مقالات

6.5: حل تطبيقات المعادلات التربيعية


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • حل التطبيقات على غرار المعادلات التربيعية

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. مجموع رقمين فرديين متتاليين هو (- 100 ). أوجد الأرقام.
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 2.18.
  2. حل: ( frac {2} {x + 1} + frac {1} {x-1} = frac {1} {x ^ {2} -1} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 7.35.
  3. أوجد طول وتر المثلث القائم الزاوية بأرجل (5 ) بوصة و (12 ) بوصة.
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 2.34.

حل التطبيقات المنمذجة بواسطة المعادلات التربيعية

لقد حللنا بعض التطبيقات التي تم نمذجتها بواسطة المعادلات التربيعية سابقًا ، عندما كانت الطريقة الوحيدة لحلها هي التحليل إلى عوامل. الآن بعد أن أصبح لدينا المزيد من الطرق لحل المعادلات التربيعية ، سنلقي نظرة أخرى على التطبيقات.

دعونا أولاً نلخص الطرق التي لدينا الآن لحل المعادلات التربيعية.

طرق حل المعادلات التربيعية

  1. التخصيم
  2. خاصية الجذر التربيعي
  3. استكمال الساحة
  4. الصيغة التربيعية

أثناء حل كل معادلة ، اختر الطريقة الأكثر ملاءمة لك لحل المشكلة. للتذكير ، سننسخ إستراتيجيتنا المعتادة لحل المشكلات هنا حتى نتمكن من اتباع الخطوات.

استخدم إستراتيجية حل المشكلات

  1. يقرأ المشكلة. تأكد من فهم كل الكلمات والأفكار.
  2. تحديد ما نبحث عنه.
  3. اسم ما نبحث عنه. اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.
  4. يترجم في معادلة. قد يكون من المفيد إعادة صياغة المشكلة في جملة واحدة بكل المعلومات المهمة. ثم ترجم الجملة الإنجليزية إلى معادلة جبرية.
  5. يحل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر.
  6. الشيك الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
  7. إجابه السؤال بجملة كاملة.

لقد حللنا تطبيقات الأرقام التي تضمنت أعدادًا صحيحة زوجية وفردية متتالية ، من خلال نمذجة الموقف باستخدام معادلات خطية. تذكر أننا لاحظنا أن كل عدد صحيح زوجي (2 ) أكبر من الرقم الذي يسبقه. إذا استدعينا الأول (n ) ، فإن التالي هو (n + 2 ). سيكون التالي (n + 2 + 2 ) أو (n + 4 ). هذا صحيح أيضًا عندما نستخدم الأعداد الصحيحة الفردية. مجموعة واحدة من الأعداد الصحيحة الزوجية ومجموعة واحدة من الأعداد الصحيحة الفردية موضحة أدناه.

( begin {array} {cl} {} & { text {أعداد صحيحة متتالية}} {} & {64،66،68} {n} & {1 ^ { text {st}} نص {عدد صحيح}} {n + 2} & {2 ^ { نص {nd}} نص {عدد صحيح متتالي}} {n + 4} & {3 ^ { نص {rd} } نص {عدد صحيح متتالي}} نهاية {مجموعة} )

( start {array} {cl} {} & { text {أعداد صحيحة فردية متتالية}} {} & {77،79،81} {n} & {1 ^ { text {st}} text {عدد صحيح فردي}} {n + 2} & {2 ^ { text {nd}} نص {عدد صحيح فردي متتالي}} {n + 4} & {3 ^ { text {rd} } نص {عدد صحيح فردي متتالي}} نهاية {مجموعة} )

يتم نمذجة بعض تطبيقات الأعداد الصحيحة الفردية أو الزوجية المتتالية بواسطة المعادلات التربيعية. سيكون التدوين أعلاه مفيدًا عند تسمية المتغيرات.

مثال ( PageIndex {1} )

حاصل ضرب عددين فرديين متتاليين هو (195 ). أوجد الأعداد الصحيحة.

حل:

الخطوة 1: يقرأ المشكلة

الخطوة 2: تحديد ما نبحث عنه.

نحن نبحث عن رقمين صحيحين فرديين متتاليين.

الخطوه 3: اسم ما نبحث عنه.

دع (n = ) أول عدد صحيح فردي.

(n + 2 = ) العدد الصحيح الفردي التالي.

الخطوة 4: يترجم في معادلة. اذكر المشكلة في جملة واحدة.

"حاصل ضرب عددين فرديين متتاليين هو (195 )." حاصل ضرب العدد الصحيح الفردي الأول والثاني هو (195 ).

ترجم إلى معادلة.

(n (n + 2) = 195 )

الخطوة الخامسة: يحل المعادلة. نشر.

(n ^ {2} +2 n = 195 )

اكتب المعادلة في الصورة القياسية.

(n ^ {2} +2 n-195 = 0 )

عامل.

((ن + 15) (ن -13) = 0 )

استخدم خاصية المنتج الصفري.

(n + 15 = 0 رباعي n-13 = 0 )

حل كل معادلة.

(n = -15، quad n = 13 )

هناك قيمتان لـ (n ) وهما حلان. سيعطينا هذا زوجين من الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية لحلنا.

( start {array} {cc} { text {أول عدد صحيح فردي} n = 13} & { text {أول عدد صحيح فردي} n = -15} { text {العدد الصحيح الفردي التالي} n + 2} & { text {العدد الصحيح الفردي التالي} n + 2} {13 + 2} & {-15 + 2} {15} & {-13} end {array} )

الخطوة 6: الشيك الاجابة.

هل تعمل هذه الأزواج؟ هل هي أعداد صحيحة فردية متتالية؟

( begin {align} 13،15 & text {yes} - 13، -15 & text {yes} end {align} )

هل منتجهم (195 )؟

( begin {align} 13 cdot 15 & = 195 & text {yes} - 13 (-15) & = 195 & text {yes} end {align} )

الخطوة 7: إجابه السؤال.

رقمان صحيحان فرديان متتاليان يكون ناتجهما (195 ) هو (13،15 ) و (- 13 ، -15 ).

تمرين ( PageIndex {1} )

حاصل ضرب عددين فرديين متتاليين هو (99 ). أوجد الأعداد الصحيحة.

