مقالات

5.5: التعويض - الرياضيات


أعطتنا النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل طريقة لحساب التكاملات دون استخدام مجموع ريمان. لكن عيب هذه الطريقة هو أننا يجب أن نكون قادرين على إيجاد المشتق العكسي ، وهذا ليس بالأمر السهل دائمًا. في هذا القسم ندرس تقنية تسمى التكامل بالتعويضلمساعدتنا في إيجاد المشتقات العكسية. على وجه التحديد ، تساعدنا هذه الطريقة في إيجاد المشتقات العكسية عندما يكون التكامل و نتيجة مشتق من قاعدة السلسلة.

في البداية ، قد لا يبدو نهج إجراء الاستبدال واضحًا جدًا. ومع ذلك ، فهي في الأساس مهمة بصرية - أي ، التكامل ويوضح لك ما يجب القيام به ؛ إنها مسألة التعرف على شكل الوظيفة. إذن ، ما الذي يفترض بنا أن نراه؟ نحن نبحث عن تكامل بالشكل (f [g (x)] g ′ (x) dx ). على سبيل المثال ، في التكامل

[∫ (x ^ 2−3) ^ 3 2x ، dx. التسمية {eq1} ]

لدينا

[f (x) = x ^ 3 nonumber ]

و

[g (x) = x ^ 2−3. nonumber ]

ثم

[g '(x) = 2x. nonumber ]

و

[f [g (x)] g ′ (x) = (x ^ 2−3) ^ 3 (2x) ، بلا رقم ]

ونلاحظ أن التكامل الخاص بنا في الشكل الصحيح. تسمى هذه الطريقة بالتعويض لأننا نستبدل جزءًا من التكامل مع المتغير (u ) وجزء من التكامل مع (du ). يشار إليه أيضًا باسم تغيير المتغيرات لأننا نغير المتغيرات للحصول على تعبير يسهل التعامل معه لتطبيق قواعد التكامل.

الاستبدال بالتكاملات غير المحددة

لنفترض (u = g (x) ) ، حيث (g ′ (x) ) مستمرًا خلال فترة زمنية ، دع (f (x) ) مستمرًا على النطاق المقابل لـ g ، ودع (F (x) ) تكون مشتقة عكسية لـ (f (x). ) ثم ،

[ start {align *} ∫f [g (x)] g g (x) ، dx & = ∫f (u) ، du [5pt] & = F (u) + C [ 5pt] & = F (g (x)) + C end {align *} ]

دليل - إثبات

لنفترض أن (f ) و (g ) و (u ) و (F ) كما هو محدد في النظرية. ثم

[ dfrac {d} {dx} كبير [F (g (x)) كبير] = F ′ (g (x)) g ′ (x) = f [g (x)] g ′ (x) . ]

عند تكامل الطرفين بالنسبة إلى x ، نرى ذلك

[∫f [g (x)] ز ′ (x) ، dx = F (g (x)) + C. ]

إذا استبدلنا الآن (u = g (x) ) و (du = g '(x) dx ) ، نحصل على

[∫f [g (x)] g ′ (x) ، dx = ∫f (u) ، du = F (u) + C = F (g (x)) + C. ]

بالعودة إلى المشكلة التي نظرنا إليها في الأصل ، دعونا (u = x ^ 2−3 ) ثم (du = 2x ، dx ).

أعد كتابة التكامل (المعادلة المرجع {eq1}) بدلالة (u ):

[∫ (x ^ 2−3) ^ 3 (2x ، dx) = ∫u ^ 3 ، du. ]

باستخدام قاعدة الأس للتكاملات ، لدينا

[∫u ^ 3 ، du = dfrac {u ^ 4} {4} + C. ]

استبدل التعبير الأصلي بـ (x ) مرة أخرى في الحل:

[ dfrac {u ^ 4} {4} + C = dfrac {(x ^ 2−3) ^ 4} {4} + C. ]

يمكننا تعميم الإجراء في استراتيجية حل المشكلات التالية.

استراتيجية حل المشكلات: التكامل بالتعويض

  1. انظر بعناية إلى التكامل وحدد تعبيرًا (g (x) ) داخل التكامل لتعيين يساوي u. لنحدد (g (x) ) بحيث يكون (g ′ (x) ) أيضًا جزءًا من التكامل.
  2. عوّض (u = g (x) ) و (du = g ′ (x) dx. ) في التكامل.
  3. يجب أن نكون الآن قادرين على تقييم التكامل فيما يتعلق بـ (u ). إذا تعذر تقييم التكامل ، فنحن بحاجة إلى الرجوع وتحديد تعبير مختلف لاستخدامه كـ (u ).
  4. احسب التكامل من حيث (u ).
  5. اكتب النتيجة بدلالة (x ) والتعبير (g (x). )

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام التعويض لإيجاد المشتق العكسي

استخدم التعويض لإيجاد المشتق العكسي لـ ( displaystyle ∫6x (3x ^ 2 + 4) ^ 4 ، dx.)

المحلول

الخطوة الأولى هي اختيار تعبير لـ (u ). نختار (u = 3x ^ 2 + 4 ) لأنه بعد ذلك (du = 6x ، dx ) ولدينا بالفعل (du ) في التكامل. اكتب التكامل من حيث (u ):

[∫6x (3x ^ 2 + 4) ^ 4 ، dx = ∫u ^ 4 ، du. لا يوجد رقم]

تذكر أن (du ) هو مشتق من التعبير المختار لـ (u ) ، بغض النظر عن ما بداخله. يمكننا الآن تقييم التكامل فيما يتعلق بـ (u ):

[∫u ^ 4 ، du = dfrac {u ^ 5} {5} + C = dfrac {(3x ^ 2 + 4) ^ 5} {5} + C. nonumber ]

التحليلات

يمكننا التحقق من إجابتنا بأخذ مشتقة نتيجة التكامل. يجب أن نحصل على التكامل. باختيار قيمة (C ) من (1 ) ، نسمح (y = dfrac {1} {5} (3x ^ 2 + 4) ^ 5 + 1. ) لدينا

[y = dfrac {1} {5} (3x ^ 2 + 4) ^ 5 + 1، nonumber ]

وبالتالي

[ begin {align *} y ′ & = left ( dfrac {1} {5} right) 5 (3x ^ 2 + 4) ^ 46x [5pt] & = 6x (3x ^ 2 + 4 ) ^ 4. نهاية {محاذاة *} ]

هذا هو بالضبط التعبير الذي بدأناه داخل التكامل.

تمرين ( PageIndex {1} )

استخدم التعويض لإيجاد المشتقة العكسية لـ ( displaystyle ∫3x ^ 2 (x ^ 3−3) ^ 2 ، dx. )

تلميح

دع (u = x ^ 3−3. )

إجابه

( displaystyle ∫3x ^ 2 (x ^ 3−3) ^ 2 ، dx = dfrac {1} {3} (x ^ 3−3) ^ 3 + C )

نحتاج أحيانًا إلى تعديل الثوابت في تكاملنا إذا لم تتطابق تمامًا مع المقادير التي نستبدلها.

