مقالات

5.2: ناقلات في ثلاثة أبعاد - الرياضيات


المتجهات هي أدوات مفيدة لحل المشاكل ثنائية الأبعاد. يقدم هذا القسم امتدادًا طبيعيًا لمستوى الإحداثيات الديكارتية ثنائي الأبعاد إلى ثلاثة أبعاد.

أنظمة الإحداثيات ثلاثية الأبعاد

كما تعلمنا ، يحتوي نظام إحداثيات المستطيل ثنائي الأبعاد على محورين متعامدين: المحور الأفقي (س) والمحور الرأسي (ص). يمكننا إضافة بعد ثالث ، المحور (ض ) - عمودي على كل من المحور (س ) والمحور (ص ). نسمي هذا النظام نظام إحداثيات المستطيل ثلاثي الأبعاد. إنه يمثل الأبعاد الثلاثة التي نواجهها في الحياة الواقعية.

التعريف: نظام تنسيق مستطيل ثلاثي الأبعاد

يتكون نظام الإحداثيات المستطيل ثلاثي الأبعاد من ثلاثة محاور متعامدة: المحور (س ) - المحور (ص ) - والمحور (ض ). نظرًا لأن كل محور عبارة عن خط أرقام يمثل جميع الأرقام الحقيقية في (ℝ ) ، غالبًا ما يتم الإشارة إلى النظام ثلاثي الأبعاد بواسطة (ℝ ^ 3 ).

في الشكل ( PageIndex {1a} ) ، يظهر المحور الموجب (z ) - أعلى المستوى الذي يحتوي على المحورين (x ) - و (y ) -. يظهر المحور الموجب (س ) - إلى اليسار والمحور الموجب (ص ) إلى اليمين. السؤال الطبيعي الذي يجب طرحه هو: كيف تم تحديد الترتيب؟ النظام المعروض يتبع حكم اليد اليمنى. إذا أخذنا يدنا اليمنى وقمنا بمحاذاة الأصابع مع المحور الموجب (س ) ، فقم بلف الأصابع بحيث تشير في اتجاه المحور (ص ) - الموجب ، يشير إبهامنا في اتجاه المحور موجب (z ) - المحور (الشكل ( PageIndex {1b} )). في هذا النص ، نعمل دائمًا مع أنظمة إحداثيات تم إعدادها وفقًا لقاعدة اليد اليمنى. تتبع بعض الأنظمة قاعدة اليسار ، لكن قاعدة اليد اليمنى تعتبر التمثيل القياسي.

في بعدين ، نصف نقطة في المستوى بالإحداثيات ((س ، ص) ). يصف كل إحداثي كيفية محاذاة النقطة مع المحور المقابل. في ثلاثة أبعاد ، إحداثيات جديدة ، (ض ), تم إلحاقه للإشارة إلى المحاذاة مع (z ) - المحور: ((x ، y ، z) ). يتم تحديد نقطة في الفضاء من خلال جميع الإحداثيات الثلاثة (الشكل ( PageIndex {2} )). لرسم النقطة ((س ، ص ، ض) ) ، انتقل (س ) وحدات على طول (س ) - المحور ، ثم (ص ) الوحدات في اتجاه (ص ) -المحور ، ثم (ض ) الوحدات في اتجاه (ض ) - المحور.

مثال ( PageIndex {1} ): تحديد موقع النقاط في الفضاء

ارسم النقطة ((1، −2،3) ) في مساحة ثلاثية الأبعاد.

المحلول

لرسم نقطة ، ابدأ برسم ثلاثة جوانب من منشور مستطيل على طول محاور الإحداثيات: وحدة واحدة في الاتجاه الموجب (س ) ، (2 ) الوحدات في الاتجاه السالب (ص ) ، و ( 3 ) وحدات في الاتجاه الموجب. أكمل المنشور لرسم النقطة (الشكل).

تمرين ( PageIndex {1} )

ارسم النقطة ((- 2،3 ، −1) ) في مساحة ثلاثية الأبعاد.

تلميح

ابدأ برسم محاور الإحداثيات. على سبيل المثال ، الشكل ( PageIndex {3} ). ثم ارسم منشورًا مستطيلًا للمساعدة في إيجاد النقطة في الفضاء.

إجابه

في الفضاء ثنائي الأبعاد ، يتم تحديد مستوى الإحداثيات بزوج من المحاور المتعامدة. تسمح لنا هذه المحاور بتسمية أي موقع داخل الطائرة. في ثلاثة أبعاد ، نحدد تنسيق الطائرات بمحاور الإحداثيات ، كما هو الحال في بعدين. هناك ثلاثة محاور الآن ، لذلك هناك ثلاثة أزواج متقاطعة من المحاور. يشكل كل زوج من المحاور مستوى إحداثي: المستوى (xy ) - المستوى (xz ) - المستوى (yz ) - المستوى (الشكل ( فهرس الصفحة {3} )). نحدد (xy ) - الطائرة رسميًا على أنها المجموعة التالية: ({(x، y، 0): x، y∈ℝ}. ) وبالمثل ، (xz ) - الطائرة و ( yz ) - يتم تعريف الطائرة على أنها ({(x، 0، z): x، z∈ℝ} ) و ({(0، y، z): y، z∈ℝ}، ) على التوالي.

لتصور هذا ، تخيل أنك تبني منزلًا وتقف في غرفة انتهى بها اثنان فقط من الجدران الأربعة. (افترض أن الجدارين النهائيين متجاورين.) إذا وقفت مع ظهرك إلى الزاوية حيث يلتقي الجداران المكتملان ، في مواجهة الغرفة ، فإن الأرضية هي الطائرة (xy ) ، والجدار يمينك هو الطائرة (xz ) ، والجدار على يسارك هو الطائرة (yz ).

في بعدين ، تقسم محاور الإحداثيات الطائرة إلى أربعة أرباع. وبالمثل ، فإن مستويات الإحداثيات تقسم المساحة بينهما إلى ثماني مناطق حول الأصل ، تسمى ثماني. تملأ الثمانيات (ℝ ^ 3 ) بنفس الطريقة التي تملأ بها الأرباع (ℝ ^ 2 ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {4} ).

معظم العمل في الفضاء ثلاثي الأبعاد هو امتداد مريح للمفاهيم المقابلة في بعدين. في هذا القسم ، نستخدم معرفتنا بالدوائر لوصف المجالات ، ثم نوسع فهمنا للمتجهات إلى ثلاثة أبعاد. لتحقيق هذه الأهداف ، نبدأ بتكييف صيغة المسافة مع الفضاء ثلاثي الأبعاد.

إذا كانت نقطتان تقعان في نفس مستوى الإحداثي ، فمن السهل حساب المسافة بينهما. نحن أن المسافة (d ) بين نقطتين ((x_1، y_1) ) و ((x_2، y_2) ) في x (y ) - تنسيق المستوى تعطى بالصيغة

[d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2}. ]

صيغة المسافة بين نقطتين في الفضاء هي امتداد طبيعي لهذه الصيغة.

المسافة بين نقطتين في الفضاء

المسافة (d ) بين النقاط ((x_1، y_1، z_1) ) و ((x_2، y_2، z_2) ) تعطى من خلال الصيغة

[d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2}. ]

يتم ترك إثبات هذه النظرية كتمرين. (تلميح: أولاً ابحث عن المسافة (d_1 ) بين النقاط ((x_1، y_1، z_1) ) و ((x_2، y_2، z_1) ) كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {5} ).)

مثال ( PageIndex {2} ): المسافة في الفضاء

أوجد المسافة بين النقاط (P_1 = (3، −1،5) ) و (P_2 = (2،1، −1). )

المحلول

استبدل القيم مباشرة في صيغة المسافة:

[ start {align *} d (P_1، P_2) & = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2} [5pt] & = sqrt {(2−3) ^ 2 + (1 - (- 1)) ^ 2 + (- 1−5) ^ 2} [5pt] & = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ( −6) ^ 2} [5pt] & = sqrt {41}. النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد المسافة بين النقاط (P_1 = (1، −5،4) ) و (P_2 = (4، −1، −1) ).

تلميح

(d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2} )

إجابه

(5 sqrt {2} )

قبل الانتقال إلى القسم التالي ، دعنا نتعرف على كيفية اختلاف (ℝ ^ 3 ) عن (ℝ ^ 2 ). على سبيل المثال ، في (ℝ ^ 2 ) ، يجب أن تتقاطع الأسطر غير المتوازية دائمًا. ليس هذا هو الحال في (ℝ ^ 3 ). على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك السطر الموضح في الشكل ( PageIndex {7} ). هذان الخطان ليسا متوازيين ولا يتقاطعان.

الشكل ( PageIndex {7} ): هذان الخطان ليسا متوازيين ، لكنهما لا يتقاطعان.

يمكن أيضًا أن يكون لديك دوائر مترابطة ولكن ليس لها نقاط مشتركة ، كما في الشكل ( PageIndex {8} ).

الشكل ( PageIndex {8} ): هذه الدوائر مترابطة ولكن ليس لها نقاط مشتركة.

لدينا الكثير من المرونة في العمل في ثلاثة أبعاد أكثر مما نتمتع به إذا تمسكنا ببُعدين فقط.

كتابة المعادلات في (ℝ ^ 3 )

الآن بعد أن أصبح بإمكاننا تمثيل النقاط في الفضاء وإيجاد المسافة بينها ، يمكننا تعلم كيفية كتابة معادلات كائنات هندسية مثل الخطوط والمستويات والأسطح المنحنية في (ℝ ^ 3 ). أولاً ، نبدأ بمعادلة بسيطة. قارن الرسوم البيانية للمعادلة (x = 0 ) في (ℝ ) و (ℝ ^ 2 ) و (ℝ ^ 3 ) (الشكل ( فهرس الصفحة {9} )). من هذه الرسوم البيانية ، يمكننا أن نرى أن نفس المعادلة يمكن أن تصف نقطة أو خطًا أو مستوى.

في الفضاء ، تصف المعادلة (س = 0 ) جميع النقاط ((0 ، ص ، ض) ). تحدد هذه المعادلة المستوى (yz ) -. وبالمثل ، يحتوي المستوى (xy ) - على جميع نقاط النموذج ((x، y، 0) ). تحدد المعادلة (z = 0 ) المستوى (xy ) - وتصف المعادلة (y = 0 ) المستوى (xz ) - (الشكل ( فهرس الصفحة {10} )).

يتيح لنا فهم معادلات مستويات الإحداثيات كتابة معادلة لأي مستوى موازٍ لأحد مستويات الإحداثيات. عندما تكون الطائرة موازية للمستوى (xy ) - ، على سبيل المثال ، (z )-تنسيق كل نقطة في المستوى له نفس القيمة الثابتة. فقط (س ) - و (ص ) -تختلف إحداثيات النقاط في ذلك المستوى من نقطة إلى أخرى.

معادلات المستويات الموازية لمستويات التنسيق

  1. يمكن تمثيل المستوى في الفضاء الموازي للمستوى (xy ) - ويحتوي على النقطة ((أ ، ب ، ج) ) بالمعادلة (ض = ج ).
  2. يمكن تمثيل المستوى في الفضاء الموازي للمستوى (xz ) - ويحتوي على النقطة ((أ ، ب ، ج) ) بالمعادلة (ص = ب ).
  3. يمكن تمثيل المستوى في الفضاء الموازي للمستوى (yz ) - ويحتوي على النقطة ((أ ، ب ، ج) ) بالمعادلة (س = أ ).

مثال ( PageIndex {3} ): كتابة معادلات المستويات بالتوازي مع المستويات الإحداثية

  1. اكتب معادلة للمستوى المار بالنقطة ((3،11،7) ) الموازية للمستوى (yz ) -.
  2. ابحث عن معادلة المستوى المار بالنقاط ((6، −2،9)، (0، −2،4)، ) و ((1، −2، −3). )

المحلول

  1. عندما تكون الطائرة موازية للطائرة (yz ) ، فقط ملف (ص ) - و (ض ) - قد تختلف الإحداثيات. للإحداثي (x ) - نفس القيمة الثابتة لجميع النقاط في هذا المستوى ، لذلك يمكن تمثيل هذا المستوى بالمعادلة (x = 3 ).
  2. كل من النقاط ((6، −2،9)، (0، −2،4)، ) و ((1، −2، −3) ) لها نفس الشيء (ص ) -تنسيق. يمكن تمثيل هذا المستوى بالمعادلة (y = −2 ).

