مقالات

2.1: مشتق كوظيفة


كما رأينا ، فإن مشتقة دالة عند نقطة معينة تعطينا معدل التغير أو ميل خط المماس للدالة عند تلك النقطة. في هذا القسم ، نحدد الدالة المشتقة ونتعلم عملية العثور عليها.

وظائف مشتقة

تعطي الدالة المشتقة مشتق دالة عند كل نقطة في مجال الوظيفة الأصلية التي تم تعريف المشتق من أجلها. يمكننا تحديد دالة مشتقة رسميًا على النحو التالي.

التعريف: دالة مشتقة

دع (f ) يكون دالة. الدالة المشتقة ، التي يُشار إليها بـ f ′ ، هي الوظيفة التي يتكون مجالها من قيم (x ) بحيث يوجد الحد التالي:

[f ′ (x) = lim_ {h → 0} frac {f (x + h) −f (x)} {h}. ]

يُقال أن الدالة (f (x) ) قابلة للتفاضل عند وجود (f '(a) ). بشكل عام ، يُقال أن الوظيفة قابلة للتفاضل في (S ) إذا كانت قابلة للتفاضل في كل نقطة في مجموعة مفتوحة (S ) ، والوظيفة القابلة للتفاضل هي التي فيها (f ′ (x) ) موجود في مجاله.

تدوينات

نستخدم مجموعة متنوعة من الرموز المختلفة للتعبير عن مشتق الدالة.

بالنسبة للدالة (y = f (x) ) ، تمثل كل من الرموز التالية مشتق (f (x) ):

(f ′ (x)، displaystyle frac {dy} {dx}، y ′، displaystyle frac {d} {dx} (f (x)) ).

بدلاً من (f ′ (a) ) يمكننا أيضًا استخدام ( displaystyle frac {dy} {dx} ∣_ {x = a} ). يعد استخدام تدوين ( displaystyle frac {dy} {dx} ) (يسمى تدوين Leibniz) شائعًا جدًا في الهندسة والفيزياء. لفهم هذا الترميز بشكل أفضل ، تذكر أن مشتقة دالة عند نقطة ما هي نهاية منحدرات الخطوط القاطعة حيث تقترب الخطوط القاطعة من خط المماس. غالبًا ما يتم التعبير عن منحدرات هذه الخطوط القاطعة بالصيغة ( displaystyle frac {Δy} {Δx} ) حيث (Δy ) هو الفرق في (y ) القيم المقابلة للاختلاف في (x ) القيم التي يتم التعبير عنها كـ (Δx ) (الشكل). وبالتالي فإن المشتق ، الذي يمكن اعتباره معدل التغير اللحظي لـ y فيما يتعلق بـ (x ) ، يتم التعبير عنه كـ

( displaystyle frac {dy} {dx} = lim_ {Δx → 0} frac {Δy} {Δx} ).

في الأمثلة القليلة التالية ، نستخدم المعادلة لإيجاد مشتق دالة.

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد مشتق دالة الجذر التربيعي

أوجد مشتق (f (x) = sqrt {x} ).

حل

ابدأ مباشرة بتعريف الدالة المشتقة.

(f ′ (x) = lim_ {h → 0} displaystyle frac { sqrt {x + h} - sqrt {x}} {h} )عوّض (f (x + h) = sqrt {x + h} ) و (f (x) = sqrt {x} ) في (f ′ (x) = lim_ {h → 0} frac {f (x + h) −f (x)} {h} ).
(= lim_ {h → 0} displaystyle frac { sqrt {x + h} - sqrt {x}} {h} ⋅ frac { sqrt {x + h} + sqrt {x}} { sqrt {x + h} + sqrt {x}} )اضرب البسط والمقام في ( sqrt {x + h} + sqrt {x} ) دون التوزيع في المقام.
(= lim_ {h → 0} displaystyle frac {h} {h ( sqrt {x + h} + sqrt {x}}) )اضرب البسط وبسّط.
(= lim_ {h → 0} displaystyle frac {1} {( sqrt {x + h} + sqrt {x})} )قم بإلغاء (ح ).
(= displaystyle frac {1} {2 sqrt {x}} )تقييم الحد

مثال ( PageIndex {2} ): إيجاد مشتق دالة تربيعية

أوجد مشتق الدالة (f (x) = x ^ 2−2x ).

حل

اتبع نفس الإجراء هنا ، ولكن دون الحاجة إلى الضرب في المرافق.

(f ′ (x) = lim_ {h → 0} displaystyle frac {((x + h) ^ 2−2 (x + h)) - (x ^ 2−2x)} {h} )عوض (f (x + h) = (x + h) ^ 2−2 (x + h) ) و (f (x) = x ^ 2−2x ) في (f ′ (x) = lim_ {h → 0} frac {f (x + h) −f (x)} {h} )
( lim_ {h → 0} displaystyle frac {x ^ 2 + 2xh + h ^ 2−2x − 2h − x ^ 2 + 2x} {h} )انشر ((x + h) ^ 2−2 (x + h) ).
(= lim_ {h → 0} displaystyle frac {2xh − 2h + h ^ 2} {h} )تبسيط
(= lim_ {h → 0} displaystyle frac {h (2x − 2 + h)} {h} )أخرج العامل (h ) من البسط
(= lim_ {h → 0} (2x − 2 + h) )اختصر العامل المشترك (h )
(= 2 س − 2 )تقييم الحد

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد مشتق (f (x) = x ^ 2 ).

تلميح

استخدم المعادلة واتبع المثال.

إجابه

(و ′ (س) = 2 س )

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد مشتق (f (x) = sqrt {2x + 3} ).

إجابه

أضف نص إجابة هنا وسيختفي تلقائيًا إذا كان لديك نموذج "رقم تلقائي" نشط على الصفحة.

مثال ( PageIndex {3} ):

ضع في اعتبارك ( displaystyle f (x) = frac {3} {x} ).

أ) أوجد ( displaystyle f '(x) ) باستخدام تعريف المشتق كحد.

ب) أوجد معادلة خط المماس لهذه الوظيفة عند ( displaystyle x = 3 ).

تمرين ( PageIndex {3} )

استخدم تعريف حد المشتق لإيجاد (f` (x) ) حيث (f (x) = frac {1} {x + 1} ) (يمكنك استخدام قواعد التفاضل للتحقق من إجابتك). ثم ابحث عن معادلة خط المماس لـ (f (x) ) عند (x = 2: )

إجابه

أضف نص إجابة هنا وسيختفي تلقائيًا إذا كان لديك نموذج "رقم تلقائي" نشط على الصفحة.

مثال ( PageIndex {4} ):

استخدم تعريف حد المشتق لإيجاد (f` (x) ) حيث (f (x) = frac {1} { sqrt {x}} ).

تمرين ( PageIndex {5} )

استخدم تعريف حد المشتق لإيجاد (f` (x) ) حيث (f (x) = frac {1} { sqrt {x + 5}} ).

إجابه

( frac {1} { sqrt {x + 5}} )

رسم مشتق

لقد ناقشنا بالفعل كيفية رسم دالة ، لذا في ضوء معادلة دالة أو معادلة دالة مشتقة ، يمكننا رسمها بيانيًا. بالنظر إلى كليهما ، نتوقع رؤية تطابق بين الرسوم البيانية لهاتين الوظيفتين ، حيث أن (f ′ (x) ) يعطي معدل تغير دالة (f (x) ) (أو ميل الظل سطر إلى (f (x) )).

في المثال وجدنا ذلك لـ (f (x) = sqrt {x} ، f ′ (x) = 1/2 sqrt {x} ). إذا رسمنا هذه الوظائف على نفس المحاور ، كما في الشكل ، فيمكننا استخدام الرسوم البيانية لفهم العلاقة بين هاتين الوظيفتين. أولاً ، نلاحظ أن (f (x) ) يتزايد على نطاقه بالكامل ، مما يعني أن ميل خطوط المماس عند جميع النقاط موجبة. وبالتالي ، نتوقع (f ′ (x)> 0 ) لجميع قيم x في مجالها. علاوة على ذلك ، مع زيادة (x ) ، تتناقص منحدرات الخطوط المماس إلى (f (x) ) ونتوقع أن نرى انخفاضًا مناظرًا في (f ′ (x) ). نلاحظ أيضًا أن (f (0) ) غير محدد وأن ( lim_ {x → 0 ^ +} f ′ (x) = + ∞ ) ، يتوافق مع الظل الرأسي لـ (f (x) ) في (0 ).

