مقالات

18.5: إحداثيات وسيطة وقطبية


كما في السابق ، نفترض أن (O ) و (E ) هما النقطتان ذات الإحداثيات المعقدة (0 ) و (1 ) على التوالي.

دع (Z ) يكون شكل مميز بنقطة (س ). اضبط ( rho = OZ ) و ( ثيتا = قياس المثلث EOZ ). الزوج (( rho ، theta) ) يسمى الإحداثيات القطبية من (ض ).

إذا كان (z ) هو الإحداثي المعقد لـ (Z ) ، إذن ( rho = | z | ). القيمة ( theta ) تسمى جدال من (ض ) (باختصار ( ثيتا = أرج ض )). في هذه الحالة،

(z = rho cdot e ^ {i cdot theta} = rho cdot ( cos theta + i cdot sin theta). )

لاحظ أن

( arg (z cdot w) equiv arg z + arg w )

و

( arg tfrac z w equiv arg z- arg w )

إذا (z ne 0 ) و (w ne 0 ). على وجه الخصوص ، إذا كانت (Z ) و (V ) و (W ) نقاط ذات إحداثيات معقدة (z ) و (v ) و (w ) على التوالي ، إذن

[ start {align} scaleangle VZW & = arg left ( frac {wz} {vz} right) equiv & equiv arg (wz) - arg (vz) end {محاذاة } ]

إذا تم تعريف ( المقاسة VZW ).

تمرين ( PageIndex {1} )

استخدم الصيغة 18.5.1 لإظهار ذلك

( قياس المثلث ZVW + قياس المثلث VWZ + قياس WZV equiv pi )

لأي ( مثلث ZVW ) في المستوى الإقليدي.

تلميح

دع (z، v ) و (w ) تدل على الإحداثيات المعقدة لـ (Z، V ) و (W ) على التوالي. ثم

( start {array} {rcl} { scaleangle ZVW + selectedangle VWZ + selectedangle WZV} & equiv & { arg dfrac {w - v} {z- v} + arg dfrac {zw} {vw} + arg dfrac {vz} {wz} equiv} {} & equiv & { arg dfrac {(w - v) cdot (z - w) cdot (v -z) } {(z - v) cdot (v - w) cdot (w - z)} equiv} {} & equiv & { arg (-1) equiv pi} end {array} )

تمرين ( PageIndex {2} )

افترض أن النقاط (O ) ، (E ) ، (V ) ، (W ) ، و (Z ) لها إحداثيات معقدة (0 ) ، (1 ) ، ( v ) و (w ) و (z = v cdot w ) على التوالي. اظهر ذلك

( مثلث OEV سيم مثلث أوز. )

تلميح

لاحظ واستخدم هذا ( scaleangle EOV = selectedangle WOZ = arg v ) و ( dfrac {OW} {OZ} = dfrac {OZ} {OW} = | v | ).

النظرية التالية هي إعادة صياغة Corollary 9.3.2 والتي تستخدم إحداثيات معقدة.

نظرية ( PageIndex {1} )

لنفترض أن ( square UVWZ ) يكون رباعي الزوايا و (u ) و (v ) و (w ) و (z ) هي الإحداثيات المعقدة لرؤوسه. ثم يتم تسجيل ( square UVWZ ) إذا وفقط إذا كان الرقم

( dfrac {(v-u) cdot (z-w)} {(v-w) cdot (z-u)} )

انه حقيقي.

القيمة ( dfrac {(v-u) cdot (w-z)} {(v-w) cdot (z-u)} ) تسمى نسبة متقاطعة معقدة من (u ) و (w ) و (v ) و (z ) ؛ سيتم الإشارة إليه بواسطة ((u ، w ؛ v ، z) ).

تمرين ( PageIndex {1} )

لاحظ أن العدد المركب (z ne 0 ) حقيقي إذا وفقط إذا ( arg z = 0 ) أو ( pi ) ؛ بمعنى آخر ، (2 cdot arg z equiv 0 ).

استخدم هذه الملاحظة لتوضيح أن النظرية ( PageIndex {1} ) هي بالفعل إعادة صياغة لـ Corollary 9.3.2.

تلميح

لاحظ أن

( arg dfrac {(vu) cdot (zw)} {(v -w) cdot (z -u)} equiv arg dfrac {v - u} {z - u} + arg dfrac {z- w} {v -w} = مقاسة ZUV + مقاسة VWZ. )

يتبع البيان لأن القيمة ( dfrac {(v - u) cdot (x - w)} {(v - w) cdot (z - u)} ) حقيقية إذا وفقط إذا

(2 cdot arg dfrac {(v - u) cdot (z - w)} {(v - w) cdot (z - u)} equiv 0. )


نظام الإحداثيات القطبية

في الرياضيات ، فإن نظام الإحداثيات القطبية هو نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد يتم فيه تحديد كل نقطة على مستوى بمسافة من نقطة مرجعية وزاوية من اتجاه مرجعي. النقطة المرجعية (المماثلة لأصل نظام الإحداثيات الديكارتية) تسمى عمود، والشعاع من القطب في الاتجاه المرجعي هو المحور القطبي. المسافة من القطب تسمى تنسيق شعاعي, مسافة شعاعية أو ببساطة نصف القطر، وتسمى الزاوية تنسيق الزاوي, الزاوية القطبية، أو السمت. [1] غالبًا ما يُرمز إلى الإحداثي الشعاعي بـ ص أو ρ، والإحداثيات الزاويّة بمقدار φ, θ، أو ر. يتم التعبير عن الزوايا في التدوين القطبي عمومًا إما بالدرجات أو بالراديان (2 π راديان تساوي 360 درجة).