تمرين ( PageIndex {3} )

اكتب معادلة للمستوى المار بالنقطة ((1، −6، −4) ) الموازية للمستوى (xy ) -.

تلميح

إذا كانت الطائرة موازية للمستوى (س ص ) ، فإن ض-إحداثيات النقاط في ذلك المستوى لا تختلف.

إجابه

(ض = -4 )

كما رأينا ، في (ℝ ^ 2 ) المعادلة (x = 5 ) تصف الخط العمودي الذي يمر بالنقطة ((5،0) ). هذا الخط موازٍ لمحور (ص ). في الامتداد الطبيعي ، تصف المعادلة (x = 5 ) في (ℝ ^ 3 ) المستوى الذي يمر عبر النقطة ((5،0،0) ) ، والتي توازي (yz ) -طائرة. تم العثور على امتداد طبيعي آخر لمعادلة مألوفة في معادلة الكرة.

التعريف: سفير

الكرة هي مجموعة جميع النقاط في الفضاء على مسافة متساوية من نقطة ثابتة ، مركز الكرة (الشكل ( فهرس الصفحة {11} )) ، تمامًا مثل مجموعة جميع النقاط في المستوى التي تكون على مسافة متساوية من المركز يمثل دائرة. في الكرة ، كما هو الحال في الدائرة ، تسمى المسافة من المركز إلى نقطة على الكرة بـ نصف القطر.

تُشتق معادلة الدائرة باستخدام صيغة المسافة ذات البعدين. بالطريقة نفسها ، تعتمد معادلة الكرة على الصيغة ثلاثية الأبعاد للمسافة.

المعادلة القياسية للكرة

يمكن تمثيل الكرة ذات المركز ((أ ، ب ، ج) ) ونصف القطر (r ) بالمعادلة

[(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2. ]

تُعرف هذه المعادلة باسم المعادلة القياسية للكرة.

مثال ( PageIndex {4} ): البحث عن معادلة لمجال

أوجد المعادلة القياسية للكرة مع المركز ((10،7،4) ) والنقطة ((- 1،3، −2) ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {12} ).

الشكل ( PageIndex {12} ): الكرة المتمركزة في ((10،7،4) ) تحتوي على النقطة ((- 1،3 ، −2). )

المحلول

استخدم صيغة المسافة لإيجاد نصف قطر (r ) الكرة:

[ begin {align *} r & = sqrt {(- 1−10) ^ 2 + (3−7) ^ 2 + (- 2−4) ^ 2} [5pt] & = sqrt { (−11) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (- 6) ^ 2} [5pt] & = sqrt {173} end {align *} ]

المعادلة القياسية للكرة هي

[(x − 10) ^ 2 + (y − 7) ^ 2 + (z − 4) ^ 2 = 173. لا يوجد رقم]

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد المعادلة القياسية للكرة التي تحتوي على المركز ((- 2،4، −5) ) الذي يحتوي على النقطة ((4،4، −1). )

تلميح

استخدم أولاً صيغة المسافة لإيجاد نصف قطر الكرة.

إجابه

[(x + 2) ^ 2 + (y − 4) ^ 2 + (z + 5) ^ 2 = 52 nonumber ]

مثال ( PageIndex {5} ): إيجاد معادلة الكرة

دع (P = (- 5،2،3) ) و (Q = (3،4، −1) ) ، وافترض أن قطعة خطية ( overline {PQ} ) تشكل قطر الكرة (الشكل ( PageIndex {13} )). أوجد معادلة المجال.

المحلول:

نظرًا لأن ( overline {PQ} ) هو قطر للكرة ، فإننا نعلم أن مركز الكرة هو نقطة المنتصف ( overline {PQ} ). ثم ،

[C = left ( dfrac {−5 + 3} {2} ، dfrac {2 + 4} {2} ، dfrac {3 + (- 1)} {2} right) = (- 1 ، 3،1). لا يوجد رقم]

علاوة على ذلك ، نعلم أن نصف قطر الكرة يساوي نصف طول القطر. هذا يعطي

[ begin {align *} r & = dfrac {1} {2} sqrt {(- 5−3) ^ 2 + (2−4) ^ 2 + (3 - (- 1)) ^ 2} [5pt] & = dfrac {1} {2} sqrt {64 + 4 + 16} [5pt] & = sqrt {21} end {align *} ]

إذن ، معادلة الكرة هي ((x + 1) ^ 2 + (y − 3) ^ 2 + (z − 1) ^ 2 = 21. )

تمرين ( PageIndex {5} )

أوجد معادلة الكرة ذات القطر ( overline {PQ} ) ، حيث (P = (2، −1، −3) ) و (Q = (- 2،5، −1). )

تلميح

أوجد نقطة منتصف القطر أولًا.

إجابه

[x ^ 2 + (y − 2) ^ 2 + (z + 2) ^ 2 = 14 nonumber ]

مثال ( PageIndex {6} ): رسم معادلات أخرى في ثلاثة أبعاد بيانية

صف مجموعة النقاط التي تحقق ((x − 4) (z − 2) = 0، ) وارسم المجموعة بالرسم البياني.

المحلول

يجب أن يكون لدينا إما (x − 4 = 0 ) أو (z − 2 = 0 ) ، لذا فإن مجموعة النقاط تشكل المستويين (x = 4 ) و (z = 2 ) (الشكل ( PageIndex {14} )).

تمرين ( PageIndex {6} )

صف مجموعة النقاط التي تحقق ((y + 2) (z − 3) = 0، ) وارسم المجموعة بالرسم البياني.

تلميح

يجب أن يكون أحد العوامل صفرًا.

إجابه

تشكل مجموعة النقاط المستويين (y = −2 ) و (z = 3 ).

مثال ( PageIndex {7} ): رسم معادلات أخرى في ثلاثة أبعاد بيانية

صِف مجموعة النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد التي تحقق ((x − 2) ^ 2 + (y − 1) ^ 2 = 4 ، ) وارسم المجموعة بالرسم البياني.

المحلول

تشكل الإحداثيات (س ) - و (ص ) - دائرة في (س ص ) - مستوى نصف القطر (2 ) ، مركزها ((2،1) ). نظرًا لعدم وجود قيود على الإحداثي (ض ) ، فإن النتيجة ثلاثية الأبعاد هي أسطوانة دائرية نصف قطرها (2 ) تتمحور حول الخط مع (س = 2 ) و (ص = 1 ) ). تمتد الأسطوانة إلى أجل غير مسمى في (z ) - الاتجاه (الشكل ( PageIndex {15} )).

تمرين ( PageIndex {7} )

صِف مجموعة النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد التي تحقق (x ^ 2 + (z − 2) ^ 2 = 16 ) وارسم السطح بالرسم البياني.

تلميح

فكر فيما يحدث إذا رسمت هذه المعادلة في بعدين في مستوى (xz ).

إجابه

أسطوانة نصف قطرها 4 متمركزة على الخط مع (x = 0 ) و (z = 2 ).

العمل مع النواقل في (ℝ ^ 3 )

تمامًا مثل المتجهات ثنائية الأبعاد ، فإن المتجهات ثلاثية الأبعاد عبارة عن كميات لها كل من الحجم والاتجاه ، ويتم تمثيلها بواسطة مقاطع خطية موجهة (أسهم). باستخدام متجه ثلاثي الأبعاد ، نستخدم سهمًا ثلاثي الأبعاد.

يمكن أيضًا تمثيل المتجهات ثلاثية الأبعاد في شكل مكون. التدوين ( vecs {v} = x، y، z⟩ ) هو امتداد طبيعي للحالة ثنائية الأبعاد ، ويمثل متجهًا مع النقطة الأولية في الأصل ، ((0،0،0) ) والنقطة الطرفية ((س ، ص ، ض) ). المتجه الصفري هو ( vecs {0} = ⟨0،0،0⟩ ). لذلك ، على سبيل المثال ، يتم تمثيل المتجه ثلاثي الأبعاد ( vecs {v} = ⟨2،4،1⟩ ) بقطعة مستقيمة موجهة من النقطة ((0،0،0) ) إلى النقطة ( (2،4،1) ) (الشكل ( PageIndex {16} )).

يتم تعريف إضافة المتجه والضرب القياسي بشكل مشابه للحالة ثنائية الأبعاد. إذا كانت ( vecs {v} = ⟨x_1 ، y_1 ، z_1⟩ ) و ( vecs {w} = ⟨x_2 ، y_2 ، z_2⟩ ) متجهات ، و (k ) عددية ، إذن

[ vecs {v} + vecs {w} = ⟨x_1 + x_2، y_1 + y_2، z_1 + z_2⟩ ]

و

[k vecs {v} = ⟨kx_1، ky_1، kz_1⟩. ]

إذا تمت كتابة (k = −1، ) فإن (k vecs {v} = (- 1) vecs {v} ) تتم كتابته كـ (- vecs {v} ) ، ويتم تعريف الطرح المتجه بواسطة ( vecs {v} - vecs {w} = vecs {v} + (- vecs {w}) = vecs {v} + (- 1) vecs {w} ).

تمتد متجهات الوحدة القياسية بسهولة إلى ثلاثة أبعاد أيضًا ، ( hat { mathbf i} = ⟨1،0،0⟩ )، ( hat { mathbf j} = ⟨0،1،0⟩ ) و ( hat { mathbf k} = ⟨0،0،1⟩ ) ، ونستخدمها بنفس الطريقة التي استخدمنا بها متجهات الوحدة القياسية في بعدين. وبالتالي ، يمكننا تمثيل المتجه في (ℝ ^ 3 ) بالطرق التالية:

[ vecs {v} = ⟨x، y، z⟩ = x hat { mathbf i} + y hat { mathbf j} + z hat { mathbf k} ].

مثال ( PageIndex {8} ): تمثيلات المتجهات

لنفترض أن ( vecd {PQ} ) هو المتجه بالنقطة الأولية (P = (3،12،6) ) والنقطة النهائية (Q = (- 4 ، −3،2) ) كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {17} ). Express ( vecd {PQ} ) في شكل مكون وباستخدام متجهات الوحدة القياسية.

المحلول

في شكل مكون ،

[ start {align *} vecd {PQ} & = ⟨x_2 − x_1، y_2 − y_1، z_2 − z_1⟩ [5pt] & = ⟨− 4−3، −3−12،2−6⟩ [5pt] & = ⟨− 7، −15، −4⟩. النهاية {محاذاة *} ]

في شكل وحدة قياسية ،

[ vecd {PQ} = - 7 hat { mathbf i} −15 hat { mathbf j} −4 hat { mathbf k}. لا يوجد رقم]

تمرين ( PageIndex {8} )

دعونا (S = (3،8،2) ) و (T = (2 ، −1 ، 3) ). Express ( vec {ST} ) في شكل مكون وفي شكل وحدة قياسية.

تلميح

اكتب ( vecd {ST} ) في شكل المكون أولاً. (T ) هي النقطة النهائية لـ ( vecd {ST} ).

إجابه

( vecd {ST} = ⟨− 1، −9،1⟩ = - hat { mathbf i} −9 hat { mathbf j} + hat { mathbf k} )

كما هو موضح سابقًا ، تتصرف المتجهات ثلاثية الأبعاد بنفس الطريقة التي تتصرف بها المتجهات في المستوى. التفسير الهندسي لإضافة المتجه ، على سبيل المثال ، هو نفسه في كل من الفضاء ثنائي وثلاثي الأبعاد (الشكل ( PageIndex {18} )).

لقد رأينا بالفعل كيف يمكن تمديد بعض الخصائص الجبرية للمتجهات ، مثل الجمع المتجه والضرب القياسي ، إلى ثلاثة أبعاد. يمكن تمديد خصائص أخرى بطريقة مماثلة. تم تلخيصها هنا كمرجع لنا.

خصائص النواقل في الفضاء

لنفترض أن ( vecs {v} = ⟨x_1، y_1، z_1⟩ ) و ( vecs {w} = ⟨x_2، y_2، z_2⟩ ) متجهات ، واجعل (k ) عددًا.