إجابه

العددان الصحيحان الفرديان المتتاليان يكون حاصل ضربهما (99 ) هو (9 ، 11 ) ، و (- 9 ، −11 ).

تمرين ( PageIndex {2} )

حاصل ضرب عددين صحيحين متتاليين هو (168 ). أوجد الأعداد الصحيحة.

إجابه

الرقمان الصحيحان المتتاليان اللذان يكون حاصل ضربهما (128 ) هما (12 ، 14 ) و (- 12 ، −14 ).

سنستخدم صيغة مساحة المثلث لحل المثال التالي.

التعريف ( PageIndex {1} )

مساحة المثلث

بالنسبة للمثلث ذي القاعدة ، (b ) ، والارتفاع ، (h ) ، تُعطى المساحة (A ) بواسطة الصيغة (A = frac {1} {2} bh ) .

تذكر أنه عندما نحل التطبيقات الهندسية ، من المفيد رسم الشكل.

مثال ( PageIndex {2} )

مهندس معماري يصمم مدخل مطعم. تريد وضع نافذة مثلثة فوق المدخل. نظرًا لقيود الطاقة ، لا يمكن أن تحتوي النافذة إلا على مساحة (120 ) قدم مربع ويريد المهندس المعماري أن تكون القاعدة (4 ) أقدام أكثر من ضعف الارتفاع. ابحث عن قاعدة النافذة وارتفاعها.

حل:

الخطوة 1: يقرأ المشكلة. ارسم صورة.
الخطوة 2: تحديد ما نبحث عنه.نحن نبحث عن القاعدة والارتفاع.
الخطوه 3: اسم ما نبحث عنه.

لنفترض (ع = ) ارتفاع المثلث.

(2 س + 4 = ) قاعدة المثلث.

الخطوة 4: يترجم في معادلة.

نحن نعرف المنطقة. اكتب صيغة مساحة المثلث.

(أ = فارك {1} {2} ب ح )
الخطوة الخامسة: يحل المعادلة. عوّض بالقيم. (120 = فارك {1} {2} (2 س + 4) س )
نشر. (120 = س ^ {2} +2 س /)
هذه معادلة من الدرجة الثانية ، أعد كتابتها في الشكل القياسي. (ح ^ {2} +2 س -120 = 0 )
عامل. ((ح -10) (ح + 12) = 0 )
استخدم خاصية المنتج الصفري. (ح -10 = 0 كواد س + 12 = 0 )
تبسيط. (ح = 10 ، رباعي إلغاء {ح = -12} )
نظرًا لأن (h ) هو ارتفاع النافذة ، فإن قيمة (h = -12 ) لا معنى لها.
ارتفاع المثلث (ح = 10 ).

قاعدة المثلث (2 س + 4 ).

(2 cdot 10 + 4 )

(24)

الخطوة 6: الشيك الاجابة.

هل المثلث ذو الارتفاع (10 ​​) والقاعدة (24 ) له مساحة (120 )؟ نعم.

الخطوة 7: إجابه السؤال.ارتفاع النافذة المثلثة هو (10 ​​) قدم والقاعدة (24 ) قدم.
الجدول 9.5.1

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد قاعدة المثلث الذي يزيد ارتفاع قاعدته بمقدار أربع بوصات عن ستة أضعاف ارتفاعه ومساحته (456 ) بوصة مربعة.

إجابه

ارتفاع المثلث (12 ) بوصة والقاعدة (76 ) بوصة.

تمرين ( PageIndex {4} )

إذا كان المثلث بمساحة (110 ) قدم مربع له قاعدته أقل من ضعف الارتفاع ، فما طول قاعدته وارتفاعه؟

إجابه

ارتفاع المثلث (11 ) قدم والقاعدة (20 ) قدم.

في المثالين السابقين ، الرقم في الجذر في تربيعي معادلة كان مربعًا كاملًا ، وبالتالي كانت الحلول أرقامًا منطقية. إذا حصلنا على رقم غير نسبي كحل لمشكلة في التطبيق ، فسنستخدم آلة حاسبة للحصول على قيمة تقريبية.

سنستخدم صيغة مساحة المستطيل لحل المثال التالي.

التعريف ( PageIndex {2} )

مساحة المستطيل

بالنسبة إلى مستطيل بطول (L ) وعرض (W ) ، تُعطى المساحة (A ) بواسطة الصيغة (A = LW ).

مثال ( PageIndex {3} )

يريد مايك وضع (150 ) قدم مربع من العشب الصناعي في الفناء الأمامي لمنزله. هذه هي المساحة القصوى للعشب الصناعي التي تسمح بها جمعية أصحاب المنازل. يريد أن تكون مساحة مستطيلة من العشب بطول قدم أقل من (3 ) أضعاف العرض. جد الطول والعرض. قرّب لأقرب جزء من عُشر قدم.

حل:

الخطوة 1: يقرأ المشكلة. ارسم صورة.
الخطوة 2: تحديد ما نبحث عنه.نحن نبحث عن الطول والعرض.
الخطوه 3: اسم ما نبحث عنه.

دع (ث = ) عرض المستطيل.

(3w-1 = ) طول المستطيل

الخطوة 4: يترجم في معادلة. نحن نعرف المنطقة. اكتب صيغة مساحة المستطيل.
الخطوة الخامسة: يحل المعادلة. عوّض بالقيم.
نشر.

هذه معادلة من الدرجة الثانية. أعد كتابته في شكل قياسي.

حل المعادلة باستخدام الصيغة التربيعية.

حدد قيم (أ ، ب ، ج ).
اكتب الصيغة التربيعية.
ثم استبدل بقيم (أ ، ب ، ج ).
تبسيط.
أعد الكتابة لإظهار حلين.

تقريب الإجابات باستخدام الآلة الحاسبة.

نحذف الحل السلبي للعرض.

الخطوة 6: الشيك الاجابة. تأكد من أن الإجابات منطقية. نظرًا لأن الإجابات تقريبية ، فلن تظهر المنطقة بالضبط إلى (150 ).
الخطوة 7: إجابه السؤال.عرض المستطيل تقريبًا (7.2 ) قدم والطول (20.6 ) قدم تقريبًا.
الجدول 9.5.2

تمرين ( PageIndex {5} )

طول حديقة الخضروات المستطيلة (200 ) قدم مربع أقل من ضعف العرض بمقدار أربعة أقدام. أوجد طول وعرض الحديقة لأقرب جزء من عُشر قدم.

