مقالات

2.6: التفاضل الضمني - الرياضيات


في الأقسام السابقة تعلمنا إيجاد المشتق ، ( frac {dy} {dx} ) ، أو (y ^ prime ) ، عندما يتم إعطاء (y ) صراحة كدالة في (س ). بمعنى ، إذا علمنا (y = f (x) ) لبعض الوظائف (f ) ، فيمكننا إيجاد (y ^ prime ). على سبيل المثال ، بالنظر إلى (y = 3x ^ 2-7 ) ، يمكننا بسهولة العثور على (y ^ prime = 6x ). (نذكر هنا صراحة كيفية ارتباط (x ) و (y ). بمعرفة (x ) ، يمكننا العثور مباشرة على (y ).)

في بعض الأحيان تكون العلاقة بين (ص ) و (س ) غير صريحة ؛ بل هو كذلك ضمني. على سبيل المثال ، قد نعرف أن (x ^ 2-y = 4 ). تحدد هذه المساواة العلاقة بين (س ) و (ص ) ؛ إذا علمنا (س ) ، يمكننا معرفة (ص ). هل مازلنا نجد (y ^ prime )؟ في هذه الحالة ، بالتأكيد ؛ قمنا بالحل من أجل (y ) للحصول على (y = x ^ 2-4 ) (ومن هنا نعرف الآن (y ) صراحة) ثم نفرق للحصول على (y ^ prime = 2x ).

في بعض الأحيان ضمني العلاقة بين (س ) و (ص ) معقدة. لنفترض أننا حصلنا على ( sin (y) + y ^ 3 = 6-x ^ 3 ). يوجد رسم بياني لهذه الوظيفة الضمنية في الشكل 2.19. في هذه الحالة ، لا توجد طريقة على الإطلاق لحل (y ) من حيث الوظائف الأولية. لكن الشيء المدهش هو أنه لا يزال بإمكاننا العثور على (y ^ prime ) عبر عملية تعرف باسم الاشتقاق الضمني.

التمايز الضمني هو أسلوب يعتمد على قاعدة السلسلة التي تستخدم لإيجاد مشتق عندما يتم إعطاء العلاقة بين المتغيرات ضمنيًا وليس صريحًا (يتم حلها لمتغير واحد من حيث الآخر).

نبدأ بمراجعة قاعدة السلسلة. لنفترض أن (f ) و (g ) هما من وظائف (x ). ثم [ frac {d} {dx} Big (f (g (x)) Big) = f ^ prime (g (x)) cdot g '(x). ] افترض الآن أن ( ص = ز (س) ). يمكننا إعادة كتابة ما ورد أعلاه كـ [ frac {d} {dx} Big (f (y)) Big) = f ^ prime (y)) cdot y ^ prime، quad text {or} quad frac {d} {dx} Big (f (y)) Big) = f ^ prime (y) cdot frac {dy} {dx}. label {2.1} tag {2.1} ] تبدو هذه المعادلات غريبة. المفهوم الأساسي الذي يجب تعلمه هنا هو أنه يمكننا العثور على (y ^ prime ) حتى لو كنا لا نعرف بالضبط كيف يرتبط (y ) و (x ).

نوضح هذه العملية في المثال التالي.

مثال 67: استخدام التفاضل الضمني

أوجد (y ^ prime ) بالنظر إلى أن ( sin (y) + y ^ 3 = 6-x ^ 3 ).

حل

نبدأ بأخذ مشتق من كلا الجانبين (وبالتالي الحفاظ على المساواة). لدينا:

[ frac {d} {dx} Big ( sin (y) + y ^ 3 Big) = frac {d} {dx} Big (6-x ^ 3 Big). ]

الجانب الأيمن سهل. تقوم بإرجاع (- 3x ^ 2 ).

يتطلب الجانب الأيسر مزيدًا من الاهتمام. نأخذ المصطلح المشتق على حدة. باستخدام التقنية المشتقة من المعادلة 2.1 أعلاه ، يمكننا أن نرى أن [ frac {d} {dx} Big ( sin y Big) = cos y cdot y ^ prime. ]

نطبق نفس العملية على المصطلح (y ^ 3 ).

[ frac {d} {dx} Big (y ^ 3 Big) = frac {d} {dx} Big ((y) ^ 3 Big) = 3 (y) ^ 2 cdot y ^ رئيس. ]

وضع هذا مع الجانب الأيمن ، لدينا

[ cos (y) y ^ prime + 3y ^ 2y ^ prime = -3x ^ 2. ]

حل الآن من أجل (y ^ prime ).

[ start {align *} cos (y) y ^ prime + 3y ^ 2y ^ prime & = -3x ^ 2. big ( cos y + 3y ^ 2 big) y ^ prime & = -3x ^ 2 y ^ prime & = frac {-3x ^ 2} { cos y + 3y ^ 2} end {align *} ]

ربما تبدو هذه المعادلة لـ (y ^ prime ) غير عادية لأنها تحتوي على كلا المصطلحين (x ) و (y ). كيف يتم استخدامها؟ سنتناول ذلك بعد ذلك.

عادة ما يكون التعامل مع الوظائف الضمنية أصعب من التعامل مع الوظائف الصريحة. مع وظيفة صريحة ، بالنظر إلى قيمة (x ) ، لدينا صيغة صريحة لحساب القيمة المقابلة (y ). مع وظيفة ضمنية ، غالبًا ما يتعين على المرء العثور على قيم (x ) و (y ) في نفس الوقت التي تفي بالمعادلة. من الأسهل بكثير إثبات أن نقطة معينة تفي بالمعادلة بدلاً من إيجاد مثل هذه النقطة بالفعل.

على سبيل المثال ، يمكننا أن نؤكد بسهولة أن النقطة (( sqrt [3] {6}، 0) ) تقع على الرسم البياني للدالة الضمنية ( sin y + y ^ 3 = 6-x ^ 3 ). بالتعويض (0 ) من أجل (ص ) ، نرى الجانب الأيسر هو (0 ). ضبط (x = sqrt [3] 6 ) ، نرى الجانب الأيمن أيضًا (0 ) ؛ تم استيفاء المعادلة. المثال التالي يجد معادلة خط المماس لهذه الوظيفة في هذه المرحلة.

مثال 68: استخدام الاشتقاق الضمني لإيجاد خط المماس

أوجد معادلة المماس لمنحنى الدالة المعرفة ضمنيًا ( sin y + y ^ 3 = 6-x ^ 3 ) عند النقطة (( sqrt [3] 6،0) ).

حل

في المثال 67 وجدنا أن [y ^ prime = frac {-3x ^ 2} { cos y + 3y ^ 2}. ] وجدنا ميل خط الظل عند النقطة (( sqrt [ 3] 6،0) ) بالتعويض عن ( sqrt [3] 6 ) عن (x ) و (0 ) عن (y ). وهكذا عند النقطة (( sqrt [3] 6،0) ) ، لدينا الميل مثل [y ^ prime = frac {-3 ( sqrt [3] {6}) ^ 2} { cos 0 + 3 cdot0 ^ 2} = frac {-3 sqrt [3] {36}} {1} almost -9.91. ]

لذلك فإن معادلة خط المماس للدالة المعرفة ضمنيًا ( sin y + y ^ 3 = 6-x ^ 3 ) عند النقطة (( sqrt [3] {6}، 0) ) هي [y = -3 sqrt [3] {36} (x- sqrt [3] {6}) + 0 almost -9.91x + 18. ] يظهر المنحنى وهذا الخط المماس في الشكل 2.20.

هذا يشير إلى طريقة عامة للتفاضل الضمني. بالنسبة للخطوات أدناه ، افترض أن (y ) دالة لـ (x ).

  1. خذ مشتق كل حد في المعادلة. تعامل مع المصطلحات (x ) كالمعتاد. عند أخذ مشتقات المصطلحات (y ) ، تنطبق القواعد المعتادة باستثناء أنه بسبب قاعدة السلسلة ، نحتاج إلى ضرب كل حد في (y ^ prime ).
  2. احصل على جميع حدود (y ^ prime ) على جانب واحد من علامة المساواة وضع الحدود المتبقية على الجانب الآخر.
  3. أخرج العامل (y ^ prime ) ؛ حل من أجل (y ^ prime ) بالقسمة.

ملاحظة عملية: عند العمل باليد ، قد يكون من المفيد استخدام الرمز ( frac {dy} {dx} ) بدلاً من (y ^ prime ) ، حيث يمكن الخلط بسهولة بين الرمز (y ) أو (ص ^ 1 ).

مثال 69: استخدام التفاضل الضمني

بالنظر إلى الوظيفة المعرفة ضمنيًا (y ^ 3 + x ^ 2y ^ 4 = 1 + 2x ) ، ابحث عن (y ^ prime ).

حل

سنأخذ المشتقات الضمنية بمصطلح. مشتق (y ^ 3 ) هو (3y ^ 2y ^ prime ).

المصطلح الثاني (x ^ 2y ^ 4 ) صعب بعض الشيء. يتطلب قاعدة المنتج لأنها نتاج وظيفتين من (x ): (x ^ 2 ) و (y ^ 4 ). مشتقها هو (x ^ 2 (4y ^ 3y ^ prime) + 2xy ^ 4 ). يتطلب الجزء الأول من هذا التعبير a (y ^ prime ) لأننا نأخذ مشتقًا من الحد (y ). الجزء الثاني لا يتطلب ذلك لأننا نأخذ مشتق (x ^ 2 ).

