مقالات

10.8: الرسوم البيانية الحلول التربيعية - الرياضيات


القطع المكافئ

سنقوم الآن بدراسة الرسوم البيانية للمعادلات التربيعية في متغيرين بصيغة عامة

(y = ax ^ 2 + bx + c، a not = 0 ). (أ ، ب ، ج ) أرقام حقيقية.

القطع المكافئ

كل هذه الرسوم البيانية لها شكل مماثل. يسمى الرسم البياني للمعادلة التربيعية من هذا النوع القطع المكافئ أ القطع المكافئ وسوف يتخذ أحد الأشكال التالية.

فيرتكس

تسمى النقطة العالية أو المنخفضة للقطع المكافئ قمة الرأس من القطع المكافئ.

إنشاء الرسوم البيانية للقطوع المكافئة

سننشئ رسمًا بيانيًا للقطع المكافئ باختيار عدة قيم x ، ثم الحوسبة للعثور على قيم y المقابلة ، ورسم هذه الأزواج المرتبة ، ثم رسم منحنى سلس من خلالها.

مجموعة العينة أ

مثال ( PageIndex {1} )

رسم بياني (y = x ^ 2 ). قم ببناء جدول لعرض عدة أزواج مرتبة.

(س ) (ص = س ^ 2 )
00
11
24
39
−11
−24
−39

هذا هو القطع المكافئ الأساسي. على الرغم من أن القطع المكافئ الأخرى قد تكون أوسع ، أو أضيق ، أو تتحرك لأعلى أو لأسفل ، أو تتحرك إلى اليسار أو اليمين ، أو مقلوبة ، إلا أنها جميعًا سيكون لها نفس الشكل الأساسي. سنحتاج إلى رسم أكبر عدد ممكن من الأزواج المرتبة حسب الضرورة لضمان هذا الشكل الأساسي.

مثال ( PageIndex {2} )

رسم بياني (y = x ^ 2 - 2 ). قم ببناء جدول للأزواج المرتبة.

(س ) (ص = س ^ 2 -2 )
0−2
1−1
22
37
−1−1
−22
−37

لاحظ أن الرسم البياني لـ (y = x ^ 2 - 2 ) هو بالضبط الرسم البياني لـ (y = x ^ 2 ) لكنه ترجم وحدتين لأسفل. قارن معادلات (y = x ^ 2 ) و (y = x ^ 2 - 2 ). هل ترى ما الذي يسبب الترجمة النزولية للوحدتين؟

مجموعة الممارسة أ

مشكلة الممارسة ( PageIndex {1} )

استخدم الفكرة المقترحة في نموذج المجموعة أ لرسم الرسوم البيانية (بسرعة وربما ليس بدقة تامة)

(ص = س ^ 2 + 1 ) و (ص = س ^ 2 - 3 )

إجابه

مجموعة العينة ب

مثال ( PageIndex {1} )

رسم بياني (y = (x + 2) ^ 2 ).

هل نتوقع أن يكون الرسم البياني مشابهًا للرسم البياني لـ (y = x ^ 2 )؟ قم بعمل جدول للأزواج المرتبة.

(س ) (ص )
04
19
−11
−20
−31
−44

لاحظ أن الرسم البياني لـ (y = (x + 2) ^ 2 ) هو بالضبط الرسم البياني لـ (y = x ^ 2 ) لكنه ترجم وحدتين إلى اليسار. يتحرك (+ 2 ) داخل الأقواس (y = x ^ 2 ) وحدتين إلى اليسار. تؤدي القيمة السالبة داخل الأقواس إلى الانتقال إلى اليمين.

مجموعة الممارسة ب

مشكلة الممارسة ( PageIndex {1} )

استخدم الفكرة المقترحة في عينة المجموعة ب لرسم الرسوم البيانية لـ

(ص = (س -3) ^ 2 ) و (ص = (س + 1) ^ 2 )

إجابه

مشكلة الممارسة ( PageIndex {3} )

رسم بياني (ص = (س -2) ^ 2 + 1 )

إجابه

تمارين

بالنسبة للمسائل التالية ، ارسم المعادلات التربيعية بيانيًا.

تمرين ( PageIndex {1} )

(ص = س ^ 2 )

إجابه

تمرين ( PageIndex {2} )

(ص = -x ^ 2 )

تمرين ( PageIndex {3} )

(ص = (س -1) ^ 2 )

إجابه

تمرين ( PageIndex {4} )

(ص = (س -2) ^ 2 )

تمرين ( PageIndex {5} )

(ص = (س + 3) ^ 2 )

تمرين ( PageIndex {6} )

(ص = (س + 3) ^ 2 )

إجابه

تمرين ( PageIndex {7} )

(ص = (س + 1) ^ 2 )

تمرين ( PageIndex {8} )

(ص = س ^ 2 - 3 )

إجابه

تمرين ( PageIndex {9} )

(ص = س ^ 2-1 )

تمرين ( PageIndex {10} )

(ص = س ^ 2 + 2 )

إجابه

تمرين ( PageIndex {11} )

(y = x ^ 2 + dfrac {1} {2} )

تمرين ( PageIndex {12} )

(y = x ^ 2 - dfrac {1} {2} )

إجابه

تمرين ( PageIndex {13} )

(y = -x ^ 2 + 1 ) (قارن بالمشكلة 2)

تمرين ( PageIndex {14} )

(y = -x ^ 2-1 ) (قارن بالمشكلة 1)

إجابه

تمرين ( PageIndex {15} )

(ص = (س -1) ^ 2-1 )

تمرين ( PageIndex {16} )

(ص = (س + 3) ^ 2 + 2 )

إجابه

تمرين ( PageIndex {17} )

(ص = - (س + 1) ^ 2 )

تمرين ( PageIndex {18} )

(ص = - (س + 3) ^ 2 )

إجابه

تمرين ( PageIndex {19} )

(ص = 2 س ^ 2 )

تمرين ( PageIndex {20} )

(ص = 3 س ^ 2 )

إجابه

تمرين ( PageIndex {21} )

(y = dfrac {1} {2} × ^ 2 )

بالنسبة للمسائل التالية ، حاول تخمين المعادلة التربيعية التي تتوافق مع الرسم البياني المحدد.

تمرين ( PageIndex {22} )

تمرين ( PageIndex {23} )

إجابه

(ص = (س -3) ^ 2 )

تمرين ( PageIndex {24} )

تمرين ( PageIndex {25} )

إجابه

(ص = - (س + 3) ^ 2 + 2 )

تمارين للمراجعة

تمرين ( PageIndex {26} )

بسّط واكتب ((x ^ {- 4} y ^ 5) ^ {- 3} (x ^ {- 6} y ^ 4) ^ 2 ) بحيث تظهر الأس الموجبة فقط.

تمرين ( PageIndex {27} )

حلل إلى عوامل (y ^ 2 - y - 42 )

إجابه

((ص + 6) (ص − 7) )

تمرين ( PageIndex {28} )

أوجد المجموع: ( dfrac {2} {a - 3} + dfrac {3} {a + 3} + dfrac {18} {a ^ 2 - 9} )

تمرين ( PageIndex {29} )

بسّط ( dfrac {2} {4 + sqrt {5}} )

إجابه

( dfrac {8 - 2 sqrt {5}} {11} )

تمرين ( PageIndex {30} )

يضاف أربعة إلى عدد صحيح ويتضاعف هذا المجموع. عندما يتم ضرب هذه النتيجة في العدد الصحيح الأصلي ، يكون حاصل الضرب (- 6 ). أوجد العدد الصحيح.


التربيعية

فيديو خان: إكمال المربع (في 5:34 يستخدم المثال الثاني الكسور).

مشاكل الممارسة:

1.9 النموذج القياسي والصيغة التربيعية

توضيح:

فيديو عن الرسم البياني التربيعي في شكل قياسي: SafeShareTV | موقع YouTube

فيديو خان: استخدام الصيغة التربيعية - الحلول المنطقية

مشاكل الممارسة:

تمرين خان: صيغة تربيعية (تتضمن حل 0 أولاً وتحتاج بعض الجذور إلى التبسيط)

1.10 باستخدام التمييز

توضيح:

مشاكل الممارسة:

1.11 تحويل الشكل العاملي والشكل الرأسي إلى النموذج القياسي

توضيح:

مشاكل الممارسة:

1.12 مراجعة: ميزات وأشكال الوظائف التربيعية: يمكن كتابة نفس الوظيفة التربيعية حتى ثلاثة تنسيقات مكافئة

توضيح:

مشاكل الممارسة:

تمرين خان: ميزات الوظائف التربيعية: الإستراتيجية (أسهل خاصية بأي شكل)

تمرين خان: ميزات الوظائف التربيعية (كل الخصائص في أي شكل تحتاج إلى آلة حاسبة)

تمرين خان: الإحماء: ميزات الوظائف التربيعية (تحدي: بعض القيم التربيعية تشمل الكسور العشرية)


التربيعات ، التباديل والتوليفات ، تفجير النقاط ، وأكثر!

مكتوبة للمعلمين - وطلابهم أيضًا! - هذا الموقع ، الذي ينمو ببطء ، يأخذ كل المحتوى الذي طوره تانتون في كتبه ومقاطع الفيديو وورش العمل ، وينظمه في وحدات مناهج قصيرة ومكتفية ذاتيًا وكاملة تثبت أن الرياضيات ، في جميع مراحل المناهج الدراسية ، يمكن أن يكون ممتعًا وجديدًا ومبتكرًا وغنيًا وعميق التفكير وخاليًا من أي فعل عن ظهر قلب! دعونا نعلم أجيالًا من الطلاب أن يكونوا مفكرين معتمدين على الذات ، وعلى استعداد للتغلب على الأمور واستخدام الفطرة السليمة لديهم من أجل "شق طريقهم" من خلال التحديات ، وتقييم النتائج والحكم عليها ، وتعديل الإجراءات لتحقيق النجاح. (مهارات حياتية عظيمة!)


دليل خطوة بخطوة لوظائف الرسم البياني التربيعي

  • الدوال التربيعية في شكل قمة الرأس: (y = a (x - h) ^ 2 + k ) حيث ((h، k) ) هو رأس الدالة. محور التناظر هو (س = ح )
  • الدوال التربيعية في الشكل القياسي: (y = ax ^ 2 + bx + c ) حيث (x = - frac<2>> هي قيمة (x ) في رأس الدالة.
  • لرسم دالة تربيعية ، ابحث أولاً عن الرأس ، ثم استبدل بعض القيم لـ (x ) وحل من أجل (y ).

الرسم البياني للوظائف التربيعية & # 8211 مثال 1:

ارسم الرسم البياني لـ (y = (x + 1) ^ 2-2 ).

أولاً ، تذكر أن دالة تربيعية في شكل قمة هي (y = a (x - h) ^ 2 + k ) حيث ((h، k) ) هو رأس الدالة. رأس (y = (x + 1) ^ 2-2 ) هو ((- 1، -2) ). عوّض بصفر عن (x ) وحل من أجل (y ). (ص = (0 + 1) ^ 2-2 = -1 ). التقاطع (y ) هو ((0 ، -1) ).
الآن ، يمكنك ببساطة رسم دالة تربيعية.

الرسم البياني للوظائف التربيعية & # 8211 مثال 2:

ارسم الرسم البياني لـ (y = 3 (x + 1) ^ 2 + 2 ).

رأس (3 (x + 1) ^ 2 + 2 ) هو ((- 1،2) ). عوّض بصفر عن (x ) وحل من أجل (y ). (ص = 3 (0 + 1) ^ 2 + 2 = 5 ). التقاطع (y ) هو ((0،5) ).
الآن ، يمكنك ببساطة رسم دالة تربيعية.


أسئلة

قم ببناء معادلة تربيعية من حلولها.

  1. 2, 5
  2. 3, 6
  3. 20, 2
  4. 13, 1
  5. 4, 4
  6. 0, 9
  7. ± 5
  8. ± 1
  9. 3, 5, 8
  10. −4, 0, 4
  11. −9, −6, −2
  12. ± 1, 5
  13. ± 2, ± 5

& lta href = & # 8221 / intermediatealgebraberg / back-matter / answer-key-10-8 / & # 8221 & gtAnswer Key 10.8


أفكار كبيرة كتاب الرياضيات الجبر 1 الجواب مفتاح الفصل 8 الرسوم البيانية وظائف التربيعية

هنا ، قدمنا ​​دليلاً كاملاً للفصل 8 BIM Algebra 1 Graphing Functions Functions في روابط سريعة. اضغط على موضوعات الأفكار الكبيرة الرياضيات الجبر 1 حلول الفصل 8 وامسح جميع استفساراتك المتعلقة بالمفاهيم. أيضًا ، يمكنك الرجوع إلى أسئلة التغطية من اختبار الممارسة ، واختبار الفصل ، والممارسة التراكمية ، واختبار الأداء ، وما إلى ذلك في هذا الفصل 8 مفتاح الإجابة عن الأفكار الكبيرة الرياضيات.

ابحث عن أي مساعدة في الواجبات المنزلية قد تحتاجها وعزز من إتقان الرياضيات. أيضًا ، يمكنك تجربة تقييمات الوظائف التربيعية بالرسوم البيانية للفصل 8 بسهولة عن طريق حل جميع أسئلة التمرين التي تم تناولها في أفكار الرياضيات الكبيرة الجبر 1 أجوبة الكتاب المدرسي.

الرسم البياني للوظائف التربيعية الحفاظ على الكفاءة الرياضية

ارسم المعادلة الخطية.

السؤال رقم 1.
ص = 2 س & # 8211 3
إجابه:
ص = 2 س & # 8211 3
إذا كانت x = 0 → 2 (0) & # 8211 3 = -3
إذا كانت x = 1 → 2 (1) & # 8211 3 = -1
إذا كانت x = 2 → 2 (2) & # 8211 3 = 1
إذا كانت x = 3 → 2 (3) & # 8211 3 = 3
إذا كانت x = 4 → 2 (4) & # 8211 3 = 5

السؤال 2.
ص = -3 س + 4
إجابه:
معطى،
ص = -3 س + 4
إذا كانت x = 0 → -3 (0) + 4 = 4
إذا كانت x = 1 → -3 (1) + 4 = 1
إذا كانت x = 2 → -3 (2) + 4 = -2
إذا كانت x = 3 → -3 (3) + 4 = -5
إذا كانت x = 4 → -3 (4) + 4 = -8

السؤال 3.
y = & # 8211 ( frac <1> <2> ) x & # 8211 2
إجابه:
معطى،
y = & # 8211 ( frac <1> <2> ) x & # 8211 2
إذا كانت x = 0 → & # 8211 ( frac <1> <2> ) (0) & # 8211 2 = -2
إذا كانت x = 1 → & # 8211 ( frac <1> <2> ) (1) & # 8211 2 = -2 ( frac <1> <2> )
إذا كانت x = 2 → & # 8211 ( frac <1> <2> ) (2) & # 8211 2 = -3
إذا كانت x = 3 → & # 8211 ( frac <1> <2> ) (3) & # 8211 2 = & # 8211 ( frac <7> <2> )
إذا كانت x = 4 → & # 8211 ( frac <1> <2> ) (4) & # 8211 2 = -4

السؤال 4.
ص = س + 5
إجابه:
معطى،
ص = س + 5
إذا كانت x = 0 → 0 + 5 = 5
إذا كانت x = 1 → 1 + 5 = 6
إذا كانت x = 2 → 2 + 5 = 7
إذا كانت x = 3 → 3 + 5 = 8
إذا كانت x = 4 → 4 + 5 = 9

احسب التعبير عندما x = −2.
السؤال 5.
5x 2 & # 8211 9
إجابه:
معطى،
5x 2 & # 8211 9
الآن علينا التعويض بـ x = -2 في التعبير أعلاه
5(-2) 2 – 9
= 5(4) – 9
= 20 – 9
= 11

السؤال 6.
3 × 2 + س & # 8211 2
إجابه:
معطى،
3 × 2 + س & # 8211 2
الآن علينا التعويض بـ x = -2 في التعبير أعلاه
3(-2) 2 + (-2) – 2
= 3(4) – 2 – 2
= 12 – 4
= 8

السؤال 7.
-x 2 + 4x + 1
إجابه:
معطى،
-x 2 + 4x + 1
الآن علينا التعويض بـ x = -2 في التعبير أعلاه
-(-2) 2 + 4(-2) + 1
= -4 – 8 + 1
= -12 + 1
= -11

السؤال 8.
× 2 + 8 س + 5
إجابه:
معطى،
× 2 + 8 س + 5
الآن علينا التعويض بـ x = -2 في التعبير أعلاه
(-2) 2 + 8(-2) + 5
= 4 – 16 + 5
= -7

السؤال 9.
-2x 2 & # 8211 4x + 3
إجابه:
معطى،
-2x 2 & # 8211 4x + 3
الآن علينا التعويض بـ x = -2 في التعبير أعلاه
= -2(-2) 2 – 4(-2) + 3
= -2(4) + 8 + 3
= -8 + 8 + 3
= 3

السؤال 10.
-4x 2 + 2x & # 8211 6
إجابه:
معطى،
-4x 2 + 2x & # 8211 6
الآن علينا التعويض بـ x = -2 في التعبير أعلاه
-4(-2) 2 + 2(-2) – 6
= -16 – 4 – 6
= -26

السؤال 11.
التفكير المجرد
استكمال الجدول. ابحث عن نمط في الاختلافات في قيم y المتتالية. استخدم النمط لكتابة تعبير عن y عندما تكون x = 6.

إجابه:
/>

رسم بياني للوظائف التربيعية الممارسات الرياضية

يجرب الطلاب المتمرسون رياضياً حالات خاصة من المشكلة الأصلية لاكتساب نظرة ثاقبة لحلها.

رصد التقدم المحرز

ارسم الدالة التربيعية. ثم صِف الرسم البياني الخاص به.
السؤال رقم 1.
ص = -س 2
إجابه:

السؤال 2.
ص = 2 س 2
إجابه:

السؤال 3.
و (س) = 2 س 2 + 1
إجابه:

السؤال 4.
و (س) = 2 س 2 & # 8211 1
إجابه:

السؤال 5.
f (x) = ( frac <1> <2> ) x 2 + 4x + 3
إجابه:

السؤال 6.
f (x) = ( frac <1> <2> ) x 2 & # 8211 4x + 3
إجابه:

السؤال 7.
ص = -2 (س + 1) 2 + 1
إجابه:

السؤال 8.
ص = -2 (س & # 8211 1) 2 + 1
إجابه:

السؤال 9.
كيف تتشابه الرسوم البيانية في أسئلة مراقبة التقدم من 1 إلى 8؟ كيف هم مختلفون؟
إجابه:

الدرس 8.1 الرسم البياني f (x) = ax 2

السؤال الجوهري ما هي بعض خصائص التمثيل البياني للدالة التربيعية بالصيغة f (x) = ax 2؟

الاستكشاف 1

الرسم البياني للوظائف التربيعية
العمل مع شريك. ارسم كل دالة تربيعية بيانيًا. قارن كل رسم بياني بمخطط f (x) = x 2.

قم بتوصيل إجابتك

السؤال 2.
ما هي بعض خصائص التمثيل البياني للدالة التربيعية بالصيغة f (x) = ax 2؟
إجابه:
الرسم البياني للدالة التربيعية على شكل حرف U ويعرف باسم القطع المكافئ.
تتميز القطع المكافئة بالعديد من الميزات المميزة التي تميز شكلها ومكانها على المستوى الديكارتية.

السؤال 3.
كيف تؤثر قيمة a على الرسم البياني لـ f (x) = ax 2؟ ضع في اعتبارك 0 & lt a & lt 1 و a & gt 1 و -1 & lt a & lt 0 و a & lt -1. استخدم حاسبة الرسوم البيانية للتحقق من إجاباتك.

إجابه:

السؤال 4.
يوضح الشكل الرسم البياني للدالة التربيعية بالصيغة y = ax 2. أي من الفترات في السؤال 3 يصف قيمة a؟ اشرح أسبابك.

إجابه:

رصد التقدم المحرز

التعرف على خصائص الدالة التربيعية ورسمها البياني.
السؤال رقم 1.

إجابه:
الرأس هو (2، -3)
محور التناظر هو 2
المجال هو كل الأرقام الحقيقية
النطاق هو جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي -3

السؤال 2.

إجابه:
الرأس هو (-3، 7)
محور التناظر هو -3
المجال هو كل الأرقام الحقيقية
النطاق هو جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي 7

ارسم الوظيفة. قارن الرسم البياني بالمنحنى البياني لـ f (x) = x 2.
السؤال 3.
ز (س) = 5 س 2
إجابه:

السؤال 4.
ح (س) = ( فارك <1> <3> ) × 2
إجابه:

السؤال 5.
n (x) = ( frac <3> <2> ) x 2
إجابه:

السؤال 6.
ص (س) = -3 س 2
إجابه:

السؤال 7.
ف (س) = -0.1 س 2
إجابه:

السؤال 9.
يمكن نمذجة المقطع العرضي لضوء موضعي من خلال الرسم البياني لـ y = 0.5x 2 ، حيث يتم قياس x و y بالبوصة و -2 ≤ x ≤ 2. أوجد عرض وعمق بقعة الضوء.
إجابه:

رسم بياني f (x) = ax 2 8.1 تمارين

المفردات والمفهوم الأساسي التحقق

السؤال رقم 1.
كلمات
ماذا يسمى الرسم البياني للدالة التربيعية على شكل حرف U؟
إجابه:
يسمى الرسم البياني للدالة التربيعية على شكل حرف U القطع المكافئ.

السؤال 2.
جاري الكتابة
متى يفتح الرسم البياني للدالة التربيعية؟ افتح لاسفل؟
إجابه:
عندما & lt 0 يفتح
عندما & gt 0 يفتح

مراقبة التقدم والنمذجة بالرياضيات

في التمرينين 3 و 4 ، حدد خصائص الدالة التربيعية ورسمها البياني.
السؤال 3.

إجابه:

السؤال 4.

إجابه:
الرأس هو (-2، 4)
محور التناظر هو x = -2
المجال هو كل الأرقام الحقيقية.
المدى هو y ≥ 4
عندما x & lt -2 ، يزيد y كلما تناقص x.
عندما x & gt -2 ، يزيد y مع انخفاض x.

في التدريبات 5-12 ، ارسم الدالة بيانيًا. قارن الرسم البياني بالمنحنى البياني لـ f (x) = x 2.
السؤال 5.
ز (س) = 6 س 2
إجابه:

السؤال 6.
ب (س) = 2.5 س 2
إجابه:
ب (س) = 2.5 س 2
محور التناظر هو x = 0
الرسم البياني لـ 2.5x 2 أضيق من x 2 لأنه ممتد رأسيًا بمعامل 2.5

السؤال 7.
ح (س) = ( فارك <1> <4> ) × 2
إجابه:

السؤال 8.
ي (س) = 0.75 س 2
إجابه:
نلاحظ أن الرسمين البيانيين لهما نفس المجال والمدى ومحور التناظر وكلاهما قطع مكافئ. الفرق الرئيسي هو أن الرسم البياني للدالة المعينة يفتح على نطاق أوسع من الرسم البياني لـ f (x) = x 2

السؤال 9.
م (س) = -2 س 2
إجابه:

السؤال 10.
ف (س) = & # 8211 ( فارك <9> <2> ) × 2
إجابه:
نلاحظ أن الرسمين البيانيين لهما نفس المجال والمدى ومحور التناظر وكلاهما قطع مكافئ. الفرق الرئيسي هو أن الرسم البياني للدالة المعينة يفتح على نطاق أوسع من الرسم البياني لـ f (x) = x 2 الذي انعكس حول المحور x.

السؤال 11.
ك (س) = -0.2 س 2
إجابه:

السؤال 12.
ص (س) = & # 8211 ( فارك <2> <3> ) × 2
إجابه:
نلاحظ أن الرسمين البيانيين لهما نفس الرأس والمدى ومحور التناظر وكلاهما قطع مكافئ. الفرق الرئيسي هو أن الرسم البياني للدالة المعينة يفتح على نطاق أوسع من الرسم البياني لـ f (x) = x 2 وقد انعكس حول المحور x وتمدد رأسياً بواسطة عامل 2/3

في التدريبات من 13 إلى 16 ، استخدم حاسبة الرسوم البيانية لرسم الدالة بيانيًا. قارن الرسم البياني بالمنحنى البياني لـ y = −4x 2.
السؤال 13.
ص = 4x 2
إجابه:

السؤال 14.
ص = -0.4 س 2
إجابه:
نلاحظ أن الرسمين البيانيين لهما نفس المجال والمدى ومحور التناظر وكلاهما قطع مكافئ. الفرق الرئيسي هو أن الرسم البياني للدالة المعينة يفتح على نطاق أوسع من الرسم البياني لـ f (x) = x 2

السؤال 15.
ص = -0.04 × 2
إجابه:

السؤال 16.
ص = -0.004 س 2
إجابه:
نلاحظ أن الرسمين البيانيين لهما نفس المجال والمدى ومحور التناظر وكلاهما قطع مكافئ. الفرق الرئيسي هو أن الرسم البياني للدالة المعينة يفتح على نطاق أوسع من الرسم البياني لـ f (x) = -4x 2

السؤال 17.
تحليل الأخطاء
صف وصحح الخطأ في الرسم البياني والمقارنة بين y = x 2 و y = 0.5x 2.

إجابه:

السؤال 18.
النمذجة مع الرياضيات
يمكن تصميم دعامة القوس للجسر بواسطة y = -0.0012x 2 ، حيث يتم قياس x و y بالأقدام. أوجد ارتفاع وعرض القوس.

إجابه:
عرض القوس = 500 & # 8211 (-500)
= 1000 قدم
ارتفاع القوس = 0 & # 8211 (-300)
= 300 قدم

السؤال 19.
حل المشاكل
يمكن تشكيل قوة الانكسار z (بالجنيه) لحبل مانيلا بواسطة z = 8900d 2 ، حيث d هو قطر الحبل (بالبوصة).

أ. وصف المجال ونطاق الوظيفة.
ب. ارسم الدالة باستخدام المجال في الجزء (أ).
ج. حبل مانيلا له أربعة أضعاف قوة كسر حبل مانيلا آخر. هل الحبل الأقوى قطره أربعة أضعاف؟ يشرح.
إجابه:

السؤال 20.
كيف ترى ذلك؟
صف القيم المحتملة لـ.

إجابه:
أ. سيكون الرسم البياني لـ g (x) = ax² أضيق من الرسم البياني لـ f (x) = x² إذا كان a & gt 1
ب. سيكون الرسم البياني لـ g (x) = ax² أعرض من الرسم البياني لـ f (x) = x² إذا كان 0 & lt | a | & lt 1. لكننا نلاحظ أيضًا أن الرسم البياني قد انعكس حول المحور x وبالتالي يجب أن يكون a سالبًا. ثم نعرف أن -1 & lt a & lt 0.

الرسومات التحليلية في تمارين 21-23 ، استخدم الرسم البياني.

السؤال 21.
متى تزداد كل دالة؟
إجابه:

السؤال 22.
متى تتناقص كل دالة؟
الإجابة: تتناقص f عندما يتناقص g & lt 0. g عندما x & gt 0

السؤال 23.
ما الوظيفة التي يمكن أن تتضمن النقطة (-2 ، 3)؟ أوجد قيمة a عندما يمر الرسم البياني (-2 ، 3).
إجابه:

السؤال 24.
منطق
هل الجزء المقطوع من x في التمثيل البياني لـ y = x 2 هو 0 دائمًا؟ برر جوابك.
إجابه:
تقاطع x هو تقاطع الرسم البياني للدالة مع المحور x وبالتالي y = 0.
لذلك دعونا نستبدل y بـ 0 في الدالة المعينة
0 = فأس 2
0 = × 2
0 = س
ثم نلاحظ أن 0 هو تقاطع x الوحيد.

السؤال 25.
منطق
يفتح القطع المكافئ ويمر من خلال (-4 ، 2) و (6 ، -3). كيف تعرف أن (-4 ، 2) ليست قمة الرأس؟
إجابه:

التفكير المجرد في التدريبات 26-29 ، حدد ما إذا كانت العبارة صحيحة دائمًا ، أو أحيانًا ، أو غير صحيحة. اشرح أسبابك.
السؤال 26.
الرسم البياني لـ f (x) = x 2 أضيق من الرسم البياني لـ g (x) = x 2 عندما a & gt 0.
إجابه:
العبارة المعطاة صحيحة في بعض الأحيان ، لأن الرسم البياني f (x) = x 2 أضيق من الرسم البياني لـ g (x) = x 2 إذا كان a & gt 1 ، أعرض إذا a & lt 1 ومتساو بعرض a = 1.

السؤال 27.
الرسم البياني لـ f (x) = x 2 أضيق من الرسم البياني لـ g (x) = x 2 عندما | a | & GT 1.
إجابه:

السؤال 28.
الرسم البياني لـ f (x) = x 2 أعرض من الرسم البياني لـ g (x) = x 2 عندما يكون 0 & lt | a | & lt 1.
إجابه:
العبارة المعطاة صحيحة في بعض الأحيان ، لأن الرسم البياني f (x) = x 2 أضيق من الرسم البياني لـ g (x) = x 2 إذا a & gt 1 ، أعرض إذا -1 & lt a & lt 0 أو 0 & lt a & lt 1.

السؤال 29.
الرسم البياني لـ f (x) = x 2 أعرض من الرسم البياني لـ g (x) = dx 2 عندما | a | & gt | d | .
إجابه:

السؤال 30.
التفكير في إثبات
ارسم المثلث متساوي الساقين الموضح. قسّم كل ساق إلى ثمانية أجزاء متطابقة. قم بتوصيل أعلى نقطة في إحدى الساقين مع أدنى نقطة في الساق الأخرى. ثم قم بتوصيل ثاني أعلى نقطة في إحدى الساقين بثاني أدنى نقطة في الساق الأخرى. استمر في هذه العملية. اكتب معادلة تربيعية يمثل رسمها البياني الشكل الذي يظهر.

إجابه:
من الدالة الرئيسية y = x² ، يكون التحويل انعكاسًا حول المحور x ، لذا لدينا y = -ax²
لإيجاد a ، استبدل إما (-6، -4) أو (6، -4)
-4 = -a (6) ²
-4 = -36 أ
أ = 1/9
ص = -1 / 9 ײ

السؤال 31.
إبداء رأي
يُظهر الرسم البياني المقطع العرضي المكافئ لكوب ماء دوار ، حيث يتم قياس x و y بالسنتيمتر.

أ. حول ما هو عرض فم الزجاج؟
ب. يدعي صديقك أن سرعة دوران الماء يجب أن تزداد حتى يتم تشكيل المقطع العرضي بواسطة y = 0.1x 2. هل صديقك محق؟ اشرح أسبابك.
إجابه:

إتقان الرياضيات

احسب التعبير عندما n = 3 و x = −2.
السؤال 32.
ن 2 + 5
إجابه:
عدد 2 + 5 = 3 2 + 5
= 9 + 5
= 14

السؤال 33.
3x 2 & # 8211 9
إجابه:

السؤال 34.
-4 ن 2 + 11
إجابه:
-4 ن 2 + 11 = -4 (3) 2 + 11
= -4(9) + 11
= -36 + 11
= -25

السؤال 35.
ن + 2 س 2
إجابه:

الدرس 8.2 الرسم البياني f (x) = ax 2 + c

السؤال الجوهري كيف تؤثر قيمة c على الرسم البياني لـ f (x) = -ax 2 + c؟

الاستكشاف 1

رسم بياني y = ax 2 + c
العمل مع شريك. ارسم الرسوم البيانية للوظائف في نفس المستوى الإحداثي. ماذا تلاحظ؟

الاستكشاف 2

إيجاد تقاطعات x من الرسوم البيانية
العمل مع شريك. ارسم كل وظيفة بيانية. أوجد تقاطعات x للرسم البياني. اشرح كيف وجدت تقاطعات x.

