مقالات

2.4E: تحويل المعادلات غير الخطية إلى معادلات قابلة للفصل (تمارين) - الرياضيات


Q2.4.1

في تمارين 2.4.1-2.4.4 حل معادلة برنولي المعطاة.

1. (ص '+ ص = ص ^ 2 )

2. ({7xy'-2y = - {x ^ 2 over y ^ 6}} )

3. (x ^ 2y '+ 2y = 2e ^ {1 / x} y ^ {1/2} )

4. ({(1 + x ^ 2) y '+ 2xy = {1 over (1 + x ^ 2) y}} )

Q2.4.2

في تمارين 2.4.5 و 2.4.6 تجد كل الحلول. ارسم أيضًا حقل اتجاه وبعض المنحنيات المتكاملة على المنطقة المستطيلة المشار إليها.

5. (y'-xy = x ^ 3y ^ 3؛ quad {- 3 le x le 3، 2 le y ge 2 } )

6. ({y '- {1 + x over 3x} y = y ^ 4}؛ quad {- 2 le x le2، -2 le y le2 } )

Q2.4.3

في تمارين 2.4.7 - 2.4.11 حل مشكلة القيمة الأولية.

7. (y'-2y = xy ^ 3، quad y (0) = 2 sqrt2 )

8. (y'-xy = xy ^ {3/2}، quad y (1) = 4 )

9. (xy '+ y = x ^ 4y ^ 4، quad y (1) = 1/2 )

10. (y'-2y = 2y ^ {1/2}، quad y (0) = 1 )

11. ({y'-4y = {48x على y ^ 2}، quad y (0) = 1} )

Q2.4.4

في تمارين 2.4.12 و 2.4.13 حل مشكلة القيمة الأولية ورسم الحل بيانيًا.

12. (x ^ 2y '+ 2xy = y ^ 3، quad y (1) = 1 / sqrt2 )

13. (y'-y = xy ^ {1/2}، quad y (0) = 4 )

Q2.4.5

14. ربما لاحظت أن المعادلة اللوجستية [P '= aP (1- alpha P) ] من نموذج Verhulst للنمو السكاني يمكن كتابتها بصيغة برنولي كـ [P'-aP = -a alpha P ^ 2. ] هذا ليس مثيرًا للاهتمام بشكل خاص ، لأن المعادلة اللوجستية قابلة للفصل ، وبالتالي قابلة للحل بالطريقة المدروسة في القسم 2.2. لذلك دعونا نفكر في نموذج أكثر تعقيدًا ، حيث (a ) هو ثابت موجب و ( alpha ) دالة إيجابية مستمرة لـ (t ) على ([0، infty) ). معادلة هذا النموذج هي [P'-aP = -a alpha (t) P ^ 2، ] معادلة برنولي غير قابلة للفصل.

  1. بافتراض أن (P (0) = P_0> 0 ) ، ابحث عن (P ) لـ (t> 0 ).
  2. تحقق من أن النتيجة تقل إلى النتائج المعروفة للنموذج المالتوسي حيث ( alpha = 0 ) ، ونموذج Verhulst حيث ( alpha ) ثابت غير صفري.
  3. بافتراض أن [ lim_ {t to infty} e ^ {- at} int_0 ^ t alpha ( tau) e ^ {a tau} ، d tau = L ] موجود (محدود أو غير محدود ) ، ابحث عن ( lim_ {t to infty} P (t) ).

Q2.4.6

في تمارين 2.4.15-2.4.18 حل المعادلة صراحة.

15. (ص '= {ص + س أكثر من س} )

16. (y '= {y ^ 2 + 2xy أكثر من x ^ 2} )

17. (س ص ^ 3 ص = ص ^ 4 + س ^ 4 )

18. (y '= {y over x} + sec {y over x} )

Q2.4.7

في تمارين 2.4.19 - 2.4.21 حل المعادلة صراحة. ارسم أيضًا حقل اتجاه وبعض المنحنيات المتكاملة على المنطقة المستطيلة المشار إليها.

19. (x ^ 2y '= xy + x ^ 2 + y ^ 2؛ quad {- 8 le x le 8، -8 le y le 8 } )

20. (xyy '= x ^ 2 + 2y ^ 2؛ quad {- 4 le x le 4، -4 le y le 4 } )

21. (y '= {2y ^ 2 + x ^ 2e ^ {- (y / x) ^ 2} over 2xy}؛ quad {- 8 le x le 8، -8 le y جنيه 8 } )

Q2.4.8

في تمارين 2.4.22-2.4.27 حل مشكلة القيمة الأولية.

22. (y '= {xy + y ^ 2 over x ^ 2}، quad y (-1) = 2 )

23. (y '= {x ^ 3 + y ^ 3 over xy ^ 2}، quad y (1) = 3 )

24. (xyy '+ x ^ 2 + y ^ 2 = 0 ، quad y (1) = 2 )

25. (y '= {y ^ 2-3xy-5x ^ 2 over x ^ 2}، quad y (1) = - 1 )

26. (x ^ 2y '= 2x ^ 2 + y ^ 2 + 4xy، quad y (1) = 1 )

27. (xyy '= 3x ^ 2 + 4y ^ 2، quad y (1) = sqrt {3} )

Q2.4.9

في تمارين 2.4.28 - 2.4.34 حل المعادلة المتجانسة المعطاة ضمنيًا.

28. (y '= {x + y over x-y} )

29. ((y'x-y) ( ln | y | - ln | x |) = x )

30. (y '= {y ^ 3 + 2xy ^ 2 + x ^ 2y + x ^ 3 على x (y + x) ^ 2} )

31. (y '= {x + 2y أكثر من 2x + y} )

32. (y '= {y over y-2x} )

33. (y '= {xy ^ 2 + 2y ^ 3 over x ^ 3 + x ^ 2y + xy ^ 2} )

34. (y '= {x ^ 3 + x ^ 2y + 3y ^ 3 over x ^ 3 + 3xy ^ 2} )

Q2.4.10

35.

  1. ابحث عن حل لمشكلة القيمة الأولية [x ^ 2y '= y ^ 2 + xy-4x ^ 2، quad y (-1) = 0 tag {A} ] على الفاصل ((- infty ، 0) ). تحقق من أن هذا الحل صالح بالفعل على ((- infty، infty) ).
  2. استخدم Theorem 2.3.1 لتوضيح أن (A) له حل فريد في ((- infty، 0) ).
  3. ارسم حقل اتجاه للمعادلة التفاضلية في (A) على مربع [ {- r le x le r، -r le y le r } ، ] حيث (r ) هي أي قيمة موجبة عدد. ارسم الحل الذي حصلت عليه في (أ) في هذا المجال.
  4. ارسم حلولاً أخرى لـ (أ) التي تم تحديدها في ((- infty، infty) ).
  5. ارسم الحلول الأخرى لـ (أ) التي تم تعريفها فقط على فترات من النموذج ((- infty ، أ) ) ، حيث يوجد رقم موجب محدد.

36.

  1. حل المعادلة [xyy '= x ^ 2-xy + y ^ 2 tag {A} ] ضمنيًا.
  2. ارسم حقل اتجاه لـ (A) على مربع [ {0 le x le r ، 0 le y le r } ] حيث (r ) هو أي رقم موجب.
  3. لنفترض أن (K ) عددًا صحيحًا موجبًا. (قد تضطر إلى تجربة عدة اختيارات لـ (K ).) حلول الرسم البياني لمشاكل القيمة الأولية [xyy '= x ^ 2-xy + y ^ 2، quad y (r / 2) = {kr أكثر من K} ، ] لـ (k = 1 ) ، (2 ) ، ... ، (K ). بناءً على ملاحظاتك ، ابحث عن شروط للأرقام الموجبة (x_0 ) و (y_0 ) بحيث تكون مشكلة القيمة الأولية [xyy '= x ^ 2-xy + y ^ 2، quad y (x_0) = y_0 ، tag {B} ] لها حل فريد (i) في ((0، infty) ) أو (ii) فقط على فاصل زمني ((a، infty) ) ، حيث (a > 0 )؟
  4. ماذا يمكنك أن تقول عن الرسم البياني لحل (B) كـ (x to infty )؟ (مرة أخرى ، افترض أن (x_0> 0 ) و (y_0> 0 ).)

37.

  1. حل المعادلة [y '= {2y ^ 2-xy + 2x ^ 2 over xy + 2x ^ 2} tag {A} ] ضمنيًا.
  2. ارسم حقل اتجاه لـ (A) على مربع [ {- r le x le r، -r le y le r } ] حيث (r ) هو أي رقم موجب. من خلال رسم حلول بيانية لـ (A) ، حدد الشروط الضرورية والكافية على ((x_0، y_0) ) بحيث يكون (A) لديه حل على (i) ((- infty، 0) ) أو (ii) ((0، infty) ) مثل (y (x_0) = y_0 ).

38. اتبع تعليمات تمرين 2.4.37 للمعادلة [y '= {xy + x ^ 2 + y ^ 2 over xy}. ]

39. اختر أي معادلة غير خطية متجانسة (y '= q (y / x) ) تريدها ، وقم برسم حقول الاتجاه على المربع ( {- r le x le r، -r le y le r } ) ، حيث (r> 0 ). ماذا يحدث لحقل الاتجاه عندما تختلف (r )؟ لماذا ا؟

40. إثبات: إذا (ad-bc ne 0 ) ، يمكن تحويل المعادلة [y '= {ax + by + alpha over cx + dy + beta} ] إلى معادلة غير خطية متجانسة [{ dY over dX} = {aX + bY over cX + dY} ] بالتعويض (x = X-X_0 ، y = Y-Y_0 ) ، حيث (X_0 ) و (Y_0 ) هي ثوابت مختارة بشكل مناسب.

