مقالات

5.3: الدوال المثلثية المعكوسة


لقد ذكرنا باختصار الدوال المثلثية العكسية من قبل ، على سبيل المثال في القسم 1.3 عندما ناقشنا كيفية استخدام ( fbox { ( sin ^ {- 1} )} ) ، ( fbox { ( cos ^ {- 1} )} ) و ( fbox { ( tan ^ {- 1} )} ) على الآلة الحاسبة للعثور على زاوية لها قيمة معينة للدالة المثلثية. سنقوم الآن بتعريف تلك الدوال العكسية وتحديد الرسوم البيانية الخاصة بها.

أذكر أن أ وظيفة هي قاعدة تقوم بتعيين كائن واحد (ص ) من مجموعة واحدة (ملف نطاق لكل كائن (x ) من مجموعة أخرى (ملف نطاق). يمكننا كتابة هذه القاعدة كـ (y = f (x) ) ، حيث (f ) هي الوظيفة (انظر الشكل 5.3.1). هناك بسيط القاعدة العمودية لتحديد ما إذا كانت القاعدة (y = f (x) ) دالة: (f ) هي وظيفة إذا وفقط إذا كان كل خط عمودي يتقاطع مع الرسم البياني (y = f (x) ) في (xy ) - تنسيق الطائرة مرة واحدة على الأكثر (انظر الشكل 5.3.2).

تذكر أن الوظيفة (f ) هي واحد لواحد (غالبًا ما يكتب كـ (1-1 )) إذا كان يعين قيمًا مميزة لـ (ص ) لقيم مميزة لـ (س ). بمعنى آخر ، إذا (x_1 ne x_2 ) ثم (f (x_1) ne f (x_2) ). بالتساوي ، (f ) هو واحد لواحد إذا كان (f (x_1) = f (x_2) ) يعني (x_1 = x_2 ). هناك بسيط قاعدة افقية لتحديد ما إذا كانت الدالة (y = f (x) ) هي واحد لواحد: (f ) هي واحد لواحد إذا وفقط إذا كان كل خط أفقي يتقاطع مع الرسم البياني لـ (y = f ( x) ) في (xy ) - مستوى الإحداثيات مرة واحدة على الأكثر (انظر الشكل 5.3.3).

إذا كانت الوظيفة (f ) هي واحد لواحد في مجالها ، فإن (f ) لديها وظيفة عكسية، يُرمز إليها بـ (f ^ {- 1} ) ، مثل (y = f (x) ) إذا وفقط إذا (f ^ {- 1} (y) = x ). مجال (f ^ {- 1} ) هو نطاق (f ).

الفكرة الأساسية هي أن (f ^ {- 1} ) "يلغي" ما يفعله (f ) والعكس صحيح. بعبارة أخرى ،
[ nonumber begin {alignat *} {3}
f ^ {- 1} (f (x)) ~ & = ~ x quad && text {للجميع (x ) في مجال (f ) ، و} nonumber
f (f ^ {- 1} (y)) ~ & = ~ y quad && text {للجميع (y ) في النطاق (f ).}
نهاية {محاذاة *} ]

نعلم من الرسوم البيانية الخاصة بهم أنه لا توجد أي من الدوال المثلثية واحدة لواحد في نطاقاتها بالكامل. ومع ذلك ، يمكننا تقييد هذه الوظائف على مجموعات فرعية من المجالات الخاصة بهم حيث هم نكون واحد لواحد. على سبيل المثال ، (y = sin ؛ x ) هو رأس برأس على الفاصل ( left [- frac { pi} {2}، frac { pi} {2} right ] ) كما نرى في الرسم البياني أدناه:

بالنسبة إلى (- frac { pi} {2} le x le frac { pi} {2} ) لدينا (- 1 le sin ؛ x le 1 ) ، لذلك نحن يمكن تحديد جيب معكوس دالة (y = sin ^ {- 1} x ) (تسمى أحيانًا قوس الجيب ويُشار إليها بـ (y = arcsin ؛ x )) الذي يمثل مجاله الفاصل ([- 1،1] ) ونطاقه هو الفاصل ( left [- frac { pi} {2 } ، frac { pi} {2} right] ). بعبارات أخرى:

[ ابدأ {محاذاة} {3}
sin ^ {- 1} ( sin ؛ y) ~ & = ~ y quad && text {for (- tfrac { pi} {2} le y le
tfrac { pi} {2} )} label {eqn: arcsin1}
sin ؛ ( sin ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {for (- 1 le x le 1 )} label {eqn: arcsin2}
نهاية {محاذاة} ]

مثال 5.13

ابحث عن ( sin ^ {- 1} left ( sin ؛ frac { pi} {4} right) ).

المحلول

منذ (- frac { pi} {2} le frac { pi} {4} le frac { pi} {2} ) ، نعلم أن ( sin ^ {- 1} left ( sin ؛ frac { pi} {4} right) = boxed { frac { pi} {4}} ؛ ) ، بالمعادلة المرجع {eqn: arcsin1}.

مثال 5.14

ابحث عن ( sin ^ {- 1} left ( sin ؛ frac {5 pi} {4} right) ).

المحلول

منذ ( frac {5 pi} {4}> frac { pi} {2} ) ، لا يمكننا استخدام المعادلة ref {eqn: arcsin1}. لكننا نعلم أن ( sin ؛ frac {5 pi} {4} = - frac {1} { sqrt {2}} ). وبالتالي ، ( sin ^ {- 1} left ( sin ؛ frac {5 pi} {4} right) = sin ^ {- 1} left (- frac {1} { sqrt {2}} right) ) هي ، حسب التعريف ، الزاوية (y ) مثل (- frac { pi} {2} le y le frac { pi} {2} ) و ( sin ؛ y = - frac {1} { sqrt {2}} ). تلك الزاوية هي (y = - frac { pi} {4} ) منذ ذلك الحين

[ sin ؛ left (- tfrac { pi} {4} right) ~ = ~ - sin ؛ left ( tfrac { pi} {4} right) ~ = ~
- tfrac {1} { sqrt {2}} ~. لا يوجد رقم ]

وبالتالي ، ( sin ^ {- 1} left ( sin ؛ frac {5 pi} {4} right) = boxed {- tfrac { pi} {4}} ؛ ) .

