مقالات

7.4: خصائص التكاملات - الرياضيات


الاقتراح ( PageIndex {1} )

إذا (f: D rightarrow mathbb {R} ) و (g: D rightarrow mathbb {R} ، ) إذن

[ sup {f (x) + g (x): x in D } leq sup {f (x): x in D } + sup {g (x): x في د } ]

و

[ inf {f (x) + g (x): x in D } geq inf {f (x): x in D } + inf {g (x): x في د } ]

تمرين ( PageIndex {1} )

إثبات الاقتراح السابق.

تمرين ( PageIndex {2} )

ابحث عن أمثلة تكون فيها التفاوتات في الاقتراح السابق صارمة.

الاقتراح ( PageIndex {2} )

لنفترض أن (f ) و (g ) كلاهما قابل للتكامل في ([a، b]. ) ثم (f + g ) قابل للتكامل في ([a، b] ) و

[ int_ {a} ^ {b} (f + g) = int_ {a} ^ {b} f + int_ {a} ^ {b} g. ]

دليل

معطى ( epsilon> 0، ) دع (P_ {1} ) و (P_ {2} ) يكونان جزءًا من ([a، b] ) مع

[U left (f، P_ {1} right) -L left (f، P_ {1} right) < frac { epsilon} {2} ]

و

[U left (g، P_ {2} right) -L left (g، P_ {2} right) < frac { epsilon} {2}. ]

دعونا (P = P_ {1} كوب P_ {2}. ) بالاقتراح السابق ،

[U (f + g، P) leq U (f، P) + U (g، P) ]

و

[L (f + g، P) geq L (f، P) + L (g، P). ]

لذلك

[ start {align} U (f + g، P) -L (f + g، P) & leq (U (f، P) + U (g، P)) - (L (f، P) + L (g، P)) & = (U (f، P) -L (f، P)) + (U (g، P) -L (g، P)) & leq left (U left (f، P_ {1} right) -L left (f، P_ {1} right) right) + left (U left (g، P_ {2} right) -L (g، 2 P) right) & < frac { epsilon} {2} + frac { epsilon} {2} = epsilon. نهاية {محاذاة} ]

ومن ثم فإن (f + g ) قابل للتكامل في ([أ ، ب] ).

وعلاوة على ذلك،

[ start {align} int_ {a} ^ {b} (f + g) & leq U (f + g، P) & leq U (f، P) + U (g، P) & leq left ( int_ {a} ^ {b} f + frac { epsilon} {2} right) + left ( int_ {a} ^ {b} g + frac { epsilon} {2} right) & = int_ {a} ^ {b} f + int_ {a} ^ {b} g + epsilon end {align} ]

و

[ start {align} int_ {a} ^ {b} (f + g) & geq L (f + g، P) & geq L (f، P) + L (g، P) & geq left ( int_ {a} ^ {b} f- frac { epsilon} {2} right) + left ( int_ {a} ^ {b} g- frac { epsilon} {2} right) & = int_ {a} ^ {b} f + int_ {a} ^ {b} g- epsilon. نهاية {محاذاة} ]

نظرًا لأن ( epsilon> 0 ) كان تعسفيًا ، فإنه يتبع ذلك

[ int_ {a} ^ {b} (f + g) = int_ {a} ^ {b} f + int_ {a} ^ {b} g. ]

Q.E.D.

تمرين ( PageIndex {3} )

افترض أن (a

[ overline { int_ {a} ^ {b}} (f + g) leq overline { int_ {a} ^ {b}} f + overline { int_ {a} ^ {b}} g . ]

ابحث عن مثال تكون فيه عدم المساواة صارمة.

تمرين ( PageIndex {4} )

ابحث عن مثال لتوضيح أن (f + g ) قد يكون قابلاً للتكامل في ([a، b] ) على الرغم من أنه لا يمكن دمج (f ) ولا (g ) في ([a، b] ).

الاقتراح ( PageIndex {3} )

إذا كان (f ) قابلاً للتكامل في ([a، b] ) و ( alpha in mathbb {R}، ) فإن ( alpha f ) يكون قابلاً للتكامل في ([a، b ]) و

[ int_ {a} ^ {b} alpha f = alpha int_ {a} ^ {b} f. ]

تمرين ( PageIndex {5} )

إثبات الاقتراح السابق.

نظرية ( PageIndex {4} )

افترض أن (a

دليل

لنفترض أن (f ) قابل للتكامل في ([a، b]. ) معطى ( epsilon> 0، ) لنكن (Q ) قسمًا من ([a، b] ) بحيث

[U (f، Q) -L (f، Q) < epsilon. ]

دعونا (P = Q cup {c }، P_ {1} = P cap [a، c]، ) و (P_ {2} = P cap [c، b]. ) ثم

[ start {align} left (U left (f، P_ {1} right) -L left (f، P_ {1} right) right) + left (U left (f، P_ {2} right) -L left (f، P_ {2} right) right) & = left (U left (f، P_ {1} right) + U left (f، P_ {2} right) right) & - left (L left (f، P_ {1} right) + L left (f، P_ {2} right) right) & = U (f، P) -L (f، P) & leq U (f، Q) -L (f، Q) & < epsilon. نهاية {محاذاة} ]

وبالتالي يجب أن يكون لدينا كلاهما

[U left (f، P_ {1} right) -L left (f، P_ {1} right) < epsilon ]

و

[U left (f، P_ {2} right) -L left (f، P_ {2} right) < epsilon. ]

ومن ثم فإن (f ) قابل للتكامل في كل من ([أ ، ج] ) و ([ج ، ب] ).