قدم كل من Grégoire de Saint-Vincent و Bonaventura Cavalieri المفاهيم بشكل مستقل في منتصف القرن السابع عشر ، على الرغم من المصطلح الفعلي الإحداثيات القطبية يُنسب إلى جريجوريو فونتانا في القرن الثامن عشر. كان الدافع الأولي لإدخال النظام القطبي هو دراسة الحركة الدائرية والمدارية.

الإحداثيات القطبية هي الأنسب في أي سياق حيث تكون الظاهرة قيد النظر مرتبطة بطبيعتها بالاتجاه والطول من نقطة مركزية في المستوى ، مثل اللوالب. غالبًا ما تكون الأنظمة الفيزيائية المستوية ذات الأجسام التي تتحرك حول نقطة مركزية ، أو الظواهر التي تنشأ من نقطة مركزية ، أبسط وأكثر حدسية للنمذجة باستخدام الإحداثيات القطبية.

يمتد نظام الإحداثيات القطبية إلى ثلاثة أبعاد بطريقتين: أنظمة الإحداثيات الأسطوانية والكروية.


ثلاثة أبعاد

مثال 9.4

أوجد مقدار واتجاه

المحلول لإجراء هذه التحويلات إلى الشكل القطبي ، من الأفضل رسم رسم تخطيطي للمتجه حتى تتمكن من التحقق من أن الزاوية بالحجم الصحيح. يوضح الشكل 9.11 الرسوم البيانية لكل جزء من المثال.

الشكل 9.11. تحويل المتجهات إلى الشكل القطبي: (أ) ص = (2،3) = 3.606 ∠0.983 (ب) ص = (−1 ، −4) = 4.123 ∠ 1.816 (ج) ص = (1 ، −2.2) = 2.416 ∠ −1.144 (د) ص = (2،5.6) = 5.946 1.914.

ص = (2، 3) لها حجم 2 2 + 3 2 ≈ 3.606 وزاوية معطاة من tan −1 (3/2) ≈ 0.983 وبالتالي في الإحداثيات القطبية ص هو 3.606 ∠0.983.

ص = (1 ، −4) له حجم ص = r = (- 1) 2 + (- 4) 2 ≈ 4.123 ، والزاوية المعطاة من tan −1 (−4 / l) + π ≈1.326 + 3.142 = 4.467. لأن هذه الزاوية أكبر من π ، اطرح 2π (ثورة كاملة) لنحصل على 1.816. لذلك ، في الإحداثيات القطبية ص = 4.123 ∠ −1.816. لاحظ أن الزاوية تقع بين –π و - / 2 ، مما يعني أن المتجه يجب أن يقع في الربع الثالث ، والذي يمكننا رؤيته صحيح من الرسم التخطيطي.

ص = (1، −2.2) لها حجم r = (1) 2 + (- 2.2) 2 2.416 والزاوية تعطى بواسطة tan −1 (−2.2 / 1) ≈ −1.144. لذلك ، في الإحداثيات القطبية ص = 2.416 ∠ − 1.144. لاحظ أن الزاوية تقع بين / 2 و 0 ، مما يعني أن المتجه يجب أن يقع في الربع الرابع.

ص = (−2،5.6) لها حجم r = (- 2) 2 + (5.6) 2 5.946 والزاوية المعطاة من tan l (5.6 / - 2) + π ≈1.914. لذلك ، في الإحداثيات القطبية ص = 5.946 ∠1.914. لاحظ أن الزاوية بين / 2 و π ، مما يعني أن المتجه يجب أن يقع في الربع الثاني.

تحتوي العديد من الآلات الحاسبة على وسيلة تحويل مستطيلة إلى قطبية. ابحث عن هذا في التعليمات باستخدام الآلة الحاسبة وتحقق من النتائج. تذكر ، للحصول على النتيجة بالراديان ، يجب عليك أولاً وضع الآلة الحاسبة في وضع الراديان.


18.5: إحداثيات وسيطة وقطبية

حتى هذه اللحظة ، رأينا عددًا غير قليل من التكاملات المزدوجة. ومع ذلك ، في كل حالة رأيناها حتى هذه النقطة ، يمكن وصف المنطقة (D ) بسهولة من حيث الوظائف البسيطة في الإحداثيات الديكارتية. نريد في هذا القسم إلقاء نظرة على بعض المناطق التي يسهل وصفها بدلالة الإحداثيات القطبية. على سبيل المثال ، قد يكون لدينا منطقة عبارة عن قرص أو حلقة أو جزء من قرص أو حلقة. في هذه الحالات ، قد يكون استخدام الإحداثيات الديكارتية مرهقًا إلى حد ما. على سبيل المثال ، لنفترض أننا أردنا إجراء التكامل التالي ،

لهذا علينا تحديد مجموعة من المتباينات لـ (x ) و (y ) التي تصف هذه المنطقة. سيكون هؤلاء ،

[يبدأ - 2 le x le 2 - sqrt <4 - > le y le sqrt <4 - > النهاية]

مع هذه الحدود يصبح التكامل ،

نظرًا لحدود التكامل الداخلي ، فمن المحتمل أن يكون جزءًا لا يتجزأ من الحساب.