يمكن العثور بسهولة على مشتق الجانب الأيمن ليكون (2 ). بشكل عام ، نحصل على:

[3y ^ 2y ^ prime + 4x ^ 2y ^ 3y ^ prime + 2xy ^ 4 = 2. ]

حرك المصطلحات بحيث يتكون الجانب الأيسر فقط من (y ^ prime ) ويتكون الجانب الأيمن من جميع المصطلحات الأخرى:

[3y ^ 2y ^ prime + 4x ^ 2y ^ 3y ^ prime = 2-2xy ^ 4. ]

أخرج العامل (y ^ prime ) من الطرف الأيسر وحل لتحصل على

[y ^ prime = frac {2-2xy ^ 4} {3y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 3}. ]

لتأكيد صحة عملنا ، دعنا نوجد معادلة خط المماس لهذه الدالة عند نقطة ما. من السهل التأكد من أن النقطة ((0،1) ) تقع في الرسم البياني لهذه الوظيفة. في هذه المرحلة ، (y ^ prime = 2/3 ). إذن ، معادلة خط الظل هي (y = 2/3 (x-0) +1 ). يتم رسم الدالة وخط المماس الخاص بها في الشكل 2.21.

لاحظ كيف تبدو وظيفتنا مختلفة كثيرًا عن الوظائف الأخرى التي رأيناها. أولاً ، فشل في اختبار الخط العمودي. هذه الوظائف مهمة في العديد من مجالات الرياضيات ، لذا فإن تطوير أدوات للتعامل معها مهم أيضًا.

مثال 70: استخدام التفاضل الضمني

بالنظر إلى الوظيفة المعرفة ضمنيًا ( sin (x ^ 2y ^ 2) + y ^ 3 = x + y ) ، ابحث عن (y ^ prime ).

حل

عند التفريق بين المصطلح والمصطلح ، نجد الصعوبة الأكبر في المصطلح الأول. يتطلب كلاً من قواعد السلسلة والمنتج.

[ begin {align *} frac {d} {dx} Big ( sin (x ^ 2y ^ 2) Big) & = cos (x ^ 2y ^ 2) cdot frac {d} { dx} Big (x ^ 2y ^ 2 Big) & = cos (x ^ 2y ^ 2) cdot big (x ^ 2 (2yy ^ prime) + 2xy ^ 2 big) & = 2 (x ^ 2yy ^ prime + xy ^ 2) cos (x ^ 2y ^ 2). النهاية {محاذاة *} ]

نترك مشتقات المصطلحات الأخرى للقارئ. بعد أخذ مشتقات كلا الطرفين ، لدينا

[2 (x ^ 2yy ^ prime + xy ^ 2) cos (x ^ 2y ^ 2) + 3y ^ 2y ^ prime = 1 + y ^ prime. ]

علينا الآن توخي الحذر لحل مسألة (y ^ prime ) بشكل صحيح ، خاصةً بسبب حاصل الضرب على اليسار. من الأفضل مضاعفة الناتج. عند القيام بذلك ، نحصل عليه

[2x ^ 2y cos (x ^ 2y ^ 2) y ^ prime + 2xy ^ 2 cos (x ^ 2y ^ 2) + 3y ^ 2y ^ prime = 1 + y ^ prime. ]

من هنا يمكننا التنقل بأمان حول الشروط للحصول على ما يلي:

[2x ^ 2y cos (x ^ 2y ^ 2) y ^ prime + 3y ^ 2y ^ prime - y ^ prime = 1 - 2xy ^ 2 cos (x ^ 2y ^ 2). ]

ثم يمكننا إيجاد قيمة (y ^ prime ) للحصول عليها

[y ^ prime = frac {1 - 2xy ^ 2 cos (x ^ 2y ^ 2)} {2x ^ 2y cos (x ^ 2y ^ 2) + 3y ^ 2-1}. ]

يوجد رسم بياني لهذه الوظيفة الضمنية في الشكل 2.22. من السهل التحقق من أن النقاط ((0،0) ) ، ((0،1) ) و ((0 ، -1) ) كلها تقع على الرسم البياني. يمكننا إيجاد ميل خطي المماس عند كل نقطة من هذه النقاط باستخدام صيغة (y ^ prime ).

عند ((0،0) ) ، يكون الميل هو (- 1 ).

عند ((0،1) ) ، يكون الميل هو (1/2 ).

عند ((0، -1) ) ، يكون الميل أيضًا (1/2 ).

تمت إضافة خطوط الظل إلى الرسم البياني للوظيفة في الشكل 2.23.

عدد قليل جدًا من المنحنيات "الشهيرة" لها معادلات معطاة ضمنيًا ، ويمكننا استخدام التفاضل الضمني لإيجاد المنحدر عند نقاط مختلفة في تلك المنحنيات ، ونبحث في اثنين من هذه المنحنيات في الأمثلة التالية.

مثال 71: إيجاد ميل لخطوط مماس لدائرة

أوجد ميل خط المماس للدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) عند النقطة ((1/2، sqrt {3} / 2) ).

حل

بأخذ المشتقات ، نحصل على (2x + 2yy ^ prime = 0 ). يعطي حل (y ^ prime ): [y ^ prime = frac {-x} {y}. ]

هذه صيغة ذكية. تذكر أن ميل الخط عبر الأصل والنقطة ((x، y) ) على الدائرة سيكون (y / x ). لقد وجدنا أن ميل خط المماس للدائرة عند تلك النقطة هو المقابل المقابل للمقلوب (y / x ) ، أي (- x / y ). ومن ثم يكون هذان الخطان دائمًا متعامدين.

عند النقطة ((1/2، sqrt {3} / 2) ) ، لدينا ميل خط الظل

[y ^ prime = frac {-1/2} { sqrt {3} / 2} = frac {-1} { sqrt {3}} almost -0.577. ]

يوضح الشكل 2.24 رسمًا بيانيًا للدائرة وخطها المماس عند ((1/2، sqrt {3} / 2) ) ، جنبًا إلى جنب مع خط متقطع رفيع من الأصل الذي يكون متعامدًا على خط المماس. (اتضح أن جميع الخطوط العادية للدائرة تمر عبر مركز الدائرة.)

يوضح هذا القسم كيفية العثور على مشتقات وظائف محددة ضمنيًا ، والتي تشتمل رسومها البيانية على مجموعة متنوعة من الأشكال المثيرة للاهتمام وغير العادية. يمكن أيضًا استخدام التفاضل الضمني لتعزيز فهمنا للتمايز "العادي".

أحد الثغرات في فهمنا الحالي للمشتقات هو: ما مشتق دالة الجذر التربيعي؟ أي [ frac {d} {dx} big ( sqrt {x} big) = frac {d} {dx} big (x ^ {1/2} big) = text { ؟} ]

نلمح إلى حل ممكن ، حيث يمكننا كتابة دالة الجذر التربيعي كدالة أس لها قوة عقلانية (أو كسرية). نميل بعد ذلك إلى تطبيق قاعدة الطاقة والحصول على [ frac {d} {dx} big (x ^ {1/2} big) = frac12x ^ {- 1/2} = frac {1} {2 sqrt {x}}. ]

تكمن المشكلة في ذلك في أن قاعدة الطاقة تم تعريفها في البداية فقط لقوى الأعداد الصحيحة الموجبة ، (n> 0 ). على الرغم من أننا لم نبرر ذلك في ذلك الوقت ، فقد تم إثبات قاعدة القوة بشكل عام باستخدام شيء يسمى نظرية ذات الحدين ، والتي تتعامل فقط مع الأعداد الصحيحة الموجبة. سمحت لنا قاعدة الحصص بتوسيع قاعدة القوة إلى قوى الأعداد الصحيحة السالبة. يسمح لنا التفاضل الضمني بتوسيع قاعدة القوة لتشمل القوى المنطقية ، كما هو موضح أدناه.

لنفترض (y = x ^ {m / n} ) ، حيث (m ) و (n ) عبارة عن أعداد صحيحة بدون عوامل مشتركة (لذلك (m = 2 ) و (n = 5 ) لا بأس ، لكن (م = 2 ) و (ن = 4 ) ليس كذلك). يمكننا إعادة كتابة هذه الوظيفة الصريحة ضمنيًا كـ (y ^ n = x ^ m ). الآن قم بتطبيق التفاضل الضمني.

[ start {align *} y & = x ^ {m / n} y ^ n & = x ^ m frac {d} {dx} big (y ^ n big) & = frac {d} {dx} big (x ^ m big) n cdot y ^ {n-1} cdot y ^ prime & = m cdot x ^ {m-1} y ^ prime & = frac {m} {n} frac {x ^ {m-1}} {y ^ {n-1}} quad text {(استبدل الآن (x ^ {m / n} ) ) لـ (y ))} & = frac {m} {n} frac {x ^ {m-1}} {(x ^ {m / n}) ^ {n-1}} رباعي نص {(تطبيق الكثير من الجبر)} & = frac {m} nx ^ {(mn) / n} & = frac {m} nx ^ {m / n -1}. end {محاذاة *} ]

الاشتقاق أعلاه هو مفتاح البرهان على توسيع قاعدة القوة إلى القوى المنطقية. باستخدام الحدود ، يمكننا توسيع هذا مرة أخرى ليشمل الكل القوى ، بما في ذلك القوى غير العقلانية (حتى المتجاوزة!) ، مع إعطاء النظرية التالية.

نظرية 21: قاعدة القوة للتفاضل

لنفترض (f (x) = x ^ n ) ، حيث (n neq 0 ) هو رقم حقيقي. ثم (f ) دالة تفاضلية ، و (f ^ prime (x) = n cdot x ^ {n-1} ).

تسمح لنا هذه النظرية بقول مشتق (x ^ pi ) هو ( pi x ^ { pi -1} ).

نطبق الآن هذا الإصدار الأخير من قاعدة القوة في المثال التالي ، التحقيق الثاني لمنحنى "مشهور".

مثال 72: استخدام قاعدة القوة

أوجد ميل (x ^ {2/3} + y ^ {2/3} = 8 ) عند النقطة ((8،8) ).

حل

هذا منحنى مثير للاهتمام بشكل خاص يسمى أسترويد. إنه الشكل الذي تتبعه نقطة على حافة دائرة تدور داخل دائرة أكبر ، كما هو موضح في الشكل 2.25.

لإيجاد منحدر الأسترويد عند النقطة ((8،8) ) ، نأخذ المشتق ضمنيًا.

