مقالات

2.1: تعريف الأعداد المركبة


نبدأ بالتعريف التالي.

التعريف 2.1.1: الأعداد المركبة

تعرف مجموعة الأعداد المركبة C على أنها

[ mathbb {C} = {(x، y) | س ، ص في mathbb {R} } ]

بإعطاء رقم مركب (z = (x، y) ) ، نسمي ( text {RealPart} (z) = x ) the ( textbf {الجزء الحقيقي} ) لـ (z ) و ( text {ImaginaryPart} (z) = y ) ( textbf {الجزء التخيلي} ) من (z ).

بعبارة أخرى ، نحن نحدد مجموعة جديدة من الأرقام (z ) من خلال أخذ كل زوج مرتب محتمل ((x ، y) ) من الأرقام الحقيقية (x ، y in mathbb {R} ) ، و (x ) يسمى الجزء الحقيقي من الزوج المرتب ((x، y) ) للإشارة إلى أن مجموعة ( mathbb {R} ) من الأرقام الحقيقية يجب تحديدها مع المجموعة الفرعية ( {(x، 0) | x in mathbb {R} } subset mathbb {C} ). من الشائع أيضًا استخدام المصطلح ( textbf {مجرد تخيلية} ) لأي رقم مركب من النموذج ((0، y) ) ، حيث (y in mathbb {R} ). على وجه الخصوص ، الرقم المركب (i = (0، 1) ) خاص ويسمى ( textbf {وحدة تخيلية} ). (يعد استخدام (i ) قياسيًا عند الإشارة إلى هذا الرقم المركب ، على الرغم من استخدام (j ) أحيانًا إذا كان (i ) يعني شيئًا آخر. على سبيل المثال ، (i ) يُستخدم للإشارة إلى التيار الكهربائي في الهندسة الكهربائية.)

لاحظ أنه إذا كتبنا (1 = (1 ، 0) ) ، فيمكننا التعبير عن (z = (x، y) ) في ( mathbb {C} ) بالشكل

[z = (x، y) = x (1،0) + y (0،1) = x 1 + y i = x + y i. ] غالبًا ما يكون إجراء العمليات الحسابية على الأعداد المركبة أسهل كثيرًا عند كتابتها بهذه الصيغة ، كما سنوضح في القسم التالي.


في الواقع ، $ i ^ 2 = -1 $ يتوافق مع تعريف الضرب ، لكن الأشياء ظهرت بترتيب عكسي.

أثناء العمل على حل المعادلات الجبرية (جذور كثيرات الحدود) ، نشأت الحاجة للنظر في الجذور التربيعية للأرقام السالبة. ومن هنا فإن الرمز "التخيلي" $ i = sqrt <-1> $ ، وهو كافٍ لتمثيل الجذر التربيعي لأي عدد سالب $ sqrt <-a> $ كـ $ sqrt ai $.

من هناك ، يتبع جبر الأعداد المركبة بسهولة ، مع معاملة $ i $ كمتغير واستخدام القاعدة $ i ^ 2 = -1 $:

ليس من الصعب اختراع القسمة ، باستخدام حيلة لتحويل المقام إلى رقم حقيقي ،

الآن ، ماذا عن الجذر التربيعي $ sqrt$ ?

حسنًا ، دعونا نحاول حل $ a + bi = (c + di) ^ 2 = c ^ 2-d ^ 2 + 2cdi $ ، أو $ a = c ^ 2-d ^ 2 b = 2cd. $ ثم ، $ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 4-2c ^ 2d ^ 2 + d ^ 4 + 4c ^ 2d ^ 2 = c ^ 4 + 2c ^ 2d ^ 2 + d ^ 4 = (c ^ 2 + d ^ 2) ^ 2 ، $ بحيث أن $ c ^ 2 = frac < sqrt+ a> 2، d ^ 2 = frac < sqrt-أ> 2. دولار

كما ترى ، فإن $ c $ و $ d $ دائمًا أرقام حقيقية ، لذلك لا يلزم إدخال رمز جديد لأخذ الجذور التربيعية. من الصيغ الأخيرة ، لدينا $ sqrt i = frac <1 + i> < sqrt2>. $

لكوني جديدًا إلى حد ما على الموقع ، لست متأكدًا مما إذا كان بإمكاني الرجوع إلى كتاب ، لكن هناك نصًا ممتازًا يسمى التحليل المركب المرئي بواسطة تريستان نيدهام والذي يشرح أصل الأعداد المركبة كقفزة إيمانية مطلوبة لتقديم حل عام عمل المعادلة التكعيبية. وجد علماء الرياضيات الأوائل أنه إذا كان بإمكانهم فقط افتراض وجود هذا الجذر التربيعي التخيلي للرقم -1 ، فيمكنهم لحسن الحظ إلغاء بعض المصطلحات وتقديم الحل الصحيح. ليس الأمر كما يعتقد كثير من الناس لإعطاء المعادلة

حل لأن علماء الرياضيات يرون أنه لا يحتاج إلى حل. إجابة إيف هي في صلب الموضوع لكنني أوصيك بحرارة بمراجعة هذا الكتاب لفهمه ومتعته.

أعتقد أن أفضل إجابة لسؤالك هي التمييز بين الترتيب التاريخي الذي تطورت به المعلومات والترتيب المنطقي الذي تقدم به هذه المعلومات الآن.

في حالة الأعداد المركبة ، فإن الترتيب التاريخي هو أن الناس تخيلوا جذرًا تربيعيًا لـ $ -1 $ ، وأعطوه اسمًا $ i $ ، وشرعوا في إجراء العمليات الحسابية والجبر (وحتى حساب التفاضل والتكامل) باستخدام نفس الحساب. القواعد التي عرفوها بالفعل عن الأعداد الحقيقية. على وجه الخصوص ، أدت هذه القواعد إلى الصيغة العامة للضرب التي نقلتها في السؤال.

في عرض تقديمي حديث صارم لنظام الأرقام المركب ، يحدد المرء ، في البداية ، تعريفات العمليات الحسابية ، بما في ذلك الصيغة العامة للضرب. ثم تظهر حقيقة أن $ i ^ 2 = -1 $ مجرد حالة خاصة بسيطة من التعريف العام.

التمييز بين ترتيب الاكتشاف وترتيب العرض ليس حالة خاصة للأعداد المركبة. على سبيل المثال ، في هندسة الطائرة ، عُرفت العديد من الحقائق قبل أن ينظم إقليدس الموضوع ويستنتج أعدادًا كبيرة من الحقائق من مجرد عدد قليل من البديهيات. تسبق البديهيات النظريات في تطور منطقي ، لكن هذا لا يعني أنه تم اكتشاف البديهيات (وذكر صراحة) قبل ظهور النظريات.

لحل المعادلات ، توصلنا إلى معادلات مثل $ x - 1 = 0 $ ، ما هو $ x $؟ وحلها القيمون الطبيعيون بسهولة. الآن ، ماذا عن $ x + 1 = 0 $؟ لذلك نحن بحاجة إلى أعداد سالبة. انتظر ، ماذا عن $ 2x = 1 $؟ لذلك نحن بحاجة إلى أعداد منطقية. أخيرًا ، ماذا عن $ x ^ 2 = 2 $؟ لذلك نحن بحاجة إلى أعداد غير منطقية.

أخيرًا ، ماذا عن $ x ^ 2 = -1 $؟ لذلك نحن بحاجة إلى اختراع الأرقام "التخيلية" لحلها.

أزواج من الأرقام. الآن ، نحدد نظامًا رقميًا جديدًا ، فقط الآن هناك دائمًا أزواج من الأرقام. ثم انتقل إلى شرح كيفية عمل الجمع والضرب.

ثم نظهر أنه في هذا النظام ، لدينا $ (0،1) times (0،1) = (-1،0) $ ، أي أننا حددنا نظامًا جديدًا ، ومن المنطقي بموجبه أن نقول أن $ sqrt <-1> = i $ ، عندما $ i = (0،1) $. وهذا حقًا كل ما في الأعداد التخيلية: تعريف لنظام الأرقام الجديد ، وهو أمر منطقي للاستخدام في معظم الأماكن. وفي ظل هذا النظام ، توجد إجابة لـ $ sqrt <-1> $.

لدينا التعريفات التالية: $ (a، b) + (c، d) = (a + c، b + d) $ $ (a، b) times (c، d) = (ac-bd، ad + cb) $

على سبيل المثال ، تستخدم لغة البرمجة Python الأعداد المركبة وعملياتها الجبرية. ربما يمكنك رؤية مرجع جيد في شفرة المصدر الخاصة به.

حسب التعريف $ i ^ 2 = -1 $. إن ما يقلقك هو كيف يمكن للمرء أن يتحدث عن "$ i * i $" على الإطلاق دون تحديد عامل التشغيل "$ * $". الجواب: نحن لا نهتم الآن بما هو "$ * $" طالما هناك سوف يكون منتج "$ * $" يرضي $ i * i = -1 $ ويعمم فكرة المنتج في $ mathbb R $ ، أي $ a * c = a cdot c $ ، حيث $ a ، c in mathbb R $ و "$ cdot $" هو المنتج الحقيقي.

