مقالات

15.1E: حقول المتجهات (تمارين)


1. مجال حقل المتجه ( vecs {F} = vecs {F} (x، y) ) هو مجموعة من النقاط ((x، y) ) في مستوى ونطاق ( vecs F ) هي مجموعة من ماذا او ما في الطائرة؟

إجابه:
ثلاثة أبعاد

للتمارين 2 - 4 ، حدد ما إذا كانت العبارة صحيحة صحيحة أو خاطئة.

2. حقل المتجه ( vecs {F} = ⟨3x ^ 2،1⟩ ) هو حقل تدرج لكل من (ϕ_1 (x، y) = x ^ 3 + y ) و (ϕ_2 (x، y) = ص + س ^ 3 + 100. )

3. حقل المتجه ( vecs {F} = dfrac {⟨y، x⟩} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ) ثابت في الاتجاه والحجم على دائرة الوحدة.

إجابه:
خاطئة

4. حقل المتجه ( vecs {F} = dfrac {⟨y، x⟩} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ) ليس حقلاً شعاعيًا ولا حقل تدوير.

للتمارين من 5 إلى 13 ، صِف كل حقل متجه عن طريق رسم بعض نواقله.

5. [T] ( vecs {F} (x، y) = x ، hat { mathbf i} + y ، hat { mathbf j} )

إجابه:

6. [T] ( vecs {F} (x، y) = - y ، hat { mathbf i} + x ، hat { mathbf j} )

7. [T] ( vecs {F} (x، y) = x ، hat { mathbf i} −y ، hat { mathbf j} )

إجابه:

8. [T] ( vecs {F} (x، y) = ، hat { mathbf i} + ، hat { mathbf j} )

9. [T] ( vecs {F} (x، y) = 2x ، hat { mathbf i} + 3y ، hat { mathbf j} )

إجابه:

10. [T] ( vecs {F} (x، y) = 3 ، hat { mathbf i} + x ، hat { mathbf j} )

11. [T] ( vecs {F} (x، y) = y ، hat { mathbf i} + sin x ، hat { mathbf j} )

إجابه:

12. [T] ( vecs F (x، y، z) = x ، hat { mathbf i} + y ، hat { mathbf j} + z ، hat { mathbf k} )

13. [T] ( vecs F (x، y، z) = 2x ، hat { mathbf i} −2y ، hat { mathbf j} −2z ، hat { mathbf k} )

إجابه:

14. [T] ( vecs F (x، y، z) = yz ، hat { mathbf i} −xz ، hat { mathbf j} )

للتمارين 15 - 20 ، ابحث عن حقل متجه التدرج لكل دالة (f ).

15. (f (x، y) = x sin y + cos y )

إجابه:
( vecs {F} (x، y) = sin (y) ، hat { mathbf i} + (x cos y− sin y) ، hat { mathbf j} )

16. (f (x، y، z) = ze ^ {- xy} )

17. (f (x، y، z) = x ^ 2y + xy + y ^ 2z )

إجابه:
( vecs F (x، y، z) = (2xy + y) ، hat { mathbf i} + (x ^ 2 + x + 2yz) ، hat { mathbf j} + y ^ 2 ، قبعة { mathbf k} )

18. (و (س ، ص) = س ^ 2 خطيئة (5 ص) )

19. (f (x، y) = ln (1 + x ^ 2 + 2y ^ 2) )

إجابه:
( vecs {F} (x، y) = dfrac {2x} {1 + x ^ 2 + 2y ^ 2} ، hat { mathbf i} + dfrac {4y} {1 + x ^ 2 + 2y ^ 2} ، hat { mathbf j} )

20. (f (x، y، z) = x cos left ( frac {y} {z} right) )

21. ما هو حقل المتجه ( vecs {F} (x، y) ) بقيمة عند ((x، y) ) بطول الوحدة ويشير إلى ((1،0) )؟

إجابه:
( vecs {F} (x، y) = dfrac {(1 − x) ، hat { mathbf i} −y ، hat { mathbf j}} { sqrt {(1 − x ) ^ 2 + ص ^ 2}} )

للتمارين من 22 إلى 24 ، اكتب معادلات لحقول المتجه بالخصائص المحددة.

22. جميع المتجهات موازية للمحور (س ) وجميع المتجهات على الخط العمودي لها نفس الحجم.

23. تشير جميع المتجهات نحو الأصل ولها طول ثابت.

إجابه:
( vecs {F} (x، y) = dfrac {(y ، hat { mathbf i} −x ، hat { mathbf j})} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} )

24. جميع المتجهات لها طول وحدة وتتعامد مع متجه الموقع في تلك النقطة.

25. أعط صيغة ( vecs {F} (x، y) = M (x، y) ، hat { mathbf i} + N (x، y) ، hat { mathbf j} ) من أجل حقل المتجه في مستوى يحتوي على الخصائص التي ( vecs {F} = vecs 0 ) في ((0،0) ) وذلك في أي نقطة أخرى ((a، b)، vecs F ) مماس للدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ) ويشير في اتجاه عقارب الساعة بالحجم ( | vecs F | = sqrt {a ^ 2 + ب ^ 2} ).

إجابه:
( vecs {F} (x، y) = y ، hat { mathbf i} −x ، hat { mathbf j} )

26. هل حقل متجه ( vecs {F} (x، y) = (P (x، y)، Q (x، y)) = ( sin x + y) ، hat { mathbf i} + ( cos y + x) ، hat { mathbf j} ) حقل متدرج؟

27. ابحث عن صيغة لحقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = M (x، y) ، hat { mathbf i} + N (x، y) ، hat { mathbf j} ) بالنظر إلى حقيقة أنه بالنسبة لجميع النقاط ((x، y) ) ، ( vecs F ) يشير إلى الأصل و ( | vecs F | = dfrac {10} {x ^ 2 + ص ^ 2} ).

إجابه:
( vecs {F} (x، y) = dfrac {−10} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} (x ، hat { mathbf i} + y ، قبعة { mathbf j}) )

بالنسبة للتدريبات 28-29 ، افترض أن المجال الكهربائي في (xy ) - المستوى الناتج عن خط لانهائي من الشحنة على طول المحور (x ) - هو مجال متدرج له وظيفة محتملة (V (x، y) = c ln left ( frac {r_0} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} right) )، حيث (c> 0 ) ثابت و (r_0 ) مسافة مرجعية يُفترض عندها أن تكون الإمكانية صفرًا.

28. ابحث عن مكونات المجال الكهربائي في (x ) - و (y ) - الاتجاهات ، حيث ( vecs E (x، y) = - vecs ∇V (x، y). )

29. بيّن أن المجال الكهربائي عند نقطة في (س ص ) - المستوى موجه للخارج من الأصل وله المقدار ( | vecs E | = dfrac {c} {r} ) ، حيث ( r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ).

إجابه:
( | vecs E | = dfrac {c} {| r | ^ 2} r = dfrac {c} {| r |} dfrac {r} {| r |} )

أ خط التدفق (أو انسيابية) من حقل متجه ( vecs F ) هو منحنى ( vecs r (t) ) بحيث (d vecs {r} / dt = vecs F ( vecs r (t)) ). إذا كان ( vecs F ) يمثل مجال السرعة لجسيم متحرك ، فإن خطوط التدفق هي المسارات التي يسلكها الجسيم. لذلك ، تكون خطوط التدفق مماسة لحقل المتجه.

للتمرينين 30 و 31 ، أظهر أن المنحنى المعطى ( vecs c (t) ) هو خط تدفق لحقل متجه السرعة المحدد ( vecs F (x، y، z) ).