ومع ذلك ، يمكن تعريف قرص نصف القطر 2 في الإحداثيات القطبية من خلال عدم المساواة التالية ،

[يبدأ0 le theta le 2 pi 0 le r le 2 end]

هذه حدود بسيطة للغاية ، وهي في الواقع حدود ثابتة للتكامل والتي تجعل التكاملات أسهل إلى حد ما في أغلب الأحيان.

لذا ، إذا تمكنا من تحويل صيغة التكامل المزدوج إلى صيغة تتضمن إحداثيات قطبية ، فسنكون في حالة جيدة جدًا. المشكلة هي أنه لا يمكننا تحويل (dx ) و (dy ) إلى (د ) و (د ثيتا ). في حساب التكاملات المزدوجة لهذه النقطة ، استخدمنا حقيقة أن (dA = dx ، dy ) وهذا يتطلب فعلاً الإحداثيات الديكارتية لاستخدامها. بمجرد الانتقال إلى الإحداثيات القطبية (dA ne dr ، d theta ) ولذا سنحتاج إلى تحديد ما هو (dA ) تحت الإحداثيات القطبية.

لذا ، دعنا نتراجع قليلاً ونبدأ بمنطقة عامة من حيث الإحداثيات القطبية ونرى ما يمكننا فعله بذلك. هنا رسم تخطيطي لبعض المناطق باستخدام الإحداثيات القطبية.

لذلك ، سيتم تحديد منطقتنا العامة من خلال عدم المساواة ،

[يبدأ alpha le theta le beta يسار ( ثيتا يمين) le r le يسار ثيتا يمين نهاية]

الآن ، للعثور على (dA ) دعنا نعيد الشكل أعلاه على النحو التالي ،

كما هو موضح ، سنقسم المنطقة إلى شبكة من الخطوط والأقواس الشعاعية. الآن ، إذا سحبنا إحدى قطع الشبكة للخارج كما هو موضح ، لدينا شيء تقريبًا ، لكن ليس مستطيلًا تمامًا. مساحة هذه القطعة هي ( Delta A ). كلا جانبي هذه القطعة لهما طول ( Delta ، r = - ) أين () هو نصف قطر القوس الخارجي و () هو نصف قطر القوس الداخلي. ثم تخبرنا الهندسة الأساسية أن طول الحافة الداخلية هو (، Delta ، theta ) بينما طول الحافة الخارجية (، Delta ، theta ) حيث ( Delta ، theta ) هي الزاوية بين الخطين الشعاعيين اللذين يشكلان جانبي هذه القطعة.

الآن ، لنفترض أننا أخذنا الشبكة صغيرة جدًا بحيث يمكننا افتراض أن ( تقريبا = r ) وبهذا الافتراض يمكننا أيضًا أن نفترض أن قطعتنا قريبة بما يكفي من المستطيل بحيث يمكننا أيضًا افتراض ذلك ،

[ Delta A almost r ، Delta ، theta ، Delta ، r ]

أيضًا ، إذا افترضنا أن الشبكة صغيرة بما يكفي ، فيمكننا أيضًا افتراض ذلك ،

[dA almost Delta A hspace <0.5in> d theta almost Delta theta hspace <0.5in> dr almost Delta ، r ]

مع هذه الافتراضات نحصل بعد ذلك على (dA almost r ، dr ، d theta ).

من أجل الوصول إلى هذا ، كان علينا أن نفترض أن الشبكة كانت صغيرة جدًا. هذا ليس افتراض غير معقول. تذكر أن تعريف التكامل المزدوج هو من حيث حدين ، ومع انتقال الحدود إلى ما لا نهاية ، سيصبح حجم شبكة المنطقة أصغر وأصغر. في الواقع ، كلما أصبح حجم الشبكة أصغر وأصغر ، تصبح الصيغة أعلاه أكثر دقة ، وبالتالي يمكننا القول ،

سنرى طريقة أخرى لاشتقاق هذا بمجرد وصولنا إلى قسم تغيير المتغيرات لاحقًا في هذا الفصل. لن تتضمن هذه الطريقة الثانية أي افتراضات أيضًا ولذا ربما تكون طريقة أفضل قليلاً لاشتقاق ذلك.

قبل الانتقال ، من المهم مرة أخرى ملاحظة أن (dA ne dr ، d theta ). تحتوي الصيغة الفعلية لـ (dA ) على (r ) بداخلها. سيكون من السهل نسيان هذا (r ) في بعض الأحيان ، ولكن كما سترى بدونه لن يكون من الممكن القيام ببعض التكاملات.

الآن ، إذا أردنا تحويل جزء لا يتجزأ من الإحداثيات الديكارتية إلى تكامل في الإحداثيات القطبية ، فسيتعين علينا التأكد من أننا قمنا أيضًا بتحويل جميع (x ) 's و (y ) في الإحداثيات القطبية أيضًا. للقيام بذلك ، سنحتاج إلى تذكر صيغ التحويل التالية ،

نحن الآن جاهزون لكتابة صيغة التكامل المزدوج بدلالة الإحداثيات القطبية.

