مقالات

القسم 3.1 الإجابات - الرياضيات


1. (y_ {1} = 1.450000000 ، : y_ {2} = 2.085625000 ، : y_ {3} = 3.079099746 )

2. (y_ {1} = 1.200000000، : y_ {2} = 1.440415946، : y_ {3} = 1.729880994 )

3. (y_ {1} = 1.900000000، : y_ {2} = 1.781375000، : y_ {3} = 1.646612970 )

4. (y_ {1} = 2.962500000 ، : y_ {2} = 2.922635828 ، : y_ {3} = 2.880205639 )

5. (y_ {1} = 2.513274123، : y_ {2} = 1.814517822، : y_ {3} = 1.216364496 )

6.

(س ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 )بالضبط
(1.0)(48.298147362)(51.492825643)(53.076673685)(54.647937102)

7.

(س ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 )بالضبط
(2.0)(1.390242009)(1.370996758)(1.361921132)(1.353193719)

8.

(س ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 ) (ح = 0.0125 )بالضبط
(1.50)(7.886170437)(8.852463793)(9.548039907)(10.500000000)

9.

(س ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 )
(3.0)(1.469458241)(1.462514486)(1.459217010)(0.3210)(0.1537)(0.0753)
حلول تقريبيةالمخلفات

10.

(س ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 )
(2.0)(0.473456737)(0.483227470)(0.487986391)(-0.3129)(-0.1563)(-0.0781)
حلول تقريبيةالمخلفات

11.

(س ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 )"بالضبط"
(1.0)(0.691066797)(0.676269516)(0.668327471)(0.659957689)

12.

(س ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 )"بالضبط"
(2.0)(-0.772381768)(-0.761510960)(-0.756179726)(-0.750912371)

13.

طريقة أويلر
(س ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 )بالضبط
(1.0)(0.538871178)(0.593002325)(0.620131525)(0.647231889)
طريقة أويلر الهلالية
(س ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 )بالضبط
(1.0)(0.647231889)(0.647231889)(0.647231889)(0.647231889)

ينتج عن تطبيق تباين المعلمات على مشكلة القيمة الأولية المحددة (y = ue ^ {- 3x} ) ، حيث (A) (u '= 7، u (0) = 6 ). بما أن (u '' = 0 ) ، ينتج عن طريقة أويلر الحل الدقيق لـ (أ). لذلك فإن طريقة أويلر الخطية تنتج الحل الدقيق للمشكلة المحددة

14.

طريقة أويلر
(س ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 )"بالضبط"
(3.0)(12.804226135)(13.912944662)(14.559623055)(15.282004826)
طريقة أويلر الهلالية
(س ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 )"بالضبط"
(3.0)(15.354122287)(15.317257705)(15.299429421)(15.282004826)

15.

طريقة أويلر
(س ) (ح = 0.2 ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 )"بالضبط"
(2.0)(0.867565004)(0.885719263)(0.895024772)(0.904276722)
طريقة أويلر شبه الخطية
(س ) (ح = 0.2 ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 )"بالضبط"
(2.0)(0.569670789)(0.720861858)(0.808438261)(0.904276722)

16.

طريقة أويلر
(س ) (ح = 0.2 ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 )"بالضبط"
(3.0)(0.922094379)(0.945604800)(0.956752868)(0.967523153)
طريقة أويلر الهلالية
(س ) (ح = 0.2 ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 )"بالضبط"
(3.0)(0.993954754)(0.980751307)(0.974140320)(0.967523153)

17.

طريقة أويلر
(س ) (ح = 0.0500 ) (ح = 0.0250 ) (ح = 0.0125 )"بالضبط"
(1.50)(0.319892131)(0.330797109)(0.337020123)(0.343780513)
طريقة أويلر الهلالية
(س ) (ح = 0.0500 ) (ح = 0.0250 ) (ح = 0.0125 )"بالضبط"
(1.50)(0.305596953)(0.323340268)(0.333204519)(0.343780513)

18.

طريقة أويلر
(س ) (ح = 0.2 ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 )"بالضبط"
(2.0)(0.754572560)(0.743869878)(0.738303914)(0.732638628)
طريقة أويلر الهلالية
(س ) (ح = 0.2 ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 )"بالضبط"
(2.0)(0.722610454)(0.727742966)(0.730220211)(0.732638628)

19.

طريقة أويلر
(س ) (ح = 0.0500 ) (ح = 0.0250 ) (ح = 0.0125 )"بالضبط"
(1.50)(2.175959970)(2.210259554)(2.227207500)(2.244023982)
طريقة أويلر الهلالية
(س ) (ح = 0.0500 ) (ح = 0.0250 ) (ح = 0.0125 )"بالضبط"
(1.50)(2.117953342)(2.179844585)(2.211647904)(2.244023982)

20.

طريقة أويلر
(س ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 )"بالضبط"
(1.0)(0.032105117)(0.043997045)(0.050159310)(0.056415515)
طريقة أويلر شبه الخطية
(س ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 )"بالضبط"
(1.0)(0.056020154)(0.056243980)(0.056336491)(0.056415515)

21.

