مقالات

5.3: حدود اللانهاية واللانهاية - الرياضيات


تعريف

لنفترض أن (D مجموعة فرعية mathbb {R} ، f: D rightarrow mathbb {R} ، ) ونفترض أن (a ) هي نقطة حد لـ (D ). نقول أن (f ) يتباعد إلى (+ infty ) عندما يقترب (س ) (أ ) ، يُشار إليه

[ lim _ {x rightarrow a} f (x) = + infty، ]

إذا كان لكل رقم حقيقي (M ) يوجد ( دلتا> 0 ) من هذا القبيل

[f (x)> M text {when} x neq a text {and} x in (a- delta، a + delta) cap D. ]

وبالمثل ، نقول أن (f ) يتباعد إلى (- infty ) حيث يقترب (x ) (أ ، )

[ lim _ {x rightarrow a} f (x) = - infty، ]

إذا كان لكل رقم حقيقي (M ) يوجد ( دلتا> 0 ) من هذا القبيل

[f (x)

تمرين ( PageIndex {1} )

تقديم تعريفات لـ

أ. ( lim _ {x rightarrow a ^ {+}} f (x) = + infty ) ،

ب. ( lim _ {x rightarrow a ^ {-}} f (x) = + infty ) ،

ج. ( lim _ {x rightarrow a ^ {+}} f (x) = - infty ) ،

د. ( lim _ {x rightarrow a ^ {-}} f (x) = - infty ).

نموذج تعريفاتك على التعاريف السابقة.

تمرين ( PageIndex {2} )

أظهر أن ( lim _ {x rightarrow 4 ^ {+}} frac {7} {4-x} = - infty ) و ( lim _ {x rightarrow 4 ^ {-}} frac {7} {4-x} = + infty ).

تعريف

لنفترض أن (D subset mathbb {R} ) ليس له حد أعلى ، (f: D rightarrow mathbb {R} ) ، و (L in mathbb {R}. ) نحن قل أن حد (f ) عندما يقترب (x ) من (+ infty ) هو (L ، ) يُشار إليه

[ lim _ {x rightarrow + infty} f (x) = L، ]

إذا كان لكل ( epsilon> 0 ) عدد حقيقي (م ) من هذا القبيل

[| f (x) -L | < epsilon text {when} x in (M، + infty) cap D. ]

تعريف

لنفترض أن (D subset mathbb {R} ) ليس له حد أدنى ، (f: D rightarrow mathbb {R} ) ، و (L in mathbb {R}. ) نحن قل أن حد (f ) عندما يقترب (x ) من (- infty ) هو (L ، ) يُشار إليه

[ lim _ {x rightarrow- infty} f (x) = L، ]

إذا كان لكل ( epsilon> 0 ) عدد حقيقي (م ) من هذا القبيل

[| f (x) -L | < epsilon text {when} x in (- infty، M) cap D. ]

تمرين ( PageIndex {3} )

تحقق من أن ( lim _ {x rightarrow + infty} frac {x + 1} {x + 2} = 1 ).

تمرين ( PageIndex {4} )

تقديم تعريفات لـ

أ. ( lim _ {x rightarrow + infty} f (x) = + infty ) ،

ب. ( lim _ {x rightarrow + infty} f (x) = - infty ) ،

ج. ( lim _ {x rightarrow- infty} f (x) = + infty ) ،

د. ( lim _ {x rightarrow- infty} f (x) = - infty ).

نموذج تعريفاتك على التعاريف السابقة.

تمرين ( PageIndex {5} )

افترض

[f (x) = a x ^ {3} + b x ^ {2} + c x + d، ]

حيث (أ ، ب ، ج ، د في mathbb {R} ) و (أ> 0. ) أظهر ذلك

[ lim _ {x rightarrow + infty} f (x) = + infty text {and} lim _ {x rightarrow- infty} f (x) = - infty. ]


على الرغم من أن اللانهاية ليس لها قيمة محددة ويمكن & # 8217t أن يتم توصيلها بالوظائف ، يمكننا التفكير فيما سيحدث لوظيفة معينة مثل x اقترابما لا نهاية.

كل ما يعنيه هذا حقا هو ذلك x يتزايد حجمه باستمرار. و كما x يصبح أكبر وأكبر وأكبر ، ماذا ذ القيمة سوف تقترب وظيفتنا أكثر فأكثر؟

دعونا نلقي & # 8217s نظرة على بعض الأمثلة الشائعة وما تعنيه.