Q2.4.11

في تمارين 2.4.21 - 2.4.43 استخدم طريقة اقترحها تمرين 2.4.40 لحل المعادلة المعطاة ضمنيًا.

41. (y '= {-6x + y-3 أكثر من 2x-y-1} )

42. (y '= {2x + y + 1 over x + 2y-4} )

43. (y '= {-x + 3y-14 أكثر من x + y-2} )

Q2.4.12

في تمارين 2.4.44 - 2.4.51 ابحث عن دالة (y_ {1} ) بحيث يحول الاستبدال (y = uy_ {1} ) المعادلة المعطاة إلى معادلة قابلة للفصل بالشكل (2.4.6). ثم حل المعادلة المعطاة صراحة.

44. (3xy ^ 2y '= y ^ 3 + x )

45. (xyy '= 3x ^ 6 + 6y ^ 2 )

46. ​​ (x ^ 3y '= 2 (y ^ 2 + x ^ 2y-x ^ 4) )

47. (y '= y ^ 2e ^ {- x} + 4y + 2e ^ x )

48. (y '= {y ^ 2 + y tan x + tan ^ 2 x over sin ^ 2x} )

49. (x ( ln x) ^ 2y '= - 4 ( ln x) ^ 2 + y ln x + y ^ 2 )

50. (2x (y + 2 sqrt x) y '= (y + sqrt x) ^ 2 )

51. ((y + e ^ {x ^ 2}) y '= 2x (y ^ 2 + ye ^ {x ^ 2} + e ^ {2x ^ {2}} )

Q2.4.13

52. حل مشكلة القيمة الأولية [y '+ {2 over x} y = {3x ^ 2y ^ 2 + 6xy + 2 over x ^ 2 (2xy + 3)}، quad y (2) = 2 . ]

53. حل مشكلة القيمة الأولية [y '+ {3 over x} y = {3x ^ 4y ^ 2 + 10x ^ 2y + 6 over x ^ 3 (2x ^ 2y + 5)}، quad y ( 1) = 1. ]

54. إثبات: إذا كان (y ) حلًا لمعادلة غير خطية متجانسة (y '= q (y / x) ) ، كذلك (y_1 = y (ax) / a ) ، حيث ( أ ) هو أي ثابت غير صفري.

55. أ المعممة معادلة ريكاتي على شكل [y '= P (x) + Q (x) y + R (x) y ^ 2. العلامة {A} ] (إذا كان (R equiv-1 ) ، (أ) هو ملف معادلة ريكاتي.) لنكن (y_1 ) حلاً معروفًا و (ص ) حلًا عشوائيًا لـ (أ). دعونا (z = y-y_1 ). أظهر أن (z ) هو حل لمعادلة برنولي مع (n = 2 ).

Q2.4.14

في تمارين 2.4.56 - 2.4.59، نظرًا لأن (y_ {1} ) هو حل للمعادلة المحددة ، استخدم الطريقة المقترحة من قبل تمرين 2.4.55 لإيجاد حلول أخرى.

56. (ص '= 1 + س - (1 + 2 س) ص + س ص ^ 2 ) ؛ (y_1 = 1 )

57. (y '= e ^ {2x} + (1-2e ^ x) y + y ^ 2 ) ؛ (y_1 = e ^ x )

58. (xy '= 2-x + (2x-2) y-xy ^ 2 ) ؛ (y_1 = 1 )

59. (xy '= x ^ 3 + (1-2x ^ 2) y + xy ^ 2 ) ؛ (y_1 = س )


حل المشكلات وحل المعادلات الجبرية

الملخص

يعني حل المعادلة الجبرية إيجاد قيم متغير واحد أو أكثر بحيث يتم استيفاء المعادلة. بالنسبة لمتغير مستقل واحد ، يلزم وجود معادلة واحدة لحل قيمة فريدة للمتغير. الحل أو الجذر للمعادلة الجبرية هو قيمة أو مجموعة من قيم المتغير المستقل بحيث ينتج عن استبدال هذه القيمة في المعادلة معادلة صحيحة عدديًا. يمكن حل المعادلات متعددة الحدود من خلال الدرجة الرابعة جبريًا ، لكن بعض المعادلات من الدرجة الخامسة والدرجة الأعلى لا يمكن حلها جبريًا. يمكن الحصول على حلول لهذه المعادلات عدديًا إلى أي درجة من الدقة المطلوبة. يمكن حل معادلة واحدة في متغيرين لمتغير واحد كدالة للآخر. لحل متغيرين ، يجب على المرء أن يحل معادلتين في وقت واحد ، ولكن يجب أن تكون هذه المعادلات مستقلة ومتسقة. المعادلات المتزامنة الخطية المتزامنة لها حل غير بديهي فقط عند استيفاء شرط اعتماد معين.


سمات

هذا العنوان هو إصدار بيرسون العالمي. عمل فريق التحرير في Pearson عن كثب مع المعلمين في جميع أنحاء العالم لتضمين محتوى وثيق الصلة بالطلاب خارج الولايات المتحدة بشكل خاص.

· يتعلم الطلاب النظرية الأساسية للمعادلات التفاضلية أثناء استكشاف مجموعة متنوعة من التطبيقات الحديثة في العلوم والهندسة.

ا علاج حديث من مقدمة إلى فصل الأنظمة وتحليل مستوى الطور يزيد من فهم الطالب للمادة.

ا تنظيم مرن يسمح بتكوينات الدورة التدريبية والتركيز عليها (النظرية والتطبيقات والتقنيات والمفاهيم).

ا مشاكل التحفيز تبدأ معظم الفصول بمناقشة في الفيزياء أو مشكلة هندسية

ا أقسام مدفوعة بالتطبيقات تم تضمينها في الفصل الخاص بالمعادلات الخطية من الدرجة الثانية.

ا مراجعة المعادلات والمصفوفات الجبرية الخطية - يبدأ الفصل الخاص بطرق المصفوفات للأنظمة الخطية (الفصل 9) بقسمين تمهيديين حول نظرية الأنظمة الجبرية الخطية وجبر المصفوفة.

ا مراجعة ملحق تقنيات التكامل يقدم مراجعة لطرق تكامل الوظائف بشكل تحليلي. يقدم هذا للطلاب تحديثًا مفيدًا قبل بدء دورة المعادلات التفاضلية.

ا الجديد! أمثلة تمت إضافتها للتعامل مع تباين المعلمات وتحويلات لابلاس ووظيفة جاما والمتجهات الذاتية (من بين أمور أخرى).

· توفر الفرص القوية للتمارين والمهام الدراسية للمدرسين المرونة وتوفر للطلاب نطاقًا واسعًا من الممارسات.

ا المشاريع المتعلقة بالمواد مغطاة تظهر في نهاية كل فصل. قد تتضمن تطبيقات أكثر تحديًا ، أو تتعمق في النظرية ، أو تقدم موضوعات أكثر تقدمًا.

ا تمارين والتي تتدرج في الصعوبة وتتنوع حسب النوع ، وتشمل مجموعة متنوعة من التطبيقات مثل الضغط الجوي ، والفائدة المركبة ، والمعادلة الرياضية لقوة الدفع وزيادة السرعة.

ا ملخصات الفصول ومراجعة المشاكل في نهاية كل فصل لمساعدة الطلاب على فهم التعلم بشكل كامل وتعزيز الاحتفاظ بالمعرفة.

ا تمارين الكتابة الفنية مساعدة الطلاب على تطوير مهارات الاتصال لديهم ، وهو جانب أساسي من النشاط المهني.

ا استخدام اختياري لبرامج الكمبيوتر Mathematica ® و MATLAB ® و Maple ™ يمنح الطلاب فرصة لإجراء تجارب عددية ومعالجة التطبيقات الواقعية التي تعطي رؤى إضافية حول الموضوع. تقدم أدلة الإنترنت الخاصة بـ Maple و MATLAB و Mathematica نماذج من أوراق العمل والاقتراحات حول دمج هذه التقنيات في الدورات التدريبية.

لم يتم تضمين MyLab ™ Math. الطلاب ، إذا كان MyLab Math مكونًا موصى به / إلزاميًا في الدورة التدريبية ، فيرجى سؤال مدرسك عن رقم ISBN الصحيح. يجب شراء MyLab Math فقط عند طلب المدرب. المعلمين ، اتصل بممثل Pearson للحصول على مزيد من المعلومات.

جديد! لأول مرة ، يتوفر MyLab Math لهذا النص. MyLab Math هو عبارة عن واجب منزلي وبرنامج تعليمي وبرنامج تقييم عبر الإنترنت مصمم للعمل مع هذا النص لإشراك الطلاب وتحسين النتائج. ضمن بيئتها المنظمة ، يمارس الطلاب ما يتعلمونه ، ويختبرون فهمهم ، ويتبعون خطة دراسة شخصية تساعدهم على استيعاب مواد الدورة التدريبية وفهم المفاهيم الصعبة.