طريقة أويلر
(س ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 )"بالضبط"
(1.0)(28.987816656)(38.426957516)(45.367269688)(54.729594761)
طريقة أويلر الندوية
(س ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 )"بالضبط"
(1.0)(54.709134946)(54.724150485)(54.728228015)(54.729594761)

22.

طريقة أويلر
(س ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 )"بالضبط"
(3.0)(1.361427907)(1.361320824)(1.361332589)(1.361383810)
طريقة أويلر الندوية
(س ) (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.025 )"بالضبط"
(3.0)(1.291345518)(1.326535737)(1.344004102)(1.361383810)

الرياضيات المتقطعة: مقدمة مفتوحة ، الطبعة الثالثة

تتعثر في اثنين من المتصيدون يلعبون Stratego®. يقولون لك:

القزم 1: إذا كنا أبناء عمومة ، فكلانا خادع.

ترول 2: نحن أبناء عمومة أو كلانا خادع.

هل يمكن أن يكون كلا المتصيدون فرسان؟ تذكر أن جميع المتصيدون هم إما فرسان صريحون دائمًا أو فرسان يكذبون دائمًا.

أ هو مجرد بيان. يدرس الطرق التي يمكن أن تتفاعل بها البيانات مع بعضها البعض. من المهم أن نتذكر أن المنطق الافتراضى لا يهتم حقًا بمحتوى العبارات. على سبيل المثال ، من حيث المنطق الافتراضى ، فإن الادعاءات ، "إذا كان القمر مصنوعًا من الجبن ، فإن كرات السلة تكون مستديرة" ، و "إذا كان للعناكب ثمانية أرجل ، فإن سام يمشي بعرج" هي نفسها تمامًا. كلاهما مدلولات: بيانات النموذج ، (P imp Q text <.> )

جداول الحقيقة الفرعية

إليك سؤال حول لعب Monopoly:

إذا حصلت على مضاعفات أكثر من أي لاعب آخر ، فستخسر ، أو إذا خسرت ، فلا بد أنك اشتريت معظم الممتلكات.

صحيحة أو خاطئة؟ سنجيب على هذا السؤال ، ولن نحتاج إلى معرفة أي شيء عن الاحتكار. بدلا من ذلك سوف ننظر إلى المنطق شكل من البيان.

نحتاج إلى تحديد متى تكون العبارة ((P imp Q) vee (Q imp R) ) صحيحة. باستخدام تعريفات الوصلات في القسم 0.2 ، نرى أنه لكي يكون هذا صحيحًا ، يجب أن يكون (P imp Q ) صحيحًا أو (Q imp R ) يجب أن يكون صحيحًا (أو كلاهما). هذه صحيحة إذا كان إما (P ) خطأ أو (Q ) صحيحًا (في الحالة الأولى) و (Q ) خاطئ أو (R ) صحيح (في الحالة الثانية). لذا - نعم ، يصبح الأمر فوضويًا نوعًا ما. لحسن الحظ ، يمكننا عمل مخطط لتتبع كل الاحتمالات. يدخل . الفكرة هي كالتالي: في كل صف ، ندرج مجموعة محتملة من T و F (للصواب والخطأ) لكل متغير من المتغيرات المرسلة ، ثم حدد ما إذا كانت العبارة المعنية صحيحة أم خاطئة في هذه الحالة. نقوم بذلك لكل مجموعة ممكنة من T و F. ثم يمكننا أن نرى بوضوح في الحالات التي تكون فيها العبارة صحيحة أو خاطئة. بالنسبة إلى العبارات المعقدة ، سنقوم أولاً بملء القيم لكل جزء من العبارة ، كطريقة لتقسيم مهمتنا إلى أجزاء أصغر يسهل التحكم فيها.

نظرًا لأن قيمة الحقيقة للبيان يتم تحديدها تمامًا من خلال قيم الحقيقة لأجزائها وكيفية ارتباطها ، فكل ما تحتاج إلى معرفته حقًا هو جداول الحقيقة لكل من الوصلات المنطقية. ها هم:


إجابات ACT

إليك الإجابات والتفسيرات الخاصة بنا اختبار مجاني لعينة الرياضيات ACT.

الأجوبة والتفسيرات مأخوذة من منطقتنا ACT تحميل الرياضيات.

قبل مراجعة هذه الإجابات والتفسيرات ، يجب عليك أولاً إلقاء نظرة على معادلات الرياضيات للامتحان.

أجوبة ACT على أمثلة المشاكل

4. 25x 2 − 20س ص + 4ذ 2

7. x التقاطع = (3 ، 0) تقاطع y = (0 ، 27)

شروحات للإجابات

إجابات ACT & # 8211 السؤال 1: الإجابة الصحيحة هي 20 مجموعة.

انظر إلى المعادلة والمشكلة واستبدل قيم S و N:

(6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) ÷ [(6 − 3) ! × (3 !)] =

(6 × 5 × 4 × 3 × 2) ÷ [(3 !) × (3 × 2 × 1)] =

(6 × 5 × 4 × 3 × 2) ÷ [(3 × 2 × 1) × 6] =

بمعنى آخر ، يمكن تكوين 20 مجموعة مختلفة من ثلاثة أحرف من مجموعة من ستة أحرف مختلفة.

