مقالات

14.1: التكاملات المتكررة والمساحة


وجدنا في الفصل السابق أنه يمكننا التفريق بين وظائف متغيرات متعددة فيما يتعلق بمتغير واحد ، بينما نتعامل مع جميع المتغيرات الأخرى على أنها ثوابت أو معاملات. يمكننا دمج دوال عدة متغيرات بطريقة مماثلة. على سبيل المثال ، إذا قيل لنا أن (f_x (x ، y) = 2xy ) ، فيمكننا التعامل مع (y ) على أنه ثابت ودمج للحصول على (f (x، y) ):

[ ابدأ {محاذاة *}
و (س ، ص) & = int f_x (x ، y) ، dx
& = int 2xy ، dx
& = x ^ 2y + C.
النهاية {محاذاة *} ]

قم بتدوين ملاحظة دقيقة حول ثابت التكامل ، (C ). هذا "الثابت" هو شيء بمشتق (0 ) بالنسبة إلى (x ) ، لذلك يمكن أن يكون أي تعبير يحتوي فقط على ثوابت ووظائف (y ). على سبيل المثال ، إذا ( f (x، y) = x ^ 2y + sin y + y ^ 3 + 17 ) ثم (f_x (x، y) = 2xy ) للدلالة على أن (C ) هو في الواقع دالة لـ (ذ ) نكتب:

[f (x، y) = int f_x (x، y) ، dx = x ^ 2y + C (y). ]

باستخدام هذه العملية ، يمكننا حتى تقييم تكاملات محددة.

مثال ( PageIndex {1} ): تكامل وظائف أكثر من متغير

احسب التكامل ( displaystyle int_1 ^ {2y} 2xy ، dx. )

المحلول

نجد التكامل غير المحدد كما في السابق ، ثم نطبق النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل لتقييم التكامل المحدد:

[ ابدأ {محاذاة *}
int_1 ^ {2y} 2xy ، dx & = x ^ 2y Big | _1 ^ {2y}
& = (2y) ^ 2y - (1) ^ 2y
& = 4y ^ 3-y.
النهاية {محاذاة *} ]

يمكننا أيضًا التكامل فيما يتعلق بـ (y ). بشكل عام،

[ int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} f_x (x، y) ، dx = f (x، y) Big | _ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} = f big (h_2 (y)، y big) -f big (h_1 (y)، y big)، ]

و

[ int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} f_y (x، y) ، dy = f (x، y) Big | _ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} = f big (x، g_2 (x) big) -f big (x، g_1 (x) big). ]

لاحظ أنه عند التكامل فيما يتعلق بـ (x ) ، فإن الحدود هي وظائف (y ) (بالشكل (x = h_1 (y) ) و (x = h_2 (y) )) و النتيجة النهائية هي أيضًا دالة (y ). عند الدمج فيما يتعلق بـ (y ) ، فإن الحدود هي وظائف (x ) (من النموذج (y = g_1 (x) ) و (y = g_2 (x) )) والنهائي النتيجة هي دالة (x ). مثال آخر سيساعدنا على فهم هذا.

مثال ( PageIndex {2} ): تكامل وظائف أكثر من متغير

أوجد قيمة ( displaystyle int_1 ^ x big (5x ^ 3y ^ {- 3} + 6y ^ 2 big) ، dy ).

المحلول

نحن نعتبر (س ) على أنها ثابتة وتتكامل فيما يتعلق بـ (ص ):

[ ابدأ {محاذاة *}
int_1 ^ x big (5x ^ 3y ^ {- 3} + 6y ^ 2 big) ، dy & = left ( frac {5x ^ 3y ^ {- 2}} {- 2} + frac { 6y ^ 3} {3} right) Bigg | _1 ^ x
& = left (- frac52x ^ 3x ^ {- 2} + 2x ^ 3 right) - left (- frac52x ^ 3 + 2 right)
& = frac92x ^ 3- frac52x-2.
النهاية {محاذاة *} ]

لاحظ كيف أن حدود التكامل من (y = 1 ) إلى (y = x ) وأن الإجابة النهائية هي دالة (x ).