· تمارين مع ردود الفعل الفورية - يعتمد ما يقرب من 750 تمرينًا قابلاً للتخصيص على تمارين الكتاب المدرسي ، ويتم تجديدها بطريقة حسابية لمنح الطلاب فرصة غير محدودة للممارسة والإتقان. يوفر MyLab Math ملاحظات مفيدة عندما يقوم الطلاب بإدخال إجابات غير صحيحة ويتضمن أدوات تعليمية اختيارية بما في ذلك Help Me Solve This ، وعرض مثال ، ومقاطع الفيديو ، والنص الإلكتروني. يمكن للمدرس أن يقرر ما إذا كان سيسمح للطلاب بالوصول إلى وسائل التعلم ومتى عن طريق التعيين ، أو على مستوى التمرين حتى يحصل الطلاب على المستوى المناسب من الدعم أثناء إعدادهم أيضًا للعمل بشكل مستقل.

· مجموعة من مقاطع الفيديو التعليمية ، إبراز المؤلفين ، وتقديم دعم هادف للطلاب ومرونة للمدرسين في كيفية استخدامهم. يمكن للمدرسين تعيين أسئلة تتعلق بمقاطع الفيديو من أجل قياس فهم الطلاب للمفاهيم ، عن طريق تحديد التمارين عبر دليل المهام المستندة إلى الفيديو. أو يمكن للمدرسين استخدام مقاطع الفيديو في الفصل أو كمورد إضافي حول موضوعات محددة.

· النص الإلكتروني التفاعلي الكامل متاح للطلاب من خلال دورات MyLab Math الخاصة بهم طوال عمر الإصدار ، مما يمنح الطلاب وصولاً غير محدود إلى النص الإلكتروني في أي دورة تدريبية باستخدام هذا الإصدار من الكتاب المدرسي. يوفر النص الإلكتروني من Pearson روابط تفاعلية طوال الوقت ، حتى يتمكن الطلاب من مشاهدة مقاطع الفيديو حول الأمثلة الرئيسية أثناء قراءتهم.

· Learning Catalytics ™ يساعد المدرسين على إنشاء نقاش في الفصل وتخصيص المحاضرات وتعزيز التعلم من نظير إلى نظير باستخدام تحليلات في الوقت الفعلي. كأداة لاستجابة الطلاب ، تستخدم Learning Catalytics الهواتف الذكية أو الأجهزة اللوحية أو أجهزة الكمبيوتر المحمولة للطلاب لإشراكهم في مهام وتفكير أكثر تفاعلية.

o مساعدة الطلاب على تطوير مهارات التفكير النقدي.

o مراقبة الاستجابات لمعرفة أين يعاني الطلاب.

o الاعتماد على بيانات الوقت الفعلي لتعديل استراتيجية التدريس.

o تجميع الطلاب تلقائيًا للمناقشة والعمل الجماعي والتعلم من نظير إلى نظير.

· إمكانية الوصول ويسير الإنجاز جنبًا إلى جنب. يتوافق MyLab Math مع قارئ الشاشة JAWS ، ويتيح قراءة أنواع مشكلات الاختيار من متعدد والاستجابة المجانية والتفاعل معها عبر عناصر تحكم لوحة المفاتيح وإدخال الرموز الرياضية. يعمل MyMathLab أيضًا مع مكبرات الشاشة ، بما في ذلك ZoomText و MAGic و SuperNova. وجميع مقاطع فيديو MyMathLab تحتوي على تسميات توضيحية مغلقة. يتوفر مزيد من المعلومات في http://mymathlab.com/accessibility.

· دفتر علامات شامل مع وظيفة إعداد التقارير المحسّنة التي تسمح بإدارة الدورة التدريبية بكفاءة.

ا لوحة التقارير يوفر نظرة ثاقبة لعرض نتائج التعلم وتحليلها والإبلاغ عنها. يتم تقديم بيانات أداء الطلاب على مستوى الفصل والقسم والبرنامج بطريقة مرئية يسهل الوصول إليها لإتاحة الوصول إلى جميع المعلومات المطلوبة لإبقاء الطلاب على المسار الصحيح.

ا تحليل العنصر يتتبع الفهم على مستوى الفصل لتمارين معينة لتحسين محاضرات الفصل أو تعديل منهج الدورة / القسم. لم يكن التدريس في الوقت المناسب أسهل من أي وقت مضى!

جديد في هذا الإصدار

تم إجراء العديد من التغييرات التربوية بما في ذلك تضخيم التمييز بين حلول مستوي الطور والمسارات الفعلية في الفصل 5 ، ودمج الصيغ اليعقوبية والمصفوفة للأنظمة المستقلة.

مشاكل جديدة تضاف إلى مجموعات التمرين تتعامل مع موضوعات مثل متغيرات بوابات المحور العصبي وتذبذبات بالون مملوء بالهيليوم على سلك. بالإضافة إلى ذلك ، تصاحب المشاريع الجديدة مشاكل جديدة ، مع التركيز على النماذج الاقتصادية ، والسيطرة على الأمراض ، والمزامنة ، وانتشار الإشارة ، وتحليلات مستوى الطور للاستجابات العصبية.

أمثلة جديدة تمت إضافتها للتعامل مع تباين المعلمات وتحويلات لابلاس ووظيفة جاما والمتجهات الذاتية (من بين أمور أخرى).

الفصل 1 لديه مشروع جديد يسمى "تطبيقات على الاقتصاد" يتعامل مع نماذج للاقتصاد الزراعي وكذلك نمو رأس المال.

الفصل 4 يحتوي على مشروع جديد يسمى "Gravity Train" الذي يدعو القارئ لاستخدام المعادلات التفاضلية في تصميم نفق تحت الأرض من موسكو إلى سانت بطرسبرغ ، روسيا ، باستخدام الجاذبية للدفع.

الفصل 5 مشروعين جديدين.

يصف "وباء الإيبولا 2014-2015" نظام المعادلات التفاضلية لنمذجة انتشار المرض في غرب إفريقيا. يشتمل النموذج على ميزات مثل تتبع جهات الاتصال ، وعدد جهات الاتصال ، واحتمال الإصابة ، وفعالية العزل.

الحلقات المغلقة بالطور تشكل موضوع مشروع جديد يستخدم المعادلات التفاضلية لتحليل تقنية لقياس أو مطابقة التذبذبات الراديوية عالية التردد.

الفصل 7، تم تحديث فصل Laplace Transforms ، بحيث يتم الآن تقسيم معالجات الوظائف غير المستمرة والدورية إلى قسمين أكثر ملاءمة لمحاضرات مدتها 50 دقيقة: القسم 7.6 "تحويلات الوظائف غير المستمرة" والقسم 7.7 "تحويلات الدورية والقوة المهام."

الفصل 10 لديه مشروع جديد يوسع تحليل معادلات الموجة والحرارة لاستكشاف معادلات التلغراف والكابل.

الملحق ز هو ملحق جديد يسرد البرامج التجارية والبرامج المجانية لحقول الاتجاه وصور الطور والأساليب العددية لحل المعادلات التفاضلية.

لم يتم تضمين MyLab ™ Math. الطلاب ، إذا كان MyLab Math مكونًا موصى به / إلزاميًا في الدورة التدريبية ، فيرجى سؤال مدرسك عن رقم ISBN الصحيح. يجب شراء MyLab Math فقط عند طلب المدرب. المعلمين ، اتصل بممثل Pearson للحصول على مزيد من المعلومات.

لأول مرة ، يتوفر MyLab ™ Math مع هذا الإصدار للمعادلات التفاضلية. MyLab Math هو عبارة عن واجب منزلي وبرنامج تعليمي وبرنامج تقييم عبر الإنترنت مصمم للعمل مع هذا النص لإشراك الطلاب وتحسين النتائج. ضمن بيئتها المنظمة ، يمارس الطلاب ما يتعلمونه ، ويختبرون فهمهم ، ويتبعون خطة دراسة شخصية تساعدهم على استيعاب مواد الدورة التدريبية وفهم المفاهيم الصعبة.

تمارين مع ردود الفعل الفورية - يعتمد ما يقرب من 750 تمرينًا قابلاً للتخصيص على تمارين الكتاب المدرسي ، ويتم تجديدها بطريقة حسابية لمنح الطلاب فرصة غير محدودة للممارسة والإتقان. يوفر MyLab Math ملاحظات مفيدة عندما يقوم الطلاب بإدخال إجابات غير صحيحة ويتضمن أدوات تعليمية اختيارية بما في ذلك Help Me Solve This ، وعرض مثال ، ومقاطع الفيديو ، والنص الإلكتروني. يمكن للمدرس أن يقرر ما إذا كان يسمح للطلاب بالوصول إلى وسيلة المساعدة التعليمية ومتى يسمح لهم بذلك - عن طريق التعيين أو على مستوى التمرين - حتى يحصل الطلاب على المستوى المناسب من الدعم أثناء إعدادهم أيضًا للعمل بشكل مستقل.

مجموعة جديدة من مقاطع الفيديو التعليمية تقديم دعم هادف للطلاب ومرونة للمدرسين في كيفية استخدامها. يمكن للمدرسين تعيين أسئلة تتعلق بمقاطع الفيديو من أجل قياس فهم الطلاب للمفاهيم ، عن طريق تحديد التمارين عبر دليل المهام المستندة إلى الفيديو. أو يمكن للمدرسين استخدام مقاطع الفيديو في الفصل أو كمورد إضافي حول موضوعات محددة.

