مقالات

1.7: الحركة نحو التوازن - الرياضيات


الآن نعتبر نموذجًا رياضيًا جديدًا يستخدم لوصف استجابة الأنظمة للتسريب المستمر للمواد أو الطاقة. الامثله تشمل

  • تتمتع البحيرة النقية بتدفق مستمر من المياه العذبة إليها وتدفق متساوٍ من المياه خارج البحيرة. تم بناء مصنع بجوار البحيرة ويطلق كل يوم كمية ثابتة من النفايات الكيميائية في البحيرة. سوف تختلط النفايات الكيميائية عبر البحيرة وسيترك البعض منها في المياه المتدفقة. ستزداد كمية النفايات الكيميائية في البحيرة حتى تصبح كمية المواد الكيميائية التي تغادر البحيرة كل يوم هي نفس الكمية التي يطلقها المصنع كل يوم.
  • النيتروجين الموجود في عضلة الغطاس يكون مبدئيًا عند 0.8 ضغط جوي ، وهو الضغط الجزئي لـ N2 في الهواء الجوي. تنزل إلى 20 مترًا وتتنفس الهواء مع N.2 الضغط الجزئي 2.4 أجهزة الصراف الآلي. على الفور تقريبا دمها N2 الضغط الجزئي هو أيضا 2.4 ضغط جوي. عضلاتها تمتص N.2 ببطء أكثر؛ كل دقيقة مقدار N2 الذي يتدفق إلى عضلاتها يتناسب مع الفرق بين الضغوط الجزئية لـ N2 في دمها (2.4 ضغط جوي) وفي عضلاتها. تدريجيا عضلاتها N2 يتحرك الضغط الجزئي نحو 2.4 atm.
  • تترك الدجاجة عشًا وتعرض بيضها للهواء في درجات حرارة أقل من (37 ^ { circ} C ) البيض عندما غادرت. تنخفض درجة حرارة البيض في اتجاه درجة حرارة الهواء.

مثال 1.7.1 التلوث الكيميائي في البحيرة. بحيرة بكر مساحتها 2 كم2 ويبلغ متوسط ​​العمق 10 أمتار حيث يتدفق نهر من خلاله بمعدل 10.000 م3 في اليوم. تم بناء مصنع بجانب النهر ويطلق 100 كجم من النفايات الكيميائية في البحيرة كل يوم. ما هي كميات النفايات الكيميائية في البحيرة في الأيام المقبلة؟ انظر أيضًا: mathinsight.org/chemical_pollution_lake_model

نقترح النموذج الرياضي التالي.

الخطوة 1. نموذج رياضي. التغيير اليومي في النفايات الكيميائية في البحيرة هو الفرق بين الكمية التي يطلقها المصنع كل يوم والكمية التي تتدفق من البحيرة أسفل نهر الخروج. كمية النفايات الكيميائية التي تغادر البحيرة كل يوم تساوي كمية المياه التي تغادر البحيرة في ذلك اليوم مضروبة في تركيز النفايات الكيميائية في تلك المياه. افترض أنه عند إطلاقها من المصنع ، تمتزج المادة الكيميائية بسرعة في جميع أنحاء البحيرة بحيث يكون التركيز الكيميائي في البحيرة متجانسًا.

الخطوة 2. التدوين. دعونا (t ) يقاس الوقت بالأيام بعد افتتاح المصنع و (W_t ) يكون النفايات الكيميائية بالكيلو جرام و (C_t ) تركيز النفايات الكيميائية في (كجم / م ^ 3 ) في بحيرة في اليوم (t ). دع (V ) يكون حجم البحيرة و (F ) تدفق المياه عبر البحيرة كل يوم.

الخطوة 3. المعادلات. حجم البحيرة مساحتها مضروبة في عمقها ؛ وفقًا للبيانات المقدمة ،

[ ابدأ {محاذاة}
& V = 2 mathrm {km} ^ {2} 10 mathrm {m} = 2 cdot 10 ^ {7} mathrm {m} ^ {3}
& F = 10 ^ {4} frac { mathrm {m} ^ {3}} { mathrm {day}}
& text {تركيز المادة الكيميائية في البحيرة هو} quad C_ {t} = frac {W_ {t}} {V} = frac {W_ {t}} {2 times 10 ^ {7}} frac { mathrm {kg}} { mathrm {m} ^ {3}}
نهاية {محاذاة} ]

التغيير في كمية المادة الكيميائية في اليوم (t ) هو (W_ {t + 1} - W_ {t} ) و

[ ابدأ {محاذاة}
text {Change per Day} & = quad text {Amount added per Day} && - quad text {Amount Removed per Day}
W_ {t + 1} - W_ {t} & = quad quad quad quad quad 100 && - quad quad quad quad quad F cdot C_ {t}
W_ {t + 1} - W_ {t} & = quad quad quad quad quad 100 quad && - quad quad quad quad quad 10 ^ {4} frac {W_t} {2 cdot 10 ^ 7}
W_ {t + 1} - W_ {t} & = quad quad quad quad quad 100 quad && - quad quad quad quad quad 5 cdot 10 ^ {- 4} W_ {t }
نهاية {محاذاة} ]

الوحدات في المعادلة هي

[ ابدأ {محاذاة}
W_ {t + 1} -W_ {t} & = 100-10 ^ {4} frac {W_ {t}} {2 cdot 10 ^ {7}}
mathrm {kg} - mathrm {kg} & = mathrm {kg} - mathrm {m} ^ {3} frac { mathrm {kg}} { mathrm {m} ^ {3}}
نهاية {محاذاة} ]

وهم متسقون.

في اليوم 0 ، المحتوى الكيميائي للبحيرة هو 0. وهكذا لدينا

[ ابدأ {محاذاة}
W_ {0} & = 0
W_ {t + 1} -W_ {t} & = 100-5 cdot 10 ^ {- 4} W_ {t}
نهاية {محاذاة} ]

ونعيد كتابته كـ

[ ابدأ {محاذاة}
W_ {0} & = 0
W_ {t + 1} & = 100 + 0.9995 غربًا_ {t}
نهاية {محاذاة} ]

الخطوة 5. حل المعادلة الديناميكية. يمكننا حساب كميات النفايات الكيميائية في البحيرة في الأيام القليلة الأولى13 والعثور على 0 ، 100 ، 199.95 ، 299.85 ، 399.70 للإدخالات الخمسة الأولى. يمكننا التكرار 365 مرة لمعرفة المستوى الكيميائي في نهاية عام واحد (ولكن من المحتمل أن نفقد العدد).

حالة التوازن. يريد علماء البيئة معرفة "الحالة النهائية" للنفايات الكيميائية في البحيرة. كانوا يتوقعون أن المادة الكيميائية في البحيرة سوف تزداد حتى لا يكون هناك تغيير إدراكي في الأيام المتتالية. ال حالة التوازن هو رقم (E ) بحيث إذا (W_ {t} = E ، W_ {t + 1} ) هو أيضًا (E ). من (W_ {t + 1} = 100 + 0.9995 W_ {t} ) نكتب

[E = 100 + 0.9995 شرقًا ، quad E = frac {100} {1-0.9995} = 200000 ]

عندما تصل المادة الكيميائية في البحيرة إلى 200000 كجم ، فإن الكمية التي تتدفق من البحيرة كل يوم ستساوي الكمية التي يتم إدخالها من المصنع كل يوم.

التوازن (E ) مفيد أيضًا رياضيًا. اطرح المعادلات

[ ابدأ {محاذاة}
W_ {t + 1} & = 100 + 0.9995 واط_ {t}
E & = 100 + 0.9995 هـ
نهاية {محاذاة} ]

[W_ {t + 1} -E = 0.9995 يسار (W_ {t} -E right) ]

مع (D_ {t} = W_ {t} - E ) ، تكون هذه المعادلة

[D_ {t} + 1 = 0.9995 D_ {t} quad text {الذي يحتوي على الحل} quad D_ {t} = D_ {0} 0.9995 ^ {t} ]

ثم

[W_ {t} -E = left (W_ {0} -E right) 0.9995 ^ {t}، quad W_ {t} = 200000-200000 cdot 0.9995 ^ {t} ]

يظهر الرسم البياني لـ (W_t ) في الشكل 1.7.1 ، و (W_t ) مقارب إلى 200000 كجم.

الشكل ( PageIndex {1} ): كمية النفايات الكيميائية في البحيرة.

يمكنك قراءة المستوى الكيميائي للبحيرة في نهاية عام واحد من الرسم البياني أو الحساب

[W_ {365} = 200000-200000 cdot 0.9995 ^ {365} doteq 33000 كجم ]

33000 من 36500 كجم من المواد الكيميائية التي تم إطلاقها في البحيرة خلال السنة الأولى لا تزال في البحيرة في نهاية العام. لاحظ أنه حتى بعد 20 عامًا ، فإن البحيرة ليست متوازنة تمامًا.

يمكننا معرفة المدة التي تستغرقها البحيرة للوصول إلى 98٪ من قيمة التوازن عن طريق السؤال عن (t ) (W_t = 0.98 cdot 200000 )؟ هكذا،

[ ابدأ {محاذاة}
W_ {t} = 0.98200000 & = 200000-2000000.9995 ^ {t}
0.98 & = 1-0.9995 ^ {t}
0.9995 ^ {t} & = 0.02
log 0.9995 ^ {t} & = log 0.02
t تسجيل 0.9995 & = تسجيل 0.02
t & = frac { log 0.02} { log 0.9995} = 7822 quad text {days} = 21.4 quad text {years}
نهاية {محاذاة} ]

الخطوة 6. قارن الحل بالبيانات. للأسف ليس لدينا بيانات لهذا النموذج. تم اختيار الحجم وتدفق التيار لتقريب بحيرة إيري ، لكن البحيرة أكثر تعقيدًا من نموذجنا البسيط. ومع ذلك ، فإن محاكاة العملية بسيطة:

مثال 1.7.2 محاكاة التصريف الكيميائي في بحيرة. ابدأ بكوبين بسعة لتر واحد ، وإمداد بالماء المقطر والملح ومتر لقياس التوصيل في الماء. ضع لترًا واحدًا من الماء المقطر و 0.5 جرام من الملح في الدورق F (المصنع). ضع لترًا واحدًا من الماء المقطر في دورق L (بحيرة). مرارا وتكرارا

  1. قم بقياس وتسجيل موصلية دورق الماء L.
  2. أزل 100 مل من المحلول من الدورق L وتخلص منه.
  3. نقل 100 مل من الماء المالح من الدورق F إلى الدورق L.

يجب أن تكون موصلية الماء المالح في الدورق F حوالي 1000 ميكرو سيمنز ( ( mu S )). يجب أن تكون موصلية الماء في الدورق L صفرًا مبدئيًا وأن تزداد كلما زاد تركيز الملح في L. تظهر البيانات والرسم البياني للبيانات في الشكل 1.7.2 ويظهر مشابهًا للرسم البياني في الشكل 1.7.1. في التمرين 1.7.4 ، يُطلب منك كتابة وحل نموذج رياضي لهذه المحاكاة ومقارنة الحل بالبيانات.

الشكل ( PageIndex {2} ): بيانات المثال 1.7.2 ، محاكاة ضخ نفايات كيميائية في بحيرة.

تمارين للقسم 1.7 الحركة نحو التوازن.

تمرين 1.7.1 لكل من الأنظمة التالية ،

  1. احسب (W_ {0} و W_ {1} و W_ {2} و W_ {3} ) و (W_4 ).
  2. أوجد قيمة توازن Wt للأنظمة.
  3. اكتب معادلة حل للنظام.
  4. احسب (W_ {100} ).
  5. احسب نصف العمر ، (T_ {1/2} = - frac { log {2}} { log {B}} ) للنظام.
    1. ( start {align} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 1 - 0.2 W_ {t} end {align} )
    2. ( start {align} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 10 - 0.2 W_ {t} end {align} )
    3. ( start {align} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 100 - 0.2 W_ {t} end {align} )
    4. ( start {align} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 10 - 0.1 W_ {t} end {align} )
    5. ( start {align} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 10 - 0.05 W_ {t} end {align} )
    6. ( begin {align} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 10 - 0.01 W_ {t} end {align} )

تمرين 1.7.3 لكل من الأنظمة التالية ،

  1. احسب (W_ {0} و W_ {1} و W_ {2} و W_ {3} ) و (W_ {4} ).
  2. صِف المصطلحات المستقبلية ، (W_ {5} ، W_ {6} ، W_ {7} ، cdots ).
    1. ( begin {align} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 1 - W_ {t} end {align} )
    2. ( start {align} W_ {0} & = frac {1} {2} W_ {t + 1} & = 1 - W_ {t} end {align} )
    3. ( start {align} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 1 + W_ {t} end {align} )
    4. ( begin {align} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 2 + W_ {t} end {align} )
    5. ( start {align} W_ {0} & = 0 W_ {t + 1} & = 1 + 2 W_ {t} end {align} )
    6. ( start {align} W_ {0} & = -1 W_ {t + 1} & = 1 + 2 W_ {t} end {align} )

تمرين 1.7.4 اكتب معادلات وحلها لوصف كمية الملح في الأكواب في بداية كل دورة لمحاكاة التفريغ الكيميائي في بحيرة في المثال 1.7.2.

تمرين 1.7.5 بالنسبة لنموذجنا ، 1.7.1 ، لتلوث البحيرة ، نفترض أنه عند الإطلاق من المصنع ، تمتزج المادة الكيميائية بسرعة في جميع أنحاء البحيرة بحيث يكون التركيز الكيميائي في البحيرة منتظمًا. المقياس الزمني لـ "سريع" متعلق بالأجزاء الأخرى من النموذج ؛ في هذه الحالة إلى التدفق اليومي داخل وخارج البحيرة. لنفترض أن 100 كجم من المادة الكيميائية المنبعثة من المصنع تستغرق 10 أيام لتختلط بشكل موحد في جميع أنحاء البحيرة. اكتب نموذجًا رياضيًا لهذه الحالة. هناك العديد من النماذج المعقولة ؛ مهمتك أن تكتب واحدة منهم.

تمرين 1.7.6 يبدأ ضخ البنسلين في الوريد في بركة الأوعية الدموية للمريض بمعدل 10 ملغ بنسلين كل خمس دقائق. تزيل كليتا المرضى 20 في المائة من البنسلين الموجود في حوض الأوعية الدموية كل خمس دقائق.

