مقالات

1.1: مقدمة لأسس الجبر - الرياضيات


لسنوات ، عمل الأطباء والمهندسون على صناعة أطراف صناعية ، مثل هذه اليد ، لمن يحتاجونها. ومع ذلك ، يختلف هذا المنتج المعين لأنه تم تطويره باستخدام طابعة ثلاثية الأبعاد. نتيجة لذلك ، يمكن طباعتها مثلما تطبع الكلمات على ورقة. هذا يجعل إنتاج الطرف أقل تكلفة وأسرع من الطرق التقليدية.

يعمل مهندسو الطب الحيوي على تطوير أعضاء قد تنقذ الأرواح يومًا ما. يصمم العلماء في وكالة ناسا طرقًا لاستخدام الطابعات ثلاثية الأبعاد للبناء على القمر أو المريخ. حتى أن البناة قاموا ببناء مبانٍ كاملة باستخدام طابعة ثلاثية الأبعاد. تعتمد تقنية واستخدام الطابعات ثلاثية الأبعاد على القدرة على فهم لغة الجبر. يجب أن يكون المهندسون قادرين على ترجمة الملاحظات والاحتياجات في العالم الطبيعي إلى أوامر رياضية معقدة يمكن أن توفر توجيهات للطابعة. في هذا الفصل ، سوف تقوم بمراجعة لغة الجبر واتخاذ خطواتك الأولى نحو التعامل مع المفاهيم الجبرية.


إثبات أن 1 + 1 = 2 [تكرار]

قرأت ذات مرة أن بعض علماء الرياضيات قدموا دليلًا طويلًا جدًا على $ 1 + 1 = 2 $.

هل يمكنك التفكير في طريقة ما لتوسيع الدقة الرياضية لتقديم دليل طويل على هذه المعادلة؟ أنا لا أطلب إثباتًا ، بل أطلب بعض الخطوط العريضة لما يمكن للمرء أن يفكر فيه لجعل الاشتقاق أطول فترة ممكنة.

تحرير: يبدو أن الدليل الذي سمعت عنه هو مرجع قياسي تم تقديمه هنا عدة مرات :) لقد ذكرت أن الدليل نفسه أقل فائدة من مخطط تفصيلي بالنسبة لي لأنني أعرف فقط "رياضيات مستوى الفيزياء". هل يمكن لشخص أن يقدم موجزًا ​​موجزًا ​​لما يحدث في الدليل؟ بعض الخطوط العريضة التي يمكنني البحث عنها قسمًا قسمًا في ويكيبيديا للتعرف على الأقل على ما يمكن أن يكون مطلوبًا لعمل مثل هذا الدليل؟


أسس الرياضيات

الرياضيات هي علم الكمية. تقليديا كان هناك فرعين للرياضيات ، الحساب والهندسة ، التعامل مع نوعين من الكميات: الأرقام والأشكال. الرياضيات الحديثة أكثر ثراءً وتتعامل مع مجموعة متنوعة من الأشياء ، لكن الحساب والهندسة لا تزالان ذات أهمية مركزية.

أسس الرياضيات هي دراسة المفاهيم الأساسية والبنية المنطقية للرياضيات ، مع التركيز على وحدة المعرفة البشرية. من بين المفاهيم الرياضية الأساسية: العدد ، الشكل ، المجموعة ، الوظيفة ، الخوارزمية ، البديهية الرياضية ، التعريف الرياضي ، البرهان الرياضي.

قد يسأل القارئ بشكل معقول عن سبب ظهور الرياضيات على الإطلاق في هذا المجلد. أليست الرياضيات ضيقة جدًا بالموضوع؟ أليست فلسفة الرياضيات ذات اهتمام متخصص ، خاصة إذا ما قورنت بالقضايا الإنسانية الواسعة للفلسفة ، قضايا مثل الخير والصحيح والجميل؟

هناك ثلاثة أسباب لمناقشة الرياضيات في مجلد عن الفلسفة العامة:

  1. لعبت الرياضيات دائمًا دورًا خاصًا في الفكر العلمي. تقدم الطبيعة المجردة للأشياء الرياضية تحديات فلسفية غير عادية وفريدة من نوعها.
  2. أسس الرياضيات هي موضوع أظهر دائمًا مستوى عالٍ من التطور التقني بشكل غير عادي. لهذا السبب ، توقع العديد من المفكرين أن أسس الرياضيات يمكن أن تكون بمثابة نموذج أو نمط لأسس العلوم الأخرى.
  3. خدمت فلسفة الرياضيات كسرير اختبار شديد الوضوح حيث يمكن لعلماء الرياضيات والفلاسفة على حد سواء استكشاف كيف تلعب المذاهب الفلسفية العامة المختلفة 13 في سياق علمي محدد.

الغرض من هذا القسم هو توضيح دور المنطق في أسس الرياضيات. نبدأ ببعض الملاحظات حول هندسة إقليدس. ثم نصف بعض النظريات الشكلية الحديثة للرياضيات.

هندسة إقليدس

ظهر فوق بوابة أكاديمية أفلاطون نقش مشهور:

في التحليلات اللاحقة [13] ، وضع أرسطو أساسيات المنهج العلمي. 14 جوهر الطريقة هو تنظيم مجال المعرفة منطقيًا عن طريق المفاهيم البدائية ، والبديهيات ، والمسلمات ، والتعريفات ، والنظريات. معظم أمثلة أرسطو لهذه الطريقة مستمدة من الحساب والهندسة [1،7،9].

أثرت الأفكار المنهجية لأرسطو بشكل حاسم على هيكل وتنظيم أطروحة إقليدس الضخمة في الهندسة ، العناصر [8]. يبدأ إقليدس بـ 21 تعريفًا وخمسة افتراضات وخمسة مفاهيم مشتركة. بعد ذلك ، فإن بقية العناصر عبارة عن بنية استنتاجية متقنة تتكون من مئات الافتراضات. كل اقتراح له ما يبرره من خلال عرضه الخاص. المظاهرات في شكل سلاسل من القياس المنطقي. في كل قياس منطقي ، يتم تحديد المباني على أنها تأتي من بين التعريفات والمسلمات والمفاهيم الشائعة والقضايا التي سبق عرضها. على سبيل المثال ، في الكتاب الأول من العناصر ، فإن عرض الاقتراح 16 (`` في أي مثلث ، إذا تم إنتاج أحد الجوانب ، تكون الزاوية الخارجية أكبر من أي من الزوايا الداخلية والزوايا المقابلة '') عبارة عن سلسلة من القياس المنطقي مع افتراض 2 ، الفكرة العامة 5 ، والاقتراحات 3 و 4 و 15 (`` إذا قطع خطان مستقيمان بعضهما البعض ، فإنهما يجعلان الزوايا الرأسية متساوية مع بعضهما البعض '') تحدث كمقدمات. صحيح أن القياس المنطقي لإقليدس لا يتوافق دائمًا بشكل صارم مع القوالب الأرسطية. ومع ذلك ، فإن معايير الصرامة عالية للغاية ، وتأثير أرسطو واضح بسهولة.

يُعترف عالميًا بمنطق أرسطو وهندسة إقليدس على أنهما إنجازات علمية شاهقة لليونان القديمة.

النظريات الرسمية للرياضيات

نظرية رسمية للهندسة

مع ظهور حساب التفاضل والتكامل في القرنين السابع عشر والثامن عشر ، تطورت الرياضيات بسرعة كبيرة مع القليل من الاهتمام للأسس المنطقية. كانت هندسة إقليدس لا تزال تُعتبر نموذجًا للصرامة المنطقية ، ومثالًا ساطعًا لما يجب أن يبدو عليه الانضباط العلمي المنظم جيدًا. لكن علماء الرياضيات الغزير الإنتاج في عصر التنوير ، مثل ليونارد أويلر ، لم يُظهروا أي اهتمام تقريبًا بمحاولة وضع حساب التفاضل والتكامل على أساس ثابت مماثل. فقط في النصف الأخير من القرن التاسع عشر بدأ العلماء في التعامل مع هذه المشكلة التأسيسية بجدية. كانت للأزمة الناتجة عواقب بعيدة المدى. حتى هندسة إقليدس نفسها خضعت للتدقيق النقدي. اكتشفت مقاييس مثل Moritz Pasch ما اعتبروه فجوات أو عدم دقة في العناصر. دخل علماء الرياضيات العظماء مثل ديفيد هيلبرت المعركة.

كانت نتيجة كل هذا النشاط التأسيسي إعادة صياغة شاملة للهندسة ، هذه المرة كمجموعة من النظريات الرسمية داخل حساب التفاضل والتكامل الأصلي. حصل ألفريد تارسكي على رؤى حاسمة. سنقوم برسم نظرية Tarski الرسمية للهندسة المستوية الإقليدية 15. 16

كمسندات بدائية ، يأخذ Tarski (`` النقطة '') ، (`` بين '') ، (`` المسافة '') ، (`` الهوية ''). الصيغ الذرية ، و ، تعني `` هي نقطة '' ، و''تقع بين و '' ، و''المسافة من إلى تساوي المسافة من إلى '' ، و''مطابقة لـ '' ، على التوالي . يتم التعامل مع الكائنات الهندسية بخلاف النقاط ، مثل مقاطع الخط والزوايا والمثلثات والدوائر وما إلى ذلك ، عن طريق العناصر الأولية. على سبيل المثال ، الدائرة ذات المركز ونصف القطر تتكون من جميع النقاط التي تحمل.

في الهندسة ، نقطتان تعتبران متطابقتين إذا كانت المسافة بينهما صفر. يعبر تارسكي عن هذا من خلال بديهية

إجمالاً ، يقدم تارسكي اثنتي عشرة بديهية ، بالإضافة إلى مجموعة إضافية من البديهيات التي تعبر عن فكرة أن الخط متصل. البيان الكامل لبديهيات تارسكي لهندسة المستوى الإقليدي مُعطى في [10 ، الصفحات 19-20]. لنكن النظرية الرسمية القائمة على بديهيات تارسكي.

من اللافت للنظر أن تارسكي قد أثبت أن ذلك مكتمل. هذا يعني أنه ، لأي بيان 17 هندسي بحت ، إما أو هي نظرية لـ. وهكذا نرى أن بديهيات كافية للإجابة على جميع الأسئلة بنعم / لا في هندسة المستوى الإقليدي. بدمج هذا مع نظرية الاكتمال لـ G & # 246del ، نجد أنه يمكن تحديده: هناك خوارزمية 18 تقبل كمدخل بيان تعسفي للهندسة الإقليدية المستوية ، والمخرجات `` صحيحة '' إذا كانت العبارة صحيحة ، و " خطأ '' إذا كان خطأ. هذا انتصار للبحوث التأسيسية الحديثة.

نظرية رسمية للحساب

نعني بالحساب حساب المدرسة الابتدائية ، أي دراسة الأعداد الصحيحة الموجبة ، ، ،. جنبًا إلى جنب مع عمليات الجمع المألوفة () والضرب (). من الواضح أن هذا الجزء من الرياضيات أساسي ، لكن اتضح أنه معقد بشكل مدهش. نكتب أدناه بعض البديهيات التي تدخل في نظرية الحساب الرسمية. 19

مسنداتنا الأولية للحساب هي (`` العدد '') ، (`` الإضافة '') ، (`` الضرب '') ، (`` الهوية ''). الصيغ الذرية ، ، تعني `` هو رقم '' ، "" ، "" ، "" ، على التوالي. ستستخدم بديهياتنا المسندات ، للتأكيد على أن الأرقام موجودة دائمًا وفريدة من نوعها لأي أرقام وأرقام معينة. سيكون لدينا أيضًا بديهيات تعبر عن بعض القوانين الحسابية المعروفة:


قوانين الاستبدال: إذا كان رقمًا ، فسيكون رقمًا ، إلخ.
قوانين تبادلية: و .
قوانين الجمعيات: و .
قانون التوزيع: .
قانون المقارنة: إذا وفقط إذا ، بالنسبة للبعض ، أو.
قانون الوحدة: .
اسمحوا أن تكون النظرية الشكلية المحددة من قبل البدائيين والبديهيات المذكورة أعلاه.

من المعروف أن هذا يكفي لاستخلاص العديد من الحقائق الحسابية المألوفة. على سبيل المثال ، يمكن التعبير عنها ، بشكل محرج 20 للتأكد ، أو

من ناحية أخرى ، فإن البديهيات ليست شاملة بأي حال من الأحوال. يمكن استكمالها ببديهيات أخرى تعبر عن ما يسمى بالاستقراء الرياضي أو مبدأ العدد الأدنى: إذا كان هناك رقم له خاصية محددة جيدًا ، فمن بين جميع الأرقام التي لها خاصية هناك أصغر واحد. تعتبر النظرية الشكلية الناتجة قوية بشكل ملحوظ ، بمعنى أن نظرياتها تشمل جميع الحقائق الحسابية المعروفة تقريبًا. لكنها ليست قوية كما قد يرغب المرء. في الواقع ، أي نظرية رسمية تتضمن بالضرورة إما غير متسقة 22 أو غير كاملة. وبالتالي لا يوجد أمل في تدوين ما يكفي من البديهيات أو تطوير خوارزمية لتقرير جميع الحقائق الحسابية. هذا هو البديل من نظرية عدم الاكتمال الشهيرة لعام 1931 لـ G & # 246del [5،22]. هناك عدة طرق للتعامل مع ظاهرة عدم الاكتمال ، وهذا يشكل مجالًا نشطًا حاليًا للبحث في أسس الرياضيات.

التناقض بين اكتمال الهندسة الرسمية وعدم اكتمال الحساب الرسمي لافت للنظر. إن كلا الجانبين من هذه الثنائية لهما أهمية فلسفية واضحة.

نظرية المجموعات الرسمية

يتمثل أحد أهداف البحث المنطقي الحديث في ابتكار نظرية رسمية واحدة توحد كل الرياضيات. ستكون مثل هذه النظرية بالضرورة خاضعة لظاهرة عدم اكتمال G & # 246del ، لأنها لن تتضمن فقط ولكن أيضًا.

تتمثل إحدى طرق الرياضيات الموحدة في تضمين الحساب بشكل مباشر في الهندسة ، عن طريق تحديد الأعداد الصحيحة بنقاط متباعدة بشكل متساوٍ على الخط. كانت هذه الفكرة مألوفة لدى الإغريق القدماء. نهج آخر هو شرح الهندسة من حيث الحساب والجبر ، عن طريق أنظمة الإحداثيات ، مثل خطوط الطول والعرض على الخريطة. تعود هذه الفكرة إلى عالم الرياضيات والفيلسوف في القرن السابع عشر رين & # 233 ديكارت وعالم الرياضيات في القرن التاسع عشر كارل وييرستراس. كلا النهجين يؤديان إلى نفس النظرية الرسمية ، والمعروفة باسم الحساب من الدرجة الثانية. 23 تتضمن هذه النظرية كلاً من الرياضيات الحديثة وهي مناسبة. وبالتالي ، فإن القرار بشأن جعل الهندسة أكثر جوهرية من الحساب أو العكس هو في الغالب مسألة ذوق.

هناك طريقة مختلفة تمامًا للرياضيات الموحدة وهي من خلال نظرية المجموعات. هذا نهج غريب في القرن العشرين. إنه يعتمد على مفهوم واحد بسيط للغاية: المجموعات. من اللافت للنظر أن هذا المفهوم يؤدي مباشرة إلى بنية واسعة تشمل جميع الرياضيات الحديثة.

المجموعة هي مجموعة من الكائنات تسمى عناصر المجموعة. نستخدم أحيانًا رموزًا غير رسمية للإشارة إلى أن مجموعة تتكون من عناصر ، ،. يمكن أن يكون عدد العناصر في المجموعة كبيرًا بشكل تعسفي أو حتى غير محدود. المبدأ الأساسي لنظرية المجموعات هو أن المجموعة تحددها عناصرها. وبالتالي ، فإن مجموعتين متطابقتين إذا وفقط إذا كان لديهم نفس العناصر. يُعرف هذا المبدأ بالامتداد. على سبيل المثال ، تعتبر المجموعة هي نفس المجموعة لأن العناصر هي نفسها ، على الرغم من كتابتها بترتيب مختلف.

ينشأ الكثير من تعقيد نظرية المجموعات من حقيقة أن المجموعات قد تكون عناصر من مجموعات أخرى. على سبيل المثال ، المجموعة هي عنصر من عناصر المجموعة وهذا يختلف عن المجموعة.

بالنسبة للنظرية الشكلية للمجموعات ، نستخدم ثلاثة عناصر أولية: (`` المجموعة '') ، (`` الهوية '') ، (`` العنصر ''). الصيغ الذرية ، تعني `` مجموعة '' ، `` متطابقة مع '' ، `` هي عنصر من '' ، على التوالي. إحدى القواعد الأساسية لنظرية المجموعات هي أن المجموعات فقط قد تحتوي على عناصر. يتم التعبير عن هذا كبديهية. بالإضافة إلى ذلك ، هناك بديهية التمدد

نهج نظرية المجموعة في الحساب هو من حيث الأعداد الصحيحة غير السالبة ، ، ، ،. يتم تحديد هذه الأرقام مع مجموعات محددة. على وجه التحديد ، نحن نتعرف على المجموعة الفارغة ، مع ، مع ، مع ، وما إلى ذلك. بشكل عام ، نحدد الرقم مع مجموعة الأرقام الأصغر. من بين البديهيات هي بديهية اللانهاية التي تؤكد وجود المجموعة اللانهائية. يمكن للمرء استخدام المجموعة لإظهار أنه يتضمن نظرية مكافئة. بعد ذلك ، يمكن للمرء أن يتبع أفكار ديكارت و Weierstrass ليرى أن ذلك يتضمن أيضًا نظرية مكافئة لـ. اتضح أنه يمكن أيضًا محاكاة بقية الرياضيات الحديثة في الداخل. يتضمن هذا نظرية مفصلة للمجموعات اللانهائية التي هي أكبر بكثير من.

من المسلم به أن النهج النظري الثابت للحساب والهندسة مصطنع إلى حد ما. ومع ذلك ، فإن فكرة تأسيس جميع الرياضيات على مفهوم واحد بسيط ، المجموعات ، قد مارست جاذبية قوية. 24 لم يتم فهم الآثار المترتبة على هذه الفكرة بشكل كامل حتى الآن وهي موضوع بحث حالي.


  • . أن التباديل الستة للناقل (1،2،3) تشكل مسدسًا منتظمًا في مساحة ثلاثية الأبعاد ، فإن التباديل الـ 24 لـ (1،2،3،4) تشكل مجسمًا مبتورًا في أربعة أبعاد ، وكلاهما مثالان على Permutohedra?
  • . أن Ostomachion عبارة عن أطروحة رياضية تُنسب إلى أرخميدس على ألغاز من 14 قطعة تشبه tangram؟
  • . أن بعض الدوال يمكن كتابتها كمجموع لا نهائي من كثيرات الحدود المثلثية وأن هذا المجموع يسمى سلسلة فورييه لتلك الدالة؟
  • . أن عناصر الهوية للعمليات الحسابية تستفيد من عددين صحيحين ليسا مركبين ولا أعداد أولية ، 0 و 1؟
  • . أنه اعتبارًا من أبريل 2010 تم العثور على 35 رقمًا زوجيًا فقط ليست مجموع اثنين من الأعداد الأولية التي يوجد كل منها في زوج التوأم الأولي؟ المرجع
  • . سجل Piphilology (حفظ أرقام Pi) هو 70000 اعتبارًا من مارس 2015؟
  • . أن الأشخاص أبطأ بشكل ملحوظ في تحديد تكافؤ الصفر مقارنة بالأرقام الصحيحة الأخرى ، بغض النظر عن العمر أو اللغة المنطوقة أو ما إذا كان الرمز أو الكلمة التي تشير إلى الصفر مستخدمة؟

1.1: مقدمة لأسس الجبر - الرياضيات

أسس نص الرياضيات

تم نشر نص "أسس الرياضيات" الخاص بي من قبل وايلي في مارس 2008. وستتوفر إجابات لجميع المشكلات للمعلمين الذين يتبنون النص من خلال الناشر. هنا رابط لصفحة الناشر: http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470085010.html.

أسس الرياضيات

سيوفر هذا النص لتخصصات الرياضيات في مستوى السنة الثانية الفهم والمهارات اللازمة للقراءة والتفكير في الرياضيات وكتابة البراهين. لكنها تسعى إلى القيام بأكثر من مجرد التنافس مع العديد من النصوص الحالية. أعتزم تطبيق أكثر الدروس نجاحًا من حركة "إصلاح التفاضل والتكامل" على هذه الدورة الموجهة نحو الإثبات.

لقد ساعد التعزيز الرسومي والرمزي والعددي للمفاهيم في نصوص التفاضل والتكامل الإصلاحية على حدس الطلاب في حساب التفاضل والتكامل وقدرتهم على حل المشكلات. تدفع هذه الأسئلة المفاهيمية للنصوص الطلاب إلى ما وراء الحوسبة والتلاعب بالرموز دون القفز إلى الأسئلة المجردة العامة أو الأسئلة الرمزية للغاية. سوف تستفيد تخصصات الرياضيات الثانوية الناشئة عن دورات حل المشكلات في المقابل من الحدس الأعمق حول التعريفات والمفاهيم المجردة. سيكونون بعد ذلك أكثر قدرة على قراءة النص الرياضي وصياغة البراهين والإجابة على الأسئلة القائمة على النظرية. سيسهل النص الخاص بي هذا الانتقال من خلال ترتيب الموضوعات ومن خلال التفسيرات والأمثلة والمشكلات. بينما سأبني الحدس ، لن أخفض التوقعات النهائية بأن الطلاب يفهمون الرياضيات ويكتبون البراهين على مستوى تخصصات الرياضيات الناجحة.

استجاب عدد متزايد من أقسام الرياضيات للصعوبات التي تجدها تخصصات الرياضيات النموذجية في دورات الدرجة العليا من خلال طلب دورة تقدم البراهين والتراكيب الرياضية الأساسية. في حين أن العديد من النصوص تتناول بالفعل هذه الحاجة ، إلا أنها تعاني من أوجه قصور مختلفة. بشكل عام تقريبًا ، تفترض هذه النصوص أنه يمكن للطلاب استيعاب المفاهيم والتعريفات الجديدة بسرعة أكبر من التخصصات الرئيسية في تجربتي. على سبيل المثال ، تتوقع هذه الكتب من الطلاب استخدام مفهوم في البراهين في القسم الذي يقدم المفهوم.

