مقالات

9.4E: تغيير المعلمات للمعادلات ذات الرتبة الأعلى (تمارين) - الرياضيات


Q9.4.1

في تمارين 9.4.1-9.4.21 إيجاد حل معين ، بالنظر إلى مجموعة الحلول الأساسية للمعادلة التكميلية.

1. (x ^ 3y '' "- x ^ 2 (x + 3) y '' + 2x (x + 3) y'-2 (x + 3) y = -4x ^ 4 ) ؛ ( {x، ، x ^ 2، ، xe ^ x } )

2. (y '' '+ 6xy' '+ (6 + 12x ^ 2) y' + (12x + 8x ^ 3) y = x ^ {1/2} e ^ {- x ^ 2} ) ؛ ( {e ^ {- x ^ 2}، ، xe ^ {- x ^ 2}، ، x ^ 2e ^ {- x ^ 2} } )

3. (x ^ 3y "" - 3x ^ 2y '' + 6xy'-6y = 2x ) ؛ ( {x، x ^ 2، x ^ 3 } )

4. (x ^ 2y '' '+ 2xy' '- (x ^ 2 + 2) y' = 2x ^ 2 )؛ ( {1، ، e ^ x / x، ، e ^ { -x} / س } )

5. (x ^ 3y '' "- 3x ^ 2 (x + 1) y '' + 3x (x ^ 2 + 2x + 2) y '- (x ^ 3 + 3x ^ 2 + 6x + 6) y = x ^ 4e ^ {- 3x} )؛ ( {xe ^ x، ، x ^ 2e ^ x، ، x ^ 3e ^ x } )

6. (x (x ^ 2-2) y '' '+ (x ^ 2-6) y' '+ x (2-x ^ 2) y' + (6-x ^ 2) y = 2 ( س ^ 2-2) ^ 2 ) ؛ ( {e ^ x، ، e ^ {- x}، ، 1 / ​​x } )

7. (xy '' '- (x-3) y' - (x + 2) y '+ (x-1) y = -4e ^ {- x} ) ؛ ( {e ^ x، ، e ^ x / x، ، e ^ {- x} / x } )

8. (4x ^ 3y '' '+ 4x ^ 2y' '- 5xy' + 2y = 30x ^ 2 ) ؛ ( { sqrt x، ، 1 / ​​ sqrt x، ، x ^ 2 } )

9. (x (x ^ 2-1) y '' + (5x ^ 2 + 1) y '' + 2xy'-2y = 12x ^ 2 ) ؛ ( {x، ، 1 / ​​(x-1)، ، 1 / ​​(x + 1) } )

10. (x (1-x) y '' '+ (x ^ 2-3x + 3) y' '+ xy'-y = 2 (x-1) ^ 2 ) ؛ ( {x، ، 1 / ​​x، e ^ x / x } )

11. (x ^ 3y '' '+ x ^ 2y' '- 2xy' + 2y = x ^ 2 ) ؛ ( {x، ، x ^ 2، ، 1 / ​​x } )

12. (س ص '' - ص '' - س ص '+ ص = س ^ 2 ) ؛ ( {x، ، e ^ x، ، e ^ {- x} } )

13. (xy ^ {(4)} + 4y '' = 6 ln | x | ) ؛ ( {1 ، ، س ، ، × ^ 2 ، ، 1 / ​​س } )

14. (16x ^ 4y ^ {(4)} + 96x ^ 3y '' '+ 72x ^ 2y' '- 24xy' + 9y = 96x ^ {5/2} ) ؛ ( { sqrt x، ، 1 / ​​ sqrt x، ، x ^ {3/2}، ، x ^ {- 3/2} } )

15. (x (x ^ 2-6) y ^ {(4)} + 2 (x ^ 2-12) y '' + x (6-x ^ 2) y '' + 2 (12-x ^ 2) y '= 2 (x ^ 2-6) ^ 2 ) ؛ ( {1، ، 1 / ​​x، ، e ^ x، ، e ^ {- x} } )

