مقالات

9.7E: تمارين - رياضيات


تمرين ( PageIndex {1} )

بالنسبة للتمارين التالية ، بدون استخدام نظرية ستوكس ، احسب بشكل مباشر كل من تدفق (curl ، vecs {F} cdot N ) على السطح المحدد والدوران المتكامل حول حدوده ، بافتراض أن جميعها موجهة في اتجاه عقارب الساعة.

1. ( vecs {F} (x، y، z) = y ^ 2 ، hat { mathbf i} + z ^ 2 ، hat { mathbf j} + x ^ 2 ، hat { mathbf k} ) ؛ (S ) هو الجزء الثماني الأول من المستوى (x + y + z = 1 ).

2. ( vecs {F} (x، y، z) = z ، hat { mathbf i} + x ، hat { mathbf j} + y ، hat { mathbf k} ) ؛ (S ) هو نصف الكرة (z = (a ^ 2 - x ^ 2 - y ^ 2) ^ {1/2} ).

إجابه

[ iint_S (curl ، vecs {F} cdot vecs {N}) ، dS = pi a ^ 2 ]

3. ( vecs {F} (x، y، z) = y ^ 2 ، hat { mathbf i} + 2x ، hat { mathbf j} + 5 ، hat { mathbf k } ) ؛ (S ) هو نصف الكرة (z = (4 - x ^ 2 - y ^ 2) ^ {1/2} ).

4. ( vecs {F} (x، y، z) = z ، hat { mathbf i} + 2x ، hat { mathbf j} + 3y ، hat { mathbf k} ) ؛ (S ) هو نصف الكرة العلوي (z = sqrt {9 - x ^ 2 - y ^ 2} ).

إجابه

[ iint_S (curl ، ( vecs {F}) cdot vecs {N}) ، dS = 18 pi ]

5. ( vecs {F} (x، y، z) = (x + 2z) ، hat { mathbf i} + (y - x) ، hat { mathbf j} + (z - ذ) ، قبعة { mathbf k} ) ؛ (S ) هي منطقة مثلثة ذات رءوس ((3 ، 0 ، 0) ، (0 ، 3/2 ، 0) ، ) و ((0 ، 0 ، 3) ).

6. ( vecs {F} (x، y، z) = 2y ، hat { mathbf i} + 6z ، hat { mathbf i} + 3x ، hat { mathbf k} ) ؛ (S ) جزء من مكافئ (z = 4 - x ^ 2 - y ^ 2 ) وهو أعلى مستوى (xy - ).

إجابه

[ iint_S (curl ، ( vecs {F}) cdot vecs {N}) ، dS = -8 pi ]

تمرين ( PageIndex {2} )

للتمارين التالية ، استخدم نظرية ستوكس لتقييم [ iint_S (curl ، ( vecs {F}) cdot vecs {N}) ، dS ] لحقول المتجه والسطح.

1. ( vecs {F} (x، y، z) = xy ، hat { mathbf i} - z ، hat { mathbf j} ) و (S ) هو سطح المكعب (0 leq x leq 1، ، 0 leq y leq 1، ، 0 leq z leq 1 ) ، باستثناء الوجه حيث (z = 0 ) واستخدام الخارج وحدة ناقل عادي.

2. ( vecs {F} (x، y، z) = xy ، hat { mathbf i} + x ^ 2 ، hat { mathbf j} + z ^ 2 ، hat { mathbf k} ) ؛ و (C ) هو تقاطع مكافئ (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) والطائرة (z = y ) ، وباستخدام المتجه الطبيعي الخارجي.

إجابه

[ iint_S (curl ، ( vecs {F}) cdot vecs {N}) ، dS = 0 ]

3. ( vecs {F} (x، y، z) = 4y ، hat { mathbf i} + z ، hat { mathbf j} + 2y ، hat { mathbf k} ) ؛ و (C ) هو تقاطع الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ) مع المستوى (z = 0 ) ، وباستخدام المتجه الطبيعي الخارجي.

تمرين ( PageIndex {3} )

1. استخدم نظرية ستوكس لتقييم [ int_C [2xy ^ 2z ، dx + 2x ^ 2yz ، dy + (x ^ 2y ^ 2 - 2z) ، dz]، ] حيث (C ) هو المنحنى المعطى بواسطة (x = cos t، ، y = sin t، ، 0 leq t leq 2 pi ) ، تم اجتيازه في اتجاه الزيادة (ر).