يمكنك الآن تحديد ما هو العدد المركب ، ويمكنك تمثيله على أنه $ z = a + i b $. علاوة على ذلك ، قام شخص لامع بتعريف منتج اثنين من هذه الأرقام ليتبع أيضًا القوانين التبادلية والترابطية والتوزيعية: $ z_1 * z_2 = a * c + i (a * d + c * b) + (i * ب) * (i * d) = a cdot c + i (a cdot d + c cdot b) + (i * i) * (b cdot d) $.

نظرًا لأننا حددنا $ i ^ 2 = i * i = -1 $ ، فقد حصلنا على النتيجة: $ z_1 * z_2 = (ac - bd) + i (ad + cb) $ ، كما تعلم بالفعل. لذا ، للإجابة على سؤالك ، $ i ^ 2 = -1 $ لا يتبع قاعدة المنتج ، لكنه يسبق فكرة المنتج في $ mathbb C $ ، أنشأنا تعريفًا لـ "$ * $" أي بما يتفق معها.

اتفق الجميع على هذا التعريف بسبب الخصائص "اللطيفة" $ ^ <1> $ ، على سبيل المثال $ mathbb C $ عبارة عن حلقة تعمم $ mathbb R $ ، يمكنك تمثيل الأرقام المركبة هندسيًا بواسطة المتجهات في $ mathbb R ^ 2 $ ، وهي أفضل خاصية بالنسبة لي ، يمكنك يقسم هذه النواقل من قبل بعضها البعض!

$ ^ <1> $: دعني أوضح ما هو المقصود بكلمة "لطيف". اسمح لي أولاً أن أقدم لك مثالاً لمنتج معقد "قبيح": حدد عامل التشغيل $ ** $ بحيث أن $ z_1 ** z_2 = ac-bd $ وأطلق عليه اسم "مركب شبه منتج" ، فإنه يحقق أيضًا $ i * * i = -1 $ ، علاوة على ذلك ، يتوافق مع حاصل ضرب عددين حقيقيين !: $ z_1 * z_2 = ac $. لا أحد يستطيع أن يمنعك من استخدامه كضرب معقد أيضًا ، لكنه يفتقر إلى العديد من الخصائص "الجميلة" (الهندسية أو الجبرية) ، على سبيل المثال ، شبه حاصل الضرب في الأوقات الحقيقية لن يكون الرقم المركب "لتمديد" المتجه المعقد (في تمثيل $ mathbb R ^ 2 $).


ضرب الأعداد المركبة في الصور الأسية

لنفترض أن (z_1 = r_1 e ^ ) و (z_2 = r_2 e ^ ) أرقام معقدة في شكل أسي.
تم الحصول على حاصل ضرب (z_1 ) و (z_2 ) بواسطة
[z_1 z_2 = r_1 r_2 e ^ ]

مثال 3
معطى (z_1 = 3 e ^ ) و (z_2 = 5 e ^ )
ابحث عن (z_1 z_2 ) واكتبه بالصيغة القياسية.
حل المثال 3
(z_1 z_2 = (3 e ^ ) (5 e ^ ) )
اضرب modulii (3 ) و (5 ) معًا وطبق قاعدة الأس تطبيق قاعدة الأس (e ^ x e ^ y = e ^ )
(= (3 مرات 5) هـ ^ )
تبسيط
(= 15 هـ ^ )
أعد الكتابة في شكل قطبي
(= 15 ( cos pi + i sin pi) )
تبسيط
( = - 15 )


تبسيط صلاحيات أنا

صلاحيات أنا هي دورية. دعونا نلقي نظرة على ما يحدث عندما نرفع أنا لزيادة القوى.

يمكننا أن نرى ذلك عندما نصل إلى القوة الخامسة لـ أنا، فهو يساوي القوة الأولى. بينما نستمر في الضرب أنا في حد ذاته لزيادة القوى ، سنرى دورة من 4. دعونا نفحص القوى الأربع التالية لـ أنا.

مثال 11: تبسيط صلاحيات أنا

المحلول

منذ [اللاتكس]^ <4> = 1 [/ latex] ، يمكننا تبسيط المشكلة عن طريق استبعاد العديد من عوامل [اللاتكس]^ <4> [/ لاتكس] ممكن. للقيام بذلك ، حدد أولاً عدد مرات الانتقال 4 إلى 35: [اللاتكس] 35 = 4 cdot 8 + 3 [/ اللاتكس].

ممكن نكتب [لاتكس]^ <35> [/ لاتكس] بطرق مفيدة أخرى؟

كما رأينا في المثال 11 ، قللنا [اللاتكس]^ <35> [/ لاتكس] إلى [لاتكس]^ <3> [/ latex] بقسمة الأس على 4 واستخدام الباقي لإيجاد الصيغة المبسطة. ولكن ربما عامل آخر من [اللاتكس]قد يكون ^ <35> [/ latex] أكثر فائدة. يوضح الجدول أدناه بعض العوامل الأخرى المحتملة.

التحليل إلى عوامل [اللاتكس]^ <35> [/ لاتكس] [لاتكس]^ <34> cdot i [/ لاتكس] [لاتكس]^ <33> cdot ^ <2> [/ لاتكس] [لاتكس]^ <31> cdot ^ <4> [/ لاتكس] [لاتكس]^ <19> cdot ^ <16> [/ لاتكس]
قلل من [لاتكس] < يسار (^ <2> right)> ^ <17> cdot i [/ latex] [لاتكس]^ <33> cdot يسار (-1 يمين) [/ لاتكس] [لاتكس]^ <31> cdot 1 [/ لاتكس] [لاتكس]^ <19> cdot < يسار (^ <4> right)> ^ <4> [/ لاتكس]
شكل مبسط [لاتكس] < left (-1 right)> ^ <17> cdot i [/ latex] [لاتكس] -^ <33> [/ لاتكس] [لاتكس]^ <31> [/ لاتكس] [لاتكس]^ <19> [/ لاتكس]

سينتج عن كل منها في النهاية الإجابة التي حصلنا عليها أعلاه ولكنها قد تتطلب عدة خطوات أكثر من طريقتنا السابقة.


محتويات

الرقم المركب هو رقم في النموذج أ + ثنائية ، حيث a و b أرقام حقيقية ، و أنا هو مرضي غير محدد أنا 2 = -1. على سبيل المثال ، 2 + 3أنا هو رقم مركب. [63]

بهذه الطريقة ، يتم تعريف الرقم المركب على أنه متعدد الحدود مع معاملات حقيقية في غير محدد واحد أنا التي من أجلها العلاقة أنا 2 + 1 = 0 مفروض. بناءً على هذا التعريف ، يمكن إضافة الأعداد المركبة وضربها باستخدام الجمع والضرب في كثيرات الحدود. العلاقة أنا 2 + 1 = 0 يستحث المساواة أنا 4ك = 1, أنا 4ك+1 = أنا, أنا 4ك+2 = -1 ، و أنا 4ك+3 = −أنا، والتي تحتوي على جميع الأعداد الصحيحة k تسمح هذه بتقليل أي كثير حدود ناتج عن إضافة وضرب الأعداد المركبة إلى كثير الحدود الخطي في i ، مرة أخرى من النموذج أ + ثنائية مع معاملات حقيقية أ ، ب.

الرقم الحقيقي أ يسمى جزء حقيقي من العدد المركب أ + ثنائية الرقم الحقيقي ب يسمى به الجزء الخيالي. للتأكيد ، لا يشتمل الجزء التخيلي على العامل i أي أن الجزء التخيلي هو b وليس ثنائية . [7] [8] [3]

بشكل رسمي ، يتم تعريف الأرقام المركبة على أنها حلقة خارج القسمة للحلقة متعددة الحدود في غير المحدد أنا ، من خلال المثل الأعلى الناتج عن كثير الحدود أنا 2 + 1 (انظر أدناه). [9]

يمكن اعتبار الرقم الحقيقي أ عددًا مركبًا أ + 0أنا ، الجزء التخيلي هو 0. رقم وهمي بحت ثنائية هو عدد مركب 0 + ثنائية ، الذي جزءه الحقيقي هو صفر. كما هو الحال مع كثيرات الحدود ، من الشائع كتابة لـ أ + 0أنا و ثنائية لـ 0 + ثنائية . علاوة على ذلك ، عندما يكون الجزء التخيلي سالبًا ، ب = −| ب | & lt 0 ، من الشائع الكتابة أ| ب | ط بدلا من أ + (−| ب |)أنا على سبيل المثال ، ل ب = −4 , 3 − 4أنا يمكن كتابتها بدلاً من 3 + (−4)أنا .

منذ تكاثر غير المحدد أنا والحقيقي هو تبادلي في كثيرات الحدود مع معاملات حقيقية ، كثير الحدود أ + ثنائية يمكن كتابتها كـ أ + باء. غالبًا ما يكون هذا مناسبًا للأجزاء التخيلية التي تدل عليها التعبيرات ، على سبيل المثال ، عندما يكون b جذريًا. [10]

يتم الإشارة إلى مجموعة جميع الأعداد المركبة بواسطة C < displaystyle mathbb > (بلاك بورد غامق) أو ج (جريئة في وضع مستقيم). [2]

في بعض التخصصات ، لا سيما في الكهرومغناطيسية والهندسة الكهربائية ، يتم استخدام j بدلاً من i لأنني كثيرًا ما يستخدم لتمثيل التيار الكهربائي. [11] في هذه الحالات ، تتم كتابة الأعداد المركبة على شكل أ + بج ، أو أ + جي بي .