  1. اكتب نموذجًا رياضيًا للتغيير خلال كل فترة خمس دقائق من البنسلين في المريض.
  2. اكتب معادلة فرق تصف كمية البنسلين في المريض خلال فترات الخمس دقائق.
  3. ما هي القيمة الأولية للبنسلين في المريض؟
  4. ما هي كمية التوازن للبنسلين في المريض؟ (هذا مهم للممرضة والطبيب!)
  5. اكتب حل معادلة الفرق.
  6. في أي وقت تصل كمية البنسلين في المريض إلى 90٪ من قيمة التوازن؟ (الممرضة والطبيب يهتمان بهذا أيضًا. لماذا؟)
  7. لنفترض أن كلى المرضى ضعيفة وأنهم يزيلون 10 بالمائة فقط من البنسلين الموجود في حوض الأوعية الدموية كل 5 دقائق. ما مقدار توازن البنسلين في المريض؟

تمرين 1.7.7 يبلغ الضغط الجزئي للنيتروجين في عضلة الغواص في البداية 0.8 ضغط جوي. نزلت إلى مسافة 30 مترًا وعلى الفور شمال2 يبلغ الضغط الجزئي في دمها 2.4 ضغط جوي ويبقى عند 2.4 ضغط جوي بينما تظل على ارتفاع 30 مترًا. كل دقيقة ن2 يزداد الضغط الجزئي في عضلاتها بمقدار يتناسب مع الفرق في 2.4 والضغط الجزئي للنيتروجين في عضلاتها في بداية تلك الدقيقة.

  1. اكتب معادلة ديناميكية مع الشرط الأولي لوصف N.2 ضغط جزئي في عضلاتها.
  2. يجب أن يكون لمعادلتك الديناميكية ثابت التناسب. افترض أن الثابت يساوي 0.067. اكتب حلاً لمعادلتك الديناميكية.
  3. في أي وقت سوف ن2 يكون الضغط الجزئي 1.6؟
  4. ما هو عمر النصف لـ N.2 ضغط جزئي في العضلة بقيمة K = 0.067؟

13 على الآلة الحاسبة: ( begin {array} {cccccc} 0 & text {ENTER} & times 0.9995 + 100 & text {ENTER} & text {ENTER} & text {ENTER} & text {ENTER} } نهاية {مجموعة} )


توريد السلع والخدمات

عندما يتحدث الاقتصاديون عن يتبرع، فهي تعني مقدار بعض السلع أو الخدمات التي يرغب المنتج في توفيرها عند كل سعر. السعر هو ما يحصل عليه المنتج عند بيع وحدة واحدة من أ جيد أو الخدمات. يؤدي ارتفاع السعر دائمًا تقريبًا إلى زيادة في الكمية المعروضة من تلك السلعة أو الخدمة ، في حين أن انخفاض السعر سيقلل من الكمية المعروضة. عندما يرتفع سعر البنزين ، على سبيل المثال ، فإنه يشجع الشركات الساعية للربح على اتخاذ العديد من الإجراءات: توسيع نطاق التنقيب عن احتياطيات النفط لحفر المزيد من النفط والاستثمار في المزيد من خطوط الأنابيب وناقلات النفط لجلب النفط إلى المصانع حيث يمكن تكريره إلى البنزين بناء مصافي نفط جديدة شراء خطوط أنابيب وشاحنات إضافية لشحن البنزين إلى محطات الوقود وفتح المزيد من محطات الوقود أو إبقاء محطات الوقود الحالية مفتوحة لساعات أطول. يسمي الاقتصاديون هذه العلاقة الإيجابية بين السعر والكمية المعروضة - أي أن ارتفاع السعر يؤدي إلى كمية أكبر معروضة وسعر أقل يؤدي إلى كمية أقل معروضة - قانون العرض. يفترض قانون التوريد أن جميع المتغيرات الأخرى التي تؤثر على العرض (سيتم شرحها في الوحدة التالية) تظل ثابتة.

هل ما زلت غير متأكد من أنواع التوريد المختلفة؟ راجع ميزة Clear It Up التالية.

هل التوريد هو نفس الكمية المعروضة؟

في المصطلحات الاقتصادية ، العرض ليس هو نفسه الكمية المعروضة. عندما يشير الاقتصاديون إلى العرض ، فإنهم يقصدون العلاقة بين نطاق الأسعار والكميات المعروضة بهذه الأسعار ، وهي علاقة يمكن توضيحها من خلال منحنى العرض أو جدول العرض. عندما يشير الاقتصاديون إلى الكمية المعروضة ، فإنهم يعنون فقط نقطة معينة على منحنى العرض ، أو كمية واحدة في جدول العرض. باختصار ، يشير العرض إلى المنحنى والكمية المعروضة تشير إلى النقطة (المحددة) على المنحنى.

يوضح الشكل 2 قانون العرض ، مرة أخرى باستخدام سوق البنزين كمثال. مثل الطلب ، يمكن توضيح العرض باستخدام جدول أو رسم بياني. أ جدول العرض هو جدول ، مثل الجدول 2 ، يوضح الكمية المعروضة في نطاق من الأسعار المختلفة. مرة أخرى ، يتم قياس السعر بالدولار لكل جالون من البنزين ويتم قياس الكمية المعروضة بملايين الجالونات. أ منحنى العرض هو رسم توضيحي للعلاقة بين السعر ، يظهر على المحور الرأسي ، والكمية المعروضة على المحور الأفقي. جدول العرض ومنحنى العرض هما طريقتان مختلفتان فقط لإظهار نفس المعلومات. لاحظ أن المحورين الأفقي والعمودي على الرسم البياني لمنحنى العرض هما نفسهما بالنسبة لمنحنى الطلب.

الشكل 2. منحنى العرض للبنزين. جدول العرض هو الجدول الذي يوضح الكمية المعروضة من البنزين عند كل سعر. مع ارتفاع السعر ، تزداد الكمية المعروضة أيضًا ، والعكس صحيح. يتم إنشاء منحنى العرض (S) عن طريق رسم بياني للنقاط من جدول العرض ثم توصيلها. يوضح المنحدر التصاعدي لمنحنى العرض قانون العرض - أي أن ارتفاع السعر يؤدي إلى كمية أكبر معروضة ، والعكس صحيح.

السعر (للغالون الواحد) الكمية الموردة (ملايين الجالونات)
$1.00 500
$1.20 550
$1.40 600
$1.60 640
$1.80 680
$2.00 700
$2.20 720
الجدول 2. سعر وتوريد البنزين

سيختلف شكل منحنيات العرض إلى حد ما وفقًا للمنتج: أكثر انحدارًا ، أو مسطحًا ، أو أكثر استقامة ، أو منحنيًا. مع ذلك ، تشترك جميع منحنيات العرض تقريبًا في تشابه أساسي: فهي تنحدر من اليسار إلى اليمين وتوضح قانون العرض: مع ارتفاع السعر ، على سبيل المثال ، من 1.00 دولار للغالون إلى 2.20 دولار للغالون ، تزداد الكمية المعروضة من 500 جالون إلى 720 جالون. على العكس من ذلك ، مع انخفاض السعر ، تنخفض الكمية المعروضة.


النقص

مثلما يتسبب السعر فوق سعر التوازن في حدوث فائض ، فإن السعر الذي يقل عن مستوى التوازن سيؤدي إلى حدوث عجز. النقص هو المقدار الذي تتجاوز به الكمية المطلوبة الكمية المعروضة بالسعر الحالي.

الشكل 3.9 & # 8220A النقص في سوق القهوة & # 8221 يظهر النقص في سوق القهوة. لنفترض أن السعر هو 4 دولارات للرطل. وبهذا السعر سيتم توفير 15 مليون جنيه من القهوة شهريًا ، و 35 مليون جنيه شهريًا. عندما يُطلب المزيد من القهوة أكثر من المعروض ، يكون هناك نقص.

الشكل 3-9 نقص في سوق القهوة

وبسعر 4 دولارات للرطل تكون كمية البن المطلوبة 35 مليون جنيه في الشهر والكمية المعروضة 15 مليون جنيه في الشهر. والنتيجة هي نقص 20 مليون رطل من القهوة شهريًا.

في مواجهة النقص ، من المرجح أن يبدأ البائعون في رفع أسعارهم. مع ارتفاع السعر ، ستكون هناك زيادة في الكمية المعروضة (ولكن ليس تغيرًا في العرض) وانخفاض في الكمية المطلوبة (ولكن ليس تغييرًا في الطلب) حتى يتم تحقيق سعر التوازن.


سعر واحد فقط في السوق مستدام

نظرًا لأن أي سعر أقل من سعر التوازن P * ينتج عنه ضغط تصاعدي على الأسعار وأي سعر أعلى من سعر التوازن P * ينتج عنه ضغط هبوطي على الأسعار ، فلا ينبغي أن يكون مفاجئًا أن السعر المستدام الوحيد في السوق هو P * عند تقاطع العرض والطلب.

هذا السعر مستدام لأنه ، عند P * ، الكمية التي يطلبها المستهلكون تساوي الكمية التي يوفرها المنتجون ، لذلك يمكن لأي شخص يريد شراء السلعة بسعر السوق السائد القيام بذلك ولا يتبقى أي شيء من السلعة.


مشكلة الجاذبية N-Body (الكلاسيكية)

التطور التصادمي

ضع في اعتبارك ملفًا منفردًا ن -نظام الجسم ، الذي من المفترض في البداية أن يُعطى بواسطة محلول توازن كروي متماثل من eqns [6] و [7] ، مثل eqn [8]. تنخفض درجة الحرارة مع زيادة نصف القطر ، ويسبب الجاذبية الحرارية الجاذبية "انهيار" اللب ، الذي يصل إلى كثافة عالية للغاية في وقت محدد.(يحدث هذا الانهيار على مقياس زمني طويل لاسترخاء الجسمين ، وبالتالي فهو ليس الانهيار السريع ، على مقياس زمني للسقوط الحر ، وهو ما يوحي به الاسم بالأحرى).

في كثافات عالية بما فيه الكفاية ، يصبح الجدول الزمني لتفاعلات الأجسام الثلاثة منافسًا. هذه تخلق أزواجًا مرتبطة ، ويزيل الجسم الثالث الطاقة الزائدة. من وجهة نظر وظيفة توزيع الجسيم الواحد ، F، هذه التفاعلات طاردة للحرارة ، مما يؤدي إلى توسع وتبريد المناطق المركزية عالية الكثافة. يؤدي هذا الانعكاس في درجة الحرارة إلى دفع الهروب الحراري الجاذبية إلى الاتجاه المعاكس ، ويتمدد القلب ، حتى يؤدي التلامس مع الغلاف البارد للنظام إلى استعادة ملف تعريف درجة الحرارة الطبيعي. يستأنف الانهيار الأساسي مرة أخرى ، ويؤدي إلى سلسلة فوضوية من التمدد والتقلصات ، تسمى التذبذبات الحرارية الجاذبية ( الشكل 4 ).

الشكل 4. التذبذبات الحرارية الجوفية في ن- نظام مع ن = 65536. تم رسم الكثافة المركزية كدالة للوقت بوحدات مثل t cr = 2 2. (المصدر: Baumgardt H و Hut P و Makino J ، بإذن.)

تؤدي الإضافة الرتيبة للطاقة خلال المراحل المنهارة إلى توسع علماني للنظام ، وزيادة عامة في جميع النطاقات الزمنية. في كل وقت استرخاء ، يهرب جزء صغير من الجماهير ، وفي النهاية (يُعتقد) يتكون النظام من مجموعة مشتتة من الكتل الفردية غير المقيدة بشكل متبادل ، والثنائيات ، (ويفترض) الأنظمة المستقرة ذات الترتيب الأعلى.

ومن اللافت جدا أن المصير طويل الأمد لأكبر الجاذبية الذاتية نيبدو أن نظام الجسم مرتبط ارتباطًا وثيقًا بمشكلة الأجسام الثلاثة.


1.7: الحركة نحو التوازن - الرياضيات

في القسم السابق ، قمنا بنمذجة السكان بناءً على افتراض أن معدل النمو سيكون ثابتًا. ومع ذلك ، في الواقع هذا ليس له معنى كبير. من الواضح أنه لا يمكن السماح للسكان بالنمو إلى الأبد بنفس المعدل. يحتاج معدل نمو السكان إلى الاعتماد على السكان أنفسهم. بمجرد وصول السكان إلى نقطة معينة ، سيبدأ معدل النمو في الانخفاض ، غالبًا بشكل كبير. يتم إعطاء نموذج أكثر واقعية للنمو السكاني من قبل معادلة النمو اللوجستي. ها هي معادلة النمو اللوجستي.

في معادلة النمو اللوجستي (r ) هو معدل النمو الجوهري وهو نفس (r ) كما في القسم الأخير. بمعنى آخر ، هو معدل النمو الذي سيحدث في غياب أي عوامل محددة. (K ) يسمى إما مستوى التشبع أو ال القدرة على التحمل.

الآن ، زعمنا أن هذا كان نموذجًا أكثر واقعية للسكان. دعونا نرى ما إذا كان هذا صحيحًا في الواقع. للسماح لنا برسم حقل اتجاه ، دعنا نختار رقمين من أجل (r ) و (ك ). سنستخدم (r = frac <1> <2> ) و (K = 10 ). لهذه القيم المعادلة اللوجستية.

إذا كنت بحاجة إلى تجديد معلومات حول رسم حقول الاتجاه ، فارجع وألق نظرة على هذا القسم. لاحظ أولاً أن المشتق سيكون صفراً عند (P = 0 ) و (P = 10 ). لاحظ أيضًا أن هذه هي في الواقع حلول للمعادلة التفاضلية. تسمى هاتان القيمتان حلول التوازن لأنها حلول ثابتة للمعادلة التفاضلية. سنترك باقي التفاصيل حول رسم حقل الاتجاه لك. هذا هو مجال الاتجاه بالإضافة إلى بعض الحلول المرسومة أيضًا.

لاحظ أننا قمنا بتضمين جزء صغير من العناصر السلبية هنا على الرغم من أنها في الحقيقة لا معنى لها لمشكلة سكانية. سيكون سبب ذلك واضحًا في المستقبل. لاحظ أيضًا أن عدد السكان الذين يبلغ عددهم 8 لا يبدو منطقيًا ، لذا دعنا نفترض أن عدد السكان هو بالآلاف أو بالملايين ، لذا فإن الرقم 8 يمثل في الواقع 8000 أو 8000000 فرد من السكان.

لاحظ أنه إذا بدأنا بعدد سكان يساوي صفر ، فلن يكون هناك نمو وسيظل عدد السكان عند الصفر. لذا ، فإن المعادلة اللوجيستية ستكتشف ذلك بشكل صحيح. بعد ذلك ، لاحظ أنه إذا بدأنا بمجموعة سكانية في النطاق (0 & lt P left (0 right) & lt 10 ) ، فسوف ينمو السكان ، لكن ابدأ في الاستقرار بمجرد اقترابنا من 10. إذا بدأنا بعدد سكان يبلغ 10 ، سيبقى عدد السكان عند 10. أخيرًا ، إذا بدأنا بعدد أكبر من 10 ، فسيموت السكان فعليًا حتى نبدأ في الاقتراب من 10 ، وعند هذه النقطة سيبدأ انخفاض عدد السكان في التباطؤ.