هذه النصوص لها أوجه قصور أخرى مختلفة أيضًا. يتجاهل معظمهم شرح كيفية فهم التعاريف الرياضية وكيفية قراءة النصوص الرياضية. غالبًا ما يستخدمون الصياغة العامية للتعريفات والنظريات والمشكلات التي يجدها الطلاب الأضعف مضللة. أخيرًا ، لا تشرح بعض النصوص بشكل كافٍ كيفية إنشاء البراهين وكتابتها.

أنا واثق من أنني أستطيع كتابة نص ممتاز ، نص يساعد الطلاب على فهم اللغة الرياضية وتطوير حدسهم وكتابة البراهين. لقد تعلمت الكثير عن كتابة النصوص من خلال كتابة نص رياضيات فنون ليبرالية غير منشور أولاً ثم بعد ذلك وجهة النظر الهندسية: مسح للهندسات، نشرته Addison و Wesley and Longman (1998). بالإضافة إلى ذلك ، فإن تدريبي للخريجين في المنطق الرياضي وسنوات طويلة من تدريس الرياضيات شحذ قدرتي على شرح اللغة المنطقية وتنسيقات الإثبات. لقد تعلمت كيفية بناء حدس الطلاب ، مما مكنني من تقديم المفاهيم بطريقة مفهومة. لاحظ مراجعو نص الهندسة الخاص بي إلى أي مدى نجحت مشاكله المبتكرة في بناء حدس الطلاب.

غالبًا ما يحتاج الطلاب إلى المساعدة في الانتقال من الدورات التدريبية القائمة على حل المشكلات إلى الدورات التدريبية القائمة على الإثبات ، وخاصة الجبر المجرد والتحليل. الأسس أو الدورة الانتقالية هي الاستجابة الأكثر شيوعًا لهذه الحاجة.في حين أن تخصصات الرياضيات الأفضل تقوم بهذا الانتقال بسهولة من تلقاء نفسها ، فإن العديد من أقسام الرياضيات تعتمد على الدورات التدريبية الأساسية لمساعدة المزيد من الطلاب على النجاح.

عادةً ما يكون لدى الطلاب الذين يدرسون مساقًا أساسيًا بعض المقررات الجامعية القائمة على حل المشكلات - فصلين أو ثلاثة فصول دراسية في حساب التفاضل والتكامل وربما الجبر الخطي أو المعادلات التفاضلية - مع القليل من التركيز على الإثبات أو بدونه. نظرًا لأن العديد من المدارس الثانوية قد قللت من مقدار الإثبات الذي يتم تدريسه في فصول الهندسة ، فقد تكون الدورة التأسيسية أول لقاء للطالب مع الدليل الرياضي. علاوة على ذلك ، في دورات حل المشكلات ، غالبًا ما لا يقرأ الطلاب النص ، ناهيك عن فهم أو استخدام التعريفات الرياضية الرسمية. في الواقع ، العديد من نصوص التفاضل والتكامل تعكر المياه من خلال وصف الحدس ، على سبيل المثال. المشتق هو ميل الظل كتعاريف. وبالتالي ، غالبًا ما يختبر الطلاب التعاريف الرياضية على أنها تدوينات ذات صياغة غريبة ، بدلاً من كونها مفاتيح واضحة وموجزة بشكل استثنائي لإثبات النتائج. نظرًا لأنهم بحاجة إلى تعلم تنسيقات الإثبات وابتكار استراتيجيات إثبات في نفس الوقت الذي يتصارعون فيه مع المفاهيم الجديدة ، فإنهم يواجهون إحباطًا كبيرًا. في الواقع ، أعتقد أنه يتحدث بشكل جيد عن مهارة وتفاني أعضاء هيئة التدريس في الرياضيات لدرجة أن العديد من الطلاب ينجحون في الدورات التأسيسية.

الدورات الأساسية للتدريس بالكلية هي بشكل عام دكتوراه. علماء رياضيات بدون تدريب رسمي في المنطق. إنهم يعملون بجد لمساعدة طلابهم ، لكنهم بحاجة إلى نص لدعم الانتقال. فهم يعتمدون على النص الذي يشرح ويوضح المفاهيم الجديدة والتعريفات وأعراف البراهين الكتابية. يؤكدون على إثبات النظريات وتغطية نظرية المجموعة الأولية. غالبًا ما تضيف الأقسام الفردية متطلبات أخرى ، مثل إدخال الرياضيات المنفصلة أو توفير السبق في التحليل الحقيقي أو الجبر.

أحد أفضل النصوص مبيعًا ، الانتقال إلى المستوى المتقدم نجحت الرياضيات التي كتبها سميث وإيجين وسانت أندريه ونشرها بروكس كول في العديد من الطرق الأساسية. إنه يغطي جميع المواد الأساسية مع عدد كبير من المشاكل من العديد من الأنواع. كما يسلط الضوء على تنسيقات الإثبات المختلفة. ومع ذلك ، كنت أنا وزملائي غير راضين عن ذلك لعدة أسباب. إن عرضه الموسوعي للخصائص في المنطق الأولي ونظرية المجموعات يجعل من الصعب على الطلاب التمييز بين الخصائص المفيدة من الخصائص العرضية. فشل عرضها الجاف للرياضيات بدون دافع أو اتصالات في إشراك طلابي - فقد اعتقدوا أن الدورة كانت غرفة انتظار قبل أن يُسمح لهم بتعلم الأشياء الحقيقية. مثل النصوص الأخرى ، فإنه لا ينقل الحدس حول التعريفات والرموز والمفاهيم الجديدة ، ويتوقع من الطلاب دمج هذه المادة الجديدة في البراهين على الفور.

من أقدم النصوص ، كيف تقرأ وتكتب البراهين من تأليف Solow ونشره Wiley ، يحقق جيدًا ما يقوله عنوانه. في عام 1983 استخدمته بنجاح كمكمل لمقرر الجبر الخطي مع التأكيد على البراهين. (لم نعد نحاول تدريس تقنيات الإثبات في هذه الدورة.) ومع ذلك ، فمن الصعب اعتبارها نصًا لدورة تدريبية أساسية لأنها لا تغطي نظرية المجموعات أو أي محتوى رياضي آخر.

الكتاب الفصل الأول بواسطة شوماخر ونشرته أديسون ويسلي ، يستخدم أسلوبًا مختلفًا تمامًا عن النصوص الأخرى. لا يقدم عن قصد أدلة على النتائج بحيث يحتاج الطلاب إلى إنشاء نص خاص بهم. لسوء الحظ ، فهي ليست مفيدة كمرجع لاحق للطلاب. استخدمه أحد الزملاء في قسم مناقشة صغير مبني على دورة التأسيس. اعتقدت أنه يعمل بشكل جيد مع هذا التنسيق وحجم الفصل. أظن أن القليل من الأساتذة سيختارون هيكل الدورة هذا. أشك في أن هذا النص سيتناسب بشكل جيد مع الدورة التدريبية القياسية أو مع أحجام الفصول الأكثر نموذجية.

لقد انتهيت للتو من استخدام أسس الرياضيات العليا بقلم فليتشر وباتي ونشرها بروكس كول. نصحني زملائي أنه أفضل ما هو متاح ، وأفضل من نص سميث وإيجين وسانت أندريه. بينما يعجبني كثيرًا منه ، ويجده الطلاب عمومًا أكثر قابلية للقراءة من نص سميث ، أجد العديد من جوانبه محبطة. في الواقع ، دفعتني خيبة أملي من هذا النص أخيرًا إلى اقتراح كتابة نص. فهو لا يؤكد بشكل كافٍ على تنسيقات الإثبات ويفشل في مناقشة كيفية إثبات التفرد في الفصل الخاص بالبراهين. يفشل في تحفيز أو ربط الموضوعات المختلفة التي يعرضها. المشاكل متفاوتة في الجودة. المواد المتعلقة ببديهية الاختيار وما يقابلها مختصرة جدًا لمساعدة الطلاب على فهم كيفية استخدام هذه الأدوات المعقدة. يكتب المؤلفون في كثير من الأحيان تعريفات ومشكلات باستخدام اللغة الإنجليزية العامية المربكة. بعض رسومات السيرة الذاتية تشوه التاريخ ، والأكثر فظاعة هي سيرة إيفاريست جالوا.

النصوص مقدمة في الرياضيات الهياكل و ممارسة الرياضيات من تأليف Galovich ونشره Harcourt Brace و Jovanovich جيد جدًا ، لكن الأول معقد للغاية بالنسبة للعديد من التخصصات ، والثاني ، الأصغر حجماً ، يغفل الكثير من الموضوعات.

لم تتح لي الفرصة لاستخدام النص الحديث للغاية البراهين الرياضية: الانتقال إلى الرياضيات المتقدمة بواسطة Chartrand و Polimeni و Zhang ونشرها Addision Wesley. إنه يقدم أفكار نظرية المجموعات قبل تنسيقات الإثبات ويبدو أنه يعطي مناقشات جيدة وواضحة حول البراهين. ومع ذلك ، بدءًا من الفصل الخاص بعلاقات التكافؤ ، يبدو أنه يعود إلى التنسيق المعتاد لتوقع البراهين في نفس الوقت الذي يتعلم فيه الطلاب المفاهيم. كما أنه يضع العلاقات أمام الوظائف ، على الرغم من أن الطلاب أكثر دراية بالوظائف. أخيرًا ، لا يتطرق إلى أكسيوم الاختيار على الإطلاق ، وهو موضوع أعتقد أنه يجب أن يتناوله النص الأساسي بعناية.

سيتضمن نصي جميع الموضوعات المألوفة في العديد من النصوص الحالية. سيكون الاختلاف التربوي الأكثر أهمية عن النصوص الأخرى هو ترتيب الموضوعات في الجزء الأول (انظر جدول المحتويات أدناه.) يحتاج الطلاب إلى العمل مع الرموز والتعريفات الجديدة قبل أن يتمكنوا من إثبات الخصائص التي تنطوي عليها. لذلك أقترح تأخير البراهين حتى الفصل الثاني. سيقدم الفصل الأول لغة الرياضيات - المنطق والمجموعات والأرقام. ستمنح الطلاب ممارسة استخدام التعريفات وكتابتها ، وإيجاد أمثلة وأمثلة مضادة ، والتخمين. يوفر هذا الأسلوب أيضًا مجموعة متنوعة من الخصائص لإثباتها في الفصل التالي حول البراهين. مجموعة كبيرة ومتنوعة من تمارين الإثبات ، بما في ذلك `` البراهين التفصيلية '' ، حيث يملأ الطلاب الخطوات المفقودة ، ستعزز التفاعل بين الحدس والشكل. سأنهي فصل الإثبات بمناقشة عامة لتكوين البراهين وكتابتها ، بما في ذلك كتابة البرهان الجيد والأخطاء الشائعة ودور الأمثلة والرسوم التوضيحية.

أقترح تأجيل باب العلاقات إلى ما بعد الفصل الخاص بالوظائف. على الرغم من أن الدوال هي رسميًا حالة خاصة من العلاقات ، إلا أن طلاب حساب التفاضل والتكامل يفكرون بالفعل في الوظائف بشكل عام ، بينما واجهوا أمثلة معزولة فقط من العلاقات. وبالتالي يمكن للطلاب البناء على فهمهم للوظائف لإعداد حدسهم للخصائص المجردة للعلاقات.

مراكز تعلم الطلاب على مجموعات المشاكل. سأقوم بتضمين مجموعة كبيرة من المشكلات المتنوعة ومستويات الصعوبة ، بما يكفي لمهمتين على المواد التي يجد الطلاب صعوبة فيها. في الواقع ، هناك عدد من الأقسام التي سأشير إليها في المقدمة تستحق أكثر من فصل دراسي. من الناحية التربوية ، أعتقد أن الطلاب يستفيدون من مثل هذا الوقت الإضافي المتعمد لتجميع المواد الصلبة. سأقوم بتضمين تمارين في قراءة الرياضيات ، وهي مهارة تحاول بعض النصوص معالجتها.

أتوقع أن يقوم معلم يستخدم هذا النص بتنفيذ كل الجزء الأول. يمكن أن تتضمن دورة الفصل الدراسي فصلًا واحدًا على الأقل في الجزء الثاني أو أجزاء كبيرة من فصلين أو أكثر. سأكتب كل فصل في الجزء الثاني ليكون بمثابة مرجع مفيد للطلاب الذين لم تتناول الدورة التدريبية هذا الموضوع. سيعمل النص بأكمله كمرجع طويل المدى ، مع التعريفات والنظريات المهمة المشار إليها بوضوح في النص ووضعها كتمارين ثانوية.

الميزات الأخرى المقترحة لهذا النص تستحق بعض الذكر.

سيتضمن هذا النص منظورًا تاريخيًا ومخططات للسيرة الذاتية لمصلحتهم الجوهرية ولأسباب تربوية. على سبيل المثال ، تساعد قيود القياس المنطقي لأرسطو في تفسير الحاجة إلى المُحدِدات الكمية للتعامل مع التفاصيل الدقيقة للتفكير الرياضي.

يحتاج العديد من طلاب الدراسات العليا المستقبليين إلى مرجع يقدم عرضًا تقديميًا واضحًا لبديهية الاختيار و Zorn's Lemma ومبدأ حسن الترتيب. سيشرحها الفصل الخامس بعناية ويوضح استخدامها في البراهين ، على الرغم من أنني سأكتبها حتى يتمكن المعلم من حذف تلك المواد بسهولة عند تقديم بقية الفصل.

في حين أن البديهيات والرياضيات الفوقية وفلسفة الرياضيات هي مواضيع غير عادية في مقرر أساسيات ، أعتقد أنها تنتمي إلى النص ، لا سيما في دوره كمرجع. شكل النهج البديهية العرض الحالي والممارسة في الجبر والهندسة والتحليل. بالإضافة إلى ذلك ، فإن نتائج الرياضيات الوصفية توضح فهمنا لما يمكن وما لا تستطيع الرياضيات وعلوم الكمبيوتر القيام به. تستمر الأسئلة حول الوجود الرياضي والحقيقة والتطبيق في إرباك أي شخص مهتم بالرياضيات ، حتى لو تلاشت المعارك الفلسفية لفترة طويلة. بالإضافة إلى وصف موجز لنقاط القوة والضعف وجاذبية المواقف الفلسفية التقليدية ، سأدرج مناقشات قصيرة حول البنائية التربوية وعلم النفس المعرفي. يجد طلابي هذه المادة جذابة وفرصة ثمينة للتفكير في الرياضيات.

تركز الفصول الثلاثة الأخيرة على الاحتياجات الخاصة. تتضمن بعض المدارس موضوعات منفصلة في الدورة التأسيسية لتجنب طلب دورة أخرى ، خاصة لمعلمي الرياضيات في المرحلة الثانوية في المستقبل. سوف يلبي الفصل الخاص بالرياضيات المنفصلة هذه الحاجة. تتمثل الصعوبة الأكبر لطلاب الجبر المجرد في العمل بشكل رسمي في إثبات الخصائص المجردة. سيوفر فصل الجبر جسرًا باستخدام أمثلة مألوفة. سيقوم الطلاب بعمل التخمينات وكذلك القيام ببراهين بسيطة. غالبًا ما يعاني الطلاب في التحليل من تعريفاته المعقدة وتقنيات الإثبات. أثناء التحضير ، سيبني الفصل الخاص بالتحليل حدسًا تحليليًا حول "تحويل التقديرات التقريبية إلى قيم دقيقة" قبل تقديم التعريفات الرسمية وإثباتات دلتا إبسيلون.


أ محدود محليا poset هو واحد فيه كل فترة مغلقة

أعضاء الجبر الوقوع هي الوظائف F التخصيص لكل فاصل زمني غير فارغ [أ ، ب] عددي F(أ, ب) ، مأخوذ من حلقة من عددي، حلقة تبادلية مع الوحدة. في هذه المجموعة الأساسية ، يُعرّف المرء الجمع والضرب القياسي بشكل نقطي ، و "الضرب" في جبر الوقوع هو الالتواء المحدد بواسطة

الجبر الوقوع هو ذو أبعاد محدودة إذا وفقط إذا كان الموضع الأساسي محدودًا.

تحرير المفاهيم ذات الصلة

إن جبر الوقوع مشابه لجبر المجموعة في الواقع ، كل من جبر المجموعة وجبر الوقوع هما حالات خاصة من فئة الجبر ، يتم تعريف المجموعات والوضعيات على نحو متماثل على أنها أنواع خاصة من الفئات.

تحرير المصفوفات المثلثية العليا

ضع في اعتبارك حالة الطلب الجزئي ≤ على أي عنصر n من مجموعة S. نعد S كـ س1, …, سن ، وبطريقة يكون العد فيها متوافقًا مع الترتيب ≤ على S ، أي ، سأناسي يدل أناي ، وهو أمر ممكن دائمًا.

بعد ذلك ، يمكن اعتبار الوظائف f على النحو الوارد أعلاه ، من الفواصل الزمنية إلى الحجميات ، على أنها مصفوفات أاي جاي ، أين أاي جاي = F(سأنا, سي) كلما كان أناي ، و أاي جاي = 0 خلاف ذلك. نظرًا لأننا رتبنا S بطريقة تتفق مع الترتيب المعتاد في مؤشرات المصفوفات ، فإنها ستظهر كمصفوفات مثلثة عليا بنمط صفري محدد تحدده العناصر التي لا تضاهى في S تحت.

يكون الجبر الوقوع لـ ≤ متماثلًا بعد ذلك في جبر المصفوفات المثلثية العليا مع هذا النمط الصفري الموصوف والإدخالات العددية التعسفية (بما في ذلك ربما صفر) في كل مكان آخر ، مع عمليات إضافة المصفوفة العادية ، والقياس والضرب. [1]

عنصر المحاذاة المضاعف لجبر الوقوع هو دالة دلتا، من تحديد

ال وظيفة زيتا الجبر الوقوع هو دالة ثابتة ζ(أ, ب) = 1 لكل فاصل زمني غير فارغ [أ ، ب]. الضرب في ζ يماثل التكامل.

يمكن للمرء أن يظهر أن ζ قابل للعكس في جبر الوقوع (فيما يتعلق بالالتفاف المعرّف أعلاه). (بشكل عام ، عضو ح من حدوث الجبر يكون معكوسًا إذا وفقط إذا ح(x, x) قابل للعكس لكل x.) المعكوس الضربي لوظيفة زيتا هو دالة موبيوس ميكرومتر(أ ، ب) كل قيمة ميكرومتر(أ ، ب) هو مضاعف متكامل للعدد 1 في الحلقة الأساسية.

يمكن أيضًا تعريف دالة Möbius بشكل استقرائي بالعلاقة التالية:

الضرب في ميكرومتر هو مشابه للتفاضل ، ويسمى انعكاس موبيوس.

يحسب مربع دالة زيتا عدد العناصر في فترة زمنية:

الوضع هو المحصورة إذا كان يحتوي على عناصر أصغر وأكبر ، وهو ما نسميه 0 و 1 على التوالي (يجب عدم الخلط بينه وبين 0 و 1 من حلقة العددية). ال خاصية أويلر من الوضع المحدود المحدد هو ميكرومتر(0،1). وسبب هذا المصطلح هو ما يلي: إذا ص لديه 0 و 1 ، إذن ميكرومتر(0،1) هي خاصية أويلر المختصرة للمركب البسيط الذي تكون وجوهه سلاسل ص <0 ، 1>. يمكن إظهار ذلك باستخدام نظرية فيليب هول المتعلقة بقيمة ميكرومتر(0،1) إلى عدد سلاسل الطول i.

ال انخفاض نسبة الجبر يتكون من وظائف تعين نفس القيمة لأي فترتين متكافئتين بالمعنى المناسب ، وعادة ما تعني متشابهًا كإيجابيات. هذا هو الجبر الفرعي لحدود الجبر ، ومن الواضح أنه يحتوي على عنصر مطابقة الجبر ودالة زيتا. أي عنصر من عناصر الجبر المنخفض الوقوع الذي يكون قابلاً للعكس في الجبر ذي الوقوع الأكبر له معكوسه في الجبر المنخفض الوقوع. وبالتالي فإن دالة موبيوس هي أيضًا في جبر الحدوث المنخفض.

تم تقديم الجبر المنخفض الحدوث بواسطة Doubillet و Rota و Stanley لإعطاء بنية طبيعية لحلقات مختلفة من وظائف التوليد. [2]


الرياضيات (MATH)

هذه الدورة مخصصة للطلاب في مسار الجبر (بشكل أساسي ما قبل العلوم والتكنولوجيا والهندسة والرياضيات وما قبل الأعمال) الذين يرغبون في تحسين وضعهم في الرياضيات ومهاراتهم في مجالات الرياضيات المرغوبة. يتم تحديد الموضوعات التي يتم تناولها بشكل فريد من خلال تقييم تحديد المستوى الأولي للطالب. لا تحتسب تجاه الدرجة. يمكن أن تتكرر. التقدير هو ABC / NC.

رياضيات 1510 كلية الجبر 4 س.

تهدف هذه الدورة في المقام الأول إلى إعداد طلاب العلوم والتكنولوجيا والهندسة والرياضيات (جنبًا إلى جنب مع الرياضيات 1511) للرياضيات 1570 أو 1571 وطلاب الأعمال للرياضيات 1552. وتشمل الموضوعات الأرقام الحقيقية والمعادلات وعدم المساواة والوظائف الخطية والتربيعية والمتعددة الحدود والأسية واللوغاريتمية وتقنيات الرسوم البيانية وأنظمة المعادلات والتطبيقات. تستوفي الدورة متطلبات التعليم العام للرياضيات.
متطلب سابق: المستوى 30 على الأقل في اختبار تحديد المستوى في الرياضيات أو المستوى 20 في اختبار تحديد المستوى في الرياضيات والتسجيل المتزامن في الرياضيات 1510 ج.
الجنرال إد: الرياضيات.

MATH 1510C College Algebra مع دعم المتطلبات المشتركة 6 s.h.