وجدنا في المثال أن (f (x) = x ^ 2−2x ، f ′ (x) = 2x − 2 ). تظهر الرسوم البيانية لهذه الوظائف في الشكل. لاحظ أن (f (x) ) يتناقص لـ (x <1 ). لهذه القيم نفسها لـ (x، f ′ (x) <0 ). بالنسبة لقيم (x> 1 ) ، يتزايد (f (x) ) و (f ′ (x)> 0 ). أيضًا ، (f (x) ) له ظل أفقي عند (x = 1 ) و (f ′ (1) = 0 ).

مثال ( PageIndex {3} ): رسم مشتق باستخدام دالة

استخدم الرسم البياني التالي لـ (f (x) ) لرسم رسم بياني لـ (f ′ (x) ).

حل

الحل موضح في الرسم البياني التالي. لاحظ أن (f (x) ) يتزايد و (f ′ (x)> 0 ) على ((- 2،3) ). أيضًا ، (f (x) ) يتناقص و (f ′ (x) <0 ) على ((- ∞، −2) ) وعلى ((3، + ∞) ). لاحظ أيضًا أن (f (x) ) له ظل أفقي عند (- 2 ) و (3 ) ، و (f ′ (- 2) = 0 ) و (f ′ (3) = 0 ).

تمرين ( PageIndex {2} )

ارسم الرسم البياني لـ (f (x) = x ^ 2−4 ). في أي فترة يوجد رسم بياني (f ′ (x) ) أعلى المحور (x )؟

تلميح

يمثل الرسم البياني (f ′ (x) ) موجبًا حيث يتزايد (f (x) ).

إجابه

(0,+∞)

برنامج صغير لإعادة بناء دالة من مشتقها الأول

المشتقات والاستمرارية

الآن بعد أن أصبح بإمكاننا رسم أحد المشتقات ، دعنا نفحص سلوك الرسوم البيانية. أولاً ، ننظر في العلاقة بين التفاضل والاستمرارية. سنرى أنه إذا كانت الوظيفة قابلة للاشتقاق عند نقطة ما ، فيجب أن تكون مستمرة هناك ؛ ومع ذلك ، فإن الدالة المستمرة عند نقطة ما لا يلزم أن تكون قابلة للاشتقاق في تلك النقطة. في الواقع ، قد تكون الوظيفة مستمرة عند نقطة ما وتفشل في التمييز عند النقطة لواحد من عدة أسباب.

نظرية ( PageIndex {1} ) التفاضلية تدل على الاستمرارية

لنفترض أن (f (x) ) دالة و (a ) عنصرًا في مجالها. إذا كان (f (x) ) قابلاً للتفاضل عند (a ) ، فإن (f ) يكون مستمرًا عند (a ).

دليل

إذا كان (f (x) ) قابلاً للتفاضل عند (a ) ، فإن (f ′ (a) ) موجود و

(f ′ (a) = lim_ {x → a} frac {f (x) −f (a)} {x − a} ).

نريد أن نظهر أن (f (x) ) مستمر عند (a ) من خلال إظهار أن ( lim_ {x → a} f (x) = f (a). ) وبالتالي ،

( lim_ {x → a} f (x) = lim_ {x → a} (f (x) −f (a) + f (a)) )

(= lim_ {x → a} ( frac {f (x) −f (a)} {x − a} ⋅ (x − a) + f (a)) ) اضرب واقسم (f ( س) −f (أ) ) ب (س − أ ).

(= ( lim_ {x → a} frac {f (x) −f (a)} {x − a}) ⋅ ( lim_ {x → a} (x − a)) + lim_ {x → أ} و (أ) )

(= و '(أ) ⋅0 + و (أ) )

(= و (أ). )

لذلك ، نظرًا لأن (f (a) ) معرّف و ( lim_ {x → a} f (x) = f (a) ) ، نستنتج أن (f ) مستمر عند (a ). □

الشيء بصوت عال

لقد أثبتنا للتو أن التفاضل يعني الاستمرارية ، فهل الاستمرارية تعني التفاضل؟

التعريف: الشرفات العمودية

لنفترض أن (f ) دالة و (أ ) تكون نقطة في المجال. ثم يُقال أن (f ) يحتوي على خط مماس عمودي (x = a ) إذا (f` (a) ) يقترب من ( infty ) أو (- infty ).

مثال ( PageIndex {1} ): فشل التفاضل عند الركن

لتحديد إجابة السؤال أعلاه ، نقوم بفحص الوظيفة (f (x) = | x | ). هذه الوظيفة مستمرة في كل مكان ؛ ومع ذلك ، (f ′ (0) ) غير معرف. تقودنا هذه الملاحظة إلى الاعتقاد بأن الاستمرارية لا تعني التفاضل. دعونا نستكشف المزيد. من أجل (f (x) = | x | ) ،

(f ′ (0) = lim_ {x → 0} frac {f (x) −f (0)} {x − 0} = lim_ {x → 0} frac {| x | - | 0 |} {x − 0} = lim_ {x → 0} frac {| x |} {x} ).

هذا الحد غير موجود لأن

( lim_ {x → 0 ^ -} frac {| x |} {x} = - 1 ) و ( lim_ {x → 0 ^ +} frac {| x |} {x} = 1 ).

أنظر للشكل.

تمرين ( PageIndex {1} )

ضع في اعتبارك (f (x) = | x-2 | ). ماذا يمكنك أن تقول عن خط الظل عند (س = 2 )؟

إجابه

أضف نص إجابة هنا وسيختفي تلقائيًا إذا كان لديك نموذج "رقم تلقائي" نشط على الصفحة.

مثال ( PageIndex {2} ): Cusp-Vertical Tangent Lines

دعونا نفكر في بعض المواقف الإضافية التي تفشل فيها الدالة المستمرة في التفاضل. ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = sqrt [3] {x} ):

(f ′ (0) = lim_ {x → 0} frac { sqrt [3] {x} −0} {x − 0} = lim_ {x → 0} frac {1} { sqrt [3] {x ^ 2}} = + ∞ ).

وبالتالي (f ′ (0) ) غير موجود. توضح نظرة سريعة على الرسم البياني (f (x) = sqrt [3] {x} ) الموقف. تحتوي الوظيفة على خط مماس عمودي عند (0 ) (الشكل).

تمرين ( PageIndex {2} )

ضع في اعتبارك (f (x) = sqrt_ {5} {2-x} ). ماذا يمكنك أن تقول عن خط الظل عند (س = 2 )؟

إجابه

الوظيفة لها خط ظل عمودي عند (س = 2 ).

مثال ( PageIndex {3} ): لا تعلوه ولا ركن

الدالة (f (x) = begin {cases} xsin ( frac {1} {x}) & if x ≠ 0 0 if x = 0 end {cases} ) لها أيضًا مشتق يعرض سلوك مثير للاهتمام في (0 ). نحن نرى ذلك

(f ′ (0) = lim_ {x → 0} frac {xsin (1 / x) −0} {x − 0} = lim_ {x → 0} sin ( frac {1} {x} ) ).

هذا الحد غير موجود ، بشكل أساسي لأن منحدرات الخطوط القاطعة تغير اتجاهها باستمرار مع اقترابها من الصفر (الشكل).

باختصار:

  1. نلاحظ أنه إذا لم تكن الدالة متصلة ، فلا يمكن أن تكون قابلة للاشتقاق ، لأن كل دالة تفاضلية يجب أن تكون مستمرة. ومع ذلك ، إذا كانت الدالة مستمرة ، فقد تظل غير قابلة للاشتقاق.
  2. لقد رأينا أن (f (x) = | x | ) فشل في التفاضل عند (0 ) لأن حدود منحدرات خطوط الظل على اليسار واليمين لم تكن متطابقة. بصريًا ، نتج عن ذلك زاوية حادة على الرسم البياني للوظيفة عند (0. ) من هذا نستنتج أنه لكي تكون قابلة للتفاضل عند نقطة ما ، يجب أن تكون الوظيفة "سلسة" في تلك المرحلة.
  3. كما رأينا في مثال (f (x) = sqrt [3] {x} ) ، تفشل الوظيفة في أن تكون قابلة للاشتقاق عند نقطة يوجد فيها خط ظل عمودي.
  4. كما رأينا مع (f (x) = begin {cases} xsin ( frac {1} {x}) & ifx ≠ 0 0 & ifx = 0 end {cases} ) قد تفشل الوظيفة قابلة للتفاضل عند نقطة ما بطرق أكثر تعقيدًا أيضًا.

مثال ( PageIndex {4} ): دالة مجزأة مستمرة وقابلة للاشتقاق

تريد شركة ألعاب تصميم مسار لسيارة لعبة يبدأ على طول منحنى مكافئ ثم يتحول إلى خط مستقيم (الشكل). الوظيفة التي تصف المسار هي أن يكون لها الشكل (f (x) = start {cases} frac {1} {10} x ^ 2 + bx + c & if x <−10 - frac { 1} {4} x + frac {5} {2} & if x≥ − 10 end {cases} ) حيث (x ) و (f (x) ) بالبوصة. لكي تتحرك السيارة بسلاسة على طول المسار ، يجب أن تكون الوظيفة (f (x) ) متصلة وقابلة للتفاضل عند (- 10 ). أوجد قيمتي b و c اللتين تجعلان (f (x) ) مستمرين وقابل للتفاضل.