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام الاستبدال مع التعديل

استخدم التعويض لإيجاد المشتق العكسي لـ [∫z sqrt {z ^ 2−5} ، dz. لا يوجد رقم]

المحلول

أعد كتابة التكامل كـ ( displaystyle ∫z (z ^ 2−5) ^ {1/2} ، dz. ) Let (u = z ^ 2−5 ) and (du = 2z، dz ). الآن لدينا مشكلة لأن (du = 2z ، dz ) والتعبير الأصلي به (z ، dz ) فقط. يجب علينا تغيير تعبيرنا لـ (du ) أو سيكون التكامل في (u ) ضعف ما ينبغي أن يكون. إذا ضربنا طرفي معادلة (du ) في ( dfrac {1} {2} ). يمكننا حل هذه المشكلة. هكذا،

[u = z ^ 2−5 nonumber ]

[du = 2z ، dz nonumber ]

[ dfrac {1} {2} du = dfrac {1} {2} (2z) ، dz = z ، dz. لا يوجد رقم]

اكتب التكامل من حيث (u ) ، لكن اسحب ( dfrac {1} {2} ) خارج رمز التكامل:

[∫z (z ^ 2−5) ^ {1/2} ، dz = dfrac {1} {2} ∫u ^ {1/2} ، du. nonumber ]

دمج التعبير في (u ):

[ start {align *} dfrac {1} {2} ∫u ^ {1/2} ، du & = left ( dfrac {1} {2} right) dfrac {u ^ {3 / 2}} { dfrac {3} {2}} + C [5pt] & = left ( dfrac {1} {2} right) left ( dfrac {2} {3} right ) u ^ {3/2} + C [5pt] & = dfrac {1} {3} u ^ {3/2} + C [5pt] & = dfrac {1} {3} ( z ^ 2−5) ^ {3/2} + C end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

استخدم التعويض لإيجاد المشتقة العكسية لـ ( displaystyle ∫x ^ 2 (x ^ 3 + 5) ^ 9 ، dx.)

تلميح

اضرب معادلة du في ( dfrac {1} {3} ).

إجابه

( displaystyle ∫x ^ 2 (x ^ 3 + 5) ^ 9 ، dx = dfrac {(x ^ 3 + 5) ^ {10}} {30} + C )

تكامل الدوال المثلثية

ستساعد الأمثلة الثلاثة التالية في ملء بعض الأجزاء المفقودة من معرفتنا المشتقة. نعرف المشتقات العكسية لوظائف الجيب وجيب التمام ؛ ماذا عن الدوال القياسية الأخرى ، الظل ، ظل التمام ، القاطع وقاطع التمام؟ نكتشف هذه بعد ذلك.

مثال ( PageIndex {3} ): التكامل بالتعويض: المشتقات العكسية لـ ( tan x )

تقييم ( int tan x dx. )

المحلول

أثبتت الفقرة السابقة أننا لا نعرف المشتقات العكسية لـ tangent ، وبالتالي يجب أن نفترض أننا تعلمنا شيئًا في هذا القسم يمكن أن يساعدنا في تقييم هذا التكامل غير المحدد.

أعد كتابة ( tan x ) كـ ( sin x / cos x ). في حين أن وجود تركيبة من الوظائف قد لا يكون واضحًا على الفور ، عليك أن تدرك أن ( cos x ) "داخل" وظيفة (1 / x ). لذلك ، نرى ما إذا كان الإعداد (u = cos x ) يؤدي إلى نتائج قابلة للاستخدام. لدينا هذا (du = - sin x dx ) ، وبالتالي (- du = sin x dx ). يمكننا دمج:

[ start {align} int tan x dx & = int frac { sin x} { cos x} dx & = int frac1 { underbrace { cos x} _u} underbrace { sin x dx} _ {- du} & = int frac {-1} u du & = - ln | u | + C & = - ln | cos x | + ج. النهاية {محاذاة} ]

تفضل بعض النصوص إحضار (- 1 ) داخل اللوغاريتم كقوة لـ ( cos x ) ، كما في:

[ ابدأ {محاذاة} - ln | cos x | + C & = ln | ( cos x) ^ {- 1} | + C & = ln يسار | frac {1} { cos x} right | + C & = ln | ثانية x | + ج. النهاية {محاذاة} ]

وبالتالي فإن النتيجة التي قدموها هي ( int tan x dx = ln | sec x | + C ). هاتان الجوابتان متكافئتان.

مثال ( PageIndex {4} ): التكامل بالتعويض: المشتقات العكسية لـ ( sec x )

تقييم ( int sec x dx ).

المحلول

يستخدم هذا المثال حيلة رائعة: اضرب التكامل في "1" حتى نرى كيفية التكامل بشكل أكثر وضوحًا. في هذه الحالة ، نكتب "1" كـ

$$ 1 = frac { sec x + tan x} { sec x + tan x}. $$

قد يبدو هذا وكأنه خرج من الحقل الأيسر ، لكنه يعمل بشكل جميل. انصح:

[ start {align} int sec x dx & = int sec x cdot frac { sec x + tan x} { sec x + tan x} dx & = int frac { sec ^ 2 x + sec x tan x} { sec x + tan x} dx. end {align} ]

الآن دعنا (u = sec x + tan x ) ؛ هذا يعني (du = ( sec x tan x + sec ^ 2 x) dx ) ، وهو البسط. هكذا:

[ start {align} & = int frac {du} {u} & = ln | u | + C & = ln | ثانية x + tan x | + ج. النهاية {محاذاة} ]

يمكننا استخدام تقنيات مشابهة لتلك المستخدمة في أمثلة ( PageIndex {3} ) و ( PageIndex {4} ) للعثور على المشتقات العكسية لـ ( cot x ) و ( csc x ) (والتي يمكن للقارئ الاستكشاف في التمارين.) نلخص نتائجنا هنا.

نظرية ( PageIndex {1} ): المشتقات العكسية للدوال المثلثية

  1. ( int sin x dx = - cos x + C )
  2. ( int cos x dx = sin x + C )
  3. ( int tan x dx = - ln | cos x | + C )
  4. ( int csc x dx = - ln | csc x + cot x | + C )
  5. ( int sec x dx = ln | sec x + tan x | + C )
  6. ( int cot x dx = ln | sin x | + C )

ملحوظة

على الرغم من أن لدينا هذه الصيغ ، سيكون من الأفضل في هذه المرحلة إظهار العمل الداعم للجميع باستثناء أول اثنين (المشتقات العكسية للجيب وجيب التمام).

