مقالات

4: السلوك القريب من المسارات - الخطية - الرياضيات


سنناقش الآن طريقة لتحليل الاستقرار تستخدم الخطية حول الكائن الذي يكون استقراره موضع اهتمام. في الوقت الحالي ، تعتبر "الأشياء محل الاهتمام" حلولًا محددة لحقل متجه. تمت تغطية بنية حلول أنظمة المعامل الثابت الخطي في العديد من الكتب المدرسية لـ ODE. كتاب أرنولد جيد جدًا أيضًا ، لكن العرض أكثر إحكاما ، مع عدد أقل من الأمثلة.

نبدأ بالنظر في مجال متجه عام غير مستقل:

[ dot {x} = f (x، t)، x in mathbb {R} ^ n، label {4.1} ]

ونفترض ذلك

[ bar {x} (t، t_ {0}، x_ {0})، label {4.2} ]

هو حل المعادلة المرجع {4.1} التي نرغب في تحديد خصائص ثباتها. كما هو الحال عندما قدمنا ​​تعريفات الاستقرار ، نواصل تعريب حقل المتجه حول حل الفائدة. نقوم بذلك عن طريق إدخال تغيير الإحداثيات

(س = ص + شريط {س} )

للمعادلة المرجع {4.1} على النحو التالي:

( dot {x} = dot {y} + dot { bar {x}} = f (y + bar {x}، t) ) ،

أو

( dot {y} = f (y + bar {x}، t) dot { bar {x}} ) ،

[= f (y + bar {x}، t) f ( bar {x}، t)، label {4.3} ]

حيث نحذف وسيطات ( bar {x} (t، t_ {0}، x_ {0}) ) من أجل تدوين أقل تعقيدًا. بعد ذلك ، قمنا بتوسيع تايلور (f (y + bar {x}، t) ) في (y ) حول الحل ( bar {x} ) ، لكننا سنطلب فقط مصطلحات الطلب الأولية بشكل صريح

[f (y + bar {x}، t) = f ( bar {x}، t) + Df ( bar {x}، t) y + mathbb {O} (| y | ^ 2)، التسمية {4.4} ]

حيث يشير (Df ) إلى المشتق (أي مصفوفة يعقوبية) للدالة ذات القيمة المتجهة f و ( mathbb {O} (| y | ^ 2) ) تشير إلى شروط الترتيب الأعلى في توسعة تايلور التي لن نحتاج إليها بشكل صريح. يؤدي استبدال هذا في المعادلة المرجع {4.4} إلى:

( النقطة {y} = f (y + bar {x}، t) - f ( bar {x}، t) ) ،

(= f ( bar {x}، t) + Df ( bar {x}، t) y + mathbb {O} (| y | ^ 2) f ( bar {x}، t) ) ،

[= Df ( bar {x}، t) y + mathbb {O} (| y | ^ 2). التسمية {4.5} ]

ضع في اعتبارك أننا مهتمون بسلوك الحلول بالقرب من ( bar {x} (t، t_ {0}، x_ {0}) ) ، أي لـ (y ) الصغيرة. لذلك ، في هذه الحالة ، يبدو من المعقول أن إهمال ( mathbb {O} (| y | ^ 2) ) في المعادلة المرجع {4.5} سيكون تقريبًا من شأنه أن يزودنا بالمعلومات المحددة التي نسعى إليها. على سبيل المثال ، هل ستوفر لنا معلومات كافية لتحديد الاستقرار؟ بخاصة،

[ dot {y} = Df ( bar {x}، t) y، label {4.6} ]

يشار إليه على أنه الخطية لحقل المتجه ( نقطة {x} = f (x، t) ) حول الحل ( bar {x} (t، t_ {0}، x_ {0}) ).

قبل أن نجيب على السؤال حول ما إذا كانت المعادلة المرجع {4.1} توفر تقريبًا مناسبًا لحلول المعادلة المرجع {4.5} لـ y "صغير" ، سنقوم أولاً بدراسة حقول المتجه الخطية بمفردها.

يمكن أيضًا تصنيف حقول المتجهات الخطية على أنها غير مستقل أو واثق من نفسه. يتم الحصول على حقول ناقلات خطية غير مستقلة عن طريق خطية مجال متجه غير مستقل حول حل (والاحتفاظ فقط بالمصطلحات الخطية). لديهم الشكل العام:

[ dot {y} = A (t) y، y (0) = y_ {0}، label {4.7} ]

أين

[A (t) equiv Df ( bar {x} (t، t_ {0}، x_ {0})، t) label {4.8} ]

هي (n times n ) مصفوفة. يمكن أيضًا الحصول عليها عن طريق خطية مجال ناقل مستقل حول حل يعتمد على الوقت.

يتم الحصول على حقل ناقل خطي مستقل عن طريق خطية مجال ناقل مستقل حول نقطة توازن. بتعبير أدق ، دع ( dot {x} = f (x) ) يشير إلى حقل متجه مستقل ودع (x = x_ {0} ) يشير إلى نقطة التوازن ، أي (f (x_ {0}) = 0 ). حقل المتجه الخطي المستقل حول نقطة التوازن هذه له الشكل:

[ dot {y} = Df (x_ {0}) y، y (0) = y_ {0}، label {4.9} ]

أو

[ dot {y} = نعم ، ص (0) = y_ {0} ، التسمية {4.10} ]

حيث (A equiv Df (x_ {0}) ) هي (n times n ) مصفوفة من الأرقام الحقيقية. هذا مهم لأنه يمكن حل (4.10) باستخدام تقنيات الجبر الخطي ، لكن المعادلة المرجع {4.7} ، بشكل عام ، لا يمكن حلها بهذه الطريقة. ومن ثم ، سوف نصف الآن الحل العام (4.10).

يتم الحصول على الحل العام للمعادلة المرجع {4.10} من خلال:

[y (t) = e ^ {At} y_ {0}. التسمية {4.11} ]

من أجل التحقق من أن هذا هو الحل ، نحتاج فقط إلى التبديل في الجانب الأيمن والجانب الأيسر من (4.10) وإظهار أن المساواة ثابتة. ومع ذلك ، نحتاج أولاً إلى شرح ما هو (e ^ {At} ) ، أي أسي (n times n ) المصفوفة A (بفحص المعادلة المرجع {4.11} يجب أن يكون واضحًا أنه إذا كانت المعادلة المرجع {4.11} يجب أن يكون منطقيًا رياضيًا ، إذن (e ^ {At} ) يجب أن يكون (n times n ) مصفوفة).

تمامًا مثل أسي العددي ، يتم تعريف الأسي للمصفوفة من خلال السلسلة الأسية على النحو التالي:

(e ^ {At} equiv mathbb {I} + At + frac {1} {2!} A ^ {2} t ^ {2} + ··· + frac {1} {n!} A ^ {n} t ^ {n} + cdots ) ​​،

[= sum_ {i = 0} ^ {n} frac {1} {i!} A ^ {i} t ^ {i}، label {4.12} ]

حيث يشير ( mathbb {I} ) إلى (n times n ) مصفوفة الهوية. لكن لا يزال يتعين علينا الإجابة على السؤال ، "هل هذه السلسلة الأسية التي تتضمن منتجات المصفوفات لها معنى رياضي"؟ بالتأكيد يمكننا حساب حاصل ضرب المصفوفات في العدد القياسي. لكن علينا أن نعطي معنى لمجموع لا نهائي من هذه الأشياء الرياضية. نقوم بذلك عن طريق تحديد قاعدة المصفوفة ثم النظر في تقارب السلسلة في القاعدة. عندما يتم ذلك فإن "مشكلة التقارب" هي بالضبط نفس مشكلة الأسي للعددي. لذلك ، فإن السلسلة الأسية لمصفوفة تتقارب تمامًا لجميع t ، وبالتالي يمكن تمييزها فيما يتعلق بـ t مصطلحًا تلو الآخر ، كما أن سلسلة المشتقات الناتجة تتقارب تمامًا.

بعد ذلك ، علينا أن نجادل في أن المعادلة ref {4.11} هي حل المعادلة ref {4.10}. إذا ميزنا السلسلة (4.12) حسب المصطلح ، نحصل على ما يلي:

[ frac {d} {dt} e ^ {At} = Ae ^ {At} = e ^ {At} A ، label {4.13} ]

حيث استخدمنا حقيقة أن المصفوفتين A و (e ^ {At} ) يتنقلان (من السهل استنتاج ذلك من حقيقة أن A يتنقل بأي قوة من A) ثم يتبع من هذا الحساب ما يلي:

[ dot {y} = frac {d} {dt} e ^ {At} y_ {0} = Ae ^ {At} y_ {0} = نعم. التسمية {4.14} ]

لذلك فإن المشكلة العامة لحل (4.10) تعادل الحوسبة (e ^ {At} ) ، ونحن الآن نوجه انتباهنا إلى هذه المهمة.

