مقالات

4.2: مشتق 1 / sin x


ماذا عن مشتق دالة الجيب؟ لا تساعد قواعد المشتقات التي لدينا ، لأن ( sin x ) ليس دالة جبرية. نحتاج إلى العودة إلى تعريف المشتق ، ووضع حد ، ومحاولة حسابه. ها هو التعريف:

[{d over dx} sin x = lim _ { Delta x to0} { sin (x + Delta x) - sin x over Delta x}. ]

باستخدام بعض المتطابقات المثلثية ، يمكننا إحراز تقدم بسيط في حاصل القسمة:

[ eqalign {{ sin (x + Delta x) - sin x over Delta x} & = { sin x cos Delta x + sin Delta x cos x - sin x over Delta x} cr & = sin x { cos Delta x - 1 over Delta x} + cos x { sin Delta x over Delta x}. cr} ]

هذا يعزل البتات الصعبة في الحدين

[ lim _ { Delta x to0} { cos Delta x - 1 over Delta x} quad hbox {and} quad lim _ { Delta x to0} { sin Delta x أكثر من Delta x}. ]

نحالف الحظ هنا قليلاً: اتضح أنه بمجرد أن نعرف الحد الثاني ، يصبح الأول سهلًا للغاية. والثاني معقد للغاية. في الواقع ، هذا هو أصعب حد سنحسبه بالفعل ، ونخصص قسمًا له.


استخدم حاسبة مشتقات قواعد المنتج عبر الإنترنت للتمييز بين الوظيفة المحددة بناءً على قاعدة المنتج الخاصة بالمشتقات. أدخل وظيفة وأرسل لمعرفة النتيجة.

الأعلى مشتقات قواعد المنتج على الإنترنت حاسبة يحسب مشتقًا لوظيفة معينة فيما يتعلق بمتغير x باستخدام التفاضل التحليلي. يتم تطبيق القاعدة على الوظائف التي يتم التعبير عنها على أنها نتاج وظيفتين أخريين.

قاعدة المشتقات المنتج:
في حساب التفاضل والتكامل ، تعد قاعدة حاصل الضرب في التفاضل طريقة لإيجاد مشتق دالة تتمثل في ضرب دالتين أخريين توجد لهما مشتقات. اكتشف هذه القاعدة جوتفريد لايبنيز ، عالم رياضيات ألماني. القاعدة في المشتقات هي نتيجة مباشرة للتفاضل.

قاعدة المنتج في التمايز:
تنطبق قاعدة حاصل الضرب في المشتقات على ضرب أكثر من وظيفتين. إحدى الحالات الخاصة لقاعدة الضرب هي قاعدة المضاعفات الثابتة ، والتي تنص على أنه إذا كان c رقمًا و f (x) دالة تفاضلية ، فإن cf (x) هي أيضًا تفاضلية ، ومشتقها هو (cf) '(x) ) = cf '(x). تُشتق قاعدة التكامل بالأجزاء من قاعدة المنتج. استفد من قاعدة منتجاتنا المجانية عبر الإنترنت في حاسبة التفاضل والتي ستساعدك ديناميكيًا على حساب المعادلة التفاضلية.


التفريق بين الاختلافات

ال حاسبة التفاضل قادر على إجراء العديد من العمليات الحسابية عبر الإنترنت: إلى احسب المشتق على الإنترنت من أ فرق، ما عليك سوى كتابة التعبير الرياضي الذي يحتوي على الاختلاف ، وتحديد المتغير وتطبيق دالة derivative_calculator.

على سبيل المثال ، لحساب مشتق الاختلاف بين الدوال التالية على الإنترنت `cos (x) -2x` ، أدخل derivative_calculator (` cos (x) -2xx`) ، بعد حساب النتيجة `-sin (x) -2` هي عاد.

من الملاحظ أن وصف وخطوات حسابات المشتق تعرض أيضًا بواسطة الوظيفة.


  1. رأينا في الدرسين الأخيرين أمثلة تطبيقية للتلافيف. أحد أهم التلافيف هو حساب المشتقات في صورة (أو تقريب لها).

