مقالات

5.4: معادلات التكامل ونظرية التغيير الصافي - الرياضيات


أهداف التعلم

  • قم بتطبيق معادلات التكامل الأساسية.
  • اشرح أهمية نظرية التغيير الصافي.
  • استخدم نظرية صافي التغيير لحل المشكلات المطبقة.
  • طبق تكاملات الدوال الفردية والزوجية.

في هذا القسم ، نستخدم بعض صيغ التكامل الأساسية التي تمت دراستها مسبقًا لحل بعض المشكلات التطبيقية الرئيسية. من المهم ملاحظة أن هذه الصيغ مقدمة من حيث التكاملات غير المحددة. على الرغم من ارتباط التكاملات المحددة وغير المحددة ارتباطًا وثيقًا ، إلا أن هناك بعض الاختلافات الرئيسية التي يجب وضعها في الاعتبار. التكامل المحدد هو إما رقم (عندما تكون حدود التكامل ثوابت) أو دالة واحدة (عندما يكون أحد حدي التكامل أو كلاهما متغيرين). يمثل التكامل غير المحدد مجموعة من الوظائف ، تختلف جميعها بواسطة ثابت. عندما تصبح أكثر دراية بالتكامل ، ستشعر بوقت استخدام تكاملات محددة ومتى تستخدم تكاملات غير محددة. ستختار بشكل طبيعي الطريقة الصحيحة لمشكلة معينة دون التفكير كثيرًا فيها. ومع ذلك ، حتى يتم ترسيخ هذه المفاهيم في عقلك ، فكر مليًا فيما إذا كنت بحاجة إلى تكامل محدد أو تكامل غير محدد وتأكد من أنك تستخدم الترميز المناسب بناءً على اختيارك.

صيغ التكامل الأساسية

تذكر معادلات التكامل الواردة في القسم الخاص بالمشتقات العكسية وخصائص التكاملات المحددة. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة حول كيفية تطبيق هذه الصيغ والخصائص.

مثال ( PageIndex {1} ): تكامل دالة باستخدام قاعدة الطاقة

استخدم قاعدة الأس لدمج الدالة ( displaystyle ∫ ^ 4_1 sqrt {t} (1 + t) ، dt ).

حل

الخطوة الأولى هي إعادة كتابة الدالة وتبسيطها حتى نتمكن من تطبيق قاعدة الأس:

[ start {align *} ∫ ^ 4_1 sqrt {t} (1 + t) ، dt & = ∫ ^ 4_1t ^ {1/2} (1 + t) ، dt [4pt] & = ∫ ^ 4_1 (t ^ {1/2} + t ^ {3/2}) ، dt. النهاية {محاذاة *} ]

قم الآن بتطبيق قاعدة القوة:

[ start {align *} ∫ ^ 4_1 (t ^ {1/2} + t ^ {3/2}) ، dt & = left. left ( frac {2} {3} t ^ {3/2} + frac {2} {5} t ^ {5/2} right) right | ^ 4_1 [4pt] & = يسار [ frac {2} {3} (4) ^ {3/2} + frac {2} {5} (4) ^ {5/2} right] - left [ frac {2} { 3} (1) ^ {3/2} + frac {2} {5} (1) ^ {5/2} right] [4pt] & = frac {256} {15}. النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد التكامل المحدد لـ (f (x) = x ^ 2−3x ) على الفاصل ([1،3]. )

تلميح

اتبع العملية من مثال ( PageIndex {1} ) لحل المشكلة.

إجابه

[ int_1 ^ 3 left (x ^ 2 - 3x right) ، dx = - frac {10} {3} nonumber ]

نظرية التغيير الصافي

ال نظرية التغيير الصافي يعتبر جزء لا يتجزأ من معدل التغيير. تقول أنه عندما تتغير الكمية ، فإن القيمة الجديدة تساوي القيمة الأولية بالإضافة إلى تكامل معدل التغير في تلك الكمية. يمكن التعبير عن الصيغة بطريقتين. والثاني مألوف أكثر ؛ إنه ببساطة التكامل المحدد.

نظرية التغيير الصافي

القيمة الجديدة للكمية المتغيرة تساوي القيمة الأولية بالإضافة إلى تكامل معدل التغيير:

[F (b) = F (a) + ∫ ^ b_aF '(x) dx label {Net1} ]

أو

[∫ ^ b_aF '(x) dx = F (b) −F (a). التسمية {Net2} ]

طرح (F (a) ) من كلا جانبي المعادلة المرجع {Net1} ينتج المعادلة المرجع {Net2}. نظرًا لأنها صيغ متكافئة ، فإن أي واحدة نستخدمها تعتمد على التطبيق.

