مقالات

12.4: نظرية بايز


في هذا القسم نركز على مشاكل الاحتمال الشرطي الأكثر تعقيدًا التي بدأنا النظر فيها في القسم الأخير.

المثال 19

لنفترض أن معدل حدوث مرض معين يبلغ 0.1٪ (أي أنه يصيب 0.1٪ من السكان). تم وضع اختبار للكشف عن هذا المرض. لا ينتج عن الاختبار نتائج سلبية خاطئة (أي أن أي شخص مصاب بالمرض سيختبر إيجابيًا له) ، ولكن المعدل الإيجابي الكاذب هو 5٪ (أي أن حوالي 5٪ من الأشخاص الذين يجرون الاختبار سيختبرون إيجابيين ، على الرغم من ذلك ليس لديهم المرض). لنفترض أن شخصًا تم اختياره عشوائيًا أجرى الاختبار وكانت الاختبارات إيجابية. ما هو احتمال أن يكون هذا الشخص مصابًا بالفعل بالمرض؟

المحلول

هناك طريقتان للتعامل مع حل هذه المشكلة. يتضمن أحدهما نتيجة مهمة في نظرية الاحتمالات تسمى نظرية بايز. سنناقش هذه النظرية لاحقًا ، لكن في الوقت الحالي سوف نستخدم بديلًا ، ونأمل أن يكون أسلوبًا أكثر حدسية.

دعنا نقسم المعلومات في المسألة قطعة قطعة.

لنفترض أن معدل حدوث مرض معين يبلغ 0.1٪ (أي أنه يصيب 0.1٪ من السكان). يمكن تحويل النسبة المئوية 0.1٪ إلى رقم عشري عن طريق تحريك العلامة العشرية منزلتين إلى اليسار ، للحصول على 0.001. في المقابل ، يمكن إعادة كتابة 0.001 ككسر: 1/1000. هذا يخبرنا أن حوالي 1 من كل 1000 شخص مصاب بالمرض. (إذا أردنا الكتابة ص(مرض) = 0.001.)

تم وضع اختبار للكشف عن هذا المرض. لا ينتج عن الاختبار نتائج سلبية خاطئة (أي أن أي شخص مصاب بالمرض سيكون نتيجة اختباره إيجابية). هذا الجزء واضح ومباشر إلى حد ما: كل شخص مصاب بالمرض سيختبر إيجابيًا ، أو بدلاً من ذلك كل شخص مصاب بالمرض لا يكون مصابًا بالمرض. (يمكننا القول أيضًا ص(إيجابي | مرض) = 1.)

المعدل الإيجابي الكاذب هو 5٪ (أي حوالي 5٪ من الأشخاص الذين يجرون الاختبار سيختبرون إيجابيين ، على الرغم من عدم إصابتهم بالمرض). هذا أكثر وضوحا. هناك طريقة أخرى للنظر إلى الأمر وهي أنه من بين كل 100 شخص تم اختبارهم ولا يعانون من المرض ، سيختبر 5 منهم إيجابية على الرغم من عدم إصابتهم بالمرض. (يمكننا أيضًا أن نقول أن (P ) (موجب | لا يوجد مرض) = 0.05.)

لنفترض أن شخصًا تم اختياره عشوائيًا أجرى الاختبار وكانت الاختبارات إيجابية. ما هو احتمال أن يكون هذا الشخص مصابًا بالفعل بالمرض؟ هنا نريد حساب (P ) (مرض | إيجابي). نحن نعلم بالفعل أن (P ) (إيجابي | مرض) = 1 ، لكن تذكر أن الاحتمالات الشرطية ليست متساوية إذا تم تبديل الظروف.