افترض الآن أن (f ) قابل للتكامل في كل من ([a، c] ) و ([c، b]. ) معطى ( epsilon> 0، ) let (P_ {1} ) و (P_ {2} ) يكونان أقسامًا من ([أ ، ج] ) و ([ج ، ب] ، ) على التوالي ، بحيث

[U left (f، P_ {1} right) -L left (f، P_ {1} right) < frac { epsilon} {2} ]

و

[U left (f، P_ {2} right) -L left (f، P_ {2} right) < frac { epsilon} {2}. ]

دعونا (P = P_ {1} كوب P_ {2} ). ثم (P ) هو قسم من ([a، b] ) و

[ start {align} U (f، P) -L (f، P) & = left (U left (f، P_ {1} right) + U left (f، P_ {2} يمين) يمين) - يسار (L left (f، P_ {1} right) + L left (f، P_ {2} right) right) & = left (U left ( f، P_ {1} right) -L left (f، P_ {1} right) right) + left (U left (f، P_ {2} right) -L left (f ، P_ {2} right) right) & < frac { epsilon} {2} + frac { epsilon} {2} & = epsilon. نهاية {محاذاة} ]

وبالتالي (f ) قابل للتكامل في ([أ ، ب] ). ( رباعي ) Q.E.D.

الاقتراح ( PageIndex {5} )

افترض أن (f ) قابل للتكامل في ([أ ، ب] ) و (ج في (أ ، ب). ) ثم

[ int_ {a} ^ {b} f = int_ {a} ^ {c} f + int_ {c} ^ {b} f. ]

دليل

إذا كان (P ) و (Q ) جزءًا من ([a ، c] ) و ([c ، b] ، ) على التوالي ، إذن

[U (f، P) + U (f، Q) = U (f، P cup Q) geq int_ {a} ^ {b} f. ]

هكذا

[U (f، P) geq int_ {a} ^ {b} f-U (f، Q)، ]

وبالتالي

[ int_ {a} ^ {c} f = overline { int_ {a} ^ {c}} f geq int_ {a} ^ {b} f-U (f، Q). ]

لذلك

[U (f، Q) geq int_ {a} ^ {b} f- int_ {a} ^ {c} f، ]

وبالتالي

[ int_ {c} ^ {b} f = overline { int_ {c} ^ {b}} f geq int_ {a} ^ {b} f- int_ {a} ^ {c} f . ]

هكذا

[ int_ {a} ^ {c} f + int_ {c} ^ {b} f geq int_ {a} ^ {b} f. ]

وبالمثل ، إذا كان (P ) و (Q ) أقسامًا من ([أ ، ج] ) و ([ج ، ب] ، ) على التوالي ، إذن

[L (f، P) + L (f، Q) = L (f، P cup Q) leq int_ {a} ^ {b} f. ]

هكذا

[L (f، P) leq int_ {a} ^ {b} f-L (f، Q)، ]

وبالتالي

[ int_ {a} ^ {c} f = underline { int_ {a} ^ {c}} f leq int_ {a} ^ {b} f-L (f، Q). ]

لذلك

[L (f، Q) leq int_ {a} ^ {b} f- int_ {a} ^ {c} f، ]

وبالتالي

[ int_ {c} ^ {b} f = underline { int_ {c} ^ {b}} f leq int_ {a} ^ {b} f- int_ {a} ^ {c} f . ]

هكذا

[ int_ {a} ^ {c} f + int_ {c} ^ {b} f leq int_ {a} ^ {b} f. ]

لذلك

[ int_ {a} ^ {c} f + int_ {c} ^ {b} f = int_ {a} ^ {b} f. ]

Q.E.D.

تمرين ( PageIndex {6} )

لنفترض أن (f: [a، b] rightarrow mathbb {R} ) مقيد وأن (B ) مجموعة فرعية محدودة من ((a، b). ) أظهر أنه إذا (f ) مستمر على ([a ، b] الخط المائل العكسي B ، ) ثم (f ) قابل للتكامل في ([a ، b] ).

الاقتراح ( PageIndex {6} )

إذا كان (f ) قابلاً للتكامل في ([a، b] ) مع (f (x) geq 0 ) للجميع (x in [a، b] ) ، إذن

[ int_ {a} ^ {b} f geq 0. ]

دليل

تأتي النتيجة من حقيقة أن (L (f، P) geq 0 ) لأي قسم (P ) من ([a، b] ). ( رباعي ) Q.E.D.

الاقتراح ( PageIndex {7} )

لنفترض أن (f ) و (g ) كلاهما قابل للتكامل في ([a، b]. ) إذا ، بالنسبة للجميع (x in [a، b]، f (x) leq g (x )،) ومن بعد

[ int_ {a} ^ {b} f leq int_ {a} ^ {b} g. ]

دليل

بما أن (g (x) -f (x) geq 0 ) للجميع (x في [أ ، ب] ، ) لدينا ، باستخدام المقترحات 7.4.2 و 7.4.3 و 7.4.6 ،

[ int_ {a} ^ {b} g- int_ {a} ^ {b} f = int_ {a} ^ {b} (g-f) geq 0. ]

Q.E.D.

الاقتراح ( PageIndex {8} )

افترض أن (f ) قابل للتكامل في ([a، b]، m in mathbb {R}، M in mathbb {R}، ) و (m leq f (x) leq M ) للجميع (س في [أ ، ب]. ) ثم

[m (b-a) leq int_ {a} ^ {b} f leq M (b-a). ]

دليل

ويترتب على الاقتراح السابق أن

[m (ba) = int_ {a} ^ {b} mdx leq int_ {a} ^ {b} f (x) dx leq int_ {a} ^ {b} M dx = M (ba ). ]

Q.E.D.