إجابه

يبلغ طول الحديقة حوالي (18 ) قدمًا والعرض (11 ) قدمًا.

تمرين ( PageIndex {6} )

مساحة المفرش المستطيل (80 ) قدم مربع. عرض (5 ) أقدام أقصر من الطول. ما هو طول وعرض مفرش المائدة لأقرب عُشر قدم؟

إجابه

يبلغ طول مفرش المائدة تقريبًا (11.8 ) قدمًا والعرض (6.8 ) قدمًا.

ال نظرية فيثاغورس يعطي العلاقة بين الساقين ووتر المثلث القائم. سنستخدم نظرية فيثاغورس لحل المثال التالي.

التعريف ( PageIndex {3} )

نظرية فيثاغورس

في أي مثلث قائم الزاوية ، حيث (أ ) و (ب ) هما أطوال الأرجل و (ج ) هو طول الوتر ، (أ ^ {2} + ب ^ {2} = ج ^ {2} ).

مثال ( PageIndex {4} )

يقوم رينيه بإعداد عرض ضوئي للعطلات. يريد أن يصنع "شجرة" على شكل مثلثين قائم الزاوية ، كما هو موضح أدناه ، وله خيطان من الأضواء لاستخدامهما في الجانبين. سوف يعلق الأضواء على قمة عمود وعلى حصتين على الأرض. إنه يريد أن يكون ارتفاع العمود هو نفس المسافة من قاعدة العمود إلى كل وتد. كم يجب أن يكون ارتفاع العمود؟

حل:

الخطوة 1: يقرأ المشكلة. ارسم صورة.
الخطوة 2: تحديد ما نبحث عنه.نحن نبحث عن ارتفاع العمود.
الخطوه 3: اسم ما نبحث عنه.

المسافة من قاعدة العمود إلى أي من الحصة هي نفس ارتفاع العمود.

دعونا (س = ) ارتفاع القطب.
(س = ) المسافة من العمود إلى الحصة

كل ضلع هو مثلث قائم الزاوية. نرسم صورة لأحدهم.

الخطوة 4: يترجم في معادلة.

يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد قيمة (x ).
اكتب نظرية فيثاغورس.

(أ ^ {2} + ب ^ {2} = ج ​​^ {2} )
الخطوة الخامسة: يحل المعادلة. استبدل. (x ^ {2} + x ^ {2} = 10 ^ {2} )
تبسيط. (2 × ^ {2} = 100 )
اقسم على (2 ) لعزل المتغير. ( frac {2 x ^ {2}} {2} = frac {100} {2} )
تبسيط. (س ^ {2} = 50 )
استخدم خاصية الجذر التربيعي. (x = pm sqrt {50} )
بسّط الجذر. (x = pm 5 sqrt {2} )
أعد الكتابة لإظهار حلين.
إذا قربنا هذا الرقم لأقرب جزء من عشرة باستخدام الآلة الحاسبة ، فسنجد (x≈7.1 ).
الخطوة 6: الشيك الاجابة. تحقق بنفسك في نظرية فيثاغورس.
الخطوة 7: إجابه السؤال.يجب أن يكون طول العمود حوالي (7.1 ) قدم.
الجدول 9.5.3

تمرين ( PageIndex {7} )

تلقي الشمس بظلالها من عمود العلم. يبلغ ارتفاع عمود العلم ثلاثة أضعاف طول ظله. المسافة بين نهاية الظل وأعلى عمود العلم هي (20 ) قدمًا. أوجد طول الظل وطول عمود العلم. جولة إلى أقرب عشر.

إجابه

يبلغ طول ظل عمود العلم تقريبًا (6.3 ) قدمًا ويبلغ ارتفاع عمود العلم (18.9 ) قدمًا.

تمرين ( PageIndex {8} )

المسافة بين الزوايا المتقابلة للحقل المستطيل أكبر بأربعة من عرض الحقل. طول الحقل ضعف عرضه. أوجد المسافة بين الزوايا المتقابلة. جولة إلى أقرب عشر.

إجابه

المسافة بين الزوايا المقابلة حوالي 7.2 قدم.

يتم تمثيل ارتفاع القذيفة من الأرض بواسطة معادلة تربيعية. تدفع السرعة الابتدائية (v_ {0} ) الجسم لأعلى حتى تتسبب الجاذبية في سقوط الجسم مرة أخرى.

التعريف ( PageIndex {4} )

الارتفاع بالأقدام ، (h ) ، لجسم تم إطلاقه لأعلى في الهواء بسرعة ابتدائية ، (v_ {0} ) ، بعد (t ) ثانية ، تعطى بالصيغة

يمكننا استخدام هذه الصيغة لمعرفة عدد الثواني التي تستغرقها الألعاب النارية للوصول إلى ارتفاع معين.

تمرين ( PageIndex {9} )

يتم إطلاق سهم من الأرض في الهواء بسرعة أولية تبلغ (108 ) قدم / ثانية. استخدم الصيغة (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ) لتحديد متى سيكون السهم (180 ) قدمًا من الأرض. تقريب أقرب جزء من عشرة.

إجابه

سيصل السهم إلى (180 ) قدمًا في طريقه للأعلى بعد (3 ) ثوانٍ ومرة ​​أخرى في طريقه للأسفل بعد (3.8 ) ثانية تقريبًا.

تمرين ( PageIndex {10} )

رجل يرمي كرة في الهواء بسرعة (96 ) قدم / ثانية. استخدم الصيغة (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ) لتحديد متى سيكون ارتفاع الكرة (48 ) قدمًا. جولة إلى أقرب عشر.

إجابه

ستصل الكرة إلى (48 ) قدمًا في طريقها للأعلى بعد (.6 ) ثانية تقريبًا ومرة ​​أخرى في طريقها للأسفل بعد (5.4 ) ثانية تقريبًا.

لقد حللنا مشاكل الحركة الموحدة باستخدام الصيغة (D = rt ) في الفصول السابقة. استخدمنا جدولًا مثل الجدول أدناه لتنظيم المعلومات وقيادتنا إلى المعادلة.