أولاً ، افترض أن (A ) عبارة عن مصفوفة قطرية ، على سبيل المثال

[A = begin {pmatrix} { lambda_ {1}} & {0} & { cdots} & {0} {0} & { lambda_ {2}} & { cdots} & {0 } {0} & {0} & { cdots} & {0} {0} & {0} & { cdots} & { lambda_ {n}} end {pmatrix} label {4.15 } ]

ثم من السهل رؤيتها عن طريق الاستبدال أ في السلسلة الأسية (4.12) أن:

[e ^ {At} = begin {pmatrix} {e ^ { lambda_ {1} t}} & {0} & { cdots} & {0} {0} & {e ^ { lambda_ {2} t}} & { cdots} & {0} {0} & {0} & { cdots} & {0} {0} & {0} & { cdots} & {e ^ { lambda} t} end {pmatrix} label {4.16} ]

لذلك ، ستكون استراتيجيتنا هي تحويل الإحداثيات بحيث يصبح A في الإحداثيات الجديدة قطريًا (أو "أقرب ما يمكن" من القطر ، وهو ما سنشرحه قريبًا). بعد ذلك ، سيكون من السهل حساب (e ^ {At} ) في هذه الإحداثيات. بمجرد أن يتم تحقيق ذلك ، فإننا نستخدم معكوس التحويل لتحويل الحل مرة أخرى إلى نظام الإحداثيات الأصلي.

الآن نجعل هذه الأفكار دقيقة. نحن نسمح

[y = Tu، u in mathbb {R} ^ n، y in mathbb {R} ^ n، label {4.17} ]

حيث T هي (n times n ) مصفوفة سيتم تطوير خصائصها الدقيقة في ما يلي.

هذا هو نهج نموذجي في ODE. نقترح تحويل إحداثيات عام لـ ODE ، ثم نقوم ببنائه بطريقة تعطي خصائص ODE التي نرغب فيها. استبدال (4.17) في (4.10) يعطي:

[ dot {y} = T dot {u} = Ay = ATu ، label {4.18} ]

سيتم إنشاء T بطريقة تجعلها قابلة للعكس ، بحيث يكون لدينا:

[ dot {u} = T ^ {- 1} ATu، u (0) = T ^ {- 1} y (0). التسمية {4.19} ]

لتبسيط التدوين ندع:

[T = T ^ {- 1} AT ، label {4.20} ]

أو

[A = T ^ {- 1} Lambda T. label {4.21} ]

استبدال (4.21) في سلسلة المصفوفة الأسية (4.12) يعطي:

(e ^ {At} = e ^ {T Lambda T ^ {- 1} t} ) ،

[= mathbb {1} + T Lambda T ^ {- 1} t + frac {1} {2!} (T Lambda T ^ {- 1}) ^ {2} t ^ 2 + cdots + frac {1} {n!} (T Lambda T ^ {- 1}) ^ {n} t ^ n + cdots label {4.22} ]

لاحظ الآن أنه لأي عدد صحيح موجب n لدينا:

((T Lambda T ^ {- 1}) ^ {n} = underbrace {(T Lambda T ^ {- 1}) (T Lambda T ^ {- 1}) cdots (T Lambda T ^ {- 1}) (T Lambda T ^ {- 1})} _ {n العوامل} )

[= T Lambda ^ {n} T ^ {- 1} label {4.23} ]

استبدال هذا في (4.22) يعطي:

(e ^ {At} = sum_ {n = 0} ^ { infty} frac {1} {n!} (T Lambda T ^ {- 1}) ^ {n} t ^ n ) ،

(= T ( sum_ {n = 0} ^ { infty} frac {1} {n!} Lambda ^ {n} t ^ n) T ^ {- 1} ) ،

[= Te ^ { Lambda t} T ^ {- 1} label {4.24} ]

أو

[e ^ {At} = Te ^ { Lambda t} T ^ {- 1} label {4.25} ]

الآن نصل إلى نتيجتنا الرئيسية. إذا تم إنشاء T بحيث

[ Lambda = T ^ {- 1} AT label {4.26} ]

قطري ، ثم يتبع من (4.16) و (4.25) أنه يمكن دائمًا حساب (e ^ {At} ). لذا تصبح مشكلة حل (4.10) مشكلة في الجبر الخطي. ولكن هل يمكن دائمًا تحديد قطري (n times n ) مصفوفة A عامة؟ إذا كان لديك دورة في الجبر الخطي ، فأنت تعلم أن الإجابة على هذا السؤال هي "لا". هناك نظرية (حقيقية) ستطبق هنا. ومع ذلك ، قد يأخذنا ذلك إلى تحويل كبير للغاية لهذه الدورة. بدلاً من ذلك ، سننظر في الحالات القياسية الثلاث لمصفوفات (2 مرات 2 ). سيكون ذلك كافياً لتقديم الأفكار الرئيسية دون التورط في الجبر الخطي. ومع ذلك ، لا يمكن تجنبه بالكامل. ستحتاج إلى أن تكون قادرًا على حساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفات (2 مرات 2 ) ، وفهم معناها.

تتميز الحالات الثلاث للمصفوفات (2 مرات 2 ) التي سننظر فيها بقيمها الذاتية:

  • اثنين من قيم eigenvalues ​​الحقيقية ، قطريًا A ،
  • قيمتان متطابقتان متطابقتان ، أ غير قابل للتحليل ،
  • زوج مترافق معقد من القيم الذاتية.

في الجدول أدناه ، نلخص الشكل الذي يمكن تحويل هذه المصفوفات إليه (يشار إليه باسم A) والأسي الناتج من هذا الشكل الأساسي.

بمجرد تنفيذ التحويل إلى ( Lambda ) ، سنستخدم هذه النتائج لاستنتاج (e ^ { Lambda} ).


4: السلوك القريب من المسارات - الخطية - الرياضيات

رياضيات 321: المعادلات التفاضلية ربيع 2005

الدكتور جيمس ر. هيوز
كلية اليزابيثتاون قسم العلوم الرياضية

6.2 الأنظمة الخطية والشبه الخطية

  • مراجعة تصنيف النوع والثبات للأنظمة الخطية ذات المعامل الثابت 2 × 2
  • تغيير الإحداثيات لنقل نقطة حرجة إلى الأصل
  • أنظمة خطية تقريبًا
    • التعاريف: النقطة الحرجة المعزولة ، النظام الخطي ، النظام الخطي تقريباً
    • النظرية 2: استقرار الأنظمة الخطية تقريبًا
    • الخطي بالقرب من نقطة حرجة معزولة (مثال)

    مراجعة تصنيف النوع والثبات للأنظمة الخطية ذات المعامل الثابت 2 × 2

    س '(ر) = أ س + ب ص
    y '(t) = c x + d y

    (حيث a و b و c و d ثوابت) لها نقطة حرجة واحدة عند (0،0) ، ويمكن تحديد نوع واستقرار (0،0) بالكامل من القيم الذاتية لمصفوفة المعامل. خاصة:

    إذا كان هناك نوعان من قيم eigenvalues ​​الحقيقية للعلامة المعاكسة ، فإن الأصل هو نقطة سرج (وبالتالي غير مستقرة).

    إذا كان هناك نوعان من قيم eigenvalues ​​الحقيقية الإيجابية ، فإن الأصل هو عقدة غير مستقرة.

    إذا كان هناك نوعان من قيم eigenvalues ​​السالبة الحقيقية ، فإن الأصل هو عقدة ثابتة مقاربة.

    إذا كانت قيم eigenvalues ​​معقدة مع جزء حقيقي سلبي ، فإن الأصل هو نقطة حلزونية ثابتة مقاربة.

    إذا كانت قيم eigenvalues ​​معقدة مع جزء حقيقي إيجابي ، فإن الأصل هو نقطة حلزونية غير مستقرة.

    وأخيرًا ، إذا كانت قيم eigenvalues ​​معقدة مع جزء حقيقي صفري ، فإن الأصل هو مركز (وبالتالي مستقر).

    يميز النص بين سليم و غير مناسب العقد. باختصار ، العقدة هي سليم إذا اقتربت جميع المسارات أو تراجعت عن الأصل على طول خطوط الظل المختلفة ، و غير مناسب إذا اقتربت جميع المسارات أو انحسرت على طول نفس خط الظل. معظم العقد التي سنراها غير مناسبة. تحدث العقدة المناسبة فقط في حالة القيمة الذاتية الكاملة والمتعددة 2 (انظر الشكل 6.2.3 في النص الخاص بك).