تكمن أهمية نظرية التغيير الصافي في النتائج. يمكن تطبيق صافي التغيير على المنطقة والمسافة والحجم ، على سبيل المثال لا الحصر من التطبيقات. يحسب صافي التغيير للكميات السالبة تلقائيًا دون الحاجة إلى كتابة أكثر من جزء متكامل. للتوضيح ، دعنا نطبق نظرية التغيير الصافي على ملف ● السرعة الوظيفة التي تكون النتيجة فيها الإزاحة.

نظرنا إلى مثال بسيط لهذا في قسم لا يتجزأ محدد. لنفترض أن سيارة تتحرك باتجاه الشمال (الاتجاه الإيجابي) بسرعة 40 ميلاً في الساعة بين الساعة 2 بعد الظهر. و 4 مساءً ، ثم تتحرك السيارة جنوبًا بسرعة 30 ميلاً في الساعة بين الساعة 4 مساءً. و 5 مساءً. يمكننا رسم هذه الحركة بالرسم البياني كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {1} ).

كما فعلنا من قبل ، يمكننا استخدام تكاملات محددة لحساب صافي الإزاحة وكذلك إجمالي المسافة المقطوعة. ال صافي الإزاحة اعطي من قبل

[∫ ^ 5_2v (t) ، dt = ∫ ^ 4_240 ، dt + ∫ ^ 5_4−30 ، dt = 80−30 = 50. لا يوجد رقم]

وهكذا ، في الساعة 5 مساءً. السيارة على بعد 50 ميلاً شمال موضع البداية. ال المسافة الكلية سافر من قبل

[∫ ^ 5_2 | v (t) | ، dt = ∫ ^ 4_240 ، dt + ∫ ^ 5_430 ، dt = 80 + 30 = 110. لا يوجد رقم]

لذلك ، بين الساعة 2 ظهرًا. و 5 مساءً ، قطعت السيارة ما مجموعه 110 ميل.

للتلخيص ، قد يشمل صافي الإزاحة كلاً من القيم الموجبة والسالبة. بعبارة أخرى ، تمثل دالة السرعة كلًا من المسافة الأمامية والمسافة الخلفية. لإيجاد صافي الإزاحة ، قم بتكامل دالة السرعة خلال الفترة. من ناحية أخرى ، تكون المسافة الإجمالية المقطوعة موجبة دائمًا. لإيجاد المسافة الإجمالية التي يقطعها جسم ما ، بغض النظر عن الاتجاه ، نحتاج إلى تكامل القيمة المطلقة لدالة السرعة.

مثال ( PageIndex {2} ): البحث عن صافي الإزاحة

بالنظر إلى وظيفة السرعة (v (t) = 3t − 5 ) (بالأمتار في الثانية) لجسيم متحرك من الوقت (t = 0 ) إلى الوقت (t = 3، ) أوجد صافي الإزاحة من الجسيم.

حل

بتطبيق نظرية صافي التغيير ، لدينا

[∫ ^ 3_0 (3t − 5) ، dt = left ( frac {3t ^ 2} {2} −5t right) bigg | ^ 3_0 = left [ frac {3 (3) ^ 2 } {2} −5 (3) right] −0 = frac {27} {2} −15 = frac {27} {2} - frac {30} {2} = - frac {3} {2}. لا يوجد رقم]

صافي الإزاحة هو (- frac {3} {2} ) م (الشكل ( PageIndex {2} )).

مثال ( PageIndex {3} ): إيجاد إجمالي المسافة المقطوعة

استخدم المثال ( PageIndex {2} ) لإيجاد المسافة الإجمالية التي يقطعها الجسيم وفقًا لدالة السرعة (v (t) = 3t − 5 ) m / sec خلال فترة زمنية ([0،3 ]. )

حل

تتضمن المسافة الإجمالية المقطوعة كلاً من القيم الموجبة والسالبة. لذلك ، يجب علينا تكامل القيمة المطلقة لدالة السرعة لإيجاد المسافة الكلية المقطوعة.