تفترض الصيغة (D = rt ) أننا نعرف (r ) و (t ) ونستخدمها لإيجاد (D ). إذا علمنا (D ) و (r ) وأردنا إيجاد (t ) ، فسنحل معادلة (t ) ونحصل على الصيغة (t = frac {D} {r } ).

يتم أيضًا نمذجة بعض مشاكل الحركة المنتظمة بواسطة المعادلات التربيعية.

مثال ( PageIndex {6} )

عاد البروفيسور سميث لتوه من مؤتمر كان على بعد (2000 ) ميل شرق منزله. إجمالي الوقت الذي قضاه في الطائرة ذهابًا وإيابًا كان (9 ) ساعات. إذا كانت الطائرة تحلق بمعدل (450 ) ميل في الساعة ، فما هي سرعة التيار النفاث؟

حل:

هذه حالة حركة موحدة. سيساعدنا الرسم التخطيطي على تصور الموقف.

نقوم بملء المخطط لتنظيم المعلومات.

نحن نبحث عن سرعة التيار النفاث. دع (r = ) سرعة التيار النفاث.

عندما تطير الطائرة مع الريح ، تزيد الرياح من سرعتها وبالتالي يكون المعدل (450 + r ).

عندما تطير الطائرة عكس الريح ، تقل سرعتها وتبلغ السرعة (450 - ص ).

اكتب في الأسعار.
اكتب في المسافات.
نظرًا لأن (D = r⋅t ) ، فقد حلنا من أجل
(t ) واحصل على (t = frac {D} {r} ).
نقسم المسافة على
المعدل في كل صف ، و
ضع التعبير في
عمود الوقت.
نعرف الأوقات التي نضيفها إلى (9 ).
ولذا نكتب معادلتنا.
( frac {2000} {450-r} + frac {2000} {450 + r} = 9 )
نضرب كلا الجانبين في شاشة LCD. ((450-r) (450 + r) left ( frac {2000} {450-r} + frac {2000} {450 + r} right) = 9 (450-r) (450 + r ) )
تبسيط. (2000 (450 + r) +2000 (450-r) = 9 (450-r) (450 + r) )
حلل العامل (2،000 ). (2000 (450 + r + 450-r) = 9 يسار (450 ^ {2} -r ^ {2} right) )
يحل. (2000 (900) = 9 يسار (450 ^ {2} -r ^ {2} right) )
اقسم على (9 ). (2000 (100) = 450 ^ {2} -r ^ {2} )
تبسيط.

( begin {align} 200000 & = 202500-r ^ {2} -2500 & = - r ^ {2} 50 & = r end {align} )

سرعة التيار النفاث هي (50 ) ميل في الساعة.

الشيك:

هل (50 ) ميل في الساعة سرعة معقولة للتيار النفاث؟ نعم.

إذا كانت الطائرة تسافر (450 ) ميل في الساعة والرياح (50 ) ميل في الساعة ،

الريح الخلفية

(450 + 50 = 500 mathrm {mph} quad frac {2000} {500} = 4 ) ساعات

رياح معاكسة

(450-50 = 400 mathrm {mph} quad frac {2000} {400} = 5 ) ساعات

تضيف الأوقات إلى (9 ) ساعات ، لذا يتم التحقق منها.

الجدول 9.5.5

كانت سرعة التيار النفاث (50 ) ميل في الساعة.

تمرين ( PageIndex {11} )

عادت ماري آن لتوها من زيارة مع أحفادها في الشرق. كانت الرحلة على بعد (2400 ) ميلاً من منزلها وكان إجمالي وقتها في الطائرة للرحلة ذهابًا وإيابًا (10 ​​) ساعات. إذا كانت الطائرة تحلق بمعدل (500 ) ميل في الساعة ، فما هي سرعة التيار النفاث؟

إجابه

كانت سرعة التيار النفاث (100 ) ميل في الساعة.

تمرين ( PageIndex {12} )

عاد جيري لتوه من رحلة عبر البلاد. كانت الرحلة على بعد (3000 ) ميلاً من منزله وكان إجمالي وقته في الطائرة ذهابًا وإيابًا (11 ) ساعة. إذا كانت الطائرة تحلق بمعدل (550 ) ميلاً في الساعة ، فما هي سرعة التيار النفاث؟

إجابه

كانت سرعة التيار النفاث (50 ) ميل في الساعة.

يمكن أيضًا تصميم تطبيقات العمل بواسطة المعادلات التربيعية. سنقوم بإعدادها باستخدام نفس الأساليب التي استخدمناها عندما قمنا بحلها باستخدام معادلات منطقية ، وسنستخدم سيناريو مماثل الآن.

تمرين ( PageIndex {13} )

تحتوي المجلة الإخبارية الأسبوعية على قصة كبيرة تسمي شخصية العام ويريد المحرر طباعة المجلة في أسرع وقت ممكن. لقد طلبت من الطابعة تشغيل مطبعة إضافية لإنجاز الطباعة بسرعة أكبر. اضغط على # 1 تستغرق (6 ) ساعات أكثر من الضغط على # 2 للقيام بالمهمة وعند تشغيل كلتا الضغطتين يمكن طباعة المهمة في (4 ) ساعات. كم من الوقت تستغرق كل ضغطة لطباعة المهمة وحدها؟

إجابه

اضغط على # 1 سيستغرق (12 ) ساعة ، والضغط على # 2 سيستغرق (6 ) ساعات للقيام بالمهمة بمفرده.

تمرين ( PageIndex {14} )

إرليندا تقيم حفلة وتريد أن تملأ حوض الاستحمام الساخن الخاص بها. إذا كانت تستخدم الخرطوم الأحمر فقط ، فسيتطلب الأمر (3 ) ساعات أكثر من استخدام الخرطوم الأخضر فقط. إذا استخدمت كلا الخرطومين معًا ، فإن حوض الاستحمام الساخن يمتلئ خلال (2 ) ساعة. كم من الوقت يستغرق كل خرطوم لملء حوض الاستحمام الساخن؟

إجابه

يستغرق الخرطوم الأحمر (6 ) ساعات والخرطوم الأخضر يستغرق (3 ) ساعات بمفرده.

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية لحل التطبيقات على غرار المعادلات التربيعية.