بدلاً من التفكير في كل هذه الاحتمالات التي طورناها ، فلننشئ موقفًا افتراضيًا ونطبق الحقائق على النحو المبين أعلاه. أولاً ، افترض أننا اخترنا عشوائيًا 1000 شخص وقمنا بإجراء الاختبار. كم عدد الذين نتوقع إصابتهم بالمرض؟ نظرًا لأن ما يقرب من 1/1000 من جميع الأشخاص مصابون بالمرض ، فإن ( frac {1} {1000} ) من 1000 شخص هو 1. (الآن أنت تعرف سبب اختيارنا 1000). المرض؛ 999 الأخرى لا تفعل ذلك.

نحن نعلم أيضًا أن 5٪ من جميع الأشخاص غير المصابين بالمرض ستكون نتيجة اختبارهم إيجابية. هناك 999 شخصًا خاليًا من الأمراض ، لذلك نتوقع ((0.05) (999) = 49.95 ) (لذا ، حوالي 50) شخصًا لا تظهر إصابتهم بالمرض.

الآن نعود إلى السؤال الأصلي ، الحوسبة ص(مرض | إيجابي). هناك 51 شخصًا ثبتت إصابتهم في مثالنا (الشخص المؤسف الذي أصيب بالفعل بالمرض ، بالإضافة إلى 50 شخصًا ثبتت إصابتهم ولكنهم لم يفعلوا ذلك). واحد فقط من هؤلاء الأشخاص مصاب بالمرض ، لذلك

P (مرض | إيجابي) ( almost frac {1} {51} almost 0.0196 )

أو أقل من 2٪. هل يفاجئك هذا؟ وهذا يعني أنه من بين جميع الأشخاص الذين ثبتت إصابتهم ، فإن أكثر من 98٪ ليس لديك المرض.

كانت الإجابة التي حصلنا عليها تقريبية بعض الشيء ، حيث قمنا بتقريب 49.95 إلى 50. يمكننا إعادة المشكلة مع 100000 شخص اختبار ، 100 منهم سيكون لديهم المرض و ((0.05) (99.900) = 4995 ) كانت نتيجة الاختبار إيجابية ولكن لا لديك المرض ، لذا فإن الاحتمال الدقيق للإصابة بالمرض إذا كانت نتيجة الاختبار إيجابية

P (مرض | إيجابي) ( almost frac {100} {5095} almost 0.0196 )

وهي الإجابة نفسها إلى حد كبير.

لكن بالعودة إلى النتيجة المفاجئة. من بين جميع الأشخاص الذين ثبتت إصابتهم بالفيروس ، أكثر من 98٪ لا يعانون من المرض. إذا كان تخمينك لاحتمال إصابة الشخص الذي ثبتت صحته بالمرض يختلف اختلافًا كبيرًا عن الإجابة الصحيحة (2٪) ، فلا تشعر بالسوء. تم طرح نفس المشكلة بالضبط على الأطباء وطلاب الطب في كلية الطب بجامعة هارفارد قبل 25 عامًا وكشفت النتائج في عام 1978 نيو انغلاند جورنال اوف ميديسين شرط. حصل 18٪ فقط من المشاركين على الإجابة الصحيحة. اعتقد معظم الباقين أن الإجابة كانت أقرب إلى 95٪ (ربما تم تضليلهم بالمعدل الإيجابي الخاطئ البالغ 5٪).

لذلك على الأقل يجب أن تشعر بتحسن قليل لأن مجموعة من الأطباء لم يحصلوا على الإجابة الصحيحة أيضًا (على افتراض أنك تعتقد أن الإجابة كانت أعلى من ذلك بكثير). لكن أهمية هذه النتيجة والنتائج المماثلة من دراسات أخرى في السنوات الفاصلة لا تكمن في جعل طلاب الرياضيات يشعرون بتحسن ولكن في العواقب الكارثية المحتملة التي قد تترتب على رعاية المرضى. إذا اعتقد الطبيب أن احتمالية أن تكون نتيجة الاختبار الإيجابية تضمن تقريبًا إصابة المريض بمرض ، فقد يبدأ نظام علاج غير ضروري وربما ضار على مريض سليم. أو أسوأ من ذلك ، كما في الأيام الأولى لأزمة الإيدز عندما كان يُعادل الإصابة بفيروس نقص المناعة البشرية في كثير من الأحيان بعقوبة الإعدام ، فقد يتخذ المريض إجراءً صارمًا وينتحر.