الطائرة المعقدة الديكارتية تحرير

يشير تعريف الأعداد المركبة التي تتضمن قيمتين حقيقيتين تعسفيتين على الفور إلى استخدام الإحداثيات الديكارتية في المستوى المركب. الأفقي (حقيقة) يستخدم المحور بشكل عام لعرض الجزء الحقيقي ، مع زيادة القيم إلى اليمين ، ويميز الجزء التخيلي العمودي (وهمي) مع القيم المتزايدة لأعلى.

يمكن النظر إلى الرقم المخطط إما كنقطة منسقة أو كمتجه للموقع من الأصل إلى هذه النقطة. يمكن بالتالي التعبير عن القيم الإحداثيّة للعدد المركّب z في قيمته ديكارتي, مستطيلي، أو جبري شكل.

وتجدر الإشارة إلى أن عمليات الجمع والضرب تأخذ طابعًا هندسيًا طبيعيًا للغاية ، عندما يُنظر إلى الأعداد المركبة على أنها متجهات موضع: تتوافق الإضافة مع إضافة المتجه ، بينما يتوافق الضرب (انظر أدناه) مع ضرب مقاديرها وإضافة الزوايا التي يصنعونها باستخدام المحور الحقيقي. ينظر بهذه الطريقة إلى ضرب عدد مركب به أنا يتوافق مع تدوير متجه الموضع عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار ربع دورة (90 درجة) حول الأصل - وهي حقيقة يمكن التعبير عنها جبريًا على النحو التالي:

المستوى المعقد القطبي تحرير

المعامل والحجة تحرير

خيار بديل للإحداثيات في المستوى المركب هو نظام الإحداثيات القطبية الذي يستخدم مسافة النقطة z من الأصل (O) ، والزاوية المقابلة بين المحور الحقيقي الموجب والقطعة المستقيمة Oz بمعنى عكس اتجاه عقارب الساعة. هذا يؤدي إلى الشكل القطبي للأعداد المركبة.

ال قيمه مطلقه (أو معام أو الحجم) لعدد مركب ض = x + يي هو [14]

إذا كان z رقمًا حقيقيًا (أي ، إذا كان ذ = 0) إذن ص = |x| . أي أن القيمة المطلقة للرقم الحقيقي تساوي قيمته المطلقة كرقم مركب.

من خلال نظرية فيثاغورس ، القيمة المطلقة للرقم المركب هي المسافة إلى أصل النقطة التي تمثل العدد المركب في المستوى المركب.

ال جدال من z (يشار إليها في العديد من التطبيقات باسم "الطور" φ) [13] هي زاوية نصف القطر Oz مع المحور الحقيقي الموجب ، وتتم كتابتها على النحو التالي ض . كما هو الحال مع المقياس ، يمكن إيجاد السعة من الشكل المستطيل x + yi [15] - بتطبيق المماس العكسي على خارج قسمة الأجزاء التخيلية على حدة. باستخدام هوية نصف زاوية ، يكفي فرع واحد من arctan لتغطية نطاق دالة arg ، (-π, π] ، ويتجنب تحليل أكثر دقة لكل حالة على حدة

عادةً ، كما هو مذكور أعلاه ، يتم اختيار القيمة الأساسية في الفترة الزمنية (- π ، π]. يتم الحصول على القيم في النطاق [0 ، 2 π) بإضافة 2π - إذا كانت القيمة سالبة. يتم التعبير عن قيمة φ بالراديان في هذه المقالة. يمكن أن تزيد بأي عدد صحيح مضاعف 2π ولا تزال تعطي نفس الزاوية ، ينظر إليها على أنها تقابلها أشعة المحور الحقيقي الموجب ومن الأصل حتى z. ومن ثم ، تعتبر وظيفة arg في بعض الأحيان على أنها متعددة القيم. الزاوية القطبية للرقم المركب 0 غير محددة ، لكن الاختيار التعسفي للزاوية القطبية 0 شائع.

قيمة φ تساوي نتيجة atan2:

يعطي كل من r و φ طريقة أخرى لتمثيل الأعداد المركبة ، وهي شكل قطبي، حيث أن الجمع بين المعامل والوسيطة يحدد تمامًا موضع نقطة على المستوى. يتم استعادة إحداثيات المستطيل الأصلي من الشكل القطبي بواسطة الصيغة المسماة شكل مثلث

باستخدام صيغة أويلر يمكن كتابة هذا على هيئة

باستخدام دالة رابطة الدول المستقلة ، يتم اختصار هذا أحيانًا إلى

في تدوين الزاوية ، غالبًا ما يستخدم في الإلكترونيات لتمثيل طور مع السعة r والطور φ ، تتم كتابته على النحو [16]

تحرير الرسوم البيانية المعقدة

عند تصور الوظائف المعقدة ، هناك حاجة إلى مدخلات ومخرجات معقدة. نظرًا لأن كل رقم مركب يتم تمثيله في بعدين ، فإن الرسم البياني لوظيفة معقدة يتطلب تصورًا لمساحة رباعية الأبعاد ، وهو أمر ممكن فقط في الإسقاطات. لهذا السبب ، تم تصميم طرق أخرى لتصور الوظائف المعقدة.

أسطح ريمان هي طريقة أخرى لتصور الوظائف المعقدة. [ هناك حاجة إلى مزيد من التوضيح ] يمكن اعتبار أسطح ريمان على أنها تشوهات للمستوى المعقد بينما تمثل المحاور الأفقية المدخلات الحقيقية والخيالية ، أما المحور الرأسي المفرد فلا يمثل سوى المخرجات الحقيقية أو التخيلية. ومع ذلك ، فإن أسطح ريمان مبنية بطريقة تجعل تدويرها 180 درجة يظهر المخرجات التخيلية ، والعكس صحيح. على عكس تلوين المجال ، يمكن لأسطح Riemann أن تمثل وظائف متعددة القيم مثل √ ض .

يحتوي الحل في الجذور (بدون الدوال المثلثية) لمعادلة تكعيبية عامة على الجذور التربيعية للأرقام السالبة عندما تكون جميع الجذور الثلاثة أعدادًا حقيقية ، وهي حالة لا يمكن تصحيحها عن طريق التحليل بمساعدة اختبار الجذر المنطقي إذا كان التكعيبي غير قابل للاختزال ( ما يسمى حالة irreducibilis). قاد هذا اللغز عالم الرياضيات الإيطالي جيرولامو كاردانو إلى تصور الأعداد المركبة في حوالي عام 1545 ، [17] على الرغم من أن فهمه كان بدائيًا.

أدى العمل على مشكلة كثيرات الحدود العامة في النهاية إلى النظرية الأساسية للجبر ، والتي توضح أنه مع الأعداد المركبة ، يوجد حل لكل معادلة متعددة الحدود من الدرجة الأولى أو أعلى. وهكذا تشكل الأعداد المركبة حقلاً مغلقًا جبريًا ، حيث يكون لأي معادلة متعددة الحدود جذر.

ساهم العديد من علماء الرياضيات في تطوير الأعداد المركبة. تم تطوير قواعد الجمع والطرح والضرب واستخراج جذر الأعداد المركبة من قبل عالم الرياضيات الإيطالي رافائيل بومبيلي. [18] طور عالم الرياضيات الأيرلندي ويليام روان هاملتون شكليات أكثر تجريدية للأعداد المركبة ، حيث وسع هذا التجريد ليشمل نظرية الكواتيرنيونات. [19]

يمكن القول إن أقرب إشارة عابرة للجذور التربيعية للأرقام السالبة حدثت في أعمال عالم الرياضيات اليوناني بطل الإسكندرية في القرن الأول الميلادي ، حيث ستيريومتريكا إنه يعتبر ، على ما يبدو خطأً ، حجم كتلة هرم مستحيلة للوصول إلى المصطلح - 81-144 = 3أنا √ 7 في حساباته ، على الرغم من أن الكميات السالبة لم يتم تصورها في الرياضيات الهلنستية واستبدلها البطل بموجبه (√ 144 - 81 = 3 √ 7). [20]

نشأ الدافع لدراسة الأعداد المركبة كموضوع في حد ذاته لأول مرة في القرن السادس عشر عندما اكتشف علماء الرياضيات الإيطاليون الحلول الجبرية لجذور متعددات الحدود التكعيبية والرباعية (انظر نيكولو فونتانا تارتاليا ، جيرولامو كاردانو). سرعان ما تم إدراك (ولكن ثبت لاحقًا) [21] أن هذه الصيغ ، حتى لو كان المرء مهتمًا فقط بالحلول الحقيقية ، تتطلب أحيانًا معالجة الجذور التربيعية للأرقام السالبة. كمثال ، صيغة Tartaglia لمعادلة تكعيبية للصورة x 3 = مقصف + ف [ج] يعطي حل المعادلة x 3 = x كما

مصطلح "خيالي" لهذه الكميات صاغه رينيه ديكارت في عام 1637 ، الذي كان يجتهد في التأكيد على طبيعتها غير الواقعية.

. في بعض الأحيان خيالي فقط ، أي يمكن للمرء أن يتخيل ما قلته في كل معادلة ، لكن في بعض الأحيان لا توجد كمية تطابق ما نتخيله.
[. quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation، mais qu'il n'y quelquefois aucune quantité qui qui like celle qu'on imagine.]