إجابه

[ int_C F cdot dS = 0 ]

2. [T] استخدم نظام جبري حاسوبي (CAS) ونظرية ستوكس لتقريب خط متكامل [ int_C (y ، dx + z ، dy + x ، dz)، ] حيث (C ) هو تقاطع المستوى (x + y = 2 ) والسطح (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 (x + y) ) ، يتم اجتيازه عكس اتجاه عقارب الساعة من الأصل.

3. [T] استخدم نظرية CAS و Stokes لتقريب تكامل السطر [ int_C (3y ، dx + 2z ، dy - 5x ، dz)، ] حيث (C ) هو تقاطع (xy - ) الطائرة ونصف الكرة (z = sqrt {1 - x ^ 2 - y ^ 2} ) ، يتم اجتيازها عكس اتجاه عقارب الساعة من الأعلى — أي من الموجب ض-المحور نحو الطائرة (xy - ).

إجابه

[ int_C F cdot dS = - 9.4248 ]

4. [T] استخدم نظرية CAS و Stokes لتقريب تكامل السطر [ int_C [(1 + y) ، z dx + (1 + z) x dy + (1 + x) y dz]، ] حيث (C ) مثلث برؤوسه ((1،0،0) ، ، (0،1،0) ) ، و ((0،0،1) ) موجهة عكس اتجاه عقارب الساعة.

5. استخدم نظرية ستوكس لتقييم تكامل الخط [ int_C (z ، dx + x ، dy + y ، dz)، ] حيث (C ) مثلث برؤوس ((3، 0 ، 0) ، (0 ، 0 ، 2) ، ) و ((0 ، 6 ، 0) ) تم اجتيازها بالترتيب المحدد.

6. استخدم نظرية ستوكس لتقييم [ int_C left ( dfrac {1} {2} y ^ 2 ، dx + z ، dy + x ، dz right)، ] حيث (C ) هو منحنى تقاطع المستوى (x + z = 1 ) و الشكل البيضاوي (x ^ 2 + 2y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ) ، موجه باتجاه عقارب الساعة من الأصل.

إجابه

[ int_C left ( dfrac {1} {2} y ^ 2 ، dx + z ، dy + x ، dz right) = - dfrac { pi} {4} ]

7. استخدم نظرية ستوكس لتقييم [ iint_S (curl ، F cdot N) dS، ] حيث ( vecs {F} (x، y، z) = x ، hat { mathbf i } + y ^ 2 ، hat { mathbf j} + ze ^ {xy} k ) و (S ) جزء من السطح (z = 1 - x ^ 2 - 2y ^ 2 ) مع (z geq 0 ) موجه عكس اتجاه عقارب الساعة.

8. استخدم نظرية ستوكس لحقل المتجه ( vecs {F} (x، y، z) = z ، hat { mathbf i} + 3x ، hat { mathbf j} + 2z ، قبعة { mathbf k} ) حيث (S ) هو السطح (z = 1 - x ^ 2 - 2y ^ 2، ، z geq 0 ) ، (C ) دائرة حدية (x ^ 2 + ص ^ 2 = 1 ) و س موجها في الإيجابي ض-اتجاه.

إجابه

[ iint_S (curl ، F cdot N) dS = -3 pi]

9. استخدم نظرية ستوكس لحقل المتجه ( vecs {F} (x، y، z) = - dfrac {3} {2} y ^ 2 ، hat { mathbf i} - 2 xy ، hat { mathbf j} + yz ، hat { mathbf k} ) ، حيث (S ) هو ذلك الجزء من سطح المستوى (x + y + z = 1 ) الموجود داخل المثلث (C ) مع الرؤوس ((1 ، 0 ، 0) ، (0 ، 1 ، 0) ، ) و ((0 ، 0 ، 1) ، ) يتم اجتيازها عكس اتجاه عقارب الساعة كما هو موضح من الأعلى.

10. مسار مغلق معين ج في الطائرة (2x + 2y + z = 1 ) من المعروف أنها تسقط على دائرة الوحدة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) في (xy ) - الطائرة. يترك (ج ) كن ثابتًا واجعل (R (x، y، z) = x ، hat { mathbf i} + y ، hat { mathbf j} + z ، hat { mathbf k} ). استخدم نظرية ستوكس لتقييم [ int_C (ck times R) cdot dS. ]

إجابه

[ int_C (ck times R) cdot dS = 2 pi c ]

11. استخدم نظرية ستوكس ودع (C ) يكون حدود السطح (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) مع (0 leq x leq 2 ) و (0 leq y leq 1 ) موجه للأعلى مواجهًا للوجه الطبيعي. حدد

( vecs {F} (x، y، z) = [ sin (x ^ 3) + xz] ، hat { mathbf i} + (x - yz) ، hat { mathbf j} + cos (z ^ 4) ، hat { mathbf k} ) وتقييم ( int_C F cdot dS ).