مثال ( PageIndex {5} ): استخدام التعويض مع تكاملات الدوال المثلثية

استخدم التعويض لتقييم التكامل ( displaystyle ∫ dfrac { sin t} { cos ^ 3t} ، dt. )

المحلول

نحن نعلم أن مشتق ( cos t ) هو (- sin t ) ، لذلك قمنا بتعيين (u = cos t ). ثم (du = - sin t ، dt. )

بالتعويض عن التكامل ، لدينا

[∫ dfrac { sin t} { cos ^ 3t} ، dt = −∫ dfrac {du} {u ^ 3}. nonumber ]

نحصل على حساب التكامل

[−∫ dfrac {du} {u ^ 3} = - ∫u ^ {- 3} ، du = - left (- dfrac {1} {2} right) u ^ {- 2} + جيم عدد ]

بوضع الإجابة مرة أخرى بدلالة t ، نحصل على

[∫ dfrac { sin t} { cos ^ 3t} ، dt = dfrac {1} {2u ^ 2} + C = dfrac {1} {2 cos ^ 2t} + C. nonumber ]

تمرين ( PageIndex {3} )

استخدم التعويض لتقييم التكامل ( displaystyle ∫ dfrac { cos t} { sin ^ 2t} ، dt. )

تلميح

استخدم العملية من مثال ( PageIndex {5} ) لحل المشكلة.

إجابه

( displaystyle ∫ dfrac { cos t} { sin ^ 2t} ، dt = - dfrac {1} { sin t} + C )

تمرين ( PageIndex {4} )

استخدم التعويض لإيجاد التكامل غير المحدد ( displaystyle ∫ cos ^ 3t sin t ، dt. )

تلميح

استخدم العملية من مثال ( PageIndex {5} ) لحل المشكلة.

إجابه

( displaystyle ∫ cos ^ 3t sin t ، dt = - dfrac { cos ^ 4t} {4} + C )

نستكشف تكاملًا مثلثيًا أكثر شيوعًا.

مثال ( PageIndex {6} ): التكامل بالتعويض: قوى ( cos x ) و ( sin x )

قم بتقييم ( int cos ^ 2x dx ).

المحلول

لدينا تكوين من الوظائف مثل ( cos ^ 2x = big ( cos x big) ^ 2 ).

ومع ذلك ، فإن الإعداد (u = cos x ) يعني (du = - sin x dx ) ، وهو ما ليس لدينا في التكامل. هناك حاجة إلى تقنية أخرى.

العملية التي سنستخدمها هي استخدام صيغة تخفيض الطاقة لـ ( cos ^ 2x ) (ربما راجع الجزء الخلفي من هذا النص لهذه الصيغة) ، والتي تنص على

$$ cos ^ 2x = frac {1+ cos (2x)} {2}. $$

ليس من الصعب دمج الجانب الأيمن من هذه المعادلة. لدينا:

[ start {align} int cos ^ 2x dx & = int frac {1+ cos (2x)} 2 dx & = int left ( frac12 + frac12 cos ( 2x) right) dx. نهاية {محاذاة} ]

التكامل ، نحصل على:

[ start {align} & = frac12x + frac12 frac { sin (2x)} {2} + C & = frac12x + frac { sin (2x)} 4 + C. end {محاذاة} ]

سنستخدم هذه القوة بشكل كبير - تقنية تقليل في الأقسام المستقبلية.

استبدال u مع تويست

نحتاج أحيانًا إلى معالجة التكامل بطرق أكثر تعقيدًا من مجرد الضرب أو القسمة على ثابت. نحتاج إلى حذف جميع التعبيرات داخل التكامل والتي تكون بدلالة المتغير الأصلي. عندما ننتهي ، يجب أن يكون (u ) المتغير الوحيد في التكامل. في بعض الحالات ، يعني هذا حل المتغير الأصلي من حيث (u ). يجب أن تتضح هذه التقنية في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {7} ): إيجاد المشتق العكسي باستخدام استبدال u

استخدم التعويض لإيجاد المشتقة العكسية لـ [∫ dfrac {x} { sqrt {x − 1}} ، dx. لا يوجد رقم]

المحلول

إذا سمحنا (u = x − 1، ) ثم (du = dx ). لكن هذا لا يأخذ في الحسبان x في بسط التكامل. علينا التعبير عن x بدلالة u. إذا (u = x − 1 ) ، إذن (x = u + 1. ) الآن يمكننا إعادة كتابة التكامل من حيث ش:

[∫ dfrac {x} { sqrt {x − 1}} ، dx = ∫ dfrac {u + 1} { sqrt {u}} ، du = ∫ sqrt {u} + dfrac { 1} { sqrt {u}} ، du = ∫ (u ^ {1/2} + u ^ {- 1/2}) ، du. nonumber ]

ثم نتكامل بالطريقة المعتادة ، ونستبدل u بالتعبير الأصلي ، ونحلل النتيجة ونبسطها. هكذا،

[ start {align *} ∫ (u ^ {1/2} + u ^ {- 1/2}) ، du & = dfrac {2} {3} u ^ {3/2} + 2u ^ {1/2} + C [5pt] & = dfrac {2} {3} (x − 1) ^ {3/2} +2 (x − 1) ^ {1/2} + C [5pt] & = (x − 1) ^ {1/2} left [ dfrac {2} {3} (x − 1) +2 right] + C [5pt] & = (x − 1 ) ^ {1/2} left ( dfrac {2} {3} x− dfrac {2} {3} + dfrac {6} {3} right) [5pt] & = (x− 1) ^ {1/2} left ( dfrac {2} {3} x + dfrac {4} {3} right) [5pt] & = dfrac {2} {3} (x − 1 ) ^ {1/2} (س + 2) + ج. النهاية {محاذاة *} ]

استبدال التكاملات المحددة

يمكن استخدام التعويض مع تكاملات محددة أيضًا. ومع ذلك ، فإن استخدام التعويض لتقييم تكامل محدد يتطلب تغيير حدود التكامل. إذا قمنا بتغيير المتغيرات في التكامل ، تتغير حدود التكامل أيضًا.

الاستبدال بالتكاملات المحددة

دع (u = g (x) ) واجعل (g ') مستمرًا على مدى فترة ([a، b] ) ، واجعل (f ) مستمرًا على مدى (u) = ز (س). ) ثم ،

[∫ ^ b_af (g (x)) g ′ (x) ، dx = ∫ ^ {g (b)} _ {g (a)} f (u) ، du. ]

على الرغم من أننا لن نثبت هذه النظرية رسميًا ، فإننا نبررها ببعض الحسابات هنا. من قاعدة الاستبدال للتكاملات غير المحددة ، إذا كان (F (x) ) مشتق عكسي لـ (f (x) ، ) لدينا

[∫f (g (x)) g ′ (x) ، dx = F (g (x)) + C. ]

ثم

[ start {align *} ∫ ^ b_af [g (x)] g ′ (x) ، dx & = F (g (x)) bigg | ^ {x = b} _ {x = a} [5pt] & = F (g (b)) - F (g (a)) [5pt] & = F (u) bigg | ^ {u = g (b)} _ {u = g ( أ)} [5pt] & = ∫ ^ {g (b)} _ {g (a)} f (u) ، du end {align *} ]

ولدينا النتيجة المرجوة.