في القرن الثامن عشر ، اكتسبت الأرقام المعقدة استخدامًا أوسع ، حيث لوحظ أنه يمكن استخدام المعالجة الرسمية للتعبيرات المعقدة لتبسيط العمليات الحسابية التي تتضمن الدوال المثلثية. على سبيل المثال ، في عام 1730 ، لاحظ أبراهام دي Moivre أن الهويات المعقدة المتعلقة بالدوال المثلثية لعدد صحيح مضاعف لزاوية لقوى الدوال المثلثية لتلك الزاوية يمكن إعادة التعبير عنها ببساطة من خلال الصيغة المعروفة التالية التي تحمل اسمه ، صيغة Moivre:

من خلال التلاعب رسميًا بسلسلة القدرة المعقدة ولاحظ أنه يمكن استخدام هذه الصيغة لتقليل أي هوية مثلثية إلى هويات أسية أبسط بكثير.

تم وصف فكرة الرقم المركب كنقطة في المستوى المركب (أعلاه) لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الدنماركي النرويجي كاسبار ويسل في عام 1799 ، [24] على الرغم من أنه كان متوقعًا في وقت مبكر من عام 1685 في كتاب واليس رسالة في الجبر. [25]

ظهرت مذكرات ويسل في وقائع أكاديمية كوبنهاغن لكنها مرت دون أن يلاحظها أحد إلى حد كبير. في عام 1806 أصدر جان روبرت أرغاند بشكل مستقل كتيبًا عن الأعداد المركبة وقدم دليلًا صارمًا على النظرية الأساسية للجبر. [26] نشر كارل فريدريش جاوس في وقت سابق دليلًا طوبولوجيًا أساسيًا للنظرية في عام 1797 لكنه أعرب عن شكوكه في ذلك الوقت حول "الميتافيزيقيا الحقيقية للجذر التربيعي 1". [27] لم يتغلب على هذه الشكوك حتى عام 1831 ونشر أطروحته عن الأعداد المركبة كنقاط في المستوى ، [28] [29] (ص 638) أسس إلى حد كبير التدوين والمصطلحات الحديثة.

إذا فكر المرء سابقًا في هذا الموضوع من وجهة نظر خاطئة وبالتالي وجد ظلامًا غامضًا ، فإن هذا يرجع في جزء كبير منه إلى المصطلحات الخرقاء. لو لم يُطلق على أحد الوحدات +1 أو √1 أو √ −1 موجبة أو سلبية أو خيالية (أو حتى مستحيلة) ، ولكن بدلاً من ذلك ، على سبيل المثال ، وحدات مباشرة أو معكوسة أو جانبية ، فمن النادر أن يكون هناك حديث عن هذا الظلام. - غاوس (1831) [29] (ص 638) [28]

في بداية القرن التاسع عشر ، اكتشف علماء رياضيات آخرون بشكل مستقل التمثيل الهندسي للأعداد المركبة: بوي ، [30] [31] موري ، [32] وارن ، [33] فرانسيس وشقيقه بيلافيتيس. [34] [35]

عالم الرياضيات الإنجليزي ج. لاحظ هاردي أن غاوس كان أول عالم رياضيات يستخدم الأعداد المركبة في `` طريقة واثقة وعلمية حقًا '' على الرغم من أن علماء الرياضيات مثل النرويجي نيلز هنريك أبيل وكارل غوستاف جاكوب جاكوبي كانوا يستخدمونها بالضرورة بشكل روتيني قبل أن ينشر غاوس أطروحته عام 1831. [36]

جلب أوغستين لويس كوشي وبرنارد ريمان معًا الأفكار الأساسية للتحليل المعقد إلى حالة اكتمال عالية ، بدءًا من حوالي عام 1825 في حالة كوشي.

المصطلحات الشائعة المستخدمة في النظرية ترجع أساسًا إلى المؤسسين. Argand دعا كوس φ + أنا الخطيئة φ ال عامل الاتجاه، و ص = √ أ 2 + ب 2 ال معام [هـ] [38] يسمى كوشي (1821) كوس φ + أنا الخطيئة φ ال قلل من (l'expression réduite) [39] وعلى ما يبدو قدم المصطلح جدال تم استخدام Gauss أنا بالنسبة إلى √ 1 ، قدم [f] المصطلح عدد مركب إلى عن على أ + ثنائية و [ز] و دعا أ 2 + ب 2 ال معيار. [ح] التعبير معامل الاتجاه، وغالبًا ما تستخدم في كوس φ + أنا الخطيئة φ ، ويرجع إلى هانكل (1867) ، [40] و قيمه مطلقه، إلى عن على معام، يرجع إلى Weierstrass.

ومن بين الكتاب الكلاسيكيين اللاحقين حول النظرية العامة ريتشارد ديكيند ، وأوتو هولدر ، وفيليكس كلاين ، وهنري بوانكاريه ، وهيرمان شوارتز ، وكارل ويرستراس ، وغيرهم الكثير. بدأ العمل المهم (بما في ذلك التنظيم) في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات المعقدة في بداية القرن العشرين. تم تحقيق نتائج مهمة بواسطة Wilhelm Wirtinger في عام 1927.

تحرير المساواة

الأعداد المركبة لها تعريف مماثل للمساواة مع الأعداد الحقيقية رقمين مركبين أ1 + ب1أنا و أ2 + ب2أنا متساوية إذا وفقط إذا كان كلا الجزأين الحقيقي والخيالي متساويين ، أي إذا أ1 = أ2 و ب1 = ب2 . تكون الأعداد المركبة غير الصفرية المكتوبة في الشكل القطبي متساوية إذا وفقط إذا كانت لها نفس الحجم وتختلف وسيطاتها بعدد صحيح مضاعف 2π .

ترتيب التحرير

على عكس الأعداد الحقيقية ، لا يوجد ترتيب طبيعي للأعداد المركبة. على وجه الخصوص ، لا يوجد ترتيب خطي على الأعداد المركبة المتوافقة مع الجمع والضرب - لا يمكن أن تحتوي الأعداد المركبة على بنية حقل مرتب. هذا على سبيل المثال لأن كل مجموع غير تافه للمربعات في حقل مرتب هو ≠ 0 ، و أنا 2 + 1 2 = 0 مجموع مربعات غير بسيط. وبالتالي ، يُعتقد بشكل طبيعي أن الأعداد المركبة موجودة على مستوى ثنائي الأبعاد.

اقتران التحرير

ال المكورات معقدة من العدد المركب ض = x + يي اعطي من قبل xيي . يتم الإشارة إليه بواسطة z أو ض*. [41] لا يمكن التعبير عن هذه العملية الأحادية على الأعداد المركبة بتطبيق عملياتها الأساسية فقط مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة.

هندسيًا ، z هو "انعكاس" z حول المحور الحقيقي. الإقتران مرتين يعطي العدد المركب الأصلي

مما يجعل هذه العملية انعطافًا. يترك الانعكاس كلا من الجزء الحقيقي وحجم z دون تغيير ، أي

الجزء التخيلي وسعة العدد المركب z يغيران علامتهما تحت الاقتران

للحصول على تفاصيل حول السعة والحجم ، انظر القسم الخاص بالشكل القطبي.

حاصل ضرب عدد مركب ض = x + يي ومقارنه معروف باسم مربع مطلق. وهو دائمًا رقم حقيقي غير سالب ويساوي مربع حجم كل منها:

يمكن استخدام هذه الخاصية لتحويل كسر بمقامه المركب إلى كسر مكافئ له مقام حقيقي عن طريق فك كل من البسط والمقام في الكسر بمرافق المقام المحدد. تسمى هذه العملية أحيانًا "ترشيد" المقام (على الرغم من أن المقام في التعبير النهائي قد يكون عددًا حقيقيًا غير منطقي) ، لأنها تشبه طريقة إزالة الجذور من التعبيرات البسيطة في المقام.

يمكن استخلاص الجزأين الحقيقي والخيالي للعدد المركب z باستخدام الاقتران:

علاوة على ذلك ، يكون العدد المركب حقيقيًا فقط إذا كان يساوي مرافقه.

يوزع الاقتران على العمليات الحسابية المعقدة الأساسية:

يستخدم الاقتران أيضًا في الهندسة الانعكاسية ، وهي فرع من فروع الهندسة يدرس الانعكاسات أكثر عمومية من الانعكاسات حول الخط. في تحليل شبكة الدوائر الكهربائية ، يتم استخدام الاتحاد المعقد في إيجاد المعاوقة المكافئة عند البحث عن نظرية نقل القدرة القصوى.

الجمع والطرح تحرير

يمكن بسهولة إضافة رقمين مركبين a و b عن طريق إضافة جزأين حقيقيين وخياليين من الجمع بشكل منفصل. ذلك بالقول:

أ + ب = (x + y i) + (u + v i) = (x + u) + (y + v) i.

وبالمثل ، يمكن إجراء الطرح كـ

أ - ب = (x + y i) - (u + v i) = (x - u) + (y - v) i.

