مقالات

3.11.E: مشاكل في حدود المتتاليات (تمارين) - رياضيات


انظر أيضًا الفصل 2 ، §13.

تمرين ( PageIndex {1} )

أثبت أنه إذا كان (x_ {m} rightarrow 0 ) وإذا كان ( left {a_ {m} right } ) مقيدًا بـ (E ^ {1} ) أو (C، ) ومن بعد
[
أ_ {m} x_ {m} rightarrow 0.
]
هذا صحيح أيضًا إذا كانت (x_ {m} ) متجهات و (a_ {m} ) حجمي (أو العكس بالعكس).
[تلميح: إذا تم تقييد ( left {a_ {m} right } ) ، فهناك (K in E ^ {1} ) مثل
[
( forall m) quad left | a_ {m} right | ]
كـ (x_ {m} rightarrow 0 ) ،
[
( forall varepsilon> 0) ( موجود ك) ( forall m> k) quad left | x_ {m} right | < frac { varepsilon} {K} ( mathrm {why}؟) و
]
لذلك ( left | a_ {m} x_ {m} right | < varepsilon.] )

تمرين ( PageIndex {2} )

إثبات نظرية 1 (( text {ii}) ).
[تلميح: بواسطة Corollary 2 (ii) (iii) في §14 ، يجب أن نوضح أن (a_ {m} x_ {m} -a w rightarrow 0 ). الآن
[
a_ {m} x_ {m} -a q = a_ {m} left (x_ {m} -q right) + left (a_ {m} -a right) q.
]
حيث (x_ {m} -q rightarrow 0 ) و (a_ {m} -a rightarrow 0 ) بواسطة النتيجة الطبيعية 2 من §14. ومن ثم بالمشكلة 1 ،
[
a_ {m} left (x_ {m} -q right) rightarrow 0 text {and} left (a_ {m} -a right) q rightarrow 0
]
(تعامل مع (q ) كتسلسل ثابت واستخدم النتيجة الطبيعية 5 في §14). الآن طبق النظرية 1 (( mathrm {i}).] )

تمرين ( PageIndex {3} )

أثبت أنه إذا (a_ {m} rightarrow a ) و (a neq 0 ) في (E ^ {1} ) أو (C ، ) إذن
[
( موجود varepsilon> 0) ( موجود ك) ( forall m> k) quad left | a_ {m} right | geq varepsilon.
]
(نقول بإيجاز إن (a_ {m} ) محصور بعيدًا عن (0، ) من أجل (m> k.) ) ومن ثم إثبات حدود ( left { frac {1} {a_ {m}} right } ) لـ (m> k ).
[تلميح: بالنسبة للجزء الأول ، تابع كما في إثبات النتيجة الطبيعية 1 في (§14، text {with} x_ {m} = a_ {m}، ) (p = a، ) and ( ف = 0. )
بالنسبة للجزء الثاني ، عدم المساواة
[
( forall m> k) quad left | frac {1} {a_ {m}} right | leq frac {1} { varepsilon}
]
يؤدي إلى النتيجة المرجوة. (] )

تمرين ( PageIndex {4} )

أثبت أنه إذا (a_ {m} rightarrow a neq 0 ) في (E ^ {1} ) أو (C ، ) إذن
[
frac {1} {a_ {m}} rightarrow frac {1} {a}.
]
استخدم هذه والنظرية 1 (( text {ii) لإثبات النظرية} 1 ( text {iii) ، مع ملاحظة ذلك} )
[
frac {x_ {m}} {a_ {m}} = x_ {m} cdot frac {1} {a_ {m}}.
]
[تلميح: استخدم الملاحظة 3 والمشكلة 3 للعثور على ذلك
[
( forall m> k) quad left | frac {1} {a_ {m}} - frac {1} {a} right | = frac {1} {| a |} left | a_ {م} -أ الحق | frac {1} { left | a_ {m} right |} ،
]
حيث ( left { frac {1} {a_ {m}} right } ) مقيد و ( frac {1} {| a |} left | a_ {m} -a right | rightarrow 0. ) (لماذا؟)
ومن ثم ، من خلال المشكلة (1، left | frac {1} {a_ {m}} - frac {1} {a} right | rightarrow 0. ) تابع. (] )

تمرين ( PageIndex {5} )

إثبات المتلازمين 1 و 2 بطريقتين:
(ط) استخدم التعريف 2 من الفصل 2 ، الفقرة 13 من أجل النتيجة الطبيعية (1 (أ) ، ) لمعالجة الحدود اللانهائية بشكل منفصل ؛ ثم تثبت (ب) بافتراض العكس وإظهار التناقض مع ((أ). )
(2) إثبات (ب) أولاً باستخدام النتيجة الطبيعية 2 والنظرية 3 من الفصل 2 ، §13 ؛ ثم نستنتج (أ) بالتناقض.

تمرين ( PageIndex {6} )

إثبات النتيجة الطبيعية 3 بطريقتين (راجع المشكلة 5).

تمرين ( PageIndex {7} )

أثبت النظرية 4 كما هو مقترح ، وأيضًا بدون استخدام النظرية 1 (( mathrm {i}) ).

تمرين ( PageIndex {8} )

إثبات نظرية 2.
[تلميح: If ( overline {x} _ {m} rightarrow overline {p}، ) ثم
[
( forall varepsilon> 0) ( موجود ف) ( forall m> q) quad varepsilon> left | overline {x} _ {m} - overline {p} right | geq left | x_ {m k} -p_ {k} right | . quad ( mathrm {لماذا}؟)
]
وبالتالي حسب التعريف (x_ {m k} rightarrow p_ {k}، k = 1،2، ldots، n ).
على العكس ، إذا كان الأمر كذلك ، فاستخدم النظرية 1 (( mathrm {i}) ( text {ii}) ) للحصول على
[
sum_ {k = 1} ^ {n} x_ {mk} vec {e} _ {k} rightarrow sum_ {k = 1} ^ {n} p_ {k} vec {e} _ {k} و
]
مع ( vec {e} _ {k} ) كما في النظرية 2 من §§1-3].

تمرين ( PageIndex {8 '} )

في المشكلة (8، ) اثبت الجزء العكسي من التعريفات. (( text {Fix} varepsilon> 0، text {etc}) )

تمرين ( PageIndex {9} )

ابحث عن الحدود التالية في (E ^ {1}، ) بطريقتين: (1) باستخدام النظرية 1 ، لتبرير كل خطوة ؛ (2) استخدام التعاريف فقط.
[
start {array} {ll} { text {(a)} lim _ {m rightarrow infty} frac {m + 1} {m}؛} & { text {(b)} lim _ {m rightarrow infty} frac {3 m + 2} {2 m-1}} { text {(c)} lim _ {n rightarrow infty} frac {1} {1+ n ^ {2}}؛} & { text {(d)} lim _ {n rightarrow infty} frac {n (n-1)} {1-2 n ^ {2}}} end {مجموعة مصفوفة}
]
([ text {Solution of} ( mathrm {a}) text {بالطريقة الأولى: Treat} )
[
frac {m + 1} {m} = 1 + frac {1} {m}
]
كمجموع (x_ {m} = 1 ) (ثابت) و
[
y_ {m} = frac {1} {m} rightarrow 0 text {(ثبت في} § 14).
]
وبالتالي من خلال النظرية 1 (( mathrm {i}) ) ،
[
frac {m + 1} {m} = x_ {m} + y_ {m} rightarrow 1 + 0 = 1.
]
الطريقة الثانية: Fix ( varepsilon> 0 ) وابحث عن (k ) من هذا القبيل
[
( forall m> k) quad left | frac {m + 1} {m} -1 right | < varepsilon.
]
يُظهر حل (m، ) أن هذا ينطبق إذا (m> frac {1} { varepsilon}. ) لذا خذ عددًا صحيحًا (k> frac {1} { varepsilon} ، ) لذلك
[
( forall m> k) quad left | frac {m + 1} {m} -1 right | < varepsilon.
]
تحذير: لا يمكن تطبيق النظرية 1 (iii) بشكل مباشر ، مع معاملة ((m + 1) / m ) على أنه حاصل قسمة (x_ {m} = m + 1 ) و (a_ {m} = m ، ) لأن (x_ {m} ) و (a_ {m} ) يتباعدان في (E ^ {1}. ) (النظرية 1 لا تنطبق على الحدود اللانهائية.) كعلاج ، نقسم أولاً البسط والمقام بقوة مناسبة لـ (m ( text {or} n).] )