النص الإلكتروني التفاعلي الكامل متاح للطلاب من خلال دورات MyLab Math الخاصة بهم طوال عمر الإصدار ، مما يمنح الطلاب وصولاً غير محدود إلى النص الإلكتروني في أي دورة تدريبية باستخدام هذا الإصدار من الكتاب المدرسي. يوفر النص الإلكتروني من Pearson روابط تفاعلية طوال الوقت ، حتى يتمكن الطلاب من مشاهدة مقاطع الفيديو حول الأمثلة الرئيسية أثناء قراءتهم.

Learning Catalytics ™ يساعد المدرسين على إنشاء نقاش في الفصل وتخصيص المحاضرات وتعزيز التعلم من نظير إلى نظير باستخدام تحليلات في الوقت الفعلي. كأداة لاستجابة الطلاب ، تستخدم Learning Catalytics الهواتف الذكية أو الأجهزة اللوحية أو أجهزة الكمبيوتر المحمولة للطلاب لإشراكهم في مهام وتفكير أكثر تفاعلية.

ساعد الطلاب على تطوير مهارات التفكير النقدي.

راقب الردود لمعرفة أين يعاني الطلاب.

اعتمد على بيانات الوقت الفعلي لتعديل استراتيجية التدريس.

قم بتجميع الطلاب تلقائيًا للمناقشة والعمل الجماعي والتعلم من نظير إلى نظير.

إمكانية الوصول ويسير الإنجاز جنبًا إلى جنب. يتوافق MyLab Math مع قارئ الشاشة JAWS ، ويتيح قراءة أنواع مشكلات الاختيار من متعدد والاستجابة المجانية والتفاعل معها عبر عناصر تحكم لوحة المفاتيح وإدخال الرموز الرياضية. يعمل MyLab Math أيضًا مع مكبرات الشاشة ، بما في ذلك ZoomText و MAGic و SuperNova. وتحتوي جميع مقاطع فيديو MyLab Math على تسميات توضيحية مغلقة. يتوفر مزيد من المعلومات على http://mymathlab.com/accessibility.

أ دفتر علامات شامل مع وظيفة إعداد التقارير المحسّنة التي تسمح بإدارة الدورة بكفاءة.

لوحة التقارير يوفر نظرة ثاقبة لعرض نتائج التعلم وتحليلها والإبلاغ عنها. يتم تقديم بيانات أداء الطلاب على مستوى الفصل والقسم والبرنامج بطريقة مرئية يسهل الوصول إليها لإتاحة الوصول إلى جميع المعلومات المطلوبة لإبقاء الطلاب على المسار الصحيح.

تحليل العنصر يتتبع الفهم على مستوى الفصل لتمارين معينة لتحسين محاضرات الفصل أو تعديل منهج الدورة / القسم. لم يكن التدريس في الوقت المناسب أسهل من أي وقت مضى!


قائمة المصطلحات

يعد حل أنظمة المعادلات الخطية أحد أهم مجالات الرياضيات الحسابية. لن نقدم هذا الموضوع بالتفصيل - فهو يستحق دورة خاصة. بدلاً من ذلك ، نعتبر حالة واحدة خاصة ومهمة جدًا عندما تكون المصفوفة الأولية ثلاثية الأضلاع:

يمكن حل نظام المعادلات الجبرية هذا باستخدام إجراء حذف Gaussian القياسي ، والذي يقلل في الواقع المشكلة إلى شكل مثلث علوي. يشار إلى هذه المرحلة عادةً باسم الإقصاء الأمامي (FE). بمجرد اكتمالها ، فإن المرحلة الثانية ، والتي تسمى الاستبدال العكسي (BS) ، تتضمن إيجاد حل حقيقي. لذلك ، عادة ما تسمى هذه الخوارزمية FEBS، أو في المصطلحات الحسابية "progonka". في الهندسة ، ترتبط طريقة FEBS بالعالم البريطاني Llewellyn H. Thomas من مختبرات بيل الذي حل مشكلة بواسون بسيطة (انظر المثال التالي) باستخدام هذه الطريقة في عام 1946. تاريخيًا ، عالم الرياضيات السوفيتي البارز يسرائيل مويسيفيتش جلفاند (1913-2009) ) اكتشف خوارزمية FEBS في عام 1933 عندما كان طالبًا جامعيًا في السنة الثانية. لقد رفض شخصيًا ربط اسمه بـ FEBS لأنه ، في رأيه ، كان تطبيقًا بسيطًا للغاية للتخلص من Gaussian. بدلاً من ذلك ، اقترح تسمية خوارزمية FEBS باسم "progonka (& pcy & rcy & ocy & gcy & ocy & ncy & kcy & acy)" ، وهذه اللغة العامية مقبولة على نطاق واسع.

باستخدام إجراء الحذف ، يتم تقليل المصفوفة المعززة إلى شكل مثلث علوي مكافئ:

خوارزمية FEBS (progonka)
مرحلة الاستبعاد٪

من أجل i = 2 إلى n
د (i) = d (i) - u (i-1) * l (i) / d (i-1)
ب (i) = ب (i) - ب (i-1) * l (i) / d (i-1)
endfor

س (ن) = ب (ن) / د (ن)
بالنسبة إلى i = n-1 وصولاً إلى 1
x (i) = (b (i) - u (i) * x (i + 1)) / d (i)
endfor

نظرية: إذا كانت المصفوفة ثلاثية الأضلاع أ مسيطر قطريًا ( (d_i & gt | l_i | + | u_i | & gt 0، quad 1 le i le n )) ، ثم ستنجح خوارزمية FEBS في إنتاج الحل الصحيح للنظام الخطي الأصلي ، ضمن القيود لتقريب الخطأ. & # 9632

مثال: مشكلة ديريتشليت للمذبذب الخطي

مثال: ضع في اعتبارك مشكلة Dirichlet في الفترة [0،1]:

نقسم الفترة [0،1] إلى ن فواصل فرعية متساوية (x_ ، x_k] ، ) وفقًا لـ

هذا نظام ثلاثي الأضلاع من المعادلات الخطية. مكتوبة في شكل مصفوفة متجه ، لدينا

العودة إلى صفحة ماثيماتيكا
العودة إلى الصفحة الرئيسية (APMA0330)
العودة إلى الجزء 1 (التخطيط)
العودة إلى الجزء 2 (ODEs من الدرجة الأولى)
العودة إلى الجزء 3 (الطرق العددية)
العودة إلى الجزء 4 (المعادلات التفاضلية الأخرى ذات الترتيب الثاني والأعلى)
العودة إلى الجزء 5 (السلسلة والتكرارات)
العودة إلى الجزء 6 (تحويل لابلاس)
العودة إلى الجزء 7 (مشاكل قيمة الحدود)


2.4E: تحويل المعادلات غير الخطية إلى معادلات قابلة للفصل (تمارين) - الرياضيات

Concourse Math 18.03 - تقويم الموضوعات وواجبات HW - ربيع 2020

آخر تحديث الثلاثاء 21 يوليو 2020 12:44 م

المفاهيم الأساسية: المعادلات التفاضلية المستقلة ، مجالات الاتجاه ، المنحنيات المتكاملة ، وجود الحلول وتفردها (حلول عامة ، حلول خاصة بشروط أولية) ، أمثلة ، نماذج ، حلول رقمية / رسومية. المعادلات الخطية ، المعادلات القابلة للفصل (النمو الأسي مع الحصاد ، مشاكل الخلط ، مشاكل التبريد) ، منظور النظام / الإشارة.

محاضرة # 1 ملاحظات (تمت المراجعة في 2 فبراير 2020)

جويل / dfield / لديه أداة جيدة لرسم حقول الاتجاه (المنحدر). يتطلب الإصدار الحالي تنزيل ملف Java قابل للتنفيذ على جهاز الكمبيوتر الخاص بك وتشغيله محليًا على جهازك الخاص. يمكنك تخصيص خيارات متنوعة. يمكنك أيضًا طباعة الرسوم البيانية. [يختلف اسم Java باختلاف الكمبيوتر ونظام التشغيل ، لذلك قد نضطر إلى تقديم بعض الوثائق الإضافية.] [متوفر هنا أيضًا]

مجالات الاتجاه ، منحنيات متكاملة ، خطوط متساوية ، مفاصل ، قمع ، طرق رسومية. المعادلات الخطية ، الحلول المتجانسة مقابل الحلول غير المتجانسة ، طريقة المعاملات غير المحددة. حل المعادلات الخطية من الدرجة الأولى عن طريق دمج العوامل والخطية.

محاضرة # 2 ملاحظات (تمت المراجعة في 5 فبراير 2020)

النماذج الخطية والخطية ، التباين المستمر للمعلمات الخطية ذات الترتيب الأعلى لـ ODEs ، استجابة النظام الخطي للإشارة والاستجابة للمدخلات الأسية والجيبية.

محاضرة # 3 ملاحظات (قد تتم مراجعته)

استجابة النظام الخطي لكسب المدخلات الأسية والجيبية ، وتأخر المرحلة.