[ start {align *} frac23x ^ {- 1/3} + frac23y ^ {- 1/3} y ^ prime & = 0 frac23y ^ {- 1/3} y ^ prime & = - frac23x ^ {- 1/3} y ^ prime & = - frac {x ^ {- 1/3}} {y ^ {- 1/3}} y ^ prime & = - frac {y ^ {1/3}} {x ^ {1/3}} = - sqrt [3] { frac {y} x}. النهاية {محاذاة *} ]

بالتعويض (س = 8 ) و (ص = 8 ) ، نحصل على منحدر (- 1 ). يظهر الأسترويد ، مع خطه المماس عند ((8،8) ) ، في الشكل 2.26.

الاشتقاق الضمني والمشتق الثاني

يمكننا استخدام الاشتقاق الضمني لإيجاد مشتقات ذات رتبة أعلى. من الناحية النظرية ، هذا بسيط: أولاً ، ابحث عن ( frac {dy} {dx} ) ، ثم خذ مشتقها بالنسبة إلى (x ). من الناحية العملية ، هذا ليس صعبًا ، لكنه غالبًا ما يتطلب القليل من الجبر. نوضح هذا في مثال.

مثال 73: إيجاد المشتق الثاني

بالنظر إلى (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) ، ابحث عن ( frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = y ^ { prime prime} ).

حل

وجدنا أن (y ^ prime = frac {dy} {dx} = -x / y ) في المثال 71. لإيجاد (y ^ { prime prime} ) ، نطبق اشتقاق ضمني على (ذ ^ رئيس الوزراء ).

[ start {align *} y ^ { prime prime} & = frac {d} {dx} big (y ^ prime big) & = frac {d} {dx} left (- frac xy right) qquad text {(استخدم الآن قاعدة الحاصل.)} & = - frac {y (1) - x (y ^ prime)} {y ^ 2} end {محاذاة *} ]

استبدل (y ^ prime ) بـ (- x / y ):

[ begin {align *} & = - frac {yx (-x / y)} {y ^ 2} & = - frac {y + x ^ 2 / y} {y ^ 2}. نهاية {محاذاة *} ]

في حين أن هذا ليس تعبيرًا بسيطًا بشكل خاص ، إلا أنه قابل للاستخدام. يمكننا أن نرى ذلك (y ^ { prime prime}> 0 ) عندما (y <0 ) و (y ^ { prime prime} <0 ) عندما (y> 0 ). في القسم 3.4 ، سنرى كيف يرتبط هذا بشكل الرسم البياني.

التفاضل اللوغاريتمي

ضع في اعتبارك الوظيفة (y = x ^ x ) ؛ هو رسم بياني في الشكل 2.27. إنه محدد جيدًا لـ (x> 0 ) وقد نكون مهتمين بإيجاد معادلات للخطوط المماس والعادي للرسم البياني الخاص بها. كيف نأخذ مشتقها؟

الوظيفة ليست دالة طاقة: لها "قوة" تساوي (x ) ، وليست ثابتة. إنها ليست دالة أسية: لها "قاعدة" من (x ) ، وليست ثابتة .

تقنية التمايز المعروفة باسم التمايز اللوغاريتمي يصبح مفيدًا هنا. المبدأ الأساسي هو: خذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا طرفي المعادلة (y = f (x) ) ، ثم استخدم الاشتقاق الضمني لإيجاد (y ^ prime ). نوضح هذا في المثال التالي.

مثال 74: استخدام التفاضل اللوغاريتمي

بالنظر إلى (y = x ^ x ) ، استخدم الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد (y ^ prime ).

حل

كما هو مقترح أعلاه ، نبدأ بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الجانبين ثم تطبيق الاشتقاق الضمني.

[ begin {align *} y & = x ^ x ln (y) & = ln (x ^ x) text {(تطبيق قاعدة اللوغاريتم)} ln (y) & = x ln x text {(استخدم الآن التمايز الضمني)} frac {d} {dx} Big ( ln (y) Big) & = frac {d} {dx} Big (x ln x كبير) frac {y ^ prime} {y} & = ln x + x cdot frac1x frac {y ^ prime} {y} & = ln x + 1 y ^ رئيس & = y كبير ( ln x + 1 كبير) نص {(بديل (y = x ^ x ))} y ^ prime & = x ^ x big ( ln x +1 كبير). النهاية {محاذاة *} ]

من أجل "اختبار" إجابتنا ، دعنا نستخدمها لإيجاد معادلة خط الظل عند (x = 1.5 ). النقطة على الرسم البياني التي يجب أن يمر بها خط الظل هي ((1.5، 1.5 ^ {1.5} ) تقريبًا (1.5، 1.837) ). باستخدام معادلة (y ^ prime ) ، نجد المنحدر كما يلي

[y ^ prime = 1.5 ^ {1.5} big ( ln 1.5 + 1 big) حوالي 1.837 (1.405) حوالي 2.582. ]

وبالتالي فإن معادلة خط الظل هي (y = 1.6833 (x-1.5) +1.837 ). الشكل 2.28 الرسوم البيانية (y = x ^ x ) جنبًا إلى جنب مع هذا الخط المماس.

يثبت التفاضل الضمني أنه مفيد لأنه يسمح لنا بالعثور على معدلات التغيير اللحظية لمجموعة متنوعة من الوظائف. على وجه الخصوص ، وسعت قاعدة القوة لتشمل الأسس المنطقية ، والتي قمنا بعد ذلك بتوسيعها لتشمل جميع الأعداد الحقيقية. في القسم التالي ، سيتم استخدام الاشتقاق الضمني لإيجاد مشتقات معكوس الدوال ، مثل (y = sin ^ {- 1} x ).


حساب التفاضل والتكامل APEX

في الأقسام السابقة تعلمنا إيجاد المشتق ( lz text <،> ) أو (y ' text <،> ) عندما يتم إعطاء (y ) صراحة كدالة لـ (x text <.> ) أي ، إذا علمنا (y = f (x) ) لبعض الوظائف (f text <،> ) فيمكننا إيجاد (y ' text <.> ) على سبيل المثال ، بالنظر إلى (y = 3x ^ 2-7 text <،> ) يمكننا بسهولة العثور على (y '= 6x text <.> ) (هنا نوضح بوضوح كيف (y ) يعتمد على (x text <.> ) معرفة (x text <،> ) يمكننا أن نجد مباشرة (y text <.> ))

(أ) مفهوم التفاضل الضمني (ب) حالة الدائرة

في بعض الأحيان ، تكون العلاقة بين (ص ) و (س ) غير صريحة ، بل هي كذلك ضمني. على سبيل المثال ، قد نعرف أن (x ^ 2-y = 4 text <.> ) تحدد هذه المساواة العلاقة بين (x ) و (y text <> ) إذا علمنا (x text <،> ) يمكننا اكتشاف (y text <.> ) هل لا يزال بإمكاننا العثور على (y ' text <؟> ) في هذه الحالة ، تأكد من حل مشكلة (y ) الحصول على (y = x ^ 2-4 ) (ومن هنا نعرف الآن صراحة (y )) ثم اشتقاق للحصول على (y '= 2x text <.> )

في بعض الأحيان ضمني العلاقة بين (س ) و (ص ) معقدة. لنفترض أننا حصلنا على ( sin (y) + y ^ 3 = 6-x ^ 3 text <.> ) تم تقديم رسم بياني لهذه العلاقة الضمنية في الشكل 2.6.2. في هذه الحالة ، لا توجد طريقة على الإطلاق لحل (y ) من حيث الوظائف الأولية. ومع ذلك ، فإن الشيء المدهش هو أنه لا يزال بإمكاننا العثور على (y ') عبر عملية تعرف باسم.

القسم الفرعي 2.6.1 طريقة التفرقة الضمنية

التمايز الضمني هو أسلوب يعتمد على قاعدة السلسلة المستخدمة لإيجاد مشتق عندما يتم إعطاء العلاقة بين المتغيرات ضمنيًا وليس صريحًا (يتم حلها لمتغير واحد من حيث الآخر).

نبدأ بمراجعة قاعدة السلسلة. لنفترض أن (f ) و (g ) تكونان وظائف (x text <.> ) ثم

افترض الآن أن (y = g (x) text <.> ) يمكننا إعادة كتابة ما سبق على النحو التالي

تبدو هذه المعادلات غريبة ، والمفهوم الأساسي الذي يجب تعلمه هنا هو أنه يمكننا العثور على (y ') حتى لو لم نكن نعرف بالضبط كيف يرتبط (y ) و (x ).

نوضح هذه العملية في المثال التالي.

المثال 2.6.3. استخدام التفاضل الضمني.

أوجد (y ') بالنظر إلى أن ( sin (y) + y ^ 3 = 6-x ^ 3 text <.> )

الشكل 2.6.4. عرض فيديو للمثال 2.6.3

نبدأ بأخذ مشتق من كلا الجانبين (وبالتالي الحفاظ على المساواة). لدينا:

الجانب الأيمن سهل ويعيد (- 3x ^ 2 text <.> )

يتطلب الجانب الأيسر مزيدًا من الاهتمام. نأخذ المشتق مصطلحًا على حدة. باستخدام التقنية المشتقة من المعادلة (2.6.1) أعلاه ، يمكننا أن نرى ذلك

نطبق نفس العملية على المصطلح (y ^ 3 ).

وضع هذا مع الجانب الأيمن ، لدينا

حل الآن من أجل (y ' text <.> ) من المهم معاملة (y' ) كمتغير جبري مستقل عن (y ) و (x text <.> )

ربما تبدو هذه المعادلة لـ (y ') غير عادية لأنها تحتوي على كلا المصطلحين (x ) و (y ). كيف يتم استخدامها؟ سنتناول ذلك بعد ذلك.

عادة ما يكون التعامل مع الوظائف الضمنية أصعب من التعامل مع الوظائف الصريحة. مع وظيفة صريحة ، بالنظر إلى قيمة (x ) ، لدينا صيغة صريحة لحساب القيمة المقابلة (y ). مع وظيفة ضمنية ، غالبًا ما يتعين على المرء العثور على قيم (x ) و (y ) في نفس الوقت التي تفي بالمعادلة. من الأسهل بكثير إثبات أن نقطة معينة تفي بالمعادلة بدلاً من إيجاد مثل هذه النقطة بالفعل.

