the size of a population at time ر. If ذ grows at a rate proportional to the amount present, ذ استوفي

Exponential growth is discussed in more detail in Section 3.2.1 .

d y / d t = k y − y s models Newton’s Law of Cooling: the rate at which the temperature, ذ(ر), changes in a heating/cooling body is proportional to the difference between the temperature of the body and the constant temperature, ذس, of the surroundings. Newton’s Law of Cooling is discussed in more detail in Section 3.3 .

Example 2.5.6

Solve each of the following equations: (a) d y / d t = k y − y s , ذ(0) = ذ0, ك و ذس constant and (b) ذ′− 2ty = ر.

(a) By hand, we rewrite the equation and obtain

Assuming that ذص = أ, we have ذص′ = 0 and substitution into the nonhomogeneous equation gives us

This will turn out to be a lucky guess. If there is not a solution of this form, we would not find one of this form.

We obtain the same result with DSolve . We graph the solution satisfying ذ(0) = 75 assuming that ك = −1/2 and ذس = 300 in Figure 2-23 . Notice that ذ(ر) → ذس as t → ∞ .

Figure 2-23 . The temperature of the body approaches the temperature of its surroundings

tp=sola[[1, 1, 2]]/.<ك→−1/2, ys→300, y0→75>p1=Plot[tp, <ر, 0, 10>, AxesLabel→<ر, ذ>, AxesStyle→Black]

(b) The equation is in standard form and we identify ص(ر) = −2ر. Then, the integrating factor is μ ( t ) = e ∫ p ( t ) d t = e − t 2 . Multiplying the equation by the integrating factor, ميكرومتر(ر), results in

Application: Antibiotic Production

When you are injured or sick, your doctor may prescribe antibiotics to prevent or cure infections. In the journal article “Changes in the Protein Profile of Streptomyces Griseus during a Cycloheximide Fermentation” we see that production of the antibiotic cycloheximide by Streptomyces is typical of antibiotic production. During the production of cycloheximide, the mass of Streptomyces grows relatively quickly and produces little cycloheximide. After approximately 24 hours, the mass of Streptomyces remains relatively constant and cycloheximide accumulates. However, once the level of cycloheximide reaches a certain level, extracellular cycloheximide is degraded (feedback inhibited). One approach to alleviating this problem to maximize cycloheximide production is to continuously remove extracellular cycloheximide. The rate of growth of Streptomyces can be described by the separable equation

مصدر: Kevin H. Dykstra and Henry Y. Wang, “Changes in the Protein Profile of Streptomyces Griseus during a Cycloheximide Fermentation,” Biochemical Engineering V, Annals of the New York Academy of Sciences, Volume 56, New York Academy of Sciences (1987), pp. 511–522.

أين X represents the mass concentration in g/L, μ max is the maximum specific growth rate, and X max represents the maximum mass concentration. We now solve the initial-value problem d X / d t = μ max 1 − 1 X max X X X ( 0 ) = 1 with DSolve , naming the result sol1 .

Note that this equation can be converted to a linear equation with the substitution ذ = X −1 .

x [ t ] → e t μ xmax − 1 + e t μ + xmax

Experimental results have shown that μ max = 0.3 h r − 1 and X max = 10 g / L . For these values, we use Plot to graph X(ر) on the interval [0, 24] in Figure 2-24 (a). Then, we use Table and TableForm to determine the mass concentration at the end of 4, 8, 12, 16, 20, and 24 hours.

Figure 2-24 . (a) Plot of the mass concentration, x(ر). (b) Accumulation of the antibiotic

p1=Plot[x[ر]/.sol1, <ر, 0, 24>, PlotStyle→Black, AxesStyle→Black, AxesLabel→<ر, x>, PlotLabel→“(a)”]

TableForm[Table[<ر, sol1[[1, 1, 2]]>, <ر, 4, 24, 4.>]]

4 . 2.69487 8 . 5.50521 12 . 8.02624 16 . 9.3104 20 . 9.78178 24 . 9.93326

The rate of accumulation of cycloheximide is the difference between the rate of synthesis and the rate of degradation:

أين سpo represents the specific enzyme activity with value سpo ≈ 0.6 g CH/g,protein ⋅h and كl represents the inhibition constant. ه represents the intracellular concentration of an enzyme which we will assume is constant. For large values of كl و ر, X(ر) ≈ 10 and 1 + P / K l − 1 ≈ 1 . هكذا، صس ≈ 10سpoه وبالتالي

After defining كد و سpo, we solve the initial-value problem d P / d t = 10 Q p o E − K d P p ( 24 ) = 0 and then graph 1 E P ( t ) on the interval [0, 24] in Figure 2-24 (b).

p [ t ] → 1200 . e − 0.005 t − 1.1275 + 1 . e 0.005 t

p2=Plot[ص[ر]/.sol2, <ر, 24, 1000>, PlotStyle→Black, AxesStyle→Black, AxesLabel→<ر, ص>, AxesOrigin→<0, 0>, PlotLabel→“(b)”]

Show[GraphicsRow[]]

From the graph, we see that the total accumulation of the antibiotic approaches a limiting value, which in this case is 1200.


Linear Homogeneous Systems of Differential Equations with Constant Coefficients

where (left( t ight),left( t ight), ldots ,left( t ight)) are unknown functions of the variable (t,) which often has the meaning of time, (<>>) are certain constant coefficients, which can be either real or complex, (left( t ight)) are given (in general case, complex-valued) functions of the variable (t.)

We assume that all these functions are continuous on an interval (left[ ight]) of the real number axis (t.)

the system of differential equations can be written in matrix form:

[X’left( t ight) = AXleft( t ight) + fleft( t ight).]