تمرين ( PageIndex {10} )

اثبت ذلك
[
يسار | x_ {m} يمين | rightarrow + infty text {in} E ^ {*} text {iff} frac {1} {x_ {m}} rightarrow 0 quad left (x_ {m} neq 0 right).
]

تمرين ( PageIndex {11} )

إثبات ذلك إذا
[
x_ {m} rightarrow + infty text {and} y_ {m} rightarrow q neq- infty text {in} E ^ {*}،
]
ومن بعد
[
x_ {m} + y_ {m} rightarrow + infty.
]
هذا هو مكتوب بشكل رمزي
[
"+ infty + q = + infty text {if} q neq- infty."
]
افعل ايضا
[
"- infty + q = - infty text {if} q neq + infty."
]
يثبت ذلك بالمثل
[
"(+ infty) cdot q = + infty text {if} q> 0"
]
و
[
"(+ infty) cdot q = - infty text {if} q <0."
]
[تلميح: معالجة الحالات (q in E ^ {1} ، q = + infty ، ) و (q = - infty ) بشكل منفصل. استخدم التعاريف.]

تمرين ( PageIndex {12} )

ابحث عن الحد (أو ( underline { lim} ) و ( overline { lim} )) للتسلسلات التالية في (E ^ {*}: )
(أ) (x_ {n} = 2 cdot 4 cdots 2 n = 2 ^ {n} n! ) ؛
(ب) (x_ {n} = 5 n-n ^ {3} ؛ )
(ج) (x_ {n} = 2 n ^ {4} -n ^ {3} -3 n ^ {2} -1 ) ؛
(د) (x_ {n} = (- 1) ^ {n} n! ) ؛
(هـ) (x_ {n} = frac {(- 1) ^ {n}} {n!} ).
[تلميح لـ (( mathrm {b}): x_ {n} = n left (5-n ^ {2} right)؛ ) استخدم المشكلة 11.]

تمرين ( PageIndex {13} )

استخدم النتيجة الطبيعية 4 في §14 ، للعثور على ما يلي:
(أ) ( lim _ {n rightarrow infty} frac {(- 1) ^ {n}} {1 + n ^ {2}} ) ؛
(ب) ( lim _ {n rightarrow infty} frac {1-n + (- 1) ^ {n}} {2 n + 1} ).

تمرين ( PageIndex {14} )

اعثر على الاتي.
(أ) ( lim _ {n rightarrow infty} frac {1 + 2 + cdots + n} {n ^ {2}} ) ؛
(ب) ( lim _ {n rightarrow infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {k ^ {2}} {n ^ {3} +1} ) ؛
(ج) ( lim _ {n rightarrow infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {k ^ {3}} {n ^ {4} -1} ).
[تلميح: احسب ( sum_ {k = 1} ^ {n} k ^ {m} ) باستخدام المشكلة 10 من الفصل 2 ، §§5-6.]
ما الخطأ في "الحل" التالي لـ ((a): frac {1} {n ^ {2}} rightarrow 0، frac {2} {n ^ {2}} rightarrow 0، ) إلخ.؛ ومن ثم الحد هو 0 (؟ )

تمرين ( PageIndex {15} )

لكل عدد صحيح (م جيك 0 ، ) دعونا
[
S_ {m n} = 1 ^ {m} + 2 ^ {m} + cdots + n ^ {m}.
]
يثبت عن طريق الاستقراء على (م ) ذلك
[
lim _ {n rightarrow infty} frac {S_ {m n}} {(n + 1) ^ {m + 1}} = frac {1} {m + 1}.
]
[تلميح: أولاً أثبت ذلك
[
(م + 1) S_ {mn} = (n + 1) ^ {m + 1} -1- sum_ {i = 0} ^ {m-1} left ( begin {array} {c} {m +1} {i} end {array} right) S_ {mi}
]
من خلال جمع التوسعات ذات الحدين ((k + 1) ^ {m + 1} ، k = 1 ، ldots ، n.] )

تمرين ( PageIndex {16} )

اثبت ذلك
[
lim _ {n rightarrow infty} q ^ {n} = + infty text {if} q> 1؛ quad lim _ {n rightarrow infty} q ^ {n} = 0 text {if} | q | <1؛ رباعي ليم _ {n rightarrow infty} 1 ^ {n} = 1.
]
[تلميح: إذا (q> 1، ) ضع (q = 1 + d، d> 0. ) من خلال التوسيع ذي الحدين ،
[
q ^ {n} = (1 + d) ^ {n} = 1 + n d + cdots + d ^ {n}> n d rightarrow + infty. quad ( mathrm {لماذا؟})
]
إذا (| q | <1، ) ثم ( left | frac {1} {q} right |> 1 ؛ ) لذا ( lim left | frac {1} {q} صحيح | ^ {n} = + infty؛ ) استخدم مشكلة (10.] )

تمرين ( PageIndex {17} )

اثبت ذلك
[
lim _ {n rightarrow infty} frac {n} {q ^ {n}} = 0 text {if} | q |> 1، text {and} lim _ {n rightarrow infty} frac {n} {q ^ {n}} = + infty text {if} 0 ]
[تلميح: إذا (| q |> 1، ) استخدم ذات الحدين كما في المشكلة 16 للحصول عليها
[
| q | ^ {n}> frac {1} {2} n (n-1) d ^ {2}، n geq 2، text {so} frac {n} {| q | ^ {n }} < frac {2} {(n-1) d ^ {2}} rightarrow 0.
]
استخدم النتيجة الطبيعية 3 مع
[
x_ {n} = 0 ، left | z_ {n} right | = frac {n} {| q | ^ {n}} ، text {and} y_ {n} = frac {2} {( ن -1) د ^ {2}}
]
للحصول على ( left | z_ {n} right | rightarrow 0؛ ) ومن ثم أيضًا (z_ {n} rightarrow 0 ) بواسطة Corollary 2 (( text {iii) of} §14. نص {In case} 0

تمرين ( PageIndex {18} )

دع (r، a in E ^ {1}. ) اثبت ذلك
[
lim _ {n rightarrow infty} n ^ {r} a ^ {- n} = 0 text {if} | a |> 1.
]
[تلميح: إذا (r> 1 ) و (a> 1، ) استخدم المشكلة 17 مع (q = a ^ {1 / r} ) للحصول على (na ^ {- n / r} rightarrow 0. ) As
[
0 ]
الحصول على (n ^ {r} a ^ {- n} rightarrow 0 ).
إذا (r <1، ) ثم (n ^ {r} a ^ {- n}