    تغيير الإحداثيات لنقل نقطة حرجة إلى الأصل

    إذا كان للنظام الذاتي نقطة حرجة عند (x0 ، y0) ، فإن تغيير المتغيرات u = x - x0 ، v = y - y0 ينتج نظامًا مكافئًا للأصل ، ولكنه مترجم بحيث تكون النقطة الحرجة عند (x0، y0) انتقل إلى (0، 0).

    س '(ر) = 3 س - 4 ص - 2
    ص '(ر) = 2 س + ص - 5

    نقطة حرجة واحدة عند (2 ، 1). نحدد u = x - 2 و v = y - 1 ، لدينا
    u '= x' و v '= y' و x = u + 2 و y = v + 1 ويصبح النظام

    u '(t) = 3 (u + 2) - 4 (v + 1) - 2
    v '(t) = 2 (u + 2) + (v + 1) - 5

    التي لها نقطة حرجة واحدة عند (0 ، 0). يمكن الآن تحديد نوع واستقرار النقطة الحرجة الأصلية من (0،0) في النظام الجديد. كثير الحدود المميز للنظام الجديد هو
    (3 - r) (1 - r) + 8 = r 2 - 4r + 11 ، والتي لها جذور معقدة مع جزء حقيقي موجب ، وبالتالي فإن النقطة الحرجة هي نقطة لولبية غير مستقرة. يمكن تأكيد ذلك من خلال النظر إلى صورة طور تم إنشاؤها من Maple للنظام الأصلي:


    سننظر الآن في النظام المستقل الأكثر عمومية (*) أدناه.

    النقطة الحرجة (x0 ، y0) من (*) تسمى معزول إذا كان بعض المستطيل المفتوح الذي يحتوي عليه لا يحتوي على نقطة حرجة أخرى.

    إذا كانت (x0 ، y0) نقطة حرجة معزولة ، إذن ، على النحو الوارد أعلاه ، فإن تغيير المتغيرات u = x - x0 ، v = y - y0 يحول (*) إلى نظام تكون فيه النقطة الحرجة عند (x0 ، y0) تصبح نقطة حرجة عند (0 ، 0). علاوة على ذلك ، إذا كان يمكن كتابة النظام المحول في النموذج

    u '(t) = a u + b v + f (u، v)
    ت '(ر) = ج ش + د ت + ز (ش ، ت)

    حيث f (u ، v) و g (u ، v) لها خاصية أن الحدود (u ، v) تقترب (0 ، 0) من كليهما

    f (u، v) / الجذر التربيعي (u 2 + v 2) و g (u، v) / الجذر التربيعي (u 2 + v 2)

    هي 0 (مثل ما يحدث إذا كانت f و g تتكون فقط من قوى u و v أكبر من 1) ،
    ثم يسمى النظام خطي تقريبا والنظام الخطي

    ش '(ر) = أ ش + ب ت
    ت '(ر) = ج ش + د ت

    يسمى الخطية من (*). في معظم الظروف ، يشبه السلوك النوعي للمسارات القريبة من (0،0) في النظام الخطي سلوك المسارات القريبة من (x0، y0) في النظام الأصلي. على وجه التحديد ، لدينا

    نظرية 2 (استقرار الأنظمة الخطية تقريبًا)

    (أ) إذا كانت مصفوفة معامل الخطية لـ (*) لها قيمة ذاتية حقيقية واحدة r للتعددية 2 ، فإن النقطة الحرجة (x0 ، y0) هي إما عقدة أو نقطة لولبية ، وتكون مستقرة مقاربًا إذا كانت r سالبة ، وغير مستقر إذا كانت r موجبة.

    (ب) إذا كانت مصفوفة معامل الخطية لـ (*) لها قيم ذاتية خيالية خالصة ، فإن النقطة الحرجة (x0 ، y0) هي إما نقطة مركزية أو لولبية ، وقد تكون مستقرة بشكل مقارب ، أو مستقرة ، أو غير مستقرة.

    (ج) في جميع الحالات الأخرى ، يكون نوع واستقرار النقطة الحرجة (x0، y0) لـ (*) هو نفسه مثل (0،0) في خطية (*).

    س '(ر) = س 2 + 3 س ص + 2 ص 2
    ص '(ر) = 4 - س 2.

    أولًا نجد النقاط الحرجة. إعداد y '= 0 يخبرنا أن x يجب أن يكون 2 أو -2. استبدال x = 2 في المعادلة الأولى ، وضبط x '= 0 ، يخبرنا أن y يجب أن تكون -1 أو -2 ، لذا فإن النقطتين الحرجتين هما (2 ، -1) و (2 ، -2). وبالمثل ، فإن استبدال x = -2 في المعادلة الأولى نحصل على نقطتين حرجتين أخريين ، (-2 ، 1) و (-2 ، 2).

    أولاً نخطي عند (2 ، -1). قمنا بتعيين u = x - 2 و v = y + 1 ، لذا u '= x' ، v '= y' ، x = u + 2 ، و y = v - 1 ، ويتحول النظام إلى

    u '(t) = (u + 2) 2 + 3 (u + 2) (v - 1) + 2 (v - 1) 2
    ت '(ر) = 4 - (ش + 2) 2.

    بضرب الجوانب اليمنى نحصل عليها

    u '(t) = u + 2v + u 2 + 3uv + 2v 2
    v '(t) = -4u - u 2

    تحتوي مصفوفة المعامل للنظام الخطي على قيم ذاتية معقدة مع جزء حقيقي إيجابي ، لذلك (2 ، -1) هي نقطة لولبية غير مستقرة.

    بعد ذلك نضع خطيًا عند (2 ، -2). ضبط u = x - 2 و v = y + 2 ، يتم تحويل النظام إلى

    u '(t) = (u + 2) 2 + 3 (u + 2) (v - 2) + 2 (v - 2) 2
    ت '(ر) = 4 - (ش + 2) 2

    u '(t) = -2u - 2v + u 2 + 3uv + 2v 2
    v '(t) = -4u - u 2 ،

    قيم eigenvalues ​​لمصفوفة المعامل هي 2 و -4 في هذه الحالة ، وبالتالي فإن النقطة الحرجة (2 ، -2) في النظام الأصلي هي نقطة سرج غير مستقرة.

    الخطية عند (-2 ، 1) غلة

    u '(t) = (u - 2) 2 + 3 (u - 2) (v + 1) + 2 (v + 1) 2
    ت '(ر) = 4 - (ش - 2) 2

    u '(t) = -u - 2v + u 2 + 3uv + 2v 2
    الخامس '(ر) = 4u - ش 2 ،

    القيم الذاتية لمصفوفة المعامل معقدة مع جزء حقيقي سلبي في هذه الحالة ، وبالتالي فإن النقطة الحرجة (-2 ، 1) من النظام الأصلي هي نقطة حلزونية ثابتة مقاربة.

    أخيرًا ، نضع خطيًا عند (-2 ، 2). ضبط u = x + 2 و v = y - 2

    u '(t) = (u - 2) 2 + 3 (u - 2) (v + 2) + 2 (v + 2) 2
    ت '(ر) = 4 - (ش - 2) 2

    u '(t) = 2u + 2v + u 2 + 3uv + 2v 2
    الخامس '(ر) = 4u - ش 2 ،

    مصفوفة المعامل لها قيم eigenvalues ​​4 و -2 ، لذا فإن النقطة الحرجة (-2،2) هي نقطة سرج غير مستقرة.


    ملاحظات حول Diffy Qs: المعادلات التفاضلية للمهندسين

    ملاحظة: محاضرة واحدة ، §6.1 – §6.2 في [EP] ، §9.2 – §9.3 في [BD]

    باستثناء بعض التحويلات القصيرة في الفصل الأول ، اعتبرنا المعادلات الخطية في الغالب. تكفي المعادلات الخطية في العديد من التطبيقات ، ولكن في الواقع تتطلب معظم الظواهر معادلات غير خطية. ومع ذلك ، من المعروف أن المعادلات غير الخطية أكثر صعوبة في الفهم من المعادلات الخطية ، وتظهر العديد من الظواهر الجديدة الغريبة عندما نسمح لمعادلاتنا بأن تكون غير خطية.