يوضح المثال 5.14 نقطة مهمة: يجب أن يكون ( sin ^ {- 1} x ) دائما يكون رقمًا بين (- frac { pi} {2} ) و ( frac { pi} {2} ). إذا حصلت على رقم خارج هذا النطاق ، فأنت قد ارتكبت خطأ في مكان ما. لهذا السبب حصلنا في المثال 1.27 في القسم 1.5 على ( sin ^ {- 1} (- 0.682) = -43 ^ circ ) عند استخدام ( fbox { ( sin ^ {- 1} ) } ) الموجود على الآلة الحاسبة. بدلاً من الزاوية بين (0 ^ circ ) و (360 ^ circ ) (بمعنى (0 ) إلى (2 pi ) راديان) ، حصلنا على زاوية بين (- 90 ^ circ ) و (90 ^ circ ) (على سبيل المثال (- frac { pi} {2} ) إلى ( frac { pi} {2} ) راديان).

بشكل عام ، الرسم البياني للدالة العكسية (f ^ {- 1} ) هو انعكاس للرسم البياني (f ) حول الخط (y = x ). يظهر الرسم البياني لـ (y = sin ^ {- 1} x ) في الشكل 5.3.5. لاحظ التماثل حول الخط (y = x ) مع الرسم البياني لـ (y = sin ؛ x ).

ال معكوس جيب التمام دالة (y = cos ^ {- 1} x ) (تسمى أحيانًا جيب التمام القوسي والمشار إليها بـ (y = arccos ؛ x )) يمكن تحديدها بطريقة مماثلة. الوظيفة (y = cos ؛ x ) هي واحد لواحد عبر الفاصل ([0، pi] ) ، كما نرى في الرسم البياني أدناه:

وبالتالي ، فإن (y = cos ^ {- 1} x ) هي دالة مجالها هو الفاصل ([- 1،1] ) ونطاقها هو الفاصل ([0، pi] ) . بعبارات أخرى:

[ ابدأ {محاذاة} {3}
cos ^ {- 1} ( cos ؛ y) ~ & = ~ y quad && text {for (0 le y le pi )} label {eqn: arccos1}
cos ؛ ( cos ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {for (- 1 le x le 1 )} label {eqn: arccos2}
نهاية {محاذاة} ]

يظهر الرسم البياني لـ (y = cos ^ {- 1} x ) أدناه في الشكل 5.3.7. لاحظ التناظر حول الخط (y = x ) مع الرسم البياني لـ (y = cos ؛ x ).

مثال 5.15

ابحث عن ( cos ^ {- 1} left ( cos ؛ frac { pi} {3} right) ).

المحلول

منذ (0 le frac { pi} {3} le pi ) ، نعلم أن ( cos ^ {- 1} left ( cos ؛ frac { pi} {3} right) = boxed { frac { pi} {3}} ؛ ) ، بالمعادلة المرجع {eqn: arccos1}.

مثال 5.16

ابحث عن ( cos ^ {- 1} left ( cos ؛ frac {4 pi} {3} right) ).

المحلول

منذ ( frac {4 pi} {3}> pi ) ، لا يمكننا استخدام المعادلة المرجع {eqn: arccos1}. لكننا نعلم أن ( cos ؛ frac {4 pi} {3} = - frac {1} {2} ). وبالتالي ، ( cos ^ {- 1} left ( cos ؛ frac {4 pi} {3} right) = cos ^ {- 1} left (- frac {1} {2 } right) ) هي ، حسب التعريف ، الزاوية (y ) مثل (0 le y le pi ) و ( cos ؛ y = - frac {1} {2} ). هذه الزاوية هي (y = frac {2 pi} {3} ) (أي (120 ^ circ )). وبالتالي ، ( cos ^ {- 1} left ( cos ؛ frac {4 pi} {3} right) = boxed { tfrac {2 pi} {3}} ؛ ) .

قد تكون الأمثلة 5.14 و 5.16 مربكة ، حيث يبدو أنها تنتهك القاعدة العامة للدوال العكسية التي (f ^ {- 1} (f (x)) = x ) للجميع (x ) في مجال (F ). لكن هذه القاعدة لا تنطبق إلا عندما تكون الوظيفة (f ) واحدًا لواحد فوقها بأكمله نطاق. كان علينا حصر دالات الجيب وجيب التمام على مجموعات فرعية صغيرة جدًا من نطاقاتها بالكامل حتى تكون هذه الدوال واحدة لواحد. لذلك ، فإن هذه القاعدة العامة تنطبق فقط على (x ) في تلك المجموعات الفرعية الصغيرة في حالة الجيب المعكوس وجيب التمام المعكوس.

ال الظل المعكوس دالة (y = tan ^ {- 1} x ) (تسمى أحيانًا ظل القوس والمشار إليها بـ (y = arctan ؛ x )) يمكن تحديدها بالمثل. الدالة (y = tan ؛ x ) هي واحد لواحد على الفاصل ( left (- frac { pi} {2} ، frac { pi} {2} right) ) كما نرى في الشكل 5.3.8:

يظهر الرسم البياني لـ (y = tan ^ {- 1} x ) أدناه في الشكل 5.3.9. لاحظ أن الخطوط المقاربة العمودية لـ (y = tan ؛ x ) تصبح خطوط مقاربة أفقية لـ (y = tan ^ {- 1} x ). لاحظ أيضًا التناظر حول الخط (y = x ) مع الرسم البياني لـ (y = tan ؛ x ).

وبالتالي ، فإن (y = tan ^ {- 1} x ) هي دالة مجالها هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية ونطاقها هو الفاصل ( left (- frac { pi} {2}، frac { pi} {2} right) ). بعبارات أخرى:

[ ابدأ {محاذاة} {3}
tan ^ {- 1} ( tan ؛ y) ~ & = ~ y quad && text {for (- tfrac { pi} {2} tfrac { pi} {2} )} label {eqn: arctan1}
tan ؛ ( tan ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {for all real (x )} label {eqn: arctan2}
نهاية {محاذاة} ]

مثال 5.17

ابحث عن ( tan ^ {- 1} left ( tan ؛ frac { pi} {4} right) ).

المحلول

منذ (- tfrac { pi} {2} le tfrac { pi} {4} le tfrac { pi} {2} ) ، نعلم أن ( tan ^ {- 1} left ( tan ؛ frac { pi} {4} right) = boxed { frac { pi} {4}} ؛ ) ، بالمعادلة المرجع {eqn: arctan1}.

مثال 5.18

ابحث عن ( tan ^ {- 1} left ( tan ؛ pi right) ).