حل

لكي تكون الوظيفة مستمرة عند (x = −10 ) ، ( lim_ {x → 10 ^ -} f (x) = f (−10) ). وهكذا ، منذ ذلك الحين

( lim_ {x → −10 ^ -} f (x) = frac {1} {10} (- 10) ^ 2−10b + c = 10−10b + c )

و (f (−10) = 5 ) ، يجب أن يكون لدينا (10−10b + c = 5 ). بالتساوي ، لدينا (ج = 10 ب − 5 ).

لكي تكون الوظيفة قابلة للتفاضل عند (- 10 ) ،

(f ′ (10) = lim_ {x → −10} frac {f (x) −f (−10)} {x + 10} )

لابد من وجوده. نظرًا لأنه تم تعريف (f (x) ) باستخدام قواعد مختلفة على اليمين واليسار ، يجب علينا تقييم هذا الحد من اليمين واليسار ثم تعيينهما على قدم المساواة مع بعضهما البعض:

( lim_ {x → −10 ^ -} frac {f (x) −f (−10)} {x + 10} = lim_ {x → −10 ^ -} frac { frac {1} {10} x ^ 2 + bx + c − 5} {x + 10} )

(= lim_ {x → −10 ^ -} frac { frac {1} {10} x2 + bx + (10b − 5) −5} {x + 10} ) البديل (c = 10b − 5 ).

(= lim_ {x → −10 ^ -} frac {x ^ 2−100 + 10bx + 100b} {10 (x + 10)} )

(= lim_ {x → −10 ^ -} frac {(x + 10) (x − 10 + 10b)} {10 (x + 10)} ) عامل بالتجميع

(= ب − 2 ).

نحن ايضا لدينا

( lim_ {x → −10 ^ +} frac {f (x) −f (−10)} {x + 10} )

(= lim_ {x → −10 ^ +} frac {- frac {1} {4} x + frac {5} {2} −5} {x + 10} )

(= lim_ {x → −10 ^ +} frac {- (x + 10)} {4 (x + 10)} )

(= - فارك {1} {4} ).

هذا يعطينا (b − 2 = - frac {1} {4} ). وهكذا (b = frac {7} {4} ) و (c = 10 ( frac {7} {4}) - 5 = frac {25} {2} ).

تمرين ( PageIndex {3} )

ابحث عن قيم a و b التي تجعل (f (x) = start {cases} ax + b & if x <3 x ^ 2 & if x≥3 end {cases} ) كلاهما مستمر وقابل للتفاضل في (3 ).

تلميح

استخدم المثال كدليل.

إجابه

(أ = 6 ) و (ب = -9 )

المشتقات ذات الترتيب الأعلى

مشتقة الدالة هي في حد ذاتها دالة ، لذا يمكننا إيجاد مشتقها. على سبيل المثال ، مشتق دالة المركز هو معدل التغير في الموضع ، أو السرعة. مشتق السرعة هو معدل تغير السرعة ، وهو التسارع. الوظيفة الجديدة التي تم الحصول عليها عن طريق التفريق بين المشتق تسمى المشتق الثاني. علاوة على ذلك ، يمكننا الاستمرار في أخذ المشتقات للحصول على المشتق الثالث ، والمشتق الرابع ، وهكذا. بشكل جماعي ، يشار إلى هذه باسم المشتقات عالية المستوى. يمكن التعبير عن تدوين مشتقات الرتبة الأعلى لـ (y = f (x) ) بأي من الأشكال التالية:

(f '' (x)، f '' '(x)، f ^ {(4)} (x)، ...، f ^ {(n)} (x) )

(y '(x)، y' '' (x)، y ^ {(4)} (x)، ...، y ^ {(n)} (x) )

( frac {d ^ 2y} {dx ^ 2}، frac {d ^ 3y} {dy ^ 3}، frac {d ^ 4y} {dy ^ 4}،…، frac {d ^ ny} {dy ^ n}. )

من المثير للاهتمام ملاحظة أن تدوين ( frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} ) يمكن اعتباره محاولة للتعبير عن ( frac {d} {dx} ( frac {dy} { dx}) ) بشكل أكثر إحكاما. بالمثل ، ( frac {d} {dx} ( frac {d} {dx} ( frac {dy} {dx})) = frac {d} {dx} ( frac {d ^ 2y} { dx ^ 2}) = frac {d ^ 3y} {dx ^ 3} ).

مثال ( PageIndex {5} ): البحث عن مشتق ثاني

بالنسبة إلى (f (x) = 2x ^ 2−3x + 1 ) ، ابحث عن (f '' (x) ).

حل

ابحث أولاً عن (f ′ (x) ).

(f ′ (x) = lim_ {h → 0} frac {(2 (x + h) ^ 2−3 (x + h) +1) - (2x ^ 2−3x + 1)} {h } )عوض (f (x) = 2x ^ 2−3x + 1 ) و (f (x + h) = 2 (x + h) ^ 2−3 (x + h) +1 ) في (f ′ (س) = lim_ {h → 0} frac {f (x + h) −f (x)} {h}. )
(= lim_ {h → 0} frac {4xh + h ^ 2−3h} {h} )بسّط البسط.
(= lim_ {h → 0} (4x + h − 3) )أخرج (h ) في البسط وقم بإلغاء الأمر مع (h ) في المقام.
(= 4x − 3 )خذ الحد.

بعد ذلك ، أوجد (f '' (x) ) بأخذ مشتق (f ′ (x) = 4x − 3. )

(f '(x) = lim_ {h → 0} frac {f ′ (x + h) −f ′ (x)} {h} )استخدم (f ′ (x) = lim_ {h → 0} frac {f (x + h) −f (x)} {h} ) مع (f ′ (x) ) بدلاً من (و (س). )
(= lim_ {h → 0} frac {(4 (x + h) −3) - (4x − 3)} {h} )عوض (f ′ (x + h) = 4 (x + h) −3 ) و (f ′ (x) = 4x − 3. )
(= lim_ {h → 0} 4 )تبسيط.
(=4)خذ الحد.

تمرين ( PageIndex {4} )

ابحث عن (f '' (x) ) من أجل (f (x) = x ^ 2 ).

تلميح

وجدنا (f ′ (x) = 2x ) في نقطة تفتيش سابقة. استخدم المعادلة لإيجاد مشتق (f ′ (x) )

إجابه

(و '(س) = 2 )

مثال ( PageIndex {6} ): البحث عن التسريع

يتم تحديد موضع الجسيم على طول محور الإحداثيات في الوقت (t ) (بالثواني) من خلال (s (t) = 3t ^ 2−4t + 1 ) (بالأمتار). ابحث عن الوظيفة التي تصف تسارعها في الوقت (t ).

حل

بما أن (v (t) = s ′ (t) ) و (a (t) = v ′ (t) = s '(t) ) ، نبدأ بإيجاد مشتق (s (t) ) ):

(s ′ (t) = lim_ {h → 0} frac {s (t + h) −s (t)} {h} )

(= lim_ {h → 0} frac {3 (t + h) ^ 2−4 (t + h) + 1− (3t ^ 2−4t + 1)} {h} )

(= 6 طن − 4. )

التالي،

(s '(t) = lim_ {h → 0} frac {s ′ (t + h) −s ′ (t)} {h} )

(= lim_ {h → 0} frac {6 (t + h) −4− (6t − 4)} {h} )

(=6.)

وهكذا ، (أ = 6 م / ث ^ 2 ).

تمرين ( PageIndex {5} )

بالنسبة إلى (s (t) = t ^ 3 ) ، ابحث عن (a (t). )

تلميح

استخدم المثال كدليل.

إجابه

(أ (ر) = 6 طن )

المفاهيم الرئيسية

  • مشتق الدالة (f (x) ) هو الوظيفة التي تكون قيمتها عند (x ) هي (f ′ (x) ).
  • يرتبط الرسم البياني لمشتق دالة (f (x) ) بالرسم البياني لـ (f (x) ). حيث (f (x) ) يحتوي على خط مماس بميل موجب ، (f ′ (x)> 0 ). حيث (f (x) ) يحتوي على خط مماس بميل سالب ، f ′ (x) <0. حيث (f (x) ) بها خط مماس أفقي ، (f ′ (x) = 0. )
  • إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة ما ، فإنها تكون متصلة عند هذه النقطة. لا يمكن تمييز الوظيفة عند نقطة ما إذا لم تكن متصلة عند النقطة ، أو إذا كان لها خط مماس رأسي عند النقطة ، أو إذا كان للرسم البياني زاوية حادة أو حد.
  • المشتقات ذات الرتبة الأعلى هي مشتقات المشتقات ، من المشتق الثاني إلى المشتق (n ).