    لا داعي للقلق ، لم نضيع كل هذا الوقت في دراسة المعادلات الخطية. غالبًا ما يمكن تقريب المعادلات غير الخطية بواسطة المعادلات الخطية إذا احتجنا فقط إلى حل "محليًا" ، على سبيل المثال ، فقط لفترة قصيرة من الزمن ، أو لمعلمات معينة فقط. يمكن أن يمنحنا فهم المعادلات الخطية أيضًا فهمًا نوعيًا لمشكلة غير خطية أكثر عمومية. تشبه الفكرة ما فعلته في التفاضل والتكامل في محاولة تقريب دالة بخط ذي ميل يمين.

    في القسم 2.4 نظرنا إلى بندول الطول (L text <.> ) كان الهدف هو إيجاد الزاوية ( theta (t) ) كدالة للوقت (t text <. > ) معادلة الإعداد هي المعادلة غير الخطية

    بدلاً من حل هذه المعادلة ، قمنا بحل المعادلة الخطية الأسهل نوعًا ما

    في حين أن حل المعادلة الخطية ليس بالضبط ما كنا نبحث عنه ، فهو قريب إلى حد ما من الأصل ، طالما أن الزاوية ( theta ) صغيرة والفترة الزمنية المعنية قصيرة.

    قد تسأل: لماذا لا نقوم فقط بحل المشكلة غير الخطية؟ حسنًا ، قد يكون من الصعب جدًا أو غير العملي أو المستحيل حله تحليليًا ، اعتمادًا على المعادلة المعنية. قد لا نهتم حتى بالحل الفعلي ، فقد نهتم فقط ببعض الأفكار النوعية عما يفعله الحل. على سبيل المثال ، ماذا يحدث مع مرور الوقت إلى ما لا نهاية؟

    القسم الفرعي 8.1.1 تحليل الأنظمة المستقلة ومستوى الطور

    نحن نقتصر اهتمامنا على نظام مستقل ثنائي الأبعاد

    حيث (f (x، y) ) و (g (x، y) ) هي وظائف لمتغيرين ، ويتم أخذ المشتقات فيما يتعلق بالوقت (t text <.> ) الحلول هي وظائف (x (t) ) و (y (t) ) هكذا

    الطريقة التي سنحلل بها النظام مشابهة جدًا للقسم 1.6 ، حيث درسنا معادلة مستقلة واحدة. الأفكار ذات البعدين هي نفسها ، لكن السلوك يمكن أن يكون أكثر تعقيدًا.

    قد يكون من الأفضل التفكير في نظام المعادلات على أنه معادلة متجهية واحدة

    كما في القسم 3.1 نرسم ملف صورة المرحلة (أو منحنى الطور) ، حيث تتوافق كل نقطة ((س ، ص) ) مع حالة معينة من النظام. نرسم ال حقل شعاعي تعطى عند كل نقطة ((س ، ص) ) بواسطة المتجه ( يسار [ ابدأ و (س ، ص) ز (س ، ص) نهاية right] text <.> ) وكما في السابق إذا وجدنا حلولاً ، فإننا نرسم المسارات عن طريق رسم جميع النقاط ( bigl (x (t)، y (t) bigr) ) لنطاق معين من (t نص <.> )

    مثال 8.1.1.

    ضع في اعتبارك معادلة الدرجة الثانية (x '' = - x + x ^ 2 text <.> ) اكتب هذه المعادلة كنظام غير خطي من الدرجة الأولى

    تم رسم صورة الطور مع بعض المسارات في الشكل 8.1.

    الشكل 8.1. صورة الطور مع بعض مسارات (x '= y text <،> ) (y' = -x + x ^ 2 text <.> )

    من صورة الطور ، يجب أن يكون واضحًا أنه حتى هذا النظام البسيط له سلوك معقد إلى حد ما. تستمر بعض المسارات في التأرجح حول الأصل ، وبعضها ينطلق نحو اللانهاية. سنعود إلى هذا المثال كثيرًا ، ونحلله بالكامل في هذا (والقسم التالي).

    إذا قمنا بتكبير الرسم التخطيطي بالقرب من نقطة حيث ( يسار [ نبدأ و (س ، ص) ز (س ، ص) نهاية right] ) ليس صفراً ، ثم بالقرب من السهم يشير بشكل عام إلى نفس الاتجاه ويكون له نفس الحجم بشكل أساسي. وبعبارة أخرى ، فإن السلوك ليس مثيرًا للاهتمام بالقرب من مثل هذه النقطة. نحن بالطبع نفترض أن (f (x، y) ) و (g (x، y) ) مستمران.

    دعونا نركز على تلك النقاط في مخطط الطور أعلاه حيث يبدو أن المسارات تبدأ أو تنتهي أو تدور. نرى نقطتين من هذا القبيل: ((0،0) ) و ((1،0) text <.> ) يبدو أن المسارات تدور حول النقطة ((0،0) text <،> ) ويبدو أنها إما تدخل أو تخرج من النقطة ((1،0) text <.> ) هذه النقاط هي بالضبط تلك النقاط التي يكون فيها مشتقات كل من (x ) و (y ) صفر. دعونا نحدد ال نقاط حرجة مثل النقاط ((س ، ص) ) مثل هذا

    بمعنى آخر ، هذه هي النقاط التي يكون فيها كلا من (f (x، y) = 0 ) و (g (x، y) = 0 text <.> )

    النقاط الحرجة هي حيث يكون سلوك النظام بمعنى ما هو الأكثر تعقيدًا. إذا ( اليسار [ تبدأ و (س ، ص) ز (س ، ص) نهاية right] ) تساوي صفرًا ، ثم في مكان قريب ، يمكن للمتجه أن يشير في أي اتجاه على الإطلاق. أيضًا ، فإن المسارات إما تتجه نحو هذه النقاط أو بعيدًا عنها أو حولها ، لذلك إذا كنا نبحث عن سلوك نوعي طويل الأجل للنظام ، يجب أن ننظر إلى ما يحدث بالقرب من النقاط الحرجة.

    يتم أيضًا استدعاء النقاط الحرجة أحيانًا اتزان، لأن لدينا ما يسمى حلول التوازن في النقاط الحرجة. إذا كانت ((x_0، y_0) ) نقطة حرجة ، فلدينا الحلول

    في المثال 8.1.1 ، يوجد حلان للتوازن:

    قارن هذه المناقشة حول التوازن بالمناقشة الواردة في القسم 1.6. المفهوم الأساسي هو نفسه تمامًا.

    القسم الفرعي 8.1.2 الخطي

    درسنا في القسم 3.5 سلوك نظام خطي متجانس من معادلتين بالقرب من نقطة حرجة. بالنسبة إلى نظام خطي من متغيرين تعطيهما مصفوفة عكسية ، فإن النقطة الحرجة الوحيدة هي الأصل ((0،0) نص <.> ) دعنا نضع الفهم الذي اكتسبناه في هذا القسم للاستخدام الجيد لفهم ما يحدث بالقرب من النقاط الحرجة للأنظمة غير الخطية.

    في حساب التفاضل والتكامل ، تعلمنا تقدير دالة بأخذ مشتقها وخطيها. نحن نعمل بشكل مشابه مع الأنظمة غير الخطية لـ ODE. افترض أن ((x_0، y_0) ) نقطة حرجة. قم أولاً بتغيير المتغيرات إلى ((u، v) text <،> ) بحيث يتوافق ((u، v) = (0،0) ) مع ((x_0، y_0) text <.> ) هذا هو،

    بعد ذلك ، علينا إيجاد المشتقة. في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، ربما تكون قد لاحظت أن إصدار المتغيرات المتعددة للمشتق هو مصفوفة يعقوبية 1. المصفوفة اليعقوبية للدالة ذات القيمة المتجهية ( اليسار [ البدء و (س ، ص) ز (س ، ص) نهاية right] ) في ((x_0، y_0) ) هو

    تعطي هذه المصفوفة أفضل تقريب خطي مثل (u ) و (v ) (وبالتالي (x ) و (y )) يختلفان. نحدد ال الخطية من المعادلة (8.1) كنظام خطي

    مثال 8.1.2.

    دعونا نحافظ على نفس المعادلات مثل المثال 8.1.1: (x '= y text <،> ) (y' = -x + x ^ 2 text <.> ) هناك نقطتان حرجتان ، ((0،0) ) و ((1،0) text <.> ) المصفوفة اليعقوبية في أي نقطة هي

    لذلك في ((0،0) text <،> ) لدينا (u = x ) و (v = y text <،> ) والخطي هو

    عند النقطة ((1،0) text <،> ) لدينا (u = x-1 ) و (v = y text <،> ) والخطي هو

    يتم إعطاء مخططات الطور للخطين عند النقطة ((0،0) ) و ((1،0) ) في الشكل 8.2. لاحظ أن المتغيرات هي الآن (u ) و (v text <.> ) قارن الشكل 8.2 بالشكل 8.1 ، وانظر بشكل خاص إلى السلوك بالقرب من النقاط الحرجة.