في المثال السابق ، قمنا بدمج دالة فيما يتعلق بـ (y ) وانتهى بنا الأمر بوظيفة (x ). يمكننا دمج هذا أيضًا. تُعرف هذه العملية باسم تكامل متكرر، أو تكامل متعدد.

مثال ( PageIndex {3} ): تكامل تكامل

تقييم ( displaystyle int_1 ^ 2 left ( int_1 ^ x big (5x ^ 3y ^ {- 3} + 6y ^ 2 big) ، dy right) ، dx. )

المحلول

نحن نتبع "ترتيب العمليات" القياسي ونجري العمليات داخل الأقواس أولاً (وهو الرقم المتكامل الذي تم تقييمه في مثال ( PageIndex {2} ).)

[ ابدأ {محاذاة *}
int_1 ^ 2 left ( int_1 ^ x big (5x ^ 3y ^ {- 3} + 6y ^ 2 big) ، dy right) ، dx & = int_1 ^ 2 left ( left [ frac {5x ^ 3y ^ {- 2}} {- 2} + frac {6y ^ 3} {3} right] Bigg | _1 ^ x right) ، dx
& = int_1 ^ 2 left ( frac92x ^ 3- frac52x-2 right) ، dx
& = left ( frac98x ^ 4- frac54x ^ 2-2x right) Bigg | _1 ^ 2
& = frac {89} 8.
النهاية {محاذاة *} ]

لاحظ كيف كانت حدود (س ) (س = 1 ) إلى (س = 2 ) وكانت النتيجة النهائية رقمًا.

أوضح المثال السابق كيف يمكننا أداء شيء يسمى التكامل المتكرر ؛ لا نعرف حتى الآن سبب اهتمامنا بالقيام بذلك ولا ما هي النتيجة ، مثل الرقم (89/8 ) ، يعني. قبل أن نحقق في هذه الأسئلة ، نقدم بعض التعريفات.

التعريف: التكامل المتكرر

التكامل المتكرر هي عملية دمج نتائج عمليات الدمج السابقة بشكل متكرر. يتم الإشارة إلى تكامل واحد على النحو التالي.

لنفترض أن (أ ) ، (ب ) ، (ج ) و (د ) أرقامًا ونعطي (g_1 (x) ) ، (g_2 (x) ) ، (h_1 ( y) ) و (h_2 (y) ) هي وظائف (x ) و (y ) ، على التوالي. ثم:

  1. ( displaystyle int_c ^ d int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} f (x، y) ، dx ، dy = int_c ^ d left (int_ {h_1 (y) } ^ {h_2 (y)} f (x، y) ، dx right) ، dy. )
  2. ( displaystyle int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} f (x، y) ، dy ، dx = int_a ^ b left (int_ {g_1 (x) } ^ {g_2 (x)} f (x، y) ، dy right) ، dx. )

دوِّن مرة أخرى حدود هذه التكاملات المتكررة.

مع ( displaystyle int_c ^ d int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} f (x، y) ، dx ، dy )، (x ) يختلف عن (h_1 ( y) ) إلى (h_2 (y) ) ، بينما (y ) يختلف من (c ) إلى (d ). وهذا يعني أن حدود (س ) هي المنحنيات، المنحنيات (x = h_1 (y) ) و (x = h_2 (y) ) ، بينما حدود (y ) هي الثوابتو (ص = ج ) و (ص = د ). من المفيد أن نتذكر أنه عند إعداد وتقييم مثل هذه التكاملات المتكررة ، فإننا ندمج "من منحنى إلى منحنى ، ثم من نقطة إلى نقطة".

نبدأ الآن في التحقيق لماذا ا نحن مهتمون بالتكاملات المتكررة و ماذا او ما يقصدون.