  • الضرب القياسي: [k vecs {v} = ⟨kx_1، ky_1، kz_1⟩ ]
  • إضافة المتجه: [ vecs {v} + vecs {w} = ⟨x_1، y_1، z_1⟩ + ⟨x_2، y_2، z_2⟩ = ⟨x_1 + x_2، y_1 + y_2، z_1 + z_2⟩ ]
  • الطرح المتجه: [ vecs {v} - vecs {w} = ⟨x_1، y_1، z_1⟩ − ⟨x_2، y_2، z_2⟩ = x_1 − x_2، y_1 − y_2، z_1 − z_2⟩ ]
  • حجم المتجه: [ | vecs {v} | = sqrt {x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 + z_1 ^ 2} ]
  • ناقل الوحدة في اتجاه ( vecs {v} ): [ dfrac {1} { | vecs {v} |} vecs {v} = dfrac {1} { | vecs {v} |} ⟨x_1 ، y_1 ، z_1⟩ = ⟨ dfrac {x_1} { | vecs {v} |} ، dfrac {y_1} { | vecs {v} |} ، dfrac {z_1} { | vecs {v} |}⟩، quad text {if} ، vecs {v} ≠ vecs {0} ]

لقد رأينا أن إضافة المتجه في بعدين تفي بخصائص المعكوس التبادلي والرابطي والجمع. هذه الخصائص لعمليات المتجه صالحة أيضًا للناقلات ثلاثية الأبعاد. يلبي الضرب القياسي للمتجهات خاصية التوزيع ، ويعمل المتجه الصفري باعتباره هوية مضافة. البراهين للتحقق من هذه الخصائص في ثلاثة أبعاد هي امتدادات مباشرة للبراهين في بعدين.

مثال ( PageIndex {9} ): عمليات المتجه في ثلاثة أبعاد

دعونا ( vecs {v} = ⟨− 2،9،5⟩ ) و ( vecs {w} = ⟨1، −1،0⟩ ) (الشكل ( PageIndex {19} )) . ابحث عن المتجهات التالية.

  1. (3 vecs {v} −2 vecs {w} )
  2. (5 | vecs {w} | )
  3. ( | 5 vecs {w} | )
  4. متجه وحدة في اتجاه ( vecs {v} )

المحلول

أ. أولاً ، استخدم الضرب العددي لكل متجه ، ثم اطرح:

[ start {align *} 3 vecs {v} −2 vecs {w} & = 3⟨ − 2،9،5⟩ − 2⟨1، −1،0⟩ [5pt] & = ⟨ −6،27،15⟩ − ⟨2، −2،0⟩ [5pt] & = ⟨− 6−2،27 - (- 2)، 15−0⟩ [5pt] & = ⟨− 8 ، 29،15⟩. النهاية {محاذاة *} ]

ب. اكتب معادلة مقدار المتجه ، ثم استخدم الضرب القياسي:

[5 | vecs {w} | = 5 sqrt {1 ^ 2 + (- 1) ^ 2 + 0 ^ 2} = 5 sqrt {2}. لا يوجد رقم]

ج. أولاً ، استخدم الضرب العددي ، ثم أوجد مقدار المتجه الجديد. لاحظ أن النتيجة هي نفسها للجزء ب:

[ | 5 vecs {w} | = ∥⟨5، −5،0⟩∥ = sqrt {5 ^ 2 + (- 5) ^ 2 + 0 ^ 2} = sqrt {50} = 5 sqrt {2} nonumber ]

د. تذكر أنه لإيجاد متجه وحدة في بعدين ، نقسم المتجه على حجمه. الإجراء هو نفسه في ثلاثة أبعاد:

[ begin {align *} dfrac { vecs {v}} { | vecs {v} |} & = dfrac {1} { | vecs {v} |} ⟨− 2 ، 9،5⟩ [5pt] & = dfrac {1} { sqrt {(- 2) ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2}} ⟨− 2،9،5⟩ [5pt] & = dfrac {1} { sqrt {110}} ⟨− 2،9،5⟩ [5pt] & = ⟨ dfrac {−2} { sqrt {110}} ، dfrac {9} { الجذر التربيعي {110}} ، dfrac {5} { sqrt {110}}⟩. النهاية {محاذاة *} ]

التمرين ( PageIndex {9} ):

دعونا ( vecs {v} = ⟨− 1، −1،1⟩ ) و ( vecs {w} = ⟨2،0،1⟩ ). ابحث عن متجه الوحدة في اتجاه (5 vecs {v} +3 vecs {w}. )

تلميح

ابدأ بكتابة (5 vecs {v} +3 vecs {w} ) في شكل مكون.

إجابه

(⟨ dfrac {1} {3 sqrt {10}} ، - dfrac {5} {3 sqrt {10}} ، dfrac {8} {3 sqrt {10}}⟩ )

مثال ( PageIndex {10} ): إلقاء مرور أمامي

يقف قورتربك في ملعب كرة القدم يستعد لرمي تمريرة. يقف جهاز الاستقبال على بعد 20 ياردة أسفل الملعب و 15 ياردة إلى اليسار من الوسط. يرمي لاعب الوسط الكرة بسرعة 60 ميلاً في الساعة نحو المستقبل بزاوية صعودية تبلغ (30 درجة ) (انظر الشكل التالي). اكتب متجه السرعة الابتدائية للكرة ، ( vecs {v} ) ، في صورة مكون.

المحلول

أول شيء نريد فعله هو إيجاد متجه في نفس اتجاه متجه سرعة الكرة. ثم قمنا بقياس المتجه بشكل مناسب بحيث يكون له المقدار الصحيح. ضع في اعتبارك المتجه ( vecs {w} ) الممتد من ذراع لاعب الوسط إلى نقطة أعلى رأس المستلم مباشرة بزاوية (30 درجة ) (انظر الشكل التالي). سيكون لهذا المتجه نفس اتجاه ( vecs {v} ) ، ولكن قد لا يكون له الحجم الصحيح.

المتلقي على بعد 20 ياردة أسفل الميدان و 15 ياردة إلى اليسار. لذلك ، فإن مسافة الخط المستقيم من لاعب الوسط إلى المتلقي هي

Dist من QB إلى المستقبل (= sqrt {15 ^ 2 + 20 ^ 2} = sqrt {225 + 400} = sqrt {625} = 25 ) ياردة.

لدينا ( dfrac {25} { | vecs {w} |} = cos 30 °. ) ثم يتم إعطاء حجم ( vecs {w} ) بواسطة

( | vecs {w} | = dfrac {25} { cos 30 °} = dfrac {25⋅2} { sqrt {3}} = dfrac {50} { sqrt {3} } ) ياردة

والمسافة العمودية من جهاز الاستقبال إلى نقطة المحطة الطرفية ( vecs {w} ) هي

فيرت dist من المتلقي إلى نقطة المحطة الطرفية ( vecs {w} = | vecs {w} | sin 30 ° = dfrac {50} { sqrt {3}} ⋅ dfrac {1} {2} = dfrac {25} { sqrt {3}} ) ياردة.

ثم ( vecs {w} = ⟨20،15، dfrac {25} { sqrt {3}}⟩ ) ، ولها نفس اتجاه ( vecs {v} ).

تذكر ، مع ذلك ، أننا حسبنا حجم ( vecs {w} ) ليكون ( | vecs {w} | = dfrac {50} { sqrt {3}} ) ، و ( vecs {v} ) له حجم (60 ) ميل في الساعة. لذلك ، نحتاج إلى ضرب المتجه ( vecs {w} ) في ثابت مناسب ، (k ). نريد إيجاد قيمة (ك ) بحيث (∥k vecs {w} ∥ = 60 ) ميل في الساعة. لدينا

( | k vecs {w} | = k | vecs {w} | = k dfrac {50} { sqrt {3}} ) ميل في الساعة ،

لذلك نريد

(k dfrac {50} { sqrt {3}} = 60 )

(k = dfrac {60 sqrt {3}} {50} )

(k = dfrac {6 sqrt {3}} {5} ).

ثم

( vecs {v} = k vecs {w} = k⟨20،15، dfrac {25} { sqrt {3}}⟩ = dfrac {6 sqrt {3}} {5} ⟨20 ، 15، dfrac {25} { sqrt {3}}⟩ = ⟨24 sqrt {3}، 18 sqrt {3}، 30⟩ ).

دعنا نتحقق جيدًا من أن ( | vecs {v} | = 60. ) لدينا

( | vecs {v} | = sqrt {(24 sqrt {3}) ^ 2+ (18 sqrt {3}) ^ 2+ (30) ^ 2} = sqrt {1728 + 972 +900} = sqrt {3600} = 60 ) ميل في الساعة.

لذلك ، وجدنا المكونات الصحيحة لـ ( vecs {v} ).

تمرين ( PageIndex {10} )

افترض أن لاعب الوسط والمتلقي في نفس المكان كما في المثال السابق. لكن هذه المرة ، يقوم لاعب الوسط برمي الكرة بسرعة (40 ) ميل في الساعة وبزاوية (45 درجة ). اكتب متجه السرعة الابتدائية للكرة ، ( vecs {v} ) ، في صورة مكون.

تلميح

اتبع العملية المستخدمة في المثال السابق.

إجابه

(v = ⟨16 sqrt {2}، 12 sqrt {2}، 20 sqrt {2}⟩ )

المفاهيم الرئيسية

  • تم بناء نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد حول مجموعة من ثلاثة محاور تتقاطع بزوايا قائمة عند نقطة واحدة ، نقطة الأصل. تستخدم المضاعفات المرتبة ((x ، y ، z) ) لوصف موقع نقطة في الفضاء.
  • المسافة (d ) بين النقاط ((x_1، y_1، z_1) ) و ((x_2، y_2، z_2) ) تعطى من خلال الصيغة [d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2+ (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2}. nonumber ]
  • في ثلاثة أبعاد ، تصف المعادلات (س = أ ، ص = ب ، ) و (ض = ج ) المستويات الموازية لمستويات الإحداثيات.
  • المعادلة القياسية للكرة ذات المركز ((أ ، ب ، ج) ) ونصف القطر (r ) هي [(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z c) ^ 2 = ص ^ 2. لا يوجد رقم ]
  • في ثلاثة أبعاد ، كما هو الحال في اثنين ، يتم التعبير عن المتجهات بشكل عام في شكل مكون ، (v = ⟨x ، y ، z⟩ ) ، أو من حيث متجهات الوحدة القياسية ، (xi + yj + zk. )
  • تعد خصائص المتجهات في الفضاء امتدادًا طبيعيًا لخصائص المتجهات في المستوى. لنفترض (v = ⟨x_1 ، y_1 ، z_1⟩ ) و (w = ⟨x_2 ، y_2 ، z_2⟩ ) أن تكون متجهات ، ولنكن (k ) عددًا.