تمرين ( PageIndex {7} )

اظهر ذلك

[1 leq int _ {- 1} ^ {1} frac {1} {1 + x ^ {2}} d x leq 2. ]

تمرين ( PageIndex {8} )

لنفترض أن (f ) مستمر على ([0،1] ، ) قابل للتفاضل في ((0،1) ) ، (f (0) = 0 ، ) و ( left | f ^ { prime} (x) right | leq 1 ) للجميع (x in (0،1). ) أظهر ذلك

[- frac {1} {2} leq int_ {0} ^ {1} f leq frac {1} {2}. ]

تمرين ( PageIndex {9} )

افترض أن (f ) قابل للتكامل في ([a، b] ) وحدد (F: (a، b) rightarrow mathbb {R} ) بواسطة

[F (x) = int_ {a} ^ {x} f. ]

أظهر وجود ( alpha in mathbb {R} ) مثل أي (x، y in (a، b) ) مع (x

[| F (y) -F (x) | leq alpha (y-x). ]

الاقتراح ( PageIndex {9} )

لنفترض أن (g ) قابل للتكامل في ([a، b]، g ([a، b]) مجموعة فرعية [c، d]، ) و (f: [c، d] rightarrow mathbb { R} ) مستمر. إذا كان (h = f circ g، ) فإن (h ) يمكن تكامله في ([a، b] ).

دليل

دعونا نعطي ( epsilon> 0 ). يترك

[K> sup {f (x): x in [c، d] } - inf {f (x): x in [c، d] } ]

واختر ( delta> 0 ) بحيث يكون ( delta < epsilon ) و

[| f (x) -f (y) | < frac { epsilon} {2 (b-a)} ]

عندما يكون (| xy | < delta. ) (P = left {x_ {0}، x_ {1}، ldots، x_ {n} right } ) قسمًا من ( [أ ، ب] ) من هذا القبيل

[U (g، P) -L (g، P) < frac { delta ^ {2}} {2 K}. ]

من أجل (i = 1،2، dots، n، ) دعنا

[m_ {i} = inf left {g (x): x_ {i-1} leq x leq x_ {i} right }، ]

[M_ {i} = sup left {g (x): x_ {i-1} leq x leq x_ {i} right }، ]

[w_ {i} = inf left {h (x): x_ {i-1} leq x leq x_ {i} right }، ]

و

[W_ {i} = sup left {h (x): x_ {i-1} leq x leq x_ {i} right }. ]

أخيرا ، دعنا

[I = left {i: i in mathbb {Z}، 1 leq i leq n، M_ {i} -m_ {i} < delta right } ]

و

[J = left {i: i in mathbb {Z}، 1 leq i leq n، M_ {i} -m_ {i} geq delta right }. ]

لاحظ أن

[ begin {align} delta sum_ {i in J} left (x_ {i} -x_ {i-1} right) & leq sum_ {i in J} left (M_ { i} -m_ {i} right) left (x_ {i} -x_ {i-1} right) & leq sum_ {i = 1} ^ {n} left (M_ {i} -m_ {i} right) left (x_ {i} -x_ {i-1} right) & < frac { delta ^ {2}} {2 K}، end {align} ]

من الذي يتبع ذلك

[ sum_ {i in J} left (x_ {i} -x_ {i-1} right) < frac { delta} {2 K}. ]

ثم

[ start {align} U (h، P) -L (h، P) & = sum_ {i in I} left (W_ {i} -w_ {i} right) left (x_ { i} -x_ {i-1} right) + sum_ {i in J} left (W_ {i} -w_ {i} right) left (x_ {i} -x_ {i-1} right) & < frac { epsilon} {2 (ba)} sum_ {i in I} left (x_ {i} -x_ {i-1} right) + K sum_ {i in J} left (x_ {i} -x_ {i-1} right) & < frac { epsilon} {2} + frac { delta} {2} & < frac { epsilon} {2} + frac { epsilon} {2} & = epsilon. نهاية {محاذاة} ]

وبالتالي فإن (ح ) قابل للتكامل في ([أ ، ب] ). ( رباعي ) Q.E.D.

الاقتراح ( PageIndex {10} )

افترض أن (f ) و (g ) كلاهما قابل للتكامل في ([a، b]. ) ثم (f g ) قابل للتكامل في ([a، b] )

دليل

نظرًا لأن (f ) و (g ) كلاهما قابل للتكامل ، فإن كلا من (f + g ) و (f-g ) قابلان للتكامل. ومن ثم ، من خلال الاقتراح السابق ، يمكن دمج كل من ((f + g) ^ {2} ) و ((f-g) ^ {2} ). هكذا

[ left. frac {1} {4} left ((f + g) ^ {2} - (f-g) ^ {2} right) right) = f g ]

قابل للتكامل في ([أ ، ب] ). ( رباعي ) Q.E.D.

الاقتراح ( PageIndex {11} )

افترض أن (f ) قابل للتكامل في ([a، b]. ) ثم (| f | ) قابل للتكامل في ([a، b] ) و

[ left | int_ {a} ^ {b} f right | leq int_ {a} ^ {b} | f |. ]

دليل

تكامل (| f | ) يتبع من تكامل (f ، ) استمرارية (g (x) = | x | ، ) و Proposition (7.4 .9. ) بالنسبة لعدم المساواة ، لاحظ أن

[- | f (x) | leq f (x) leq | f (x) | ]

للجميع (س في [أ ، ب]. ) ومن ثم

[- int_ {a} ^ {b} | f | leq int_ {a} ^ {b} f leq int_ {a} ^ {b} | f |، ]

من الذي تتبعه النتيجة. ( رباعي ) Q.E.D.