من المهم ألا تنسى (r ) المضافة ولا تنس تحويل الإحداثيات الديكارتية في الوظيفة إلى إحداثيات قطبية.

دعونا نلقي نظرة على مثالين لهذه الأنواع من التكاملات.

  1. ( displaystyle iint limits_<< 2x ، y ، dA >> )، (D ) هو جزء من المنطقة الواقعة بين دوائر نصف القطر 2 ونصف القطر 5 المتمركزة في الأصل والتي تقع في الربع الأول.
  2. ( displaystyle iint limits_<<<< فرنك بلجيكي>^ <+ >> ، dA >> )، (D ) هو قرص الوحدة المتمركز في الأصل.

أولاً ، دعنا نحصل على (D ) من حيث الإحداثيات القطبية. دائرة نصف القطر 2 مُعطاة من قبل (r = 2 ) ودائرة نصف القطر 5 مُعطاة بـ (r = 5 ). نريد المنطقة الواقعة بين الدائرتين ، لذا سيكون لدينا المتباينة التالية لـ (r ).

أيضًا ، نظرًا لأننا نريد فقط الجزء الموجود في الربع الأول ، نحصل على النطاق التالي من ( theta ) 's.

الآن بعد أن حصلنا على هذه ، يمكننا عمل التكامل.

لا تنس إجراء التحويلات وإضافة (r ) الإضافية. الآن ، دعونا نبسط ونستفيد من صيغة الزاوية المزدوجة للجيب لجعل التكامل أسهل قليلاً.

في هذه الحالة ، لا يمكننا إجراء هذا التكامل من حيث الإحداثيات الديكارتية. ومع ذلك ، سنكون قادرين على القيام بذلك في الإحداثيات القطبية. أولاً ، يتم تحديد المنطقة (د ) من خلال ،

[يبدأ0 le theta le 2 pi 0 le r le 1 end]

من حيث الإحداثيات القطبية ، يكون التكامل إذن ،

لاحظ أن إضافة (r ) تعطينا تكاملاً يمكننا فعله الآن. هذا هو العمل لهذا التكامل.

دعونا لا ننسى أنه لا يزال لدينا التفسيرين الهندسيين لهذه التكاملات أيضًا.

فيما يلي رسم تخطيطي للمنطقة (D ) التي نريد تحديد مساحتها.

لتحديد هذه المنطقة ، سنحتاج إلى معرفة قيمة ( theta ) التي يتقاطع معها المنحنيان. يمكننا تحديد هذه النقاط عن طريق جعل المعادلتين متساويتين والحل.

[يبدأ3 + 2 sin theta & = 2 sin theta & = - frac <1> <2> hspace <0.5in> rightarrow hspace <0.5in> theta = frac << 7 pi >> <6> ، frac << 11 pi >> <6> end]

فيما يلي رسم تخطيطي للشكل مع إضافة هذه الزوايا.

لاحظ أيضًا أننا أقرّنا بأن (- frac < pi> <6> ) هو تمثيل آخر للزاوية ( frac << 11 pi >> <6> ). هذا مهم لأننا نحتاج إلى النطاق ( theta ) لإحاطة المناطق فعليًا حيث نزيد من الحد الأدنى إلى الحد الأعلى. إذا اخترنا استخدام ( frac << 11 pi >> <6> ) فحينئذٍ نزيد من ( frac << 7 pi >> <6> ) إلى ( frac < <11 pi >> <6> ) سنقوم بتتبع الجزء السفلي من الدائرة وهذه ليست المنطقة التي نتبعها.

إذن ، إليك النطاقات التي ستحدد المنطقة.

[يبدأ displaystyle - frac < pi> <6> le theta le frac << 7 pi >> <6> 2 le r le 3 + 2 sin theta end]

للحصول على نطاقات (r ) الدالة الأقرب إلى الأصل هي الحد الأدنى والدالة الأبعد عن الأصل هي الحد الأعلى.

مساحة المنطقة (د ) هي إذن ،

نعلم أن صيغة إيجاد حجم المنطقة هي ،

من أجل الاستفادة من هذه الصيغة ، سنحتاج إلى تحديد الوظيفة التي يجب أن ندمجها والمنطقة (D ) التي سنقوم بدمجها.

الوظيفة ليست سيئة للغاية. إنها مجرد كرة ، ومع ذلك ، نحتاج إلى أن تكون بالشكل (z = f left ( حق)). نحن ننظر إلى المنطقة التي تقع تحت الكرة وفوق المستوى (z = 0 ) (فقط (xy ) - المستوى الصحيح؟) ولذا كل ما علينا فعله هو حل معادلة (z ) وعند أخذ الجذر التربيعي سنأخذ الموجب لأننا نريد المنطقة فوق المستوى (xy ) -. ها هي الوظيفة.

المنطقة (D ) ليست سيئة للغاية في هذه الحالة أيضًا. عندما نأخذ النقاط ، ( يسار ( right) ) ، من المنطقة نحتاج إلى رسم بياني كامل لجزء الكرة الذي نعمل معه. نظرًا لأننا نريد فقط جزء الكرة الموجود بالفعل داخل الأسطوانة المعطى بواسطة ( + = 5 ) هذه أيضًا المنطقة (د ). المنطقة (D ) هي القرص ( + لو 5 ) في (س ص ) - الطائرة.