تمرين ( PageIndex {19} )

(متسلسلة هندسية.) أثبت أنه إذا (| q | <1، ) إذن
[
lim _ {n rightarrow infty} left (a + a q + cdots + a q ^ {n-1} right) = frac {a} {1-q}.
]
[تلميح:
[
أ يسار (1 + q + cdots + q ^ {n-1} right) = a frac {1-q ^ {n}} {1-q} ،
]
حيث (q ^ {n} rightarrow 0، ) حسب المشكلة (16.] )

تمرين ( PageIndex {20} )

دعونا (0 [
lim _ {n rightarrow infty} sqrt [n] {c} = 1.
]
( left [ text {تلميح: If} c> 1، text {put} sqrt [n] {c} = 1 + d_ {n}، d_ {n}> 0. text {Expand} c = left (1 + d_ {n} right) ^ {n} text {لإظهار ذلك} right. )
[
0 ]
لذلك (d_ {n} rightarrow 0 ) بواسطة Corollary (3.] )

تمرين ( PageIndex {21} )

تحقق من التسلسلات التالية للرتابة ، ( underline { lim} ) ، ( overline { lim} ) ، و ( lim ). (في كل حالة ، ابحث عن صيغة أو صيغ مناسبة للمصطلح العام.)
(أ) (2،5،10،17،26 ، ldots ) ​​؛
(ب) (2، -2،2، -2، ldots ) ​​؛
(ج) (2، -2، -6، -10، -14، ldots؛ )
(د) (1،1، -1، -1،1،1، -1، -1، ldots؛ )
(هـ) ( frac {3 cdot 2} {1} ، frac {4 cdot 6} {4} ، frac {5 cdot 10} {9} ، frac {6 cdot 14} { 16} ، ldots ).

تمرين ( PageIndex {22} )

حل مشكلة 21 للتسلسلات التالية.
(أ) ( frac {1} {2 cdot 3} ، frac {-8} {3 cdot 4} ، frac {27} {4 cdot 5} ، frac {-64} {5 cdot 6}، frac {125} {6 cdot 7}، ldots؛ )
(ب) ( frac {2} {9} ، - frac {5} {9} ، frac {8} {9} ، - frac {13} {9} ، ldots ؛ )
(ج) ( frac {2} {3} ، - frac {2} {5} ، frac {4} {7} ، - frac {4} {9} ، frac {6} {11 } ، - frac {6} {13} ، ldots )
(د) (1،3،5،1،1،3،5،2،1،3،5،3، ldots، 1،3،5، n، ldots؛ )
(هـ) (0.9،0.99،0.999 ، ldots ) ​​؛
(و) (+ infty، 1، + infty، 2، + infty، 3، dots؛ )
(( mathrm {g}) - infty، 1، - infty، frac {1} {2}، ldots، - infty، frac {1} {n}، ldots ).

تمرين ( PageIndex {23} )

حل المشكلة رقم 20 على النحو التالي: إذا (c geq 1، { sqrt [n] {c} } downarrow. ( mathrm {Why}؟) ) By Theorem (3، ) (p = lim _ {n rightarrow infty} sqrt [n] {c} ) موجود و
[
( forall n) quad 1 leq p leq sqrt [n] {c}، text {ie،} 1 leq p ^ {n} leq c.
]
حسب المشكلة (16 ، ف ) لا يمكن أن يكون (> 1 ، ) لذلك (ع = 1 ).
في حالة (0

تمرين ( PageIndex {24} )

أثبت وجود ( lim x_ {n} ) وابحث عنه عندما يتم تعريف (x_ {n} ) استقرائيًا بواسطة
(i) (x_ {1} = sqrt {2}، x_ {n + 1} = sqrt {2 x_ {n}} ) ؛
(ii) (x_ {1} = c> 0، x_ {n + 1} = sqrt {c ^ {2} + x_ {n}} ) ؛
(iii) (x_ {1} = c> 0، x_ {n + 1} = frac {c x_ {n}} {n + 1}؛ ) ومن ثم استنتج أن ( lim _ {n rightarrow infty} frac {c ^ {n}} {n!} = 0 ).
[تلميح: أظهر أن التسلسلات رتيبة ومحددة بـ (E ^ {1} ) (النظرية 3).
على سبيل المثال ، في (2) غلة الحث
[
x_ {n} ]
وبالتالي ( lim x_ {n} = lim x_ {n + 1} = p ) موجود. لإيجاد (p، ) قم بتربيع المعادلة
[
x_ {n + 1} = sqrt {c ^ {2} + x_ {n}} quad ( text {Given})
]
واستخدم النظرية 1 للحصول عليها
[
ص ^ {2} = ج ​​^ {2} + ص. quad ( mathrm {لماذا؟})
]
حل من أجل (p ) (مع ملاحظة أن (p> 0) ، ) الحصول عليها
[
p = lim x_ {n} = frac {1} {2} left (1+ sqrt {4 c ^ {2} +1} right) ؛
]
بالمثل في الحالات (1) و (3). (] )

تمرين ( PageIndex {25} )

ابحث عن ( lim x_ {n} ) في (E ^ {1} ) أو (E ^ {*} ) (إن وجد) ، بالنظر إلى ذلك
(أ) (x_ {n} = (n + 1) ^ {q} -n ^ {q} ، 0 (ب) (x_ {n} = sqrt {n} ( sqrt {n + 1} - sqrt {n}) ) ؛
(ج) (x_ {n} = frac {1} { sqrt {n ^ {2} + k}} ) ؛
(د) (x_ {n} = n (n + 1) c ^ {n}، ) مع (| c | <1 ) ؛
(هـ) (x_ {n} = sqrt [n] { sum_ {k = 1} ^ {m} a_ {k} ^ {n}} ، ) مع (a_ {k}> 0 ) ؛
(f) (x_ {n} = frac {3 cdot 5 cdot 7 cdots (2 n + 1)} {2 cdot 5 cdot 8 cdots (3 n-1)} ).
[تلميحات:
(أ) (0 (ب) (x_ {n} = frac {1} {1+ sqrt {1 + 1 / n}} ، ) حيث (1 < sqrt {1+ frac {1} {n}} <1+ frac {1} {n} rightarrow 1، ) لذا (x_ {n} rightarrow frac {1} {2}. ) (لماذا؟)
(ج) تحقق من ذلك
[
frac {n} { sqrt {n ^ {2} + n}} leq x_ {n} leq frac {n} { sqrt {n ^ {2} +1}} ،
]
لذلك (x_ {n} rightarrow 1 ) بواسطة Corollary 3. (قدِّم دليلًا.)
(د) انظر المشكلتين 17 و 18.
(هـ) دع (a = max left (a_ {1}، ldots، a_ {m} right). ) أثبت أن (a leq x_ {n} leq a sqrt [n] {م}. ) مشكلة الاستخدام (20.] )
فيما يلي بعض المشكلات الصعبة ولكنها مفيدة ذات الأهمية النظرية.
يجب أن تجعلها التلميحات الصريحة ليست صعبة للغاية

تمرين ( PageIndex {26} )