16. (x ^ 4y ^ {(4)} - 4x ^ 3y '' '+ 12x ^ 2y' '- 24xy' + 24y = x ^ 4 ) ؛ ( {x، ، x ^ 2، ، x ^ 3، ، x ^ 4 } )

17. (x ^ 4y ^ {(4)} - 4x ^ 3y '' '+ 2x ^ 2 (6-x ^ 2) y' + 4x (x ^ 2-6) y '+ (x ^ 4 -4x ^ 2 + 24) y = 4x ^ 5e ^ x )؛ ( {xe ^ x، ، x ^ 2e ^ x، ، xe ^ {- x}، ، x ^ 2e ^ {- س} } )

18. (x ^ 4y ^ {(4)} + 6x ^ 3y '' '+ 2x ^ 2y' '- 4xy' + 4y = 12x ^ 2 ) ؛ ( {x، x ^ 2،1 / x، 1 / ​​x ^ 2 } )

19. (xy ^ {(4)} + 4y '' - 2xy '' - 4y '+ xy = 4e ^ x ) ؛ ( {e ^ x، ، e ^ {- x}، ، e ^ x / x، ، e ^ {- x} / x } )

20. (xy ^ {(4)} + (4-6x) y '' '+ (13x-18) y' + (26-12x) y '+ (4x-12) y = 3e ^ x ) ؛ ( {e ^ x، ، e ^ {2x}، ، e ^ x / x، ، e ^ {2x} / x } )

21. (x ^ 4y ^ {(4)} - 4x ^ 3y '' '+ x ^ 2 (12-x ^ 2) y' + 2x (x ^ 2-12) y '+ 2 (12- س ^ 2) ص = 2 س ^ 5 ) ؛ ( {x، ، x ^ 2، ، xe ^ x، ، xe ^ {- x} } )

Q9.4.2

في تمارين 9.4.22-9.4.33 حل مشكلة القيمة الأولية ، بالنظر إلى مجموعة الحلول الأساسية للمعادلة التكميلية. ارسم الحل لـ التدريبات 9.4.22 ، 9.4.26 ، 9.4.29 ، و 9.4.30.

22. (x ^ 3y '' - 2x ^ 2y '' + 3xy'-3y = 4x، quad y (1) = 4، quad y '(1) = 4، quad y' '(1 ) = 2 ) ؛ ( {x، ، x ^ 3، ، x ln x } )

23. (x ^ 3y '' - 5x ^ 2y '' + 14xy'-18y = x ^ 3، quad y (1) = 0، quad y '(1) = 1، quad y' ' (1) = 7 ) ؛ ( {x ^ 2، ، x ^ 3، ، x ^ 3 ln x } )

24. ((5-6x) y '' + (12x-4) y '+ (6x-23) y' + (22-12x) y = - (6x-5) ^ 2e ^ x quad {y (0) = - 4، quad y '(0) = - {3 over2}، quad y' '(0) = - 19؛ {e ^ x، ، e ^ {2x} ، ، xe ^ {- x} } )

25. (x ^ 3y '' - 6x ^ 2y '' + 16xy'-16y = 9x ^ 4، quad y (1) = 2، quad y '(1) = 1، quad y' ' (1) = 5 ) ؛ ( {x، ، x ^ 4، ، x ^ 4 ln | x | } )

26. ((x ^ 2-2x + 2) y '' - x ^ 2y '' + 2xy'-2y = (x ^ 2-2x + 2) ^ 2، quad y (0) = 0، quad y '(0) = 5 )، (y' '(0) = 0 )؛ ( {x، ، x ^ 2، ، e ^ x } )

27. (x ^ {3} y '' + x ^ {2} y '- 2xy' + 2y = x (x + 1)، quad y (-1) = - 6، quad y ' (-1) = frac {43} {6}، quad y '(- 1) = - frac {5} {2}؛ {x، ، x ^ 2، ، 1 / ​​x } )

28. ((3x-1) y '' - (12x-1) y '' + 9 (x + 1) y'-9y = 2e ^ x (3x-1) ^ 2، quad y (0 ) = frac {3} {4}، quad y '(0) = frac {5} {4}، quad y' '(0) = frac {1} {4}؛ {x + 1، ، e ^ x، ، e ^ {3x} } )