تمرين ( PageIndex {10} )

إما إثبات العبارة التالية أو إظهار أنها خاطئة من خلال إيجاد مثال مضاد: إذا كان (f: [0،1] rightarrow mathbb {R} ) مقيدًا و (f ^ {2} ) قابل للتكامل في ([0،1]، ) إذًا (f ) يمكن تكامله في ([0،1]. )

7.4.1 تعريفات موسعة

تعريف

إذا كان (f ) قابل للتكامل في ([أ ، ب] ، ) فإننا نحدد

[ int_ {b} ^ {a} f = - int_ {a} ^ {b} f. ]

علاوة على ذلك ، إذا كانت (f ) دالة محددة في نقطة (a in mathbb {R}، ) نحدد

[ int_ {a} ^ {a} f = 0. ]

تعريف

افترض أن (f ) قابل للتكامل في فترة مغلقة تحتوي على

النقاط (أ ، ب ، ) و (ج. ) أظهر ذلك

[ int_ {a} ^ {b} f = int_ {a} ^ {c} f + int_ {c} ^ {b} f. ]


خواص التكاملات المحددة

لقد رأينا أن التكامل المحدد ، وهو حد مجموع ريمان ، يمكن تفسيره على أنه المنطقة الواقعة تحت المنحنى (أي بين المنحنى والمحور الأفقي). يستكشف هذا التطبيق الصغير بعض خصائص التكاملات المحددة التي يمكن أن تكون مفيدة في حساب قيمة التكامل.

لا يمكن لهذا الجهاز عرض رسوم Java المتحركة. ما سبق هو صورة ثابتة بديلة
انظر حول تطبيقات حساب التفاضل والتكامل للحصول على تعليمات التشغيل.

حساب التفاضل والتكامل الأول: الأنشطة

بالنسبة إلى النهايات والمشتقات ، تمكنا من إظهار أنه يمكن حسابها من خلال معرفة بعض الصيغ الأساسية ثم استخدام الجبر لتقليل التعبيرات الأكثر تعقيدًا إلى تلك الأشكال. على سبيل المثال ، يمكننا حساب مشتق (f (x) = x ^ 2 + sin (x) ) من خلال معرفة مشتقات (x ^ 2 ) و ( sin (x) ) واستخدام خاصية إضافة. سنرى في هذا القسم الخصائص التي تحمل التكاملات.

لاحظ أنه بالنسبة للعديد من هذه الأنشطة ، قد يكون من المفيد رسم المنحنيات والمستطيلات بنفس المقياس ثم قصها من الورق ، أو استخدام برامج الرسومات لمعالجة القطع ، أو نحت مجموعة لطيفة من المنحنيات والمستطيلات لتوسيع نطاقها من الخشب اللطيف (إذا كان لديك الوقت والأدوات).

القسم الفرعي 4.2.1 خصائص فصل فترات التكامل

النشاط 4.2.1. الكل هو مجموع الأجزاء.

الهدف من هذا النشاط هو معرفة سبب صحة الخاصية التالية.

ارسم المنحنى (f (x) = 1- (x-1) ^ 2 text <.> )

ارسم مستطيلات بعرض متساوٍ (1/4 ) لتقريب التكامل ( int_0 ^ 1 f (x) dx text <.> )

ارسم مستطيلات بعرض متساوٍ (1/4 ) لتقريب التكامل ( int_1 ^ 2 f (x) dx text <.> )

ضع في اعتبارك رسم مستطيلات بعرض متساوٍ (1/4 ) لتقريب ( int_0 ^ 2 f (x) dx text <.> ) ماذا تلاحظ؟

النشاط 4.2.2. مسائل الاتجاه المتكامل.

الهدف من هذا النشاط هو توضيح سبب أهمية ترتيب عمليات الدمج.

باستخدام الكل هو مجموع خاصية الأجزاء ، احسب ( int_0 ^ 5 g (y) dy ) معطى ( int_0 ^ <10> g (y) dy = 30 ) و ( int_5 ^ < 10> ز (ص) د ص = 10 نص <.> )

يمكن وصف الخاصية المذكورة أعلاه بأنها "الجزء هو الفرق بين الكل والجزء الآخر." ومع ذلك ، قد نفكر أيضًا بشكل غريب (ولكن عن قصد شديد) أننا نرسم مستطيلات من اليسار إلى اليمين عندما نقترب من تكامل ريمان. وبالتالي

يمكن اعتبارها تكاملًا مع دمج النصف الثاني بعيدًا ثم للخلف. كيف يعبر الترميز التالي عن ذلك؟

القسم الفرعي 4.2.2 خصائص فصل الوظائف المتكاملة

النشاط 4.2.3. تكامل مجموع الوظائف.

الهدف من هذا النشاط هو توضيح سبب قدرتنا على دمج الوظائف بشكل منفصل ثم إضافتها. أذكر ذلك ( lim_ و (س) + ز (س) = lim_ و (س) + ليم_ g (x) ) عند وجود هذين الحدين ومنتهين. تذكر أيضًا أنه إذا (f (x) = g (x) + h (x) ) ثم (f '(x) = g' (x) + h '(x) text <.> )

قم بعمل رسومات منفصلة لـ (g (x) = x ^ 2 ) و (h (x) = x + 1 ) لـ (x in [0،4] ) باستخدام نفس المقياس لكليهما. ارسم مستطيلات للمنطقة الواقعة تحت منحنى العرض 1 لكليهما.

ارسم المنحنى (f (x) = x ^ 2 + x + 1 ) بنفس المقياس مثل (g (x) ) و (h (x) text <.> )

قم بقص مستطيلات (g (x) ) و (h (x) text <.> ) ضع المستطيلات لـ (g (x) ) على طول (x ) - على المحور رسم تخطيطي لـ (f (x) text <.> ) قم بتجميع المستطيلات لـ (h (x) ) أعلى المستطيلات المتطابقة (نفس قيم x) من (g (x) text <.> ) لاحظ كيف تتناسب هذه المستطيلات المكدسة.

النشاط 4.2.4. تكامل المضاعف العددي لوظيفة.

الهدف من هذا النشاط هو توضيح سبب قدرتنا على دمج دالة ثم قياس التكامل. أذكر ذلك ( lim_ ك و (س) = ك ليم_ f (x) ) عند وجود هذين الحدين ومنتهين. تذكر أيضًا أنه إذا (f (x) = k g (x) ) ثم (f '(x) = k g' (x) text <.> )

قم بعمل رسم تخطيطي لـ (g (x) = x ^ 2 ) لـ (x in [0،4] text <.> ) ارسم مستطيلات للمنطقة الواقعة أسفل منحنى العرض 1.