واحد مقسوم على ما لا نهاية

كما قلت من قبل ، اللانهاية ليست قيمة. لذلك ، ( frac <1> < infty> ) ليس رقمًا فعليًا وليس له قيمة & # 8217t. ومع ذلك ، ما نريد أن نفكر فيه هو ماذا ذ القيمة 1 / س سوف تقترب مثل x يذهب إلى ما لا نهاية. هذا هو بالضبط ما يُطلب عندما نرى: $ lim_ فارك <1>$

لذلك دعونا نفكر في ما يحدث 1 / س عندما نعوض عن أرقام أكبر وأكبر بـ x.

x ( mathbf < frac <1>>)
11
100.1
1000.01
1,0000.001
10,0000.0001
100,0000.00001
1,000,0000.000001
10,000,0000.0000001
100,000,0000.00000001

لذلك يمكنك أن ترى في الجدول أعلاه أنه x يكبر ويكبر ، 1 / س يقترب أكثر فأكثر من 0. أو بعبارة أخرى ،

مثل x تقترب من اللانهاية ، 1 / س اقتراب 0

سنكتب هذا رياضيا على النحو التالي: $ lim_ فارك <1> = 0$

يمكننا أيضًا رؤية هذا بيانياً باستخدام Mathway. لاحظ في الرسم البياني أدناه أن ملف x تذهب القيمة نحو اللانهاية ، يمكنك أن ترى ذ قيمة الاقتراب من المحور ص (ص = 0).

حدود الذهاب إلى ما لا نهاية

المثال الشائع الآخر الذي ذكرته هو الحد الأقصى x يذهب إلى ما لا نهاية من ( mathbf). أو $ lim_ البريد ^ × دولار

مرة أخرى ، ليس من المنطقي حقًا أن نقول إنه يمكننا فقط توصيل اللانهاية بـ x واحصل على ( mathbf> ). هذا ليس له قيمة & # 8217t في الواقع. هذا ليس رقم & # 8217t. بدلاً من ذلك ، نريد أن نفكر في ماذا ذ القيمة ( mathbf) يتجه نحو كـ x يذهب إلى ما لا نهاية. لذا دعونا نلقي نظرة على ما يحدث أثناء رفعنا ه لقوة أكبر وأكبر.

x ( mathbf)
12.718
27.389
454.598
6403.429
82,980.958
1022,026.466
1002.688 * ( mathbf <10 ^ <43>> )

لذلك يمكننا أن نرى هنا أن ( mathbf) يبدأ بإعطائنا أعدادًا كبيرة جدًا بسرعة كبيرة. وبينما نستمر في التعويض بقيم أكبر لـ x، ( mathbf) تكبر وتكبر وأكبر.

مثل x اقتراب ما لا نهاية، ( mathbf) اقتراب ما لا نهاية

سنكتب هذا رياضيا على النحو التالي: $ lim_ e ^ x = infty $


حدود محدودة ولانهائية

سنبدأ بعرض ملخص صغير لخصائص الحدود المحدودة.

لنفترض أن $ displaystyle lim_= a $ وذلك $ displaystyle lim_= b $ ، ثم أيضًا:

  • $ displaystyle lim_= displaystyle lim_ pm displaystyle lim_= أ م ب دولار
  • $ displaystyle lim_= displaystyle lim_ cdot displaystyle lim_= أ cdot ب دولار
  • إذا كان $ b neq 0 $ ، $ displaystyle lim_< فارك> = فارك > > = فارك$
  • إذا كان $ f (x)> $، $ displaystyle lim_<>> = displaystyle lim_<>>> = a ^ b $
  • إذا كان $ n $ فردي أو $ n $ زوجي و $ f (x) geqslant0 Rightarrow displaystyle lim_< sqrt [n]> = sqrt [n] > = sqrt [n] $
  • إذا كان $ alpha> 0 $ و $ f (x)> 0 $ ، $ displaystyle lim_<سجل _ f (x)> = log _ Big (displaystyle lim_ كبير) = سجل _ < ألفا> $

إذا كان $ displaystyle lim_ infty>= 3 $ و $ displaystyle lim_ infty>= -5 $ ثم:

  1. $ displaystyle lim_ infty>=3-5=-2$
  2. $ displaystyle lim_ infty>=3-(-5)=8$
  3. $ displaystyle lim_ infty>= 3 cdot (-5) = - 15 دولارًا
  4. $ displaystyle lim_ infty>= 3 ^ <-5> = فارك <1> <3 ^ 5> = فارك <1> <243> دولار
  5. $ displaystyle lim_ infty><>> $ غير موجود منذ $ g (x) h mbox f (x)> k $$

حدسيًا ، هذا يعني أنه يمكننا الحصول على $ f (x) $ بالحجم الذي نريده باختيار $ x $ كبير بما فيه الكفاية.

