مقالات

3: تطبيقات المشتقات


3: تطبيقات المشتقات

شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


تطبيقات المشتقات

تطبيقات المشتقات: معدل تغير الأجسام ، زيادة / تناقص الوظائف ، الظلال والطبيعية ، استخدام المشتقات في التقريب ، الحد الأقصى والحد الأدنى (اختبار المشتق الأول محفز هندسيًا واختبار المشتق الثاني كأداة يمكن إثباتها)

لحل المشكلات العملية مثل التحسين الهندسي ، غالبًا ما يكون التحدي الأكبر هو تحويل مشكلة الكلمات إلى مشكلة تحسين رياضية - عن طريق إعداد الوظيفة التي سيتم تكبيرها أو تصغيرها. وبالمثل ، يمكننا أيضًا إيجاد معدل تغير الجسم باستخدام الاشتقاق.

تذكر أن dy / dx يكون موجبًا إذا زاد y كلما زاد x وكان سالبًا إذا انخفض y كلما زاد x. أيضًا ، يمكن أيضًا معرفة ميل ظل المنحنى f (x) من خلال اشتقاق دالة المنحنى عند نقطة معينة. نظرًا لأن الخط العمودي متعامد على المنحنى f (x) عند نقطة معينة ، فإن التدرج اللوني للخط الطبيعي هو -1 / f '(x).

مثال: يمكن للسفينة أن تصل إلى سرعتها القصوى في 5 دقائق ، وخلال ذلك الوقت يمكن حساب المسافة من البداية باستخدام الصيغة د = ر + 50ر 2 أين ر هو الوقت بالثواني و D يقاس بالأمتار. ما هي سرعة تسارعها؟

السرعة ، v م / ث ، هي معدل تغير المسافة فيما يتعلق بالوقت.

التسريع، أ م / ث 2 ، هو معدل التغيير سرعة فيما يتعلق بالوقت أو المشتق الثاني للمسافة فيما يتعلق بالوقت.

الآن ضع في اعتبارك الرسم البياني أدناه:

تشير العلامات إلى مكان انحدار المنحنى = ، & # 8211 أو 0. في كل حالة:

تتزايد دالة بشكل صارم في منطقة حيث F´(x) & GT 0. تتزايد دالة بشكل صارم في منطقة حيث F´(x) & lt 0. وظيفة ثابتة حيث F´(x) = 0

حدد مكان الوظيفة (1) زيادة (2) تناقص (3) القرطاسية

الحل: f '(x) = 6x 2-6x - 12

يوضح لنا الرسم التخطيطي للمشتق ذلك

عندما يتم تحديد وظيفة في فترة زمنية مغلقة ، أxب، إذًا يجب أن يكون لها قيمة قصوى وقيمة دنيا في تلك الفترة الزمنية.

يمكن العثور على هذه القيم إما في

• نقطة ثابتة [أين F´(x) = 0]

• نقطة نهاية الفترة المغلقة. [F(أ) و F(ب)]

كل ما عليك فعله هو العثور على هذه القيم واختيار أكبر وأقل القيم.

مثال: تصنع الشركة المصنعة علبة لحمل 250 مل من العصير ، وتعتمد تكلفة العلبة على نصف قطرها ، x سم لأسباب عملية ، يجب أن يكون نصف القطر بين 2.5 سم و 4.5 سم ، ويمكن حساب التكلفة من الصيغة

احسب الحد الأقصى والحد الأدنى لقيم دالة التكلفة.

الذي يساوي صفر عند النقاط الثابتة.

  • (3x– 1)(x – 3) = 0
  • x = 1 /3 أو x = 3
  • يعمل حتى 1 ديسيبل.
  • F( 1 /3) = 15.5
  • F(3) = 6
  • F(2.5) = 6.9
  • F(4·5) = 18.4
  • عن طريق التفتيش Fالأعلى = 18.4 (متى x = 4.5) و Fدقيقة = 6 (متى x = 3).

لنفترض أن f: D → R ، D ⊂R ، تكون وظيفة معينة ، ودع y = f (x). دع ∆x تشير إلى زيادة صغيرة في x. تذكر أن الزيادة في y تقابل الزيادة في x ، والمشار إليها بـ ∆y ، معطاة ∆y = f (x + ∆x) - f (x). نحدد ما يلي:

  • يتم تعريف تفاضل x ، المشار إليه بـ dx ، بـ dx = ∆x.
  • يتم تعريف تفاضل y ، المشار إليه بواسطة dy ، بواسطة dy = f ′ (x) dx

في حالة أن dx = ∆x صغير نسبيًا عند مقارنته بـ x ، وبالنسبة لـ y ، فإننا نشير إلى dy ≈ ∆y.


حجم حساب التفاضل والتكامل 1

ارسم الموقف إذا لزم الأمر واستخدم الأسعار ذات الصلة لحل الكميات.

إذا تم توصيل مقاومين كهربائيين على التوازي ، فإن المقاومة الإجمالية (تقاس بالأوم ، ويُشار إليها بالحرف اليوناني الكبير أوميغا ، $ Omega $) تُعطى بالمعادلة $ frac <1>= فارك <1>> + فارك <1>>. $ إذا كان $ R_ <1> $ يتزايد بمعدل 0.5 $ Omega / min $ و $ R_ <2> $ ينخفض ​​بمعدل 1.1 $ Omega / mathrm$ ، بأي معدل يتغير إجمالي المقاومة عندما $ R_ <1> = 20 Omega $ و $ R_ <2> = 50 Omega / min؟

المشكلة 5

ارسم الموقف إذا لزم الأمر واستخدم الأسعار ذات الصلة لحل الكميات.