    الشكل 8.2. مخطط الطور مع بعض مسارات الخطية عند النقاط الحرجة ((0،0) ) (يسار) و ((1،0) ) (يمين) من (x '= y text <،> ) (y '= -x + x ^ 2 text <.> )


    صور المرحلة للأنظمة غير الخطية

    النظر في أ ، ربما نظام مستقل غير خطي , (تعني كلمة مستقلة أن المتغير المستقل ، يعتقد أنه يمثل الوقت ، لا يحدث على الجانب الأيمن من المعادلات). تمامًا كما فعلنا مع الأنظمة الخطية ، نريد أن ننظر إلى مسارات النظام. نظرًا لأنه من المستحيل في معظم الحالات حل هذه الأنظمة تمامًا ، فسوف نركز على الجوانب النوعية ، وخاصة على كيفية رسم صورة المرحلة يدويًا.
    • تتبع المسارات مجال الاتجاه. متجه السرعة لحل عند نقطة ما في الطائرة . اتجاه المسار هو اتجاه هذا المتجه.
    • المنحنيات و هي الخطوط المتساوية التي يكون اتجاه المسار فيها عموديًا وأفقيًا على التوالي. هذه الخطوط المتساوية تقسم المستوى إلى مناطق. في كل منطقة علامات و لا تتغير ، على سبيل المثال إذا كان كلاهما موجبًا ، يكون الاتجاه دائمًا صعودًا وإلى اليمين. عادة عندما تعبر خط متساوي ، يتغير أحد مكونات علامة السرعة. وبالتالي ، من خلال معرفة الاتجاه في نقطة واحدة ، يمكنك تحديد الاتجاهات في جميع المناطق.
    • خط متساوي (أو جزء منه) الخط العمودي هو مسار (أو ربما العديد منها). وبالمثل ، خط متساوي (أو جزء منه) الخط الأفقي هو مسار (أو عدة).
    • المسارات لا تلتقي أو تتوقف ، باستثناء ذلك في الحد مثل أو يمكنهم الاقتراب من نقطة التوازن.
    • نقاط التوازن (المعروفة أيضًا بالنقاط الحرجة أو الثابتة) هي النقاط التي يكون فيها كلاهما و . وبالتالي فهم في تقاطعات تلك الخطوط المتساوية.
    • السلوك بالقرب من نقاط التوازن مهم. يتم تقريب المسارات بالقرب من نقطة التوازن بشكل جيد للغاية من خلال تلك الخاصة بالتخطيط الخطي للنظام في تلك النقطة ، ويمكن تصنيف النقطة الحرجة باستخدام هذا الخطي (مع استثناءين سنراهما).
    • المصفوفة المنفصلة (فواصل الجمع) هي مسار يفصل بين منطقتين يكون فيهما سلوك الحلول كما يلي: أو مختلف. غالبًا ما تكون المسارات التي تدخل وتخرج من نقطة السرج عبارة عن مسارات منفصلة. يجب أن تكون هذه من بين المسارات الأولى التي ترسمها.
    • إذا كان النظام به بعض التناظر ، فقد يساعد ذلك. تتضمن أمثلة التناظر التبادل و ، أو تغيير علامة و / أو .


    التقريب الخطي لدالة متغيرين بالقرب من نقطة يكون

    نريد القيام بذلك على وجه الخصوص عند نقطة التوازن ، حيث . من المفيد إجراء تغيير في المتغيرات , ، وبالتالي , يتوافق مع نقطة التوازن. ثم الخطية لنظامنا عند نقطة التوازن هذه هي نظام خطي متجانس ذو معامل ثابت

    يسمى حقل يعقوبي المتجه .

    مثال: ضع في اعتبارك النظام

    نحتاج إلى نقطة التوازن (بمعنى آخر. أو ) و (بمعنى آخر. أو ). وبالتالي هناك نقطتان للتوازن: و .

    قبل تصنيف نقاط التوازن ، من الجيد رسم الخطوط المتساوية لها و . سوف أرسم الأول باللون الأزرق والثاني باللون الأخضر. أشير بالسهام إلى مجال الاتجاه في كل منطقة وعلى الخطوط المتساوية. تقاطعات الخطوط المتساوية الزرقاء والخضراء هي نقاط التوازن.

    المصفوفة اليعقوبية هي . عند نقطة التوازن هذا هو . هذا له قيمة ذاتية مزدوجة ، واثنين من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا. لذلك فإن نقطة التوازن هي عقدة مفردة وجاذبة.

    عند نقطة التوازن الثانية المصفوفة اليعقوبية هي . هذا له قيم eigenvalues ​​1 و . لذلك فإن نقطة التوازن سرج. المتجهات الذاتية هي لمدة 1 و إلى عن على . توضح الصورة أدناه مستوى الطور مع بعض أجزاء المسارات بالقرب من نقطتي التوازن. لاحظ أن اتجاهات هذه المسارات تتفق مع أسهم مجال الاتجاه من الصورة السابقة.

    الآن نرسم بعض المسارات. هناك مسارات على و المحاور (الذهاب إلى الداخل إلى نقطة التوازن عند الأصل) ، لأن متي و متي . بعد ذلك ، من الجيد رسم المسارات التي تخرج من وتنتقل إلى نقطة السرج. على سبيل المثال ، يأتي المرء إلى نقطة السرج من الأسفل وإلى اليمين. نعود بالزمن للخلف ، متبعين الأسهم للخلف. تشير هذه الأسهم إلى أعلى وإلى اليسار في المنطقة , . يجب أن ينحني المسار لتجنب المسار على الموجب محور. من المفترض أنه مقارب لهذا المحور. يجب أن يستمر المسار الذي يخرج من نقطة السرج لأسفل وإلى اليسار لأسفل وإلى اليسار حتى ينتهي عند نقطة التوازن .

    أخيرًا ، نرسم بعض المسارات الأخرى ، بما في ذلك مسار واحد على الأقل في كل منطقة. لاحظ أن تلك المسارات التي تدخل نقطة التوازن عند يمكن أن تفعل ذلك في أي زاوية.

    صورتنا متماثلة حول الخط ، لأن نظام المعادلات يظل كما هو إذا قمت بالتبادل و .

    المسارات التي تدخل وتخرج من نقطة السرج هي مسارات منفصلة. تنتقل جميع المسارات الموجودة أسفل وإلى يسار المسارين اللذين يدخلان السرج إلى نقطة التوازن كما ، في حين أن أولئك الموجودين فوق وإلى اليمين ينطلقون إلى ما لا نهاية مقارب للخط . أسفل وعلى يمين المسارات التي تغادر السرج ، يأتي كل شيء من اللانهاية المقاربة إلى الإيجابية المحور (مثل ) ، في حين أن كل شيء فوق وإلى يسار هذه الأشياء يأتي من اللانهاية المقاربة إلى الإيجابية محور.


    كما ذكرت ، هناك استثناءان لقاعدة أن صورة الطور بالقرب من نقطة التوازن يمكن تصنيفها عن طريق الخطية عند نقطة التوازن هذه. الأول هو حيث القيمة 0 هي القيمة الذاتية للخطية (لم ننظر حتى إلى النظام الخطي في هذه الحالة!). الاستثناء الثاني هو المكان الذي يكون فيه الخطي مركزًا. يحتوي النظام الخطي على حلول دورية ، تتوافق مع المسارات ذات المنحنيات المغلقة (علامات الحذف). تخيل أنك تبدأ من نقطة ما وتتبع مجال الاتجاه. بعد السير على طول الطريق حول نقطة التوازن ، في النظام الخطي تعود بالضبط إلى النقطة التي بدأت منها. هذه مسألة حساسة للغاية ، وأي تأثير غير خطي ، حتى لو كان صغيرًا جدًا ، يمكن أن يفسدها. إذا عدت في النظام غير الخطي بعيدًا قليلاً عن نقطة التوازن عن المكان الذي بدأت منه ، فلا يمكن أن يكون مسارك منحنى مغلق. في المرة القادمة ، ستكون بعيدًا. سوف يتدحرج المسار بعيدًا عن نقطة التوازن. إذا كانت جميع المسارات بالقرب من نقطة التوازن على هذا النحو ، فإن نقطة التوازن تكون دوامة غير مستقرة. من ناحية أخرى ، إذا كنت بعد دورة واحدة حول نقطة التوازن ، فأنت أقرب قليلاً من حيث بدأت ، فإن مسارك يدور إلى الداخل. إذا كانت جميع المسارات بالقرب من نقطة التوازن على هذا النحو ، فإن نقطة التوازن هي حلزوني ثابت (وجاذب). فيما يلي صور لهذين الاحتمالين. الاحتمال الثالث ، بالطبع ، هو أنك تعود بالضبط إلى النقطة التي بدأت منها ، وهي حقًا مركز.