تهدف هذه الدورة في المقام الأول إلى إعداد طلاب STEM (جنبًا إلى جنب مع MATH 1511C) للرياضيات 1570 أو 1571 وطلاب الأعمال للرياضيات 1552. وتشمل الموضوعات الأرقام الحقيقية والمعادلات وعدم المساواة والوظائف الخطية والتربيعية والمتعددة الحدود والأسية واللوغاريتمية وتقنيات الرسم البياني وأنظمة المعادلات والتطبيقات. يتضمن دعمًا أساسيًا أساسيًا للطلاب الذين يحتاجون إلى علاج في الرياضيات أثناء دراسة الجبر بالكلية. سيتم التركيز على المهارات المطلوبة مسبقًا اللازمة لعلم الجبر الجامعي وكذلك المراجعة في الوقت المناسب من خلال استخدام التكنولوجيا المناسبة. تستوفي الدورة متطلبات التعليم العام للرياضيات.
متطلب سابق: YSU الرياضيات المستوى 20.
الجنرال إد: الرياضيات.

MATH 1511 علم المثلثات 3 s.h.

تهدف هذه الدورة إلى جانب MATH 1510 في المقام الأول إلى إعداد طلاب STEM لـ MATH 1570 أو MATH 1571. تشمل الموضوعات البنية الجبرية والرسوم البيانية للوظائف المثلثية والوظائف المثلثية العكسية وقياسات الزوايا والمثلثات المتشابهة والهويات المثلثية والمتجهات والأرقام المركبة والقطبية ينسق وحل المعادلات المثلثية مع التطبيقات.
متطلب سابق:المستوى 35 في الرياضيات أو المستوى 20 في اختبار تحديد المستوى في الرياضيات مع الانتهاء بنجاح من الرياضيات 1510 والرياضيات 1510 ج والتسجيل في الرياضيات 1511 ج.
الجنرال إد: الرياضيات.

MATH 1511C حساب المثلثات مع دعم المتطلبات المشتركة 4 s.h.

تهدف هذه الدورة إلى توفير دعم أساسي أساسي للطلاب الذين يحتاجون إلى علاج في الرياضيات أثناء تسجيلهم في الرياضيات 1511 (علم المثلثات). سيتم التركيز على المهارات المطلوبة مسبقًا اللازمة لعلم المثلثات وكذلك في الوقت المناسب فقط المراجعة من خلال استخدام التكنولوجيا المناسبة. لا تحتسب نحو درجة.
متطلب سابق: المستوى 20 في اختبار تحديد المستوى في الرياضيات مع إتمام مادتي MATH 1510 و MATH 1510C والتسجيل في MATH 1511.
الجنرال إد: الرياضيات.

رياضيات 1513 الجبر والدالة التجاوزية 5 s.h.

مفاهيم الوظائف بما في ذلك الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية. مشاكل التطبيق والرسوم البيانية. موضوعات تكميلية.
متطلب سابق: تحديد مستوى الرياضيات 45 أو أعلى.
الجنرال إد: الرياضيات.

MATH 1552 الرياضيات التطبيقية للإدارة 4 s.h.

تطبيق الوظائف والأنظمة الخطية والبرمجة الخطية للأعمال بما في ذلك استخدام الرياضيات التكنولوجية للتمويل ومقدمة للحدود والمشتقات والتكامل مع تطبيقات الأعمال. لا يوجد رصيد للطلاب الذين أكملوا MATH 1570 أو MATH 1571.
متطلب سابق: MATH 1510 بتقدير & quotC & quot أو أفضل أو على الأقل المستوى 45 في اختبار تحديد المستوى في الرياضيات.
الجنرال إد: الرياضيات.

رياضيات 1564 أسس رياضيات المرحلة الإعدادية 1 4 s.h.

الأسس المفاهيمية للموضوعات من نظرية الأعداد والعمليات والوظائف والجبر وتحليل البيانات. التأكيد على المناهج والتمثيلات المتعددة وحل المشكلات وتواصل التفكير الرياضي. يشمل الخبرات المستندة إلى الاستفسار مع وسائل التلاعب وتكنولوجيا الحوسبة.
متطلب سابق: المستوى 35 في اختبار تحديد المستوى في الرياضيات.

MATH 1570 حساب التفاضل والتكامل التطبيقي 1 4 s.h.

عناصر التفاضل والتكامل مع التركيز على التطبيقات. الهندسة التحليلية وتقنيات التمايز والتكامل والتمثيلات المتسلسلة. مقدمة في المعادلات التفاضلية وتحويل التفاضل والتكامل وتحليل فورييه. هذه دورة في الأساليب الأساسية تم تكييفها خصيصًا لأولئك الذين يحتاجون إلى موضوعات تطبيقية في الرياضيات.لا ينطبق على تخصص الرياضيات. لن يتم منح رصيد لكل من رياضيات 1552 ورياضيات 1570.
متطلب سابق: MATH 1513 أو MATH 1510 و MATH 1511 بتقدير & quotC & quot أو أفضل ، أو على الأقل المستوى 70 في اختبار تحديد المستوى في الرياضيات.
الجنرال إد: الرياضيات.

1571 رياضيات التفاضل والتكامل 1 4 s.h.

سلسلة من الدورات المتكاملة في الهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل. دراسة تفصيلية للحدود والمشتقات وتكامل الدوال لمتغير واحد وعدة متغيرات مع تطبيقات.
متطلب سابق: MATH 1513 ، الحد الأدنى للدرجات & quotC & quot ، أو MATH 1510 و MATH 1511 ، والحد الأدنى للدرجات & quotC & quot في كلا الدورتين ، أو المستوى 70 على الأقل في اختبار تحديد المستوى في الرياضيات.
الجنرال إد: الرياضيات.

رياضيات 1571H مع مرتبة الشرف حساب التفاضل والتكامل 1 4 s.h.

سلسلة من الدورات المتكاملة في الهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل. دراسة تفصيلية للحدود والمشتقات وتكامل الدوال لمتغير واحد وعدة متغيرات مع تطبيقات.
متطلب سابق: MATH 1513 ، الحد الأدنى للدرجات & quotC & quot ، أو MATH 1510 و MATH 1511 ، والحد الأدنى للدرجات & quotC & quot في كلا الدورتين ، أو المستوى 70 على الأقل في اختبار تحديد المستوى في الرياضيات.
الجنرال إد: الرياضيات.

1572 رياضيات التفاضل والتكامل 2 4 s.h.

سلسلة من الدورات المتكاملة في الهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل. دراسة تفصيلية للحدود والمشتقات وتكامل الدوال لمتغير واحد وعدة متغيرات مع تطبيقات.
متطلب سابق: C أو أفضل في MATH 1571 أو 1571H أو 1581H.
الجنرال إد: الرياضيات.

رياضيات 1572H مع مرتبة الشرف 2 4 s.h.

سلسلة من الدورات المتكاملة في الهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل. دراسة تفصيلية للحدود والمشتقات وتكامل الدوال لمتغير واحد وعدة متغيرات مع تطبيقات.
متطلب سابق: MATH 1571 أو MATH 1581H بدرجة & quotC & quot أو أفضل.
الجنرال إد: الرياضيات.

MATH 1580H تكرم الرياضيات الحيوية 1 2 s.h.

تقنيات العد والاحتمالات والمصفوفات والأنظمة الخطية. التأكيد على دور النماذج الرياضية في تفسير الظواهر والتنبؤ بها في علوم الحياة.
متطلب سابق: القبول في برنامج NEOMED-YSU.

رياضيات 1581H تكرم الرياضيات الحيوية 2 4 s.h.

تؤكد الحدود ، المشتقات ، التكاملات على النظرية ، البراهين ، epsilonics اللاخطية ، التطبيقات الطبية / الصحية. يطور بدقة الوظائف اللوغاريتمية / الأسية. المشاريع الكبرى لتطبيق المعادلات التفاضلية على الطب. يمكن منح رصيد لكل من MATH 1571 و MATH 1581H إذا تم أخذها بهذا الترتيب ، يمكن أن تكون MATH 1581H شرطًا أساسيًا لـ MATH 1572.
متطلب سابق: القبول في برنامج YSU-BaccMed.
الجنرال إد: الرياضيات.

رياضيات 1585H تكرم حساب التفاضل والتكامل 1 5 s.h.

سلسلة من الدورات الدراسية مع مرتبة الشرف في الهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل والتي تغطي أساسًا نفس مادة الرياضيات 1571 ، 1572 ، 2673 ، في فصلين دراسيين بدلاً من ثلاثة. دراسة تفصيلية للحدود والمشتقات وتكامل الدوال لمتغيرات واحدة ومتعددة وتطبيقاتها. سيتم تقديم هذا التسلسل مرة واحدة على الأكثر خلال كل عام دراسي.
متطلب سابق: الدرجة الفرعية للرياضيات في ACT والتي تبلغ 32 درجة ، أو درجة حساب التفاضل والتكامل من 4 أو أعلى ، أو على الأقل وحدة واحدة من حساب التفاضل والتكامل بالمدرسة الثانوية بدرجة 28 أو أعلى في امتحان تحديد المستوى أو إذن المعلم.
الجنرال إد: الرياضيات.

MATH 1586H معمل التفاضل والتكامل مع مرتبة الشرف 1 1 s.h.

مقدمة في النمذجة الرياضية للموضوعات التي يتم تناولها في حساب التفاضل والتكامل. يؤكد على استخدام التكنولوجيا مثل أنظمة الجبر الحاسوبية ، ومعالجة المستندات الفنية ، وبرامج الرسومات لحل المشكلات وحلول التقارير.
متطلب سابق: 1571 رياضيات أو متزامنة مع 1585 هـ.

رياضيات 2623 الاستدلال الكمي 3 s.h.

تؤكد نماذج الرياضيات على الأفكار الأساسية في الرياضيات والإحصاء ، وتؤكد على تكوين المفهوم بدلاً من المهارات المتلاعبة.
متطلب سابق: على الأقل مستوى 15 في الرياضيات أو مستوى 10 في الرياضيات والتسجيل في الرياضيات 2623 ج.
الجنرال إد: الرياضيات.

MATH 2623C الاستدلال الكمي مع دعم المتطلبات المشتركة 5 s.h.

تهدف هذه الدورة إلى توفير الدعم الأساسي المتطلب للطلاب الذين يحتاجون إلى علاج في الرياضيات أثناء تسجيلهم في نفس الوقت في الرياضيات 2623 (التفكير الكمي). سيتم التركيز على المهارات المطلوبة مسبقًا للرياضيات 2623 وكذلك المراجعة في الوقت المناسب من خلال استخدام التكنولوجيا المناسبة. لا تحتسب نحو درجة.
متطلب سابق: مستوى 10 في الرياضيات والتسجيل في رياضيات 2623.
الجنرال إد: الرياضيات.

رياضيات 2623H تكرم التفكير الكمي 3 s.h.

تؤكد نماذج الرياضيات على الأفكار الأساسية في الرياضيات والإحصاء ، وتؤكد على تكوين المفهوم بدلاً من المهارات المتلاعبة.
متطلب سابق: المستوى 20 على الأقل في اختبار تحديد المستوى في الرياضيات أو المستوى 10 في اختبار تحديد المستوى في الرياضيات والتسجيل المتزامن في الرياضيات 2623 ج.
الجنرال إد: الرياضيات.

رياضيات 2651 رياضيات لمعلمي الطفولة المبكرة 1 3 s.h.

تطوير مفاهيمي لموضوعات الرياضيات التي يقوم عليها منهج اليوم ما قبل الروضة للصف الثالث. التركيز على مناهج متعددة وحل المشكلات وتواصل الرياضيات. يشتمل على أنشطة الفصول الدراسية ، والوسائل ، والتكنولوجيا ، والأنشطة المناسبة تنمويًا للأطفال الصغار.
متطلب سابق: ما لا يقل عن مستوى 15 في الرياضيات أو مستوى 10 في الرياضيات والتسجيل في رياضيات 2651 ج.

MATH 2651C الدعم الأساسي للرياضيات لمعلمي الطفولة المبكرة 3 s.h.

تهدف هذه الدورة إلى توفير دعم أساسي أساسي للطلاب الذين يحتاجون إلى إصلاح في الرياضيات أثناء تسجيلهم في نفس الوقت في رياضيات 2651. سيتم التركيز على المهارات المطلوبة مسبقًا اللازمة لموضوعات الجبر والرقم والعمليات والكمية بالإضافة إلى المراجعة في الوقت المناسب من خلال استخدام التكنولوجيا المناسبة. لا تحسب نحو درجة.
متطلب سابق: المستوى 10 الرياضيات التنسيب والتسجيل في الرياضيات 2651.

رياضيات 2652 رياضيات لمعلمي الطفولة المبكرة 2 3 s.h.

تطوير مفاهيمي لموضوعات الرياضيات التي يقوم عليها منهج اليوم ما قبل الروضة للصف الثالث. التركيز على مناهج متعددة وحل المشكلات وتواصل الرياضيات. يشتمل على أنشطة الفصول الدراسية ، والوسائل ، والتكنولوجيا ، والأنشطة المناسبة تنمويًا للأطفال الصغار.
متطلب سابق: رياضيات 2651.
الجنرال إد: الرياضيات.

رياضيات 2661 رياضيات لمعلمي المرحلة الابتدائية 1 4 s.h.

تطوير مفاهيمي لموضوعات الرياضيات التي يقوم عليها منهج اليوم ما قبل الروضة للصف الخامس (العدد ، العمليات ، والتفكير الجبري). التركيز على مناهج متعددة وحل المشكلات وتواصل الرياضيات. يشتمل على الوسائل المتلاعبة والتكنولوجيا وأنشطة الفصل الدراسي المناسبة من الناحية التنموية للأطفال في المراحل المبكرة والمبتدئة.
متطلب سابق: المستوى 15 على الأقل في اختبار تحديد المستوى في الرياضيات أو المستوى 10 في اختبار تحديد المستوى في الرياضيات والتسجيل في رياضيات 2661 ج.

رياضيات 2661 ج دعم المتطلبات المشتركة للرياضيات لمعلمي المرحلة الابتدائية 1 3 s.h.

تهدف هذه الدورة إلى توفير دعم أساسي أساسي للطلاب الذين يحتاجون إلى إصلاح في الرياضيات أثناء تسجيلهم في نفس الوقت في الرياضيات 2661. سيتم التركيز على المهارات الأساسية اللازمة لموضوعات الجبر والرقم والعمليات والكمية بالإضافة إلى المراجعة في الوقت المناسب من خلال استخدام التكنولوجيا المناسبة.
متطلب سابق: التسجيل في رياضيات 2661.

رياضيات 2662 رياضيات لمعلمي المرحلة الابتدائية 2 4 s.h.

تطوير مفاهيمي لموضوعات الرياضيات التي يقوم عليها منهج الصف الخامس لمرحلة ما قبل الروضة اليوم (الكسور العشرية ، النسب ، النسب المئوية ، الهندسة ، القياس ، الاحتمالية والإحصاءات). التركيز على مناهج متعددة وحل المشكلات وتواصل الرياضيات. يشتمل على الوسائل المتلاعبة والتكنولوجيا وأنشطة الفصل الدراسي المناسبة من الناحية التنموية للأطفال في سن مبكرة ومبتدئة.
متطلب سابق: رياضيات 2661.
الجنرال إد: الرياضيات.

رياضيات 2665 أسس رياضيات المرحلة الإعدادية 2 4 s.h.

التأكيد على المناهج والتمثيلات المتعددة وحل المشكلات وتواصل التفكير الرياضي. يشمل الخبرات المستندة إلى الاستفسار مع وسائل التلاعب وتكنولوجيا الحوسبة.
متطلب سابق: المستوى 35 في اختبار تحديد المستوى في الرياضيات.
الجنرال إد: الرياضيات.

رياضيات 2670 حساب التفاضل والتكامل التطبيقي 2 5 s.h.

عناصر التفاضل والتكامل مع التركيز على التطبيقات. الهندسة التحليلية وتقنيات التمايز والتكامل والتمثيلات المتسلسلة. مقدمة في المعادلات التفاضلية وتحويل التفاضل والتكامل وتحليل فورييه. هذه دورة في الأساليب الأساسية تم تكييفها خصيصًا لأولئك الذين يحتاجون إلى موضوعات تطبيقية في الرياضيات. لا ينطبق على تخصص الرياضيات.
متطلب سابق: MATH 1570 بتقدير & quotC & quot أو أفضل.
الجنرال إد: الرياضيات.

رياضيات 2673 حساب التفاضل والتكامل 3 4 s.h.

سلسلة من الدورات المتكاملة في الهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل. دراسة تفصيلية للحدود والمشتقات وتكامل الدوال لمتغير واحد وعدة متغيرات مع تطبيقات.
متطلب سابق: رياضيات 1572 بعلامة & quotC & quot أو أفضل.

رياضيات 2673H مع مرتبة الشرف حساب التفاضل والتكامل 3 4 s.h.

سلسلة من الدورات المتكاملة في الهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل. دراسة تفصيلية للحدود والمشتقات وتكامل الدوال لمتغير واحد وعدة متغيرات مع تطبيقات.
متطلب سابق: رياضيات 1572 بعلامة & quotC & quot أو أفضل.

رياضيات 2686H تكرم حساب التفاضل والتكامل المعجل 2 5 s.h.

سلسلة من الدورات الدراسية مع مرتبة الشرف في الهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل والتي تغطي أساسًا نفس مادة الرياضيات 1571 ، 1572 ، 2673 ، في فصلين دراسيين بدلاً من ثلاثة. دراسة تفصيلية للحدود والمشتقات وتكامل الدوال لمتغيرات واحدة ومتعددة وتطبيقاتها. سيتم تقديم هذا التسلسل مرة واحدة على الأكثر خلال كل عام دراسي.
متطلب سابق: & quotC & quot أو أفضل في الرياضيات 1585 هـ.
الجنرال إد: الرياضيات.

MATH 2687H مع مرتبة الشرف معمل حساب التفاضل والتكامل 2 1 s.h.

مقدمة في النمذجة الرياضية للموضوعات التي يتم تناولها في التفاضل والتكامل. يؤكد على استخدام التكنولوجيا مثل أنظمة الجبر الحاسوبية ، ومعالجة المستندات الفنية ، وبرامج الرسومات لحل المشكلات وحلول التقارير.
متطلب سابق: MATH 1572 أو متزامن مع MATH 1572H أو 1586H.

MATH 3702 ندوة حل المشكلات للرياضيات الثانوية 3 s.h.

نهج وممارسة مع حل المشكلات مع أمثلة من مجموعة واسعة من الرياضيات. تشمل النقاط التي تم التأكيد عليها مشاكل على مستوى اختبار تقييم أوهايو للمعلمين (OAE) للرياضيات المتكاملة والمشكلات المناسبة لمسابقات المدارس الثانوية. لا ينطبق على الرياضيات الكبرى أو الثانوية.
متطلب سابق: يقتصر على تخصصات BCOE مع MATH 1572 أو 1572H أو MATH 1585H أو موافقة المعلم.

MATH 3705 المعادلات التفاضلية 3 s.h.

طرق ونظريات حل المعادلات التفاضلية بالتطبيقات. الوجود والتفرد. المعادلات من الدرجة الأولى. المعادلات الخطية ذات الترتيب الأعلى. مقدمة في المعادلات التفاضلية الجزئية ومشكلات القيمة الحدية ، بما في ذلك معادلة لابلاس.
متطلب سابق: C أو أفضل في واحدة من MATH 2673 أو MATH 2673H أو MATH 2686H.

MATH 3705H تكرم المعادلات التفاضلية 3 s.h.

طرق ونظريات حل المعادلات التفاضلية بالتطبيقات. الوجود والتفرد. المعادلات من الدرجة الأولى. المعادلات الخطية ذات الترتيب الأعلى. مقدمة في المعادلات التفاضلية الجزئية ومشكلات القيمة الحدية ، بما في ذلك معادلة لابلاس.
متطلب سابق: رياضيات 2673 بتقدير & quotC & quot أو أفضل.

رياضيات 3715 الرياضيات المنفصلة 3 س.

دورة في التراكيب الرياضية المنفصلة لإعداد الطلاب لدورات متقدمة. تشمل الموضوعات نظرية المجموعات والوظائف والعلاقات والمنطق والمحددات الكمية وجداول الحقيقة والتعبيرات المنطقية والاستقراء وتقنيات الإثبات الأخرى والرسوم البيانية. لن يتم منح الائتمان لكل من CSCI 3710 و MATH 3715.
متطلب سابق: 1572 MATH أو 1585H.

رياضيات 3718 الجبر الخطي والرياضيات المتقطعة للمهندسين 3 s.h.

تغطي هذه المقدمة للجبر الخطي والرياضيات المنفصلة الموضوعات التالية: أنظمة المعادلات الخطية ، والمنطق والبرهان ، وجبر المصفوفة ، والمحددات ، والمسافات المتجهة ، والقيم الذاتية والمتجهات الذاتية ، ونظرية المجموعات ، والعد. لا يحتسب المقرر في تخصص الرياضيات. لن يتم منح الائتمان لرياضيات 3718 ورياضيات 3715 ورياضيات 3720.
متطلب سابق: & quotC & quot أو أفضل في الرياضيات 1572.

رياضيات 3720 الجبر الخطي ونظرية المصفوفة 3 s.h.

مصفوفات عمليات مصفوفة تطبيقات التحولات الخطية.
متطلب سابق: 1572 MATH أو 1585H.

رياضيات 3721 الجبر التجريدي 1 4 s.h.

مقدمة في الجبر المجرد التحقيق في المفاهيم الأساسية في نظرية المجموعة والحلقة. تشمل الموضوعات المجموعات ، والمجموعات الفرعية ، والمجموعات الدورية ، ومجموعات التقليب ، ومجموعات التزين ، والمنتجات المباشرة ، والتشابهات ، ومجموعات العوامل ، والحلقات ، والمجالات المتكاملة ، وحلقات متعددة الحدود.
متطلب سابق: رياضيات 3715 ورياضيات 3720.

MATH 3745 موضوعات في النمذجة الرياضية 3 s.h.