المعادلات الرئيسية

  • الدالة المشتقة

(f ′ (x) = lim_ {h → 0} frac {f (x + h) −f (x)} {h} )

قائمة المصطلحات

دالة مشتقة
يعطي مشتق دالة في كل نقطة في مجال الوظيفة الأصلية التي تم تعريف المشتق من أجلها
قابل للتفاضل في أ
الوظيفة التي يوجد لها (f ′ (a) ) قابلة للتفاضل عند (a )
قابل للتفاضل في س
دالة يوجد لها (f ′ (x) ) لكل (x ) في المجموعة المفتوحة (S ) قابلة للتفاضل في (S )
دالة قابلة للتفاضل
الوظيفة التي يوجد لها (f ′ (x) ) هي دالة قابلة للتفاضل
مشتق عالي الرتبة
مشتق من المشتق ، من المشتق الثاني إلى نالمشتق th يسمى مشتق من الدرجة الأعلى

مشتقات وظائف الطاقة & # 8211 صفحة 2

من خلال تمثيل هذه الوظيفة غير المنطقية كدالة طاقة ، نحصل على:

المثال 11.

نعيد كتابة الوظيفة على النحو التالي:

باستخدام قاعدة المضاعفات الثابتة وقاعدة الأس ، لدينا

المثال 12.

الاشتقاق كدالة قوة مع أس كسري ، لدينا

المثال 13.

يتم الحصول على مشتق دالة القوة هذه بواسطة

المثال 14.

يمكن تمثيل هذه الوظيفة على أنها كثيرة الحدود:

عند التفريق بين المصطلح ، نحصل على:

المثال 15.

أولاً ، نعيد كتابة الوظيفة على النحو التالي:

استخدم قاعدة المجموع للمشتق:

ثم نخرج العوامل الثابتة ونحسب مشتقات دوال القدرة:

المثال 16.

ننتقل إلى التعبير في شكل القوة:

مشتق الفرق بين وظيفتين يساوي فرق مشتقات هاتين الدالتين:

بحساب مشتقات دوال القدرة نحصل على:

المثال 17.

أولاً نقوم بتحويل شروط الدالة إلى صيغة قوة:

باستخدام قاعدة القوة ، نحصل على:

المثال 18.

نقوم بتحويل كل مصطلح في الدالة إلى شكل قوة:

باستخدام الخصائص الخطية للمشتق وقاعدة القوة ، لدينا

المثال 19.

عند تمثيل المصطلحات في شكل وظائف القوة ، نحصل على التعبير التالي للمشتق:

المثال 20.

باستخدام قاعدة القوة ، نحصل على

المثال 21.

نقوم بتحويل التعبيرات الجذرية إلى صيغة القوة:

ثم نطبق قاعدة القوة ، نحصل عليها

المثال 22.

عند تحويل الدالة إلى شكل قوة ، نحصل على:

المثال 23.

نقوم بتحويل الوظيفة إلى شكل طاقة:

المثال 24.

على غرار المثال السابق ، لدينا

المثال 25.

عند التفريق بين هذه الوظيفة كدالة طاقة ، نحصل على:

المثال 26.

نطبق هوية المكعب المثالي

ثم باستخدام قواعد التفاضل الأساسية وقاعدة القوة ، نجد المشتق:


حساب التفاضل والتكامل النشط

إذا علمنا مشتق (y = f (x) text <،> ) ما هو مشتق (y = kf (x) text <،> ) حيث (k ) هو ثابت ؟

إذا عرفنا مشتقات (y = f (x) ) و (y = g (x) text <،> ) كيف نحسب مشتق (y = f (x) + g ( س) نص <؟> )

في الفصل الأول ، طورنا مفهوم مشتقة الوظيفة. نحن نعلم الآن أن المشتق (f ') للدالة (f ) يقيس معدل التغير اللحظي لـ (f ) فيما يتعلق (x نص <.> ) يخبرنا المشتق أيضًا ميل خط المماس إلى (y = f (x) ) عند أي قيمة معطاة لـ (x text <.> ) حتى الآن ، ركزنا على تفسير المشتق بيانياً أو في سياق الإعداد المادي ، كمعدل تغيير ذي مغزى. لحساب قيمة المشتق عند نقطة معينة ، اعتمدنا على تعريف الحد للمشتق ،

في هذا الفصل ، نتحرى كيف يؤدي التعريف المحدود للمشتق إلى أنماط وقواعد مثيرة للاهتمام تمكننا من إيجاد صيغة لـ (f '(x) ) بسرعة ، بدون باستخدام تعريف الحد مباشرة. على سبيل المثال ، نود تطبيق اختصارات لتمييز دالة مثل (g (x) = 4x ^ 7 - sin (x) + 3e ^ x )

معاينة النشاط 2.1.1.

غالبًا ما يتم استدعاء دوال النموذج (f (x) = x ^ n text <،> ) حيث (n = 1، 2، 3، ldots text <،> ). يعود السؤالان الأولان أدناه إلى العمل الذي قمنا به سابقًا في الفصل الأول ، والأسئلة التالية تمتد هذه الأفكار إلى صلاحيات أعلى لـ (x text <.> )

استخدم تعريف الحد للمشتق لإيجاد (f '(x) ) من أجل (f (x) = x ^ 2 text <.> )

استخدم تعريف الحد للمشتق لإيجاد (f '(x) ) من أجل (f (x) = x ^ 3 text <.> )

استخدم تعريف الحد للمشتق لإيجاد (f '(x) ) من أجل (f (x) = x ^ 4 text <.> ) (تلميح: ((a + b) ^ 4 = a ^ 4 + 4a ^ 3b + 6a ^ 2b ^ 2 + 4ab ^ 3 + b ^ 4 text <.> ) طبق هذه القاعدة على ((x + h) ^ 4 ) ضمن تعريف الحد.)

بناءً على عملك في (أ) و (ب) و (ج) ، ما الذي تخمنه هو مشتق (f (x) = x ^ 5 text <؟> ) Of (f (x) = x ^ <13> text <؟> )

تخمين صيغة لمشتق (f (x) = x ^ n ) التي تحمل أي عدد صحيح موجب (n text <.> ) أي معطى (f (x) = x ^ n ) ) حيث (n ) عدد صحيح موجب ، ما رأيك في صيغة (f '(x) text <؟> )

القسم الفرعي 2.1.1 بعض الرموز الرئيسية

بالإضافة إلى تدويننا المعتاد (f ') ، هناك طرق أخرى للإشارة إلى مشتق الوظيفة ، بالإضافة إلى التعليمات الخاصة بأخذ المشتق. إذا كنا نفكر في العلاقة بين (ص ) و (س نص <،> ) فإننا نشير أحيانًا إلى مشتق (ص ) فيما يتعلق (س ) بالرمز

التي نقرأها "dee-y dee-x". على سبيل المثال ، إذا كان (y = x ^ 2 text <،> ) سنكتب أن المشتق هو ( frac = 2x text <.> ) يأتي هذا الترميز من حقيقة أن المشتق مرتبط بميل خط ، وأن الميل يقاس بـ ( frac < Delta y> < Delta x> text <. > ) لاحظ أنه بينما نقرأ ( frac < Delta y> < Delta x> ) كـ "تغيير في (y ) على التغيير في (x text <،> )" نرى ( frac) كرمز واحد وليس حاصل قسمة كميتين.

نستخدم متغيرًا من هذا الترميز كتعليمات لأخذ المشتق. خاصه،

تعني "أخذ مشتق الكمية في ( Box ) بالنسبة إلى (x text <.> )" على سبيل المثال ، قد نكتب ( frac[س ^ 2] = 2x نص <.> )

من المهم ملاحظة أن المتغير المستقل يمكن أن يكون مختلفًا عن (x text <.> ) إذا كان لدينا (f (z) = z ^ 2 text <،> ) فسنكتب (f ' (z) = 2z text <.> ) وبالمثل ، إذا (y = t ^ 2 text <،> ) نقول ( frac

= 2t text <.> ) وصحيح أيضًا أن ( frac[q ^ 2] = 2q text <.> ) يمكن استخدام هذا الترميز أيضًا للمشتقات الثانية: (f '' (z) = frac اليسار [ فارك right] = frac نص <.> )

في ما يلي ، سنبني ذخيرة من الدوال التي يمكننا من خلالها حساب المشتقة بسرعة.