لأغراض مرجعية ، يوجد هنا رسم تخطيطي للمنطقة التي نحاول إيجاد حجمها.

إذن ، المنطقة التي نريد حجمها هي في الحقيقة أسطوانة ذات غطاء يأتي من الكرة.

نحن بالتأكيد نريد القيام بهذا التكامل من حيث الإحداثيات القطبية ، لذا ها هي الحدود (بالإحداثيات القطبية) للمنطقة ،

[يبدأ0 le theta le 2 pi 0 le r le sqrt 5 end]

وسنحتاج إلى تحويل الوظيفة إلى إحداثيات قطبية أيضًا.

لنبدأ هذا المثال برسم تخطيطي سريع للمنطقة.

الآن ، في هذه الحالة لن تعمل الصيغة القياسية. الصيغة

يجد الحجم تحت الوظيفة (f left ( right) ) ونحن بالفعل بعد الحجم الذي هو أعلى من وظيفة. هذه ليست المشكلة التي قد يبدو عليها الأمر. أولا ، لاحظ ذلك

سيكون الحجم تحت (z = 16 ) (بالطبع سنحتاج إلى تحديد (D ) في النهاية) بينما

هو الحجم تحت (z = + ) باستخدام نفس (د ).

الحجم الذي نسعى إليه هو حقًا الاختلاف بين هذين أو ،

كل ما علينا فعله الآن هو تحديد المنطقة (D ) ثم تحويل كل شيء إلى إحداثيات قطبية.

تحديد المنطقة (د ) في هذه الحالة ليس سيئًا للغاية. إذا نظرنا مباشرة إلى محور (z ) - على المنطقة ، فسنرى دائرة نصف قطرها 4 متمركزة في نقطة الأصل. هذا لأن الجزء العلوي من المنطقة ، حيث يتقاطع القطع المكافئ الإهليلجي مع المستوى ، هو أوسع جزء في المنطقة. نحن نعلم أن (ض ) التنسيق عند التقاطع ، لذلك ، فإن الإعداد (ض = 16 ) في معادلة المكافئ يعطي ،

وهي معادلة دائرة نصف قطرها 4 متمركزة عند نقطة الأصل.

فيما يلي المتباينات للمنطقة والدالة التي سنعمل على تكاملها من حيث الإحداثيات القطبية.

[0 le theta le 2 pi hspace <0.5in> 0 le r le 4 hspace <0.5in> z = 16 - ]

في كلتا مشكلتي الصوت السابقتين ، لم نكن قادرين على حساب الحجم بسهولة دون التحويل أولاً إلى الإحداثيات القطبية ، لذا ، كما توضح هذه الأمثلة ، من الجيد أن نتذكر الإحداثيات القطبية دائمًا.

هناك نوع آخر من الأمثلة نحتاج إلى إلقاء نظرة عليه قبل الانتقال إلى القسم التالي. في بعض الأحيان يتم إعطاؤنا تكاملًا متكررًا بدلالة (x ) و (y ) ونحتاج إلى تحويله إلى قطبي حتى نتمكن من فعل التكامل. نحن بحاجة لرؤية مثال على كيفية القيام بهذا النوع من التحويل.

أولاً ، لاحظ أنه لا يمكننا القيام بهذا التكامل في الإحداثيات الديكارتية ، وبالتالي قد يكون التحويل إلى إحداثيات قطبية هو الخيار الوحيد المتاح لدينا بالفعل لإجراء التكامل. لاحظ أن الوظيفة ستتحول إلى إحداثيات قطبية بشكل جيد ولذا لا ينبغي أن تكون مشكلة.

دعنا أولاً نحدد المنطقة التي ندمج فيها ونرى ما إذا كانت منطقة يمكن تحويلها بسهولة إلى إحداثيات قطبية. فيما يلي المتباينات التي تحدد المنطقة من حيث الإحداثيات الديكارتية.

[يبدأ - 1 le x le 1 - sqrt <1 - > le y le 0 end]

الآن ، الحد الأدنى لـ (ص ) هو ،

وهذا يشبه الجزء السفلي من دائرة نصف القطر 1 المتمركزة في نقطة الأصل. نظرًا لأن الحد الأعلى لـ (y ) هو (y = 0 ) فلن يكون لدينا أي جزء من النصف العلوي من القرص ولذا يبدو أننا سنحصل على جزء (أو الكل ) من الجزء السفلي من قرص نصف القطر 1 المتمركز في الأصل.

يخبرنا نطاق (x ) بدوره أننا سنحصل في الواقع على الجزء السفلي الكامل من القرص.

لذلك ، نعلم أن المتباينات التي ستحدد هذه المنطقة من حيث الإحداثيات القطبية هي إذن ،

[يبدأ pi le theta le 2 pi 0 le r le 1 end]

أخيرًا ، نحتاج فقط إلى تذكر ذلك ،

وهكذا يصبح التكامل ،

لاحظ أن هذا جزء لا يتجزأ يمكننا القيام به. إذن ، هذا هو العمل المتبقي لهذا التكامل.