المحلول

منذ ( pi> tfrac { pi} {2} ) ، لا يمكننا استخدام المعادلة المرجع {eqn: arctan1}. لكننا نعلم أن ( tan ؛ pi = 0 ). وبالتالي ، فإن ( tan ^ {- 1} left ( tan ؛ pi right) = tan ^ {- 1} 0 ) هي ، بالتعريف ، الزاوية (y ) بحيث ( - tfrac { pi} {2} le y le tfrac { pi} {2} ) و ( tan ؛ y = 0 ). تلك الزاوية هي (ص = 0 ). وبالتالي ، ( tan ^ {- 1} left ( tan ؛ pi right) = boxed {0} ؛ ).

مثال 5.19

أوجد القيمة الدقيقة لـ ( cos ؛ left ( sin ^ {- 1} ؛ left (- frac {1} {4} right) right) ).

المحلول

دع ( theta = sin ^ {- 1} ؛ left (- frac {1} {4} right) ). نعلم أن (- tfrac { pi} {2} le theta le tfrac { pi} {2} ) ، لذا منذ ( sin ؛ theta = - frac {1} {4} <0 ) ، يجب أن يكون ( theta ) في QIV. ومن هنا ( cos ؛ theta> 0 ). هكذا،

[ cos ^ 2 ؛ theta ~ = ~ 1 ~ - ~ sin ^ 2 ؛ theta ~ = ~ 1 ~ - ~ left (- frac {1} {4} right) ^ 2 ~ = ~ فارك {15} {16}
quad Rightarrow quad cos ؛ theta ~ = ~ frac { sqrt {15}} {4} ~. لا يوجد رقم ]

لاحظ أننا أخذنا الجذر التربيعي الموجب أعلاه منذ ( cos ؛ theta> 0 ). وبالتالي ، ( cos ؛ left ( sin ^ {- 1} ؛ left (- frac {1} {4} right) right) = boxed { frac { sqrt {15} } {4}} ؛ ).

مثال 5.20

بيّن أن ( tan ؛ ( sin ^ {- 1} x) = dfrac {x} { sqrt {1 - x ^ 2}} ) لـ (- 1

المحلول

عندما (س = 0 ) ، تبقى المعادلة تافهة ، منذ ذلك الحين

[ nonumber tan ؛ ( sin ^ {- 1} 0) ~ = ~ tan ؛ 0 ~ = ~ 0 ~ = ~ dfrac {0} { sqrt {1 - 0 ^ 2}} ~ . ]

افترض الآن أن (0

إذا كان (- 1

يمكن تحديد الدوال العكسية لـ cotangent و cosecant و secant من خلال النظر إلى الرسوم البيانية الخاصة بهم. على سبيل المثال ، الدالة (y = cot ؛ x ) هي واحد لواحد في الفاصل ((0 ، pi) ) ، حيث يكون لها نطاق يساوي مجموعة جميع الأرقام الحقيقية. وهكذا ، فإن ظل التمام العكسي (y = cot ^ {- 1} x ) هي دالة مجالها هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية ونطاقها الفاصل ((0، pi) ). بعبارات أخرى:

[ ابدأ {محاذاة} {3}
cot ^ {- 1} ( cot ؛ y) ~ & = ~ y quad && text {for (0 cot ؛ ( cot ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {for all real (x )} label {eqn: arccot2}
نهاية {محاذاة} ]

يظهر الرسم البياني لـ (y = cot ^ {- 1} x ) أدناه في الشكل 5.3.11.

وبالمثل ، يمكن إثبات أن ملف التمام العكسي (y = csc ^ {- 1} x ) دالة مجالها (| x | ge 1 ) ونطاقها (- frac { pi} {2} le y le frac { pi} {2} ) ، (y ne 0 ). وبالمثل ، فإن قاطع عكسي (y = sec ^ {- 1} x ) دالة مجالها (| x | ge 1 ) ونطاقها (0 le y le pi )، (y ne frac { pi} {2} ).

[ ابدأ {محاذاة} {3}
csc ^ {- 1} ( csc ؛ y) ~ & = ~ y quad && text {for (- frac { pi} {2} le
y le frac { pi} {2} )، (y ne 0 )} label {eqn: arccsc1}
csc ؛ ( csc ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {for (| x | ge 1 )} label {eqn: arccsc2}
نهاية {محاذاة} ]

[ ابدأ {محاذاة} {3}
ثانية ^ {- 1} ( sec ؛ y) ~ & = ~ y quad && text {for (0 le y le pi )، (y ne
frac { pi} {2} )} label {eqn: arcsec1}
sec ؛ ( sec ^ {- 1} x) ~ & = ~ x quad && text {for (| x | ge 1 )} label {eqn: arcsec2}
نهاية {محاذاة} ]

من الشائع أيضًا استدعاء ( cot ^ {- 1} x ) و ( csc ^ {- 1} x ) و ( sec ^ {- 1} x ) ظل التمام القوسي, قوس التمام القوسي، و قاطع القوس، على التوالي ، من (س ). الرسوم البيانية لـ (y = csc ^ {- 1} x ) و (y = sec ^ {- 1} x ) موضحة في الشكل 5.3.12:

مثال 5.21

إثبات الهوية ( tan ^ {- 1} x ؛ + ؛ cot ^ {- 1} x ~ = ~ frac { pi} {2} ).

المحلول:

دع ( theta = cot ^ {- 1} x ). باستخدام العلاقات من القسم 1.5 ، لدينا

[ nonumber tan ؛ left ( tfrac { pi} {2} - theta right) ~ = ~ - tan ؛ left ( theta - tfrac { pi} {2} حق)
~ = ~ cot ؛ theta ~ = ~ cot ؛ ( cot ^ {- 1} x) ~ = ~ x ~، ]

بالمعادلة المرجع {eqn: arccot2}. منذ ( tan ؛ ( tan ^ {- 1} x) = x ) للجميع (x ) ، هذا يعني أن ( tan ؛ ( tan ^ {- 1} x) = tan ؛ left ( tfrac { pi} {2} - theta right) ). وبالتالي ، ( tan ؛ ( tan ^ {- 1} x) = tan ؛ left ( tfrac { pi} {2} - cot ^ {- 1} x right) ). الآن ، نعلم أن (0 < cot ^ {- 1} x < pi ) ، لذلك (- tfrac { pi} {2} < tfrac { pi} {2} - cot ^ {-1} x < tfrac { pi} {2} ) ، أي ( tfrac { pi} {2} - cot ^ {- 1} x ) في المجموعة الفرعية المقيدة التي يكون فيها الظل الوظيفة هي واحد لواحد. ومن ثم ، يشير ( tan ؛ ( tan ^ {- 1} x) = tan ؛ left ( tfrac { pi} {2} - cot ^ {- 1} x right) ) that ( tan ^ {- 1} x = tfrac { pi} {2} - cot ^ {- 1} x ) ، مما يثبت الهوية.