الضرب القياسي:

[(k vecs {v} = ⟨kx_1، ky_1، kz_1⟩ nonumber ]

إضافة المتجهات:

[ vecs {v} + vecs {w} = ⟨x_1، y_1، z_1⟩ + ⟨x_2، y_2، z_2⟩ = ⟨x_1 + x_2، y_1 + y_2، z_1 + z_2⟩ nonumber ]

الطرح المتجه:

[ vecs {v} - vecs {w} = ⟨x_1، y_1، z_1⟩ − ⟨x_2، y_2، z_2⟩ = x_1 − x_2، y_1 − y_2، z_1 − z_2⟩ nonumber ]

حجم المتجه:

[‖ vecs {v} ‖ = sqrt {x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 + z_1 ^ 2} nonumber ]

ناقل الوحدة في اتجاه ( vecs {v} ):

[ dfrac { vecs {v}} {‖ vecs {v} ‖} = dfrac {1} {‖ vecs {v} ‖} ⟨x_1، y_1، z_1⟩ = ⟨ dfrac {x_1} { ‖ vecs {v} ‖} ، dfrac {y_1} {‖ vecs {v} ‖} ، dfrac {z_1} {‖ vecs {v} ‖}⟩ ، vecs {v} ≠ vecs {0 } لا يوجد رقم]

المعادلات الرئيسية

المسافة بين نقطتين في الفضاء:

[d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2} ]

كرة بمركز ((أ ، ب ، ج) ) ونصف قطر (r ):

[(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2 ]

قائمة المصطلحات

خطة تنسيق
مستوى يحتوي على اثنين من محاور الإحداثيات الثلاثة في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد ، يُسمى بالمحاور التي يحتوي عليها: (xy ) - المستوى ، (xz ) - المستوى ، أو (yz ) - المستوى
حكم اليد اليمنى
طريقة شائعة لتحديد اتجاه نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد ؛ عندما تكون اليد اليمنى منحنية حول محور (ض ) بطريقة تجعل الأصابع تتجعد من المحور الموجب (س ) إلى المحور الموجب (ص ) - يشير الإبهام في الاتجاه من المحور (ض ) الموجب
ثماني
مناطق الفضاء الثمانية التي أنشأتها طائرات الإحداثيات
جسم كروى
مجموعة جميع النقاط متساوية البعد من نقطة معينة تعرف باسم المركز
المعادلة القياسية للكرة
((x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2 ) يصف كرة مركزها ((a، b، c) ) ونصف قطرها (ص)
نظام إحداثيات مستطيل ثلاثي الأبعاد
نظام إحداثيات محدد بثلاثة خطوط تتقاطع بزوايا قائمة ؛ يتم وصف كل نقطة في الفضاء من خلال ثلاثية مرتبة ((x ، y ، z) ) التي ترسم موقعها بالنسبة إلى المحاور المحددة

5.2 المتجهات الجمع والطرح: الطرق التحليلية

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على القيام بما يلي:

  • تحديد مكونات النواقل
  • صف الطريقة التحليلية لجمع وطرح المتجهات
  • استخدم الطريقة التحليلية للجمع والطرح المتجه لحل المشكلات

دعم المعلم

دعم المعلم

ستساعد أهداف التعلم في هذا القسم طلابك على إتقان المعايير التالية:

  • (3) العمليات العلمية. يستخدم الطالب التفكير النقدي والتفكير العلمي وحل المشكلات لاتخاذ قرارات مستنيرة داخل الفصل وخارجه. يتوقع من الطالب أن:
    • (و) التعبير عن العلاقات وتفسيرها بشكل رمزي وفقًا للنظريات المقبولة لعمل تنبؤات وحل المشكلات رياضيًا ، بما في ذلك المشكلات التي تتطلب الاستدلال النسبي وإضافة المتجهات الرسومية
    • (4) مفاهيم العلوم. يعرف الطالب ويطبق القوانين التي تحكم الحركة في بعدين لمجموعة متنوعة من المواقف. يتوقع من الطالب:
      • (هـ) تطوير وتفسير مخططات قوة الجسم الحر
      • (و) تحديد ووصف الحركة بالنسبة للإطارات المرجعية المختلفة.

      بالإضافة إلى ذلك ، يتناول دليل مختبر فيزياء المدرسة الثانوية محتوى هذا القسم في المعمل بعنوان: الحركة في بعدين ، بالإضافة إلى المعايير التالية:

      • (3) العمليات العلمية. يستخدم الطالب التفكير النقدي والتفكير العلمي وحل المشكلات لاتخاذ قرارات مستنيرة داخل الفصل وخارجه. يتوقع من الطالب أن:
        • (و) التعبير عن العلاقات وتفسيرها بشكل رمزي وفقًا للنظريات المقبولة لعمل تنبؤات وحل المشكلات رياضيًا ، بما في ذلك المشكلات التي تتطلب الاستدلال النسبي وإضافة المتجهات الرسومية.

        شروط القسم الرئيسية

        مكونات النواقل

        بالنسبة للطريقة التحليلية لجمع وطرح المتجهات ، نستخدم بعض الهندسة البسيطة وعلم المثلثات ، بدلاً من استخدام المسطرة والمنقلة كما فعلنا في الأساليب الرسومية. ومع ذلك ، ستظل الطريقة الرسومية مفيدة لتصور المشكلة عن طريق رسم المتجهات باستخدام طريقة الرأس إلى الذيل. تعتبر الطريقة التحليلية أكثر دقة من الطريقة الرسومية ، والتي تقتصر على دقة الرسم. لتنشيط تعريفات الجيب وجيب التمام والظل للزاوية ، انظر الشكل 5.17.

        دعم المعلم

        دعم المعلم

        [BL] [OL] راجع المفاهيم المثلثية للجيب وجيب التمام والظل ونظرية فيثاغورس.

        عندما يعمل المتجه في أكثر من بعد واحد ، فمن المفيد تقسيمه إلى مكوني x و y. بالنسبة للمتجه ثنائي الأبعاد ، فإن المكون هو جزء من متجه يشير إما في اتجاه x أو y. يمكن التعبير عن كل متجه ثنائي الأبعاد كمجموع لمركبتي x و y.

        دعم المعلم

        دعم المعلم

        [BL] [OL] [AL] اشتق معادلة الحصول على مقدار واتجاه المتجه.

        تنبيه سوء الفهم

        ثم A = 10.3 كتل و θ = 29.1 ∘ θ = 29.1 ∘ ، بحيث

        يشير هذا المقدار إلى أن المشاة قد قطع 9 كتل إلى الشرق - بمعنى آخر ، إزاحة 9 بلوكات باتجاه الشرق. بصورة مماثلة،

        مشيرًا إلى أن المشاة قد سافر 5 كتل إلى الشمال - إزاحة 5 كتل شمالًا.

        الطريقة التحليلية لجمع وطرح المتجهات

        حساب المتجه الناتج (أو الجمع المتجه) هو عكس تقسيم الناتج إلى مكوناته. إذا كان المركبان العموديان A x A x و A y A y للمتجه A A معروفين ، فيمكننا إيجاد A A بشكل تحليلي. كيف نفعل ذلك؟ منذ ، بحكم التعريف ،

        بما أن هذا مثلث قائم الزاوية ، فإن نظرية فيثاغورس (x 2 + y 2 = h 2) لإيجاد الوتر تنطبق. في هذه الحالة ، يصبح

        دعم المعلم

        دعم المعلم

        [BL] [OL] [AL] وضح مشكلة تنطوي على الإزاحة عن طريق المشي جسديًا على طول الاتجاه المحدد. أظهر كيف يمكن تمثيل ذلك على الرسم البياني. اشرح أنه حتى عند حل المشكلات ، فإن تمثيلها تحليليًا على الرسم البياني سيجعل من السهل تصور المشكلة.

        في بعض الأحيان ، لا تكون المتجهات المضافة متعامدة تمامًا مع بعضها البعض. مثال على ذلك هو الحالة أدناه ، حيث يتم إضافة المتجهين A A و B B لإنتاج الناتج R ، R ، كما هو موضح في الشكل 5.22.

        والعثور على ذ مكون الناتج (كما هو موضح في الشكل 5.24) عن طريق إضافة ذ مكون من النواقل.

        مشاهدة الفيزياء

        مثال على تصنيف المتجهات والكميات

        يتناقض هذا الفيديو مع ثلاثة متجهات ويقارنها من حيث مقاديرها ومواضعها واتجاهاتها.

        انقر لعرض المحتوى

        تحقق من الفهم

        1. 0 ، نص . كل منهم سيلغي بعضها البعض.
        2. 5 نص . اثنان منهم سوف يلغي كل منهما الآخر.
        3. 10 نص . سيجمع اثنان منهم معًا لإعطاء النتيجة.
        4. 15 وحدة. سيجمع كل منهم معًا لإعطاء النتيجة.

        نصائح للنجاح

        في الفيديو ، تم تمثيل المتجهات بسهم فوقها وليس بالخط العريض. هذا تدوين شائع في فصول الرياضيات.

        استخدام الطريقة التحليلية لجمع وطرح المتجهات لحل المشكلات

        يستخدم الشكل 5.25 الطريقة التحليلية لإضافة ناقلات.

        مثال عملي

        إستراتيجية

        وبالمثل ، فإن ذتم إيجاد المكونات باستخدام A y = A sin θ A A y = A sin θ A

        ال x- و ذ-مكونات الناتج هي

        يمكننا الآن إيجاد مقدار المحصلة باستخدام نظرية فيثاغورس

        أخيرًا ، نجد اتجاه الناتج

        يوضح هذا المثال إضافة متجه باستخدام الطريقة التحليلية. الطرح المتجه باستخدام الطريقة التحليلية مشابه جدًا. إنها مجرد إضافة متجه سالب. أي أ - ب أ + (- ب) أ - ب ≡ أ + (- ب). مكونات - B B هي سلبيات مكونات B B. لذلك ، فإن x- و ذ- مكونات الناتج A - B = R A - B = R هي

        وبقية الطريقة الموضحة أعلاه مطابقة لطريقة الإضافة.

        مشاكل الممارسة

        ما مقدار المتجه الذي x- المكون طوله 4 سم ومنه ذ-مكون 3 سم؟

        ما مقدار المتجه الذي يصنع زاوية قياسها 30 درجة على الأفقي ومن؟ x-مكون المكون 3 وحدات؟

        روابط للفيزياء

        علوم الغلاف الجوي

        علم الغلاف الجوي هو علم فيزيائي ، بمعنى أنه علم يعتمد بشكل كبير على الفيزياء. تشمل علوم الغلاف الجوي الأرصاد الجوية (دراسة الطقس) وعلم المناخ (دراسة المناخ). المناخ هو في الأساس متوسط ​​الطقس على نطاق زمني أطول. يتغير الطقس بسرعة بمرور الوقت ، بينما يتغير المناخ بشكل تدريجي.

        تعتبر حركة الهواء والماء والحرارة ذات أهمية حيوية لعلم المناخ والأرصاد الجوية. نظرًا لأن الحركة هي عامل رئيسي في الطقس والمناخ ، فإن هذا المجال يستخدم المتجهات في الكثير من الرياضيات الخاصة به.

        تُستخدم المتجهات لتمثيل التيارات في المحيط وسرعة الرياح والقوى المؤثرة على جزء من الهواء. ربما تكون قد شاهدت خريطة الطقس باستخدام المتجهات لإظهار قوة (حجم) واتجاه الرياح.

        غالبًا ما تكون النواقل المستخدمة في علوم الغلاف الجوي ثلاثية الأبعاد. لن نغطي الحركة ثلاثية الأبعاد في هذا النص ، ولكن للانتقال من بعدين إلى ثلاثي الأبعاد ، يمكنك ببساطة إضافة مكون متجه ثالث. يتم تمثيل الحركة ثلاثية الأبعاد كمجموعة من x-, ذ- و ض المكونات ، أين ض هو الارتفاع.

        يجمع حساب المتجه بين الرياضيات المتجهية وحساب التفاضل والتكامل ، وغالبًا ما يستخدم للعثور على معدلات التغير في درجة الحرارة أو الضغط أو سرعة الرياح بمرور الوقت أو المسافة. هذه معلومات مفيدة ، لأن الحركة الجوية مدفوعة بالتغيرات في الضغط أو درجة الحرارة. كلما زاد التباين في الضغط على مسافة معينة ، زادت قوة الرياح لمحاولة تصحيح هذا الخلل. يميل الهواء البارد إلى أن يكون أكثر كثافة وبالتالي يكون ضغطه أعلى من الهواء الدافئ. يندفع الهواء ذو ​​الضغط العالي إلى منطقة ذات ضغط منخفض وينحرف بسبب دوران الأرض ، ويؤدي الاحتكاك إلى إبطاء الرياح على سطح الأرض.

        يتيح اكتشاف كيفية تغير الرياح على مسافة ونواقل مضاعفة لأخصائيي الأرصاد الجوية ، مثل ذلك الموضح في الشكل 5.26 ، معرفة مقدار الدوران (الدوران) الموجود في الغلاف الجوي في أي وقت ومكان معينين. هذه أداة مهمة للتنبؤ بالإعصار. من المرجح أن تؤدي الظروف ذات الدوران الأكبر إلى حدوث الأعاصير.

        تحقق من الفهم

        1. المتجهات لها المقدار والاتجاه ويمكن حلها بسرعة من خلال العمليات الجبرية العددية.
        2. النواقل لها حجم ولكن ليس لها اتجاه ، لذلك يصبح من السهل التعبير عن الكميات الفيزيائية المشاركة في علم الغلاف الجوي.
        3. يمكن حل النواقل بدقة شديدة من خلال الهندسة ، مما يساعد على عمل تنبؤات أفضل في علوم الغلاف الجوي.
        4. المتجهات لها المقدار والاتجاه وتستخدم في المعادلات التي تصف الحركة ثلاثية الأبعاد للغلاف الجوي.