مثال ( PageIndex {8} ): استخدام التعويض في تقييم تكامل محدد

استخدم التعويض لتقييم [∫ ^ 1_0x ^ 2 (1 + 2x ^ 3) ^ 5 ، dx. لا يوجد رقم]

المحلول

دعونا (u = 1 + 2x ^ 3 ) ، لذلك (du = 6x ^ 2dx ). نظرًا لأن الوظيفة الأصلية تتضمن عاملًا واحدًا من (x ^ 2 ) و (du = 6x ^ 2dx ) ، اضرب كلا طرفي معادلة (du ) في (1/6. ) ثم ،

[ begin {align *} du & = 6x ^ 2 ، dx [5pt] text {يصبح} quad dfrac {1} {6} du & = x ^ 2 ، dx. النهاية {محاذاة *} ]

لضبط حدود التكامل ، لاحظ أنه عندما (س = 0 ، ش = 1 + 2 (0) = 1 ، ) ومتى (س = 1 ، ش = 1 + 2 (1) = 3. ) ثم

[∫ ^ 1_0x ^ 2 (1 + 2x ^ 3) ^ 5dx = dfrac {1} {6} ∫ ^ 3_1u ^ 5 ، du. لا يوجد رقم]

من خلال تقييم هذا التعبير ، نحصل على

[ begin {align *} dfrac {1} {6} ∫ ^ 3_1u ^ 5 ، du & = ( dfrac {1} {6}) ( dfrac {u ^ 6} {6}) bigg | ^ 3_1 [5pt] & = dfrac {1} {36} [(3) ^ 6− (1) ^ 6] [5pt] & = dfrac {182} {9}. النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {5} )

استخدم التعويض لإيجاد التكامل المحدد ( displaystyle ∫ ^ 0 _ {- 1} y (2y ^ 2−3) ^ 5 ، dy. )

تلميح

استخدم الخطوات من مثال ( PageIndex {8} ) لحل المشكلة.

إجابه

( displaystyle ∫ ^ 0 _ {- 1} y (2y ^ 2−3) ^ 5 ، dy = dfrac {91} {3} )

تمرين ( PageIndex {6} )

استخدم التعويض لتقييم ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 cos left ( dfrac {π} {2} x ^ 3 right) ، dx. )

تلميح

استخدم العملية من مثال ( PageIndex {8} ) لحل المشكلة.

إجابه

( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 cos left ( dfrac {π} {2} x ^ 3 right) ، dx = dfrac {2} {3π} ≈0.2122 )

قد يكون الاستبدال أحد الأساليب اللازمة لتقييم تكامل محدد. تنطبق جميع خصائص وقواعد التكامل بشكل مستقل ، وقد تحتاج الدوال المثلثية إلى إعادة كتابتها باستخدام متطابقة مثلثية قبل أن نتمكن من تطبيق التعويض. أيضًا ، لدينا خيار استبدال التعبير الأصلي لـ (u ) بعد أن نجد المشتق العكسي ، مما يعني أنه لا يتعين علينا تغيير حدود التكامل. يتم عرض هذين الأسلوبين في المثال ( PageIndex {9} ).

مثال ( PageIndex {9} ): استخدام التعويض في تقييم تكامل مثلثي

استخدم التعويض لتقييم [∫ ^ {π / 2} _0 cos ^ 2θ ، dθ. لا يوجد رقم ]

المحلول

دعونا أولاً نستخدم المتطابقة المثلثية لإعادة كتابة التكامل. تسمح لنا هوية المثلثات ( cos ^ 2θ = dfrac {1+ cos 2θ} {2} ) بإعادة كتابة التكامل

[∫ ^ {π / 2} _0 cos ^ 2θ ، dθ = ∫ ^ {π / 2} _0 dfrac {1+ cos2θ} {2} ، dθ. لا يوجد رقم]

ثم،

[ begin {align *} ∫ ^ {π / 2} _0 left ( dfrac {1+ cos2θ} {2} right) ، dθ & = ∫ ^ {π / 2} _0 left ( dfrac {1} {2} + dfrac {1} {2} cos 2θ right) ، dθ [5pt] & = dfrac {1} {2} ∫ ^ {π / 2} _0 ، dθ + ∫ ^ {π / 2} _0 cos2θ ، dθ. النهاية {محاذاة *} ]

يمكننا إيجاد التكامل الأول كما هو ، لكن علينا إجراء تعويض لإيجاد التكامل الثاني. دع (u = 2θ. ) ثم (du = 2 ، dθ، ) أو ( dfrac {1} {2} ، du = dθ ). أيضًا ، عندما (θ = 0 ، ، u = 0 ، ) ومتى (θ = π / 2 ، ، u = π. ) التعبير عن التكامل الثاني من حيث (u ) ، لدينا

[ start {align *} dfrac {1} {2} ∫ ^ {π / 2} _0 ، dθ + dfrac {1} {2} ∫ ^ {π / 2} _0 cos 2θ ، dθ & = dfrac {1} {2} ∫ ^ {π / 2} _0 ، dθ + dfrac {1} {2} left ( dfrac {1} {2} right) ∫ ^ π_0 cos u ، du [5pt] & = dfrac {θ} {2} ، bigg | ^ {θ = π / 2} _ {θ = 0} + dfrac {1} {4} sin u ، bigg | ^ {u = θ} _ {u = 0} [5pt] & = left ( dfrac {π} {4} −0 right) + (0−0) = dfrac { } {4} end {محاذاة *} ]

المفاهيم الرئيسية

  • الاستبدال هو أسلوب يبسط تكامل الوظائف الناتجة عن مشتق من قاعدة السلسلة. يشير مصطلح "استبدال" إلى المتغيرات المتغيرة أو استبدال المتغير (u ) و (du ) للتعبيرات المناسبة في التكامل.
  • عند استخدام التعويض عن تكامل محدد ، علينا أيضًا تغيير حدود التكامل.