مساحة المنطقة المستوية

ضع في اعتبارك منطقة المستوى (R ) التي يحدها (a leq x leq b ) و (g_1 (x) leq y leq g_2 (x) ) ، الموضحة في الشكل ( PageIndex {1 } ). لقد تعلمنا في القسم 7.1 (في حساب التفاضل والتكامل I) أن مساحة (R ) تم إعطاؤها بواسطة

[ int_a ^ b big (g_2 (x) -g_1 (x) big) ، dx. ]

يمكننا عرض التعبير ( big (g_2 (x) -g_1 (x) big) ) بالشكل

[ big (g_2 (x) -g_1 (x) big) = int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} 1 ​​، dy = int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 ( س)} ، دى ، ]

بمعنى أنه يمكننا التعبير عن مساحة (R ) على أنها تكامل متكرر:

[ text {area of} R = int_a ^ b big (g_2 (x) -g_1 (x) big) ، dx = int_a ^ b left ( int_ {g_1 (x)} ^ { g_2 (x)} ، dy right) ، dx = int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} ، dy ، dx. ]

باختصار: يمكن النظر إلى تكامل متكرر معين على أنه يعطي مساحة منطقة مستوية.

يمكن أيضًا تحديد المنطقة (R ) بواسطة (c leq y leq d ) و (h_1 (y) leq x leq h_2 (y) ) ، كما هو موضح في الشكل ( فهرس الصفحة {2} ). باستخدام عملية مماثلة لتلك المذكورة أعلاه ، لدينا
$$ text {the area of} R = int_c ^ d int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} ، dx ، dy. ]

نذكر هذا رسميًا في نظرية.

نظرية ( PageIndex {1} ): مساحة المنطقة المستوية

  1. لنفترض أن (R ) منطقة مستوية يحدها (a leq x leq b ) و (g_1 (x) leq y leq g_2 (x) ) ، حيث (g_1 ) و (g_2 ) هي دوال مستمرة في ([أ ، ب] ). مساحة (A ) من (R ) هي $$ A = int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} ، dy ، dx. $$
  2. لنفترض أن (R ) منطقة مستوية يحدها (c leq y leq d ) و (h_1 (y) leq x leq h_2 (y) ) ، حيث (h_1 ) و (h_2 ) هي دوال مستمرة في ([c، d] ). مساحة (A ) من (R ) هي $$ A = int_c ^ d int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} ، dx ، dy. $$

يجب أن تساعدنا الأمثلة التالية على فهم هذه النظرية.

مثال ( PageIndex {4} ): مساحة المستطيل

ابحث عن منطقة (A ) من المستطيل ذي الزوايا ((- 1،1) ) و ((3،3) ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {3} ).

المحلول

من الواضح أن التكامل المتعدد مبالغة في هذه الحالة ، لكننا نشرع في إثبات استخدامه.

المنطقة (ص ) يحدها (س = -1 ) ، (س = 3 ) ، (ص = 1 ) و (ص = 3 ). باختيار التكامل فيما يتعلق بـ (ص ) أولاً ، لدينا
$$ A = int _ {- 1} ^ 3 int_1 ^ 3 1 ، dy ، dx = int _ {- 1} ^ 3 left (y Big | _1 ^ 3 right) ، dx = int _ {- 1} ^ 3 2 ، dx = 2x Big | _ {- 1} ^ 3 = 8. ]

يمكننا أيضًا التكامل فيما يتعلق بـ (x ) أولاً ، إعطاء:
$$ A = int_1 ^ 3 int _ {- 1} ^ 3 1 ، dx ، dy = int_1 ^ 3 left (x Big | _ {- 1} ^ 3 right) ، dy = int_1 ^ 3 4 ، dy = 4y Big | _1 ^ 3 = 8. ]

من الواضح أن هناك طرقًا أبسط للعثور على هذه المنطقة ، لكن من المثير للاهتمام ملاحظة أن هذه الطريقة تعمل.

مثال ( PageIndex {5} ): مساحة مثلث

أوجد مساحة (A ) المثلث ذي الرؤوس عند ((1،1) ) و ((3،1) ) و ((5،5) ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {4} ).