على سبيل المثال ، يمكننا أن نؤكد بسهولة أن النقطة ( left ( sqrt [3] <6>، 0 right) ) تقع على الرسم البياني للدالة الضمنية ( sin (y) + y ^ 3 = 6-x ^ 3 text <.> ) التوصيل (0 ) لـ (y text <،> ) نرى الجانب الأيسر هو (0 text <.> ) الإعداد ( س = sqrt [3] 6 نص <،> ) نرى أن الجانب الأيمن هو أيضًا (0 نص <> ) تم استيفاء المعادلة. المثال التالي يجد معادلة خط المماس لهذه الوظيفة في هذه المرحلة.

المثال 2.6.5. استخدام الاشتقاق الضمني لإيجاد خط المماس.

أوجد معادلة المماس لمنحنى الدالة المعرفة ضمنيًا ( sin (y) + y ^ 3 = 6-x ^ 3 ) عند النقطة ( left ( sqrt [3] 6،0 يمين) نص <.> )

الشكل 2.6.6. عرض فيديو للمثال 2.6.5

نجد ميل خط الظل عند النقطة ( left ( sqrt [3] 6،0 right) ) عن طريق استبدال ( sqrt [3] 6 ) بـ (x ) و ( 0 ) لـ (y text <.> ) وهكذا عند النقطة ( left ( sqrt [3] 6،0 right) text <،> ) لدينا الميل كـ

لذلك فإن معادلة خط المماس للدالة المعرفة ضمنيًا ( sin (y) + y ^ 3 = 6-x ^ 3 ) عند النقطة ( left ( sqrt [3] <6>، 0 right) ) هو

يظهر المنحنى وخط المماس هذا في الشكل 2.6.7.

هذا يشير إلى طريقة عامة للتفاضل الضمني. بالنسبة للخطوات أدناه ، افترض أن (y ) دالة في (x text <.> )

خذ مشتق كل حد في المعادلة. تعامل مع المصطلحات (x ) مثل العادي. عند أخذ مشتقات المصطلحات (y ) ، تنطبق القواعد المعتادة باستثناء أنه بسبب قاعدة السلسلة 2.5.4 ، نحتاج إلى ضرب كل مصطلح في (y ' text <.> )

احصل على جميع حدود (y ') على جانب واحد من علامة التساوي وضع الشروط المتبقية على الجانب الآخر.

حلل العامل (y ' text <> ) من أجل (y' ) عن طريق القسمة.

(ملاحظة عملية: عند العمل باليد ، قد يكون من المفيد استخدام الرمز ( frac) بدلاً من (y ' text <،> ) حيث يمكن بسهولة الخلط بين الأخير (y ) أو (y ^ 1 text <.> ))

المثال 2.6.8. استخدام التفاضل الضمني.

بالنظر إلى الوظيفة المعرفة ضمنيًا (y ^ 3 + x ^ 2y ^ 4 = 1 + 2x text <،> ) ابحث عن (y ' text <.> )

الشكل 2.6.9. عرض فيديو للمثال 2.6.8

سنأخذ المشتقات الضمنية بمصطلح. مشتق (y ^ 3 ) هو (3y ^ 2y ' text <.> )

المصطلح الثاني ، (x ^ 2y ^ 4 text <،> ) صعب بعض الشيء. يتطلب قاعدة المنتج لأنها نتاج وظيفتين من (x text <:> ) (x ^ 2 ) و (y ^ 4 text <.> ) مشتقها هو (x ^ 2 (4y ^ 3y ') + 2xy ^ 4 text <.> ) يتطلب الجزء الأول من هذا التعبير a (y' ) لأننا نأخذ مشتق من المصطلح (y ). الجزء الثاني لا يتطلب ذلك لأننا نأخذ مشتق (x ^ 2 text <.> )

يمكن العثور بسهولة على مشتق الجانب الأيمن ليكون (2 نص <.> ) إجمالاً ، نحصل على:

حرك المصطلحات بحيث يتكون الجانب الأيسر فقط من (y ') ويتكون الجانب الأيمن من جميع المصطلحات الأخرى:

أخرج العامل (y ') من الطرف الأيسر وحل لتحصل على

لتأكيد صحة عملنا ، دعنا نوجد معادلة خط المماس لهذه الدالة عند نقطة ما. من السهل التأكد من أن النقطة ((0،1) ) تقع في الرسم البياني لهذه الوظيفة. في هذه المرحلة ، (y '= 2/3 text <.> ) لذا فإن معادلة خط الظل هي (y = 2/3 (x-0) +1 text <.> ) الوظيفة ويتم رسم خط المماس في الشكل 2.6.10.

لاحظ كيف يبدو منحنىنا مختلفًا كثيرًا عن الوظائف التي رأيناها. أولاً ، فشل في اختبار الخط العمودي ، وبالتالي فإن المنحنى الكامل لا يمثل حقًا (y ) كدالة لـ (x text <.> ) ولكن عندما نشير إلى أننا مهتمون بالمشتق عند ((0،1) text <،> ) نحن نشير إلى أننا نريد تحديد الوظيفة بواسطة الجزء الصغير من المنحنى الذي يمر عبر ((0،1) text <،> ) وذلك الجزء الصغير اجتياز اختبار الخط العمودي. هذه الوظائف مهمة في العديد من مجالات الرياضيات ، لذا فإن تطوير أدوات للتعامل معها مهم أيضًا.

المثال 2.6.11. استخدام التفاضل الضمني.

بالنظر إلى الوظيفة المعرفة ضمنيًا ( sin mathopen <> left (x ^ 2y ^ 2 right) mathclose <> + y ^ 3 = x + y text <،> ) ابحث عن (y ' text <.> )

الشكل 2.6.12. عرض فيديو للمثال 2.6.11

عند التمييز بين المصطلح والمصطلح ، نجد الصعوبة الأكبر في المصطلح الأول. يتطلب كلاً من قاعدة السلسلة وقاعدة المنتج.

نترك مشتقات المصطلحات الأخرى للقارئ. بعد أخذ مشتقات كلا الطرفين ، لدينا

علينا الآن أن نكون حريصين على إيجاد حل مناسب لـ (y ' text <،> ) خاصة بسبب المنتج الموجود على اليسار. من الأفضل مضاعفة الناتج. عند القيام بذلك ، نحصل عليه

من هنا يمكننا التنقل بأمان حول الشروط للحصول على ما يلي:

ثم يمكننا حلها للحصول على (y ')

يوجد رسم بياني لهذه الوظيفة الضمنية في الشكل 2.6.13.

من السهل التحقق من أن النقاط ((0،0) text <،> ) ((0،1) ) و ((0، -1) ) كلها تقع على الرسم البياني. يمكننا إيجاد منحدرات خطوط الظل عند كل نقطة من هذه النقاط باستخدام صيغتنا لـ (y ' text <.> )

  • عند ((0،0) text <،> ) يكون الميل (- 1 text <.> )
  • عند ((0،1) text <،> ) يكون المنحدر (1/2 text <.> )
  • عند ((0 ، -1) نص <،> ) يكون الميل أيضًا (1/2 نص <.> )

تمت إضافة خطوط الظل إلى الرسم البياني للوظيفة في الشكل 2.6.14.

عدد قليل جدًا من المنحنيات "الشهيرة" لها معادلات معطاة ضمنيًا. يمكننا استخدام الاشتقاق الضمني لإيجاد الميل عند نقاط مختلفة على تلك المنحنيات. نحن نبحث في اثنين من هذه المنحنيات في الأمثلة التالية.

مثال 2.6.15. إيجاد ميل لخطوط المماس لدائرة.

أوجد ميل خط المماس للدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) عند النقطة ( left (1/2، sqrt <3> / 2 right) text <.> )

بأخذ المشتقات ، نحصل على (2x + 2yy '= 0 text <.> ) الحل من أجل (y' ) يعطي:

هذه صيغة ذكية. تذكر أن ميل الخط عبر الأصل والنقطة ((x، y) ) على الدائرة سيكون (y / x text <.> ) لقد وجدنا أن ميل خط الظل إلى الدائرة عند هذه النقطة هي المقابل المقابل لـ (y / x text <،> ) أي (- x / y text <.> ) ومن ثم يكون هذان الخطان دائمًا متعامدين.

عند النقطة ( left (1/2، sqrt <3> / 2 right) text <،> ) لدينا منحدر خط الظل مثل

رسم بياني للدائرة وخطها المماس عند ( left (1/2، sqrt <3> / 2 right) ) مُعطى في الشكل 2.6.16 ، جنبًا إلى جنب مع خط رفيع متقطع من الأصل الذي هو عمودي على خط المماس. (اتضح أن جميع الخطوط العادية للدائرة تمر عبر مركز الدائرة.)

يوضح هذا القسم كيفية العثور على مشتقات وظائف محددة ضمنيًا ، والتي تشتمل رسومها البيانية على مجموعة متنوعة من الأشكال المثيرة للاهتمام وغير العادية. يمكن أيضًا استخدام التفاضل الضمني لتعزيز فهمنا للتفاضل "المنتظم".

أحد الثغرات في فهمنا الحالي للمشتقات هو: ما مشتق دالة الجذر التربيعي؟ هذا هو،

نلمح إلى حل ممكن ، حيث يمكننا كتابة دالة الجذر التربيعي كدالة أس لها قوة عقلانية (أو كسرية). نميل بعد ذلك إلى تطبيق قاعدة القوة مع الأس الصحيح والحصول عليها

تكمن المشكلة في ذلك في أن قاعدة القوة مع الأس الصحيح تم تعريفها في البداية فقط لقوى الأعداد الصحيحة الموجبة ، (n gt 0 text <.> ) بينما لم نبرر ذلك في ذلك الوقت ، بشكل عام قاعدة القوة مع عدد صحيح تم إثبات الأسس باستخدام ما يسمى نظرية ذات الحدين ، والتي تتعامل فقط مع الأعداد الصحيحة الموجبة. سمحت لنا قاعدة الحصص بتوسيع قاعدة القوة ذات الأسس الصحيحة إلى قوى الأعداد الصحيحة السالبة. يسمح لنا التفاضل الضمني بتوسيع قاعدة القوة مع الأسس الصحيحة للقوى المنطقية ، كما هو موضح أدناه.