الآن ، من وجهة نظر واقعية ، يجب أن يكون هذا منطقيًا. لا يمكن للسكان أن ينمووا إلى الأبد دون قيود. في نهاية المطاف ، سيصل عدد السكان إلى هذا الحجم بحيث لم تعد موارد المنطقة قادرة على الحفاظ على السكان وسيبدأ النمو السكاني في التباطؤ كلما اقترب من هذه العتبة. أيضًا ، إذا بدأت بعدد سكان أكبر مما يمكن أن تتحمله منطقة ما ، فسيكون هناك في الواقع موت حتى نقترب من هذه العتبة.

في هذه الحالة ، يبدو أن هذه العتبة هي 10 ، وهي أيضًا قيمة (K ) لمشكلتنا. يجب أن يشرح ذلك الاسم الذي أطلقناه في البداية (K ). القدرة الاستيعابية أو مستوى التشبع لمنطقة ما هو أقصى عدد مستدام من السكان لتلك المنطقة.

لذا ، فإن المعادلة اللوجيستية ، رغم أنها لا تزال بسيطة للغاية ، تقوم بعمل أفضل بكثير في نمذجة ما سيحدث للسكان.

الآن ، دعنا ننتقل إلى نقطة هذا القسم. المعادلة اللوجستية هي مثال على معادلة تفاضلية مستقلة. المعادلات التفاضلية المستقلة هي معادلات تفاضلية من الشكل.

المكان الوحيد الذي يظهر فيه المتغير المستقل (t ) في هذه الحالة هو المشتق.

لاحظ أنه إذا كان (f left (<> right) = 0 ) لبعض القيمة (y = ) سيكون هذا أيضًا حلاً للمعادلة التفاضلية. تسمى هذه القيم حلول التوازن أو نقاط التوازن. ما نود فعله هو تصنيف هذه الحلول. بالتصنيف نعني ما يلي. إذا بدأت الحلول "بالقرب" من محلول التوازن ، فهل ستبتعد عن محلول التوازن أم نحو حل التوازن؟ عند تصنيف حلول التوازن ، يمكننا بعد ذلك معرفة ما ستفعله جميع الحلول الأخرى للمعادلة التفاضلية على المدى الطويل بمجرد النظر إلى حلول التوازن التي تبدأ بالقرب منها.

إذن ، ماذا نعني بكلمة "قريب"؟ ارجع إلى معادلة اللوجستيات الخاصة بنا.

كما أشرنا ، هناك حلان للتوازن لهذه المعادلة (P = 0 ) و (P = 10 ). إذا تجاهلنا حقيقة أننا نتعامل مع السكان ، فإن هذه النقاط تقسم خط الأعداد (P ) إلى ثلاث مناطق متميزة.

سنقول أن الحل يبدأ "بالقرب" من حل التوازن إذا بدأ في منطقة تقع على جانبي حل التوازن هذا. لذا ، فإن الحلول التي تبدأ "بالقرب" من حل التوازن (P = 10 ) ستبدأ في أي منهما

والحلول التي تبدأ "بالقرب" (P = 0 ) ستبدأ في أي منهما

بالنسبة للمناطق التي تقع بين حلين للتوازن ، يمكننا التفكير في أي حلول تبدأ في تلك المنطقة على أنها تبدأ "بالقرب" من أي من حلي التوازن كما نحتاج إليه.

الآن ، الحلول التي تبدأ "بالقرب" (P = 0 ) تبتعد جميعها عن الحل كلما زاد (t ). لاحظ أن الابتعاد لا يعني بالضرورة أنهم يكبرون بلا قيود بينما يبتعدون. هذا يعني فقط أنهم يبتعدون. الحلول التي تبدأ أكبر من (P = 0 ) تتحرك بعيدًا ولكنها تظل محدودة مع نمو (t ). في الواقع ، يتجهون نحو (P = 10 ).

حلول التوازن التي يتم فيها استدعاء الحلول التي تبدأ "بالقرب منها" وتبتعد عن حل التوازن نقاط التوازن غير المستقرة أو حلول التوازن غير المستقر. لذلك ، بالنسبة إلى معادلتنا اللوجيستية ، (P = 0 ) هو حل توازن غير مستقر.

بعد ذلك ، الحلول التي تبدأ "بالقرب" (P = 10 ) تتحرك جميعها نحو (P = 10 ) مع زيادة (t ). حلول التوازن التي يتم فيها استدعاء الحلول التي تبدأ "بالقرب منها" تتحرك نحو حل التوازن نقاط توازن ثابتة مقاربة أو حلول توازن مستقرة مقاربًا. لذلك ، (P = 10 ) هو محلول توازن مستقر مقاربًا.

هناك تصنيف آخر ، لكنني سأنتظر حتى نحصل على مثال يحدث فيه هذا لتقديمه. لذا ، دعونا نلقي نظرة على مثالين.

أولاً ، أوجد حلول التوازن. هذا بشكل عام سهل بما يكفي للقيام به.

لذا ، يبدو أن لدينا حلين للتوازن. كلاهما (y = -2 ) و (y = 3 ) هما حلان للتوازن. يوجد أدناه رسم تخطيطي لبعض المنحنيات المتكاملة لهذه المعادلة التفاضلية. يمكن لرسم تخطيطي للمنحنيات المتكاملة أو مجالات الاتجاه تبسيط عملية تصنيف حلول التوازن.

من هذا الرسم ، يبدو أن الحلول التي تبدأ "بالقرب" (y = -2 ) تتحرك جميعها نحوها كلما زاد (t ) وهكذا (y = -2 ) هو حل توازن ثابت تقاربيًا والحلول التي ابدأ "بالقرب" (y = 3 ) والجميع يبتعدون عنه كلما زاد (t ) وهكذا (y = 3 ) هو حل توازن غير مستقر.

سيقدم هذا المثال التالي التصنيف الثالث الذي يمكننا تقديمه لحلول التوازن.

حلول التوازن لهذه المعادلة التفاضلية هي (y = -2 ) ، (y = 2 ) ، و (y = -1 ). يوجد أدناه رسم تخطيطي للمنحنيات المتكاملة.

من هذا يتضح (نأمل) أن (y = 2 ) هو حل توازن غير مستقر و (y = -2 ) هو حل توازن مستقر تقاربيًا. ومع ذلك ، يتصرف (y = -1 ) بشكل مختلف عن أي من هذين الأمرين. الحلول التي تبدأ فوقها تتحرك نحو (y = -1 ) بينما الحلول التي تبدأ أدناه (y = -1 ) تتحرك بعيدًا كلما زاد (t ).

في الحالات التي تتحرك فيها الحلول على جانب واحد من محلول التوازن نحو حل التوازن وعلى الجانب الآخر من حل التوازن ، نطلق عليه حل التوازن شبه مستقر.


UW بوثيل الهندسة والرياضيات (بوثل) الهندسة الميكانيكية - UW بوثل

B ME 221 احصائيات (4)
يطبق تحليل المتجهات على توازن أنظمة الجسم الجامدة والأنظمة الفرعية. يتضمن نتائج القوة والعزم ومخططات الجسم الحرة والقوى الداخلية والاحتكاك. يحلل الأنظمة والمكونات الهيكلية والآلية الأساسية. المتطلب السابق: الحد الأدنى من الدرجة 2.0 في أي من STMATH 126 أو MATH 126 بدرجة 2.0 كحد أدنى في أي من B PHYS 121 أو PHYS 121.
اعرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 221

ميكانيكا المواد B ME 222 (4)
يقدم تشوهات المواد الصلبة استجابة للأحمال الخارجية وتأثيرات التشوهات على الثبات والسلوك المادي. يطور العلاقات الأساسية بين الأحمال والضغوط وانحرافات العناصر الهيكلية والآلية مثل القضبان والأعمدة والعوارض. يشمل المختبر. المتطلب السابق: لا يقل عن 2.0 في B ME 221. المقدمة: W.
اعرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 222

بي مي 223 ديناميكس (4) جون دبليو بريدج ، جونج يون
حركيات الجسيمات وأنظمة الجسيمات والأجسام الصلبة المتحركة حركية الأطر المرجعية للجسيمات وأنظمة الجسيمات وتوازن الأجسام الصلبة والطاقة والزخم الخطي والزخم الزاوي. يشمل المختبر. المتطلب السابق: لا يقل عن 2.0 في B ME 221. المقدمة: Sp.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 223

B ME 293 موضوعات خاصة في الهندسة الميكانيكية (1-5 ، بحد أقصى 15)
يستكشف مواضيع خاصة في الهندسة الميكانيكية.
اعرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 293

الندوة التمهيدية B ME 301 في الهندسة الميكانيكية (1)
يستعرض برنامج درجة الهندسة الميكانيكية في UW Bothell ، مع التركيز على ميزاته الفريدة وكذلك ربط هيكله وقصده بالهندسة الميكانيكية كمهنة. الائتمان / لا الائتمان فقط. عرضت: W.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 301

B ME 315 مقدمة للنمذجة ثلاثية الأبعاد والتصميم والتحليل (4) VLPA جونغ يون
يقوم المستكشفون بتصميم وتمثيل وتحليل الكائنات ثلاثية الأبعاد باستخدام الأساليب الحسابية والتصميم بمساعدة الكمبيوتر (CAD). تشمل الموضوعات رسم تخطيطي بدون استخدام اليد الأمثل لتوثيق معلمات التصميم وإيصال معلومات التصميم باستخدام المعايير والممارسات الهندسية المناسبة. المتطلب السابق: درجة 2.0 كحد أدنى في B ME 222. المقدمة: WSp.
اعرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 315

الديناميكا الحرارية B ME 331 (4) ستيفن كولينز
القانونان الأول والثاني للديناميكا الحرارية وتطبيقهما في الأنظمة المفتوحة والمغلقة. يتضمن الخصائص الديناميكية الحرارية للمواد ، قوانين الغاز ، الإنتروبيا ، الطاقة ودورات التبريد. المتطلب السابق: الحد الأدنى من الدرجة 1.7 في B CHEM 143 B CHEM 144 STMATH 307 و B PHYS 121.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 331

ميكانيكا الموائع B ME 332 (4) شيما عبادي وستيفن كولينز
مقدمة في خصائص الموائع ، الهيدروستاتيك ، انتقال الزخم في تدفق السوائل الداخلي والخارجي ، تحليل أنظمة تدفق السوائل ، وديناميكيات الموائع. المتطلب السابق: الحد الأدنى من 1.7 في B ME 331 والحد الأدنى من 1.7 في STMATH 324 المقدمة: W.
اعرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 332

نقل الحرارة B ME 333 (4) شيما عبادي وستيفن كولينز
مقدمة في نقل الحرارة بالتوصيل ، والحمل الطبيعي والقسري ، والإشعاع ، ونقل الحرارة في التدفق الداخلي والخارجي ، والمبادلات الحرارية. المتطلب السابق: لا يقل عن 1.7 في B ME 332. المقدمة: Sp.
اعرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 333

معمل السوائل الحرارية B ME 334 (2)
تم تصميم التجارب المعملية الأسبوعية لتعريف الطلاب بأساسيات التجريب ، والأجهزة ، وجمع البيانات وتحليلها ، وتحليل الأخطاء ، وكتابة التقارير ، ومهارات العمل الجماعي. ستشمل الموضوعات ميكانيكا الموائع وانتقال الحرارة. المتطلبات الأساسية: الحد الأدنى من الدرجة 1.7 في B ME 331 كحد أدنى للدرجة 1.7 في B ME 332 والحد الأدنى للدرجة 1.7 في B ME 333 المقدم: A.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 334

B ME 341 تصميم الأنظمة الميكانيكية I (4) جون دبليو بريدج
التحليل الميكانيكي واختيار المواد لمكونات الماكينة. تشمل الموضوعات خصائص المواد ، وتحليل الأحمال ، والقوة المتقدمة للمواد ، والتأثير ، وميكانيكا الكسر ، والتعب والموثوقية. تم تقديم منهجية اختيار المواد التفصيلية. عمليات التصنيع المصاحبة. المتطلب السابق: الحد الأدنى من الدرجة 1.7 في B ENGR 320 والحد الأدنى من الدرجة 1.7 في B ME 223 المقدم: WSp.
اعرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 341

B ME 342 تصميم الأنظمة الميكانيكية 2 (4) جونغ يون ، جسر جون دبليو
يتم تقديم التقنيات التحليلية لتصميم وتحليل مجموعة متنوعة من المكونات الميكانيكية بما في ذلك المثبتات والمفاصل الملحومة والينابيع والمحامل والقوابض والمكابح والأعمدة والتروس. وشملت اعتبارات اختيار المواد. يتم تقديم مبادئ التشحيم من خلال تحليل المحمل. المتطلب السابق: الحد الأدنى لدرجة 1.7 في B ME 341. المقدمة: SpS.
اعرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 342

B ME 343 تصميم الأنظمة الميكانيكية الثالث (5) جونغ يون
يغطي نمذجة النظام الديناميكي (الأنظمة الميكانيكية والكهربائية والسوائل والترموس) تحليل المذبذب الخطي (تحويلات لابلاس ، وتحويلات فورييه ، ومشكلات القيمة الذاتية ، والتحليل النموذجي) مواصفات أداء أنظمة التحكم في التغذية الراجعة وتصميمات وحدة التحكم لأنظمة الإخراج الأحادي الإدخال. يشمل الخبرات المعملية. المتطلب السابق: الحد الأدنى لدرجة 1.7 في كل من B ME 342 و B ME 315.
اعرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 343

أساسيات التصنيع بالقطع B ME 345 (4)
مقدمة لمبادئ وعمليات إزالة المعادن مع التركيز على عمليات الحفر والطحن والمخرطة والنشر والطحن. يمكن تناول B ME 331 بشكل متزامن.
اعرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 345

B ME 410 القوى والآلات الكهربائية (5) S. كولينز
أساسيات الدوائر والمكونات الكهربائية وتطبيقاتها في المحركات والمولدات والآلات الأخرى المستخدمة في التطبيقات الصناعية. يشمل المختبر. المتطلب السابق: الحد الأدنى من الدرجة 1.7 في كل من STMATH 126 و B PHYS 122. المقدمة: أ.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 410

B ME 431 الهندسة الصوتية: الأساسيات (4)
يغطي الفيزياء الأساسية لأنظمة الموجات فوق الصوتية التشخيصية والعلاجية وتأثيراتها الجسدية. يقدر معلمات الموجات فوق الصوتية المهمة باستخدام المحاكاة العددية والتقنيات الجبرية والقياسات المختبرية. المتطلب السابق: الحد الأدنى من الدرجة 2.0 في كل من B ENGR 310 و B PHYS 123.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 431