30. ( vecs c (t) = ⟨e ^ {2t}، ln | t |، frac {1} {t}⟩، ، t ≠ 0؛ quad vecs F (x، y، z) = ⟨2x، z، −z ^ 2⟩ )

31. ( vecs c (t) = ⟨ sin t، cos t، e ^ t⟩؛ quad vecs F (x، y، z) = 〈y، −x، z〉 )

إجابه:
( vecs c ′ (t) = ⟨ cos t، - sin t، e ^ {- t}⟩ = vecs F ( vecs c (t)) )

للتمارين 32 - 34 ، دع ( vecs {F} = x ، hat { mathbf i} + y ، hat { mathbf j} )، ( vecs G = −y ، قبعة { mathbf i} + x ، hat { mathbf j} )، و ( vecs H = x ، hat { mathbf i} −y ، hat { mathbf j} ) . تطابق ( vecs F ) ، ( vecs G ) ، و ( vecs H ) مع الرسوم البيانية الخاصة بهم.

32.

33.

إجابه:
( فيكس ح )

34.

للتمارين 35 - 38 ، دع ( vecs {F} = x ، hat { mathbf i} + y ، hat { mathbf j} )، ( vecs G = −y ، قبعة { mathbf i} + x ، hat { mathbf j} )، و ( vecs H = −x ، hat { mathbf i} + y ، hat { mathbf j} ). طابق الحقول المتجهة مع الرسوم البيانية الخاصة بها في (I) - (IV).

  1. ( vecs F + vecs G )
  2. ( vecs F + vecs H )
  3. ( vecs G + vecs ح )
  4. (- vecs F + vecs G )

35.

إجابه:
د. (- vecs F + vecs G )

36.

37.

إجابه:
أ. ( vecs F + vecs G )

38.

جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


تكاملات التدفق في الفضاء الدورة الدموية أوجد تداول

التدوير أوجد دوران F = 2 x i + 2 z j + 2 y k حول المسار المغلق الذي يتكون من المنحنيات الثلاثة التالية التي تم اجتيازها في اتجاه زيادة t.

ملاحظات أسبوع إدارة الإقامة والعمليات ما هي إدارة الموارد البشرية هي جميع الأنشطة لتخطيط وتنظيم وتوجيه ومراقبة عمل الأشخاص البيئة: يعمل جميع المديرين ضمن نوعين من البيئات 1. البيئة الخارجية - تؤثر من الخارج مثل كقوانين وعادات وظروف اقتصادية وأسواق 2. البيئة الداخلية - هذه التأثيرات من الداخل مثل ثقافة الشركة وعلاقات الموظفين وصورة الشركة قوانين ضد التمييز: company قانون الحقوق المدنية  التحرش الجنسي  قانون الأمريكيين ذوي الإعاقة  التمييز على أساس السن  الحمل برامج وقوانين التأمين ضد التمييز:  قانون الإجازة العائلية والطبية (FMLA) - يسمح للموظفين المؤهلين بأخذ إجازة ليكونوا مع أفراد الأسرة المرضى أو قضايا عائلية أخرى  قانون تسوية الميزانية الشامل الموحد (COBRA) - التصاريح والموظف لمواصلة تلقي الخدمات الطبية التغطية بعد ترك العمل لأي سبب من الأسباب


9.2 خوارزميات المتجهات والفقرة

في الفصل 6 - الخوارزميات الأساسية ، أوضحنا كيفية إنشاء صور رمزية متجهة بسيطة وكيفية دمج الجسيمات من خلال حقل متجه لإنشاء خطوط انسيابية. في هذا القسم ، نقوم بتوسيع هذه المفاهيم لإنشاء خطوط التدفق والمضلعات. بالإضافة إلى ذلك ، نقدم مفهوم طوبولوجيا مجال المتجه ، ونوضح كيفية تمييز حقل متجه باستخدام التركيبات الطوبولوجية.

Streamribbons و Streamsurfaces & الفقرة

تصور الخطوط الانسيابية مسارات الجسيمات في حقل متجه. من خلال تلوين هذه الخطوط ، أو إنشاء صور رمزية محلية (مثل الخطوط المتقطعة أو المخاريط الموجهة) ، يمكننا تمثيل معلومات إضافية ومؤقتة. ومع ذلك ، يمكن لهذه التقنيات نقل المعلومات الأولية فقط حول مجال ناقلات. لا يتم تمثيل المعلومات المحلية (على سبيل المثال ، دوران التدفق أو المشتقات) والمعلومات العالمية (على سبيل المثال ، بنية حقل مثل أنابيب الدوامة). Streamribbons و Streamsurfaces هي طريقتان تستخدمان لتمثيل المعلومات المحلية والعالمية.

الامتداد الطبيعي لتقنية الانسياب يوسع الخط لإنشاء شريط. يمكن إنشاء الشريط من خلال إنشاء خطين انسيابيين متجاورين ثم ربط الخطوط بشبكة متعددة الأضلاع. تعمل هذه التقنية بشكل جيد طالما أن الخطوط الانسيابية تظل قريبة نسبيًا من بعضها البعض. إذا حدث الفصل ، بحيث تتباعد الانسيابية ، فلن يمثل الشريط الناتج التدفق بدقة ، لأننا نتوقع أن يكون سطح الشريط في كل مكان مماسًا لحقل المتجه (أي تعريف الانسيابية). السطح المحكوم الذي يربط بين خطين انسيابيين منفصلين بشكل واسع لا يلبي هذا المطلب بشكل عام.

يوفر Streamribbon معلومات حول معلمات التدفق المهمة: الدوامة المتجهية وتباعد التدفق. Vorticity Omega هو مقياس دوران حقل المتجه ، معبرًا عنه بكمية متجهة: اتجاه (محور دوران) وحجم (مقدار دوران). الدوامة الانسيابية Omega هو إسقاط vec < omega> على طول متجه السرعة اللحظية ، vec . يقال بطريقة أخرى ، الدوامة الانسيابية هي دوران الحقل المتجه حول الانسياب المحدد على النحو التالي.

تقترب كمية التواء ستريمريبون من دوامة مجرى التيار. تباعد التدفق هو مقياس "انتشار" التدفق. يتناسب العرض المتغير للتيار المتردد مع اختلاف التدفق المتقاطع للتدفق.

سطح التيار عبارة عن مجموعة من عدد لا حصر له من الخطوط الانسيابية التي تمر عبر منحنى أساسي. يحدد منحنى القاعدة ، أو أشعل النار ، نقاط البداية للخطوط الانسيابية. إذا كان منحنى القاعدة مغلقًا (على سبيل المثال ، دائرة) ، يتم إغلاق السطح وينتج عنه تيار. وبالتالي ، فإن شرائط التيار هي أنواع متخصصة من أسطح التيارات ذات عرض ضيق مقارنة بالطول.

بالمقارنة مع أيقونات ناقلات أو خطوط انسيابية ، توفر أسطح الانسياب معلومات إضافية حول بنية مجال المتجه. تكون أي نقطة على سطح مجرى المياه مماسًا لمتجه السرعة. وبالتالي ، بأخذ مثال من تدفق السوائل ، لا يمكن لأي سائل أن يمر عبر السطح. ثم تكون أنابيب التدفق هي تمثيلات لتدفق الكتلة الثابت. تُظهر الأسطح المتدفقة بنية حقل متجه أفضل من الخطوط الانسيابية أو الصور الرمزية المتجهة لأنها لا تتطلب الاستيفاء المرئي عبر الرموز.

يمكن حساب أسطح التدفق من خلال توليد مجموعة من الخطوط الانسيابية من أشعل النار الذي يحدده المستخدم. ثم يتم بناء شبكة متعددة الأضلاع عن طريق توصيل خطوط انسيابية متجاورة. تتمثل إحدى الصعوبات في هذا النهج في أن تباعد مجال المتجه المحلي يمكن أن يتسبب في فصل الانسيابية. يمكن أن يؤدي الفصل إلى حدوث أخطاء كبيرة في السطح ، أو ربما يتسبب في تقاطع ذاتي ، وهو أمر غير ممكن ماديًا.

نهج آخر لحوسبة الأسطح التي تم اتباعها بواسطة Hultquist [Hultquist92]. سطح المجاري عبارة عن مجموعة من خطوط التدفق متصلة على طول حوافها. في هذا النهج ، يتم حساب الانسيابية وتبليط سطح المجاري بشكل متزامن. يسمح ذلك بإضافة أو إزالة الانسيابات عندما يفصل التدفق أو يتقارب. يمكن أيضًا التحكم في التبليط لمنع تولد مثلثات طويلة ونحيفة. قد يكون السطح أيضًا "ممزقًا" ، أي أن الشرائط مفصولة ، إذا أصبح تباعد التدفق مرتفعًا جدًا.