If the vector (fleft( t ight)) is identically equal to zero: (fleft( t ight) equiv 0,) then the system is said to be homogeneous :

[X’left( t ight) = AXleft( t ight).]

Homogeneous systems of equations with constant coefficients can be solved in different ways. The following methods are the most commonly used:

  • elimination method (the method of reduction of (n) equations to a single equation of the (n)th order)
  • method of integrable combinations (including the method of undetermined coefficients or using the Jordan form in the case of multiple roots of the characteristic equation)
  • method of the matrix exponential.

Below on this page we will discuss in detail the elimination method . Other methods for solving systems of equations are considered separately in the following pages.

Elimination Method

Using the method of elimination, a normal linear system of (n) equations can be reduced to a single linear equation of (n)th order. This method is useful for simple systems, especially for systems of order (2.)

Consider a homogeneous system of two equations with constant coefficients:

where the functions (,) depend on the variable (t.)

We differentiate the first equation and substitute the derivative () from the second equation:

Now we substitute (>) from the first equation. As a result we obtain a second order linear homogeneous equation:

It is easy to construct its solution, if we know the roots of the characteristic equation:

In the case of real coefficients (<>>,) the roots can be both real (distinct or multiple) and complex. In particular, if the coefficients (>) and (>) have the same sign, then the discriminant of the characteristic equation will always be positive and, therefore, the roots will be real and distinct.

After the function (left( t ight)) is determined, the other function (left( t ight)) can be found from the first equation.

The elimination method can be applied not only to homogeneous linear systems. It can also be used for solving nonhomogeneous systems of differential equations or systems of equations with variable coefficients.


Higher Order Linear Homogeneous Differential Equations with Constant Coefficients – Page 2

Thus, the equation has two roots ( = 1,) ( = 5,) the first of which has multiplicity (2.) Then the general solution of differential equations can be written as follows:

مثال 3.

Write the characteristic equation:

Factor the left side and find the roots:

Note that one of the roots of the cubic polynomial is the number (lambda = -1.) Therefore, we divide ( <+ 2>) by (lambda + 1:)

As a result, the characteristic equation takes the following form:

We find the roots of the quadratic equation:

Thus, the characteristic equation has four distinct roots, two of which are complex:

The general solution of the differential equation can be represented as

where (, ldots, ) are arbitrary constants.

مثال 4.

The characteristic equation can be written as

Factor the left side and calculate the roots:

As it can be seen, the equation has the following roots:

and imaginary roots have multiplicity (2.) In accordance with the rules set out above, we write the general solution in the form

where (, ldots, ) are arbitrary numbers.

مثال 5.

Calculate the roots of the characteristic equation

We see that the roots of the equation are equal

The first root is of multiplicity (2.) The general solution of the differential equation is given by


4.4: Constant Coefficient Homogeneous Systems I - Mathematics

A constant-coefficient homogeneous second-order ode can be
put in the form

where p and q are constants. Recall that the general solution is

where C_1 and C_2 are constants and y_1(t) and y_2(t) are any two
linearly independent solutions of the ode. Our goal is to find two linearly
independent solutions of the ode.

For reasons that become clear below, we try a solution of the form
y=exp(rt), where r is an unknown constant. We must find r. If y=exp(rt),
then y'=r(exp(rt)) and y''=r^2(exp(rt)). Substituting these into
the ode, we have

This equation is satisfied if exp(rt)=0 or r^2+pr+q=0. الحالة
exp(rt)=0 is satisfied only if rt is negative infinity. This is considered a
degenerate case and is neglected. Hence, r must satisfy the equation

F(r) is called the characteristic polynomial. Solving the original ode is
reduced to solving an algebraic equation.

Assuming the coefficients p and q are real numbers, there are three
cases to consider:

  • Characteristic polynomial has distinct roots
  • Characteristic polynomial has a double root
  • Characteristic polynomial has complex conjugate roots

Characteristic Polynomial has Distinct Roots

Suppose that the characteristic polynomial has two distinct, real roots
(call them a and b). Then exp(at) and exp(bt) are linearly independent
solutions to the original ode and the general solution to the ode is:

Consider the following example:

The characteristic polynomial is r^2 - 3r -18 = (r - 6)(r +3), which
has roots 6 and -3.

Characteristic Polynomial has a Double Root

Suppose that the characteristic polynomial has a double root (call it a).
y_1=exp(at) is one solution to differential equation. We need a second
linearly independent solution to the ode to get the general solution. Using
the technique of reduction of order, it can be shown that texp(at) is also
a solution of the ode. The general solution is

Consider the following example:

The characteristic polynomial is r^2 + 6r + 9 = (r + 3)^2, which has a
double root -3. The general solution is

Suppose that the characteristic polynomial has complex roots a+ib and
a-ib, where a and b are real. These are distinct roots, so the the general
solution can be written:

The problem with writing the solution in this form is that it involves
complex-valued functions. It is possible to re-express the general
solution in terms of two linearly independent real-valued functions.

Using this identity, we have:

Substituting, these two expressions into the general solution we have

Choose C_1=0.5 and C_2=0.5. This yields the solution:

Now choose C_1=i0.5 and C_2=-i0.5. This yields the solution:

Both of these functions are solutions to the original ode. In addition, they
are linearly independent, since they are not multiples of each. Hence, any
solution to the ode can be expressed in terms of these function. So we
can write:

where D_1 and D_2 are constants.

The characteristic polynomial is r^2-6r+13. Using the quadratic formula,
we find that the roots are 3 + 2i and 3 - 2i. Hence, the general solution
can be written:


شاهد الفيديو: هل يوجد معكوس للمصفوفة إيجاد معكوس المصفوفة من الرتبة الثانية (شهر اكتوبر 2021).