B ME 432 الهندسة الصوتية: الأجهزة الطبية (4)
تحليل التطبيقات المتقدمة لأنظمة الموجات فوق الصوتية التشخيصية والعلاجية للأمطار والأنسجة المحيطية. التقدير الجبري للقوى الفيزيائية التي تمارسها الموجات فوق الصوتية والاستجابات البيولوجية المرتبطة بها. مراجعة الأدبيات لتطبيق الموجات فوق الصوتية على المخ والأنسجة الطرفية.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 432

السوائل الحرارية المتقدمة B ME 433 (4)
يستكشف الموضوعات المتقدمة في الديناميكا الحرارية ، ونقل الحرارة ، وميكانيكا الموائع ، بما في ذلك على سبيل المثال لا الحصر ، التدفئة والتهوية وتكييف الهواء ، والاحتراق ، وميكانيكا السوائل المضغوطة ، وتوليد الطاقة المتقدمة ، والأساليب الحسابية ، والطاقة المتجددة. المتطلبات الأساسية: المتطلبات الأساسية: الحد الأدنى من الدرجة 2.0 في B ME 333 الموصى به: B ME 333
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 433

B ME 435 مقدمة في التدفئة والتهوية وتكييف الهواء (4)
أساسيات التدفئة والتهوية وتكييف الهواء (HVAC) للحفاظ على المباني مريحة وصحية لشاغليها مع تقليل التأثير البيئي. تشمل الموضوعات: خصائص احتراق مخاليط الهواء والماء ، ودورات التبريد ، وحسابات حمل التدفئة والتبريد ، ومعدات التدفئة والتهوية وتكييف الهواء ، وتصميم أنظمة التدفئة والتهوية وتكييف الهواء للمباني المستدامة. المتطلب السابق: لا يقل عن 2.0 في B ME 333.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 435

B ME 440 السلوك الميكانيكي للمواد (4)
تحقيق شامل في الأساسيات الأساسية لتشوه وفشل المواد الهندسية. يتم التركيز على البنية البلورية والجوانب الهيكلية المجهرية المتعلقة بآليات التشوه والتقوية والكسر. تتم أيضًا مناقشة معالجة المواد فيما يتعلق بالتحكم في البنية المجهرية لتحقيق الخواص الميكانيكية المرغوبة للتطبيقات الهندسية. محاضرة مع تمارين معملية داخل الفصل متضمنة. المتطلب السابق: B ME 341. المعروض: WSp.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 440

B ME 446 الطاقة المستدامة (4) ستيفن كولينز
يدرس مبادئ وتقنيات تحويل الطاقة وتطبيقها في أنظمة توليد الطاقة المستدامة. تشمل الموضوعات: الوقود ودورات الاحتراق المركبة الطاقة المتجددة خلايا وقود الطاقة النووية وتخزين الطاقة. كما يتم النظر في الآثار الاقتصادية والبيئية والمتعلقة بالسياسات لتقنيات الطاقة.المتطلب السابق: حد أدنى 2.0 في B ME 331.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 446

B ME 450 مقدمة في هندسة وعلوم المحيطات (4) NW حسين عبادي
مقدمة في المفاهيم الأساسية لعلوم وهندسة المحيطات من خلال الأنشطة القائمة على المشاريع. تشمل الموضوعات الإحصاء الهيدروستاتيكي ، والديناميكا المائية ، ومستشعرات المحيطات ، والصوتيات تحت الماء ، والسونار ، والجيولوجيا البحرية ، ومركبات المحيطات ، والنظام البيئي البحري ، والثدييات البحرية ، والطاقة ، والتلوث ، والسياسة. المتطلب السابق: لا يقل عن 2.0 في B ENGR 310
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 450

B ME 460 مقدمة في الميكاترونكس [4) جونغ يون
يستكشف المجال متعدد التخصصات في الميكاترونكس ، والذي يتضمن مزيجًا من الهندسة الميكانيكية والإلكترونيات وهندسة الكمبيوتر وهندسة التحكم. تشمل الموضوعات مراجعة أساسيات دوائر لغات البرمجة الأساسية ومكوناتها بنية الحواسيب الصغيرة وتطبيقاتها المشغلات / أجهزة الاستشعار الكهروميكانيكية. المتطلب السابق: الحد الأدنى من 2.0 في B ME 343 موصى به: دورة برمجة الكمبيوتر على مستوى الكلية.
اعرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 460

B ME 481 Citizen Engineer (5) I & ampS، DIV ستيفن كولينز
يدرس مسؤوليات المهندس في التطبيق الأخلاقي للتكنولوجيا في مجتمعات متنوعة ومترابطة وعالمية. تُستخدم الحالات التاريخية والمعاصرة للتحقيق في الآثار الاجتماعية والثقافية للممارسات الهندسية ودور المهندسين في التنمية المحلية والوطنية والعالمية. المتطلب السابق: حد أدنى 2.0 في B ME 333 و 2.0 في B ME 342 كحد أدنى.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 481

بي ME 482 مهندس محترف (5) I & ampS ستيفن كولينز
موضوعات في الممارسة المهنية للهندسة ، بما في ذلك تخطيط مشروع تطوير المنتجات الاقتصادية الهندسية وإدارة القيادة والتنظيم والمسائل القانونية والتنظيمية. يتضمن مراجعة لامتحان أساسيات الهندسة (FE) المطلوب كخطوة أولى نحو الترخيص المهني. المتطلب السابق: لا يقل عن 1.7 في B ME 481.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 482

B ME 483 أساسيات الإعداد للاختبار الميكانيكي الهندسي (2)
يدعم تخصصات الهندسة الميكانيكية في بدء التحضير لامتحان أساسيات الهندسة (FE) ، وهي الخطوة الأولى في أن تصبح مهندسًا محترفًا مرخصًا (PE). يراجع الطلاب الموضوعات التي يتم تناولها في الامتحان ويمارسون حل المشكلات سريع الخطى في ظل ظروف مشابهة لتلك الموجودة في الاختبار. المتطلبات الأساسية: الدرجة 2.0 كحد أدنى في B ME 343. الائتمان / عدم الاعتماد فقط.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 483

موضوعات خاصة متقدمة في الهندسة الميكانيكية B ME 493 (1-5 ، بحد أقصى 15)
يستكشف مواضيع خاصة في الهندسة الميكانيكية.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 493

B ME 494 الابتكار والتصميم وريادة الأعمال (5) I & ampS
يستكشف الجوانب غير الفنية للأعمال ذات الصلة بالهندسة. المركزية هي فحص احتياجات الناس (كأفراد كأفراد في المجتمع) الذي يوجه اختراع وتصميم وبناء الأجهزة والشركات التي تلبي تلك الاحتياجات. تشمل الموضوعات: بيانات الاحتياجات ، وتحليل السوق ، والتفكير ، وبراءات الاختراع ، وتطوير خطة العمل. معروض: أ.
اعرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 494

B ME 495 مشروع Capstone في الهندسة الميكانيكية 1 (2) بيار د مراد
مشروع فريق صغير يستهدف مشاكل التصميم المفتوحة في الهندسة الميكانيكية. يمكن إجراؤه كجزء من تدريب صناعي مع الإشراف المباشر على كلية الهندسة الميكانيكية والراعي. المتطلب السابق: الحد الأدنى لدرجة .7 في كل من B ME 333 B ME 343 و B EE 371 / CSS 371.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 495

مشروع كابستون B ME 496 في الهندسة الميكانيكية 2 (3) بيار د مراد
مشروع فريق صغير يستهدف مرحلة البناء من مشاكل التصميم المفتوحة في الهندسة الميكانيكية. يمكن إجراؤها كجزء من تدريب صناعي بإشراف مباشر من هيئة التدريس والراعي في الشرق الأوسط. قد يشمل طلاب التخصصات التكميلية. المتطلب السابق: B ME 495 والحد الأدنى من المعدل التراكمي 2.0. معروض: Sp.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 496

B ME 498 دراسة مستقلة في الهندسة الميكانيكية (1-5 ، بحد أقصى 10)
دراسة مستقلة حول موضوع أو مجال يتفق عليه المعلم والطالب.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 498

499 B ME 499 بحث جامعي في الهندسة الميكانيكية (1-5 ، بحد أقصى 10)
بحث جامعي حول موضوع أو مجال يتفق عليه المعلم والطالب.
عرض تفاصيل الدورة في MyPlan: B ME 499


تفاعلات طور الغاز

ردود الفعل لا تتوقف عندما تصل إلى التوازن. لكن التفاعلات الأمامية والعكسية متوازنة عند التوازن ، لذلك لا يوجد تغيير صاف في تركيزات المواد المتفاعلة أو المنتجات ، ويبدو أن التفاعل يتوقف على المقياس العياني. التوازن الكيميائي هو مثال على أ متحرك التوازن بين القوى المتعارضة وردود الفعل الأمامية والعكسية وليس توازنًا ثابتًا.

دعونا نلقي نظرة على النتائج المنطقية لافتراض أن رد الفعل بين ClNO2 و NO يصل في النهاية إلى التوازن.

تكون معدلات التفاعلات الأمامية والعكسية هي نفسها عندما يكون هذا النظام في حالة توازن.

يؤدي استبدال قوانين المعدل للتفاعلات الأمامية والعكسية في هذه المساواة إلى النتيجة التالية.

لكن هذه المعادلة صالحة فقط عندما يكون النظام في حالة توازن ، لذلك يجب علينا استبدال (ClNO2)، (لا لا2) ، ومصطلحات (ClNO) برموز تشير إلى أن التفاعل في حالة توازن. وفقًا للاتفاقية ، نستخدم الأقواس المربعة لهذا الغرض. لذلك يجب كتابة المعادلة التي تصف التوازن بين التفاعلات الأمامية والعكسية عندما يكون النظام في حالة توازن على النحو التالي.

إعادة ترتيب هذه المعادلة يعطي النتيجة التالية.

منذ كF و كص هي ثوابت ، نسبة كF مقسومة على كص يجب أن يكون أيضًا ثابتًا. هذه النسبة هي توازن ثابت لرد الفعل ، كج. تُعرف نسبة تراكيز المواد المتفاعلة والمنتجات باسم تعبير ثابت التوازن.

بغض النظر عن تركيبة تركيزات المواد المتفاعلة والمنتجات التي نبدأ بها ، سيصل التفاعل إلى التوازن عندما تكون نسبة التركيزات المحددة بواسطة التعبير الثابت للتوازن مساوية لثابت التوازن للتفاعل. يمكننا البدء بالكثير من ClNO2 وقليل جدًا من NO ، أو الكثير من NO والقليل جدًا من ClNO2. لا يهم. عندما يصل التفاعل إلى التوازن ، فإن العلاقة بين تركيزات المواد المتفاعلة والمنتجات الموصوفة في التعبير الثابت للتوازن ستكون دائمًا هي نفسها. عند 25 درجة مئوية ، يصل هذا التفاعل دائمًا إلى التوازن عندما تكون نسبة هذه التركيزات 1.3 × 10 4.

الإجراء المستخدم في هذا القسم لاشتقاق تعبير ثابت التوازن يعمل فقط مع التفاعلات التي تحدث في خطوة واحدة ، مثل نقل ذرة الكلور من ClNO2 لا. تتخذ العديد من التفاعلات عددًا من الخطوات لتحويل المواد المتفاعلة إلى منتجات. لكن أي تفاعل يصل إلى التوازن ، مهما كان بسيطًا أو معقدًا ، له تعبير ثابت للتوازن يفي بالقواعد الواردة في القسم التالي.

  • على الرغم من أن التفاعلات الكيميائية التي تصل إلى التوازن تحدث في كلا الاتجاهين ، يُفترض أن الكواشف الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة هي & quot المنتجات & quot للتفاعل وأن الكواشف الموجودة على الجانب الأيسر من المعادلة يفترض أنها & quot
  • تُكتب نواتج التفاعل دائمًا فوق الخط في البسط.
  • المواد المتفاعلة تكتب دائمًا أسفل الخط في المقام.
  • بالنسبة للأنظمة المتجانسة ، يحتوي التعبير الثابت للتوازن على مصطلح لكل مادة متفاعلة وكل ناتج من التفاعل.
  • بسط التعبير الثابت للتوازن هو نتاج تركيزات & quotproducts & quot للتفاعل المرفوع إلى قوة مساوية لمعامل هذا المكون في المعادلة المتوازنة للتفاعل. مقام التعبير الثابت للتوازن هو ناتج تراكيز & quot ؛ & quot ؛ مرفوعة إلى قوة مساوية لمعامل هذا المكون في المعادلة المتوازنة للتفاعل.

اكتب التعبيرات الثابتة للتوازن للتفاعلات التالية.

تم اختيار تفاعلات الطور الغازي لهذه المقدمة في علم الحركة والتوازن لأنها من بين أبسط التفاعلات الكيميائية. قد يتساءل البعض ، مع ذلك ، عن سبب التعبير عن التعبيرات الثابتة للتوازن في التمرين السابق من حيث تركيزات الغازات بوحدات المولات لكل لتر.

تم استخدام وحدات التركيز للتأكيد على العلاقة بين التوازن الكيميائي ومعدلات التفاعلات الكيميائية ، والتي يتم الإبلاغ عنها من حيث تركيزات المواد المتفاعلة والمنتجات. تتم الإشارة إلى اختيار الوحدات هذا عن طريق إضافة علامة & quotج & مثل إلى رموز ثوابت التوازن ، لتوضيح أنه تم حسابها من تركيزات مكونات التفاعل.

ماذا يحدث لمقدار ثابت التوازن لرد فعل عندما ندير المعادلة؟ ضع في اعتبارك رد الفعل التالي ، على سبيل المثال.

يتم كتابة التعبير الثابت للتوازن لهذه المعادلة على النحو التالي.

نظرًا لأن هذا رد فعل عكسي ، يمكن أيضًا تمثيله بمعادلة مكتوبة في الاتجاه المعاكس.

يتم الآن كتابة التعبير الثابت للتوازن على النحو التالي.

كل تعبير من تعبيرات التوازن الثابت هو معكوس الآخر. لذلك يمكننا إجراء الحساب كج بقسمة كج في 1.

يمكننا أيضًا حساب ثوابت التوازن من خلال دمج تفاعلين أو أكثر بقيمة كج معروف. افترض ، على سبيل المثال ، أننا نعرف ثوابت التوازن لتفاعلات الطور الغازي التالية عند 200 درجة مئوية.

يمكننا دمج هذه التفاعلات للحصول على معادلة شاملة للتفاعل بين N2 و O2 لتشكيل NO2.

ن2(ز) + ا2(ز) 2 لا (ز)
+ 2 لا (ز) + ا2(ز) 2 لا2(ز)
______________________________________________________________
ن2(ز) + 2 س2(ز) 2 لا2(ز)

من السهل إظهار أن التعبير الثابت للتوازن للتفاعل الكلي يساوي ناتج التعبيرات الثابتة للتوازن للخطوتين في هذا التفاعل.