12. لنفترض (S ) أن يكون نصف الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ) مع (z geq 0 ) ، موجهًا لأعلى. دعونا ( vecs {F} (x، y، z) = x ^ 2 e ^ {yz} ، hat { mathbf i} + y ^ 2 e ^ {xz} ، hat { mathbf j } + z ^ 2 e ^ {xy} ، hat { mathbf k} ) يكون حقل متجه. استخدم نظرية ستوكس لتقييم [ iint_S curl ، F cdot dS. ]

إجابه

[ iint_S curl ، F cdot dS = 0 ]

13. دعونا ( vecs {F} (x، y، z) = xy ، hat { mathbf i} + (e ^ {z ^ 2} + y) ، hat { mathbf j} + (x + y) ، hat { mathbf k} ) ودع (S ) يكون الرسم البياني للدالة (y = dfrac {x ^ 2} {9} + dfrac {z ^ 2} {9} - 1 ) مع توجيه (z leq 0 ) بحيث يكون المتجه الطبيعي س لديه ايجابية ذ مكون. استخدم نظرية ستوكس لحساب التكامل [ iint_S curl ، F cdot dS. ]

14. استخدم نظرية ستوكس لتقييم [ oint F cdot dS، ] حيث ( vecs {F} (x، y، z) = y ، hat { mathbf i} + z ، قبعة { mathbf j} + x ، hat { mathbf k} ) و (C ) مثلث برؤوس ((0 ، 0 ، 0) ، (2 ، 0 ، 0) ) (0، -2،2) ) موجهة عكس اتجاه عقارب الساعة عند عرضها من أعلى.

إجابه

[ oint F cdot dS = -4 ]

15. استخدم تكامل السطح في نظرية ستوكس لحساب دوران المجال F، ( vecs {F} (x، y، z) = x ^ 2y ^ 3 ، hat { mathbf i} + ، hat { mathbf j} + z ، hat { mathbf k } ) حول (C ) ، وهو تقاطع الأسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) ونصف الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 16، ، z geq 0 ) ، موجهة عكس اتجاه عقارب الساعة عند عرضها من أعلى.

16. استخدم نظرية ستوكس لحساب [ iint_S curl ، F cdot dS. ] حيث ( vecs {F} (x، y، z) = ، hat { mathbf i} + xy ^ 2 ، hat { mathbf j} + xy ^ 2 ، hat { mathbf k} ) و (S ) جزء من الطائرة (y + z = 2 ) داخل الاسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) وموجه عكس اتجاه عقارب الساعة.

إجابه

[ iint_S curl ، F cdot dS = 0 ]

17. استخدم نظرية ستوكس لتقييم [ iint_S curl ، F cdot dS، ] حيث ( vecs {F} (x، y، z) = -y ^ 2 ، hat { mathbf i } + x ، hat { mathbf j} + z ^ 2 ، hat { mathbf k} ) و (S ) جزء من الطائرة (x + y + z = 1 ) في الثماني الموجب والموجه عكس اتجاه عقارب الساعة (x geq 0 ، ، y geq 0 ، ، z geq 0 ).

18. دعونا ( vecs {F} (x، y، z) = xy ، hat { mathbf i} + 2z ، hat { mathbf j} - 2y ، hat { mathbf k} ) وليكن (C ) هو تقاطع المستوى (x + z = 5 ) والأسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ) ، والتي يتم توجيهها عكس اتجاه عقارب الساعة عند عرضها من الأعلى. احسب تكامل الخط F over (C ) باستخدام نظرية ستوكس.

إجابه

[ iint_S curl ، F cdot dS = -36 pi ]

19. [T] استخدم CAS ودع ( vecs {F} (x، y، z) = xy ^ 2 ، hat { mathbf i} + (yz - x) ، hat { mathbf j} + e ^ {yxz} ، hat { mathbf k} ). استخدم نظرية ستوكس لحساب التكامل السطحي للضفيرة F فوق السطح (S ) مع اتجاه داخلي يتكون من مكعب ([0،1] مرات [0،1] مرات [0،1] ) مع فقدان الجانب الأيمن.

20. دع س تكون ellipsoid ( dfrac {x ^ 2} {4} + dfrac {y ^ 2} {9} + z ^ 2 = 1 ) موجهة عكس اتجاه عقارب الساعة واتركها F يكون حقل متجه مع وظائف مكون لها مشتقات جزئية مستمرة.