سلم طوله 10 أقدام يتكئ على الحائط. إذا انزلق الجزء العلوي من السلم إلى أسفل الحائط بمعدل 2 قدم / ثانية ، فما مدى سرعة تحرك الجزء السفلي على طول الأرض عندما يكون الجزء السفلي من السلم على بعد 5 أقدام من الحائط؟

المشكلة 6

ارسم الموقف إذا لزم الأمر واستخدم الأسعار ذات الصلة لحل الكميات.

سلم بطول 25 قدمًا يتكئ على الحائط. إذا دفعنا السلم نحو الحائط بمعدل 1 قدم / ثانية ، وكان قاع السلم في البداية على بعد 20 قدمًا من الحائط ، ما مدى سرعة تحرك السلم لأعلى الحائط 5 ثوانٍ بعد أن نبدأ في الدفع؟

المشكلة 7

ارسم الموقف إذا لزم الأمر واستخدم الأسعار ذات الصلة لحل الكميات.

تحلق طائرتان في الهواء على نفس الارتفاع: الطائرة A تحلق شرقًا بسرعة 250 ميل / ساعة والطائرة B تحلق شمالًا بسرعة 300 ميل / ساعة. إذا كان كلاهما متجهًا إلى نفس المطار ، الواقع على بعد 30 ميلاً شرق الطائرة A و 40 ميلاً شمال الطائرة B ، فما هو معدل تغير المسافة بين الطائرات؟

المشكلة 8

ارسم الموقف إذا لزم الأمر واستخدم الأسعار ذات الصلة لحل الكميات.

تركب أنت وصديقك دراجاتك إلى مطعم تعتقد أنه شرقًا يعتقد صديقك أن المطعم في الشمال. كلاكما يغادران من نفس النقطة ، مع ركوبك بسرعة 16 ميلاً في الساعة شرقاً وصديقك يركب 12 ميلاً في الساعة شمالاً. بعد أن قطعت 4 ميل ، ما هو معدل تغير المسافة بينكما؟

المشكلة 9

ارسم الموقف إذا لزم الأمر واستخدم الأسعار ذات الصلة لحل الكميات.

تسير حافلتان على طول طرق سريعة متوازية تفصل بينهما 5 أميال ، تتجه إحداهما شرقًا والأخرى باتجاه الغرب. بافتراض أن كل حافلة تسير بسرعة ثابتة تبلغ 55 ميلًا في الساعة ، فأوجد المعدل الذي تتغير به المسافة بين الحافلات عندما تكون المسافة بينهما 13 ميلًا ، متجهة نحو بعضها البعض.

المشكلة 10

ارسم الموقف إذا لزم الأمر واستخدم الأسعار ذات الصلة لحل الكميات.

شخص يبلغ طوله 6 أقدام يمشي بعيدًا عن عمود إنارة يبلغ ارتفاعه 10 أقدام بمعدل ثابت يبلغ 3 أقدام / ثانية. ما هو معدل تحرك طرف الظل بعيدًا عن القطب عندما يكون الشخص على بعد 10 أقدام من القطب؟

المشكلة 11

ارسم الموقف إذا لزم الأمر واستخدم الأسعار ذات الصلة لحل الكميات.

باستخدام المسألة السابقة ، ما هو المعدل الذي يتحرك عنده طرف الظل بعيدًا عن الشخص عندما يكون الشخص على بعد 10 أقدام من القطب؟

المشكلة 12

ارسم الموقف إذا لزم الأمر واستخدم الأسعار ذات الصلة لحل الكميات.

يمشي شخص يبلغ ارتفاعه 5 أقدام باتجاه الحائط بمعدل 2 قدم / ثانية. يوجد ضوء موضعي على الأرض على بعد 40 قدمًا من الحائط. ما مدى سرعة تغير ارتفاع ظل الشخص على الحائط عندما يكون الشخص على بُعد 10 أقدام من الحائط؟

المشكلة 13

ارسم الموقف إذا لزم الأمر واستخدم الأسعار ذات الصلة لحل الكميات.

باستخدام المسألة السابقة ، ما هو المعدل الذي يتغير به الظل عندما يكون الشخص على بعد 10 أقدام من الحائط ، إذا كان الشخص يبتعد عن الحائط بمعدل 2 قدم / ثانية؟

المشكلة 14

ارسم الموقف إذا لزم الأمر واستخدم الأسعار ذات الصلة لحل الكميات.

طائرة هليكوبتر تبدأ على الأرض ترتفع مباشرة في الهواء بمعدل 25 قدم / ثانية. أنت تجري على الأرض بدءًا من أسفل المروحية مباشرة بمعدل 10 قدم / ثانية. أوجد معدل تغير المسافة بينك وبين المروحية بعد 5 ثوان.

المشكلة 15

ارسم الموقف إذا لزم الأمر واستخدم الأسعار ذات الصلة لحل الكميات.

باستخدام المسألة السابقة ، ما هو المعدل الذي تتغير به المسافة بينك وبين المروحية عندما ترتفع المروحية إلى ارتفاع 60 قدمًا في الهواء ، بافتراض أنها ، في البداية ، كانت 30 قدمًا فوقك؟

المشكلة 16

بالنسبة للتمارين التالية ، ارسم رسومات بيانية وقم بتسميتها للمساعدة في حل مشاكل المعدلات ذات الصلة.

يزيد جانب المكعب بمعدل $ frac <1> <2> mathrm / mathrm أوجد معدل زيادة حجم المكعب عندما يكون جانب المكعب 4 أمتار.