يعرّف هذا المقرر الطلاب على طرق النمذجة الرياضية من خلال التطبيقات. ستتم مناقشة الأدوات المستخدمة لتطوير النماذج الرياضية وصقلها واختبارها وتقديمها. قد تختلف الموضوعات التي يتم تناولها والمشاريع التي يتم تنفيذها مع عرض كل دورة ، وهي مصممة لتعريف الطلاب بأنواع المشكلات التي يصممها علماء الرياضيات التطبيقيون العاملون في الأعمال التجارية أو الحكومة أو الصناعة أو البحث. يمكن تكرار الدورة حسب المشاريع أو الموضوعات المقدمة.
متطلب سابق: MATH 2673 أو MATH 2686H أو إذن المعلم.

MATH 3745H موضوعات الشرف في النمذجة الرياضية 3 s.h.

يعرّف هذا المقرر الطلاب على طرق النمذجة الرياضية من خلال التطبيقات. ستتم مناقشة الأدوات المستخدمة لتطوير النماذج الرياضية وصقلها واختبارها وتقديمها. قد تختلف الموضوعات التي يتم تناولها والمشاريع التي يتم تنفيذها مع عرض كل دورة ، وهي مصممة لتعريف الطلاب بأنواع المشكلات التي يصممها علماء الرياضيات التطبيقيون العاملون في الأعمال التجارية أو الحكومة أو الصناعة أو البحث. يمكن تكرار الدورة حسب المشاريع أو الموضوعات المقدمة.
متطلب سابق: MATH 2673 أو MATH 2686H أو إذن المعلم.

رياضيات 3750 تاريخ الرياضيات 3 س.

مسح للتطور التاريخي للرياضيات.
متطلب سابق: رياضيات 3715.

رياضيات 3751 تحليل حقيقي 1 4 s.h.

مقدمة لخصائص نظام الأرقام الحقيقية والمقاييس والخصائص المترية ، مع التحليل النقدي للحدود ، والاستمرارية ، والتفاضل ، والتكامل ، والمفاهيم الأساسية الأخرى التي يقوم عليها حساب التفاضل والتكامل.
متطلب سابق: MATH 3715 وواحدة من MATH 2673 أو MATH 2686H.

رياضيات 3767 الجبر / الهندسة لمعلمي المرحلة الإعدادية 1 4 s.h.

MATH 3767 ، MATH 3768 هو نهج متكامل ومفاهيمي ومتمحور حول الوظيفة لأسس الجبر والهندسة وعلم المثلثات لمتخصصي الرياضيات في مرحلة ما قبل الخدمة. التأكيد على المناهج والتمثيلات المتعددة وحل المشكلات وتواصل التفكير الرياضي. يشمل الخبرات القائمة على الاستفسار. تركز رياضيات 3767 على الأسس المفاهيمية للجبر وأجزاء هندسة الإحداثيات. لا ينطبق على تخصص الرياضيات.
متطلب سابق: المستوى 35 في اختبار تحديد المستوى في الرياضيات.

رياضيات 3768 الجبر / الهندسة لمعلمي المدارس الإعدادية 2 4 s.h.

MATH 3767 و MATH 3768 هو نهج متكامل ومفاهيمي ومتمحور حول الوظيفة لأسس الجبر والهندسة وعلم المثلثات لمتخصصي الرياضيات في مرحلة ما قبل الخدمة. التأكيد على المناهج والتمثيلات المتعددة وحل المشكلات وتواصل التفكير الرياضي. يشمل الخبرات القائمة على الاستفسار. تركز MATH 3768 على الهندسة التركيبية والتحليلية والتحويلية. لا ينطبق على تخصص الرياضيات.
متطلب سابق: رياضيات 2665 والمستوى 35 في اختبار تحديد المستوى في الرياضيات.

MATH 3795 موضوعات في الرياضيات 2-3 s.h.

دراسة موضوع رياضي أو تطوير مجال خاص في الرياضيات. يمكن أن تتكرر مرة واحدة.
متطلب سابق: MATH 1570 أو MATH 1571 أو MATH 2623 أو MATH 2651.

رياضيات 4822 الجبر التجريدي 2 3 s.h.

استمرار لرياضيات 3721 مع التركيز بشكل خاص على المجالات. مواضيع إضافية في الجبر البحت أو التطبيقي.
متطلب سابق: MATH 3721 أو ما يعادلها.

رياضيات 4823 الجبر المجرد 3 3 s.h.

يقدم هذا المساق موضوعات متقدمة في نظرية المجال. قد تشمل الموضوعات المجالات المثالية الرئيسية ، وعدم الاختزال ، وحلقات حاصل القسمة ، والامتدادات الجبرية ، والحقول المحدودة ، وحقول الانقسام ، ومجموعة جالوا.
متطلب سابق: رياضيات 4822.

رياضيات 4830 أسس الهندسة 3 س.

تطور الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية من أنظمة الافتراض.
متطلب سابق: رياضيات 3715.

رياضيات 4832 التحولات الإقليدية 3 s.h.

الخصائص العامة للوظائف والتحولات متساوي القياس وتحولات المستوى الإقليدي المستوى المعقد ، وهندسته والحقول الفرعية المناهج التحويلية والتحليلية والمتجهية لاتصالات الهندسة الإقليدية بفروع الرياضيات والتطبيقات الأخرى.
متطلب سابق: رياضيات 3720 ورياضيات 4830.

MATH 4855 المعادلات التفاضلية العادية 3 s.h.

دورة ثانية في المعادلات التفاضلية مع التركيز على المسائل غير الخطية والأساليب النوعية أو مشاكل القيمة الحدية. يتم اختيار الموضوعات من: براهين النظريات الأساسية ، وتحليل مستوى الطور ، ودورات الحد ، ونظرية بوانكير بنديكسون ، والنماذج البيولوجية ، والاستقرار عبر وظائف Liapunov ، والطرق المقاربة ، ومشاكل القيمة الحدودية.
متطلب سابق: رياضيات 3705 ورياضيات 3720.

رياضيات 4857 معادلات تفاضلية جزئية 3 s.h.

مقدمة في المعادلات التفاضلية الجزئية (PDE) بما في ذلك تقنيات الحلول وتطبيقاتها. تصنيفات الأنواع الأساسية من PDE (القطع الزائد ، القطع المكافئ ، والإهليلجيه) والاعتماد على الحدود والشروط الأولية. تشمل الموضوعات سلسلة فورييه والتحولات المتكاملة (فورييه ولابلاس) والتطبيقات في الاهتزازات والكهرباء ونقل الحرارة والسوائل أو غيرها من الموضوعات المختارة.
متطلب سابق: رياضيات 3705 ورياضيات 3720.

MATH 4869 وظائف وحساب وتطبيقات لمعلمي المدارس الإعدادية 3 s.h.

الدوال متعددة الحدود والأسية ، والحدود ، والمشتقات ، والتكاملات ، والتطبيقات. تفسير المنحدر والمساحة في الرسوم البيانية للوظائف من الإعدادات المطبقة. تطبيقات الحدود على اشتقاقات الصيغ الهندسية. العلاقات بين الجداول والرسوم البيانية والتمثيل الرمزي للوظائف.
متطلب سابق: رياضيات 3767 أو موافقة المعلم.

رياضيات 4870 ندوة الرياضيات لمعلمي المرحلة الإعدادية 3 ش.

حل المشكلات من مجموعة واسعة من موضوعات الرياضيات (حساس الأرقام وجبر العمليات ، والوظائف ، وقياس التفاضل والتكامل وإحصاءات الهندسة ، والاحتمالات ، والرياضيات المنفصلة) المصممة لإعداد معلمي الرياضيات في المدارس المتوسطة في المستقبل للتعامل مع المعايير الأساسية المشتركة. يمكن أن تتكرر مرتين.
متطلب سابق: رياضيات 2665 ورياضيات 3767 ورياضيات 3768 ورياضيات 4869 وإما STAT 2601 أو STAT 2625.

رياضيات 4875 متغيرات مركبة 3 س.

الأعداد المركبة وتمثيلها الهندسي ، الوظائف التحليلية للمتغير المعقد ، التكامل الكنتوري ، سلسلة تايلور ولورنت ، المخلفات والأعمدة ، الخرائط المطابقة.
متطلب سابق: MATH 3751 أو ما يعادلها.

رياضيات 4880 مقدمة في الطوبولوجيا 3 s.h.

مقدمة للمفاهيم الأساسية للطوبولوجيا العامة: الترابط والترابط والاستمرارية في الفضاءات الطوبولوجية.
متطلب سابق: رياضيات 3721 ورياضيات 3751.

رياضيات 4882 بحوث الأحياء الرياضية 1-3 ص.ح.

مقدمة للبحث في علم الأحياء الرياضي من خلال دراسة متعددة التخصصات لموضوع في علم الأحياء والرياضيات. يمكن أن تتكرر مرة واحدة. الدرجات تقليدية / العلاقات العامة. مُدرج أيضًا باسم BIOL 4882.
متطلب سابق: 1571 رياضيات أو إذن المعلم.

رياضيات 4882A بحوث الرياضيات الحيوية تحليل البيانات الطوبولوجية / علم الأعصاب 1-2 s.h.

دراسة متعددة التخصصات وفردية لموضوع في علم الأحياء والرياضيات. مشروع طلابي تم توجيهه بشكل مشترك من قبل أعضاء هيئة التدريس في علم الأحياء والرياضيات. يمكن أن تتكرر مرة واحدة. الدرجات تقليدية / العلاقات العامة. مُدرج أيضًا باسم BIOL 4882.
متطلب سابق: MATH 3701، BIOL 3701، مكانة عليا وإذن من رئيس القسم.

رياضيات 4884 المنطق الرياضي 3 س.

مقدمة لدراسة النظريات باللغات الرسمية ونظرية النماذج.
متطلب سابق: MATH 3721 أو PHIL 3719.

MATH 4896 مشروع بحثي لطلبة التخرج 2 s.h.

دراسة فردية لموضوع في الرياضيات تبلغ ذروتها في تقرير مكتوب وعرض تقديمي شفهي في اجتماع وطني أو إقليمي أو ندوة محلية. يمكن أن تتكرر مرة واحدة.
متطلب سابق: 24 ثانية. الرياضيات المطبقة على تخصص الرياضيات بما في ذلك إما MATH 3721 أو MATH 3751 وإذن من رئيس القسم.
الجنرال إد: كابستون.

MATH 4897H الرسالة 2 s.h.

دراسة فردية لموضوع في الرياضيات تبلغ ذروتها في تقرير مكتوب وعرض تقديمي شفهي في اجتماع وطني أو إقليمي أو ندوة محلية.
متطلب سابق: 24 ثانية. الرياضيات المطبقة على تخصص الرياضيات بما في ذلك كل من رياضيات 3721 و MATH 3751 وإذن من رئيس القسم.

رياضيات 5821 موضوعات في الجبر المجرد 4 s.h.

دورة في الجبر المجرد تهدف إلى تطوير فهم واسع للموضوع. لن يتم منح الائتمان لكل من رياضيات 3721 و MATH 5821.
متطلب سابق: رياضيات 3715 ورياضيات 3720.

رياضيات 5825 الجبر الخطي المتقدم 3 s.h.

دراسة الفراغات المتجهية المجردة والتحولات الخطية والازدواجية والأشكال المتعارف عليها والنظرية الطيفية ومساحات المنتج الداخلية.
متطلب سابق: ريض 3721.

MATH 5828 نظرية الأعداد 3 s.h.

دراسة التطابقات ، معادلات ديوفانتين ، المخلفات التربيعية ، وظائف نظرية الأعداد الخاصة ، وتطبيقات مختارة.
متطلب سابق: رياضيات 3721.

رياضيات 5835 مقدمة في التوافقية ونظرية الرسم البياني 3 s.h.

تباديل مبدأ pigeonhole ، والتوليفات ، ونظرية ذات الحدين ، ومبدأ التضمين والاستبعاد ، والرسومات البيانية ، والرسومات الرقمية ، والمسارات والدورات ، والأشجار ، والرسوم البيانية ثنائية الأجزاء ، والمطابقات.
متطلب سابق: رياضيات 3715 ورياضيات 3720.

MATH 5845 بحوث العمليات 3 s.h.

مقدمة لبحوث العمليات مع التركيز على الطرق الرياضية. قد تشمل الموضوعات: البرمجة الخطية ، وتحليل الحساسية ، ونظرية الازدواجية ، ومشكلات النقل ، ومشكلات التخصيص ، ومشكلات إعادة الشحن ، ومشكلات الشبكة.
متطلب سابق: رياضيات 3715 ورياضيات 3720.

MATH 5851 موضوعات في التحليل 4 s.h.

تهدف دورة في التحليل إلى تطوير فهم واسع للموضوع. لن يتم منح الائتمان لكل من رياضيات 3751 ورياضيات 5851.
متطلب سابق: رياضيات 2673 أو 2686H ورياضيات 3720 ورياضيات 3715.

رياضيات 5852 تحليل حقيقي 2 3 س.

التقارب المنتظم لتسلسلات الوظائف وبعض النتائج على n-space: المشتقات في الفراغات المتجهة ، نظرية القيمة المتوسطة ، صيغة تايلور ، نظرية الخرائط العكسية ، نظرية الخرائط الضمنية.
متطلب سابق: MATH 3720 و MATH 3751 أو ما يعادلها.

رياضيات 5860 التحليل العددي 1 3 s.h.

نظرية وتقنيات الحساب العددي. حل معادلة واحدة ، طرق الاستيفاء ، التفاضل والتكامل العددي ، الطرق المباشرة لحل الأنظمة الخطية.
متطلب سابق: MATH 3720 و CSIS 2610 و MATH 2673 أو 2673H أو 2686H.

رياضيات 5861 التحليل العددي 2 3 s.h.

الطرق العددية لمشاكل القيمة الأولية ، مشاكل القيمة الذاتية ، الطرق التكرارية لأنظمة المعادلات الخطية وغير الخطية ، والطرق التي تتضمن المربعات الصغرى ، ومتعددة الحدود المتعامدة ، وتحويلات فورييه السريعة.
متطلب سابق: MATH 5860 أو ما يعادلها.

رياضيات 5875 متغيرات مركبة 3 س.

الأعداد المركبة وتمثيلها الهندسي ، الوظائف التحليلية للمتغير المعقد ، التكامل الكنتوري ، سلسلة تايلور ولورنت ، المخلفات والأعمدة ، الخرائط المطابقة.
متطلب سابق: MATH 3751 أو ما يعادلها.

رياضيات 5895 موضوعات مختارة في الرياضيات 2-3 s.h.

دراسة موضوع رياضي قياسي في العمق أو تطوير مجال خاص من الرياضيات. يمكن أن يتكرر مرتين.
متطلب سابق: 24 ثانية. الرياضيات المطبقة على تخصص الرياضيات بما في ذلك الرياضيات 3721 أو 3751.

رياضيات 6901 ، ورشة الرياضيات 1-6.

دراسة ونشاط مكثف في موضوع يتعلق بالرياضيات أو تطبيقاتها أو تدريس الرياضيات. يمكن أن تتكرر. التقدير هو S / U.
متطلب سابق: إذن منسق الدراسات العليا.

رياضيات 6905 تدريس الرياضيات كلية 1 ش.

الإعداد المكثف لتدريس دورات الرياضيات ذات المستوى الأدنى ، والتي تتميز بالتوجيه الرسمي والتوجيه بشأن قضايا التدريس ، والعروض التقديمية المُقيَّمة ، وتعليم الفصول الدراسية الموجَّهة ، وندوات التدريس الأسبوعية. تشمل الموضوعات تصميم الدورات ، والسياسات ، والمناهج الدراسية ، وتصحيح مشاكل التدريس في الفصول الدراسية ، وتوجيه مشاكل التدريس في الفصول الدراسية في مركز مساعدة الرياضيات ، ودورات الرياضيات المحددة ذات المستوى الأدنى ، والخدمات التعليمية عبر الإنترنت. يشترط وجود مساعدين متخرجين في قسم الرياضيات والإحصاء ، ويجب أن يكون الطالب مساعد خريج في كل فصل دراسي. التقدير هو S / U.

MATH 6910 الرياضيات الهندسية المتقدمة 1 3 s.h.

تقنيات النظرية والحلول المستخدمة في التطبيقات الهندسية. تشمل الموضوعات مراجعة موجزة للمعادلات التفاضلية العادية وحساب التفاضل والتكامل في الجبر الخطي ، ونظريات التكامل ، والتحليل المعقد ، والسلسلة ، ونظرية المخلفات ، والنظرية المحتملة ، والوظائف الخاصة ، والتحويلات المتكاملة ، والمعادلات التفاضلية الجزئية والتطبيقات في النمذجة الرياضية.
متطلب سابق: ريض 3705.

MATH 6911 الرياضيات الهندسية المتقدمة 2 3 s.h.

تقنيات النظرية والحلول المستخدمة في التطبيقات الهندسية. تشمل الموضوعات مراجعة موجزة للمعادلات التفاضلية العادية وحساب التفاضل والتكامل في الجبر الخطي ، ونظريات التكامل ، والتحليل المعقد ، والسلسلة ، ونظرية المخلفات ، ونظرية الجهد ، والوظائف الخاصة ، والتحويلات المتكاملة ، والمعادلات التفاضلية الجزئية والتطبيقات في النمذجة الرياضية.
متطلب سابق: رياضيات 6910.

رياضيات 6915 أسس الرياضيات 3 س.

أسس الرياضيات النظرية والأحادية الترتيب: الهياكل المرتبة الطوبولوجيا مجموعة مشغلي تطبيقات دالة على الاستمرارية ، والاكتناز ، والجبر ، والمنطق ، وحساب التفاضل والتكامل.
متطلب سابق: MATH 3721 Abstract Algebra I and MATH 3751 تحليل حقيقي 1 ، أو إذن من منسق الدراسات العليا.

رياضيات 6922 موضوعات متقدمة في نظرية المجموعات والحلقة 3 s.h.

استمرار للرياضيات 5821 مع التركيز بشكل خاص على المجموعات التي تعمل على مجموعات ، نظرية سيلو وتطبيقاتها ، تشابهات الحلقة ، المثل العليا ، والحلقات متعددة الحدود. لن يتم منح الائتمان لرياضيات 4822 ورياضيات 6922.
متطلب سابق: MATH 3721 أو MATH 5821.

رياضيات 6923 موضوعات متقدمة في نظرية المجال 3 s.h.

يقدم هذا المساق النتائج الرئيسية في نظرية المجال المتقدم. تتضمن هذه النتائج تقسيم الحقول ، والامتدادات الجبرية ، والامتدادات المحدودة ، ومتعددة الحدود الحلقية ، والحقول المحدودة. لن يتم منح الائتمان لرياضيات 4823 ورياضيات 6923.
متطلب سابق: MATH 4822 أو MATH 6922.

رياضيات 6924 Galois Theory 3 s.h.

مقدمة لنظرية جالوا مع التركيز بشكل خاص على مجموعة جالوا ، والنظرية الأساسية لنظرية جالوا ، والامتدادات الجذرية.
متطلب سابق: MATH 4823 أو MATH 6923.

MATH 6928 نظرية الأعداد المتقدمة 3 s.h.

دراسة متقدمة لنظرية الأعداد: نظرية وتوزيع الأعداد الأولية ، ونظرية الأعداد الحسابية ، ونظرية الأعداد المضافة.
متطلب سابق: رياضيات 5828.

MATH 6930 الهندسة التفاضلية 3 s.h.

الهندسة التفاضلية الكلاسيكية للمنحنيات والأسطح ، المشعبات القابلة للتفاضل مع الموترات.
متطلب سابق: رياضيات 5852.

MATH 6942 بحوث العمليات المتقدمة 3 s.h.

قد تشمل الموضوعات البرمجة الصحيحة ، والبرمجة الخطية المتقدمة ، والبرمجة غير الخطية ، والبرمجة الديناميكية ، ونظرية قائمة الانتظار ، وتحليل ماركوف ، ونظرية اللعبة ، ونماذج التنبؤ.
متطلب سابق: MATH 5845 و STAT 3743 الاحتمالات والإحصاء.

رياضيات 6955 معادلات تفاضلية متقدمة 3 س.

أدلة على وجود وتفرد المعادلات غير المستقلة وغير الخطية. قد تشمل الموضوعات الإضافية الأنظمة الخطية المتقدمة والمعادلات التفاضلية الجزئية والمعادلات التكاملية.
متطلب سابق: MATH 5852 و MATH 3705 أو MATH 4855 أو إذن منسق الدراسات العليا.

رياضيات 6957 معادلات تفاضلية جزئية 3 s.h.

مقدمة عن المعادلات التفاضلية الجزئية وتطبيقاتها. سيتم تقديم تصنيف الأنواع الأساسية من المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية ، وتطوير كيفية تأثير الحدود والظروف الأولية على الحلول والاستكشاف وتطبيق تقنيات الحل لأجهزة PDE والانفجارات في الوظائف المتعامدة.
متطلب سابق: MATH 3705 و MATH 3720 أو ما يعادلها.

رياضيات 6965 التحليل التجريدي 1 3 s.h.

تكامل Lebesgue والقياس على الخط الحقيقي. نظرية القياس العام والتحليل الوظيفي ، بما في ذلك نظرية Radon-Nikodym ، نظرية Fubini ، نظرية Hahn-Banach ، الرسم البياني المغلق ونظريات رسم الخرائط المفتوحة ، والطوبولوجيا الضعيفة.
متطلب سابق: MATH 5852 و MATH 4880 أو MATH 6915 أو إذن منسق الدراسات العليا.

رياضيات 6975 التحليل المركب 1 3 s.h.

الدوال التحليلية والمحددة الشكل لمتغير معقد ، تكامل الكنتور ، نظرية كوشي-جورسات ، سلسلة تايلور ولورينت ، المخلفات والأعمدة ، الخرائط المطابقة. لن يتم منح الائتمان لكل من رياضيات 5875 ورياضيات 6975.
متطلب سابق: MATH 3751 تحليل حقيقي 1 ، أو إذن من منسق الدراسات العليا.

MATH 6980 الطبولوجيا 1 3 s.h.

المفاهيم الأساسية للمساحات الطوبولوجية والتعيينات بينها ، بما في ذلك الترابط والترابط والاستمرارية. لن يتم منح الائتمان لكل من رياضيات 4880 ورياضيات 6980.
متطلب سابق: MATH 3721 Abstract Algebra I and MATH 3751 تحليل حقيقي 1 ، أو إذن من منسق الدراسات العليا.

رياضيات 6981 الطبولوجيا 2 3 s.h.