المحلول

المثلث محدد بالخطوط كما هو موضح في الشكل. اختيار التكامل بالنسبة إلى (x ) يعطي أولاً أن (x ) يحده (x = y ) إلى (x = frac {y + 5} 2 ) ، بينما (y ) ) يحدها (y = 1 ) إلى (y = 5 ). (تذكر أنه منذ (x ) - تزداد القيم من اليسار إلى اليمين ، فإن المنحنى الموجود في أقصى اليسار (x = y ) هو الحد الأدنى والمنحنى الموجود في أقصى اليمين ، (x = (y + 5) / 2 ) ، هو الحد الأعلى.) المنطقة هي

[ ابدأ {محاذاة *}
A & = int_1 ^ 5 int_ {y} ^ { frac {y + 5} 2} ، dx ، dy
& = int_1 ^ 5 left (x Big | _y ^ { frac {y + 5} 2} right) ، dy
& = int_1 ^ 5 left (- frac12y + frac52 right) ، dy
& = left (- frac14y ^ 2 + frac52y right) كبير | _1 ^ 5
&=4.
النهاية {محاذاة *} ]

يمكننا أيضًا إيجاد المساحة بالتكامل بالنسبة إلى (y ) أولاً. في هذه الحالة ، على الرغم من ذلك ، لدينا وظيفتان تعملان كحد أدنى للمنطقة (R ) ، (y = 1 ) و (y = 2x-5 ). هذا يتطلب منا استخدام تكاملتين متكررتين. لاحظ كيف تختلف حدود (x ) - لكل جزء متكامل:

[ ابدأ {محاذاة *}
A & = int_1 ^ 3 int_1 ^ x 1 ، dy ، dx & + & & & int_3 ^ 5 int_ {2x-5} ^ x1 ، dy ، dx
& = int_1 ^ 3 big (y big) Big | _1 ^ x ، dx & + & & & int_3 ^ 5 big (y big) Big | _ {2x-5} ^ x ، dx
& = int_1 ^ 3 big (x-1 big) ، dx & + & & & int_3 ^ 5 big (-x + 5 big) ، dx
&= 2 & + & & & 2 \
&=4.
النهاية {محاذاة *} ]

كما هو متوقع ، نحصل على نفس الإجابة في كلا الاتجاهين.

مثال ( PageIndex {6} ): مساحة منطقة مستوية

ابحث عن منطقة المنطقة المحاطة بـ (y = 2x ) و (y = x ^ 2 ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {5} ).

المحلول

مرة أخرى ، سنجد مساحة المنطقة باستخدام كلا أمري التكامل.

باستخدام (، dy ، dx ):

[ int_0 ^ 2 int_ {x ^ 2} ^ {2x} 1 ، dy ، dx = int_0 ^ 2 (2x-x ^ 2) ، dx = big (x ^ 2- frac13x ^ 3 كبير) كبير | _0 ^ 2 = frac43. ]

باستخدام (، dx ، dy ):

[ int_0 ^ 4 int_ {y / 2} ^ { sqrt {y}} 1 ، dx ، dy = int_0 ^ 4 ( sqrt {y} -y / 2) ، dy = left ( frac23y ^ {3/2} - frac14y ^ 2 right) Big | _0 ^ 4 = frac43. ]

تغيير ترتيب التكامل

في كل من الأمثلة السابقة ، حصلنا على منطقة (R ) ووجدنا الحدود اللازمة للعثور على منطقة (R ) باستخدام كلا أمري التكامل. قمنا بالتكامل باستخدام كلا الأمرين للتكامل لإثبات المساواة بينهما.

نقترب الآن من مهارة وصف منطقة باستخدام كلا أمري التكامل من منظور مختلف. بدلاً من البدء بمنطقة وإنشاء تكاملات متكررة ، سنبدأ بتكامل متكرر ونعيد كتابته بترتيب التكامل الآخر. للقيام بذلك ، سنحتاج إلى فهم المنطقة التي نتكامل عليها.

أبسط الحالات هي عندما يكون كلا التكاملين مرتبطين بالثوابت. المنطقة الموصوفة بهذه الحدود هي مستطيل (انظر المثال ( PageIndex {4} )) ، وهكذا:

[ int_a ^ b int_c ^ d 1 ، dy ، dx = int_c ^ d int_a ^ b1 ، dx ، dy. ]

عندما لا تكون حدود التكامل الداخلي ثوابت ، فمن المفيد جدًا عمومًا رسم الحدود لتحديد الشكل الذي تبدو عليه المنطقة التي ندمجها. من المخطط يمكننا إعادة كتابة التكامل بترتيب التكامل الآخر.