المشكلة 17

بالنسبة للتمارين التالية ، ارسم رسومات بيانية وقم بتسميتها للمساعدة في حل مشاكل المعدلات ذات الصلة.

يقل حجم المكعب بمعدل 10 م / ثانية. أوجد المعدل الذي يتغير به جانب المكعب عندما يكون ضلع المكعب 2 م.

المشكلة 18

بالنسبة للتمارين التالية ، ارسم رسومات بيانية وقم بتسميتها للمساعدة في حل مشاكل المعدلات ذات الصلة.

يزيد نصف قطر الدائرة بمعدل 2 م / ثانية. أوجد المعدل الذي تزداد به مساحة الدائرة عندما يكون نصف القطر 5 م.

المشكلة 19

بالنسبة للتمارين التالية ، ارسم رسومات بيانية وقم بتسميتها للمساعدة في حل مشاكل المعدلات ذات الصلة.

يقل نصف قطر الكرة بمعدل 3 م / ثانية. أوجد معدل تناقص مساحة السطح عندما يكون نصف القطر 10 م.

المشكلة 20

بالنسبة للتمارين التالية ، ارسم رسومات بيانية وقم بتسميتها للمساعدة في حل مشاكل المعدلات ذات الصلة.

يزيد نصف قطر الكرة بمعدل 1 م / ثانية. أوجد المعدل الذي يزداد فيه الحجم عندما يكون نصف القطر 20 م.

المشكلة 21

بالنسبة للتمارين التالية ، ارسم رسومات بيانية وقم بتسميتها للمساعدة في حل مشاكل المعدلات ذات الصلة.

يزداد نصف قطر الكرة بمعدل 9 سم / ثانية. أوجد نصف قطر الكرة عندما يتزايد حجم ونصف قطر الكرة بنفس المعدل العددي.

المشكلة 22

بالنسبة للتمارين التالية ، ارسم رسومات بيانية وقم بتسميتها للمساعدة في حل مشاكل المعدلات ذات الصلة.

قاعدة المثلث تتقلص بمعدل 1 سم / دقيقة ويزداد ارتفاع المثلث بمعدل 5 سم / دقيقة. أوجد المعدل الذي تتغير به مساحة المثلث عندما يكون الارتفاع 22 سم والقاعدة 10 سم.

المشكلة 23

بالنسبة للتمارين التالية ، ارسم رسومات بيانية وقم بتسميتها للمساعدة في حل مشاكل المعدلات ذات الصلة.

المثلث له ضلعان ثابتان طولهما 3 أقدام و 5 أقدام ، والزاوية بين هذين الضلعين تزداد بمعدل 0.1 راد / ثانية. أوجد المعدل الذي تتغير به مساحة المثلث عندما تكون الزاوية بين الضلعين $ pi / 6 $.

المشكلة 24

بالنسبة للتمارين التالية ، ارسم رسومات بيانية وقم بتسميتها للمساعدة في حل مشاكل المعدلات ذات الصلة.

المثلث له ارتفاع يتزايد بمعدل 2 $ mathrm / $ ثانية ومساحتها تتزايد بمعدل 4 $ mathrm^ <2> / mathrm$. أوجد المعدل الذي تتغير عنده قاعدة المثلث عندما يكون ارتفاع المثلث 4 $ mathrm$ والمساحه 20 $ mathrm^ <2>.$

المشكلة 25

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك المخروط الأيمن الذي يسرب الماء. يبلغ ارتفاع الخزان المخروطي 16 قدمًا ونصف قطره 5 أقدام.

ما مدى سرعة تغير عمق الماء عندما يكون الماء 10 دولارات mathrm$ مرتفع إذا قام المخروط بتسريب الماء بمعدل 10 $ mathrm^ <3> / mathrm ?$

المشكلة 26

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك المخروط الأيمن الذي يسرب الماء. يبلغ ارتفاع الخزان المخروطي 16 قدمًا ونصف قطره 5 أقدام.

أوجد المعدل الذي تتغير به مساحة سطح الماء عندما يكون الماء 10 $ mathrm$ مرتفع إذا قام المخروط بتسريب الماء بمعدل 10 $ mathrm^ <3> / mathrm$

المشكلة 27

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك المخروط الأيمن الذي يسرب الماء. يبلغ ارتفاع الخزان المخروطي 16 قدمًا ونصف قطره 5 أقدام.

اذا كان منسوب المياه يتناقص بمعدل 3 انش / دقيقة عندما يكون عمق الماء 8 دولار ماذرم$ ، حدد معدل تسريب الماء خارج المخروط.

المشكلة 28

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك المخروط الأيمن الذي يسرب الماء. يبلغ ارتفاع الخزان المخروطي 16 قدمًا ونصف قطره 5 أقدام.

أسطوانة عمودية تقوم بتسريب الماء بمعدل 1 دولار mathrm^ <3> / mathrm$. إذا كان ارتفاع الاسطوانة 10 دولار مذرم$ ونصف قطر $ 1 mathrm، ما هو معدل ارتفاع الماء المتغير عندما يكون الارتفاع 6 دولار mathrm ?$

المشكلة 29

تسريب أسطوانة من الماء لكنك غير قادر على تحديد المعدل. يبلغ ارتفاع الاسطوانة 2 $ mathrm <

م> دولار ونصف قطر 2 دولار mathrm <

م> دولار. أوجد المعدل الذي يتسرب عنده الماء من الأسطوانة إذا كان المعدل الذي ينخفض ​​عنده الارتفاع هو 10 دولارات أمريكية mathrm <

سم> / mathrm$ عندما يكون الارتفاع $ 1 mathrm <

مشكلة 30

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك المخروط الأيمن الذي يسرب الماء. يبلغ ارتفاع الخزان المخروطي 16 قدمًا ونصف قطره 5 أقدام.