الفصل ، القياس ، الدمج. سيتم اختيار موضوعات إضافية من طوبولوجيا مجموعة النقاط ، والطوبولوجيا الضبابية ، والطوبولوجيا الجبرية ، والطوبولوجيا التوافقية ، والجبر الطوبولوجي.
متطلب سابق: MATH 4880 أو MATH 6980 أو إذن منسق الدراسات العليا.

رياضيات 6990 دراسة مستقلة 1-3 س.

الدراسة تحت إشراف موظف. يمكن أن تتكرر.
متطلب سابق: موافقة منسق الخريجين.

MATH 6995 موضوعات خاصة 1-3 s.h.

الموضوعات المتخصصة التي يختارها الموظفون. يمكن أن تتكرر حتى 12 ساعة فصل دراسي.
متطلب سابق: إذن منسق الدراسات العليا ورئيس القسم.

رياضيات 6995N موضوعات خاصة الجبر الخطي المتقدم 2 1-3 s.h.

موضوعات متخصصة يختارها طاقم العمل. يمكن أن تتكرر حتى 12 ساعة فصل دراسي.
متطلب سابق: إذن منسق الدراسات العليا ورئيس القسم.

MATH 6995P موضوعات خاصة موضوعات متقدمة في نظرية الرسم البياني 1-3 s.h.

الموضوعات المتخصصة التي يختارها الموظفون. يمكن أن تتكرر حتى 12 ساعة فصل دراسي.
متطلب سابق: إذن منسق الدراسات العليا ورئيس القسم.

MATH 6995R موضوعات خاصة الرياضيات الفنية 1-3 s.h.

الموضوعات المتخصصة التي يختارها الموظفون. يمكن أن تتكرر حتى 12 ساعة فصل دراسي. 3 س.
متطلب سابق: إذن منسق الدراسات العليا ورئيس القسم.

MATH 6995S موضوعات خاصة في نظرية التمثيل 1-3 s.h.

مواضيع خاصة. الموضوعات المتخصصة التي يختارها الموظفون. متطلب سابق: إذن منسق الدراسات العليا ورئيس القسم. يمكن أن تتكرر حتى 12 ساعة فصل دراسي. 3 s.h .. موضوعات متخصصة يختارها طاقم العمل. يمكن أن تتكرر حتى 12 ساعة فصل دراسي.
متطلب سابق: إذن منسق الدراسات العليا ورئيس القسم.

رياضيات 6996 مشروع رياضي 1-3 s.h.

ينتهي مشروع بحث فردي في تقرير مكتوب أو ورقة ، وإن لم يكن واسع النطاق مثل الأطروحة. يمكن أن يتكرر مرة واحدة إذا كان المشروع الثاني في منطقة مختلفة من الرياضيات.

MATH 6999 الرسالة 3 s.h.

يجوز للطالب التسجيل لمدة ست ساعات فصلية في فصل دراسي واحد أو لمدة ثلاث ساعات فصل دراسي في كل فصل من فصلين دراسيين.

MATH 7005 موضوعات متقدمة في الطوبولوجيا الفئوية 3 s.h.

يختلف المحتوى مع كل عرض. ينفذ أفكارًا من MATH 6915 و MATH 6980 و MATH 6981 ويدرس الأساليب الفئوية في الطوبولوجيا والفئات الملموسة ذات الصلة. التأكيد على الأدب الحالي والأسئلة المفتوحة. يمكن تكرارها بموافقة منسق الدراسات العليا.
متطلب سابق: MATH 6915 أو MATH 6980 أو MATH 6981 أو ما يعادلها أو إذن من منسق الخريجين.

MATH 7015 موضوعات متقدمة في أسس الطوبولوجيا 3 s.h.

يختلف المحتوى مع كل عرض ، وينفذ أفكارًا من MATH 6915 ، و MATH 6980 ، و MATH 6981 ، ويدرس أسس الطوبولوجيا من مجموعة متنوعة من وجهات النظر (جبري ، فئوي ، منطقي ، نظري الترتيب ، نظرية مجموعة القوة ، نظرية المجموعة ، إلخ). التأكيد على الأدب الحالي والأسئلة المفتوحة. يمكن تكرارها بموافقة منسق الدراسات العليا.
متطلب سابق: MATH 6915 أو MATH 6980 أو MATH 6981 أو ما يعادلها أو إذن من منسق الدراسات العليا.

MATH 7025 موضوعات متقدمة في الطبولوجيا العامة 3 s.h.

يختلف المحتوى مع كل عرض ، وينفذ أفكارًا من MATH 6915 ، و MATH 6980 ، و MATH 6981 ، ويدرس موضوعات مختلفة في طوبولوجيا مجموعة النقاط. التأكيد على الأدب الحالي والأسئلة المفتوحة. يمكن تكرارها بموافقة منسق الدراسات العليا.
متطلب سابق: MATH 6980 ، MATH 6981 ، أو ما يعادلها ، أو إذن من منسق الدراسات العليا.

MATH 7035 موضوعات متقدمة في الطوبولوجيا ذات القيمة الشبكية 3 s.h.

يختلف المحتوى مع كل عرض. ينفذ أفكارًا من MATH 6915 ، و MATH 6980 ، و MATH 6981 ، ويدرس الطوبولوجيا من وجهة نظر المجموعات الفرعية ذات القيمة الشبكية (الضبابية). التأكيد على الأدب الحالي والأسئلة المفتوحة. يمكن تكرارها بموافقة منسق الدراسات العليا.
متطلب سابق: MATH 6915 أو MATH 6980 أو MATH 6981 أو ما يعادلها أو إذن من منسق الخريجين.

MATH 7045 موضوعات متقدمة في التحليل الطوبولوجي 3 s.h.

يختلف المحتوى مع كل عرض. ينفذ أفكارًا من MATH 6915 ، و MATH 6965 ، و MATH 6966 ، و MATH 6980 ، و MATH 6981 ، ويدرس التداخل بين الطوبولوجيا والتحليل التجريدي (الألعاب الطوبولوجية ، والمجموعات الطوبولوجية ، والاستمرارية المنفصلة مقابل المشتركة ، إلخ) التأكيد على الأدب الحالي والأسئلة المفتوحة. يمكن تكرارها بموافقة منسق الدراسات العليا.
متطلب سابق: MATH 6915 أو MATH 6965 أو MATH 6980 أو MATH 6981 أو ما يعادلها أو إذن من منسق الدراسات العليا.

MATH 7055 ندوة في الطوبولوجيا والتحليل الملخص 3 s.h.

يختلف المحتوى مع كل عرض. تنفذ أفكارًا من MATH 6915 ، و MATH 6930 ، و MATH 6965 ، و MATH 6980 ، و MATH 6981 ، و MATH 6984 ، وتركز على الأنشطة البحثية الحالية للمشاركين في الندوة. يُتوقع من الطلاب المسجلين تقديم عرض رئيسي واحد على الأقل كل شهر من الفصل الدراسي. يمكن تكرارها بموافقة منسق الدراسات العليا.
متطلب سابق: إذن منسق الدراسات العليا.


1. خلفية أبحاث ديكارت و rsquo في الرياضيات

عندما بدأت أبحاث ديكارت و rsquo في الرياضيات في أوائل القرن السابع عشر ، كان علماء الرياضيات يتصارعون مع الأسئلة المتعلقة بالطرق المناسبة للإثبات الهندسي ، وعلى وجه الخصوص ، معايير تحديد المنحنيات التي تفي بالمعايير الدقيقة والصارمة للهندسة والتي يمكن بالتالي استخدامها في الهندسة حل المشاكل. أعطيت هذه القضايا إحساسًا إضافيًا بالإلحاح لعلماء الرياضيات الممارسين عندما ، في عام 1588 ، الترجمة اللاتينية Commandino & rsquos لـ Pappus & rsquos مجموعة (أوائل القرن الرابع الميلادي) تم نشره. في ال مجموعة يلجأ بابوس إلى الممارسة القديمة للهندسة حيث يقدم ادعاءات معيارية حول كيفية حل المشكلات الهندسية. أعطى القراء الأوائل اهتمامًا خاصًا لمقترحات Pappus & rsquos المتعلقة بـ (1) كيف يجب على عالم الرياضيات بناء المنحنيات المستخدمة في البرهان الهندسي ، و (2) كيف يجب أن يطبق مقياس الهندسة طرق التحليل والتوليف في حل المشكلات الهندسية. سيتم التعامل مع بناء المنحنيات في 1.1 والتحليل والتركيب في القسم 1.2 أدناه.

1.1 بناء المنحنيات وحل المشكلات الهندسية

تصاغ ادعاءات بابوس ورسكووس فيما يتعلق بالطرق المناسبة لإنشاء منحنيات هندسية من حيث التصنيف القديم للمشكلات الهندسية ، والتي وصفها بشكل مشهور في الكتاب الثالث من مجموعة:

ذكر القدماء أن هناك ثلاثة أنواع من المسائل الهندسية ، وبعضها يسمى المستوى ، والبعض الآخر صلب ، والبعض الآخر يشبه الخط وتلك التي يمكن حلها بخطوط مستقيمة ومحيط الدائرة تسمى بشكل صحيح المستوى لأن الخطوط بواسطة الوسائل التي يتم من خلالها حل هذه المشاكل لها أصلها في المستوى. لكن مثل هذه المشكلات التي يجب حلها بافتراض وجود قسم مخروطي واحد أو أكثر في البناء ، تسمى صلبة لأنه من الضروري في بنائها استخدام أسطح الأشكال الصلبة ، أي المخاريط. لا يزال هناك نوع ثالث يسمى الخط. لأنه في بنائها ، يُفترض أن خطوطًا أخرى غير تلك التي ذكرناها للتو ، لها أصل غير ثابت ومتغير ، مثل اللوالب ، والمنحنيات التي يسميها الإغريق رباعي الأرجل [& ldquosquare-making & rdquo] ، والتي نسميها & ldquoquandrantes ، & rdquo و conchoids ، و cissoids ، والتي لها العديد من الخصائص المذهلة (Pappus 1588، III، & Sect7 translation from Bos 2001، 38).

نلاحظ في الملاحظات أعلاه أن بابوس يؤسس تصنيفه للمسائل الهندسية على بناء المنحنيات اللازمة لحل مشكلة: إذا تم حل المشكلة من خلال منحنى يمكن إنشاؤه عن طريق التسوية والبوصلة ، فإنه يكون مستويًا إذا تم حل المشكلة. من خلال منحنى قابل للإنشاء بواسطة قسم مخروطي ، يكون صلبًا وإذا تم حل المشكلة من خلال منحنى يتطلب بنية أكثر تعقيدًا و mdasht له أصل & ldquo ثابت ومتغير & rdquo & mdash ، فهو يشبه الخط. على الرغم من وجود توجيه واضح على ما يبدو لكيفية تصنيف المشكلات الهندسية ، إلا أنه لا يزال هناك غموض في نص Pappus & rsquos حول ما إذا كان ما يسمى بالمشكلات الصلبة والشبيهة بالخطوط ومشكلات mdash التي تتطلب إنشاء مخروطيات ومنحنيات أكثر تعقيدًا ، مثل الحلزوني و mdashwere في الواقع قابلة للحل عن طريق طرق هندسية حقيقية. أي ، كان هناك غموض ، وبالتالي ، كان هناك سؤال مفتوح لعلماء الرياضيات المعاصرين الأوائل ، حول ما إذا كانت المشكلات التي لا يمكن حلها عن طريق تقويم البوصلة والبوصلة تفي بالمعايير الصارمة للهندسة. (للاطلاع على الوضع الخاص للإنشاءات عن طريق التقويم والبوصلة في الرياضيات اليونانية ، انظر Heath (1921) و Knorr (1986). للحصول على لمحات عامة مفيدة عن التطور التاريخي للرياضيات اليونانية ، راجع كلاسيكيات مثل Merzbach and Boyer (2011) والمجلد 1 كلاين (1972).)

ستساعد بعض الأمثلة في توضيح ما هو على المحك هنا. يتم احتساب مشكلة تقسيم زاوية معينة بين المشاكل المستوية ، لأنه ، كما هو مفصل من قبل إقليدس في عناصر I.9 ، لبناء قطعة مستقيمة تقسم زاوية معينة إلى جزأين متساويين ، نبني (بالبوصلة) ثلاث دوائر بنصف قطر متساوٍ ، ثم (عن طريق التقويم) نربط رأس الزاوية بالنقطة التي عندها الدوائر تتقاطع (إقليدس 1956 ، المجلد الأول ، 264 و ndash265). لاحظ هنا أنه لإنشاء الحل ، تُستخدم المنحنيات لإنشاء نقطة تعطي الحل للمشكلة ، أي من خلال إنشاء الدوائر ، نحدد نقطة تسمح لنا بتقسيم المنحنى إلى نصفين. (عند التعامل مع مشاكل الموضع ، مثل مشكلة بابوس ، فإن المنحنيات التي تم إنشاؤها هي بحد ذاتها حل للمشكلة. انظر القسم 3 أدناه.) من ناحية أخرى ، اعتبرت مشكلة تقطيع الزاوية مثل الخط مشكلة ، لأن حلها يتطلب بناء منحنيات ، مثل اللولب ، والتي لم تكن قابلة للتشكيل بواسطة التقويم والبوصلة. ولعل أشهر المشاكل التي تشبه الخطوط هي تربيع الدائرة لأولئك الذين اعتبروا أن هذه المشكلة قابلة للحل ، فالحل يتطلب بناء منحنى مثل التربيع ، وهو منحنى اقترحه القدماء من أجل حل هذه المشكلة بالذات. (وهي الطريقة التي حصل بها المنحنى على اسمه). بالتأكيد ، يمكن وصف توليد مثل هذه المنحنيات بشكل مشهور يصف أرخميدس جيل الحلزون في التعريف 1 من كتابه اللوالب ويصف بابوس توليد الرباعية في الكتاب الرابع من مجموعة. ومع ذلك ، فقد اعتبرت هذه الأوصاف معقدة للغاية لأنها تتجاوز تقاطع المنحنيات التي تم إنشاؤها بواسطة بناء البوصلة والبوصلة. على سبيل المثال ، وفقًا لأرخميدس ، يتم إنشاء اللولب عن طريق تحريك جزء خطي بشكل موحد حول نقطة معينة أثناء تتبع مسار نقطة تتحرك نفسها بشكل موحد على طول مقطع الخط. ووفقًا لبابوس ، يتم إنشاء المصفوفة الرباعية من خلال الحركات المنتظمة لقطعتين خطيتين ، حيث يتحرك أحدهما حول مركز دائرة معينة ويتحرك الآخر خلال ربع الدائرة. (راجع Bos 2001، 40 & ndash42 للحصول على تفاصيل كل من هذين البناءين.) وعلى نفس المنوال ، تم اعتبار بناء المخروطيات أكثر تعقيدًا: أحد الأساليب المقبولة لإنشاء مخروط يتطلب قطع مخروط بطريقة محددة ، والتي مرة أخرى ، تجاوز النظر في المنحنيات المتقاطعة التي كانت قابلة للبناء عن طريق التسوية والبوصلة.

في ال مجموعة، Pappus لا يقدم حكمًا صارمًا حول ما إذا كانت المنحنيات المخروطية و ldquomore المعقدة & rdquo تفي بالمعايير الصارمة للبناء الهندسي ، وبالتالي ، حول ما إذا كانت مقبولة في مجال الهندسة. في حالة المخروطيات ، يعتمد على تعليق Apollonius & rsquos ويبلغ عن فائدة هذه المنحنيات لتركيب (أو براهين) لبعض المشاكل (Pappus، 116). ومع ذلك ، فإن الادعاء بأن المنحنى مفيد يختلف تمامًا عن الادعاء بأنه يمكن بناؤه بطرق هندسية مناسبة (كما نرى أدناه بوضوح أكبر). علاوة على ذلك ، في حالة التربيعية ، يحدد بابوس وصف المنحنى في الكتاب الرابع من مجموعة، ثم يشرع فورًا في تحديد الاعتراضات الشائعة على وصف المنحنى و rsquos ، على سبيل المثال ، أن هناك بيتيتو برينسيبي في تعريف المنحنى ذاته ، دون التعليق على ما إذا كان يمكن التغلب على هذه الاعتراضات. وهكذا ، على الرغم من أنه كان معروفًا من قبل القدماء أنه يمكن استخدام المنحنيات المخروطية وغيرها من المنحنيات المعقدة لحل المشكلات المعلقة ، إلا أنه لم يكن واضحًا لعلماء الرياضيات الحديثين الأوائل ما إذا كان القدماء يعتبرون هذه الحلول هندسية حقًا. بمعنى آخر ، لم يكن واضحًا من Pappus & rsquos مجموعة ما إذا كانت هذه المنحنيات مقبولة في حل المشكلات الهندسي ، وبالتالي ، ما إذا كانت المشكلات الصلبة (مثل تحديد التناسب المتوسط ​​بين مقاطع خطية معينة) أو المشكلات المشابهة للخطوط (مثل تثليث الزاوية وتربيع الدائرة) لها حلول هندسية حقيقية.

وبالتالي ، بعد نشر ترجمة Commandino & rsquos لـ مجموعة، أعطى علماء الرياضيات الحديثون الأوائل اهتمامًا إضافيًا للأسئلة المتعلقة بما إذا كان يجب استخدام هذه المنحنيات في حل المشكلات الهندسية ولماذا. كانت الحلزونية والمربع الرباعي بارزًا في مثل هذه المناقشات ، لأنه ، كما ذكر أعلاه ، يمكن استخدامها لمعالجة بعض المشكلات الهندسية البارزة الأكثر شهرة ، وهي تقسيم الزاوية وتربيع الدائرة. [2] على سبيل المثال ، في طبعته الثانية الموسعة (1589) من إقليدس ورسكووس عناصر (الذي نُشر لأول مرة عام 1574) وكذلك في كتابه الهندسة التطبيقية (1604) ، يناقش كريستوف كلافيوس حالة الرباعية. قبول الاعتراضات على وصف التربيع المفصل من قبل بابوس في مجموعة، يوفر كلافيوس ما يراه هو البناء الهندسي للمنحنى الذي من شأنه إضفاء الشرعية على استخدامه في حل المشكلات الهندسية ، وفي حل مشكلة تربيع الدائرة على وجه الخصوص. إن بنائه ذو اتجاه نقطي: نبدأ بربع دائرة (كما في وصف Pappus & rsquos) ولكن بدلاً من الاعتماد على تقاطع المقاطع المتحركة بشكل موحد لوصف المنحنى ، يتقدم كلافيوس أولاً بتحديد نقاط التقاطع بين المقاطع التي تنقسم الربع والأجزاء التي تشطر قوس الربع. أي أننا نحدد نقاط التقاطع العديدة للقطاعات التي يمكن بناؤها عن طريق التسوية والبوصلة ، وبعد ذلك ، لإنشاء المربعات ، نقوم بتوصيل نقاط التقاطع (العديدة بشكل تعسفي) ، والتي تكون متباعدة بشكل متساوٍ على طول المنحنى المطلوب. لذلك ، لبناء المربعات وفقًا لطريقة Clavius ​​& rsquos ، ما زلنا نتجاوز الإنشاءات الأساسية للبوصلة والبوصلة (لا يمكن ربط النقاط في هذه الحالة عن طريق التسوية ، كما في حالة التقسيم) ، ولكن لا يحتاج المرء إلى التفكير في الحركات المتزامنة لـ خطوط كما يتطلب بناء Pappus & rsquos. (انظر Bos 2001، 161 & ndash162 لبناء Clavius ​​& rsquos للمربع الرباعي وقارن مع بناء Pappus & rsquos على Bos 2001، 40 & ndash42. لتقييم ديكارت و rsquo لبناء Clavius ​​& rsquos ، انظر القسم 3.3 أدناه.)

وفقًا لتعليق Clavius ​​& rsquos لعام 1589 ، كان هذا البناء النقطي للمربع الرباعي بمثابة تحسين على ما قدمه Pappus ، لأنه كان أكثر دقة: نظرًا لأن البناء النقطي سمح للفرد بتحديد العديد من النقاط بشكل تعسفي على طول المنحنى ، يمكن للمرء تتبع المصفوفة الرباعية مع أكبر الدقة مما لو كان على المرء أن يفكر في تقاطع خطين متحركين. لدعم قضيته ، يربط كلافيوس بنائه النقطي للمربع المربعي مع البناء النقطي للمخروطات التي اقترحها & ldquogreat geometer & rdquo Apollonius ويدعي أن & ldquounless شخص ما يريد أن يرفض عقيدة المقاطع المخروطية بأكملها باعتبارها عديمة الجدوى وغير هندسية & rdquo التي اقترحها Apollonius ، & ldquoone مجبر لقبول وصفنا الحالي لـ [quadratrix] باعتباره هندسيًا بالكامل & rdquo (مذكور في Bos 2001 ، 163). ومع ذلك ، في وقت لاحق له الهندسة التطبيقية (1604) ، يعارض كلافيوس تقييمه لكل من الشكل الرباعي والمخروطات. ويؤكد أن هذه المنحنيات الأكثر تعقيدًا يمكن بناؤها بطرق نقطية توفر دقة أكبر ، لكن المنحنيات التي تم إنشاؤها بهذه الطريقة لم تعد تُعرض على أنها هندسية تمامًا. بدلاً من ذلك ، تم تقديمها على أنها & ldquomore دقيقة ، & rdquo & ldquoeasier ، & rdquo وهندسية & ldquoin بطريقة معينة & rdquo (Bos 2001، 164 & ndash5).

في ملحق الهندسة (1593) ، يعالج Fran & ccedilois Vi & egravete أيضًا المشكلات المعلقة للهندسة التي كانت قابلة للحل عن طريق المنحنيات التي لا يمكن إنشاؤها بواسطة التقويم والبوصلة. وهو يدعي أن بعض هذه المشكلات على الأقل يمكن حلها بوسائل هندسية مناسبة من خلال تبني افتراضه بأن ما يسمى بمشكلة neusis يمكن حلها. أي أنه افترض أنه نظرًا لخطين ، نقطة (س ) ، ومقطع (أ ) ، كان من الممكن رسم خط مستقيم من خلال (س ) يتقاطع مع الخطين في النقاط (أ) ) و (B ) بحيث (AB = a ) (Bos 2001، 167 & ndash168). في ال ملحقيوضح Vi & egravete أنه بمجرد قبولنا كمسلمة هندسية أساسية بأن مشكلة neusis قابلة للحل ، يمكننا ، بوسائل هندسية شرعية ، حل مشاكل تقسيم زاوية معينة وإنشاء متوسطين متناسبين بين جزأين خطيين معينين. على وجه التحديد والأهم ، نقوم بإنشاء هذه الحلول دون الحاجة إلى الاعتماد على إنشاء منحنيات مخروطية أو منحنيات عالية الترتيب ، مثل الحلزونية أو الرباعية (Bos 2001 ، 168).