وعلى وجه الخصوص $ displaystyle lim_ infty>= علامة (p) cdot infty $ ، حيث $ p $ قيمة حقيقية أخرى صفر.

من هذه النقطة ، نستنتج أن دوال كثيرة الحدود تميل إلى اللانهاية عندما يصبح $ x $ أكبر.

في هذا المثال يمكننا أن نرى الوظيفة $ f (x) = 3x ^ 4 $. عندما يصبح $ x $ كبيرًا ، تنمو الدالة إلى ما لا نهاية.

أسي: إذا كان $ a> 1، displaystyle lim_ infty>= + infty $

وبالمثل إذا كان $ a> 1، displaystyle lim_ infty>

= علامة (p) cdot infty $.

مثال لهذه الحالة هو الوظيفة $ f (x) = dfrac <1> <2> e ^ x $. تميل إلى اللانهاية حيث يميل $ x $ إلى اللانهاية.

اللوغاريتمية: إذا كان $ a> 1، displaystyle lim_ infty> < log_x> = + infty $

على سبيل المثال ، الدالة $ f (x) = log_x = ln x $. تميل هذه الوظيفة إلى اللانهاية حيث يصبح $ x $ كبيرًا جدًا.

الحساب اللانهائي

لنفترض أن $ displaystyle lim_ infty>= + infty $ وذلك $ displaystyle lim_ infty>= + infty $ ، ثم نلاحظ بدون مشاكل ما يلي:

$$ displaystyle lim_ infty>= displaystyle lim_ infty>+ displaystyle lim_ infty>= + infty + infty = + infty $$

$$ displaystyle lim_ infty>= displaystyle lim_ infty> cdot displaystyle lim_ infty>= (+ infty) cdot (+ infty) = + infty $$

ومع ذلك ، سنواجه مشاكل عندما نواجه مواقف مثل المواقف التالية:

لأننا إذا طرحنا اللانهاية من اللانهاية فهذا يعطينا اللاحتمالية.

وبالمثل ، قد نسأل أنفسنا عن هذه الخصائص عندما نقوم بدالة ذات نهاية لانهائية وواحدة ذات نهاية محدودة.

دعنا نرى جدولًا صغيرًا يوضح لنا كيفية العمل عندما يكون لدينا أنواع مختلفة ضرورية لإنتاج ما لا نهاية مع لانهايات أخرى وبحدود محدودة:

مسائل حسابية منتجات
$ (+ infty) + a = + infty $ $ (+ infty) cdot (+ infty) = + infty $
$ (+ infty) + (+ infty) = + infty $ $ (+ infty) cdot (- infty) = - infty $
$ (- infty) + a = - infty $ $ (+ infty) cdot a = تسجيل (أ) cdot infty $
$ (- infty) + (- infty) = - infty $ $ (- infty) cdot a = -sign (a) cdot infty $
$ - (- infty) = + infty $
الانقسامات القوى
$ frac < pm infty> = 0 $ $ (+ infty) ^ <+ infty> = + infty $
$ frac <0> = pm infty $ if $ a neq 0 $ $ (+ infty) ^ <- infty> = 0 دولار
$ frac < pm infty> <0> = pm infty $ إذا كان $ a $ & gt $ 0 $ $$ (+ infty) ^ a = + infty $$
$ frac <0> < pm infty> = 0 $ إذا كان $ a $ & lt $ 0 $ $$ (+ infty) ^ a = 0 $$
إذا كان $ a neq 0 $ $$ a ^ 0 = 1 $$
إذا كان $ a $ & gt $ 1 $ $$ a ^ <+ infty> = + infty a ^ <- infty> = 0 $$
إذا كان $ 0 $ & lt $ a $ & lt $ 1 $ $$ a ^ <+ infty> = 0 a ^ <- infty> = + infty $$

يمكن تحقيق هذه العمليات بعد إيجاد حدود الوظائف المعنية.