قم بتوصيل إجابتك

السؤال 3.
كيف تؤثر قيمة c على الرسم البياني لـ f (x) = ax 2 + c؟
إجابه:

السؤال 4.
استخدم حاسبة بيانية للتحقق من إجاباتك على السؤال 3.

إجابه:

السؤال 5.
يوضح الشكل الرسم البياني للدالة التربيعية بالصيغة y = ax 2 + c. وصف القيم المحتملة لـ a و c. اشرح أسبابك.

إجابه:

رصد التقدم المحرز

ارسم الوظيفة. قارن الرسم البياني بالمنحنى البياني لـ f (x) = x 2.
السؤال رقم 1.
ز (س) = س 2 & # 8211 5
إجابه:

السؤال 2.
ح (س) = س 2 + 3
إجابه:

ارسم الوظيفة. قارن الرسم البياني بالمنحنى البياني لـ f (x) = x 2.
السؤال 3.
ز (س) = 2 س 2 & # 8211 5
إجابه:

السؤال 4.
ح (س) = & # 8211 ( فارك <1> <4> ) × 2 + 4
إجابه:

السؤال 5.
دع f (x) = 3x 2 & # 8211 1 و g (x) = f (x) + 3.
أ. صف التحول من التمثيل البياني لـ f إلى التمثيل البياني لـ g. ثم رسم بيانيًا لـ f و g في نفس مستوى الإحداثي.
ب. اكتب معادلة تمثل g بدلالة x.
إجابه:
ز (س) = و (س) + 3
ز (س) = (3 س 2 & # 8211 1) + 3
= 3 س 2 + 2

السؤال 6.
اشرح سبب استخدام القيم غير السالبة لـ t فقط في المثال 4.
إجابه:

السؤال 7.
ماذا إذا؟
يتم إسقاط البيضة من ارتفاع 100 قدم. بعد كم ثانية سقطت البيضة على الأرض؟
إجابه:
ح = 0 و t = 2.5 ثانية

رسم بياني f (x) = ax 2 + c 8.2 تمارين

المفردات والمفهوم الأساسي التحقق

السؤال رقم 1.
كلمات
حدد رأس ومحور التناظر في الرسم البياني لـ y = ax 2 + c.
إجابه:
الرسم البياني لـ y = ax 2 + c رأسه (0، c) ومحور تناظر x = 0

السؤال 2.
جاري الكتابة
كيف يقارن الرسم البياني لـ y = ax 2 + c بالرسم البياني لـ y = ax 2؟
إجابه:
ص = الفأس 2
ص = الفأس 2 + ج
الرسم البياني للدالة y = ax 2 + c هو الرسم البياني للدالة y = ax 2 مترجم لأعلى بوحدات c إذا كانت c & gt 0 وأسفل مع | c | الوحدات إذا c & lt 0

0 رصد التقدم والنمذجة باستخدام الرياضيات

في التدريبات 3-6 ، ارسم الدالة بيانيًا. قارن الرسم البياني بالمنحنى البياني لـ f (x) = x 2.
السؤال 3.
ز (س) = س 2 + 6
إجابه:

السؤال 4.
ح (س) = س 2 + 8
إجابه:
نلاحظ أن كلا الرسمين البيانيين عبارة عن قطع مكافئ ولهما نفس نطاق ومحور التناظر. يتمثل الاختلاف الرئيسي بين الرسمين البيانيين في أن الرسم البياني للدالة المعطاة هو الرسم البياني لـ f (x) = x 2 مترجم لأعلى بمقدار 8 وحدات.

السؤال 5.
ص (س) = س 2 & # 8211 3
إجابه:

السؤال 6.
ف (س) = س 2 & # 8211 1
إجابه:
نلاحظ أن كلا الرسمين البيانيين عبارة عن قطع مكافئ ولهما نفس نطاق ومحور التناظر. يتمثل الاختلاف الرئيسي بين الرسمين البيانيين في أن الرسم البياني للدالة المعينة هو الرسم البياني لـ f (x) = x 2 مترجم لأعلى بمقدار وحدة واحدة.

في التدريبات من 7 إلى 12 ، ارسم الدالة بيانيًا. قارن الرسم البياني بالمنحنى البياني لـ f (x) = x 2.
السؤال 7.
ز (س) = -x 2 + 3
إجابه:

السؤال 8.
ح (س) = -x 2 & # 8211 7
إجابه:
نلاحظ أن كلا الرسمين البيانيين عبارة عن قطع مكافئ ولهما نفس نطاق ومحور التناظر. يتمثل الاختلاف الرئيسي بين الرسمين البيانيين في أن الرسم البياني للدالة المعطاة هو الرسم البياني لـ f (x) = x 2 مترجماً لأسفل بمقدار 7 وحدات.

السؤال 9.
ق (س) = 2 س 2 & # 8211 4
إجابه:

السؤال 10.
ر (س) = -3 س 2 + 1
إجابه:
نلاحظ أن كلا الرسمين البيانيين عبارة عن قطع مكافئ ولهما نفس نطاق ومحور التناظر. يتمثل الاختلاف الرئيسي بين الرسمين البيانيين في أن الرسم البياني للدالة المعينة هو الرسم البياني لـ f (x) = x 2 مترجم لأعلى بمقدار وحدة واحدة.

السؤال 11.
ص (س) = & # 8211 ( فارك <1> <3> ) × 2 & # 8211 2
إجابه:

السؤال 12.
ف (س) = ( فارك <1> <2> ) × 2 + 6
إجابه:
نلاحظ أن كلا الرسمين البيانيين عبارة عن قطع مكافئ ولهما نفس نطاق ومحور التناظر. يتمثل الاختلاف الرئيسي بين الرسمين البيانيين في أن الرسم البياني للدالة المعطاة هو الرسم البياني لـ f (x) = x 2 مترجم لأعلى بمقدار 6 وحدات.

في التدريبات من 13 إلى 16 ، قم بوصف التحول من التمثيل البياني لـ f إلى التمثيل البياني لـ g. ثم رسم بيانيًا لـ f و g في نفس مستوى الإحداثي. اكتب معادلة تمثل g بدلالة x.
السؤال 13.
و (س) = 3 س 2 + 4
ز (س) = و (س) + 2
إجابه:

السؤال 14.
و (س) = ( فارك <1> <2> ) × 2 + 1
ز (س) = و (س) & # 8211 4
إجابه:
نلاحظ أن الدالة g هي الدالة f التي انخفضت بمقدار 4 ، وبالتالي سيتم ترجمة رسمها البياني لأسفل بمقدار 4 وحدات.

السؤال 15.
و (س) = & # 8211 ( فارك <1> <4> ) × 2 & # 8211 6
ز (س) = و (س) & # 8211 3
إجابه:

السؤال 16.
و (س) = 4x 2 & # 8211 5
ز (س) = و (س) + 7
إجابه:
نلاحظ أن الدالة g هي الدالة f التي زادت بمقدار 7 ، وبالتالي سيتم ترجمة رسمها البياني بمقدار 7 وحدات.

السؤال 17.
تحليل الأخطاء
وصف وتصحيح الخطأ في مقارنة الرسوم البيانية.

إجابه:

السؤال 18.
تحليل الأخطاء
وصف وتصحيح الخطأ في الرسم البياني ومقارنة f (x) = x 2 و g (x) = x 2 & # 8211 10.

إجابه:
الخطأ هو أن الرسم البياني g (x) = x 2 & # 8211 10 هو التمثيل البياني لـ f (x) = x 2 مترجماً لأسفل بمقدار 10 وحدات بدلاً من أعلى.

في تمارين 19-26 ، أوجد أصفار الدالة.
السؤال 19.
ص = س 2 & # 8211 1
إجابه:

السؤال 20.
ص = س 2 & # 8211 36
إجابه:
ص = س 2 & # 8211 36
× 2 & # 8211 36 = 0
× 2 = 36
س = ± 6

السؤال 21.
و (س) = -x 2 + 25
إجابه:

السؤال 22.
و (س) = -x 2 + 49
إجابه:
و (س) = -x 2 + 49
-x 2 + 49 = 0
-س 2 = -49
س = ± 7

السؤال 23.
f (x) = 4x 2 & # 821116
إجابه:

السؤال 24.
و (س) = 3 س 2 & # 8211 27
إجابه:
و (س) = 3 س 2 & # 8211 27
3 × 2 & # 8211 27 = 0
3 × 2 = 27
× 2 = 9
س = ± 3

السؤال 25.
و (س) = -12 س 2 + 3
إجابه:

السؤال 26.
و (س) = -8 س 2 + 98
إجابه:
و (س) = -8 س 2 + 98
-8 س 2 + 98 = 0
-8 س 2 = -98
س = ± 7/2

السؤال 27.
النمذجة مع / الرياضيات
يتم إسقاط بالون مائي من ارتفاع 144 قدمًا.
أ. بعد كم ثانية يصطدم بالون الماء بالأرض؟
ب. افترض أن الارتفاع الأولي تم ضبطه بواسطة k قدم. كيف يؤثر ذلك على الجزء (أ)؟
إجابه:

السؤال 28.
النمذجة مع الرياضيات
تمثل الدالة y = -16x 2 + 36 ارتفاع التفاحة y (بالأقدام) x ثانية بعد سقوطها من الشجرة. أوجد وتفسير تقاطع x و y.
إجابه:
ص = -16 س 2 + 36
-16 × 2 + 36 = 0
× 2 = 36/16
س = ± √9 / 4
س = ± 3/2 = ± 1.5
إذن ، تقاطعات x هي (-1.5 ، 0) و (1.5 ، 0)
x = -1.5 لا معنى له في سياق المشكلة
س = 1.5 يمثل 1.5 ثانية ، الوقت الذي ستصل فيه التفاحة إلى الأرض.
لإيجاد مجموعة تقاطع y x = 0 وحل من أجل y:
ص = -16 (0) + 36
ص = 36
تقاطع y هو (0 ، 36)
ص = 36 يمثل 36 قدمًا ، الارتفاع الأولي الذي أسقطته التفاحة.

في التدريبات 29-32 ، ارسم القطع المكافئ بالخصائص المحددة.

السؤال 29.
يفتح القطع المكافئ ، والرأس هو (0 ، 3).
إجابه:

السؤال 30.
الرأس هو (0، 4) وواحد من تقاطع x هو 2.
إجابه:

السؤال 31.
تتزايد الوظيفة ذات الصلة عندما تكون x & lt 0 ، وتكون الأصفار -1 و 1.
إجابه:

السؤال 32.
أعلى نقطة على القطع المكافئ هي (0 ، -5).
إجابه:

السؤال 33.
استخلاص النتائج
أنت وصديقك تسقطان كرة في نفس الوقت. تمثل الوظيفة h (x) = -16x 2 + 256 ارتفاع الكرة (بالأقدام) بعد x ثانية. تمثل الوظيفة g (x) = -16x 2 + 300 ارتفاع كرة صديقك (بالقدم) بعد x ثانية.
أ. اكتب الدالة T (x) = h (x) & # 8211 g (x). ماذا يمثل T (x)؟
ب. عندما تصطدم كرتك بالأرض ، ما ارتفاع كرة صديقك؟ استخدم الرسم البياني لتبرير إجابتك.
إجابه:

السؤال 34.
إبداء رأي
يدعي صديقك أنه في المعادلة y = ax 2 + c ، يتغير الرأس عندما تتغير قيمة a. هل صديقك محق؟ اشرح أسبابك.
إجابه:
لا ، تحدد a فقط مدى ضيق الوظيفة وما إذا كانت تنعكس حول المحور x (إذا كانت a & lt 0). إذا تغيرت c ، فإن الرأس سيتغير أيضًا.

السؤال 35.
الروابط الرياضية
يتم تمثيل المساحة أ (بالقدم المربع) للفناء المربع بـ A = x 2 ، حيث x هو طول جانب واحد من الفناء. أضف 48 قدمًا مربعًا إلى الفناء ، مما ينتج عنه مساحة إجمالية قدرها 192 قدمًا مربعًا. ما هي أبعاد الفناء الأصلي؟ استخدم الرسم البياني لتبرير إجابتك.
إجابه:

السؤال 36.
كيف ترى ذلك؟
يظهر الرسم البياني لـ f (x) = ax 2 + c. النقطتان A و B هما نفس المسافة من رأس التمثيل البياني لـ f. أي نقطة أقرب إلى رأس التمثيل البياني لـ f كلما زاد c؟

إجابه:
مع زيادة c ، سيتم ترجمة الرسم البياني لأعلى ، وبالتالي سيقترب الرأس من النقطة العليا A.

السؤال 37.
منطق
صِف طريقتين جبريتين يمكنك استخدامهما لإيجاد أصفار الدالة f (t) = -16t 2 + 400. تحقق من إجابتك بالرسم البياني.
إجابه:

السؤال 38.
حل المشاكل
ممرات المياه من ثلاث شلالات حديقة مختلفة موضحة أدناه. تعطي كل دالة الارتفاع h (بالأقدام) والمسافة الأفقية d (بالأقدام) من الماء.

الشلال 1 ساعة = -3.1d 2 + 4.8
الشلال 2 ساعة = -3.5d 2 + 1.9
الشلال 3 ساعات = -1.1d 2 + 1.6
أ. أي شلال يسقط الماء من أعلى نقطة؟
الجواب: يمثل الحد الثابت الارتفاع الأولي لذلك من الشلالات الثلاثة يسقط 1 الماء من أعلى نقطة.
ب. أي شلال يتبع أضيق مسار؟
الإجابة: يتبع الشلال 3 أضيق مسار
ج. أي شلال يرسل الماء إلى أبعد مسافة؟
الجواب: الشلال 1 يرسل الماء إلى أبعد مسافة.

السؤال 39.
كتابة المعادلات
سقط اثنان من الجوز على الأرض من شجرة البلوط. أحدهما يسقط 45 قدمًا والآخر يسقط 32 قدمًا.
أ. لكل بلوط ، اكتب معادلة تمثل الارتفاع h (بالأقدام) كدالة للوقت t (بالثواني).
ب. صف كيف ترتبط الرسوم البيانية للمعادلتين.
إجابه:

السؤال 40.
التفكير في إثبات
إحدى مشكلتين تقليديتين في التفاضل والتكامل هي إيجاد المساحة الواقعة أسفل المنحنى. تقريب مساحة المنطقة التي يحدها القطع المكافئ والمحور السيني. اظهر عملك.

إجابه:
تتمثل إحدى طرق تقريب المنطقة في إعادة رسم القطع المكافئ في رسم بياني بشبكات ثم عد عدد المربعات. لاحظ أن الرسم البياني به معادلة y = -x² + 4 بسبب الانعكاس في المحور x والترجمة الرأسية.
في هذه الحالة ، تكون مساحة كل مربع 1 وحدة مربعة ، وبالتالي فإن المساحة تساوي 11 وحدة مربعة تقريبًا.

السؤال 41.
التفكير النقدي
يمكن نمذجة مقطع عرضي للسطح المكافئ للهوائي الموضح بواسطة y = 0.012x 2 ، حيث يتم قياس x و y بالأقدام. يتم تحريك الهوائي لأعلى بحيث تكون الحواف الخارجية للطبق أعلى بمقدار 25 قدمًا من المحور السيني. أين يقع رأس المقطع العرضي؟ يشرح.

إجابه:

إتقان الرياضيات

السؤال 43.
& # 8211 ( frac<2>>
إجابه:

السؤال 45.
& # 8211 ( frac)
إجابه:

الدرس 8.3 الرسم البياني f (x) = ax 2 + bx + c

السؤال الجوهري كيف يمكنك إيجاد رأس التمثيل البياني لـ f (x) = ax 2 + bx + c؟

الاستكشاف 1

مقارنة x-Intercepts مع Vertex
العمل مع شريك.
أ. ارسم الرسوم البيانية لـ y = 2x 2 & # 8211 8x و y = 2x 2 & # 8211 8x + 6.
ب. ما الذي تلاحظه بشأن الإحداثي x لرأس كل رسم بياني؟
ج. استخدم الرسم البياني لـ y = 2x 2 & # 8211 8x لإيجاد تقاطع x الخاص بها. تحقق من إجابتك عن طريق حل 0 = 2x 2 & # 8211 8x.
د. قارن قيمة الإحداثي x للرأس مع قيم تقاطع x.

الاستكشاف 2

البحث عن x-Intercepts
العمل مع شريك.
أ. حل 0 = ax 2 + bx من أجل x بالتحليل إلى عوامل.
ب. ما هي تقاطعات x لتمثيل التمثيل البياني لـ y = ax 2 + bx؟
ج. انسخ الجدول وأكمله للتحقق من إجابتك.

الاستكشاف 3

المنطق الاستنتاجي
العمل مع شريك. أكمل الحجة المنطقية التالية.

قم بتوصيل إجابتك

السؤال 4.
كيف يمكنك إيجاد رأس التمثيل البياني لـ f (x) = ax 2 + bx + c؟
إجابه:

السؤال 5.
بدون رسم بياني ، أوجد رأس الرسم البياني لـ f (x) = x 2 & # 8211 4x + 3. تحقق من النتيجة عن طريق التمثيل البياني.
إجابه:

رصد التقدم المحرز

أوجد (أ) محور التناظر و (ب) رأس الرسم البياني للوظيفة.
السؤال رقم 1.
و (س) = 3 س 2 & # 8211 2 س
إجابه:

السؤال 2.
ز (س) = س 2 + 6 س + 5
إجابه:

السؤال 3.
ح (س) = & # 8211 ( فارك <1> <2> ) س 2 + 7 س & # 8211 4
إجابه:

ارسم الوظيفة. وصف المجال والنطاق.
السؤال 4.
ح (س) = 2 س 2 + 4x + 1
إجابه:

السؤال 5.
ك (س) = س 2 & # 8211 8 س + 7
إجابه:

السؤال 6.
ص (س) = -5 س 2 & # 8211 10x & # 8211 2
إجابه:

أخبر ما إذا كانت الوظيفة لها قيمة دنيا أو قيمة قصوى. ثم ابحث عن القيمة.
السؤال 7.
ز (س) = 8 س 2 & # 8211 8 س + 6
إجابه:
ارسم الدالة أعلاه ورسم بيانيًا y = x 2
ز (س) = 8 س 2 & # 8211 8 س + 6
س = -ب / 2 أ
س = 8/2 (8) = 1/2 = 0.5
عوّض بـ 0.5 عن x لتحصل على 4 لـ y
رأسك هو 0.5، 4
محور معادلة التناظر هو x & # 8211 0.5

السؤال 8.
ح (س) = & # 8211 ( فارك <1> <4> ) س 2 + 3 س + 1
الجواب: الحد الأقصى للقيمة 10

السؤال 9.
تشكل الكابلات بين برجي Tacoma Narrows Bridge في واشنطن قطعًا مكافئًا يمكن تشكيله بواسطة y = 0.00016x 2 & # 8211 0.46x + 507 ، حيث يتم قياس x و y بالأقدام. ما ارتفاع الكبل فوق الماء عند أدنى نقطة له؟
إجابه:
معطى،
تشكل الكابلات بين برجي Tacoma Narrows Bridge في واشنطن قطعًا مكافئًا يمكن تشكيله بواسطة y = 0.00016x 2 & # 8211 0.46x + 507 ، حيث يتم قياس x و y بالأقدام.
س = -ب / 2 أ
= -(-0.37)/2(0.000098) = 1888
الآن عوض عن x ب 1888 لإيجاد إحداثي y للرأس.
ص = 0.00016 (1888) 2 & # 8211 0.46 (1888) + 507 = 203
يبلغ ارتفاع الكابل حوالي 203 أقدام فوق الماء عند نقطته السفلية.

السؤال 10.
أي بالون في الهواء أطول؟ اشرح أسبابك.
إجابه:

السؤال 11.
أي بالون يصل إلى أقصى ارتفاع له بشكل أسرع؟ اشرح أسبابك.
إجابه:

رسم بياني f (x) = ax 2 + bx + c 8.3 تمارين

المفردات والمفهوم الأساسي التحقق

السؤال رقم 1.
كلمات
اشرح كيف يمكنك معرفة ما إذا كانت الدالة التربيعية لها قيمة قصوى أو قيمة دنيا دون رسم الدالة بيانيًا.
إجابه:
تكون معادلة الدالة التربيعية على شكل ax2 + bx + c ، وإذا كانت a & lt 0 ، فستكون للدالة قيمة قصوى إذا كانت a & gt 0 ، فستكون للدالة قيمة دنيا.

السؤال 2.
كلمات مختلفة ، نفس السؤال
ضع في اعتبارك الدالة التربيعية f (x) = -2x 2 + 8x + 24. أيهما يختلف؟ ابحث عن "كلا" الإجابتين.

إجابه:
و (س) = -2 س 2 + 8 س + 24
أ = -2 و ب = 8
محور التناظر عند x = -b / 2a
س = -8/2 (-2)
س = 2
تطلب المعادلة الأخرى قيمة y للرأس. نظرًا لأن الرأس يقع عند محور التناظر ، فيمكننا إيجاد إحداثي y بالتعويض عن x = 2
ص = -2 (2) 2 + 8 (2) + 24
ص = 32

مراقبة التقدم والنمذجة بالرياضيات

في التمرينات 3-6 ، أوجد الرأس ومحور التناظر والجزء المقطوع من المحور y في الرسم البياني.
السؤال 3.

إجابه:
الرأس هو (2، -1). محور التناظر هو x = 2.
الجزء المقطوع من المحور y للرسم البياني هو 1.

السؤال 4.

إجابه:
الرأس هو (-3، 2). محور التناظر هو x = -3.
تقاطع y للرسم البياني يساوي -1.

السؤال 5.

إجابه:
الرأس هو (-2، 0). محور التناظر هو x = -2.
الجزء المقطوع من المحور y للرسم البياني يساوي -3.

السؤال 6.

إجابه:
الرأس هو (-1 ، 1). محور التناظر هو x = -1.
الجزء المقطوع من المحور y في الرسم البياني هو 5.

في التدريبات من 7 إلى 12 ، أوجد (أ) محور التناظر و (ب) رأس الرسم البياني للدالة.
السؤال 7.
f (x) = 2x 2 & # 8211 4x
إجابه:

السؤال 8.
ص = 3 س 2 + 2 س
إجابه:
ص = 3 س 2 + 2 س
محور التناظر عندما يكون a = 3 و b = 2
س = -ب / 2 أ
س = -1/3
محور التناظر هو -1/3
الآن استخدم الدالة لإيجاد إحداثي y للرأس
ص = 3 س 2 + 2 س
ص = 3 (-1/3) 2 + 2 (-1/3)
ص = -1/3
وبالتالي يكون الرأس (-1/3 ، -1/3)

السؤال 9.
y = -9x 2 & # 8211 18x & # 8211 1
إجابه:

السؤال 10.
f (x) = -6x 2 + 24x & # 8211 20
إجابه:
معطى،
f (x) = -6x 2 + 24x & # 8211 20
أ = -6 و ب = 24
س = -ب / 2 أ
= -24/2(-6) = 2
محور التناظر هو x = 2 ، لذا فإن الإحداثي x للرأس هو 2.
استخدم الدالة لإيجاد إحداثي y للرأس.
f (x) = -6x 2 + 24x & # 8211 20
= -6(2) 2 + 24(2) – 20
= -24 + 48 – 20
= 4
الرأس هو (2 ، 4)

السؤال 11.
و (س) = ( فارك <2> <5> ) × 2 & # 8211 4x + 14
إجابه:

السؤال 12.
y = & # 8211 ( frac <3> <4> ) x 2 + 9x & # 8211 18
إجابه:
y = & # 8211 ( frac <3> <4> ) x 2 + 9x & # 8211 18
أ = & # 8211 ( فارك <3> <4> ) وب = 9
س = -ب / 2 أ
استبدل & # 8211 ( frac <3> <4> ) بـ a و 9 لـ b
س = & # 8211 9/2 (- ( فارك <3> <4> ))
س = 6
وبالتالي فإن محور التناظر هو x = 6
ص = & # 8211 ( فارك <3> <4> ) (6) 2 + 9 (6) & # 8211 18 = 9
الرأس (6، 9)

في التدريبات من 13 إلى 18 ، ارسم الدالة بيانيًا. وصف المجال والنطاق.
السؤال 13.
و (س) = 2 س 2 + 12 س + 4
إجابه:

السؤال 14.
ص = 4x 2 + 24x + 13
إجابه:
أ = 4 و ب = 24
س = -ب / 2 أ
س = & # 8211 24/2 (4) = -3
محور التناظر هو x = -3.
إحداثي y للرأس هو y (-3)
ص (-3) = 4 (-3) 2 + 24 (-3) + 13
= 36 – 72 + 13
= -23
الرأس هو (-3، -23)
إيجاد نقطتين إضافيتين على الرسم البياني باستخدام تقاطع y
تقاطع y هو c = 13.
وهكذا يمر القطع المكافئ من خلال (0 ، 13).
باستخدام حقيقة أن محور التناظر هو x = -3 ، يمر القطع المكافئ (-6 ، 13)

السؤال 15.
ص = -8 س 2 & # 8211 16 س & # 8211 9
إجابه:

السؤال 16.
و (س) = -5 س 2 + 20 س & # 8211 7
إجابه:
يحتوي المجال على جميع قيم x الممكنة التي يمكن أن تأخذها الوظيفة ، وبالتالي في هذه الحالة يكون المجال هو جميع القيم الحقيقية R.
يحتوي النطاق على جميع قيم y المحتملة التي يمكن أن تتخذها الوظيفة ونلاحظ في هذه الحالة أن الدالة تأخذ فقط قيمًا أقل أو تساوي 13.

السؤال 17.
y = ( frac <2> <3> ) x 2 & # 8211 6x + 5
إجابه:

السؤال 18.
و (س) = & # 8211 ( فارك <1> <2> ) س 2 & # 8211 3 س & # 8211 4
إجابه:
يحتوي المجال على جميع قيم x الممكنة التي يمكن أن تأخذها الوظيفة ، وبالتالي في هذه الحالة يكون المجال هو جميع القيم الحقيقية R.
يحتوي النطاق على جميع قيم y المحتملة التي يمكن أن تتخذها الوظيفة ونلاحظ في هذه الحالة أن الدالة تأخذ فقط قيمًا أقل أو تساوي 0.5
.

السؤال 19.
تحليل الأخطاء
صف وصحح الخطأ في إيجاد محور تناظر التمثيل البياني لـ y = 3x 2 & # 8211 12x + 11.

إجابه:

السؤال 20.
تحليل الأخطاء
صف وصحح الخطأ في رسم الدالة f (x) = -x 2 + 4x + 3.

إجابه:
صيغة محور التناظر غير صحيحة.
يجب أن تكون الصيغة -b / 2a
نتيجة لذلك ، الحل بأكمله غير صحيح.
محور التناظر هو
س = -ب / 2 أ
= – 4/2(1) = -2
و (-2) = (-2) 2 + 4 (-2) + 3 = -1
إذن ، الرأس هو (-2 ، -1)
تقاطع y هو 3.
إذن ، النقاط (0 ، 3) و (-4 ، 3) تقع على الرسم البياني.

في التدريبات 21-26 ، حدد ما إذا كانت الوظيفة لها قيمة دنيا أم قيمة قصوى. ثم ابحث عن القيمة.
السؤال 21.
ص = 3 س 2 & # 8211 18 س + 15
إجابه:

السؤال 22.
و (س) = -5 س 2 + 10x + 7
إجابه:
بما أن المعامل الرئيسي سالب ، فإن للدالة قيمة قصوى.
و (س) = -5 س 2 + 10x + 7
محاور التماثل:
س = -10 / -10 = 1
و (س) = -5 (1) 2 + 10 (1) + 7
= 12
القيمة القصوى هي 12.

السؤال 23.
f (x) = -4x 2 + 4x & # 8211 2
إجابه:

السؤال 24.
ص = 2 س 2 & # 8211 10 × + 13
إجابه:
بما أن المعامل الرئيسي موجب ، فإن الدالة لها قيمة دنيا.
ص = 2 س 2 & # 8211 10 × + 13
محور التناظر هو x = 5/2
ص = 2 (5/2) 2 & # 8211 10 (5/2) + 13 = 1/2
أدنى قيمة: 1/2

السؤال 25.
y = & # 8211 ( frac <1> <2> ) x 2 & # 8211 11x + 6
إجابه:

السؤال 26.
و (س) = ( فارك <1> <5> ) س 2 & # 8211 5 س + 27
إجابه:
و (س) = ( فارك <1> <5> ) س 2 & # 8211 5 س + 27
منذ a & gt0 ، يوجد أدنى قيمة للدالة.
يتم الوصول إلى الحد الأدنى للقيمة عند قمة القطع المكافئ.
س = & # 8211 ( frac<2>>
س = ( فارك <25> <2> )
y0 = f ( ( frac <25> <2> ))
= ( فارك <1> <5> ) ( ( فارك <25> <2> )) 2 & # 8211 5 ( ( فارك <25> <2> )) + 27
= -4.25
الحد الأدنى للقيمة هو -4.25

السؤال 27.
النمذجة مع الرياضيات
تمثل الوظيفة الموضحة ارتفاع الألعاب النارية h (بالقدم) بعد مرور t ثوانٍ على إطلاقها. تنفجر الألعاب النارية في أعلى نقطة لها.

أ. متى تنفجر الألعاب النارية؟
ب. في أي ارتفاع تنفجر الألعاب النارية؟
إجابه:

السؤال 28.
النمذجة مع الرياضيات
تمثل الوظيفة h (t) = -16t 2 + 16t الارتفاع (بالقدم) للحصان بعد ثوانٍ من قفزه أثناء موانع الانحدار.
أ. متى يصل الحصان إلى أقصى ارتفاع له؟
ب. هل يستطيع الحصان تنظيف السياج الذي يبلغ ارتفاعه 3.5 قدم؟ إذا كان الأمر كذلك، كم؟
ج. ما هي مدة بقاء الحصان في الهواء؟
إجابه:
أ. ح (ر) = -16 طن 2 + 16 طن
t0 = & # 8211 ( فارك <16> <2 (-16)> )
= 1/2
يصل الحصان إلى أقصى ارتفاع له عند t = 0.5s

ب.
y0 = ح (1/2)
= -16(1/2) 2 + 16(1/2)
= -4 + 8
= 4
نظرًا لأن القيمة القصوى هي 4 أقدام ، فسيتم مسح السياج بمقدار 0.5 قدم.
ج.
دع t1 يكون الوقت الذي يضرب فيه الحصان الأرض.
ثم h (t1) = 0 و t1 & gt 0
ح (t1) = 0
-16 طن 1 2 + 16 طن 1 = 0
-16 طن (t1 & # 8211 1) = 0
t1 = 0 أو 1
منذ t1 & gt 0 ، لدينا
t1 = 1s

السؤال 29.
النمذجة مع الرياضيات
يمكن نمذجة الكبل بين برجين من الجسر المعلق من خلال الوظيفة الموضحة ، حيث يتم قياس x و y بالأقدام. يقع الكابل على مستوى الطريق في منتصف الطريق بين الأبراج.