محاضرة # 4 ملاحظات (قد تتم مراجعته)

مجموعة المشاكل رقم 3 (الخميس 27 شباط)
EP 1.7 (النماذج السكانية)
EP 7.1 (حلول التوازن والاستقرار)
ملاحظات IR.6 (نماذج استجابة الإدخال)
SN 4 (محاليل جيبية)
SN 5 (جبر الأعداد المركبة)
C.1-C.4 (الأعداد المركبة)
SN 6 (الأسي المركب)

مواضيع الامتحان وأسئلة التدريب على الامتحان رقم 1
(نفس اسم المستخدم / كلمة المرور مثل الحلول)

تدرب على الامتحان 1 الحلول

يوم الرؤساء - لا توجد فصول دراسية

[جدول الاثنين] معادلة معقدة القيمة مرتبطة بالمدخلات الجيبية. جبر الأعداد المركبة الأعداد المركبة الأسية ، جذور العدد واحد. تطبيقات لعلم المثلثات والتكامل وحل معادلات التطوير الحاسوبية (الاستبدال المعقد). معادلة معقدة القيمة مرتبطة بكسب المدخلات الجيبية ، تأخر الطور.

المحاضرة رقم 5 ملاحظات (تمت المراجعة في 19 فبراير 2020)

المعادلات المستقلة ، خط الطور ، التوازن ، النقاط الحرجة ، الاستقرار. المعامل الثابت الخطي من الدرجة الثانية ، المعامل الخطي ، كثير الحدود المميز.

المحاضرة 6-7 ملاحظات (قد تتم مراجعته)

مجموعة المشاكل رقم 4 (بسبب الثلاثاء ، 10 مارس)
2.1 EP (معادلات خطية من الدرجة الثانية)
EP 2.2 (الحلول العامة للمعادلات الخطية)
الفراغات الفرعية ، الامتداد ، الاستقلال الخطي ، أساس صور الفضاء الجزئي ونواة المصفوفة (RW)
مسافات خطية عامة (مسافات متجهة) وحلول ODE (RW)
EP 2.3 (المعادلات المتجانسة مع المعاملات الثابتة)
SN 19 (The Wronskian)
2.4 EP (الاهتزازات الميكانيكية)
SN 7 (إيقاعات)
SN 8 (دوائر RLC)
SN 9 (تطبيع الحلول)
SN 10 (العوامل وصيغة الاستجابة الأسية)
EP 2.5 (المعادلات غير المتجانسة والمعاملات غير المحددة)

الجبر الخطي: الفراغات الفرعية ، الامتداد ، الصورة والنواة ، الاستقلال الخطي ، الأساس ، البعد ، الإحداثيات بالنسبة إلى الأساس.

المعامل الخطي الثابت من الدرجة الثانية ، المعامل الخطي الثابت ، متعدد الحدود المميز ، الأنماط ، استقلالية الحلول ، وتراكب الحلول مصفوفة Wronskian و Wronskian المحدد الجيبي والاستجابة الأسية الحلول الطبيعية المذبذب التوافقي. جذور مميزة معقدة. [قد يتم تحويل بعض الموضوعات إلى محاضرات أخرى]

المحاضرة رقم 8 ملاحظات (تمت المراجعة في 26 فبراير 2020)

عوامل تشغيل خطية ذات معاملات ثابتة (ثابت زمني) ، حلول أسية ، أمثلة متعددة الحدود المميزة للحلول المتجانسة ذات الجذور الحقيقية المتميزة ، جذور معقدة نقية (قانون هوك).

المحاضرة رقم 9 ملاحظات (يجب مراجعتها)

حالة مشغلي الوقت الثابت الخطي (LTI) للجذور المتكررة لمشغلي متعدد الحدود المميز ومعادلة الاستجابة الأسية (ERF) وصيغة الاستجابة الرنينية (RRF) لإشارات الدخل الأسية والجيبية. رنين الكسب والتأخر الطوري ، والاستبدال المعقد ، والكسب المعقد ، وتأخر الطور ، والحركة التوافقية القسرية

المحاضرة رقم 10 ملاحظات (تمت المراجعة في 17 مارس 2020 لتشمل الدليل الكامل على RRF)

مجموعة المشاكل رقم 5 (الاستحقاق الأربعاء ، 18 مارس)
SN 10 (العوامل وصيغة الاستجابة الأسية)
EP 2.6 (التذبذبات والرنين القسريين)
SN 12 (الرنين)
ملاحظات O (معاملات التفاضل الخطي)
SN 11 (معاملات غير محددة)
SN 13 (ثبات الوقت)
SN 14 (قانون التحول الأسي)
SN 15 (التردد الطبيعي ونسبة التخميد)
SN 16 (استجابة التردد)
SN 17 (الرنين ، وليس: جسر Tacomah Narrows)
2.7 (الدوائر الكهربائية)
راجع ملاحظات الفصل حول صيغة التحول الأسي وتنوع المعامِلات.

ترتيب نون الخطي ملخص ODE

صيغة الاستجابة الأسية (ERF) ، صيغة الاستجابة للرنين (RRF) تباين قاعدة التحول الأسي للمعلمات لأنظمة الترتيب الأعلى.

المحاضرة رقم 11 ملاحظات (قد تتم مراجعته)

الرنين ، الاستجابة الترددية ، أنظمة LTI ، التراكب ، دوائر RLC [دارات RLC ذات الاستجابة الترددية للرنين ثبات الوقت]

أمثلة على تباين المعلمات وقاعدة التحول الأسي المدخلات غير المستمرة.

المحاضرة رقم 12 ملاحظات (تمت المراجعة في 27 مارس 2020)

ملخص طرق المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية والحلول المتجانسة والمحددة وسلسلة فورييه للمدخلات الدورية نظرية فورييه ودالة معاملات فورييه التربيعية.
ملحوظة: الخطة الحالية هي القيام بالمزيد من & quotsurvey لسلسلة Fourier مع تطبيقات إلى ODE & quot بدلاً من المعالجة الكاملة. يمكنك ، إذا كنت ترغب في ذلك ، قراءة الأشياء بمزيد من التفصيل في ملاحظات المحاضرة المنتجة مسبقًا.

ملاحظات عرض Zoom لهذا الأسبوع:

ملخص الطلب الخطي فورييه الأول

فورييه الثاني فورييه الثالث

مجموعة المشاكل رقم 6 (الخميس 9 أبريل)
8.1 EP (الدوال الدورية والسلسلة المثلثية)
SN 20 (المزيد عن سلسلة فورييه)
EP 8.2 (سلسلة جنرال فورييه والتقارب)
EP 8.3 (سلسلة فورييه الجيب وجيب التمام)
EP 8.4 (تطبيقات سلسلة فورييه)

المحاضرة رقم 13 ملاحظات (قد تتم مراجعته)

المحاضرة رقم 14 ملاحظات (تمت المراجعة في 27 مارس 2020)

الرسومات المستخدمة في فصول الإلقاء في 31 مارس: صفحة 1 ، صفحة 2 ، صفحة 3 ، صفحة 4

أسئلة التدريب والحلول للامتحان # 2
(نفس اسم المستخدم / كلمة المرور مثل الحلول)

سلسلة فورييه: التعامد ، المنتجات الداخلية ، الإسقاط المتعامد ، تطبيقات نظرية فيثاغورس على المعادلات التفاضلية - الاستجابة التوافقية ، الرنين

وظيفة سن المنشار تمييز ودمج سلسلة فورييه نصائح وحيل أمبير: معرف حساب المثلثات ، تركيبة خطية ، تحول

الرسوم التخطيطية المستخدمة في فصول تلاوة 2 أبريل (ملف PDF من 4 صفحات)

الامتحان رقم 2 حلول

الدوال المعممة ، المشتق المعمم ، الدوال التدريجية والدلتا. ردود الاندفاع والخطوة.
ملحوظة: الخطة الحالية هي القيام بالمزيد من الاستقصاء & quotsurvey للوظائف المعممة وتحولات لابلاس مع التطبيقات إلى ODE & quot بدلاً من المعالجة الكاملة. الهدف هو ببساطة تقديم الأفكار وتوضيحها ببعض الأمثلة. يمكنك ، إذا كنت ترغب في ذلك ، قراءة الأشياء بمزيد من التفصيل في ملاحظات المحاضرة وفي ملاحظات العرض التقديمي Zoom التالية:

المحاضرة رقم 15 ملاحظات (جديد ، يمكن تعديله)

دلتا لابلاس 1 دلتا لابلاس 2 دلتا لابلاس 3

تحويل لابلاس: الخصائص الأساسية والقواعد والحسابات النموذجية فكرة t-domain vs s-domain حول كيفية حل المعادلات التفاضلية عن طريق ترجمة المعادلات التفاضلية إلى معادلات جبرية.

المحاضرة رقم 16 ملاحظات (جديد ، يمكن تعديله)

وظائف الخطوة والدلتا. استجابات النبضة والخطوة ، منتج الالتفاف للوحدة المشتقة المعممة.

المحاضرة رقم 17-18 ملاحظات

اسكتشات استخدمت في فصل 9 أبريل لتلاوة (بي دي إف)

الحل بالشروط الأولية مثل w * q. التحويل العكسي للشروط الأولية غير المستقرة للمعادلات من الدرجة الأولى]. [أمثلة عملية لتحويل لابلاس والتفاف] مقدمة لأنظمة المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى وحقول المتجه المرتبطة بها.

المحاضرة رقم 17-18 ملاحظات

حل معادلات ODE بشروط أولية مثل w * q طرق الكسر الجزئي شروط أولية غير سكونية للمعادلات من الدرجة الأولى

اسكتشات مستخدمة في فصول الإلقاء في 14 أبريل (ملف PDF مع تصحيحات)

Introduction to vector fields and systems of 1st order ODEs reduction of order - nth order equations and systems of 1st order equations matrix representation.