كانت فرضية neusis أداة قوية في ترسانة حل المشكلات Vi & egravete & rsquos: بافتراض إمكانية حل مشكلة neusis ، قام بتوسيع مجال الإنشاءات الهندسية المقبولة إلى ما وراء التقويم والبوصلة. ومع ذلك ، بقيت أسئلة حول مقبولية هذا الافتراض كمسلمة ، حيث أن Vi & egravete لا يفصل بناء مشكلة neusis ولكنه يدعي ببساطة أن فرضية neusis لا ينبغي أن يكون من الصعب على قرائه قبولها. في وضع هذا الافتراض ، كان يخرج بشكل كبير عن المقاييس الهندسية القديمة ، التي لا يمكن حل مشكلة neusis بالنسبة لها إلا من خلال منحنيات لا يمكن بناؤها عن طريق التقويم والبوصلة. على سبيل المثال ، جعل Pappus بناء neusis مشكلة صلبة وحلها عن طريق المخروطيات في الكتاب الرابع من مجموعة، و Nicomedes جعل بناء neusis مشكلة تشبه الخط وابتكر cissoid لحلها. (انظر Bos 2001، 53 & ndash54 لمحلول Pappus & rsquos و 30 & ndash33 لحل Nicomedes & rsquo. راجع أيضًا Pappus 1986، 112 & ndash114 لمعرفة تصنيف neusis كمشكلة مباعة.)

ومع ذلك ، وفقًا لـ Vi & egravete ، إذا تعذر حل المشكلة عن طريق neusis ، فستظل أسئلة الشرعية قائمة. على سبيل المثال ، لا الحلزوني ولا التربيعي والمنحنيات mdashcurves المستخدمة لتربيع الدائرة بواسطة أرخميدس وبابوس ، على التوالي & [مدش] يمكن بناؤها بنفس الطريقة الواضحة و ldquonot صعبة & rdquo مثل neusis. يبدو أن Vi & egravete يمنحان أن البناء النقطي للمربع الرباعي ، مثل ذلك الذي قدمه كلافيوس ، كان في الواقع أكثر دقة من الإنشاءات الأخرى للمنحنى ، ولكن ، ادعاءات Vi & egravete ، هذه الدقة الأكبر لا تضفي الشرعية على وضعها الهندسي حقًا. في الواقع ، اعتمدت هذه الأوصاف الدقيقة على الأدوات ، وبالتالي على الفنون الميكانيكية ، وبالتالي لم تكن هندسية. علاوة على ذلك ، ادعى Vi & egravete أنه ، بشكل عام ، تم وصف المنحنيات التي لم يتم إنشاؤها عن طريق تقاطع المنحنيات ، مثل دوامة أرخميدس ، بطريقة المعرفة الحقيقية & rdquo (Bos 2001، 177). لذلك ، تمامًا مثل المربعة ، لم تكن هذه المنحنيات هندسية بشكل شرعي ، مما ترك مشكلة تربيع الدائرة مشكلة مفتوحة لـ Vi & egravete.

1.2 التحليل الهندسي والجبر

كان لبرنامج Vi & egravete & rsquos لحل المشكلات الهندسية أهمية إضافية: من خلال اعتماد افتراضه بأن مشكلة neusis يمكن حلها ، تمكن Vi & egravete من ربط البناء الهندسي بتحليله الجبري للمشكلات الهندسية وإظهار أن المعادلات التكعيبية لها حل هندسي حقيقي ( أي أنه يمكن بناء جذور المعادلات التكعيبية من خلال النظر في المنحنيات الهندسية المتقاطعة). يوضح برنامج Vi & egravete & rsquos بشكل جيد دمج الجبر مع حل المشكلات الهندسية في الرياضيات الحديثة المبكرة ، علاوة على ذلك ، يوضح بشكل جيد طريقة مؤثرة في تفسير ادعاءات Pappus & rsquos في مجموعة فيما يتعلق بكيفية قيام عالم الرياضيات بتطبيق طرق التحليل والتركيب في حل المشكلات الهندسية.

كما هو مذكور أعلاه ، ملاحظات Pappus & rsquos فيما يتعلق بطريقة التحليل ذات الشقين (القرار) والتوليف (التركيب) في ال مجموعة تلقى قدرًا كبيرًا من الاهتمام من القراء المعاصرين الأوائل. وكما هو الحال مع ملاحظاته المتعلقة ببناء المنحنيات الهندسية ، كان هناك غموض في مناقشته ، مما حفز تفسيرات متباينة للطريقة وتطبيقها على المشاكل الهندسية. هذا جزء مما يدعي بابوس التحليل والتركيب في الكتاب السابع من مجموعة:

الآن التحليل هو الطريق من ما يبحث عنه المرء ، كما لو كان قد تم تأسيسه ، من خلال عواقبه ، إلى شيء تم إنشاؤه بالتوليف. أي أننا نفترض في التحليل ما هو مطلوب كما لو كان قد تحقق ، ونبحث عن الشيء الذي يتبعه ، ومرة ​​أخرى ما يأتي قبل ذلك ، حتى نتراجع بهذه الطريقة نصل إلى شيء من الأشياء. المعروفة بالفعل ، أو التي تحتل مرتبة المبدأ الأول. نحن نسمي هذا النوع من الأسلوب & ldquoanalysis ، & rdquo كما لو كان يقول تحلل أنابالين (تخفيض للخلف). في التوليف ، عن طريق الانعكاس ، نفترض أن ما تم الحصول عليه أخيرًا في التحليل قد تم تحقيقه بالفعل ، وبالضبط الآن بالترتيب الطبيعي ، كسابقات ، ما كان يتبعهم من قبل ، وملائمهم لبعضهم البعض ، نحقق نهاية بناء ما سعى. هذا ما نسميه & ldquosynthesis & rdquo (Pappus، 82 & ndash83).

تبدو بعض التوجيهات التي يقدمها بابوس هنا مباشرة. تبدأ عالمة الرياضيات بافتراض ما هو مطلوب كما لو كان قد تحقق حتى تصل ، من خلال التحليل ، إلى شيء معروف بالفعل. بعد ذلك ، يعكس عالم الرياضيات الخطوات ، ومن خلال التوليف ، يحدد الترتيب الطبيعي & rdquo الاستنتاج المؤدي مما هو معروف إلى ما هو مطلوب. ومع ذلك ، هناك غموض في مناقشة Pappus & rsquos. ربما الأهم من ذلك ، أنه ليس من الواضح كيف يمكن لعكس خطوات التحليل أن يقدم إثباتًا أو توليفًا لمشكلة محددة ، نظرًا لأن استقطاعات التحليل تعتمد على الشروط (if (x ) ثم (y) ) في حين أن الانعكاس قد يتطلب ثنائي الشرطين ((x ) iff (y) ) لتحقيق التوليف (انظر Guicciardini 2009، 31 & ndash38 لمزيد من المشكلات التفسيرية المحيطة بملاحظات Pappus & rsquos لمزيد من التحليل والتوليف في عصر النهضة ، انظر Hintikka الكلاسيكي و Remes 1974 ، مقالات في Otte and Panza 1997 ، و Panza 2007). على الرغم من الغموض ، بالنسبة إلى Vi & egravete وعلماء الرياضيات الحديثين الأوائل ، كانت هناك سمة واحدة للمناقشة كانت مهمة للغاية: يوضح بابوس أن القدماء كانت لديهم طريقة تحليل تحت تصرفهم ، وحاول العديد من علماء الرياضيات الحديثين الأوائل مواءمة هذه الطريقة من العصور القديمة مع الأساليب الجبرية للتحليل الهندسي التي كانوا يستخدمونها.

قبل نهاية القرن السادس عشر ، كان علماء الرياضيات قد استخدموا الجبر بالفعل في تحليل المشكلات الهندسية ، لكن تفاصيل برنامج Vi & egravete تمثل خطوة مهمة إلى الأمام. من ناحية ، في بلده إيساغوجي [مقدمة في الفن التحليلي] لعام 1591 ، والذي تم تقديمه كجزء من مشروع أكبر لاستعادة التحليل القديم (بعنوان كتاب التحليل الرياضي المستعاد أو الجبر الجديد) ، يقدم Vi & egravete تدوينًا سمح له بمعالجة المقادير بطريقة عامة. الرموز الحرفية التي يستخدمها (الحروف الساكنة والمتحركة اعتمادًا على ما إذا كان المتغير في المعادلة غير معروف أو غير محدد ، على التوالي) تمثل المقادير بشكل عام ولا تحدد ما إذا كانت مقادير حسابية (أرقام) أو مقادير هندسية (مثل مقاطع الخط أو الزوايا) . وبالتالي يمكنه تمثيل العمليات الحسابية كما هي مطبقة على المقادير بشكل عام. على سبيل المثال ، يمثل (A + B ) إضافة مقدارين ولا يحدد ما إذا كان (A ) و (B ) أرقام (في هذه الحالة تمثل الإضافة عملية عد) أو كائنات هندسية ( في هذه الحالة تمثل الإضافة مزيجًا من جزأين سطرين) (انظر Vi & egravete 1591، 11 & ndash27 للاطلاع على أهمية Vi & egravete & rsquos & ldquonew algebra & rdquo للرياضيات الحديثة المبكرة ، انظر Bos 2001، Chp.8 Mahoney 1973، Chp.2 and Pycior 1997، Chp.1 ).

من ناحية أخرى ، تم تقديم التحليل الجبري والرمزي للمشكلات الهندسية التي يقترحها Vi & egravete كخطوة أولى في عملية من ثلاث خطوات يمكن أن تقدم حلاً هندسيًا. كانت المراحل الثلاث: (1) الزيتكس، والتي تضمنت التحليل الجبري (أو التفصيل) لمشكلة (2) المسامية، والتي أوضحت العلاقات بين الأحجام من خلال اللجوء إلى نظرية النسب (انظر Giusti 1992 حول أهمية نظرية النسب للرياضيات Vi & egravete & rsquos) و (3) تفسير، والتي قدمت الحل الهندسي الحقيقي (أو الدليل) للمشكلة. لفهم العلاقة بين مراحل الزيتكس و تفسير، والتي تتوافق تقريبًا مع المراحل القديمة من التحليل والتركيب ، تأخذ في الاعتبار مشكلة تحديد متناسبين متوسطين. ومن الناحية الهندسية فإن المشكلة كالتالي:

في مرحلة التحليل هذه ، يتم تحويل المشكلة الهندسية إلى مشكلة جبرية لحل معادلة تكعيبية قياسية (أي معادلة تكعيبية لا تتضمن مصطلحًا تربيعيًا). ومع ذلك ، بالنسبة إلى Vi & egravete ، يجب توفير الحل الحقيقي للمشكلة في مرحلة التفسيرات ، والتي تقدم البناء الهندسي وبالتالي التوليف أو الإثبات. [3] وهنا توفر افتراضات neusis ضمان إمكانية إيجاد مثل هذا الحل: بافتراض حل مشكلة neusis ، يمكننا بناء المنحنى الذي يلبي المعادلتين التكعيبيتين أعلاه (على سبيل المثال ، يمكننا بناء جذور المعادلات) وبالتالي بناء النسب المتوسطة المطلوبة. بمعنى آخر ، كان هناك تكافؤ مفترض في برنامج Vi & egravete & rsquos بين حل مشكلة جبرية تتطلب تحديد جذور المعادلات التكعيبية المحددة وحل مشكلة هندسية تتطلب إنشاء منحنى. نرى هذا أيضًا في معالجته لتقطيع الزاوية: لحل مشكلة تقسيم الزاوية هو حل معادلتين تكعيبيتين على شكل قياسي ، وهو ما يكشفه Vi & egravete في شرحه الجبري للمسألة الهندسية (راجع Bos 2001، 173 & ndash176). في الواقع ، بافتراض فرضية neusis ، يمكننا حل أي معادلة تكعيبية ذات شكل قياسي ، وبما أنه كان معروفًا في ذلك الوقت أن جميع معادلات الدرجة الرابعة قابلة للاختزال إلى معادلات تكعيبية قياسية ، ما قدمته Vi & egravete مع زواجها من الجبر والهندسة في عام 1594 ملحق كان برنامجًا يحل جميع المشكلات التي تشبه الخطوط التي يمكن تطويرها من حيث المعادلات التكعيبية والرباعية.

وبقدر ما كان برنامج Vi & egravete & rsquos قوياً ، بقيت الأسئلة لعلماء الرياضيات الممارسين.هل ينبغي لنا ، كما حثت Vi & egravete ، قبول افتراض neusis كـ & ldquonot صعب & rdquo وبالتالي كمبدأ بناء أساسي للهندسة؟ وهل يجب أن نتبع Vi & egravete في الادعاء بأن المنحنيات الأخرى التي كان لها قوة كبيرة في حل المشكلات في الهندسة و mdashs مثل الحلزونية والمربع و mdash لم تكن هندسية بشكل شرعي لأنه لا يمكن بناؤها بواسطة neusis؟ علاوة على ذلك ، كانت هناك تساؤلات حول العلاقة VI & egravete المزورة بين الجبر والهندسة. بالنسبة إلى ديكارت على وجه الخصوص ، كانت هناك أسئلة حول ما إذا كان هناك ارتباط أعمق وأكثر جوهرية يمكن صياغته بين حلول المشكلات الجبرية التي تم التعبير عنها من حيث المعادلات وحلول المشكلات الهندسية التي تتطلب إنشاء منحنيات. ومع ذلك ، فإن هذه الأسئلة لم تتضح تمامًا بالنسبة إلى ديكارت حتى أوائل ثلاثينيات القرن السادس عشر ، بعد أكثر من عقد من دراسة المشكلات في كل من الهندسة والجبر.


1.1: مقدمة لأسس الجبر - الرياضيات

أسس تحليل البيانات
المدرب: جيف فيليبس (بريد إلكتروني) | ساعات العمل: يُعلن عنها لاحقًا (وبعد الفصل مباشرة)
TAs: سيتم الإعلان عنها
خريف 2021 | الثلاثاء ، الخميس 10:45 صباحًا - 12:05 مساءً
؟ تكبير / يوتيوب؟
رقم الكتالوج: CS / DS 3190 01
ويلتقي مع COMP 5960 01 (يعني للطلاب غير الحاصلين على شهادة جامعية وغير الحاصلين على شهادة جامعية)
تقويم Google لجميع المحاضرات وساعات العمل

المنهج وصف:
سيكون هذا الفصل بمثابة مقدمة لتحليل البيانات الحسابية ، مع التركيز على الأسس الرياضية ، مع توفير بعض الخبرة الأساسية في تقنيات التحليل. سيكون الهدف هو تطوير واستكشاف العديد من الموضوعات الأساسية التي تشكل العمود الفقري لموضوعات تحليل البيانات الحديثة ، بما في ذلك التعلم الآلي ، واستخراج البيانات ، والذكاء الاصطناعي ، والتصور. وسيشمل ذلك بعض المعلومات الأساسية في الاحتمالية والجبر الخطي ، ثم موضوعات مختلفة بما في ذلك قاعدة بايز وعلاقته بالاستدلال والانحدار الخطي وامتداداته متعددة الحدود وعالية الأبعاد ، وتحليل المكون الرئيسي وتقليل الأبعاد ، بالإضافة إلى التصنيف والتجميع. سنركز أيضًا على نماذج PAC الحديثة (ربما تكون صحيحة تقريبًا) ونماذج التحقق من الصحة لتقييم الخوارزمية.
غالبًا ما يتم تغطية بعض هذه الموضوعات بشكل مخيف للغاية في نهاية فصل الاحتمالية أو الجبر الخطي ، ومن ثم غالبًا ما يتم افتراض المعرفة في التنقيب عن البيانات المتقدمة أو فصول التعلم الآلي. هذا الفصل يملأ تلك الفجوة. ستكون الوتيرة المخطط لها أقرب إلى CS3130 أو Math2270 من دورات تحليل البيانات المتقدمة ذات المستوى 5000.

سنستخدم بايثون في الفصل لشرح واستكشاف المفاهيم الأساسية. لكن البرمجة لن تكون محور التركيز الرئيسي.
قام TA Hasan Poormahmood السابق بإنشاء برنامج تعليمي قصير عن الثعبان حول تحميل البيانات ومعالجتها ومعالجتها وتخطيطها في لغة python في colab. هذا هو دفتر الثعبان حتى تتمكن من المتابعة.

كتاب: الأسس الرياضية لتحليل البيانات (v1.0)
نسخة مجانية (v0.6) مجانية ومتاحة على الإنترنت بصيغة pdf. يتم تحديث التنسيق وترقيم الصفحات وتحسين الكتابة في مواضع في الإصدار 1.0. تمت إضافة بعض المحتويات أيضًا في الإصدار 1.0 ، ولكنها لا تؤثر على الجزء الذي يتم تناوله في هذه الدورة التدريبية.
تم سرد المزيد من الموارد الخارجية عبر الإنترنت أدناه.

أشرطة فيديو: سيتم إلقاء المحاضرة شخصيًا.
كما فعلت لعدة سنوات ، من المحتمل أيضًا أن نبث المحاضرات على الهواء مباشرة (على YouTube). تفاصيل للمتابعة.

المتطلبات:
المتطلبات الرسمية المسبقة هي CS 2100 ، و 2420 ، والرياضيات 2270. وتهدف هذه المتطلبات إلى ضمان بعض النضج الرياضي الأساسي للغاية (CS 2100) والفهم الأساسي لكيفية تخزين البيانات ومعالجتها ببعض الكفاءة (CS2420) وأساسيات الجبر الخطي والأبعاد العالية (رياضيات 2270).
لدينا كمتطلب مشترك CS 3130 (أو Math 3070) لضمان بعض الإلمام بالاحتمالات.
سيتم تخصيص عدد قليل من المحاضرات لمراجعة الجبر الخطي والاحتمالات ، ولكن بوتيرة سريعة والتركيز على تفسير البيانات لهذه المجالات. أفهم أن الطلاب يحصلون الآن على خلفية في تحليل البيانات بعدة طرق مختلفة ، اتصل بالمدرس إذا كنت تعتقد أنه يمكنك الإدارة بدون هذه المتطلبات المسبقة.
تعتبر هذه الدورة التدريبية متطلبًا مسبقًا لـ CS 5350 (التعلم الآلي) و CS 5140 (استخراج البيانات) ، وهي جزء من خط أنابيب جديد لعلوم البيانات.

جدول:

تاريخ الفصل فيديو ؟ عنوان إسناد قيمة
الاثنين 8.23 YT نظرة عامة على الفصل
الأربعاء 8.25 الفصل 1 - 1.2 YT مراجعة الاحتمالية: مساحة العينة ، المتغيرات العشوائية ، الاستقلال (colab) HW1 خارج
الاثنين 8.30 الفصل 1.3 - 1.6 YT مراجعة الاحتمالية: ملفات PDF ، CDFs ، التوقعات ، التباين ، التوزيعات المشتركة والهامشية مسابقة 0
الأربعاء 9.01 الفصل 1.7 YT قاعدة بايز: MLEs و Log- احتمالية
الاثنين 9.06 يوم العمل عيد العمال
الأربعاء 9.08 الفصل 1.8 YT قاعدة بايز: الاستدلال البايزي
الاثنين 9.13 الفصل 2.1 - 2.2 YT التقارب: نظرية الحدود المركزية والتقدير (colab) مسابقة 1
الأربعاء 9.15 الفصل 2.3.2 YT التقارب: خوارزميات PAC وتركيز القياس HW 1 مستحق
الاثنين 9.20 الفصل 3.1 - 3.2 YT مراجعة الجبر الخطي: المتجهات والمصفوفات والضرب والقياس
الأربعاء 9.22 الفصل 3.3 - 3.5 YT مراجعة الجبر الخطي: القواعد ، الاستقلالية الخطية ، الرتبة و numpy (colab) HW 2 خارج
الاثنين 9.27 الفصل 3.6 - 3.8 YT مراجعة الجبر الخطي: معكوس ، متعامد مسابقة 2
الأربعاء 9.29 الفصل 5.1 YT الانحدار الخطي: المتغيرات التفسيرية والتابعة (colab)
الاثنين 10.04.2018 الفصل 5.2-5.3 YT الانحدار الخطي: الانحدار المتعدد (colab) ، الانحدار متعدد الحدود (colab)
الأربعاء 10.06 الفصل 5.4.1 YT الانحدار الخطي: overfitting and cross-validation (colab) HW 2 واجب
الاثنين 10.11 كسر السقوط
الأربعاء 10.13 كسر السقوط
الاثنين 10.18 الفصل 5 YT الانحدار الخطي: مراجعة مصغرة + سلاك مسابقة 3
الأربعاء 10.20 الفصل 6.1 - 6.2 YT نزول التدرج: الوظائف ، الحد الأدنى ، الحد الأقصى ، التحدب والتدرجات HW 3 خارج
الاثنين 10.25 الفصل 6.3 YT نزول التدرج: الخوارزمية والتقارب (كولاب)
الأربعاء 10.27.2018 الفصل 6.4 YT نزول التدرج: نماذج ملائمة للبيانات ونسب التدرج العشوائي
الإثنين 11.01.2019 الفصل 7.1 - 7.2 YT تقليل الأبعاد: SVD مسابقة 4
الأربعاء 11.03.2020 الفصل 7.2 - 7.3 YT تقليل الأبعاد: تقريب الرتبة k وقيم eigenvalues ​​(colab) HW 3 مستحق
الاثنين 11.08.2018 الفصل 7.4 YT تقليل الأبعاد: طريقة الطاقة (كولاب) HW 4 خارج
الأربعاء 11.10 الفصل 7.5 - 7.6 YT تقليل الأبعاد: PCA ، والتوسيط (colab) ، و MDS (colab)
الاثنين 11.15 الفصل 8.1.2 YT التجميع: مخططات فورونوي + التجميع القائم على التخصيص (كولاب)
الأربعاء 11.17 الفصل 8.3 YT التجميع: k- يعني مسابقة 5
الاثنين 11.22 الفصل 8.4، 8.7 YT التجميع: EM ، مزيج من Gaussians ، يعني التحول HW 4 مستحق
الأربعاء 11.24.24 الفصل 9.1 YT التصنيف: التنبؤ الخطي
الاثنين 11.29 الفصل 9.2 YT التصنيف: خوارزمية Perceptron HW 5 خارج
الأربعاء 12.01.2019 الفصل 9.3 YT التصنيف: الألباب و SVMs مسابقة 6
الاثنين 12.06.2017 الفصل 9.4 - 9.5 YT التصنيف: شبكات عصبية
الأربعاء 12.08.2018 YT مراجعة الفصل الدراسي
الجمعة 12.04.2019 HW 5 مستحق
الجمعة 12.17.2007 إمتحان نهائي تتداخل مع (10:30 صباحًا - 12:30 مساءً) (ممارسة)

منظمة الفصل: سيتم تشغيل الفصل من خلال صفحة الويب هذه و Canvas. سيتم الاحتفاظ بالجدول الزمني والملاحظات والروابط هنا. سيتم تسليم جميع الواجبات المنزلية من خلال Canvas.