مثال 5.22

هو (؛ tan ^ {- 1} a ؛ + ؛ tan ^ {- 1} b ~ = ~ tan ^ {- 1} left ( dfrac {a + b} {1-ab } حق) ؛ ) هوية؟

المحلول

في معادلة إضافة الظل ( tan ؛ (A + B) = dfrac { tan ؛ A ؛ + ؛ tan ؛ B} {1 ؛ - ؛ tan ؛ A ~ tan ؛ B} ) ، دعونا (A = tan ^ {- 1} a ) و (B = tan ^ {- 1} b ). ثم

[ عدد ابدأ {محاذاة *}
tan ؛ ( tan ^ {- 1} a ؛ + ؛ tan ^ {- 1} b) ~ & = ~ dfrac { tan ؛ ( tan ^ {- 1} a) ؛ + ؛ tan ؛ ( tan ^ {- 1}
ب)} {1 ؛ - ؛ tan ؛ ( tan ^ {- 1} a) ~ tan ؛ ( tan ^ {- 1} b)} nonumber
& = ~ dfrac {a + b} {1-ab} qquad text {بالمعادلة المرجع {eqn: arctan2} ، لذلك يبدو أن لدينا} nonumber
tan ^ {- 1} a ؛ + ؛ tan ^ {- 1} b ~ & = ~ tan ^ {- 1} left ( dfrac {a + b} {1-ab} right)
النهاية {محاذاة *} ]

من خلال تعريف المماس المعكوس. ومع ذلك ، تذكر أن (- tfrac { pi} {2} < tan ^ {- 1} x < tfrac { pi} {2} ) لجميع الأرقام الحقيقية (x ). لذلك على وجه الخصوص ، يجب أن يكون لدينا (- tfrac { pi} {2} < tan ^ {- 1} left ( frac {a + b} {1-ab} right) < tfrac { pi} {2} ). لكن من الممكن أن ( tan ^ {- 1} a ؛ + ؛ tan ^ {- 1} b ) هو ليس في الفاصل ( left (- tfrac { pi} {2} ، tfrac { pi} {2} right) ). فمثلا،

[ tan ^ {- 1} 1 ؛ + ؛ tan ^ {- 1} 2 ~ = ~ 1.892547 ~> ~ tfrac { pi} {2} حوالي 1.570796 ~. nonumber ]

ونلاحظ أن ( tan ^ {- 1} left ( frac {1 + 2} {1- (1) (2)} right) = tan ^ {- 1} (-3) = - 1.249045 ne tan ^ {- 1} 1 ؛ + ؛ tan ^ {- 1} 2 ). لذا فإن المعادلة تكون صحيحة فقط عندما (- tfrac { pi} {2} < tan ^ {- 1} a ؛ + ؛ tan ^ {- 1} b < tfrac { pi} {2 } ).


من خلال مراجعة الدالة العكسية العامة يمكن أن تساعدك في بناء أساس أقوى لعلم المثلثات قبل الخوض في حل دوال المثلثات العكسية. إذا كنت ترغب في إيجاد معكوس دالة ، ما عليك سوى استبدال جميع علامات x بـ y وكل الـ y بـ x. لذا ، إذا أردت إيجاد معكوس y = sin x ، يمكنك قلب المتغيرات والحصول على x = sin y.

يمكنك بعد ذلك حل هذه المعادلة من أجل y بأخذ الجيب العكسي (sin ^ -1 أو arcsin) لكلا الطرفين لأن sin ^ -1 والخطيئة تلغي في الجانب الأيمن. يشير كل من Sin ^ −1 و arcsin إلى عكس دالة الخطيئة ويمكن استخدامهما بالتبادل. يمكنك استخدام أي تدوين تشعر بالراحة أو أكثر دراية به ما لم يطلب منك أستاذك استخدام واحدة منها باستمرار. الحقيقة هي أنه يتم استخدام كلاهما بشكل متكرر للغاية ، لذلك يجب أن تدرك أنهما يعنيان نفس الشيء.


استخدام الآلة الحاسبة لتقييم الدوال المثلثية المعكوسة

لتقييم الدوال المثلثية العكسية التي لا تتضمن الزوايا الخاصة التي تمت مناقشتها سابقًا ، سنحتاج إلى استخدام آلة حاسبة أو أي نوع آخر من التكنولوجيا. تحتوي معظم الآلات الحاسبة العلمية وتطبيقات محاكاة الآلة الحاسبة على مفاتيح أو أزرار محددة للوظائف المعكوسة للجيب وجيب التمام والظل. قد يتم تصنيفها ، على سبيل المثال ، SIN-1 أو ARCSIN أو ASIN.

في الفصل السابق ، عملنا مع حساب المثلثات على مثلث قائم الزاوية لإيجاد أضلاع مثلث بمعلومية جانب واحد وزاوية إضافية. باستخدام الدوال المثلثية العكسية ، يمكننا إيجاد زوايا مثلث قائم الزاوية بمعلومية ضلعين ، ويمكننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد القيم لأقرب عدة منازل عشرية.

في هذه الأمثلة والتمارين ، سيتم تفسير الإجابات على أنها زوايا وسنستخدم θ كمتغير مستقل. قد تكون القيمة المعروضة على الآلة الحاسبة بالدرجات أو الراديان ، لذا تأكد من ضبط الوضع المناسب للتطبيق.

مثال 3: إيجاد قيمة الجيب المعكوس على الآلة الحاسبة

تقييم [latex] sin ^ <−1> (0.97) [/ latex] باستخدام الآلة الحاسبة.

المحلول

نظرًا لأن ناتج الدالة العكسية عبارة عن زاوية ، فإن الآلة الحاسبة ستعطينا قيمة درجة إذا كانت في وضع الدرجة وقيمة راديان إذا كانت في وضع الراديان. تستخدم الآلات الحاسبة أيضًا نفس قيود المجال على الزوايا التي نستخدمها.