حوض له نهايات على شكل مثلثات متساوية الساقين ، بعرض 3 م وارتفاع 4 م ، وطول الحوض 10 م. يتم ضخ المياه في الحوض بمعدل 5 دولارات ماثرم^ <3> / mathrm$. بأي معدل يتغير ارتفاع الماء عندما يكون الماء 1 دولار mathrmعميق $؟

المشكلة 31

الخزان على شكل هرم مربع مقلوب ، قاعدته 4 دولارات mathrm <

م> دولار وارتفاعه 12 دولارًا mathrm <

م> $ (انظر الشكل التالي). ما مدى سرعة زيادة الارتفاع عندما يكون الماء 2 دولار mathrm <

m> $ deep إذا تم ضخ المياه بمعدل $ frac <2> <3> mathrm <

مشكلة 32

بالنسبة للمشكلات التالية ، ضع في اعتبارك حوض سباحة على شكل النصف السفلي من الكرة ، يتم ملؤه بمعدل 25 دولارًا mathrm^ <3> / mathrm$. نصف قطر المسبح 10 $ mathrm$ .

أوجد المعدل الذي يتغير عنده عمق الماء عندما يصل عمق الماء إلى قدم واحد.

مشكلة 33

بالنسبة للمشكلات التالية ، ضع في اعتبارك حوض سباحة على شكل النصف السفلي من الكرة ، يتم ملؤه بمعدل 25 دولارًا mathrm^ <3> / mathrm$. نصف قطر المسبح 10 $ mathrm$ .

أوجد المعدل الذي يتغير عنده عمق الماء عندما يصل عمق الماء إلى قدم واحد.

مشكلة 34

بالنسبة للمشكلات التالية ، ضع في اعتبارك حوض سباحة على شكل النصف السفلي من الكرة ، يتم ملؤه بمعدل 25 دولارًا mathrm^ <3> / mathrm$. نصف قطر المسبح 10 $ mathrm$ .

إذا كان الارتفاع يتزايد بمعدل 1 بوصة / ثانية عندما يبلغ عمق الماء 2 قدم ، فأوجد معدل ضخ المياه ..

المشكلة 35

بالنسبة للمشكلات التالية ، ضع في اعتبارك حوض سباحة على شكل النصف السفلي من الكرة ، يتم ملؤه بمعدل 25 دولارًا mathrm^ <3> / mathrm$. نصف قطر المسبح 10 $ mathrm$ .

يتم تفريغ الحصى من شاحنة ويسقط في كومة على شكل مخروط بمعدل 10 دولارات mathrm^ <3> / mathrm$. نصف قطر القاعدة المخروطية يساوي ثلاثة أضعاف ارتفاع المخروط. أوجد المعدل الذي يتغير عنده ارتفاع الحصى عندما يبلغ ارتفاع الكومة 5 دولارات mathrm$

المشكلة 36

بالنسبة للمشكلات التالية ، ضع في اعتبارك حوض سباحة على شكل النصف السفلي من الكرة ، يتم ملؤه بمعدل 25 دولارًا mathrm^ <3> / mathrm$. نصف قطر المسبح 10 $ mathrm$ .

باستخدام إعداد مشابه من المشكلة السابقة ، ابحث عن معدل تفريغ الحصى إذا كان ارتفاع الكومة 5 أقدام والارتفاع يتزايد بمعدل 4 بوصات / دقيقة.

المشكلة 37

للتمارين التالية ، ارسم المواقف وحل المشكلات ذات الصلة.

أنت ثابت على الأرض وتراقب طائرًا يطير أفقيًا بمعدل 10 م / ثانية. يقع الطائر على ارتفاع 40 مترًا فوق رأسك. ما مدى سرعة تغير زاوية الارتفاع عندما تكون المسافة الأفقية بينك وبين الطائر 9 أمتار؟

مشكلة 38

للتمارين التالية ، ارسم المواقف وحل المشكلات ذات الصلة.

أنت تقف على بعد 40 قدمًا من زجاجة صاروخ على الأرض وتشاهدها وهي تقلع عموديًا في الهواء بمعدل 20 قدمًا / ثانية. أوجد المعدل الذي تتغير عنده زاوية الارتفاع عندما يصبح الصاروخ 30 قدمًا في الهواء.

مشكلة 39

للتمارين التالية ، ارسم المواقف وحل المشكلات ذات الصلة.

توجد منارة ، L ، على جزيرة على بعد 4 أميال من أقرب نقطة ، P ، على الشاطئ (انظر الصورة التالية). إذا كان ضوء المنارة يدور في اتجاه عقارب الساعة بمعدل ثابت قدره 10 دورات / دقيقة ، فما السرعة التي يتحرك بها شعاع الضوء عبر الشاطئ على بعد ميلين من أقرب نقطة على الشاطئ؟

المشكلة 40

للتمارين التالية ، ارسم المواقف وحل المشكلات ذات الصلة.

باستخدام نفس الإعداد مثل المشكلة السابقة ، حدد السرعة التي يتحرك بها شعاع الضوء عبر الشاطئ على بعد ميل واحد من أقرب نقطة على الشاطئ.

المشكلة 41

للتمارين التالية ، ارسم المواقف وحل المشكلات ذات الصلة.