باستخدام تصور الأرقام المركبة في المستوى المركب ، فإن الإضافة لها التفسير الهندسي التالي: مجموع عددين مركبين أ وب ، يتم تفسيرهما كنقاط في المستوى المركب ، هو النقطة التي تم الحصول عليها من خلال بناء متوازي أضلاع من القمم الثلاثة O ، ونقاط الأسهم الموصوفة أ و ب (بشرط ألا تكون على خط). بالتساوي ، عند استدعاء هذه النقاط A و B على التوالي والنقطة الرابعة من متوازي الأضلاع X ، فإن المثلثين OAB و XBA متطابقان. يمكن تحقيق تصور الطرح من خلال النظر في إضافة المطروح السلبية.

الضرب والتحرير التربيعي

قواعد خاصية التوزيع والخصائص التبادلية (الجمع والضرب) والخصائص التعريفية أنا 2 = -1 تنطبق على الأعداد المركبة. إنه يتبع هذا

(x + y i) (u + v i) = (x u - y v) + (x v + y u) i.

التبادلية والقسمة تحرير

باستخدام الاقتران ، مقلوب عدد مركب غير صفري ض = x + يي يمكن تقسيمها دائمًا إلى

منذ غير صفرية يعني ذلك x 2 + ذ 2 أكبر من صفر.

يمكن استخدام هذا للتعبير عن قسمة رقم مركب تعسفي ث = ش + السادس بواسطة عدد مركب غير صفري z as

الضرب والقسمة في الشكل القطبي تحرير

تعتبر صيغ الضرب والقسمة والأسية أبسط في الشكل القطبي من الصيغ المقابلة في الإحداثيات الديكارتية. بالنظر إلى عددين مركبين ض1 = ص1(كوس φ1 + أنا الخطيئة φ1) و ض2 = ص2(كوس φ2 + أنا الخطيئة φ2) ، بسبب الهويات المثلثية

بمعنى آخر ، يتم ضرب القيم المطلقة وإضافة الوسيطات للحصول على الشكل القطبي للمنتج. على سبيل المثال ، الضرب في أنا يتوافق مع ربع دورة عكس اتجاه عقارب الساعة ، مما يؤدي إلى العودة أنا 2 = -1. توضح الصورة الموجودة على اليمين عملية الضرب

منذ الجزء الحقيقي والخيالي من 5 + 5أنا متساوية ، وسيطة هذا الرقم هي 45 درجة ، أو π/ 4 (بالتقدير الدائري). من ناحية أخرى ، فإن مجموع الزوايا في أصل المثلثات الحمراء والزرقاء هما أركتان (1/3) وأركتان (1/2) ، على التوالي. وهكذا ، فإن الصيغة

يحمل. نظرًا لأنه يمكن تقريب دالة arctan بكفاءة عالية ، يتم استخدام صيغ مثل هذه - المعروفة باسم الصيغ الشبيهة بالماشين - لتقريب عالي الدقة.

وبالمثل ، يتم القسمة بواسطة

تحرير الجذر التربيعي

الجذور التربيعية لـ أ + ثنائية (مع ب ≠ 0) هي ± (γ + δ i) أين

حيث sgn هي دالة إشارة. يمكن ملاحظة ذلك عن طريق تربيع ± (γ + δ i) للحصول على أ + ثنائية . [42] [43] هنا أ 2 + ب 2 + ب ^ <2> >>> يسمى مقياس أ + ثنائية ، وعلامة الجذر التربيعي تشير إلى الجذر التربيعي مع جزء حقيقي غير سالب يسمى الجذر التربيعي الأساسي أيضًا أ 2 + ب 2 = z z ¯، + ب ^ <2> >> = < sqrt >>> أين ض = أ + ثنائية . [44]

تحرير الوظيفة الأسية

القيمة عند 1 للدالة الأسية هي رقم أويلر

إذا كان z حقيقيًا ، يكون لدى المرء exp ⁡ z = e z. .> يسمح الاستمرار التحليلي بتوسيع هذه المساواة لكل قيمة معقدة لـ z ، وبالتالي تحديد الأس المعقد مع القاعدة e على النحو التالي

تحرير المعادلة الوظيفية

تحرير صيغة أويلر

تنص صيغة أويلر على أنه لأي عدد حقيقي y ،

تشير المعادلة الوظيفية إلى أنه إذا كان x و y حقيقيين ، فإن المرء يمتلك

e x + i y = e x (cos ⁡ y + i sin ⁡ y) = e x cos ⁡ y + i e x sin ⁡ y، = البريد ^( cos y + i sin y) = e ^ cos y + ie ^ sin y،>

وهو تحلل الدالة الأسية إلى أجزائها الحقيقية والخيالية.

تحرير اللوغاريتم المعقد

مثل اللوغاريتم المركب ، يكون للمرء معكوس مناسب:

exp ⁡ ln ⁡ z = exp ⁡ (ln ⁡ r + i φ) = r exp ⁡ i φ = r (cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ) = z.

ومع ذلك ، نظرًا لأن جيب التمام والجيب هما دالات دورية ، فإن إضافة عدد صحيح مضاعف 2π إلى φ لا يغير z. فمثلا، ه أنا = ه 3أنا = ،1 ، لذا فإن كلا من iπ و 3أنا هي القيم المحتملة للوغاريتم الطبيعي لـ 1.

لذلك ، إذا لم يتم تعريف اللوغاريتم المعقد كدالة متعددة القيم

يجب على المرء أن يستخدم قطع فرع وتقييد المجال المشترك ، مما يؤدي إلى وظيفة bijective

تحرير الأُس

لو x & gt 0 حقيقي و z معقد ، يتم تعريف الأس على أنه

حيث تشير ln إلى اللوغاريتم الطبيعي.

يبدو من الطبيعي توسيع هذه الصيغة لتشمل القيم المعقدة لـ x ، ولكن هناك بعض الصعوبات الناتجة عن حقيقة أن اللوغاريتم المركب ليس في الحقيقة دالة ، ولكنه دالة متعددة القيم.

ويترتب على ذلك أنه إذا كانت z على النحو الوارد أعلاه ، وإذا كانت t عددًا مركبًا آخر ، فإن الأس هي وظيفة متعددة القيم

تحرير الأس الصحيح والكسري

إذا كانت t في الصيغة السابقة عددًا صحيحًا ، فإن الجيب وجيب التمام مستقلان عن k. وبالتالي ، إذا كان الأس n عددًا صحيحًا ، إذن ض ن تم تعريفه جيدًا ، ويتم تبسيط صيغة الأسي إلى صيغة de Moivre:

الجذور n n من العدد المركب z مُعطاة من خلال

بينما تم اختيار الجذر n لرقم حقيقي موجب r ليكون إيجابي الرقم الحقيقي ج مرضية ج ن = ص ، لا توجد طريقة طبيعية لتمييز جذر مركب واحد معين لعدد مركب. لذلك ، فإن الجذر n هو دالة ذات قيمة n لـ z. هذا يعني أنه ، على عكس حالة الأعداد الحقيقية الموجبة ، يمتلك المرء

نظرًا لأن الجانب الأيسر يتكون من قيم n ، والجانب الأيمن عبارة عن قيمة واحدة.

تحرير هيكل المجال

المجموعة C > من الأعداد المركبة هو حقل. [٤٥] باختصار ، هذا يعني أن الحقائق التالية صحيحة: أولاً ، يمكن إضافة أي رقمين مركبين وضربهما للحصول على رقم مركب آخر. ثانيًا ، بالنسبة لأي عدد مركب z ، مقلوبه الجمعي -ض is also a complex number and third, every nonzero complex number has a reciprocal complex number. Moreover, these operations satisfy a number of laws, for example the law of commutativity of addition and multiplication for any two complex numbers ض1 و ض2 :

These two laws and the other requirements on a field can be proven by the formulas given above, using the fact that the real numbers themselves form a field.

Unlike the reals, C > is not an ordered field, that is to say, it is not possible to define a relation ض1 & lt ض2 that is compatible with the addition and multiplication. In fact, in any ordered field, the square of any element is necessarily positive, so أنا 2 = −1 precludes the existence of an ordering on C . .> [46]

When the underlying field for a mathematical topic or construct is the field of complex numbers, the topic's name is usually modified to reflect that fact. For example: complex analysis, complex matrix, complex polynomial, and complex Lie algebra.

Solutions of polynomial equations Edit

Given any complex numbers (called coefficients) أ0, . أن , the equation

There are various proofs of this theorem, by either analytic methods such as Liouville's theorem, or topological ones such as the winding number, or a proof combining Galois theory and the fact that any real polynomial of odd degree has at least one real root.

Because of this fact, theorems that hold for any algebraically closed field apply to C . .> For example, any non-empty complex square matrix has at least one (complex) eigenvalue.

Algebraic characterization Edit

  • First, it has characteristic 0. This means that 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 for any number of summands (all of which equal one).
  • Second, its transcendence degree over Q > , the prime field of C , ,> is the cardinality of the continuum.
  • Third, it is algebraically closed (see above).

It can be shown that any field having these properties is isomorphic (as a field) to C . .> For example, the algebraic closure of the field Q p _

> of the p -adic number also satisfies these three properties, so these two fields are isomorphic (as fields, but not as topological fields). [48] Also, C > is isomorphic to the field of complex Puiseux series. However, specifying an isomorphism requires the axiom of choice. Another consequence of this algebraic characterization is that C > contains many proper subfields that are isomorphic to C > .