المعادلات الرئيسية

  • الاستبدال بالتكاملات غير المحددة [∫f [g (x)] g ′ (x) ، dx = ∫f (u) ، du = F (u) + C = F (g (x)) + C nonumber ]
  • الاستبدال بالتكاملات المحددة [∫ ^ b_af (g (x)) g '(x) ، dx = ∫ ^ {g (b)} _ {g (a)} f (u) ، du nonumber ]

قائمة المصطلحات

تغيير المتغيرات
استبدال متغير ، مثل (u ) ، بتعبير في التكامل
التكامل بالتعويض
تقنية للتكامل تسمح بتكامل الوظائف الناتجة عن مشتق من قاعدة السلسلة

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

  • Apex Calculus: القسم الفرعي الخاص بدمج الدوال المثلثية هو في الغالب من Apex Calculus ، القسم 6.1.
  • حرره بول سيبرغر (كلية مجتمع مونرو)

أمثلة

مثال 1

حل المثال 1:
دع u = a x + b يعطي du / dx = a أو dx = (1 / a) du. يساعد التعويض في حساب التكامل على النحو التالي
الخطيئة (أ س + ب) دكس
= (1 / أ) sin (u) du
= (1 / أ) (-cos (u)) + ج
= - (1 / أ) جتا (أ س + ب) + ج

مثال 2

حل المثال 2:
دع u = 3x - 2 يعطي du / dx = 3 أو dx = (1/3) du. بالتالي
ه ٣ س - ٢ دي إكس
= e u (1/3) du
= (1/3) البريد ش
= (1/3) ه 3 س - 2 + ج

مثال 3

حل المثال 3:
لنفترض أن u = 2x 2 + 5 ما يعطي du / dx = 4x ، du = 4x dx ، (1/4) du = x dx. يعطي الإحلال
س (2x 2 + 5) 4 dx
= (1/4) (ش) 4 دو
= (1/4) (1/5) ش 5
= (1/20) (2 × 2 + 5) 5 + ج

مثال 4

حل المثال 4:
دع u = 2x + 1 يعطي du / dx = 2 و dx = (1/2) du. حل u = 2x + 1 من أجل x لتحصل على x = (1/2) (u - 1). يعطي الإحلال

مثال 5

حل المثال 5:
لنفترض أن u = x - 5 وهو ما يعطينا du / dx = 1. بالتعويض في التكامل المحدد ، نحصل عليه
(x - 5) -4 dx
= u -4 du
= (-1/3) ش -3
= (-1/3) (س - 5) -3 + ج

مثال 6

حل المثال 6:
لنفترض أن u = x 2 + 2 الذي يعطينا du / dx = 2x و (1/2) du = x dx. يعطي التعويض في المعطى التكامل
-x e x 2 + 2 dx
= - e u (1/2) du
= - (1/2) e u du
= - (1/2) البريد ش
= - (1/2) ه × 2 + 2 + ج

مثال 7

حل المثال 7:
دع u = sin (x) الذي يعطي du / dx = cos (x) أو cos (x) dx = du. عوّض في التكامل لتحصل على
cos (x) sin 4 (x) dx = u 4 du
= (1/5) ش 5
= (1/5) sin 5 (x) + C

المثال 8

حل المثال 8:
دع u = 4x + 1 يعطي du / dx = 4 أو dx = (1/4) du. حل u = 4x + 1 من أجل x لتحصل على x = (1/4) (u - 1). بديل للحصول على
(3x / (4x + 1)) dx
= 3 (1/4) ((u - 1) / u) (1/4) du
= (3/16) (u - 1) / u du
= (3/16) (1 - 1 / ش) دو
= (3/16) (u - ln | u |)
= (3/16) (4x + 1 - ln | 4x + 1 |) + ج

المثال 9

حل المثال 9:
دع u = x - 2 الذي يعطينا du / dx = 1، dx = du و x = u + 2. التعويض
(س / & # 8730 (س - 2)) دكس
= (u + 2) / & # 8730u) dx
= (u 1/2 + 2u -1/2) dx
= (2/3) u 3/2 + 2 * 2 u 1/2
= (2/3) (x - 2) 3/2 + 4 (x - 2) 1/2 + C

المثال 10

حل المثال 10:
دع u = x + 2 الذي يعطي du / dx = 1، dx = du وأيضًا x = u - 2. باستخدام التعويض أعلاه نحصل عليه
(x + 2) 3 (x + 4) 2 dx
= u 3 (u + 2) 2 du
= (u 5 + 4u 4 + 4u 3) du
= (1/6) u 6 + (4/5) u 5 + u 4
= (1/6) (س + 2) 6 + (4/5) (س + 2) 5 + (س + 2) 4 + ج

المثال 11

حل المثال 11:
دع u = x 2 + 3x + 1 يعطي du / dx = 2x + 3 أو (2x + 3) dx = du. يساعد التعويض في حساب التكامل على النحو التالي
(1 / ش) دو
= ln | u |
= ln | x 2 + 3x + 1 | + ج


حل

يمكن أن يكون هناك العديد من الطرق لحل المعادلات الخطية!

دعونا نرى مثالًا آخر:

مثال: حل هاتين المعادلتين:

تظهر المعادلتان في هذا الرسم البياني:

مهمتنا هي إيجاد نقطة تقاطع الخطين.

حسنًا ، يمكننا أن نرى المواضع التي يتقاطعان فيها ، لذا فقد تم حلها بالفعل بيانيًا.

لكن الآن لنحلها باستخدام الجبر!

أمم . كيفية حل هذا؟ يمكن أن يكون هناك العديد من الطرق! في هذه الحالة ، تحتوي كلتا المعادلتين على "y" ، لذا دعونا نحاول طرح المعادلة الثانية بأكملها من الأولى:

نعلم الآن أن المستقيمين يتقاطعان عند س = 1.

ويمكننا إيجاد القيمة المطابقة لـ ذ باستخدام أي من المعادلتين الأصليتين (لأننا نعلم أن لهما نفس القيمة عند x = 1). دعنا نستخدم الأول (يمكنك تجربة الثانية بنفسك):

ويظهر لنا الرسم البياني أننا على حق!


هل أنت جاهز لبدء استخدام IM K – 5 Math ™؟

في الرياضيات IM K – 5 ، الطلاقة تعني:

في الرياضيات IM K – 5 ، يتم بناء الطلاقة:

  • عبر الوحدات من خلال سلسلة من أهداف التعلم المنطقية للمتعلم
  • على مدار العام من خلال الفهم المفاهيمي وربط المعايير ذات الصلة من خلال قصة متماسكة داخل وعبر الوحدات والمراكز
  • عبر الدرجات من خلال التمثيلات والاستراتيجيات والخوارزميات

في IM K-5 Math ، يتم بناء الطلاقة داخل الصفوف وعبرها:

كيف يمكن للمدرسين استخدام IM K – 5 Math لقياس الطلاقة:

يمكن للمدرسين استخدام أوراق المراقبة ، والتي تتماشى مع أهداف القسم والوحدة ، وتقييمات نهاية الوحدة لتتبع تقدم الطلاب نحو إتقان الرياضيات على مدار العام.

ما هي الطلاقة؟

تشير "الطلاقة الإجرائية إلى معرفة الإجراءات ، ومعرفة وقت وكيفية استخدامها بشكل مناسب ، والمهارة في أدائها بمرونة ودقة وكفاءة" ، على النحو المحدد في إضافتها: مساعدة الأطفال على تعلم الرياضيات من المجلس القومي للبحوث (2001).

ما هو موقف IM من إتقان الرياضيات في مناهج رياض الأطفال إلى الصف الخامس؟

تم تصميم برنامج IM K-5 Math بحيث يتمكن الطلاب من بناء طلاقة إجرائية وفهم مفاهيمي في وقت واحد. تم تصميم التمثيلات والاستراتيجيات والخوارزميات التي يتم استخدامها وتسليط الضوء عليها بشكل هادف لتحقيق الاتساق. يتم تضمين الطلاقة في جميع الدروس ، بدلاً من كونها مهارة منفصلة.