دفق مضلع & الفقرة

توفر التقنيات الموصوفة حتى الآن مقاييس تقريبية لكميات الحقول المتجهة مثل الدوامة الانسيابية والتباعد. ومع ذلك ، تحتوي حقول المتجهات على معلومات أكثر مما يمكن أن تنقله هذه التقنيات. نتيجة لذلك ، تم ابتكار تقنيات أخرى لتصور هذه المعلومات. أحد هذه التقنيات هو مضلع التدفق [شرودر 91]، والذي يعمل كأساس لعدد من أساليب التصور المتقدم والمتجه. يتم استخدام مضلع التدفق لتصور الخصائص المحلية للسلالة والإزاحة والدوران. نبدأ بوصف تأثيرات حقل ناقل على حالة الإجهاد المحلية.

تؤدي الحقول الموجهة غير المنتظمة إلى حدوث تشوه محلي في المنطقة التي تحدث فيها. إذا كان حقل المتجه هو الإزاحة في وسط مادي مثل سائل أو صلب ، فإن التشوه يتكون من إجهاد موضعي (أي تشويه موضعي) وحركة جسم صلبة. لوصف التشوه رياضيًا ، نفحص متجهًا ثلاثي الأبعاد vec = (ش ، ت ، ث) عند نقطة محددة س = (س ، ص ، ض). باستخدام توسعة سلسلة تايلور من الدرجة الأولى حول x ، يمكننا التعبير عن التشوه المحلي eij كـ

أين إبسيلون هي السلالة المحلية و omega_ هو التناوب المحلي. لاحظ أنه يتم التعبير عن هذه المتغيرات في صورة موتر 3 مرات 3. (قارن هذه المعادلة بالمعادلة الواردة في الشكل 6-20. لاحظ أن هذه المعادلة والمعادلة التالية 9-5 تختلف في شروطهما خارج القطر بمعامل 1/2. وذلك لأن الشكل 6-20 يعبر عن إجهاد القص الهندسي الذي تستخدم في دراسة المرونة. المعادلة 9-5 تعبر عن كمية موتر وهي متسقة رياضياً.)

يتم التعبير عن السلالة المحلية كمجموعة من المشتقات الجزئية عند x على النحو التالي.

الشروط على قطري epsilon_ هي المكونات الطبيعية للسلالة. الشروط غير القطرية هي إجهاد القص. يمكن أيضًا تمثيل دوران الجسم الصلب المحلي بواسطة المعادلة 9-6 باستخدام تدوين الموتر كـ

حيث omega هو متجه الدوامة المشار إليه في القسم السابق. عندئذ تكون الدوامة ، أو دوران الجسم الصلب المحلي

بالنسبة للقارئ الذي ليس على دراية بتدوين التوتر ، فإن هذا العرض التقديمي هو بالتأكيد أقل من كامل. ومع ذلك ، فإن المصفوفات في المعادلة 9-5 والمعادلة 9-6 تترجم مباشرة إلى شكل مرئي ، مما سيساعد في توضيح المفاهيم المقدمة هنا. بالاشارة الى الشكل 9-11 ، الإجهاد العادي ، إجهاد القص ، وحركة الجسم الجامدة تخلق أوضاع تشوه مميزة. تتحد هذه الأوضاع لإنتاج التشوه الكلي. تتسبب أنماط الإجهاد الطبيعي في الضغط أو التمدد في الاتجاه العمودي على السطح ، بينما تتسبب سلالات القص في حدوث تشوهات زاوية. هذه السلالات مجتمعة مع دوران الجسم الصلب حول محور ينتج عنها إجهاد إجمالي عند نقطة ما.

الشكل 9-11. مكونات التشوه المحلي بسبب مجال ناقل. يظهر الخط المنقط كائنًا غير مشوه في البداية.

يتمثل جوهر تقنية مضلع التدفق في إظهار أوضاع التشوه هذه. مضلع منتظم من جانب n ( الشكل 9-12 ) في حقل متجه عند نقطة محددة ثم يتم تشويهه وفقًا للسلالة المحلية. قد يتم عرض مكونات السلالة بشكل منفصل أو مجتمعة. الاتجاه الطبيعي للمضلع تعسفي. ومع ذلك ، فمن الملائم محاذاة الطبيعي مع المتجه المحلي. ثم يكون دوران الجسم الصلب حول المتجه هو الدوامة الانسيابية ، وتكون تأثيرات إجهاد القص العادي في المستوى عموديًا على خط انسيابي يمر عبر النقطة.

يوفر مضلع التدفق إمكانيات أخرى مثيرة للاهتمام. قد يتم تحريك مضلع التيار على طول مسار ، عادةً ما يكون انسيابيًا ، لتوليد أنابيب. يمكن تعديل نصف قطر الأنبوب r وفقًا لبعض الوظائف العددية. أحد التطبيقات هو تصور تدفق السوائل. في التدفق غير القابل للضغط مع عدم القص ، يمكن أن يختلف نصف قطر الأنبوب وفقًا لمقدار متجه الوظيفة العددية. ثم المعادلة

يمثل مساحة تدفق كتلة ثابت. نتيجة لذلك ، سوف يثخن الأنبوب مع تباطؤ التدفق وضيقه مع زيادة السرعة. يمكن تلوين كل جانب من جوانب الأنبوب بوظيفة عددية مختلفة ، على الرغم من أنه من أجل الوضوح البصري ، يجب استخدام وظيفة أو وظيفتين على الأكثر.

الشكل 9-12. مضلع التيار. (أ) عرض مستو. (ب) محاذاة مع المتجه. (ج) تتماشى مع التبسيط. (د) كنس المضلع لتشكيل الأنبوب. راجع OfficeTube.cxx و OfficeTube.py.

الأنابيب المتدفقة التي تم إنشاؤها بواسطة مضلع التدفق وأنابيب التدفق التي وصفناها في القسم السابق ليست هي نفسها. لا يكمن المضلع الانسيابي بالضرورة على طول الانسياب. إذا كان الأمر كذلك ، فإن المضلع الانسيابي يمثل المعلومات عند نقطة ما ، في حين أن Streamtube عبارة عن تقريب تم إنشاؤه من عدة خطوط انسيابية. أيضًا ، لا يتعلق التباين الشعاعي في الأنابيب التي تم إنشاؤها من عمليات المسح المضلع بالضرورة بتدفق الكتلة نظرًا لأن نصف القطر في مضلع الانسياب يمكن ربطه بمتغير قياسي تعسفي.

طوبولوجيا حقل المتجهات والفقرة

تحتوي حقول المتجهات على بنية معقدة تتميز بميزات خاصة تسمى النقاط الحرجة [Globus91] [Helman91]. النقاط الحرجة هي مواقع في حقل المتجه حيث يذهب حجم المتجه المحلي إلى الصفر ويصبح اتجاه المتجه غير محدد. في هذه النقاط ، يتقارب حقل المتجه أو يتباعد ، و / أو يحدث دوران محلي حول النقطة.

تكمن النقاط الحرجة في خلايا مجموعة البيانات حيث تمر المكونات u و v و w لحقل المتجه عبر الصفر. تقع هذه النقاط باستخدام إجراء بحث تكراري مثل تقنية القسم الثنائي. يقوم كل تكرار بتقييم وظيفة الاستيفاء الخلوي حتى يتم العثور على المتجه الصفري. بمجرد العثور على نقطة حرجة ، يتم تحديد سلوكها المحلي من مصفوفة المشتقات الجزئية.