ومع ذلك ، يمكن أن ينتج عن العمليات غير الواردة في الجدول عدم تحديد ، على سبيل المثال ، التعبيرات التالية:


رد: حكم شبه منحرف بحدود لا نهائية

وإذا كنت تقصد بطرح التفرد تغيير حد التكامل

لا ، إنه مصطلح من التحليل المقارب. تعامل مع التكامل الخاص بك مثل هذا.

لقد طرحت من التفرد 1 / √x لمحاولة تحسين هندسة التكامل. هذا هو الجواب الذي تريده.

1.9549028485826594861172411 تصحيح حتى 25 رقمًا كاملة.

التعديل الأخير تم بواسطة bobbym (2009-09-06 04:18:10)

في الرياضيات ، أنت لا تفهم الأشياء. أنت فقط تعتاد عليهم.
إذا لم يتم كسره & # 039t ، فقم بإصلاحه حتى يتم.
احرص دائمًا على تلبية التوجيه الأساسي للحصول على الإجابة الصحيحة قبل كل شيء.


مقارنة

نظرية 2.3.2 (نظرية المقارنة) إذا تباعد تسلسل (a_n ) إلى (+ infty ) و [يوجد (n_1 in mathbb N ) مثل] (a_n leq b_n ) للجميع (n geq n_1 ) ، إذًا يجب أيضًا أن يتباعد التسلسل (b_n ) إلى (+ infty ).

خدش: نريد (b_n & gtM ) من أجل (M & gt0 ). نحن نعلم أنه يمكننا عمل (a_n & gt0 ) للحصول على (n ) كبير بما فيه الكفاية (ابحث عن حد لذلك). نحن نعلم أن (b_n geq a_n ) كبير بشكل كافٍ (n ) (الفاصل المعطى في بيان النظرية ، (n_1 )). ثم تأكد من أن (n ) يتجاوز قيمتي (n ) الفاصلة هذه ، وسيكون لدينا (M & lta_n ) و (a_n leq b_n ). هذا يعطينا (b_n & gtM ) حسب الرغبة.

الآن نكتب الدليل الرسمي.

دليل. دعونا (M & gt0 ). اختر (n_2 ) بحيث (a_n & gtM ) للجميع (n geq n_2 ). نعلم أيضًا أن (a_n leq b_n ) للجميع (n geq n_1 ). الآن دعنا (n ^ * = max ). هذا يعطينا ذلك لأي (n geq n ^ * ) لدينا (M & lta_n leq b_n ).

وبالتالي لأي (M & gt0 ) تعسفي ، يمكننا العثور على (n ^ * ) مثل (b_n & gtM ) للجميع (n geq n ^ * ). وبالتالي (b_n ) يتباعد إلى (+ infty ). (مربع أسود)

يمكن أيضًا إعادة كتابة النظرية أعلاه من أجل الاختلاف إلى (- infty ) والدليل متطابق تقريبًا.

اقنع نفسك بأن (a_n & gt sqrt n ) للجميع (n ) وأن ( sqrt n rightarrow infty ) ، وبالتالي من خلال المقارنة لدينا ذلك (a_n rightarrow infty ). (ميدان)


حدود في إنفينيتي

في هذا القسم ، سأناقش البراهين لحدود النموذج . إنهم مثل البراهين ، على الرغم من اختلاف الإعداد والجبر قليلاً.

أذكر ذلك يعني ذلك لكل ، هناك مثل هذا إذا

تعريف. يعني ذلك لكل ، هناك حرف M إذا

بعبارة أخرى ، يمكنني الاقتراب من L كما أشاء بجعل x كبيرًا بدرجة كافية.

ملاحظات. غالبًا ما تحدث الحدود اللانهائية كحدود للتسلسل، مثل

في هذه الحالة، . لن أفرق بين الحد اللانهائي للتسلسل والحد اللانهائي لوظيفة ما ، فإن البراهين التي تقوم بها هي نفسها بشكل أساسي في كلتا الحالتين.

يوجد تعريف مشابه لـ ، والبراهين متشابهة أيضًا. سألتزم هنا.

مثال. اثبت ذلك .

كما هو الحال مع البراهين ، أقوم ببعض أعمال الخدش ، وأعمل عكسيًا مما أريد. ثم أكتب & quot؛ برهان حقيقي & quot في الاتجاه الأمامي.