كيف تساعد ممارسة الطلاقة المضمنة في IM K-5 Math المعلمين على تطبيق طرق التدريس المستجيبة ثقافيًا؟

يمكن للمدرسين المستجيبين ثقافياً استخدام معرفتهم عن طلابهم & # 8217 الطرق الثقافية لصنع المعنى لتوفير الفرص للطلاب لتطوير وممارسة الطلاقة. على سبيل المثال ، تقدم الإجراءات والمراكز التعليمية في مواد المناهج لدينا طرقًا جماعية وتعاونية لتعلم الحقائق الرياضية وممارستها. تتضمن أنشطة ومراكز الدروس لدينا أيضًا فرصًا للطلاب للتفكير في تقدمهم من خلال ذكر الحقائق التي يعرفونها والحقائق التي يتعلمونها. تسمح هذه الممارسة للطلاب بالمشاركة في تحديد الأهداف والدعوة إلى تعلمهم من خلال اتخاذ قرارات مستنيرة حول تطور طلاقتهم.

كيف تعزز الرياضيات IM K-5 الطلاقة مع الحقائق؟

يتم منح الطلاب فرصًا على مدار العام لتسمية الحقائق التي يعرفونها ، والحقائق التي ما زالوا يتعلمونها ، وتحديد الاستراتيجيات لتعلم هذه الحقائق. تساعد إجراءات الإحماء ، مثل Number Talks و True أو False ، بالإضافة إلى المراكز والألعاب أثناء الدروس ، الطلاب في أن يصبحوا أكثر طلاقة على مدار العام.

كيف يكتسب المتعلمون الطلاقة من خلال المراكز؟

تم تصميم المراكز ، التي عادة ما تكون أنشطة أو ألعاب ، على مراحل. غالبًا ما يتم تقسيم المراحل حسب نطاقات الأرقام التي يعمل بها الطلاب حتى يتمكن المعلمون من دعم الطلاب بشكل منهجي بمراحل بناءً على الحقائق التي يحتاجون إليها لممارستها.

تهدف المراكز إلى ممارسة إضافية في المدرسة أو خارج المدرسة وهي مصممة لبناء الطلاقة (أو أي مهارة تتطور بمرور الوقت) على مدار عام.

  • تتماشى مع مستويات ووحدات الصف.
  • تتكون من دول لها نفس الهيكل العام
  • يمكن تكرارها بنتائج مختلفة في كل مرة
  • تركز في المقام الأول على العمل الرئيسي للصف
كيف يبدو أن يعرف الطالب الرياضيات من الذاكرة ، من حيث الاختبارات المحددة بوقت؟

لا تتخذ الرياضيات التوضيحية موقفًا من الاختبارات المحددة بوقت لتقييم معرفة الطلاب بالرياضيات. يمكن إجراء التقييم بطرق مختلفة ولا يقتصر على الاختبارات المحددة بوقت. على سبيل المثال ، يتضمن التقييم أيضًا مشاركة المعلم مع الطلاب ومراقبة الطلاب أثناء تجولهم في الفصل الدراسي.

كيف يظهر الطالب الطلاقة؟

يمكن للطالب الذي يجيد الرياضيات استخدام الأساليب الحسابية بمرونة وكفاءة ودقة. على سبيل المثال ، يمكن للطالب الذي يجيد الحساب الإضافي أن يستخدم عقليًا 10 + 5 = 15 ليعرف أن 9 + 6 = 15.

أريد المزيد من المعلومات حول موضوع الطلاقة. ما هي الموارد المتاحة؟
  • المجلس الوطني لمدرسي الرياضيات. (2000). مبادئ ومعايير الرياضيات المدرسية. ريستون ، فيرجينيا: NCTM.
  • كيلباتريك ، ج. ، سوافورد ، جيه ، آند فيندل ، ب. (2001). أمر مهم: مساعدة الأطفال على تعلم الرياضيات. واشنطن العاصمة: مطبعة الأكاديمية الوطنية.

منشورات مدونة IM K – 5 مميزة بطلاقة الرياضيات

عندما أفكر في الطلاقة في الرياضيات IM K-5 ، أرى كلا من النضال ، وهو أمر حقيقي للطلاب ، والفرح الذي يأتي من التمرين الماهر والواثق من إتقان المهارة.

إلى مدونة الرسائل الإخبارية والرسائل الإخبارية

اتصل بنا

الرياضيات التوضيحية

855.741.6284

ارسل لنا عبر البريد الإلكتروني

ابقى على تواصل

IM K – 12 الرياضيات

توضيح للمعايير

قصة IM

روابط سريعة

يتم تقديم جميع المنتجات والخدمات في جميع أنحاء الولايات المتحدة. المحتوى الموجود على هذه الصفحة مرخص. © حقوق الطبع والنشر 2021 ، Illustrative Mathematics ، جميع الحقوق محفوظة


معهد جورجيا للتكنولوجيا مدرسة الرياضيات | معهد جورجيا للتكنولوجيا | أتلانتا، GA

التكاملات المحددة وغير المحدودة ، تقنيات التكامل ، التكاملات غير الصحيحة ، السلاسل اللانهائية ، التطبيقات.

MATH 1550 أو MATH 1551 أو MATH 1501 أو MATH 15X1 أو MATH 1X51.

توماس ، حساب التفاضل والتكامل: التجاوزات المبكرة ، (الطبعة الرابعة عشر).

مخطط انسيابي يصف اختيارات الكتب المدرسية لخريف 2019.

عنوان أقسام نصية محاضرات
مراجعة التفاضل والتكامل غير المحدد الفصل 3 ، 4.8 2
مجموع ريمان والنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل 5.1-5.4 4
التكامل بالتعويض ، المنطقة 5.5-5.6 3
الدوال المتسامية: اللوغاريتمات ، الأسية 7.1-7.2 2
تقنيات التكامل 8.2-8.5, 8.7 7
قاعدة L & rsquoH و ocircpital و rsquos ، التكاملات غير الصحيحة 4.5, 8.8 4
المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى 9.2 1
المتتاليات والمتسلسلات اللانهائية 10.1-10.2 3
اختبارات التقارب ، سلسلة الطاقة 10.3-10.7 6
كثيرات حدود تايلور وتقريب تايلور 10.8-10.9 4
التطبيقات: الأحجام ، الطول ، العمل ، مركز الكتلة 6.1-6.6 6

موارد جورجيا التقنية

موارد الرياضيات GT

معهد جورجيا للتكنولوجيا
نورث أفينيو ، أتلانتا ، GA 30332
الهاتف: 404-894-2000


كيفية حل المعادلات الآنية باستخدام طريقة التعويض

شارك في تأليف هذا المقال فريقنا المُدرَّب من المحررين والباحثين الذين قاموا بالتحقق من صحتها للتأكد من دقتها وشمولها. يراقب فريق إدارة المحتوى في wikiHow بعناية العمل الذي يقوم به فريق التحرير لدينا للتأكد من أن كل مقال مدعوم بأبحاث موثوقة ويلبي معايير الجودة العالية لدينا.