هذا لأنه عند النقطة الحرجة تكون السرعة صفرًا ، ويمكن تقريب حقل المتجه عن طريق توسيع من الدرجة الأولى للمشتقات الجزئية [Helman91]

يمكن كتابة مصفوفة المشتقات الجزئية J في تدوين المتجه كـ جزئي u جزئي v جزئي w

ويشار إليه باسم اليعقوبي. يتميز سلوك الحقل المتجه بالقرب من نقطة حرجة بقيم eigenvalues ​​لـ J. تتكون قيم eigenvalues ​​من مكون وهمي وحقيقي. يصف المكون التخيلي دوران حقل المتجه حول النقطة الحرجة ، بينما يصف الجزء الحقيقي التجاذب النسبي أو التنافر لحقل المتجه إلى النقطة الحرجة. في بعدين ، تظهر النقاط الحرجة في الشكل 9-13 .

تم تطوير عدد من تقنيات التصور لإنشاء طوبولوجيا مجال ناقل من تحليل النقاط الحرجة. توفر هذه التقنيات فهمًا عالميًا للمجال ، بما في ذلك نقاط الارتباط والانفصال والدوامات الميدانية. باستخدام قياس تدفق السوائل ، تحدث نقاط الارتباط والانفصال على سطح الكائن حيث يتجه المكون المماسي للحقل المتجه إلى الصفر ، ويكون التدفق عموديًا على السطح. وبالتالي ، ستبدأ عمليات الانسيابية أو تنتهي عند هذه النقاط. لا يوجد تعريف مشترك للدوامة ، ولكن بشكل عام ، الدوامات هي مناطق ذات دوامة مركزة نسبيًا (على سبيل المثال ، دوران التدفق). تعتبر دراسة الدوامات مهمة لأنها تمثل مناطق فقد الطاقة ، أو يمكن أن يكون لها تأثير كبير على ظروف تدفق المصب (على سبيل المثال ، الدوامات الزائدة خلف الطائرات الكبيرة).

تعمل إحدى تقنيات التصور المفيدة على إنشاء هياكل عظمية لحقل متجه تقسم حقل المتجه إلى مناطق منفصلة. داخل كل منطقة ، يكون حقل المتجه مكافئًا طوبولوجيًا للتدفق المنتظم. يتم إنشاء هذه الهياكل العظمية عن طريق تحديد مواقع النقاط الحرجة ، ثم توصيل النقاط الحرجة بخطوط الانسيابية. في تحليل المجال المتجه ثلاثي الأبعاد ، يمكن تطبيق هذه التقنية على سطح الكائنات لتحديد خطوط فصل التدفق والمرفق وميزات التدفق المهمة الأخرى. أيضًا ، في التدفق ثلاثي الأبعاد بشكل عام ، يتم فصل مناطق التدفق المنتظم بواسطة الأسطح ، ويعد إنشاء الهياكل العظمية للتدفق ثلاثي الأبعاد موضوعًا بحثيًا حاليًا.

تصور الدوامة هو مجال آخر من مجالات البحث الحالي. أسلوب واحد يحسب كثافة الهليكوبتر

الشكل 9-13. النقاط الحرجة في بعدين. يتحكم الجزء الحقيقي من قيم eigenvalues ​​(R1 ، R2) من مصفوفة المشتقات الأولى في جاذبية أو تنافر حقل المتجه. يتحكم الجزء التخيلي من قيم eigenvalues ​​(I1، I2) في الدوران.

هذه دالة قياسية لمنتج نقطي متجه بين الدوامة والمتجه المحلي. ينتج عن القيم الإيجابية الكبيرة لـ H_d دوامات لليد اليمنى ، بينما تشير القيم السلبية الكبيرة إلى دوامات اليد اليسرى. يمكن إظهار كثافة اللولبية بشكل ملائم باستخدام الأسطح المتساوية ، مما يعطي إشارة إلى موقع وهيكل الدوامة.


رياضيات 535 ب: الهندسة التفاضلية المتقدمة ، ربيع 2019

أعضاء هيئة التدريس

معلم شيل جاناترا
مكتب KAP 266D
بريد إلكتروني sheel (dot) ganatra (at) usc (dot) edu (هذه أفضل طريقة للوصول إلي)
ساعات العمل هذا الأسبوع (3 / 25-3 / 29): الاثنين 2-3 مساءً ، الأربعاء 2-3 مساءً ، الجمعة 12-1 مساءً.

الإعلانات

وصف المساقات والمتطلبات

  • الهندسة الريمانية (دراسة المشعبات ذات البنية الريمانية ، أي مقياس ناتج عن عائلة من المنتجات الداخلية في المساحات المماسية).
  • هندسة K & aumlhler (دراسة المشعبات المعقدة بمقياس K & aumlhler ، وهو نوع خاص من المقاييس (Hermitian) التي يكون الجزء التخيلي البحت مغلقًا).
  • الهندسة العاكسة (دراسة المشعبات الحقيقية ذات الأبعاد الزوجية ذات الشكل العفوي ، وهي عبارة عن شكل 2 مغلق غير متحلل).

تعتبر مشعبات K & aumlhler متشعبات معقدة بشكل خاص وهي ريمانيان وعاطفية بطريقة متوافقة. سنناقش أمثلة لجميع الأنواع الثلاثة من المشعبات ونطور مجموعة أدوات أساسية لدراسة الهندسة في كل من هذه الإعدادات. سيكون التركيز في الدورة على الفهم الاستعلاء خواص الشكلين الأخيرين: الطرق التي يتم فيها تقييد هندستها وطوبولوجيتها (كما تم قياسها على سبيل المثال ، من خلال مجموعات cohomology الخاصة بهم ، أو بواسطة خصائص خرائط معينة أو حقول متجهية) بشكل صارم مقارنة بالمشعبات التي لا تمتلك هذه الهياكل.

سيتم نشر خطة محاضرة أكثر تفصيلاً (يتم تحديثها بشكل مستمر ، بعد كل محاضرة) أدناه.

في آخر أسبوعين أو ثلاثة أسابيع من الدورة ، سيصبح الفصل طالبًا: سيقدم الطلاب سلسلة من المحادثات حول الموضوعات المتقدمة في واحد أو أكثر من هذه المجالات. سيتم نشر قائمة بالموضوعات المحتملة في وقت لاحق بقليل.

سنفترض الإلمام الأساسي بهندسة المشعبات ، على مستوى دورة الرياضيات 535a في جامعة جنوب كاليفورنيا أو ما يعادلها.

مراجع

تتضمن بعض الموضوعات المخطط لها للمسح ما يلي:

  • بعض جوانب نظرية المضاعفات: حزم المتجهات ، والأحياء الأنبوبية ، وثنائية بوانكاريه ، ونظرية التقاطع لعديدات الطيات الجزئية.
  • الوصلات والانحناء (على حزم المتجهات) ، ومقدمة للهندسة الريمانية: مقاييس ريمان واتصالات ليفي سيفيتا المرتبطة بها ، والنقل المتوازي ، والجيوديسيا ، ونظرية غاوس-بونيت.
  • الهندسة العفوية: الأشكال العفوية ، عديدات الطيات الجزئية لاغرانج ، حقول متجه هاملتونية وعديدات الشكل ، نظرية داربوكس ونظرية الحي الأنبوبي وينشتاين ، نظرية موسر. إنشاءات المشعبات العفوية (عن طريق الاهتزازات ، والتفجير ، والقطع واللصق). هياكل متوافقة تقريبًا معقدة. حدسية أرنولد و (إذا سمح الوقت) مقدمة إلى التماثل العائم.
  • المشعبات المعقدة و "المشعبات شبه المعقدة" (المشعبات المجهزة بهياكل شبه معقدة) ، وعلاقتها عبر نظرية نيولاندر-نيرنبرج.
  • هندسة K & aumlhler: أشكال K & aumlhler ، وتحلل Hodge لـ (مجموعة de Rham cohomology لـ) K & aumlhler. أمثلة قادمة من الفضاء الإسقاطي المعقد والأصناف المعقدة الإسقاطية السلسة. نظرية تضمين كودايرا.
  • راؤول بوت ولورينج تو ، الأشكال التفاضلية في الطوبولوجيا الجبرية (على وجه التحديد الفصل 1 ، الذي يعطي معالجة لطيفة لعلم تماثل دي رهام ، بوانكار والازدواجية الحادة باستخدام الصيغ التفاضلية ، نظرية K & uumlneth ، حزم المتجهات ،.).
  • جون لي ، الفتحات الريمانية: مقدمة للانحناء .
  • آنا كاناس دا سيلفا محاضرات في الهندسة السمبليكتية، متوفر على الانترنت.
  • ريموند ويلز التحليل التفاضلي على الفتحات المعقدة.
  • كلير فويسين نظرية هودج والهندسة الجبرية ، I.
  • ملاحظات دورة الهندسة التفاضلية للبروفيسور كو هوندا: الفصل الدراسي الأول والفصل الدراسي الثاني.
  • دورة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا لعام 2007 للبروفيسور دينيس أوروكس ، 18.966: هندسة المشعبات
  • تلاحظ محاضرة البروفيسور رالف كوهين ، طوبولوجيا حزم الألياف (سنستخدم هذا كمرجع إضافي في الأوقات التي قد نناقش فيها الحزم المتجهية و / أو الرئيسية).