أريد إسقاط القيم المطلقة ، لذلك سأفترض . إعادة ترتيب عدم المساواة ، فهمت .

هذا هو الدليل الحقيقي. يترك . جلس . حيث ، لدي . افترض . ثم ، و

هذا يثبت ذلك .

مثال. اثبت ذلك .

من أجل إسقاط القيم المطلقة ، يجب أن أفترض .

هذا هو الدليل الحقيقي. يترك . جلس . إذا ، ومن بعد و . وبالتالي

لاحظ أن التعبير ستكون سلبية إذا . لذلك أخذت M ليكون الحد الأقصى للصفر و للتأكد من أن ، إذن x سيكون موجبًا. الآن أنت في الواقع بحاجة أن تكون موجبة من أجل وضع القيم المطلقة ، و إذا . ليس من الصعب إثبات ذلك ، لذلك في الحقيقة لست بحاجة لأخذ القيمة القصوى بـ 0 - بشرط أن أرغب في ذلك إثبات الذي - التي . قررت أن أسلك الطريق السهل!

مثال. اثبت ذلك غير محدد.

سأستخدم الدليل بالتناقض. لنفترض أن

مع الأخذ في التعريف ، يمكنني العثور على M مثل هذا إذا ، ومن بعد .

اختر p ليكون عددًا زوجيًا أكبر من M. ثم

هذا يعني أن المسافة من L إلى 1 أقل من ، وبالتالي

اختر q ليكون عددًا فرديًا أكبر من M. ثم

يشير هذا إلى أن المسافة من L إلى -1 أقل من ، وبالتالي

هذا تناقض ، لأن L لا يمكن أن يكون و في في نفس الوقت.

لذلك، غير محدد.


5.3: حدود اللانهاية واللانهاية - الرياضيات

يضع هذا الملحق معالجة أرسطو لللامحدود في سياق الفكر الرياضي اليوناني. ومع ذلك ، لا يُقصد منه أن يكون شاملاً.

مسح أولي للسلسلة اللانهائية

كمبدأ أولي ، من المفيد التمييز بين 3 أنواع من السلاسل. نظرًا لأننا نتعامل في الغالب مع المقادير ، فسوف نفكر في عدد ، في السياق ، على أنه عدد من وحدات القياس. أعني بسلسلة متقاربة ، سلسلة تتقارب على قيمة محدودة وموجبة ، وبسلسلة غير متقاربة ، سلسلة تزيد إلى ما لا نهاية. إذا كانت السلسلة أ0, أ1، & hellip، أنو hellip ووحدة القياس ب، ثم لكل رقم م، هناك ن مثل ذلك أن & GT ميغابايت.

لاحظ أن إقليدس ، عناصر يعامل x.1 التقارب على النحو التالي: معطى سلسلة أ0, أ1، & hellip، أن، و hellip ، وضخامة أ، حده ، لأي حجم ب، مهما كان صغيرا ، هناك عضو في السلسلة ، أن & lt & أمبير أ : ب مع أ & lt ب، يمثل ه، مثل ذلك السابق = ص يعني أن أ : ب = ص : X. ومن الواضح أنه إذا أ & lt ب، ومن بعد ص & lt X و ص موجود. للراحة ، فكر في ه & GT ص بمعنى بعض الترجمة المناسبة للأرقام الحقيقية إلى اللغة اليونانية للنسب.

منذ 0 & lt ه & lt 1 ، يتبع ذلك 0 & lt 1 & ناقص ه & lt 1 ، بينما لـ 0 & lt ف & lt 1 ،

لاحظ أن هذه السلسلة تختلف عن السلسلة الأساسية المستخدمة في إقليدس ، عناصر x.1 وكذلك تطبيقاته في عناصر × 12 ، حيث سمحت بأن قيمة ه يمكن أن تتغير. يمكننا وصف السلسلة على النحو التالي: ه0، & hellip، هن، & hellip عبارة عن سلسلة من عامل تشغيل الأجزاء (انظر أعلاه) ، بحيث يكون ذلك متاحًا للجميع ن، 0 & الملازم هن & lt 1. دع أ0 يكون ضخما.