كما رأينا في هذا المثال الافتراضي ، فإن المسار الأكثر مسؤولية في علاج مريض كانت نتيجة اختباره إيجابية هو تقديم المشورة للمريض على الأرجح. ليس لديك المرض وطلب المزيد من الاختبارات الموثوقة للتحقق من التشخيص.

أحد الأسباب التي أدت إلى ضعف أداء الأطباء وطلاب الطب في الدراسة هو أن مثل هذه المشكلات ، عند تقديمها في أنواع دورات الإحصاء التي غالبًا ما يأخذها طلاب الطب ، يتم حلها باستخدام نظرية بايز ، والتي يتم ذكرها على النحو التالي:

مبرهنة بايز

(P (A | B) = frac {P (A) P (B | A)} {P (A) P (B | A) + P ( bar {A}) P (B | bar { أ})})

في مثالنا السابق ، هذا يترجم إلى

(P ( text {المرض} | text {إيجابي}) = frac {P ( text {المرض}) P ( text {إيجابي} | text {المرض})} {P ( text {المرض }) ف ( نص {إيجابي} | نص {مرض}) + ف ( نص {لا مرض}) ف ( نص {إيجابي} | نص {لا مرض})} )

بالتعويض في الأرقام يعطي

(P ( text {المرض} | text {إيجابي}) = frac {(0.001) (1)} {(0.001) (1) + (0.999) (0.05)} حوالي 0.0196 )

وهي الإجابة نفسها تمامًا مثل الحل الأصلي.

تكمن المشكلة في أنك (أو طالب الطب النموذجي ، أو حتى أستاذ الرياضيات النموذجي) من المرجح أن تكون قادرًا على تذكر الحل الأصلي أكثر من تذكر نظرية بايز. علماء النفس ، مثل جيرد جيجرينزر ، مؤلف كتاب المخاطر المحسوبة: كيف تعرف متى تخدعك الأرقام، قد دعا إلى استخدام الطريقة المتضمنة في الحل الأصلي (والتي يسميها Gigerenzer طريقة "الترددات الطبيعية") بدلاً من نظرية بايز. أجرى Gigerenzer دراسة ووجد أن أولئك الذين تعلموا في طريقة التردد الطبيعي كانوا قادرين على تذكرها لفترة أطول بكثير من أولئك الذين تعلموا نظرية بايز. عندما ينظر المرء إلى عواقب الحياة والموت المحتملة المرتبطة بمثل هذه الحسابات ، يبدو من الحكمة مراعاة نصيحته.

المثال 20

تصل نسبة الإصابة بمرض معين إلى 2٪. إذا كان المعدل السلبي الخاطئ 10٪ والمعدل الإيجابي الخاطئ 1٪ ، احسب احتمال إصابة الشخص الذي ثبتت صحته بالفعل بالمرض.

المحلول

تخيل 10000 شخص تم اختبارهم. ومن بين هؤلاء 10000 ، 200 سيصابون بالمرض ؛ 10 ٪ منهم ، أو 20 ، سيختبرون سلبيًا وستكون نتيجة اختبار الـ 180 المتبقية إيجابية. من بين 9800 شخص لا يعانون من المرض ، ستظهر نتيجة اختبار 98 إيجابية. لذلك من بين إجمالي 278 شخصًا ثبتت إصابتهم بالفيروس ، سيصاب 180 بالمرض. هكذا

(P ( text {المرض} | text {إيجابي}) = frac {180} {278} almost 0.647 )