  • مشاكل الكلمات التي تتضمن المعادلات التربيعية
  • مسائل المعادلة التربيعية
  • تطبيق الصيغة التربيعية

المفاهيم الرئيسية

  • طرق حل المعادلات التربيعية
    • التخصيم
    • خاصية الجذر التربيعي
    • استكمال الساحة
    • الصيغة التربيعية
  • كيفية استخدام استراتيجية حل المشكلات.
    1. يقرأ المشكلة. ثم ترجم الجملة الإنجليزية إلى معادلة الجبر.
    2. يحل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
    3. الشيك الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
    4. إجابه السؤال بجملة كاملة.
  • مساحة المثلث
    • بالنسبة للمثلث ذي القاعدة ، (b ) ، والارتفاع ، (h ) ، تُعطى المساحة (A ) بواسطة الصيغة (A = frac {1} {2} bh ) .
  • مساحة المستطيل
    • بالنسبة إلى مستطيل بطول (L ) وعرض (W ) ، تُعطى المساحة (A ) بواسطة الصيغة (A = LW ).
  • نظرية فيثاغورس
    • في أي مثلث قائم الزاوية ، حيث (أ ) و (ب ) هما أطوال الأرجل و (ج ) هو طول الوتر ، (أ ^ {2} + ب ^ {2} = ج ^ {2} ).
  • حركة المقذوفات
    • الارتفاع بالأقدام ، (h ) ، لجسم تم إطلاقه لأعلى في الهواء بسرعة ابتدائية ، (v_ {0} ) ، بعد (t ) ثانية ، تُعطى بالصيغة (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ).

6.5: حل تطبيقات المعادلات التربيعية

في هذا القسم الأخير من هذا الفصل ، نحتاج إلى إلقاء نظرة على بعض تطبيقات الدوال الأسية واللوغاريتمية.

الفائدة المركبة

هذا التطبيق الأول يضاعف الفائدة وهناك بالفعل صيغتان منفصلتان سننظر فيهما هنا. دعونا أولا نخرج هؤلاء من الطريق.

إذا كنا سنضع (P ) دولارات في حساب يربح فائدة بمعدل (r ) (مكتوب في صورة عدد عشري) لمدة (t ) سنوات (نعم ، يجب أن تكون سنوات) إذن ،

    إذا تم مضاعفة الفائدة (م ) مرات في السنة ، سيكون لدينا [A = P < left (<1 + frac> حق) ^>]

دعونا نلقي نظرة على مثالين.

  1. يتم تجميع الفائدة كل ثلاثة أشهر.
  2. تتضاعف الفائدة شهريا.
  3. تتضاعف الفائدة بشكل مستمر.

قبل الدخول في كل جزء ، دعونا نحدد الكميات التي سنحتاجها في جميع الأجزاء ولن نتغير.

تذكر أن أسعار الفائدة يجب أن تكون أرقام عشرية لهذه الحسابات و (t ) يجب أن تكون بالسنوات! الآن ، دعونا نعمل على حل المشاكل.

في هذا الجزء تتراكم الفائدة كل ثلاثة أشهر وهذا يعني أنها تتضاعف 4 مرات في السنة. بعد 54 شهرًا ، أصبح لدينا ،

لاحظ مقدار المنازل العشرية المستخدمة هنا. لم نقم بأي تقريب حتى الخطوة الأخيرة. من المهم عدم القيام بالكثير من التقريب في خطوات وسيطة مع هذه المشاكل.

نحن هنا نتضاعف شهريًا ، وهذا يعني أننا نتضاعف 12 مرة في السنة. هذا هو المبلغ الذي سنحصل عليه بعد 54 شهرًا.

لذا ، فإن مضاعفة عدد المرات سنويًا سيؤدي إلى زيادة الأموال.

أخيرًا ، إذا قمنا بالتجمع بشكل مستمر ، فبعد 54 شهرًا سنحصل ،

الآن ، كما هو موضح في الجزء الأول من هذا المثال ، من المهم عدم التقريب كثيرًا قبل الإجابة النهائية. دعونا نعود ونعمل على الجزء الأول مرة أخرى وهذه المرة دعونا نقرب إلى ثلاث منازل عشرية في كل خطوة.

هذه الإجابة بعيدة عن الإجابة الصحيحة بمقدار 593.31 دولارًا وهذا فرق كبير إلى حد ما. إذن ، كم عدد المنازل العشرية التي يجب أن نحتفظ بها في هذه؟ حسنًا ، للأسف الجواب هو أنه يعتمد. كلما زاد المقدار الأولي ، سنحتاج إلى المزيد من المنازل العشرية. كقاعدة عامة ، اضبط الآلة الحاسبة على الحد الأقصى لعدد المنازل العشرية التي يمكنها التعامل معها وأخذها جميعًا حتى الإجابة النهائية ثم قم بالتقريب عند هذه النقطة.

دعنا الآن نلقي نظرة على نوع مختلف من الأمثلة ذات الفائدة المركبة.

مرة أخرى ، دعنا نحدد الكميات التي لن تتغير مع كل جزء.

لاحظ أنه تم منحنا (A ) هذه المرة ونطلب البحث عن (t ). هذا يعني أنه سيتعين علينا حل معادلة أسية للوصول إلى الإجابة.

لنبدأ أولاً بإعداد المعادلة التي سنحتاج إلى حلها.

الآن ، رأينا كيفية حل هذه الأنواع من المعادلات قبل قسمين. في هذا القسم ، رأينا أننا بحاجة إلى الحصول على الأسي في جانب واحد بمفرده بمعامل 1 ثم أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين. لنفعل ذلك.

نحتاج إلى الاحتفاظ بالمبلغ في الحساب لمدة 3.917 سنة للحصول على 4000 دولار.

مرة أخرى ، لنبدأ أولاً بإعداد المعادلة التي نحتاج إلى حلها.

سنحل هذا بنفس الطريقة التي حلنا بها الجزء السابق. سيكون العمل أكثر فوضوية قليلاً ، لكن في معظم الأحيان سيكون هو نفسه.

في هذه الحالة ، نحتاج إلى الاحتفاظ بالمبلغ لفترة أطول قليلاً ليصل إلى 4000 دولار.