أ. كم تبعد أدنى نقطة في الكابل عن كل برج؟
ب. ما هو ارتفاع الطريق فوق الماء؟
ج. وصف المجال ونطاق الوظيفة المعروضة.
إجابه:

السؤال 30.
منطق
أوجد محور التناظر في الرسم البياني للمعادلة y = ax 2 + bx + c عندما تكون b = 0. هل يمكنك إيجاد محور التناظر عندما يكون a = 0؟ يشرح.
إجابه:
س = & # 8211 ( frac<2>>
عندما ب = 0
س = 0
عندما أ = 0
x = غير معرف بسبب القسمة على 0.
في الواقع ، لا يوجد محور تناظر لأن المعادلة ستصبح خطية.
ص = ب س + ج

السؤال 31.
الاهتمام بالدقة
رأس القطع المكافئ هو (3 ، -1). نقطة واحدة على القطع المكافئ هي (6 ، 8). ابحث عن نقطة أخرى على القطع المكافئ. برر جوابك.
إجابه:

السؤال 32.
إبداء رأي
يدعي صديقك أنه من الممكن رسم القطع المكافئ من خلال أي نقطتين بإحداثيات x مختلفة. هل صديقك محق؟ يشرح.
إجابه:
و (س) = فأس 2 + ب س + ج
يعطي القطع المكافئ الذي يمر عبر نقطتين معادلتين خطيتين مع 3 متغيرات يجب تحقيقها.
لنفترض أن (x0، y0) و (x1، y1) هما نقطتان يمر عبرهما القطع المكافئ.
ax0 2 + bx0 + c = y0 & # 8211 ج
ax1 2 + b1 + c = y1 & # 8211 ج
وبالتالي سيكون هناك عدد لا نهائي من القطع المكافئة التي تمر عبر النقطتين.

استخدام الأدوات في التدريبات 33-36 ، استخدم الحد الأدنى أو الحد الأقصى لميزة الآلة الحاسبة للرسم البياني لتقريب رأس الرسم البياني للدالة.
السؤال 33.
y = 0.5x 2 + ( sqrt <2x> ) x & # 8211 3
إجابه:

السؤال 34.
ص = -6.2 س 2 + 4.8 س & # 8211 1
إجابه:
ص = -6.2 س 2 + 4.8 س & # 8211 1
تعطي الميزة القصوى قمة الرأس كـ (0.387 ، -0.071)

السؤال 35.
ص = -x 2 + 3 س
إجابه:

السؤال 36.
ص = 0.25 س 2 & # 8211 5 2/3 س + 2
إجابه:

السؤال 37.
النمذجة مع الرياضيات
افتتاح حظيرة طائرات واحدة عبارة عن قوس مكافئ يمكن نمذجته بواسطة المعادلة y = -0.006x 2 + 1.5x ، حيث يتم قياس x و y بالأقدام. يظهر في الرسم البياني افتتاح حظيرة طائرات ثانية.

أ. أي حظيرة الطائرات أطول؟
ب. أي حظيرة طائرات أوسع؟
إجابه:

السؤال 38.
النمذجة مع الرياضيات
يبيع متجر مستلزمات المكاتب حوالي 80 آلة حاسبة للرسم البياني شهريًا مقابل 120 دولارًا لكل منها. مقابل كل انخفاض في السعر بمقدار 6 دولارات ، يتوقع المتجر بيع ثماني آلات حاسبة أخرى. يتم إعطاء الإيرادات من مبيعات الآلة الحاسبة من خلال الدالة R (n) = (سعر الوحدة) (الوحدات المباعة) ، أو R (n) = (120 & # 8211 6n) (80 + 8n) ، حيث n هو رقم 6 دولارات انخفاض الأسعار.

أ. ما المبلغ الذي يجب أن يتقاضاه المتجر لزيادة الإيرادات الشهرية؟
إجابه:
يمثل (120 & # 8211 6n) سعر الوحدة ، لذلك نحتاج إلى إيجاد قيمة n حيث R ، وهو الحد الأقصى الذي يقع عند الرأس.
R (ن) = (120 & # 8211 6 ن) (80 + 8 ن)
R (n) = -48n² + 480n + 9600
س = -ب / 2 أ
أ = -48 و ب = 480
ن = & # 8211480/2 (-48) = 5
R (n) = (120 & # 8211 6 (5)) (80 + 8 (5)) = 10800
الرأس عند (5 ، 10800)
ع = 120 & # 8211 6 (5)
ع = 120 & # 8211 30 = 90

ب. باستخدام نموذج إيرادات مختلف ، يتوقع المتجر بيع خمس آلات حاسبة إضافية مقابل كل انخفاض قدره 4 دولارات في السعر. ما هو نموذج الإيرادات الذي يؤدي إلى زيادة الحد الأقصى للإيرادات الشهرية؟ يشرح.
إجابه:
R (ن) = (120 & # 8211 4 ن) (80 + 5 ن)
R (n) = -20n² + 280n + 9600
ن = -ب / 2 أ
أ = -20 و ب = 280
ن = & # 8211 280/2 (-20) = 7
R (n) = (120 & # 8211 4 (7)) (80 + 5 (7)) = 10580
الرأس عند (7، 10580)
هذا يعني أن الحد الأقصى للإيرادات هو 10580 دولارًا أمريكيًا وهو أقل من العائد الأصلي البالغ 10800 دولار أمريكي.
لذلك ، ينتج عن الإيرادات الأصلية حد أقصى للإيرادات الشهرية.

الروابط الرياضية في التمرينين 39 و 40 ، (أ) أوجد قيمة x التي تزيد مساحة الشكل إلى الحد الأقصى و (ب) أوجد المساحة القصوى.
السؤال 39.

إجابه:

السؤال 40

إجابه:
مساحة شبه المنحرف = ( فارك <1> <2> ) (ب 1 + ب 2) ح
أ = ( فارك <1> <2> ) (12 & # 8211 4x + 12) (س + 2)
أ = ( فارك <1> <2> ) (24 & # 8211 4x) (س + 2)
أ = ( فارك <1> <2> ) (- 4x² + 16x + 48)
أ = -2 س² + 8 س + 24
تحدث المنطقة القصوى عند الرأس والإحداثي x الذي يعطي هذا هو x = & # 8211 ( frac<2>>
أ = -2 ، ب = 8
س = & # 8211 ( فارك <8> <2 (-2)> )
س = 2
أ = -2 (2) ² + 8 (2) + 24
أ = 32 قدمًا مربعة

السؤال 41.
جاري الكتابة
قارن الرسم البياني ل g (x) = x 2 + 4x + 1 بالرسم البياني ل h (x) = x 2 & # 8211 4x + 1.
إجابه:

السؤال 42.
كيف ترى ذلك؟
خلال منافسة الرماية ، يقوم رامي السهام برمي سهم. يتبع السهم المسار المكافئ الموضح ، حيث يتم قياس x و y بالأمتار.

أ. ما هو الارتفاع الأولي للسهم؟

إجابه:
الارتفاع الأولي هو تقاطع y وهو y = 1.5
ب. تقدير الارتفاع الأقصى للسهم.
الجواب: حوالي 1.6 متر
ج. إلى أي مدى يقطع السهم؟
إجابه:
أوجد إحداثي x حيث y = 0 الذي يقع عند x = 90
س = 90 مترا

السؤال 43.
استخدام الأدوات
يمر الرسم البياني للدالة التربيعية عبر (3 ، 2) ، (4 ، 7) ، (9 ، 2). هل يفتح الرسم البياني لأعلى أم لأسفل؟ اشرح أسبابك.
إجابه:

السؤال 44.
منطق
بالنسبة للدالة التربيعية f ، ماذا تعني f (- ( frac<2>>)) تمثل؟ اشرح أسبابك.
إجابه:
منذ x = & # 8211 ( frac<2a> ) يمثل الإحداثي x للرأس ، و f (- ( frac<2a> )) هو حرف y من الرأس.

السؤال 45.
حل المشاكل
اكتب دالة بالصيغة y = ax 2 + bx يحتوي رسمها البياني على النقاط (1، 6) و (3، 6).
إجابه:

السؤال 46.
التفكير النقدي
القطع المكافئ A و B يحتويان على النقاط الموضحة. حدد خصائص كل قطع مكافئ ، إن أمكن. اشرح أسبابك.

إجابه:
قد ينفتح Parabola A لأعلى أو لأسفل كما هو موضح لأنه لا يوجد سوى نقطتين.

يمكن أن ينفتح Parabola B فقط ويكون الرأس عند (3 ، -4) بسبب التناظر:

السؤال 47.
النمذجة مع الرياضيات
في لعبة كرة السلة ، يطلق مدفع جوي قمصان تي شيرت على الحشد. تمثل الوظيفة y = & # 8211 ( frac <1> <8> ) x 2 + 4x مسار القميص. تمثل الوظيفة 3y = 2x & # 8211 14 ارتفاع المبيضات. في كلتا الدالتين ، يمثل y الارتفاع الرأسي (بالأقدام) ويمثل x المسافة الأفقية (بالأقدام). في أي ارتفاع يهبط القميص في المدرجات؟
إجابه:

السؤال 48.
التفكير في إثبات
إحدى مشكلتين تقليديتين في التفاضل والتكامل هي إيجاد ميل خط مماس لمنحنى. يظهر مثال على خط المماس ، الذي يلامس القطع المكافئ عند نقطة واحدة فقط.

قرب ميل خط المماس للرسم البياني لـ y = x 2 عند النقطة (1 ، 1). اشرح أسبابك.
إجابه:
باستخدام خطوط الشبكة كدليل ، يمكننا إيجاد نقطة محددة عن طريق الانتقال بمقدار وحدة واحدة لأعلى ووحدة واحدة إلى اليمين مما يعني أن الميل هو م = الارتفاع / الجري = 1
م = 1

السؤال 49.
حل المشاكل
يرغب أصحاب مأوى للكلاب في إحاطة منطقة لعب مستطيلة بجانب المبنى. لديهم k قدم من المبارزة. ما هي أقصى مساحة للحاوية الخارجية من حيث k؟ (تلميح: أوجد إحداثي y لرأس الرسم البياني لوظيفة المنطقة.)

إجابه:

إتقان الرياضيات

صِف التحويل (التحولات) من الرسم البياني لـ f (x) = | x | على الرسم البياني للدالة المعينة.
السؤال 50.
ف (س) = | س + 6 |
إجابه:
تم إزاحة الرسم البياني إلى اليسار بمقدار 6.

السؤال 51.
ح (س) = -0.5 | س |
إجابه:

السؤال 52.
ز (س) = | x & # 8211 2 | + 5
إجابه:
تم إزاحة الرسم البياني إلى اليمين بمقدار 2 ولأعلى بمقدار 5.

السؤال 53.
ص (س) = 3 | س + 1 |
إجابه:

الرسم البياني للوظائف التربيعية مهارات الدراسة: التعلم بصريًا

8.1–8.3 ماذا تعلمت؟

المفردات الأساسية

المفاهيم الأساسية
البند 8.1
خصائص الوظائف التربيعية ، ص. 420
رسم بياني f (x) = ax 2 عندما a & gt 0 ، p. 421
رسم بياني f (x) = ax 2 عندما a & lt 0 ، p. 421

القسم 8.2
رسم بياني f (x) = ax 2 + c، p. 426

البند 8.3
رسم بياني f (x) = ax 2 + bx + c، p. 432
القيم القصوى والدنيا ، ص. 433

الممارسات الرياضية

السؤال رقم 1.
اشرح خطتك لحل التمرين 18 في الصفحة 423.
إجابه:

السؤال 2.
كيف يساعدك رسم دالة في التمرين 27 على الصفحة 429 في الإجابة عن الأسئلة؟
إجابه:

السؤال 3.
ما تعريف وخصائص الرسم البياني للدالة التربيعية التي استخدمتها للإجابة على التمرين 44 في الصفحة 438؟
إجابه:

مهارات الدراسة: التعلم البصري

  • ارسم صورة لمشكلة كلمة قبل كتابة نموذج لفظي. ليس عليك أن تكون فنانًا.
  • عند عمل بطاقة مراجعة لمشكلة كلمة ، قم بتضمين صورة. سيساعدك هذا في تذكر المعلومات أثناء إجراء الاختبار.
  • تأكد من أن ملاحظاتك مرتبة بصريًا لسهولة تذكرها

الرسم البياني للوظائف التربيعية 8.1 & # 8211 8.3 اختبار

التعرف على خصائص الدالة التربيعية ورسمها البياني.
السؤال رقم 1.

إجابه:
يفتح القطع المكافئ للأسفل بالخصائص التالية
الرأس هو (1 ، 4)
محور التناظر هو x = 1
المجال هو (-، + ∞)
النطاق: (-، 4]

السؤال 2.

إجابه:
يفتح القطع المكافئ للأسفل بالخصائص التالية
الرأس هو (-2، 5)
محور التناظر هو x = -2
المجال هو (-، + ∞)
النطاق: [5،-)

ارسم الوظيفة. قارن الرسم البياني بالمنحنى البياني لـ f (x) = x 2.
السؤال 3.
ح (س) = -x 2
إجابه:

يتضمن الرسم البياني للوظائف المعينة & # 8217s انعكاسًا حول المحور x للوظيفة الأصلية f (x) = x 2

السؤال 4.
ص (س) = 2 س 2 + 2
إجابه:

السؤال 5.
ص (س) = 4x 2 & # 821116
إجابه:

السؤال 6.
ب (س) = 8 س 2
إجابه:

السؤال 7.
g (x) = ( frac <2> <5> ) x 2
إجابه:

السؤال 8.
م (س) = & # 8211 ( فارك <1> <2> ) × 2 & # 8211 4
إجابه:

الضغط العمودي بمعامل 1/2
انعكاس حول المحور السيني
4 وحدة تحول إلى أسفل

صف التحول من التمثيل البياني لـ f إلى التمثيل البياني لـ g. ثم رسم بيانيًا لـ f و g في نفس مستوى الإحداثي. اكتب معادلة تمثل g بدلالة x.
السؤال 9.
و (س) = 2 س 2 + 1 ج (س) = و (س) + 2
إجابه:
الدالة g (x) = f (x) + 2 إضافة ضمنية من 2 إلى f (x) وبالتالي فإن g (x) تقوم بإزاحة وحدتين لأعلى من الرسم البياني لـ f (x).

ز (س) = و (س) + 2
ز (س) = 2 س 2 + 1 + 2
ز (س) = 2 س 2 + 3

السؤال 10.
f (x) = -3x 2 + 12 g (x) = f (x) & # 8211 9
إجابه:
تتضمن الوظيفة g (x) = f (x) & # 8211 9 طرح 9 إلى f (x) لذلك تتضمن g (x) إزاحة بمقدار 9 وحدات إلى أسفل من الرسم البياني لـ f (x)

السؤال 11.
f (x) = ( frac <1> <2> ) x 2 & # 8211 2 g (x) = f (x) & # 8211 6
إجابه:
تتضمن الوظيفة g (x) = f (x) & # 8211 6 طرح 6 إلى f (x) لذلك تتضمن g (x) إزاحة بمقدار 6 وحدات إلى أسفل من الرسم البياني لـ f (x)

ز (س) = و (س) & # 8211 6
g (x) = ( frac <1> <2> ) x 2 & # 8211 2- 6 = ( frac <1> <2> ) x 2 & # 8211 8

السؤال 12.
و (س) = 5 س 2 & # 8211 3 ج (س) = و (س) + 1
إجابه:
تتضمن الوظيفة g (x) = f (x) + 1 إضافة 1 إلى f (x) وبالتالي فإن g (x) تتضمن إزاحة وحدة واحدة لأعلى من الرسم البياني لـ f (x)

ز (س) = و (س) + 1
ز (س) = 5 س 2 & # 8211 3 + 1
ز (س) = 5 س 2 & # 8211 2

ارسم الوظيفة. وصف المجال والنطاق.
السؤال 13.
f (x) = -4x 2 & # 8211 4x + 7
إجابه:
س = -ب / 2 أ
= -(-4)/2(-4) = -1/2
f (-1/2) = -4 (-1/2) 2 & # 8211 4 (-1/2) + 7 = 8
لذلك يكون رأس القطع المكافئ عند (-1/2 ، 8)

المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
النطاق هو (-، 8]

السؤال 14.
و (س) = 2 س 2 + 12 س + 5
إجابه:
س = -ب / 2 أ
= -12/2(5) = -3
و (-3) = 2. (-3) 2 + 12 (-3) + 5 = -13
لذلك يكون رأس القطع المكافئ عند (-3 ، -13)

المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
النطاق [-13، + ∞)

السؤال 15.
ص = س 2 + 4x & # 8211 5
إجابه:
س = -ب / 2 أ
= -4/2(1) = -2
و (-2) = (-2) 2 + 4 (-2) & # 8211 5 = -9
لذلك يكون رأس القطع المكافئ عند (-2 ، -9)

المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
النطاق [-9، + ∞)

السؤال 16.
ص = -3 س 2 + 6 س + 9
إجابه:
ص = -3 س 2 + 6 س + 9
س = -ب / 2 أ
= -6/2(-3) = 1
و (1) = -3 (1) 2 + 6 (1) + 9 = 12
لذلك يكون رأس القطع المكافئ عند (1 ، 12)

المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
النطاق هو (-، 12]

أخبر ما إذا كانت الوظيفة لها قيمة دنيا أو قيمة قصوى. ثم ابحث عن القيمة.
السؤال 17.
f (x) = 5x 2 + 10x & # 8211 3
إجابه:
f (x) = 5x 2 + 10x & # 8211 3
س = -10/10 = -1
و (س) = 5 (-1) 2 + 10 (-1) & # 8211 3
= -8
أدنى قيمة: -8

السؤال 18.
و (س) = & # 8211 ( فارك <1> <2> ) س 2 + 2 س + 16
إجابه:
بما أن المعامل الرئيسي سالب ، فإن القطع المكافئ يحتوي على قيمة قصوى
و (س) = & # 8211 ( فارك <1> <2> ) س 2 + 2 س + 16
س = -2 / -1 = 2
و (س) = & # 8211 ( فارك <1> <2> ) (2) 2 + 2 (2) + 16 = 18
القيمة القصوى: 18

السؤال 19.
ص = -x 2 + 4x + 12
إجابه:
ص = -x 2 + 4x + 12
منذ a & lt 0 ، توجد أقصى قيمة.
يتم بلوغ الحد الأقصى للقيمة في قمة الرأس.
x0 = -b / 2a
= – 4/2(-1)
= 2
ص 0 = ص (2)
= -(2) 2 + 4(2) + 12
= -4 + 8 + 12
= 16

السؤال 20.
ص = 2 س 2 + 8 س + 3
إجابه:
ص = 2 س 2 + 8 س + 3
س = -8/4
س = 2
ص = 2 (-2) 2 + 8 (-2) + 3
ص = -5
القيمة الدنيا هي -5

السؤال 21.
المسافة y (بالأقدام) التي يسقطها جوز الهند بعد t ثانية تعطى بالدالة y = 16t 2. استخدم رسمًا بيانيًا لتحديد عدد الثواني التي يستغرقها سقوط جوز الهند بمقدار 64 قدمًا.
إجابه:
ص = 16 طن 2
16 طن 2 = 64
ر 2 = 4
ر = 2

السؤال 22.
تمثل الوظيفة y = -16t 2 + 25 ارتفاع y (بالأقدام) لثواني t من كوز الصنوبر بعد سقوطه من الشجرة.
أ. بعد كم ثانية يصطدم كوز الصنوبر بالأرض؟
إجابه:
يضرب كوز الصنوبر الأرض عند y = 0
0 = -16 طن 2 + 25
16 طن 2 = 25
ر 2 = 25/16
ر = 5/4 = 1.25 ثانية

ب. يسقط كوز الصنوبر الثاني من ارتفاع 36 قدمًا. أي كوز الصنوبر يضرب الأرض في أقل وقت؟ يشرح.
إجابه:
يمثل الثابت 25 الارتفاع الأولي 25 قدمًا. لذلك ، سيضرب كوز الصنوبر الأول الأرض في أقل وقت ممكن.

السؤال 23.
تظهر الوظيفة نماذج ارتفاع الكرة اللينة (بالأقدام) بعد ثوانٍ من تحريكها في حركة خافتة. وصف المجال والنطاق. أوجد أقصى ارتفاع للكرة اللينة.

إجابه:
ح (ر) = = -16 طن 2 + 32 طن + 2
x0 = -b / 2a
= – 32/2(-16)
= 1
y0 = ح (x0)
= -16(1) 2 + 32(1) + 2
= -16+ 32 + 2
= 18
بالنسبة للمشكلة المحددة ، يكون المجال من نقطة رمي الكرة اللينة ، حتى تصل إلى الأرض.
ح (ر) = 0
-16 طن 2 + 32 طن + 2 = 0
8t 2 & # 8211 16t & # 8211 1 = 0
ر = (4 + 3√2) / 4
وبالتالي فإن المجال هو [0 ، (4 + 3√2) / 4]
تبلغ الكرة اللينة أقصى ارتفاع عند القمة. وبذلك يكون الحد الأقصى للارتفاع 18 قدمًا وبعد أن تصل الكرة اللينة إلى الأرض.
وبالتالي فإن النطاق هو [0 ، 18]
تم تعيين المجال لجميع الأعداد الحقيقية R.
أقصى ارتفاع 18 قدم.
وبالتالي فإن النطاق هو (-، 18]

الدرس 8.4 الرسم البياني f (x) = a (x & # 8211 h) 2 + k

السؤال الجوهري كيف يمكنك وصف الرسم البياني لـ f (x) = a (x & # 8211 h) 2؟

الاستكشاف 1

رسم بياني y = a (x - h) 2 عندما h & gt 0
العمل مع شريك. ارسم الرسوم البيانية للوظائف في نفس المستوى الإحداثي. كيف تؤثر قيمة h على الرسم البياني لـ y = a (x & # 8211 h) 2؟

الاستكشاف 2

رسم بياني y = a (x - h) 2 عندما h & lt 0
العمل مع شريك. ارسم الرسوم البيانية للوظائف في نفس المستوى الإحداثي. كيف تؤثر قيمة h على الرسم البياني لـ y = a (x & # 8211 h) 2؟

قم بتوصيل إجابتك

السؤال 3.
كيف يمكنك وصف الرسم البياني لـ f (x) = a (x & # 8211 h) 2؟
إجابه:

السؤال 4.
وصف الرسم البياني لكل دالة بدون رسوم بيانية. استخدم حاسبة الرسوم البيانية للتحقق من إجابتك.

أ. ص = (س & # 8211 3) 2
ب. ص = (س + 3) 2
ج. ص = - (س & # 8211 3) 2
إجابه:

رصد التقدم المحرز

حدد ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية أم لا.
السؤال رقم 1.
و (س) = 5 س
إجابه:
وظيفة معينة
و (س) = 5 س
و (-x) = 5 (-x)
و (-س) = -5 س
وبالتالي فإن الوظيفة غريبة

السؤال 2.
ز (س) = 2 س
إجابه:
وظيفة معينة
ز (س) = 2 س
ز (-x) = 2 (-x) = -2x
وبالتالي فإن الوظيفة غريبة

السؤال 3.
ح (س) = 2 س 2 + 3
إجابه:
وظيفة معينة
ح (س) = 2 س 2 + 3
ح (-x) = 2 (-x) 2 + 3
= 2 س 2 + 3
وبالتالي فإن الوظيفة زوجية.

ارسم الوظيفة. قارن الرسم البياني بالمنحنى البياني لـ f (x) = x 2.
السؤال 4.
ز (س) = 2 (س + 5) 2
إجابه:

السؤال 5.
ح (س) = - (س & # 8211 2) 2
إجابه:

ارسم الوظيفة. قارن الرسم البياني بالمنحنى البياني لـ f (x) = x 2.
السؤال 6.
ز (س) = 3 (س & # 8211 1) 2 + 6
إجابه:

السؤال 7.
ح (س) = ( فارك <1> <2> ) (س + 4) 2 & # 8211 2
إجابه:

السؤال 8.
ضع في اعتبارك الوظيفة g في المثال 3. رسم بياني f (x) = g (x) & # 8211 3
إجابه:

السؤال 9.
ماذا إذا؟
الرأس هو (3، 6). اكتب ورسم دالة تربيعية تمثل المسار.
إجابه:

رسم بياني f (x) = a (x & # 8211 h) 2 + k 8.4 تمارين

المفردات والمفهوم الأساسي التحقق

السؤال رقم 1.
كلمات
قارن الرسم البياني لدالة زوجية بمخطط دالة فردية.
إجابه:
التمثيل البياني للدالة الزوجية متماثل حول المحور y. التمثيل البياني للدالة الفردية متماثل حول الأصل.

السؤال 2.
مفتوح
اكتب دالة تربيعية رأس رسم بياني لها (1 ، 2).
إجابه:
و (س) = أ (س & # 8211 1) 2 + 2
يجب أن تحتوي المعادلة على رأس عند (1 ، 2)

السؤال 3.
جاري الكتابة
صِف التحويل من الرسم البياني لـ f (x) = ax 2 إلى الرسم البياني لـ g (x) = a (x & # 8211 h) 2 + k.
إجابه:
الرسم البياني لـ g هو ترجمة أفقية لوحدات h مباشرة إذا كانت h موجبة أو | h | تبقى الوحدات إذا كانت h سالبة والترجمة الرأسية k لأعلى إذا كانت k موجبة أو | k | وحدات لأسفل إذا كانت k سالبة من التمثيل البياني لـ f.

السؤال 4.
أي واحد لا ينتمي؟
ما الوظيفة التي لا تنتمي إلى الثلاثة الأخرى؟ اشرح أسبابك.

إجابه:
f (x) = a (x & # 8211 2) 2 + 4 لا تنتمي لأنها الرسم البياني الوحيد الذي لن يكون له امتداد أو انكماش رأسي.

مراقبة التقدم والنمذجة بالرياضيات

في التدريبات 5-12 ، حدد ما إذا كانت الوظيفة زوجية أم فردية أم لا.
السؤال 5.
و (س) = 4x + 3
إجابه:

السؤال 6.
ز (س) = 3 س 2
إجابه:
وظيفة معينة
ز (س) = 3 س 2
ز (-x) = 3 (-x) 2
ز (-x) = 3 س 2
حتى في

السؤال 7.
ح (س) = 5 س + 2
إجابه:

السؤال 8.
م (س) = 2 س 2 & # 8211 7 س
إجابه:
م (س) = 2 س 2 & # 8211 7 س
م (-x) = 2 (-x) 2 & # 8211 7 (-x)
م (-x) = 2x 2 + 7x
لا هذا ولا ذاك

السؤال 9.
ص (س) = -x 2 + 8
إجابه:

السؤال 11.
ن (س) = 2 س 2 & # 8211 7 س + 3
إجابه:

السؤال 12.
ص (س) = -6 س 2 + 5
إجابه:
لتحديد دالة فردية ، أو زوجية ، أو أي منها ، يجب استبدال x بـ -x.
1. إذا كانت r (-x) = -r (x) دالة فردية
2. إذا كانت r (-x) = r (x) دالة زوجية
ص (س) = -6 س 2 + 5
ص (-x) = -6 (-x) 2 + 5
ص (-x) = -6 س 2 + 5
وبالتالي r (-x) = r (x)
حتى في

في التدريبات من 13 إلى 18 ، حدد ما إذا كانت الوظيفة التي يمثلها الرسم البياني زوجية أم فردية أم لا.
السؤال 13.

إجابه:
الرسم البياني متماثل حول المحور y. إذن ، الدالة زوجية.

السؤال 14.

الجواب: الرسم البياني ليس زوجيًا ولا فرديًا لأنه غير متماثل حول المحور ص أو الأصل.

السؤال 15.

إجابه:
الرسم البياني ليس زوجيًا ولا فرديًا لأنه غير متماثل حول المحور ص أو الأصل.

السؤال 16.

الإجابة: الرسم البياني زوجي لأنه متماثل حول المحور ص.

السؤال 17.

إجابه:
الرسم البياني متماثل حول الأصل. لذا ، فالوظيفة فردية.

السؤال 18.

إجابه:
الرسم البياني ليس زوجيًا ولا فرديًا لأنه غير متماثل حول المحور ص أو الأصل.

في تمارين 19-22 ، أوجد رأس ومحور تناظر التمثيل البياني للدالة.
السؤال 19.
و (س) = 3 (س + 1) 2
إجابه:

السؤال 20.
و (س) = ( فارك <1> <4> ) (س & # 8211 6) 2
إجابه:
و (س) = ( فارك <1> <4> ) (س & # 8211 6) 2
أوجد محور التناظر والرأس:
بما أن h = 6 ، فإن محور التناظر هو x = 6 والرأس هو (6، 0)

السؤال 21.
y = & # 8211 ( frac <1> <8> ) (x & # 8211 4) 2
إجابه:

السؤال 22.
ص = -5 (س + 9) 2
إجابه:
ص = -5 (س + 9) 2
أوجد محور التناظر والرأس:
بما أن h = -9 ، فإن محور التناظر هو x = -9 والرأس هو (-9، 0)

في التدريبات من 23 إلى 28 ، ارسم الدالة بيانيًا. قارن الرسم البياني بالمنحنى البياني لـ f (x) = x 2.
السؤال 23.
ز (س) = 2 (س + 3) 2
إجابه:

السؤال 24.
ص (س) = 3 (س & # 8211 1) 2
إجابه:
وظيفة معينة ،
ص (س) = 3 (س & # 8211 1) 2
محور التناظر: x = 1
الرأس: (1 ، 0)
النقطة 1: (0 ، 3)
النقطة 2: (2، 3)

الرسم البياني عبارة عن وحدة ترجمة يمينًا ويمتد رأسيًا بمعامل 3 من الدالة الأصلية.

السؤال 25.
r (x) = ( frac <1> <4> ) (x + 10) 2
إجابه:

السؤال 26.
n (x) = ( frac <1> <4> ) (x & # 8211 6) 2
إجابه:
وظيفة معينة ،
n (x) = ( frac <1> <4> ) (x & # 8211 6) 2
محور التناظر: x = 6
الرأس: (6 ، 0)
النقطة 1: (3 ، 3)
النقطة 2: (9 ، 3)

الرسم البياني عبارة عن ترجمة من 6 وحدات إلى اليمين وانكماش رأسي بمعامل 1/3 من الدالة الأصل.

السؤال 27.
د (س) = ( فارك <1> <5> ) (س & # 8211 5) 2
إجابه:

السؤال 28.
ف (س) = 6 (س + 2) 2
إجابه:
وظيفة معينة ،
ف (س) = 6 (س + 2) 2
محور التناظر: x = -2
الرأس: (-2، 0)
النقطة 1: (-3 ، 6)
النقطة 2: (-1، 6)

الرسم البياني عبارة عن ترجمة يسارها وحدتان وامتداد رأسي بمعامل 6 من الدالة الأصلية.

السؤال 29.
تحليل الأخطاء
صف وصحح الخطأ في تحديد ما إذا كانت الدالة f (x) = x 2 + 3 زوجية أم فردية أم لا.

إجابه:

السؤال 30.
تحليل الأخطاء
صف وصحح الخطأ في إيجاد رأس منحنى الدالة.

إجابه:
بما أن h = -8 ، سيتم إزاحة الدالة الأم إلى اليسار 8 وحدات ، وبالتالي فإن الرأس هو (-8 ، 0) وليس (0 ، -8)

في تمارين 31–34 ، أوجد رأس ومحور تناظر التمثيل البياني للدالة.
السؤال 31.
ص = -6 (س + 4) 2 & # 8211 3
إجابه:

السؤال 32.
و (س) = 3 (س & # 8211 3) 2 + 6
إجابه:
معطى،
و (س) = 3 (س & # 8211 3) 2 + 6
فيرتكس: (3 ، 6)
محور التناظر: x = 3

السؤال 33.
و (س) = -4 (س + 3) 2 + 1
إجابه:

السؤال 34.
y = - (x & # 8211 6) 2 & # 8211 5
إجابه:
y = - (x & # 8211 6) 2 & # 8211 5
الرأس: (6، -5)
محور التناظر: x = 6

في التدريبات 35-38 ، طابق الوظيفة مع الرسم البياني الخاص بها.
السؤال 35.
ص = - (س + 1) 2 & # 8211 3
إجابه:

السؤال 36.
ص = & # 8211 ( فارك <1> <2> ) (س & # 8211 1) 2 + 3
إجابه:
ص = & # 8211 ( فارك <1> <2> ) (س & # 8211 1) 2 + 3
تنتمي هذه المعادلة إلى الرسم البياني A لأنه الرسم البياني الوحيد برأس (1 ، 3) وانعكاس على المحور x.