لذلك حوالي 65٪ من الأشخاص الذين ثبتت إصابتهم بالمرض سيصابون بالمرض

يؤدي استخدام نظرية بايز مباشرة إلى نفس النتيجة:

(P ( text {المرض} | text {إيجابي}) = frac {(0.02) (0.90)} {(0.02) (0.90) + (0.98) (0.01)} = frac {0.018} {0.0278 } تقريبًا 0.647 )

جربه الآن 5

يبلغ معدل الإصابة بمرض معين 0.5٪. إذا لم تكن هناك سلبيات خاطئة وكان المعدل الإيجابي الخاطئ 3٪ ، احسب احتمال إصابة الشخص الذي ثبتت صحته بالفعل بالمرض.

إجابه

من بين 100000 شخص ، سيكون 500 مصابين بالمرض. من بين هؤلاء ، سيكون اختبار كل 500 شخصًا إيجابيًا. من بين 99500 غير مصابين بالمرض ، سيكون اختبار 2985 اختبارًا إيجابيًا ، بينما سيكون اختبار 96515 الآخر سلبيًا.

( mathrm {P} ( text {المرض} | text {إيجابي}) = frac {500} {500 + 2985} = frac {500} {3485} almost 14.3 ٪ )


أسئلة وأجوبة المقابلة الخاصة بإحصاءات بايزي

تعد إحصائيات بايز من أكثر الاكتشافات المفيدة في الاحتمالات والإحصاءات. لقد أدى تطوير نظرية القرار هذه إلى زيادة هائلة في قوة اتخاذ القرار وحل العديد من المشكلات التي تواجهها الإحصاءات المتكررة.

غالبًا ما تذهب نظرية بايز في إحصائيات بايز بأسماء مختلفة مثل الإحصاء اللاحق أو الاحتمال العكسي أو الاحتمال المنقح.

على الرغم من أن تطوير طريقة بايز قد قسم علماء البيانات إلى مجموعتين - البايزيين والمتكررين ، إلا أن أهمية نظرية بايز لا مثيل لها. في بعض الحالات غير المؤكدة ، & # 8217s لا يمكن التوصل إلى نتيجة بدون بايزي.

وبالتالي ، إذا كنت تتطلع إلى أن تصبح عالم بيانات أو مهندس تعلم آلي أو مهندس بيانات ، فإن إحصائيات بايز هي مفهوم مهم يجب تعلمه. معرفة ما هي إحصائيات بايز ، وكيف تعمل ، وجميع الجوانب الأساسية للموضوع هي المفتاح لمسح عملية المقابلة.

لذلك ، أنشأنا & # 8217 دليلًا بسيطًا يحتوي على أسئلة المقابلة الحاسمة بناءً على نظرية بايز . ادرس بإيجاز هذه الأسئلة والأجوبة لتحقق أداءً جيدًا في مقابلة التعلم الآلي الخاصة بك.


محتويات

تم ذكر نظرية بايز رياضيًا على أنها المعادلة التالية: [3]

تحرير الإثبات

للأحداث تحرير

يمكن اشتقاق نظرية بايز من تعريف الاحتمال الشرطي:

حيث الفوسفور (A ∩ B) هو الاحتمال المشترك لكل من A و B أن يكونا صحيحين. لان

من أجل المتغيرات العشوائية المستمرة ، قم بتحرير

لاثنين من المتغيرات العشوائية المستمرة X و ص، يمكن اشتقاق نظرية بايز بشكل مشابه من تعريف الكثافة الشرطية:

اختبار المخدرات تحرير

لنفترض أن اختبارًا معينًا لمعرفة ما إذا كان شخص ما يستخدم القنب هو اختبار حساس بنسبة 90 ٪ ، مما يعني أن المعدل الإيجابي الحقيقي (TPR) = 0.90. لذلك يؤدي إلى 90٪ من النتائج الإيجابية الحقيقية (التحديد الصحيح لتعاطي المخدرات) لمتعاطي القنب.