لمراجعة الهندسة التمهيدية وطوبولوجيا الفتحات ، قد ترغب في الرجوع إلى الكتاب المدرسي المستخدم بشكل متكرر في الرياضيات 535 أ ، أسس المشعبات التفاضلية ومجموعات الكذب بواسطة فرانك وارنر. كتاب تمهيدي بديل هو مقدمة إلى الفتحات الملساء بواسطة جون لي. مرجع تكميلي لطيف هو Guillemin و Pollack الطوبولوجيا التفاضلية، ولا سيما فصله عن نظرية التقاطع.

نظام الدرجات

  • محاضرة في الأسابيع الأخيرة من الدورة ، حول موضوع متقدم بناء على ما يتم تغطيته في الفصل. و
  • ورقة شرح نهائية ، على الأقل 5 صفحات ، حول موضوع متقدم على النحو الوارد أعلاه. هذا مسموح به ، لكن لا يلزم أن يتطابق تمامًا مع موضوع محاضرتك. في الواقع ، حتى لو كان الموضوع هو نفسه ، يجب أن تحتوي الورقة بالضرورة على مزيد من التفاصيل و / أو تركيز مختلف عما يتم تدريسه في الفصل.

سيتم تقديم قائمة بالموضوعات المحتملة للمهام المذكورة أعلاه في وقت لاحق من الفصل الدراسي. يمكنك أيضًا اقتراح موضوع مختلف ، يخضع لموافقة المعلم.

واجبات منزلية

سيتم تخصيص بعض تمارين الواجبات المنزلية الاختيارية (غير المصنفة) بشكل دوري طوال الفصل الدراسي. سيتم نشرها هنا على أساس مستمر.

تاريخ إسناد قيمة تلاحظ
يحدد لاحقًا يحدد لاحقًا يحدد لاحقًا

محاضرات طلابية وأوراق نهائية

بعض التفاصيل حول محاضرتك النهائية والمهمة الورقية متاحة الآن هنا.

خطة المحاضرة

سيتم نشر مواضيع المحاضرات حسب اليوم على أساس مستمر أدناه. الموضوعات المستقبلية مؤقتة وسيتم تعديلها حسب الضرورة.


تنسيق الدورة:

ستتألف الدورة بشكل أساسي من محاضرات وتمارين منزلية وأربع مهام برمجية . سيتم إجراء اختبار نصفي ونهائي أيضًا. سيعتمد الدرجات على النحو التالي: حوالي 30٪ على الواجبات المنزلية / مهام البرمجة ، 35٪ على نصف الفصل و 35٪ في الامتحان النهائي.

CIS 462/562 الرسوم المتحركة للكمبيوتر

الدكتور ستيفن إتش لين

ساعات العمل

عن طريق التعيين ليفين 154

جدول دراسي

المحاضرة 1: مقدمة - الخلفية والدوافع للمقرر. - تنظيم الدورة. - عروض الرسوم المتحركة - المفاهيم والمصطلحات الأساسية.

المحاضرة 2: نظم الإحداثيات. مراجعة الجبر الخطي والمسافات المتجهة وتنسيق التحولات

المحاضرة 3: نظم الإحداثيات - كونت. زوايا ورباعيات أويلر.

المحاضرة 4: طرق الاستيفاء. منحنى المناسب مقابل التنعيم. شرائح خطية ومكعبة. منحنيات بيزير. شرائح كاتمول روم.

المحاضرة 5: طرق الاستيفاء - كونت .

المحاضرة 6: طرق الاستيفاء - كونت . Bsplines - كونت.أسطح ثنائية الأبعاد.

المحاضرة 7: طرق الاستيفاء - كونت . الاستيفاء الكروي (Quaternions). استعراض لبيئة تطوير البرمجيات HW # 1.

المحاضرة 8: حركيات الجسم. التمثيل الهرمي المشترك. مصفوفات التحول. النماذج الحركية إلى الأمام. المصفوفات اليعقوبية.

المحاضرة 9: حركيات الجسم - كونت . السلاسل الحركية. طرق بناء المصفوفات اليعقوبية. المناهج التحليلية والعددية للحركية العكسية.

المحاضرة 10: تحريك الجسم . طرق الإطار الرئيسي. طرق التقاط الحركة. تحرير الحركة. التسلسل والمزج. معلمة طول القوس

المحاضرة 11: تحريك الجسم - يتعارض . الحركة. مشية. دورات المشي والجري. عروض أداة الرسوم المتحركة (MotionBuilder).

المحاضرة 12: تحريك الجسم - يتعارض . جلسة التقاط الحركة.

المحاضرة 13: إختبار نصف الفصل ( )

المحاضرة 14: شكل الرسوم المتحركة. بشرة ناعمة ورسوم متحركة للوجه وأهداف مورف وأساليب تعتمد على العضلات.

المحاضرة 15: ديناميات الجسم. درجات الحرية . معادلات الحركة . تمثيل فضاء الدولة. الديناميات الدورانية مقابل الديناميات متعدية.

المحاضرة 16: ديناميات الجسم - كونت . الأنظمة الديناميكية من الدرجة الثانية (أي المثبط الكتلي - الربيع) - أنظمة الجسيمات.

المحاضرة 17: ديناميات الجسم - كونت. ديناميات السلاسل الحركية (طريقة نيوتن أويلر)

المحاضرة 18: محاكاة.حلقة معالجة تحسس وتحكم وفعل. طرق تكامل عددية. نماذج حساب ميتة. طرق كشف التصادم. الواقع الافتراضي والمحاكاة التفاعلية الموزعة

المحاضرة 19: مراقبة ردود الفعل . Openloop مقابل التحكم في الحلقة المغلقة . أنواع وحدات التحكم. متطلبات التصميم . تصميم قانون التحكم في التغذية الراجعة.

المحاضرة 20: التحكم في التغذية الراجعة - عنصر. تتبع المسار. تجنب العوائق. السرعة المحسوبة وطرق عزم الدوران المحسوبة.

المحاضرة 21: الرسوم المتحركة السلوكية. مفاهيم أساسية. طبقات ومزج السلوكيات والسلوكيات الهرمية وسلوكيات المجموعة. مخططات التحكيم والتنسيق

المحاضرة 22: الرسوم المتحركة القائمة على التحسين . قيود الزمان والمكان.

المحاضرة 23: الرسوم المتحركة القائمة على التحسين. طرق حل ضيق الوقت المكاني.

المحاضرة 24: موضوعات متقدمة في تحريك الشخصيات. التوازن الديناميكي. وحدات تحكم ديناميكية لكامل الجسم.


1 إجابة 1

لا أستطيع الإجابة على السؤال الموجود في عنوانك - ربما أنت فقط لا تفعل رعاية. -)

لكني سأخبرك ببعض الأسباب التي تجعلني أجدها ممتعة ومفيدة.