وضع العلامات: سيكون هناك اختبار نهائي واحد بنسبة 20٪ من الدرجة. الواجب المنزلي يستحق 60٪ من الدرجة. سيكون هناك 5 واجبات منزلية ويمكن حذف أقل واحدة. تساوي الاختبارات القصيرة 20٪ من الدرجة. سيكون هناك 6 أو 7 (الاختبار الأول ، الاختبار 0 ، يساوي نقاطًا أقل).

تتكون الواجبات المنزلية عادة من مجموعة مشاكل تحليلية ، وفي بعض الأحيان يتم تدريب البرمجة الخفيفة في بايثون. عندما يتم استخدام Python ، سنعمل عادةً من خلال الأمثلة في الفصل أولاً.


السياسة المتأخرة: للحصول على الدرجات الكاملة لمهمة ما ، يجب تسليمها من خلال Canvas بحلول بداية الفصل الدراسي ، وتحديدًا الساعة 10:30. بمجرد تفويت الموعد النهائي 10:30 ، سيخسر من يتأخرون 10٪. كل 24 ساعة لاحقة حتى يتم تحويلها يتم خصم 10٪ أخرى. أي أن الواجب المنزلي 30 ساعة متأخر بقيمة 10 نقاط سيفقد نقطتين. بمجرد إرجاع الواجب المقدّر ، أو مرور 48 ساعة ، سيتم منح أي واجب لم يتم تسليمه بعد 0.


سياسة السلوك الأكاديمي: تتبع مدرسة يوتا للحوسبة سياسة سوء السلوك الأكاديمي ، والتي تتطلب من جميع الطلاب المسجلين التوقيع على نموذج إقرار. يجب توقيع هذا النموذج وتحويله إلى مكتب القسم قبل تصنيف أي واجبات منزلية.

هذا الفصل لديه سياسة التعاون التالية:
بالنسبة للواجبات ، يمكن للطلاب مناقشة الإجابات مع أي شخص ، بما في ذلك نهج المشكلة والبراهين والرمز. لكن يجب على جميع الطلاب كتابة الكود الخاص بهم ، والبراهين ، والكتابات. إذا تعاونت مع طالب آخر في واجبات منزلية إلى الحد الذي تتوقع أن تبدأ إجاباتك في الظهور به ، فيجب عليك توضيح مدى تعاونك صراحةً في الواجب المنزلي. الطلاب الذين تبدو واجباتهم المنزلية متشابهة للغاية ، ولم يشرحوا التعاون ، سيحصلون على 0 في هذا الواجب.

فيما يلي بعض الكتب الأخرى التي تغطي بعض المواد ، ولكن بمستوى أكثر تقدمًا:
فهم ML | أسس علم البيانات | مقدمة في التعلم الإحصائي


مصدر : ظهور التجريبية المنطقية (1996) سنة النشر. شركة Garland Publishing Inc. مجموعة مختارة من هيلبرت للمسلسلات مستنسخة هنا ، مطروحًا منها بعض الشكليات الرياضية غير الضرورية.

إنه لشرف عظيم ، وفي نفس الوقت من الضروري بالنسبة لي أن أجمع أفكاري وأطورها حول أسس الرياضيات ، والتي تم شرحها هنا قبل يوم واحد منذ خمس سنوات ، والتي منذ ذلك الحين أبقتني دائمًا أكثر نشاطًا. بهذه الطريقة الجديدة في توفير أساس للرياضيات ، والتي قد نسميها بشكل مناسب نظرية الإثبات ، أسعى إلى تحقيق هدف مهم ، لأنني أود أن ألغي مرة واحدة وإلى الأبد جميع الأسئلة المتعلقة بأسس الرياضيات ، بالشكل الذي يتم طرحها الآن ، من خلال تحويل كل اقتراح رياضي إلى صيغة يمكن عرضها بشكل ملموس واشتقاقها بدقة ، وبالتالي إعادة صياغة التعريفات والاستنتاجات الرياضية بطريقة لا تتزعزع ومع ذلك تقدم صورة مناسبة للعلم بأكمله. أعتقد أنه يمكنني تحقيق هذا الهدف تمامًا من خلال نظرية الإثبات الخاصة بي ، حتى لو كان لا يزال يتعين القيام بقدر كبير من العمل قبل تطويره بالكامل.

لا يمكن تأسيس الرياضيات عن طريق المنطق وحده أكثر من أي علم آخر ، كشرط لاستخدام الاستدلالات المنطقية وأداء العمليات المنطقية ، يجب أن يُعطى لنا شيء بالفعل في كلية التمثيل لدينا ، وبعض الأشياء الملموسة غير المنطقية التي يتم تقديمها بشكل حدسي كتجربة فورية سابقة على التفكير. إذا كان الاستدلال المنطقي يمكن الاعتماد عليه ، فيجب أن يكون من الممكن مسح هذه الكائنات بالكامل في جميع أجزائها ، وحقيقة حدوثها ، وأنها تختلف عن بعضها البعض ، وأنها تتبع بعضها البعض ، أو متسلسلة ، أمر فوري ، يُعطى بشكل حدسي ، مع الأشياء ، شيء لا يمكن اختزاله إلى أي شيء آخر ولا يتطلب الاختزال. هذا هو الموقف الفلسفي الأساسي الذي أعتبره ضروريًا للرياضيات ، وبشكل عام ، لجميع التفكير العلمي والفهم والتواصل. وفي الرياضيات ، على وجه الخصوص ، نعتبر العلامات الملموسة نفسها ، والتي يكون شكلها ، وفقًا للمفهوم الذي اعتمدناه ، فوريًا وواضحًا ويمكن التعرف عليه. هذا هو أقل ما يجب الافتراض أنه لا يمكن لأي مفكر علمي الاستغناء عنه ، وبالتالي يجب على الجميع الحفاظ عليه ، بوعي أو بغير وعي.

سأقدم الآن الفكرة الأساسية لنظرية الإثبات الخاصة بي.

يتم تحويل جميع الافتراضات التي تشكل في الرياضيات إلى صيغ ، بحيث تصبح الرياضيات الصحيحة كل مخزون من الصيغ. هذه تختلف عن الصيغ العادية في الرياضيات فقط في ذلك ، إلى جانب العلامات العادية ، العلامات المنطقية

∀ (x) (∃x) يدل و أو ليس للجميع يوجد

تحدث أيضا فيها. تسمى بعض الصيغ ، التي تعمل بمثابة لبنات بناء للصرح الرسمي للرياضيات ، بالبديهيات. الدليل عبارة عن مصفوفة يجب تقديمها على هذا النحو إلى حدسنا الإدراكي من الاستدلالات وفقًا للمخطط

حيث تكون كل من المقدمات ، أي الصيغ ، & # 138 و & # 138 & # 8658 & Yacute في المصفوفة إما بديهية أو مباشرة من بديهية عن طريق الاستبدال ، أو تتزامن مع الصيغة النهائية للاستدلال الذي حدث سابقًا في الإثبات أو ينتج عنه بالتناوب. يُقال أن الصيغة يمكن إثباتها إذا كانت إما بديهية أو صيغة نهائية لإثبات.

البديهيات والقضايا التي يمكن إثباتها ، أي الصيغ الناتجة عن هذا الإجراء ، هي نسخ من الأفكار التي تشكل الرياضيات العرفية كما تطورت حتى الآن.

من خلال البرنامج الموضح هنا ، تم بالفعل توضيح اختيار البديهيات لنظرية الإثبات لدينا ، فنحن نرتبها على النحو التالي.

أولاً: بديهيات التضمين ،
ثانيًا. البديهيات حول & أمبير و v
ثالثا. بديهيات النفي

أ (مبدأ التناقض)

أ)) ⇒ أ (مبدأ النفي المزدوج).

إن مسلمات المجموعات الأولى والثانية والثالثة ليست سوى بديهيات حساب الافتراض. من 11 و 12 يتبع ، على وجه الخصوص ، الصيغة

وكذلك المبدأ المنطقي للوسط المستبعد ،

رابعا. البديهية الإلكترونية المنطقية

هنا ه (أ) يرمز إلى موضوع من خلاله الاقتراح أ(أ) بالتأكيد إذا كان يحمل أي كائن على الإطلاق ، فلنسمي e الوظيفة الإلكترونية المنطقية. لتوضيح دور الوظيفة الإلكترونية المنطقية ، دعونا نقدم الملاحظات التالية.

في النظام الرسمي ، يتم استخدام الوظيفة الإلكترونية بثلاث طرق.

1. عن طريق e & quotall & quot و & quot؛ يوجد & quot يمكن تعريفها على النحو التالي:

هنا يرمز السهم المزدوج (& # 8660) إلى مزيج من صيغتين ضمنيتين في مكانه ، سنستخدم من الآن فصاعدًا علامة & quot التكافؤ & quot & # 8801.

على أساس هذا التعريف ، تُنتج البديهية الإلكترونية IV 13 العلاقات المنطقية التي تربط بين المُحدد الكوني والوجودي ، مثل

أ(أ)) (مبدأ الوسط المستبعد).

2. إذا كان الاقتراح Y يحمل عنصرًا واحدًا فقط ، فإن e (Y) يكون كذلك الكائن منها ص (أ) يحمل.

وبالتالي ، تمكننا الوظيفة الإلكترونية من حل اقتراح مثل Y (أ) ، عندما يحمل كائنًا واحدًا فقط ، وذلك للحصول عليه

3. بعد ذلك ، تأخذ e دور وظيفة الاختيار ، أي في حالة حدوث ذلك أ(أ) يحمل عدة أشياء ، e (Y) هو شخص ما من الأشياء أ منها ص (أ) يحمل.

بالإضافة إلى هذه البديهيات المنطقية البحتة ، لدينا البديهيات الرياضية التالية على وجه التحديد.

V. بديهيات المساواة
السادس. بديهيات العدد

هنا أ'يشير إلى العدد التالي والأعداد الصحيحة 1 ، 2 ، 3 ،. . . يمكن كتابتها في شكل 0 '، 0' '، 0' ''.

بالنسبة لأرقام فئة العدد الثاني وفئات الأرقام الأعلى في كانتور ، يجب إضافة بديهيات الاستقراء المقابلة ، ومع ذلك ، يجب دمجها في مخطط يتفق مع نظرية كانتور.

أخيرًا ، نحتاج أيضًا إلى تعريفات صريحة ، تقدم مفاهيم الرياضيات ولها طابع البديهيات ، بالإضافة إلى بعض المسلمات العودية ، التي تنتج عن مخطط العودية العام. قبل أن نناقش صياغة هذه البديهيات ، يجب علينا أولاً وضع القواعد التي تحكم استخدام البديهيات بشكل عام. لأنه في نظريتي ، يتم استبدال الاستدلال المحتوى بالتلاعب بالإشارات وفقًا للقواعد وبهذه الطريقة تصل الطريقة البديهية إلى تلك الموثوقية والكمال التي يمكن ويجب أن تصل إليها إذا كانت ستصبح الأداة الأساسية لكل البحوث النظرية.

أولاً ، تنطبق الشروط التالية.

بالنسبة للمتغيرات الرياضية ، نستخدم دائمًا أحرف لاتينية صغيرة مائلة ، ولكن للأشياء الرياضية الثابتة (وظائف محددة) بأحرف يونانية صغيرة.

بالنسبة للقروض الذرية المتغيرة (الصيغ غير المحددة) ، نستخدم دائمًا أحرف لاتينية مائلة كبيرة ، ولكن للقروض الذرية الثابتة أحرف يونانية كبيرة ، على سبيل المثال ،

ن(أ) [أ هو رقم من الدرجة الثانية].

فيما يتعلق بإجراءات الاستبدال ، تعقد الاتفاقيات العامة التالية.

بالنسبة للمتغيرات الافتراضية ، قد نستبدل الصيغ فقط ، أي المصفوفات التي تم إنشاؤها من الصيغ الأولية عن طريق العلامات المنطقية

الصيغ الأولية هي متغيرات الصيغة ، ربما مع الوسائط

المرفقة ، وعلامات الافتراضات الثابتة ، مثل

مع شغل أماكن الحجة المرتبطة.

يمكن استبدال أي مصفوفة بمتغير رياضي ، ومع ذلك ، عندما يحدث متغير رياضي في صيغة ، فإن الاقتراح الثابت الذي ينص على نوع المتغير ، متبوعًا بعلامة ضمنية ، يجب أن يسبق دائمًا ، على سبيل المثال ،

هذه الاتفاقية لها تأثير فقط على البدائل التي هي أرقام عادية أو أرقام من فئة الرقم الثاني تؤخذ في الاعتبار بعد كل شيء. في البديهيات الخامس والسادس المقترحات ض(أ) و ض(ب) ، التي يجب أن تسبق ، تم حذفها من أجل الإيجاز.

تحتوي الأحرف الكبيرة والصغيرة الألمانية على مرجع وتستخدم فقط لنقل المعلومات.

المتغيرات الرياضية من نوعين: (1) المتغيرات البدائية و (2) أنواع متغيرة.

1. الآن بينما في كل العمليات الحسابية والتحليلية ، يكفي العدد الصحيح العادي كمتغير بدائي وحيد ، مع كل فئة من فئات عدد كانتور العابرة للحدود ، هناك متغير بدائي يمتد على الترتيب الدقيق لتلك الفئة. ومن ثم ، فإن كل متغير بدائي يتوافق مع اقتراح مفاده أن الحالات من أي نوع هذا الافتراض تتميز ضمنيًا بالبديهيات.

مع كل متغير بدائي ، هناك نوع واحد من العودية ، والذي بواسطته نحدد الوظائف التي تكون حجتها هي ذلك المتغير البدائي. العودية المرتبطة بالمتغير النظري للأرقام هي & quot ؛ العودية & quot ، والتي يتم من خلالها تحديد دالة t للمتغير النظري رقم t عندما نشير إلى القيمة التي لها ن = 0 وكيف قيمة نتم الحصول عليها من ذلك لـ ن. إن تعميم العودية العادية هو العودية العابرة للحدود ، فهي تستند إلى المبدأ العام القائل بأن قيمة الوظيفة لقيمة المتغير يتم تحديدها عن طريق القيم السابقة للدالة.

2. من المتغيرات البدائية نشتق أنواعًا أخرى من المتغيرات من خلال تطبيق وصلات منطقية على الافتراضات المرتبطة بالمتغيرات الأولية ، على سبيل المثال ، ض. المتغيرات التي تم تحديدها على هذا النحو تسمى الأنواع المتغيرة ، والقضايا التي تحددها تسمى اقتراحات الفرز لكل من هذه ، يتم تقديم علامة معينة جديدة. هكذا الصيغة

يقدم أبسط مثيل لفرز متغير تحدد هذه الصيغة نوع متغير الوظيفة (& quot كونه دالة & quot). مثال آخر هو الصيغة

يعرّف & quotbeing-a-function-of-a-function & quot الوسيطة ز هو المتغير الجديد لوظيفة دالة.

لإنتاج أنواع متغيرة أعلى ، يجب أن نوفر اقتراحات الفرز نفسها مع نصوص ، مما يجعل إجراء العودية ممكنًا.

يمكننا الآن وصف ما يجب فهمه من خلال التعريفات الصريحة وبديهيات العودية: التعريف الصريح هو التكافؤ أو الهوية التي على جانبها الأيسر لها علامة يجب تعريفها (حرف كبير أو حرف يوناني صغير [غامق]) ، على طول مع متغيرات معينة كوسيطات ، وعلى جانبها الأيمن مصفوفة تحدث فيها هذه الوسيطات فقط كمتغيرات حرة ولا توجد فيها علامات للثوابت باستثناء تلك التي تم تقديمها بالفعل.

بطريقة مقابلة ، فإن بديهيات العودية هي أنظمة صيغ تم تصميمها بناءً على الإجراء العودي.

هذه هي الأسس العامة لنظريتي. لتعريفك بالطريقة التي يتم بها تطبيقه ، أود أن أعرض بعض الأمثلة على وظائف معينة كما يتم تحديدها من خلال العودية.

إذا بدأنا الآن في بناء الرياضيات ، فسنضع أنظارنا أولاً على نظرية الأعداد الأولية التي ندرك أنه يمكننا الحصول عليها وإثباتها من خلال اعتبارات بديهية المحتوى. تستخدم الصيغ التي نواجهها عندما نتبع هذا النهج فقط لنقل المعلومات. تشير الأحرف إلى أرقام ، وتعلمنا المعادلة بحقيقة أن علامتين ترمزان إلى نفس الشيء.

يختلف الوضع في الجبر في الجبر ، فنحن نعتبر التعبيرات المكونة من الحروف كائنات مستقلة في حد ذاتها ، ومقترحات نظرية الأعداد ، التي يتم تضمينها في الجبر ، يتم صياغتها بشكل رسمي عن طريقها. حيث كان لدينا أرقام ، لدينا الآن الصيغ ، والتي هي في حد ذاتها كائنات ملموسة يتم اعتبارها بدورها من خلال حدسنا الإدراكي ، واشتقاق صيغة واحدة من أخرى وفقًا لقواعد معينة يحل محل الدليل النظري للأرقام القائم على المحتوى.

وهكذا يذهب الجبر بالفعل إلى ما هو أبعد من نظرية الأعداد المئوية. حتى الصيغة 1 + أ = أ + 1 ، على سبيل المثال ، التي يكون فيها متغيرًا نظريًا حقيقيًا للأرقام ، في الجبر لم يعد ينقل معلومات حول شيء مضمون فحسب ، بل هو كائن شكلي معين ، صيغة يمكن إثباتها ، والتي تعني في حد ذاتها لا شيء ولا يمكن أن يستند إثباته إلى المحتوى ولكنه يتطلب مناشدة بديهية الاستقراء.

يمكن الحصول على الصيغ 1 + 3 = 3 + 1 و 1 + 7 = 7 + 1 ، والتي يمكن التحقق منها من خلال اعتبارات المحتوى ، من الصيغة الجبرية أعلاه فقط من خلال إجراء إثبات ، مثل الاستبدال الرسمي للأرقام 3 و 7 إلى عن على أ، أي باستخدام قاعدة الاستبدال.

ومن ثم ، حتى الرياضيات الأولية تحتوي ، أولاً ، على الصيغ التي تتوافق معها الاتصالات المضمونية للقضايا النهائية (المعادلات العددية أو عدم المساواة ، أو الاتصالات الأكثر تعقيدًا المكونة من هذه) والتي يمكن أن نسميها الحقيقي. المقترحات للنظرية ، وثانيًا ، الصيغ التي - تمامًا مثل أرقام نظرية الأعداد المضمونية - لا تعني في حد ذاتها شيئًا سوى أنها مجرد أشياء تحكمها قواعدنا ويجب اعتبارها الأشياء المثالية من النظرية.

تظهر هذه الاعتبارات ، للوصول إلى مفهوم الصيغ كاقتراحات مثالية ، نحتاج فقط إلى متابعة خط التطور الذي اتبعته الممارسة الرياضية حتى الآن بطريقة طبيعية ومتسقة. ومن ثم فمن الطبيعي والمتسق بالنسبة لنا أن نعالج من الآن فصاعدًا ليس فقط المتغيرات الرياضية ولكن أيضًا العلامات المنطقية ، v ، & amp ، إلخ ، والمتغيرات المنطقية ، أي المتغيرات المقترحة ، أ, ب, جو. . . ، تمامًا مثل الأرقام والحروف في الجبر والنظر إليها أيضًا ، كعلامات لا تعني في حد ذاتها شيئًا سوى أنها مجرد لبنات بناء لمقترحات مثالية.

في الواقع ، لدينا سبب عاجل لتوسيع وجهة النظر الرسمية للجبر لتشمل جميع الرياضيات. لأنها وسيلة لإعفائنا من صعوبة أساسية هي بالفعل محسوسة في نظرية الأعداد الأولية. مرة أخرى آخذ المعادلة كمثال

إذا أردنا اعتباره نقل المعلومات التي

أين أ يقف على أي رقم معين ، ثم لا يمكن نفي هذا الاتصال ، منذ الافتراض بوجود رقم أ لأي منهم

ليس للحسابات معنى نهائيًا لا يمكن للمرء ، بعد كل شيء ، تجربة جميع الأرقام. وبالتالي ، إذا تبنينا الموقف النهائي ، فلن نتمكن من الاستفادة من البديل الذي بموجبه يتم استيفاء معادلة ، مثل المعادلة أعلاه ، التي يحدث فيها رقم غير محدد لكل رقم أو يمكن دحضها بمثال مضاد. لأن هذا البديل ، كتطبيق لمبدأ & quot ؛ الوسط & quot المستبعد ، يعتمد أساسًا على افتراض أنه من الممكن نفي التأكيد على أن المعادلة المعنية دائمًا ما تصمد.

لكن لا يمكننا التخلي عن استخدام أي من مبدأ الوسط المستبعد أو أي قانون آخر للمنطق الأرسطي المعبر عنه في مسلماتنا ، لأن بناء التحليل مستحيل بدونها.