وبالتالي ، فإن ثابت التوازن للتفاعل الكلي يساوي ناتج ثوابت التوازن للخطوات الفردية.

لدينا نموذج يصف ما يحدث عندما يصل التفاعل إلى التوازن: على المستوى الجزيئي ، يكون معدل التفاعل الأمامي مساويًا لمعدل التفاعل العكسي. نظرًا لأن التفاعل يسير في كلا الاتجاهين بنفس المعدل ، فلا يوجد تغيير واضح في تركيزات المواد المتفاعلة أو المنتجات على المقياس العياني على مستوى الأجسام المرئية بالعين المجردة. يمكن أيضًا استخدام هذا النموذج للتنبؤ بالاتجاه الذي يجب أن يتحول فيه التفاعل للوصول إلى التوازن.

إذا كانت تركيزات المواد المتفاعلة كبيرة جدًا بحيث لا يكون التفاعل في حالة توازن ، فسيكون معدل التفاعل الأمامي أسرع من التفاعل العكسي ، وسيتم تحويل بعض المواد المتفاعلة إلى نواتج حتى يتحقق التوازن. على العكس من ذلك ، إذا كانت تركيزات المواد المتفاعلة صغيرة جدًا ، فإن معدل التفاعل العكسي سوف يتجاوز معدل التفاعل الأمامي ، وسيحول التفاعل بعض المنتجات الزائدة إلى مواد متفاعلة حتى يصل النظام إلى التوازن.

يمكننا تحديد الاتجاه الذي يجب أن يتحول فيه رد الفعل للوصول إلى التوازن عن طريق حساب حاصل رد الفعل (سج) للتفاعل. يتم تعريف حاصل التفاعل على أنه ناتج تركيزات نواتج التفاعل مقسومًا على ناتج تركيز المواد المتفاعلة في أي وقت.

لتوضيح كيفية استخدام حاصل التفاعل ، دعنا نفكر في تفاعل الطور الغازي التالي.

يتم كتابة التعبير الثابت للتوازن لهذا التفاعل على النحو التالي.

عن طريق القياس ، يمكننا كتابة التعبير عن حاصل التفاعل على النحو التالي.

سج يمكن أن تأخذ أي قيمة بين الصفر واللانهاية. إذا كان النظام يحتوي على قدر كبير من HI وقليل جدًا من H2 و انا2، حاصل رد الفعل كبير جدًا. إذا كان النظام يحتوي على القليل نسبيًا من HI وقدر كبير من H2 و انا2، حاصل رد الفعل صغير جدًا.

هناك ثلاثة احتمالات في أي لحظة.

1. سج أصغر من كج. يحتوي النظام على الكثير من المواد المتفاعلة وليس منتجًا كافيًا ليكون في حالة توازن. قيمة ال سج يجب أن يزداد من أجل أن يصل التفاعل إلى التوازن. وبالتالي ، يجب أن يحول التفاعل بعض المواد المتفاعلة إلى نواتج للوصول إلى التوازن.

2. سج يساوي كج. إذا كان هذا صحيحًا ، يكون التفاعل في حالة توازن.

3. سج أكبر من كج. يحتوي النظام على الكثير من المنتجات ولا توجد مادة متفاعلة كافية لتحقيق التوازن. قيمة ال سج يجب أن يصبح أصغر قبل أن يصل التفاعل إلى التوازن. وبالتالي ، يجب أن يحول التفاعل بعض المنتجات إلى مواد متفاعلة للوصول إلى التوازن.

افترض أن تركيزات H.2، أنا2، ويمكن قياس HI للتفاعل التالي في أي وقت.

لكل من مجموعات التركيزات التالية ، حدد ما إذا كان التفاعل في حالة توازن. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فحدد في أي اتجاه يجب أن تتجه للوصول إلى التوازن.

الحجم النسبي لـ سج و كج للتفاعل يخبرنا ما إذا كان التفاعل في حالة توازن في أي لحظة من الزمن. إذا لم يكن كذلك ، فإن الحجم النسبي لـ سج و كج أخبرنا بالاتجاه الذي يجب أن يتحول فيه التفاعل للوصول إلى التوازن. نحتاج الآن إلى طريقة للتنبؤ بالمدى الذي يجب أن يذهب إليه رد الفعل للوصول إلى التوازن. افترض أنك تواجه المشكلة التالية.

ثابت التوازن لهذا التفاعل هو 0.030 عند 250 درجة مئوية بافتراض أن التركيز الأولي لـ PCl5 0.100 مول لكل لتر ولا يوجد PCl3 أو Cl2 في النظام عندما نبدأ ، دعونا نحسب تركيزات PCl5، PCl3، و Cl2 في التوازن.

تتضمن الخطوة الأولى نحو حل هذه المشكلة تنظيم المعلومات بحيث توفر أدلة حول كيفية المتابعة. تحتوي المشكلة على أربعة أجزاء من المعلومات: (1) معادلة متوازنة ، (2) ثابت توازن للتفاعل ، (3) وصف للشروط الأولية ، و (4) إشارة إلى الهدف من حساب تركيزات التوازن من المكونات الثلاثة للتفاعل.

يوفر التنسيق التالي طريقة مفيدة لتلخيص هذه المعلومات.

نبدأ بالمعادلة المتوازنة وثابت التوازن للتفاعل ثم نضيف ما نعرفه عن التركيزات الأولية والتوازن للمكونات المختلفة للتفاعل. في البداية ، تحتوي القارورة على 0.100 مول لكل لتر من PCl5 ولا يوجد PCl3 أو Cl2. هدفنا هو حساب تركيزات التوازن لهذه المواد الثلاث.

قبل أن نفعل أي شيء آخر ، علينا أن نقرر ما إذا كان التفاعل في حالة توازن. يمكننا القيام بذلك عن طريق مقارنة حاصل رد الفعل للظروف الأولية مع ثابت التوازن للتفاعل.

على الرغم من أن ثابت التوازن صغير (كج = 3.0 × 10 -2) ، يكون حاصل التفاعل أصغر (سج = 0). السبيل الوحيد لهذا التفاعل للوصول إلى التوازن هو لبعض من PCl5 لتتحلل إلى PCl3 و Cl2.

نظرًا لأن التفاعل ليس في حالة توازن ، هناك شيء واحد مؤكد هو تركيزات PCl5، PCl3، و Cl2 سوف يتغير كل رد فعل يأتي إلى التوازن. لأن رد الفعل يجب أن ينتقل إلى اليمين للوصول إلى التوازن ، فإن PCl5 سيصبح التركيز أصغر ، في حين أن PCl3 و Cl2 سيصبح التركيز أكبر.

للوهلة الأولى ، يبدو أن لهذه المشكلة ثلاثة مجاهيل: تركيزات التوازن لـ PCl5، PCl3، و Cl2. نظرًا لأنه من الصعب حل مشكلة في ثلاثة مجاهيل ، يجب أن نبحث عن العلاقات التي يمكن أن تقلل من تعقيد المشكلة. تتمثل إحدى طرق تحقيق هذا الهدف في النظر إلى العلاقة بين التغييرات التي تحدث في تركيزات PCl5، PCl3، و Cl2 عندما يقترب رد الفعل من التوازن.

احسب الزيادة في PCl3 و Cl2 التركيزات التي تحدث عندما يأتي التفاعل التالي إلى التوازن إذا كان تركيز PCl5 ينخفض ​​بمقدار 0.042 مول لكل لتر.

هناك علاقة بسيطة بين تغيير في التركيزات من المكونات الثلاثة للتفاعل عندما يتعلق الأمر بالتوازن بسبب القياس المتكافئ للتفاعل.

قد يكون من المفيد أن يكون لديك رمز يمثل التغيير الذي يحدث في تركيز أحد مكونات التفاعل أثناء انتقاله من الظروف الأولية إلى التوازن. أ وظيفة الدولة هي خاصية لنظام تعتمد قيمته فقط على حالة النظام. يتم تحديد التغيير في قيمة دالة الحالة بالمعادلة التالية.

يمكننا توسيع هذه الحجة إلى مناقشات التفاعلات الكيميائية التي تصل إلى التوازن من خلال تعريف (X) كحجم التغيير الذي يحدث في تركيز X عندما يأتي رد الفعل إلى التوازن. يمكننا تحديد (PCl5) ، على سبيل المثال ، كحجم التغيير في تركيز PCl5 يحدث عندما يتحلل هذا المركب ليشكل PCl3 و Cl2.

(PCl5) = (PCl5) - [PCl5]
PCl5 مستهلك
كرد فعل
تاتي الى
حالة توازن
مبدئي
تركيز
تركيز
في
حالة توازن

بإعادة ترتيب هذه المعادلة ، نجد أن تركيز PCl5 عند التوازن يساوي التركيز الأولي لـ PCl5 ناقص كمية PCl5 تستهلك عندما يأتي التفاعل إلى التوازن.

[PCl5] = (PCl5) - (PCl5)
تركيز
في
حالة توازن
مبدئي
تركيز
PCl5 مستهلك
كرد فعل
تاتي الى
حالة توازن

يمكننا بعد ذلك تحديد (PCl3) و (Cl2) مثل التغييرات التي تحدث في PCl3 و Cl2 التركيزات عندما يأتي التفاعل إلى التوازن. ستكون تركيزات كلتا هاتين المادتين عند التوازن أكبر من تركيزاتهما الأولية.

سيكون حجم التغييرات في تركيزات هذه المواد الثلاثة عندما يصل التفاعل إلى التوازن هو نفسه.بسبب القياس المتكافئ 1: 1: 1 للتفاعل ، فإن حجم التغيير في تركيز PCl5 عندما يصل التفاعل إلى التوازن ، يساوي حجم التغيير في تركيزات PCl3 و Cl2.

لذلك يمكننا إعادة كتابة المعادلات التي تحدد تركيزات التوازن لـ PCl5، PCl3، و Cl2 من حيث مجهول واحد: C.

استبدال ما نعرفه عن التركيزات الأولية لـ PCl5، PCl3، و Cl2 في هذه المعادلات يعطي النتيجة التالية.

يمكننا الآن تلخيص ما نعرفه عن رد الفعل هذا على النحو التالي.

لدينا الآن C واحدة غير معروفة ونحتاج فقط إلى معادلة واحدة لحل مشكلة واحدة غير معروفة. المعادلة الواضحة التي يجب الرجوع إليها هي التعبير الثابت عن التوازن لهذا التفاعل.

استبدال ما نعرفه عن تركيزات توازن PCl5، PCl3، و Cl2 في هذه المعادلة يعطي النتيجة التالية.

يمكن فك هذه المعادلة ثم إعادة ترتيبها للحصول على معادلة تربيعية

والتي يمكن حلها بالصيغة التربيعية.

على الرغم من أن إجابتين من هذه العملية الحسابية قد خرجت ، إلا أن الجذر الموجب فقط هو الذي يكون له معنى مادي ، لأنه لا يمكن أن يكون لدينا تركيز سلبي. وبالتالي ، فإن حجم التغيير في تركيزات PCl5، PCl3، و Cl2 عندما يصل هذا التفاعل إلى التوازن ، يكون 0.042 مول لكل لتر.

إدخال هذه القيمة مرة أخرى في المعادلات التي تحدد تركيزات التوازن لـ PCl5، PCl3، و Cl2 يعطي النتائج التالية.

بمعنى آخر ، أقل بقليل من نصف PCl5 الحالي يتحلل في البداية إلى PCl3 و Cl2 عندما يأتي رد الفعل هذا إلى التوازن.

للتحقق مما إذا كانت نتائج هذا الحساب تمثل قيمًا مشروعة لتركيزات التوازن للمكونات الثلاثة لهذا التفاعل ، يمكننا استبدال هذه القيم في التعبير الثابت للتوازن.

يجب أن تكون هذه النتائج مشروعة لأن ثابت التوازن المحسوب من هذه التركيزات يساوي قيمة كج في المشكلة ، ضمن الخطأ التجريبي.

افترض التركيزات الأولية التالية: (PCl5) = 0.100 م و (Cl2) = 0.020 م. احسب تركيزات التوازن لـ PCl5، PCl3، و Cl2 إذا كان ثابت التوازن لتحلل PCl5 هو 0.030.

افترض أنه طُلب منك حل مشكلة صعبة بعض الشيء.

تتضمن الخطوة الأولى في هذه المشكلة بناء تمثيل للمعلومات في المشكلة.

ثم نقارن حاصل رد الفعل للظروف الأولية مع ثابت التوازن للتفاعل.

لأن التركيزات الأولية لـ SO2 و O2 إذا كانت صفرًا ، يجب أن ينتقل التفاعل إلى اليمين للوصول إلى التوازن. كما هو متوقع ، فإن بعض SO3 يجب أن تتحلل إلى SO2 و O2.

يعتبر القياس المتكافئ لهذا التفاعل أكثر تعقيدًا من التفاعل في القسم السابق ، لكن التغييرات في تركيزات المكونات الثلاثة للتفاعل لا تزال مرتبطة. لكل مولين من SO3 التي تتحلل نحصل على مولين من SO2 ومول واحد من O2، كما هو موضح في الشكل أدناه. يمكننا دمج هذه العلاقة في الشكل الذي استخدمناه سابقًا باستخدام المعادلة المتوازنة للتفاعل كدليل.

يتم تحديد علامات المصطلحات C في هذه المشكلة من خلال حقيقة أن التفاعل يجب أن يتحول من اليسار إلى اليمين للوصول إلى التوازن. تعكس المعاملات في شروط C المعاملات في المعادلة المتوازنة للتفاعل. لأن ضعف عدد مولات SO2 يتم إنتاجها على شكل مولات من O2، والتغير في تركيز SO2 عندما يأتي التفاعل إلى التوازن ، يجب أن يكون حجمه ضعف التغير في تركيز O2. لأن اثنين من الخلد SO3 تستهلك لكل مول من O2 أنتجت التغيير في SO3 يجب أن يكون التركيز ضعف حجم التغيير في تركيز O2.

2 SO3(ز) 2 SO2(ز) + ا2(ز) كج = 1.6 × 10 -10
مبدئي: 0.100 م 0 0
يتغيرون: -2 ج +2 ج + ج
حالة توازن: 0.100 - 2 ج 2 ج ج

استبدال ما نعرفه عن المشكلة في التعبير الثابت للتوازن للتفاعل يعطي المعادلة التالية.

تمثل هذه المعادلة تحديًا أكبر قليلاً للتوسيع ، ولكن يمكن إعادة ترتيبها لإعطاء المعادلة التكعيبية التالية.

4 ج 3 - 6.4 × 10-10 ج 2 + 6.4 × 10-11 درجة مئوية - 1.6 × 10-12 = 0

ومع ذلك ، فإن حل المعادلات التكعيبية أمر صعب. وبالتالي فإن هذه المشكلة هي مثال على عائلة من المشاكل التي يصعب ، إن لم يكن من المستحيل ، حلها بالضبط. يتم حل هذه المشكلات باستراتيجية عامة تتكون من افتراض أو تقريب يحولها إلى مشاكل أبسط. ستوجه القواعد العامة التالية مناقشتنا لطرق التقريب.