دع ( left {x_ {n} right } subseteq E ^ {1}. ) أثبت أنه إذا (x_ {n} rightarrow p ) في (E ^ {1}، ) ثم ايضا
[
lim _ {n rightarrow infty} frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = p
]
(على سبيل المثال ، (p ) هو أيضًا حد تسلسل الوسائل الحسابية لـ (x_ {n}). )
[الحل: Fix ( varepsilon> 0. ) ثم
[
( موجود ك) ( forall n> k) quad p- frac { varepsilon} {4} ]
مضيفا (n-k ) عدم المساواة ، احصل على
[
(nk) left (p- frac { varepsilon} {4} right) < sum_ {i = k + 1} ^ {n} x_ {i} <(nk) left (p + frac { varepsilon} {4} right).
]
مع (ك ) ثابتًا جدًا ، لدينا بالتالي
[
( forall n> k) quad frac {nk} {n} left (p- frac { varepsilon} {4} right) < frac {1} {n} left (x_ {k + 1} + cdots + x_ {n} right) < frac {nk} {n} left (p + frac { varepsilon} {4} right).
]
هنا ، مع (k ) و ( varepsilon ) ثابت ،
[
lim _ {n rightarrow infty} frac {n-k} {n} left (p- frac { varepsilon} {4} right) = p- frac { varepsilon} {4}.
]
ومن ثم ، مثل (p- frac {1} {2} varepsilon [
left ( forall n> k ^ { prime} right) quad p- frac { varepsilon} {2} < frac {nk} {n} left (p- frac { varepsilon} { 4} حق).
]
بصورة مماثلة،
[
يسار ( موجود k ^ { prime prime} right) يسار ( forall n> k ^ { prime prime} right) quad frac {nk} {n} left (p + frac { varepsilon} {4} right)

]
بدمج هذا مع (i) ، لدينا ، لـ (K ^ { prime} = max left (k، k ^ { prime}، k ^ { prime prime} right) ) ،
[
left ( forall n> K ^ { prime} right) quad p- frac { varepsilon} {2} < frac {1} {n} left (x_ {k + 1} + cdots + x_ {n} right)

]
الآن مع (ك ) ثابت ،
[
lim _ {n rightarrow infty} frac {1} {n} left (x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {k} right) = 0.
]
لذلك
[
يسار ( موجود K ^ { prime prime} right) يسار ( forall n> K ^ { prime prime} right) quad- frac { varepsilon} {2} < frac { 1} {n} left (x_ {1} + cdots + x_ {k} right) < frac { varepsilon} {2}.
]
دعونا (K = max left (K ^ { prime}، K ^ { prime prime} right). ) ثم ندمج مع (ii) ، لدينا
[
( forall n> K) quad p- varepsilon < frac {1} {n} left (x_ {1} + cdots + x_ {n} right)

]
والنتيجة تتبع.

تمرين ( PageIndex {26 '} )

أظهر أن نتيجة المشكلة 26 تنطبق أيضًا على الحدود اللانهائية (p = pm infty in E ^ {*}. )

تمرين ( PageIndex {27} )

أثبت أنه إذا (x_ {n} rightarrow p ) في (E ^ {*} left (x_ {n}> 0 right) ، ) إذن
[
lim _ {n rightarrow infty} sqrt [n] {x_ {1} x_ {2} cdots x_ {n}} = p.
]
[تلميح: دعنا أولاً (0

0 ، ) استخدم الكثافة لإصلاح ( delta> 1 ) قريبة جدًا من 1
[
ف- varepsilon < frac {p} { delta}

]
كـ (x_ {n} rightarrow p ) ،
[
( موجود ك) ( forall n> k) quad frac {p} { sqrt [4] { delta}} ]
تابع كما في المشكلة (26 ، ) استبدال ( varepsilon ) ب ( دلتا ، ) والضرب بالجمع (أيضًا الطرح بالقسمة ، إلخ ، كما هو موضح أعلاه). ابحث عن حل مشابه للحالة (p = + infty. ) لاحظ نتيجة المشكلة 20.]

تمرين ( PageIndex {28} )

دحض من خلال الأمثلة المضادة الآثار العكسية في المسائل 26 و (27. ) على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التسلسلات
[
1 ، -1 ، 1 ، -1 ، نقاط
]
و
[
frac {1} {2}، 2، frac {1} {2}، 2، frac {1} {2}، 2، ldots
]

تمرين ( PageIndex {29} )

اثبت ما يلي.
(i) إذا ( left {x_ {n} right } subset E ^ {1} ) و ( lim _ {n rightarrow infty} left (x_ {n + 1} - x_ {n} right) = p ) في (E ^ {*}، ) ثم ( frac {x_ {n}} {n} rightarrow p ).
(ii) إذا ( left {x_ {n} right } المجموعة الفرعية E ^ {1} left (x_ {n}> 0 right) ) وإذا ( frac {x_ {n + 1}} {x_ {n}} rightarrow p in E ^ {*}، ) ثم ( sqrt [n] {x_ {n}} rightarrow p ).
دحض العبارات المعاكسة من خلال الأمثلة المضادة.
[تلميح: لـ (( mathrm {i}) ، ) let (y_ {1} = x_ {1} ) و (y_ {n} = x_ {n} -x_ {n-1} ، n = 2،3، ldots ) ​​ثم (y_ {n} rightarrow p ) و
[
frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ {n} y_ {i} = frac {x_ {n}} {n} ،
]
لذلك تنطبق المسائل 26 و (26 ^ { prime} ).
بالنسبة إلى (2) ، استخدم المشكلة (27. ) انظر المشكلة 28 للحصول على أمثلة. (] )

تمرين ( PageIndex {30} )

استنتج ذلك من المشكلة 29
(أ) ( lim _ {n rightarrow infty} sqrt [n] {n!} = + infty ) ؛
(ب) ( lim _ {n rightarrow infty} frac {n + 1} {n!} = 0 ) ؛
(ج) ( lim _ {n rightarrow infty} sqrt [n] { frac {n ^ {n}} {n!}} = e )؛
(د) ( lim _ {n rightarrow infty} frac {1} {n} sqrt [n] {n!} = frac {1} {e} ) ؛
(هـ) ( lim _ {n rightarrow infty} sqrt [n] {n} = 1 ).

تمرين ( PageIndex {31} )

اثبت ذلك
[
lim _ {n rightarrow infty} x_ {n} = frac {a + 2 b} {3} ،
]
معطى
[
x_ {0} = a، x_ {1} = b، text {and} x_ {n + 2} = frac {1} {2} left (x_ {n} + x_ {n + 1} right ).
]
[تلميح: أظهر أن الاختلافات (dn = x_ {n} -x_ {n-1} ) تشكل تسلسلًا هندسيًا ، مع النسبة (q = - frac {1} {2} ، ) و ( x_ {n} = a + sum_ {k = 1} ^ {n} d_ {k}. ) ثم استخدم نتيجة المشكلة (19.] )

تمرين ( PageIndex {32} )