        تأكد من فهمك

        بين الطريقتين التحليلية والرسومية لإضافات المتجهات ، أيهما أكثر دقة؟ لماذا ا؟

        1. الطريقة التحليلية أقل دقة من الطريقة الرسومية ، لأن الطريقة الأولى تتضمن الهندسة وعلم المثلثات.
        2. الطريقة التحليلية أكثر دقة من الطريقة الرسومية ، لأن الأخيرة تتضمن بعض الحسابات المكثفة.
        3. الطريقة التحليلية أقل دقة من الطريقة الرسومية ، لأن الطريقة الأولى تتضمن رسم جميع الأشكال بالمقياس الصحيح.
        4. الطريقة التحليلية أكثر دقة من الطريقة الرسومية ، لأن الأخيرة محدودة بدقة الرسم.

        ما هو مكون المتجه ثنائي الأبعاد؟

        1. المكوِّن هو جزء من متجه يشير إما إلى x أو ذ اتجاه.
        2. المكوِّن هو جزء من متجه له نصف حجم المتجه الأصلي.
        3. المكوِّن هو جزء من متجه يشير في الاتجاه المعاكس للمتجه الأصلي.
        4. المكوِّن هو جزء من متجه يشير في نفس اتجاه المتجه الأصلي ولكن مع ضعف حجمه.

        كيف نحدد مقدار المتجه إذا عرفنا مقادير مكوناته؟

        دعم المعلم

        دعم المعلم

        استخدم ال تأكد من فهمك أسئلة لتقييم ما إذا كان الطلاب قد حققوا أهداف التعلم لهذا القسم. إذا كان الطلاب يكافحون من أجل هدف معين ، فإن تأكد من فهمك سيساعد في تحديد الهدف الذي يسبب المشكلة وتوجيه الطلاب إلى المحتوى ذي الصلة.

        بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

        هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب Texas Education Agency (TEA). المادة الأصلية متاحة على: https://www.texasgateway.org/book/tea-physics. تم إجراء تغييرات على المواد الأصلية ، بما في ذلك التحديثات على الفن والبنية وتحديثات المحتوى الأخرى.

          إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

        • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
          • المؤلفون: Paul Peter Urone، Roger Hinrichs
          • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
          • عنوان الكتاب: الفيزياء
          • تاريخ النشر: 26 مارس 2020
          • المكان: هيوستن ، تكساس
          • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/physics/pages/1-introduction
          • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/physics/pages/5-2-vector-addition-and-subtraction-analytical-methods

          © 29 يناير 2021 وكالة تكساس التعليمية (TEA). لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


          1. أشكال مختلفة من معادلة الخط المستقيم

          يمكن إصلاح الخط المستقيم بشكل فريد إذا

          · أعطيت نقطة على الخط المستقيم واتجاه الخط المستقيم

          · أعطيت نقطتان على الخط المستقيم

          نجد معادلات الخط المستقيم بالشكل المتجه والصيغة الديكارتية. لإيجاد معادلة الخط المستقيم في شكل متجه ، نقطة عشوائية ص مع متجه الموضع /> على الخط المستقيم ويتم الحصول على علاقة راضية بواسطة /> باستخدام الشروط المحددة. تسمى هذه العلاقة بمعادلة المتجه للخط المستقيم. قد تتضمن معادلة المتجه للخط المستقيم معلمات أو لا تتضمنها. إذا كانت معادلة المتجه تتضمن معلمات ، فيُطلق عليها اسم أ معادلة المتجه في شكل حدودي . إذا لم يتم تضمين أي معلمة ، فإن المعادلة تسمى أ معادلة المتجه في شكل غير حدودي .


          اتجاه متجه ثنائي الأبعاد

          لوصف اتجاه المتجه ، نستخدم عادةً الدرجات (أو الراديان) من الأفقي ، في عكس اتجاه عقارب الساعة.

          نستخدم حساب المثلثات البسيط لإيجاد الزاوية. في المثال أعلاه ، نعرف ضد ("3" وحدات) و المجاور ("6" وحدات) قيم الزاوية ( ثيتا ) نحن نحتاج.

          ثيتا

          = أركتان 0.5

          = 26.6 درجة

          (= 0.464 راديان)

          لذا فإن المتجه لديه مقدار 6.71 وحدة والاتجاه 26.6 وينخفض ​​لأعلى من المحور الأفقي الأيمن.


          الفصل 2: ​​النواقل

          على سبيل المثال ، مقطعا الخطان $ overrightarrow$ و $ overrightarrowيشكّل $ in Interactive Illustration 2.2 نفس المتجه الذي يمكن رؤيته عند الضغط على زر "الأمام".

          نقول أن $ overrightarrow$ هو متجه وذاك

          يبدأ overrightarrow = overrightarrow. نهاية (2.2)
          تدوين أقصر للمتجهات هو استخدام أحرف وجه غامق واحدة ، مثل $ vc$. كما هو موضح في الرسم التوضيحي ، $ vc = overrightarrow = overrightarrow$. تُحدث بعض الكتب فرقًا بين مقاطع الخطوط الموجهة والمتجهات ، وتحتفظ بمتغير العقرب القصير $ vc$ للمتجهات الحقيقية و $ overrightarrow الأطول$ للمقاطع الخطية الموجهة. في حين أن هذا قد يكون أكثر صرامة من الناحية الرياضية ، يتم تجاهل هذا الاختلاف لأغراض هذا الكتاب ، ونستخدم المتجهات ومقاطع الخط الموجهة كشيء واحد ونفس الشيء.

          نحن ايضا نستخدم المصطلحات نقطة الذيل و نقطة الإرشاد المتجه عندما يكون ذلك مناسبًا ، حيث تكون نقطة التلميح هي مكان رأس السهم ، ونقطة الذيل هي الطرف الآخر.

          يُشار إلى طول المتجه بواسطة $ ln < overrightarrow> $ ، أو باختصار بمقدار $ ln < vc>$.

          يبدأ نص spc spc ln < vc> النهاية (2.3)
          طول المتجه أ العددية، ما يعني فقط أنه رقم عادي ، مثل 7.5 دولار. يستخدم المصطلح القياسي للتأكيد على أنه مجرد رقم وليس متجه أو نقطة. سيتم تأجيل كيفية حساب طول المتجه بالضبط إلى الفصل 3.

          لاحظ أن ترتيب النقاط مهم ، على سبيل المثال ، إذا قمت بتغيير الترتيب $ A $ و $ B $ ، متجه آخر ، $ overrightarrow$ ، يتم الحصول عليها. لها اتجاه معاكس ، ولكن بنفس الطول ، أي $ ln < overrightarrow> = ln < overrightarrow> دولار. حتى $ overrightarrow$ هو متجه يسمى ناقل صفر ، كما هو موضح في التعريف أدناه.

          متجهان ، $ vc$ و $ vc$ ، متوازي إذا كان لهما نفس الاتجاه أو اتجاهات متعاكسة ، ولكن ليس بالضرورة نفس الأطوال. يظهر هذا إلى اليمين في الشكل 2.4. لاحظ كيف يمكنك تغيير المتجهات في الشكل ، فبعضها يمكن تغييره بإمساك الطرف ، والبعض الآخر بالإمساك بالذيل. التدوين

          يبدأ vc، || ، vc نهاية (2.4)
          يعني أن $ vc$ يوازي $ vc$. يقال إن المتجه الصفري $ vc <0> $ موازي لجميع المتجهات الأخرى. بعد ذلك ، سوف نقدم كيف يمكن إضافة متجهين لتكوين متجه جديد ، ثم نتبع الضرب المتجه القياسي في القسم 2.3.

          حتى الآن ، قمنا فقط بتوضيح إضافة المتجه في المستوى ، أي في بعدين. ومع ذلك ، يمكن أيضًا توضيحها في ثلاثة أبعاد. يتم ذلك أدناه في Interactive Illustration 2.6. تذكر أنه يمكنك تدوير الشكل عن طريق تحريك الماوس أثناء النقر بزر الماوس الأيمن أو باستخدام تمرير إصبعين.

          والنتيجة الطبيعية لهذا هو أنه إذا كان المتجهان $ vc$ و $ vcإرضاء $ vc = ك vc$ لبعض الحجمي $ k $ ، ثم $ vc$ و $ vc$ متوازية.

          يظهر الضرب المتجه العددي في الرسم التوضيحي التفاعلي 2.7 أدناه. يتم تشجيع القارئ على اللعب مع الرسم التوضيحي.

          المثال 2.1: الطرح المتجه
          لاحظ أنه باستخدام إضافة المتجه (التعريف 2.3) وضرب المتجه القياسي (التعريف 2.4) بمقدار $ -1 $ ، يمكننا طرح متجه واحد ، $ vc$ ، من آخر ، $ vc$ حسب
          يبدأ underbrace < vc+ ( underbrace <-1 vc> _ < نص>)> _ < text> = vc- vc، نهاية (2.5)
          حيث قدمنا ​​تدوين الاختزال ، $ vc- vc$ للتعبير الموجود على يسار علامة التساوي. الطرح المتجه موضح أدناه. النظرية 2.1: خصائص حساب المتجهات
          بافتراض أن $ vc$ ، $ vc$ و $ vc$ هي متجهات من نفس الحجم ، وأن $ k $ و $ l $ هي مقاييس ، فإن القواعد التالية تبقى ثابتة:
          يبدأ يبدأ (ط) & vc+ vc = vc+ vc & spc text <(commutativity)> (ii) & ( vc+ vc) + vc = vc+ ( vc+ vc) & spc text <(الارتباط)> (iii) & vc+ vc <0> = vc & spc text <(وجود صفر)> (iv) & vc+ (- vc) = vc <0> & spc text <(وجود متجه سلبي)> (v) & k (l vc) = (كلل) vc & spc text <(الارتباط)> (vi) & 1 vc = vc & spc نص <(مضاعف واحد)> (vii) & 0 vc = vc <0> & spc text <(الصفر المضاعف)> (viii) & k vc <0> = vc <0> & spc text <(متجه الصفر المضاعف)> ( ix) & k ( vc+ vc) = ك vc+ ك vc & spc text <(التوزيع 1)> (x) & (k + l) vc = ك vc+ l vc & spc text <(التوزيعات 2)> end نهاية (2.6)
          ويترتب على ذلك من الضرب المتجه القياسي (التعريف 2.4)
          يبدأ ln<>> & = القيمة المطلقة، ln < vc> ، ln<>> & = القيمة المطلقة، ln < vc> ، النهاية (2.7)
          وإذا كان $ k> 0 $ ثم $ vc$ و $ k vc$ لها نفس الاتجاه ، وكذلك $ vc$ و $ k vc$. من ناحية أخرى ، إذا كان الخط $ k. علاوة على ذلك ، بما أن المثلثات متشابهة ، وبسبب (2.7) فإننا نعلم ذلك
          يبدأ ln<>+ vc)> = القيمة المطلقة، ln < vc+ vc>. نهاية (2.8)
          إذا كان $ k> 0 $ ثم $ k ( vc+ vc) $ له نفس اتجاه $ vc+ vc$ ، وإذا $ k
          افترض أن $ M $ هي النقطة الوسطى للقطعة المستقيمة التي تتراوح بين $ A $ و $ B $ كما هو موضح في الرسم التوضيحي على اليمين. افترض أن $ O $ هي نقطة أخرى. المتجه $ overrightarrow$ ، أي من $ O $ إلى $ M $ ، يمكن كتابتها كـ
          يبدأ overrightarrow = frac <1> <2> ( overrightarrow + overrightarrow). نهاية (2.9)

          المتجه $ overrightarrow$ هو مجموع $ overrightarrow$ و $ overrightarrow$

          يبدأ overrightarrow = overrightarrow + overrightarrow. نهاية (2.10)
          هناك طريقة أخرى لقول ذلك وهي أنك إذا بدأت بـ $ O $ وتريد أن ينتهي بك الأمر بـ $ M $ ، فيمكنك إما الانتقال أولاً من $ O $ إلى $ A $ ثم من $ A $ إلى $ M $ (اليد اليمنى من المعادلة) أو انتقل مباشرة من $ O $ إلى $ M $ (الجانب الأيسر من المعادلة).