السؤال 37.
y = ( frac <1> <3> ) (x & # 8211 1) 2 + 3
إجابه:

السؤال 38.
ص = 2 (س + 1) 2 & # 8211 3

إجابه:
معطى،
ص = 2 (س + 1) 2 & # 8211 3
تنتمي هذه المعادلة إلى الرسم البياني B لأنه الرسم البياني الوحيد برأس (-1 ، -3) ويمتد رأسيًا بمعامل 2.

في التدريبات 39-44 ، ارسم الدالة بيانيًا. قارن الرسم البياني بالمنحنى البياني لـ f (x) = x 2.
السؤال 39.
ح (س) = (س & # 8211 2) 2 + 4
إجابه:

السؤال 40.
ز (س) = (س + 1) 2 & # 8211 7
إجابه:
ز (س) = (س + 1) 2 & # 8211 7
محور التناظر: x = -1
الرأس: (-1 ، -7)
النقطة 1: (0، -6)
النقطة 2: (-2، -6)

السؤال 41.
ص (س) = 4 (س & # 8211 1) 2 & # 8211 5
إجابه:

السؤال 42.
ن (س) = - (س + 4) 2 + 2
إجابه:
معطى،
ن (س) = - (س + 4) 2 + 2
محور التناظر: x = -4
قمة الرأس: (-4، 2)
النقطة 1: (-5 ، 1)
النقطة 2: (-3 ، 1)

السؤال 43.
ز (س) = & # 8211 ( فارك <1> <3> ) (س + 3) 2 & # 8211 2
إجابه:

السؤال 44.
r (x) = ( frac <1> <2> ) (x & # 8211 2) 2 & # 8211 4
إجابه:
r (x) = ( frac <1> <2> ) (x & # 8211 2) 2 & # 8211 4
محور التناظر: س = 2
الرأس: (2، -4)
النقطة 1: (0، -2)
النقطة 2: (4، -2)

في التدريبات 45-48 ، دع f (x) = (x - 2) 2 + 1. طابق الدالة مع الرسم البياني الخاص بها.
السؤال 45.
ز (س) = و (س & # 8211 1)
إجابه:

السؤال 46.
ص (س) = و (س + 2)
إجابه:
معطى،
و (س) = (س & # 8211 2) ² + 1
ص (س) = و (س + 2)
أعد كتابة r (x):
ص (س) = س² + 1
تطابق مع رسم بياني:
تنتمي الدالة r (x) إلى الرسم البياني C لأنها الرسم البياني الوحيد برأس عند (0 ، 1)

السؤال 47.
ح (س) = و (س) + 2
إجابه:

إجابه:
و (س) = (س & # 8211 2) ² + 1
ص (س) = و (س) & # 8211 3
أعد كتابة p (x):
ص (س) = (س & # 8211 2) ² & # 8211 2
تطابق مع رسم بياني:
تنتمي الوظيفة p (x) إلى الرسم البياني D لأنه الرسم البياني الوحيد الذي له رأس عند (2، -2)

في تمارين 49-54 ، رسم بياني ز.
السؤال 49.
و (س) = 2 (س & # 8211 1) 2 + 1 ج (س) = و (س + 3)
إجابه:

السؤال 50.
f (x) = - (x + 1) 2 + 2 g (x) = ( frac <1> <2> ) f (x)
إجابه:
ز (س) = ( فارك <1> <2> ) و (س)
( فارك <1> <2> ) (- (س + 1) 2 + 2) = & # 8211 ( فارك <1> <2> ) (س + 1) 2 + 1.
في دالة معينة g (x) = & # 8211 ( frac <1> <2> ) (x + 1) 2 + 1
أ. انكماش رأسي بعامل ( فارك <1> <2> )
ب. تحول رأسي بمقدار 1 وحدة إلى أسفل
ج. انعكاس حول المحور السيني
د. الانزياح الأفقي لوحدة واحدة إلى يمين الوظيفة الأصلية y = ax 2

السؤال 51.
و (س) = -3 (س + 5) 2 & # 8211 6 ج (س) = 2 و (س)
إجابه:

السؤال 52.
و (س) = 5 (س & # 8211 3) 2 & # 8211 1 جم (س) = (س) & # 8211 6
إجابه:
معطى،
و (س) = 5 (س & # 8211 3) 2 & # 8211 1
ز (س) = و (س) & # 8211 6
التمثيل البياني لـ g هو ترجمة رأسية 6 وحدات لأسفل من الرسم البياني لـ f.

السؤال 53.
و (س) = (س + 3) 2 + 5 ج (س) = و (س & # 8211 4)
إجابه:

السؤال 54.
f (x) = -2 (x & # 8211 4) 2 & # 8211 8 جرام (x) = -f (x)
إجابه:
و (س) = -2 (س & # 8211 4) 2 & # 8211 8
ز (س) = -f (س)

السؤال 55.
النمذجة مع الرياضيات
يتم تمثيل ارتفاع (بالأمتار) غوص طائر لصيد سمكة بواسطة h (t) = 5 (t & # 8211 2.5) 2 ، حيث t هو عدد الثواني بعد بدء الغوص.

أ. الرسم البياني h.
ب. يتم تمثيل غوص طائر آخر بواسطة r (t) = 2h (t). الرسم البياني ص.
ج. قارن الرسوم البيانية. أي طائر يبدأ غطسه من ارتفاع أكبر؟ يشرح.
إجابه:

السؤال 56.
النمذجة مع الرياضيات
لاعب يركل كرة القدم. يتم تمثيل ارتفاع كرة القدم (بالياردات) بـ f (x) = & # 8211 ( frac <1> <9> ) (x & # 8211 30) 2 + 25 ، حيث x هي المسافة الأفقية ( على بعد ياردات) من خط مرمى كيكر.
أ. الرسم البياني و. وصف المجال والنطاق.
إجابه:
و (س) = & # 8211 ( فارك <1> <9> ) (س & # 8211 30) 2 + 25
المجال: 15 x ≤ 45
النطاق: 0 ≤ f (x) ≤ 25

ب. في الحيازة التالية ، يركل اللاعب كرة القدم. يُمثل ارتفاع كرة القدم g (x) = f (x + 5). الرسم البياني ز. وصف المجال والنطاق.
إجابه:
ز (س) = و (س + 5)
المجال: 10 ≤ x ≤ 40
النطاق: 0 ≤ f (x) ≤ 25

ج. قارن الرسوم البيانية. على أي حيازة يقترب اللاعب كيكر من خط مرماه؟ يشرح.
إجابه:
الرسم البياني لـ g (x) هو ترجمة تركت 5 وحدات من f (x) ، ركلات الركلة أقرب إلى خط مرماه في المرة الثانية.

في التدريبات 57-62 ، اكتب دالة تربيعية في شكل رأس يحتوي رسمها البياني على الرأس المحدد ويمر عبر النقطة المحددة.
السؤال 57.
قمة الرأس: (1 ، 2) يمر من خلال (3 ، 10)
إجابه:

السؤال 58.
قمة الرأس: (-3 ، 5) يمر من خلال (0 ، -14)
إجابه:
شكل الرأس هو
و (س) = أ (س & # 8211 س) 2 + ك
و (س) = أ (س + 3) 2 + 5
-14 = أ (0 + 3) 2 + 5
-14 = أ (3) 2 + 5
9 أ + 5 = -14
9 أ = -14 & # 8211 5
9 أ = -19
أ = -19/9
و (س) = -19/9 (س + 3) 2 + 5

السؤال 59.
الرأس: (-2 ، -4) يمر من خلال (-1 ، -6)
إجابه:

السؤال 60.
قمة الرأس: (1 ، 8) يمر من خلال (3 ، 12)
إجابه:
شكل الرأس هو
و (س) = أ (س & # 8211 س) 2 + ك
و (س) = أ (س & # 8211 1) 2 + 8
12 = أ (3 & # 8211 1) 2 + 8
12 = أ (2) 2 + 8
4 أ + 8 = 12
4 أ = 12 & # 82118
4 أ = 4
أ = 1
و (س) = 1 (س & # 8211 1) 2 + 8

السؤال 61.
قمة الرأس: (5 ، -2) يمر من خلال (7 ، 0)
إجابه:

السؤال 62.
الرأس: (-5، -1) يمر من خلال (-2، 2)
إجابه:
شكل الرأس هو
و (س) = أ (س & # 8211 س) 2 + ك
و (س) = أ (س + 5) 2 & # 8211 1
2 = أ (-2 + 5) 2 & # 8211 1
2 = أ (3) 2 & # 8211 1
9 أ & # 8211 1 = 2
9 أ = 3
أ = 1/3
و (س) = 1/3 (س + 5) 2 & # 8211 1

السؤال 63.
النمذجة مع الرياضيات
جزء من مسار الأفعوانية على شكل قطع مكافئ. اكتب ورسم دالة تربيعية تمثل هذا الجزء من السفينة الدوارة بارتفاع أقصى 90 قدمًا ، ممثلة برأس (25 ، 90) ، مروراً بالنقطة (50 ، 0).

إجابه:

السؤال 64.
النمذجة مع الرياضيات
يتم إطلاق شعلة من قارب وتنتقل في مسار مكافئ حتى الوصول إلى الماء. اكتب ورسم دالة تربيعية تمثل مسار الحد الأقصى للارتفاع 300 متر ، ممثلة برأس (59 ، 300) ، تهبط في الماء عند النقطة (119 ، 0).
إجابه:
و (س) = أ (س & # 8211 س) 2 + ك
ع = 59 و ك = 300
و (س) = أ (x & # 8211 59) 2 + 300
نظرًا لأن (119 ، 0) تقع على الوظيفة ، مع وضع القيم في الدالة التي نحصل عليها
0 = أ (119 & # 8211 59) 2 + 300
0 = 3600a + 300
أ = -300/3600 = -1/12
و (س) = -1/12 (س & # 8211 59) 2 + 300
الخطوة 1: ارسم محور التناظر: h = 59 ، محور التناظر x = 59.
الخطوة 2: ارسم الرأس: الرأس هو (h، k) = (59، 300)
الخطوة 3: ارسم 2 إحداثيات أخرى. نعلم أن (119 ، 0) تقع على الرسم البياني.
بإيجاد إحداثي y لـ x = 29 ، نجد أن (29 ، 225) تقع على التمثيل البياني.
الخطوة 4: ارسم منحنى سلس عبر النقاط.

في تمارين 65-68 ، أعد كتابة الدالة التربيعية في شكل قمة الرأس.
السؤال 65.
ص = 2 س) 2 & # 8211 8 س + 4
إجابه:

السؤال 66.
ص = 3 س 2 + 6 س & # 8211 1
إجابه:
معطى،
ص = 3 س 2 + 6 س & # 8211 1
س = -ب / 2 أ
س = -6/6
س = -1
ص = 3 (-1) 2 + 6 (-1) & # 8211 1
ص = 3 & # 8211 6 & # 8211 1
ص = -4
الرأس: (-1 ، -4)
و (س) = أ (س & # 8211 س) 2 + ك
ص = أ (س + 1) 2 & # 8211 4
-1 = أ (0 + 1) 2 & # 8211 4
-1 = أ & # 8211 4
أ = -1 + 4
أ = 3
و (س) = 3 (س + 1) 2 & # 8211 4

السؤال 67.
و (س) = -5 س) 2 + 10x + 36
إجابه:

السؤال 68.
و (س) = -س 2 + 4x + 2
إجابه:
معطى،
و (س) = -س 2 + 4x + 2
س = -ب / 2 أ
س = -4/2 (-1)
س = -2
ص = - (- 2) 2 & # 8211 4 (-2) + 2
ص = -4 + 8 + 2
ص = 6
الرأس: (-2، 6)
و (س) = أ (س & # 8211 س) 2 + ك
ص = أ (س + 2) 2 + ك
2 = أ (0 + 2) 2 + 6
2 = 4 أ + 6
4 أ + 6 = 2
أ = -1
و (س) = - (س + 2) 2 + 6

السؤال 69.
منطق
هل يمكن للدالة أن تكون متماثلة حول المحور x؟ يشرح.
إجابه:
لا يمكن أن تكون الوظيفة متماثلة حول المحور x لأنها لن تجتاز اختبار الخط العمودي.

السؤال 70.
كيف ترى ذلك؟
يظهر الرسم البياني للدالة التربيعية. حدد الرموز التي يجب استخدامها لإكمال شكل رأس الدالة التربيعية. اشرح أسبابك.

إجابه:
بما أن رأس الرسم البياني هو (-2 ، -3) ، يجب أن تكون المعادلة y = a (x + 2) 2 & # 8211 3
منذ h = -2 و k = -3

في التدريبات 71-74 ، قم بوصف التحول من التمثيل البياني لـ f إلى التمثيل البياني لـ h. اكتب معادلة تمثل h بدلالة x.
السؤال 71.
و (س) = - (س + 1)) 2 & # 8211 2
ح (س) = و (س) + 4
إجابه:

السؤال 72.
و (س) = 2 (س & # 8211 1)) 2 + 1
ح (س) = و (س & # 8211 5)
إجابه:
معطى،
و (س) = 2 (س & # 8211 1)) 2 + 1
ح (س) = و (س & # 8211 5)
التمثيل البياني لـ h (x) هو ترجمة أفقية يمين 5 وحدات من الرسم البياني لـ f (x)
ص = 2 (س & # 8211 6) 2 + 1

السؤال 73.
و (س) = 4 (س & # 8211 2)) 2 + 3
ح (س) = 2 و (س)
إجابه:

السؤال 74.
و (س) = - (س + 5)) 2 & # 8211 6
ح (س) = ( فارك <1> <3> ) و (س)
إجابه:
معطى،
و (س) = - (س + 5)) 2 & # 8211 6
ح (س) = ( فارك <1> <3> ) و (س)
التمثيل البياني لـ h (x) هو انكماش رأسي بمعامل 1/3 من الرسم البياني لـ f (x)
ص = & # 8211 ( فارك <1> <3> ) (س + 5) 2 & # 8211 2

السؤال 75.
منطق
يتم تحويل التمثيل البياني لـ y = x 2 لوحدتين يمينًا و 5 وحدات لأسفل. اكتب معادلة للدالة بصيغة الرأس وبالصورة القياسية. صف مزايا كتابة الوظيفة في كل شكل.
إجابه:

السؤال 76.
التفكير في إثبات
ما هو الصواب فيما يلى؟ برر إجاباتك.
أ. أي مضاعف ثابت لدالة زوجية هو زوجي.
إجابه:
دع f (x) تكون دالة زوجية.
دع g (x) = af (x)
ز (-x) = af (-x)
بما أن f دالة زوجية ، نحصل عليها
ز (-x) = af (x)
= ز (س)
وبالتالي ، فإن g دالة زوجية.
ب. أي مضاعف ثابت لوظيفة فردية هو فردي.
إجابه:
لنفترض أن f (x) دالة فردية.
دع g (x) = af (x)
ز (-x) = af (-x)
بما أن f دالة زوجية ، نحصل عليها
ز (-x) = أ (-f (x))
= -g (س)
وبالتالي ، فإن g دالة فردية.
ج. مجموع أو فرق الدالتين الزوجية زوجي.
إجابه:
دع f ، h يعمل بشكل متساوٍ.
دع g (x) = f (x) + ah (x)
ز (-x) = و (-x) + آه (-x)
بما أن f ، h هي وظائف حتى.
دع g (x) = f (x) + ah (x)
ز (-x) = و (-x) + آه (-x)
ز (س) = و (س) + آه (س) = ز (س)
وهكذا فإن g دالة زوجية

د. مجموع أو الفرق بين وظيفتين فرديتين أمر فردي.
إجابه:
دع f ، h تكون دالة فردية.
دع g (x) = f (x) + ah (x)
ز (-x) = و (-x) + آه (-x)
بما أن f ، h هي وظائف حتى.
دع g (x) = f (x) + ah (x)
ز (-x) = -f (x) + أ (-h (x)) = -g (x)
وبالتالي فإن g دالة فردية

ه. مجموع أو فرق التابع الزوجي والدالة الفردية هو فردي.
إجابه:
f (x) = x²
ح (س) = س
ز (س) = و (س) + ح (س)
و (1) = ح (1) = 1 ،
ز (1) = 2 ≠ -g (-1) = 0
وبالتالي ، فإن g ليست دالة فردية

السؤال 77.
وظائف المقارنة
يمكن نمذجة المقطع العرضي لحوض الطيور بواسطة y = ( frac <1> <81> ) (x & # 8211 18) 2 & # 8211 4 ، حيث يتم قياس x و y بالبوصة. يُظهر الرسم البياني المقطع العرضي لحوض طائر آخر.

أ. أي حوض طيور أعمق؟ يشرح.
ب. أي حوض طيور أوسع؟ يشرح.
إجابه:

السؤال 78.
منطق
قارن الرسوم البيانية لـ y = 2x 2 + 8x +8 و y = x 2 دون رسم التوابع. كيف يمكن أن تساعدك العوملة على مقارنة القطع المكافئ؟ يشرح.
إجابه:
ص = 2 س 2 + 8 س +8
ص = 2 (س 2 + 4x +4)
ص = 2 (س + 2) (س + 2)
ص = 2 (س + 2) ²
الرسم البياني عبارة عن ترجمة يسارها وحدتان وامتداد رأسي بمعامل 2 من الرسم البياني y = x 2

السؤال 79.
إبداء رأي
يقول صديقك إن جميع وظائف القيمة المطلقة هي بسبب تناسقها. هل صديقك محق؟ يشرح.
إجابه:

إتقان الرياضيات

حل المعادلة.
السؤال 80.
س (س & # 8211 1) = 0
إجابه:
معطى،
س (س & # 8211 1) = 0
س = 0 أو س & # 8211 1 = 0
س = 0 أو س = 1

السؤال 81.
(س + 3) (س & # 8211 8) = 0
إجابه:

السؤال 82.
(3x & # 8211 9) (4x + 12) = 0
إجابه:
معطى،
(3x & # 8211 9) (4x + 12) = 0
3x & # 8211 9 = 0 أو 4x + 12 = 0
3 س = 9 أو 4x = -12
س = 3 أو س = -3

الدرس 8.5 باستخدام نموذج الاعتراض

السؤال الجوهري ما هي بعض خصائص التمثيل البياني لـ f (x) = a (x & # 8211 p) (x & # 8211 q)؟

الاستكشاف 1

استخدام الأصفار لكتابة الوظائف
العمل مع شريك. يمثل كل رسم بياني دالة من الشكل f (x) = (x & # 8211 p) (x & # 8211 q) أو f (x) = - (x & # 8211 p) (x & # 8211 q). اكتب الدالة التي يمثلها كل رسم بياني. اشرح أسبابك.

قم بتوصيل إجابتك

السؤال 2.
ما هي بعض خصائص التمثيل البياني لـ f (x) = a (x & # 8211 p) (x & # 8211 q)؟
إجابه:

السؤال 3.
ضع في اعتبارك الرسم البياني لـ f (x) = a (x & # 8211 p) (x & # 8211 q).

أ. هل تغيير إشارة التغيير يغير تقاطعات x؟ هل تغيير إشارة تغيير تقاطع ص؟ اشرح أسبابك.
ب. هل تغيير قيمة p يغير تقاطعات x؟ هل تغيير قيمة p يغير الجزء المقطوع من y؟ اشرح أسبابك.
إجابه:

رصد التقدم المحرز

ارسم الدالة التربيعية. قم بتسمية الرأس ومحور التناظر وتقاطعات x. وصف المجال ونطاق الوظيفة.
السؤال رقم 1.
و (س) = (س + 2) (س & # 8211 3)
إجابه:

السؤال 2.
ز (س) = -2 (س & # 8211 4) (س + 1)
إجابه:

السؤال 3.
ح (س) = 4x 2 & # 821136
إجابه:

أوجد صفر (أصفار) الدالة.
السؤال 4.
و (س) = (س & # 8211 6) (س & # 8211 1)
إجابه:
و (س) = (س & # 8211 6) (س & # 8211 1)
(x & # 8211 6) (x & # 8211 1) = 0
x² & # 8211 6x -x + 6 = 0
x & # 8211 6 = 0 أو x & # 8211 1 = 0
س = 6 أو س = 1

السؤال 5.
ز (س) = 3 س 2 & # 8211 12 س + 12
إجابه:
معطى،
ز (س) = 3 س 2 & # 8211 12 س + 12
3x 2 & # 8211 12x + 12 = 0
3x 2 & # 8211 12x + 12 = 0
3 (x 2 & # 8211 4x + 4) = 0
x 2 & # 8211 4x + 4 = 0

السؤال 6.
ح (س) = س (س 2 & # 8211 1)
إجابه:
معطى،
ح (س) = س (س 2 & # 8211 1)
س (2 & # 8211 1) = 0
س = 0 أو س 2 & # 8211 1 = 0
س = 0 أو س = 1

استخدم الأصفار لرسم الدالة.
السؤال 7.
و (س) = (س & # 8211 1) (س & # 8211 4)
إجابه:

السؤال 8.
ز (س) = س 2 + س & # 8211 12
إجابه:

اكتب دالة تربيعية في الصورة القياسية التي يلبي رسمها البياني شرطًا (شروطًا) معينة.
السؤال 9.
تقاطعات x: -1 و 1
إجابه:

11. يمر عبر (0 ، 0) ، (10 ، 0) ، و (4 ، 12)
إجابه:

السؤال 12.
يمر عبر (-5 ، 0) ، (4 ، 0) ، و (3 ، -16)
إجابه:

استخدم الأصفار لرسم الدالة.
السؤال 13.
ز (س) = (س & # 8211 1) (س & # 8211 3) (س + 3)
إجابه:

السؤال 14.
ح (س) = س 3 & # 8211 6 س 2 + 5 س
إجابه:

السؤال 15.
أصفار دالة تكعيبية هي -3 ، -1 ، و 1. يمر الرسم البياني للدالة عبر النقطة (0 ، -3). اكتب الوظيفة.
إجابه:

باستخدام تمارين الاعتراض 8.5

المفردات والمفهوم الأساسي التحقق

السؤال رقم 1.
اكمل الجملة
القيمتان p و q هما __________ من الرسم البياني للوظيفة f (x) = a (x & # 8211 p) (x & # 8211 q).
إجابه:
القيمتان p و q هما تقاطعات x للرسم البياني للدالة f (x) = a (x & # 8211 p) (x & # 8211 q).

السؤال 2.
جاري الكتابة
اشرح كيفية العثور على القيمة القصوى أو الحد الأدنى لقيمة دالة تربيعية عندما يتم إعطاء الوظيفة في شكل تقاطع.
إجابه:
شكل الاعتراض هو:
و (س) = أ (س & # 8211 ف) (س & # 8211 ف)
س = (ف + ف) / 2
عوّض بإحداثي x بالدالة لإيجاد إحداثي y وهو القيمة العظمى أو الصغرى.

مراقبة التقدم والنمذجة بالرياضيات

في التدريبات 3-6 ، أوجد تقاطع x ومحور تناظر الرسم البياني للدالة.
السؤال 3.

إجابه:

السؤال 4.

إجابه:
ص = -2 (س & # 8211 2) (س & # 8211 5)
x & # 8211 تقاطع القطع المكافئ في شكل تقاطع معطاة p = 2 و q = 5
محور التماثل
س = (ف + ف) / 2
= (2 + 5)/2 = 7/2 = 3.5

السؤال 5.
و (س) = -5 (س + 7) (س & # 8211 5)
إجابه:

السؤال 6.
g (x) = ( frac <2> <3> ) x (x + 8)
إجابه:
g (x) = ( frac <2> <3> ) x (x + 8)
x & # 8211 تقاطع القطع المكافئ في شكل تقاطع معطاة p = 0 و q = -8
محور التماثل
س = (ف + ف) / 2
= (0 – 8)/2 = -4

في التدريبات من 7 إلى 12 ، ارسم الدالة التربيعية بيانيًا. قم بتسمية الرأس ومحور التناظر وتقاطعات x. وصف المجال ونطاق الوظيفة.
السؤال 7.
و (س) = (س + 4) (س + 1)
إجابه:

السؤال 8.
ص = (س & # 8211 2) (س + 2)
إجابه:
ص = (س & # 8211 2) (س + 2)
الخطوة 1: تقاطعات القطع المكافئ هي p = 2 و q = -2.
وبالتالي فإن النقاط (2 ، 0) و (-2 ، 0) تقع على الرسم البياني.
الخطوة 2:
محور التناظر هو
س = (ف + ف) / 2
س = 2 + (-2) / 2 = 0
ارسم محور التناظر ، س = 0
الخطوة 3: ابحث عن الرأس وقم برسمه. إحداثي y للرأس هو y (0)
ص (0) = (0 & # 8211 2) (0 + 2) = -4
إذن ، الرأس هو (0 ، -4)
الخطوة 4: ارسم قطعًا مكافئًا من خلال نقاط التقاطع الرأسي والإكس.

يمكننا أن نرى في الرسم البياني أن المجال عبارة عن مجموعة من جميع الأرقام الحقيقية ، R والمدى هو [-4 ، ∞)

السؤال 9.
ص = - (س + 6) (س & # 8211 4)
إجابه:

السؤال 10.
ح (س) = -4 (س & # 8211 7) (س & # 8211 3)
إجابه:
في الدالة f (x) = a (x & # 8211 p) (x & # 8211 q)
الخطوة 1: تقاطعات x هي 7 و 3. ارسم النقاط (7 ، 0) و (3 ، 0)
الخطوة 2: رسم محور التناظر:
س = (7 + 3) / 2 = 5
الخطوه 3:
إحداثي x للرأس هو 5. أوجد قيمة y للرأس بالتعويض بـ 5 بـ x
ح (5) = -4 (5 & # 8211 7) (5 & # 8211 3)
= -4(-2)(2) = 16
إذن ، الرأس هو (5 ، 16)

يمكننا أن نرى في الرسم البياني أن المجال عبارة عن مجموعة من جميع الأعداد الحقيقية ، R والمدى هو (-، 16]

السؤال 11.
ز (س) = 5 (س + 1) (س + 2)
إجابه:

السؤال 12.
ص = -2 (س & # 8211 3) (س + 4)
إجابه:
في الدالة f (x) = a (x & # 8211 p) (x & # 8211 q)
الخطوة 1: تقاطعات x هي 3 و -4.
ارسم النقاط (3 ، 0) و (-4 ، 0)
الخطوة 2:
ارسم محور التناظر x = 3 + (-4) / 2 = -0.5
الخطوه 3:
إحداثي x للرأس هو -0.5.
و (-0.5) = -2 (-0.5 & # 8211 3) (- 0.5 + 4) = 24.5
إذن ، الرأس هو (-0.5، 24.5)

في التدريبات من 13 إلى 20 ، ارسم الدالة التربيعية بيانيًا. قم بتسمية الرأس ومحور التناظر وتقاطعات x. وصف المجال ونطاق الوظيفة.
السؤال 13.
ص = س 2 & # 8211 9
إجابه:

السؤال 14.
f (x) = x 2 & # 8211 8x
إجابه:
في الدالة f (x) = a (x & # 8211 p) (x & # 8211 q)
الخطوة 1: تقاطعات x هي 0 و 8.
ارسم النقاط (0 ، 0) و (8 ، 0)
الخطوة 2:
ارسم محور التناظر x = 0 + 8/2 = 4
الخطوه 3:
إحداثي x للرأس هو 4
و (4) = (4) 2 & # 8211 8 (4) = -5
إذن ، الرأس هو (4 ، -16)

يمكننا أن نرى في الرسم البياني أن المجال عبارة عن مجموعة من جميع الأرقام الحقيقية ، R والمدى هو [-16 ، ∞)

السؤال 15.
ح (س) = -5 س 2 + 5 س
إجابه:

السؤال 16.
ص = 3 س 2 & # 8211 48
إجابه:
في الدالة f (x) = a (x & # 8211 p) (x & # 8211 q)
الخطوة 1: تقاطعات x هي 4 و -4.
ارسم النقاط (4 ، 0) و (-4 ، 0)
الخطوة 2:
ارسم محور التناظر x = 4 + (-4) / 2 = 0
الخطوه 3:
إحداثي x للرأس هو 0
و (0) = 3 (0) 2 & # 8211 48 = -48
إذن ، الرأس هو (0 ، -48)

يمكننا أن نرى في الرسم البياني أن المجال عبارة عن مجموعة من جميع الأرقام الحقيقية ، R والمدى هو [-48 ، ∞)

السؤال 17.
ف (س) = س 2 + 9 س + 14
إجابه:

السؤال 18.
ص (س) = س 2 + 6 س & # 8211 27
إجابه:
في الدالة f (x) = a (x & # 8211 p) (x & # 8211 q)
الخطوة 1: تقاطعات x هي -9 و 3.
ارسم النقاط (-9 ، 0) و (3 ، 0)
الخطوة 2:
ارسم محور التناظر x = -9 + 3/2 = -3
الخطوه 3:
إحداثي x للرأس هو -3
و (-3) = (-3) 2 + 6 (-3) & # 8211 27 = -36
إذن ، الرأس هو (-3 ، -36)

يمكننا أن نرى في الرسم البياني أن المجال عبارة عن مجموعة من جميع الأرقام الحقيقية ، R والمدى هو [-36، ∞)

السؤال 19.
ص = 4x 2 & # 8211 36x + 32
إجابه:

السؤال 20.
ص = -2 س 2 & # 8211 4 س + 30
إجابه:
في الدالة f (x) = a (x & # 8211 p) (x & # 8211 q)
الخطوة 1: تقاطعات x هي 3 و -5.
ارسم النقاط (3 ، 0) و (-5 ، 0)
الخطوة 2:
ارسم محور التناظر x = 3 + (-5) / 2 = -1
الخطوه 3:
إحداثي x للرأس هو -1
و (-1) = -2 (-1) 2 & # 8211 4 (-1) + 30 = 32
إذن ، الرأس هو (-1 ، 32)

يمكننا أن نرى في الرسم البياني أن المجال عبارة عن مجموعة من جميع الأعداد الحقيقية ، R والمدى هو (-، 32]

في تمارين 21-30 ، أوجد صفر (أصفار) الدالة.
السؤال 21.
ص = -2 (س & # 8211 2) (س & # 8211 10)
إجابه:

السؤال 22.
و (س) = ( فارك <1> <3> ) (س + 5) (س & # 8211 1)
إجابه:
و (س) = ( فارك <1> <3> ) (س + 5) (س & # 8211 1)
( فارك <1> <3> ) (س + 5) (س & # 8211 1) = 0
س + 5 = 0 أو س & # 8211 1 = 0
س = -5 أو س = 1

السؤال 23.
ز (س) = س 2 + 5 س & # 8211 24
إجابه:

السؤال 24.
ص = س 2 & # 8211 17 س + 52
إجابه:
معطى،
ص = س 2 & # 8211 17 س + 52
س 2 & # 8211 17 س + 52 = 0
x 2 & # 8211 4x & # 8211 13x + 52 = 0
x (x & # 8211 4) & # 8211 13 (x & # 8211 4) = 0
(x & # 8211 4) (x & # 8211 13) = 0
x & # 8211 4 = 0 أو x & # 8211 13 = 0
س = 4 أو س = 13

السؤال 25.
ص = 3x 2 & # 8211 15x & # 8211 42
إجابه:

السؤال 26.
ز (س) = -4 س 2 & # 8211 8 س & # 8211 4
إجابه:
ز (س) = -4 س 2 & # 8211 8 س & # 8211 4
-4x 2 & # 8211 8x & # 8211 4 = 0
(س + 1) 2 = 0
س + 1 = 0
س = -1

السؤال 27.
و (س) = (س + 5) (س 2 & # 8211 4)
إجابه:

السؤال 28.
ح (س) = (س 2 & # 8211 36) (س & # 8211 11)
إجابه:
ح (س) = (س 2 & # 8211 36) (س & # 8211 11)
(x 2 & # 8211 36) (x & # 8211 11) = 0
(x + 6) (x & # 8211 6) (x & # 8211 11) = 0
x + 6 = 0 أو x & # 8211 6 = 0 أو x & # 8211 11 = 0
س = -6 أو 6 أو 11

السؤال 29.
ص = س 3 & # 8211 49 س
إجابه:

السؤال 30.
y = x 3 & # 8211 x 2 & # 8211 9x + 9
إجابه:
y = x 3 & # 8211 x 2 & # 8211 9x + 9
x 3 & # 8211 x 2 & # 8211 9x + 9 = 0
× 2 (x & # 8211 1) -9 (x & # 8211 1) = 0
(x & # 8211 1) (x² & # 8211 9) = 0
(x & # 8211 1) (x & # 8211 3) (x + 3) = 0
x & # 8211 1 = 0 أو x & # 8211 3 = 0 أو x + 3 = 0
س = 1 أو س = 3 أو س = -3

في التدريبات 31-36 ، طابق الوظيفة مع الرسم البياني الخاص بها.
السؤال 31.
ص = (س + 5) (س + 3)
إجابه:

السؤال 32.
ص = (س + 5) (س & # 8211 3)
إجابه:
ص = (س + 5) (س & # 8211 3)
(س + 5) (س & # 8211 3) = 0
س + 5 = 0 أو س & # 8211 3 = 0
س = -5 أو س = 3

السؤال 33.
ص = (س & # 8211 5) (س + 3)
إجابه:

السؤال 34.
ص = (س & # 8211 5) (س & # 8211 3)
إجابه:
ص = (س & # 8211 5) (س & # 8211 3)
(x & # 8211 5) (x & # 8211 3) = 0
x & # 8211 5 = 0 أو x & # 8211 3 = 0
س = 5 أو س = 3

السؤال 35.
ص = (س + 5) (س & # 8211 5)
إجابه:

السؤال 36.
ص = (س + 3) (س & # 8211 3)
إجابه:
ص = (س + 3) (س & # 8211 3)
(س + 3) (س & # 8211 3) = 0
س + 3 = 0 أو س & # 8211 3 = 0
س = -3 أو س = 3

في التدريبات 37-42 ، استخدم الأصفار لرسم الدالة.
السؤال 37.
و (س) = (س + 2) (س & # 8211 6)
إجابه:

السؤال 38.
ز (س) = -3 (س + 1) (س + 7)
إجابه:
ز (س) = -3 (س + 1) (س + 7)
س = 0
ص = -3 (0 + 1) (0 + 7) = -21
س = -1 و س = -7
نرسم النقاط (0 ، -21) ، (-1 ، 0) ، (-7 ، 0) ونجمعها لرسم القطع المكافئ.