أولاً ، وربما الأعمق ، هو أنه يمكنك عرض مجموعة من جميع الأشكال المختلفة لمشعب سلس $ M $ على أنها مجموعة Fréchet Lie اللانهائية ، وجبر الكذب الخاص بها هو بالضبط $ mathfrak X (M) $ مع قوس الكذب الخاص بها البنية (انظر مقال ريتشارد هاملتون للحصول على عرض جميل لوجهة النظر هذه).

ثانيًا ، أي إجراء يمين سلس من قبل مجموعة الكذب (محدودة الأبعاد) $ G $ على $ M $ يحدد تشابه الجبر الكاذب من $ operatorname(G) $ to $ mathfrak X (M) $ ، إرسال $ X in operatorname(G) $ إلى حقل المتجه $ Widehat X in mathfrak X (M) $ معرف بواسطة $ widehat X_p = left. frac

حق | _ p cdot exp tX. على العكس من ذلك ، بالنظر إلى أي كذبة فرعية ذات أبعاد محدودة $ mathfrak g subset mathfrak X (M) $ مع خاصية أن كل حقل متجه في $ mathfrak g $ مكتمل ، هناك عمل صحيح سلس للكذبة المتصلة ببساطة المجموعة $ G $ التي يتشابه جبر الكذب فيها مع $ mathfrak g $ ، و $ mathfrak g $ هي صورة تماثل الجبر الكاذب الموصوف أعلاه. (انظر الصفحات 525-530 من بلدي مقدمة إلى الفتحات الملساء [ISM].)

يمكنك التفكير في بنية جبر لي في $ mathfrak X (M) $ على أنها توفر عوائق لتبديل التدفقات: تدفقات سلسة على $ M $ تنقل إذا وفقط إذا كانت مولداتها المتناهية الصغر بها قوس لي صفري [ISM ، Thm. 9.44].

إذا تم منح $ M $ مقياس ريماني كامل ، فإن مجموعة جميع حقول متجه القتل هي جبر فرعي كذبة ذات أبعاد محدودة لـ $ mathfrak X (M) $ ، وهو جبر الكذب لمجموعة متساوية القياس الكاملة $ M $ .

في ظل وجود بنية متعاطفة ، توجد خريطة من $ C ^ infty (M) $ إلى $ mathfrak X (M) $ إرسال $ f $ إلى حقل متجه هاملتونيان $ X_f $ ، والذي يعطي تماثلًا لجبر الكذب (أو مضاد التماثل ، اعتمادًا على الأعراف الخاصة بك) بين $ C ^ infty (M) / < text> $ بهيكل قوس Poisson وجبر Lie subalgebra المعين $ mathscr H (M) subseteq mathfrak X (M) $ ، جبر حقول متجه هاملتونيان. هذا بدوره جبر فرعي لجبر كذبة أكبر $ mathscr S (M) subseteq mathfrak X (M) $ ، الحقول المتجهية العفوية، والحاصل $ mathscr S (M) / mathscr H (M) $ يتشابه بشكل طبيعي مع أول تماثل دي رهام بقيمة $ M $. (انظر ، على سبيل المثال ، [ISM ، الفصل 22].) يلعب هيكل الجبر الكاذب لـ $ mathscr H (M) $ دورًا مركزيًا في الأنظمة الديناميكية ، على سبيل المثال في تحديد الأنظمة القابلة للتكامل تمامًا وفي نظرية نويثر حول العلاقة بين التماثلات والكميات المحفوظة.


الكلمات الدالة

لوريس ناني حصل على درجة الماجستير بامتياز في يونيو 2002 من جامعة بولونيا ، وفي 26 أبريل 2006 حصل على درجة الدكتوراه. في هندسة الكمبيوتر في DEIS ، جامعة بولونيا. تشمل اهتماماته البحثية التعرف على الأنماط ، والمعلوماتية الحيوية ، وأنظمة القياسات الحيوية (تصنيف بصمات الأصابع والتعرف عليها ، والتحقق من التوقيع ، والتعرف على الوجوه).

أليساندرا لوميني حصلت على درجة الماجستير من جامعة بولونيا ، إيطاليا ، في 26 مارس 1996. في عام 1998 بدأت الدكتوراه. درست في DEIS ، جامعة بولونيا وفي عام 2001 حصلت على درجة الدكتوراه. حاصلة على درجة البكالوريوس في هندسة الكمبيوتر عن عملها في "قواعد بيانات الصور" Now she is an Associate Researcher at University of Bologna. She is interested in pattern recognition, bioinformatics, Biometric Systems, Multidimensional Data Structures, Digital Image Watermarking and Image Generation.

Matteo Ferrara is a researcher at the University of Bologna, Italy.

He received his bachelor׳s degree cum laude in Computer Science from the University of Bologna, (March 2004) and his Master׳s degree cum laude in October 2005. In 2009 he received his Ph.D. in Electronics, Computer Science and Telecommunications Engineering at Dept. of Electronics, Computer Science and Systems (DEIS), University of Bologna for his studies on Biometric Fingerprint Recognition Systems.

He is a member of the Biometric System Laboratory at Computer Science – Cesena.

His research interests include Image Processing, Pattern Recognition and Biometric Systems (Fingerprint Recognition, Fingerprint Template Protection, Performance Evaluation of Biometric Systems, Fingerprint Scanner Quality and Face Recognition).


Notes on class field theory

Reference.

By analogy with local class field theory, we want to prove that for (L/K) a cyclic extension of number fields and (C_K, C_L) the respective idèle class groups of (K) and (L ext<,>)

Our first step is to calculate the Herbrand quotient.

Theorem 7.1.1 .

For (L/K) a cyclic extension of number fields,

Proof .

This will end up reducing to a study of lattices in a real vector space, much as in the proof of Dirichlet's units theorem (Corollary 6.2.11).

From Theorem 7.1.1, we will deduce the so-called “First Inequality”.

Theorem 7.1.2 . First Inequality.

For (L/K) a cyclic extension of number fields,

Proof .

The “Second Inequality” will be the reverse, which will be a bit more subtle (see Theorem 7.2.10).

Subsection 7.1.1 Some basic observations

Definition 7.1.3 .

Let (L/K) be a Galois extension of number fields with Galois group (G ext<.>) (We do not yet need (G) to be cyclic.) For any finite set (S) of places of (K) containing all infinite places, write (I_) to mean the group (I_) where (T) denotes the set of places of (L) lying over some place in (S ext<.>) Similarly, write (gotho_) to mean (gotho_ ext<.>)

Note that each (I_) is stable under the action of (G) and that (I_L) is the direct limit of the (I_) over all (S ext<.>) Moreover, by Corollary 6.2.10, for (S) sufficiently large we have

Proposition 7.1.4 .

Let (L/K) be a Galois extension of number fields with Galois group (G ext<.>) For each (i>0 ext<,>)

where (v) runs over places of (K) and (w) denotes a single place of (L) above (v ext<.>) Similarly, for each (i ext<,>)

Proof .

View (I_L) as the direct limit of the (I_) over all finite sets (S) of places of (K) containing all infinite places and all ramified places then (H^i(G,I_L)) is the direct limit of the (H^i(G, I_) ext<.>) The latter is the product of (H^i(G, prod_ L_w^*)) over all (v in S) and (H^i(G, prod_ gotho_^*)) over all (v otin S ext<,>) but the latter is trivial because (v otin S) cannot ramify. By Shapiro's lemma (Lemma 3.2.3), (H^i(G, prod_ L_w^*) = H^i(G_w, L_w^*) ext<,>) so we have what we want. The argument for Tate groups is analogous.

Corollary 7.1.5 .

Let (L/K) be a Galois extension of number fields with Galois group (G ext<.>) Then

Proof .

This follows by combining Proposition 7.1.4, the computation of cohomology of local fields (Lemma 1.2.3 and Proposition 4.2.1), and the equality

Remark 7.1.6 . Sanity check.

The case (i=0) of Proposition 7.1.4 asserts something that is evidently true: an idèle in (I_K) is a norm from (I_L) if and only if each component is a norm.

Remark 7.1.7 .

If (S) contains all infinite places and all ramified places, then

where (U_v) is open in (K_v^* ext<.>) The group on the right is open in (I_K ext<,>) so (Norm_ I_K) is open.