اصنع نسختين من المستطيلات.

ارسم الرسم البياني (f (x) = 2x ^ 2 ) بنفس المقياس مثل (g (x) = x ^ 2 text <.> )

قم بتجميع نسخة واحدة من المستطيلات على (x ) - محور رسمك التخطيطي (f (x) text <.> ) ضع المجموعة الثانية فوق الأولى. لاحظ كيف تتناسب هذه المستطيلات المكدسة.

القسم الفرعي 4.2.3 الشهر الأول من حساب التفاضل والتكامل 2

النشاط 4.2.5. تكامل ناتج الوظيفة.

الهدف من هذا النشاط هو توضيح سبب حاجتنا إلى التقنيات المتكاملة لحساب التفاضل والتكامل في الفصل الدراسي الثاني. تذكر أن كلا من الحدود والمشتقات لها قواعد منتج جيدة. ( ليم_ و (س) ز ​​(س) = يسار ( ليم_ و (س) يمين) يسار ( ليم_ g (x) right) ) عند وجود هذين الحدين ومحدوديهما. إذا كان (f (x) = g (x) h (x) ) ثم (f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) text <. > )

في هذا المثال ، نحاول دمج الوظائف بشكل منفصل ومعرفة ما إذا كان ذلك يعمل.

ضع في اعتبارك ( int_0 ^ 4 x ^ 2 (x + 1) dx text <.> ) Let (g (x) = x ^ 2 ) و (h (x) = x + 1 text < .> ) (f (x) = g (x) h (x) text <.> )

ملاحظة ( int_0 ^ 4 (x + 1) dx = 12 text <.> ) هو (f (1) ) (ارتفاع المستطيل عند (x = 1 )) هو نفسه (12g (1) text <؟> ) قارن أيضًا (f (2) ) بـ (12g (2) text <.> )

نوضح هنا أن القاعدة البسيطة لا تعمل على مثال محدود. هذا يعني أنه لن يعمل على المثال اللانهائي أيضًا.

تذكر أن تكامل ريمان هو مجموع المستطيلات. وبالتالي فإننا نفكر في مجموع المنتجات ( ( int g (x) h (x) dx )) وحاصل ضرب المبالغ ( ( int g (x) dx int h (x) dx )) . قارن

القسم الفرعي 4.2.4 ما هي الوظائف التي يمكن دمجها؟

لدينا موضوع حول مدى جمال المنحنى. إذا كان المنحنى قابلاً للتفاضل في فترة زمنية ما ، يكون أجمل مما لو كان مستمرًا فقط ، ويكون استمراره على فترة زمنية أفضل مما لو كان الحد موجودًا فقط. وسؤالنا هو ما إذا كان أي من هذه العوامل يحدد متى يمكن تكامل الدالة.

النشاط 4.2.6. التكامل والتفاضل.

الهدف من هذا النشاط هو تحديد ما إذا كان بإمكاننا دمج دالة لها نقطة غير قابلة للتفاضل (حدبة).

حدد المنطقة الواقعة بين هذا المنحنى والمحور x. قد يساعد التظليل.

احسب هذه المنطقة باستخدام حقائق هندسية بسيطة.

ما الذي تقترحه حقيقة أنه يمكنك بسهولة حساب المنطقة حول تأثير هذا التفاضل على القدرة على التكامل؟

النشاط 4.2.7. التكامل والقفزات.

الهدف من هذا النشاط هو تحديد ما إذا كان بإمكاننا دمج دالة بها قفزات (لا يوجد حد عند النقاط).

ضع في اعتبارك وظيفة floor على الفاصل (x in [0،4] text <.> ) وهذا موضح في الشكل 4.2.1.

حدد المنطقة الواقعة بين هذا المنحنى والمحور x. قد يساعد التظليل.

احسب هذه المنطقة باستخدام حقائق هندسية بسيطة.

اضبط عدد المستطيلات المستخدمة في الشكل 4.2.1. هل ترى أي شيء يشير إلى أن مجموع مساحة المستطيلات سيكون مشكلة؟

ما الذي تشير إليه حقيقة أنه يمكنك بسهولة حساب المنطقة حول تأثير القفزات على القدرة على الاندماج؟

حدد قيمًا مختلفة لـ (n text <.> ) معرفة ما إذا كانت المنطقة (عبر التكامل) تبدو محددة جيدًا.

المثال الأول يحتوي على نقطة واحدة غير قابلة للتفاضل. المثال الثاني لديه ثلاث قفزات في الفترة الزمنية التي تم النظر فيها. يمكننا أن نسأل عما إذا كان المزيد سيخلق مشكلة.

النشاط 4.2.8. التكامل والقفزات العديدة بلا حدود.

الهدف من هذا النشاط هو تحديد ما إذا كان بإمكاننا دمج دالة بها عدد لا نهائي من القفزات.

ارسم وظيفة كانتور (3-4 خطوات جيدة). تم وصف هذه الوظيفة في الأصل في النشاط 1.1.1.

هل المساحة الواقعة أسفل المنحنى أكبر من الصفر؟

هل المساحة الموجودة أسفل المنحنى أقل من واحد؟ لما و لما لا؟

لحساب المساحة نحتاج إلى مادة من فئة أخرى. تشير الخطوات التالية إلى كيفية القيام بذلك.


حساب التكامل

سيراجع محررونا ما قدمته ويحددون ما إذا كان ينبغي مراجعة المقالة أم لا.

