مقالات

8.2: معادلة الحرارة


[ مجموعة فرعية { نص {معادلة حرارية في بعدين}} {u_t = c ^ 2 (u_ {xx} + u_ {yy})} ]

الوظيفة غير المعروفة (u ) لها ثلاثة متغيرات مستقلة: (t ) ، (س ) ، و (y ) مع (ج ) ثابت تعسفي. تعتبر المتغيرات المستقلة (x ) و (y ) متغيرات مكانية ، ويمثل المتغير (t ) الوقت.

مثال ( PageIndex {1} ): حل معادلة الحرارة

تحقق من أن

[u (x، y، t) = 2 sin left ( dfrac {x} {3} right) sin left ( dfrac {y} {4} right) e ^ {- 25t / 16} عدد ]

هو حل لمعادلة الحرارة

[u_t = 9 (u_ {xx} + u_ {yy}). لا يوجد رقم]

تلميح

احسب المشتقات الجزئية وقم بالتعويض في الطرف الأيمن.

نظرًا لأن حل معادلة الحرارة ثنائية الأبعاد هو دالة من ثلاثة متغيرات ، فليس من السهل إنشاء تمثيل مرئي للحل. يمكننا رسم الحل للقيم الثابتة لـ t ، والتي ترقى إلى لقطات لتوزيعات الحرارة في أوقات ثابتة. توضح هذه اللقطات كيفية توزيع الحرارة على سطح ثنائي الأبعاد مع تقدم الوقت. يظهر الرسم البياني للحل السابق في الوقت (t = 0 ) في الشكل ( PageIndex {3} ). مع تقدم الوقت ، تستقر الأطراف المتطرفة ، وتقترب من الصفر عندما تقترب t من اللانهاية.

إذا أخذنا في الاعتبار معادلة الحرارة في بُعد واحد ، فمن الممكن رسم الحل بمرور الوقت. تصبح معادلة الحرارة في بعد واحد

[u_t = c ^ 2u_ {xx} ، ]

حيث يمثل (c ^ 2 ) الانتشار الحراري للمادة المعنية. يمكن كتابة حل هذه المعادلة التفاضلية بالصيغة

[u_m (x، t) = e ^ {- π ^ 2m ^ 2c ^ 2t} sin (mπx) ]

حيث (م ) هو أي عدد صحيح موجب. يظهر رسم بياني لهذا الحل باستخدام (m = 1 ) في الشكل ( PageIndex {4} ) ، حيث يتم إعطاء توزيع درجة الحرارة الأولية على سلك بطول (1 ) بواسطة (u (x، 0) = sin πx. ) لاحظ أنه مع مرور الوقت ، يبرد السلك. يُلاحظ هذا لأن أعلى درجة حرارة (التي تحدث في منتصف السلك) تنخفض وتتغير لونها من الأحمر إلى الأزرق من اليسار إلى اليمين.