مقالات

5.3: 5.3 مخططات نسيج العنكبوت للخرائط التكرارية أحادية البعد - الرياضيات


تتمثل إحدى الطرق الممكنة لحل مساحة الطور المكتظة في نظام الوقت المنفصل في إنشاء مسافات من طورين ، واحدة للوقت (t − 1 ) وأخرى لـ (t ) ، ثم رسم مسارات حالة النظام في مساحة المرحلة الفوقية التي يتم الحصول عليها عن طريق وضع مسافات مرحلتين متعامدين مع بعضهما البعض. بهذه الطريقة ، من المحتمل أن تفصل المسارات المتشابكة لجعلها مفهومة بصريًا.

ومع ذلك ، فإن هذه الفكرة الرائعة على ما يبدو لديها مشكلة أساسية واحدة. إنه يعمل فقط للأنظمة أحادية البعد ، لأن الأنظمة ثنائية الأبعاد أو أعلى تتطلب أربعة أبعاد أو أكثر لتصور فضاء الطور الفوقي ، والذي لا يمكن تخيله في العالم المادي ثلاثي الأبعاد الذي نحن فيه مقيدون.

لا تزال فكرة الفضاء ذات المرحلة الفوقية هذه فعالة وقوية لتصور ديناميكيات الخرائط التكرارية أحادية البعد. التصور الناتج يسمى مؤامرة نسيج العنكبوت، والتي تلعب دورًا مهمًا كأداة تحليلية بديهية لفهم الديناميكيات غير الخطية للأنظمة أحادية البعد.

إليك كيفية رسم مخطط بيت العنكبوت يدويًا لخريطة تكرارية أحادية البعد ، (x_ {t} = f (x_ {t − 1}) ) ، مع نطاق (x_ {t} ) يجري ([x_ {min}، x_ {max}] ). احصل على قطعة من الورق وقلم ، وقم بما يلي:

1. ارسم مربعًا على ورقتك. قم بتسمية الحافة السفلية كمحور (x_ {t − 1} ) ، والحافة اليسرى كمحور (x_ {t} ). قم بتسمية نطاق قيمها على المحاور (الشكل 5.3.1).

2. ارسم منحنى (x_ {t} = f (x_ {t − 1}) ) وخط قطري (x_ {t} = x_ {t − 1} ) داخل المربع (الشكل 5.3. 2). لاحظ أن نقاط توازن النظام تظهر في هذه المؤامرة كنقاط حيث يتقاطع المنحنى والخط.

3. ارسم مسارًا من (x_ {t − 1} ) إلى (x_ {t} ). يمكن القيام بذلك باستخدام المنحنى (x_ {t} = f (x_ {t − 1)} ) (الشكل 5.3.3). ابدأ من قيمة الحالة الحالية على المحور السفلي (مبدئيًا ، هذه هي القيمة الأولية (x_ {0} ) ، كما هو موضح في الشكل 5.3.3) ، وانتقل عموديًا حتى تصل إلى المنحنى. ثم قم بتبديل اتجاه الحركة إلى الوضع الأفقي والوصول إلى المحور الأيسر. ينتهي بك الأمر عند القيمة التالية لحالة النظام ( (x_ {1} ) في الشكل. يمثل السهمان الأحمران اللذان يربطان المحورين المسار بين نقطتين زمنيتين متتاليتين.

4. قم بإعادة قيمة الحالة الجديدة إلى المحور الأفقي. يمكن القيام بذلك على شكل انعكاس بسيط في المرآة باستخدام الخط القطري (الشكل 5.3.4). هذا يكمل خطوة واحدة من "المحاكاة اليدوية" على مخطط نسيج العنكبوت.

5. كرر الخطوات المذكورة أعلاه لمعرفة أين سيذهب النظام في النهاية (الشكل 5.3.5).
6. بمجرد أن تعتاد على هذه العملية ، ستلاحظ أنه ليس عليك حقًا لمس أي من المحورين. كل ما عليك فعله لرسم مخطط بيت العنكبوت هو الارتداد ذهابًا وإيابًا بين المنحنى والخط (الشكل 5.3.6)—تحرك عموديًا إلى المنحنى, أفقيا على الخط ، وكرر.

تمرين ( PageIndex {1} )

ارسم مخططًا لشبكة العنكبوت لكل من النماذج التالية:

تمرين ( PageIndex {2} )

ارسم مخطط شبكة عنكبوت لنموذج النمو اللوجستي التالي مع (r = 1 ) ، (K = 1 ) ، (N_ {0} = 0.1 ):

[N_ {t} = N_ {t-1} + rN_ {t-1} (1- frac {N_ {t-1}} {K}) label {(5.17)} ]

يمكن أيضًا رسم مخططات نسيج العنكبوت باستخدام Python. الكود 5.4 هو مثال على كيفية رسم مخطط شبكة العنكبوت لنموذج النمو الأسي (الكود 4.9) ناتجها وارد في الشكل 5.4.1.

تمرين ( PageIndex {3} )

باستخدام Python ، ارسم مخططًا لشبكة العنكبوت لنموذج النمو اللوجستي باستخدام (r = 2.5 ) ، (K = 1 ) ، (N_ {0} = 0.1 ).


شاهد الفيديو: نسج خيوط العنكبوت سبحان الله (شهر اكتوبر 2021).