          بالذهاب عبر $ B $ بدلاً من ذلك نحصل عليه

          يبدأ overrightarrow = overrightarrow + overrightarrow. نهاية (2.11)
          يعطي جمع هاتين المعادلتين معًا
          يبدأ 2 السهم الزائد = overrightarrow + overrightarrow + overrightarrow + overrightarrow. نهاية (2.12)
          منذ $ overrightarrow$ يساوي طول $ overrightarrow$ ولكن له اتجاه معاكس يجب أن يحمل هذا $ overrightarrow = - overrightarrow$. إدخال هذا في المعادلة أعلاه والقسمة على اثنين يعطي
          يبدأ overrightarrow = frac <1> <2> ( overrightarrow + overrightarrow). نهاية (2.13)
          أحيانًا ترى أيضًا الترميز الأقصر
          يبدأ م = فارك <1> <2> (أ + ب) نهاية (2.14)

          في المثلث $ ABC $ ، تكون النقطة $ A '$ على النقطة الرئيسية بين $ B $ و $ C $. القطعة المستقيمة من $ A $ إلى $ A '$ تسمى الوسيط $ A $. لنفترض أن $ M $ هي النقطة التي تقسم الوسيط $ A $ بنسبة 2 إلى 1 ، كما هو موضح في الرسم التوضيحي على اليمين.

          ينص مركز الكتلة على ذلك

          يبدأ pvec = فارك <1> <3> ( pvec + pvec + pvec). نهاية (2.15)
          يمكن إثبات هذه الصيغة على النحو التالي. يمكننا الانتقال من $ O $ إلى $ M $ إما مباشرة أو عبر $ A $ ، وبالتالي
          يبدأ pvec = pvec + pvec. نهاية (2.16)
          من الممكن أيضًا الوصول إلى $ M $ عبر $ A ’$. هذا يعطي
          يبدأ pvec = pvec + pvec. نهاية (2.17)
          أحد الافتراضات هو أن $ pvec$ نصف طول $ pvec$ ومن الاتجاه المعاكس ، وبالتالي ، فإنه يحمل $ pvec = - فارك <1> <2> pvec$. إدخال هذا في المعادلة أعلاه يعطي
          يبدأ pvec = pvec - فارك <1> <2> pvec. نهاية (2.18)
          يمكننا القضاء على $ pvec$ بإضافة المعادلة (2.16) إلى معادلة مرتين (2.18)
          يبدأ pvec <3OM> = pvec + 2 pvec. نهاية (2.19)
          نظرًا لأن $ A '$ هي النقطة الوسطى لـ $ B $ و $ C $ ، فقد عرفنا من صيغة النقطة الوسطى أن $ pvec = فارك <1> <2> ( pvec + pvec) $. إدخال هذا في المعادلة أعلاه يعطي
          يبدأ pvec <3OM> = pvec + 2 cdot frac <1> <2> ( pvec + pvec)، نهاية (2.20)
          الذي يبسط مثل
          يبدأ pvec = فارك <1> <3> ( pvec + pvec + pvec). نهاية (2.21)
          هذا يكمل الدليل.

          لاحظ أنه نظرًا لأن الصيغة متماثلة ، فإنها تعمل أيضًا على المتوسط ​​عند $ B $. نفس النقطة ، $ M $ ، ستقسم الوسيط الذي ينتقل من $ B $ إلى $ B '$ بنسبة $ 2: 1 $. يمكن ملاحظة ذلك بالضغط إلى الأمام في الرسم التوضيحي التفاعلي.

          هذه النقطة تسمى أيضًا مركز الكتلة. إذا تم قطع المثلث من الورق المقوى ، فهذه هي النقطة التي سيتوازن فيها الجزء العلوي من قلم رصاص ، وهو ما يفسر اسم "مركز الكتلة". أيضًا ، إذا تم وضع كتل نقطية متساوية في النقاط $ A $ و $ B $ و $ C $ ، فإن $ M $ هي النقطة التي سيتوازنون فيها.

          اسمحوا $ vcيكون متجهًا غير صفري على خط مستقيم. لكل متجه ، $ vc$ ، على السطر ، يوجد رقم واحد فقط ، $ x $ ، على هذا النحو
          يبدأ vc = x vc. نهاية (2.22)
          (المتجه ، $ vc$ ، في الشكل على اليمين يمكن نقله.)

          لاحظ أننا نقول أن $ vc$ هو ناقلات الأساس، وهذا $ x $ هو تنسيق مقابل $ vc$ على أساس $ < vc>$.

          حتى الآن ، هذا ليس مثيرًا للغاية ، لكن الخطوة التالية تجعله أكثر فائدة.

          اسمحوا $ vc_1 $ و $ vc_2 $ عبارة عن متجهين غير متوازيين (يقع كلاهما في مستوى). لكل متجه ، $ vc$ ، في هذا المستوى ، يوجد زوج إحداثي واحد ، $ (x ، y) $ ، على هذا النحو
          يبدأ vc = x vc_1 + ص vc_2. نهاية (2.23)
          (النواقل $ vc$ ، $ vc_1 $ و $ vc_2 دولار يمكن تحريكها في الشكل.) لهذا الدليل ، سوف نستخدم Interactive Illustration 2.19. كما يتضح ، تم الحصول على $ P_1 $ برسم خط موازٍ لـ $ vc_2 $ ، من نقطة الإكرامية $ vc$ حتى يصطدم بالخط الذي يمر عبر $ vc_1 دولار. وبالمثل ، يتم الحصول على $ P_2 $ برسم خط موازٍ لـ $ vc_1 $ ، من نقطة الإكرامية $ vc$ حتى يصطدم بالخط الذي يمر عبر $ vc_2 دولار. فمن الواضح أن
          يبدأ vc = overrightarrow + overrightarrow. نهاية (2.24)
          الآن ، دعونا نقدم $ vc = overrightarrow$ و $ vc = overrightarrow$. استخدام Theorem 2.3 في $ vc$ مع $ vc_1 $ كمتجه أساسي ، نحصل على $ vc = x vc_1 دولار. وبالمثل ، بالنسبة لـ $ vc$ مع $ vc_2 $ كمتجه أساس ، $ vc = ص vcتم الحصول على _2 $. ومن ثم ، فإن المتجه $ vcيمكن التعبير عن $ كـ
          يبدأ vc = vc + vc = x vc_1 + ص vc_2. نهاية (2.25)
          يبقى إثبات أن $ x $ و $ y $ فريدان في تمثيل $ vc$. إذا كان التمثيل ليس أن يكون فريدًا ، فسيكون زوج إحداثيات آخر $ (x '، y') $ موجودًا بهذا الشكل
          يبدأ vc = x ' vc_1 + ص ' vc_2. نهاية (2.26)
          بجمع (2.25) و (2.26) نحصل على
          يبدأ x vc_1 + ص vc_2 = x ' vc_1 + ص ' vc_2 Longleftrightarrow (x-x ') vc_1 = (y'-y) vc_2. نهاية (2.27)
          الاستنتاج من ذلك أنه إذا كان هناك تمثيل آخر ، $ (x '، y') $ ، فسيكون عندئذٍ $ vc_1 $ و $ vc_2 $ سيكون متوازيًا (الصف السفلي في (2.27)). على سبيل المثال ، إذا كان $ x '$ مختلفًا عن $ x $ ، فإن $ (x-x') neq 0 $ ويمكن قسمة كلا الجانبين على $ (x-x ') $ ، وهو ما يعطينا
          يبدأ vc_1 = frac <(y'-y)> <(x-x ')> vc_2 ، النهاية (2.28)
          والتي يمكن التعبير عنها كـ $ vc_1 = ك vc_2 $ مع $ k = frac <(y'-y)> <(x-x ')> $. ومع ذلك ، وفقًا للنتيجة الطبيعية للتعريف 2.4 ، فإن هذا يعني أن $ vc_1 $ و $ vc_2 $ متوازي ، يتعارض مع الافتراض في نظرية 2.4. ينطبق نفس المنطق إذا كان $ y '- y neq 0 $. ومن ثم ، فقد أظهرنا أن هناك زوجًا فريدًا واحدًا فقط ، $ (x، y) $ ، لكل متجه ، $ vc$ باستعمال البرهان بالتناقض.

          لاحظ أننا نقول أن $ vc_1 $ و $ vc_2 دولار ناقلات الأساس، وأن $ x $ و $ y $ هما إحداثيات مقابل $ vc$ على أساس $ < vc_1 ، vc_2>$.

          بعد ذلك ، سنوسع هذا إلى ثلاثة أبعاد أيضًا.

          نظرية 2.5: الإحداثيات في ثلاثة أبعاد
          اسمحوا $ vc_1 $ ، $ vc_2 $ و $ vc_3 $ ثلاثة متجهات أساس غير صفرية ، وأنه لا يوجد مستوى موازٍ لجميع المتجهات الثلاثة. لكل متجه ، $ vc$ ، في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يوجد إحداثي واحد ثلاثي ، $ (x ، y ، z) $ ، بحيث
          يبدأ vc = x vc_1 + ص vc_2 + ض vc_3. نهاية (2.29)

          ابدأ بوضع جميع المتجهات $ vc$ ، $ vc_1 $ ، $ vc_2 $ و $ vc_3 $ بحيث يبدأون في الأصل وفقًا لـ Interactive Illustration 2.20. لنفترض أن $ pi_ <12> $ يكون الطائرة عبر $ O $ التي تحتوي على $ vc_1 $ و $ vc_2 $ ، واجعل $ P $ هو النقطة الموجودة على رأس $ vc$ ، أي $ vc = overrightarrow$.

          رسم توضيحي تفاعلي 2.20: باختصار ، الانتقال من $ hid$ إلى $ hid

          يمكن عمل $ بالذهاب إلى $ hid أولاً> $: $ hid < overrightarrow= overrightarrow> + overrightarrowف >> $. يمكن تبادل هذين المصطلحين باستخدام $ hid < overrightarrow> = x vc_1 + ص vc_2> $ و $ hid < overrightarrowP> = z vc_3> دولار. وهكذا $ hid < overrightarrow= overrightarrow> + overrightarrowP> = x vc_1 + ص vc_2 + ض vc_3>$. ارسم خطًا من $ P $ بالتوازي مع $ vc_3 $ الذي يتقاطع مع المستوى $ pi_ <12> $ في النقطة $ P_ <12> $. من الواضح الآن أنه يمكننا كتابة $ vc$ كمجموع

          يبدأ vc = overrightarrow = overrightarrow> + overrightarrowص>. نهاية (2.30)
          ومع ذلك ، وفقًا لنظرية 2.4 (بعدين) ، $ overrightarrow> يمكن كتابة $ كـ $ overrightarrow> = x vc_1 + ص vc_2 $ ، ووفقًا للنظرية 2.3 (على البعد) ، $ overrightarrowيمكن كتابة P> $ كـ $ overrightarrowP> = z vc_3 دولار. ومن ثم ، توجد ثلاثة أعداد $ x $ و $ y $ و $ z $ ، على هذا النحو
          يبدأ vc = x vc_1 + ص vc_2 + ض vc_3. نهاية (2.31)
          يجب أن نثبت الآن أن $ x $ و $ y $ و $ z $ هي الأرقام الوحيدة التي يمكن تحقيق ذلك من أجلها. افترض أن هناك مجموعة أخرى من الأرقام ، $ x '$ ، $ y' $ z '$ ، والتي تولد أيضًا نفس المتجه ، $ vc$ ، هذا هو
          يبدأ vc = x ' vc_1 + ص ' vc_2 + ض ' vc_3. نهاية (2.32)
          الجمع بين (2.31) و (2.32) يعطي
          يبدأ x vc_1 + ص vc_2 + ض vc_3 = x ' vc_1 + ص ' vc_2 + ض ' vc_3. نهاية (2.33)
          يمكن إعادة ترتيب هذا إلى
          يبدأ (x-x ') vc_1 + (y-y ') vc_2 + (z-z ') vc_3 = 0. النهاية (2.34)
          إذا كانت المجموعة الجديدة ($ x '$، $ y' $، $ z '$) مختلفة عن الأخرى ($ x $، $ y $، $ z $) ، يجب أن يكون أحد المصطلحات على الأقل الآن يختلف عن الصفر. افترض أنه $ (x-x ') $ (وإلا ، أعد تسمية المتجهات والقياسات بحيث يصبح هذا المصطلح). هذا يعني أنه يمكننا القسمة على $ (x-x ') $ للحصول عليها
          يبدأ vc_1 = - frac <(y-y ')> <(x-x')> vc_2 - frac <(z-z ')> <(x-x')> vc_3 ، النهاية (2.35)
          والتي يمكن التعبير عنها أيضًا باسم
          يبدأ vc_1 = alpha vc_2 + بيتا vc_3 ، النهاية (2.36)
          حيث $ alpha = - frac <(y-y ')> <(x-x')> $ and $ beta = - frac <(z-z ')> <(x-x')> $ . ومع ذلك ، هذا يعني أن $ vc_1 $ تقع في نفس المستوى مثل $ vc_2 $ و $ vc_3 $ (انظر النظرية 2.4) ، والتي تتعارض مع الافتراض بأنه لا يوجد مستوى موازٍ لـ $ vc_1 $ ، $ vc_2 $ و $ vc_3 دولار. وبالتالي لا يمكن أن توجد أي مجموعة أخرى من القيم ، $ x '$ ، $ y' $ ، $ z '$ ، التي تحقق المعادلة وبالتالي يكون الإثبات كاملاً.