Sketches used in Apr 15 Lecture (PDF w/additions/corrections)

Notes on Continuous Dynamical Systems - Part 1

Here's a website that has a good java-based tool for showing vector fields and flows: https://www.cs.unm.edu/

joel/dfield/ The current version requires you to download a Java executable file to your own computer and to run it locally on your own machine. You can customize various options. You can also print the graphs. [How Java is called varies on computer and operating system, so we may have to provide some additional documentation.] [Also available here]

Problem Set #8 (due Wed, Apr 29)
EP 5.1 (First-Order systems and applications)
EP 5.2 (The method of elimination)
EP 5.3 (Matrices and linear systems)
Notes LS.1 (Linear systems: Review of linear algebra)
Notes LS.2.2 (Homogeneous linear systems w/constant coefficients)
EP 5.4 (The eigenvalue methods for homogeneous systems)
SN 30 (First order systems and second order equations)
SN 31 (Phase portraits in two dimensions)
Supplement on Evolution Matrices
Supplement on Linear Coordinates, Alternate Bases, and Evolution Matrices
Matrix Methods for Solving Systems of 1st Order Linear Differential Equations
Phase portraits for the linear ODE examples

Sketches used in Apr 16 recitation classes (PDF w/additions/corrections)

Linear algebra: linear independence, span, basis, coordinates matrix of a linear transformation relative to a basis.

Notes on Coordinate Changes (general idea)

Sketches used in Apr 21 recitation classes (PDF)

Notes on Linear Coordinates and Change of Basis

Notes on Continuous Dynamical Systems - Part 1

Sketches used in Apr 22 Lecture (no video and short class)

Sketches used in Apr 23 recitation classes

Complex eigenvalues Qualitative behavior of linear systems phase plane

Notes on Continuous Dynamical Systems - Part 2

Sketches used in Apr 27 Lecture (PDF)

Matrix Methods for Solving Systems of 1st Order Linear Differential Equations

Phase portraits for the linear ODE examples

Solving System of 1st Order Linear Differential Equations, continued repeated eigenvalues decomposition of 1st order linear system into mode (block matrices) simple nonlinear system with shifted equilibrium

Sketches used in Apr 29 Lecture (PDF)

Qualitative behavior of linear systems phase plane [Eigenvalues vs coefficients Complex eigenvalues Repeated eigenvalues Defective, complete Trace-determinant plane Stability] simple nonlinear systems.

Sketches used in May 4 Lecture (PDF)

Sketches used in May 6 Lecture (PDF)

Nonlinear systems linearization near equilibria, Jacobian matrices the nonlinear pendulum autonomous systems, predator-prey systems.

Mathematical Theory of Epidemics (Kermack, McKendrick, 1927) - 22 pages, somewhat technical, see pgs 713-714 in particular)

Practice Final Exam Problems Solutions

Final Exam -- 9:00am to noon

مراجع:
FH: Farlow-Hall-McDill-West, Differential Equations & Linear Algebra, Pearson/Prentice-Hall, 2nd Edition
EP: C. Henry Edwards and David E. Penney, Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems, Prentice-Hall, Sixth Edition.
SN: 18.03 Supplementary Notes, available on the course website.
Notes: 18.03 Notes and Exercises available on the course website.


Numerical Analysis 9th Edition Solution Manual

Student Solutions Manual and Study Guide. Chapters 1 & 2 Preview for. Prepared by. Richard L. Burden. Youngstown State University. J. Douglas Faires. Youngstown State University. Australia • Brazil • Japan • Korea • Mexico • Singapore • Spain • United Kingdom • United States. Numerical Analysis. 9th EDITION. Richard .

Solutions of Equations in One Variable [0.125in]3.375in0.02in The

Solutions of Equations in One Variable. The Bisection Method. Numerical Analysis (9th Edition). R L Burden & J D Faires. Beamer Presentation Slides prepared by. John Carroll. Dublin City University c 2011 Brooks/Cole, Cengage Learning .

Numerical Analysis

Solutions of many of the exercises are provided. About the name: the term “ numerical” analysis is fairly recent. A clas- sic book [170] on the topic changed names between editions, adopting the. “numerical analysis” title in a later edition [171]. The origins of the part of mathematics we now call analysis were all numerical, .

Solutions of Equations in One Variable [0.125in]3.375in0.02in

Solutions of Equations in One Variable. Newton's Method. Numerical Analysis ( 9th Edition). R L Burden & J D Faires. Beamer Presentation Slides prepared by. John Carroll. Dublin City University c 2011 Brooks/Cole, Cengage Learning .

Syllabus for MATH 4073, Numerical Analysis I, Sec. 001 Fall 2016

Course catalog description: Solution of linear and nonlinear equations, approximation of functions, numerical integration and . Numerical Analysis, 9th edition, 2010, Brooks/Cole, ISBN-10: 0538733519,. ISBN-13: 978- . Copying solutions from a solutions manual, from someone else's work, or from the Internet is a .

MATH 132: Numerical Analysis II Spring 2015

Jan 16, 2015 . ary value problems for ordinary differential equations, and numerical solutions to partial differential . Course Materials: • Textbook: Richard L. Burden and J. Douglas Faires, Numerical Analysis, Brooks/Cole,. 9th edition (2011). • If you are looking for an introduction to MATLAB, a good reference is the book .

Kreyszig - Advanced Engineering Mathematics 9e BW

Complex Analysis,. Potential Theory. Chaps. 13-17. Basic Material. I. ••. Chap. 18 . Potential Theory. PART F. Chaps. 22-23. Optimization, Graphs. Chap. 22. Chap. 23. Linear Programming. Graphs, Optimization. GUIDES AND MANUALS. Maple Computer Guide. Mathematica. Computer Guide. Student Solutions Manual.

Numerical Methods for Computational Science and Engineering

May 1, 2015 . ETH Lecture 401-0663-00L Numerical Methods for CSE. Numerical Methods for. Computational Science and . The online version will always be work in progress and subject to change. (Nevertheless, structure and main . 2.7.4 Direct Solution of Sparse Linear Systems of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 201.

Introduction to Numerical Methods and Matlab Programming for

May 4, 2017 . numerical methods for Civil Engineering majors during 2002-2004 and was modified to include . In these lecture notes, instruction on using Matlab is dispersed through the material on numerical . If we are trying to find a numerical solution of an equation f(x) = 0, then there are a few different ways we.

M.E. Communication Systems

fundamentals, and an engineering specialization to the solution of complex engineering problems. 2. Problem . solutions in societal and environmental contexts, and demonstrate the knowledge of, and need . Burden, R. C. and Faires, J. D., "Numerical Analysis ", 9th Edition, Cengage Learning, 2016. 3. Gross, D.

Elementary linear algebra 10th edition

New Chapter on Numerical Methods In the previous edition an assortment of topics appeared in the last chapter. . Applications There is an expanded version of this text by Howard Anton and Chris Rorres entitled . Student Solutions Manual This supplement provides detailed solutions to most theoretical exercises and.

BOOK LIST FALL 2017 CLASS BOOK TITLE & ISBN INSTRUCTOR

CS180. Required: Operating system concepts, 9th edition,. International Student Version by Abraham Silberschatz, Peter B. Galvin, and Greg. Gagne. ISBN: 978-1 -1180-9375-7. 8th edition available from Safari Books Online. Modern operating systems,. Global edition, 4th edition by Andrew S. Tanenbaum and Herbert Bos.

Quantitative Chemical Analysis

Quantitative Chemical. Analysis. SEVENTH EDITION. Daniel C. Harris. Michelson Laboratory. China Lake, California. W. H. Freeman and Company. New York . and a heterogeneous material? Complete solutions to Problems can be found in the Solutions. Manual. Short answers to numerical problems are at the back.

Student Solutions Manual for Elementary Differential Equations and

Mar 3, 2014 . 8. 2.3 Existence and Uniqueness of Solutions of Nonlinear Equations. 11. 2.4 Transformation of Nonlinear Equations into Separable Equations. 13. 2.5 Exact Equations. 17. 2.6 Integrating Factors. 21. Chapter 3 Numerical Methods. 25. 3.1 Euler's Method. 25. 3.2 The Improved Euler Method and Related .

Small Memory Software Patterns For Systems With Limited Memory

Nov 1, 2016 . Thank you for downloading small memory software patterns for systems with limited memory. Maybe you have knowledge that, people have search hundreds times for their chosen readings like this small memory software patterns for systems with limited memory, but end up in malicious downloads. Rather .

Efficient Numerical Methods for Nonlinear MPC and Moving Horizon

Abstract. This overview paper reviews numerical methods for solution of optimal control problems in real-time, as they arise in nonlinear model predictive control ( NMPC) as well as in moving horizon estimation (MHE). In the first part, we review numerical optimal control solution methods, focussing exclusively on a discrete .

Solutions and Applications Manual

Solutions and Applications Manual. Econometric Analysis. Sixth Edition. William H. Greene. New York University. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458 . This book presents solutions to the end of chapter exercises and applications in Econometric Analysis. There . In some cases, the numerical solutions.

BENCHMARK WORKSHOP

ON THE NUMERICAL ANALYSIS OF DAMS, 9th – 11th September 2015. Lausanne, SWITZERLAND. Edited by . Analysis and Design of Dams, “ Benchmark Workshops are organised to compare numerical models between one another and/or with reference solutions, including the dissemination and publication of results”.