لماذا قد يكون حساب التفاضل والتكامل مهمًا للمشتقات في صورة ما؟ دعنا نتخيل أننا نريد اكتشاف حواف موجود في الصورة. على سبيل المثال:

يمكنك بسهولة ملاحظة ذلك في ملف حافة، شدة البكسل التغييرات بطريقة سيئة السمعة. طريقة جيدة للتعبير التغييرات باستخدام المشتقات. يشير التغيير الكبير في التدرج اللوني إلى تغيير كبير في الصورة.

لكي تكون أكثر رسومية ، دعنا نفترض أن لدينا صورة 1D. تظهر الحافة من خلال "القفزة" في الشدة في الرسم أدناه:

يمكن رؤية "قفزة" الحافة بسهولة أكبر إذا أخذنا المشتق الأول (في الواقع ، يظهر هنا كحد أقصى)

مشغل سوبل

  1. مشغل سوبل هو عامل تمايز منفصل. يحسب تقريبًا للتدرج اللوني لوظيفة شدة الصورة.
  2. يجمع مشغل Sobel بين تجانس Gaussian والتمايز.

صياغة

بافتراض أن الصورة المراد تشغيلها هي (I ):

نحسب مشتقين:

  1. التغييرات الأفقية: يتم حساب ذلك عن طريق الالتفاف (I ) بنواة (G_) بحجم فردي. على سبيل المثال بالنسبة لحجم kernel 3 ، (G_) على النحو التالي:
  1. التغييرات العمودية: يتم حساب ذلك عن طريق الالتفاف (I ) بنواة (G_) بحجم فردي. على سبيل المثال بالنسبة لحجم kernel 3 ، (G_) على النحو التالي:

في كل نقطة من الصورة نحسب تقريبًا لـ الانحدار في هذه النقطة من خلال الجمع بين كلتا النتيجتين أعلاه:

على الرغم من استخدام المعادلة الأبسط التالية في بعض الأحيان:

يمكنك التحقق من مزيد من المعلومات حول هذه الوظيفة في مرجع OpenCV - شار () . أيضًا ، في نموذج التعليمات البرمجية أدناه ، ستلاحظ أنه فوق رمز سوبل (مخرج) وظيفة هناك أيضا رمز ل شار () وظيفة علق. يجب أن يمنحك إلغاء التعليق (والتعليق الواضح على أشياء Sobel) فكرة عن كيفية عمل هذه الوظيفة.


ابحث عن مساعدة مشتقة

سينفذ الأمر التفاضل تمايزًا عاديًا أو جزئيًا على أي تعبير تقريبًا.

بشكل افتراضي ، يعامل أمر التمايز جميع المتغيرات في التعبير ، بصرف النظر عن تلك التي تفرّق بها ، على أنها ثوابت. يمكنك التمييز فيما يتعلق بالمتغير n مرة بتضمين فاصلة والرقم n بعد المتغير في منطقة نص المتغيرات. على سبيل المثال ، لاشتقاق تعبير بالنسبة إلى x ثلاث مرات ، يجب إدخال x ، 3 في منطقة نص المتغيرات.

يمكّنك أمر التفاضل المتقدم من التفريق فيما يتعلق بأي عدد من المتغيرات ، أي عدد من المرات. ما عليك سوى إدخال كل متغير في سطر منفصل. كما في السابق ، تتم الإشارة إلى المشتقات المتعددة باتباع المتغير بفاصلة ورقم. يسمح لك أمر التفاضل المتقدم أيضًا بتحديد أي تبعيات للوظائف تظهر في تعبيرك. يتعامل الأمر التفاضلي مع التبعيات الوظيفية التعسفية بشكل صحيح باستخدام قاعدة السلسلة.

أمثلة

أمر التفاضل الأساسي

تعبير المتغيرات) نتيجة
س ^ 2 x 2 ×
س ^ 3 x
5 × ^ 3 - 7 × ^ 2 + 2 × - 1 x
5 × ^ 3 - 7 × ^ 2 + 2 × - 1 س ، 2 -14 + 30 س
5 × ^ 3 - 7 × ^ 2 + 2 × - 1 س ، 3 30
الخطيئة (ر) ر كلفة)
sin (t) cos (t) ر
ln (x) y + 3x ^ 2y ^ 3 x

خيارات (صفحة متقدمة فقط)

القيم: محددة أو غير محددة + سلسلة فارغة أو قائمة وظائف مع تبعياتها
الافتراضي: سلسلة فارغة + غير محددة

يتيح لك خيار الوظائف تحديد تبعيات أي وظائف عشوائية تظهر في التعبير الذي يتم تمييزه.