تمت مشاهدة هذا المقال 151،923 مرة.

المعادلات الآنية هي معادلتان خطيتان بمتغيرين غير معروفين لهما نفس الحل. يعد حل المعادلات بمتغير واحد غير معروف أمرًا بسيطًا لعزل المتغير ، ولكن هذا غير ممكن عندما تحتوي المعادلات على متغيرين غير معروفين. باستخدام طريقة الاستبدال ، يجب عليك إيجاد قيمة متغير واحد في المعادلة الأولى ، ثم استبدال هذا المتغير في المعادلة الثانية. [1] X مصدر البحث بينما تشتمل طريقة الاستبدال لحل المعادلات الآنية على عدة خطوات ، لا تتطلب سوى مهارات الجبر الأساسية.


حل أنظمة المعادلات بالتعويض



تقدم دروس الجبر هذه تقنية حل أنظمة المعادلات بالتعويض.

في بعض مسائل الكلمات ، قد نحتاج إلى ترجمة الجمل إلى أكثر من معادلة واحدة. إذا كان لدينا متغيرين غير معروفين ، فسنحتاج إلى معادلتين على الأقل لحل المتغير. بشكل عام ، إذا كان لدينا n متغيرات غير معروفة ، فسنحتاج على الأقل n من المعادلات لحل المتغير.

يوضح المثال التالي خطوات حل نظام المعادلات باستخدام طريقة الاستبدال. قم بالتمرير لأسفل الصفحة لمزيد من الأمثلة والحلول.

في طريقة الاستبدال ، نعزل أحد المتغيرات في إحدى المعادلات ونستبدل النتائج في المعادلة الأخرى. نحاول عادةً اختيار المعادلة التي يكون فيها معامل المتغير هو 1 وعزل هذا المتغير. هذا لتجنب التعامل مع الكسور كلما أمكن ذلك. إذا لم يكن أي من المتغيرات يحتوي على معامل 1 ، فقد ترغب في التفكير في طريقة الإضافة أو طريقة الحذف.

خطوات حل أنظمة المعادلات بالتعويض:
1. عزل متغير في إحدى المعادلات. (إما y = أو x =).
2. استبدل المتغير المعزول في المعادلة الأخرى.
3. سينتج عن ذلك معادلة ذات متغير واحد. حل المعادلة.
4. عوض بالحل من الخطوة 3 في معادلة أخرى لحل المتغير الآخر.
5. يوصى به: تحقق من الحل.

3 س + 2 ص = 2 (المعادلة 1)
ص + 8 ​​= 3 س (المعادلة 2)

الخطوة 1: حاول اختيار المعادلة التي يكون فيها معامل المتغير هو 1.

اختر المعادلة 2 وعزل متغير y
ص = 3 س - 8 (المعادلة 3)

الخطوة 2: من المعادلة 3 ، نعلم أن y هو نفسه 3x - 8

يمكننا بعد ذلك التعويض بالمتغير y في المعادلة 1 بـ 3x - 8
3 س + 2 (3 س - 8) = 2

الخطوة 6: استبدل x = 2 في

المعادلة 3 للحصول على قيمة y

الخطوة 7: تحقق من إجابتك بالمعادلة 1

حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام التعويض
قم بتضمين شرح للرسوم البيانية - حل واحد ، لا يوجد حل ، حلول لا نهائية
أمثلة:
2 س + 4 ص = 4
ص = س - 2

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


5.5: التعويض - الرياضيات

مدفوعة بخطاب الطلاب ، تعد مناهج IM Certified ™ غنية ، وتشارك في البرامج الأساسية المبنية على التركيز والتماسك والصرامة. المناهج الدراسية هي مواد موثوقة ومؤلفة من قبل الخبراء تم تطويرها لتجهيز جميع الطلاب للازدهار في الرياضيات.

حول المنهج

إثارة المناقشة والمثابرة والتمتع بالرياضيات.

IM K-5 Math هو منهج أساسي قائم على حل المشكلات متجذر في معايير المحتوى والممارسة لتعزيز التعلم والإنجاز للجميع. يتعلم الطلاب من خلال ممارسة الرياضيات من خلال حل المشكلات وتطوير الفهم المفاهيمي ومناقشة أسبابهم والدفاع عنها. يبني المعلمون الثقة من خلال الدروس وأدلة المناهج التي تساعدهم على تسهيل التعلم وتساعد الطلاب على إجراء اتصالات بين المفاهيم والإجراءات.

تصميم درس مقصود يعزز النمو الرياضي.

يروي كل نشاط ودرس في الرياضيات IM K-5 قصة رياضية متماسكة عبر الوحدات ومستويات الصف بناءً على المعايير ومسارات التعلم القائمة على البحث. This allows students the opportunity to view mathematics as a connected set of ideas and offers them access to mathematics when developed into the overarching design structure of the curriculum.

Focus on developing learning communities.

The first unit in each grade level provides lesson structures which establish a mathematical community and invite students into the mathematics with accessible content. Each lesson offers opportunities for the teacher and students to learn more about one another, develop mathematical language, and become increasingly familiar with the curriculum routines. The use of authentic contexts and adaptations provides students opportunities to bring their own experiences to the lesson activities and see themselves in the materials and mathematics.


Substitution Property

In the previous section we explored how to take a basic algebraic problem and turn it into a proof, using the common algebraic properties you know as the "reasons" in the proof. In this section, I'll show you a couple examples that use those properties, plus the concept of substitution. Technically, "substitution" is considered to be a method rather than a property, but most textbooks will refer to the "substitution property," and we will do the same here. This idea is very similar to the "Transitive Property," which we will look at in a later section.

The substitution property says that if x = y, then in any true equation involving y, you can replace y with x, and you will still have a true equation. How can we use that in a proof? Here's an example:

Prove: if x + y = 3 and y = 13, then x = -10.

Since this is a proof problem, we're going to set up a two column format with Statements and Reasons. In this problem, how many pieces of information were given to us? Two, right? We were told that x + y = 3, and we were told that y = 13. Great! That makes the first two lines of our proof easy!

Hopefully at this point, you know what to do next we can substitute 13 in place of y in the first equation. And the reason that we can do this is substitution. So we'll do this:

Now so far in doing these algebraic proofs, every step has depended on the previous step. But in this case, our step number 3 depended on both steps 2 and 1, right? We used the Substitution property to combine those two equations into something new. Therefore, we can't just state "Substitution Property" - we also have to specify that we were using two previous steps:

At this point, we've already simplified this to something very straightforward, so we'll finish the proof now.

Let's try another! Here's a problem.

Prove: If x + y = 10, and x + 2y = 20, then x = 0.