    تتمثل إحدى طرق إظهار أن مركز النظام الخطي لا يزال مركزًا في النظام غير الخطي في إيجاد معادلة للمسارات. إذا كان هناك مثل هذه المعادلة (الضمنية) أين هي وظيفة سلسة وليست ثابتة في أي منطقة ، و ثابت اعتباطي ، فالمسارات ، وهي منحنيات مستوى لهذه الوظيفة ، لا يمكن أن تكون لولبية ولكن يمكن أن تكون منحنيات مغلقة. يحدث هذا في كل من أنظمة المفترس والفريسة والبندول.


    3 إجابات 3

    بشكل عام ، يمكنك وضع خطي حول أي ملف حل معروف. الفكرة هي أنه بمجرد معرفة الحل $ theta_0 (t) $ ، فإن الحلول القريبة $ theta $ تتبع تقريبًا معادلة خطية: أي كتابة $ theta (t) = theta_0 (t) + h (t) $ نحصل على $ I theta '' + Mgl sin theta almost (I theta_0 '' + Mgl sin theta_0) + Ih '+ (Mgl cos theta_0) h $ مما يؤدي إلى معادلة خطية تقريبية $ Ih '' + (Mgl cos theta_0) h = 0 $ لأن $ (I theta_0 '' + Mgl sin theta_0) = u $.

    المهم هو: هل تعرف $ theta_0 $ لتبدأ؟ من السهل إيجاد حل التوازن. إيجاد حل عام. حسنًا ، هذه هي المشكلة الأصلية فقط.

    لكنك سترى أحيانًا خطيًا على طول مدار دوري غير ثابت يسمى a دورة محدودة أو حتى مسار تعسفي. This is generally referred to as tracking-control.


    قائمة المصطلحات

    • ز(x) is an analytic function at the origin (or, more precise, admits the second order Taylor's approximation)
    • كما x &rarr 0,

    Example 1: Not almost linear system

    To analyze the trajectories of Eq.eqref, it is convenient to use polar coordinates

    If there exists a &delta: 0 < &delta &le ص₀, such that, for any solution path &phi = &langle &phi₁, &phi₂ &rangle of nonlinear system eqref that has at least one point inside the circle 0 < ص < &delta, the solution exists over a ر half line, and if


    1 إجابة 1

    OK, here's a quick rundown on how I would do this hopefully our OP Mirjan Pecenko can check his own work against what I do here.

    $dot x = xy + 1 = dot y = xy + x = 0 ag 3$

    $xy = -x Longrightarrow -x + 1 = 0 Longrightarrow x = 1, ag 4$

    $xy + 1 = 0 Longrightarrow xy = -1 Longrightarrow y = (1)y = -1 ag 4$

    so it appears the only critical point is at $(1, -1)$. The Jacobean of the vector field

    $vec V(x, y) = egin xy + 1 x + xy end ag 5$

    $J_V(1, -1) = egin (partial(xy + 1)/partial x & (partial(xy + 1)/partial y (partial(xy + x)/partial x & (partial(xy + x)/partial y end_<(1, -1)>$ $= egin y & x y + 1 & x end_ <(1, -1)>= egin -1 & 1 0 & 1 end ag 6$

    it is now obvious that the eigenvalues of $J_V(1, -1)$ are $pm 1$ therefore this point is a سرج the eigenvectors at $(1, -1)$ are $(1, 0)^T$ for $-1$ and $(1/2, 1)^T$ for $1$ it is now easy to sketch a phase portrait for this system, a task I leave to my readers.

    It should be noted that when sketching a phase portrait, it is often helpful to find those curves in $Bbb R^2$ where $dot x = 0$ and/or $dot y = 0$. These curves are useful guides to finding the geometry of the solutions, since they show us where the tangent lines to the integral curves or vertical or horizontal, respectively. When combined with the shapes of the solutions near the critical point provided by the above analysis, we can get a pretty good idea of how the flow will appear. As with any hand-done graphical analysis, care must be taken to ensure that we draw accurately enough to capture only correct features of the trajectories.

    Note Added in Edit, Thursday 14 June 2018 12:35 PM PST: It appears that the notion of isoclines, which proves to be most convenient as a guide to sketching phase portraits, may be generalized in a way which allows the extraction of more information about the integral curves and/or overall shape of the flow of a given vector field. In this problem, isoclines are only exploited in a rather peripheral way, since they are merely mentioned as a sort of after-thought in the comments. Nevertheless, they may be used much more extensively. Indeed, rather than restricting the use of the isocline method to determining the curves on which $dot x = 0$ and/or $dot y = 0$, we may if we so choose deploy it in an attempt to find just where $dot x, dot y$ take on any of their possible values. One technique which can help effect this aim is to use the gradient of the component functions, in this case $xy + 1$ and $xy + x$, to guide us towards regions of greater or lesser component magnitude for example, since

    which indicates the direction in which $dot x$ increases, so that we may, for example, find the directions in which points on the $dot x = 0$ isocline must be moved to make $dot x$ larger. By systematic application of such methodology, quite detailed phase portraits may be had. Unfortunately, at present I lack both the graphics tools and the time to illustrate what I am saying via pictorial means. End of Note.


    Using basic algebra, we find that the critical points of this system are (0,0), (1,0.25), (1.125,0). These points are marked with red stars on the direction field in part (a).

    Critical Point (0,0)

    Using formula (13) from Section 9.3, we find that the linear system corresponding to the almost linear system at (0,0) is given by the matrix equation

    The eigenvalues and eigenvectors for this linear system are:

    The eigenvalues are real and have opposite signs, so the origin is a saddle point and is thus unstable.

    Critical Point (1.125, 0)

    The almost linear system at (1.125, 0) is given by the matrix equation

    The corresponding eigenvalues for this linear system are:

    The eigenvalues are real and have opposite signs, so this point is also a saddle point and is unstable.

    Critical Point (1, 0.25)

    Again using formula (13) from Section 9.3, we see that linear system that approximates the almost linear system at the critical point (1, 0.25) is:

    This linear system has eigenvalues and eigenvectors:

    The eigenvalues for this linear system are both negative and are unequal, so the point (1, 0.25) is an asymptotically stable node.


    قائمة المصطلحات

    Some situations require more than one differential equation to model a particular situation. We might use a system of differential equations to model two interacting species, say where one species preys on the other. For example, we can model how the population of Canadian lynx (lynx Canadians) interacts with a the population of snowshoe hare (lepus americanis) (see https://www.youtube.com/watch?v=ZWucOrSOdCs).

    A good historical data are known for the populations of the lynx and snowshoe hare from the Hudson Bay Company. This large Canadian retail company, which owns and operates a large number of retail stores in North America and Europe, including Galeria Kaufhof, Hudson's Bay, Home Outfitters, Lord & Taylor, and Saks Fifth Avenue, was originally founded in 1670 as a fur trading company. The Hudson Bay Company kept accurate records on the number of lynx pelts that were bought from trappers from 1821 to 1940. The company noticed that the number of pelts varied from year to year and that the number of lynx pelts reached a peak about every ten years. The ten year cycle for lynx can be best understood using a system of differential equations.

    The primary prey for the Canadian lynx is the snowshoe hare. We will denote the population of hares by H(t) and the population of lynx by L(t)، أين ر is the time measured in years. We will make the following assumptions for our predator-prey model.

      If no lynx are present, we will assume that the hares reproduce at a rate proportional to their population and are not affected by overcrowding. That is, the hare population will grow exponentially,

    The Lotka--Volterra system of equations is an example of a Kolmogorov model, which is a more general framework that can model the dynamics of ecological systems with predator-prey interactions, competition, disease, and mutualism. The equations which model the struggle for existence of two species (prey and predators) bear the name of two scientists: Lotka (1880--1949) and Volterra (1860--1940). They lived in different countries, had distinct professional and life trajectories, but they are linked together by their interest and results in mathematical modeling.