أنت تمشي إلى محطة أتوبيس في الزاوية اليمنى. أنت تتحرك شمالًا بمعدل 2 م / ثانية و 20 م جنوب التقاطع. تتحرك الحافلة غربًا بمعدل 10 م / ثانية بعيدًا عن التقاطع - لقد فاتتك الحافلة! ما معدل تغير الزاوية بينك وبين الحافلة عندما تكون 20 مترًا جنوب التقاطع والحافلة 10 مترًا غرب التقاطع؟

مشكلة 42

للتمارين التالية ، يرجى الرجوع إلى الشكل الماسي للبيسبول ، الذي يبلغ طول جوانبه 90 قدمًا.

يضرب الضارب كرة باتجاه القاعدة الثالثة بسرعة 75 قدمًا / ثانية ويركض نحو القاعدة الأولى بمعدل 24 قدمًا / ثانية. بأي معدل تتغير المسافة بين الكرة والضرب بعد مرور 2 ثانية؟

مشكلة 43

للتمارين التالية ، يرجى الرجوع إلى الشكل الماسي للبيسبول ، الذي يبلغ طوله 90 قدمًا.

يضرب الضارب كرة باتجاه القاعدة الثانية بسرعة 80 قدمًا / ثانية ويركض نحو القاعدة الأولى بمعدل 30 قدمًا / ثانية. بأي معدل تتغير المسافة بين الكرة والضرب عندما قطع العداء ثلث المسافة إلى القاعدة الأولى؟ (تلميح: استرجع قانون جيب التمام.)

مشكلة 44

للتمارين التالية ، يرجى الرجوع إلى الشكل الماسي للبيسبول ، الذي يبلغ طول جوانبه 90 قدمًا.

يضرب الضارب الكرة ويركض نحو القاعدة الأولى بسرعة 22 قدم / ثانية. بأي معدل تتغير المسافة بين العداء والقاعدة الثانية عندما يجري العداء 30 قدمًا؟

المشكلة 45

للتمارين التالية ، يرجى الرجوع إلى الشكل الماسي للبيسبول ، الذي يبلغ طوله 90 قدمًا.

يبدأ المتسابقون في القاعدة الأولى والثانية. عندما يتم ضرب كرة البيسبول ، يركض العداء في القاعدة الأولى بسرعة 18 قدمًا / ثانية نحو القاعدة الثانية ويتسابق العداء في القاعدة الثانية بسرعة 20 قدمًا / ثانية باتجاه القاعدة الثالثة. ما مدى سرعة تغيير المسافة بين العدائين بعد ثانية واحدة من ضرب الكرة؟


تطبيقات المشتقات خارج الرياضيات والفيزياء

لقد قمت بتدريس حساب التفاضل والتكامل لعدة سنوات ولدي بعض الشكوك حول ما إذا كانت المشتقات (وتقنيات التكامل) للوظائف المشتركة مفيدة ومهمة خارج الرياضيات والفيزياء.

هل يمكنك إعطاء مثال لمشكلة طبيعية خارج الرياضيات والفيزياء يمكن حلها باستخدام المشتقات أو التكامل ، ولا يمكن حلها بشكل أبسط بشكل مختلف؟

حافزي يأتي من محاولة تحفيز الطلاب من خلال التدريبات الجيدة.

القيد الأول (طبيعية) باستثناء تمارين مثل "إذا تم إنتاج وحدات $ q $ في مصنع ، فإن تكلفتك هي -0.3q ^ 3 + 2q ^ 2- ldots $" وكل هذا النوع يتم تدريسه في دورات الاقتصاد الجزئي. القيد الثاني (لا يمكن حلها بشكل أبسط) استبعاد ، على سبيل المثال ، كل ما يؤدي إلى الحد الأدنى أو الأقصى من التعبيرات التربيعية.

إنني على علم ببعض هذه الحالات ، على سبيل المثال تحديد طول مقاطع الخط في حل مشكلة شجرة شتاينر لأربع نقاط على مربع (الحد الأدنى من الطريق أو شبكة الكهرباء التي تربط ABCD).


يدور أحد الاستخدامات الأساسية للتفاضل حول القدرة على حل الكميات القصوى والدنيا. التطبيقات العملية للتعظيم والتقليل شاسعة وتشمل:

  • تعظيم الحجم
  • تعظيم الربح
  • التقليل من استخدام المواد مثل الوقود والمعادن وما إلى ذلك.

عند حل المشكلات القصوى والدنيا ، هناك بعض الخطوات الأساسية التي يتم اتباعها دائمًا:

بمعنى آخر.
دع (V ) هي الكمية التي سيتم تكبيرها / تصغيرها
دع (x ) تكون الكمية المتغيرة

مثال 1:

مثلث قائم الزاوية له قاعدة (30 سم ) وارتفاع (40 سم ). يوجد مستطيل منقوش في المثلث بحيث يقع أحد أضلاعه على طول قاعدة المثلث. أوجد أبعاد المستطيل الذي يزيد طوله.

الحل 1:

الخطوة 1: أدخل المتغيرات المطلوبة. في هذه الحالة ، علينا تقديم ثلاثة متغيرات:

اسمحوا (A ) = مساحة المستطيل (يتم تكبير الكمية)
اسمحوا (ص ) = عرض المستطيل (الكمية المتغيرة)
اسمحوا (س ) = طول المستطيل (كمية متغيرة)

يجب أن نشكل دالة ذات متغيرين فقط ، أحدهما (A ). نعلم:

(أ = س ص ). لذلك ، يجب علينا التعبير عن (y ) من حيث (x ) (أو العكس) ثم استخدام الاستبدال. لربط (ص ) و (س ) ، يمكننا استخدام مثلثات متشابهة:

نحل الآن الدالة لإيجاد الحد الأقصى:

نظرًا لأن الطول لا يمكن أن يكون (0 ) ، في هذه الحالة ، فإن الحد الأقصى المحلي يساوي الحد الأقصى العالمي.