يحتاج إقليدس إلى السلسلة أ, أ0، & hellip، أن، & hellip لتصبح صغيرة بشكل تعسفي ، لكن يجب ألا يطلب ذلك ه0 = & hellip = هن = & hellip فهو يدرك أنه إذا انخفض هذا المسلسل بسرعة كافية ، أ, أ0، & hellip، أن، & hellip قد تتقارب على حجم محدود. ومن ثم ، فهو يصلح بشكل تعسفي هن & gt 1/2 ، وهي قيمة لا تعرض براهينه للخطر.

تصنيف أرسطو للسلسلة اللانهائية

ومن ثم ، يمكننا وصف سلسلة أرسطو بطريقتين:

  1. سلسلة متقاربة حسب القسمة: قد نبدأ بـ أ وأخذ أجزاء من أ. لاحظ أن أرسطو يستخدم & lsquodivision & rsquo بدلاً من & lsquosubtraction & rsquo لأنه يتصور الحجم على أنه مقسم. الكلمة لا تعني & lsquodivision & [رسقوو] بمعنى العملية الحسابية. السلسلة أ, أ0، & hellip، أن، & hellip ، يقترب من نقطة أو حجم أقل من البعد أ
  2. سلسلة متقاربة من خلال الجمع: قد نبدأ بـ ب0 ويضاف على المقادير بن + 1 التي نأخذها من كل منها أن. بعبارات أخرى، ج0، & hellip، جن، & hellip تتقارب أ، لكنه لا يتجاوزها أبدًا.

من الواضح أيضًا ، كما يدعي أرسطو ، أن كل سلسلة متقاربة من خلال الجمع متطابقة مع بعض المتسلسلات المتقاربة حسب الانقسام.

ومن ثم لدينا أيضًا ملف سلسلة من خلال الجمع، وهي ليست أيضًا سلسلة حسب القسمة:

  1. سلسلة غير متقاربة عن طريق الجمع:
    يترك ب0 كن جزءا من أ
    بن + 1 = هأ
    ج0 = ب0
    جن + 1 = ب0 + & hellip + بن + 1

(من الواضح أن هذا يمكن تعميمه في سياق الرياضيات اليونانية القديمة ، لكنه لن يكون مهمًا لحجة أرسطو أو نظريته).

يتعرف أرسطو على المقابلة ، لكنه لا يعاملها بشكل منفصل سلسلة غير متقاربة حسب القسمة، حيث يبدأ المرء بحجم لانهائي ، بحيث أنه حتى مع القسمة اللانهائية ، ينتهي الأمر بحجم لانهائي.

يميز أرسطو طريقتين أخريين للنظر إلى سلسلة لا نهائية.

  1. السلسلة اللانهائية في الاحتمالية: المسلسل لم يكتمل في الواقع. ما يجعل هذه السلسلة لانهائية هو ببساطة حقيقة أن الخطوة التالية في السلسلة ممكنة دائمًا.
  2. السلسلة اللانهائية في الواقع: نتصور أن السلسلة مكتملة.

عندما نجمع بين مفهومي المتسلسلة اللانهائية عن طريق الجمع أو القسمة مع مفاهيم سلسلة محتملة أو فعلية لبناء أربعة مفاهيم عن اللانهائي.