( Rightarrow 32. ) لأي تسلسل ( left {x_ {n} right } subseteq E ^ {1}، ) أثبت ذلك
[
تسطير { lim} x_ {n} leq underline { lim} frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} leq overline { lim} frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} leq overline { lim} x_ {n}.
]
ومن ثم إيجاد حل جديد للمسألتين 26 و (26 ^ { prime}. )
[إثبات لـ ( overline { lim} ): إصلاح أي (k in N. ) ضع
[
c = sum_ {i = 1} ^ {k} x_ {i} text {and} b = sup _ {i geq k} x_ {i}.
]
تحقق من أن
[
( forall n> k) quad x_ {k + 1} + x_ {k + 2} + cdots + x_ {n} leq (n-k) ب.
]
أضف (c ) على كلا الجانبين واقسم على (n ) للحصول على
[
( forall n> k) quad frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} leq frac {c} {n} + frac {nk} {n } ب.
]
الآن أصلح أي ( varepsilon> 0، ) ودع أولاً (| b | <+ infty. ) كـ ( frac {c} {n} rightarrow 0 ) و ( frac {nk } {n} b rightarrow b، ) يوجد (n_ {k}> k ) مثل
[
left ( forall n> n_ {k} right) quad frac {c} {n} < frac { varepsilon} {2} text {and} frac {nk} {n} b ]
وهكذا بواسطة ( left ( mathrm {i} ^ {*} right) ) ،
[
يسار ( forall n> n_ {k} right) quad frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} leq varepsilon + b.
]
ينطبق هذا أيضًا بوضوح إذا (b = sup _ {i geq k} x_ {i} = + infty. ) ومن ثم أيضًا
[
sup _ {n geq n_ {k}} frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} leq varepsilon + sup _ {i geq k} x_ { أنا}.
]
نظرًا لأن (k ) و ( varepsilon ) كانا تعسفيين ، فقد نسمح أولاً (k rightarrow + infty ، ) ثم ( varepsilon rightarrow 0 ، ) للحصول على
[
تسطير { lim} frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} leq lim _ {k rightarrow infty} sup _ {i geq k} x_ {i} = overline { lim} x_ {n}. رباعي ( نص {شرح!})]
]

تمرين ( PageIndex {33} )

( Rightarrow 33. ) معطى ( left {x_ {n} right } subseteq E ^ {1}، x_ {n}> 0، ) أثبت ذلك
[
تسطير { lim} x_ {n} leq underline { lim} sqrt [n] {x_ {1} x_ {2} cdots x_ {n}} text {and} overline { lim} sqrt [n] {x_ {1} x_ {2} cdots x_ {n}} leq overline { lim} x_ {n}.
]
ومن ثم الحصول على حل جديد للمشكلة (27. )
[تلميح: تابع كما هو مقترح في المشكلة (32 ، ) مع استبدال الجمع بالضرب.]

تمرين ( PageIndex {34} )

معطى (x_ {n}، y_ {n} في E ^ {1} left (y_ {n}> 0 right) ، ) مع
[
x_ {n} rightarrow p in E ^ {*} text {and} b_ {n} = sum_ {i = 1} ^ {n} y_ {i} rightarrow + infty،
]
اثبت ذلك
[
lim _ {n rightarrow infty} frac { sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}} { sum_ {i = 1} ^ {n} y_ {i}} = ص.
]
لاحظ أن المشكلة 26 هي حالة خاصة من المشكلة 34 (خذ الكل (y_ {n} = 1) ). [تلميح إلى (p: ) محدود (p: ) تابع كما في المشكلة (26. ) ومع ذلك ، قبل إضافة (n-k ) عدم المساواة ، اضرب في (y_ {i} ) واحصل على
[
يسار (p- frac { varepsilon} {4} right) sum_ {i = k + 1} ^ {n} y_ {i} < sum_ {i = k + 1} ^ {n} x_ { i} y_ {i} < left (p + frac { varepsilon} {4} right) sum_ {i = k + 1} ^ {n} y_ {i}.
]
( operatorname {Put} b_ {n} = sum_ {i = 1} ^ {n} y_ {i} ) وأظهر ذلك
[
frac {1} {b_ {n}} sum_ {i = k + 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} = 1- frac {1} {b_ {n}} sum_ {i = 1} ^ {k} x_ {i} y_ {i} ،
]
حيث (b_ {n} rightarrow + infty ( text {افتراضيا}) ، ) لذلك
[
frac {1} {b_ {n}} sum_ {i = 1} ^ {k} x_ {i} y_ {i} rightarrow 0 quad text {(for a fixed} k).
]
تقدم. ابحث عن دليل لـ (p = pm infty.] )

تمرين ( PageIndex {35} )

حل المشكلة 34 من خلال التفكير في ( underline { lim} ) و ( overline { lim} ) كما في المشكلة 32.
( left [ text {تلميح: استبدال} frac {c} {n} text {by} frac {c} {b_ {n}} ، text {where} b_ {n} = sum_ { i = 1} ^ {n} y_ {i} rightarrow + infty. right] )

تمرين ( PageIndex {36} )

أثبت أنه إذا (u_ {n}، v_ {n} in E ^ {1}، ) مع ( left {v_ {n} right } uparrow ) (بشكل صارم) و (v_ {n} rightarrow + infty، ) وإذا
[
lim _ {n rightarrow infty} frac {u_ {n} -u_ {n-1}} {v_ {n} -v_ {n-1}} = p quad left (p in E ^ {*}حق)،
]
ثم ايضا
[
lim _ {n rightarrow infty} frac {u_ {n}} {v_ {n}} = p،
]
[تلميح: نتيجة المشكلة (34 ، ) مع
[
x_ {n} = frac {u_ {n} -u_ {n-1}} {v_ {n} -v_ {n-1}} text {and} y_ {n} = v_ {n} -v_ { ن -1}.
]
يؤدي إلى النتيجة النهائية. (] )

تمرين ( PageIndex {37} )

من المشكلة 36 الحصول على حل جديد للمشكلة (15. ) وإثبات ذلك أيضًا
[
lim _ {n rightarrow infty} left ( frac {S_ {mn}} {n ^ {m + 1}} - frac {1} {m + 1} right) = frac {1} {2}.
]
[تلميح: بالنسبة للجزء الأول ، ضع
[
u_ {n} = S_ {m n} text {and} v_ {n} = n ^ {m + 1}.
]
للمرة الثانية ، ضع
[
u_ {n} = (m + 1) S_ {m n} -n ^ {m + 1} text {and} v_ {n} = n ^ {m} (m + 1). ]
]

تمرين ( PageIndex {38} )

لنفترض (0 [
a_ {n + 1} = sqrt {a_ {n} b_ {n}} text {and} b_ {n + 1} = frac {1} {2} left (a_ {n} + b_ {n } right) ، n = 1،2 ، ldots
]
ثم (a_ {n + 1} [
b_ {n + 1} -a_ {n + 1} = frac {1} {2} left (a_ {n} + b_ {n} right) - sqrt {a_ {n} b_ {n}} = frac {1} {2} left ( sqrt {b_ {n}} - sqrt {a_ {n}} right) ^ {2}> 0.
]
استنتج ذلك
[
أ ]
لذلك ( left {a_ {n} right } uparrow ) و ( left {b_ {n} right } downarrow. ) حسب النظرية (3، a_ {n} rightarrow p ) و (b_ {n} rightarrow q ) للبعض (p، q in E ^ {1}. ) أثبت أن (p = q، ) أي ،
[
lim a_ {n} = lim b_ {n}.
]
(هذا هو الوسط الحسابي والهندسي لغاوس لـ (أ ) و (ب) )
[تلميح: ضع حدودًا لكلا الجانبين في (b_ {n + 1} = frac {1} {2} left (a_ {n} + b_ {n} right) ) لتحصل على (q = frac {1} {2} (p + q).] )

تمرين ( PageIndex {39} )

اسمح (0 [
a_ {n + 1} = frac {2 a_ {n} b_ {n}} {a_ {n} + b_ {n}} ، text {and} b_ {n + 1} = frac {1} { 2} يسار (أ_ {n} + ب_ {n} يمين) ، رباعي n = 1،2 ، ldots
]
اثبت ذلك
[
sqrt {a b} = lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = lim _ {n rightarrow infty} b_ {n}.
]
[تلميح: تابع كما في المشكلة 38.]