في وضع الراديان ، [لاتكس] sin ^ <−1> (0.97) حوالي 1.3252 [/ لاتكس]. في وضع الدرجة ، [اللاتكس] الخطيئة ^ <−1> (0.97) حوالي 75.93 ^ < circ> [/ اللاتكس]. لاحظ أنه في حساب التفاضل والتكامل وما بعده ، سنستخدم الراديان في جميع الحالات تقريبًا.

جربه 3

قم بتقييم [latex] cos ^ <−1> (−0.4) [/ latex] باستخدام الآلة الحاسبة.

الكيفية: بالنظر إلى ضلعين لمثلث قائم الزاوية مثل المثلث الموضح في الشكل 7 ، أوجد زاوية.

  1. إذا كان أحد أضلاعه هو وتر الطول h وجانب الطول المجاور للزاوية المرغوبة ، فاستخدم المعادلة [latex] theta = cos ^ <−1> left ( frac right) [/ لاتكس].
  2. إذا كان أحد الأضلاع هو وتر الطول ح وجانب الطول ص مقابل الزاوية المرغوبة ، استخدم المعادلة [اللاتكس] theta = sin ^ <−1> left ( frac

    right) [/ لاتكس].

  3. إذا تم إعطاء الساقين (الضلع المجاور للزاوية اليمنى) ، فاستخدم المعادلة [اللاتكس] theta = tan ^ <>1> left ( frac

    right) [/ لاتكس].

مثال 4: تطبيق معكوس جيب التمام على مثلث قائم الزاوية

حل المثلث في الشكل 8 للزاوية θ.

المحلول

نظرًا لأننا نعرف الوتر والضلع المجاور للزاوية ، فمن المنطقي أن نستخدم دالة جيب التمام.

جربه 4

حل المثلث في الشكل 9 للزاوية θ.


لقد تعلمنا ذلك سابقًا في F(x) و F –1 (x) كانت معكوسة ، إذن F(F –1 (x)) = x و F –1 (F(x)) = x. وينطبق الشيء نفسه على الدوال المثلثية مع استثناء. يجب تطبيق مجال الوظائف العكسية.

تكوين معكوس الدوال المثلثية

إذا –1 ≤ x ≤ 1 و (- frac<π><2>) ≤ ذ ≤ ( frac<π><2> ) ، ثم الخطيئة (sin –1 (x)) = x و sin –1 (الخطيئة (ذ)) = ذ

إذا –1 ≤ x ≤ 1 و 0 ذπ، ثم cos (cos –1 (x)) = x و cos –1 (كوس (ذ)) = ذ

لو x هو رقم حقيقي و (- frac<π><2>) ≤ ذ ≤ ( frac<π><2> ) ، ثم تان (tan –1 (x)) = x وتان -1 (تان (ذ)) = ذ

تذكر أن تكون حريصًا على الحفاظ على مجال ونطاق التكوين. العمل من خلال التكوين من الداخل الى الخارج.

مثال 1: تقييم تركيبات دوال المثلث العكسي

احسب أ) ( خطيئة يسار ( arcsin فارك <1> <2> يمين) ) ، ب) ( cos يسار ( cos ^ <–1>frac<2π> <3> يمين) ) ، ج) تان (أركتان –10).

المحلول
  1. ( sin left ( arcsin frac <1> <2> right) ): arcsin هي الوظيفة الداخلية ، ومجال arcsin هو –1 ≤ x ≤ 1. ( frac <1> <2> ) في هذا المجال. ( arcsin left ( frac <1> <2> right) = frac<π><6> ) ، ثم ابحث عن ( sin left ( frac<π><6> right) = frac <1> <2> ). لذا ( sin left ( arcsin frac <1> <2> right) = frac<π><6>).
  2. ( cos left ( cos ^ <–1>frac<2π> <3> right) ): cos –1 هي الوظيفة الداخلية ، ومجال cos –1 هو –1 ≤ x ≤ 1. ( frac <2π> <3> تقريبًا 2 ) ، لذلك ( frac <2π> <3> ) خارج المجال وبالتالي لا يوجد حل لـ ( cos left ( cos ^ <–1>frac<2π> <3> right) ).
  3. tan (arctan –10): arctan هو الوظيفة الداخلية ، ومجال arctan هو أي رقم حقيقي. –10 هو رقم حقيقي ، لذا تان (أركتان –10) = –10.
جربه 1

احسب أ) الخطيئة (الخطيئة –1 (0.345)) و ب) ( cos left ( cos ^ <–1>–frac<2> <3> right) ).

الإجابات

مثال 2: تقييم تركيبات دوال المثلث العكسي

احسب أ) ( arcsin left ( sin frac<π><3> right) ) ، b) ( arccos left ( cos frac <5π> <4> right) ) ، و c) tan –1 (tan π).

المحلول

( arcsin يسار ( sin frac<π><3> right) ): العمل من الداخل الى الخارج. ( خطيئة فارك<π> <3> = frac < sqrt <3>> <2> ) لذا

(تذكر أن نطاق arccos هو 0 ≤ ذπ.)

تان -1 (تان π): تان π = 0 هكذا

تان -1 (تان π)
= تان –1 (0)
= 0

(تذكر أن نطاق tan –1 هو (- frac<π><2>) ≤ ذ ≤ ( frac<π><2>).)

جربه 2

احسب أ) ( arctan left ( tan frac <3π> <4> right) ) و b) sin –1 (sin (–0.354)).

الإجابات

يمكن أيضًا حل تكوين الدوال المثلثية باستخدام المثلثات القائمة. استخدم الدالة الداخلية لرسم مثلث قائم الزاوية ، ثم استخدم المثلث لتقييم الدالة الخارجية.

استخدام مثلث قائم الزاوية لحل تركيب الدوال المثلثية
  1. ارسم مثلث قائم الزاوية لتمثيل الوظيفة الداخلية. يجب تسمية الجانبين.
  2. استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع الآخر.
  3. استخدم المثلث لحساب الدالة المثلثية الخارجية.

مثال 3: تقييم التركيب المختلط للدوال المثلثية

قم بتقييم أ) ( cos left ( arcsin frac <3> <5> right) ) و ب) ( tan left ( cos ^ <–1> left (- frac <2 > <3> right) right) ).

ابدأ بالوظيفة الداخلية ، ( arcsin frac <3> <5> ). ( الخطيئة س = فارك) ، لذا ارسم مثلثًا قائمًا في الربع 1 وقم بتسمية الزاوية الحادة بالأصل. الضلع المقابل هو 3 والوتر 5. انظر الشكل 2. استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع الآخر.