السؤال 39.
ص = س 2 & # 8211 11 س + 18
إجابه:

السؤال 40.
y = x 2 & # 8211 x & # 8211 30
إجابه:
معطى،
y = x 2 & # 8211 x & # 8211 30
س = 0
ص = 0 2 & # 8211 0 & # 8211 30 = -30
× 2 & # 8211 × & # 8211 30 = 30
x 2 + 5x & # 8211 6x & # 8211 30 = 0
(س + 5) (س & # 8211 6) = 0
س + 5 = 0 أو س & # 8211 6 = 0
س = -5 أو س = 6

السؤال 41.
ص = -5 س 2 & # 8211 10 × + 40
إجابه:

السؤال 42.
ح (س) = 8 س 2 & # 8211 8
إجابه:
ح (س) = 8 س 2 & # 8211 8
س = 0
ص = 8 (0) 2 & # 8211 8 = -8
8 × 2 & # 8211 8 = 0
8 (× 2 & # 8211 1) = 0
8 (س + 1) (س & # 8211 1) = 0
x + 1 = 0 أو x & # 8211 1 = 0
س = -1 أو س = 1

تحليل الأخطاء في التمرينين 43 و 44 ، صف وصحح الخطأ في إيجاد أصفار الدالة.
السؤال 43.

إجابه:

السؤال 44.

إجابه:
ص = (س + 4) (س 2 & # 8211 9)
(س + 4) (س + 3) (س & # 8211 3) = 0
x + 4 = 0 أو x + 3 = 0 أو x & # 8211 3 = 0
س = -4 أو س = -3 أو س = 3
الخطأ كان في حل المعادلة x 2 & # 8211 9 = 0 بطريقة خاطئة. تم التعامل معها على أنها معادلة خطية ، ولكنها معادلة من الدرجة الثانية يمكن حلها إما مباشرة باستخدام طريقة الجذر التربيعي أو عن طريق تحليل التعبير وتطبيق خاصية المنتج الصفري.

في التدريبات 45-56 ، اكتب دالة تربيعية في شكل قياسي يلبي رسمها البياني الشرط (الشروط) المعين.
السؤال 45.
قمة الرأس: (7 ، -3)
إجابه:

السؤال 46.
قمة الرأس: (4 ، 8)
إجابه:
و (س) = أ (س & # 8211 س) ² + ك
الخامس (ح ، ك) = (4 ، 8)
ع = 4 ، ك = 8
و (س) = أ (س & # 8211 4) ² + 8
أ = 1
و (س) = 1 (x & # 8211 4) ² + 8
f (x) = (x & # 8211 4) ² + 8 = x² & # 8211 8x + 24

السؤال 47.
تقاطعات x: 1 و 9
إجابه:

السؤال 48.
تقاطعات x: -2 و -5
إجابه:
معطى،
تقاطعات x: -2 و -5
و (x) = أ [x & # 8211 (-2)] [x & # 8211 (-5)]
و (س) = أ (س + 2) (س + 5)
أ = 1
و (س) = 1 (س + 2) (س + 5)
و (س) = (س + 2) (س + 5)
= س² + 5 س + 2 س + 10
= x² + 7x + 10

السؤال 49.
يمر عبر (-4 ، 0) ، (3 ، 0) ، و (2 ، -18)
إجابه:

السؤال 50.
يمر عبر (-5 ، 0) ، (-1 ، 0) ، و (-4 ، 3)
إجابه:
و (x) = أ [x & # 8211 (-5)] [x & # 8211 (-1)]
و (س) = أ (س + 5) (س + 1)
أ (-4 + 5) (- 4 + 1) = 3
-3 أ = 3
أ = -1
و (س) = -1 (س + 5) (س + 1)
و (س) = - (س² + س + 5 س + 5)
& # 8211 ײ & # 8211 6x & # 8211 5

السؤال 51.
يمر من خلال (7 ، 0)
إجابه:

السؤال 52.
يمر عبر (0 ، 0) و (6 ، 0)
إجابه:
نقاط القطع المكافئ (0 ، 0) و (6 ، 0)
f (x) = a [x & # 8211 0] [x & # 8211 6]
و (س) = فأس (س & # 8211 6)
أ = 1
و (س) = س (س & # 8211 6)
f (x) = x² & # 8211 6x

السؤال 53.
محور التناظر: x = -5
إجابه:

السؤال 54.
يزداد y كلما زادت x عندما تقل x & lt 4 y كلما زادت x عندما x & gt 4.
إجابه:
محور تناظر دالة تربيعية مع معادلة الشكل
و (س) = أ (س & # 8211 ف) (س & # 8211 ف)
س = (ف + ف) / 2
يتغير سلوك الرسم البياني عند x = 4. وهذا يعني أن محور التناظر x = 4 /
س = (ف + ف) / 2 = 4
و (س) = -2 (س) (س & # 8211 8)
f (x) = -2x² + 16x

السؤال 55.
النطاق: ص ≥ -3
إجابه:

السؤال 56.
النطاق: ص 10
إجابه:
الدالة f (x) = ax² + x سيكون لها نطاق
y ≥ c إذا a & gt 0 أو
y ≤ c إذا كان a & lt 0
هذا يعني أنه في الدالة المعطاة a & gt 0 و c = 10
f (x) = -2x² + 10

في التدريبات 57-60 ، اكتب الدالة التربيعية التي يمثلها الرسم البياني.
السؤال 57.

إجابه:

السؤال 58.

إجابه:
بالنسبة إلى الرسم البياني المعطى ، فإن تقاطعات x هي 1 و 7.
ص = و ف = 7
و (س) = أ (س & # 8211 1) (س & # 8211 7)
لإيجاد قيمة a ، استبدل قيمتي x و y للنقطة على القطع المكافئ (6 ، 5)
5 = أ (6 & # 8211 1) (6 & # 8211 7)
5 = أ. 5. -1
5 = -5 أ
أ = -1

السؤال 59.

إجابه:

السؤال 60.

إجابه:
بالنسبة إلى الرسم البياني المعطى ، فإن تقاطعات x هي 6 و 10.
ص = 6 و ف = 10
و (س) = أ (س & # 8211 6) (س & # 8211 10)
لإيجاد قيمة a ، استبدل قيمتي x و y للنقطة على القطع المكافئ (6 ، 5)
-2 = أ (8 & # 8211 6) (8 & # 8211 10)
-2 = أ. 2. -2
-2 = -4 أ
أ = 1/2

في التدريبات 61-68 ، استخدم الأصفار لرسم الدالة.
السؤال 61.
ص = 5 س (س + 2) (س & # 8211 6)
إجابه:

السؤال 62.
و (س) = -x (س + 9) (س + 3)
إجابه:
الوظيفة بالكامل والأصفار هي: 0 ، -9 ، -3.
ارسم النقاط المقابلة: (-9 ، 0) ، (-3 ، 0) ، (0 ، 0)
للمساعدة في تحديد شكل الرسم البياني ، ابحث عن النقاط بين الأصفار وارسمها.

السؤال 63.
ح (س) = (س & # 8211 2) (س + 2) (س + 7)
إجابه:

السؤال 64.
ص = (س + 1) (س & # 8211 5) (س & # 8211 4)
إجابه:
الوظيفة بالكامل والأصفار هي: -1 ، 5 ، 4
ارسم النقاط المقابلة: (-1 ، 0) ، (4 ، 0) ، (5 ، 0)
للمساعدة في تحديد شكل الرسم البياني ، ابحث عن النقاط بين الأصفار وارسمها.

السؤال 65.
f (x) = 3x 3 & # 8211 48x
إجابه:

السؤال 66.
ص = -2 س 3 + 20 س 2 & # 8211 50 س
إجابه:
ص = -2 س 3 + 20 س 2 & # 8211 50 س
ص = -2 س (س 2 & # 8211 10 × + 25)
ص = -2 س (س & # 8211 5) (س & # 8211 5)
ارسم النقاط المقابلة: (0 ، 0) ، (5 ، 0)
للمساعدة في تحديد شكل الرسم البياني ، ابحث عن النقاط بين الأصفار وارسمها

السؤال 67.
y = -x 3 & # 8211 16x 2 & # 8211 28x
إجابه:

السؤال 68.
ز (x) = 6x 3 + 30x 2 & # 8211 36x
إجابه:
معطى،
ز (x) = 6x 3 + 30x 2 & # 8211 36x
ز (س) = 6 س (س 2 + 5 س & # 8211 6)
ز (س) = 6 س (س & # 8211 1) (س + 6)
الوظيفة بالكامل والأصفار هي: 0 ، 1 ، -6
ارسم النقاط المقابلة: (-6 ، 0) ، (0 ، 0) ، (1 ، 0)
للمساعدة في تحديد شكل الرسم البياني ، ابحث عن النقاط بين الأصفار وارسمها

في تمارين 69-72 ، اكتب دالة التكعيبية التي يمثلها الرسم البياني.
السؤال 69.

إجابه:

السؤال 70.

إجابه:
من الرسم البياني ، تقاطعات x هي -3 ، 0 ، 2
و (س) = أ (س & # 8211 ص) (س & # 8211 ف) (س & # 8211 ص)
و (س) = أ (س & # 8211 (-3)) (س & # 8211 0) (س & # 8211 2)
و (س) = أ (س + 3) (س) (س & # 8211 2)
استخدم النقطة الأخرى (-1 ، -36) لإيجاد قيمة أ
-36 = أ (-1 + 3) (- 1) (- 1 & # 8211 2)
-36 = 6 أ
أ = -6
و (س) = -6 (س + 3) (س) (س & # 8211 2)
= -6 س 3 -6 س 2 + 36 س

السؤال 71.

إجابه:

السؤال 72.

إجابه:
من الرسم البياني ، تقاطعات x هي 1 ، 3 ، 6.
و (س) = أ (س & # 8211 ص) (س & # 8211 ف) (س & # 8211 ص)
و (س) = أ (س & # 8211 1) (س & # 8211 3) (س & # 8211 6)
استخدم النقطة الأخرى (5 ، -40) لإيجاد قيمة a
-40 = أ (5 & # 8211 1) (5 & # 8211 3) (5 & # 8211 6)
-40 = -8 أ
أ = 5
و (س) = 5 (س & # 8211 1) (س & # 8211 3) (س & # 8211 6)
f (x) = 5x³ + -50x² + 135x & # 8211 90

في تمارين 73-76 ، اكتب دالة تكعيبية يفي رسمها البياني بشرط (شروط) معينة.
السؤال 73.
تقاطعات x: -2 و 3 و 8
إجابه:

السؤال 74.
تقاطعات x: -7 و -5 و 0
إجابه:
بالنظر إلى x-intercepts ، استخدم نموذج التقاطع:
و (س) = أ (س & # 8211 ص) (س & # 8211 ف) (س & # 8211 ص)
أ = 1
f (x) = 1 (x & # 8211 (-7)) (x & # 8211 (-5)) (x & # 8211 0)
و (س) = (س + 7) (س + 5) (س)
f (x) = x² + 12x² + 35x

السؤال 75.
يمر عبر (1 ، 0) و (7 ، 0)
إجابه:

السؤال 76.
يمر من خلال (0 ، 6)
إجابه:
لاحظ أن المعطى ليس تقاطع س
نظرًا لأننا نحتاج إلى دالة تكعيبية ، فنحن بحاجة إلى 3 تقاطعات.
من أجل البساطة ، سنستخدم (-1 ، 0) ، (1 ، 0) و (2 ، 0)
بالنظر إلى x-intercepts ، استخدم نموذج التقاطع:
و (س) = أ (س & # 8211 ص) (س & # 8211 ف) (س & # 8211 ص)
f (x) = a (x & # 8211 (-1)) (x & # 8211 1) (x & # 8211 2)
استخدم النقطة الأخرى (0 ، 6) لإيجاد قيمة a:
6 = أ (0 + 1) (0 & # 8211 1) (0 & # 8211 2)
6 = 2 أ
أ = 3
و (س) = 3 (س + 1) (س & # 8211 1) (س & # 8211 2)
f (x) = 3x³ & # 8211 6x² & # 8211 3x + 6

في التدريبات 77-80 ، يتم إعطاء كل أصفار الدالة. استخدم الأصفار والنقطة الأخرى المعطاة لكتابة دالة تربيعية أو تكعيبية يمثلها الجدول.
السؤال 77.

إجابه:

السؤال 78.

إجابه:
بالنظر إلى x-intercepts ، استخدم نموذج التقاطع:
و (س) = أ (س & # 8211 ص) (س & # 8211 ف) (س & # 8211 ص)
تقاطعات x هي -3 و 4.
ص = -3 و ف = 4
و (س) = أ (س +3) (س -4)
-72 = أ (1 +3) (1-4)
-72 = -12 أ
أ = 6
لذلك ، فإن معادلة الدالة التربيعية المعطى رسمها البياني
و (س) = 6 (س + 3) (س & # 8211 4)

السؤال 79.

إجابه:

السؤال 80.

إجابه:
بالنظر إلى تقاطعات x (-8 ، -3 ، 0) استخدم صيغة التقاطع:
و (س) = أ (س & # 8211 ص) (س & # 8211 ف) (س & # 8211 ص)
f (x) = a (x & # 8211 (-8)) (x & # 8211 (-3)) (x & # 8211 0)
و (س) = أ (س +8) (س + 3) (س)
-36 = أ (-6 + 8) (- 6 + 3) (- 6)
-36 = 36 أ
أ = 1
و (س) = -1 (س +8) (س + 3) (س)
f (x) = -x³ & # 8211 11x² + 24x

في تمارين 81-84 ، ارسم قطعًا مكافئًا يفي بالشروط المحددة.
السؤال 81.
تقاطعات س: نطاق -4 و 2: ص ≥ -3
إجابه:

السؤال 82.
محور التناظر: س = 6 يمر (4 ، 15)
إجابه:
اجعل معادلة القطع المكافئ y = a (x & # 8211 h) ² + k
س = 6 ، ع = 6
يمر القطع المكافئ من خلال (4 ، 15).
15 = أ (4 & # 8211 6) ² + ك
15 = 4 أ + ك
أ = 1
15 = 4 + ك
ك = 11

السؤال 83.
النطاق: y ≤ 5 يمر عبر (0، 2)
إجابه:

السؤال 84.
تقاطع س: 6 تقاطع ص: 1 النطاق: ص ≥ -4
إجابه:

السؤال 85.
النمذجة مع الرياضيات
تتشكل أطباق الأقمار الصناعية على شكل قطع مكافئ لاستقبال الإشارات على النحو الأمثل. يمكن نمذجة المقطع العرضي لطبق القمر الصناعي من خلال الوظيفة الموضحة ، حيث يتم قياس x و y بالأقدام. يمثل المحور السيني الجزء العلوي من فتحة الطبق.

أ. ما هو عرض طبق الأقمار الصناعية؟
ب. ما هو عمق طبق الأقمار الصناعية؟
ج. اكتب دالة تربيعية في شكل قياسي تمثل المقطع العرضي لطبق القمر الصناعي الذي يبلغ عرضه 6 أقدام وعمقه 1.5 قدم.
إجابه:

السؤال 86.
النمذجة مع الرياضيات
يتم تصميم تسديدة لاعب كرة السلة المحترف من خلال الوظيفة الموضحة ، حيث يتم قياس س وص بالقدم.

أ. هل يقوم اللاعب بالتصويب؟ يشرح.
إجابه:
يقوم اللاعب بالتصويب إذا كانت النقطة (3 ، 0) على القطع المكافئ.
0 = & # 8211 ( frac <1> <20> ) (3² & # 8211 19 (3) + 48)
0 = & # 8211 ( فارك <1> <20> ) (9 & # 8211 57 + 48)
0 = 0
نعم ، سوف يصنع اللقطة

ب. يطلق لاعب كرة السلة تسديدة أخرى من النقطة (13 ، 0) ويقوم بالتسديدة. الطلقة تمر أيضا من خلال النقطة (10 ، 1.4). اكتب دالة تربيعية في الشكل القياسي الذي يمثل مسار اللقطة.
إجابه:
يتم إعطاء اعتراضين (3 ، 0) و (13 ، 0)
ص = أ (س & # 8211 ف) (س & # 8211 ف)
y = a (x & # 8211 3) (x & # 8211 13)
استخدم النقطة الأخرى (10 ، 1.4) لإيجاد قيمة a
1.4 = أ (10 & # 8211 3) (10 & # 8211 13)
1.4 = -21 أ
أ = & # 8211 ( فارك <1> <15> )
و (س) = & # 8211 ( فارك <1> <15> ) (س & # 8211 3) (س & # 8211 13)
و (س) = & # 8211 ( فارك <1> <15> ) (س² & # 8211 16 س + 39)

استخدام الهيكل في التدريبات 87-90 ، طابق الوظيفة مع الرسم البياني الخاص بها.
السؤال 87.
ص = -x 2 + 5 س
إجابه:

السؤال 88.
y = x 2 & # 8211 x & # 821112
إجابه:
المعطى دالة تربيعية ، لذا فهي إما أ أو د.
بالتعويض عن x = 0 ، يكون تقاطع y
ص = (0) 2 & # 8211 0 & # 8211 12 = -12
هذا يتوافق مع الرسم البياني أ.

السؤال 89.
y = x 3 & # 8211 2x 2 & # 8211 8x
إجابه:

السؤال 90.
y = x 3 & # 8211 4x 2 & # 8211 11x + 30
إجابه:
المعطى دالة تكعيبية. إذن فهي إما B أو C.
بالتعويض عن x = 0 ، يكون تقاطع y
y = x 3 & # 8211 4x 2 & # 8211 11x + 30
ص = (0) 3 & # 8211 4 (0) 2 & # 8211 11 (0) + 30 = 30
هذا يتوافق مع الرسم البياني ب.

السؤال 91.
التفكير النقدي
اكتب دالة تربيعية يمثلها الجدول ، إن أمكن. إذا لم يكن كذلك ، اشرح السبب.

إجابه:
لا يمكن كتابة دالة تربيعية يمثلها الجدول. نظرًا لأن -5 و 1 هما تقاطع x ، فإن محور التناظر هو x = -2. النقطتان (-3 ، 12) و (-1 ، 4) هي نفس المسافة الأفقية من محور التناظر ، لذلك لكي يقع كل منهما على القطع المكافئ ، سيكون لهما نفس إحداثيات y.

السؤال 92.
كيف ترى ذلك؟
يُظهر الرسم البياني القوس المكافئ الذي يدعم سقف مركز المؤتمرات ، حيث يتم قياس x و y بالأقدام.

أ. يمكن تمثيل القوس بدالة من الشكل f (x) = a (x & # 8211 p) (x & # 8211 q). قدّر قيم p و q.
إجابه:
من الرسم البياني ، تقاطع x هما 75 و 425.
ص = 75 و ف = 425
ب. قدر عرض القوس وارتفاعه. اشرح كيف يمكنك استخدام تقدير الارتفاع لحساب.
إجابه:
العرض هو المسافة بين تقاطع x
العرض = | 75 & # 8211 425 |
العرض = 350 قدم
الارتفاع حوالي 60 قدمًا
نظرًا لأن الارتفاع يتوافق مع موقع الرأس ، فيمكننا استخدامه كنقطة إضافية لإيجاد قيمة a.

تحليل المعادلات في تمرين 93 و 94 ،
(أ) أعد كتابة الدالة التربيعية في شكل تقاطع و
(ب) رسم الدالة باستخدام أي طريقة. اشرح الطريقة التي استخدمتها.
السؤال 93.
و (س) = -3 (س + 1) 2 + 27
إجابه:

السؤال 94.
ز (س) = 2 (س & # 8211 1) 2 & # 8211 2
إجابه:
يقع الرأس عند (h، k) و
ز (س) = 2 (س & # 8211 1) 2 & # 8211 2
ز (س) = 2 (س 2 & # 8211 2 س + 1) & # 8211 2
ز (x) = 2x 2 & # 8211 4x + 2 & # 8211 2
ز (س) = 2x 2 & # 8211 4x
ز (س) = 2 (س) (س & # 8211 2)
تقاطعات x للدالة المعينة هي 0 و 2.
ارسم النقاط (0 ، 0) و (2 ، 0)

السؤال 95.
جاري الكتابة
هل يمكن كتابة دالة تربيعية بصفر حقيقي واحد بالضبط في صورة تقاطع؟ يشرح.
إجابه:

السؤال 96.
إبداء رأي
يدعي صديقك أنه يمكن كتابة أي دالة تربيعية في شكل قياسي وفي شكل قمة. هل صديقك محق؟ يشرح.
الجواب: صديقي محق
يمكن كتابة أي دالة تربيعية في شكل رأس.
y = a (x² & # 8211 2hx + h²) + k
ب = -2ahx
ج = ح² + ك
يمكن كتابة أي دالة تربيعية في شكل قياسي. عندما تكون دالة تربيعية في شكل قياسي ، يمكن تطبيق إكمال المربع بحيث يمكن تحويله إلى شكل قمة.

السؤال 97.
حل المشاكل
اكتب الدالة التي يمثلها الرسم البياني في صورة تقاطع.

إجابه:

السؤال 98.
التفكير في إثبات
ارسم الرسم البياني لكل دالة. اشرح الإجراء الخاص بك.
أ. و (س) = (س 2 & # 8211 1) (س 2 & # 8211 4)
ب. ز (س) = س (س 2 & # 8211 1) (س 2 & # 8211 4)
إجابه:

السؤال 99.
منطق
دع k يكون ثابتًا. أوجد أصفار الدالة f (x) = kx 2 & # 8211 k 2 x & # 8211 2k 3 بدلالة k.
إجابه:

حل المشاكل في التمرينين 100 و 101 ، اكتب نظامًا من معادلتين تربيعيتين تتقاطع رسوماتهما البيانية عند نقاط معينة. اشرح أسبابك.
السؤال 100.
(-4 ، 0) و (2 ، 0)
إجابه:
بالنظر إلى تقاطعات x (-4 ، 2) استخدم صيغة التقاطع:
ص = أ (س & # 8211 ف) (س & # 8211 ف)
y = a (x & # 8211 (-4)) (x & # 8211 2)
ص = أ (س + 4) (س & # 8211 2)
ص = أ (س² + 2 س & # 8211 8)
لإيجاد معادلتين ، يجب أن تكون a أي قيمة ثابتة بخلاف 0
y = x² + 2x & # 8211 8
y = -x² & # 8211 2x + 8

السؤال 101.
(3 ، 6) و (7 ، 6)
إجابه:

إتقان الرياضيات

يوضح مخطط التبعثر الكميات x (بالجرام) من الدهون وأعداد السعرات الحرارية في 12 برجر في مطعم للوجبات السريعة.

السؤال 102.
كم عدد السعرات الحرارية في البرجر الذي يحتوي على 12 جرامًا من الدهون؟
إجابه:
من الرسم البياني أعلاه ، نلاحظ أن هناك ما يقرب من 300 سعر حراري في برجر يحتوي على 12 جرامًا من الدهون.

السؤال 103.
كم غرام من الدهون في البرجر يحتوي على 600 سعرة حرارية؟
إجابه:

السؤال 104.
ما الذي يميل إلى أن يحدث لعدد السعرات الحرارية كلما زاد عدد جرامات الدهون؟
الجواب: مع زيادة عدد جرامات الدهون ، يزداد عدد السعرات الحرارية أيضًا.

حدد ما إذا كان التسلسل حسابيًا أم هندسيًا أم لا. اشرح أسبابك.
السؤال 105.
3, 11, 21, 33, 47, . . .
إجابه:

السؤال 106.
-2, -6, -18, -54, . . .
إجابه:
-6 / -2 = -18 / -6 & # 8230 .. تسلسل هندسي

السؤال 107.
26, 18, 10, 2, -6, . . .
إجابه:

السؤال 108.
4, 5, 9, 14, 23, . . .
إجابه:
5 & ​​# 8211 4 ≠ 9 & # 8211 5 ليس تسلسلًا حسابيًا
5/4 ≠ 9/5 ليس تسلسلًا هندسيًا

الدرس 8.6 مقارنة الدوال الخطية والأسية والتربيعية

السؤال الجوهري كيف يمكنك مقارنة معدلات نمو الدوال الخطية والأسية والتربيعية؟

الاستكشاف 1

مقارنة السرعات
العمل مع شريك. تبدأ ثلاث سيارات بالسفر في نفس الوقت. المسافة المقطوعة في t دقيقة هي y ميل. أكمل كل جدول وارسم الرسوم البيانية الثلاثة في نفس مستوى الإحداثي. قارن سرعات السيارات الثلاث. أي سيارة لها سرعة ثابتة؟ أي سيارة تتسارع أكثر؟ اشرح أسبابك.

الاستكشاف 2

مقارنة السرعات

العمل مع شريك. حلل سرعات السيارات الثلاث خلال فترات زمنية معينة. المسافة المقطوعة في t دقيقة هي y ميل. أي سيارة تتفوق في النهاية على الآخرين؟

قم بتوصيل إجابتك

السؤال 3.
كيف يمكنك مقارنة معدلات نمو الدوال الخطية والأسية والتربيعية؟
إجابه:

السؤال 4.
ما الوظيفة التي لها معدل نمو أكبر بكثير في النهاية من معدلات نمو الوظيفتين الأخريين؟ اشرح أسبابك.
إجابه:

رصد التقدم المحرز

ارسم النقاط. حدد ما إذا كانت النقاط تبدو وكأنها تمثل دالة خطية أم أسية أم تربيعية.
السؤال رقم 1.
(-1, 5), (2, -1), (0, -1), (3, 5), (1, -3)
إجابه:

السؤال 3.
(-3, 5), (0, -1), (2, -5), (-4, 7), (1, -3)
إجابه:

السؤال 4.
حدد ما إذا كان جدول القيم يمثل دالة خطية أم أسية أم تربيعية.

إجابه:

السؤال 5.
حدد ما إذا كان جدول القيم يمثل دالة خطية أم أسية أم تربيعية. ثم اكتب الوظيفة.

إجابه:

السؤال 6.
قارن مواقع الويب في المثال 4 بحساب وتفسير متوسط ​​معدلات التغيير من اليوم 0 إلى اليوم 10.
إجابه:

السؤال 7.
ماذا إذا؟
زاد عدد سكان تينيفيل بنسبة 8٪ كل عام. في أي عام كان عدد السكان متساويًا؟
إجابه:

مقارنة الدوال الخطية والأسية والتربيعية 8.6 تمارين

المفردات والمفهوم الأساسي التحقق

السؤال رقم 1.
جاري الكتابة
قم بتسمية ثلاثة أنواع من الوظائف التي يمكنك استخدامها لنمذجة البيانات. صف المعادلة والرسم البياني لكل نوع من الوظائف.
إجابه:

السؤال 2.
جاري الكتابة
كيف يمكنك أن تقرر ما إذا كنت تريد استخدام دالة خطية أم أسية أم تربيعية لنمذجة مجموعة بيانات؟
إجابه:
إذا كان لقيم y المتتالية فرق أول ثابت ، فيجب استخدام دالة خطية لنمذجة مجموعة بيانات.
إذا كان لقيم y المتتالية فرق ثانٍ ثابت ، فيجب استخدام دالة تربيعية لنمذجة مجموعة بيانات.
في حالة وجود نسبة شائعة ، قيم y متتالية ، يجب استخدام دالة أسية لنمذجة مجموعة بيانات.

السؤال 3.
كلمات
صف كيفية إيجاد متوسط ​​معدل تغير دالة y = f (x) بين x = a و x = b.
إجابه:

السؤال 4.
أي واحد لا ينتمي؟
أي رسم بياني لا ينتمي إلى الثلاثة الآخرين؟ اشرح أسبابك.

إجابه:
الرسم البياني الثالث من اليسار لا ينتمي إلى المجموعة. هذا لأن الرسوم البيانية الثلاثة الأخرى عبارة عن قطع مكافئ وهي رسوم بيانية للوظائف التربيعية. الرسم البياني الثالث يتضمن دالة أسية.

مراقبة التقدم والنمذجة بالرياضيات

في التدريبات 5-8 ، حدد ما إذا كانت النقاط تمثل دالة خطية أم أسية أم تربيعية.
السؤال 5.

إجابه:

السؤال 6.

إجابه:
الرسم البياني عبارة عن منحنى يتناقص من اليسار إلى اليمين ، لذلك يجب أن يتضمن دالة أسية.
لاحظ أيضًا أن قيم y هي 16 ، 8 ، 4 ، & # 8230 مما يدل على نسبة مشتركة 1/2.