إجابات ACT & # 8211 السؤال 2: الإجابة الصحيحة هي (−2 ، −3).

يتم تمثيل نقاط المنتصف بإحداثيات (س ، ص) لإجابتك النهائية:

إجابات ACT & # 8211 السؤال 3: الإجابة الصحيحة هي 5 4 = 625.

أ = سجلبc دائمًا هو نفسه: b a = c

إجابات ACT & # 8211 السؤال 4: الإجابة الصحيحة هي 25x 2 − 20س ص + 4ذ 2 .

(5x − 2ذ) 2 = (5x − 2ذ)(5x − 2ذ)

باستخدام طريقة FOIL ، نرى أن أول حد هو 5x و 5x: (5x − 2ذ)(5x − 2ذ)

أولا: 5x × 5x = 25x 2

الشروط الخارجية هي 5x و −2ذ: (5x − 2ذ)(5x2ذ)

خارج: 5x × −2ذ = −10س ص

الحدود الداخلية هي −2ذ و 5x: (5x2ذ)(5x − 2ذ)

الداخل: −2ذ × 5x = −10س ص

الشروط الأخيرة هي −2ذ و −2ذ: (5x2ذ)(5x2ذ)

الأخير: −2ذ × −2ذ = 4ذ 2

أضف هذه للنتيجة النهائية الخاصة بك:

25x 2 − 10س ص − 10س ص + 4ذ 2 =

25x 2 − 20س ص + 4ذ 2

إجابات ACT & # 8211 السؤال 5: الإجابة الصحيحة هي 0.33π

تذكر أن صيغة مساحة الدائرة هي: π × نصف القطر 2

مساحة الدائرة B: 0.7 2 π = 0.49π

مساحة الدائرة C: 0.4 2 π = 0.16π

لتحديد مساحة الدائرة B أكبر من الدائرة C ، نطرح بعد ذلك:

الأجوبة & # 8211 السؤال 6: الإجابة الصحيحة هي 1.8π.

صيغة حساب محيط الدائرة هي: π × القطر

تذكر أن القطر يساوي نصف القطر × 2.

الإجابات & # 8211 السؤال 7: x التقاطع = (3 ، 0) وتقاطع y = (0 ، 27)
الأجوبة & # 8211 السؤال 8: الإجابة الصحيحة هي 6 تبديلات.

تذكر صيغة التباديل: N! ÷ (N - S)!

عندما ترى علامة التعجب في معادلات مثل (N!) ، يجب عليك ضرب هذا الرقم في كل رقم أقل منه.

على سبيل المثال ، 4! = 4 × 3 × 2 × 1

في هذا السؤال ، N = 3 و S = 2

بمعنى آخر ، يمكن إجراء 6 تباديل من حرفين من هذه المجموعة المكونة من 3 أحرف.

الأجوبة & # 8211 السؤال 9: الإجابة الصحيحة هي 4.5

استبدل القيم وحلها.

الأجوبة & # 8211 السؤال 10: الإجابة الصحيحة هي 192π

حجم المخروط: (π × نصف القطر 2 × الارتفاع) ÷ 3

ستعرف الآن أن القطر يساوي ضعف نصف القطر. في هذه المسألة ، نصف القطر يساوي 8.

لذلك نعوض بالقيم لنحصل على الحجم:

إجابات ACT & # 8211 السؤال 11: الإجابة الصحيحة هي 35 وحدة.

معادلة مساحة المستطيل هي: الطول × العرض

استبدل قيم الطول والعرض الموضحة في السؤال لتحديد المساحة:

الأجوبة & # 8211 السؤال 12: الإجابة الصحيحة هي 9.

صيغة لحساب مساحة المثلث: (القاعدة × الارتفاع) ÷ 2

مساحة المثلث = (3 × 6) ÷ 2 = 18 2 = 9

الأجوبة & # 8211 السؤال 13: الإجابة الصحيحة هي 18 وحدة.

ها هي صيغة حساب محيط المربعات والمستطيلات:

لذلك يتم حساب المحيط على النحو التالي:

الإجابات & # 8211 السؤال 14: الإجابة الصحيحة هي x + 2

انظر إلى المصطلح والعدد الصحيح في المجموعة الأولى من الأقواس.

الرقم 4 في المجموعة الأولى من الأقواس يصبح −4 لأن العدد الصحيح يسبقه علامة الطرح.

علينا قسمة −4 على −2 ، لأن −2 هو العدد الصحيح في المجموعة الثانية من الأقواس.

لذلك يتم التعبير عن النتيجة كـ (x + 2).

الإجابات & # 8211 السؤال 15: الإجابة الصحيحة هي x = 4

لحل هذا النوع من المسائل ، قم بضرب العناصر الموجودة بين الأقواس أولاً.

ثم انقل العدد الصحيح إلى الجانب الآخر من المعادلة.

حقوق النشر والنسخ 2018-2020. وسائل الإعلام الامتحان دراسة وسائل الإعلام.
كل الحقوق محفوظة.