إحداثيات الخريطة

يستخدم إحداثيات GPS إحداثيات الخريطة للعثور على إحداثيات والحصول على موقعك الحالي. فيما يلي قائمة بالأدوات الأخرى التي نقدمها.

ما هو عنوان IP الخاص بي - للعثور على عنوان IP الخاص بك ، باستخدام أداة بحث IP الخاصة بنا. لا تقوم الأداة بتتبع عنوان IP الخاص بك أو تخزينه.

ما هي المقاطعة التي أنا فيها - اكتشف المقاطعة التي أنت فيها الآن.

موقعي - ابحث عن موقعك الحالي وعنوانك.

حاسبة المسافة - احسب المسافة بين نقطتين.

أين أنا - أداة أخرى للعثور على مكانك الآن.

محول إحداثيات GPS - أداة لتحويل إحداثيات GPS إلى العنوان والعكس صحيح.

الدول - اكتشف خطوط الطول والعرض حسب الدول.

البلدان - ابحث عن إحداثيات GPS لكل بلد.

في أي مدينة أنا - اكتشف المدينة الحالية التي أنت فيها الآن.

ما هو عنواني - ابحث عن العنوان الذي تتواجد فيه حاليًا.

في أي بلد أنا موجود - إذا كنت مسافرًا أو على الحدود بين البلدان ، فقد لا تعرف البلد الذي أنت فيه. استخدم هذه الأداة للبحث عن بلدك الحالي.

ما هي الولاية التي أنا فيها - عندما تقود سيارتك ، قد لا تعرف الحالة التي أنت فيها حاليًا ، استخدم هذه الأداة لمعرفة الحالة التي أنت فيها الآن.

ما هو الرمز البريدي الخاص بي - قد تعرف عنوان المكان أو المنزل ، ولكن قد لا يكون الرمز البريدي واضحًا لأنه غير مكتوب على الباب. باستخدام أداة البحث عن الرمز البريدي الخاصة بنا ، يمكنك معرفة الرمز البريدي الدقيق لموقعك.

خط العرض وخط الطول - ابحث عن خط الطول وخط العرض لموقعك الحالي أو أي نقطة أخرى.

الأسئلة الشائعة حول إحداثيات نظام تحديد المواقع العالمي (Gps)

كيف أحصل على إحداثيات GPS لموقعي؟
- يحتوي المستعرض الحديث على إمكانية تحديد الموقع الجغرافي المضمنة فيه. ما عليك سوى فتح موقع الويب الخاص بنا في أي متصفح ، وستكون هناك مطالبة للحصول على إذن منك للوصول إلى ميزة تحديد الموقع الجغرافي الخاص بك. فقط امنحنا الإذن وستقوم أداة إحداثيات GPS الخاصة بنا بالبحث عن إحداثيات GPS الخاصة بك من الموقع الجغرافي.

كيفية البحث عن عنوان باستخدام إحداثيات GPS؟
- إذا كنت تعرف إحداثيات GPS الخاصة بك من حيث خطوط الطول ، فأدخلها في حقل خط العرض وخط الطول ، وستكون أداتنا قادرة على تحديد العنوان. يمكنك إدخال أي خط طول للعثور على أي عنوان.

ما الفرق بين إحداثيات GPS وخط العرض وخط الطول؟
- خط العرض هو المسافة الزاوية لمكان شمال أو جنوب خط الاستواء وخط الطول هو المسافة الزاوية لمكان شرق أو غرب خط الزوال في غرينتش ، إنجلترا. عندما تقوم بدمج خط الطول ، فإنه يعطي إحداثيات GPS الدقيقة.

كيف أحصل على إحداثيات GPS على جهاز iPhone الخاص بي؟
- تمامًا مثل جهاز الكمبيوتر المكتبي ، يمكنك الوصول إلى موقعنا على الويب من خلال متصفح الهاتف المحمول ، وستعرض أداتنا إحداثيات نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) الصحيحة.

كيف أحصل على إحداثيات GPS على جهاز Android الخاص بي؟
- هناك طريقتان يمكنك من خلالهما الحصول على إحداثيات GPS على جهاز Android. يمكنك زيارة موقعنا على الإنترنت من خلال متصفح الهاتف مع تمكين موقعك ، وسيتم إنشاء إحداثيات GPS الخاصة بك تلقائيًا. هناك طريقة أخرى للحصول على إحداثيات GPS الخاصة بك وهي الحصول على تطبيق إحداثيات GPS المجاني على Android. سيحصل التطبيق على إحداثيات GPS الخاصة بك عند الفتح.

هل تخزن إحداثيات GPS الخاصة بنا؟
- من أجل خصوصيتك ، لا نقوم بتخزين إحداثيات GPS الخاصة بك أو أي بيانات موقع. سيضيع كل شيء عند مغادرة الموقع.


الصيغة القطبية للعدد المركب

هي نقاط على دائرة نصف القطر تتمركز في نقطة الأصل.

فكر في النقطة التي تتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة حول الدائرة بينما يتحرك الرقم الحقيقي من اليسار إلى اليمين. وبالمثل ، تتحرك النقطة في اتجاه عقارب الساعة إذا انخفضت. وسواء كانت الزيادة أو النقصان ، فإن النقطة تعود إلى نفس الموضع في الدائرة كلما تغيرت حسب أو أو عند حيث k هو أي عدد صحيح.