الآن يمكن تجنب الصعوبة الأساسية التي نواجهها هنا باستخدام الافتراضات المثالية. لأنه إذا قمنا بضم القضايا المثالية إلى الافتراضات الحقيقية ، فإننا نحصل على نظام من الافتراضات تكون فيه جميع القواعد البسيطة للمنطق الأرسطي وجميع الطرق المعتادة للاستدلال الرياضي صحيحة. تمامًا كما ، على سبيل المثال ، لا غنى عن الأرقام السالبة في نظرية الأعداد الأولية ، وكما أن نظرية الأعداد الحديثة والجبر تصبح ممكنة فقط من خلال مُثُل Kummer-Dedekind ، فإن الرياضيات العلمية تصبح ممكنة فقط من خلال تقديم افتراضات مثالية.

من المؤكد أن شرطًا واحدًا ، شرطًا واحدًا ولكن لا غنى عنه ، مرتبط دائمًا باستخدام طريقة العناصر المثالية ، وهذا دليل على الاتساق من أجل التمديد عن طريق إضافة عناصر مثالية فقط إذا لم يكن هناك تناقض. نشأت في المجال القديم الضيق ، أي إذا كانت العلاقات التي تنتج عن الأشياء القديمة كلما تم التخلص من الأشياء المثالية صالحة في المجال القديم.

في الوضع الحالي ، ومع ذلك ، فإن مشكلة الاتساق هذه قابلة للعلاج تمامًا. لأن النقطة هي إظهار أنه عندما يتم تقديم كائنات مثالية ، فإنه من المستحيل بالنسبة لنا الحصول على افتراضين متناقضين منطقيًا ، Y و

ص. الآن ، كما أشرت أعلاه ، الصيغة المنطقية

يتبع من بديهيات النفي. إذا قمنا باستبدال الاقتراح Y فيه أ والمتباينة 0 & # 8800 0 ل ب، نحصل

وبمجرد أن نحصل على هذه الصيغة ، يمكننا اشتقاق الصيغة 0 # 0 من Y و

ص. لإثبات الاتساق ، نحتاج فقط إلى إظهار أنه لا يمكن الحصول على 0 & # 8800 0 من بديهياتنا بالقواعد السارية باعتبارها الصيغة النهائية للإثبات ، ومن ثم فإن 0 & # 8800 0 ليست معادلة يمكن إثباتها. وهذه مهمة تكمن أساسًا في مجال الحدس تمامًا كما هو الحال في نظرية الأعداد المضمون ، وهي مهمة إثبات عدم عقلانية الجذر التربيعي (2) ، أي إثبات أنه من المستحيل العثور على رقمين أ و ب إرضاء العلاقة أ 2 = 2 ب 2 ، وهي مشكلة يجب فيها إثبات أنه من المستحيل إظهار رقمين لهما خاصية معينة. في المقابل ، فإن الهدف بالنسبة لنا هو إظهار أنه من المستحيل إظهار دليل من نوع معين. لكن الدليل الرسمي ، مثل الرقم ، هو كائن ملموس وقابل للمسح. يمكن توصيلها من البداية إلى النهاية. أن الصيغة النهائية لها البنية المطلوبة ، وهي & quot 0 & # 8800 0 & quot ، هي أيضًا خاصية للإثبات يمكن التحقق منها بشكل ملموس. يمكن تقديم العرض في الواقع ، وهذا يوفر لنا مبررًا لتقديم مقترحاتنا المثالية. في الوقت نفسه ، ندرك أن هذا يعطينا أيضًا حلًا لمشكلة أصبحت ملحة منذ زمن بعيد ، وهي إثبات اتساق البديهيات الحسابية.

أينما يتم استخدام الطريقة البديهية ، من واجبنا إثبات اتساق البديهيات. في الهندسة والنظريات الفيزيائية ، يتم تنفيذ هذا الإثبات بنجاح عن طريق تقليل تناسق البديهيات الحسابية. من الواضح أن هذه الطريقة تفشل في حالة الحساب نفسه. من خلال جعل هذه الخطوة النهائية المهمة ممكنة من خلال طريقة العناصر المثالية ، تشكل نظرية الإثبات لدينا حجر الأساس الضروري للنظام البديهية.

الاختبار الأخير لكل نظرية جديدة هو نجاحها في الإجابة على الأسئلة الموجودة مسبقًا والتي لم يتم إنشاء النظرية للإجابة عليها تحديدًا. بمجرد أن اكتشف كانتور أرقامه العابرة للحدود الأولى ، وأرقام فئة الرقم الثاني كما يطلق عليها ، نشأ السؤال عما إذا كان بإمكان المرء عن طريق هذا العد العابر أن يعدد بالفعل عناصر المجموعات المعروفة في سياقات أخرى ولكن لا يمكن حصرها في احساس عادي. كان المقطع الخطي هو أول وأهم مجموعة من هذا النوع يتم النظر فيها. هذا السؤال ، ما إذا كانت نقاط المقطع المستقيم ، أي الأعداد الحقيقية ، يمكن تعدادها عن طريق أرقام فئة الرقم الثاني ، هي مشكلة السلسلة المستمرة ، التي صاغها كانتور ولكن لم يحلها. في ورقيتي & quotOn & quot؛ اللانهائي & quot (1925) ، أوضحت كيف تصبح هذه المشكلة من خلال نظرية الإثبات الخاصة بنا قابلة للعلاج الناجح.

من أجل إظهار أن فرضية كانتور المستمرة هذه تشكل مشكلة ملموسة تمامًا للتحليل العادي ، أذكر أيضًا أنه يمكن التعبير عنها كصيغة بالطريقة التالية:

أين ، للاختصار ، وضعنا

في هذه الصيغة لا يزال هناك الاقتراح ن، والذي يرتبط بالمتغير البدائي لفئة العدد الثانية. ولكن يمكن تجنب ذلك ، لأنه ، كما هو معروف ، يمكن تمثيل أرقام فئة العدد الثانية بترتيب جيد للتسلسل الرقمي - أي من خلال وظائف معينة لها متغيرين نظريين للأرقام وتأخذ القيم 0 و 1 - بطريقة تأخذ القضية المعنية شكل اقتراح حول الوظائف فقط.

لقد حددت بالفعل السمات الأساسية لنظرية الإثبات هذه في مناسبات مختلفة ، في كوبنهاغن [1922] وهنا في هامبورغ [1922] ولايبزيغ [1922] وفي مونستر [1925] في هذه الأثناء كان هناك الكثير من الأخطاء وجدت معها ، وأثيرت اعتراضات من جميع أنواع الخلايا ضدها ، وكلها أعتبرها غير عادلة بقدر ما يمكن أن تكون. أود الآن أن أوضح بعض هذه النقاط.

أدلى Poincar & eacute بالفعل ببيانات مختلفة تتعارض مع آرائي قبل كل شيء ، فقد نفى منذ البداية إمكانية إثبات الاتساق للبديهيات الحسابية ، مؤكداً أن اتساق طريقة الاستقراء الرياضي لا يمكن إثباته أبدًا إلا من خلال الطريقة الاستقرائية نفسها. ولكن ، كما تظهر نظريتي ، هناك طريقتان متميزتان تتقدمان بشكل متكرر تلعبان دورًا عندما يتم تأسيس أسس الحساب ، وهما ، من ناحية ، البناء البديهي للعدد الصحيح كرقم (والذي يتوافق أيضًا ، في الاتجاه المعاكس ، مع تحلل أي رقم معين ، أو تحلل أي مصفوفة محددة بشكل ملموس تم إنشاؤها كما هو رقم) ، أي ، الاستقراء المحتوى ، ومن ناحية أخرى ، الاستقراء الرسمي المناسب ، والذي يعتمد على بديهية الاستقراء والتي من خلالها وحده المتغير الرياضي يمكنه أن يلعب دوره في النظام الرسمي.

توصل Poincar & Ecute إلى اقتناعه الخاطئ بعدم التمييز بين هاتين الطريقتين في الاستقراء ، وهما من نوعين مختلفين تمامًا. للأسف ، كان لدى بوانكار وإيكوت ، عالم الرياضيات الذي كان في جيله الأغنى بالأفكار والأكثر خصوبة ، تحيزًا واضحًا ضد نظرية كانتور ، مما منعه من تكوين رأي عادل عن مفاهيم كانتور الرائعة. في ظل هذه الظروف ، كان على Poincar & Ecute أن يرفض نظريتي ، والتي ، بالمناسبة ، كانت موجودة في ذلك الوقت فقط في مراحلها المبكرة غير الملائمة تمامًا. بسبب سلطته ، غالبًا ما كان لـ Poincar & Ecute تأثير أحادي الجانب على جيل الشباب.

تعارض نظريتي على أسس مختلفة من قبل أتباع نظرية راسل ووايتهيد حول المؤسسات ، الذين ينظرون إليها مبادئ الرياضيات كأساس مرضي بشكل نهائي للرياضيات.

نظرية الأسس لراسل ووايتهيد هي تحقيق منطقي عام واسع النطاق. لكن الأساس الذي توفره للرياضيات يرتكز أولاً على مسلمة اللانهاية ، ثم على ما يسمى بديهية الاختزال ، وكلاهما افتراضات محتوى حقيقية لا يدعمها دليل الاتساق ، وهما افتراضات. التي تظل صحتها في الواقع مشكوكًا فيها وهذا ، على أي حال ، لا تتطلب نظريتي.

في نظريتي ، لبديهية راسل عن قابلية الاختزال نظيرتها في قاعدة التعامل مع متغيرات الوظيفة. لكن القابلية للاختزال ليست مفترضة مسبقًا في نظريتي بدلاً من ذلك ، يتم التعرف عليها كشيء يمكن تعويضه: لن يكون تنفيذ التخفيض مطلوبًا إلا في حالة تقديم دليل على التناقض ، وبعد ذلك ، وفقًا لنظرية الإثبات الخاصة بي ، هذا التخفيض سيكون دائما حتميا للنجاح.

الآن فيما يتعلق بأحدث التحقيقات ، حقيقة أن البحث عن المؤسسات قد حان مرة أخرى لجذب مثل هذا التقدير والاهتمام النشطين يمنحني بالتأكيد أكبر قدر من السعادة. عندما أفكر في محتوى ونتائج هذه التحقيقات ، لا يمكنني في الغالب أن أتفق مع ميولهم التي أشعر بها. بالأحرى ، أنهم متأخرون إلى حد كبير عن العصر ، كما لو أنهم أتوا من فترة لم يكن فيها عالم الأفكار المهيب في كانتور قد اكتشف بعد.

في هذا أرى السبب أيضًا ، لماذا تتوقف هذه التحقيقات الأخيرة في الواقع عن المشكلات الكبرى لنظرية الأسس ، على سبيل المثال ، مسألة بناء الوظائف ، وإثبات أو دحض فرضية كانتور المتصلة ، السؤال ما إذا كانت جميع المسائل الرياضية قابلة للحل ، والسؤال عما إذا كان التناسق والوجود مكافئان للأشياء الرياضية.

من أدبيات اليوم حول أسس الرياضيات ، تشكل العقيدة التي قدمها بروير وأطلق عليها اسم الحدس الجزء الأكبر. ليس بسبب أي ميل للجدل ، ولكن من أجل التعبير عن آرائي بوضوح ومنع المفاهيم المضللة لنظريتي ، يجب أن أنظر عن كثب في بعض تأكيدات بروير.

يعلن بروير (تمامًا كما فعل كرونيكر في عصره) أن عبارات الوجود ، واحدًا وكلها ، لا معنى لها في حد ذاتها ما لم تحتوي أيضًا على بناء الشيء المؤكد وجوده بالنسبة له ، فهي عبارة عن نصوص لا قيمة لها ، ويسبب استخدامها انحطاط الرياضيات إلى لعبة.

قد يكون ما يلي بمثابة مثال يوضح أن مجرد إثبات الوجود الذي يتم تنفيذه باستخدام الوظيفة الإلكترونية المنطقية ليس بأي حال من الأحوال قطعة من الورق عديم القيمة.

من أجل تبرير ملاحظة من قبل Gauss مفادها أنه من غير الضروري للتحليل تجاوز الأعداد المركبة العادية المكونة من sqrt (-1) ، أجرى Weierstrass و Dedekind تحقيقات أدت أيضًا إلى صياغة وإثبات بعض النظريات. الآن منذ بعض الوقت ، أشرت إلى نظرية عامة (1896) حول الأشكال الجبرية التي هي بيان وجود خالص ولا يمكن تحويلها بطبيعتها إلى بيان يتضمن قابلية البناء. من خلال استخدام نظرية الوجود هذه ، تجنبت الجدال المطول وغير الواضح لـ Weierstrass والحسابات المعقدة للغاية لـ Dedekind ، بالإضافة إلى ذلك. أعتقد أن دليلي فقط هو الذي يكشف السبب الداخلي لصحة التأكيدات التي عبّر عنها غاوس وصاغها Weierstrass و Dedekind.

ولكن حتى لو لم يكن المرء راضيًا عن الاتساق ولديه مزيد من التورط ، فسيتعين عليه على الأقل الاعتراف بأهمية إثبات الاتساق كطريقة عامة للحصول على براهين نهائية من براهين النظريات العامة - لنقل طابع نظرية فيرما - أن تتم عن طريق الوظيفة الإلكترونية.

لنفترض ، على سبيل المثال ، أننا وجدنا ، لنظرية فيرما العظيمة ، دليلًا على استخدام الوظيفة المنطقية e. يمكننا بعد ذلك تقديم دليل مالي منه بالطريقة التالية.

دعونا نفترض تلك الأرقام

إرضاء معادلة فيرما

بعد ذلك يمكننا أيضًا الحصول على هذه المعادلة كصيغة يمكن إثباتها من خلال إعطاء شكل إثبات للإجراء الذي نتأكد من ذلك - تتطابق الأرقام a v + b v و c v. من ناحية أخرى ، وفقًا لافتراضنا سيكون لدينا دليل على الصيغة

يتم الحصول عليها عن طريق الاستبدال والاستدلال. ومن ثم كلاهما

يمكن إثباته. ولكن ، كما يظهر إثبات الاتساق بطريقة نهائية ، لا يمكن أن يكون هذا هو الحال.

ومع ذلك ، فإن الأمثلة المذكورة هي فقط حالات خاصة تم اختيارها بشكل تعسفي. في الواقع ، الرياضيات مليئة بالأمثلة التي تدحض تأكيدات بروير المتعلقة ببيانات الوجود.

ما هو الوضع الحقيقي الآن فيما يتعلق بتوبيخ أن الرياضيات سوف تتدهور إلى لعبة؟

إن مصدر نظريات الوجود الخالص هو البديهية جيم المنطقية ، والتي يعتمد عليها بناء جميع الافتراضات المثالية. وإلى أي مدى نجحت لعبة الصيغة على هذا النحو؟ تمكّننا لعبة الصيغة هذه من التعبير عن المحتوى الفكري الكامل لعلم الرياضيات بطريقة موحدة وتطويرها بطريقة تجعل الترابط بين الافتراضات الفردية والحقائق في نفس الوقت واضحًا. لجعلها مطلبًا عالميًا أن تكون كل صيغة فردية قابلة للتفسير في حد ذاتها ، لا يكون ذلك بأي حال من الأحوال منطقيًا على العكس من ذلك ، فإن النظرية بطبيعتها تجعلنا لا نحتاج إلى التراجع عن الحدس أو المعنى في خضم بعض الحجج . ما يطلبه الفيزيائي تحديدًا من نظرية ما هو أن افتراضات معينة تُشتق من قوانين الطبيعة أو الفرضيات فقط من خلال الاستدلالات ، ومن ثم على أساس لعبة الصيغة الخالصة ، دون تقديم اعتبارات خارجية. فقط مجموعات ونتائج معينة للقوانين الفيزيائية يمكن التحقق منها عن طريق التجربة - تمامًا كما في نظرية الإثبات الخاصة بي ، فإن الافتراضات الحقيقية فقط هي القادرة على التحقق مباشرة. تتكون قيمة براهين الوجود الخالص على وجه التحديد من أن البناء الفردي قد تم القضاء عليه من قبلهم وأن العديد من الإنشاءات المختلفة تندرج تحت فكرة أساسية واحدة ، بحيث أن ما هو ضروري فقط للإثبات يبرز بشكل واضح الإيجاز واقتصاد الفكر. سبب وجود & قطع من براهين الوجود. في الواقع ، كانت نظريات الوجود الخالص من أهم المعالم في التطور التاريخي لعلمنا. لكن مثل هذه الاعتبارات لا تزعج الحدس المتدين.

إن لعبة الصيغة التي يتجاهلها Brouwer ، إلى جانب قيمتها الرياضية ، أهمية فلسفية عامة مهمة. بالنسبة لهذه الصيغة ، يتم تنفيذ لعبة الصيغة وفقًا لقواعد محددة معينة ، حيث يكون أسلوب تفكيرنا يعبر. تشكل هذه القواعد نظامًا مغلقًا يمكن اكتشافه وتحديده بشكل نهائي. الفكرة الأساسية لنظرية الإثبات الخاصة بي ليست سوى وصف نشاط فهمنا ، لعمل بروتوكول للقواعد التي وفقًا لها يستمر تفكيرنا بالفعل. التفكير ، يحدث ذلك ، يوازي التحدث والكتابة: نشكل العبارات ونضعها وراء الأخرى.إذا كانت أي مجموعة من الملاحظات والظواهر تستحق أن تكون موضوعًا لتحقيق جاد وشامل ، فهذه واحدة لأنها ، بعد كل شيء ، جزء من مهمة العلم لتحريرنا من التعسف والعاطفة والعادات و تحمينا من الذاتية التي ظهرت بالفعل في آراء كرونيكر ، ويبدو لي أنها تجد ذروتها في الحدس.

التحدي الأكثر حدة وعاطفة للحدس هو التحدي الذي يقذفه عند صحة مبدأ الوسط المستبعد ، على سبيل المثال ، في أبسط الحالات ، في صحة نمط الاستدلال وفقًا لذلك ، لأي تأكيد يحتوي على عدد نظري متغير ، فإما أن يكون التأكيد صحيحًا لجميع قيم المتغير أو أن هناك رقمًا خاطئًا بالنسبة له. مبدأ الوسط المستبعد هو نتيجة للبديهية C المنطقية ولم يتسبب بعد في أدنى خطأ. علاوة على ذلك ، من الواضح والمفهوم أن إساءة الاستخدام مستبعدة. على وجه الخصوص ، لا يجب إلقاء اللوم على مبدأ الوسط المستبعد في الحد الأدنى لحدوث المفارقات المعروفة في نظرية المجموعات ، بل ترجع هذه المفارقات فقط إلى إدخال مفاهيم غير مقبولة وعديمة المعنى ، والتي يتم استبعادها تلقائيًا من نظرية الإثبات. عادة ما تكون براهين الوجود التي يتم إجراؤها بمساعدة مبدأ الوسط المستبعد جذابة بشكل خاص بسبب قصرها وأناقتها المدهشة. إن أخذ مبدأ الوسط المستبعد من عالم الرياضيات سيكون هو نفسه ، حيث يحظر استخدام التلسكوب على الفلكي أو الملاكم لاستخدام قبضتيه. إن حظر عبارات الوجود ومبدأ الوسط المستبعد هو بمثابة التخلي عن علم الرياضيات تمامًا. فبالمقارنة مع الامتداد الهائل للرياضيات الحديثة ، ماذا تعني البقايا البائسة ، النتائج المعزولة ، غير المكتملة وغير ذات الصلة ، التي حصل عليها الحدسون دون استخدام البديهية الإلكترونية المنطقية؟ إن نظريات نظرية الوظائف ، مثل نظرية الخرائط المطابقة والنظريات الأساسية في نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية أو سلسلة فورييه - لتمييز أمثلة قليلة فقط من علمنا ، هي مجرد افتراضات مثالية من وجهة نظري وتتطلب البديهية الإلكترونية المنطقية لتنميتها.

في هذه الظروف ، أنا مندهش من أن عالم الرياضيات يجب أن يشك في أن مبدأ الوسط المستبعد صالح تمامًا كأسلوب للاستدلال. إنني مندهش أكثر من أن ، كما يبدو ، مجتمع كامل من علماء الرياضيات الذين يفعلون الشيء نفسه قد شكل نفسه الآن. إنني مندهش للغاية من حقيقة أنه حتى في الدوائر الرياضية ، فإن قوة اقتراح رجل واحد ، مهما كانت مليئة بالمزاج والإبداع ، قادرة على أن يكون لها أكثر التأثيرات غير المحتملة والأكثر غرابة.

حتى رسم بياني لإثباتي لفرضية كانتور المستمرة لم يبق بعد نقده. لذلك أود أن أبدي بعض التعليقات على هذا الدليل. .

من خلال عرضي التقديمي ، ستدرك أن إثبات الاتساق هو الذي يحدد النطاق الفعال لنظرية الإثبات الخاصة بي ويشكل جوهرها بشكل عام. طريقة دبليو أكرمان تسمح بمزيد من التمديد. بالنسبة لأسس التحليل العادي ، تم تطوير نهجه حتى الآن بحيث تظل مهمة تنفيذ دليل رياضي بحت على المحدودية. بالفعل في هذا الوقت أود أن أؤكد ما ستكون النتيجة النهائية: الرياضيات علم لا افتراضات. لأجدها ، لست بحاجة إلى الله ، كما يفعل كرونيكر ، أو افتراض وجود كلية خاصة لفهمنا يتوافق مع مبدأ الاستقراء الرياضي ، كما يفعل Poincar & Ecute ، أو الحدس البدائي لـ Brouwer ، أو أخيرًا ، كما فعل راسل و وايتهيد ، وبديهيات اللانهاية ، وقابلية الاختزال ، والاكتمال ، وهي في الواقع افتراضات مضمونية فعلية لا يمكن تعويضها ببراهين الاتساق.

أود أن أشير كذلك إلى أن P. Bernays كان مرة أخرى معاوني المخلص. لم يكتفِ بمساعدتي باستمرار من خلال تقديم المشورة ، بل ساهم أيضًا بأفكار من وجهات نظره الخاصة والجديدة ، لذلك أود أن أسمي هذا عملنا المشترك. نعتزم نشر عرض مفصل للنظرية قريبًا.


شاهد الفيديو: Lesvideo 1: Herhaling rekenen met machten (شهر اكتوبر 2021).