لدينا بعد واحد (x ) ، لكننا ما زلنا بحاجة إلى إيجاد y:


الأنواع الأربعة الأساسية للمشتقات

ناقشنا في المقالات السابقة ما هي العقود المشتقة وما هي استخدامات هذه العقود؟ ومع ذلك ، هناك نقطة مهمة يجب ملاحظتها. اليوم ، إذا أراد شخص جديد شراء عقد مشتق ، فسيصاب بالحيرة من مقدار الاختيار الهائل الذي سيكون تحت تصرفه. هناك المئات أو حتى الآلاف من أنواع العقود المتوفرة في السوق. قد يجعل هذا التعامل مع المشتقات يبدو مهمة صعبة ومربكة. ومع ذلك ، هذا ليس هو الحال. صحيح أن هناك المئات من الاختلافات في السوق. ومع ذلك ، يمكن إرجاع جميع هذه الاختلافات إلى واحدة من الفئات الأربع. هذه الفئات الأربع هي ما نسميه الأنواع الأربعة الأساسية للعقود المشتقة. في هذه المقالة ، سنقوم بإدراج وشرح هذه الأنواع الأربعة:

النوع 1: العقود الآجلة

العقود الآجلة هي أبسط أشكال المشتقات المتوفرة اليوم. كما أنها أقدم أشكال المشتقات. العقد الآجل ليس سوى اتفاق لبيع شيء ما في تاريخ مستقبلي. يتم تحديد السعر الذي ستتم به هذه الصفقة في الوقت الحاضر.

ومع ذلك ، فإن العقد الآجل يحدث بين طرفين مقابلين. هذا يعني أن البورصة ليست وسيطًا لهذه المعاملات. وبالتالي ، هناك فرصة متزايدة لمخاطر ائتمان الطرف المقابل. أيضًا ، قبل عصر الإنترنت ، كان العثور على الطرف المقابل المهتم أمرًا صعبًا. هناك نقطة أخرى يجب ملاحظتها وهي أنه إذا كان لابد من إلغاء هذه العقود قبل انتهاء صلاحيتها ، فقد لا تكون الشروط مواتية لأن كل طرف لديه خيار واحد فقط ، أي التعامل مع الطرف الآخر. تفاصيل العقود الآجلة هي معلومات مميزة لكلا الطرفين المعنيين وليس لديهم أي إكراه لنشر هذه المعلومات في المجال العام.

النوع الثاني: العقود الآجلة

العقد الآجل مشابه جدًا للعقد الآجل. يكمن التشابه في حقيقة أن العقود الآجلة تفرض أيضًا بيع سلعة ببيانات مستقبلية ولكن بسعر يتم تحديده في الوقت الحاضر.

ومع ذلك ، يتم سرد العقود الآجلة في البورصة. هذا يعني أن التبادل هو وسيط. وبالتالي ، فإن هذه العقود ذات طبيعة قياسية ولا يمكن تعديل الاتفاقية بأي شكل من الأشكال. تأتي عقود الصرف بصيغة محددة مسبقًا ، وبأحجام محددة مسبقًا ولها فترات صلاحية محددة مسبقًا. أيضًا ، نظرًا لأنه يتم تداول هذه العقود في البورصة ، يتعين عليهم اتباع إجراء تسوية يومي ، مما يعني أنه يجب تسوية أي مكاسب أو خسائر محققة في هذا العقد في يوم معين في ذلك اليوم بالذات. يتم القيام بذلك لإبطال مخاطر الائتمان للطرف المقابل.

هناك نقطة مهمة يجب ذكرها وهي أنه في حالة وجود عقد مستقبلي ، لا يدخل البائع والمشتري في اتفاق مع بعضهما البعض. بدلاً من ذلك ، يدخل كلاهما في اتفاق مع البورصة.

النوع 3: عقود الخيار

النوع الثالث من المشتقات ، أي الخيار ، يختلف بشكل ملحوظ عن النوعين الأولين. في النوعين الأولين ، كان كلا الطرفين ملزمين بالعقد لأداء واجب معين (شراء أو بيع) في تاريخ معين. من ناحية أخرى ، فإن عقد الخيارات غير متماثل. يُلزم عقد الخيارات أحد الأطراف بينما يتيح للطرف الآخر اتخاذ القرار في تاريخ لاحق ، أي عند انتهاء صلاحية الخيار. لذلك ، يلتزم أحد الطرفين بالشراء أو البيع في وقت لاحق بينما يمكن للطرف الآخر الاختيار. من الواضح أن الطرف الذي يتخذ القرار عليه أن يدفع علاوة مقابل الامتياز.

هناك نوعان من الخيارات ، أي خيار الشراء وخيار البيع. يتيح لك خيار Call الحق ولكن ليس الالتزام بشراء شيء ما في تاريخ لاحق بسعر معين بينما يمنحك خيار البيع الحق ولكن ليس الالتزام ببيع شيء ما في تاريخ لاحق بسعر محدد مسبقًا. وبالتالي فإن أي فرد لديه 4 خيارات عند شراء عقد الخيارات. يمكن أن تكون على الجانب الطويل أو الجانب القصير من خيار البيع أو الشراء. مثل العقود الآجلة ، يتم تداول الخيارات أيضًا في البورصة.

النوع 4: المقايضات

ربما تكون المقايضات هي أكثر المشتقات تعقيدًا في السوق. تتيح المقايضة للمشاركين تبادل تدفقات التدفقات النقدية الخاصة بهم. على سبيل المثال ، في تاريخ لاحق ، قد يقوم أحد الأطراف بتغيير التدفق النقدي غير المؤكد إلى تدفق نقدي معين. المثال الأكثر شيوعًا هو تبديل سعر فائدة ثابت بسعر عائم. قد يقرر المشاركون مبادلة أسعار الفائدة أو العملة الأساسية أيضًا.