، السؤال 7.

إجابه:

السؤال 8.

إجابه:
النقاط من خط مستقيم.
لاحظ أيضًا أنه لكل وحدة زيادة في قيمة x ، تزيد قيمة y بمقدار 3 وحدات.
وبالتالي فإن النقاط تمثل دالة خطية.

في التدريبات من 9 إلى 14 ، ارسم النقاط. حدد ما إذا كانت النقاط تبدو وكأنها تمثل دالة خطية أم أسية أم تربيعية.
السؤال 9.
(-2, -1), (-1, 0), (1, 2), (2, 3), (0, 1)
إجابه:

السؤال 10.
(0، ( frac <1> <4> ))، (1، 1)، (2، 4)، (3، 16)، (-1، ( frac <1> <16> ))
إجابه:

يبدو أن النقاط تمثل دالة أسية.

السؤال 11.
(0, -3), (1, 0), (2, 9), (-2, 9), (-1, 0)
إجابه:

السؤال 12.
(-1, -3), (-3, 5), (0, -1), (1, 5), (2, 15)
إجابه:
يبدو أن النقطة تمثل دالة تربيعية بمحور تماثل x = -1

السؤال 13.
(-4, -4), (-2, -3.4), (0, -), (2, -2.6), (4, -2)
إجابه:

السؤال 14.
(0, 8), (-4, 0.25), (-3, 0.4), (-2, 1), (-1, 3)
إجابه:

في التدريبات 15-18 ، حدد ما إذا كان جدول القيم يمثل دالة خطية أم أسية أم تربيعية.
السؤال 15.

إجابه:

السؤال 16.

إجابه:
قيم y المتتالية لها نسبة مشتركة 5.
لذلك فإن جدول القيم يمثل دالة أسية.

السؤال 17.

إجابه:

السؤال 18.

إجابه:
تحتوي قيم y في الجدول على:
الفرق الأول: 2.5 ، 3.5 ، 4.5 ، 5 ، 5.5
الفرق الثاني: 1 ، 1 ، 1
تحتوي قيم y على اختلاف ثانٍ مشترك ، وبالتالي فإن جدول القيم يمثل وظيفة تربيعية.

السؤال 19.
النمذجة مع الرياضيات
يأخذ طالب مترو أنفاق إلى مكتبة عامة. يوضح الجدول المسافات d (بالأميال) التي يقطعها الطالب في t دقيقة. دع الوقت t يمثل المتغير المستقل. أخبر ما إذا كان يمكن نمذجة البيانات بواسطة دالة خطية أو أسية أو تربيعية. يشرح.

إجابه:

السؤال 20.
النمذجة مع الرياضيات
متجر يبيع سجاد دائري مخصص. يوضح الجدول التكاليف ج (بالدولار) للسجاد التي يبلغ قطرها d قدم. دع القطر d يمثل المتغير المستقل. أخبر ما إذا كان يمكن نمذجة البيانات بواسطة دالة خطية أو أسية أو تربيعية. يشرح.

إجابه:
نظرًا لأن الاختلافات الثانية لقيم x المتتالية ثابتة ، يمكن نمذجة البيانات كدالة تربيعية.
الفارق الأول: 49.7 ، 63.9 ، 78.1
الفرق الثاني: 14.2 ، 14.2

في التدريبات 21-26 ، حدد ما إذا كانت البيانات تمثل دالة خطية أم أسية أم تربيعية. ثم اكتب الوظيفة.
السؤال 21.
(-2, 8), (-1, 0), (0, -4), (1, -4), (2, 0), (3, 8)
إجابه:

السؤال 22.
(-3, 8), (-2, 4), (-1, 2), (0, 1), (1, 0.5)
إجابه:
/>
البيانات ليس لها فرق ثابت الأول ولا الثاني.
لاحظ أن هناك نسبة مشتركة 0.5 يمكنك ضربها للحصول على قيمة y التالية. لذلك يجب أن تمثل البيانات دالة أسية ذات أساس 0.5 أو 1/2.
و (س) = أ. (1/2) x
استخدم أي نقطة تقول (0 ، 1) لإيجاد قيمة a
1 = أ. (1/2) 0
1 = أ. 1
أ = 1
وبالتالي فإن الوظيفة التي تمثل البيانات المعطاة هي f (x) = (1/2) x

السؤال 23.

إجابه:

السؤال 24.

إجابه:
البيانات ليس لها فرق ثابت الأول ولا الثاني.
لاحظ أن هناك نسبة مشتركة 2 يمكنك ضربها للحصول على قيمة y التالية. لذلك يجب أن تمثل البيانات دالة أسية ذات أساس 2.
و (س) = أ. (2) x
استخدم أي نقطة تقول (0 ، 5) لإيجاد قيمة a
5 = أ. (2) 0
5 = أ. 1
أ = 5
وبالتالي فإن الوظيفة التي تمثل البيانات المعطاة هي f (x) = 5. 2 ×

السؤال 25.

إجابه:

السؤال 26.

إجابه:
لاحظ أن الرسم البياني يوضح النقاط التي تشكل خطًا وبالتالي يجب أن تمثل البيانات دالة خطية.
يوضح الرسم البياني أن وظائف تقاطع y هي -2.
و (س) = م س + ب
و (x) = mx & # 8211 2
استخدم أي نقطة قل (1 ، -4) لإيجاد قيمة م
-4 = م (1) & # 8211 2
-4 = م & # 8211 2
م = -4 + 2
م = -2
الآن استبدل القيمة أعلاه
و (س) = -2x & # 8211 2

السؤال 27.
تحليل الأخطاء
وصف وتصحيح الخطأ في تحديد ما إذا كان الجدول يمثل دالة خطية أم أسية أم تربيعية.

إجابه:

السؤال 28.
تحليل الأخطاء
وصف وتصحيح الخطأ في كتابة الوظيفة التي يمثلها الجدول.

إجابه:
الخطأ موجود في السطر الأول من حل ملف.
يجب أن تكون العملية إضافة
و (س) = أ (س + 2) (س & # 8211 1)
استخدام النقطة (-3 ، 4) لإيجاد قيمة a
4 = أ (-3 + 2) (- 3 & # 8211 1)
4 = 4 أ
أ = 1
و (س) = 1 (س + 2) (س & # 8211 1)
f (x) = x² + x & # 8211 2

السؤال 29.
منطق
يوضح الجدول عدد الأشخاص الذين حضروا أول خمس مباريات كرة قدم في مدرسة ثانوية.

أ. ارسم النقاط. دع اللعبة g تمثل المتغير المستقل.
ب. هل يمكن لدالة خطية أو أسية أو تربيعية أن تمثل هذا الموقف؟ يشرح.
إجابه:

السؤال 30.
النمذجة مع الرياضيات
يوضح الجدول معدلات التنفس y (باللترات من الهواء في الدقيقة) لراكب الدراجة الذي يسافر بسرعات مختلفة x (بالأميال في الساعة).

أ. ارسم النقاط. دع السرعة x تمثل المتغير المستقل. ثم حدد نوع الوظيفة التي تمثل هذا الموقف على أفضل وجه.
إجابه:

على الرغم من أن النقاط تقترب من خط ، لا يوجد فرق شائع باستخدام الجدول أعلاه ولكن هناك نسبة شائعة تبلغ حوالي 1.11 بين النقاط المتتالية ، لذلك يتم تمثيل الحل بواسطة دالة أسية.
ب. اكتب دالة تشكل البيانات.
ص = أب س
الحصة العامة هي 1.11 لذا ب = 1.11
باستخدام أي من النقاط قل (20 ، 51.4)
51.4 = أ (1.11) 20
أ ≈ 6.38
إذن ، الدالة الأسية هي
و (س) = 6.38 (1.11) س
ج. أوجد معدل التنفس لراكب دراجة يسافر 18 ميلاً في الساعة. جولة إجابتك إلى أقرب عشر.
إجابه:
عوّض x = 18 لمدة 18 ميلاً في الساعة
و (18) = 6.38 (1.11) 18
f18) = 41.7 لترًا من الهواء في الدقيقة

السؤال 31.
تحليل معدلات التغيير
تمثل الوظيفة f (t) = -16t 2 + 48t + 3 ارتفاع الكرة الطائرة (بالأقدام) بعد مرور ثوانٍ على اصطدامها بالهواء.
أ. نسخ وملء الجدول.

ب. ارسم الأزواج المرتبة وارسم منحنى سلس عبر النقاط.
ج. صف أين تتزايد الوظيفة وتتناقص.
د. أوجد متوسط ​​معدل التغيير لكل فترة زمنية مدتها 0.5 ثانية في الجدول. ماذا تلاحظ بشأن متوسط ​​معدلات التغيير عندما تتزايد الوظيفة؟ تناقص؟
إجابه:

السؤال 32.
تحليل العلاقات
كان عدد سكان المدينة "أ" في عام 1970 يبلغ 3000. زاد عدد سكان المدينة "أ" بنسبة 20٪ كل عقد. لنفترض أن x يمثل عدد العقود منذ عام 1970. ويظهر الرسم البياني عدد سكان المدينة B.

أ. قارن بين سكان المدن عن طريق حساب وتفسير متوسط ​​معدلات التغيير من 1990 إلى 2010.
إجابه:
يمكن نمذجة المدينة أ باستخدام y = a (1 + r) t
حيث أ = 3000 ، ص = 0.2
ص = 3000 (1.2) طن
في عام 1990 (ر = 2): 3000 (1.2) 2 = 4320
في عام 2010 (ر = 4): 3000 (1.2) 4 = 6221
متوسط ​​معدل التغيير = (6221 & # 8211 4320) / 4 & # 8211 2 = 950.5
سكان البلدة B بناءً على الرسم البياني هم
في 1990 (t = 2): y = 5000
في عام 2010 (ر = 4): ص = 6500
متوسط ​​معدل التغيير = (6500 & # 8211 5000) / 4 & # 8211 2 = 750
متوسط ​​معدلات التغيير هو معدل زيادة السكان من 1990 إلى 2010.
ب. توقع المدينة التي سيكون عدد سكانها أكبر بعد عام 2020. اشرح.
إجابه:
بناءً على معدلات التغيير من المدينة أ ، سيكون عدد السكان أكبر بعد عام 2030.

السؤال 33.
تحليل العلاقات
تقوم ثلاث منظمات بجمع التبرعات من أجل قضية ما. تبدأ المنظمة "أ" بتبرع واحد ، ويتضاعف عدد التبرعات أربع مرات كل ساعة. يوضح الجدول عدد التبرعات التي جمعتها المنظمة "ب". ويوضح الرسم البياني عدد التبرعات التي جمعتها المنظمة "ج".

أ. ما نوع الوظيفة التي تمثل عدد التبرعات التي جمعتها المنظمة "أ"؟ ب؟ ج؟
ب. أوجد متوسط ​​معدلات التغيير لكل دالة لكل فترة ساعة واحدة من t = 0 إلى t = 6.
ج. لأي دالة يزيد متوسط ​​معدل التغيير بسرعة أكبر؟ ماذا يخبرك هذا عن عدد التبرعات التي جمعتها المنظمات الثلاث؟
إجابه:

السؤال 34.
وظائف المقارنة
يتم عرض مصاريف الغرفة لمنتجعين مختلفين.

أ. ما هي مدة الإجازة التي يتكلفها كل منتجع تقريبًا؟
إجابه:
قم ببناء جدول يقارن بين المنتجعين. تزداد شروط Blue Water & # 8217s بمقدار 112 بدءًا من t = 3 بينما ترى زيادة breeze & # 8217s بمعامل 1.1:
/>
من الجدول ، فإن إجازة لمدة 9 أيام ستكون بمثابة السعر.
ب. لنفترض أن Blue Water Resort يتقاضى 1450 دولارًا عن أول ثلاث ليالٍ و 105 دولارات عن كل ليلة إضافية. هل سيكون منتجع سي بريز أغلى من منتجع بلو واتر؟ يشرح.
إجابه:
/>
نعم ، ابتداءً من 13 يومًا من الإجازة ، يكون سعر نسيم البحر أكبر من سعر المياه الزرقاء.
ج. لنفترض أن Sea Breeze Resort يتقاضى 1200 دولار عن أول ثلاث ليالٍ. تزيد الرسوم بنسبة 10٪ عن كل ليلة إضافية. هل سيكون منتجع بلو ووتر أغلى من منتجع سي بريز؟ يشرح.
إجابه:
/>
لا ، ستكون أسعار Sea Breeze & # 8217 دائمًا أكبر من المياه الزرقاء لجميع عدد الإجازات.

السؤال 35.
منطق
اشرح سبب كون متوسط ​​معدل تغير دالة خطية ثابتًا ومتوسط ​​معدل تغير دالة تربيعية أو أسية ليس ثابتًا.
إجابه:

السؤال 36.
كيف ترى ذلك؟
طابق كل رسم بياني مع وظيفته. اشرح أسبابك.

إجابه:
أ. الرسم البياني عبارة عن خط وبالتالي فإن الوظيفة هي: الوظيفة د
ب. الرسم البياني هو انحلال أسي ، لذا فإن b & lt 0 هي الوظيفة C.
ج. يمثل الرسم البياني نموًا أسيًا ، لذا فإن b & gt 0 هي الوظيفة B.
د. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ ، لذا فإن الوظيفة هي الوظيفة أ.

السؤال 37.
التفكير النقدي
في الأزواج المرتبة أدناه ، يتم إعطاء قيم y بدلالة n. حدد ما إذا كانت الأزواج المرتبة تمثل دالة خطية أم أسية أم تربيعية. يشرح.
(1، 3n & # 8211 1)، (2، 10n + 2)، (3، 26n)،
(4، 51n & # 8211 7)، (5، 85n & # 8211 19)
إجابه:

السؤال 38.
استخدام الهيكل
اكتب دالة بها اختلافات ثابتة في الثانية بمقدار 3.
إجابه:
إذا كان الاختلاف الثاني ثابتًا ، فيجب أن يكون دالة تربيعية.
دع الفرق الأول يكون: 1 ، 4 ، 7 ، 10
لذلك ، فإن التسلسل المحتمل مع الاختلاف الأول الموضح أعلاه هو
0, 1, 5, 12, 22
ابحث عن دالة تربيعية تمر عبر:
(0, 0), (1, 1), (2, 5), (3, 12), (4, 22)
اختر أي 3 نقاط:
(0, 0), (1, 1), (2, 5)
لنا النموذج y = ax² + bx + c
عند (0 ، 0): 0 = أ (0) ² + ب (0) + ج
ج = 0
عند (0 ، 0): 0 = أ (1) ² + ب (1) + ج
أ + ب + ج = 1
عند (2 ، 5): 0 = أ (2) ² + ب 20) + ج
4 أ + 2 ب + ج = 5
البديل c = 0
أ + ب + ج = 1
أ + ب = 1
4 أ + 2 ب = 5
حل أ ، ب ، أ = 1.5 ، ب = -0.5
y = 1.5x² & # 8211 0.5x

السؤال 39.
التفكير النقدي
هل الرسم البياني لمجموعة من النقاط كافٍ لتحديد ما إذا كانت النقاط تمثل دالة خطية أم أسية أم تربيعية؟ برر جوابك.
إجابه:

السؤال 40.
التفكير في إثبات
أوجد أربعة أنماط مختلفة في الشكل. حدد ما إذا كان كل نمط يمثل دالة خطية أم أسية أم تربيعية. اكتب نموذجًا لكل نمط.

إجابه:
في نمط معين مطابق لـ n ، يتم إعطاء عدد الرؤوس التي تبعد x عن الجذر من خلال ،
و (س) = 2 س -1
حيث ، x ∈ N ∩ [1، n]
وبالتالي فإن كل نمط يمثل دالة أسية مع العامل المشترك 2.

السؤال 41.
إبداء رأي
الوظيفة p هي دالة أسية والوظيفة q هي دالة تربيعية. يقول صديقك أنه بعد x = 3 تقريبًا ، سيكون للدالة q دائمًا قيمة y أكبر من الدالة p. هل صديقك محق؟ يشرح.

إجابه:

السؤال 42.
استخدام الأدوات
يوضح الجدول المبلغ أ (بمليارات الدولارات) الذي ينفقه سكان الولايات المتحدة على الحيوانات الأليفة أو المنتجات والخدمات المتعلقة بالحيوانات الأليفة كل عام لمدة 5 سنوات. دع السنة x تمثل المتغير المستقل. باستخدام التكنولوجيا ، ابحث عن وظيفة تشكل البيانات. كيف اخترت النموذج؟ توقع المبلغ الذي سينفقه السكان على الحيوانات الأليفة أو المنتجات والخدمات المتعلقة بالحيوانات الأليفة في السنة السابعة.

إجابه:
من خلال رسم النقطة باستخدام أداة الرسم البياني ، يبدو أن القطع المكافئ يناسب البيانات لذلك نستخدم الوظيفة التربيعية.

باستخدام الأداة المساعدة للرسوم البيانية ، فإن النموذج هو:
ص = -0.4143 س² + 6.166 س + 46.98

إتقان الرياضيات

قيم التعبير.
السؤال 43.
( sqrt <121> )
إجابه:

السؤال 44.
( sqrt [3] <125> )
الجواب: 5

السؤال 45.
( sqrt [3] <512> )
إجابه:

السؤال 46.
( الجذر التربيعي [5] <243> )
الجواب: 3

ابحث عن المنتج.
السؤال 47.
(x + 8) (x & # 8211 8)
إجابه:

السؤال 48.
(4 سنوات + 2) (4 سنوات و # 8211 2)
إجابه:
معطى،
(4 سنوات + 2) (4 سنوات و # 8211 2)
4 سنوات (4 سنوات & # 8211 2) + 2 (4 سنوات & # 8211 2)
16y² & # 8211 8y + 8y & # 8211 4
16y² & # 8211 4

السؤال 49.
(3 أ & # 8211 5 ب) (3 أ + 5 ب)
إجابه:

السؤال 50.
(-2r + 6s) (- 2r & # 8211 6s)
إجابه:
معطى،
(-2r + 6s) (- 2r & # 8211 6s)
-2r (-2r & # 8211 6s) + 6s (-2r & # 8211 6s)
4r² + 12rs & # 8211 12rs & # 8211 36s²
4r² & # 8211 36 ثانية²

مهمة أداء وظائف تربيعية الرسم البياني: هدف الكويكب

8.4–8.6 ماذا تعلمت؟

المفردات الأساسية

المفاهيم الأساسية

الممارسات الرياضية

السؤال رقم 1.
كيف يمكنك استخدام التكنولوجيا لتأكيد إجابتك في التمرين 64 بالصفحة 448؟
إجابه:

السؤال 2.
كيف استخدمت بنية المعادلة في التمرين 85 في الصفحة 457 لحل المشكلة؟
إجابه:

السؤال 3.
صف لماذا تكون إجابتك منطقية بالنظر إلى سياق البيانات في التمرين 20 في الصفحة 466.
إجابه:

مهمة الأداء: Asteroid Aim

تستغرق التطبيقات وقتًا طويلاً في التصميم والبرمجة. أحد التطبيقات قيد التطوير هو لعبة يطلق فيها اللاعبون أشعة الليزر على كويكبات. إنهم يسجلون نقاطًا بناءً على عدد الضربات في كل طلقة. المصمم يريد ملاحظاتك. هل تعتقد أن الطلاب سيحبون اللعبة ويريدون لعبها؟ ما هي التغييرات التي من شأنها تحسينه؟
لاستكشاف إجابات هذا السؤال والمزيد ، انتقل إلى

إجابه:

رسم بياني وظائف تربيعية مراجعة الفصل

8.1 رسم بياني و (س) = فأس 2 (ص 419-424)

ارسم الوظيفة. قارن الرسم البياني بالمنحنى البياني لـ f (x) = x 2.
السؤال رقم 1.
ص (س) = 7 س 2
إجابه:
يتم اشتقاق الوظيفة y = ax 2 من الوظيفة الأصلية y = x 2 بواسطة تحويلات مختلفة: التمدد الرأسي (| a | & gt 1) أو الانكماش (0 & lt | a | & lt 1) والانعكاس حول المحور x.
في الدالة المعطاة q (x) = 7x 2
لدينا امتداد رأسي بمعامل 7 من الدالة الأم y = x 2

السؤال 2.
ف (س) = ( فارك <1> <2> ) × 2
إجابه:
يتم اشتقاق الوظيفة y = ax 2 من الوظيفة الأصلية y = x 2 بواسطة تحويلات مختلفة: التمدد الرأسي (| a | & gt 1) أو الانكماش (0 & lt | a | & lt 1) والانعكاس حول المحور x.
في الوظيفة المحددة q (x) = ( frac <1> <2> ) x 2
لدينا امتداد عمودي بعامل ( frac <1> <2> ) للوظيفة الأم y = x 2

السؤال 3.
ز (س) = & # 8211 ( فارك <3> <4> ) × 2
إجابه:
يتم اشتقاق الوظيفة y = ax 2 من الوظيفة الأصلية y = x 2 بواسطة تحويلات مختلفة: التمدد الرأسي (| a | & gt 1) أو الانكماش (0 & lt | a | & lt 1) والانعكاس حول المحور x.
في الوظيفة المحددة g (x) = & # 8211 ( frac <3> <4> ) x 2
لدينا امتداد عمودي بعامل ( frac <3> <4> ) للوظيفة الأم y = x 2

السؤال 4.
ح (س) = -6 س 2
إجابه:
يتم اشتقاق الوظيفة y = ax 2 من الوظيفة الأصلية y = x 2 بواسطة تحويلات مختلفة: التمدد الرأسي (| a | & gt 1) أو الانكماش (0 & lt | a | & lt 1) والانعكاس حول المحور x.
في الوظيفة المحددة h (x) = & # 8211 6x 2
لدينا امتداد رأسي بمعامل 6 من الدالة الأم y = x 2

السؤال 5.
التعرف على خصائص الدالة التربيعية ورسمها البياني.

إجابه:
من الرسم البياني ، يمكننا أن نرى أن الدالة التربيعية تفتح لأعلى والرأس هو (1 ، -3)
أيضًا ، محور التناظر هو x = 1 والنقاط على الرسم البياني هي (0 ، -1) و (2 ، -1)
هذا الرسم البياني عبارة عن انزياح رأسي بمقدار 3 وحدات إلى الأسفل وانزياح أفقي بمقدار وحدة إلى اليمين.

8.2 رسم بياني و (س) = فأس 2 + ج (ص 425-430)

ارسم الوظيفة. قارن الرسم البياني بالمنحنى البياني لـ f (x) = x 2.
السؤال 6.
ز (س) = س 2 + 5
إجابه:
الدالة y = a (x-h) ² + k لها رأس مثل (h، k) ومشتقة من الدالة الأصلية y = x² بواسطة تحويلات مختلفة: الانزياح الرأسي لـ | k | الوحدات الأفقية لـ | h | الوحدات ، التمدد الرأسي أو الانكماش (0 & lt | a | & lt 1) والانعكاس حول المحور السيني
في الدالة المعطاة g (x) = x 2 + 5 ، لدينا تحول رأسي بمقدار 5 وحدات لأعلى من الوظيفة الأصلية y = x²

السؤال 7.
ح (س) = -x 2 & # 8211 4
إجابه:
الدالة y = a (x-h) ² + k لها رأس مثل (h، k) ومشتقة من الدالة الأصلية y = x² بواسطة تحويلات مختلفة: الانزياح الرأسي لـ | k | الوحدات الأفقية لـ | h | الوحدات ، التمدد الرأسي أو الانكماش (0 & lt | a | & lt 1) والانعكاس حول المحور السيني.
في الوظيفة المحددة h (x) = -x 2 & # 8211 4
أ. تحول رأسي بمقدار 4 وحدات إلى أسفل
ب. انعكاس حول المحور x للوظيفة الأم y = x²

السؤال 8.
م (س) = -2 س 2 + 6
إجابه:
الدالة y = a (x-h) ² + k لها رأس مثل (h، k) ومشتقة من الدالة الأصلية y = x² بواسطة تحويلات مختلفة: الانزياح الرأسي لـ | k | الوحدات الأفقية لـ | h | الوحدات ، التمدد الرأسي أو الانكماش (0 & lt | a | & lt 1) والانعكاس حول المحور السيني.
في الدالة المعطاة م (س) = -2 س 2 + 6
أ. امتداد رأسي بمعامل 2
ب. حركة رأسية بمقدار 6 وحدات لأعلى
ج. انعكاس حول المحور x للوظيفة الأم y = x²

السؤال 9.
n (x) = ( frac <1> <3> ) x 2 & # 8211 5
إجابه:
الدالة y = a (x-h) ² + k لها رأس مثل (h، k) ومشتقة من الدالة الأصلية y = x² بواسطة تحويلات مختلفة: الانزياح الرأسي لـ | k | الوحدات الأفقية لـ | h | الوحدات ، التمدد الرأسي أو الانكماش (0 & lt | a | & lt 1) والانعكاس حول المحور السيني.
في الوظيفة المحددة n (x) = ( frac <1> <3> ) x 2 & # 8211 5
أ. انكماش رأسي بعامل ( فارك <1> <3> )
ب. التحول الرأسي بمقدار 5 وحدات للأسفل
ج. انعكاس حول المحور x للوظيفة الأم y = x²

8.3 الرسم البياني و (س) = فأس 2 + ب س + ج (ص 431-438)

ارسم الوظيفة. وصف المجال والنطاق.
السؤال 10.
ص = س 2 & # 8211 2 س + 7
إجابه:
مجال الوظيفة هو كل الأعداد الحقيقية.
إذا كتبنا رسمًا بيانيًا بالصيغة y = x 2 & # 8211 2x + 7
x 2 & # 8211 2x + 1 + 6
= (x & # 8211 1) 2 + 6
(x & # 8211 1) 2 دائمًا ما تكون ≥ ، لذا فإن النطاق هو y ≥ 6

السؤال 11.
و (س) = -3 س 2 + 3 س & # 8211 4
إجابه:
أولاً ، سنرسم الدالة ونجد محور التناظر
س = ( frac <- b> 2>)
= -3/2(-3) = 1/2 = 0.5

السؤال 12.
y = ( frac <1> <2> ) x 2 & # 8211 6x + 10
إجابه:
الخطوة 1: البحث عن محور التناظر:
س = ( frac <- b> 2>)
س = - (- 6) / 2. 1/2 = 6
الخطوة 2: ابحث عن مخطط الرأس.
إحداثي x للرأس هو 6 ، لذا أوجد إحداثي y عن طريق إيجاد f (6):
و (6) = ( فارك <1> <2> ) (6) ² & # 8211 6 (6) + 10
= -8
وهكذا يكون الرأس عند (6 ، -8)
الخطوة 3: استخدم تقاطع y لإيجاد نقطتين أخريين على الرسم البياني.
مع c = 10 ، يكون تقاطع y هو 10 ، وبالتالي فإن القطع المكافئ يمر عبر النقطة (0 ، 10).
محور التناظر هو x = 6
لذلك يجب أن تكون النقطة (12 ، 10) أيضًا على الرسم البياني.
الخطوة 4: ارسم منحنى سلس عبر النقاط.
المجال هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية.
النطاق [-8 ، + ∞)

السؤال 13.
الدالة f (t) = -16t 2 + 88t + 12 تمثل الارتفاع (بالقدم) لليقطين بعد مرور t ثانية على إطلاقه من المنجنيق. متى يصل اليقطين إلى أقصى ارتفاع له؟ ما هو أقصى ارتفاع لليقطين؟
إجابه:
سيكون مسار اليقطين قطعًا مكافئًا ، وبالتالي فإن الوقت اللازم لبلوغ اليقطين للسرعة القصوى هو في الواقع إحداثيات س لرأس القطع المكافئ وأقصى ارتفاع هو إحداثيات ص للرأس.
و (ر) = -16 طن 2 + 88 طن + 12
f (t) = -16 (t 2 + 2. t. ( frac <11> <4> ) + ( ( frac <11> <4> )) ² & # 8211 ( ( فارك <11> <4> )) ² & # 8211 ( فارك <3> <4> ))
f (t) = -16 ((t & # 8211 ( frac <11> <4> )) ² & # 8211 ( frac <133> <16> ))
و (ر) = -16 (t & # 8211 ( فارك <11> <4> )) ² + 133
f (t) = -16 (t & # 8211 2.75) ² + 133
يصل اليقطين إلى أقصى سرعة 2.75 ثانية بعد إطلاقه ويبلغ أقصى ارتفاع 133 قدمًا.

8.4 الرسم البياني f (x) = a (x - h) 2 + k (pp. 441–448)

حدد ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية أم لا.
السؤال 14.
ث (س) = 5 س
إجابه:
الوظيفة زوجية إذا كانت f (-x) = f (x) والوظيفة فردية إذا كانت f (-x) = -f (x)
لذلك نستبدل x بـ w (x) بـ -x
w (-x) = 5 -x = ( frac <1> <5 x> )
لاحظ أن w (-x) لا يساوي -w (x) = -5 x أو w (x)
لذا ، فإن الدالة w (x) ليست فردية ولا زوجية.

السؤال 15.
ص (س) = -8 س
إجابه:
الوظيفة زوجية إذا كانت f (-x) = f (x) والوظيفة فردية إذا كانت f (-x) = -f (x)
لذلك نستبدل x بـ r (x) بـ -x
ص (-x) = -8 (-x) = 8x
لاحظ أن r (-x) تساوي r (x) لذا فإن الوظيفة r (x) هي دالة فردية.

السؤال 16.
ح (س) = 3 س 2 & # 8211 2 س
إجابه:
الوظيفة زوجية إذا كانت f (-x) = f (x) والوظيفة فردية إذا كانت f (-x) = -f (x)
لذلك نستبدل x بـ h (x) بـ -x
ح (-x) = 3 (-x) 2 & # 8211 2 (-x) = 3x 2 + 2x
لاحظ أن h (-x) لا تساوي -h (x) أو h (x)
لذا ، فإن الدالة w (x) ليست فردية ولا زوجية.