النمو الأسي والاضمحلال

هناك العديد من الكميات الموجودة في العالم والتي تحكمها المعادلة (على الأقل لفترة زمنية قصيرة) ،

أين () موجب وهو المبلغ الموجود في البداية عند (t = 0 ) و (ك ) ثابت غير صفري. إذا كان (ك ) موجبًا ، فإن المعادلة ستنمو بلا حدود وتسمى النمو الأسي معادلة. وبالمثل ، إذا كان (ك ) سلبيًا ، فستتراجع المعادلة إلى الصفر وتسمى تسوس الأسي معادلة.

غالبًا ما يتم نمذجة النمو السكاني قصير المدى من خلال معادلة النمو الأسي ويخضع تحلل العنصر المشع إلى معادلة الانحلال الأسي.

إذا كان هناك 500 بكتيريا في البداية و (t ) تم إعطاؤها في غضون ساعات ، حدد كلًا مما يلي.

  1. كم عدد البكتيريا الموجودة بعد نصف يوم؟
  2. كم من الوقت سيستغرق قبل وجود 10000 بكتيريا في المستعمرة؟

ها هي المعادلة لهذه الكمية البادئة من البكتيريا.

في هذه الحالة ، إذا أردنا عدد البكتيريا بعد نصف يوم ، فسنحتاج إلى استخدام (t = 12 ) لأن (t ) بالساعات. لذا ، للحصول على إجابة هذا الجزء ، نحتاج فقط إلى التعويض (t ) في المعادلة.

لذلك ، نظرًا لأن عدد السكان الكسري ليس له معنى كبير ، فسنقول أنه بعد نصف يوم يوجد 5190 من البكتيريا الموجودة.

لا تخطئ بافتراض أن هذه الإجابة ستستغرق يومًا واحدًا تقريبًا بناءً على إجابة الجزء السابق. مع النمو الهائل ، لا تعمل الأشياء بهذه الطريقة كما سنرى. للإجابة على هذا الجزء ، سنحتاج إلى حل المعادلة الأسية التالية.

لذلك ، يستغرق الوصول إلى 10000 بكتيريا 15.4 ساعة تقريبًا وليس 24 ساعة إذا ضاعفنا الوقت من الجزء الأول. بعبارة أخرى ، كن حذرا!

حيث (t ) بالسنوات و () هي كمية الكربون 14 الموجودة عند الوفاة ، ولنفترض في هذا المثال أنه سيكون هناك 100 ملليغرام عند الوفاة.

  1. ما هي كمية الكربون 14 بعد 1000 عام؟
  2. كم من الوقت سيستغرق تحلل نصف الكربون 14؟

في هذه الحالة ، كل ما علينا فعله هو التعويض ر = 1000 في المعادلة.

لذا ، يبدو أنه سيكون لدينا حوالي 88.338 ملليجرام متبقي بعد 1000 عام.

لذا ، نريد أن نعرف كم من الوقت سيستغرق حتى يتبقى 50 ملليجرام من الكربون 14. هذا يعني أنه سيتعين علينا حل المعادلة التالية ،

لذلك ، يبدو أن الأمر سيستغرق حوالي 5589.897 سنة حتى يتحلل نصف الكربون 14. هذا الرقم يسمى نصف الحياة من الكربون 14.

لقد نظرنا الآن في تطبيقين من المعادلات الأسية ويجب أن ننظر الآن في تطبيق سريع للوغاريتم.

شدة الزلزال

ال مقياس ريختر يستخدم عادة لقياس شدة الزلزال. هناك العديد من الطرق المختلفة لحساب هذا بناءً على مجموعة متنوعة من الكميات المختلفة. سنلقي نظرة سريعة على الصيغة التي تستخدم الطاقة المنبعثة أثناء الزلزال.

إذا كانت (E ) هي الطاقة المنبعثة ، مقاسة بالجول ، أثناء الزلزال ، فإن حجم الزلزال يُعطى بواسطة ،

ليس هناك الكثير مما يجب فعله هنا سوى إدخال الصيغة في الصيغة.

لذا ، يبدو أنه سيكون لدينا قوته حوالي 7.

في هذه الحالة ، سنحتاج إلى حل المعادلة التالية.

لقد رأينا كيف نحل هذه الأنواع من المعادلات في القسم السابق. أولًا ، نحتاج إلى اللوغاريتم في أحد طرفيه بمفرده بمعامل واحد. بمجرد أن نحصل عليه بهذه الصورة ، نحول إلى الصورة الأسية ونحلها.

لذلك ، يبدو أنه سيكون هناك إطلاق (<10 ^ <13.25 >> ) جول من الطاقة في زلزال بقوة 5.9.


مثال

حاصل ضرب عددين متتاليين هو (132 ). أوجد الأعداد الصحيحة.

حل

هناك قيمتان لـ (n ) تعدان حلين لهذه المشكلة. إذن ، هناك مجموعتان من الأعداد الصحيحة المتتالية ستعملان.

الخطوة 6. تحقق الاجابة.

الأعداد الصحيحة المتتالية هي (11،12 ) و (- 11 ، -12 ). المنتج (11 · 12 = 132 ) والمنتج (- 11 يسار (-12 يمين) = 132 ). كلا أزواج الأعداد الصحيحة المتتالية عبارة عن حلول.

الخطوة 7. الإجابة السؤال. الأعداد الصحيحة المتتالية هي (11،12 ) و (- 11 ، -12 ).

هل فوجئت بزوج الأعداد الصحيحة السالبة التي تعتبر أحد الحلول للمثال السابق؟ ناتج العددين الموجبين وحاصل ضرب العددين السالبين كلاهما يعطي 132.

في بعض التطبيقات ، تنتج الحلول السلبية من الجبر ، لكنها لن تكون واقعية بالنسبة للموقف.


شرح الدرس: تطبيقات المعادلات التربيعية الرياضيات

في هذا الشرح ، سوف نتعلم كيفية حل المسائل الكلامية عن طريق تكوين وحل المعادلات التربيعية.

في بعض الأحيان ، سيتم تكليفنا بتكوين وحل المعادلات التربيعية بناءً على سيناريو العالم الحقيقي. في كثير من الأحيان ، ستكون هذه مشاكل تتعلق بالمساحة وإيجاد أطوال غير معروفة أو أي مجال آخر تظهر فيه المعادلات التربيعية.