على سبيل المثال ، إذا كان التعبير يحتوي على وظيفة f التي تعتمد على x ، فيمكنك إدخال f (x) في منطقة نص الوظائف. يجب الإشارة إلى الوظيفة نفسها على أنها f ضمن التعبير فقط ، وليس f (x) ، حيث لا يوجد لدى QuickMath طريقة لمعرفة ما إذا كانت f (x) في تعبير تمثل دالة أو المنتج f * x.

يمكن أن تعتمد الوظائف أيضًا على وظائف أخرى. على سبيل المثال ، افترض أن f تعتمد على كل من x و y ، بينما x و y نفسيهما يعتمدان على t. ثم تدخل

في منطقة نص الوظائف ، لكن قم بالإشارة إلى الوظائف مثل f و x و y داخل التعبير نفسه.

إذا كنت تستخدم وظائف عشوائية في التعبير الخاص بك ، فقد تكون هناك مشتقات في الإجابة يتم إرجاعها بواسطة QuickMath. على سبيل المثال ، المصطلح

في الإجابة يشير إلى المشتق الأول (العادي) للدالة f بالنسبة إلى x ، بينما يشير إلى المشتق الأول (الجزئي) لـ z (x ، y) بالنسبة إلى x.


حساب y = sin -1 x:

مثال 1: أوجد قيمة sin -1 (1/2)

معظم الناس أكثر دراية (وأكثر راحة) مع الدوال المثلثية من الانعكاسات. لذلك ، فإن الخطوة الأولى في تقييم هذا التعبير هي أن نقول إنه إذا كانت y = sin -1 (1/2) ، فإن sin y = 1/2. هذه الدالة المثلثية البسيطة لها عدد لا حصر له من الحلول:

خمسة من هذه الحلول موضحة بخطوط عمودية على التمثيل البياني لـ y = sin x أدناه.

إذن ، هل قيمة sin -1 (1/2) معطاة بالتعبيرات أعلاه؟ لا! من المهم للغاية أن تضع في اعتبارك أن دالة الجيب العكسية هي دالة أحادية القيمة ، واحدة لواحد. واحد فقط من عدد لا حصر له من الحلول المذكورة أعلاه هو النتيجة التي نريدها. أي واحد؟ تذكر أن نطاق sin -1 x هو المشار إليه باللون الأزرق في الشكل أعلاه. أنه حقا من المهم معرفة مجال ومدى الدوال المثلثية العكسية! (لماذا تم وضع علامة على هذه الفترة الزرقاء على المحور x إذا كانت تمثل نطاق sin -1 x؟ نطاق للدالة العكسية يساوي نطاق الحل الوحيد لـ y = sin x الذي يقع ضمن النطاق المطلوب هو (الخط الأحمر الصلب في الشكل أعلاه). لذلك،

مثال 2: ما هو

يظهر مخطط دائرة الوحدة على اليمين. لاحظ أن المرشحين للحل يشملون:

ومع ذلك ، فإن قيمة واحدة فقط من هذه القيم تقع في نطاق sin -1 x () ، لذلك:

مشتق y = sin -1 x:

مشتق y = sin -1 x هو: (انقر هنا للاشتقاق.)

تظهر الرسوم البيانية لـ y = sin -1 x ومشتقاتها على اليمين. مجال y 'هو (-1. 1). نظرًا لأن y = sin -1 x تتزايد دائمًا ، فإن y '& gt 0 لجميع x في مجالها.


الحد الأقصى والحد الأدنى من حساب التفاضل والتكامل

تتمثل إحدى القوى العظمى في التفاضل والتكامل في تحديد الحد الأقصى أو الحد الأدنى لقيمة دالة. خذ f (x) لتكون دالة في x. إذن ، فإن قيمة x التي لها مشتق f (x) بالنسبة إلى x تساوي صفرًا تقابل حدًا أقصى أو أدنى أو نقطة انعطاف للدالة f (x).