تمكن المقايضات الشركات من تجنب مخاطر الصرف الأجنبي من بين مخاطر أخرى. عادة لا يتم تداول عقود المقايضة في البورصة. هذه عقود خاصة يتم التفاوض عليها بين طرفين. عادة ما يعمل المصرفيون الاستثماريون كوسطاء لهذه العقود. ومن ثم ، فإنها تحمل أيضًا قدرًا كبيرًا من مخاطر أسعار الصرف.

إذن ، هذه هي الأنواع الأربعة الأساسية للمشتقات. تتضمن عقود المشتقات الحديثة مجموعات لا حصر لها من هذه الأنواع الأساسية الأربعة وتؤدي إلى إنشاء عقود معقدة للغاية.


4 تطبيقات حساب التفاضل لمشاكل التحسين (مع رسم بياني)

غالبًا ما تتطلب منا عملية التحسين تحديد الحد الأقصى أو الحد الأدنى لقيمة الوظيفة.

لكي تكون الدالة قيمة عظمى (أو أدنى) ، يكون مشتقها الأول هو صفر. مشتق دالة يقيس ميلها.

لذلك ، يحدث تعظيم دالة عندما يكون مشتقها مساويًا للصفر. وبالتالي ، فإن مشكلة التحسين المهمة التي تواجه مدير الأعمال هي إنتاج مستوى من الإنتاج يزيد من أرباح الشركة. وبالمثل ، يتطلب الاستخدام الأمثل للموارد تقليل التكلفة إلى الحد الأدنى لإنتاج مستوى معين من الإنتاج. يمكن حل مشاكل التعظيم والتقليل باستخدام مفهوم المشتق.

1. استخدم في تعظيم الربح:

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك وظيفة الربح التالية:

حيث π = الأرباح و Q هي وحدات الإنتاج

لكي تكون دالة الربح () قصوى ، يجب أن يكون مشتقها الأول مساويًا للصفر.

لذلك ، للعثور على مستوى الإنتاج الذي يحقق أقصى ربح ، نجد مشتق دوال الربح المعينة ونجعلها مساوية للصفر. هكذا

عند 8 وحدات من الإنتاج ستكون الأرباح كحد أقصى. يوضح الشكل 5.9 تعظيم الأرباح من خلال استخدام المشتق. سيتبين أن منحنى تعظيم الربح يصل إلى أقصى نقطة له عند النقطة H. لذلك ، عند النقطة H ، يكون ميل الظل (الذي يقيس قيمة المشتق dπ / dQ) المرسوم على منحنى الربح عند هذه النقطة يساوي صفرًا .

سيتبين أن المقابلة لأقصى نقطة ربح H على مستوى دالة الربح للإنتاج هي 8 وحدات.

يمكن الحصول على إجمالي الأرباح المحققة عند 8 وحدات من الإنتاج عن طريق استبدال 8 بـ Q في دالة الربح المحددة. هكذا

وبالتالي عند مستوى الإنتاج البالغ 8 وحدات ، فإن الأرباح تساوي 540.

لا يمكن للتحليل البياني أن يخبرنا بسهولة عن مستوى الإنتاج بالضبط ، ستكون الأرباح القصوى ، لأن رسم رسم بياني يستغرق وقتًا والاستنتاج منه. ومع ذلك ، فمن الأسهل استخدام حساب التفاضل للعثور على ناتج معظمة للربح. لهذا ، نجد ببساطة المشتق الأول لدالة الربح ونساويها بصفر.

2. المشتق الثاني وشرط الترتيب الثاني للتحسين:

تنشأ مشكلة عندما نستخدم المشتق الأول للدالة لتحديد قيمتها القصوى أو الدنيا. لتعيين المشتق الأول لوظيفة مساوية للصفر وحل المعادلة الناتجة عن القيمة المثلى للمتغير المستقل لا يضمن أن القيمة المثلى (الحد الأقصى أو الحد الأدنى حسب الحالة) سوف يحصل عليها في الواقع. للحصول على القيمة المثلى ، يكون المشتق الأول مساويًا للصفر شرط ضروري للحد الأقصى أو الحد الأدنى ، ولكنه ليس شرطًا كافيًا. على سبيل المثال ، في دالة الربح ، يكون المشتق الأول مساويًا للصفر ، سواء عند مستويات الربح القصوى أو الدنيا.

للتأكد من أن المشتق هو صفر عند مستوى تعظيم الربح لمتغير القرار (أي الناتج في الحالة الحالية) ، نحتاج إلى تطبيق شرط الترتيب الثاني. وفقًا لشرط الدرجة الثانية ، لتعظيم الربح ، يجب أن يكون المشتق الثاني لوظيفة الربح سالبًا ، أي d 2 π / dQ 2 & lt 0. وبالتالي ، إذا كان التحسين يتطلب تعظيم الوظيفة ، قل ، y = f (x) ، فإن المشتق الثاني المكتوب بالصورة d 2 y / dx 2 يجب أن يكون سالبًا.

تجدر الإشارة إلى أن المشتق الثاني للدالة يتم الحصول عليه من خلال تمييز المشتق الأول فيما يتعلق بالمتغير المستقل. في حالة تطلب التحسين تقليل وظيفة ما كما في حالة تقليل التكلفة لإنتاج مستوى معين من الإنتاج ، يجب أن يكون المشتق الثاني موجبًا أي ، d 2 y / dx 2 & gt 0.