إجابه

[ iint_S curl ، F cdot N = 0 ]

21. دع (س) كن جزءًا من مكافئ (z = 9 - x ^ 2 - y ^ 2 ) مع (z geq 0 ). تحقق من نظرية Stokes لحقل المتجه ( vecs {F} (x، y، z) = 3z ، hat { mathbf i} + 4x ، hat { mathbf j} + 2y ، hat { mathbf ك} ).

22. استخدم نظرية ستوكس لتقييم [ iint_S curl ، F cdot dS، ] حيث ( vecs {F} (x، y، z) = e ^ {xy} cos ، z ، قبعة { mathbf i} + x ^ 2 z ، hat { mathbf j} + xy ، hat { mathbf k} ) ، و (S ) نصف الكرة (x = sqrt {1 - y ^ 2 - z ^ 2} ) موجه نحو الموجب x-محور.

إجابه

[ iint_S F cdot dS = 0 ]

23. [T] استخدم نظرية CAS و Stokes لتقييم [ iint_S (curl ، F cdot N) ، dS، ] حيث ( vecs {F} (x، y، z) = x ^ 2 y ، hat { mathbf i} + xy ^ 2 ، hat { mathbf j} + z ^ 3 ، hat { mathbf k} ) و (C ) هو منحنى تقاطع المستوى (3x + 2y + z = 6 ) والأسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) ، باتجاه عقارب الساعة عند عرضها من الأعلى.

24. [T] استخدم نظرية CAS و Stokes لتقييم [ iint_S curl ، F cdot dS، ] حيث ( vecs {F} (x، y، z) = left ( sin ( y + z) - yx ^ 2 - dfrac {y ^ 3} {3} right) ، hat { mathbf i} + x ، cos (y + z) ، hat { mathbf j } + cos (2y) ، ، hat { mathbf k} ) و (S ) يتكون من أعلى وأربعة جوانب ولكن ليس الجزء السفلي من المكعب ذو الرؤوس (( pm 1، ، pm1 ، ، pm1) ) ، موجهة نحو الخارج.

إجابه

[ iint_S curl ، F cdot dS = 2.6667 ]

25. [T] استخدم نظرية CAS و Stokes لتقييم [ iint_S curl ، F cdot dS، ] حيث ( vecs {F} (x، y، z) = z ^ 2 ، قبعة { mathbf i} + 3xy ، hat { mathbf j} + x ^ 3y ^ 3 ، hat { mathbf k} ) و (S ) هي الجزء العلوي من (z = 5 - س ^ 2 - ص ^ 2 ) فوق المستوى (ض = 1 ) و س يتجه نحو الأعلى.

26. استخدم نظرية ستوكس لتقييم [ iint_S (curl ، F cdot N) dS، ] حيث ( vecs {F} (x، y، z) = z ^ 2 ، hat { mathbf i} + y ^ 2 ، hat { mathbf j} + x ، hat { mathbf k} ) و (S ) مثلث برؤوس ((1، 0، 0) ، (0 ، 1 ، 0) ) و ((0 ، 0 ، 1) ) باتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة.

إجابه

[ iint_S (curl ، F cdot N) dS = - dfrac {1} {6}

تمرين ( PageIndex {4} )

1. اسمحوا س يكون مكافئًا (z = a (1 - x ^ 2 - y ^ 2) ) ، لـ (z geq 0 ) ، حيث (a> 0 ) هو رقم حقيقي. دع ( vecs {F} (x، y، z) = langle x - y، ، y + z، ، z - x rangle ). لأي قيمة (ق) أ (إن وجد) هل [ iint_S ( nabla times F) cdot n ، dS ] لها قيمة قصوى؟

2. [T] استخدم نظرية CAS و Stokes لتقييم [ oint F cdot dS، ] if ( vecs {F} (x، y، z) = (3z - sin x) ، hat { mathbf i} + (x ^ 2 + e ^ y) ، hat { mathbf j} + (y ^ 3 - cos z) ، hat { mathbf k} ) ، حيث (C ) هو المنحنى المعطى بواسطة (x = cos t، ، y = sin t، ، z = 1؛ ، 0 leq t leq 2 pi ).

إجابه

[ oint_C F cdot dr = 0 ]

3. [T] استخدم نظرية CAS و Stokes لتقييم ( vecs {F} (x، y، z) = 2y ، hat { mathbf i} + e ^ z ، hat { mathbf j} - arctan ، x ، hat { mathbf k} ) مع (S ) كجزء من مكافئ (z = 4 - x ^ 2 - y ^ 2 ) مقطوع بواسطة ( xy - ) اتجاه الطائرة عكس اتجاه عقارب الساعة.