دع (y = x ^ text <،> ) حيث (m ) و (n ) أعداد صحيحة بدون عوامل مشتركة (لذا (m = 2 ) و (n = 5 ) جيد ، لكن (m = 2 ) و (ن = 4 ) ليس كذلك). يمكننا إعادة كتابة هذه الوظيفة الصريحة ضمنيًا على النحو التالي (y ^ n = x ^ m text <.> ) الآن طبق التفاضل الضمني.

الاشتقاق أعلاه هو مفتاح البرهان الذي يوسع قاعدة القوة ذات الأسس الصحيحة إلى قوى عقلانية. باستخدام الحدود ، يمكننا توسيع هذا مرة أخرى ليشمل الكل القوى ، بما في ذلك القوى غير العقلانية (حتى المتجاوزة!) ، مع إعطاء النظرية التالية.

نظرية 2.6.17. حكم القوة للتمايز.

لنفترض (f (x) = x ^ n text <،> ) حيث (n neq 0 ) هو رقم حقيقي. إذن (f ) قابل للتفاضل في مجاله ، باستثناء ربما في (x = 0 text <،> ) و ( fp (x) = n cdot x ^ نص <.> )

تسمح لنا هذه النظرية بقول مشتق (x ^ pi ) هو ( pi x ^ < pi -1> text <.> )

نطبق الآن هذا الإصدار الأخير من قاعدة القوة للتمايز في المثال التالي ، التحقيق الثاني لمنحنى "مشهور".

المثال 2.6.18. استخدام قاعدة القوة.

أوجد ميل (x ^ <2/3> + y ^ <2/3> = 8 ) عند النقطة ((8،8) text <.> )

هذا منحنى مثير للاهتمام بشكل خاص يسمى. إنه الشكل الذي تتبعه نقطة على حافة دائرة تدور حول داخل دائرة أكبر ، كما هو موضح في الشكل 2.6.19.

لإيجاد منحدر الأسترويد عند النقطة ((8،8) text <،> ) نأخذ المشتق ضمنيًا.

بالتوصيل (x = 8 ) و (y = 8 text <،> ) نحصل على منحدر من (- 1 text <.> ) الأسترويد ، مع خطه المماس عند ((8 ، 8) text <،> ) في الشكل 2.6.20.

القسم الفرعي 2.6.2 التفاضل الضمني والمشتق الثاني

يمكننا استخدام الاشتقاق الضمني لإيجاد مشتقات ذات رتبة أعلى. من الناحية النظرية ، هذا بسيط: أوجد أولاً ( lz text <،> ) ثم تأخذ مشتقها فيما يتعلق بـ (x text <.> ) من الناحية العملية ، هذا ليس صعبًا ، لكنه غالبًا ما يتطلب القليل من الجبر. نوضح هذا في مثال.

المثال 2.6.21. إيجاد المشتق الثاني.
الشكل 2.6.22. عرض فيديو للمثال 2.6.21

وجدنا أن (y '= lz = -x / y ) في المثال 2.6.15. للعثور على (y '' text <،> ) نطبق التمايز الضمني على (y ' text <.> )

في حين أن هذا ليس تعبيرًا بسيطًا بشكل خاص ، إلا أنه قابل للاستخدام. يمكننا أن نرى ذلك (y '' gt 0 ) عندما (y lt 0 ) و (y '' lt 0 ) عندما (y gt 0 text <.> ) في القسم 3.4 ، سنرى كيف يرتبط هذا بشكل الرسم البياني.

أيضًا ، إذا تذكرنا أننا نفكر فقط في النقاط الموجودة على المنحنى (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 text <،> ) فإننا نعلم أن (x ^ 2 = 1-y ^ 2 text < .> ) لذلك يمكننا استبدال (x ^ 2 ) في التعبير من أجل (y '' ) للحصول على

وهو تعبير أبسط. إن إدراك متى تكون مثل هذه التبسيط ممكنة ليس بالأمر السهل دائمًا.

القسم الفرعي 2.6.3 التفاضل اللوغاريتمي

ضع في اعتبارك الوظيفة (y = x ^ x text <> ) التي تم رسمها في الشكل 2.6.23. تم تعريفه جيدًا من أجل (x gt 0 ) وقد نكون مهتمين بإيجاد معادلات للخطوط المماس والعادية للرسم البياني. 1 كيف نأخذ مشتقها؟

الوظيفة ليست دالة طاقة: لها "قوة" (x نص <،> ) وليست ثابتة. إنها ليست دالة أسية أيضًا: فهي تحتوي على "أساس" من (x text <،> ) وليس ثابتًا.

تصبح تقنية التمايز المعروفة باسم تقنية مفيدة هنا. المبدأ الأساسي هو: خذ السجل الطبيعي لكلا جانبي المعادلة (y = f (x) text <،> ) ثم استخدم التفاضل الضمني للعثور على (y ' text <.> ) نحن نوضح هذا في المثال التالي.

المثال 2.6.24. استخدام التفاضل اللوغاريتمي.

إعطاء (y = x ^ x text <،> ) استخدم الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد (y ' text <.> )

(أ) أخذ اللوغاريثم الطبيعي لكلا الجانبين (ب) استخدام العلاقة العكسية (e ^ < ln (x)> = x )

كما هو مقترح أعلاه ، نبدأ بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الجانبين ثم تطبيق الاشتقاق الضمني.

من أجل "اختبار" إجابتنا ، دعنا نستخدمها لإيجاد معادلة خط الظل عند (x = 1.5 text <.> ) النقطة على الرسم البياني التي يجب أن يمر بها خط الظل هي ( left (1.5، 1.5 ^ <1.5> right) almost (1.5، 1.837) text <.> ) باستخدام معادلة (y ' text <،> ) نجد المنحدر كـ

وبالتالي فإن معادلة خط الظل هي (تقريبًا) (y حوالي 2.582 (x-1.5) +1.837 text <.> ) الشكل 2.6.26 الرسوم البيانية (y = x ^ x ) جنبًا إلى جنب مع هذا الخط المماس .

We would not have been able to compute the derivative of the function in Example 2.6.24 without logarithmic differentiation. But the method is also useful in cases where the product and quotient rules could be used, but logarithmic differentiation is simpler. The following video provides such an example.

Figure 2.6.27 . استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي

Implicit differentiation proves to be useful as it allows us to find the instantaneous rates of change of a variety of functions. In particular, it extended the Power Rule for Differentiation to rational exponents, which we then extended to all real numbers. In Section 2.7, implicit differentiation will be used to find the derivatives of functions, such as (y=sin^<-1>(x) ext<.>)

Exercises 2.6.4 Exercises

In your own words, explain the difference between implicit functions and explicit functions.


Syllabus Math 234

كتاب مدرسي: Calculus with Applications, 11th edition, by Lial, Greenwell and Ritchey

1 Functions, Graphs, and Limits (4 lectures)

1.1 Functions
1.2 The Graph of a Function
1.3 Linear Functions
1.5 Limits
1.6 One-Sided Limits and Continuity

2 Differentiation: Basic Concepts (5 lectures)

2.1 The Derivative
2.2 Techniques of Differentiation
2.3 Product and Quotient Rules Higher-Order Derivatives
2.4 The Chain Rule
2.5 Marginal Analysis and Approximations Using Increments
2.6 Implicit Differentiation and Related Rates

3 Additional Appilcations of the Derivative (4 lectures)

3.1 Increasing and Decreasing Functions Relative Extrema
3.2 Concavity and Points of Inflection
3.3 Curve Sketching
3.4 Optimization
3.5 Additional Applied Optimization

4 Exponential and Logarithmic Functions (3.5 lectures)

4.1 Exponential Functions
4.2 Logarithmic Functions
4.3 Differentiation of Logarithmic and Exponential Functions
4.4 Additional Exponential Models

5 Integration (3.5 lectures)

5.1 Antidifferentiation: The Indefinite Integral
5.2 Integration by Substitution
5.3 The Definite Integral and the Fundamental Theorem of Calculus
5.4 Applying Definite Integration: Area Between Curves and Average Value
5.5 Additional Applications to Business and Economics

6 Additional Topics in Integration (1 lectures)

6.1 Integration by Parts (Do not include Integral Tables)

7 Calculus of Several Variables (4 lectures)

7.1 Functions of Several Variables
7.2 Partial Derivatives
7.3 Optimizing Functions of Two Variables
7.5 Constrained Optimization: The Method of Lagrange Multipliers
7.6 Double Integrals (if time permits)


Math 110. Calculus I

ساعات العمل: MWF from 2pm to 3pm and by appointment.

مكتب: Young Hall 105

Practice questions for section 4.3:
Section 4.3: 6, 8, 14, 20, 24, 26, 30, 38
Solutions to questions to practice from section 4.3.

Homework 14 due Thursday June 3 at the beginning of class consists of the following exercises from the book:
Section 4.1: 2, 4, 20, 22.
Section 4.2: 2, 6, 12, 18, 34, 38, 40.
Homeowork 14 Solutions.

Homework 13 due Wednesday June 3 at the beginning of class consists of the following exercises from the book:
Section 3.9: 2, 8, 14, 22, 34, 40, 42, 56, 60.
Homeowork 13 Solutions.

Homework 12 due Tuesday June 2 at the beginning of class consists of the following exercises from the book:
Section 3.7: 20, 24.
Section 3.8: 8, 12, 14, 16, 22, 28, 34.
Homeowork 12 Solutions.

Homework 11 due Friday May 29 at the beginning of class consists of the following exercises from the book:
Section 3.3: 2, 6, 8, 10, 14, 16, 28, 30. (Note: I initially mislabeled the exercises as 2, 6, 8, 10, 18, 24, 32).
Section 3.7: 2, 4, 6, 14, 60b.
Homeowork 11 Solutions.

