مقالات

5.3: الحذف والتقلص ومتعدد الحدود اللوني


تمرين 243.

قدمنا ​​في الفصل 2 تكرار الحذف والتقلص لحساب الأشجار الممتدة في الرسم البياني. اكتشف كيف ترتبط كثير الحدود اللوني للرسم البياني بتلك الناتجة عن حذف الحافة e ومن تقلص نفس الحافة e. حاول العثور على تكرار مثل تكرار عد الأشجار الممتدة الذي يعبر عن كثير الحدود اللوني للرسم البياني من حيث كثيرات الحدود اللونية لـ (G - e ) و (G / e ) للحصول على حافة عشوائية هـ. استخدم هذا التكرار لإعطاء دليل آخر على أن عدد طرق تلوين الرسم البياني بألوان x هو دالة متعددة الحدود لـ (x ). تلميح عبر الإنترنت.

تمرين 244

استخدم تكرار الحذف-الانكماش لتقليل حساب كثير الحدود اللوني للرسم البياني في الشكل 5.1 لحساب كثيرات الحدود اللونية التي يمكنك حسابها بسهولة. (يمكنك تبسيط حساباتك من خلال التفكير في التأثير على كثير الحدود اللوني لحذف حافة عبارة عن حلقة ، أو حذف أحد الحواف العديدة الموجودة بين نفس الرأسين.)

الشكل 5.1: رسم بياني.

ممارسه الرياضه

  1. ما عدد الطرق التي يمكنك من خلالها تلوين رؤوس مسار على رؤوس n بألوان x بشكل صحيح؟ صف أي اعتماد لكثير الحدود اللوني للمسار على عدد الرؤوس.
  2. ∗ (ليس صعبًا للغاية.) ما عدد الطرق التي يمكنك بها تلوين رؤوس دورة على n من الرؤوس بشكل صحيح باستخدام (x ) ألوان؟ صف أي اعتماد لكثير الحدود اللوني لدورة ما على عدد الرؤوس. تلميح عبر الإنترنت.

تمرين 246

ما عدد الطرق التي يمكنك من خلالها تلوين رؤوس الشجرة بشكل صحيح على رؤوس n باستخدام (x ) ألوان؟

تمرين 247

ماذا تلاحظ بشأن علامات معاملات كثير الحدود اللوني للرسم البياني في الشكل 5.1؟ ماذا عن علامات معاملات كثير الحدود اللوني للمسار؟ من دورة؟ من الشجرة؟ ضع تخمينًا حول علامات معاملات كثير الحدود اللوني وأثبت ذلك.


كيفية الحصول على كثير الحدود اللوني لـ $ C_5 $؟

لقد كنت أقرأ بعض الكتب عن كثيرات الحدود اللونية ، فأنا مرتبك قليلاً في الإجراء المطلوب للحصول عليه. لقد قرأت في كتاب أن كثير الحدود اللوني يتم الحصول عليه عن طريق تقسيم $ V $ في مجموعات مستقلة ، إذا كان لدينا $ f (r) $ طرق للقيام بهذا القسم ، فعندئذ يكون لدينا بشكل عام:

لأننا إذا تعاقدنا مع كل استقلالية في قمة فريدة ، فسنحصل على زمرة $ K_r $.

ليس من الواضح حقًا ما يجب أن أفعله. في حالة $ C_5 $ ، أعتقد أنه يجب علي تقسيمه على جميع المجموعات المستقلة الممكنة ، ولكن ليس من الواضح حقًا كيف يجب أن أحصل على $ f (r) $.


دالة لونية متناظرة من الرسوم البيانية من الجبر بورشيرد

هوية مقام Weyl لها خصائص اندماجية مثيرة للاهتمام لفئات عديدة من لي الجبر. على طول هذه الخطوط ، نثبت ذلك باستخدام التمثيل البياني المحدود جي، يمكن استرداد الدالة المتماثلة اللونية X G من هوية مقام Weyl لجبر Borcherds-Kac-Moody Lie الجبر g الذي يكون الرسم البياني المرتبط به جي. هذا يعطي صلة بين (أ) المعاملات التي تظهر عندما يتم التعبير عن وظيفة التناظر اللوني X G من حيث وظائف متناظرة لمجموع القدرة ، و (ب) تعدد جذر Borcherds algebra g. من هذه النتيجة ، نستنتج إثباتًا نظريًا لتعبيرات بديلة مختلفة للدالة المتماثلة اللونية التي حصل عليها ستانلي. يتم توفير أمثلة باستخدام جبر الكذبة الصغيرة لتوضيح نتائجنا.

القيمة المطلقة للمعامل الخطي لكثير الحدود اللوني لـ جي يُعرف باسم المميز اللوني لـ جي. كتطبيق لنظريتنا الرئيسية ، نحدد معاملًا يظهر في X G ، والذي يساوي المميز اللوني. نجد أيضًا علاقة بين مقام Weyl و جي- وظائف متناظرة أولية. باستخدام هذا الاتصال ، نقدم دليلًا نظريًا على عدم سلبية معاملات جي- مجموع الدوال المتماثلة.


شاهد الفيديو: 5 - الاستبيان الالكتروني. جوجل فورم. Google forms (شهر اكتوبر 2021).