1. لا حرج في الافتراض.

2. هناك خطيتان أساسيتان:

(أ) نسيان الافتراضات التي تم إجراؤها.

(ب) نسيان التحقق مما إذا كانت الافتراضات صحيحة.

ما هو الافتراض الذي يمكن القيام به لتبسيط هذه المشكلة؟ دعنا نعود إلى أول شيء فعلناه بعد بناء تمثيل للمشكلة. بدأنا الحساب بمقارنة حاصل التفاعل للتركيزات الأولية مع ثابت التوازن للتفاعل.

ثم خلصنا إلى أن حاصل رد الفعل (سج = 0) أصغر من ثابت التوازن (كج = 1.6 × 10 -10) وقررت أن بعضًا من SO3 يجب أن يتحلل من أجل أن يصل رد الفعل هذا إلى التوازن.

ولكن ماذا عن الأحجام النسبية لحاصل التفاعل وثابت التوازن للتفاعل؟ القيم الأولية لـ سج و كج كلاهما صغير نسبيًا ، مما يعني أن الشروط الأولية قريبة بشكل معقول من التوازن ، كما هو موضح في الشكل أدناه. نتيجة لذلك ، لا يجب أن يذهب رد الفعل بعيدًا للوصول إلى التوازن. لذلك من المعقول أن نفترض أن C صغيرة نسبيًا في هذه المشكلة.

من الضروري فهم طبيعة الافتراض الذي يتم إجراؤه. لا نفترض أن C تساوي صفرًا. إذا فعلنا ذلك ، ستختفي كل المجهول من المعادلة! نحن نفترض فقط أن C صغيرة. صغير جدًا مقارنة بالتركيز الأولي لـ SO3 أنه لا يحدث فرقًا كبيرًا عند طرح 2 ج من هذا الرقم. يمكننا كتابة هذا الافتراض على النحو التالي.

لنعد الآن إلى المعادلة التي نحاول حلها.

من خلال افتراض أن 2 C أصغر بكثير من 0.100 ، يمكننا استبدال هذه المعادلة بالمعادلة التقريبية التالية.

يؤدي توسيع هذا إلى إيجاد معادلة يسهل حلها.

قبل أن نذهب إلى أبعد من ذلك ، علينا أن نتحقق من افتراضنا أن 2 درجة مئوية صغيرة جدًا مقارنة بـ 0.100 بحيث لا تحدث فرقًا كبيرًا عند طرحها من هذا الرقم. هل هذا الافتراض صحيح؟ هل 2 C صغيرة بما يكفي مقارنة بـ 0.100 ليتم تجاهلها؟

نعم ، 2 C هو ترتيب من حيث الحجم أصغر من الخطأ التجريبي المتضمن في قياس التركيز الأولي لـ SO3.

لذلك يمكننا استخدام هذه القيمة التقريبية لـ C لحساب تركيزات التوازن لـ SO3، وبالتالي2، و O2.

التوازن بين SO3 ومخاليط من SO2 و O2 لذلك تفضل بشدة SO3، ليس كذلك2.

يمكننا التحقق من نتائج حساباتنا عن طريق استبدال هذه النتائج في التعبير الثابت للتوازن للتفاعل.

تتوافق قيمة ثابت التوازن الناتج عن هذا الحساب مع القيمة المعطاة في المشكلة ضمن الخطأ التجريبي. افتراضنا أن 2 C صغيرة بشكل مهم مقارنة بالتركيز الأولي لـ SO3 لذلك ، يمكننا أن نشعر بالثقة في الإجابات التي يقدمها.

لم يكن هناك شك حول صحة افتراض أن C كانت صغيرة مقارنة بالتركيز الأولي لـ SO3 في القسم السابق. كانت قيمة C صغيرة جدًا لدرجة أن 2 C كانت ترتيبًا من حيث الحجم أصغر من الخطأ التجريبي المتضمن في قياس التركيز الأولي لـ SO3.

بشكل عام ، يمكننا الحصول على فكرة عما إذا كانت C صغيرة بما يكفي لتجاهلها بمقارنة حاصل التفاعل الأولي مع ثابت التوازن للتفاعل. لو سج و كج كلاهما أصغر بكثير من 1 ، أو كلاهما أكبر بكثير من 1 ، وليس رد الفعل بعيدًا جدًا للوصول إلى التوازن ، والافتراض القائل بأن C صغيرة بما يكفي لتجاهلها ربما يكون شرعيًا.

يثير هذا سؤالًا مثيرًا للاهتمام: كيف نقرر ما إذا كان من الصحيح افتراض أنه صغير بما يكفي ليتم تجاهله؟ تعتمد الإجابة على هذا السؤال على مقدار الخطأ الذي نرغب في السماح به في حساباتنا قبل أن لا نثق في النتائج. كقاعدة عامة ، يفترض الكيميائيون عادة أن C صغيرة بشكل مهمل طالما أن ما يضاف إلى أو يطرح من التركيزات الأولية للمواد المتفاعلة أو المنتجات أقل من 5٪ من التركيز الأولي. أفضل طريقة لتقرير ما إذا كان الافتراض يفي بهذه القاعدة الأساسية في عملية حسابية معينة هو تجربتها ومعرفة ما إذا كانت تعمل أم لا.

تتكون الأمونيا من النيتروجين والهيدروجين عن طريق التفاعل العكسي التالي.

افترض أن التركيز الأولي لـ N2 هو 0.050 مول لكل لتر والتركيز الأولي لـ H2 0.100 مول لكل لتر. احسب تركيزات التوازن للمكونات الثلاثة لهذا التفاعل عند 500 درجة مئوية إذا كان ثابت التوازن للتفاعل عند درجة الحرارة هذه هو 0.040.

من السهل تخيل مشكلة يكون فيها الافتراض بأن C صغيرة مقارنة بالتركيزات الأولية لا يمكن أن يكون صحيحًا. كل ما علينا فعله هو بناء مشكلة يوجد فيها اختلاف كبير بين قيم سج للتركيزات الأولية و كج للتفاعل عند التوازن. ضع في اعتبارك المشكلة التالية ، على سبيل المثال.

ثابت التوازن لهذا التفاعل هو 3 × 10 6 عند 200 درجة مئوية بافتراض تركيزات أولية قدرها 0.100 م لـ NO و 0.050 م لـ O2. دعنا نحسب تركيزات المكونات الثلاثة لهذا التفاعل عند التوازن.

نبدأ ، مرة أخرى ، بتمثيل المعلومات في المشكلة على النحو التالي.

الخطوة الأولى هي نفسها دائمًا: قارن القيمة الأولية لحاصل التفاعل بثابت التوازن.

العلاقة بين حاصل رد الفعل الأولي (سج = 0) وثابت التوازن (كج = 3 × 10 6) يخبرنا بشيء ربما كنا نشتبه فيه بالفعل ، يجب أن يتحول رد الفعل إلى اليمين للوصول إلى التوازن.

قد يتساءل البعض: & quot لماذا تحسب القيمة الأولية لحاصل رد الفعل لهذا التفاعل؟ أليس من الواضح أن رد الفعل يجب أن يتحول إلى اليمين لإنتاج بعض NO على الأقل2؟ & quot نعم ، هو كذلك. لكن حساب قيمة سج لأن التفاعل يفعل أكثر من إخبارنا في أي اتجاه يجب أن يتحول للوصول إلى التوازن. كما أنه يعطينا إشارة إلى المدى الذي يجب أن يذهب إليه رد الفعل للوصول إلى التوازن.

في هذه الحالة، سج أصغر بكثير من كج لرد الفعل الذي يجب أن نستنتج أن الشروط الأولية بعيدة جدًا عن التوازن. لذلك سيكون من الخطأ افتراض أن هذا صغير.

لا يمكننا أن نفترض أن هذا صغير بشكل مهم في هذه المشكلة ، لكن يمكننا إعادة تعريف المشكلة حتى يصبح هذا الافتراض صحيحًا. المفتاح لتحقيق هذا الهدف هو تذكر الظروف التي يمكننا في ظلها افتراض أنها صغيرة بما يكفي ليتم تجاهلها. هذا الافتراض صالح فقط عندما سج من نفس الحجم مثل كج. (متي سج و كج كلاهما أكبر بكثير من 1 أو أصغر بكثير من 1.) يمكننا حل المشاكل التي سج ليس قريبًا من كج من خلال إعادة تعريف الشروط الأولية بحيث سج يصبح قريبًا من كج (انظر الشكل أدناه).

لتوضيح كيف يمكن القيام بذلك ، دعنا نعود إلى المشكلة الواردة في هذا القسم.

ثابت التوازن للتفاعل بين NO و O2 لتشكيل NO2 أكبر بكثير من 1 (كج = 3 × 10 6). هذا يعني أن التوازن يفضل نواتج التفاعل. أفضل طريقة للتعامل مع هذه المشكلة هي دفع رد الفعل قدر الإمكان إلى اليمين ، ثم تركه يعود إلى حالة التوازن. لذلك دعونا نحدد مجموعة وسيطة من الشروط التي تتوافق مع ما سيحدث إذا دفعنا رد الفعل إلى أقصى اليمين.

يمكننا أن نرى إلى أين يقودنا هذا بحساب حاصل رد الفعل للشروط الوسيطة.

أصبح حاصل التفاعل الآن أكبر من ثابت التوازن ، ويجب أن يتحول التفاعل إلى اليسار للوصول إلى التوازن. بعض لا2 يجب أن تتحلل الآن لتشكيل NO و O2يتم تحديد العلاقة بين التغيرات في تركيزات المكونات الثلاثة لهذا التفاعل من خلال القياس المتكافئ للتفاعل ، كما هو موضح في الشكل أدناه.

2 لا (ز) + ا2(ز) 2 لا2(ز) كج = 3 × 10 6
متوسط: 0 0 0.100 م
يتغيرون: +2 ج + ج -2 ج
حالة توازن: 2 ج ج 0.100 - 2 ج

نعوض الآن بما نعرفه عن التفاعل في التعبير الثابت للتوازن.

نظرًا لأن حاصل رد الفعل للظروف الوسيطة وثابت التوازن كلاهما كبير نسبيًا ، يمكننا أن نفترض أن التفاعل ليس له مسافة طويلة للوصول إلى التوازن. بمعنى آخر ، نفترض أن 2 C صغيرة مقارنة بالتركيز المتوسط ​​لـ NO2 واشتق المعادلة التقريبية التالية.

ثم نحل هذه المعادلة للحصول على قيمة تقريبية لـ C.

نتحقق الآن من افتراضنا أن 2 C صغيرة بما يكفي مقارنة بالتركيز المتوسط ​​لـ NO2 ليتم تجاهله.

قيمة 2C أقل من 2٪ من التركيز الوسيط لـ NO2، مما يعني أنه يمكن تجاهله بشكل شرعي في هذا الحساب.

نظرًا لأن التقريب صحيح ، يمكننا استخدام القيمة الجديدة لحساب تركيزات التوازن لـ NO ، NO2، و O2.

نتائج هذا الحساب توفر نظرة ثاقبة في كيمياء الملوثات التي شكلها محرك الاحتراق الداخلي. عندما يحترق خليط من البنزين والهواء ، فإن عنصر N.2 و O2 في الهواء تتفاعل لتشكيل NO ، والتي يمكن أن تتفاعل بعد ذلك مع الأكسجين لتشكيل NO2.

على الرغم من أن ناتج هذه التفاعلات غالبًا ما يوصف بـ NOx للإشارة إلى أنه مزيج من NO و NO2 يشير هذا الحساب إلى أن المنتج المهيمن للتفاعل سيكون NO2، إذا وصل رد الفعل هذا إلى التوازن.

يمكننا التحقق من حساباتنا عن طريق التعويض بهذه التركيزات مرة أخرى في التعبير الثابت للتوازن.

مرة أخرى ، يمكننا قبول صحة الافتراض الذي كان علينا القيام به للحصول على تركيزات التوازن هذه لأن قيمة ثابت التوازن الذي يخرج من هذا الحساب يتوافق مع قيمة كج في المشكلة ، ضمن الخطأ التجريبي.

بشكل عام ، افتراض أن C صغير مقارنة بالتركيزات الأولية للمواد المتفاعلة أو المنتجات يعمل بشكل أفضل في ظل الظروف التالية.

1. متى كج & lt & lt 1 ونقترب من التوازن من اليسار إلى اليمين. (نبدأ بالمواد المتفاعلة الزائدة ونشكل بعض المنتجات).

2. متى كج & gt & gt 1 ونقترب من التوازن من اليمين إلى اليسار. (نبدأ بالمنتجات الزائدة ونشكل بعض المتفاعلات.)

يدرس الكيميائيون عادة اتزان الطور الغازي باتباع الضغوط الجزئية للغازات في التفاعل. يمكننا أن نفهم سبب إمكانية ذلك من خلال إعادة ترتيب معادلة الغاز المثالية لإعطاء العلاقة التالية بين ضغط الغاز وتركيزه بالمولات لكل لتر.

لذلك يمكننا وصف رد الفعل التالي

مع ثابت التوازن المحدد من حيث وحدات التركيز

أو ثابت التوازن المحدد من حيث الضغوط الجزئية.

ما هي العلاقة بين كص و كج لتفاعل الغاز في الطور؟ وفقًا للنسخة المعاد ترتيبها من معادلة الغاز المثالية ، فإن ضغط الغاز يساوي تركيز الغاز مضروبًا في ناتج ثابت الغاز المثالي ودرجة الحرارة بوحدات كلفن.

لذلك يمكننا حساب قيمة كص لرد فعل بضرب كل من الحدود في كج التعبير عن طريق RT.

يعطي تجميع المصطلحات في هذا المثال النتيجة التالية.

بشكل عام ، قيمة كص لرد فعل يمكن حسابه من كج بالمعادلة التالية.

في هذه المعادلة ، ن هو الفرق بين عدد مولات المنتجات وعدد مولات المواد المتفاعلة في المعادلة المتوازنة.

احسب قيمة كص للتفاعل التالي عند 500 درجة مئوية إذا كانت قيمة كج للتفاعل عند درجة الحرارة هذه 0.040.

تقنيات لحل مشاكل العمل باستخدام كص التعبيرات هي نفسها التي تم وصفها لـ كج المشاكل ، باستثناء أن الضغوط الجزئية تستخدم بدلاً من التركيزات لتمثيل كميات المواد الأولية والمنتجات الموجودة في البداية وعند التوازن.