ارسم الوظيفة. قارن الرسم البياني بالمنحنى البياني لـ f (x) = x 2.
السؤال 17.
ح (س) = 2 (س & # 8211 4) 2
إجابه:
الدالة y = a (x-h) ² + k لها رأس مثل (h، k) ومشتقة من الدالة الأصلية y = x² بواسطة تحويلات مختلفة: الانزياح الرأسي لـ | k | الوحدات الأفقية لـ | h | الوحدات ، التمدد الرأسي أو الانكماش (0 & lt | a | & lt 1) والانعكاس حول المحور السيني
في الوظيفة المحددة h (x) = 2 (x & # 8211 4) 2 لدينا
& # 8211 امتداد عمودي بمعامل 2
& # 8211 4 إزاحة الوحدة إلى يمين الوظيفة الأصلية y = x²

السؤال 18.
ز (س) = (فارك <1> <2> ) (س & # 8211 1) 2 + 1
إجابه:
الدالة y = a (x-h) ² + k لها رأس مثل (h، k) ومشتقة من الدالة الأصلية y = x² بواسطة تحويلات مختلفة: الانزياح الرأسي لـ | k | الوحدات الأفقية لـ | h | الوحدات ، التمدد الرأسي أو الانكماش (0 & lt | a | & lt 1) والانعكاس حول المحور السيني
في الوظيفة المحددة g (x) = ( frac <1> <2> ) (x & # 8211 1) 2 + 1 لدينا
& # 8211 امتداد عمودي بمعامل ( frac <1> <2> )
& # 8211 1 وحدة تحول لأعلى من الدالة الأصل y = x²

السؤال 19.
ف (س) = - (س + 4) 2 + 7
إجابه:
الدالة y = a (x-h) ² + k لها رأس مثل (h، k) ومشتقة من الدالة الأصلية y = x² بواسطة تحويلات مختلفة: الانزياح الرأسي لـ | k | الوحدات الأفقية لـ | h | الوحدات ، التمدد الرأسي أو الانكماش (0 & lt | a | & lt 1) والانعكاس حول المحور السيني
في الوظيفة المحددة q (x) = - (x + 4) 2 + 7 لدينا
& # 8211 انعكاس حول المحور السيني
& # 8211 تحول 4 وحدات إلى اليسار
& # 8211 7 وحدة إزاحة لأعلى من الدالة الأصل y = x²

السؤال 20.
ضع في اعتبارك الوظيفة g (x) = -3 (x + 2) 2 & # 8211 4. رسم بياني h (x) = g (x = 1).
إجابه:
الدالة y = a (x-h) ² + k لها رأس مثل (h، k) ومشتقة من الدالة الأصلية y = x² بواسطة تحويلات مختلفة: الانزياح الرأسي لـ | k | الوحدات الأفقية لـ | h | الوحدات ، التمدد الرأسي أو الانكماش (0 & lt | a | & lt 1) والانعكاس حول المحور السيني
في الوظيفة المعينة g (x) = -3 (x + 2) 2 & # 8211 4 لدينا
& # 8211 انعكاس حول المحور السيني
& # 8211 امتداد عمودي بمعامل 3
& # 8211 إزاحة 2 وحدة إلى اليسار
& # 8211 4 وحدة تحول إلى أسفل

السؤال 21.
اكتب دالة تربيعية رأس رسم بياني لها (3 ، 2) ويمر بالنقطة (4 ، 7).
إجابه:
شكل رأس الدالة التربيعية هو
ص = أ (س & # 8211 س) ² + ك
حيث (ح ، ك) هي الرأس.
من المسلم به أن الرأس هو (3 ، 2)
y = a (x & # 8211 3) ² + 2
كما يمر الرسم البياني بالنقطة (4 ، 7). يمكننا إدخال نقطة في المعادلة للحصول على a
7 = أ (4 & # 8211 3) ² + 2
7 & # 8211 2 = أ. 1
أ = 5
لذلك فإن المعادلة التي تحقق الرأس والنقطة المعطاة هي
ص = 5 (س & # 8211 3) ² + 2

8.5 باستخدام نموذج الاعتراض (ص 449-458)

ارسم الدالة التربيعية. قم بتسمية الرأس ومحور التناظر وتقاطعات x. وصف المجال ونطاق الوظيفة.
السؤال 22.
ص = (س & # 8211 4) (س + 2)
إجابه:
0 = (x & # 8211 4) (x + 2)
x & # 8211 4 = 0 أو x + 2 = 0
س = 4 أو س = -2
إحداثيات y هي y = 0
تقاطع x هي 4 و -2
يتم إعطاء محور التناظر بواسطة x = (4 + (-2)) / 2 = 1
إذن ، الرأس هو (1 ، -9)
أيضًا ، المجال هو كل الأعداد الحقيقية والمدى ، كما يمكننا أن نرى من y ≥ -9

السؤال 23.
و (س) = -3 (س + 3) (س + 1)
إجابه:
معطى،
و (س) = -3 (س + 3) (س + 1)
0 = -3 (س + 3) (س + 1)
س + 3 = 0 أو س + 1 = 0
س = -3 أو س = & # 8211 1
إحداثيات y هي y = 0
تقاطع x هي -3 و -1
يتم إعطاء محور التناظر بواسطة x = (-3 + (-1)) / 2 = -2
إذن ، الرأس هو (-2، 3)
أيضًا ، المجال هو جميع الأعداد الحقيقية والمدى ، كما يمكننا أن نرى من y ≤ 3

السؤال 24.
ص = س 2 & # 8211 8 س + 15
إجابه:
ص = س 2 & # 8211 8 س + 15
0 = x 2 & # 8211 8x + 15
(x & # 8211 5) (x & # 8211 3) = 0
x & # 8211 5 = 0 أو x & # 8211 3 = 0
س = 5 أو س = 3
إحداثيات y هي y = 0
تقاطعات x هي 5 و 3
يتم إعطاء محور التناظر بواسطة x = (5 + 3) / 2 = 4
إذن ، الرأس هو (4 ، -1)
أيضًا ، المجال هو جميع الأعداد الحقيقية والمدى ، كما يمكننا أن نرى من y ≥ -1

استخدم الأصفار لرسم الدالة.
السؤال 25.
ص = -2 س 2 + 6 س + 8
إجابه:
ص = -2 س 2 + 6 س + 8
0 = -2 س 2 + 6 س + 8
0 = -2 (x & # 8211 4) (x + 1)
x & # 8211 4 = 0 أو x + 1 = 0
س = 4 أو س = -1
يتم إعطاء محور التناظر بواسطة x = (-1 + 4) / 2 = 1.5

السؤال 26.
و (س) = س 2 + س & # 8211 2
إجابه:
و (س) = س 2 + س & # 8211 2
0 = x 2 + x & # 8211 2
0 = (س & # 8211 1) (س + 2)
س = 1 أو س = -2
يتم إعطاء محور التناظر بواسطة x = (1 & # 8211 2) / 2 = -0.5

السؤال 27.
f (x) = 2x 2 & # 8211 18x
إجابه:

السؤال 28.
اكتب دالة تربيعية في الصورة القياسية التي يمر رسمها البياني عبر (4 ، 0) و (6 ، 0).
إجابه:
يمكننا كتابة معادلة تربيعية في صورة عامل حاصل الضرب
و (س) = (س & # 8211 4) (س & # 8211 6)
حيث (4 ، 0) و (6 ، 0) هي أصفار
إذن ، المعادلة هي f (x) = x² & # 8211 10x + 24

8.6 مقارنة الدوال الخطية والأسية والتربيعية (ص 459-468)

السؤال 29.
حدد ما إذا كان جدول القيم يمثل دالة خطية أم أسية أم تربيعية. ثم اكتب الوظيفة.

إجابه:
يمكننا أن نرى أنه في قيم y المتتالية ، يتم قسمة كل قيمة y لاحقة على 4.
لذلك ، يمثل الجدول دالة أسية.
اكتب المعادلة باستخدام الصيغة f (x) = a. ب س ، حيث ب هي النسبة الشائعة.
يمكننا أيضًا أن نرى أن وظائف تقاطعات y هي 123 ،
ص = 128. ب س ،
8 = 128. ب 2 ،
ب = 1/4
و (س) = 128. (1/4) × ،

السؤال 30.
الرصيد y (بالدولار) لحساب التوفير الخاص بك بعد t سنوات يمثله y = 200 (1.1) t. رصيد البداية لحساب صديقك هو 250 دولارًا ، ويزداد الرصيد بمقدار 20 دولارًا كل عام. (أ) قارن أرصدة الحسابات عن طريق حساب وتفسير متوسط ​​معدلات التغيير من t = 2 إلى t = 7. (ب) توقع الحساب الذي سيكون له رصيد أكبر بعد 10 سنوات. يشرح.
إجابه:
متوسط ​​معدلات التغيير من t = 2 إلى t = 7
ر (7) & # 8211 ر (2) / 7 & # 8211 2 = 29.55
يتم إعطاء رصيد صديقي & # 8217s بواسطة
ص = 20 طن + 250
ر (7) & # 8211 ر (2) / 7 & # 8211 2 = (250 + 140 & # 8211250 + 40) / 5
= 100/5 = 200
يحتوي حساب التوفير الخاص بي على أموال أكثر وينمو بشكل أسرع من حساب التوفير الخاص بصديقي.

رسم بياني لدوال تربيعية اختبار الفصل

ارسم الوظيفة. قارن الرسم البياني بالمنحنى البياني لـ f (x) = x 2.
السؤال رقم 1.
ح (س) = 2 س 2 & # 8211 3
إجابه:
تتضمن الوظيفة h (x) = 2x² & # 8211 3 امتدادًا رأسيًا بمعامل 2 و 3 وحدات هبوطًا للوظيفة f (x) = x 2

السؤال 2.
ز (س) = & # 8211 ( فارك <1> <2> ) × 2
إجابه:
تتضمن الوظيفة g (x) = & # 8211 ( frac <1> <2> ) x 2 انعكاسًا حول المحور x والانكماش الرأسي بمعامل ( frac <1> <2> ) للدالة f (x) = x 2

السؤال 3.
ص (س) = (فارك <1> <2> ) (س + 1) 2 & # 8211 1
إجابه:
الوظيفة p (x) = ( frac <1> <2> ) (x + 1) 2 & # 8211 1 تتضمن:
أنا. انزياح أفقي بمقدار وحدة واحدة إلى اليسار
ثانيا. تقلص رأسي بمعامل ( frac <1> <2> ) و
ثالثا. 1 وحدة النزول إلى أسفل

السؤال 4.
انظر إلى الرسم البياني للدالة f.

أ. أوجد المجال والمدى والأصفار للدالة.
إجابه:
المجال: جميع الأرقام الحقيقية
النطاق: ص ≤ 8
الأصفار أيضًا تقاطع x: 3 ، 7
ب.اكتب الدالة f في الصورة القياسية.
إجابه:
استخدم شكل قمة الرأس:
ص = (س ح) ² + ك
عند الرأس (ح ، ك) = (5 ، 8)
ص = (س -5) ² + 8
استبدل أيًا من التقاطع للعثور على:
0 = أ (3-5) ² + 8
0 = 4 أ + 8
4 أ = -8
أ = -2
ص = -2 (س -5) ² + 8
ص -2 س 2 + 20 س & # 8211 42
ج. قارن التمثيل البياني لـ f بمخطط g (x) = x 2.
إجابه:
باستخدام صيغة الرأس ، فإن التمثيل البياني لـ f (x) هو التمثيل البياني لـ g (x) هو:
& # 8211 ينعكس في المحور السيني
& # 8211 ممتد عموديًا بمعامل 2
& # 8211 تم إزاحة 8 وحدات عموديًا لأعلى
& # 8211 إزاحة 5 وحدات أفقيًا إلى اليمين.
د. الرسم البياني h (x) = f (x & # 8211 6).
إجابه:
الرسم البياني لـ h (x) هو الرسم البياني لـ f (x) الذي يتم إزاحته أفقيًا بمقدار 6 وحدات إلى اليمين بحيث تكون التقاطع (9 ، 0) و (13 ، 0)
سيكون الرأس الآن عند (11 ، 8)

استخدم الأصفار لرسم الدالة. وصف المجال ونطاق الوظيفة.
السؤال 5.
و (س) = 2 س 2 & # 8211 8 س + 8
إجابه:
و (س) = 2 س 2 & # 8211 8 س + 8
ص = 2 س 2 & # 8211 8 س + 8
ص = 2 (س -2) (س -2)
ص = 2 (س -2) 2
وبالتالي ، فإن تقاطع x للدالة المعينة هو 2 ومحور التناظر هو x = 2.
ص = 2 (2) 2 & # 8211 8 (2) + 8
ص = 8 & # 8211 16 + 8
ص = 0
وهكذا يكون رأس القطع المكافئ عند (2 ، 0)

السؤال 6.
ص = - (س + 5) (س & # 8211 1)
إجابه:
س = (-5 + 1) / 2 = -2
هذا يعني أن إحداثيات x في رأس القطع المكافئ هي -2.
ص = - (س + 5) (س & # 8211 1)
ص = - (- 2 + 5) (- 2-1)
ص = - (3) (- 3)
ص = 9
لذلك يكون رأس القطع المكافئ عند (-2 ، 9)

السؤال 7.
ح (س) = 16 × 2 & # 8211 4
إجابه:
معطى،
ح (س) = 16 × 2 & # 8211 4
اكتب الدالة المعطاة بصيغة التقاطع لتحصل على:
ح (خ) = 16 (× 2 & # 8211 1/4)
ح (س) = 16 (س & # 8211 1/2) (س + 1/2)
محور التناظر هو x = (-0.5 + 0.5) / 2 = 0
هذا يعني أن إحداثيات رأس القطع المكافئ x تساوي 0.
ص = 16 (0) & # 8211 4
ص = 0 & # 8211 4
ص = -4
لذلك يكون رأس القطع المكافئ عند (0، -4)

حدد ما إذا كان جدول القيم يمثل دالة خطية أم أسية أم تربيعية. اشرح أسبابك. ثم اكتب الوظيفة.
السؤال 8.

إجابه:
من بين قيم y المعطاة ، والمتتالية ، يمكن إيجاد قيمة y التالية بضرب 2 في قيمة y السابقة.
لذلك فإن جدول القيم يمثل دالة أسية.
يمكن كتابة الدالة الأسية بالصيغة f (x) = a. ب س

حيث ب هي النسبة المشتركة.
وبالتالي فإن المعادلة المؤقتة للدالة التي تمثل جدول القيم المعطى
و (س) = أ. ب س
استخدم النقطة (0 ، 8) لإيجاد قيمة a:
8 = أ. 2 0
8 = أ (1)
8 = أ
لذلك فإن الوظيفة التي تمثل جدول القيم المعطى هي f (x) = 8. 2 ×
وبالتالي تعادل الوظيفة f (x) = 2³. 2 × + 3

السؤال 9.

إجابه:
/>
نظرًا لأن الاختلاف الثاني ثابت ، فإن الوظيفة تربيعية.
لاحظ أن قيم y متماثلة بالنسبة للنقطة (0 ، 0). هذا يعني أن رأس القطع المكافئ هو (0 ، 0)
ص = أ. × 2
استخدم النقطة (0 ، 8) لإيجاد قيمة a:
-2 = أ. 1 2
-2 = أ (1)
-2 = أ
إذن ، معادلة الدالة التربيعية هي y = -2 x 2

اكتب دالة تربيعية في الصورة القياسية التي يلبي رسمها البياني الشروط المعطاة. اشرح العملية التي استخدمتها.
السؤال 10.
يمر عبر (-8 ، 0) ، (-2 ، 0) ، و (-6 ، 4)
إجابه:
بالنظر إلى x-intercepts (-8، -2) استخدم صيغة التقاطع:
و (س) = أ (س & # 8211 ف) (س & # 8211 ف)
استبدل التقاطعات وقم بتبسيط:
و (س) = أ (س & # 8211 (-8)) (س & # 8211 (-2))
و (س) = أ (س + 8) (س + 2)
استخدم النقطة الأخرى (-6، 4) لإيجاد قيمة a:
4 = أ (-6 + 8) (- 6 + 2)
4 = -8 أ
وبالتالي فإن الوظيفة
و (س) = -1/2 (س + 8) (س + 2)
f (x) = -1 / 2x² & # 8211 5x & # 8211 8

السؤال 11.
يمر عبر (0 ، 0) ، (10 ، 0) ، و (9 ، -27)
إجابه:
بالنظر إلى تقاطع x (0 ، 10) استخدم صيغة التقاطع
و (س) = أ (س & # 8211 ف) (س & # 8211 ف)
و (س) = أ (س & # 8211 0) (س & # 8211 10)
و (س) = أ (س) (س & # 8211 10)
استخدم النقطة الأخرى ، (9 ، -27) لإيجاد قيمة a:
-27 = أ (9) (9 & # 8211 10)
-27 = -9 أ
أ = 3
لذلك فإن الوظيفة
و (س) = 3 (س) (س & # 8211 10)
f (x) = 3x² & # 8211 30x

السؤال 12.
زوجي ومداها y ≥ 3
إجابه:
تكون المعادلة التربيعية حتى لو كانت متماثلة حول المحور y لذا فإن التناظر هو المحور y.
يشير النطاق إلى أن القطع المكافئ يفتح لأعلى والرأس عند (0 ، 3)
استخدم شكل قمة الرأس:
ص = أ (س & # 8211 س) ² + ك
عند قمة الرأس (ح ، ك) = (0 ، 3)
y = a (x & # 8211 0) ² + 3
دع أ = 1
ص = (1) (س & # 8211 0) ² + 3
ص = س² + 3

السؤال 13.
يمر من خلال (4 ، 0) و (1 ، 9)
إجابه:
دع القطع المكافئ يكون في الشكل
ص = فأس² + ب س
ضع معادلتين باستخدام النقاط
عند (4 ، 0): 0 = 16 أ + 4 ب
عند (1 ، 9): 9 = أ + ب
ب = 9 & # 8211 أ
0 = 16 أ + 4 (9 & # 8211 أ)
0 = 16 أ + 36 & # 8211 4 أ
-12 أ = 36
أ = -3
ب = 9 & # 8211 (-3)
ص = -3 س² + 12 س

السؤال 14.
يوضح الجدول المسافات d (بالأميال) التي تتحرك فيها الأرض في مدارها حول الشمس بعد t ثانية. دع الوقت t يكون المتغير المستقل. أخبر ما إذا كان يمكن نمذجة البيانات بواسطة دالة خطية أو أسية أو تربيعية. يشرح. ثم اكتب وظيفة تشكل البيانات.

إجابه:
الاختلافات الأولى ثابتة عند 19 ، لذا فإن الوظيفة خطية.
استخدم أي نقطتين ،
(t1، d1) → (1، 19)
(t2، d2) → (2، 38)
استخدم صيغة نقطة الميل:
y & # 8211 y1 = م (x & # 8211 x1)
t & # 8211 t1 = م (t & # 8211 t1)
م = (d2-d1) / (t2-t1) = (38-19) / 2-1 = 19
د & # 8211 19 = 19 (t & # 8211 1)
د & # 8211 19 = 19t & # 8211 19
د = 19 ت

السؤال 15.
أنت تلعب التنس مع صديق. يمكن نمذجة مسار كرة التنس بعد إرجاع الإرسال بالدالة y = -0.005x 2 + 0.17x + 3 ، حيث x هي المسافة الأفقية (بالأقدام) من حيث ضربت الكرة و y هو الارتفاع (بالقدم) من الكرة.
أ. ما هو أقصى ارتفاع لكرة التنس؟
إجابه:
أقصى ارتفاع هو إحداثي y للرأس.
س = -ب / 2 أ
حيث أ = -0.005 و ب = 0.17
س = & # 8211 ( فارك <0.07> <2 (-0.005)> ) = 17
الإحداثي ص هو
ص = -0.005 (17) ² + 0.17 (17) + 3
ص = 4.445

ب. أنت تقف على بعد 30 قدمًا من الشبكة التي يبلغ ارتفاعها 3 أقدام. هل ستقوم الكرة بمسح الشبكة؟ اشرح أسبابك.
إجابه:
ستمحو الكرة الشبكة إذا كان الارتفاع ، y ، عند x = 30 ، أكبر من 3 أقدام.
ص = 0.005 (30) ² + 0.17 (30) + 3
ص = 3.6 قدم
منذ 3.6 قدم و 3 قدم ، ثم الكرة سوف تمسح الشبكة.

السؤال 16.
أوجد قيم a و b و c بحيث تكون الدالة f (x) = ax 2 + bx + c هي (أ) زوجي و (ب) فردي و (ج) ليست زوجية ولا فردية.
إجابه:
أ. الوظيفة حتى هل ترضي:
و (-x) = و (س)
أ (-x) ² + ب (-x) + ج = فأس 2 + ب س + ج
الفأس 2 & # 8211 ب س + ج = فأس 2 + ب س + ج
لكي تكون هذه المعادلة صحيحة ، يمكننا ترك b = 0 بحيث تكون a و c أي قيمة.
الجواب المحتمل هو أ = 1 ، ب = 0 ، ج = 2
ب.
تكون الوظيفة غريبة إذا كانت ترضي:
f (-x) = -f (x)
أ (-x) ² + ب (-x) + ج = - (فأس 2 + ب س + ج)
الفأس 2 & # 8211 bx + c = -ax 2 & # 8211 bx & # 8211 c
لكي تكون هذه المعادلة صحيحة ، يمكننا ترك a = c = 0 بحيث يمكن أن يكون b أي قيمة.
الجواب المحتمل هو أ = 0 ، ب = 1 ، ج = 0
ج.
الوظيفة ليست فردية ولا حتى عندما تكون a و b و c غير أصفار
الجواب المحتمل هو: أ = 1 ، ب = 2 ، ج = 3

السؤال 17.
ضع في اعتبارك الدالة f (x) = x 2 + 4. أوجد متوسط ​​معدل التغيير من x = 0 إلى x = 1 ، ومن x = 1 إلى x = 2 ، ومن x = 2 إلى x = 3. ماذا تفعل إشعار حول متوسط ​​معدلات التغيير عندما تتزايد الدالة؟
إجابه:
أنشئ جدولًا من x = 0 و x = 3
/>
قارن معدل التغيير باستخدام متوسط ​​معدل التغيير
= f (b) & # 8211 f (a) / b-a
من t = 0 إلى t = 1:
(5-4)/1-0 = 1
من t = 1 إلى t = 2:
(8-5)/2-1 = 3
من t = 2 إلى t = 3:
(13-8)/3-2 = 5
مع زيادة الوظيفة ، يزداد معدل التغيير أيضًا.

رسم بياني للوظائف التربيعية التقييم التراكمي

السؤال رقم 1.
ما الوظيفة التي يمثلها الرسم البياني؟

إجابه:
في الرسم البياني ، يمكننا أن نرى أن الرأس هو (0 ، 0).
وبالتالي ، فإن القطع المكافئ يكون من الشكل f (x) = ax 2
بما أن (2 ، -2) مستلقية على الرسم البياني ،
و (2) = -2
الفأس 2 = -2
أ = -1/2
وبالتالي فإن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج).

السؤال 2.
ابحث عن جميع الأرقام بين 0 و 100 الموجودة في نطاق الوظيفة المحددة أدناه. (HSF-IF.A.3)
و (1) = 1 ، و (2) = 1 ، و (ن) = و (ن & # 8211 1) + و (ن & # 8211 2)
إجابه:
القاعدة العودية هي سلسلة فيبوناتشي حيث يكون كل مصطلح هو مجموع المصطلحات السابقة.
استخدم القاعدة العودية حتى يصبح المصطلح أكبر من 100 حيث لا يتم تضمينه:
و (1) = 1
و (2) = 1
و (3) = و (2) + و (1) = 1 + 1 = 2
و (4) = و (3) + و (2) = 2 + 1 = 3
و (5) = و (4) + و (3) = 3 + 2 = 5
و (6) = و (5) + و (4) = 5 + 3 = 8
و (7) = و (6) + و (5) = 8 + 5 = 13
و (8) = و (7) + و (6) = 13 + 8 = 21
و (9) = و (8) + و (7) = 21 + 13 = 34
و (10) = و (9) + و (8) = 34 + 21 = 55
و (11) = و (10) + و (9) = 55 + 34 = 89
و (12) = و (11) + و (10) = 89 + 55 = 144
لذلك ، فإن الأرقام الواقعة بين 0 و 100 هي: 1 و 2 و 3 و 5 و 8 و 13 و 21 و 34 و 55 و 89.

السؤال 3.
الدالة f (t) = -16t 2 + v0ر + س0 يمثل ارتفاع الكرة (بالأقدام) بعد مرور ثوانٍ على رميها من ارتفاع أولي s0 (بالأقدام) بسرعة رأسية ابتدائية v0 (بالأقدام في الثانية). تصل الكرة إلى أقصى ارتفاع لها بعد ( frac <7> <8> ) ثانية عندما يتم رميها بسرعة عمودية ابتدائية ______ قدم في الثانية.
إجابه:
الحد الأقصى للارتفاع يتوافق مع الرأس حيث يكون الإحداثي x هو x = -b / 2a
ر = & # 8211 ضد0/2(-16)
7/8 = الخامس0/32
الخامس0 = 28
وبالتالي فإن السرعة الابتدائية هي 28 قدم / ثانية.

السؤال 4.
صنف كل نظام من المعادلات بعدد الحلول.

إجابه:
حول كل معادلة إلى صيغة الميل والمقطع ثم قارن بين الميل والتقاطعات لتحديد عدد الحلول.
النظام أ:
المنحدرات سالبة مقلوبة لذا فهي متعامدة.
لذلك هناك حل واحد.
النظام متسق.
النظام ب:
y = & # 8211 ( frac <7> <4> ) x + 3
y = ( frac <7> <8> ) x + ( frac <3> <2> )
تختلف المنحدرات بحيث تتقاطع. لذلك هناك حل واحد.
النظام متسق.
النظام ج:
y = & # 8211 ( frac <1> <2> ) x & # 8211 ( frac <1> <2> )
y = & # 8211 ( frac <5> <2> ) x & # 8211 ( frac <1> <2> )
تختلف المنحدرات بحيث تتقاطع. لذلك هناك حل واحد.
النظام متسق.
النظام د:
ص = -3 س + 5
ص = -3 س + 5
المعادلتان هما نفس الخط. لذلك ، هناك عدد لا نهائي من الحلول.
النظام متسق.
النظام E:
ص = 2 س + 3/2
ص = 2 س + 3/2
المعادلتان هما نفس الخط. لذلك ، هناك عدد لا نهائي من الحلول.
النظام متسق.
النظام F:
المعادلات لها نفس الميل. لذلك لا يوجد حل.
النظام غير متسق.

السؤال 5.
يدعي صديقك أن الدوال التربيعية يمكن أن تحتوي على اثنين أو واحد أو لا تحتوي على أصفار حقيقية. هل تؤيد مطالبة صديقك؟ استخدم الرسوم البيانية لتبرير إجابتك.
إجابه:
نعم هو محق.
يوجد 2 صفرين حقيقيين عندما يقطع الرسم البياني المحور x. لا يوجد سوى صفر حقيقي واحد عندما يلمس الرسم البياني المحور x.
لا يوجد صفر حقيقي عندما لا يتقاطع الرسم البياني مع المحور السيني أو يلمسه.

السؤال 6.
ما كثير الحدود الذي يمثل مساحة المنطقة المظللة بالشكل (بالأقدام المربعة)؟

إجابه:
كل جانب من المنطقة المظللة هو x & # 8211 أ.
أ = (س & # 8211 أ) ²
باستخدام مربع الفرق ذي الحدين
أ = س² & # 8211 2ax + a²
وبالتالي فإن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج).

السؤال 7.
ضع في اعتبارك الوظائف التي تمثلها الجداول.

أ. صنف كل دالة على أنها خطية أو أسية أو تربيعية.
إجابه:
ل (س):
الفروق الأولى هي: -12 ، -12 ، -12
نظرًا لأن الاختلافات الأولى ثابتة ، فهي خطية.
لـ r (x):
الفروق الأولى هي: 15 ، 25 ، 35
الاختلافات الثانية هي: 10 ، 10
نظرًا لأن الاختلافات الثانية ثابتة ، فهي تربيعية.
بالنسبة إلى s (x):
هناك نسبة مشتركة وهي 1/2
وبالتالي ، فإن الوظيفة أسية.
بالنسبة إلى t (x):
الفروق الأولى هي: -8 ، -16 ، -24
الفروق الثانية هي: -8 ، -8
نظرًا لأن الاختلافات الثانية ثابتة ، فهي تربيعية.

ب. رتب الدوال من الأصغر إلى الأكبر وفقًا لمتوسط ​​معدلات التغيير بين x = 1 و x = 3.
إجابه:
قارن معدل التغيير باستخدام متوسط ​​معدل التغيير = f (b) & # 8211 f (a) / b-a
ص (س) = -40 - (- 16) / 3-1 = -12
ص (س) = 40-0 / 3-1 = 40/2 = 20
ق (س) = 18- (72) / 3-1 = -27
ر (س) = -5-3 / 3-1 = -4
قارن القيم المطلقة لمعدل التغيير ، فالترتيب من الأقل إلى الأكبر هو: t (x) ، p (x) ، r (x) ، s (x)

السؤال 8.
أكمل كل دالة باستخدام الرموز + أو & # 8211 ، بحيث يلبي الرسم البياني للدالة التربيعية الشروط المحددة.

إجابه:
أ. استخدم شكل قمة الرأس:
ص = أ (س ح) ² + ك
حيث (h، k) هي verrtex
و (س) = 5 (س - (- 3)) ² + 4
و (س) = 5 (س + 3) ² + 4
ب. استخدم نموذج الاعتراض:
y = a (x-p) (x-q)
ز (س) = - (س -2) (س - (- 8))
ز (س) = - (س -2) (س + 8)
ج. يشير النطاق إلى أن القطع المكافئ يفتح لأعلى والإحداثي y هو -6
ح (س) = 3 س² & # 8211 6
د. يشير النطاق إلى أن القطع المكافئ يفتح لأسفل وأن الإحداثي y هو 4.
لذلك ، سيكون للعاملان علامات معاكسة:
ي (س) = -4 (س + 1) (س -1)

السؤال 9.
يوضح الرسم البياني المبالغ y (بالدولار) التي يكسبها الحكم مقابل التحكيم × ألعاب الكرة الطائرة في المدرسة الثانوية.

أ. هل يمثل الرسم البياني دالة خطية أم غير خطية؟ يشرح.
الإجابة: يمثل الرسم البياني دالة خطية.

ب. وصف مجال الوظيفة. هل المجال منفصل أم مستمر؟
الإجابة: المجال هو مجموعة الأعداد الطبيعية في سياق المشكلة المعطاة وهو منفصل لأن عدد الألعاب يجب أن يكون أعدادًا صحيحة.

ج. اكتب دالة تشكل البيانات.
إجابه:
(× 1 ، ص 1) → (2 ، 90)
(x2 ، y2) → (4 ، 180)
y & # 8211 y1 = م (x & # 8211 x1)
م = 45
استبدل:
y & # 8211 90 = 45 (x & # 8211 2)
y & # 8211 90 = 45x & # 8211 90
ص = 45 س

د. هل يستطيع الحكم ربح 500 دولار بالضبط؟ يشرح.
إجابه:
لا ، لأن 500 ليست من مضاعفات 45 كما هو موضح أعلاه.

السؤال 10.
ما هي التعبيرات التي تعادل (ب -5) -4؟

إجابه:
/>


الرسم البياني للمعادلات التربيعية



أمثلة وحلول ومقاطع فيديو وأوراق عمل وأنشطة لمساعدة طلاب الجبر على التعرف على كيفية رسم المعادلات التربيعية بالرسم البياني.

يوضح الشكل التالي كيفية رسم معادلة من الدرجة الثانية بشكل عام. قم بالتمرير لأسفل الصفحة لمزيد من الأمثلة والحلول حول الرسم البياني للمعادلة التربيعية.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


أسئلة محلولة

ارسم المعادلات التربيعية التالية وحدد طبيعة الحلول.

ارسم الرسم البياني للدالة y = & # xa0 x 2 & # xa0− 9x + 20

دعونا نعطي بعض القيم العشوائية لـ x ونوجد قيم y.

لإيجاد إحداثي x لرأس القطع المكافئ ، يمكننا استخدام الصيغة x = -b / 2a

بتطبيق x = 9/2 ، نحصل على قيمة y.

الرسم البياني للقطع المكافئ المحدد يتقاطع مع المحور x عند نقطتين متميزتين. ومن ثم فإن لها جذور حقيقية وغير متكافئة.

ارسم المعادلات التربيعية التالية وحدد طبيعة الحلول.


موارد الرياضيات العليا

.

1. حول الرسوم البيانية التربيعية

  • هي منحنيات على شكل حرف U.
  • y = ax² + bx + c ⇒ إذا كانت a & gt 0 ، فإن نقطة التحول هي الحد الأدنى ⇒ المعروف باسم "قطع مكافئ سعيد
  • y = ax² + bx + c ⇒ إذا كانت a & lt 0 ، فإن نقطة التحول هي الحد الأقصى ⇒ المعروف باسم "حزين القطع المكافئ
  • حدد ما إذا كان الشكل الأقصى أو الأدنى
  • أوجد تقاطع y ⇒ اجعل x = 0 وحل من أجل y
  • أوجد الجذور ⇒ اجعل y = 0 وحل من أجل x
  • أوجد محور التناظر
  • ابحث عن إحداثيات نقطة التحول
  • لمزيد من التدريب / أوراق العمل ، يرجى النقر على موقع N5 Maths الخاص بنا الرسوم البيانية التربيعية ربط هنا.