Applied Numerical Methods W/MATLAB

Applied Numerical Methods with MATLAB® for Engineers and Scientists. Third Edition. Steven C. Chapra. Berger Chair in Computing and Engineering. Tufts University. TM . show how a comparable solution can be generated with a simple numerical method. We end the chapter with an overview of the major areas of .

Computer science, software engineering & information technology

Feb 8, 2008 . Computing Supporting Courses for Computer Science Porgramme. 25. Computing General Education. 27 . clearly delineate objectives, methods of solution, results, and conclusions for a complex task. . Prentice Hall 2010. 3. Data and Computer Communications By William Stallings 9th Edition 2011 .


Stability of Flows

The Euler Equation: Linear andNonlinear Stability/Instability

We conclude this brief article with some discussion of instabilities in the inviscid Euler equations whose existence is likely to be important as a “trigger” for the development of instabilities in high-Reynolds-number viscous flows. As we mentioned, the Euler equations are very different from the Navier–Stokes equations in their mathematical structure. The Euler equations are degenerate and nonelliptic. As such, the spectrum of the linearized operator إله is not amenable to standard spectral theory of elliptic operators. For example, unlike the Navier–Stokes operator, the spectrum of إله is not purely discrete even in bounded domains. To define إله we consider a steady Euler flow U 0 x , P 0 x , where

We assume that U 0 ∈ C ∞ . For the Euler equations, appropriate boundary conditions include zero normal component of U 0 on a rigid boundary, or periodicity conditions (i.e., flow on a torus) or suitable decay at infinity in an unbounded domain. The theorems that we will be describing have been proved mainly in the cases of the second and third conditions stated above. There are many classes of vector fields U 0 x , in two and three dimensions, that satisfy [12a] and [12b] . We write [4a] and [4b] in perturbation form as

Linear (spectral) instability of a steady Euler flow U 0 x concerns the structure of the spectrum of إله. Assuming U 0 ∈ C ∞ T n , the linear equation

defines a strongly continuous group in every Sobolev space W s , p with generator إله. We denote this group by exp L E t . For the issue of spectral instability of the Euler equation it proves useful to study not only the spectrum of إله but also the spectrum of the evolution operator exp L E t . This permits the development of an explicit formula for the growth rate of a small perturbation due to the essential (or continuous) spectrum. It was proved by Vishik (1996) that a quantity Λ, refered to as a “fluid Lyapunov exponent” gives the maximum growth rate of the essential spectrum of exp L E t . This quantity is obtained by computing the exponential growth rate of a certain vector that satisfies a specific system of ODEs over the trajectories of the flow U 0 x . This proves to be an effective mechanism for detecting instabilities in the essential spectrum which result due to high-spatial-frequency perturbations. For example, for this reason any flow U 0 x with a hyperbolic fixed point is linearly unstable with growth in the sense of the إل2-norm. In two dimensions, Λ is equal to the maximal classical Lyapunov exponent (i.e., the exponential growth of a tangent vector over the ODE x . = U 0 ( x ) ). In three dimensions, the existence of a nonzero classical Lyapunov exponent implies that Λ>0. However, in three dimensions there are also examples where the classical Lyapunov exponent is zero and yet Λ>0. We note that the delicate issue of the unstable essential spectrum is strongly dependent on the function space for the perturbations and that Λ, for a given يو0, will vary with this function space. More details and examples of instabilities in the essential spectrum can be found in references in the bibliography.

In contrast with instabilities in the essential spectrum, the existence of discrete unstable eigenvalues is independent of the norm in which growth is measured. From this point of view, such instabilities can be considered as “strong.” However, for most flows U 0 x we do not know the existence of such unstable eigenvalues. For fully 3D flows there are no examples, to our knowledge, where such unstable eigenvalues have been proved to exist for flows with standard metrics. The case that has received the most attention in the literature is the “relatively simple” case of plane parallel shear flow. The eigenvalue problem is governed by the Rayleigh equation (which is the inviscid version of the Orr–Sommerfeld equation [11] ):

The celebrated Rayleigh stability criterion says that a sufficient condition for the eigenvalues λ to be pure imaginary is the absence of an inflection point in the shear profile U z . It is more difficult to prove the converse however, there have been several recent results that show that oscillating profiles indeed produce unstable eigenvalues. For example, if U z = sin mz the continued fraction proof of Meshalkin and Sinai can be adapted to exhibit the full unstable spectrum for [18] . We note the “fluid Lyapunov exponent” Λ is zero for all shear flows thus the only way the unstable spectrum can be nonempty for shear flows is via discrete unstable eigenvalues.

As we have discussed, it is possible to show that many classes of steady Euler flows are linearly unstable, either due to a nonempty unstable essential spectrum (i.e., cases where Λ>0) or due to unstable eigenvalues or possibly for both reasons. It is natural to ask what this means about the stability/instability of the full nonlinear Euler equations [14]–[16] . The issue of nonlinear stability is complex and there are several natural precise definitions of nonlinear stability and its converse instability.

One definition is to consider nonlinear stability in the energy norm إل 2 and the enstrophy norm ح 1 , which are natural function spaces to measure growth of disturbances but are not “correct” spaces for the Euler equations in terms of proven properties of existence and uniqueness of solutions to the nonlinear equation. Falling under this definition is the most frequently employed method to prove nonlinear stability, which is an elegant technique developed by Arnol’d (cf. Arnol’d and Khesin (1998) and references therein). This is based on the existence of the so-called energy-Casimirs. The vorticity curl ف is transported by the motion of the fluid so that at time ر it is obtained from the vorticity at time ر=0 by a volume-preserving diffeomorphism. In the terminology of Arnol’d, the velocity fields obtained in this manner at any two times are called isovortical. For a given field U 0 x , the class of isovortical fields is an infinite-dimensional manifold م, which is the orbit of the group of volume-preserving diffeomorphisms in the space of divergence-free vector fields. The steady flows are exactly the critical points of the energy functional ه restricted to م. If a critical point is a strict local maximum or minimum of ه, then the steady flow is nonlinearly stable in the space ي1 of divergence-free vectors u x , t (satisfying the boundary conditions) that have finite norm,

This theory can be applied, for example, to show that any shear flow with no inflection points in the profile U z is nonlinearly unstable in the function space ي1, that is, the classical Rayleigh criterion implies not only spectral stability but also nonlinear stability.

We note that Arnol’d’s stability method cannot be applied to the Euler equations in three dimensions because the second variation of the energy defined on the tangent space to م is never definite at a critical point U 0 x . This result is suggestive, but does not prove, that most Euler flows in three dimensions are nonlinearly unstable in the Arnol’d sense. To quote Arnol’d, in the context of the Euler equations “there appear to be an infinitely great number of unstable configurations.”

In recent years, there have been a number of results concerning nonlinear instability for the Euler equation. Most of these results prove nonlinear instability under certain assumptions on the structure of the spectrum of the linearized Euler operator. To date, none of the approaches prove the definitive result that in general linear instability implies nonlinear instability. As we have remarked, this is a much more delicate issue for Euler than for Navier–Stokes because of the existence, for a generic Euler flow, of a nonempty essential unstable spectrum. To give a flavor of the mathematical treatment of nonlinear instability for the Euler equations, we present one recent result and refer the interested reader to articles listed in the “ Further reading ” section for further results and discussions.

In the context of Euler equations in two dimensions, we adopt the following definition of Lyapunov stability.

Definition 4

An equilibrium solution U 0 x is called Lyapunov stable if for every ɛ>0 there exists δ>0 so that for any divergence-free vector u x , 0 ∈ W 1 + s , p , s > 2 / p , such that ‖ u ( x , 0 ) ‖ L 2 < δ the unique solution u x , t to [14]–[16] satisfies

We note that we require the initial value u x , 0 to be in the Sobolev space W 1 + s , p , s > p / 2 , since it is known that the 2D Euler equations are globally in time well posed in this function space.

Definition 5

Any steady flow U 0 x for which the conditions of Definition 4 are violated is called nonlinearly unstable in إل 2 .

Observe that the open issues (in three dimensions) of nonuniqueness or nonexistence of solutions to [14]–[16] would, under Definition 5 , be scenarios for instability.

(Nonlinear instability for 2D Euler flows). يترك U 0 x ∈ C ∞ T 2 be satisfy [12] . يترك Λ be the maximal Lyapunov exponent to the ODE x . = U 0 ( x ) . Assume that there exists an eigenvalue λ in the L 2 spectrum of the linear operator Lه given by [15] مع Reλ>Λ. Then in the sense of Definition 5 , U 0 x is Lyapunov unstable with respect to growth in the L 2 -norm.

The proof of this result is given in Vishik and Friedlander (2003) and uses a so-called “bootstrap” argument whose origins can be found in references in that article. We remark that the above result gives nonlinear instability with respect to growth of the energy of a perturbation which seems to be a physically reasonable measure of instability.

In order to apply Theorem 6 to a specific 2D flow it is necessary to know that the linear operator إله has an eigenvalue with Reλ>Λ. As we have discussed, such knowledge is lacking for a generic flow U 0 x . Once again, we turn to shear flows. As we noted Λ=0 for shear flows, any shear profile for which unstable eigenvalues have been proved to exist provides an example of nonlinear instability with respect to growth in the energy.