By quotienting down to (C_K ext<,>) we see that (Norm_ C_K) is open. In fact, the snake lemma on the diagram

implies that the quotient (I_K/(K^* imes Norm_ I_L)) is isomorphic to (C_K/Norm_ C_L ext<.>)

Subsection 7.1.2 Cohomology of the units: first steps

Definition 7.1.9 .

Let (L/K) be a cyclic extension of number fields with Galois group (G ext<.>) Apply Corollary 6.2.10 to choose a finite set (S) of places of (K) so that (I_L = I_ L^* ext<.>) From the exact sequence

we have an equality of Herbrand quotients

(Since (G) is abelian, we write (G_v) instead of (G_w ext<.>)) To get (h(C_L) = [L:K] ext<,>) it will thus suffice to establish Lemma 7.1.10 below.

Lemma 7.1.10 .

Let (L/K) be a cyclic extension of number fields. Let (S) be a finite set of places of (K) containing all infinite places. ثم

Proof .

Subsection 7.1.3 Cohomology of the units: a computation with (S)-units

At this point, we have reduced the computation of the Herbrand quotient (h(I_L) ext<,>) and by extension the First Inequality, to the computation of (h(gotho_^*)) for a suitable set (S) of places of (K ext<.>) We treat this point next, using similar ideas to the proof of Dirichlet's units theorem (Corollary 6.2.11).

Definition 7.1.11 .

Let (L/K) be a cyclic extension of number fields with Galois group (G ext<.>) Let (S) be a finite set of places of (K) containing all infinite places, and let (T) be the set of places of (L) lying above places of (S ext<.>) Let (V) be the real vector space consisting of one copy of (RR) for each place in (T ext<.>) Define the map (gotho_^* o V) by

with normalizations as in Definition 6.1.10. By the product formula (Proposition 6.1.11) and Dirichlet's units theorem (Corollary 6.2.11), the kernel of this map consists of roots of unity, and the image (M) is a lattice in the trace-zero hyperplane (H) of (V ext<.>) Since (G) acts compatibly on (gotho_^*) and (V) (the latter by permuting the factors), it also acts on (M ext<.>)

Remark 7.1.12 . Caveat.

At this point, we deviate from [37] due to an error therein. Namely, Lemma VI.3.4 is only proved assuming that (G) acts transitively on the coordinates of (V ext<,>) but in Definition 7.1.11 this is not the case: (G) permutes the places above any given place (v) of (K) but those are separate orbits. So we'll follow [36] instead.

Definition 7.1.13 .

Continuing from Definition 7.1.11, we can write down two natural lattices in (V ext<.>) One of them is the lattice generated by (M) together with the all-ones vector, on which (G) acts trivially. As a (G)-module, the Herbrand quotient of that lattice is (h(M) h(Z) = [L:K] h(M) ext<.>) The other is the lattice (M') in which, in the given coordinate system, each element has integral coordinates. To compute its Herbrand quotient, notice that the projection of this lattice onto the coordinates corresponding to the places (w in T) above some (v in S) form a copy of (Ind^G_ Z ext<.>) Thus

To sum up, the calculations from Definition 7.1.11 and Definition 7.1.13 reduce Lemma 7.1.10 to the following statement (Lemma 7.1.14).

Subsection 7.1.4 Herbrand quotients of real lattices

We conclude the proof of the First Inequality with the following statement.

Lemma 7.1.14 .

Let (V) be a real vector space on which a finite cyclic group (G) acts linearly, and let (L_1) and (L_2) be (G)-stable lattices in (V) for which at least one of (h(L_1)) and (h(L_2)) is defined. Then (h(L_1) = h(L_2)) (and both are defined).

Proof .

Note that (L_1 otimes_ <Z>QQ) and (L_2 otimes_ <Z>QQ) are (QQ[G])-modules which become isomorphic to (V ext<,>) and hence to each other, after tensoring over (QQ) with (RR ext<.>) By Lemma 7.1.15, this implies that (L_1 otimes_ <Z>QQ) and (L_2 otimes_ <Z>QQ) are isomorphic as (QQ[G])-modules.

From this isomorphism, we see that as a (Z[G])-module, (L_1) is isomorphic to some sublattice of (L_2 ext<.>) Since a lattice has the same Herbrand quotient as any sublattice (the quotient is finite, so its Herbrand quotient is 1), that means (h(L_1) = h(L_2) ext<.>)

Lemma 7.1.15 .

Let (F/E) be an extension of infinite fields. Let (G) be a finite group. Let (V_1) and (V_2) be two right (E[G])-modules which are finite-dimensional as (E)-vector spaces. If (V_1 otimes_E F) and (V_2 otimes_E F) are isomorphic as (F[G])-modules, then (V_1) and (V_2) are isomorphic.

Proof .

By hypothesis, the (F)-vector space

on which (G) acts by the formula (T^g(x) = T(x^>)^g ext<,>) contains an invariant vector which, as a linear transformation, is invertible. Now (W_F) can also be written as

The fact that (W_F) has an invariant vector says that a certain set of linear equations has a nonzero solution over (F ext<,>) namely the equations that express the fact that the action of (G) leaves the vector invariant. But those equations have coefficients in (E ext<,>) so

in particular, the space of invariant vectors in (W) is also nonzero.

It remains to check that some element of (W^G) corresponds to a map (V_1 o V_2) which is actually an isomorphism for this, we argue as in Exercise 1.2.5.3. Fix an isomorphism of vector spaces between (V_2 otimes_ F) and (V_1 otimes_ F) (which need not respect the (G)-action). By composing each element of (W) with this isomorphism and taking the determinant, we get a well-defined polynomial function on (W ext<,>) which we can restrict to (W^G ext<.>) By hypothesis, this function is not identically zero on (W_F^G ext<,>) so (because (E) is infinite) it cannot be identically zero on (W^G) either.

Subsection 7.1.5 Splitting of primes

As a consequence of the First Inequality, we record the following fact which was previously stated as a consequence of the Chebotarëv density theorem (Theorem 2.4.11), but which will be needed logically earlier in the arguments. (See [37], Corollary VI.3.8 for more details.)

Corollary 7.1.16 .

For any nontrivial extension (L/K) of number fields, there are infinitely many primes of (K) which do not split completely in (L ext<.>)

Proof .

Suppose first that (L/K) is cyclic. Suppose that all but finitely many primes split completely we can then take a finite set (S) of places which contains all of them as well as all of the infinite places and all of the ramified places. For each (v in S ext<,>) the group (U_v = Norm_ L_w^*) is open of finite index in (K_v^* ext<.>) For any (alpha in I_K ext<,>) using the approximation theorem (Proposition 6.1.17) we can then find (eta in K^*) such that ((alpha/eta)_v in U_v) for all (v in S ext<.>) For each place (v otin S ext<,>) we have (L_w = K_v ext<,>) so (alpha/eta in Norm_ I_L ext<.>) We deduce that the class of (alpha) in (C_L) is a norm that is, (C_K = Norm_ C_L ext<,>) whereas Theorem 7.1.2 asserts that (H^0_T(Gal(L/K), C_L) geq [L:K] ext<,>) contradiction.

In the general case, let (M) be the Galois closure of (L/K ext<>) then a prime of (K) splits completely in (L) if and only if it splits completely in (M ext<.>) Since (Gal(M/K)) is a nontrivial finite group, it contains a cyclic subgroup let (N) be the fixed field of this subgroup. By the previous paragraph, there are infinitely many prime ideals of (N) which do not split completely in (M ext<,>) proving the original result.