القسم الفرعي 2.1.2 الوظائف الثابتة والقوية والأسية

حتى الآن ، نعرف الصيغة المشتقة لفئتين مهمتين من الوظائف: الدوال الثابتة ودوال القدرة. إذا كانت (f (x) = c ) دالة ثابتة ، فإن رسمها البياني هو خط أفقي بميل صفر عند كل نقطة. وهكذا ، ( frac[c] = 0 text <.> ) نلخص هذا بالقاعدة التالية.

وظائف ثابتة.

لأي رقم حقيقي (c text <،> ) إذا (f (x) = c text <،> ) ثم (f '(x) = 0 text <.> )

مثال 2.1.1.

إذا كان (f (x) = 7 text <،> ) ثم (f '(x) = 0 text <.> ) وبالمثل ، ( frac [ sqrt <3>] = 0 text <.> )

في عملك في Preview Activity 2.1.1 ، تخمنت ذلك لأي عدد صحيح موجب (n text <،> ) if (f (x) = x ^ n text <،> ) ثم (f ' (x) = nx ^ text <.> ) يمكن إثبات هذه القاعدة رسميًا لأي عدد صحيح موجب (n text <،> ) وأيضًا لأي رقم حقيقي غير صفري (موجب أو سالب).

وظائف الطاقة.

لأي رقم حقيقي غير صفري (n text <،> ) if (f (x) = x ^ n text <،> ) ثم (f '(x) = nx ^ نص <.> )

مثال 2.1.2.

باستخدام قاعدة دوال القوة ، يمكننا حساب المشتقات التالية. إذا كان (g (z) = z ^ <-3> text <،> ) ثم (g '(z) = -3z ^ <-4> text <.> ) وبالمثل ، إذا (h (t) = t ^ <7/5> text <،> ) ثم ( frac

= فارك <7> <5> t ^ <2/5> نص <،> ) و ( فارك [q ^ < pi>] = pi q ^ < pi - 1> text <.> )

سيكون من المفيد أن يكون لديك صيغة مشتقة لنوع آخر من الوظائف الأساسية. في الوقت الحالي ، نذكر هذه القاعدة ببساطة دون تفسير أو مبرر ، وسوف نستكشف سبب صحة هذه القاعدة في أحد التمارين. وسنواجه تفكيرًا بيانيًا يفسر سبب معقولية القاعدة في نشاط المعاينة 2.2.1.

وظائف أسية.

لأي رقم حقيقي موجب (a text <،> ) if (f (x) = a ^ x text <،> ) ثم (f '(x) = a ^ x ln (a) نص <.> )

مثال 2.1.3.

إذا كان (f (x) = 2 ^ x text <،> ) ثم (f '(x) = 2 ^ x ln (2) text <.> ) وبالمثل ، بالنسبة لـ (p (t ) = 10 ^ t text <،> ) (p '(t) = 10 ^ t ln (10) text <.> ) من المهم بشكل خاص ملاحظة أنه عندما (a = e text <،> ) حيث (e ) هو أساس دالة اللوغاريتم الطبيعي ، لدينا ذلك

منذ ( ln (e) = 1 text <.> ) هذه خاصية مهمة للغاية للدالة (e ^ x text <:> ) وظيفتها المشتقة هي نفسها!

لاحظ بعناية التمييز بين وظائف الطاقة والوظائف الأسية: في وظائف الطاقة ، يكون المتغير في القاعدة ، كما في (x ^ 2 text <،> ) بينما في الدوال الأسية ، يكون المتغير في القوة ، كما في (2 ^ x text <.> ) كما نرى من القواعد ، فإن هذا يحدث فرقًا كبيرًا في شكل المشتق.

النشاط 2.1.2.

استخدم القواعد الثلاثة أعلاه لتحديد مشتق كل من الوظائف التالية. لكل منها ، حدد إجابتك باستخدام الترميز الكامل والصحيح ، مع تسمية المشتق باسمه. على سبيل المثال ، إذا أعطيت دالة (h (z) text <،> ) يجب عليك كتابة " (h '(z) = )" أو " ( frac = ) ”كجزء من ردك.

القسم الفرعي 2.1.3 المضاعفات الثابتة ومجموع الدوال

بعد ذلك سوف نتعلم كيفية حساب مشتق دالة تم إنشاؤها كمزيج جبري من الوظائف الأساسية. على سبيل المثال ، نود أن نكون قادرين على أخذ مشتقة دالة كثيرة الحدود مثل

وهو مجموع المضاعفات الثابتة لقوى (t text <.> ) لتحقيق هذه الغاية ، قمنا بتطوير قاعدتين جديدتين: قاعدة التعدد الثابت وقاعدة المجموع.

كيف يرتبط مشتق (y = kf (x) ) بمشتق (y = f (x) text <؟> ) تذكر أنه عندما نضرب دالة في ثابت (ك نص <،> ) نمد الرسم البياني عموديًا بعامل (| k | ) (ونعكس الرسم البياني عبر (y = 0 ) إذا (k lt 0 )). يؤثر هذا الامتداد العمودي على ميل الرسم البياني ، وبالتالي فإن ميل الوظيفة (y = kf (x) ) هو (k ) أضعاف انحدار (y = f (x) text < .> ) وهكذا ، عندما نضرب دالة في عامل (k text <،> ) نغير قيمة مشتقها بعامل (k ) أيضًا. 1 ،

القاعدة المتعددة الثابتة.

لأي رقم حقيقي (k text <،> ) إذا كان (f (x) ) دالة قابلة للتفاضل مع مشتق (f '(x) text <،> ) ثم ( frac[k f (x)] = k f '(x) text <.> )

في الكلمات ، تنص هذه القاعدة على أن "مشتق ثابت في دالة هو عدد ثابت مضروبًا في مشتقة الدالة".

مثال 2.1.4.

إذا (g (t) = 3 cdot 5 ^ t text <،> ) لدينا (g '(t) = 3 cdot 5 ^ t ln (5) text <.> ) بالمثل ، ( frac [5z ^ <-2>] = 5 (-2z ^ <-3>) text <.> )

بعد ذلك نقوم بفحص مجموع وظيفتين. إذا كان لدينا (y = f (x) ) و (y = g (x) text <،> ) يمكننا حساب دالة جديدة (y = (f + g) (x) ) بواسطة إضافة مخرجات الوظيفتين: ((f + g) (x) = f (x) + g (x) text <.> ) ليست فقط قيمة الوظيفة الجديدة هي مجموع قيم الدالتان المعروفتان ، لكن ميل الوظيفة الجديدة هو مجموع منحدرات الدوال المعروفة. إذن 2 ، نصل إلى قاعدة الجمع التالية للمشتقات:

قاعدة المجموع.

إذا كانت (f (x) ) و (g (x) ) دالات قابلة للتفاضل بمشتقات (f '(x) ) و (g' (x) ) على التوالي ، إذن ( frac[f (x) + g (x)] = f '(x) + g' (x) text <.> )

بالكلمات ، تخبرنا قاعدة الجمع أن "مشتق المجموع هو مجموع المشتقات". يخبرنا أيضًا أن مجموع وظيفتين قابلتين للتفاضل قابل للاشتقاق أيضًا. علاوة على ذلك ، لأنه يمكننا عرض دالة الاختلاف (y = (fg) (x) = f (x) - g (x) ) كـ (y = f (x) + (-1 cdot g (x) ) text <،> ) تخبرنا قاعدة المجموع والقواعد المتعددة الثابتة معًا أن ( frac[f (x) + (-1 cdot g (x))] = f '(x) - g' (x) text <،> ) أو أن "مشتق الفرق هو فرق المشتقات . " يمكننا الآن حساب مشتقات المجاميع والاختلافات في الدوال الأولية.

مثال 2.1.5.

باستخدام قاعدة الجمع ، ( frac (2 ^ w + w ^ 2) = 2 ^ w ln (2) + 2w text <.> ) باستخدام كل من قواعد الجمع المتعددة والثابتة ، إذا (h (q) = 3q ^ 6 - 4q ^ <-3> text <،> ) ثم (h '(q) = 3 (6q ^ 5) - 4 (-3q ^ <-4>) = 18q ^ 5 + 12q ^ <-4> text <.> )

النشاط 2.1.3.

استخدم فقط قواعد الدوال الثابتة والقوة والدوال الأسية ، جنبًا إلى جنب مع قواعد الجمع الثابت والمضاعف ، لحساب مشتق كل دالة أدناه فيما يتعلق بالمتغير المستقل المحدد. لاحظ جيدًا أننا لا نعرف حتى الآن أي قواعد لكيفية التمييز بين المنتج أو حاصل قسمة الوظائف. هذا يعني أنه قد يتعين عليك القيام ببعض الجبر أولاً في الوظائف أدناه قبل أن تتمكن بالفعل من استخدام القواعد الحالية لحساب صيغة المشتق المطلوبة. في كل حالة ، قم بتسمية المشتق الذي تحسبه باسمه باستخدام تدوين مناسب مثل (f '(x) text <،> ) (h' (z) text <،> ) (dr / dt text <،> ) إلخ.