للاستمرار في المثال ، استخدم تكاملين لإيجاد المسافة الكلية. أولاً ، ابحث عن (t ) - تقاطع الوظيفة ، حيث أن هذا هو المكان الذي يحدث فيه تقسيم الفاصل الزمني. ضع المعادلة مساوية للصفر وحل من أجل (t ). هكذا،

[ start {align *} 3t − 5 & = 0 [4pt] 3t & = 5 [4pt] t & = frac {5} {3}. النهاية {محاذاة *} ]

الفترتان الفرعيتان هما ( left [0، frac {5} {3} right] ) و ( left [ frac {5} {3}، 3 right] ). لإيجاد المسافة الإجمالية المقطوعة ، ادمج القيمة المطلقة للدالة. نظرًا لأن الوظيفة سالبة على الفاصل ( left [0، frac {5} {3} right] ) ، لدينا ( big | v (t) big | = −v (t) ) خلال تلك الفترة. على ( left [ frac {5} {3}، 3 right] ) ، تكون الوظيفة موجبة ، لذلك ( big | v (t) big | = v (t) ). وهكذا لدينا

[ start {align *} ∫ ^ 3_0 | v (t) | ، dt & = ∫ ^ {5/3} _0 − v (t) ، dt + ∫ ^ 3_ {5/3} v (t) ، dt [4pt]
& = ∫ ^ {5/3} _0 5−3t ، dt + ∫ ^ 3_ {5/3} 3t − 5 ، dt [4pt]
& = left (5t− frac {3t ^ 2} {2} right) bigg | ^ {5/3} _0 + left ( frac {3t ^ 2} {2} −5t right) bigg | ^ 3_ {5/3} [4pt]
& = left [5 ( frac {5} {3}) - frac {3 (5/3) ^ 2} {2} right] −0+ left [ frac {27} {2} - 15 right] - left [ frac {3 (5/3) ^ 2} {2} - frac {25} {3} right] [4pt]
& = frac {25} {3} - frac {25} {6} + frac {27} {2} −15− frac {25} {6} + frac {25} {3} [4 نقطة]
& = frac {41} {6} end {align *} ]

إذن ، إجمالي المسافة المقطوعة هي ( frac {14} {6} ) م.

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد صافي الإزاحة وإجمالي المسافة المقطوعة بالأمتار مع الأخذ في الاعتبار دالة السرعة (f (t) = frac {1} {2} e ^ t − 2 ) خلال الفترة ([0،2] ).

تلميح

اتبع الإجراءات من أمثلة ( PageIndex {2} ) و ( PageIndex {3} ). لاحظ أن (f (t) ≤0 ) لـ (t≤ ln 4 ) و (f (t) ≥0 ) لـ (t≥ ln 4 ).

إجابه

صافي الإزاحة: ( frac {e ^ 2−9} {2} ≈ − 0.8055 ) م ؛ إجمالي المسافة المقطوعة: (4 ln 4−7.5 + frac {e ^ 2} {2} ≈1.740 ) م.

تطبيق نظرية التغيير الصافي

يمكن تطبيق نظرية صافي التغيير على تدفق واستهلاك السوائل ، كما هو موضح في المثال ( PageIndex {4} ).

مثال ( PageIndex {4} ): كم جالونًا من البنزين يتم استهلاكها؟

إذا تم بدء تشغيل المحرك على الزورق البخاري عند (t = 0 ) وكان القارب يستهلك البنزين بمعدل (5 − t ^ 3 ) غال / ساعة ، ما مقدار البنزين المستخدم في (2 ) ) ساعات؟

حل

عبر عن المسألة كتكامل محدد ، ودمجها ، وقيمها باستخدام النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. حدود التكامل هي نقاط نهاية الفترة [0،2]. نحن لدينا

[ start {align *} ∫ ^ 2_0 left (5 − t ^ 3 right) ، dt & = left (5t− frac {t ^ 4} {4} right) ∣ ^ 2_0 [4pt] & = left [5 (2) - frac {(2) ^ 4} {4} right] −0 [4pt] & = 10− frac {16} {4} [ 4 نقطة] & = 6. النهاية {محاذاة *} ]

وبالتالي ، فإن الزورق يستخدم (6 ) جالونًا من الغاز في (2 ) ساعة.

مثال ( PageIndex {5} ): فتاحة الفصل: Iceboats

كما رأينا في بداية الفصل ، في الأعلى الجليد يمكن للمتسابقين الوصول إلى سرعات تصل إلى خمسة أضعاف سرعة الرياح. أندرو هو مركب جليدي متوسط ​​، على الرغم من ذلك ، فهو يصل إلى سرعات تساوي ضعف سرعة الرياح فقط.