3 2 + ب 2 = 5 2
ب = 4

الآن أوجد الدالة الخارجية ، cos ، للزاوية.

ابدأ بالوظيفة الداخلية ، ( cos ^ <–1> left(–frac<2> <3> right) ) وارسم مثلثًا قائمًا. بما أن نسبة الأضلاع سالبة ، ارسم المثلث في الربع السالب للدالة المثلثية العكسية. بالنسبة إلى cos –1 ، يكون الربع السالب هو الربع 2. قم بتسمية الزاوية حسب الأصل والضلع المجاور –2 والوتر 3. انظر الشكل 3. استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع الآخر.

(–2) 2 + ب 2 = 3 2
(ب = الجذر التربيعي <5> )

الآن احسب الدالة الخارجية ، tan ، للزاوية.

جربه 3

قم بتقييم ( sin left ( arctan left (- frac <12> <5> right) right) ).

إجابه

مثال 4: تكوين الدوال المثلثية باستخدام x

أعد كتابته كتعبير جبري أ) الخطيئة (arccos (x)) و b) tan (sin –1 (2x)).

ارسم مثلثًا قائمًا وقم بتسمية الجوانب. نسبة الأضلاع هي (x = frac<1> ). بما أن الوظيفة الداخلية هي ( arccos left ( frac<1> right) ) ، الضلع المجاور هو x والوتر هو 1. انظر الشكل 4. استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد تعبير للطرف الثالث.

x 2 + ب 2 = 1 2
ب 2 = 1 – x 2
(ب = الجذر التربيعي <1 - س ^ <2>> )

الآن قيم الدالة الخارجية ، الجيب.

ارسم مثلثًا قائمًا وقم بتسمية الجوانب. نسبة الأضلاع هي (2x = frac <2x> <1> ). نظرًا لأن الوظيفة الداخلية هي ( sin ^ <–1> left ( frac <2x> <1> right) ) ، فإن الجانب المقابل هو 2x والوتر هو 1. انظر الشكل 5. استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد تعبير للطرف الثالث.

أ 2 + (2x) 2 = 1 2
أ 2 + 4x 2 = 1
أ 2 = 1 – 4x 2
(a = sqrt <1 - 4x ^ <2>> )

الآن احسب الدالة الخارجية ، الظل.

جربه 4

أعد الكتابة كتعبير جبري: ( cos left ( arctan left ( frac<2> right) right) ).

إجابه

5.3: الدوال المثلثية المعكوسة

في هذه المقالة ، سننظر بعناية أكبر في بعض الخصائص الجبرية لوظائف حساب المثلثات.

الهويات المثلثية

ترتبط وظائف Trig ارتباطًا وثيقًا ، وغالبًا ما يكون من المفيد التعبير عنها في أشكال مختلفة. تحقيقا لهذه الغاية ، غالبا ما تكون الهويات مفيدة. حساب حساب المثلثات هوية هي معادلة من تعبيرين ثابتين دائمًا. الهوية المثلثية بسيطة للغاية هي التالية:

يجب أن نعرف ذلك بالفعل ، و.

توضح مشكلة الممارسة التالية الدليل على هوية مثلثية شائعة أخرى: هوية فيثاغورس. أولاً ، لاحظ أدناه الطريقة الشائعة الاستخدام لكتابة دوال حساب المثلثات:

مشكلة الممارسة: إثبات الهوية.


الآن ، استبدل كل دالة حساب المثلثات بالمقاييس الجانبية المرتبطة بالمثلث الأيمن أعلاه.

لكن لاحظ أنه من خلال نظرية فيثاغورس ، x 2 + ذ 2 = ص 2. هكذا،

لهذا السبب ، غالبًا ما تسمى هذه الهوية هوية فيثاغورس.

زوجان من الهويات المثلثية الشائعة مذكورة أدناه.

العلاقات الأخرى بين الدوال المثلثية


يمكننا كتابة التعابير التالية على أساس الرسم البياني أعلاه.

بيانيا ، يمكننا أيضا رؤية هذه العلاقات. أولاً ، لاحظ أن دالة الجيب هي دالة فردية. بشكل عام ، أي وظيفة F(x) هو وظيفة غريبة لو . طريقة أخرى للنظر إلى هذا هو أن الوظيفة F(x) يكون غير متماثل حول ال ذ-محور. بالإضافة إلى ذلك ، لاحظ أن دالة جيب التمام هي دالة زوجية. أي وظيفة F(x) هو دالة زوجية إذا كان هذا يعني أن الوظيفة هي متماثل حول ال ذ-محور.

الآن ، لاحظ ذلك من أجل الخطيئة θ, إذا طرحنا من الوسيطة (θ) ، نحصل على دالة جيب التمام السالبة. (طرح من حجة الخطيئة θ له تأثير تحويل الوظيفة إلى اليمين بواسطة.)

لكن باستخدام عدم تناسق دالة الجيب ، يمكننا اشتقاق الشكل السابق للمتطابقة:

يمكن استخدام نفس النوع من التفكير الرسومي لإثبات الهوية الأخرى. فيما يلي العديد من الهويات المثلثية المفيدة الأخرى.

الدوال المثلثية المعكوسة

المجموعة النهائية من الدوال المثلثية الإضافية التي سنقدمها هي دوال المثلثات العكسية. تتم كتابة هذه في بعض الأحيان باستخدام & # 82111 مرتفع (كما فعلنا سابقًا للوظائف العكسية العامة) ، أو يستخدمون البادئة قوس. وهكذا ، على سبيل المثال ، arcsin θ وخطيئة -1 θ هي نفس الوظيفة. مرة أخرى ، باتباع نفس النمط مثل الدوال العكسية السابقة ، لاحظ العلاقات التالية.

نظرًا لأن الدوال المثلثية ليست فردية ، يجب معالجة هذه الانعكاسات بعناية (عن طريق تحديد نطاقاتها بحيث لا تنتهك اختبار الخط العمودي وبالتالي تظل وظائف). لن نتعامل بإسهاب مع الإصدارات الرسومية لهذه الوظائف. لاحظ ، مع ذلك ، أن مجال دوال المثلثات العكسية هو نفس نطاق دالة المثلثات القياسية المقابلة. وهكذا ، على سبيل المثال ، مجال أركسين θ هو [& # 82111، 1] ، لأن نطاق الخطيئة θ هو [& # 82111، 1].

لنلقِ نظرة الآن على مثال بسيط لتطبيق دوال المثلثات العكسية.