( displaystyle f (x) = x ^ <5/3> - x ^ 4 + 2 ^ x )

(displaystyle g (x) = 14e ^ x + 3x ^ 5 - x)

(displaystyle h (z) = sqrt + فارك <1> + 5 ^ ض )

( displaystyle r (t) = sqrt <53> ، t ^ 7 - pi e ^ t + e ^ 4 )

(displaystyle s (y) = (y ^ 2 + 1) (y ^ 2 - 1))

( displaystyle p (a) = 3a ^ 4 - 2a ^ 3 + 7a ^ 2 - a + 12 )

بنفس الطريقة التي لدينا بها قواعد مختصرة لمساعدتنا في إيجاد المشتقات ، نقدم لغة أبسط وأقصر. في كثير من الأحيان ، بدلاً من قول "خذ مشتق (f text <،> )" سنقول بدلاً من ذلك ببساطة "اشتقاق (f text <.> )" وبالمثل ، إذا كان المشتق موجودًا عند نقطة ، نقول " (f ) قابل للتفاضل عند هذه النقطة ،" أو أنه يمكن تمييز (f ).

أثناء عملنا مع البنية الجبرية للوظائف ، من المهم تطوير عرض صورة كبيرة لما نقوم به. هنا ، نقدم عدة ملاحظات عامة بناءً على القواعد التي لدينا حتى الآن.

  • سيكون مشتق أي دالة كثيرة الحدود دالة أخرى كثيرة الحدود ، وأن درجة المشتق أقل بمقدار واحد من درجة الدالة الأصلية. على سبيل المثال ، إذا كان (p (t) = 7t ^ 5 - 4t ^ 3 + 8t text <،> ) (p ) هو متعدد الحدود من الدرجة 5 ومشتقه ، (p '(t) = 35t ^ 4 - 12t ^ 2 + 8 text <،> ) هو متعدد الحدود من الدرجة 4.
  • مشتق أي دالة أسية هو دالة أسية أخرى: على سبيل المثال ، إذا (g (z) = 7 cdot 2 ^ z text <،> ) ثم (g '(z) = 7 cdot 2 ^ z ln (2) text <،> ) وهو أيضًا أسي.
  • يجب ألا نغفل عن حقيقة أن كل معنى المشتق الذي طورناه في الفصل الأول لا يزال ساريًا. The derivative measures the instantaneous rate of change of the original function, as well as the slope of the tangent line at any selected point on the curve.
Activity 2.1.4 .

Each of the following questions asks you to use derivatives to answer key questions about functions. Be sure to think carefully about each question and to use proper notation in your responses.

Find the slope of the tangent line to (h(z) = sqrt + frac<1>) at the point where (z = 4 ext<.>)

A population of cells is growing in such a way that its total number in millions is given by the function (P(t) = 2(1.37)^t + 32 ext<,>) where (t) is measured in days.

Determine the instantaneous rate at which the population is growing on day 4, and include units on your answer.

Is the population growing at an increasing rate or growing at a decreasing rate on day 4? Explain.

Find an equation for the tangent line to the curve (p(a) = 3a^4 - 2a^3 + 7a^2 - a + 12) at the point where (a=-1 ext<.>)

What is the difference between being asked to find the slope of the tangent line (asked in (a)) and the equation of the tangent line (asked in (c))?

Subsection 2.1.4 Summary

Given a differentiable function (y = f(x) ext<,>) we can express the derivative of (f) in several different notations: (f'(x) ext<,>) (frac ext<,>) (frac ext<,>) and (frac[f(x)] ext<.>)

The limit definition of the derivative leads to patterns among certain families of functions that enable us to compute derivative formulas without resorting directly to the limit definition. For example, if (f) is a power function of the form (f(x) = x^n ext<,>) then (f'(x) = nx^) for any real number (n) other than 0. This is called the Rule for Power Functions.

We have stated a rule for derivatives of exponential functions in the same spirit as the rule for power functions: for any positive real number (a ext<,>) if (f(x) = a^x ext<,>) then (f'(x) = a^x ln(a) ext<.>)

If we are given a constant multiple of a function whose derivative we know, or a sum of functions whose derivatives we know, the Constant Multiple and Sum Rules make it straightforward to compute the derivative of the overall function. More formally, if (f(x)) and (g(x)) are differentiable with derivatives (f'(x)) and (g'(x)) and (a) and (b) are constants, then


محتويات

In applied mathematics and mathematical analysis, a fractional derivative is a derivative of any arbitrary order, real or complex. Its first appearance is in a letter written to Guillaume de l'Hôpital by Gottfried Wilhelm Leibniz in 1695. [2] Around the same time, Leibniz wrote to one of the Bernoulli brothers describing the similarity between the binomial theorem and the Leibniz rule for the fractional derivative of a product of two functions. [ بحاجة لمصدر ] Fractional calculus was introduced in one of Niels Henrik Abel’s early papers [3] where all the elements can be found: the idea of fractional-order integration and differentiation, the mutually inverse relationship between them, the understanding that fractional-order differentiation and integration can be considered as the same generalized operation, and even the unified notation for differentiation and integration of arbitrary real order. [4] Independently, the foundations of the subject were laid by Liouville in a paper from 1832. [5] [6] [7] The autodidact Oliver Heaviside introduced the practical use of fractional differential operators in electrical transmission line analysis circa 1890. [8] The theory and applications of fractional calculus expanded greatly over the 19th and 20th centuries, and numerous contributors have given definitions for fractional derivatives and integrals. [9]

The a th derivative of a function F (x) at a point x is a local property only when a is an integer this is not the case for non-integer power derivatives. In other words, a non-integer fractional derivative of a function F (x) at س = أ depends on all values of f , even those far away from a . Therefore, it is expected that the fractional derivative operation involves some sort of boundary conditions, involving information on the function further out. [10]

The fractional derivative of a function to order a is often now defined by means of the Fourier or Mellin integral transforms.

A fairly natural question to ask is whether there exists a linear operator H , or half-derivative, such that

It turns out that there is such an operator, and indeed for any أ > 0 , there exists an operator P such that

or to put it another way, the definition of d n y / dx n can be extended to all real values of n .

يترك F (x) be a function defined for x & GT 0. Form the definite integral from 0 to x . Call this

Repeating this process gives

and this can be extended arbitrarily.

leads in a straightforward way to a generalization for real n .

Using the gamma function to remove the discrete nature of the factorial function gives us a natural candidate for fractional applications of the integral operator.

This is in fact a well-defined operator.

It is straightforward to show that the J operator satisfies

where in the last step we exchanged the order of integration and pulled out the F (س) factor from the t integration. Changing variables to r defined by ر = س + (xس)ص ,

The inner integral is the beta function which satisfies the following property:

Substituting back into the equation

Interchanging α and β shows that the order in which the J operator is applied is irrelevant and completes the proof.

This relationship is called the semigroup property of fractional differintegral operators. Unfortunately, the comparable process for the derivative operator D is significantly more complex, but it can be shown that D is neither commutative nor additive in general. [11]

Let us assume that F (x) is a monomial of the form

The first derivative is as usual

Repeating this gives the more general result that

which, after replacing the factorials with the gamma function, leads to

To demonstrate that this is, in fact, the "half derivative" (where H 2 F (x) = Df (x) ), we repeat the process to get:

For negative integer power k , the gamma function is undefined and we have to use the following relation: [12]

This extension of the above differential operator need not be constrained only to real powers it also applies for complex powers. For example, the (1 + أنا) th derivative of the (1 − أنا) th derivative yields the second derivative. Also setting negative values for a yields integrals.

For a general function F (x) and 0 < α < 1 , the complete fractional derivative is

For arbitrary α , since the gamma function is undefined for arguments whose real part is a negative integer and whose imaginary part is zero [ dubious – discuss ] , it is necessary to apply the fractional derivative after the integer derivative has been performed. على سبيل المثال،

We can also come at the question via the Laplace transform. Knowing that

as expected. Indeed, given the convolution rule

and shorthanding ص(x) = x α − 1 for clarity, we find that

which is what Cauchy gave us above.

Laplace transforms "work" on relatively few functions, but they نكون often useful for solving fractional differential equations.