Characterization as a topological field Edit

  • ص is closed under addition, multiplication and taking inverses.
  • If x and y are distinct elements of ص , then either xذ أو ذx في داخل ص .
  • If S is any nonempty subset of ص ، من ثم س + ص = x + ص for some x in C . .>

Moreover, C > has a nontrivial involutive automorphism xx* (namely the complex conjugation), such that x x* is in ص for any nonzero x in C . .>

Any field F with these properties can be endowed with a topology by taking the sets ب(x, ص) = < ذ | ص − (ذx)(ذx)* ∈ ص > as a base, where x ranges over the field and p ranges over ص . With this topology F is isomorphic as a topological field to C . .>

Construction as ordered pairs Edit

William Rowan Hamilton introduced the approach to define the set C > of complex numbers [50] as the set ℝ 2 of ordered pairs (أ, ب) of real numbers, in which the following rules for addition and multiplication are imposed: [45]

It is then just a matter of notation to express (أ, ب) كما أ + bi .

Construction as a quotient field Edit

must hold for any three elements x , y and z of a field. The set R > of real numbers does form a field. A polynomial ص(X) with real coefficients is an expression of the form

where the أ0, . أن are real numbers. The usual addition and multiplication of polynomials endows the set R [ X ] [X]> of all such polynomials with a ring structure. This ring is called the polynomial ring over the real numbers.

The set of complex numbers is defined as the quotient ring R [ x ] / ( X 2 + 1 ) . [x]/(X^<2>+1).> [51] This extension field contains two square roots of −1 , namely (the cosets of) X and −X ، على التوالى. (The cosets of) 1 and X form a basis of ℝ[X]/(X 2 + 1) as a real vector space, which means that each element of the extension field can be uniquely written as a linear combination in these two elements. Equivalently, elements of the extension field can be written as ordered pairs (أ, ب) of real numbers. The quotient ring is a field, because X 2 + 1 is irreducible over R , ,> so the ideal it generates is maximal.

Matrix representation of complex numbers Edit

Complex numbers أ + bi can also be represented by 2 × 2 matrices that have the form:

Here the entries a and b are real numbers. As the sum and product of two such matrices is again of this form, these matrices form a subring of the ring 2 × 2 matrices.

A simple computation shows that the map:

is a ring isomorphism from the field of complex numbers to the ring of these matrices. This isomorphism associates the square of the absolute value of a complex number with the determinant of the corresponding matrix, and the conjugate of a complex number with the transpose of the matrix.

The geometric description of the multiplication of complex numbers can also be expressed in terms of rotation matrices by using this correspondence between complex numbers and such matrices. The action of the matrix on a vector (x, ذ) corresponds to the multiplication of x + iy بواسطة أ + ib . In particular, if the determinant is 1 , there is a real number t such that the matrix has the form:

In this case, the action of the matrix on vectors and the multiplication by the complex number cos ⁡ t + i sin ⁡ t are both the rotation of the angle t .

The study of functions of a complex variable is known as complex analysis and has enormous practical use in applied mathematics as well as in other branches of mathematics. Often, the most natural proofs for statements in real analysis or even number theory employ techniques from complex analysis (see prime number theorem for an example). Unlike real functions, which are commonly represented as two-dimensional graphs, complex functions have four-dimensional graphs and may usefully be illustrated by color-coding a three-dimensional graph to suggest four dimensions, or by animating the complex function's dynamic transformation of the complex plane.

Complex exponential and related functions Edit

The notions of convergent series and continuous functions in (real) analysis have natural analogs in complex analysis. A sequence of complex numbers is said to converge if and only if its real and imaginary parts do. This is equivalent to the (ε, δ)-definition of limits, where the absolute value of real numbers is replaced by the one of complex numbers. From a more abstract point of view, ℂ , endowed with the metric

is a complete metric space, which notably includes the triangle inequality

for any two complex numbers ض1 و ض2 .

Like in real analysis, this notion of convergence is used to construct a number of elementary functions: the exponential function exp ض , also written ه ض , is defined as the infinite series

The series defining the real trigonometric functions sine and cosine, as well as the hyperbolic functions sinh and cosh, also carry over to complex arguments without change. For the other trigonometric and hyperbolic functions, such as tangent, things are slightly more complicated, as the defining series do not converge for all complex values. Therefore, one must define them either in terms of sine, cosine and exponential, or, equivalently, by using the method of analytic continuation.

exp ⁡ ( i φ ) = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ

for any real number φ , in particular

Unlike in the situation of real numbers, there is an infinitude of complex solutions z of the equation

for any complex number ث ≠ 0 . It can be shown that any such solution z – called complex logarithm of w – satisfies

log ⁡ w = ln ⁡ | w | + i arg ⁡ w ,

where arg is the argument defined above, and ln the (real) natural logarithm. As arg is a multivalued function, unique only up to a multiple of 2π , log is also multivalued. The principal value of log is often taken by restricting the imaginary part to the interval (−π, π] .

Complex exponentiation ض ω is defined as

and is multi-valued, except when ω is an integer. إلى عن على ω = 1 / ن , for some natural number n , this recovers the non-uniqueness of n th roots mentioned above.

Complex numbers, unlike real numbers, do not in general satisfy the unmodified power and logarithm identities, particularly when naïvely treated as single-valued functions see failure of power and logarithm identities. For example, they do not satisfy

Both sides of the equation are multivalued by the definition of complex exponentiation given here, and the values on the left are a subset of those on the right.

Holomorphic functions Edit

A function F : ℂ → ℂ is called holomorphic if it satisfies the Cauchy–Riemann equations. For example, any ℝ-linear map ℂ → ℂ can be written in the form

Complex analysis shows some features not apparent in real analysis. For example, any two holomorphic functions f and g that agree on an arbitrarily small open subset of ℂ necessarily agree everywhere. Meromorphic functions, functions that can locally be written as F(ض)/(ضض0) ن with a holomorphic function f , still share some of the features of holomorphic functions. Other functions have essential singularities, such as sin(1/ض) at ض = 0 .

Complex numbers have applications in many scientific areas, including signal processing, control theory, electromagnetism, fluid dynamics, quantum mechanics, cartography, and vibration analysis. Some of these applications are described below.


ارقام مركبة

Mathematically, a complex number is the combination of real number and imaginary number. The Phasor is represented by a complex number in complex number plane.

This complex number representation gives magnitude and phase of a sine wave, with which we can analyze the characteristics of a circuit. Sinusoidal waveforms are functions of time and are represented in time domain.

Usually, phasor transform method is used for solving the equations related to the waveforms that transform the functions of time t to functions of radian frequency w.

Frequency domain equations are algebraic equations which are easier to solve compared to time domain equations which are partial differential equations.

Thus, the complex number representation facilitates easy solving of algebraic equations for the unknown phasors. Let us discuss complex numbers and their manipulating techniques.

COMPLEX NUMBERS

Imaginary numbers are square roots of negative real numbers. Imaginary number consists of imaginary unit or j operator which is the symbol for √-1. This j operator used for simplifying the imaginary numbers. Consider √- 4 which can be simplified as √-1 × √ 4 = j√4 = j2.

The manipulation of complex numbers is more complicated than real numbers, that’s why these are named as complex numbers. A complex number consists of two parts, namely a real part and imaginary part which are connected by a plus or a minus sign as shown below.

The imaginary part of a complex number is called “Imaginary number”. We denote that by the English alphabet ‘i’ (the lower case) or j. We pronounce that as ‘i- operator’. An i operator is placed before the imaginary number to signify the imaginary part. Ex: i3, i432, i6 etc.

The complex numbers are represented in 2 dimensional Cartesian plane. This is also called “S plane”. The axes are called “Horizontal axis” and “Vertical axis”. The vertical axis is also called “Real axis” and it is denoted by Y. It represents the range of magnitude or voltage of sine wave.

Similarly, the horizontal axis is called “Imaginary axis”. It is denoted by X. It represents the time period and the phase difference of sine wave. In graphical method we represent the real and imaginary axes of complex number as Re(Z) and Im(Z), where Z is the complex number in the rectangular form, Z = a + ib.

Here the real part of a complex number is also called as “Active part” and imaginary part is called as “Reactive part”.

Rules for mathematical operations of complex numbers

  • For addition and subtraction: In addition and subtraction operations of imaginary numbers, we use general mathematical rules as real numbers i.e. on adding or subtracting of two imaginary numbers, we get another imaginary number. Ex: i9 + i5 = i14.
  • For multiplication: multiplication of imaginary number follows a different rule. That is, if any two imaginary are multiplied, we get a real number. Ex: i2 * i3 = 6.

NOTE: We can also write the real number as complex number by making the coefficient of imaginary part as ‘0’.

Ex: 6 can be written in complex number as 6 + i0.

Vector Rotation of i- Operator

Generally, electrical voltages and currents and their phase relations are represented by electrical vectors, where length of the vector represents the magnitude of that quantity involved while direction with respect to reference axis represents a lapse in time between positive maximum values of voltage and current.

In order to specify these vectors in terms of its x and y components, i operator is used to distinguish between x-axis and y-axis projections.

This is because y-axis projection is +90 0 from the x-axis projection. This i operator rotates the vector without altering its magnitude. Therefore, when +i operator is applied as multiplying factor for a vector, it produces 90 0 counter clockwise rotation and -i operator produces 90 0 clockwise rotation of any vector to which it is applied as multiplying factor.