          وبالمثل كما كان من قبل ، نقول أن $ vc_1 $ ، $ vc_2 $ و $ vc_3 دولار ناقلات الأساس، وأن $ x $ و $ y $ و $ z $ هي ملفات إحداثيات مقابل $ vc$ على أساس $ < vc_1 ، vc_2 ، vc_3>$.

          الآن ، يمكننا أخيرًا معرفة مصدر التمثيل المتجه باستخدام الإحداثيات. إذا افترضنا أن أساسًا معينًا ، فإن $ < vc_1 ، vc_2 ، vc_3 > $ ، ثم يمكننا كتابة متجه ثلاثي الأبعاد ، $ vc$ ، مثل

          يبدأ vc = v_x vc_1 + v_y vc_2 + v_z vc_3 = ابدأ v_x v_y v_z end، نهاية (2.37)
          حيث استخدمنا $ v_x $ بدلاً من $ x $ و $ v_y $ بدلاً من $ y $ و $ v_z $ بدلاً من $ z $. هذا لتسهيل خلط العديد من النواقل المختلفة ، مع الاستمرار في الوصول إلى المكونات الفردية. لاحظ أن التعبير الأيمن يظهر المتجه كعمود من ثلاثة أرقام ، والمنسق $ x $ في الأعلى ، والمنسق $ y $ في المنتصف ، والمنسق $ z $ في الأسفل. هذا تدوين مهم ، لذلك قمنا بتلخيصه في التعريف التالي:

          التعريف 2.5: تدوين متجه العمود
          معطى أساس ، متجه العمود ، $ vc$ ، بأبعاد $ n $ (استخدمنا $ n في [1،2،3] $) هو عمود قيم $ n $ العددية. يمكن أن تكون هذه المكونات العددية ، التي تسمى أحيانًا عناصر المتجه ، مرقمة ، على سبيل المثال ، $ v_1 $ و $ v_2 $ و $ v_3 $ ، أو يمكننا استخدام $ x $ و $ y $ و $ z $ كنصوص عندما يكون ذلك أكثر ملاءمة. التدوين هو:

          يبدأ underbrace < vc= ابدأ u_x النهاية = ابدأ u_1 النهاية> _ < text <1D vector >> ، spc spc underbrace < vc= ابدأ v_x v_y end = ابدأ v_1 v_2 end> _ < text <2D vector >> ، spc spc underbrace < vc= ابدأ w_x w_y w_z end = ابدأ w_1 w_2 w_3 end> _ < text <3D vector >> ، end (2.38)
          حيث $ vc = u_x vc_1 $ ، $ vc = v_x vc_1 + v_y vc_2 $ و $ vc = w_x vc_1 + w_y vc_2 + w_z vc_3$.

          نستخدم أيضًا طريقة أكثر إحكاما لكتابة المتجهات ، وهي ملائمة عند كتابة المتجهات في النص ، على سبيل المثال: $ vc = bigl (w_1، w_2، w_3 bigr) $ ، وهو ما يعني نفس ما ورد أعلاه (لاحظ الفواصل بين عناصر المتجه).

          متجهات العمود ، وفقًا للتعريف أعلاه ، هي نوع المتجهات التي نستخدمها في الغالب خلال هذا الكتاب. ومن ثم ، عندما نقول "متجه" ، فإننا نعني "متجه العمود". ومع ذلك ، هناك أيضًا نوع آخر من النواقل ، وهي ناقلات الصف. كما يمكن استنتاجه من الاسم ، فهو مجرد صف من القيم العددية ، بدلاً من عمود من القيم العددية. مثال على متجه الصف هو:

          يبدأ bigl (1 spc 2 spc 5 bigr). نهاية (2.39)
          يمكن تبديل أي متجه ، سواء كان صفًا أو عمودًا ، مما يعني أن متجه الصف يتحول إلى متجه عمود ، ويتحول متجه العمود إلى متجه صف. تدوين المتجه المنقول هو: $ vc^ تي دولار. ويرد أدناه مثال على ذلك:
          يبدأ vc = ابدأ 1 2 5 نهاية، spc spc spc vc^ T = bigl (1 spc 2 spc 5 bigr). نهاية (2.40)
          نلخص نقل المتجه في التعريف التالي:

          التعريف 2.7: تدوين متجه الصف
          يتم التعبير عن متجه الصف كمتجه عمود منقول ، كما هو موضح أدناه:

          يبدأ underbrace < vc^ T = bigl (v_x spc v_y bigr)> _ < text <2D row vector >> ، spc spc underbrace < vc^ T = bigl (w_x spc w_y spc w_z bigr)> _ < text <3D row vector >>. نهاية (2.41)

          لاحظ أن متجه الصف لا يحتوي أبدًا على أي فواصل بين عناصر المتجه. هذا محجوز للتدوين المضغوط لمتجه العمود (انظر التعريف 2.5).

          الآن ، لنفترض أن لدينا متجهين ، $ vc$ و $ vc$ ، على نفس الأساس ، أي

          يبدأ vc = u_x vc_1 + u_y vc_2 + u_z vc_3 = ابدأ u_x u_y u_z end spc spc text spc spc vc = v_x vc_1 + v_y vc_2 + v_z vc_3 = ابدأ v_x v_y v_z end. نهاية (2.42)
          الإضافة $ vc+ vc$ ، يصبح:
          يبدأ vc+ vc & = u_x vc_1 + u_y vc_2 + u_z vc_3 + v_x vc_1 + v_y vc_2 + v_z vc_3 & = (u_x + v_x) vc_1 + (u_y + v_y) vc_2 + (u_z + v_z) vc_3 & = ابدأ u_x + v_x u_y + v_y u_z + v_z end. نهاية (2.43)
          كما يتضح ، تتلخص إضافة المتجه في إضافة عددية بسيطة من حيث المكونات. لمضاعفة المتجهات العددية ، $ k vc$ ، لدينا:
          يبدأ ك vc & = ك (v_x vc_1 + v_y vc_2 + v_z vc_3) & = (ك v_x) vc_1 + (ك v_y) vc_2 + (ك v_z) vc_3 & = ابدأ ك v_x k v_y k v_z end، نهاية (2.44)
          وهنا نرى أن كل مكون من المتجه مضروب في $ k $.

          المثال 2.6: إضافة المتجه والضرب العددي باستخدام الإحداثيات
          افترض أن لدينا المتجهات التالية على نفس الأساس:

          يبدأ vc = يسار ( ابدأ 3 -4 7 نهاية الحق) ، spc spc vc = يسار ( ابدأ 1 2 5 نهاية right) ، spc spc text spc spc vc = يسار ( ابدأ 2 -1 6 نهاية الحق) ، النهاية (2.45)
          وأننا نريد الآن تقييم $ vc + vc - 2 vc$. كما رأينا أعلاه ، فإن إضافة المتجه هي ببساطة مسألة إضافة عناصر المتجه:
          يبدأ vc+ vc = يسار ( ابدأ 3 -4 7 نهاية يمين) + يسار ( ابدأ 1 2 5 نهاية يمين) = يسار ( ابدأ 3 + 1 -4 + 2 7 + 5 نهاية يمين) = يسار ( ابدأ 4 -2 12 نهاية حق). نهاية (2.46)
          يمكننا أيضًا قياس متجه بقيمة عددية ، على سبيل المثال ، $ k = 2 $:
          يبدأ 2 vc = 2 يسار ( ابدأ 2 -1 6 نهاية يمين) = يسار ( ابدأ 2 cdot 2 2 cdot (-1) 2 cdot 6 end يمين) = يسار ( ابدأ 4 -2 12 نهاية الحق) ، النهاية (2.47)
          مما يعني أن $ vc + vc - 2 vc = vc <0> دولار. التعريف 2.8: الأساس القياسي
          الأساس القياسي في هذا الكتاب هو كما يلي لبعدين وثلاثة أبعاد ، أي ،
          يبدأ underbrace < vc_1 = ابدأ 1 0 نهاية، vc_2 = ابدأ 0 1 نهاية > _ < mathrm> ماذرم underbrace < vc_1 = ابدأ 1 0 0 end، vc_2 = ابدأ 0 1 0 end، vc_3 = ابدأ 0 0 1 end. > _ < mathrm> النهاية (2.48)
          بشكل عام ، بالنسبة للأساس القياسي للأبعاد $ n $ ، فإن المتجهات الأساسية ، $ vc_i $ لها عناصر متجهة وهي كلها أصفار ، باستثناء $ i $: العنصر th ، وهو واحد. الرسم التوضيحي التفاعلي 2.22: هنا مثال آخر ، حيث إحداثيات $ hid

          $ يساوي $ hid <(3،1)> $. لاحظ أنه يمكنك تحريك متجهي الأساس و $ hid

          $ ، بينما سيتم تعديل الإحداثيات وفقًا لذلك. لاحظ أيضًا أنه إذا قمت بوضع متجهي الأساس بحيث يصبحان متوازيين تقريبًا ، فإن الإحداثيات تبدأ في الارتفاع بشكل كبير ومتقطع. هذا منطقي ، لأنه إذا كانت المتجهات متوازية تمامًا بالفعل ، فستكون قادرًا فقط على تمثيل النقاط على الخط التي تنتقل من الأصل على طول متجه الأساس الأول (أو الثاني ، والذي سيكون مكافئًا). إذا كانا مختلفين قليلاً ، فيجب تعزيز هذا الاختلاف الصغير بعدد كبير للوصول إلى $ hid

          $.


          المسافة في الفضاء ثلاثي الأبعاد

          لإيجاد المسافة من نقطة إلى أخرى في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، نقوم فقط بتوسيع نظرية فيثاغورس.

          المسافة من الأصل

          النقطة العامة ص (أ, ب, ج) على الرسم البياني ثلاثي الأبعاد أدناه. النقطة ن أدناه مباشرة ص على ال x-ذ طائرة.

          المسافة من `(0 ، 0 ، 0)` إلى النقطة ص (أ, ب, ج) اعطي من قبل:

          النقطة ن يظهر "(أ ، ب ، 0)" على الرسم البياني. من نظرية فيثاغورس ،

          وتربيع الجانبين يعطي:

          مسافه: بعد NP هو ببساطة ج (هذه هي المسافة حتى ض-محور للنقطة ص).

          تطبيق نظرية فيثاغورس للمثلث في الصفحة، لدينا:

          مثال 1 - المسافة من الأصل إلى نقطة

          أوجد المسافة من نقطة الأصل O إلى النقطة ب `` (2 ، 3 ، 5) ``. هذا هو المثال أعلاه.