We conclude with the observation that it is tempting to speculate that, given the complexity of flows in three dimensions, most, if not all, such inviscid flows are nonlinearly unstable. It is clear from the concept of the fluid Lyapunov exponent that stretching in a flow is associated with instabilities and there are more mechanisms for stretching in three, as opposed to two, dimensions. However, to date there are virtually no mathematical results for the nonlinear stability problem for fully 3D flows and many challenging issues remain entirely open.


Simplify and Expand

The simplify command finds the simplest form of an equation.
Simplify[expr,assum] does simplification using assumptions.
Expand[expr,patt] leaves unexpanded any parts of expr that are free of the pattern patt.
ExpandAll[expr] expands out all products and integer powers in ant part of exps.
ExpandAll[expr,patt] avoids expanding parts of expr that do not contain terms matching the pattern patt.

One of Mathematica’s most useful features for new users is algebraic manipulation. The program enables the user to avoid tedious exercises in simplification, expansion, and manipulation of algebraic expressions. For example, rather than spending odious amounts of time using the distributive property, Mathematica allows the user to quickly discover that ( (x-1)(x-7)(x+2)(x-4) = x^4 -10,x^3 + 15, x^2 + 50, x -56. )


2.4E: Transformation of Nonlinear Equations into Separable Equations (Exercises) - Mathematics

Instructor: Nikola Petrov, 802 PHSC, (405)325-4316, npetrov AT math.ou.edu.

Office hours (tentative): Mon 2:30-3:30 p.m., Thu 1:20-2:30 p.m., or by appointment.

المتطلبات الأساسية: Introduction to Partial Differential Equations (MATH 4163) or permission of instructor.

وصف كتالوج الدورة: First order equations, Cauchy problem for higher order equations, second order equations with constant coefficients, linear hyperbolic equations. (Sp)

  • PDEs arising in mechanics, electrodynamics, heat propagation, fluid dynamics.
  • Laplace's equation, harmonic functions, Dirichlet's Principle, Gauss Mean Value Theorem and its inverse, Maximum Principle, regularity of harmonic functions, Liouville's Theorem.
  • Classical Fourier transform (FT) and its inverse, solving PDEs by using FT. Distributions: definition, convergence, derivatives, extension of the FT to distributions, properties, examples.
  • Fundamental solutions of Laplace's and Poisson's equations, Green's functions, method of images, inversion.
  • Heat equation, solution using the FT, uniqueness, fundamental solutions, non-homogeneous problem, Duhamel's principle.
  • Wave equation. Solution in 1D: D'Alembert's formula, uniqueness by the energy method. Solution in 3D: fundamental solution, Kirchhoff's formula, Hadamard's method of descent, Huygens' principle. Fundamental solutions, non-homogeneous problems.
  • Banach spaces, Hilbert spaces, weak derivatives, Sobolev spaces. Existence of a weak solution of the Poisson's equation. Embedding theorems for Sobolev spaces.
  • Eigenfunction expansions, existence and properties of eigenvalues of certain types of operators, variational principle for the principal eigenvalue.
  • (If time permits) First-order PDEs: linear, quasilinear (Burgers' equation), and nonlinear (Hamilton-Jacobi equation).

    S. Salsa. Partial Differential Equations in Action. From modelling to theory. Springer, 2008.

We will also use parts of the following books, freely available online for OU students:

    A. C. King, J. Billingham, S. R. Otto. Differential Equations. Linear, nonlinear, ordinary, partial. Cambridge University Press, 2003.
  • Homework 1, due Thu, Jan 23.
  • Homework 2, due Thu, Jan 30.
  • Homework 3, due Thu, Feb 6.
  • Homework 4, due Thu, Feb 13.
  • Homework 5, due Fri, Feb 21, at 4 p.m. in 802 PHSC.
  • Homework 6, due Fri, Feb 28, at 5 p.m. in 802 PHSC.
  • Homework 7, due Fri, Mar 6, at 5 p.m. in 802 PHSC.
  • Homework 8, due Wed, Apr 9, at 5 p.m. in 802 PHSC.
  • Homework 9, due Fri, Apr 18, at 5 p.m. in 802 PHSC.
  • Homework 10, due Fri, May 2, at 5 p.m. in 802 PHSC.

    Lecture 1 (Tue, Jan 14):Basic partial differential equations: classification of partial differential equations (PDEs), arbitrariness in the general solution of a PDE of order k for a function of م variables a detailed derivation of the heat equation ج&rhoشر=&nabla&sdot(k&nablaش)+&Psi(x,ر) (where &Psi(x,ر) is the volume density of the power of the heat sources inside the domain), or, for constant k, شر=&alpha 2 &Deltaش+&psi(x,ر) derivation of the the boundary conditions for the heat equation: Dirichlet condition (the temperature is controlled at the boundary), Neumann condition (the heat flux is controlled at the boundary), Robin condition (convective heat exchange with the surroundings) [Sec. 1.2]

Grading: Your grade will be determined by your performance on the following coursework:

Coursework Weight
Homework (lowest grade dropped) 30%
Two midterm exams (20% each) 40%
Final Exam 30%

الواجب المنزلي: It is absolutely essential to solve the assigned homework problems! Homework assignments will be given regularly throughout the semester and will be posted on this web-site. The homework will be due at the start of class on the due date. Each homework will consist of several problems, of which some pseudo-randomly chosen problems will be graded. Your lowest homework grade will be dropped. Your homework should have your name clearly written on it, and should be stapled. No late homeworks will be accepted!

Exams: There will be two in-class midterms and a comprehensive in-class final exam.
Tentative dates for the midterms are February 25 (Tuesday) and April 17 (Thursday).
The final exam is scheduled for May 9 (Friday), 1:30-3:30 p.m.
All tests must be taken at the scheduled times, except in extraordinary circumstances.
Please do not arrange travel plans that prevent you from taking any of the exams at the scheduled time.

Attendance: You are required to attend class on those days when an examination is being given attendance during other class periods is also strongly encouraged. You are fully responsible for the material covered in each class, whether or not you attend. Make-ups for missed exams will be given only if there is a compelling reason for the absence, which I know about beforehand and can document independently of your testimony (for example, via a note or a phone call from a doctor or a parent).

Policy on W/I grades : From January 13 to January 27, you can withdraw from the course without record of grade. From January 28 to February 21, graduate students can withdraw from the course with an automatic "W" (for undergraduate students this period is January 28 to March 28). After this you may petition to the Dean to withdraw and receive a "W" or "F" grade according to your standing in the class. (Such petitions are not often granted. Furthermore, even if the petition is granted, I will give you a grade of "Withdrawn Failing" if you are indeed failing at the time of your petition.) Please check the dates in the Academic Calendar!

The grade of "I" (Incomplete) is ليس intended to serve as a benign substitute for the grade of "F". I only give the "I" grade if a student has completed the majority of the work in the course (for example everything except the final exam), the coursework cannot be completed because of compelling and verifiable problems beyond the student's control, and the student expresses a clear intention of making up the missed work as soon as possible.

Academic misconduct: All cases of suspected academic misconduct will be referred to the Dean of the College of Arts and Sciences for prosecution under the University's Academic Misconduct Code. The penalties can be quite severe. Don't do it!
For details on the University's policies concerning academic integrity see the Student's Guide to Academic Integrity at the Academic Integrity web-site. For information on your rights to appeal charges of academic misconduct consult the Academic Integrity Code. Please check out the web-site of the OU Student Conduct Office.

Students with disabilities: The University of Oklahoma is committed to providing reasonable accommodation for all students with disabilities. Students with disabilities who require accommodations in this course are requested to speak with the instructor as early in the semester as possible. Students with disabilities must be registered with the Office of Disability Services prior to receiving accommodations in this course. The Office of Disability Services is located in Goddard Health Center, Suite 166: phone 405-325-3852 or TDD only 405-325-4173.


Nonlinear Regression Equations

While a linear equation has one basic form, nonlinear equations can take many different forms. The easiest way to determine whether an equation is nonlinear is to focus on the term “nonlinear” itself. Literally, it’s not linear. If the equation doesn’t meet the criteria above for a linear equation, it’s nonlinear.

That covers many different forms, which is why nonlinear regression provides the most flexible curve-fitting functionality. Here are several examples from Minitab’s nonlinear function catalog. Thetas represent the parameters and X represents the predictor in the nonlinear functions. Unlike linear regression, these functions can have more than one parameter per predictor variable.

Nonlinear function One possible shape
Power (convex): Theta1 * X^Theta2
Weibull growth: Theta1 + (Theta2 - Theta1) * exp(-Theta3 * X^Theta4)
Fourier: Theta1 * cos(X + Theta4) + (Theta2 * cos(2*X + Theta4) + Theta3

Here is an example of a nonlinear regression model of the relationship between density and electron mobility.

The nonlinear equation is so long it that it doesn't fit on the graph:

Mobility = (1288.14 + 1491.08 * Density Ln + 583.238 * Density Ln^2 + 75.4167 * Density Ln^3) / (1 + 0.966295 * Density Ln + 0.397973 * Density Ln^2 + 0.0497273 * Density Ln^3)

Linear and nonlinear regression are actually named after the functional form of the models that each analysis accepts. I hope the distinction between linear and nonlinear equations is clearer and that you understand how it’s possible for linear regression to model curves! It also explains why you’ll see R-squared displayed for some curvilinear models even though it’s impossible to calculate R-squared for nonlinear regression.