    The predator–prey model was initially proposed by Alfred J. Lotka in the theory of autocatalytic chemical reactions in 1910. Lotka was born in Lemberg, Austria-Hungary, but his parents immigrated to the US. In 1925, he utilized the equations to analyze predator-prey interactions. Lotka published almost a hundred articles on various themes in chemistry, physics, epidemiology or biology, about half of them being devoted to population issues. He also wrote six books.

    The same set of equations was published in 1926 by Vito Volterra, a mathematician and physicist, who had become interested in mathematical biology because of the impact by the marine biologist Umberto D'Ancona (1896--1964). Vito Volterra was born in Ancona, then part of the Papal States, into a very poor Jewish family. He attended the University of Pisa, where he became professor of rational mechanics in 1883. His most famous work was done on integral equations. In 1892, he became professor of mechanics at the University of Turin and then, in 1900, professor of mathematical physics at the University of Rome La Sapienza. His daughter Luisa married Umberto D’Ancona.

    The predator-prey system of equations was later extended by many researchers, including C. S. Holling, Arditi--Ginzburg model, Rosenzweig-McArthur model, and some others.

    The critical points of the Lotka--Volterra system of equations are the solutions of the algebraic equations

    We may try to find the general solution of the Lotka--Volterra system of equations. From both equations, we get

    Notice that the predator population, إل, begins to grow and reaches a peak after the prey population, ح reaches its peak. As the prey population declines, the predator population also declines. Once the predator population is smaller, the prey population has a chance to recover that the cycle begins again.

    we can place two plots sude by side:

    1. ( displaystyle 0 < a_1 delta_1 < K left( m_1 - delta_1 ight) ) and
    2. ( displaystyle a_2 delta_2 > K left( m_2 - delta_2 ight) ) or ( b_2 le 1 . )

    Mathematical analysis of the Beddington--DeAngelis system shows that there exist two equilibria (0,0) and ( left( frac , frac ight) = (4,1) , ) being globally stable in the interior of the first quadrant. The eigenvalues of the Jacobian matrix at the origin are ( lambda_1 =1 quadmboxquad lambda_2 =5 , ) and the eigenvalues of the Jacobian at the point (4,1) are given by ( - frac<1> <12>pm <f j>, frac> <12>. )

    1. Barabas, Gyorgy, D'Andrea, Rafael, and Stump, Simon Maccracken, Chesson's coexistence theory, Ecological Monographs, 2018, https://doi.org/10.1002/ecm.1302
    2. Batiha, K., Numerical Solutions of the Multispecies Predator-Prey Model by Variational Iteration Method, Journal of Computer Science, 2007, Vol. 3 (7): 523-527, 2007
    3. Bayliss, A., Nepomnyashchy, A.A., Volpert, V.A., Mathematical modeling of cyclic population dynamics, Physica D: Nonlinear Phenomena, 2019, Volume 394, doi: 10.1016/j.physd.2019.01.010
    4. Dellal, M., Lakrib, M., Sari, T., The operating diagram of a model of two competitors in a chemostat with an external inhibitor, Mathematical Biosciences, 302, No 8, 2018, 27--45.
    5. Dimitrov, D.T. and Kojouharov, H.V., Complete mathematical analysis of predator–prey models with linear prey growth and Beddington–DeAngelis functional response, Applied Mathematics and Computation, 162, (2), 523--538, 2005.
    6. Goel, N.S., Maitra, S.C., and Montroll, E., On the Volterra and other nonlinear models of interacting populations, Reviews of Modern Physics, 1971, Vol. 43, pp. 231-- https://doi.org/10.1103/RevModPhys.43.231
    7. Hsu, S.B., Hubbell, S.P., and Paul Waltman, Competing predators, SIAM Journal on Applied Mathematics, 35, No 4, 1978, 617--625.
    8. Hsu, S.B., Hubbell, S.P., and Paul Waltman, A mathematical theory for single-nutrient competition in continuous cultures of micro-organisms, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol 32, No 2, 1977, 366--383.
    9. Hsu, S.B., Hubbell, S.P., and Paul Waltman, A contribution to the theory of competing predators, Ecological Monographs, Vol 48, No 3, 1978, 337--349.
    10. May, R.M., Leonard, W.J., Nonlinear Aspects of Competition Between Three Species, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 29, Issue 2, pp. https://doi.org/10.1137/0129022
    11. Molla, H., Rahman, M.S., Sarwardi, S., Dynamics of a Predator–Prey Model with Holling Type II Functional Response Incorporating a Prey Refuge Depending on Both the Species, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 2018, Vol. 20, No. 1, https://doi.org/10.1515/ijnsns-2017-0224
    12. Olek. S. An accurate solution to the multispecies Lotka-Volterra equations, مراجعة SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics), 1994, Vol. 36(3) (1994), 480–488 https://doi.org/10.1137/1036104
    13. Ruan, J., Tan, Y., Zhang, C., A Modified Algorithm for Approximate Solutions of Lotka-Volterra systems, Procedia Engineering, 2011, Volume 15, 2011, Pages 1493-1497 https://doi.org/10.1016/j.proeng.2011.08.277
    14. Scarpello, G.M. and Ritelli, D., A new method for the explicit integration of Lotka--Volterra equations, 2003, Divulgaciones Matematicas, Vol. 11, No. 1, pp. 1--17.
    15. Seo, Gunog and Wolkowicz, Gail S. K., Sensitivity of the dynamics of the general Rosenzweig--MacArthur model to the mathematical form of the functional response: a bifurcation theory approach. Journal of Mathematical Biology, 76, No 7, 2018, 1873--1906.

    Return to Mathematica page
    Return to the main page (APMA0340)
    Return to the Part 1 Matrix Algebra
    Return to the Part 2 Linear Systems of Ordinary Differential Equations
    Return to the Part 3 Non-linear Systems of Ordinary Differential Equations
    Return to the Part 4 Numerical Methods
    Return to the Part 5 Fourier Series
    Return to the Part 6 Partial Differential Equations
    Return to the Part 7 Special Functions


    J. D. Aplevich,Implicit Linear Systems, Lect. Notes in Control & Information Sci No. 152, Springer-Verlag, New York 1991.

    K. E. Brenan, S. L. Campbell and L. R. Petzold,Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations, Elsevier, Amsterdam 1989.

    G. D. Byrne and W. E. Schiesser (eds),Recent Developments in Numerical Methods and Software for ODEs/DAEs/PDEs, World Scientific, Singapore 1991.

    S. L. Campbell,Singular Systems of Differential Equations, Pitman, London 1980.

    S. L. Campbell,Singular Systems of Differential Equations II, Pitman, London 1982.

    S. L. Campbell,The numerical solution of higher index linear time varying singular systems of differential equations, SIAM J. Sci. Stat. Comp. 334–348 (1985).

    S. L. Campbell,Rank deficient least squares and the numerical solution of linear singular implicit systems of differential equations, Contemp. Maths47, 51–63 (1985).

    S. L. Campbell,Consistent initial conditions for linear time varying singular systems, inFrequency Domain and State Space Methods for Linear Systems, Edited by C. I. Byrnes and A. Lindquist, Elsevier Sci Publ, Amsterdam 1986, pp. 313–318.

    S. L. Campbell,A general form for solvable linear time varying singular systems of differential equations, SIAM J. Math. شرجي.18, 1101–1115 (1987).

    S. L. Campbell,A computational method for general higher index singular systems of differential equations, 1989 IMACS Transactions Sci. الحوسبة1(2), 555–560 (1989).

    S. L. Campbell,Uniqueness of completions for linear time varying differential algebraic equations, Linear Algebra & Its Appl.161, 55–67 (1992).

    S. L. Campbell,Least squares completions for nonlinear differential algebraic equations, Numer. رياضيات.65, 77–94 (1993).

    S. L. Campbell and C. W. Gear,The index of general nonlinear DAEs, preprint 1993.

    S. L. Campbell and E. Griepentrog,Solvability of general differential algebraic equations, SIAM J. Sci. Comp., to appear.

    S. L. Campbell and C. D. Meyer, Jr.,Generalized Inverses of Linear Transformations, Dover Press, New York 1991.

    S. L. Campbell and E. Moore,Constraint preserving integrators for general nonlinear higher index DAEs, Numer. Math., to appear.

    S. L. Campbell, E. Moore, and Y. Zhong,Utilization of automatic differentiation in control algorithms, IEEE Trans. Automatic Control39, 1047–1052 (1994).

    S. L. Campbell and W. J. Terrell,Observability of linear time varying descriptor systems, SIAM J. Matrix Analysis12, 484–496 (1991).

    S. L. Campbell, N. K. Nichols, and W. J. Terrell,Duality, observability, and controllability for linear time varying descriptor systems. Circuits Systems & Signal Process.10, 455–470 (1991).