ACT هي علامة تجارية لشركة ACT، Inc ، والتي لا تنتمي إلى هذا الموقع ولا تؤيده.


القسم 3.1 الإجابات - الرياضيات

هناك موضوع واحد أخير للمناقشة في هذا القسم. يمكن تبسيط أخذ مشتقات بعض الدوال المعقدة باستخدام اللوغاريتمات. هذا يسمي التمايز اللوغاريتمي.

من الأسهل أن ترى كيف يعمل هذا في مثال.

يمكن التفريق بين هذه الوظيفة باستخدام قاعدة حاصل الضرب وقاعدة حاصل القسمة. ومع ذلك ، ستكون هذه عملية فوضوية إلى حد ما. يمكننا تبسيط الأشياء إلى حد ما عن طريق أخذ لوغاريتمات كلا الطرفين.

بالطبع ، هذا ليس أبسط حقًا. ما علينا فعله هو استخدام خصائص اللوغاريتمات لفك الجانب الأيمن على النحو التالي.

[يبدأ ln y & = ln يسار (<> right) - ln left (< left (<1 - 10x> right) sqrt <+ 2>> right) ln y & = ln left (<> right) - ln left (<1 - 10x> right) - ln left (< sqrt <+ 2>> right) النهاية]

هذا لا يبدو بهذه البساطة. ومع ذلك ، فإن عملية التفاضل ستكون أبسط. ما علينا فعله في هذه المرحلة هو اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى (x ). لاحظ أن هذا بالفعل تفاضل ضمني.

لإنهاء المشكلة ، كل ما علينا القيام به هو ضرب كلا الجانبين في (y ) والمكون الإضافي لـ (y ) لأننا نعرف ما هو هذا.

اعتمادًا على الشخص ، قد يكون القيام بذلك أسهل قليلاً من تنفيذ قاعدة حاصل الضرب والمنتج. من المؤكد تقريبًا أن الإجابة أبسط مما كنا سنحصل عليه باستخدام قاعدة الضرب والحاصل.

لذلك ، كما أوضح المثال الأول ، يمكننا استخدام التفاضل اللوغاريتمي لتجنب استخدام قاعدة المنتج و / أو قاعدة حاصل القسمة.

يمكننا أيضًا استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي لاشتقاق الدوال في الصورة.

دعونا نلقي نظرة سريعة على مثال بسيط على ذلك.

لقد رأينا وظيفتين مشابهتين لهذا في هذه المرحلة.

لن يعمل أي منهما هنا لأن كلاهما يتطلب أن يكون الأساس أو الأس ثابتًا. في هذه الحالة ، يعتبر كل من الأساس والأس متغيرين ، وبالتالي لا يمكننا تمييز هذه الوظيفة باستخدام القواعد المعروفة فقط من الأقسام السابقة.

لكن مع الاشتقاق اللوغاريتمي ، يمكننا فعل ذلك. خذ أولاً لوغاريتم كلا الطرفين كما فعلنا في المثال الأول واستخدم خصائص اللوغاريتم لتبسيط الأمور قليلاً.

ميّز كلا الطرفين باستخدام الاشتقاق الضمني.

[ فارك <> = ln x + x يسار (< frac <1>> right) = ln x + 1 ]

كما هو الحال مع المثال الأول ، اضرب في (y ) واستبدل مرة أخرى بـ (y ).

دعونا نلقي نظرة على مثال أكثر تعقيدًا على ذلك.

الآن ، هذا يبدو أكثر تعقيدًا من المثال السابق ، لكنه في الواقع أكثر تعقيدًا بعض الشيء. العملية متطابقة إلى حد كبير ، لذلك نأخذ أولًا لوغاريتم كلا الطرفين ثم نبسط الطرف الأيمن.

بعد ذلك ، قم ببعض التفاضل الضمني.

[ فارك <> = - sin left (x right) ln left (<1 - 3x> right) + cos left (x right) frac << - 3 >> << 1-3x >> = - sin left (x right) ln left (<1 - 3x> right) - cos left (x right) frac <3> << 1 - 3x >> ]

أخيرًا ، حل من أجل (y ') واستبدل مرة أخرى بـ (y ).

إجابة فوضوية ولكن ها هي.

سنختتم هذا القسم بملخص سريع لجميع الطرق المختلفة التي رأيناها للتمييز بين الدالات مع الأسس. من المهم عدم الخلط بين كل هذه الأشياء.

من السهل أحيانًا الخلط بين هذه الوظائف المختلفة واستخدام قاعدة خاطئة للتفاضل. تذكر دائمًا أن كل قاعدة لها قواعد محددة جدًا للمكان الذي يجب أن يكون فيه المتغير والثوابت. على سبيل المثال ، تتطلب قاعدة القوة أن يكون الأساس متغيرًا وأن يكون الأس ثابتًا ، بينما تتطلب الوظيفة الأسية العكس تمامًا.