29. ((x ^ 2-2) y '' - 2xy '' + (2-x ^ 2) y '+ 2xy = 2 (x ^ 2-2) ^ 2، quad y (0) = 1، quad y '(0) = - 5 )، (y' (0) = 5 )؛ ( {x ^ 2، ، e ^ x، ، e ^ {- x} } )

30. (x ^ 4y ^ {(4)} + 3x ^ 3y '' - x ^ 2y '+ 2xy'-2y = 9x ^ 2، quad y (1) = - 7، quad y' (1) = -11، quad y '' (1) = - 5، quad y '' '' (1) = 6؛ quad {x، ، x ^ 2، ، 1 / ​​x، ، x ln x } )

31. ((2x-1) y ^ {(4)} - 4xy '' '' + (5-2x) y '+ 4xy'-4y = 6 (2x-1) ^ 2، quad y (0 ) = frac {55} {4}، quad y '(0) = 0، quad y' '(0) = 13، quad y' '' '(0) = 1؛ {x، ، e ^ x، ، e ^ {- x}، ، e ^ {2x} } )

32. (4x ^ 4y ^ {(4)} + 24x ^ 3y '' '+ 23x ^ 2y' '- xy' + y = 6x، quad y (1) = 2، quad y '(1) = 0، quad y '' (1) = 4، quad y '' (1) = - frac {37} {4}؛ {x، sqrt x، 1 / ​​x، 1 / ​​ sqrt س } )

33. (x ^ 4y ^ 4 + 5x ^ 3y '' - 3x ^ 2y '' - 6xy '+ 6y = 40x ^ 3، quad y (-1) = - 1، ؛ y' (- 1 ) = - 7 ) ،

(ص '' (- 1) = - 1 ، رباعي ص '' (- 1) = - 31 ) ؛ ( {x، ، x ^ 3، ، 1 / ​​x، ، 1 / ​​x ^ 2 } )

Q9.4.3

34. افترض المعادلة

[P_0 (x) y ^ {(n)} + P_1 (x) y ^ {(n-1)} + cdots + P_n (x) y = F (x) tag {A} ]

أمر طبيعي في فترة ((أ ، ب) ). لنفترض أن ( {y_1، y_2، dots، y_n } ) مجموعة أساسية من الحلول لمعادلتها التكميلية في ((a، b) ) ، دع (W ) يكون Wronskian لـ ( {y_1، y_2، dots، y_n } ) ، وليكن (W_j ) هو المحدد الذي تم الحصول عليه بحذف الصف الأخير والعمود (j ) - رقم (W ). افترض أن (x_0 ) في ((أ ، ب) ) ، دعنا

[u_j (x) = (- 1) ^ {(nj)} int_ {x_0} ^ x {F (t) W_j (t) over P_0 (t) W (t)} ، dt، quad 1 le j le n ، غير رقم ]

وتحديد

[y_p = u_1y_1 + u_2y_2 + cdots + u_ny_n. nonumber ]