  • الاحتمالية اللانهائية بالقسمة: من الممكن دائمًا الاستمرار في عملية الانقسام. يقبل أرسطو هذا باعتباره مركزيًا لمفهومه عن الأحجام المستمرة.
  • اللانهائية في الاحتمالية عن طريق الجمع: هناك ثلاث حالات محتملة.
    1. تتطابق السلسلة اللانهائية في الاحتمالية عن طريق الجمع مع بعض السلاسل اللانهائية في الإمكانات عن طريق القسمة. يقبل أرسطو هذه الفكرة أيضًا.
    2. تؤدي السلسلة اللانهائية في الاحتمالية عن طريق الإضافة إلى مقدار أكبر من حجم الكون. نظرًا لأن الكون محدود الحجم والوزن ، فإن أرسطو يرفض ذلك بسبب هؤلاء. ومع ذلك ، بما أن الكون أبدي ، فإن أرسطو لا يرفض هذه الفكرة للزمن. الوقت لانهائي لأنه يوجد دائمًا يوم آخر
    3. يستنتج من (ب) أن أرسطو يرفض سلسلة غير متقاربة في الاحتمالية من خلال إضافة الحجم والوزن ، ولكن ليس للوقت.
  • اللانهائي في الواقع عن طريق القسمة: لا يمكن إكمال أي سلسلة لانهائية من الانقسامات. ومع ذلك ، إذا كان الخط يتكون من عدد لا حصر له من النقاط ، فسيتبع ذلك اكتمال عدد لا حصر له من السلاسل اللانهائية. وبالتالي ، لا يتكون الخط من عدد لا حصر له من النقاط ، ولا من مستوى خطوط ، ولا من مستوى صلب من المستويات.
  • اللانهائي في الواقع عن طريق الجمع: باستثناء الوقت ، نظرًا لأن المفهوم الوحيد للسلسلة اللانهائية في الاحتمالية من خلال الإضافة التي يقبلها أرسطو تتوافق مع سلسلة لانهائية في الاحتمالية بالتقسيم ، يترتب على ذلك أن السلسلة اللانهائية الوحيدة المقبولة في الواقع من خلال الإضافة يجب أن ترضي نفس المحدودية القيود. ومع ذلك ، فإن أي سلسلة لا نهائية من هذا القبيل في الواقع ستكون متطابقة مع بعض السلاسل اللانهائية في الواقع عن طريق القسمة. ومن ثم ، لا توجد حدّة لانهائية من خلال الجمع للأحجام أو الأوزان ، وما إلى ذلك. وجهات نظر أرسطو حول الوقت اللانهائي أقل وضوحًا ، لكنه ملتزم ببعض الإحساس باللامتناهي الفعلي عن طريق الإضافة في حالة الوقت (الذهاب إلى الماضي) ، ولكن فقط بمعنى ضعيف ، لأن التغييرات الماضية لم تعد موجودة.

تساءل العديد من قراء أرسطو عما تفعله هذه النظرة للرياضيات اليونانية. هل الفضاء الرياضي المحدود ينتهك مبدأ عدم التحريفية (القسم 6). يدعي أرسطو أنه لا يفعل ذلك ، وأنه في أي دليل يمكن للمرء أن يقلل الرقم بشكل متناسب. قد يعتقد المرء جيدًا أن هذا يتطلب بديهية التناسب التي توضح ما يعنيه الحفاظ على التناسب في الشكل وأي خصائص يتم الحفاظ عليها. لأن المرء لا يستطيع أن يمد قاعدة مثلث تقع رءوسه عند نهاية الكون. في الواقع ، بروكلوس ، في تعليقه على إقليدس ، عناصر i ، يحتفظ بالعديد من الأمثلة لمحاولات إثبات النظريات لكون محدود. يتبنى العديد من قراء أرسطو أيضًا مبدأ أقوى ، وهو أن الرياضيات اليونانية كانت نهائية ، ليس بالمعنى الأرسطي القوي بأن الكون محدود ، ولكن بمعنى أنه يتم استخدام الإمكانات اللانهائية فقط (عن طريق التقسيم والإضافة). من الصعب للغاية (ربما من المستحيل) إثبات ادعاء أن علماء الرياضيات اليونانيين قلقون بشدة بشأن هذه المسألة في كثير من أعمالهم العادية. في ال طريقة، يعامل أرخميدس المواد الصلبة على أنها تتكون من مستويات لا نهائية ، ويعالج بابوس مادة صلبة في كوليكتيو v كمجموع عدد لا نهائي من المواد الصلبة الصغيرة للغاية ، كما نتوقع في هذا النوع من العمل. هذه أطروحات معقدة ، ولكن حتى في عناصر i ، يبني إقليدس خطًا لا نهائيًا لتجنب الاضطرار إلى العثور على مكان تقاطع الدائرة مع خط منتهي.


5.3: حدود اللانهاية واللانهاية - الرياضيات

(هذا صحيح لأن التعبير يقترب والتعبير x + 3 يقترب مع اقتراب x. الخطوة التالية تتبع الحقيقة البسيطة التالية. إذا كانت A كمية موجبة ، فعندئذٍ = A.)

(ستتعلم لاحقًا أن الخطوة السابقة صالحة بسبب استمرارية دالة الجذر التربيعي.)

(يوجد داخل علامة الجذر التربيعي شكل غير محدد. يمكنك الالتفاف حوله بقسمة كل حد على ، أعلى قوة لـ x داخل علامة الجذر التربيعي).