Successive multiplication of +i operator to a vector will produce successive 90 0 steps of rotation of the vector in counter clockwise direction without affecting the magnitude of that vector.

Similarly, successive multiplication of -i operator to a vector will produce successive 90 0 steps of rotation of the vector in clockwise direction as given in below.

i1 = √-1 = +i » rotates vector 90 0 (Counter clockwise)

i2 = i * i = (√-1)2 = -1 » rotates vector 180 0 (Counter clockwise)

i3 = i2 * i = (√-1)3 = -i » rotates vector 270 0 (Counter clockwise)

i4 = i3 * i = (√-1)4 = +1 » rotates vector 360 0 (Counter clockwise)

Similarly for clockwise rotation is represented as

-i1 = -√-1 = -i » rotates vector -90 0 (clockwise)

-i2 = -1 » rotates vector -180 0 (clockwise)

– (i) 3 = √-1 » rotates vector -270 0 (clockwise)

– (i) 4 = 1 » rotates vector -360 0 (clockwise)

Complex Numbers Representation

Mostly, complex numbers are represented by two methods, they are

Complex Numbers Using Rectangular Form

As discussed earlier, a complex number is represented as Z = a + ib in rectangular form.

Where , Z is complex number

a is a real part of the vector

b is a imaginary part of vector

and i is the coefficient of imaginary part. Its value is √-1.

Ex: If Z = 2 + i3 then ‘2’ represents real part and ‘3’ represents imaginary part.

Complex Numbers Using Complex or S-Plane

In S- plane representation method, a complex number is represented as a point in Cartesian plane or S- plane. For example, consider Z = 2 + 4i, in which 2 is real part and 4 is imaginary part. It is represented in S- plane as shown below.

Here the real part of complex number (2) is represented by a line drawn 2 units out from the origin on positive horizontal axis. The imaginary part (4i) is represented by a line extended 4 units from the origin on positive vertical axis.

Thus imaginary values are always assumed to be drawn along Y-axis or vertical axis and the real values drawn along x-axis or horizontal axis.

Four Quadrant Argand Diagram

If a real number is multiplied by -1, it results to move the point from one side of origin to other. Suppose if +2 are multiplied by -1 or j2, the new position is equivalent to a rotation through 180 0 from old position.

This concept of multiplying by j as vector rotation is the basis for using complex numbers in alternating current circuits. This concept leads to a diagram called the Argand diagram which represents the complex numbers.

In Argand diagram, the real part of complex number is represented on X axis i.e. Re (z). The imaginary part of the complex number is represented on Y axis i.e. Im (z). In Cartesian plane, the complex number is defined as (a, b).

On the Argand diagram, the horizontal axis represents all positive real numbers to the right of the vertical imaginary axis and all negative real numbers to the left of the vertical imaginary axis. Positive imaginary numbers are represented above the origin and negative imaginary numbers are represented below the origin, on the vertical axis.

In the same way, all the positive real numbers are represented in the right side of the origin and all negative real numbers are represented in the left side of the origin, on the horizontal axis. So a complex plane with 4 coordinates is formed.

The Argand diagram is used to represent the phasor rotation where the length of the vector is equal to the magnitude of the complex number. It completes a full cycle for every 2π/ω seconds.

0 0 = ± 360 0 = + 1 = 1 ∠0 0 = 1 + i0

+ 90 0 = + √-1 = + i = 1 ∠+90 0 = 0 + i1

± 180 0 = (√-1)2 = – 1 = 1 ∠± 180 0 = – 1 + i0

Complex numbers with zero real part is called “Pure imaginary number”. Ex: Z = 0 + i2.

Complex numbers with zero imaginary part is called “Pure real number”. Ex: Z = 2 + i0.

Angle and quadrant

0 0 to 90 0 → first quadrant (I).

90 0 to 180 0 → second quadrant (II).

180 0 to 270 0 → third quadrant (III).

270 0 to 360 0 → fourth quadrant (IV).

We can find the relevant phase angle of the complex number by using

tan-1 (imaginary component ÷ real component)

The Argand sketch for the complex numbers in all the 4 quadrants is given below.

رباعي Argand Diagram Sketch معلومة معادلة
1a is positive
b is positive
Argument is positive
Ø=tan -1 [b/a]
2a is negative
b is positive
Argument is positive
Ø=π+tan -1 [b/a]
3a is negative
b is negative
Argument is negative
Ø= -π+tan -1 [b/a]
4a is positive
b is positive
Argument is negative
Ø= tan -1 [b/a]

Addition and Subtraction of Complex Numbers

If it is needed to perform mathematical operations like addition or subtraction on complex numbers, first we have to split the complex number into real part and imaginary part.

For the addition of two complex numbers, add the real parts and add imaginary parts.

If the first complex number is P = a + ib and the second complex number is Q = x + iy , then the sum of two complex numbers is given as

Similarly, to subtract two complex numbers, we subtract the real parts and subtract the imaginary parts.
The difference of two complex numbers is given as

Find the sum and difference of given two complex numbers. A = 2 + i4 and B = 4 +i3.

Subtraction

Graphical Addition and Subtraction

The method of adding complex numbers is same as addition of two vectors using parallelogram of vectors. The below figure illustrates the addition method of 3 + 4i and -4 + 2i complex numbers using graphical method.

Subtraction of (3 + 4i) from (-2 + 2i) in graphical method is illustrated in below figure.

Multiplication and Division of Complex Numbers

Complex numbers are multiplied in the same manner that binomial multiplies and remember that j2 = -1.
Consider two complex numbers (a+bi) and (c+di), then its multiplications is given as

Suppose if two complex numbers are (2 + 3i) and (4 + 5i), then its multiplication is

(2 + 3i) x (4 + 5i) = 2(4 + 5i) + 3i (4 + 5i)

Complex numbers are divided in the same manner that binomials are divided containing radical in the denominator. It involves in finding the conjugate of the denominator.

Let’s see an example for division of complex numbers.

((4 + 2i))/((3 – i) )= ((4 + 2i))/((3 – i) )× ((3+ i))/((3+ i) )

Therefore, (4 + 2i) ÷ (3 – i) = 1 + i.

Complex Conjugate

The complex conjugate of a complex number is the same number except the sign of the imaginary part is changed. The complex number obtained by reversing the sign of the imaginary number.

The sign of the real part become unchanged while finding the conjugate. The conjugate complex number is represented by the symbol z*.

For example, the complex conjugate of Z = 4 + i5 is z* = 4 – i5

The complex number and its conjugate will have same magnitude and they have same horizontal position on the X axis, but their vertical positions exactly opposite in Argand diagram.

Things to remember about conjugate

  • The sum of complex number and its conjugate is always a real number (active component).
    (4 + i5) + (4 – i5) = 8 (a real number)
  • The subtraction of complex number and its conjugate is always an imaginary number (reactive component).
    (4 + i5) – (4 – i5) = 10i (an imaginary number)
  • Usually, the complex conjugate number is used to find the apparent power of an alternating circuit in rectangular form.

Complex Numbers using Polar Form

Complex numbers can be represented in polar and rectangular forms. As discussed above, rectangular form of complex number consists of real and imaginary parts. In case of polar form, a complex number is represented with magnitude and angle i.e. Z

A ∠ ±θ. Here A is the magnitude of the vector and θ is the phase angle. It may be positive or negative.
Polar Form Representation of a Complex Number

Expressing a complex number in polar form use basic trigonometric concepts of triangle and Pythagoras’s theorem to find the magnitude and the angle made with axis.

The polar form representation of complex number x + iy in the Cartesian plane is shown in above figure. Here r is the resultant vector or diagonal of the triangle, formed by the complex number.

By applying Pythagoras’s theorem, we get

The vector components can be written as, x = Z cos θ and y = Z sin θ.

The angle made with the real axis is given as

The polar form represents the length and angle of the complex number. The complex number and its conjugate have same magnitude (modulo) and they have opposite angle.

Ex: The complex number 5 ∠60 0 and its conjugate number 5 ∠-60 0 have same magnitude.

Conversions of Complex Number

While analysing the electronic circuits, it is needed to convert complex numbers from one form to another form. In rectangular form, we represent the real part and imaginary parts of a complex number on real axis (Horizontal axis) and imaginary axis (Vertical axis) respectively.

But in polar form, the complex number is simply represented as A ∠θ. Now let’s us learn about the relationship and conversions of polar form and rectangular form and vice versa.

Conversions of Polar Form to Rectangular Form (P → R)

The conversion of polar to rectangular form involves in finding the trigonometric horizontal and vertical components in order to get real and imaginary parts of x + iy (rectangular form).

Consider below example to convert the polar form of complex number 4 ∠30 0 in to rectangular form.
The vector components are equal to real part and imaginary part of the complex number x + iy. وبالتالي،

x = A cos θ and y = A sin θ

4 ∠30 0 = (4 cos θ) + i (4 sin θ)

= (4 cos 30 0 ) + i (4 sin 30 0 )

Therefore, the complex number in polar form 4 ∠30 0 is equal to Z = 3.464 + i2.