    L. Dai,Singular Control Problems, Springer-Verlag, Berlin 1989.

    E. Griepentrog and R. März,Differential-Algebraic Equations and Their Numerical Treatment, Teubner-Texte zur Mathematik, Band 88, Leipzig 1986.

    E. Hairer, C. Lubich and M. Roche,The Numerical Solution of Differential-Algebraic Systems by Runge-Kutta Methods, Springer-Verlag, New York 1989.

    E. J. Haug and R. C. Deyo, Editors.Real-Time Integration Methods for Mechanical System Simulation, Springer-Verlag Computer & Systems Sci. Vol. 69, 1991.

    H. Krishnan and N. H. McClamroch,Tracking reference inputs in control systems described by a class of nonlinear differential algebraic equations, Proc. 1991 Conf. Dec. & Control.

    R. März,On quasilinear index 2 differential algebraic equations, Seminarberichte Nr. 92-1, Humboldt-Universität zu Berlin, Fachbereich Mathematik 1992, pp. 39–60.

    P. J. Rabier and W. C. Rheinboldt,A general existence and uniqueness theorem for implicit differential algebraic equations, Diff. كثافة العمليات Eqns.4, 563–582 (1991).

    P. J. Rabier and W. C. Rheinboldt,A geometric treatment of implicit differential-algebraic equations, J. Diff. Eqns. (to appear).

    S. Reich,On a geometric interpretation of differential-algebraic equations, Circuits Systems & Signal Process.9, 367–382 (1990).

    S. Reich,On an existence and uniqueness theory for nonlinear differential-algebraic equations, Circuits Systems & Signal Process.10, 343–359 (1991).

    S. Reich,Symplectic integration of constrained Hamiltonian systems by Runge-Kutta methods, University of British Columbia Dept of Computer Sci. Techn. Rep. 93-13, 1993.

    S. Reich,On the local qualitative behavior of differential-algebraic equations, Circuits Systems & Signal Process, (to appear).

    C. Tischendorf,On stability of solutions of autonomous index-1 tractable and quasilinear index-2-tractable DAEs, Circuits Systems & Signal Process.13, 139–154 (1994).


    Math 216 Demonstrations

    This revisits the 5.2Whales demo, with explicit treatment of the linearization of the system. In scaled variables, we model the populations of krill ((x_1)) and baleen whales ((x_2)) with the system [ egin x_1' &= r_1 x_1 (1 - F_1 - x_1 - u x_2) x_2' &= r_2 x_2 left(1 - F_2 - frac ight), end ] where (r_1), (r_2), (F_1), (F_2) and ( u) are parameters. In this demonstration we take (F_1 = 0.5), (F_2 = 0), ( u = 1), in which case there are the equilibrium solutions ((x_1,x_2) = (1/4,1/4)) and ((x_1,x_2) = (1/2,0)). We consider (r_1 = r_2 = 2/5) and graph the solutions to the problem linearized at the equilibrium points along with trajectories found from the nonlinear system.

    Use Cases

    Lecture: The nonlinear equations may be presented with a minimal explanation of the different terms and used as an example of a system for which critical points and linear behavior there may be found. The demonstrations then graph these behaviors.

    Outside of Lecture: Solve the nonlinear system to find the critical points, and then find the linear systems approximating the nonlinear system at each. Show that the behavior that you see from the linear system is consistent with what the demonstrations show.

    Model Description

    As in 5.2Whales, we consider the interaction between a baleen whale species and its food-source, krill. Baleen whales feed by swimming through seawater in which krill (a crustacean about 5 centimeters long) is found with their mouths open, and then forcing the water out through its baleen, which filters the krill from the water.

    We consider the population of krill to be governed by its growth rate, constrained by environmental resources, and reduced by predation and fishing. Similarly, we take the population of whales to increase with a growth rate and be constrained by an environmental limiting factor inversely proportional to the krill population and reduced by predation.

    ODE Model

    Following 5.2Whales, the krill population (p_1) satisfies a modified logistic equation, [ p_1'(t) = r_1 p_1(t) left( 1 - frac ight) - C p_1(t) p_2(t) - r_1 F_1 p_1(t), ] where (p_2) is the whale population, so that the term (c p_1(t) p_2(t)) is the predation term (predation requires an interaction between the populations, and so is proportional to their product), and (r_1 F_1 p_1(t)) is the fishing term (the amount of krill caught is proportional to their population, and scaled as a fraction (F_1) of their growth rate).

    Similarly, if we assume that the carrying capacity for the whale population is inversely proportional to the krill population, as is suggested in [3], we obtain the equation [ p_2'(t) = r_2 p_2(t) left( 1 - frac ight) - r_2 F_2 p_2(t) ] for (p_2), where the term (r_2 F_2 p_2(t)) is again the fishing term. (This model is developed in [3].)

    We can nondimensionalize the populations (as in [3], [4], or [5]) by taking (x_1(t) = p_1(t)/K) and (x_2(t) = p_2(t)/(alpha K)), that is, by writing the populations as a fraction of their theoretical maxima. Introducing these variables and simplifying, we obtain the system [ egin x_1' &= r_1 x_1 (1 - F_1 - x_1 - u x_2) x_2' &= r_2 x_2 left(1 - F_2 - frac ight), end ] where ( u = Calpha K/r_1). Solving for the equilibrium solutions, we find there is a single non-zero equilibrium at [ x_1 = frac<1 - F_1><1 + u(1 - F_2)>,qquad x_2 = frac<(1 - F_1)(1 - F_2)><1 + u(1 - F_2)>. ] We will consider solutions near this equilibrium solution. There is a second equilibrium with (x_2 = 0), (x_1 = 1 - F_1 = 1/2), which we may consider as well.

    Near the equilibrium solution ((1/4,1/4)), and taking ( u = 1) (as in [3]), (r_2 = 0.4) (which is suggested by [6]), (F_2 = 0) (assuming that the whaling ban is actually observed) and the somewhat arbitrarily chosen value (F_1 = 0.5), we obtain the linearized system [ egin u_1' &= -frac14 r_1 u_1 - frac14 r_1 u_2 u_2' &= frac25 u_1 - frac25 u_2, end ] where (u_1) and (u_2) are the displacements from the equilibrium solution (in the scaled variables, ((1/4, 1/4))). We note that (u_1=0) and (u_2=0) corresponds to (x_1) and (x_2) being equal to their equlibrium values, (1/4). With (r_1 = 0.4) as well, the eigenvalues of the coefficient matrix are (lambda = -frac14pm ifrac><20>).

    Similarly, near ((1/2, 0)), we have the coefficient matrix (egin -r_1/2 & -r_1/2 0 & r_2end), and with (r_1 = r_2 = 0.4), eigenvalues are (lambda = -frac15, frac25).

    Matlab Demos

    Our demonstrations here show the solutions near each equilibrium solution, and those solutions in the full phase plane.

      Whales_Krill_Coexist.m: A demonstration that looks at the solutions near the coexistence point. The solutions to the linearized system are graphed in and the corresponding trajectory shown in the phase plane, along with a number of other representative trajectories. These are compared with the solution to the nonlinear problem, and then numerical solutions to the nonlinear system are shown for a number of initial conditions in the phase plane. ملحوظة: also requires the file plot_localtraj.m. [show figure]

    Looking at the Model

    Some questions that may be worth considering:

    • What do the phase portraits near the equilibrium solutions tell us about the behavior of the system for the full phase plane?
    • How do we determine the direction of the spiral trajectories that occur when there are complex eigenvalues?

    References

    1. Wikipedia, Blue Whale. Wikipedia.org. Retrieved on: 23 Oct 2012
    2. Wikipedia, Fin Whale. Wikipedia.org. Retrieved on: 23 Oct 2012
    3. May, R.M., Beddington, J.R., Clark, C.W., Holt, S.J. and R.M. Laws (July 1979). "Management of Multispecies Fisheries." علوم205(4403): 267-277.
    4. Edelstein-Keshet, L. Mathematical Models in Biology, SIAM Classics in Applied Mathematics 46. SIAM, 2005.
    5. Greenwell, R.N. Whales and Krill: A Mathematical Model, UMAP Module 610. COMAP, 1983.
    6. Beddington, J.R., and R.M. May (November 1982). "The Harvesting of Interacting Species in a Natural Ecosystem." Scientific American. November 1982: 62-69.


    شاهد الفيديو: تمارين تطبيقية في الدالة الخطية و الدالة التآلفية مادة الرياضيات للسنة الثالثة اعدادي (شهر اكتوبر 2021).