حساب التكامل، فرع من التفاضل والتكامل يهتم بنظرية وتطبيقات التكاملات. بينما يركز حساب التفاضل التفاضلي على معدلات التغيير ، مثل منحدرات خطوط المماس والسرعات ، يتعامل حساب التفاضل والتكامل مع الحجم الإجمالي أو القيمة ، مثل الأطوال والمساحات والأحجام. يرتبط الفرعين بالنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، والتي توضح كيفية حساب تكامل محدد باستخدام مشتقها العكسي (دالة معدل تغيرها ، أو مشتقتها ، تساوي الوظيفة التي يتم دمجها). على سبيل المثال ، ينتج عن دمج دالة السرعة دالة المسافة ، والتي تمكن من حساب المسافة التي يقطعها جسم ما خلال فترة زمنية. نتيجة لذلك ، يتعامل الكثير من التفاضل والتكامل مع اشتقاق الصيغ لإيجاد المشتقات العكسية. تنبع الفائدة العظيمة للموضوع من استخدامه في حل المعادلات التفاضلية.

تمت مراجعة هذه المقالة وتحديثها مؤخرًا بواسطة William L.Hosch ، محرر مشارك.


مشروع ستاكس

تذكر أن الخاتم $ R $ يُقال أنه طبيعي إذا كانت جميع حلقاته المحلية نطاقات عادية ، انظر الجبر ، التعريف 10.37.11. المجال العادي هو مجال مغلق بشكل كامل في مجال الكسور ، انظر الجبر ، التعريف 10.37.1. وبالتالي من المنطقي تحديد مخطط عادي على النحو التالي.

التعريف 28.7.1. مخطط $ X $ هو عادي إذا وفقط إذا كان لجميع $ x في X $ الحلقة المحلية $ mathcal_$ هو مجال عادي.

يبدو أن هذا هو التعريف المستخدم في EGA ، راجع [0 ، 4.1.4 ، EGA]. افترض أن $ X = mathop < mathrm> (A) $ ، و $ A $ مخفضة. ثم القول إن $ X $ أمر طبيعي لا يعني القول بأن $ A $ مغلق بشكل كامل في مجموع حلقاته من الكسور. ومع ذلك ، إذا كان $ A $ هو Noetherian ، فهذه هي الحالة (انظر Algebra، Lemma 10.37.16).

Lemma 28.7.2. دع $ X $ يكون مخططًا. ما يلي متكافئ:

لكل تابع مفتوح $ U مجموعة فرعية X $ الحلقة $ mathcal_ X (U) $ عادي.

يوجد غطاء أفيني مفتوح يغطي $ X = bigcup U_ i $ بحيث يكون كل $ mathcal_ X (U_ i) $ عادي.

يوجد غطاء مفتوح $ X = bigcup X_ j $ بحيث يكون كل مخطط فرعي مفتوح $ X_ j $ عاديًا.

علاوة على ذلك ، إذا كان $ X $ أمرًا طبيعيًا ، فإن كل مخطط فرعي مفتوح يكون أمرًا طبيعيًا.

دليل. هذا واضح من التعاريف. $ مربع $

Lemma 28.7.3. يتم تقليل المخطط العادي.

دليل. على الفور من التعاريف. $ مربع $

Lemma 28.7.4. لنفترض أن $ X $ مخطط متكامل. ثم $ X $ أمر طبيعي إذا وفقط إذا كان لكل تابع مفتوح $ U مجموعة فرعية X $ الحلقة $ mathcal_ X (U) $ نطاق عادي.

دليل. هذا يتبع من Algebra، Lemma 10.37.10. $ مربع $

Lemma 28.7.5. لنفترض أن $ X $ مخطط بحيث أن أي فتح شبه مضغوط يحتوي على عدد محدود من المكونات غير القابلة للاختزال. ما يلي متكافئ:

$ X $ هو اتحاد منفصل للأنظمة المتكاملة العادية.

دليل. إنه فوري من التعاريف التي (2) تشير إلى (1). لنفترض أن $ X $ مخطط عادي بحيث يحتوي كل فتح شبه مدمج على عدد محدود من المكونات غير القابلة للاختزال. إذا كان $ X $ قريبًا ، فإن $ X $ يرضي (2) بواسطة Algebra ، Lemma 10.37.16. بالنسبة إلى $ X $ العام ، دع $ X = bigcup X_ i $ يكون غطاءً مفتوحًا مفتوحًا. لاحظ أن كل $ X_ i $ يحتوي أيضًا على عدد محدود من المكونات غير القابلة للاختزال ، و lemma يحمل لكل $ X_ i $. دع $ T المجموعة الفرعية X $ تكون مكونًا غير قابل للاختزال. حسب الحالة الأفقية ، فإن كل تقاطع $ T cap X_ i $ مفتوح في $ X_ i $ ونظام عادي متكامل. ومن ثم فإن $ T مجموعة فرعية X $ مفتوحة ، وهي مخطط عادي متكامل. هذا يثبت أن $ X $ هو الاتحاد المنفصل لمكوناته غير القابلة للاختزال ، والتي تعد مخططات عادية متكاملة. $ مربع $

Lemma 28.7.6. دع $ X $ يكون مخططًا نوذريًا. ما يلي متكافئ:

$ X $ هو اتحاد غير مشترك محدود لأنظمة متكاملة عادية.

دليل. هذه حالة خاصة لـ Lemma 28.7.5 لأن مخطط Noetherian يحتوي على مساحة طوبولوجية أساسية Noetherian (Lemma 28.5.5 و Topology ، Lemma 5.9.2. $ square $

Lemma 28.7.7. دع $ X $ يكون مخططًا نوذريًا محليًا. ما يلي متكافئ:

$ X $ هو اتحاد منفصل لمخططات عادية متكاملة.

دليل. محذوف. تلميح: هذا طوبولوجي بحت من Lemma 28.7.6. $ مربع $

ملاحظة 28.7.8. دع $ X $ مخطط عادي. إذا كان $ X $ هو Noetherian محليًا ، فإننا نرى أن $ X $ متكامل إذا وفقط إذا كان $ X $ متصلاً ، انظر Lemma 28.7.7. ولكن يوجد مخطط أفيني متصل $ X $ مثل $ mathcal_$ هو مجال لكل $ x in X $ ، لكن $ X $ ليس غير قابل للاختزال ، راجع الأمثلة ، القسم 108.6. هذا المثال مخطط عادي (تم حذف الدليل) ، لذا احذر!