الاختبار أيضًا محدد بنسبة 80٪ ، مما يعني أن المعدل السلبي الحقيقي (TNR) = 0.80. لذلك ، يحدد الاختبار بشكل صحيح 80٪ من حالات عدم الاستخدام لغير المستخدمين ، ولكنه يولد أيضًا 20٪ إيجابيات زائفة ، أو معدل إيجابي خاطئ (FPR) = 0.20 ، لغير المستخدمين.

بافتراض انتشار 0.05 ، أي 5 ٪ من الناس يستخدمون القنب ، ما هو احتمال أن يكون الشخص العشوائي الذي ثبتت صحته هو بالفعل متعاطي للقنب؟

القيمة التنبؤية الإيجابية (PPV) للاختبار هي نسبة الأشخاص الموجبة بالفعل من بين جميع الذين ثبتت إصابتهم ، ويمكن حسابها من عينة على النحو التالي:

PPV = إيجابي حقيقي / تم اختباره إيجابيًا

حقيقة أن P (إيجابي) = P (إيجابي Positive مستخدم) P (مستخدم) + P (إيجابي ∣ غير مستخدم) P (غير مستخدم) >) = P (< text> منتصف < نص>) ف (<نص>) + P (< text> منتصف < نص>) ف (<نص>)> هو تطبيق مباشر لقانون إجمالي الاحتمالات. في هذه الحالة ، ينص على أن احتمال أن يكون اختبار شخص ما إيجابيًا هو احتمال أن يكون اختبار المستخدم إيجابيًا ، ويضاعف احتمالية كونه مستخدمًا ، بالإضافة إلى احتمال أن يكون اختبار غير المستخدم إيجابيًا ، ويضاعف احتمالية كونه غير مستخدم. .

هذا صحيح لأن تصنيفات المستخدم وغير المستخدم يشكلان قسمًا من مجموعة ، أي مجموعة الأشخاص الذين يجرون اختبار المخدرات. هذا مقترنًا بتعريف الاحتمال الشرطي ينتج عنه البيان أعلاه.

حتى إذا كانت نتيجة اختبار شخص ما إيجابية ، فإن احتمال أن يكون مستخدمًا للقنب هو 19 ٪ فقط ، لأن 5 ٪ فقط من الناس في هذه المجموعة هم من المستخدمين ، ومعظم الإيجابيات هي إيجابيات خاطئة تأتي من 95 ٪ المتبقية.

إذا تم اختبار 1000 شخص:

  • 950 من غير المستخدمين و 190 منهم أعطوا إيجابية خاطئة (0.20 × 950)
  • 50 منهم مستخدمون و 45 منهم أعطوا إيجابية حقيقية (0.90 × 50)

وبالتالي ، فإن الأشخاص الألف قد أسفروا عن 235 اختبارًا إيجابيًا ، منهم 45 فقط متعاطي مخدرات حقيقيين ، أي حوالي 19٪ انظر الشكل 1 للحصول على رسم توضيحي باستخدام مربع تردد ، ولاحظ مدى صغر المنطقة الوردية للإيجابيات الحقيقية مقارنة بالمنطقة الزرقاء للإيجابيات الكاذبة.

تعديل الحساسية أو الخصوصية

يمكن ملاحظة أهمية الخصوصية من خلال إظهار أنه حتى إذا تم رفع الحساسية إلى 100٪ وظلت النوعية عند 80٪ ، فإن احتمال اختبار شخص ما إيجابيًا لكونه مستخدمًا للقنب يرتفع فقط من 19٪ إلى 21٪ ، ولكن إذا كانت الحساسية عقد بنسبة 90٪ وزيادة الخصوصية إلى 95٪ ، يرتفع الاحتمال إلى 49٪.