3.1.2 الكسور والكسور العشرية والنسب المئوية

محتوى أساسي إضافي

تعمل بالتبادل مع الكسور العشرية النهائية والكسور المقابلة لها (مثل 3.5 و أو 0.375 و

تغيير الكسور العشرية المتكررة إلى الكسور المقابلة لها والعكس صحيح

ملاحظات: بما في ذلك الطلب.

محتوى أساسي إضافي

تحديد والعمل مع الكسور في مسائل النسبة

ملاحظات: انظر أيضا R8

محتوى أساسي إضافي

تفسير الكسور والنسب المئوية على أنها عوامل

ملاحظات: بما في ذلك تفسير مشاكل النسبة المئوية باستخدام المضاعف. انظر أيضًا R9


وظائف من الدرجة الثانية المحتويات: تتوافق هذه الصفحة مع القسم 3.1 (ص 244) من النص. المشاكل المقترحة من النص: ص. 251 # 1-8 ، 10 ، 11 ، 15 ، 16 ، 18 ، 19 ، 21 ، 23 ، 24 ، 30 ، 33 ، 37 ، 38 ، 75 الرسوم البيانية

الدالة التربيعية هي إحدى الصيغة f (x) = ax 2 + bx + c ، حيث a و b و c أرقام لا تساوي صفرًا.

الرسم البياني للدالة التربيعية هو منحنى يسمى القطع المكافئ. قد تفتح القطع المكافئة لأعلى أو لأسفل وتتنوع في & quotwidth & quot أو & quotsteepness & quot ، لكن جميعها لها نفس الشكل الأساسي & quotU & quot. توضح الصورة أدناه ثلاثة رسوم بيانية ، وكلها قطوع مكافئة.

جميع القطع المكافئة متناظرة بالنسبة لخط يسمى محور التناظر. يتقاطع القطع المكافئ مع محور التناظر عند نقطة تسمى قمة القطع المكافئ.

أنت تعلم أن النقطتين تحددان الخط. هذا يعني أنه إذا تم إعطاؤك أي نقطتين في المستوى ، فسيكون هناك سطر واحد فقط يحتوي على كلتا النقطتين. يمكن إجراء بيان مماثل حول النقاط والوظائف التربيعية.

بالنظر إلى ثلاث نقاط في المستوى لها إحداثيات أولية مختلفة ولا تقع على خط ، توجد دالة تربيعية واحدة بالضبط f يحتوي رسمها البياني على النقاط الثلاث. الصغير أدناه يوضح هذه الحقيقة. يحتوي الرسم البياني على ثلاث نقاط وقطع مكافئ يمر عبر الثلاث نقاط. تظهر الوظيفة المقابلة في مربع النص أسفل الرسم البياني. إذا قمت بسحب أي من النقاط ، فسيتم تحديث الوظيفة والقطع المكافئ.

يمكن رسم العديد من الوظائف التربيعية بسهولة يدويًا باستخدام تقنيات التمدد / الانكماش والتحويل (ترجمة) القطع المكافئ y = x 2. (انظر القسم الخاص بمعالجة الرسوم البيانية.)

ارسم الرسم البياني لـ y = x 2/2. بدءًا من التمثيل البياني لـ y = x 2 ، فإننا نتقلص بمقدار النصف. هذا يعني أنه لكل نقطة على التمثيل البياني لـ y = x 2 ، نرسم نقطة جديدة نصف المسافة من المحور x إلى تلك النقطة.

ارسم الرسم البياني لـ y = (x - 4) ^ 2 - 5. نبدأ بالرسم البياني لـ y = x 2 ، ونزاح 4 وحدات لليمين ، ثم 5 وحدات لأسفل.

(أ) ارسم الرسم البياني لـ y = (x + 2) 2 - 3. الإجابة

(ب) ارسم الرسم البياني لـ y = - (x - 5) 2 + 3. الإجابة

النموذج القياسي

الوظائف في الجزأين (أ) و (ب) من التمرين 1 هي أمثلة للوظائف التربيعية في الشكل القياسي. عندما تكون دالة تربيعية في شكل قياسي ، فمن السهل رسم رسمها البياني من خلال عكس وتحويل وتمديد / تقليص القطع المكافئ y = x 2.

يُقال أن الدالة التربيعية f (x) = a (x - h) 2 + k ، a لا تساوي صفرًا ، في الصورة القياسية. إذا كان a موجبًا ، يفتح الرسم البياني لأعلى ، وإذا كان a سالبًا ، فإنه يفتح للأسفل. خط التماثل هو الخط العمودي x = h ، والرأس هو النقطة (h، k).

يمكن إعادة كتابة أي دالة تربيعية في شكل قياسي بإكمال المربع. (راجع القسم الخاص بحل المعادلات جبريًا لمراجعة إكمال المربع.) الخطوات التي نستخدمها في هذا القسم لإكمال المربع ستبدو مختلفة بعض الشيء ، لأن هدفنا الرئيسي هنا ليس حل المعادلة.

لاحظ أنه عندما تكون الدالة التربيعية في الشكل القياسي ، فمن السهل أيضًا إيجاد أصفارها من خلال مبدأ الجذر التربيعي.