إذا كان ثابت التوازن ثابتًا حقًا ، فلماذا علينا القلق بشأن درجة حرارة التفاعل؟

الجواب بسيط. كلاهما كج و كص للتفاعل ثوابت عند درجة حرارة معينة ، لكنها يمكن أن تتغير مع درجة الحرارة. ضع في اعتبارك التوازن بين NO2 وديميرها ، ن2ا4، فمثلا.

يوضح الشكل أدناه تأثير درجة الحرارة على هذا التوازن. عندما نبرد أنبوبًا مغلقًا يحتوي على NO2 في حمام ثلج جاف / أسيتون عند -78 درجة مئوية ، تكون شدة اللون البني لـ NO2 ينخفض ​​الغاز بشكل ملحوظ. إذا قمنا بتدفئة الأنبوب في حمام ماء ساخن ، يصبح اللون البني أكثر كثافة مما كان عليه في درجة حرارة الغرفة.

يتغير ثابت التوازن لهذا التفاعل مع درجة الحرارة ، كما هو موضح في الجدول أدناه. في درجات الحرارة المنخفضة ، يفضل التوازن ثنائي الديمر ، N2ا4. في درجات الحرارة العالية ، يفضل التوازن NO2. تفسر حقيقة أن ثوابت التوازن تعتمد على درجة الحرارة لماذا قد تجد قيمًا مختلفة لثابت التوازن لنفس التفاعل الكيميائي.


يمكن لنظرية الكم الجديدة أن تفسر تدفق الوقت

لإعادة مراجعة هذه المقالة ، قم بزيارة ملفي الشخصي ، ثم اعرض القصص المحفوظة.

لإعادة مراجعة هذه المقالة ، قم بزيارة ملفي الشخصي ، ثم اعرض القصص المحفوظة.

تبرد القهوة ، وتنهار المباني ، ويتكسر البيض ، وتتلاشى النجوم في عالم يبدو أنه مقدر له أن يتحلل إلى حالة من الكآبة المنتظمة تعرف بالتوازن الحراري. استشهد الفلكي والفيلسوف السير آرثر إدينجتون في عام 1927 بالتشتت التدريجي للطاقة كدليل على "سهم الزمن" الذي لا رجوع فيه.

لكن ما أثار حيرة أجيال من الفيزيائيين ، أن سهم الزمن لا يبدو أنه يتبع القوانين الأساسية للفيزياء ، والتي تعمل بنفس الطريقة مع المضي قدمًا في الزمن والعكس. من خلال هذه القوانين ، بدا أنه إذا عرف شخص ما مسارات جميع الجسيمات في الكون وقلبها حولها ، فإن الطاقة سوف تتراكم بدلاً من أن تتشتت: القهوة الفاترة ستسخن تلقائيًا ، وسترتفع المباني من تحت الأنقاض وسيعود ضوء الشمس إلى الداخل. الشمس.

القصة الأصلية أعيد طبعها بإذن من سايمونز ساينس نيوز، قسم مستقل تحريريًا في SimonsFoundation.org تتمثل مهمتها في تعزيز الفهم العام للعلم من خلال تغطية التطورات والاتجاهات البحثية في الرياضيات والعلوم الفيزيائية وعلوم الحياة.قال ساندو بوبيسكو ، أستاذ الفيزياء في جامعة بريستول في المملكة المتحدة: "في الفيزياء الكلاسيكية ، كنا نكافح". "إذا عرفت المزيد ، هل يمكنني عكس الحدث ، وتجميع كل جزيئات البيضة التي تحطمت؟ لماذا أنا ذو صلة؟ "

بالتأكيد ، كما قال ، سهم الوقت لا يوجهه جهل الإنسان. ومع ذلك ، منذ ولادة الديناميكا الحرارية في خمسينيات القرن التاسع عشر ، كان الأسلوب الوحيد المعروف لحساب انتشار الطاقة هو صياغة التوزيعات الإحصائية للمسارات غير المعروفة للجسيمات ، وإظهار أنه بمرور الوقت ، أدى الجهل إلى تلطيخ الأشياء.

الآن ، يكشف الفيزيائيون عن مصدر أكثر جوهرية لسهم الزمن: الطاقة المشتتة والأجسام تتوازن ، كما يقولون ، بسبب الطريقة التي تتشابك بها الجسيمات الأولية عندما تتفاعل - وهو تأثير غريب يسمى "التشابك الكمي".

قال توني شورت ، عالم فيزياء الكم في بريستول: "أخيرًا ، يمكننا أن نفهم سبب توازن فنجان من القهوة في غرفة". "التشابك يتراكم بين حالة فنجان القهوة وحالة الغرفة."

أفاد بوبيسكو وشورت وزملاؤهم نوح ليندن وأندرياس وينتر عن الاكتشاف في مجلة Physical Review E في عام 2009 ، بحجة أن الكائنات تصل إلى التوازن ، أو حالة من توزيع الطاقة المنتظم ، في غضون فترة زمنية لا حصر لها من خلال أن تصبح متشابكة ميكانيكيًا مع كائناتها محيط. ظهرت نتائج مماثلة لبيتر رايمان من جامعة بيليفيلد في ألمانيا قبل عدة أشهر في رسائل المراجعة الفيزيائية. عززت شورت وأحد المتعاونين الحجة في عام 2012 من خلال إظهار أن التشابك يؤدي إلى موازنة خلال فترة زمنية محدودة. وفي العمل الذي تم نشره على موقع ما قبل الطباعة العلمي arXiv.org في فبراير ، اتخذت مجموعتان منفصلتان الخطوة التالية ، بحساب أن معظم الأنظمة الفيزيائية تتوازن بسرعة ، على نطاقات زمنية تتناسب مع حجمها. قال شورت: "لإثبات أنها ذات صلة بعالمنا المادي الفعلي ، يجب أن تحدث العمليات في نطاقات زمنية معقولة".

أظهرت ورقة مستجمعات المياه كتبها نوح ليندن ، يسارًا ، وساندو بوبيسكو ، وتوني شورت ، وأندرياس وينتر (غير مصور) في عام 2009 أن التشابك يتسبب في تطور الأشياء نحو التوازن. يقول بوبيسكو إن عمومية الدليل "مدهشة للغاية". "حقيقة أن النظام يصل إلى التوازن هي حقيقة عالمية." أثارت الورقة مزيدًا من البحث حول دور التشابك في توجيه سهم الزمن.

مصدر الصورة: Tony Short

قال نيكولاس برونر ، عالم فيزياء الكم بجامعة جنيف ، إن ميل القهوة - وكل شيء آخر - للوصول إلى التوازن "أمر بديهي للغاية". "ولكن عندما يتعلق الأمر بشرح سبب حدوث ذلك ، فهذه هي المرة الأولى التي يتم اشتقاقها على أسس ثابتة من خلال النظر في نظرية مجهرية."

إذا كان خط البحث الجديد صحيحًا ، فإن قصة سهم الزمن تبدأ بفكرة ميكانيكا الكم التي ، في أعماقها ، الطبيعة غير مؤكدة بطبيعتها. يفتقر الجسيم الأولي إلى الخصائص الفيزيائية المحددة ولا يتم تعريفه إلا من خلال احتمالات التواجد في حالات مختلفة. على سبيل المثال ، في لحظة معينة ، قد يكون للجسيم فرصة 50٪ للدوران في اتجاه عقارب الساعة وفرصة 50٪ للدوران عكس اتجاه عقارب الساعة. تقول نظرية تم اختبارها تجريبياً بواسطة الفيزيائي الأيرلندي الشمالي جون بيل إنه لا توجد حالة "حقيقية" للجسيم ، فالاحتمالات هي الحقيقة الوحيدة التي يمكن أن تُنسب إليها.

ثم يؤدي عدم اليقين الكمي إلى التشابك ، المصدر المفترض لسهم الزمن.

عندما يتفاعل جسيمان ، لم يعد من الممكن حتى وصفهما من خلال احتمالاتهما المتطورة بشكل مستقل ، والتي تسمى "الحالة النقية". بدلاً من ذلك ، تصبح مكونات متشابكة لتوزيع احتمالي أكثر تعقيدًا يصف كلا الجسيمين معًا. قد تملي ، على سبيل المثال ، أن الجسيمات تدور في اتجاهين متعاكسين. النظام ككل في حالة نقية ، لكن حالة كل جسيم فردي "مختلطة" مع حالة معارفه. يمكن أن يسافر الاثنان بسنوات ضوئية ، وسيظل دوران كل منهما مرتبطًا بالآخر ، وهي ميزة وصفها ألبرت أينشتاين بأنها "حركة مخيفة عن بعد".

قال برونر: "التشابك هو إلى حد ما جوهر ميكانيكا الكم ،" أو القوانين التي تحكم التفاعلات على النطاق دون الذري. تكمن هذه الظاهرة في الحوسبة الكمومية والتشفير الكمومي والنقل الآني الكمي.

فكرة أن التشابك قد يفسر سهم الزمن خطرت لأول مرة لسيث لويد قبل حوالي 30 عامًا ، عندما كان يبلغ من العمر 23 عامًا طالب دراسات عليا في الفلسفة في جامعة كامبريدج وحاصل على درجة في الفيزياء من جامعة هارفارد. أدرك لويد أن عدم اليقين الكمومي ، والطريقة التي ينتشر بها عندما تصبح الجسيمات متشابكة بشكل متزايد ، يمكن أن تحل محل عدم اليقين البشري في البراهين الكلاسيكية القديمة كمصدر حقيقي لسهم الزمن.

جاء سيث لويد ، وهو أستاذ الآن بمعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، بفكرة أن التشابك قد يفسر سهم الوقت عندما كان في كلية الدراسات العليا بجامعة كامبريدج في الثمانينيات.

مصدر الصورة: Seth Lloyd

باستخدام نهج غامض لميكانيكا الكم تعامل مع وحدات المعلومات باعتبارها اللبنات الأساسية لها ، أمضى لويد عدة سنوات في دراسة تطور الجسيمات من حيث خلط 1 و 0. وجد أنه مع تزايد تشابك الجسيمات مع بعضها البعض ، فإن المعلومات التي وصفتها في الأصل ("1" للدوران في اتجاه عقارب الساعة و "0" لعكس اتجاه عقارب الساعة ، على سبيل المثال) ستتحرك لوصف نظام الجسيمات المتشابكة ككل . كان الأمر كما لو أن الجسيمات فقدت تدريجياً استقلاليتها الفردية وأصبحت بيادق في الدولة الجماعية. في النهاية ، احتوت الارتباطات على جميع المعلومات ، ولم تحتوي الجسيمات الفردية على أي منها. في تلك المرحلة ، اكتشف لويد ، وصلت الجسيمات إلى حالة توازن ، وتوقفت حالتها عن التغير ، مثل القهوة التي بردت إلى درجة حرارة الغرفة.

يتذكر لويد إدراكه: "ما يحدث حقًا هو أن الأشياء أصبحت أكثر ارتباطًا ببعضها البعض". "سهم الزمن هو سهم لزيادة الترابط."

الفكرة ، التي قدمت في أطروحة الدكتوراه عام 1988 ، لم تلق آذانًا صاغية. عندما قدمها إلى مجلة ، قيل له إنه "لا توجد فيزياء في هذه الورقة". قال لويد إن نظرية المعلومات الكمومية "لم تكن تحظى بشعبية كبيرة" في ذلك الوقت ، وكانت الأسئلة حول سهم الوقت "للمشردين والحائزين على جائزة نوبل الذين أصبحوا رخوًا." يتذكر قول أحد الفيزيائيين له.

قال لويد: "كنت قريبًا من قيادة سيارة أجرة".

منذ ذلك الحين ، أدى التقدم في الحوسبة الكمومية إلى تحويل نظرية المعلومات الكمومية إلى أحد أكثر فروع الفيزياء نشاطًا. يعمل لويد الآن أستاذًا في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، المعروف بأنه أحد مؤسسي هذا التخصص ، وقد عادت فكرته التي تم التغاضي عنها إلى الظهور بشكل أقوى في أيدي علماء الفيزياء في بريستول. يقول الباحثون إن البراهين الأحدث أكثر عمومية وتنطبق على أي نظام كمي تقريبًا.

قال ريناتو رينر ، رئيس معهد الفيزياء النظرية في ETH في زيورخ: "عندما اقترح Lloyd الفكرة في أطروحته ، لم يكن العالم جاهزًا". "لم يفهمها أحد. في بعض الأحيان ، يجب أن تكون لديك الفكرة في الوقت المناسب ".

عندما يتوازن فنجان قهوة ساخن مع الهواء المحيط ، تتفاعل جزيئات القهوة (البيضاء) وجزيئات الهواء (البني) وتصبحان خليطًا متشابكًا من حالات البني والأبيض. بعد مرور بعض الوقت ، ترتبط معظم الجزيئات الموجودة في القهوة بجزيئات الهواء التي وصلت القهوة إلى التوازن الحراري.

في عام 2009 ، كان لإثبات مجموعة بريستول صدى لدى منظري المعلومات الكمومية ، وفتح استخدامات جديدة لتقنياتهم. وأوضح بوبيسكو أنه عندما تتفاعل الأشياء مع محيطها - حيث تصطدم الجزيئات الموجودة في فنجان قهوة بالهواء ، على سبيل المثال - فإن المعلومات المتعلقة بخصائصها "تتسرب وتصبح ملطخة على البيئة بأكملها". يتسبب فقدان المعلومات المحلي هذا في ركود حالة القهوة حتى مع استمرار تطور الحالة النقية للغرفة بأكملها. وقال إنه باستثناء التقلبات العشوائية النادرة ، فإن حالتها تتوقف عن التغير بمرور الوقت.

وبالتالي ، فنجان القهوة الفاتر لا يسخن تلقائيًا. من حيث المبدأ ، مع تطور الحالة النقية للغرفة ، يمكن أن تصبح القهوة فجأة غير مخلوطة من الهواء وتدخل في حالة نقية خاصة بها. ولكن هناك العديد من الحالات المختلطة أكثر من الحالات النقية المتاحة للقهوة لدرجة أن هذا لا يحدث عمليًا - يجب على المرء أن يعيش بعد الكون ليشهده. يعطي هذا الاحتمال الإحصائي لسهم الوقت مظهر اللارجعة. قال بوبيسكو: "التشابك بشكل أساسي يفتح لك مساحة كبيرة جدًا". "يبدو الأمر كما لو كنت في الحديقة وتبدأ بجوار البوابة ، بعيدًا عن التوازن. ثم تدخل ويكون لديك هذا المكان الهائل وتضيع فيه. ولن تعود إلى البوابة أبدًا ".