تعديل معدل السرطان

حتى لو كان 100 ٪ من مرضى سرطان البنكرياس يعانون من أعراض معينة ، فعندما يكون لدى شخص ما نفس الأعراض ، فهذا لا يعني أن هذا الشخص لديه فرصة 100 ٪ للإصابة بسرطان البنكرياس. افترض أن معدل الإصابة بسرطان البنكرياس هو 1/100000 ، في حين أن 10/100000 فرد يتمتعون بصحة جيدة لديهم نفس الأعراض في جميع أنحاء العالم ، فإن احتمال الإصابة بسرطان البنكرياس بالنظر إلى الأعراض هو 9.1٪ فقط ، ويمكن أن تكون النسبة المتبقية 90.9٪ "إيجابية خاطئة" ( أي ، قيل خطأً أن السرطان "إيجابي" هو مصطلح محير عندما ، كما هو الحال هنا ، يعطي الاختبار أخبارًا سيئة).

بناءً على معدل الإصابة ، يعرض الجدول التالي الأرقام المقابلة لكل 100000 شخص.

والتي يمكن استخدامها بعد ذلك لحساب احتمالية الإصابة بالسرطان عندما تكون لديك الأعراض:

تعديل معدل العنصر المعيب

ينتج المصنع عنصرًا باستخدام ثلاث آلات - A و B و C - والتي تمثل 20٪ و 30٪ و 50٪ من إنتاجه على التوالي. من العناصر التي تنتجها الماكينة أ ، 5٪ معيبة بالمثل ، 3٪ من عناصر الآلة ب و 1٪ من الآلة ج معيبة. إذا كان عنصر تم اختياره عشوائيًا معيبًا ، فما هو احتمال إنتاجه بواسطة الجهاز C؟

مرة أخرى ، يمكن الوصول إلى الإجابة دون استخدام الصيغة عن طريق تطبيق الشروط على عدد افتراضي من الحالات. على سبيل المثال ، إذا كان المصنع ينتج 1000 عنصر ، فسيتم إنتاج 200 بواسطة الماكينة أ ، و 300 بواسطة الماكينة ب ، و 500 بواسطة الماكينة ج. ستنتج الآلة أ 5٪ × 200 = 10 عناصر معيبة ، والآلة ب 3٪ × 300 = 9 ، والآلة C 1٪ × 500 = 5 ، بإجمالي 24. وبالتالي ، فإن احتمال إنتاج عنصر معيب تم اختياره عشوائيًا بواسطة الآلة C هو 5/24 (

يمكن أيضًا حل هذه المشكلة باستخدام نظرية بايز: Let Xأنا تشير إلى الحدث الذي تم فيه إنشاء عنصر تم اختياره عشوائيًا بواسطة أنا الجهاز (لـ أنا = أ ، ب ، ج). يترك ص يشير إلى الحدث الذي يكون فيه العنصر المختار عشوائيًا معيبًا. بعد ذلك ، يتم تزويدنا بالمعلومات التالية:

إذا تم تصنيع العنصر بواسطة الجهاز الأول ، فإن احتمال أن يكون معيبًا هو 0.05 أي ، ص(ص | Xأ) = 0.05. بشكل عام ، لدينا

للإجابة على السؤال الأصلي ، نجد أولاً ص(ص). يمكن القيام بذلك بالطريقة التالية:

وبالتالي ، فإن 2.4٪ من الناتج الإجمالي معيب.

لقد أعطينا ذلك ص حدث ، ونريد حساب الاحتمال الشرطي لـ Xج. بواسطة نظرية بايز ،

بالنظر إلى أن العنصر معيب ، فإن احتمال أن يكون قد تم صنعه بواسطة الآلة C هو 5/24. على الرغم من أن الآلة C تنتج نصف الناتج الإجمالي ، إلا أنها تنتج جزءًا أصغر بكثير من العناصر المعيبة. ومن ثم فإن معرفة أن العنصر المحدد كان معيبًا يتيح لنا استبدال الاحتمال السابق ص(Xج) = 1/2 بالاحتمال الخلفي الأصغر ص(Xج | ص) = 5/24.