تمرين ( PageIndex {40} )

إثبات استمرارية الضرب النقطي ، أي إذا
[
overline {x} _ {n} rightarrow overline {q} text {and} overline {y} _ {n} rightarrow overline {r} text {in} E ^ {n}
]
(* أو في فضاء إقليدي آخر ؛ انظر الفقرة 9) ، إذن
[
overline {x} _ {n} cdot overline {y} _ {n} rightarrow overline {q} cdot overline {r}.
]


تحميل ملف Fiitjee Maths DPP pdf | أفضل تطبيقات FIITJEE maths dpps لـ IIT JEE | fiitjee maths dpp module pdf

قم بتنزيل FIITJEE Chapterwise DPP Level-I و Level-II و Level-III (ورقة سؤال + مفتاح الإجابة) لـ JEE Mains و Advanced Examination بصيغة PDF مجانًا | تنزيل ملف fiitjee maths dpp module pdf

fiitjee maths dpp module pdf

تنزيل مراجعة Fiitjee RSM الصادقة من قبل IITians | تفاصيل حول FIITJEE RSM

FIITJEE DLP ليس ذكيًا للدراسة الذاتية ، جودة الاستعلامات تقاس بذكاء ولكن الفكرة لا ترقى إلى مستوى JEE وأيضًا الحلول المقدمة لا ترقى إلى المستوى المطلوب. إذا كنت & # 8217 تريد استخدام iitjee ، فعادة ما يكون FIITJEE DLP مفيدًا ، ولكن إذا كنت متحمسًا تمامًا للدراسة الذاتية ، فستكون أعلى إذا اخترت حزمة Resonance DLP. إذا كنت & # 8217d ترغب في الدخول للحصول على سلسلة فحص من fiitjee ، فستحدد مادة دراسة FIITJEE + شريط فحص ولكن إذا كنت ستحصل على منفصلة ، فهذا لا يستحق ذلك.

نعم بصرف النظر عن مواد الدراسة ، و RTPF ، و GMP ، و JEE Archive ، وكتيبات دعم الأولمبياد المرفقة. يتم تقديم الإجابات بشكل مربّع ، ولكن لن يتم شرحها ، كما أن الأكاديميين الثانيين في fiitjee يراودون جميع شكوك الطلاب قبل وبعد الفئات ولكن هذا مخصص لطلاب منطقة التطور فقط.
خلال وقتنا ، اعتادنا أن يكون هناك تمرين واحد ثم زوج من ثم من بين الأطراف ، اعتادنا أن تكون هناك استفسارات متنوعة ، ثم بعض الأسئلة النظرية متبوعة بتمارين متعددة اعتادت على تغطية جميع فئات الأسئلة المطروحة في JEE مثل MCQ ، اختيار متعدد صحيح ، عدد صحيح طيب القلب. كانت الاستعلامات تتكشف بكل الطرق وتم فرز الأشخاص الآخرين & # 8217t بناءً على فرضية المشكلة. لكنهم & # 8217ll قاموا بفرزهم إلى المرحلة الأولى والجمع بين فكرة المشكلة حاليًا.
يحتوي كل فصل على وحدة واحدة تشبه إلى حد ما الوحدة الأولى لفيزياء Scalar و Vector ثم الثانية كانت قوانين الحركة. يمكن أن تحتوي كل وحدة على كتاب واحد. لا أضع في اعتباري النطاق الدقيق للكتيبات ولكن كان أكثر من 50 كتيبًا لـ PCM مجتمعة.
ناه ، برنامج الفصل الدراسي أعلى بأميال من RSM. في دراسة FIITJEE للفصل الدراسي هو كل شيء يعلمك إياه ، ويقدم لك ملاحظات ، ثم في اليوم التالي يرفعونك لكشف الاستفسارات الدقيقة في المواد الدراسية التي قاموا بتدريسها ومن خلال الفئة التالية ، ستتمكن من إثارة الشكوك ثم تحصل على فحص نصف الوقت ، الاختيار الأسبوعي ، الاختيار العشوائي للفئة. لذلك ، قاموا بإنشاء المواد الدراسية بالتزامن مع برنامج الفصل الدراسي الخاص بهم
أود أن أقترح سلسلة مواد دراسة الرنين وسلسلة فحص Fiitjee.

وحدات منفصلة لكل فصل تحتوي على الرسوم التوضيحية ، والتمرين بين النظريات ، والقضايا التي تم حلها ، وقضايا التخصيص
كتاب متنوع لمرحلة معينة (يحتوي على أسئلة مختلطة من 3-4 فصول)
اختبارات الفصل ، اختبارات القسم لـ jee mains و jee المتقدمة
AITs
اقتراحي هو عدم الرغبة في الحصول على dlp إذا كنت تعمل في معهد شديد للغاية

  • المتجهات pdf
  • AOD pdf
  • منطقة pdf
  • ذات الحدين pdf
  • دائرة pdf
  • الأعداد المركبة pdf
  • محددات pdf
  • المعادلات التفاضلية pdf
  • Ellipse pdf
  • Function2 pdf
  • القطع الزائد pdf
  • تكامل غير محدد pdf

كل هذه المواد المقدمة هنا هي فقط لمساعدة هؤلاء الطلاب غير القادرين اقتصاديًا على شراء هذه المواد ولكنها ستساعدهم في اختبار التكسير. نحن مجموعة من طلاب الكلية الذين يدرسون في IITs ، وهذا هو السبب في أننا نساعد الطامحين الآخرين من خلال توفير جميع الإرشادات والموارد الدراسية والمساعدات الأخرى من خلال هذه المدونة. نقترح على الجميع شراء هذه المواد القادرة على الشراء! نحن لا نحتفظ بأي حقوق لهذه المواد ، ولا يتم إنشاؤها أو مسحها ضوئيًا ، فكل المواد المعروضة هنا متاحة بالفعل عبر الشبكة. نحن فقط نجمعها تحت سقف واحد. يرجى قراءة سياسة خاصة و تنصل!

إذا واجه أي مالك محتوى أي مشكلة أو طلب منا إزالة المادة ، فما عليك سوى إسقاط بريد أو نموذج اتصال ، وسنزيل رابط المادة على الفور.


المسائل النموذجية NCERT للصف 11 الرياضيات

مشكلات نموذجية NCERT للصف 11 Maths PDF للتنزيل المجاني للجلسة الأكاديمية الجديدة 2021-2022 جنبًا إلى جنب مع NCERT Solutions والتطبيقات غير المتصلة بالإنترنت 2021-22 استنادًا إلى أحدث منهج CBSE للجلسة الجديدة.

يتم تطبيق هذه الكتب النموذجية في المنهج الدراسي لتحسين القدرة العقلية والمزاج العلمي للطلاب. إكمال المنهج الدراسي المحدد للعام الحالي 2021-2022 يُطلب من الطلاب ممارسة أسئلة المشكلات النموذجية. الأمثلة المعطاة مهمة أيضًا وفقًا لوجهة نظر الامتحان. من الأفضل عمل كتب المسائل النموذجية أكثر من العديد من الكتب الأخرى مثل R D Sharma ، Together with maths ، R S Aggarwal ، U - like ، P K Garg ، إلخ.