Homework 10 due Thursday May 28 at the beginning of class consists of the following exercises from the book:
Section 3.2: 2, 6, 8, 10, 18, 24, 32.
Homeowork 10 Solutions.

Homework 9 due Wednesday May 27 at the beginning of class consists of the following exercises from the book:
Section 3.1: 4, 6, 32, 40, 46, 52, 56, 65.
Homeowork 9 Solutions.

Homework 8 due Tuesday May 26 at the beginning of class consists of the following exercises from the book:
Section 2.8: 4, 6, 8, 18, 21.
Section 2.9: 2, 6, 12, 16, 24, 26, 32, 42.
Homeowork 8 Solutions.

Homework 7 due Friday May 22 at the beginning of class consists of the following exercises from the book:
Section 2.5: 8, 12, 16, 26, 44, 48, 52, 62, 74.
Section 2.6: 6, 8, 12, 14, 21, 30.
Homeowork 7 Solutions.

Homework 6 due Thursday May 21 at the beginning of class consists of the following exercises from the book:
Section 2.3: 26, 28, 30, 32, 40, 68.
Section 2.4: 2, 4, 12, 24, 50.
Homeowork 6 Solutions.

Homework 5 due Wednesday May 20 at the beginning of class consists of the following exercises from the book:
Section 2.2: 2, 8, 20, 22, 36.
Section 2.3: 2, 4, 6, 10, 14, 18, 78.
Homeowork 5 Solutions.

الواجب المنزلي 4 due Tuesday May 19 at the beginning of class consists of the following exercises from the book:
Section 1.8: 4, 10, 18, 24, 42, 46.
Section 2.1: 6, 8, 14, 18, 22.
Homeowork 4 Solutions.

Homework 3 due Friday May 15 at the beginning of class consists of the following exercises from the book:
Section 1.6: 2, 12, 18, 24, 42, 50.
Section 3.4: 4, 12, 14, 18, 20, 36.
Homeowork 3 Solutions.

Homework 2 due Thursday May 14 at the beginning of class consists of the following exercises from the book:
Section 1.3: 2, 4, 10, 14, 32, 46, 52.
Section 1.5: 4, 6, 12, 16, 23.
Homeowork 2 Solutions.

Homework 1 due Wednesday May 13 at the beginning of class consists of the following exercises from the book:
Section 1.1: 4, 8, 14, 34, 48, 64.
Section 1.2: 2, 4, 10, 20.
Homeowork 1 Solutions.

Single Variable Calculus (7th edition) by Stewart.

The following is a tentative list of topics that will be covered:

Chapter 1
1.1 Review of functions (domain, range, symmetry)
1.2 Essential functions
1.3 Transfomations, combinations and compositions
1.5 The limit of a functions
1.6 Calculation limits
3.4 Limits at Infinity and Horizontal Asymptotes
1.8 Continuity

Chapter 2
2.1 Derivatives
2.2 Derivative of a function
2.3 Differential formulas
2.4 Derivatives of trigonometric functions
2.5 Chain rule
2.6 Implicit differentiation
2.8 Related Rates
2.9 Linear approximation

Chapter 3
3.1 Maximum and minimum values
3.2 Mean value theorem
3.3 Inflection points and concavity
3.7 Optimization problems
3.8 Newton's Method.
3.9 Antiderivatives

Chapter 4
4.1 Areas and distances
4.2 Definite integral
4.3 Fundamental theorem of calculus
4.4 Indefinite integrals
4.5 Substitution rule

The course grade will be based on:
Homework 10%
Midterm 1 20%,
Midterm 2 20%,
Midterm 3 20%
Final Exam 30%.

There will be written homework daily. The homework will be turned in and will reinforce the matertial learned in class. Collaboration in the homework is permitted, however you must write your own solutions in your own words (or symbols). You must also support your answers with the intermediate steps you took to reach the answer.
You can find the homeworks for this class here.

On the midterms and the final exam you must work on the problems on your own. No collaboration permitted in the exams. Also, no calculators or notes are permitted. I will provide simple calculators in the exam.

The first midterm will be on Tuesday May 19.

The second midterm will be on Wednesday May 27.

The third midterm will be on Tuesday June 2.

The final exam will be a cumulutive three hour exam.

The dates for the final exam is June 5.

Students are expected to come to every lecture and every exam. If the dates of the exams conflict with Lake Forest approved events, inform me as soon as possible.

  • You can come to my office to ask questions.
    If you want to ensure I'll be in my office, you can email me to set up an appointment to meet with me at a convenient time.
  • You can make appointments with tutors at the Math Resource Center. Click on the link to make an appointment.
  • For all these topics there are videos on YouTube explaining the topics. I highly recommend using the videos from the Khan academy.
  • Another useful online resource is Math tutor.

Accommodations Statement

If you believe that you need accommodations for a disability, please consult with The Learning and Teaching Center. Since accommodations may require early planning and are not retroactive, please contact the center as soon as possible. For details about the services for students with disabilities and the accomodations process, visit http://www.lakeforest.edu/academics/resources/disability/.

You are also welcome to contact me privately to discuss your academic needs. However, all disability-related accommodations must be arranged through Teryn Robinson at the Learning and Teaching Center.


Find dy/dx by implicit differentiation. x2 − y2 = 25

Q: Use a computer algebra system to evaluate theintegral. Compare the answer with the result of using t.

A: Given: ∫cos4x dx To evaluate: The integral.

A: To Evaluate: 12+14+18+116+. Concept: Sum of Geometric Series:1. a+ar+ar2+ar3+····+arn-1, then ∑k.

Q: Suppose the area A of a particular rectangle increases at a rate of 2 cm^2/sec and the width w of th.

ج: انقر لرؤية الجواب

Q: Verify that the given function is a solution of the differential equation that follows it. Assume C.

A: First determine the 1st derivative for u(t). ut=C1t2+C2t3ddtut=ddtC1t2+C2t3u't=ddtC1t2+ddtC2t3u't=C1.

Q: Find the point where the tangent to the graph of f(x)= -x^2-6 is parallel to the line y=4x-1

ج: انقر لرؤية الجواب

Q: The number of hours of daylight, H, on day t of any given year on January 1, t = 1 in Fairbanks, Ala.

A: The expression for number of hours of daylight is given as, Ht=12+8.3sin2π365t-80 a) Substitute t=80.

Q: Find all values of y such that the distance between (4,y) and (-6,7) is 15. y% = (Use a comma to sep.

A: Given: A(4,y)B(−6,7) Distance between A and B is 15

Q: The volume of a cylinder with a radius of 5 inches is increasing at a rate of 36pi in^3/min. How fas.

A: given in a cylinderr=5 indVdt=36π in3/minh=10 innow volume of cylinder (V)=πr2hradius is constant

Q: dy for the followin dt ssume x and y are functions of t. Evaluate dx y3 = 2x? + 6 = 4, x = 1, y= 2 .


2.6: Implicit Differentiation - Mathematics

The following problems require the use of implicit differentiation. Implicit differentiation is nothing more than a special case of the well-known chain rule for derivatives. The majority of differentiation problems in first-year calculus involve functions y written EXPLICITLY as functions of x . For example, if

then the derivative of y is

However, some functions y are written IMPLICITLY as functions of x . A familiar example of this is the equation

which represents a circle of radius five centered at the origin. Suppose that we wish to find the slope of the line tangent to the graph of this equation at the point (3, -4) .

How could we find the derivative of y in this instance ? One way is to first write y explicitly as a function of x . هكذا،

where the positive square root represents the top semi-circle and the negative square root represents the bottom semi-circle. Since the point (3, -4) lies on the bottom semi-circle given by

Thus, the slope of the line tangent to the graph at the point (3, -4) is

Unfortunately, not every equation involving x and y can be solved explicitly for y . For the sake of illustration we will find the derivative of y WITHOUT writing y explicitly as a function of x . Recall that the derivative (D) of a function of x squared, ( f ( x )) 2 , can be found using the chain rule :

Since y symbolically represents a function of x , the derivative of y 2 can be found in the same fashion :

Differentiate both sides of the equation, getting

Thus, the slope of the line tangent to the graph at the point (3, -4) is

This second method illustrates the process of implicit differentiation. It is important to note that the derivative expression for explicit differentiation involves x only, while the derivative expression for implicit differentiation may involve BOTH x AND y .

The following problems range in difficulty from average to challenging.

      PROBLEM 1 : Assume that y is a function of x . Find y ' = dy / dx for x 3 + y 3 = 4 .

    انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 1.

    انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 2.

    انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 3.

    انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 4.

    انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 5.

    انقر هنا للاطلاع على حل تفصيلي للمشكلة 6.

    انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 7.

    انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 8.

    انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 9.

    انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 10.

    انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 11.

    انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 12.

    انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 13.

    انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 14.

    انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 15.

    انقر هنا للعودة إلى القائمة الأصلية لأنواع مختلفة من مشاكل التفاضل والتكامل.

    تعليقاتك وإقتراحاتك مرحب بها. يرجى إرسال أي مراسلات بالبريد الإلكتروني إلى دوان قبة من خلال النقر على العنوان التالي:


    Math 110. Calculus I

    ساعات العمل: MW from 2:30pm to 4pm and by appointment.

    مكتب: Young Hall 105

    Here is a link to the Homework page: Homework.

    Single Variable Calculus (8th edition) by Stewart.

    The calculus of functions of one variable. Limits, continuity, differentiation, and applications a brief introduction to integration. Prerequisite: 3.5 years of high school mathematics (to include trigonometry) or Mathematics 105. (This course meets the Quantitative Reasoning GEC requirement.)