Riemann–Liouville fractional integral Edit

The classical form of fractional calculus is given by the Riemann–Liouville integral, which is essentially what has been described above. The theory for periodic functions (therefore including the "boundary condition" of repeating after a period) is the Weyl integral. It is defined on Fourier series, and requires the constant Fourier coefficient to vanish (thus, it applies to functions on the unit circle whose integrals evaluate to zero). The Riemann-Liouville integral exists in two forms, upper and lower. Considering the interval [أ,ب] , the integrals are defined as

Where the former is valid for ر & GT أ and the latter is valid for ر & lt ب . [13]

By contrast the Grünwald–Letnikov derivative starts with the derivative instead of the integral.

Hadamard fractional integral Edit

ال Hadamard fractional integral is introduced by Jacques Hadamard [14] and is given by the following formula,

Atangana-Baleanu fractional integral Edit

The Atangana-Baleanu fractional integral of a continuous function is defined as:

Unlike classical Newtonian derivatives, a fractional derivative is defined via a fractional integral.

Riemann–Liouville fractional derivative Edit

The corresponding derivative is calculated using Lagrange's rule for differential operators. Computing n th order derivative over the integral of order (نα) , the α order derivative is obtained. It is important to remark that n is the smallest integer greater than α ( that is, ن = ⌈α⌉ ). Similar to the definitions for the Riemann-Liouville integral, the derivative has upper and lower variants. [15]

Caputo fractional derivative Edit

Another option for computing fractional derivatives is the Caputo fractional derivative. It was introduced by Michele Caputo in his 1967 paper. [16] In contrast to the Riemann-Liouville fractional derivative, when solving differential equations using Caputo's definition, it is not necessary to define the fractional order initial conditions. Caputo's definition is illustrated as follows, where again ن = ⌈α⌉ :

There is the Caputo fractional derivative defined as:

which has the advantage that is zero when F (ر) is constant and its Laplace Transform is expressed by means of the initial values of the function and its derivative. Moreover, there is the Caputo fractional derivative of distributed order defined as

أين φ(ν) is a weight function and which is used to represent mathematically the presence of multiple memory formalisms.

Caputo-Fabrizio fractional derivative Edit

In a paper of 2015, M. Caputo and M. Fabrizio presented a definition of fractional derivative with a non singular kernel, for a function f ( t ) of C 1 > given by:

Atangana-Baleanu fractional derivative Edit

In 2016, Atangana and Baleanu suggested differential operators based on the generalized Mittag-Leffler function. The aim was to introduce fractional differential operators with non-singular nonlocal kernel. Their fractional differential operators are given below in Riemann-Liouville sense and Caputo sense respectively. For a function f ( t ) of C 1 > given by [18] [19]

If the function is continuous, the Atangana-Baleanu derivative in Riemann-Liouville sense is given by:

ال Mittag-Leffler function هα,β is a special function,

The Mittag-Leffler function has found many application in real world problem, for example is used in modeling fractional order viscoelastic materials. Experimental investigations into the time-dependent relaxation behavior of viscoelastic materials are characterized by a very fast decrease of the stress at the beginning of the relaxation process and an extremely slow decay for large times. It can even take a long time before a constant asymptotic value is reached. The function contains several special functions for example: For α = 0 , 1 / 2 , 1 , 2 we find

Riesz derivative Edit

Other types Edit

Classical fractional derivatives include:

    [22][23]
  • Sonin–Letnikov derivative [23]
  • Liouville derivative [22][22]
  • Hadamard derivative [22][24]
  • Marchaud derivative [22]
  • Riesz derivative [23]
  • Miller–Ross derivative [22][25][26][22][22]

New fractional derivatives include:

  • Coimbra derivative [22][27]
  • Hilfer derivative [22]
  • Davidson derivative [22]
  • Chen derivative [22]
  • Caputo Fabrizio derivative [18][28]
  • Atangana–Baleanu derivative [18][29]

Erdélyi–Kober operator Edit

The Erdélyi–Kober operator is an integral operator introduced by Arthur Erdélyi (1940). [30] and Hermann Kober (1940) [31] and is given by

which generalizes the Riemann–Liouville fractional integral and the Weyl integral.

In the context of functional analysis, functions F (د) more general than powers are studied in the functional calculus of spectral theory. The theory of pseudo-differential operators also allows one to consider powers of D . The operators arising are examples of singular integral operators and the generalisation of the classical theory to higher dimensions is called the theory of Riesz potentials. So there are a number of contemporary theories available, within which fractional calculus can be discussed. See also Erdélyi–Kober operator, important in special function theory (Kober 1940), (Erdélyi 1950–51).

Fractional conservation of mass Edit

As described by Wheatcraft and Meerschaert (2008), [32] a fractional conservation of mass equation is needed to model fluid flow when the control volume is not large enough compared to the scale of heterogeneity and when the flux within the control volume is non-linear. In the referenced paper, the fractional conservation of mass equation for fluid flow is:

Electrochemical Analysis Edit

When studying the redox behavior of a substrate in solution, a voltage is applied at an electrode surface to force electron transfer between electrode and substrate. The resulting electron transfer is measured as a current. The current depends upon the concentration of substrate at the electrode surface. As substrate is consumed, fresh substrate diffuses to the electrode as described by Fick's Law. Taking the Laplace transform of Fick's second law yields an ordinary second-order differential equation (here in dimensionless form):

whose solution C(x,s) contains a one-half power dependence on s. Taking the derivative of C(x,s) and then the inverse Laplace transform yields the following relationship:

which relates the concentration of substrate at the electrode surface to the current. [33] This relationship is applied in electrochemical kinetics to elucidate mechanistic behavior. For example, it has been used to study the rate of dimerization of substrates upon electrochemical reduction. [34]

Groundwater flow problem Edit

In 2013–2014 Atangana et al. described some groundwater flow problems using the concept of derivative with fractional order. [35] [36] In these works, The classical Darcy law is generalized by regarding the water flow as a function of a non-integer order derivative of the piezometric head. This generalized law and the law of conservation of mass are then used to derive a new equation for groundwater flow.

Fractional advection dispersion equation Edit

This equation [ clarification needed ] has been shown useful for modeling contaminant flow in heterogenous porous media. [37] [38] [39]

Atangana and Kilicman extended the fractional advection dispersion equation to a variable order equation. In their work, the hydrodynamic dispersion equation was generalized using the concept of a variational order derivative. The modified equation was numerically solved via the Crank–Nicolson method. The stability and convergence in numerical simulations showed that the modified equation is more reliable in predicting the movement of pollution in deformable aquifers than equations with constant fractional and integer derivatives [40]

Time-space fractional diffusion equation models Edit

Anomalous diffusion processes in complex media can be well characterized by using fractional-order diffusion equation models. [41] [42] The time derivative term is corresponding to long-time heavy tail decay and the spatial derivative for diffusion nonlocality. The time-space fractional diffusion governing equation can be written as

A simple extension of fractional derivative is the variable-order fractional derivative, α and β are changed into α(x, ر) و β(x, ر) . Its applications in anomalous diffusion modeling can be found in reference. [40] [43] [44]

Structural damping models Edit

Fractional derivatives are used to model viscoelastic damping in certain types of materials like polymers. [45]

PID controllers Edit

Generalizing PID controllers to use fractional orders can increase their degree of freedom. The new equation relating the control variable ش(ر) in terms of a measured error value ه(ر) can be written as

where α and β are positive fractional orders and كص , كأنا ، و كد , all non-negative, denote the coefficients for the proportional, integral, and derivative terms, respectively (sometimes denoted P , I , and D ). [46]

Acoustical wave equations for complex media Edit

The propagation of acoustical waves in complex media, such as in biological tissue, commonly implies attenuation obeying a frequency power-law. This kind of phenomenon may be described using a causal wave equation which incorporates fractional time derivatives:

See also Holm & Näsholm (2011) [47] and the references therein. Such models are linked to the commonly recognized hypothesis that multiple relaxation phenomena give rise to the attenuation measured in complex media. This link is further described in Näsholm & Holm (2011b) [48] and in the survey paper, [49] as well as the acoustic attenuation article. See Holm & Nasholm (2013) [50] for a paper which compares fractional wave equations which model power-law attenuation. This book on power-law attenuation also covers the topic in more detail. [51]

Pandey and Holm gave a physical meaning to fractional differential equations by deriving them from physical principles and interpreting the fractional-order in terms of the parameters of the acoustical media, example in fluid-saturated granular unconsolidated marine sediments. [52] Interestingly, Pandey and Holm derived Lomnitz's law in seismology and Nutting's law in non-Newtonian rheology using the framework of fractional calculus. [53] Nutting's law was used to model the wave propagation in marine sediments using fractional derivatives. [52]

Fractional Schrödinger equation in quantum theory Edit

where the solution of the equation is the wavefunction ψ(ص, ر) – the quantum mechanical probability amplitude for the particle to have a given position vector ص at any given time t , and ħ is the reduced Planck constant. The potential energy function الخامس(ص, ر) depends on the system.