ما قيمة هذا التعبير؟ أولاً ، لاحظ أن الجيب العكسي هو مجرد زاوية.

خذ شرط كلا الجانبين وطبق القواعد المذكورة أعلاه.

السؤال إذن هو أي قيم θ إرضاء المعادلة الخطيئة θ = 1. تتمثل إحدى الطرق في إلقاء نظرة على الرسم البياني لوظيفة الجيب.

لاحظ أنه إذا قمنا بتمديد دالة الجيب إلى ما لا نهاية في أي من الاتجاهين ، فسننتهي بعدد لا حصر له من الحلول θ. هناك الحلول التالية:

قد تجد هذه النتيجة مشكلة. أي إجابة يجب أن تختارها في مشكلة معينة؟ كما اتضح ، غالبًا ما تحدد معلمات المشكلة الحل المقبول. على سبيل المثال ، إذا كنت بحاجة إلى حساب دالة مثلثية عكسية لحساب الزاوية الداخلية لمثلث ، فيمكنك على الفور تجاهل جميع الحلول السالبة بالإضافة إلى أي حل أكبر من أو يساوي π. ومع ذلك ، في المشكلات الأكثر تعقيدًا ، قد يكون عدد من الحلول صحيحًا. مرة أخرى ، سيعتمد هذا على تفاصيل المشكلة.


إيجاد القيمة الدقيقة للتعبيرات التي تتضمن دوال الجيب وجيب التمام والظل المعكوسة

الآن بعد أن تمكنا من تحديد الدوال العكسية ، سنتعلم كيفية تقييمها. بالنسبة لمعظم القيم في نطاقاتها ، يجب علينا تقييم الدوال المثلثية العكسية باستخدام آلة حاسبة ، أو الإقحام من جدول ، أو باستخدام بعض الأساليب العددية الأخرى. تمامًا كما فعلنا مع الدوال المثلثية الأصلية ، يمكننا إعطاء قيم دقيقة للدوال العكسية عندما نستخدم الزوايا الخاصة ، على وجه التحديد [اللاتكس] frac < pi> <6> (30 ^ circ) text <، > frac < pi> <4> (45 ^ circ)، text frac < pi> <3> (60 ^ circ) [/ latex] وانعكاساتها في الأرباع الأخرى.

الكيفية: بإعطاء قيمة إدخال "خاصة" ، قم بتقييم دالة مثلثية عكسية.

  1. إيجاد الزاوية x التي لها الدالة المثلثية الأصلية لها ناتج يساوي المدخلات المعطاة للدالة المثلثية العكسية.
  2. لو x ليس في النطاق المحدد للعكس ، ابحث عن زاوية أخرى ذ هذا في النطاق المحدد وله نفس الجيب أو جيب التمام أو الظل x، اعتمادًا على ما يتوافق مع الدالة العكسية المحددة.

مثال 2: تقييم الدوال المثلثية المعكوسة لقيم المدخلات الخاصة

قم بتقييم كل مما يلي.

أ. تقييم [اللاتكس] sin ^ <−1> ( frac <1> <2>) [/ latex] هو نفسه تحديد الزاوية التي سيكون لها قيمة جيبية لـ [اللاتكس] frac <1> <2> [/ لاتكس]. بمعنى آخر ، ما الزاوية x يرضي [اللاتكس] الخطيئة (س) = فارك <1> <2> [/ اللاتكس]؟ هناك قيم متعددة ترضي هذه العلاقة ، مثل [latex] frac < pi> <6> [/ latex] و [latex] frac <5 pi> <6> [/ latex] ، لكننا نعلم نحتاج إلى الزاوية في الفاصل الزمني [لاتكس] يسار [- فارك < pi> <2> نص <،> frac < pi> <2> right] [/ latex] ، لذا ستكون الإجابة [اللاتكس] sin ^ <−1> ( frac <1> <2>) = frac < pi> <6> [/ latex]. تذكر أن المعكوس دالة ، لذلك سنحصل على خرج واحد بالضبط لكل إدخال.

ب. لتقييم [latex] sin ^ <−1> left (- frac < sqrt <2>> <2> right) [/ latex] ، نعلم أن [latex] frac <5 pi> < 4> [/ latex] و [latex] frac <7 pi> <4> [/ latex] كلاهما لهما قيمة جيبية لـ [latex] - frac < sqrt <2>> <2> [/ latex] ، ولكن لا يوجد أي منهما في الفاصل الزمني [لاتكس] يسار [- فارك < pi> <2> نص <،> فارك < بي> <2> يمين] [/ لاتكس]. لذلك ، نحتاج إلى الزاوية السالبة مع [اللاتكس] frac <7 pi> <4>: sin ^ <−1> left (- frac < sqrt <2>> <2> right) = - فارك < بي> <4> [/ لاتكس].

ج. لتقييم [اللاتكس] cos ^ <−1> left (- frac < sqrt <3>> <2> right) [/ latex] ، نبحث عن زاوية في الفاصل الزمني [0، π] بقيمة جيب التمام [لاتكس] - فارك < sqrt <3>> <2> [/ لاتكس]. الزاوية التي تحقق ذلك هي [اللاتكس] cos ^ <−1> left (- frac < sqrt <3>> <2> right) = frac <5 pi> <6> [/ latex] .

د. بتقييم [latex] tan ^ <−1> (1) [/ latex] ، نبحث عن زاوية في الفاصل الزمني [latex] (- frac < pi> <2> text <،> frac < pi> <2>) [/ latex] بقيمة ظل 1. الزاوية الصحيحة هي [latex] tan ^ <−1> (1) = frac < pi> <4> [/ latex].

جربها

قم بتقييم كل مما يلي.

جربها


5.3: الدوال المثلثية المعكوسة

دوال المثلثات العكسية. جميع دوال المثلثات لها مدخل يمثل زاوية وتعطي ناتجًا يمثل نسبة. أحيانًا نعرف النسبة ونحتاج إلى إيجاد قياس الزاوية. لهذا ، نحتاج إلى الدوال المثلثية العكسية ، والتي تتراجع عن اتجاه دوال المثلثات الأصلية.

يقومون بالتبديل حول ما & # 39 s المدخلات وماذا & # 39 s الإخراج. كل دالة مثلثية لها وظيفة عكسية مرتبطة بها. إحدى الطرق للدلالة على هذا المعكوس هي كتابة البادئة & quotArc & quot أمام الدالة. إذن ، القوس sine هو معكوس الجيب. قوس جيب التمام هو معكوس جيب التمام.