في القصة الجديدة لسهم الزمن ، فإن فقدان المعلومات من خلال التشابك الكمي ، وليس الافتقار الذاتي للمعرفة البشرية ، هو الذي يدفع فنجانًا من القهوة إلى التوازن مع الغرفة المحيطة. تتوازن الغرفة في النهاية مع البيئة الخارجية ، وتنجرف البيئة بشكل أبطأ نحو التوازن مع بقية الكون. نظر عمالقة الديناميكا الحرارية في القرن التاسع عشر إلى هذه العملية على أنها تشتت تدريجي للطاقة يزيد من الانتروبيا الكلية ، أو الفوضى ، في الكون. اليوم ، يرى Lloyd و Popescu وغيرهم في مجالهم سهم الوقت بشكل مختلف. من وجهة نظرهم ، تصبح المعلومات منتشرة بشكل متزايد ، لكنها لا تختفي تمامًا أبدًا. لذلك يؤكدون أنه على الرغم من زيادة الانتروبيا محليًا ، فإن الانتروبيا الكلية للكون تظل ثابتة عند الصفر.

قال لويد: "الكون ككل في حالة نقية". "لكن القطع الفردية منه ، لأنها متشابكة مع بقية الكون ، هي في خليط."

يبقى أحد جوانب سهم الوقت دون حل. قال بوبيسكو ، مشيرًا إلى تشبيه الحديقة ، "لا يوجد شيء في هذه الأعمال يوضح سبب بدءك عند البوابة". "بعبارة أخرى ، لا يفسرون سبب كون الحالة الأولية للكون بعيدة عن التوازن." قال هذا سؤال حول طبيعة الانفجار العظيم.

على الرغم من التقدم الأخير في حساب المقاييس الزمنية للموازنة ، فإن النهج الجديد لم يحرز تقدمًا بعد كأداة لتحليل الخصائص الديناميكية الحرارية لأشياء معينة ، مثل القهوة أو الزجاج أو حالات المادة الغريبة. (ذكر العديد من علماء الديناميكا الحرارية التقليديين أنهم يدركون بشكل مبهم فقط النهج الجديد). قال رينر: "الشيء هو إيجاد المعايير التي تتصرف فيها الأشياء مثل زجاج النوافذ وأي الأشياء تتصرف مثل فنجان شاي". "أرى الأوراق الجديدة كخطوة في هذا الاتجاه ، ولكن هناك الكثير الذي يتعين القيام به."

أعرب بعض الباحثين عن شكهم في أن هذا النهج المجرد للديناميكا الحرارية سيكون في أي وقت على مستوى مهمة معالجة "التفاصيل الجوهرية لكيفية تصرف الملاحظتين المحددتين" ، على حد تعبير لويد. لكن التقدم المفاهيمي والشكلية الرياضية الجديدة تساعد الباحثين بالفعل على معالجة الأسئلة النظرية حول الديناميكا الحرارية ، مثل الحدود الأساسية لأجهزة الكمبيوتر الكمومية وحتى المصير النهائي للكون.

قال بول سكريبتشيك من معهد العلوم الضوئية في برشلونة: "لقد فكرنا أكثر وأكثر في ما يمكننا فعله بالآلات الكمومية". "بالنظر إلى أن النظام ليس في حالة توازن بعد ، فإننا نريد الخروج منه بشغل. ما مقدار العمل المفيد الذي يمكننا استخراجه؟ كيف يمكنني التدخل للقيام بشيء مثير للاهتمام؟ "

يستخدم شون كارول ، عالم الكونيات النظري في معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا ، الشكلية الجديدة في أحدث أعماله حول سهم الوقت في علم الكونيات. قال كارول ، مؤلف كتاب "From Eternity to Here: The Quest for the Ultimate Theory of Time": "أنا مهتم بالمصير طويل المدى للأزمنة الفضائية الكونية". "هذا موقف لا نعرف فيه حقًا جميع قوانين الفيزياء ذات الصلة ، لذلك من المنطقي التفكير على مستوى مجرد للغاية ، وهذا هو السبب في أنني وجدت هذا العلاج الميكانيكي الكمومي الأساسي مفيدًا."

بعد ستة وعشرين عامًا من سقوط فكرة لويد الكبيرة حول سهم الوقت ، يسعده أن يشهد صعوده وقد طبق الأفكار في العمل الأخير على مفارقة معلومات الثقب الأسود. قال: "أعتقد الآن أن الإجماع سيكون على وجود فيزياء في هذا".

ناهيك عن القليل من الفلسفة.

وفقًا للعلماء ، يمكن فهم قدرتنا على تذكر الماضي وليس المستقبل ، وهو مظهر آخر مربك تاريخيًا لسهم الوقت ، على أنه تراكم للارتباطات بين الجسيمات المتفاعلة. عندما تقرأ رسالة على قطعة من الورق ، يصبح عقلك مرتبطًا بها من خلال الفوتونات التي تصل إلى عينيك. من تلك اللحظة فقط ستكون قادرًا على تذكر ما تقوله الرسالة. كما قال لويد: "يمكن تعريف الحاضر من خلال عملية الارتباط مع محيطنا."

إن خلفية النمو المطرد للتشابك في جميع أنحاء الكون هي بالطبع الوقت نفسه. يؤكد الفيزيائيون أنه على الرغم من التقدم الكبير في فهم كيفية حدوث التغيرات في الزمن ، إلا أنهم لم يحرزوا أي تقدم في الكشف عن طبيعة الوقت نفسه أو لماذا يبدو مختلفًا (سواء من حيث الإدراك أو في معادلات ميكانيكا الكم) عن الأبعاد الثلاثة للفضاء. يسمي بوبيسكو هذا "أحد أعظم الأشياء المجهولة في الفيزياء."

قال: "يمكننا مناقشة حقيقة أن أدمغتنا كانت قبل ساعة في حالة مرتبطة بعدد أقل من الأشياء". لكن تصورنا أن الوقت يتدفق - وهذا أمر مختلف تمامًا. على الأرجح ، سنحتاج إلى ثورة أخرى في الفيزياء ستخبرنا عن ذلك ".


نظم المعادلات التفاضلية

6.7.0.1 تصنيف نقاط التوازن للنظام غير الخطي

لنفترض (x 0 ، y 0) أن تكون نقطة توازن للنظام (6.30) ودع λ 1 و λ 2 تكون قيمًا ذاتية للمصفوفة اليعقوبية (6.34) للنظام الخطي المرتبط حول نقطة التوازن (x 0 ، y 0).

إذا تم تصنيف (x 0، y 0) كعقدة غير صحيحة ثابتة أو غير مستقرة (لأن القيم الذاتية لـ J (x 0 ، y 0) ، حقيقية ومميزة) ، نقطة سرج ، أو حلزوني مقارب مستقر أو غير مستقر في النظام الخطي المرتبط (x 0، y 0) له نفس التصنيف في النظام غير الخطي.

إذا تم تصنيف (x 0، y 0) كمركز في النظام الخطي المرتبط ، فقد تكون (x 0، y 0) مركزًا أو نقطة لولبية غير مستقرة أو نقطة حلزونية ثابتة مقاربة في النظام غير الخطي ، لذلك لا يمكننا تصنيف ( × 0 ، ص 0) في هذه الحالة (انظر التمرين 28).

إذا كانت قيم eigenvalues ​​لـ J (x 0 ، y 0) حقيقية ومتساوية ، فقد تكون (x 0 ، y 0) عقدة أو نقطة حلزونية في النظام غير الخطي. إذا كانت 1 ⩽ λ 2 & lt 0 ، فإن (x 0، y 0) تكون مستقرة بشكل مقارب. إذا كانت 1 ⩽ λ 2 & gt 0 ، فإن (x 0، y 0) تكون غير مستقرة.

تم تلخيص هذه النتائج في الجدول 6.2.

الجدول 6.2. تصنيف نقطة التوازن في النظام غير الخطي

القيم الذاتية لـ ي(x0,ذ0)الهندسةاستقرار
λ1,λ2 حقيقة λ1 & ampgt λ2 & ampgt 0عقدة غير لائقةغير مستقر
λ1,λ2 حقيقة λ1 = λ2 & ampgt 0عقدة أو نقطة لولبيةغير مستقر
λ1,λ2 حقيقة λ2 & أمبير λ1 & أمبير 0عقدة غير لائقةمستقر بشكل مقارب
λ1,λ2 حقيقة λ1 = λ2 & أمبير 0عقدة أو نقطة لولبيةمستقر بشكل مقارب
λ1,λ2 حقيقة λ2 & amp ؛ أمبير 0 & أمبير λ1نقطة سرجغير مستقر
λ1 = α + βi, λ2 = αβi, β ≠ 0, α & ampgt 0نقطة لولبيةغير مستقر
λ1 = α + βi, λ2 = αβi, β ≠ 0, α & أمبير 0نقطة لولبيةمستقر بشكل مقارب
λ1 = βi, λ2 = −βi, β ≠ 0مركز أو نقطة لولبيةغير حاسم

مثال 6.39

أوجد وصنف نقاط التوازن

بالنسبة إلى (1 ، 1) ، نحصل على المصفوفة اليعقوبية J (1 ، 1) = (0 - 1 2 - 2) بقيم ذاتية ترضي | - λ - 1 2 - 2 - λ | = λ 2 + 2 λ + 2 = 0. ومن ثم ، λ 1 ، 2 = - 1 ± أنا. نظرًا لأن هذه القيم الذاتية ذات قيمة معقدة مع جزء حقيقي سلبي ، فإننا نصنف (1 ، 1) على أنها حلزوني مستقر مقاربًا في النظام الخطي المرتبط. لذلك ، (1 ، 1) هو حلزوني ثابت مقارب في النظام غير الخطي.

بالنسبة إلى (- 1 ، 1) ، نحصل على J (- 1 ، 1) = (0-1-2-2). في هذه الحالة ، تعد القيم الذاتية حلولًا لـ | - λ - 1 - 2 - 2 - | = λ 2 + 2 λ - 2 = 0. وهكذا ، λ 1 = 1 2 (- 2 + 2 3) = - 1 + 3 & gt 0 و λ 2 = 1 2 (- 2 - 2 3) = - 1 - 3 & lt 0 لذا (- 1 ، 1) هي أ نقطة السرج في النظام الخطي المصاحب وينتقل هذا التصنيف إلى النظام غير الخطي. في الشكل 6.20 أ ، نرسم حلولًا بيانية لهذا النظام غير الخطي تقريبًا باستخدام نظام الجبر الحاسوبي. يمكننا أن نرى كيف تتحرك الحلول نحو نقاط التوازن وبعيدًا عنها من خلال ملاحظة الأسهم على المتجهات في مجال الاتجاه. □

الشكل 6.20. (أ) (1،1) عبارة عن حلزوني ثابت و (−1،1) سرج. (B) (0،0) هي عقدة غير مستقرة ، (0،5) هي عقدة غير مناسبة مستقرة بشكل مقارب ، (7،0) هي عقدة غير مناسبة مستقرة بشكل مقارب ، و (3،2) هي نقطة سرج.

مثال 6.40

أوجد وصنف نقاط التوازن

المحلول: تحقق نقاط التوازن لهذا النظام و . إذا كانت x = 0 ، فإن y (5 - y) = 0 لذا y = 0 أو y = 5 ، ونحصل على نقاط التوازن (0 ، 0) و (0 ، 5). إذا كانت y = 0 ، فإن x (7 - x) = 0 ، مما يدل على أن x = 0 أو x = 7. نقاط التوازن المقابلة هي (0 ، 0) (التي وجدناها سابقًا) و (7 ، 0). الاحتمال الآخر الذي يؤدي إلى نقطة التوازن هو الحل لـ <7 - x - 2 y = 0 5 - x - y = 0 ، وهو x = 3 و y = 2 ، مما يؤدي إلى نقطة التوازن (3 ، 2) .

المصفوفة اليعقوبية هي J (x، y) = (7 - 2 x - 2 y - 2 x - y 5 - x - 2 y). نصنف كل نقطة من نقاط التوازن (x 0 ، y 0) للنظام الخطي المرتبط باستخدام قيم eigenvalues ​​لـ J (x 0 ، y 0):

J (0 ، 0) = (7 0 0 5) λ 1 = 7 ، λ 2 = 5 (0 ، 0) هي عقدة غير مستقرة.

J (0، 5) = (- 3 0 - 5 - 5) λ 1 = - 3، λ 2 = - 5 (0، 5) هي عقدة غير مناسبة مستقرة بشكل مقارب.

J (7 ، 0) = (- 7 - 14 0 - 2) λ 1 = - 2 ، λ 2 = - 7 (7 ، 0) هي عقدة غير مناسبة مستقرة بشكل مقارب.

J (3، 2) = (- 3 - 6 - 2 - 2) λ 1 = 1، λ 2 = - 6 (3، 2) نقطة سرج.

في كل حالة ، ينتقل التصنيف إلى النظام غير الخطي. في الشكل 6.20 B ، قمنا برسم العديد من الحلول التقريبية ومجال الاتجاه لهذا النظام غير الخطي من خلال استخدام نظام الجبر الحاسوبي. لاحظ السلوك بالقرب من كل نقطة توازن. □

مثال 6.41

تحقق من ثبات نقطة التوازن (0 ، 0) للنظام غير الخطي

المحلول: أولًا ، نجد المصفوفة اليعقوبية J (x، y) = (3 2 x 2 + 1 2 y 2 1 + x y - 1 + x y 1 2 x 2 + 3 2 y 2). ثم ، عند نقطة التوازن (0 ، 0) ، لدينا J (0 ، 0) = (0 1 - 1 0) ، وبالتالي فإن التقريب الخطي هو

مع القيم الذاتية λ 1 ، 2 = ± أنا. لذلك ، (0 ، 0) هو مركز (ثابت) في النظام الخطي. ومع ذلك ، عندما نرسم مجال الاتجاه للنظام الأصلي (غير الخطي) في الشكل 6.21 أ ، نلاحظ أن (0 ، 0) ليس مركزًا. بدلاً من ذلك ، يبدو أن المسارات تتدحرج بعيدًا عن (0 ، 0) (انظر الشكل 6.21 ب) ، لذلك (0 ، 0) هي نقطة لولبية غير مستقرة في النظام غير الخطي. لا تؤثر المصطلحات غير الخطية على تصنيف نقطة التوازن فحسب ، بل تؤثر أيضًا على الاستقرار. ملحوظة: هذه هي الحالة الوحيدة التي لا يمكننا فيها تعيين نفس التصنيف لنقطة التوازن في النظام غير الخطي كما نفعل في النظام الخطي المرتبط. عندما تكون نقطة التوازن مركزًا في النظام الخطي المرتبط ، فلا يمكننا استخلاص أي استنتاجات تتعلق بتصنيفها في النظام غير الخطي. □

الشكل 6.21. (أ) يشير حقل الاتجاه إلى أن (0،0) غير مستقر. (ب) جميع المسارات (غير التافهة) تدور بعيدًا عن الأصل. (ج) صورة الطور.


شاهد الفيديو: عجلة الحياة: أقوى نماذج تطوير الذات والنجاح الشخصي. خبير التنمية البشرية رشاد فقيها (شهر اكتوبر 2021).