(كل من التعبيرات الثلاثة ، ويقترب من الصفر عندما تقترب x.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

(هذا صحيح لأن التعبير يقترب والتعبير x + 3 يقترب مع اقتراب x. تأتي الخطوة التالية من الحقيقة البسيطة التالية. إذا كانت A كمية سالبة ، فعندئذٍ = - A بحيث تكون = - (- A) = A . يرجى التأكد من أنك تفكر في ذلك وتفهمه قبل المتابعة.)

(ستتعلم لاحقًا أن الخطوة السابقة صالحة بسبب استمرارية دالة الجذر التربيعي.)

(يوجد داخل علامة الجذر التربيعي شكل غير محدد. يمكنك الالتفاف حوله بقسمة كل حد على ، أعلى قوة لـ x داخل علامة الجذر التربيعي).

(كل من التعبيرات الثلاثة ، ويقترب من الصفر عندما تقترب x.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

(ستعرف لاحقًا أن الخطوة السابقة صالحة بسبب استمرارية دالة اللوغاريتم. لاحظ أيضًا أن التعبير يؤدي إلى الشكل غير المحدد. يمكنك الالتفاف عليه بقسمة كل حد على ، أعلى قوة لـ x.)

(يقترب المصطلح من 0 مع اقتراب x.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

(ستعرف لاحقًا أن الخطوة السابقة صالحة بسبب استمرارية دالة جيب التمام.)

(يؤدي التعبير إلى الصيغة غير المحددة. تحايل عليه بقسمة كل حد على ، أعلى قوة لـ x في التعبير.)

(كل مصطلح يقترب من 0 مع اقتراب x.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

(عندما يقترب x من كل تعبير ويقترب من 0. توضح الخطوات التالية السبب.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

(تحايل على هذا النموذج غير المحدد بقسمة كل مصطلح في التعبير على. القسمة على تعمل أيضًا. قد ترغب في تجربة كلا الطريقتين لإقناع نفسك بهذا. أيضًا ، احذر من ارتكاب أحد الأخطاء الشائعة التالية: = أو =. )

(نظرًا لأننا نقترب من 0 ونقترب عندما تقترب x ، نحصل على الحد الناتج التالي.)

(وبالتالي ، فإن الحد غير موجود.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

= "" truein truein (احذر من ارتكاب الخطأ الشائع التالي: =. أدرك أيضًا أن النموذج "" غير محدد! لا يساوي 1! تحايل عليه بالطرق الجبرية التالية.)

(قم بإزالة المصطلح. إذا كان لديك وقت ، فحاول استبعاد المصطلح لإقناع نفسك أنه لا يبدو أنه مفيد!)


التغييرات في الإصدار الجديد

قفز إلى سيارة Ford GT 2017 في بداية التحديث الأحدث. ثم اربح سيارة 2017 Jaguar XE SV Project 8. أيضًا في هذا التحديث المليء بالإثارة:
• يمكن للاعبين الجدد المشاركة في حدث 1969 Dodge Charger R / T Fastlane
• وصول حدث Ford Shelby GT500 Fastlane لعام 2013 ، والذي يتميز بنظام مكافآت متدرج محسّن
• أحداث الفلاش باك تسمح لك بأخذ واحد من ثلاثة سباقات كلاسيكية نيد فور سبيد نو ليميتس
هل لديك ما يلزم للسيطرة على الشوارع؟ اثبت ذلك!


الشروط الاساسية

—للتقارب هو الاقتراب من حد له قيمة محدودة.

- الفاصل الزمني هو مجموعة فرعية من الأرقام الحقيقية المقابلة لقطعة مستقيمة ذات طول محدد ، وتتضمن جميع الأرقام الحقيقية بين نقاط نهايتها. يتم إغلاق الفاصل الزمني إذا تم تضمين نقاط النهاية وفتحها إذا لم تكن كذلك.

—مجموعة الأرقام التي تحتوي على الأعداد الصحيحة وجميع الكسور العشرية بما في ذلك الكسور العشرية المتكررة وغير المتكررة.

- المتوالية عبارة عن سلسلة من المصطلحات ، حيث يرتبط كل مصطلح متتالي بالمصطلح السابق له بواسطة صيغة ثابتة.

استشهد بهذا المقال
اختر نمطًا أدناه ، وانسخ نص قائمة المراجع الخاصة بك.


شاهد الفيديو: Limits involving infinity تقترب من المالانهاية x غاية الدالة عندما (شهر اكتوبر 2021).