2. أوراق عمل متعددة الحدود والتربيع التربيعي # 8211

بفضل SQA والمؤلفين لإتاحة الموارد الممتازة أدناه مجانًا. يرجى استخدامها بانتظام للمراجعة قبل التقييمات والاختبارات والامتحان النهائي. تتوفر حلول عملية واضحة وسهلة المتابعة وخطوة بخطوة لجميع أوراق العمل أدناه في حزمة الدراسة عبر الإنترنت.

أوراق عمل
___________________________
عنوان
__________________________________
الإجابات
________
كياسة
_______________________________________________
تدريب على اختبار المهارات الأساسية 2النظرية التربيعيةالإجابات
ممارسة امتحان المهارات الأساسية 4كثيرات الحدودالإجابات
المهارات الأساسية 6المتباينات التربيعيةالإجابات
المهارات الأساسية 7استكمال الساحةالإجابات
المهارات الأساسية 13 الصيغة التربيعية (رياضيات N5)الإجابات
المهارات الأساسية 14تقسيم الاصطناعيةالإجابات
المهارات الأساسية 33باستخدام التمييزالإجابات
أسئلة الامتحان العاليكثيرات الحدودالإجابات
أسئلة الامتحان العاليالتربيعيةالإجابات
أسئلة الامتحان العاليكثيرات الحدود ورباعيات الأمبيرالإجابات
ورقة العمل 1استكمال الساحةالإجاباتMaths4Everyone.com يرجى مشاركتها من خلال موقع TES
ورقة العمل 2استكمال المربع - متقدمالإجاباتMaths4Everyone.com يرجى مشاركتها من خلال موقع TES

3. متعدد الحدود وخرائط تربيعية & # 8211 مقاطع فيديو وأدلة نظرية وخرائط ذهنية

نشكر المؤلفين على إتاحة الموارد الممتازة أدناه مجانًا. يرجى استخدامها بانتظام للمراجعة قبل التقييمات والاختبارات والامتحان النهائي.

فيديو لاربرت الرياضيات
_____________________________
maths180.com مقاطع الفيديو
___________________________
دليل نظرية HSN
________________________________
خرائط العقل
_________________________
مقدمة - كثيرات الحدوداستكمال الساحةنظرية كثيرات الحدود والمربعات (HSN)كثيرات الحدود ومربعات أمبير (HSN)
تقسيم كثيرات الحدودمميز كثيرات الحدود ورباعيات الأمبير
تحليل كثيرات الحدود إلى عواملالمعادلات كثيرات الحدود
عوامل التحليل من الرسوم البيانيةتقاطع خطوط القطع المكافئ وخطوط الأمبير التربيعية
البحث عن معاملات غير معروفةباستخدام التمييز
حل المعادلات
رسم التربيعات

4. مهارات الرياضيات العليا الأساسية

شكرًا للسيد G Rennie على إتاحة الموارد الممتازة أدناه مجانًا. يمكن استخدام أوراق عمل المهارات الأساسية للمراجعة العامة ، والواجبات المنزلية ، وتوحيد موضوع أو التحضير للتقييمات والاختبارات والامتحانات.

مهارات اساسيه
__________________
عنوان
________________________________
الإجابات
________
مهارات اساسيه
_______________
عنوان
_________________________
الإجابات
___________
كتيب ممارسة الامتحانكتيب التدريب على الامتحان مع الإجاباتالإجاباتالمهارات الأساسية 17الرسوم البيانية للوظائف المشتقةالإجابات
المهارات الأساسية 1متوسط ​​المثلثالإجاباتالمهارات الأساسية 18المعادلات اللوغاريتميةالإجابات
المهارات الأساسية 2منصفات عموديةالإجاباتالمهارات الأساسية 19إثبات الهويات المثلثيةالإجابات
المهارات الأساسية 3ارتفاع المثلثالإجاباتالمهارات الأساسية 20الرسوم البيانية ذات الصلةالإجابات
المهارات الأساسية 4معادلة المماس لمنحنىالإجاباتالمهارات الأساسية 21منتج عدديالإجابات
المهارات الأساسية 5النقاط الثابتةالإجاباتالمهارات الأساسية 22مزيد من التمايزالإجابات
المهارات الأساسية 6المتباينات التربيعيةالإجاباتالمهارات الأساسية 23مزيد من التكاملالإجابات
المهارات الأساسية 7استكمال الساحةالإجاباتالمهارات الأساسية 24التكرار: شروط متتاليةالإجابات
المهارات الأساسية 8الظل لدائرةالإجاباتالمهارات الأساسية 25المعادلات التفاضليةالإجابات
المهارات الأساسية 9تقاطع الخطوط والدوائر أمبيرالإجاباتالمهارات الأساسية 26تكاملات محددةالإجابات
المهارات الأساسية 10صيغة المقطعالإجاباتالمهارات الأساسية 27وظائف مركبةالإجابات
المهارات الأساسية 11صيغة Trigالإجاباتالمهارات الأساسية 28وظائف معكوسةالإجابات
المهارات الأساسية 12الزوايا ذات الصلةالإجاباتالمهارات الأساسية 29الزاوية بين الخط ومحور x أمبيرالإجابات
المهارات الأساسية 13المعادلات المثلثية (صيغة الزاوية المزدوجة)الإجاباتالمهارات الأساسية 30الزاوية بين المتجهاتالإجابات
المهارات الأساسية 14تقسيم الاصطناعيةالإجاباتالمهارات الأساسية 31اللوغاريتمات الطبيعيةالإجابات
المهارات الأساسية 15حد تكرار العلاقةالإجاباتالمهارات الأساسية 32السجلات: توصيل متغيرينالإجابات
المهارات الأساسية 16وظيفة الموجةالإجاباتالمهارات الأساسية 33باستخدام التمييزالإجابات

.

5. أوراق عمل امتحان الرياضيات العليا حسب الموضوع

بفضل SQA والمؤلفين لإتاحة الموارد الممتازة أدناه مجانًا. تعد أوراق العمل حسب الموضوع مصدرًا رائعًا للدراسة لأنها أسئلة اختبار ورقي سابقة فعلية. تتوفر حلول عملية واضحة وسهلة المتابعة وخطوة بخطوة لجميع أسئلة الرياضيات العليا الجديدة الخاصة بـ CfE أدناه في حزمة الدراسة عبر الإنترنت.

عدد
______
عنوان
___________________________
الإجابات
____________
عدد
______
عنوان
___________________________
الإجابات
_____________
1الدوائر الإجابات21كثيرات الحدودالإجابات
2الدوائر (القديمة العليا)وشملت الجواب22كثيرات الحدود (القديمة العليا)وشملت الجواب
3التمايز - 1الإجابات23التربيعيةالإجابات
4التمايز - 2الإجابات24التربيعية (العليا القديمة)وشملت الجواب
5التمايز (التحسين)الإجابات25علاقات التكرار - 1الإجابات
6التمايز (القديم العالي)وشملت الجواب26علاقات التكرار - 2الإجابات
7الأسي وسجلات أمبيرالإجابات27علاقات التكرار (القديم العالي)وشملت الجواب
8الأسي وسجلات أمبير (القديم الأعلى)وشملت الجواب28الخطوط المستقيمة - 1الإجابات
9المهامالإجابات29الخطوط المستقيمة - 2الإجابات
10الوظائف والرسوم البيانية أمبيرالإجابات30الخطوط المستقيمة (القديمة العليا)وشملت الجواب
11الوظائف (القديمة العليا)وشملت الجواب31الصيغ المثلثية ومعادلات أمبير - 1الإجابات
12مزيد من حساب التفاضل والتكاملالإجابات32الصيغ المثلثية ومعادلات أمبير - 2الإجابات
13حساب التفاضل والتكامل الإضافي (القديم العالي)وشملت الجواب33صيغة إضافة المثلثات (القديمة الأعلى)وشملت الجواب
14الرسوم البيانية للوظائفالإجابات34الرسوم البيانية المثلثية والمعدلات (العليا القديمة)وشملت الجواب
15الرسوم البيانية للدوال (القديمة العليا)وشملت الجواب35ثلاثة أبعادالإجابات
16التكامل - 1الإجابات36المتجهات (القديمة العليا)وشملت الجواب
17التكامل - 2الإجابات37وظيفة الموجةالإجابات
18التكامل - المنطقة الواقعة تحت منحنىالإجابات38وظيفة الموجة (القديمة الأعلى)وشملت الجواب
19الاندماج (القديم العالي)وشملت الجواب39مراجعة أولية خاصةالإجابات
20كثيرات الحدود ورباعيات الأمبيرالإجابات

6. أوراق ممارسة الرياضيات العليا في الماضي وأبحاث الممارسة حسب الموضوع

بفضل SQA لجعل الموارد الممتازة أدناه متاحة مجانًا. تم تقسيم الأسئلة والأجوبة حسب الموضوع لتسهيل الرجوع إليها. تتوفر حلول عملية واضحة وسهلة المتابعة وخطوة بخطوة لجميع الأسئلة أدناه في حزمة الدراسة عبر الإنترنت.

.

7. مقاطع فيديو أعلى للرياضيات ، أدلة نظرية ، خرائط ذهنية وأوراق عمل

تقدم العشرات من مقاطع الفيديو الخاصة بالرياضيات العليا دروسًا جيدة حسب الموضوع. يتم تضمين أيضًا أدلة نظرية ممتازة وخرائط ذهنية وأوراق عمل مراجعة مع أسئلة امتحان الرياضيات العليا الفعلية. يرجى النقر على صفحة جديدة مخصصة للرياضيات العليا وأوراق عمل حسب الموضوع.

8. أوراق ممارسة الرياضيات العليا في الماضي

بفضل SQA لجعل الموارد الممتازة أدناه متاحة مجانًا. تتوفر حلول عملية واضحة وسهلة المتابعة وخطوة بخطوة لجميع أوراق CfE العليا أدناه في حزمة الدراسة عبر الإنترنت.

.

9. 40 أسئلة الرياضيات العليا غير الحاسبة وأجوبة أمبير

بفضل SQA والمؤلفين لإتاحة الموارد الممتازة أدناه مجانًا. ابدأ بهذه الأسئلة للمساعدة في بناء ثقتك بنفسك. بمجرد الانتهاء ، قد ترغب في الانتقال إلى 200 سؤال لامتحان الرياضيات العالي في القسم التالي للتحقق من إجاباتك كما تذهب. إذا واجهتك مشكلة ، فاطلب دائمًا من معلمك المساعدة في أسرع وقت ممكن. تتوفر حلول عملية واضحة وسهلة المتابعة وخطوة بخطوة لجميع الأسئلة الأربعين أدناه في حزمة الدراسة عبر الإنترنت.

أسئلة الامتحان
_______________________
الإجابات
__________
الورقة أ - 10 أسئلةالإجابات
الورقة ب - 10 أسئلةالإجابات
ورقة ج - 10 أسئلةالإجابات
الورقة د - 10 أسئلةالإجابات
كتيب كامل للطباعةالإجابات

10. 200 الرياضيات العليا أسئلة وأجوبة أمبير

بفضل SQA والمؤلفين لإتاحة الموارد الممتازة أدناه مجانًا. يرجى محاولة القيام بأكبر عدد ممكن من الأسئلة ، والتحقق من إجاباتك كما تذهب. إذا واجهتك مشكلة ، فاطلب دائمًا من معلمك المساعدة في أسرع وقت ممكن. تتوفر حلول عملية واضحة وسهلة المتابعة وخطوة بخطوة لجميع الأسئلة الـ 200 أدناه في حزمة الدراسة عبر الإنترنت.

أسئلة الامتحان
_____________________
الإجابات
___________
أسئلة الامتحان 1 - 20الإجابات
أسئلة الامتحان 21-40الإجابات
أسئلة الامتحان 41-60الإجابات
أسئلة الامتحان 61-80الإجابات
أسئلة الامتحان 81 - 100الإجابات
أسئلة الامتحان 101 - 120الإجابات
أسئلة الامتحان 121 - 140الإجابات
أسئلة الامتحان 141 - 160الإجابات
أسئلة الامتحان 161-180الإجابات
أسئلة الامتحان 181-200الإجابات
كتيب كامل للطباعةالإجابات

.

11. تم تضمين أوراق الامتحان التدريبي من A إلى H & # 8211 الإجابات

بفضل أكاديمية SQA و Larkhall لتوفير الموارد الممتازة أدناه مجانًا. يرجى استخدامها بانتظام للمراجعة قبل التقييمات والاختبارات والامتحان النهائي. تتوفر حلول عملية واضحة وسهلة المتابعة وخطوة بخطوة لأوراق الممارسة من A إلى E في حزمة الدراسة عبر الإنترنت.

ورقة تدريب
_____________
ورقة 1
_____________
ورقة 2
_____________
الأوراق 1 و 2
_____________________
الإجابات
_____________
ورقة أورقة 1ورقة 2الأوراق 1 و 2الإجابات
ورقة بورقة 1ورقة 2الأوراق 1 و 2الإجابات
ورقة جورقة 1ورقة 2الأوراق 1 و 2الإجابات
ورقة دورقة 1ورقة 2الأوراق 1 و 2الإجابات
الورق Eورقة 1ورقة 2الأوراق 1 و 2الإجابات
ورقة Fورقة 1ورقة 2الأوراق 1 و 2الإجابات
ورقة Gورقة 1ورقة 2الأوراق 1 و 2الإجابات
ورق حورقة 1ورقة 2الأوراق 1 و 2الإجابات
بريليم سبيشالأسئلة أسئلة وأجوبةالإجابات
بريليم سبيشالموضوع X-Mas أسئلة وأجوبةالإجابات

.

12. 264 امتحان SQA أسئلة الاختيار من متعدد & أمبير الأجوبة

بفضل SQA والمؤلفين لإتاحة الموارد الممتازة أدناه مجانًا. الاختيار من متعدد هي في الأساس أسئلة من المستوى C ومكان رائع لبدء المراجعة. إذا واجهتك مشكلة ، فاطلب دائمًا من معلمك المساعدة في أسرع وقت ممكن.

أسئلة
__________
عام
______
امتحان الاختيار من متعدد
__________________
امتحان الاختيار من متعدد
__________________
امتحان الاختيار من متعدد
__________________
1 - 202015أسئلة فقطأسئلة وأجوبةالإجابات فقط
21 - 402014أسئلة فقطأسئلة وأجوبةالإجابات فقط
41 - 602013أسئلة فقطأسئلة وأجوبةالإجابات فقط
61 - 802012أسئلة فقطأسئلة وأجوبةالإجابات فقط
81 - 1002011أسئلة فقطأسئلة وأجوبةالإجابات فقط
101 - 1202010أسئلة فقطأسئلة وأجوبةالإجابات فقط
121 - 264مختلطأسئلة فقطأسئلة وأجوبةالإجابات فقط


13. قوائم مراجعة امتحان الرياضيات العالي

بفضل SQA والمؤلفين لإتاحة الموارد الممتازة أدناه مجانًا. هذه قوائم مراجعة رائعة لتقييم معرفتك العليا في الرياضيات. يرجى محاولة استخدامها بانتظام للمراجعة قبل الاختبارات ، والاختبارات التمهيدية والامتحان النهائي.

وصف
___________________________________________________
نهاية لهذه الغاية
________
شكر وتقدير
_________________________
توصيف مقررات الرياضيات العلياهنا
قائمة صيغ اختبارات الرياضيات العليا SQAهنابإذن من SQA
قائمة الاختيار 1 - اختبار الرياضيات العالي كامل الدورة
هنابإذن من زيتا ماثس
قائمة التحقق 2 - قائمة صيغ الرياضيات العليا غير معطاة في الامتحانهنا
قائمة التحقق 3 - اختبار الرياضيات العالي كامل الدورةهنا
قائمة التحقق 4 - ورقة مراجعة حساب المثلثات العليا لامتحان الرياضياتهنا
قائمة التحقق 5 - دليل ملخص صفحة واحدة الوحدة 1 (HSN)هنابإذن من HSN
قائمة التحقق 6 - دليل ملخص صفحة واحدة الوحدة 2 (HSN)هنابإذن من HSN
قائمة التحقق 7 - دليل ملخص صفحة واحدة الوحدة 3 (HSN)هنابإذن من HSN

14. قديم أسئلة امتحان الرياضيات العليا حسب الموضوع

بفضل SQA لجعل الموارد الممتازة أدناه متاحة مجانًا. تعد أوراق العمل حسب الموضوع مصدرًا دراسيًا إضافيًا رائعًا.

عنوان
________
اسم الموضوع
___________________________
نهاية لهذه الغاية
________
تلاحظ
___________________
الموضوع 1الدوائرهناوشملت الإجابات
الموضوع 2التفاضلهناوشملت الإجابات
الموضوع 3الأسي واللوغاريتمات أمبيرهناوشملت الإجابات
الموضوع 4المهامهناوشملت الإجابات
الموضوع 5مزيد من حساب التفاضل والتكاملهناوشملت الإجابات
الموضوع 6الرسوم البيانية للوظائفهناوشملت الإجابات
الموضوع 7اندماجهناوشملت الإجابات
الموضوع 8كثيرات الحدودهناوشملت الإجابات
الموضوع 9التربيعيةهناوشملت الإجابات
الموضوع 10علاقات التكرارهناوشملت الإجابات
الموضوع 11خط مستقيمهناوشملت الإجابات
الموضوع 12صيغ الإضافة المثلثيةهناوشملت الإجابات
الموضوع 13الرسوم البيانية المثلثية ومعادلات أمبيرهناوشملت الإجابات
الموضوع 14ثلاثة أبعادهناوشملت الإجابات
الموضوع 15وظيفة الموجةهناوشملت الإجابات

15. حلول الكتب النصية العليا في الرياضيات

شكرًا لـ AHS لتوفير حلول الكتب النصية Heinemann Higher Maths أدناه. ستكون هذه مفيدة للغاية في المساعدة على تطوير معرفتك العليا بالرياضيات. يرجى ملاحظة أنه قد يكون هناك خطأ حسابي فردي.

عنوان
______________
اسم الموضوع
____________________
الموضوع 1خط مستقيم1 أ1 ب1 د1E1F1G11 ك1 م1N1O1O
الموضوع 2الوظائف والرسوم البيانية أمبير 12 أ2 ب2 ج2 د2F2G2 أنا
الموضوع 3الوظائف والرسوم البيانية 2 3 أ3 ج3 ك3N3O3 ص
الموضوع 4تكرار5 أ5 ب5 ب5 ج5 د5F5 ح5 أنا
الموضوع 5التفاضل6 أ6 ج6 د6E6F6 ز6 ح6 أنا6J6 لتر6 م6N6O6 ص6Q6R6S
الموضوع 6كثيرات الحدود7 ب7 ج7 د7E7F7 ز7 ح7 أنا7J
الموضوع 7التربيعية8 ج8 د8E8F8 ح8 أنا8J8 كيلو
الموضوع 8اندماج9G9 ح9 أنا9 لتر9N9 ص9Q
الموضوع 9علم المثلثات11 ب11 ج11 د11 هـ11F11G11 ح
الموضوع 10الدوائر12 ب12 د12F12 ح12J12 ك12 لتر
الموضوع 11ثلاثة أبعاد13 أ13 ج13 د13 هـ13F13 ز13 أنا13 ك13 لتر13 م13N13O13 ص13 س13R13 ثانية13U
الموضوع 12مزيد من حساب التفاضل والتكامل14 ب14 ج14 ج14 هـ14 ز14 ح14 أنا14J14 ك
الموضوع 13إكسب & أمبير ؛ سجلات15 ج15 د15 هـ15F15 ز15 ح15 ط15 ط15J15 ألف15 لتر
الموضوع 14وظيفة الموجة16 أ16 ج16 د16 هـ16F16 ز16 ح

16. أدلة نظرية الرياضيات العليا

بفضل HSN لإتاحة أدلة نظرية الرياضيات العليا الممتازة مجانًا ليستخدمها الجميع. ستثبت هذه المصادر أنها مورد رائع في مساعدتك على ترسيخ فهمك للرياضيات العليا.

أدلة النظرية
_________________
عنوان
____________________________________________
نهاية لهذه الغاية
_______
دليل النظرية 1نظرية الوحدة الأولى (HSN) كل الموضوعاتهنا
دليل النظرية 2كل المواضيع الوحدة 1 - دليل موجز من صفحة واحدة (HSN)هنا
دليل النظرية 3نظرية الوحدة الثانية لكل الموضوعات (HSN)هنا
دليل النظرية 4كل المواضيع الوحدة 2 - دليل موجز من صفحة واحدة (HSN)هنا
دليل النظرية 5نظرية الوحدة الثالثة لكل الموضوعات (HSN)هنا
دليل النظرية 6كل المواضيع الوحدة 3 - دليل موجز من صفحة واحدة (HSN)هنا
دليل النظرية 7جميع وحدات المواضيع 1،2 و 3 نظرية (HSN)هنا
دليل النظرية 8نظرية الدوائر (HSN)هنا
دليل النظرية 9نظرية التمايز (HSN)هنا
دليل النظرية 10نظرية الأسي واللوغاريتمات (HSN)هنا
دليل النظرية 11نظرية الوظائف والرسوم البيانية (HSN)هنا
دليل النظرية 12نظرية التفاضل والتكامل الإضافية (HSN)هنا
دليل النظرية 13نظرية تحولات الرسوم البيانية (الحركة والانعكاس)هنا
دليل النظرية 14ورقة ملخص تحولات الرسوم البيانيةهنا
الدليل النظري 15نظرية التكامل (HSN)هنا
الدليل النظري 16نظرية كثيرات الحدود والمربعات (HSN)هنا
الدليل النظري 17نظرية التسلسلات (HSN)هنا
دليل النظرية 18نظرية الخط المستقيم (HSN)هنا
الدليل النظري 19نظرية علم المثلثات (HSN)هنا
الدليل النظري 19نظرية المتجهات (HSN)هنا
الدليل النظري 20نظرية وظيفة الموجة (HSN)هنا

17. الخرائط الذهنية للرياضيات العليا

شكرا للمؤلفين لتوفير الموارد الممتازة أدناه. ستثبت هذه الموارد الرائعة في مساعدتك على الاستعداد للتقييمات والاختبارات والامتحان النهائي.

خريطة ذهنية
____________
عنوان
____________________________
خريطة ذهنية
___________
عنوان
____________________________
الخريطة الذهنية 1الدائرة 1 الخريطة الذهنية 16كثيرات الحدود ورباعيات الأمبير
الخريطة الذهنية 2الدائرة 2الخريطة الذهنية 17كثيرات الحدود
الخريطة الذهنية 3وظائف مركبةالخريطة الذهنية 18التربيعية
خريطة ذهنية 4صيغة الزاوية المركبةالخريطة الذهنية 19علاقات التكرار 1
الخريطة الذهنية 5التمايز (التحضير)20 الخريطة الذهنيةعلاقات التكرار 2
الخريطة الذهنية 6التمايز 1الخريطة الذهنية 21خطوط مستقيمة 1
الخريطة الذهنية 7التمايز 2الخريطة الذهنية 22خطوط مستقيمة 2
الخريطة الذهنية 8التمايز (إضافي)الخريطة الذهنية 23علم المثلثات 1
الخريطة الذهنية 9الوظائف والرسوم البيانية أمبيرالخريطة الذهنية 24علم المثلثات 2
الخريطة الذهنية 10تحويلات الرسم البيانيخريطة ذهنية 25النواقل 1
الخريطة الذهنية 11التكامل (التحضير)خريطة ذهنية 26المتجهات 2
الخريطة الذهنية 12التكامل 1الخريطة الذهنية 27النواقل 3
الخريطة الذهنية 13التكامل 2الخريطة الذهنية 28وظيفة الموجة 1
الخريطة الذهنية 14السجلات & أمبير ؛ الأمبيرات الأسية 1الخريطة الذهنية 29وظيفة الموجة 2
الخريطة الذهنية 15السجلات & أمبير ؛ أمبير الأسي 2

18. تقييمات وحدة ممارسة الرياضيات العليا & # 8211 الحلول متضمنة

نشكر المؤلفين على إتاحة الموارد الممتازة أدناه مجانًا للجميع لاستخدامها. يرجى استخدامها بانتظام للمراجعة قبل التقييمات والاختبارات والامتحان النهائي.

وحدة
_________
ورق
____________
حلول
___________
الوحدة الأولىالممارسة أحلول
الوحدة الأولىالممارسة بحلول
الوحدة الثانيةالممارسة أحلول
الوحدة الثانيةالممارسة بحلول
الوحدة الثالثةالممارسة أحلول
الوحدة الثالثةالممارسة بحلول
الوحدة الرابعةالممارسة أحلول

19. الرياضيات العليا الماضي ورقة حلول الفيديو

الرجاء النقر فوق DLB Maths لعرض حلول فيديو الورقة السابقة للرياضيات العليا. سيثبت هذا أنه مورد ممتاز في مساعدتك على الاستعداد للتقييمات والاختبارات والامتحان النهائي.

20. كتاب نصي ينصح به الرياضيات العليا

يرجى الاطلاع أدناه على كتابنا النصي الموصى به للغاية والذي يمكن طلبه بالضغط على الكتاب / الرابط.

21. حزمة دراسة الرياضيات العليا عبر الإنترنت

من خلال الحلول العملية خطوة بخطوة لأسئلة الامتحان المتوفرة في حزمة الدراسة عبر الإنترنت ، نغطي كل ما تحتاج إلى معرفته الرسوم البيانية التربيعية لاجتياز الاختبار النهائي.

بالنسبة للطلاب الذين يبحثون عن تصريح "جيد" في الرياضيات العليا ، قد ترغب في التفكير في الاشتراك في الموارد الإضافية الرائعة التي تركز على الاختبار والمتوفرة في حزمة الدراسة عبر الإنترنت. قد ينتهي الأمر بالاشتراك ليكون أحد أفضل استثماراتك على الإطلاق.

يرجى إعطاء نفسك كل فرصة للنجاح ، والتحدث مع والديك ، والاشتراك في ركز الامتحان حزمة الدراسة عبر الإنترنت اليوم.

نأمل أن تكون الموارد الموجودة على هذا الموقع مفيدة ونتمنى لك كل النجاح في دورة الرياضيات العليا الخاصة بك في عام 2022.

تقول ابنتي إن موقع الويب العالي كان مفيدًا حقًا. لقد حصلت على & # 8216A & # 8217 للرياضيات العليا هذا العام وهي تتولى الآن الرياضيات العليا المتقدمة التي ترغب في الاشتراك في موقع AH الخاص بك. سأذهب وأفعل ذلك الآن & # 8211 شكرا مرة أخرى.


رسم المعادلات التربيعية باستخدام التحليل

حيث a و b و c كلها أرقام حقيقية و a & ne 0.

إذا استبدلنا 0 بـ y ، فسنحصل على دالة تربيعية

النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور x ستكون حلول المعادلة ، أ س 2 + ب س + ج = 0. بمعنى ، إذا كان من الممكن تحليل الفأس متعدد الحدود 2 + bx + c إلى (x & ناقص p) (x & ناقص q) ، فإننا نعلم من خلال خاصية المنتج الصفرية أنه إذا كان (x & ناقص p) (x & ناقص q) = 0 ، إما (س & ناقص ع) = 0 أو (س & ناقص ف) = 0. ثم p و q هما حلا المعادلة أ س 2 + ب س + ج = 0 وبالتالي تقاطع س للمعادلة التربيعية.

نظرًا لأن x - تنسيق رأس القطع المكافئ هو بالضبط نقطة المنتصف للتقاطع x ، فإن x - تنسيق الرأس سيكون p & thinsp + & thinsp q 2.

يمكنك استخدام المحور x للرأس لإيجاد التنسيق y.

الآن لديك الرأس ونقطتان أخريان على القطع المكافئ (وهما x -intercepts). يمكنك استخدام هذه النقاط الثلاث لرسم الرسم البياني.

ارسم الدالة y = x 2 & ناقص 8 x + 12 باستخدام التحليل إلى عوامل.

قارن المعادلة بالصيغة القياسية ، y = a x 2 + b x + c. نظرًا لأن قيمة a موجبة ، يتم فتح القطع المكافئ.

حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل x 2 & ناقص 8 x + 12. حدد عددين مجموعهما & سالب 8 وحاصل ضربهما 12. الأرقام هي & ناقص 2 و & ناقص 6. أي x 2 & ناقص 8 x + 12 = (x & ناقص 2) (x & ناقص 6).

× 2 & ناقص 8 × + 12 = 0 & rArr (س & ناقص 2) (س & ناقص 6) = 0

لذلك ، من خلال خاصية المنتج الصفري ، إما (x & ناقص 2) = 0 أو (x & ناقص 6) = 0. ثم جذور المعادلة هي 2 و 6.

لذلك ، فإن مفاهيم x للدالة هي 6 و 2.

المحور x للرأس هو نقطة المنتصف في x -intercepts. إذن ، هنا سيكون تنسيق x للرأس هو 2 & thinsp + & thinsp 6 2 = 4.

عوّض x = 4 في المعادلة y = x 2 & ناقص 8 x + 12 لإيجاد تنسيق y للرأس.

أي أن إحداثيات الرأس هي (4 ، & ناقص 4).

الآن لدينا 3 نقاط (4 ، ناقص 4) ، (2 ، 0) و (6 ، 0) على القطع المكافئ. ارسم النقاط. انضم إليهم من خلال منحنى سلس وقم بتمديد القطع المكافئ.

ارسم الدالة y = & ناقص x 2 & ناقص 2 x + 8 باستخدام التحليل إلى عوامل.

قارن المعادلة بالصيغة القياسية ، y = a x 2 + b x + c. نظرًا لأن قيمة a موجبة ، يتم فتح القطع المكافئ.

حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل ، & ناقص x 2 & ناقص 2 x + 8.

& ناقص x 2 & ناقص 2 x + 8 = & ناقص 1 (x 2 + 2 x & ناقص 8)

حلل التعبير بين الأقواس إلى عوامل. حدد عددين مجموعهما 2 ويكون حاصل ضربهما ناقص 8. الأرقام هي 4 و & ناقص 2. أي × 2 + 2 س & ناقص 8 = (س + 4) (س & ناقص 2).

بعد ذلك ، تصبح الدالة المعطاة y = & minus (x + 4) (x & minus 2).

إذن ، y = 0 تعني ، من خلال خاصية المنتج الصفري ، x + 4 = 0 أو x & minus 2 = 0.

لذلك ، فإن مفاهيم x للرسم البياني هي & ناقص 4 و 2.

المحور x لقمة القطع المكافئ هو نقطة المنتصف في x -intercepts. إذن ، هنا سيكون تنسيق x للرأس & ناقص 4 & thinsp + & thinsp 2 2 = & ناقص 1.

عوّض x = & ناقص 1 في المعادلة y = & ناقص x 2 & ناقص 2 x + 8 لإيجاد تنسيق y للرأس.

إذن ، إحداثيات الرأس هي (ناقص 1 ، 9).

الآن لدينا 3 نقاط (& ناقص 1 ، 9) ، (& ناقص 4 ، 0) و (2 ، 0) على القطع المكافئ. ارسم النقاط. انضم إليهم من خلال منحنى سلس وقم بتمديد القطع المكافئ.


شاهد الفيديو: أولى ثانوي. الباب السادس - الحلول البيانية (شهر اكتوبر 2021).