The index α in the fractional Schrödinger equation is the Lévy index, 1 < α ≤ 2 .

Variable-order fractional Schrödinger equation Edit

As a natural generalization of the fractional Schrödinger equation, the variable-order fractional Schrödinger equation has been exploited to study fractional quantum phenomena: [56]


ملخص

So now you know. The derivative is not the same thing as a tangent line. Instead, the derivative is a tool for measuring the slope of the tangent line at any particular point, just like a clock measures times throughout the day. With this in mind, you’ll have no trouble tackling tangent line problems on the AP Calculus exam!

For more about slope, tangent lines, and derivatives, check out these related Magoosh articles: Is the Derivative of a Function the Slope? and How to Find the Slope of a Line Tangent to a Curve.


Derivatives of inverse hyperbolic functions

To build our inverse hyperbolic functions, we need to know how to find the inverse of a function in general, so let’s review.

To find the inverse of a function, we reverse the . x. and the . y. in the function.

So for . y=cosh<(x)>. the inverse function would be . x=cosh<(y)>.

I create online courses to help you rock your math class. Read more.

We’d then solve this equation for . y. by taking inverse hyperbolic cosine of both sides.

Remember that you can also see this function written as . y=< ext><(x)>. These are both representations of the inverse hyperbolic cosine function, and they can be used interchangeably.

Now that we understand how to find an inverse hyperbolic function when we start with a hyperbolic function, let’s talk about how to find the derivative of the inverse hyperbolic function.

Below is a chart which shows the six inverse hyperbolic functions and their derivatives.


The Volume of the Largest Rectangular Box Inscribed in a Pyramid

If you’re asked to find the volume of the largest rectangular box in the first octant, with three faces in the coordinate planes and one vertex in a given plane, you’re being asked to find the volume of the largest rectangular box that fits in a pyramid like the one below.


Imagine that point A is embedded in the rectangular face.

Suppose the plane is x + 2y + 3z = 6. What is the volume of the largest box?

Your first step should be to define the volume. Since your box is rectangular, the formula is:
width x depth x height.

Since x + 2y + 3z = 6, we know z = (6 – x – 2y) / 3. We can substitute that in our volume equation to create a function that tells us the volume in terms of x and y:

V = f(x, y) = xy(6 – x – 2y) / 3

We’re looking for a maximum, so we want to find the point where the derivative of volume with respect to both x and y is zero.

We can call those two derivatives fx and fذ, and we can calculate them as

At y = 0, equation B becomes (1/3)x (6 – x) = 0, so x = 0 or x = 6.

At y = 3 – x, equation B becomes x(-2 + x) = 0, so the zeros are x = 0 (in which case y = 3) or x = 2 (in which case y = 1).

We’e just found the four critical points: (6, 0), (0,0) (0, 3), (2, 1).

We can draw each of these points on a 3D graph, and use our knowledge of geometry to decide which box is the maximum: it should be fairly evident that it will be (2,1), and since x = 2 and y = 1 leads to z = 2/3, the coordinate of the largest box will be (2, 1, 2/3) .


How to sketch the graph of the derivative of a function

The derivative function F is a function f’ that maps each value of x to the gradient or slope of the line tangent to F(x). Let’s have an example. Suppose your function F is defined by F(x)=x 2. مشتق من F is the function f’ defined by f’(x) =2x. This means that at point (1,3) in the graph of F(x)=x 2 , the gradient of the tangent at this point using the formula f’(x) = 2x هو f’(1)=2(1) = 2. The gradient of the tangent line at (-1,3) is f’(-1) = 2(-1) = -2. To see how this looks like graphically and to review on the meaning of derivative click Derivative of a function. But if you want the challenge now, solve the differentiation problem below.

Problem

The graph of F is shown here. Which one of the following could be the graph of the derivative of it?

Discussion and Answer

Start by considering the sections of the graph that have negative gradient, positive gradient, and zero gradient. The gradient of the tangent line is negative for the part of the graph that is falling as x increases, positive for the part where it is rising and zero at the point where the change in direction occurs. This is shown in the figure below.

Signs of the gradient of tangent to the curve

The zero gradient places will be a good start for analyzing the function. The graph of the derivative must have x intercepts at x = 3 and x= 5. This eliminates Option B. The gradient from x = 3 to x = 5 is positive and therefore the graph of the derivative must be found in the positive axis. This eliminates Options D and E. Thus the answer is C. What if the test is not multiple choice and you are asked to draw the derivative? How would you continue from here?

The gradient from left to x = 3 is negative hence the graph of the derivative must be below the x-axis. It is also negative from x = 5 to positive infinity. So your graph must look like the one in C.

Want to try another derivative problem, click slopes of tangent lines to a curve.


2.1: Derivative as a Function

Subtracting the two equations with the two different signs for h gives

f ( x + h ) - f ( x - h ) = 2 hf '( x ) + O ( h 3 ) , (2)

To use this formula, we want to pick h small enough that the order h 2 error term can be ignored. However, we have to watch out for roundoff error too. Todays computers have 32 or 64 bit numbers. A single precision 32 bit floating point number has about 8 place accuracy, and a 64 bit double precision floating point number about 16 place accuracy. Let's see what happens if we evaluate the derivative of sin ( x ) at x = /4 in single and double precision. The results are shown in table 1.

    Table: The error in the central difference formula for calculating the derivative of sin ( x ) at x = /4 .
ح f '( x ) - /2 single precision f '( x ) - /2 double precision
10 - 1 - 1.2 x 10 - 3 - 1.2 x 10 - 3
10 - 2 - 1.1 x 10 - 5 - 1.2 x 10 - 5
10 - 3 1.3 x 10 - 5 - 1.2 x 10 - 7
10 - 4 1.0 x 10 - 4 - 1.2 x 10 - 9
10 - 5 - 7.9 x 10 - 4 - 1.3 x 10 - 11
10 - 6 - 2.2 x 10 - 2 - 4.5 x 10 - 11
10 - 7 1.9 x 10 - 1 - 6.2 x 10 - 10

Therefore our error has the additional r / h term from round off error which grows as h is made smaller. If we assume correctly for our case that the constant of proportionality of the O ( h 2 ) term (which is of course approximately proportional to the third derivative) and the value of our function are roughly unity, then the error is approximately

which will be minimized (ignoring factors of 2 at this point) when h is about r 1/3 , and the error will be roughly r 2/3 . For single precision, this means a minimum error at h = 10 - 8/3 with a minimum error of about 10 - 5 for double precision a minimum error at about h = 10 - 16/3 with a minimum error of about 10 - 11 , more or less like we found.

The key point to this exercise is that you do not get to turn off your brain when you start the computer.

With this in hand let's calculate the gradient of a scalar function ( ) . We first assume that it can be written in cartesian coordinates as ( x , y , z ) . The gradient at the point ( x 0 , y 0 , z 0 ) is

We can also use these sorts of formulas to calculate the divergence and curl of vector fields, again assuming that both the field components and the coordinates are cartesian,
 

Second derivatives can be calculated by applying the first derivative formulas twice, or equivalently by using the central second difference formula. To derive it from the Taylor series, simply add rather than subtract the two Taylor series of Eq. 1,

f ( x + h ) + f ( x - h ) = 2 f ( x ) + h 2 f ''( x ) + O ( h 4 ) (9)

and solving for the second derivative,

Notice in this case we expect the error including round off, if all the variables are around unity, to go like

Notice here that the optimal value of h is about r 1/4 and the error is about r 1/2 . So you can't expect much better than half machine precision for second derivatives calculated this way, and h should be chosen to be roughly 10 - 4 for 64 bit (double precision) numbers using this formula if your values and scales are around unity.

The Laplacian of a function can now be calculated as
 

We can also use our first derivative formulas twice. If we calculate the Laplacian by taking the divergence of the gradient, both calculated numerically from our central difference formulas above, we get the formula of Eq. 12 with h replaced by 2 h . Calculating the divergence of the curl by substituting Eq. 8 into Eq. 7, shows that the central difference formulas evaluate to zero identically for this operation.


Graphing a function based on the derivative and the double derivative.

The derivative and the double derivative tells us a few key things about a graph:

(Good AP Practice: How can we tell whether it’s min or max?)

The following is a graph of the derivative of f(x).

Here is the graph of the function. Can we see how they correspond?

Being able to read graphs of a derivative and knowing what the general shape of the original function should be is an important part of the AP Calculus curriculum. Make sure you know how to determine inflection points, local minimums and maximums, and where a function is increasing or decreasing.


Watch the video: مشتق - مفهوم مشتق (شهر اكتوبر 2021).