يتمثل النهج القياسي لهذه الأسئلة في استخراج المعلومات الأساسية من السؤال واستخدام ذلك لتشكيل معادلة يمكن حلها بعد ذلك باستخدام الطرق القياسية. لتوضيح ذلك ، سنلقي نظرة على سلسلة من الأمثلة ، وننظر بعناية في كل خطوة من الخطوات اللازمة للتوصل إلى حل.

مثال 1: إيجاد محيط مستطيل بالنظر إلى مساحته والفرق بين أبعاده

ما محيط مستطيل يزيد طوله 7 سم عن عرضه ومساحته 78 سم 2؟

إجابه

للبدء ، قد يكون من المفيد رسم مخطط يمثل السيناريو الموصوف. نعلم أن الطول أكبر من العرض بمقدار 7 سم ، لذلك دعونا نسمي العرض

والسنتيمتر والطول

. هذا يعطينا المستطيل التالي.

نعلم أن مساحة المستطيل تُحسب بضرب طوله في عرضه. هنا ، الطول

. بما أن المساحة 78 ، فيمكننا استخدام هذا لتشكيل المعادلة التالية:

إذا استخدمنا بعد ذلك خاصية التوزيع لفك الأقواس ، نحصل على

نطرح 78 من كلا الطرفين نحصل على

في هذه المرحلة ، لدينا معادلة تربيعية في صورة يمكن حلها. يمكننا التحقق مما إذا كان من الممكن تحليل المعادلة إلى عوامل ، أو يمكننا حلها بإكمال المربع أو باستخدام الصيغة التربيعية. إذا اعتبرنا أزواج العوامل 80 ، لدينا

نحتاج إلى عددين يتم ضربهما للحصول على الناتج

ونجمعها لتكوين 7 باستخدام أزواج العوامل ، نرى هذه هي

لذلك فإن معاملات المعادلة كالتالي:

ثم يتم حسابها عن طريق تحديد النقاط التي عندها كل من العاملين يساوي الصفر. هذا هو،

طول ، لا يمكن أن يكون سالبًا ، لذا يجب أن يكون حلنا

أخيرًا ، علينا تحديد محيط المستطيل - أي مجموع أطوال الأضلاع. نعلم أن العرض 6 سم والطول

، لذلك يتم إعطاء المحيط بواسطة

في مثالنا السابق ، لاحظنا اختلافًا رئيسيًا بين حل المعادلات التربيعية بالمعنى الرياضي وفي سياق العالم الحقيقي. لقد رأينا أن المعادلة التربيعية الأساسية لها حلان منذ ذلك الحين

كان طولًا ، يجب أن يكون موجبًا ، بمعنى أن أحد الحلول لم يكن صالحًا. من الجيد دائمًا التحقق من الإجابات الموجودة في نهاية هذه الأنواع من المشكلات للتأكد من أنها منطقية في سياق سيناريو العالم الحقيقي.

سنرى سيناريو مشابهًا في السؤال التالي يتضمن إيجاد رقم موجب يتوافق مع خاصية معينة.

مثال 2: تشكيل وحل المعادلات التربيعية

أوجد العدد الموجب الذي يتجاوز مربعه ضعف قيمته بمقدار 15.

إجابه

أول شيء يتعين علينا القيام به هو ترجمة صياغة المشكلة إلى معادلة. نحن نسمح

يكون الرقم الذي نحاول العثور عليه. المعلومة الأولى التي حصلنا عليها هي ذلك


مثال

يقوم رينيه بإعداد عرض ضوئي للعطلات. يريد أن يصنع "شجرة" على شكل مثلثين قائم الزاوية ، كما هو موضح أدناه ، ولديه سلسلة من الأضواء بطول 10 أقدام لاستخدامها في الجوانب. سوف يعلق الأضواء على قمة عمود وعلى حصتين على الأرض. إنه يريد أن يكون ارتفاع العمود هو نفس المسافة من قاعدة العمود إلى كل وتد. كم يجب أن يكون ارتفاع العمود؟

حل

الخطوة 1. اقرأ المشكلة. ارسم صورة.
الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه.نحن نبحث عن ارتفاع العمود.
الخطوة 3. الاسم ما نبحث عنه.المسافة من قاعدة العمود إلى أي من الحصة هي نفس ارتفاع العمود. دعونا (س = ) ارتفاع القطب.
(س = ) المسافة من العمود إلى الحصة
كل ضلع هو مثلث قائم الزاوية. نرسم صورة لأحدهم.
الخطوة 4. الترجمة في معادلة. يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لحلها x.
اكتب نظرية فيثاغورس. (^<2>+^<2>=^<2>)
الخطوة 5. حل المعادلة. استبدل. ( الوهمية < القاعدة <0 em> <0ex>>^<2>+^<2>=<10>^<2>)
تبسيط. ( phantom < rule <1.6em> <0ex>> 2^<2>=100)
اقسم على 2 لعزل المتغير. ( phantom < rule <1.5em> <0ex>> frac <2^ <2>> <2> = فارك <100> <2> )
تبسيط. ( phantom < rule <2.1em> <0ex>>^<2>=50)
استخدم خاصية الجذر التربيعي. ( phantom < rule <2.6em> <0ex>> x = ± phantom < rule <0.2em> <0ex>> sqrt <50> )
بسّط الجذر. ( phantom < rule <2.6em> <0ex>> x = ± phantom < rule <0.2em> <0ex>> 5 sqrt <2> )
أعد الكتابة لإظهار حلين. ( الوهمية < القاعدة <2.6em> <0ex>> س = 5 الجذر التربيعي <2> )
( phantom < rule <2.6em> <0ex>> تتطلبإلغاء5 الجذر التربيعي <2>> )
قرب هذا الرقم لأقرب جزء من عشرة باستخدام الآلة الحاسبة. ( الوهمية < القاعدة <2.6em> <0ex>> س حوالي 7.1 )
الخطوة 6. تحقق الاجابة.
تحقق بنفسك في نظرية فيثاغورس.
الخطوة 7. الإجابة السؤال.يجب أن يبلغ ارتفاع العمود حوالي 7.1 أقدام.