    The following is a tentative list of topics that will be covered:

    Chapter 1
    1.1 Review of functions (domain, range, symmetry)
    1.2 Essential functions
    1.3 Transfomations, combinations and compositions
    1.5 The limit of a functions
    1.6 Calculation limits
    3.4 Limits at Infinity and Horizontal Asymptotes
    1.8 Continuity

    Chapter 2
    2.1 Derivatives
    2.2 Derivative of a function
    2.3 Differential formulas
    2.4 Derivatives of trigonometric functions
    2.5 Chain rule
    2.6 Implicit differentiation
    2.8 Related Rates
    2.9 Linear approximation

    Chapter 3
    3.1 Maximum and minimum values
    3.2 Mean value theorem
    3.3 Inflection points and concavity
    3.7 Optimization problems
    3.8 Newton's Method.
    3.9 Antiderivatives

    Chapter 4
    4.1 Areas and distances
    4.2 Definite integral
    4.3 Fundamental theorem of calculus
    4.4 Indefinite integrals
    4.5 Substitution rule

    Student Learning Outcomes

    • Learn what limits are and be able to compute them in different settings.
    • Learn what derivatives are and be able to compute them in different settings.
    • Be able to apply the understanding of derivatives to solve optimization problems.
    • Understand what the Fundamental Theorem of Calculus is and why it is important.

    The course grade will be based on:
    Homework 10%
    Midterm 1 20%,
    Midterm 2 20%,
    Midterm 3 20%
    Final Exam 30%.

    There will be written homework weekly. The homework will be turned in and will reinforce the matertial learned in class. Collaboration in the homework is permitted, however you must write your own solutions in your own words (or symbols). You must also support your answers with the intermediate steps you took to reach the answer.
    You can find the homework assignments for this class below:
    Homework.

    On the midterms and the final exam you must work on the problems on your own. No collaboration permitted in the exams. Also, no calculators or notes are permitted. I will provide simple calculators in the exam.

    The first midterm will be on Tuesday October 2.

    The second midterm will be on Wednesday November 7.

    The third midterm will be on Tuesday December 4.

    The final exam will be a cumulutive three hour exam.

    The date for the final exam is Friday December 14 from 8:30 to 11:30 am.

    Students are expected to come to every lecture and every exam. If the dates of the exams conflict with Lake Forest approved events, inform me as soon as possible.

    • An important resource is the Quantitative Resource Center (QRC). You can find more information here and set up appointments for campus tutors here.
    • You can come to my office to ask questions.
      If you want to ensure I'll be in my office, you can email me to set up an appointment to meet with me at a convenient time.
    • For all these topics there are videos on YouTube explaining the topics. I highly recommend using the videos from the Khan academy.
    • Another useful online resource is Math tutor.

    Accommodations Statement

    If you believe that you need accommodations for a disability, please consult with The Learning and Teaching Center. Since accommodations may require early planning and are not retroactive, please contact the center as soon as possible. For details about the services for students with disabilities and the accomodations process, visit http://www.lakeforest.edu/academics/resources/disability/.

    You are also welcome to contact me privately to discuss your academic needs. However, all disability-related accommodations must be arranged through Teryn Robinson at the Learning and Teaching Center.

    Description of instructional time and expectations:

    This course meets 4 times per week for 4 hours per week. The course carries 1.0 course credit (equivalent to four semester credit hours). Students are expected to devote a minimum of 12 hours of total work per week (in-class time plus out-of-class work) to this course.

    Please read the College's information on Academic Honesty. If a student cheats in an exam, quiz or homework assignment, I will proceed with charging the student with the Academic Honesty Judicial Board. The usual (first) penalty is a 0 in the assignment on which the cheating occured plus some ethics lectures the student would take. The second penalty is usually suspension.


    2.6: Implicit Differentiation - Mathematics

    MAT 191 Calculus I, Section 02, CN 41467, Fall 2015

    Class meets MWF 1:00 PM - 2:25 PM in SCC 1304.

    مدرب: Serban Raianu

    Office : NSM A-123 Office phone number: (310) 243- 3139

    Office hours : Monday, Wednesday, Friday: 2:35 PM - 3:55 PM, or by appointment.

    Course Description: MAT 191, Calculus I, covers Chapters 1-5 from the textbook: Differential and integral calculus of one variable: limits, continuity, derivatives and application of derivatives, integrals, Fundamental Theorem of Calculus, inverse functions.

    Text: James Stewart , Essential Calculus, Second Edition, Brooks /Cole, 2013.

    أهداف: After completing MAT 191 the student should be able to:

    • Understand the four basic concepts of one-variable calculus the limit, the concept of continuity, the derivative and the integral of a function of one variable
    • Use the rules of differentiation to compute derivatives of algebraic and trigonometric functions
    • Use derivatives to solve problems involving rates of change, tangent lines, velocity (speed), acceleration, optimization, and related rates.
    • Investigate the graph of a function with the aid of its first and second derivatives: asymptotes, continuity, tangency, monotonicity, concavity, extrema, inflection points, etc.
    • Understand the meanings of indefinite integral and the definite integral of a function of one variable, and their relationship to the derivative of a function via the Fundamental Theorem of Calculus
    • Use rules of integration including the Substitution Rule to evaluate indefinite and definite integrals
    • Differentiate Exponential, Logarithmic, and Inverse Trigonometric Functions
    • Use l'Hospital's Rule

    المتطلبات الأساسية: MAT 153 or equivalent with a grade of "C" or better.

    Grades: Grades will be based on three in‑class 80-minutes examinations (60% total), a comprehensive final examination (25%), and الإختبارات, homework, attendance and other assignments (15%) for the remainder.

    The exact grading system for your section is the following:

    Each of the three 80-minutes exams will be graded on a 100 scale, then the sum of the scores is divided by 5 and denoted by E.

    الواجب المنزلي will be due every Monday, and each homework is worth 5 points. No late homework will be accepted. The average of all homework scores is denoted by H .

    5 to 10 minutes quizzes will be given every Monday, and will be graded on a scale from 1 to 5. The average of the quizzes scores is denoted by Q .

    There are also 5 points awarded for attendance and class participation. This portion of the grade is denoted by A .

    ال final exam will be graded out of a maximum possible 200, then the score is divided by 8 and denoted by F.

    To determine your final grade, compute E+H+Q+A+F. The maximum is 100, and the grade will be given by the rule:

    WebWorK: More practice problems are available in WebWork: go to http://math.csudh.edu/webwork2/15Fall_MAT191_Raianu/ and log in using as user name the part before th @ in the email address that you have given to my.csudh.edu, and your student ID as password (you can change the password after the first log in). Use Set0 to learn how to input your answers. Then try to do more problems after you complete each homework assignment. You should download and print one set, work on the problems, then input your answers. After you try each problem at least once you have the option to "show me other" similar problems. You can also view the correct answer and the solution (if available) in order to understand what you did wrong. You can also use "email instructor" to ask for help. Help for these problems will be available by email or during office hours.

    Makeups: No makeup examinations or quizzes will be given. If you must miss an examination for a legitimate reason, discuss this, in advance, with me, and I may then substitute the relevant score from your final examination for the missing grade.

    Accomodations for Students with Disabilities: Cal State Dominguez Hills adheres to all applicable federal, state, and local laws, regulations, and guidelines with respect to providing reasonable accommodations for students with temporary and permanent disabilities. If you have a disability that may adversely affect your work in this class, I encourage you to register with Disabled Student Services (DSS) and to talk with me about how I can best help you. All disclosures of disabilities will be kept strictly confidential. Please note: no accommodation may be made until you register with the DSS in WH B250. For information call (310) 243-3660 or to use telecommunications Device for the Deaf, call (310) 243-2028.

    Academic Integrity: The mathematics department does not tolerate cheating. Students who have questions or concerns about academic integrity should ask their professors or the counselors in the Student Development Office, or refer to the University Catalog for more information. (Look in the index under "academic integrity".)

    Technology: Symbolic calculators, such as TI-89, TI-92 or TI-nspire CAS are not acceptable for this course.

    Exam rules: Students must leave their CSUDH student ID on their desk for the duration of the exam. Cell phones, iPhones, iPods, or PDAs of any kind, as well as hea dp hones, may not be used at all during a test. Students are discouraged from leaving the exam room during the period of the exam. Restroom breaks must be kept under five minutes and are limited to one/exam. You will be penalized 5 points if you are gone more than five minutes. No more than one student can be out of the room at any given time during an exam. If a student finds it necessary to leave the room under these circumstances, they are not permitted to access computer terminals, smoke, read notes/books, or talk with others. If a student is found engaging in this behavior, appropriate disciplinary action will be taken. Whenever a student leaves the room, they must turn their exam upside down on their desk. All book bags or similar items will be deposited in the front of the class for the duration of the test.

    Tentative schedule and homework assignments

    M 8/24: 1.1 Functions and Their Representations: ( odd)1 -9,19-39,43-51,55-63

    W 8/26: 1.2 A Catalog of Essential Functions: ( odd)1,11,13,17,21 -51

    F 8/28: 1.3 The Limit of a Function: ( odd)1 -17,21,23,29-41

    M 8/31: 1.4 Calculating Limits: ( odd)1 -23,33-45,49-57

    W 9/2: 1.5 Continuity: 3,5,15,19,31,35(b)