على سبيل المثال ، يُعطى ارتفاع المقذوف الذي يتم إطلاقه بشكل مستقيم بواسطة معادلات الحركة:

أخذ ذ0 = 0 ، الرسم البياني للارتفاع y (t) موضح أدناه.

يمكن تفسير مشتق دالة هندسيًا على أنه ميل منحنى الدالة الرياضية y (t) المرسوم كدالة لـ t. تكون المشتقة موجبة عندما تتزايد الدالة باتجاه قيمة عظمى ، وصفر (أفقي) عند الحد الأقصى ، وسالب بعد الحد الأقصى مباشرة. المشتق الثاني هو معدل التغير في المشتق ، وهو سالب للعملية الموصوفة أعلاه لأن المشتق الأول (الميل) يصبح دائمًا أصغر. يكون المشتق الثاني دائمًا سالبًا لـ "hump" في الدالة ، وهو ما يقابل قيمة قصوى.

بالنسبة للدالة البسيطة المستخدمة في المثال ، يوجد حد أقصى واحد فقط. يمكن أن تحتوي الوظائف الأكثر تعقيدًا على العديد من القيم القصوى والدنيا ، ويوفر تقييم المشتق الثاني طريقة للتمييز بينها.


أوجد قيمة dy / dx باستخدام المشتق الأول.

هنا يرمز dy / dx إلى ميل خط المماس عند أي نقطة. لإيجاد ميل خط المماس عند نقطة معينة ، علينا تطبيق النقطة المعطاة في الميل العام.

دعونا نعتبر النقطة المعطاة (x1، ذ1)

من خلال تطبيق قيمة الميل بدلاً من المتغير "m" وتطبيق قيم (x1 ، ذ1) في الصيغة الواردة أدناه ، نجد معادلة خط المماس.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة على المشاكل لفهم المفهوم أعلاه.

أوجد معادلة المماس للقطع المكافئ y 2 = 12x عند النقطة (3، -6).

اشتق فيما يتعلق بـ "س" ،

أوجد معادلة المماس للقطع المكافئ x 2 + 2x - 4y + 4 = 0 عند النقطة (0 ، 1).

معادلة المنحنى هي & # xa0 x 2 & # xa0 + 2x - 4y + 4 & # xa0 = & # xa0 0

اشتق فيما يتعلق بـ "س" ،

بصرف النظر عن الأشياء الواردة في هذا القسم ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


مشتق tan ^ -1 (sin x / 1 + cos x) w.r.t tan ^ -1 (cos x / 1 + sin x) هو

مدرس ذكاء اصطناعي مخصص وجدول زمني قابل للتكيف ، ومواد للدراسة الذاتية ، واختبارات وهمية غير محدودة وتقارير تحليل شخصية ، ودعم محادثة شك على مدار 24 ساعة طوال أيام الأسبوع.

الضربة القاضية NEET 2025

مدرس ذكاء اصطناعي مخصص وجدول زمني قابل للتكيف ، ومواد للدراسة الذاتية ، واختبارات وهمية غير محدودة وتقارير تحليل شخصية ، ودعم محادثة شك على مدار 24 ساعة طوال أيام الأسبوع.

مؤسسة NEET + Knockout NEET 2024

مدرس ذكاء اصطناعي مخصص وجدول زمني قابل للتكيف ، ومواد للدراسة الذاتية ، واختبارات وهمية غير محدودة وتقارير تحليل شخصية ، ودعم محادثة شك على مدار 24 ساعة طوال أيام الأسبوع.

مؤسسة NEET + Knockout NEET 2024 (تقسيط سهل)

مدرس ذكاء اصطناعي مخصص وجدول زمني قابل للتكيف ، ومواد للدراسة الذاتية ، واختبارات وهمية غير محدودة وتقارير تحليل شخصية ، ودعم محادثة شك على مدار 24 ساعة طوال أيام الأسبوع.

مؤسسة NEET + Knockout NEET 2025 (تقسيط سهل)

مدرس ذكاء اصطناعي مخصص وجدول زمني قابل للتكيف ، ومواد للدراسة الذاتية ، واختبارات وهمية غير محدودة وتقارير تحليل شخصية ، ودعم محادثة شك على مدار 24 ساعة طوال أيام الأسبوع.