Conversions of Rectangular Form to Polar Form, (R→P)

The conversion of rectangular to polar form involves in the use of Pythagoras’s theorem of right angle triangle, formed by the complex number x + iy with the horizontal and vertical axes, in coordinate plane.

Consider the example to convert a rectangular form of complex number 3.464 + i2 into equivalent number in polar form.

Here A = √(3.46 2 +2 2 ) = 3.99 (approx 4)

Therefore, the complex number in rectangular form Z = 3.464 + i2 is equal to 4 ∠30 0 in polar form.

Polar Form Multiplication

The easiest way of performing addition and subtraction of complex numbers is rectangular form while polar form is easiest method performing multiplication and division of the complex numbers.

To perform multiplication of polar formed complex numbers, first multiply their magnitudes and then add their angles.

If Z1 and Z2 are the two complex numbers in (polar form), as Z1 = A1 ∠θ1 and Z2 = A2 ∠θ2. Then the multiplication of these two numbers will be

Z1 x Z2 = ( A1 x A2 ) ∠ θ1 + ∠ θ2

Ex: Suppose two complex numbers 2 ∠60 0 and 5 ∠45 0 , then its multiplication is given as

Z1 = 2 ∠60 0 and Z2 = 5 ∠45 0

Z1 x Z2 = (A1 x A2 ) ∠ θ1 + ∠ θ2

Polar Form Division

To perform the division operation of polar numbers, first divide the magnitudes of the two polars and then subtract the angles.

Suppose two complex numbers are 2 ∠60 0 and 4 ∠30 0 then its division is given as

Complex Numbers Using Exponential Form

Apart from Rectangular form (a + ib ) or Polar form ( A ∠±θ ) representation of complex numbers, there is another way to represent the complex numbers that is Exponential form.

This is similar to that of polar form representation which involves in representing the complex number by its magnitude and phase angle, but with base of exponential function e, where e = 2.718 281. The exponential form of a complex number uses Euler’s formula, e iθ = cos θ + j sin θ.

The general representation of a complex number in exponential form is given as

This method represents the complex number as a rotating point in the Cartesian plane. This exponential form uses the trigonometric functions or vector components (sine and cosine) of a complex number x + iy. The rotating phasor diagram in Cartesian plane according to Euler’s identity is shown below.

We can represent any complex number by Euler’s method. The Euler’s identity allows us to convert the complex number from exponential form into polar form & to rectangular form.

The relation between polar, rectangular and exponential form is given below.


2.1: Definition of Complex Numbers

أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

نسخة محدثة متوفرة

هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

محرر التعبير الرياضي

Identify the subgroup of Complex numbers a number belongs to.

Now, watch the video below to review the different sets of Complex numbers. You can print out these notes to follow along and keep notes to organize your thoughts.

First, try to define the following subgroups of the Complex Numbers. You should include examples for each (you may even want to take a sneak peak at the problems at the bottom of the page and use some of these as examples!) and descriptions of how to tell what the smallest set the number belongs to.

The Real Numbers are just a part of the Complex Numbers, so we still have the subgroups from Objective 1. Now we will look at how all of these subgroups are related. Like before, try to classify the following numbers based on these definitions.

Like Objective 1, remember to reduce first, then decide the smallest subgroup the number belongs to!

Note: This part of the homework will change each time you click “Another”. You can keep clicking “Another” to practice seeing these more difficult numbers to classify.

To work around current Xronos issues, input the corresponding number for the correct set.
Rational - 0
Irrational - 1
Nonreal Complex - 2
Pure Imaginary - 3
Not a Complex Number - 4

To work around current Xronos issues, input the corresponding number for the correct set.
Rational - 0
Irrational - 1
Nonreal Complex - 2
Pure Imaginary - 3
Not a Complex Number - 4

To work around current Xronos issues, input the corresponding number for the correct set.
Rational - 0
Irrational - 1
Nonreal Complex - 2
Pure Imaginary - 3
Not a Complex Number - 4


1. How to divide complex numbers?

The division of two complex numbers (z_1=a+ib) and (z_2=c+id) is calculated by using the division of complex numbers formula:

2. How do you write a complex number?

A complex number is written in the form of (a+ib), where (a) and (b) are real numbers.

3. What is the symbol of a complex number?

The symbol of the complex number is (z).

4. How do you solve complex numbers?

Keep in mind the following points while solving the complex numbers:

  1. While adding and subtracting the complex numbers, group the real part and the imaginary parts together.
  2. While multiplying the two complex numbers, use the value (i^2=-1)
  3. While dividing the complex numbers, multiply the fraction with the conjugate of the denominator.

5. Is 6 a complex number?

Yes, the number 6 is a complex number whose imaginary part is zero.

6. How do you write a quotient as a complex number?

Let the quotient be (dfrac).

7. What is the quotient when 4+8i is divided by 1+3i?

The quotient (dfrac<4+8i><1+3i>) is given as (dfrac<14><5>-idfrac<2><5>).

8. How do you divide a complex number by a real number?

Divide the real part and the imaginary part of the complex number by that real number separately.

9. How do you divide square roots with complex numbers?

To divide the square root with complex number use the substitution (i=sqrt<-1>).


Basic operations with complex numbers

إضافة

Very simple, add up the real parts (without i) and add up the imaginary parts (with i):
This is equal to use rule: (a+bأنا)+(c+dأنا) = (a+c) + (b+d)أنا

Subtraction

Again very simple, subtract the real parts and subtract the imaginary parts (with i):
This is equal to use rule: (a+bأنا)+(c+dأنا) = (a-c) + (b-d)أنا

عمليه الضرب

To multiply two complex numbers, use distributive law, avoid binomials, and apply i 2 = -1.
This is equal to use rule: (a+bأنا)(c+dأنا) = (ac-bd) + (ad+bc)أنا

قسم

The division of two complex numbers can be accomplished by multiplying the numerator and denominator by the denominator's complex conjugate. This avoids imaginary unit أنا from the denominator. If the denominator is c+dأنا, to make it without i (or make it real), multiply with conjugate c-dأنا:

(c+dأنا)(c-dأنا) = c 2 +d 2

Absolute value or modulus

Square root

Square root of complex number (a+bi) is z, if z 2 = (a+bi). Here ends simplicity. Because of the fundamental theorem of algebra, you will always have two different square roots for a given number. If you want to find out the possible values, the easiest way is probably to go with De Moivre's formula. Here our calculator is on edge, because square root is not a well defined function on complex number. We calculate all complex roots from any number - even in expressions:

Square, power, complex exponentiation

المهام

sqrt Square Root of a value or expression. sin the sine of a value or expression. Autodetect radians/degrees. cos the cosine of a value or expression. Autodetect radians/degrees. tan tangent of a value or expression. Autodetect radians/degrees. exp e (the Euler Constant) raised to the power of a value or expression pow Power one complex number to another integer/real/complex number ln The natural logarithm of a value or expression log The base-10 logarithm of a value or expression abs or |1+i| The absolute value of a value or expression phase Phase (angle) of a complex number cis is less known notation: cis(x) = cos(x)+ i sin(x) example: cis (pi/2) + 3 = 3+أنا conj conjugate of complex number - example: conj(4i+5) = 5-4أنا

أمثلة:


Basic operations with complex numbers

إضافة

Very simple, add up the real parts (without i) and add up the imaginary parts (with i):
This is equal to use rule: (a+bأنا)+(c+dأنا) = (a+c) + (b+d)أنا

Subtraction

Again very simple, subtract the real parts and subtract the imaginary parts (with i):
This is equal to use rule: (a+bأنا)+(c+dأنا) = (a-c) + (b-d)أنا

عمليه الضرب

To multiply two complex numbers, use distributive law, avoid binomials, and apply i 2 = -1.
This is equal to use rule: (a+bأنا)(c+dأنا) = (ac-bd) + (ad+bc)أنا

قسم

The division of two complex numbers can be accomplished by multiplying the numerator and denominator by the denominator's complex conjugate. This avoids imaginary unit أنا from the denominator. If the denominator is c+dأنا, to make it without i (or make it real), multiply with conjugate c-dأنا:

(c+dأنا)(c-dأنا) = c 2 +d 2

Absolute value or modulus

Square root

Square root of complex number (a+bi) is z, if z 2 = (a+bi). Here ends simplicity. Because of the fundamental theorem of algebra, you will always have two different square roots for a given number. If you want to find out the possible values, the easiest way is probably to go with De Moivre's formula. Here our calculator is on edge, because square root is not a well defined function on complex number. We calculate all complex roots from any number - even in expressions:

Square, power, complex exponentiation

المهام

sqrt Square Root of a value or expression. sin the sine of a value or expression. Autodetect radians/degrees. cos the cosine of a value or expression. Autodetect radians/degrees. tan tangent of a value or expression. Autodetect radians/degrees. exp e (the Euler Constant) raised to the power of a value or expression pow Power one complex number to another integer/real/complex number ln The natural logarithm of a value or expression log The base-10 logarithm of a value or expression abs or |1+i| The absolute value of a value or expression phase Phase (angle) of a complex number cis is less known notation: cis(x) = cos(x)+ i sin(x) example: cis (pi/2) + 3 = 3+أنا conj conjugate of complex number - example: conj(4i+5) = 5-4أنا

أمثلة:


شاهد الفيديو: شرح الاعداد المركبة وقوى العدد i (شهر اكتوبر 2021).