المسائل النموذجية NCERT للصف 11 الرياضيات

المسائل النموذجية NCERT للصف 11 الرياضيات في PDF

ترد أدناه مشكلات نموذجية لـ NCERT للرياضيات للصف 11 في شكل PDF للتحميل المجاني. قم بتنزيل كتب NCERT والتطبيقات غير المتصلة بالإنترنت استنادًا إلى أحدث منهج CBSE. اطرح شكوكك المتعلقة بالمجالس التعليمية NIOS و CBSE من خلال منتدى المناقشة. نقوم بتحديث جميع محتويات الجلسة الأكاديمية الحالية 2021-2022. لذا ، فإن تعليقاتك على التحديثات مهمة بالنسبة لنا. تمامًا مثل السنوات القليلة الماضية ، يرجى تقديم الملاحظات والاقتراحات للفترة 2021-22 أيضًا لتحسين الموقع.

المسائل النموذجية NCERT للصف 11 الرياضيات

التعليقات & # 038 اقتراحات

يتم تحديث جميع المحتويات بما في ذلك حلول NCERT ، وأوراق الاختبار ، والواجبات ، واختبارات الفصل ، وما إلى ذلك ، للجلسة الأكاديمية الجديدة 2021-22 على هذا الموقع. سنقوم بزيادة محتويات المساعدة في NIOS بالإضافة إلى لوحة CBSE. يتم الاحتفاظ بمنتدى المناقشة لمشاركة المعرفة بين المعلمين والطلاب. يتم تنفيذ كل شيء فقط بسبب تعليقات واقتراحات المستخدم # 8217s. نحن ممتنون للاقتراحات التي تلقيناها حتى الآن ونتوقع نفس التعاون في المستقبل أيضًا.

قم بتنزيل كتب NCERT والتطبيقات غير المتصلة بالإنترنت 2021-22 استنادًا إلى منهج CBSE الجديد. اطرح شكوكك المتعلقة بلوحة NIOS أو CBSE وشارك معرفتك مع أصدقائك والمستخدمين الآخرين من خلال منتدى المناقشة.


وقت الدراسة

يكتب مطلوب
محاضرات 30 جلسة كل ساعة (20٪)
ندوات 9 جلسات كل ساعة (6٪).
الدراسة الخاصة 111 ساعة (74٪)
مجموع 150 ساعة
وصف الدراسة الخاصة

مراجعة أسبوعية لمواد المحاضرات
حل التمارين غير المقيمة (الأسبوع الأول ، الأسبوع الثاني ، الأسبوع الرابع ، الأسبوع السادس ، الأسبوع الثامن)
حل أوراق المشكلات التي تم تقييمها (الأسبوع الثالث ، الأسبوع الخامس ، الأسبوع السابع ، الأسبوع التاسع)
التحضير للامتحان (حل أوراق الامتحانات السابقة)


مشاكل الممارسة

تحتوي هذه الصفحة على أوراق أسئلة يتم إرسالها إلى الطلاب الجدد من قبل العديد من الكليات قبل وصولهم لبدء دراستهم الجامعية. تشكل هذه الأسئلة مادة تجسير مناسبة للطلاب الحاصلين على رياضيات مستوى A واحد عندما يبدأون الجامعة - المادة عبارة عن مراجعة جزئية ، مادة جديدة جزئيًا. تغطي جميع الأوراق الـ 11 مواد ذات صلة بدورات الرياضيات والرياضيات والإحصاء والرياضيات والفلسفة أوراق 8 و 9 و 10 ليست ذات صلة بدرجة الرياضيات وعلوم الكمبيوتر.

لكل ورقة يتم وصف الموضوع باختصار ، وهناك بعض مواد القراءة الموصى بها تشير أرقام الفصول إلى الطبعة الرابعة من كتاب DW Jordan و P.Smith's Mathematical Techniques ، الذي نشرته مطبعة جامعة أكسفورد في عام 2008.

  • أسئلة:
    • الورقة 1: الوظائف والأساليب القياسية ، PDF
      القراءة: § § 1.3 ، 1.6-1.8 ، 1.10-1.16
    • الورقة 2: التمايز ، PDF
      القراءة: الفصل 2
    • الورقة 3: مزيد من التمايز ، PDF
      القراءة: §§ 3.1-3.5 ، 3.9-3.10
    • الورقة 4: تطبيقات التمايز ، PDF
      القراءة: §§ 4.1-4.4
    • الورقة 5: سلسلة تايلور ، PDF
      القراءة: §§ 5.1-5.4
    • الورقة 6: الأعداد المركبة ، PDF
      قراءة: الفصل 6
    • الصحيفة 7: المصفوفات ، PDF
      قراءة: الفصل 7
    • الورقة 8: المتجهات ، PDF
      القراءة: §§ 9.1-9.4، 9.6
    • الورقة 9: منتج "النقطة" القياسي ، PDF
      القراءة: §§ 10.1-10.3 و 10.9
    • الورقة 10: منتج المتجه "المتقاطع" ، PDF
      القراءة: §§ 11.1-11.2
    • الصحيفة 11: التكامل ، PDF
      القراءة: §§ 14.1-15.4، 15.8
    • جميع الأوراق الـ 11 أعلاه كملف واحد: PDF
    • أسئلة أكثر صعوبة:
      • الاستقراء 1: PDF
        قراءة: R.B.J.T. أرقام وإثبات اللنبي ، الفصل 7
      • الاستقراء 2: PDF
        قراءة: R.B.J.T. أرقام وإثبات اللنبي ، الفصل 7
      • الجبر 1: PDF
        القراءة: لا توجد شروط مسبقة
      • الجبر 2: PDF
        قراءة: الفصلين السابع والثامن
      • حساب التفاضل والتكامل 1 - رسم المنحنى: PDF
        القراءة: §§ 4.1-4.4
      • حساب التفاضل والتكامل 2 - الطرق العددية والتقدير: PDF
        القراءة: §4.6 ، §5.2
      • حساب التفاضل والتكامل 3 - تقنيات التكامل: PDF
        القراءة: §§17.5-17.7
      • حساب التفاضل والتكامل 4 - المعادلات التفاضلية: PDF
        قراءة: §§ 22.3-22.4 ، الفصل 18
      • حساب التفاضل والتكامل 5 - مزيد من المعادلات التفاضلية: PDF
        قراءة: الفصل 19 ، §22.5
      • الأعداد المركبة: PDF
        قراءة: الفصل 6
      • الهندسة: PDF
        القراءة: §10.1 ، §10.9 ، §11.1 ، §16.1
      • الـ 11 ورقة الثانية كملف واحد: PDF
      • أوراق إضافية حول الرياضيات التطبيقية (لطلاب الرياضيات والرياضيات والإحصاء)
        • ديناميات 1 - تعريفات أساسية. قانون نيوتن الثاني PDF
        • الديناميات 2 - التذبذبات وأمثلة أخرى. بي دي إف

        يرجى الاتصال بنا للحصول على ردود الفعل والتعليقات حول هذه الصفحة. آخر تحديث 8 سبتمبر 2019-15: 03.


        مهمتنا ورؤيتنا

        1. لتجهيز وتشجيع وربط البحوث في المجالات المرتبطة بالتعليم المدرسي
        2. لتجميع ونشر الكتب المدرسية والمواد التكميلية والرسائل الإخبارية والمجلات والمواد الرقمية والمواد الدراسية الأخرى.
        3. تنظيم تدريب المعلمين قبل الخدمة وأثناء الخدمة جنبًا إلى جنب مع تطوير وتوزيع الأساليب والممارسات التعليمية المبتكرة

        The function of our website is to conduct and support educational research and to offer training in educational research methodology.