    F 9/4: 1.6 Limits Involving Infinity: ( odd)1 -7,13-31

    M 9/7: Labor Day Holiday

    W 9/9: 2.1 Derivatives and Rates of Change: 2,3-6,9,16,17,25,27,29

    F 9/11: 2.2 The Derivative as a Function: (odd) 3,24,33

    M 9/14: 2.3 Basic Differentiation Formulas: ( odd)1 -27,31,33,45

    W 9/16: 2.4 The Product and Quotient Rules: ( odd)1 -31,33-41

    F 9/18: 2.5 The Chain Rule: ( odd)1 -47

    F 9/25: 2.6 Implicit Differentiation: ( odd)3 -21,25,27

    M 9/28: 2.7 Related Rates: ( odd)1 -11,15

    W 9/30: 2.8 Linear Approximations and Differentials :1,3,11,15,17

    F 10/2: 3.1 Maximum and Minimum Values: ( odd)7 -33

    M 10/5: 3.2 The Mean Value Theorem: 19,23,27

    W 10/7: 3.3 Derivatives and the Shape of Graphs: ( odd)1 -31

    F 10/9: 3.4 Curve Sketching: ( odd)1 -33

    M 10/12: 3.5 Optimization Problems: 1,11,13,15,19,24,25,39,45

    W 10/14: 3.7 Antiderivatives: ( odd)1 -13,17-33,35,43,45,51

    F 10/16: 4.1 Areas and Distances: ( odd)1 -15

    F 10/23: 4.2 The Definite Integral: ( odd)1 -25

    M 10/26: 4.3 Evaluating Definite Integrals: ( odd)1 -29,37,39,43

    W 10/28: 4.4 The Fundamental Theorem of Calculus: ( odd)1 -25

    F 10/30: 4.5 The Substitution Rule: ( odd)1 -21

    M 11/2: 4 .5 The Substitution Rule: ( odd)23 -47

    W 11/4: 5.1 Inverse Functions: ( odd)1 -25,33-41

    F 11/6: 5.2 The Natural Logarithmic Function: ( odd)1 -41,51-61

    M 11/9: 5.3 The Natural Exponential Function: ( odd)1 -37,61-67

    W 11/11: Veterans Day Holiday

    F 11/13: 5.4 General Logarithmic and Exponential Functions: ( odd)1 -9,21-37

    W 11/18: Exam III

    F 11/20: 5.5 Exponential Growth and Decay: 1,3,5,9,13,19

    M 11/23: 5.6 Inverse Trigonometric Functions: ( odd)1 -33

    W 11/25: 5.6 Inverse Trigonometric Functions: ( even)2 -34

    F 11/27: Thanksgiving Holiday

    M 11/30: 5.8 Indeterminate Forms and l'Hospital Rule: ( odd)1 -37

    W 12/2: 5.8 Indeterminate Forms and l'Hospital Rule: ( even)2 -38


    Lesson 3 6 Implicit Differentiation Objectives Use implicit

    Vocabulary • Implicit Differentiation – differentiating both sides of an equation with respect to one variable and then solving for the other variable “prime” (derivative with respect to the first variable) • Orthogonal – curves are orthogonal if their tangent lines are perpendicular at each point of intersection • Orthogonal trajectories – are families of curves that are orthogonal to every curve in the other family (lots of applications in physics (example: lines of force and lines of constant potential in electricity)

    Guidelines for Implicit Differentiation • Differentiate both sides of the equation with respect to x. • Collect all terms involving dy/dx on one side of the equation and move all other terms to the other side. • Factor dy/dx out of the terms on the one side. • Solve for dy/dx by dividing both sides of the equation by the factored term.

    Example 1 Find the derivatives of the following: 1. x = y² - xy + x³ 1 = 2 y (dy/dx) – y – x(dy/dx) + 3 x² 1 + y – 3 x² = (2 y – x) (dy/dx) dy/dx = (1 + y – 3 x²) / (2 y – x) 2. y = (e 4 x²) (cos 6 y) (dy/dx) = 8 x (e 4 x²) (cos 6 y) + (e 4 x²) (-6 sin 6 y)(dy/dx) -8 x (e 4 x²) (cos 6 y) = ((e 4 x²) (-6 sin 6 y) – 1))(dy/dx) -8 x (e 4 x²) (cos 6 y) / ((e 4 x²) (-6 sin 6 y) – 1)) = dy/dx

    Example 2 Find the derivatives of the following: 3. 0 = 360 x² + 103 xy – 16 xy² 0 = 720 x + 103 x(dy/dx) + 103 y – 32 xy(dy/dx) – 16 y² – 720 x – 103 y = (dy/dx)(103 x – 32 xy) dy/dx = (16 y² – 720 x – 103 y) / (103 x – 32 xy) 4. 6 = (tan y²) (sin 4 x³) 0 = (sec² y²)(2 y)(dy/dx)(sin 4 x³) + (tan y²)(cos 4 x³)(12 x²) (tan y²)(cos 4 x³)(-12 x²) = (sec² y²)(2 y)(sin 4 x³)(dy/dx) dy/dx = (-6 x²) (tan y²)(cos 4 x³) / (y)(sec² y²)(sin 4 x³)

    Example 3 Find the derivatives of the following: 5. y = xy + x²y³ (dy/dx) = x(dy/dx) + y + 2 xy³ + 3 x²y²(dy/dx) -2 xy³ - y – 3 x²y² = (x + 3 x²y² - 1) (dy/dx) dy/dx = (-2 xy³ - y – 3 x²y² ) / (x + 3 x²y² - 1) 6. 25 = (tan 2 x) (3 y³ - 4 y² + 7 y - 9) 0 = (sec 2 x)(2)(3 y³ - 4 y² + 7 y – 9) + (9 y² - 8 y + 7)(dy/dx)(tan 2 x) -(sec 2 x)(2)(3 y³ - 4 y² + 7 y – 9) = (9 y² - 8 y + 7)(tan 2 x)(dy/dx) dy/dx = (-(sec 2 x)(2)(3 y³ - 4 y² + 7 y – 9) ) / ((9 y² - 8 y + 7)(tan 2 x))

    Summary & Homework • Summary: – Use implicit differentiation when equation can’t be solved for y = f(x) – Derivatives of inverse trig functions do not involve trig functions • Homework: – pg 233 -235: 1, 6, 7, 11, 17, 25, 41, 47


    2.6: Implicit Differentiation - Mathematics

    TIME: 9:20-10:15 MWF (Gilbreath 314) and 8:15-9:35 T (Gilbreath 313)

    INSTRUCTOR: Dr. Robert Gardner, OFFICES: Rooms 308G of Gilbreath Hall, Room 201 of Brown Hall

    OFFICE HOURS: MWF 1:40 - 2:35

    E-MAIL: [email protected] , HOMEPAGE: www.etsu.edu/math/gardner/gardner.htm (see my homepage for a copy of this course syllabus and updates for the course).

    TEACHING ASSISTANT: Scott Lavoie OFFICE: Math Lab
    OFFICE HOURS: 11:15-3:15 TR

    ADDITIONAL RESOURCES: Instructor's Solution's Manual by M. Weir, contains worked-out solutions for الكل exercises in the text. Answer Book contains short answers to most exercises in the text. Student Study Guide by M. Weir, gives study tips and additional practice. Student Solutions Manual by M. Weir contains worked-out solutions to all odd-numbered exercises in the text. HP-48G/GX Calculator Enhancement for Science and Engineering Mathematics contains details on using the designated graphing calculator. A copy of each of these additional resources will be on reserve in the library.

    ملاحظة: Calculus is the "mathematics of motion." We will see many applications of the Calculus 1 material which involve motion and dynamics. Because of this connection with the physical sciences, calculus is one of the most applicable areas of mathematics. You will see many of the concepts in this class again if you take the Technical Physics sequence. This material is certainly not easy, though! You should plan on investing a great deal of time in this class. Not only do you have the burden of learning calculus, but you must also deal with this graphing calculator. If you alot an appropriate amount of time for your studies (at least 2 hours outside of class for each hour spent in class) then I think this can be a pleasant and rewarding (intellectually and gradewise) experience!

    GRADING: Your grade will be determined by the average on four tests (T1 - T4) and a comprehensive final (F). Your average is determined by AVERAGE = (T1+T2+T3+T4+2F)/6. Grades will be assigned based on a 10 point scale with "plus" and "minus" grades being assigned as appropriate.

    GATEWAY EXAM: You must pass a "Gateway Exam" to complete this course. I quote from the "Calculus 1 Departmental Exam Home Page ( www.etsu.edu/math/calculus/calc1.htm): "During the tenth week of class, [which will be the week of October 30 -- November 3] there will be a 10 problem examination conducted in each section of MATH 1110, Calculus 1. The examination will consist of 10 multiple choice questions and will have a 30 minute time limit. A score of 7 out of 10 is required for completion of the course. Those who do not achieve a 7 out of 10 during the initial examination will be given opportunities to retake the examination in the Math Lab. Check back on this web page for the times and dates of those offerings. Failure to achieve a score of 7 out of 10 by the end of the semester results in failure of the course.

    The purpose of the examination will be to access each student's acquisition of the basic skills in Calculus. Therefore, NO CALCULATORS OF ANY KIND MAY BE USED DURING THE EXAMINATION. In particular, the gateway exam covers limits and derivatives of polynomials, algebraic functions and the trigonometric functions.''

    This exam will be administered in the Math Lab. A sample Gateway Exam can be found on the internet at: math.etsu.edu/calculus/gate1ann.htm

    MATH LAB: The Mathematics Laboratory is located in Rooms 308 and 309 of Warf-Pickle Hall. It is staffed by graduate students and upper level undergraduates. They are there to help you!

    SUPPLEMENTAL INSTRUCTION: "Supplemental Instruction (SI) is an academic assistance program that increases student performance and retention.

    The SI program targets traditionally difficult academic courses - those that have high percentages of D, F and W.

    The SI leader attends all class meetings, reads assignments, takes notes, and conducts three, one-hour study sessions each week for class members. The SI leader prepares informal quizzes and learning aids for the SI sessions.

    Typically, students attend only one session per week, although some students attend more often.'' (Supplemental Instruction brochure from Student Support Services, TBR 260-045-96 1M)


    Wiley's Decoding Mathematics For JEE, Vol II

    Fundamentals of Mathematics, Volume &ndash II (as per Class 12 syllabus) offers a compelling solution for all CBSE students preparing for JEE and other engineering entrance examinations. The content has been organized to provide a more structured approach to meet the requirements of both JEE and CBSE syllabi. The book offers multidimensional approach of the subject through clear and engaging explanation of concepts aided with interesting coloured figures. Also, the book deals with application-based approach through qualitative problem sets. This book empowers students&rsquo concept building and enhances critical thinking skills in mathematics and its fundamentals.

    عن المؤلف

    A. K. Pandey is a Senior Faculty who trains number of students aspiring for JEE (Main & Advanced) exams. He has been a successful trainer in Mathematics for the last about 16 years who has helped many JEE aspirants in making their Engineering ambitions.


    شاهد الفيديو: التفاضل الضمني الجزء الثاني (شهر اكتوبر 2021).