تمرين: صيغة إثبات دي Moivre

الآن تخيل عددًا مركبًا ثابتًا على دائرة الوحدة

ضع في اعتبارك مضاعفات z بعدد حقيقي موجب r.

مع نمو r من 1 ، تتحرك نقطتنا على طول الشعاع الذي يكون ذيله عند نقطة الأصل والذي يمر عبر النقطة z. مع تقلص r من 1 إلى الصفر ، تتحرك نقطتنا للداخل على طول الشعاع نفسه باتجاه نقطة الأصل. مقياس النقطة هو r. نسمي الزاوية التي يصنعها هذا الشعاع مع المحور x ، سعة العدد z. جميع الأرقام rz لها نفس الوسيطة. نحن نكتب

مثلما يتم تحديد نقطة في المستوى تمامًا بواسطة إحداثياتها القطبية ، يتم تحديد الرقم المركب تمامًا من خلال مقياسه وسعته.

لاحظ أن الوسيطة لم يتم تعريفها عندما r = 0 وفي أي حال يتم تحديدها فقط حتى عدد صحيح من مضاعفات.

لماذا لا تستخدم فقط الإحداثيات القطبية؟ ما الجديد في طريقة التفكير هذه حول النقاط في الطائرة؟


رسم النقاط باستخدام الإحداثيات القطبية

عندما نفكر في رسم نقاط في الطائرة ، فإننا عادة ما نفكر فيها الإحداثيات المستطيلة [لاتكس] يسار (س ، ص يمين) [/ لاتكس] في مستوى الإحداثيات الديكارتية. ومع ذلك ، هناك طرق أخرى لكتابة زوج إحداثيات وأنواع أخرى من أنظمة الشبكة. في هذا القسم ، نقدم إلى الإحداثيات القطبية، وهي نقاط مسماة [لاتكس] يسار (r ، ثيتا يمين) [/ لاتكس] ومرسومة على شبكة قطبية. يتم تمثيل الشبكة القطبية على شكل سلسلة من الدوائر متحدة المركز تشع من عمود، أو أصل المستوى الإحداثي.

ال الشبكة القطبية يتم تحجيمها على أنها دائرة الوحدة مع الموجب س-يُنظر الآن إلى المحور على أنه ملف المحور القطبي والأصل كالقطب. الإحداثي الأول [اللاتكس] r [/ اللاتكس] هو نصف قطر أو طول مقطع الخط الموجه من القطب. تشير الزاوية [اللاتكس] ثيتا [/ اللاتكس] ، المقاسة بالتقدير الدائري ، إلى اتجاه [اللاتكس] r [/ اللاتكس]. نتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور القطبي بزاوية [اللاتكس] ثيتا [/ اللاتكس] ، ونقيس مقطع خط موجه طول [اللاتكس] r [/ اللاتكس] في اتجاه [اللاتكس] ثيتا [/ اللاتكس ]. على الرغم من أننا نقيس [اللاتكس] ثيتا [/ اللاتكس] أولاً ثم [اللاتكس] r [/ اللاتكس] ، فإن النقطة القطبية تكتب باستخدام ص-تنسيق أولا. على سبيل المثال ، لرسم النقطة [latex] left (2، frac < pi> <4> right) [/ latex] ، سنقوم بتحريك [latex] frac < pi> <4> [/ latex ] وحدات في عكس اتجاه عقارب الساعة ثم بطول 2 من القطب. تم رسم هذه النقطة على الشبكة في الشكل 2.

مثال 1: رسم نقطة على الشبكة القطبية

ارسم النقطة [latex] left (3، frac < pi> <2> right) [/ latex] على الشبكة القطبية.

تم العثور على الزاوية [latex] frac < pi> <2> [/ latex] عن طريق الكنس في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة 90 درجة من المحور القطبي. تقع النقطة على طول 3 وحدات من القطب في اتجاه [اللاتكس] frac < pi> <2> [/ اللاتكس] ، كما هو موضح في الشكل 3.

جربها

ارسم النقطة [latex] left (2، frac < pi> <3> right) [/ latex] في الشبكة القطبية.

مثال 2: رسم نقطة في نظام الإحداثيات القطبية بمكون سلبي

ارسم النقطة [latex] left (-2، frac < pi> <6> right) [/ latex] على الشبكة القطبية.

نعلم أن [latex] frac < pi> <6> [/ latex] يقع في الربع الأول. ومع ذلك ، [اللاتكس] r = -2 [/ اللاتكس]. يمكننا الاقتراب من رسم نقطة باستخدام [لاتكس] r [/ لاتكس] سلبي بطريقتين:

  1. ارسم النقطة [latex] left (2، frac < pi> <6> right) [/ latex] عن طريق تحريك [latex] frac < pi> <6> [/ latex] في اتجاه عكس عقارب الساعة و تمديد وحدات قطعة خطية موجهة 2 في الربع الأول. ثم استرجع قطعة الخط الموجه مرة أخرى عبر القطب ، واستمر في وحدتين في الربع الثالث
  2. انقل [latex] frac < pi> <6> [/ latex] في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة ، وارسم مقطع الخط الموجه من وحدات القطب 2 في الاتجاه السلبي ، إلى الربع الثالث.