اكتب الدالة f (x) = x 2-6x + 7 في الصورة القياسية. ارسم التمثيل البياني لـ f وابحث عن أصفاره ورأسه.

و (س) = س 2-6 س + 7.

= (x 2 - 6x) + 7. اجمع حدي x 2 و x ثم أكمل المربع وفقًا لهذه الشروط.

= (س 2-6 س + 9-9) + 7.

نحتاج إلى إضافة 9 لأنه مربع نصف معامل x ، (-6/2) 2 = 9. عندما كنا نحل معادلة ، أضفنا 9 إلى كلا طرفي المعادلة. في هذا الإعداد نجمع ونطرح 9 حتى لا نغير الوظيفة.

= (x 2-6x + 9) - 9 + 7. نرى أن x 2-6x + 9 مربع كامل ، أي (x - 3) 2.

f (x) = (x - 3) 2 - 2. هذه هي الصيغة القياسية.

من هذه النتيجة ، يجد المرء بسهولة رأس الرسم البياني لـ f هو (3 ، -2).

لإيجاد أصفار f ، نساوي f بالصفر ونوجد قيمة x.

(س - 3) 2-2 = 0.

(س - 3) 2 = 2.

(س - 3) = & plusmn sqrt (2).

س = 3 & plusmn sqrt (2).

لرسم التمثيل البياني لـ f ، قمنا بإزاحة التمثيل البياني لـ y = x 2 ثلاث وحدات إلى اليمين ووحدتان لأسفل.

إذا كان معامل x 2 ليس 1 ، فيجب علينا تحليل هذا المعامل من حدي x 2 و x قبل المتابعة.

اكتب f (x) = -2x 2 + 2x + 3 في الصورة القياسية وأوجد رأس التمثيل البياني لـ f.

و (س) = -2 س 2 + 2 س + 3.

= (-2 س 2 + 2 س) + 3.

= -2 (س 2 - س) + 3.

= -2 (× 2 - س + 1/4 - 1/4) + 3.

نجمع ونطرح 1/4 ، لأن (-1/2) 2 = 1/4 ، و -1 هو معامل س.

لاحظ أن كل شيء بين القوسين مضروب في -2 ، لذلك عندما نزيل -1/4 من الأقواس ، يجب أن نضربه في -2.

الرأس هو النقطة (1/2 ، 7/2). نظرًا لأن الرسم البياني يفتح لأسفل (-2 & lt 0) ، فإن الرأس هو أعلى نقطة على الرسم البياني.

اكتب f (x) = 3x 2 + 12x + 8 بالصيغة القياسية. ارسم التمثيل البياني لـ f ، وابحث عن رأسه ، وابحث عن أصفار f. إجابه

طريقة بديلة لإيجاد الرأس

في بعض الحالات ، لا يكون إكمال المربع أسهل طريقة لإيجاد رأس القطع المكافئ. إذا كان الرسم البياني للدالة التربيعية يحتوي على نقطتي تقاطع x ، فإن خط التناظر هو الخط العمودي عبر نقطة منتصف التقاطع x.

تقع تقاطعات x للرسم البياني أعلاه عند -5 و 3. يمر خط التناظر خلال -1 ، وهو متوسط ​​-5 و 3. (-5 + 3) / 2 = -2/2 = -1 . بمجرد أن نعلم أن خط التماثل هو x = -1 ، فإننا نعرف أن أول إحداثي للرأس هو -1. يمكن إيجاد الإحداثي الثاني للرأس عن طريق حساب الدالة عند x = -1.

أوجد رأس التمثيل البياني لـ f (x) = (x + 9) (x - 5).

نظرًا لتحليل صيغة f إلى عوامل ، فمن السهل إيجاد الأصفار: -9 و 5.

متوسط ​​الأصفار هو (-9 + 5) / 2 = -4/2 = -2. إذن ، خط التماثل هو x = -2 والإحداثي الأول للرأس هو -2.

الإحداثي الثاني للرأس هو f (-2) = (-2 + 9) (- 2-5) = 7 * (- 7) = -49.

إذن ، رأس التمثيل البياني لـ f هو (-2 ، -49).

التطبيقات

مزرعة لها 600 متر من السياج لإحاطة حظيرة مستطيلة بسياج آخر يقسمها في المنتصف كما في الرسم التخطيطي أدناه.

كما هو موضح في الرسم التخطيطي ، سيكون طول الأقسام الأفقية الأربعة للسياج x متر وطول الأقسام الثلاثة الرأسية كل منها y متر.

هدف صاحب المزرعة هو استخدام كل السياج وإحاطة أكبر مساحة ممكنة.

لكل مستطيل مساحة xy ، لذلك لدينا

المساحة الإجمالية: A = 2xy.

لا يوجد الكثير الذي يمكننا فعله بالكمية أ بينما يتم التعبير عنها كمنتج من متغيرين. ومع ذلك ، فإن حقيقة أن لدينا 1200 متر فقط من السياج المتاح تؤدي إلى معادلة يجب أن يفي بها x و y.

3 س + 4 س = 1200.

3 ص = 1200 - 4 س.

ص = 400 - 4x / 3.