ستساعدنا الأمثلة على تطوير هذه المهارة.

مثال ( PageIndex {7} ): تغيير ترتيب التكامل

أعد كتابة التكامل المتكرر ( displaystyle int_0 ^ 6 int_0 ^ {x / 3} 1 ، dy ، dx ) بترتيب التكامل (، dx ، dy ).

المحلول

نحتاج إلى استخدام حدود التكامل لتحديد المنطقة التي نتكامل فيها.

تخبرنا الحدود أن (y ) يحدها (0 ) و (س / 3 ) ؛ (x ) يحدها 0 و 6. نرسم هذه المنحنيات الأربعة: (y = 0 ) ، (y = x / 3 ) ، (x = 0 ) و (x = 6 ) ) للعثور على المنطقة الموضحة بالحدود. يوضح الشكل ( PageIndex {6} ) هذه المنحنيات ، مشيرًا إلى أن (R ) مثلث.

لتغيير ترتيب التكامل ، نحتاج إلى النظر في المنحنيات التي تربط قيم (x ) -. نرى أن الحد الأدنى هو (س = 3 ص ) والحد الأعلى (س = 6 ). الحدود على (ص ) هي (0 ) إلى (2 ). وبالتالي يمكننا إعادة كتابة التكامل كـ ( displaystyle int_0 ^ 2 int_ {3y} ^ 6 1 ، dx ، dy. )

مثال ( PageIndex {8} ): تغيير ترتيب التكامل

غيّر ترتيب تكامل ( displaystyle int_0 ^ 4 int_ {y ^ 2/4} ^ {(y + 4) / 2} 1 ، dx ، dy ).

المحلول

نرسم المنطقة الموضحة بالحدود لمساعدتنا في تغيير ترتيب التكامل. (س ) يحد من أسفل وأعلى (أي إلى اليسار واليمين) بـ (س = ص ^ 2/4 ) و (س = (ص + 4) / 2 ) على التوالي ، و ( يحد y ) بين 0 و 4. برسم المنحنيات السابقة بالرسم البياني ، نجد المنطقة (R ) لتكون تلك الموضحة في الشكل ( PageIndex {7} ).

لتغيير ترتيب التكامل ، نحتاج إلى إنشاء منحنيات تربط (y ). يوضح الشكل أن هناك حدين أدنى لـ (y ): (y = 0 ) على (0 leq x leq 2 ) ، و (y = 2x-4 ) على (2 leq x leq 4 ). لذلك نحن بحاجة إلى اثنين من التكاملات المزدوجة. الحد الأعلى لكل منهما هو (y = 2 sqrt {x} ). هكذا لدينا
$$ int_0 ^ 4 int_ {y ^ 2/4} ^ {(y + 4) / 2} 1 ، dx ، dy = int_0 ^ 2 int_0 ^ {2 sqrt {x}} 1 ، dy ، dx + int_2 ^ 4 int_ {2x-4} ^ {2 sqrt {x}} 1 ، dy ، dx. ]

قدم هذا القسم مفهومًا جديدًا ، التكامل المتكرر. قمنا بتطوير تطبيق واحد للتكامل المتكرر: المنطقة بين المنحنيات. ومع ذلك ، هذا ليس جديدًا ، لأننا نعرف بالفعل كيفية العثور على المناطق التي تحدها المنحنيات.

في القسم التالي ، نطبق التكامل المتكرر لحل المشكلات التي لا نعرف حاليًا كيفية التعامل معها. لم يكن الهدف "الحقيقي" لهذا القسم هو تعلم طريقة جديدة لمنطقة الحوسبة. بدلاً من ذلك ، كان هدفنا هو معرفة كيفية تحديد منطقة في المستوى باستخدام حدود التكامل المتكرر. هذه المهارة مهمة جدا في الأقسام التالية.


شاهد الفيديو: حساب المساحة باستعمال التكامل (شهر اكتوبر 2021).