ضع في اعتبارك مرة أخرى حالة تعظيم الربح الموضحة أعلاه. قد يحتوي منحنى دالة الربح مثل المنحنى المرسوم في الشكل 5.10 على نقاط دنيا وأقصى حد. سيتبين من الشكل 5.10 أن النقطة L تمثل الحد الأدنى للنقطة وتمثل H أقصى نقطة لمنحنى الربح. الشيء المهم الذي يجب ملاحظته هو أنه عند كل من النقطة الدنيا L والنقطة القصوى H ، فإن شرط الطلب الأول ، أي المشتق الأول dπ / dQ يكون صفرًا عند كلتا النقطتين ، L و H ، المقابلة لـ OQ1 و OQ2 levels of output.

However, at point L profits are minimum and at point H profits are maximum. It is with the help of the second derivative of a function that we can distinguish between maximum and minimum along a function. Whereas the first derivative measures the slope of a function, the second derivative measures the slope of the first derivative. Thus, in case of profit function, whereas first derivative, dπ / dQ measures the slope of the profit function curve. That is, marginal profit, its second derivative, d 2 π / dQ 2 measures slope of the marginal profit function curve.

Since the second derivative of a function when measured at the maximisation level is always negative and when measured at the minimisation level is always positive, it can be used to distinguish between points of maximum and minimum. For example, if the second derivative in our profit function curve is negative, it implies that profits are maximum at the level where first derivative is equal to zero.

On the other hand, if the second derivative at a point on a profit function where first derivative is zero is positive, it shows profits are in fact minimum rather than maximum. It can be easily known from having a look at Figure 5.10. It will be seen from this figure that up to point L, marginal profit (dπ / dQ) that is, slope of the total profit curve, is negative and has been causing the total profits to fall (in fact, up to L, due to negative marginal profits loses have been increasing. At point L, marginal profit I and thereafter it becomes positive and therefore it will causes the total profit to increase.

Hence, point L beyond which the second derivative (i.e. the slope of the first derivative) is positive, and since profits will be increasing beyond this point, it cannot be point of maximum profits.

Now consider point H on the total profit corresponding to output level OQ2. At point H, first derivative (dπ / dQ) is again equal to zero but after that marginal profit dπ / dQ becomes negative as the slope of total profit curve is negative as output is expanded beyond Q2. This causes the total profits to fall. This shows that point H at which first derivative, dπ / dQ is zero and also beyond which second derivative (d 2 π / dQ 2 ), that is, slope of the first derivative becomes negative is indeed the point of maximum profit.

To conclude, we get a following general test for maximum and minimum:

(1) If the second derivative d 2 y / dx 2 of a function is negative (< 0) at the point where the first derivative (dy / dx) is zero, it will represent a point of maximum.

(2) If the second derivative (d 2 y / dx 2 ) of a function is positive (> 0) at the point where first derivative is zero, it will represent a point of minimum.

Coming back to our profit function (π = – 100 + 160 Q – 10 Q 2 ) in which case the first derivative is zero at 8 units of output, we test for the sign of second derivative. هكذا،

Thus, we find that at 8 units of output profits will in fact be maximum.

3. Minimisation Problem:

In some decision making problems the objective of a manager is to minimise the objective function. For example, efficiency in the use of resources requires that a firm should produce at the minimum possible cost per unit of output.

For example, the following average cost function of a firm is given:

A manager is interested to find what level of output the firm will minimise its average cost. This can be obtained by differentiating the AC function with respect to output (Q) and setting it equal to zero, Thus

Setting it equal to zero and solving for Q we have:

Applying the second order condition to ensure whether it is really minimum we take the second derivative of AC function

Since second derivative of AC function is positive, d 2 (AC)/ dQ 2 > 0, output of 180 units of output is one that minimises average cost of production.

4. Multivariate Optimisation:

When a dependent variable is a function of many independent variables we use the concept of a partial derivative. Partial derivatives are therefore used to find optimal solution to maximisation or minimisation problem in case of two or more independent variables. Rules for finding maximisation and minimisation problems are the same as described above in case of one independent variable. To maximise or minimise a multivariate function we set partial derivative with respect to each independent variable equal to zero and solve the resulting set of simultaneous equations.

Consider that a firm is producing two products X and Y. Its profit function may be written as

Consider a firm producing the two products whose function is given below

Where X and Y are two independent variables representing levels of outputs of two products. It is to decide what levels of output of the two products will maximise profits.

Differentiating the profit function with respect to X while holding Y constant we have

Differentiating the profit function with respect to y while holding X constant we have

For maximisation of profits we must set each partial derivative equal to zero and then solve the resulting set of simultaneous equations for optimal values of independent variables x and Y. Thus,

To solve the above two equations simultaneously we multiply equation (i) by – 8 and adding (i) and (ii) we have

Thus the firm will maximise profits of it produces and sells 10.45 units of product X and 8.2 units of product Y 1 .


Acknowledgments

This work was supported in part by the National Key Research and Development Program of China (2017YFD0500603), National Natural Science Foundation of China (31771000 and 31570929), Natural Science Foundation of Heilongjiang Province of China (C2017058), Special Project of Innovation Ability Enhancement of Science and Technology Institutions in Heilongjiang Province (YC2016D004), Key Scientific and Technological Planning Project of Harbin (2016AB3BN036) and Technological innovation talent of special funds for outstanding subject leaders in Harbin (2017RAXXJ001).


شاهد الفيديو: Derivatives. اشتقاق الاقترانات بأنواعها. Part 1 (شهر اكتوبر 2021).