استنتاج

لقد أظهرنا أن المعادلة التربيعية لها تطبيقات عديدة ولعبت دورًا أساسيًا في تاريخ البشرية. فيما يلي بعض التطبيقات الأخرى التي لا غنى فيها عن المعادلة التربيعية. كتحدي ، هل يمكنك جعل هذه القائمة تصل إلى 101؟

هدف الإسقاط ، ساعات الجد ، الأرانب ، المناطق ، الغناء ، الضرائب ، الهندسة المعمارية ، الساعات الشمسية ، التوقف ، الإلكترونيات ، الرقائق الدقيقة ، الثلاجات ، عباد الشمس ، التسارع ، الورق ، الكواكب ، المقذوفات ، الرماية ، القفز ، الكويكبات ، نظرية الكم ، الفوضى ، النوافذ ، التنس ، الريشة ، الطيران ، الراديو ، البندول ، الطقس ، السقوط ، الدش ، المعادلات التفاضلية ، التلسكوب ، الجولف.


تطبيق الوظيفة التربيعية: تعظيم

لاعب بيسبول يتأرجح ويضرب ذبابة منبثقة في الهواء مباشرة إلى الماسك. يتم الحصول على ارتفاع كرة البيسبول بالأمتار t ثانية بعد ضربها بواسطة الدالة التربيعية . كم من الوقت تستغرق لعبة البيسبول للوصول إلى أقصى ارتفاع لها؟ ما هو أقصى ارتفاع حصلت عليه لعبة البيسبول؟

تُعرَّف بأنها دالة تربيعية. التمثيل البياني للدالة التربيعية هو القطع المكافئ. هذه الدالة التربيعية لها المعامل الرئيسي -4.9 وبما أنها سالبة فهذا يعني أن القطع المكافئ ينفتح لأسفل.

أوجد الرأس لإيجاد القيمة القصوى.

صيغة إحداثي س للرأس
بالنسبة للدالة التربيعية ، أ هو معامل الحد المربع ، ب هو معامل الحد الخطي ، وج هو الثابت
عوّض بقيمتي a و b في الصيغة
بسّط باستخدام الآلة الحاسبة

تصل الكرة إلى أقصى ارتفاع لها بعد 1.5 ثانية من إصابة الكرة.

يمكن إيجاد أقصى ارتفاع باستبدال 1.5 ثانية بالوقت في دالة الارتفاع.

وظيفة الارتفاع
عوّض عن t = 1.5 في دالة الارتفاع
بسّط باستخدام الآلة الحاسبة

أقصى ارتفاع للكرة هو 12.025 مترًا.

هنا مثال فيديو يعظم وظيفة الموضع.


لنأخذ مثال 2x 2 -6x + 3 = 0 ، حيث أ يمثل 2 ، ب يمثل -6 و ج يمثل 3 ويطبق الصيغة التربيعية على هذه المعادلة.

في هذا المثال ، تكون معاملات المعادلة التربيعية كما يلي: أ = 2 ، ب = -6 ، ج = 3

يتم التأكد من المحدد بالطريقة التالية: D = b 2 - 4ac = (-6) 2-4 · 2 · 3 = 36-24 = 12

علاوة على ذلك ، نظرًا لأن المميز أكبر من الصفر ، فإن للمعادلة جذرين حقيقيين.

تم العثور على هذين الجذور باستخدام الصيغة التربيعية ، كما هو موضح أدناه:


MathHelp.com

الصيغة التربيعية مشتقة من عملية إكمال المربع ، وهي مذكورة رسميًا على النحو التالي:

الصيغة التربيعية: فأس 2 + bx + ج = 0 ، قيم x which are the solutions of the equation are given by:

For the Quadratic Formula to work, you must have your equation arranged in the form "(quadratic) = 0 ". Also, the " 2أ " in the denominator of the Formula is underneath everything above, not just the square root. And it's a " 2أ " under there, not just a plain " 2 ". Make sure that you are careful not to drop the square root or the "plus/minus" in the middle of your calculations, or I can guarantee that you will forget to "put them back in" on your test, and you'll mess yourself up. Remember that " ب 2 " means "the square of ALL of ب , including its sign", so don't leave ب 2 being negative, even if ب is negative, because the square of a negative is a positive.

In other words, don't be sloppy and don't try to take shortcuts, because it will only hurt you in the long run. Trust me on this!

Here are some examples of how the Quadratic Formula works:

Solve x 2 + 3x &ndash 4 = 0

This quadratic happens to factor:

. so I already know that the solutions are x = &ndash4 and x = 1. How would my solution look in the Quadratic Formula? استخدام أ = 1 , ب = 3 , and ج = &ndash4 , my solution looks like this:

Then, as expected, the solution is x = &ndash4 , x = 1 .


Quadratic Equation Solver PRO

This is a smart application which solves quadratic equations or formulas and gives you the step-by-step solution. Unlike most of the other apps, this app is featured with both "Quadratic Formula" and "Completing the square" methods.

★ Capable of generating graphs for a given equation.

★ Both "Quadratic Formula" and "Completing the square" methods available.

★ Ability to save step-by-step solution as an image.

★ User friendly interface with Material design.

★ Decimal and fractional number inputs.

★ Decimal and fractional number output.

★ Handles imaginary numbers.

★ Each variable input is a simple calculator supporting the following operators ( *, /, +, -).

NOTE : Quadratic equations are of the form ax 2 +bx+c=0 where a, b and c are real numbers and "a" should not be equal to zero. Quadratic equations have two solutions. It is possible that one solution may repeat. You can calculate quadratic equations by Completing the square and by Quadratic Formula.

Solving by Competing the Square

• Keep all terms containing x on one side. Move the constant to the right.

• Get ready to create a perfect square on the left. Balance the equation.

• Take half of the x-term coefficient and square it. Add this value to both sides.

• Simplify and write the perfect square on the left.

• Take the square root of both sides. Be sure to allow for both plus and minus.

Solving by Quadratic Formula

The solutions of some quadratic equations are not rational, and cannot be factored. For such equations, the most common method of solution is the quadratic formula. The quadratic formula can be used to solve ANY quadratic equation.


شاهد الفيديو: المعادلات التربيعية س +ب س+ج= الجزء الأول للصف الثالث متوسط الفصل الدراسي الثاني (شهر اكتوبر 2021).