          هكذا تبدو على الرسم البياني ثلاثي الأبعاد:


          خصائص المنتج النقطي

          يتم تعريف المنتج النقطي على النحو التالي: ( u cdot v = & ltu_ <1> ، u_ <2> & gt cdot & ltv_ <1> ، v_ <2> & gt = u_ <1> v_ <1> + u_ <2> v_ <2> )

          ينص هذا الإجراء على أنك تقوم بضرب القيم المقابلة ثم جمع المنتجات الناتجة. يمكن أن تعمل مع نواقل لها أكثر من بعدين بنفس الطريقة.

          قبل تجربة هذا الإجراء بأرقام محددة ، انظر إلى الأزواج التالية من المتجهات والتقديرات النسبية لحاصل الضرب النقطي.

          لاحظ كيف أن المتجهات التي تسير في نفس الاتجاه عمومًا لها حاصل ضرب نقطي موجب. فكر في قوتين تؤثران على جسم واحد. حاصل الضرب النقطي الإيجابي يعني أن هذه القوى تعمل معًا على الأقل قليلاً. هناك طريقة أخرى لقول هذه الزاوية وهي أن الزاوية بين المتجهين أقل من 90 درجة.

          هناك العديد من الخصائص المهمة المتعلقة بالمنتج النقطي. العاملان الأكثر أهمية هما 1) ماذا يحدث عندما يكون للمتجه حاصل ضرب نقطي مع نفسه و 2) ما هو حاصل الضرب القياسي لمتجهين متعامدين مع بعضهما البعض.

          تحتفظ الخاصية التبادلية ، ( u cdot v = v cdot u ) ، للمنتج النقطي بين متجهين. الدليل التالي هو للمتجهات ثنائية الأبعاد على الرغم من أنه ينطبق على أي متجهات ذات أبعاد.

          ابدأ بالمتجهات في شكل مكون.

          ثم طبِّق تعريف حاصل الضرب النقطي وأعد ترتيب المصطلحات.الخاصية التبادلية معروفة بالفعل بالأرقام العادية حتى نتمكن من استخدامها.

          خاصية التوزيع ، u & sdot (v + w) = uv + uw ، تحمل أيضًا تحت حاصل الضرب النقطي.سيعمل الدليل التالي مع متجهات ثنائية الأبعاد على الرغم من أن الخاصية ثابتة بشكل عام.

          يمكن أن يساعدك حاصل الضرب القياسي في تحديد الزاوية بين متجهين باستخدام الصيغة التالية. لاحظ أنه في البسط ، يكون الضرب النقطي مطلوبًا لأن كل حد عبارة عن متجه. في المقام ، لا يلزم سوى الضرب المنتظم لأن حجم المتجه هو مجرد رقم عادي يشير إلى الطول.

          شاهد الجزء من هذا الفيديو الذي يركز على المنتج النقطي:


          جامعة سيدني - كلية الرياضيات والإحصاء

          نبدأ ببعدين. لدينا الصورة التالية التي توضح كيفية بناء الشكل الديكارتي للنقطة Q في المستوى XOY.

          المتجهان i و j متجهان بطول 1 في الاتجاهين OX و OY على التوالي.

          المتجه هو x i. المتجه هو y j. المتجه هو مجموع و

          نقوم الآن بتوسيع هذا إلى ثلاثة أبعاد لإظهار كيفية بناء الشكل الديكارتي للنقطة P. حدد k ليكون متجهًا بطول 1 في اتجاه OZ. لدينا الآن الصورة التالية.

          ارسم حرف PT عمودي من P إلى محور OZ.

          في المستطيل ، يكون طول كل من OQPT و PQ و OT هو z. المتجه هو z k. نعلم أن = x i + y j. المتجه ، هو مجموع المتجهات ، وبالتالي فهو

          هذه الصيغة ، التي يتم التعبير عنها من حيث i و j و k و x و y و z ، تسمى التمثيل الديكارتي للمتجه في ثلاثة أبعاد. نسمي x و y و z مكونات على طول محاور OX و OY و OZ على التوالي.

          ينطبق على جميع الثماني ، حيث أن x و y و z تمر عبر جميع القيم الحقيقية الممكنة.

          ونسخ 2002-09 جامعة سيدني. آخر تحديث: 09 نوفمبر 2009

          ABN: 15 211 513 464. رقم CRICOS: 00026 أ. هاتف: +61 2 9351 2222.

          مرخص بها من: رئيس مدرسة الرياضيات والإحصاء.


          N هندسة الأبعاد

          أول شيء يجب أن تعرفه عن الفضاء ذي البعد n هو أنه لا داعي للقلق على الإطلاق. لن يُطلب منك تخيل مساحة 17 بعدًا أو أي شيء غريب من هذا القبيل ، لأنه لا أحد يمكن أن يتخيل أي شيء أعلى من الفضاء ثلاثي الأبعاد (الكثير منا ليس جيدًا في ذلك). ويمكنك طرح أي أفكار قد تكون لديك حول البعد الرابع هو الوقت أو الحب أو ما لديك ، لأن كل ما هو مجرد رقم إضافي معلق. على وجه التحديد ،

          تعريف: أ الفراغ هي مجرد مجموعة حيث تسمى العناصر بالنقاط.

          تعريف: مساحة الأبعاد N (أو ص n للاختصار) هي المساحة التي تكون فيها النقاط عبارة عن n-tuplets من الأرقام الحقيقية.

          ستلاحظ أننا نعمل بشكل عكسي: بالنسبة للفضاء ثلاثي الأبعاد ، نقوم ببناء إحداثيات ديكارتية للحصول على 3 مجموعات لكل نقطة الآن ، وننسى الوسيط ونحدد ببساطة النقطة لتكون ثلاثية الأبعاد. الأصل في أي بعد هو n-tuplet (0،0،. 0).

          ماذا عن النواقل ، تسأل؟ قبل أن نحددها على أنها مقدار واتجاه ، ثم أوضحنا كيف يوجد تطابق واحد لواحد بينها وبين النقاط الآن نعكس ترتيب الأشياء مرة أخرى ونحدد المتجهات لتكون نقاطًا. نظرًا لأن النقاط عبارة عن مجموعات ونعرف كيفية جمع ، وطرح ، وضرب المجموعات العددية ، فنحن نعرف أيضًا كيفية القيام بكل هذه الأشياء للمتجهات.

          من السهل أيضًا توسيع المنتج النقطي ليشمل متجهات في أبعاد أعلى ، عبر التعريف الجبري. فقط دع (x1، س2و. xن ) & # 183 (ذ1، ذ2و. ذن ) = س1 ذ1 + س2 ذ2 +. + سن ذن يتيح لنا وجود منتج نقطي تحديد طول المتجه

          |الخامس| = الجذر التربيعي ( الخامس · الخامس ) والزاوية بين متجهين:

          زاوية = كوس -1 ( الخامس &183 ث / |الخامس| |ث| )

          لا يوجد حاصل ضرب في أبعاد أكبر من 3. لشيء واحد ، في الأبعاد 4 أو أعلى ، هناك عدد لا نهائي من متجهات الوحدة المتعامدة مع أي اثنين.

          يمكن أيضًا العثور على الخطوط والطائرات بأبعاد أعلى ، ولكن لا يوجد غالبًا سبب كبير لاستخدامها. من قبل ، يمكن التعبير عن الخطوط ذات البعدين أو ثلاثة أبعاد كـ ل(ر) = OP + ر الخامس ل P نقطة و الخامس المتجه على السطر نفس الصيغة تعمل لأبعاد أعلى. يتم الحفاظ على الخاصية المألوفة المتمثلة في وجود سطر واحد بالضبط يمر عبر نقطتين متميزتين.


          5.2: ناقلات في ثلاثة أبعاد - الرياضيات

          المقاييس هي الكميات التي لها حجم فقط مثل الكتلة والسرعة وشدة المجال الكهربائي. في كثير من الأحيان يكون من المفيد في كثير من الأحيان أن يكون لديك كمية ليس لها حجم فقط ولكن أيضًا اتجاه تسمى هذه الكمية بالمتجه. تتضمن أمثلة الكميات التي تمثلها المتجهات السرعة ، والتسارع ، وتقريباً أي نوع من القوة (الاحتكاك ، الجاذبية ، الكهربائية ، المغناطيسية ، إلخ). لاحظ أن كل هذه الكميات ليس لها حجم فقط (مثل السرعة - شدة متجه السرعة) ولكنها تحدث أيضًا أو تعمل في اتجاه معين.

          كمثال على الحالات التي تكون فيها النواقل ضرورية ، افترض أن طائرة تسير بسرعة 300 ميل في الساعة إلى الشمال مع عدم وجود رياح تواجه رياحًا غربية متقاطعة تبلغ 50 ميلاً في الساعة. السرعة الناتجة للطائرة هي مجموع سرعات الرياح والمستوى. لإيجاد السرعة المحصلة ، علينا استخدام المتجهات.

          نحن نمثل المتجهات مع أزواج مرتبة بين أقواس مدببة لتمييزها عن الأزواج المرتبة في الأقواس العادية التي تمثل النقاط. المتجه & lt1،4 & gt هو متجه ثنائي الأبعاد ، أو مقطع خطي موجه ، من أي نقطة (x ، y) إلى النقطة (x + 1 ، y + 4). وبالمثل ، فإن المتجه & lta، b، c & gt هو متجه ثلاثي الأبعاد من أي نقطة (x ، y ، z) إلى النقطة (x + a ، y + b ، z + c). من المهم أن تتذكر أن المتجه مستقل عن موقعه في نظام الإحداثيات.

          حجم (أو طول) المتجه v بالنقطة الأولية (x_1 ، y_1 ، z_1) والنقطة النهائية (x_2 ، y_2 ، z_2) هو

          المتجهات تخضع لقوانين الجمع الطبيعية البديهية والضرب العددي:

          توضح الأشكال أدناه عمليات الجمع والضرب القياسي في الحالة ثنائية الأبعاد.

          إضافة نواقل الضرب العددي

          المتجهات i = & lt1،0،0 & gt، j = & lt0،1،0 & gt، and k = & lt0،0،1 & gt خاصة نظرًا لأن طول الوحدة ونقطة في اتجاهات المحاور x و y و z . يمكن تمثيل أي متجه في ثلاثة أبعاد كمجموعة خطية من هذه المتجهات الثلاثة:

          المكونات x و y و z للمتجه هي المتجهات x & lt1،0،0 & gt و y & lt0،1،0 & gt و z & lt0،0،1 & gt ، على التوالي.

          المتجه من الأصل إلى النقطة P = (x ، y ، z) له اسم خاص. يطلق عليه اسم متجه موضع النقطة لأنه يصف موضع النقطة بالنسبة إلى الأصل.

          مثال

          لحل المثال الموضح أعلاه المتعلق بالطائرة ، نحدد الاتجاه & lt1،0 & gt ليكون شرقًا والاتجاه & lt0،1 & gt ليكون شمالًا وبالتالي يمثل سرعة الطائرة بواسطة p = & lt300،0 & gt وسرعة الرياح بمقدار w = & lt0، -50 & gt. السرعة الناتجة للمستوى هي مجموع هذين المتجهين: r = & lt300،0 & gt + & lt0، -50 & gt = & lt300، -50 & gt. وهكذا ، تتحرك الطائرة فعليًا في اتجاه غرب الشمال.

          المكون الرأسي لهذا المتجه الناتج هو 300 & lt0،1 & gt والمكون الأفقي هو -50 & lt1،0 & gt. باستخدام الشكل أعلاه ، نرى أن tan (ثيتا) = - 50/300 = -1 / 6 مما يعني أن ثيتا = -9.5 درجة. وهكذا ، باستخدام الرسم البياني كدليل ، نرى أن الحركة الناتجة للمستوى تساوي 9.5 درجة غربًا من الشمال.

          يمكن بالطبع تمثيل المتجهات في أنظمة إحداثيات أخرى. بالنسبة لنظام الإحداثيات الكروية ، فبدلاً من وجود مكونات المتجه في اتجاهات x و y و z ، ستكون المكونات في اتجاهات rho و theta و phi. & lt1،0،0 & gt سيكون متجه الوحدة في اتجاه rho. على الرغم من أن صيغة حجم المتجه أبسط بكثير لأنها مقدار مكون rho فقط ..


          شاهد الفيديو: رسم الأشكال الثلاثية الأبعاد رياضيات. اول متوسط (شهر اكتوبر 2021).