Here is a proof, in its entirety. Can you follow the reasoning? Note that this is not the only way to do the proof there are multiple possibilities, and this is certainly not the shortest way to do it, so you might want to try different ways to see if you can find a process that uses less than 12 steps!


Unlimited Questions

Once you have created an assignment, you can regenerate all of its questions with a single click. The new questions will conform to the same parameters as the original questions, but they will be completely new. This feature is at the heart of our software and is what makes it so powerful: you choose the properties of the questions, not the questions themselves. When a question is replaced, you get a new one that is similar to the original question. How it works. You can regenerate entire assignments, particular question groups, or individual questions.

Easy Spacing

Respace the entire assignment to the desired length with one click. Easily give your students enough room to show their work by increasing the spacing. Or you can save paper by decreasing the spacing.

Spacing can also be controlled manually.

Presentation Mode

Very useful as a teaching aid when used in combination with an LCD projector or other display system. One to four questions at a time are shown on the screen.

Use this feature while you teach. Prepare your examples with the software, and then use a projector to display the questions on the board. This saves time during planning and during the lesson, and it makes it very easy to present long questions or questions with graphs and diagrams. With one question displayed, you can:

  • Change the zoom level -- so students in the back can read it
  • Draw lines beside the question to help you organize your work if you solve the question
  • Jump to another question -- useful while reviewing homework
  • Reveal the answer
  • Show / hide the question number and the directions.

Multiple-Version Printing

Print multiple versions of an assignment. You control how each new version is created: scramble the choices, scramble the questions, or make completely new questions. You can also save each new version after it is created.

Scale Assignment

Proportionally increase or decrease the number of questions in the assignment. This is very useful when planning a lesson. You can create a few questions to use as examples, and then scale up the number of question to create a homework assignment. The questions on the homework will be completely new, yet follow precisely from the lesson--and you don't need to design the questions again.

Export Questions

Export questions as bitmap images and paste them into your favorite word processing software. Questions created with our products can be added to existing assignments you have created with other programs. Or you can freshen old assignments by replacing old questions with new ones.

All questions are available for export.

Good Multiple-Choice Questions

Every question you create can be toggled between free-response and multiple-choice format. Multiple-choice questions come with smart, potentially misleading choices. Some are based on common mistakes students make while others are just random but near the correct answer.

You control the number of choices each question has, from two to five.

Merge Assignments

Merge two or more assignments into one. Easily create quizzes, tests, and reviews by merging the assignments from the unit and then scaling the total to an appropriate length. The questions will be new while following exactly from what you taught.

Diagrams Drawn to Scale

Diagrams are all accurately drawn, except if the answer would be given away. If an angle is labeled as 30°, then it really is 30°. If a triangle's sides are labeled 3, 4, and 5, then its lengths truly are in a 3:4:5 ratio. Seeing accurate diagrams helps students gain an intuitive understanding of angles and measurements.

Answer Format

When you print an assignment, you choose how the answers are reported:

  • On an answer sheet
  • On an answer sheet with just the odds
  • In context (next to or within the question)
  • No answer sheet

Graphing and Graph Paper Utility

Supplement your lessons with high-quality graphs and graph paper of any size. Each graph can have zero to two functions graphed on it. Graphs can be of any logical and physical size. You can also tile graphs across the page to maximize your paper use.

Custom Directions and Custom Questions

Enter your own directions to create new types of problems. Shown on the left was a standard order of operations question that has been modified to be more analytical. You can alter the directions on any question type.

From time to time, you will need to enter your own question. That's what custom questions are for. They can be either free response or multiple-choice and can contain math formatted text (equations, expressions, etc).

Modify Automatically-Generated Questions

Most automatically-generated questions can be modified manually. If there is a choice you don't like, you can change it. If you wish a question was slightly different, you can change it.

Paper Size and Margins

Print assignments on any sized paper that your printer supports. If you decide to print an assignment on legal-sized paper, no problem. The questions will automatically be repositioned for you--no cutting and pasting the assignment back together just to use a different paper size. You also have control over the margins, page numbering, and paper orientation.


The substitution method is one among the algebraic methods that help you to solve the simultaneous equations. As the word substitution says that, the value of one variable from one equation is substituted in the other equation. So, a pair of linear equations gets transformed into one linear equation in one variable. Later, solve the obtained equation to get the solution.

Substitution Method for Solving System of Linear Equations

For instance, the simultaneous equations with two variables can be solved using the below mentioned detailed steps. Follow them and find the solution of a system of linear equations easily.

  • Simplify the given equations by expanding the paranthesis.
  • Find the value of one variable in terms of the second variable from any of the given equations.
  • Substitute this variable value in other equations.
  • Solve the equation and get the value of one of the variables.
  • Substitute that value in any one of the equations to find the value of another variable.

General Solution using the Substitution Method

Let us take two linear equations

Substitute the obtained value of y in equation (ii), we get

On simplifying this equation,

Putting the value of x in equation (i)

Therefore, solution set is x = (bf – ec) / (bd – ae), y = [bc(bd – ae) – (abf – ace)] / b.

Substitution Method Examples with Answers

Solve the equations 3x + 2y = 7, 5x – 3y = 37 by substitution method?

Given simultaneous equations are

From equation (i) 3x + 2y = 7, express y in terms of x

From equation (i) 3x + 2y = 7, we get

Substitute the obtained value of y in equation (ii),

By putting y = (7 – 3x) / 2 in equation (ii) 5x – 3y = 37, we get

Putting the value of x in equation (ii),

Subsutitute x = 5 in 5x – 3y = 37

Therefore, x= 5 and y = -4 is the solution for the system of linear equations 3x + 2y = 7, 5x – 3y = 37.

Solve the simultaneous equations 3x + y = 9, 5x + 4y = 22 using the substitution method?

Given system of linear equations are,

Substituting y = 9 – 3x in equation (ii), we get

Putting x = 2 in equation (i), we get

Therefore, x = 2, y = 3 is the solution for the linear equations 3x + y = 9, 5x + 4y = 22.

Solve the system of linear equations x – 2y = 8, x + y = 5 by the method of substitution?

Given simultaneous linear equations are

Substitute x = 8 + 2y in equation (ii)

Putting y = -1 in equation (i) we get

Therefore, x = 6, y = -1 is the solution for the linear equations x – 2y = 8, x + y = 5.

Solve the pair of equations 2x + 3y = 9, x = 3 + y using the substitution method?

Given system of linear equations are

Substitute x = 3 + y in the equation (i)

Therefore, x = 18/5, y = 3/5 is the solution for the equations 2x + 3y = 9, x = 3 + y.

SEO Title: Substitution Method for Solving System of Linear Equations Examples

Meta Description: Use the Substitution Method for Solving the Simultaneous Linear Equations easily. Get Substitution Method Steps explained in detail with Example Problems.


شاهد الفيديو: Integration by Substitution التكامل بالتعويض (شهر اكتوبر 2021).