Lemma 28.7.9. لنفترض أن $ X $ مخطط عادي متكامل. ثم $ Gamma (X، mathcal_ X) $ مجال عادي.

دليل. قم بتعيين $ R = Gamma (X، mathcal_ X) $. من الواضح أن $ R $ هو مجال. لنفترض أن $ f = a / b $ عنصر في حقل الكسر الخاص به والذي يعتبر جزءًا لا يتجزأ من $ R $. لنفترض أن لدينا $ f ^ d + sum _ a_ i f ^ i = 0 $ مع $ a_ i in R $. دع $ U المجموعة الفرعية X $ تكون مفتوحة. بما أن $ b in R $ ليس صفراً وبما أن $ X $ جزء لا يتجزأ ، فإننا نرى أيضًا $ b | _ U in mathcal_ X (U) $ ليس صفرًا. ومن ثم ، فإن $ a / b $ هو عنصر من عناصر حقل الكسر $ mathcal_ X (U) $ وهو جزء لا يتجزأ من $ mathcal_ X (U) $ (لأنه يمكننا استخدام نفس كثير الحدود $ f ^ d + sum _ a_ i | _ U f ^ i = 0 $ على $ U $). منذ $ mathcal_ X (U) $ مجال عادي (Lemma 28.7.2) ، نرى أن $ f_ U = (a | _ U) / (b | _ U) in mathcal_ X (U) $. من السهل ملاحظة أن $ f_ U | _ V = f_ V $ عندما تكون $ V مجموعة فرعية U مجموعة فرعية X $ مفتوحة. ومن هنا تم لصق الأقسام المحلية $ f_ U $ إلى قسم عالمي $ f $ حسب الرغبة. $ مربع $


خواص التكاملات

في مدونة اليوم ، أستخدم مبالغ Reimann (انظر التعريف 2 ، هنا) لإنشاء بعض الخصائص الأساسية للتكاملات. سأستخدم هذه الخصائص لاحقًا لتقديم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل.

المحتوى في مدونة اليوم مأخوذ مباشرة من حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية من Edwards و Penney.

Lemma 1: لا يتجزأ من ثابت

في حالة الثابت ، ستعمل فترة زمنية واحدة وتكون المنطقة بالضبط c (b-a). [انظر هنا لمناقشة مبالغ ريمان]

Lemma 2: خاصية متعددة ثابتة

(1) دع R = مجموع ريمان (انظر التعريف 2 ، هنا) لهذه المعادلة حتى يكون لدينا:

(2) الآن ، بما أن c ثابت ، لدينا:

(3) الآن ، باستخدام تعريف التكامل على أنه حد مجموع ريمان R (انظر التعريف 5 هنا) ، نحصل على:

Lemma 3: خاصية الاتحاد الفاصل

إذا كانت a أقل من c أقل من b ، فإن:

(1) دع R. 1 = مجموع Riemann لـ f (x) على الفترة [c، a] مع القسم P 1 ومجموعة S. 1 من النقاط التعسفية في كل فترة فرعية [انظر التعريف 2 ، هنا لتعريف مجموع ريمان]

(2) دع R. 2 = مجموع Riemann لـ f (x) على الفترة [b ، c] مع القسم P 2 ومجموعة S. 2 من النقاط التعسفية في كل فترة فرعية [انظر التعريف 2 ، هنا لتعريف مجموع ريمان]

(5) دع x 1 ، ط تكون مجموعة الفواصل الزمنية التي تكون P 1 [انظر التعريف 1 هنا لتعريف التقسيم]

(6) دع x 2 ، ط تكون مجموعة الفواصل الزمنية التي تكون P 2 [انظر التعريف 1 هنا لتعريف التقسيم]

(7) بما أن a أقل من c وهي أقل من b ، فلدينا:

أ = س 1,0 أقل من س 1,1 أقل من . أقل من س 1 ، ن = ج = س 2,0 أقل من س 2,1 أقل من . أقل من س 2 ، ن = ب

(8) من هذا ، يمكننا أن نرى أن P عبارة عن قسم على [a ، b] (انظر التعريف 1 هنا للتعرف على القسم)

(9) منذ S. 1 هي مجموعة من النقاط التعسفية في كل فترة فرعية في [أ ، ج] و S. 2 عبارة عن مجموعة من النقاط التعسفية في كل فترة فرعية في [b ، c] ، ويترتب على ذلك أن S عبارة عن مجموعة من النقاط التعسفية في [a ، c] [انظر التعريف 2 ، هنا في مجموع Riemann]

(10) إذن ، R هو مجموع Riemann لأنه معرف على [a، c] باستخدام قسم P ومجموعة S من النقاط التعسفية في كل فترة فرعية.

(11) بما أن f (x) متصلة ، فنحن نعلم أن R ، R 1، و R. 2 لها حدود (أي أن تكاملاتها موجودة (انظر النظرية هنا)

(12) لذلك فإنه يتبع ما يلي:

التي باستخدام تعريف التكاملات المحددة من حيث مجموع ريمان (انظر التعريف 5 ، هنا) يعطينا:

Lemma 4: مقارنة الممتلكات

إذا كان m & # 8804 f (x) & # 8804 M لكل x في [a ، b] ، إذن:

(1) لنكن & # 8804 كحد أدنى من f (x) في [a، b] (انظر النظرية هنا لإثبات وجود الحد الأدنى)

(2) لنفترض أن M & # 8805 بحد أقصى f (x) في [a، b] (انظر Lemma 3 هنا لإثبات وجود الحد الأقصى)

(3) لأي قسم P على [a ، b] ، m (ba) & # 8804 L (P) [منذ L (P) = min of f (x) في [a ، b] ، انظر التعريف 2 ، هنا ]

(4) وبالمثل ، M (b-a) & # 8805 U (P) [منذ U (P) = max of f (x) في [a ، b] ، انظر التعريف 2 ، هنا]


خصائص التطابق

الخصائص الثلاثة للتطابق هي الخاصية الانعكاسية للتطابق ، وخاصية التطابق المتماثلة ، وخاصية التطابق المتعدية. يمكن تطبيق هذه الخصائص على المقطع أو الزوايا أو المثلثات أو أي شكل آخر.