لدينا الآن y معبرًا عنها كدالة في x ، ويمكننا التعويض عن y بهذا المقدار في صيغة المساحة الكلية A.

أ = 2 س ص = 2 س (400 -4 س / 3).

علينا إيجاد قيمة x التي تجعل A أكبر ما يمكن. A دالة تربيعية لـ x ، ويفتح الرسم البياني لأسفل ، وبالتالي فإن أعلى نقطة على التمثيل البياني لـ A هي الرأس. نظرًا لتحليل A إلى عوامل ، فإن أسهل طريقة لإيجاد الرأس هي إيجاد تقاطع x والمتوسط.

2x (400-4x / 3) = 0.

2x = 0 أو 400-4x / 3 = 0.

س = 0 أو 400 = 4x / 3.

س = 0 أو 1200 = 4x.

س = 0 أو 300 = س.

إذن ، خط تماثل التمثيل البياني لـ A هو x = 150 ، متوسط ​​0 و 300.

الآن وقد عرفنا قيمة x المقابلة لأكبر مساحة ، يمكننا إيجاد قيمة y بالرجوع إلى المعادلة المتعلقة بـ x و y.


مفتاح الإجابة عن مشكلة الجبر

5 س + 3 = 7 س & # 8211 1
أولا نحن بحاجة إلى جمع الشروط المتشابهة
الثاني هو التراجع عن الجمع والطرح
الثالث والأخير هو التراجع عن الضرب والقسمة
لذا مرة أخرى ، فإن الخطوة الأولى هي وضع 5x و 7x في جانب واحد = 7x-5x
ثانيًا ضع 3 و 1 في جانب واحد = 7x - 5x = 3 + 1
الآن سنحل الإجابة = 2x = 4
الآن سوف نقسم على كلا الجانبين
2 س / 2 = 4/2
الجواب الآن هو x = 2

1. حل الفيديو

5 س + 2 (س + 7) = 14 س - 7
5 س + 2 س + 14 = 14 س - 7
7 س + 14 = 14 س - 7
7 س - 14 س = -14 - 7
-7 س = -21
س = 3

2. حل الفيديو

3. حل الفيديو

5 (ض + 1) = 3 (ض + 2) + 11. ع =؟
5 ع + 5 = 3 ع + 6 + 11
5 ع + 5 = 3 ع + 17
5 ع = 3 ع + 17-5
5z - 3z = 12
2 ز = 12
ض = 6

4. حل الفيديو

مفتاح الحل

5. د
ارتفع السعر من 20 دولارًا أمريكيًا إلى 25 دولارًا أمريكيًا (5 دولارات أمريكية) ، لذا فإن السؤال هو 5 ما هي النسبة المئوية من 20. أو 5/20 = س / 100500/20 = 25٪

7. د
في المرة الأولى ، أجاب برايان على 150 سؤالاً بشكل صحيح وفي المرة الثانية أجاب بنسبة 30٪ بشكل أكثر صحة ، لذا ،
150 + (30/100 * 150) 30٪ من 150 = 45 ، أو (30 * 150) / 100
إذًا 150 + 45 = 195

دعنا نسمي هذا الرقم بـ x:

يتم زيادة هذا الرقم بمقدار 2: x + 2

ثم يتم ضربها في 3: 3 (x + 2)

النتيجة هي 24: 3 (س + 2) = 24 ... لحل هذه المعادلة الخطية نحصل على قيمة الرقم:

أخي أكبر مني بثلاث سنوات: x + 3

والدي أقل بثلاث مرات من عمري مرتين: 2x - 3

عمر والدي مقسومًا على 5 يساوي عمر أخي مقسومًا على 3: (2x - 3) / 5 = (x + 3) / 3

عمر والدي: 2. 24-3 = 48-3 = 45

يوجد كسرين يحتويان على x والمقامان مختلفان. أولًا ، دعونا نجد مقامًا مشتركًا لتبسيط التعبير. المضاعف المشترك الأصغر للعددين 4 و 7 هو 28. ثم ،

7 (x - 2) / 28-4 (3x + 5) / 28 = & # 8211 3. 28/28 ... بما أن كلا الجانبين مكتوبان في المقام 28 الآن ، يمكننا حذفهما:

يمكننا اتباع طريقة من الخارج إلى الداخل لحل هذا النوع من المشاكل. x في الجزء الداخلي من هذا الكسر ، إذن ، نحتاج إلى تضييق الدائرة للوصول إلى x:

هذا يعني أن (1 + 1 / (1 - 1 / x)) يساوي 1/4. ثم،

هذا يعني أن 1 - 1 / x = & # 8211 4/3. ثم،

كتب بواسطة، بريان ستوكر ماجستير ، Complete Test Preparation Inc.