انظر الشكل 4 (أ). قارن هذا بالرسم البياني للإحداثيات القطبية [لاتكس] يسار (2، frac < pi> <6> right) [/ latex] الموضح في الشكل 4 (ب).

جربها

ارسم النقاط [latex] left (3، - frac < pi> <6> right) [/ latex] و [latex] left (2، frac <9 pi> <4> right) [/ لاتكس] على نفس الشبكة القطبية.

جربها


الإحداثيات القطبية

ص = | ض | = & راديك (x 2 + ذ 2 ).

& ثيتا = arg (ض) = تان -1 (ذ / x).

القيم x و ذ تسمى الإحداثيات الديكارتية من ض، في حين ص و & ثيتا هي الإحداثيات القطبية. لاحظ أن ص هو حقيقي و ص 3 0.

لاحظ أن أي عدد صحيح ك,

إعادة أنا(2ك& pi + & theta) = إعادة أناثيتا.

إعادة أنا(2ك& pi + & theta) = إعادة أنا2ك& بي ه طثيتا

ه ط2ك& pi = cos (2ك& بي) + أنا الخطيئة (2ك& pi) = 1.

وهكذا ، فإن الإحداثيات القطبية (صو ثيتا) و (ص، & ثيتا + 2ك& pi) لأي عدد صحيح ك تمثل نفس العدد المركب. وبالتالي ، فإن التمثيل القطبي ليس فريدًا من خلال العرف ، يمكن الحصول على تمثيل قطبي فريد من خلال اشتراط أن تكون الزاوية المعطاة بقيمة & ثيتا ترضي 0 & le & theta & lt 2 & pi أو - & pi & lt & theta & le & pi.

مثال 1

التمثيل القطبي للرقم 1 هو 1 = 1 ه ط0. لاحظ أنه من الصحيح أيضًا أن 1 = 1 ه ط2 & pi ، لأن الجيب وجيب التمام دوريان مع الفترة 2 & pi. التمثيل القطبي للرقم -1 هو -1 = 1 ه ط& بي. مرة أخرى ، صحيح أن -1 = 1 ه ط3 & pi ، أو في الواقع ، -1 = 1 ه ط& بي + ك2 & pi لأي عدد صحيح ك.

منتجات

وبالتالي ، فإن حجم المنتج هو حاصل ضرب المقادير ، وزاوية المنتج هي مجموع الزوايا ،


8.5 الشكل القطبي للأرقام المركبة

"الله جعل الأعداد الصحيحة كل شيء آخر هو عمل الإنسان." هذا الاقتباس الشهير لعالم الرياضيات الألماني ليوبولد كرونيكر من القرن التاسع عشر يمهد الطريق لهذا القسم على الشكل القطبي للعدد المركب. اخترع الناس الأرقام المركبة وتمثل أكثر من ألف عام من البحث المستمر والنضال من قبل علماء الرياضيات مثل فيثاغورس وديكارت ودي مويفر وأويلر وغاوس وغيرهم. أجابت الأعداد المعقدة على أسئلة حيرت العقول العظيمة في العلوم لقرون.

واجهنا أولًا أعدادًا مركبة في الأعداد المركبة. في هذا القسم ، سنركز على آليات العمل مع الأعداد المركبة: ترجمة الأعداد المركبة من الشكل القطبي إلى الشكل المستطيل والعكس صحيح ، وتفسير الأعداد المركبة في مخطط التطبيقات ، وتطبيق نظرية De Moivre.

رسم الأعداد المركبة في المستوى المركب

كيف

  1. قم بتسمية المحور الأفقي باسم حقيقة المحور والمحور العمودي مثل المحور التخيلي.
  2. ارسم النقطة في المستوى المركب بتحريك وحدات a في الاتجاه الأفقي و b b في الاتجاه الرأسي.

مثال 1

رسم رقم مركب في المستوى المركب

ارسم العدد المركب 2-3 i 2 - 3 i في المستوى المركب.

المحلول

من الأصل ، حرك وحدتين في الاتجاه الأفقي الموجب وثلاث وحدات في الاتجاه الرأسي السالب. انظر الشكل 1.

إيجاد القيمة المطلقة لعدد مركب

الخطوة الأولى نحو التعامل مع عدد مركب في الصورة القطبية هي إيجاد القيمة المطلقة. القيمة المطلقة للرقم المركب هي نفس قيمتها ، أو | ض | . | ض | . يقيس المسافة من نقطة الأصل إلى نقطة في المستوى. على سبيل المثال ، الرسم البياني لـ z = 2 + 4 i ، z = 2 + 4 i ، في الشكل 2 ، يوضح | ض | . | ض | .

القيمة المطلقة للرقم المركب

إنها المسافة من الأصل إلى النقطة (x ، y). (س ، ص).

لاحظ أن القيمة المطلقة للرقم الحقيقي تعطي مسافة الرقم من 0 ، بينما تعطي القيمة المطلقة للرقم المركب مسافة الرقم من الأصل ، (0 ، 0). (0 ، 0).


شاهد الفيديو: Geographic and Projected Coordinate System Formats - صيغ نظم الاحداثيات الجغرافية والمسقطة (شهر اكتوبر 2021).