لنفترض أن أندرو أخذ قاربه الجليدي في صباح أحد الأيام عندما كان نسيم خفيف (5 ) - ميل في الساعة يهب طوال الصباح. مع قيام أندرو بإعداد قاربه الجليدي ، بدأت الريح في الارتفاع. خلال النصف ساعة الأولى من التزلج على الجليد ، تزداد سرعة الرياح وفقًا للوظيفة (v (t) = 20t + 5. ) في النصف الثاني من نزهة أندرو ، تظل الرياح ثابتة عند (15 ) ميل في الساعة. بعبارة أخرى ، يتم إعطاء سرعة الرياح بواسطة

[v (t) = begin {cases} 20t + 5، & text {for} 0≤t≤ frac {1} {2} 15، & text {for} frac {1} { 2} ≤t≤1 نهاية {حالات} عدد غير رسمي ]

تذكر أن زورق أندرو الجليدي يسافر بضعف سرعة الرياح ، وبافتراض أنه يتحرك في خط مستقيم بعيدًا عن نقطة البداية ، إلى أي مدى يبعد أندرو عن نقطة البداية بعد (1 ) ساعة؟

حل

لمعرفة المسافة التي قطعها أندرو ، نحتاج إلى تكامل سرعته ، وهي ضعف سرعة الرياح. ثم

[ text {Distance} = ∫ ^ 1_02v (t) ، dt. لا يوجد رقم]

استبدال التعبيرات المعطاة لنا من أجل (v (t) ) ، نحصل عليها

[ start {align *} ∫ ^ 1_02v (t) ، dt & = ∫ ^ {1/2} _02v (t) ، dt + ∫ ^ 1_ {1/2} 2v (t) ، dt [4 نقطة]
& = ∫ ^ {1/2} _02 (20t + 5) ، dt + ∫ ^ 1_ {1/3} 2 (15) ، dt [4pt]
& = ∫ ^ {1/2} _0 (40t + 10) ، dt + ∫ ^ 1_ {1/2} 30 ، dt [4pt]
& = big [20t ^ 2 + 10t big] bigg | ^ {1/2} _0 + big [30t big] bigg | ^ 1_ {1/2} [4pt]
& = left ( frac {20} {4} +5 right) −0+ (30−15) [4pt]
& = 25. النهاية {محاذاة *} ]

يبعد أندرو 25 ميلاً عن نقطة البداية بعد ساعة واحدة.

تمرين ( PageIndex {3} )

لنفترض أنه بدلاً من البقاء ثابتًا خلال النصف ساعة الثانية من نزهة أندرو ، بدأت الريح في التلاشي وفقًا للوظيفة (v (t) = - 10t + 15. ) بعبارة أخرى ، تُعطى سرعة الرياح بواسطة

[v (t) = begin {cases} 20t + 5، & text {for} 0≤t≤ frac {1} {2} - 10t + 15، & text {for} frac { 1} {2} ≤t≤1 end {cases}. لا يوجد رقم]

في ظل هذه الظروف ، كم يبعد أندرو عن نقطة البداية بعد ساعة واحدة؟

تلميح

لا تنس أن زورق أندرو الجليدي يتحرك مرتين أسرع من الريح.

إجابه

(17.5 ) ميل

دمج الدوال الزوجية والفردية

رأينا في الوظائف والرسوم البيانية أن دالة زوجية هي وظيفة يكون فيها (f (−x) = f (x) ) لجميع (x ) في المجال - أي أن الرسم البياني للمنحنى لا يتغير عندما يتم استبدال (x ) بـ (−x ). الرسوم البيانية للوظائف الزوجية متماثلة حول المحور (ص ). ان وظيفة غريبة هو واحد فيه (f (−x) = - f (x) ) لجميع (x ) في المجال ، ويكون الرسم البياني للوظيفة متماثلًا حول الأصل.

تكاملات الدوال الزوجية ، عندما تكون حدود التكامل من (- أ ) إلى (أ ) ، تتضمن منطقتين متساويتين ، لأنهما متماثلان حول المحور (ص ) -. تكاملات الدوال الفردية ، عندما تكون حدود التكامل متشابهة ([- أ ، أ] ، ) يتم تقييمها إلى الصفر لأن المساحات الموجودة أعلى وأسفل المحور (س ) - متساوية.