تاريخ نشر: الخميس 11 أكتوبر 2012
التاريخ عدل: الخميس 25 فبراير 2021

أسئلة ممارسة المفردات
أسئلة ممارسة الجبر المتقدمة

ربما يعجبك أيضا

دروس فيديو أساسية في الرياضيات

كيف تجيب الرياضيات الأساسية متعددة الاختيارات

كيفية حل المتباينات & # 8211 مراجعة سريعة وممارسة

  • لعبة عدد صحيح من 2 إلى 4 لاعبين.
  • السنة 9 إلى 11
  • اكتب على؟ نعم
  • أجوبة؟ لا
    الصفحة 2

ملاحظة حول مستويات العام

عند الاقتضاء ، يتم إعطاء كل ورقة عمل مستوى السنة التي تنطبق عليها. نظرًا لأننا جميعًا في بلدان مختلفة ، فإن المستوى العام يتوافق مع عدد السنوات في المدرسة. لذلك ، على سبيل المثال ، ورقة العمل الخاصة بالصف الحادي عشر مخصصة للطلاب في الصف الحادي عشر من المدرسة.
قد تظل أوراق العمل الخاصة بالسنوات السابقة أو اللاحقة مناسبة لك.

يرجى ملاحظة: هذه خدمة مجانية ويتم توفير أوراق العمل هذه على أساس "كما هي". لن ندخل في أي مراسلات حول محتوى أوراق العمل أو الأخطاء أو الإجابات أو الرسوم الدراسية.

& نسخ حقوق النشر 2000 إلى 2018 Funmaths.com. كل الحقوق محفوظة.

تم بذل كل الجهود لمصدر مواد حقوق التأليف والنشر. إذا لم يتم تقديم الإقرار المناسب بمواد حقوق النشر ، نود تصحيح ذلك. الرجاء التواصل معنا.


القسم 3.1 الإجابات - الرياضيات

مرحبًا بك في WEB MATH MINUTE. سيساعدك هذا الموقع في طباعة أوراق الرياضيات لممارسة الرياضيات.

ما هي ورقة MATH MINUTE؟
إنها ورقة بها 50 سؤالاً في الرياضيات. الهدف هو معرفة عدد الإجابات التي يمكن للطالب حسابها في دقيقة واحدة.

لماذا الورق؟
لا يزال يتعين على بعض الطلاب كتابة الاختبارات باستخدام أقلام الرصاص على الورق في المدرسة ، لذلك يمكن لهذا الموقع الإلكتروني إنشاء أوراق يمكنك طباعتها على طابعتك. يمكنك أيضًا ممارسة دقائق الرياضيات عبر الإنترنت إذا كنت تفضل ذلك.

حسنًا ، ماذا سنفعل؟
للبدء ، اختر ما إذا كنت تريد طباعة الأوراق على الورق ، أو التدريب عبر الإنترنت بالنقر فوق أحد الأزرار أدناه.


أو

ميزات جديدة
& bull Half-sheets - اطبع اختبارين للرياضيات على ورقة واحدة ، بحيث يمكنك قصها إلى نصفين وتوفير الورق.
& bull رقم محدد - حدد رقمًا محددًا لممارسة الضرب أو أي معادلة أخرى.
& bull Mix it up - حدد الجمع والطرح ، أو الضرب والقسمة ، كل ذلك في نفس الاختبار.


هل لدى أي شخص جميع إجابات McGraw-Hill Connect؟

الحقيقة المحزنة للعديد من الطلاب الذين يبحثون عن طريقة سهلة لإجراء الاختبارات عبر الإنترنت هي أنه لا يوجد شخص لديه الإجابات. لا يوجد مفتاح إجابة رياضي سحري لـ McGraw-Hill Connect. أي شخص يخبرك بخلاف ذلك يكذب ويحاول بيعك الأكاذيب. لا تفكر حتى في شراء إجابات من مواقع الويب أو الأشخاص الذين يعلنون أن لديهم جميع الإجابات. لا يفعلون ذلك! لماذا يستحيل على أي شخص الحصول على مفتاح إجابات McGraw-Hill المتصل؟ لأن الأسئلة مخصصة وتختلف من معلم لآخر. يمكن للمدرس فقط الوصول إلى الإجابات.

ولكن هناك أشخاص يبيعون إجابات McGraw-Hill Connect عبر الإنترنت

نعم نحن نعلم. هناك أشخاص يبيعون غبار النجوم أيضًا. هل هذا يعني أن غبار النجوم موجود بالفعل؟ لا! لذا فإن الأشخاص الذين يدعون أن لديهم مفتاح الإجابة المحاسبية لـ McGraw-Hill Connect يكذبون فقط للحصول على أموالك. مدرسك فقط هو الذي يعرف الإجابات لأن الأسئلة مخصصة - ولا يمكننا التأكيد على هذا بما فيه الكفاية. هذا يعني أنه يجب عليك الابتعاد عن أي شخص يحاول بيع الإجابات "الصحيحة" لك. لكن هذا لا يعني أن الطلاب ليس لديهم أي خيار. هناك خيار ، ونعم ، يشمل المال. ومع ذلك ، يمكنك التأكد من حصولك على الإجابات الصحيحة حقًا وأنك ستجتاز الاختبار بألوان متطايرة. الأمر بسيط جدًا في الواقع.


شاهد الفيديو: Wiskunde Getal en ruimte 1HV Hoofdstuk 3 Antwoorden diagnostische toets (شهر اكتوبر 2021).