Exercises 7.1.6 Exercises

Let (K) be a number field. Let (L_1, dots, L_r) be cyclic extensions of (K) of the same prime degree (p) such that (L_i cap L_j = K) for (i eq j ext<.>) Using the First Inequality (Theorem 7.1.2), prove that there are infinitely many primes of (K) which split completely in (L_2, dots, L_r) but not in (L_1 ext<.>)


Microvortex generators in high-speed flow

Frank K. Lu Qin Li Chaoqun Liu , in Progress in Aerospace Sciences , 2012

3.1 Transonic Mach numbers (normal shock)

Vane [12,46] and ramp [12,17] MVGs, and contoured bumps [74,75] were studied. The incoming flow for most of these studies was slightly supersonic, being in the range of Mach 1.3–1.5, that allowed a normal or nearly normal shock to stably impinge a turbulent boundary layer which serves as the transonic criterion. A subsonic diffuser follows downstream of the interaction, its location being varied per the different investigations. In this sense, these studies were primarily interested in examining transonic diffuser-type flows. The exception is the study by König et al. [75] where an incoming flow at a high subsonic Mach number of 0.79 passes over an airfoil to produce a local supersonic pocket. Note that the vane configuration of Ref. [12] is similar to the third figure in the right of Fig. 1 (b), with the apex pointing downstream. In Ref. [46] , the vanes have their apex pointed upstream. Except for the contoured bump, the MVGs were placed ahead of the shock impingement location. In the case of the contoured bump, the shock impinged on the bump.

The presence of the MVG array appears to create a “global distortion” of the separated flowfield, as revealed by surface flow visualization [12,46] . Except for a region near the center of the interaction, the surface streamlines turn inward in the outboard regions. The distortions appear to be more serious in [46] perhaps because of its unusual MVG configuration. These global distortions are likely due to so-called corner effects as discussed above [61–64] and which has recently been revisited [76] . Unfortunately, these distortions complicate the understanding of how an MVG array affects transonic SBLI.

Bur et al. [46] concluded that the spanwise spacing of MVGs and their distance ahead of the shock impingement location play important roles in affecting separated SBLI. A close spacing allows the vortices to merge to reduce separation while sufficient distance must be provided to allow entrainment of the high-momentum freestream fluid see also [11] where optimal geometries were proposed. In terms of potential benefits, Holden and Babinsky [12] suggested that the vane-type MVG causes a lower wave drag rise while Bur et al. suggested that the MVG height should be less than the sonic line of the incoming boundary layer. Holden and Babinsky observed that vortices from vane-type MVGs do not lift off as fast as ramp-type MVGs and are more effective in energizing the boundary layer. These investigators also observed that the MVGs successfully eliminated shock-induced separation.

The study of Bur et al. elicits a further comment vis-à-vis Mehta's [26] study with an axisymmetric transonic bump. The latter study utilizes a single, conventional vortex generator, as shown schematically in Fig. 25 (a). Mehta's surface flow visualization shows a spiral similar to the spiral array of Bur et al., Fig. 24 (b). As was observed by Lin [8] in subsonic flows, qualitatively, the effect of microvortex generators on mitigating separation is the same as conventional ones, even in SBLIs.

Fig. 24 . Surface flow visualization from Bur et al. (flow from right to left) [46] . (a) No vane showing a nominally two-dimensional separated SBLI. (b) With sub-boundary layer co-rotating vane array showing a highly distorted surface flow pattern.

Fig. 25 . Mehta's study of a single conventional vortex generator upstream of an axisymmetric transonic bump [26] . (a) Schematic of test configuration. (b) Surface flow visualization at M ∞ = 0.862 .

Holden and Babinsky [12] examined the effect of MVGs on a normal SBLI at Mach 1.5. While this study was at a Mach number higher than that of Bur et al., this interaction possesses characteristics of transonic flow with its mixed character. These authors suggested that MVGs placed ahead of a separated SBLI may cause an increase in wave drag although they appeared to eliminate separation, with an overall benefit.

Titchener and Babinsky [73] extended the above study with particular attention paid on the effect of the tunnel span. Without MVGs, a separated interaction occurs when the shock impinged the boundary layer close to the diffuser. The separated interaction also gives rise to corner separations, namely, interactions with the tunnel sidewall boundary layers. The MVGs reduce the extent of the separation from the centerline with a resulting increase in total pressure recovery. However, the MVGs tend to enlarge and elongate the corner separation structures, as was also observed by Bur et al. [46] . In certain situations, the presence of the MVG array creates an asymmetrical flow. Reasons for this are still unknown. Finally, the authors concluded that the benefits of MVGs may be lost due to an increase in the size and severity of corner separations. In view of this, one can conclude that further detailed understanding of corner effects is necessary for MVGs to be applied in transonic inlets.

Herges et al. [17] deployed a comprehensive array of diagnostics and offered somewhat modest conclusions. They found that MVGs improve the health of the boundary and could help resist separation in SBLIs. They suggested that MVGs be used to augment or replace bleed for future supersonic inlets.

Ogawa et al. [74] were interested in the effects of a contoured bump on the performance of an airfoil at Mach 1.3, pertaining to reducing drag and buffeting arising from SBLI. The contoured hump is different from the usual MVG element but its height is still less than the boundary-layer thickness and thus falls into the MVG category. The study placed the hump under the shock. By doing so, the intention is to reduce wave drag and not necessarily to exploit the vortices produced downstream to mitigate SBLI effects. These investigators examined six bump configurations. Without the bumps, a near normal shock impinge the boundary layer. The bumps induce a lambda-foot shock configuration to produce a weaker SBLI. With the associated numerical simulations, a side-by-side pair of narrow rounded bumps was found to achieve the best performance by wave drag reduction through modifying the wave pattern with little viscous penalty.

Another joint experimental–computational study on the possibility of sub-boundary-layer protuberances for mitigating the effects of SBLI over transonic airfoils was reported by König et al. [75] . With an incoming freestream Mach number of 0.79, a mixed flow regime occurs over the airfoil to produce a normal shock impinging the boundary layer. Great effort was placed in designing the control bumps distributed spanwise across the airfoil. Despite the use of fences and adaptive walls, some wall interference effects were noted. Through numerical simulations, the interference was found to arise from shock waves originating from the junction of the airfoil's leading edge and the tunnel sidewalls. Detailed comparisons between experiment and computation suggest that there is a decrease in drag. However, the occurrence of drag reduction for the experiment starts at an angle of attack of α ≈ 2 ° whereas the computations show a drag reduction at a lower value of α ≈ 1.3 ° .

New compound MVGs known as split-ramps and ramped-vanes were studied experimentally by Rybalko et al. [22] and numerically by Lee et al. [23] , with multiple and single protuberances respectively. Rybalko et al. observed that flow separation was eliminated in the vicinity of the center but increased sidewall interference was observed compared to the simple vane or ramp geometries. The sidewall interference was labeled as “corner vortices” although these may actually be open separation which features strong vortices [60] . These results are consistent with other transonic investigations [12,46,73] although such interference was not reported nor observed in [17] . Lee et al. found that a “ramped-vane” configuration produces the most effective flow entrainment far downstream, reducing the total separation area but with spanwise distortions.


3 إجابات 3

The reason it is only a suggestion is that you could quite easily write a print function that ignored the options value. The built-in printing and formatting functions do use the options value as a default.

As to the second question, since R uses finite precision arithmetic, your answers aren't accurate beyond 15 or 16 decimal places, so in general, more aren't required. The gmp and rcdd packages deal with multiple precision arithmetic (via an interace to the gmp library), but this is mostly related to big integers rather than more decimal places for your doubles.

Mathematica or Maple will allow you to give as many decimal places as your heart desires.

تعديل:
It might be useful to think about the difference between decimal places and significant figures. If you are doing statistical tests that rely on differences beyond the 15th significant figure, then your analysis is almost certainly junk.

On the other hand, if you are just dealing with very small numbers, that is less of a problem, since R can handle number as small as .Machine$double.xmin (usually 2e-308).

Compare these two analyses.

In the first case, differences between numbers only occur after many significant figures, so the data are "nearly constant". In the second case, Although the size of the differences between numbers are the same, compared to the magnitude of the numbers themselves they are large.

As mentioned by e3bo, you can use multiple-precision floating point numbers using the Rmpfr package.

These are slower and more memory intensive to use than regular (double precision) numeric vectors, but can be useful if you have a poorly conditioned problem or unstable algorithm.