و Arc tangent هو معكوس الظل. هناك طريقة أخرى للدلالة على هذا المعكوس وهي الكتابة بقوة 1 بعد الدالة مباشرة. إذن ، sin to -1 (x) هو معكوس sin x. إشارة التمام إلى -1 لـ (x) هي معكوس جيب التمام (x) ، وظل الزاوية لـ -1 لـ x هو معكوس الظل x.

لاحظ أننا وجدنا الانعكاسات فقط لوظائف حساب المثلثات الثلاث الرئيسية ، وليس الدوال الأخرى. لا داعي للقلق بشأن انعكاسات التماس المشترك ، والثانوية ، والمشتركة ، ولا يسأل الاختبار عن هؤلاء. يجب أن تكون مرتاحًا مع كلا الترميزين لوظائف المثلثات العكسية. كل من التدوين السالب واحد وكذلك التدوين القوسي.

لغرض الاختبار ، علينا فقط أن نهتم بزوايا الربع الأول والنسب الإيجابية. تصبح القواعد أكثر تعقيدًا عندما نفكر في زوايا الأرباع الأخرى ، لكن الاختبار لا يستكشف هذه المشكلات. الفكرة الأساسية هي أن الدالة العكسية تعكس زوج المدخلات والمخرجات للوظيفة الأصلية.

بعبارة أخرى ، إذا كان جيب التمام لـ K يساوي 0.375 ، فإن جيب التمام القوسي لـ .375 يساوي الزاوية K. عندما نعمل مع زوايا في مثلثات في هذا السياق ، نستخدم الدرجات ، وليس الراديان. لذلك نستخدم الدرجات دائمًا للمثلثات في هذا السياق. في المثلث الأيمن الموضح ، أي مما يلي يساوي قياس الزاوية أ؟

لذا أوقف الفيديو مؤقتًا ثم سنتحدث عن هذا الأمر. حسنًا ، بالتأكيد صحيح أن cos (A) = 15/17. ولذا يمكن & # 39t أن تساوي A جيب التمام لشيء آخر بخلاف 15 على 17. ومن الصحيح أيضًا أن هذه النسبة 15 على 17 ، نظرًا لأن جيب التمام لن يكون الجيب أو الظل ، لذلك لا يعمل أي منهما.

It's also true that the sine of A is 8 over 17. Opposite over hypotenuse, 8 over 17. And so that means that the sine inverse of 8 over 17 would have to equal A. So B is the answer here. Here's another problem, a slightly harder problem. Pause the video, and then we'll talk about this.

Okay, so let's think about this carefully. The arcsin of d over f is just angle D because the sine of angle D is d over f, so the arcsin of d over f is just D. The arccos(d/f), well what angle has a cosine of d/f? Well the angle E. So the arccos(d/f) = E.

So that expression arcsin(d/f) + arccos(d/f), that's just angle D + angle E. And those two angles have to add up to 90 degrees. So if C is the answer. The inverse trig functions can be written with either of two different notations, either the arc notation Arcsine, Arccosine and Arctangent.

Or the power-of-negative-one notation. Sine to the negative 1, cosine to the negative 1, tangent to the negative 1. You have to recognize both of those. Inverse trig functions have inputs of ratios and outputs of angles.


5.3: Inverse Trigonometric Functions

The purpose of this lab is to increase your familiarity with the inverse trigonometric functions.

The inverse trigonometric functions are examples of transcendental functions. The trigonometric functions are not one to one functions and hence their inverses are not functions. However, as indicated in your text, we can restrict the domain of the trigonometric functions so that the resulting inverse functions are indeed functions.

The inverse trigonometric functions arise in problems that require finding angles from side measurements in triangles. They also provide antiderivatives for a wide variety of functions and hence appear in solutions to a number of differential equations that arise in mathematics, engineering and physics.

Some of the Maple commands that you will need to know are as follows:

In order to use the inverse trigonometric functions you must place arc before the 3 letter symbol for each. فمثلا

arccos(x) is the command for inverse cosine
arcsin(x) is the command for inverse sine
arctan(x) is the command for inverse tangent
arcsec(x) is the command for inverse secant
arccsc(s) is the command for inverse cosecant
arccot(x) is the command for inverse cotangent.

Defining x the corresponding value of the inverse tangent can be found as

Remember from previous labs we can take the derivative using either of the following commands

or we can use the D operator with functions

We can take the indefinite integral by the following command. حاول القيام بما يلي:

Exercise I: (Definitions, Graphs, Properties)

1 أ. Graph each of the following trigonometric functions (sin, cos, tan) and their corresponding inverse function on the same graph. Restrict the domain of each trigonometric function so that the corresponding inverse function is defined. 1 ب. Compute the following values.

2. From 1 above note that the graph of the inverse sine function is symmetric about the origin. This implies the function is odd. Show graphically that .

3. Compute and graph the derivative of inverse sine function and the derivative of inverse cosine function.

(a) Knowing the type of symmetry of the inverse sine function, what type of symmetry should its derivative have? Does the graph of the derivative of inverse sine function agree? (b) How do the graphs of the inverse functions appear to be related? What transformations can you apply to the graph of the inverse sin function to obtain the graph of the inverse cos function? What effect do these transformations have on the graph of the derivative of inverse sin function? Knowing the derivative of the inverse sin function, what is a reasonable prediction for the derivative of the inverse cos function?

1. A billboard to be built parallel to a highway will be 12 m high with its bottom 4 m above the eye level of the average passing motorist. How far from the highway should the billbord be placed to maximize the vertical angle it subtends at the motorist's eyes? Note that some degree of interpretation is necessary once a numerical answer has been derived. هل يمكنك أن تشرح لماذا؟

2. Use inverse trigonometric functions to prove that the vertical angle subtended by a rectangular painting on a wall is greatest when the painting is hung with its center at the level of the observer's eye.


Inverse Cosecant Calculator

Arccosecant is one among the six inverse trigonometric functions. Arccsc is the inverse of cosecant function. It is also known as the hyperbolic cosecant and is represented as 'csc h' or 'cosec h'. Hyperbolic functions are analogs of circular trigonometric functions. Use this free online trigonometry Arccsc Calculator to find the Inverse Cosecant in Radians and Degrees for the given value. The inverse cosecant is the multivalued function denoted as csc -1 z and arccsc z.


شاهد الفيديو: الدوال المثلثية العكسية للصف الثاني ثانوي الفصل الدراسي الثاني (شهر اكتوبر 2021).