4. [T] استخدم CAS لتقييم [ iint_S curl (F) cdot dS، ] حيث ( vecs {F} (x، y، z) = 2z ، hat { mathbf i} + 3x ، hat { mathbf j} + 5y ، hat { mathbf k} ) و (S ) هو السطح البارامترالي بواسطة (r (r، theta) = r ، cos theta ، hat { mathbf i} + r ، sin theta ، hat { mathbf j} + (4 - r ^ 2) ، hat { mathbf k} ، (0 leq theta leq 2 pi، ، 0 leq r leq 3) ).

إجابه

[ iint_S curl (F) cdot dS = 84.8230 ]

تمرين ( PageIndex {5} )

1. في تمارين التطبيق التالية ، الهدف هو تقييم [A = iint_S ( nabla times F) cdot n ، dS ، ] حيث ( vecs {F} = langle xz، ، -xz و و xy rangle ) و (S ) هو النصف العلوي من القطع الناقص (x ^ 2 + y ^ 2 + 8z ^ 2 = 1 ) ، حيث (z geq 0 ).

أ) قم بتقييم سطح متكامل على سطح أكثر ملاءمة لإيجاد قيمة (أ.)

إجابه

[A = iint_S ( nabla times F) cdot n ، dS = 0 ] تقييم ( أ) باستخدام خط متكامل.

2. خذ مكافئ (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) ، من أجل (0 leq z leq 4 ) ، وقم بتقطيعه بالطائرة (y = 0 ). يترك س يكون السطح المتبقي لـ (y geq 0 ) ، بما في ذلك السطح المستوي في xz-طائرة. لنفترض أن (C ) يكون نصف دائرة ومقطع خطي يحد غطاء (S ) في الطائرة (ض = 4 ) باتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة. دعونا ( vecs {F} = langle 2z + y ، ، 2x + z ، ، 2y + x rangle ). تقييم [ iint_S ( nabla times F) cdot n ، dS. ]

إجابه

[ iint_S ( nabla times F) cdot n ، dS = 2 pi ]

تمرين ( PageIndex {7} )

1. للتمارين التالية ، اسمح س يكون القرص محاطًا بمنحنى (C ،: ، r (t) = langle cos varphi ، cos t ، ، sin t ، ، sin varphi ، cos t rangle ) ، لـ (0 leq t leq 2 pi ) ، حيث (0 leq varphi leq dfrac { pi} {2} ) زاوية ثابتة.

أ) ما هو طول (C ) بدلالة ( varphi )؟

ب) ما هو تداول (C ) حقل المتجه ( vecs {F} = langle -y ، ، -z ، ، x rangle ) كدالة لـ ( varphi ) ؟

إجابه

(C = pi ( cos varphi - sin varphi) )

ج) ما هي قيمة ( varphi ) هي الحد الأقصى للتداول؟

2. الدائرة (C ) في المستوى (x + y + z = 8 ) نصف قطرها 4 ومركزها (2 ، 3 ، 3). تقييم [ oint_C F cdot dr ] لـ ( vecs {F} = langle 0 ، ، -z ، ، 2y rangle ) ، حيث (C ) له اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة عند المشاهدة من في الاعلى.

إجابه

[ oint_C F cdot dr = 48 pi ]

3. حقل السرعة (v = langle 0 ، ، 1 -x ^ 2 ، ، 0 rangle ) ، لـ (| x | leq 1 ) و (| z | leq 1 ) ، يمثل التدفق الأفقي في ذ-اتجاه. حساب تجعيد الخامس في اتجاه عقارب الساعة.

4. تقييم التكامل [ iint_S ( nabla times F) cdot n ، dS، ] حيث ( vecs {F} = - xz ، hat { mathbf i} + yz ، hat { mathbf j} + xye ^ z ، hat { mathbf k} ) و (S ) هو غطاء مكافئ (z = 5 - x ^ 2 - y ^ 2 ) فوق المستوى ( ض = 3 ) و ن نقاط إيجابية ض-الاتجاه على س.

إجابه

[ iint_S ( nabla times F) cdot n = 0 ]

5. بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم نظرية ستوكس للعثور على تداول الحقول المتجهة التالية حول أي منحنى سلس وبسيط مغلق (C ).

أ) ( vecs {F} = nabla (x ، sin ye ^ z) )

ب) ( vecs {F} = langle y ^ 2z ^ 3، ، z2xyz ^ 3، 3xy ^ 2z ^ 2 rangle )

إجابه

0