تكاملات الدوال الزوجية والفردية

للوظائف الزوجية المستمرة مثل (f (−x) = f (x) ، )

[∫ ^ a _ {- a} f (x) ، dx = 2∫ ^ a_0f (x) ، dx. ]

للوظائف الفردية المستمرة مثل (f (−x) = - f (x) ، )

[∫ ^ a _ {- a} f (x) ، dx = 0. ]

مثال ( PageIndex {6} ): تكامل دالة زوجية

ادمج الدالة الزوجية ( displaystyle ∫ ^ 2 _ {- 2} (3x ^ 8−2) ، dx ) وتحقق من أن صيغة التكامل للوظائف الزوجية صحيحة.

حل

يظهر التناظر في الرسوم البيانية في الشكل ( PageIndex {4} ). يوضح الرسم البياني (أ) المنطقة الواقعة أسفل المنحنى وفوق المحور (س ). علينا تكبير هذا الرسم البياني بمقدار كبير لرؤية المنطقة. يوضح الرسم البياني (ب) المنطقة فوق المنحنى وأسفل المحور (س ). المنطقة الموقعة لهذه المنطقة سلبية. يوضح كلا الرأيين التناظر حول محور (ص ) - للدالة الزوجية. نحن لدينا

[ start {align *} ∫ ^ 2 _ {- 2} (3x ^ 8−2) ، dx & = left ( frac {x ^ 9} {3} −2x right) ∣ ^ 2 _ {- 2} [4 نقطة]
& = left [ frac {(2) ^ 9} {3} −2 (2) right] - left [ frac {(- 2) ^ 9} {3} −2 (−2) right ] [4 نقطة]
& = left ( frac {512} {3} −4 right) - left (- frac {512} {3} +4 right) [4pt]
& = frac {1000} {3}. النهاية {محاذاة *} ]

للتحقق من صيغة التكامل للوظائف الزوجية ، يمكننا حساب التكامل من (0 ) إلى (2 ) ومضاعفته ، ثم التحقق للتأكد من حصولنا على نفس الإجابة.

[∫ ^ 2_0 (3x ^ 8−2) ، dx = left ( frac {x ^ 9} {3} −2x right) bigg | ^ 2_ {0} = frac {512} {3 } −4 = frac {500} {3} nonumber ]

منذ (2⋅ frac {500} {3} = frac {1000} {3}، ) تحققنا من صيغة الدوال الزوجية في هذا المثال بالذات.

مثال ( PageIndex {7} ): تكامل دالة فردية

احسب التكامل المحدد للدالة الفردية (- 5 sin x ) على الفاصل ([- π، π]. )

حل

يظهر الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {5} ). يمكننا أن نرى التماثل حول الأصل من خلال المنطقة الموجبة فوق (س ) - المحور فوق ([- π ، 0] ) ، والمساحة السالبة أسفل (س ) - المحور فوق ([ 0، π]. ) لدينا

[ start {align *} ∫ ^ π _ {- π} −5 sin x ، dx & = - 5 (- cos x) bigg | ^ π _ {- π} [4pt] & = 5 cos x ، bigg | ^ π _ {- π} [4pt] & = [5 cos π] - [5 cos (−π)] [4pt] & = - 5 - (- 5 ) = 0. النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {4} )

ادمج الدالة ( displaystyle ∫ ^ 2 _ {- 2} x ^ 4 ، dx. )

تلميح

ادمج دالة زوجية.

إجابه

( dfrac {64} {5} )

المفاهيم الرئيسية

  • تنص نظرية التغيير الصافي على أنه عندما تتغير الكمية ، فإن القيمة النهائية تساوي القيمة الأولية بالإضافة إلى تكامل معدل التغيير. يمكن أن يكون صافي التغيير رقمًا موجبًا أو رقمًا سالبًا أو صفرًا.
  • يمكن حساب المنطقة الواقعة تحت دالة زوجية على فاصل زمني متماثل بمضاعفة المنطقة على المحور الموجب (س ). بالنسبة للدالة الفردية ، فإن التكامل على فترة متماثلة يساوي صفرًا ، لأن نصف المساحة سالبة.

المعادلات الرئيسية

  • نظرية التغيير الصافي [F (b) = F (a) + ∫ ^ b_aF '(x) ، dx nonumber ] أو [∫ ^ b_aF' (x) ، dx = F (b) −F ( أ) عدد ]

قائمة المصطلحات

نظرية التغيير الصافي
إذا عرفنا معدل تغير الكمية ، فإن نظرية التغيير الصافي تنص على أن الكمية المستقبلية تساوي الكمية الأولية بالإضافة إلى تكامل معدل تغير الكمية


شاهد الفيديو: شرح تحقق من فهمك النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل (شهر اكتوبر 2021).