  1. أظهر أن (y_p ) هو حل لـ (أ) وأن [y_p ^ {(r)} = u_1y ^ {(r)} _ 1 + u_2y_2 ^ {(r)} cdots + u_ny ^ {(r )} _ n، quad 1 le r le n-1، nonumber ] و [y_p ^ {(n)} = u_1y_1 ^ {(n)} + u_2y_2 ^ {(n)} + cdots + u_ny_n ^ {(n)} + {F over P_0}. nonumber ] تلميح: انظر اشتقاق طريقة اختلاف المعلمات في بداية القسم.
  2. أظهر أن (y_p ) هو الحل لمشكلة القيمة الأولية [ start {array} {r} P_0 (x) y ^ {(n)} + P_1 (x) y ^ {(n-1)} + cdots + P_n (x) y = F (x) ، y (x_0) = 0 ، ؛ y '(x_0) = 0، dots، quad y ^ {(n-1)} (x_0) = 0. نهاية {مجموعة} غير رقم ]
  3. بيّن أنه يمكن كتابة (y_p ) كـ [y_p (x) = int_ {x_0} ^ x G (x، t) F (t) ، dt، nonumber ] حيث [G (x، t) = {1 over P_0 (t) W (t)} left | start {array} {cccc} y_1 (t) & y_2 (t) & cdots & y_n (t) [4pt] y_1 '(t ) & y_2 '(t) & cdots & y_n' (t) [4pt] vdots & vdots & ddots & vdots [4pt] y_1 ^ {(n-2)} (t) & y_2 ^ {(n-2 )} (t) & cdots & y_n ^ {(n-2)} (t) [4pt] y_1 (x) & y_2 (x) & cdots & y_n (x) end {array} right | ، nonumber ] وهو ما يسمى وظيفة جرين لـ (أ).
  4. أظهر أن [{ جزئي ^ {j} G (x، t) over جزئي x ^ j} = {1 over P_0 (t) W (t)} left | begin {array} {cccc} y_1 (t) & y_2 (t) & cdots & y_n (t) [4pt] y_1 '(t) & y_2' (t) & cdots & y_n '(t) [4pt] vdots & vdots & ddots & vdots [4pt] y_1 ^ {(n-2)} (t) & y_2 ^ {(n-2)} (t) & cdots & y_n ^ {(n-2)} (t) [4pt] y_1 ^ { (j)} (x) & y_2 ^ {(j)} (x) & cdots & y_n ^ {(j)} (x) end {array} right | ، quad 0 le j le n. non number ]
  5. أظهر أنه إذا (a
  6. بيّن أن [y_ {p} ^ {(j)} (x) = left { begin {array} {cl} { int_ {x_ {0}} ^ {x} frac { جزئي ^ { j} G (x، t)} { جزئي x ^ {j}} F (t) dt،} & {1 leq j leq n-1،} { frac {F (x)} { P_ {0} (x)} + int_ {x_ {0}} ^ {x} frac { جزئي ^ {(n)} G (x، t)} { جزئي x ^ {n}} F ( t) dt،} & {j = n.} end {array} right. لا يوجد رقم]

Q9.4.4

في تمارين 9.4.35-9.4.42 استخدم الطريقة التي اقترحها تمرين 9.4.34 لإيجاد حل معين بالصيغة (y_ {p} = int_ {x_ {0}} ^ {x} G (x، t) F (t) dt ) ، بالنظر إلى مجموعة الحلول الأساسية المشار إليها. افترض أن (x ) و (x_ {0} ) في فترة تكون فيها المعادلة طبيعية.

35. (y '' '+ 2y'-y'-2y = F (x)؛ quad {e ^ x، ، e ^ {- x}، e ^ {- 2x} } )

36. (x ^ 3y '' '+ x ^ 2y' '- 2xy' + 2y = F (x)؛ quad {x، ، x ^ 2، ، 1 / ​​x } )

37. (x ^ 3y '' "- x ^ 2 (x + 3) y '' + 2x (x + 3) y'-2 (x + 3) y = F (x)؛ {x، x ^ 2 ، xe ^ x } )

38. (x (1-x) y '' '+ (x ^ 2-3x + 3) y' '+ xy'-y = F (x)؛ quad {x، ، 1 / ​​x، ، ه ^ س / س } )

39. (y ^ {(4)} - 5y '+ 4y = F (x)؛ quad {e ^ x، ، e ^ {- x}، ، e ^ {2x}، ، ه ^ {- 2x} } )

40. (xy ^ {(4)} + 4y '' = F (x)؛ quad {1، ، x، ، x ^ 2، ، 1 / ​​x } )

41. (x ^ 4y ^ {(4)} + 6x ^ 3y '' '+ 2x ^ 2y' '- 4xy' + 4y = F (x) ) ؛ ( {x، x ^ 2،1 / x، 1 / ​​x ^ 2 } )

42. (xy ^ {(4)} - y '' '- 4xy' + 4y '= F (x)؛ quad {1، ، x ^ 2، ، e ^ {2x}، e ^ {-2x} } )