خاصية الانعكاسية للتطابق

معنى الخاصية الانعكاسية للتطابق هو أن المقطع أو الزاوية أو المثلث أو أي شكل آخر دائمًا ما يكون مطابقًا أو مساويًا لنفسه.

AB & # 8773 AB (الجزء AB مطابق أو يساوي المقطع AB)

& # 8736A & # 8773 & # 8736A (الزاوية أ مطابقة أو تساوي الزاوية أ)

خاصية التطابق المتماثلة

معنى خاصية التطابق المتماثلة هو أنه إذا كان الشكل (يطلق عليه الشكل أ) مطابقًا أو مساويًا لشكل آخر (أطلق عليه الشكل ب) ، فإن الشكل ب يكون أيضًا مطابقًا للشكل أ أو مساويًا له.

خاصية متعدية من التطابق

معنى الخاصية متعدية التطابق هو أنه إذا كان الشكل (أطلق عليه الشكل أ) مطابقًا أو مساويًا لشكل آخر (أطلق عليه الشكل ب) وكان الشكل ب مطابقًا أيضًا لشكل آخر (يطلق عليه C) ، فإن الشكل أ مطابق أو مساوي للشكل ج.

إذا كان AB & # 8773 CD و CD & # 8773 EF ، ثم AB & # 8773 EF


خاصية الخطية للتكامل

تشير الخاصية الخطية للمتكامل إلى خاصية مهمة للغاية وهي القدرة على تفكيك التكاملات إلى مبالغ. أي & # 8747 (b، a) [f (x) dx + g (x) dx] = & # 8747 (b، a) f (x) dx + & # 8747 (b، a) g (x) ) دكس.

محتوى مدونة اليوم مأخوذ من Edwards and Penney's Calculus and Analytic Geometry.

نظرية: خاصية الخطية للتكاملات

إذا كانت α و ثوابت و f (x) و g (x) هي وظائف مستمرة في [a ، b] ، إذن

(1) حسب خاصية التعدد الثابت (انظر Lemma 2 هنا):

(2) لنفترض أن F (x) يكون المشتق العكسي لـ f (x) و G (x) هو المشتق العكسي لـ g (x).

(3) d / dx [F (x) + G (x)] = f (x) + g (x) [انظر Lemma 3 ، هنا]

(4) باستخدام النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل (انظر هنا 2) ، هذا يعطينا:

(5) باستخدام تقييم التكاملات (انظر النظرية 3 هنا) ، لدينا:

[F (x) + G (x)] (b، a) = [F (b) + G (b)] - [F (a) + G (a)] = [F (b) - F (a )] + [G (b) - G (a)] =


ولفرام موارد الويب

الأداة رقم 1 لإنشاء العروض التوضيحية وأي شيء تقني.

استكشف أي شيء باستخدام محرك المعرفة الحسابي الأول.

استكشف آلاف التطبيقات المجانية في مجالات العلوم والرياضيات والهندسة والتكنولوجيا والأعمال والفن والتمويل والعلوم الاجتماعية والمزيد.

انضم إلى مبادرة تحديث تعليم الرياضيات.

حل التكاملات مع ولفرام | ألفا.

تصفح مسائل الواجب المنزلي خطوة بخطوة من البداية إلى النهاية. تساعدك التلميحات على تجربة الخطوة التالية بنفسك.

مشاكل وإجابات تمارين عشوائية غير محدودة مع حلول مدمجة خطوة بخطوة. تدرب على الإنترنت أو قم بعمل ورقة دراسة قابلة للطباعة.

مجموعة من أدوات التدريس والتعلم التي صممها خبراء التعليم في Wolfram: الكتب المدرسية الديناميكية ، وخطط الدروس ، والأدوات ، والعروض التوضيحية التفاعلية ، والمزيد.


حل الجبر ومبسط الرياضيات الذي يظهر العمل

ينظر الى .
تقليل التكرارات العديدة المماثلة لـ
ستصبح .
ينظر الى .
العوامل المشتركة الملغاة (x - (- 1))، (x - (- 1))
ينظر الى .
احذف الأقواس غير الضرورية حول العامل
ستصبح .
ينظر الى .
إزالة "1" الدخيلة من المنتج
ستصبح .
ينظر الى .
تقليل التكرارات العديدة المماثلة لـ
ستصبح .
نتيجة :

المبسط العالمي والحل

مرحبًا بكم في مُبسط التعبير الرياضي الشامل الرسومية و Algebra Solver (GUMESS).
إنه يحل معظم معادلات الجبر للمدارس الإعدادية ويبسط التعبيرات ، ويظهر كل الأعمال. فهو حر في استخدامها.

أدخل التعبير المراد تبسيطه ، أو المعادلة المراد حلها.
سأكتشف ما إذا كان ما كتبته هو معادلة.

يجب استخدام رمز "*" (نجمة) لجميع عمليات الضرب! x (x + 1) خطأ! إنها تعني دالة x في x-1 . x * (x-1) صحيح. استخدم ^ (علامة الإقحام) للأس. x ^ 2 تعني x تربيع. x / 2y يعني
الموارد: Simplifier Portal ، تساعد في إدخال الصيغ المبسطة (يجب قراءتها).


شاهد الفيديو: قواعد التكامل الاساسية - Basic Rules of Integration (شهر اكتوبر 2021).