        From English to Math

        Fatou's Lemma: Let $(X,Sigma,mu)$ be a measure space and $$ a sequence of nonnegative measurable functions. Then the function $displaystyle f_n>$ is measureable and $int_X liminf_ f_n dmu leq liminf_ int_X f_ndmu .$

        دليل

        1st observation: $int g_k leq int f_n$ for all $ngeq k$. This follows easily from the fact that for a fixed $xin X$, $displaystyle>leq f_n(x)$ whenever $ngeq k$ (by definition of infimum). Hence $int displaystyle f_n> leq int f_n$ for all $ngeq k$, as claimed. This allows us to write egin int g_kleq inf_int f_n. qquad qquad (1) end

        2nd observation: $$ is an increasing sequence and $displaystyle g_k>=h$ pointwise. Thus, by the Monotone Convergence Theorem, egin intliminf_ f_n =int h = lim_ int g_k leq lim_ inf_int f_n = liminf_ int f_n end where the inequality in the middle follows from (1).

        Finally, $liminf f_n$ is measurable as we've proved before in the footnotes here.

        Exercise from Big Rudin

        The following is taken from chapter 1 of Rudin's Real and Complex Analysis. (Rudin, RCA, #1.8) Let $Esubset mathbb$ be Lebesgue measurable, and for $ngeq 0$ define $ f_n=egin chi_E & ext 1-chi_E & ext نهاية $ What is the relevance of this example to Fatou's Lemma? For simplicity, let's just consider what happens when $X=[0,2]subset mathbb$ and we let $E=(1,2]subset X$. Then we get the following sequence of functions $f_n=egin chi_ <(1,2]>& ext chi_ <[0,1]>& ext. نهاية $ The first few of these functions look like this:

        Notice that as $n$ increases, the graphs switch back and forth. For any given $n$, $int_<[0,2]>f_n=1$ but $liminf_nf_n=0$. (Recall that $liminf_n f_n$ is the infimum of all subsequential limits of $$). This shows us that $0=int_ <[0,2]>liminf_ f_n < liminf_int_ <[0,2]>f_n=1$ proving that a strict inequality in Fatou's Lemma is possible.


        3.11.E: Problems on Limits of Sequences (Exercises) - Mathematics

        For my younger students I usually start with a rule or function like 2x. We put a number in for x, get the number out, then put that output in for x, and continue that process. We get an infinite sequence of numbers. In this case the sequence diverges, doesn't go to a number. For example if we put 3->x, we get 6. We then put 6->x and we get 12.
        We get the infinite sequence 3, 6, 12, 24, .
        Later on, with older students, it is not a big step to use 1.1x as the function and show this is the same problem as increasing the population of a town 10% each year. A very important application.

        A teacher in one of Don's workshops, made up this function:. We'll pick a number, say 0, and put it in for x. What do we get out? 5 + 0/2 = 5. Then we put 5 in for x. What do we get out this time? 5 + 5/2 = 7.5 Now let's keep track of the infinite sequence we get: 0, 5, 7.5, 8.75, . The question is what's happening? Does this sequence converge? I ask my students to do the first 8 or so by hand, to make sure they can divide and write the answer as a fraction or mixed number and a decimal. Only then will I let them use a calulator to do more. Then I'll get them to the computer to use Mathematica to do 200 iterations and let it carry the answer to 100 decimal places!
        Finish the graph of this sequence, the beginning of which is shown below:

        Start with a new number, like 100 and see what happens.
        Start with -17 and see what happens. Graph these sequences on the same graph paper. هل هناك نمط؟
        Each infinite sequence has a limit of 10 for . Look at the numbers there. What do you think would happen if we started with 6 + x/2 ? a + x/2 ?
        What would happen with 5 + x/3 ? 5 + x/4 ?

        Another interesting function I do with my younger students is 6/x. Interesting things happen with this one!

        11 ways to solve a quadratic equation
        Method 1. By guessing and the sum and product of the roots (see above)
        Method 2. Solving x 2 - 5x + 6 = 0 for x to get x = .
        Jonathan, at age 7, solved this quadratic equation like this:

        2a.We can get an infinite continued fraction and find approximations of the roots of the equation
        2b.We'll iterate the function starting with different numbers, then graph these sequences.
        2c.Graph 3 successive 'pieces' of the infinite continued fraction
        2d.Graph y = , then connect points whose coordinates are consecutive input numbers
        Methods 3., 4., and 5. You solve x 2 - 5x + 6 = 0 for x, but in a different way than Jonathan did, (but not one of methods 6-11 below), and do the corresponding things as in 2a., 2b., 2c. and 2d above. You might find more than 3 other ways! Please let me know if you do.
        Method 6. Solving x 2 - x - 1 = 0 using a calculator to hone in on the two solutions.
        Method 7. By factoring (one of the 'normal' ways)
        Method 8. By completing the square
        Method 9. Using the quadratic formula
        Method 10. Graph x 2 - 5x + 6 = y (where it crosses the x-axis will be the roots, if they are real)
        Method 11. Spiraling in to the intersection of 2 curves
        Flash! This just happened (10/26/96): Colleen, a 7th grader, solved x 2 - x - 1 = 0 and got
        x = x 2 - 1. Try iterating this. It's exciting when something unexpected happens! That's what makes my teaching interesting and enjoyable. I've spent the last 2 hours working on this in Mathematica. To some answers to problems above from Ch. 8- part 2, iteration
        To problems from Ch. 8 part one- solving equations
        To order Don's materials
        To choose sample problems from other chapters
        Mathman Home


        Pure Maths

        All of the above topics will be coming to StudyWell in June 2021.

        • More binomial expansion, nth term.
        • Increasing, decreasing and periodic sequences.
        • Sigma notation.
        • Arithmetic sequences & series.
        • Geometric sequences & series.
        • Sequences in modelling.

        All of the above topics will be coming to StudyWell in July 2021.

        • arc length and area of a sector
        • small angle approximations
        • exact values of sin, cos and tan
        • reciprocal and inverse trigonometric functions
        • more trigonometric identities
        • double angle and compound angle formulae
        • trigonometric proof
        • problems in context

        All of the above topics will be coming to StudyWell in August 2021.

        • differentiate trigonometric functions from first principles, convex/concave functions
        • differentiate trigonometric and exponential functions
        • product rule, quotient rule and chain rule
        • implicit and parametric differentiation
        • construct simple differential equations

        All of the above topics will be coming to StudyWell from September 2021.

        • Integrate linear combinations, exponential and trigonometric functions.
        • Finding areas.
        • Understand that integration is the limit of a sum.
        • Integration by substitution and integration by parts.
        • Integrate using partial fractions.
        • Separation of variables.
        • Interpret the solution of a first order differential equation.

        All of the above topics will be coming to StudyWell from September 2021.

        • Approximate location of roots
        • Iterative methods
        • Newton-Raphson method
        • Numerical integration
        • Problems in context

        All of the above topics will be coming to StudyWell from September 2021.

        About

        StudyWell is a website for students studying A-Level Maths (or equivalent. course). We have lots of resources including A-Level content delivered in manageable bite-size pieces, practice papers, past papers, questions by topic, worksheets, hints, tips, advice and much, much more.


        شاهد الفيديو: شرح مفصل في حساب الحدود للمتتالية العدديه (شهر اكتوبر 2021).