يعتمد تفسير قاعدة بايز على تفسير الاحتمالية المنسوبة للمصطلحات. يتم وصف التفسيران الرئيسيين أدناه. يوضح الشكل 2 تصورًا هندسيًا مشابهًا للشكل 1. لقد دفع جيرد جيجرينزر والمؤلفون المشاركون بقوة لتدريس قاعدة بايز بهذه الطريقة ، مع التركيز بشكل خاص على تعليمها للأطباء. [4] من الأمثلة على ذلك صفحة ويل كورت على الويب ، "نظرية بايز مع ليغو" ، والتي تحولت لاحقًا إلى الكتاب ، إحصائيات بايز الطريقة الممتعة: فهم الإحصائيات والاحتمالات باستخدام Star Wars و LEGO والبط المطاطي. وجد Zhu و Gigerenzer في عام 2006 أنه في حين أن 0٪ من طلاب الصف الرابع والخامس والسادس يمكنهم حل المشكلات الكلامية بعد أن يتم تدريسهم باستخدام الصيغ ، فإن 19٪ و 39٪ و 53٪ يمكنهم بعد أن يتم تدريسهم باستخدام مربعات التردد ، وأن التعلم كانت إما شاملة أو صفر. [5]

تحرير تفسير بايزي

في التفسير البايزي (أو المعرفي) ، يقيس الاحتمال "درجة الإيمان". تربط نظرية بايز درجة الاعتقاد في الاقتراح قبل وبعد تفسير الأدلة. على سبيل المثال ، افترض أنه يُعتقد بنسبة يقين بنسبة 50٪ أن احتمالية هبوط العملة المعدنية ضعف احتمال هبوطها عن ذيولها. إذا تم قلب العملة عدة مرات ولاحظت النتائج ، فمن المحتمل أن ترتفع درجة الاعتقاد هذه أو تنخفض ، ولكنها قد تظل كما هي ، اعتمادًا على النتائج. للاقتراح أ والأدلة ب,

  • ص (أ)، ال قبل، هي الدرجة الأولية للاعتقاد في أ.
  • ص (أ | ب)، ال اللاحق، هي درجة الاعتقاد بعد تضمين الأخبار التي ب صحيح.
  • الحاصل ص(ب | أ) / ص(ب) يمثل الدعم ب ينص على أ.

لمزيد من المعلومات حول تطبيق نظرية بايز في ظل تفسير بايز للاحتمال ، انظر الاستدلال البايزي.

كثرة التفسير تحرير

في التفسير المتكرر ، يقيس الاحتمال "نسبة النتائج". على سبيل المثال ، افترض أنه تم إجراء تجربة عدة مرات. ص(أ) هي نسبة النتائج مع الملكية أ (السابق) و ص(ب) هي النسبة مع الملكية ب. ص(ب | أ) هي نسبة النتائج مع الملكية ب بعيدا عن المكان النتائج مع الملكية أ، و ص(أ | ب) هي نسبة من لديهم أ بعيدا عن المكان هؤلاء مع ب (اللاحق).

من الأفضل تصور دور نظرية بايز باستخدام المخططات الشجرية مثل الشكل 3. يقسم المخططان نفس النتائج بواسطة أ و ب في أوامر معاكسة ، للحصول على الاحتمالات العكسية. تربط نظرية بايز بين الأقسام المختلفة.

مثال تحرير

يكتشف عالم الحشرات ما قد يكون ، بسبب النمط الموجود على ظهره ، نوعًا فرعيًا نادرًا من الخنفساء. 98٪ كاملة من أعضاء السلالات النادرة لديها هذا النمط ، لذلك ص(نمط | نادر) = 98٪. 5٪ فقط من أعضاء السلالات المشتركة لديهم هذا النمط. السلالات النادرة هي 0.1٪ من مجموع السكان. ما مدى احتمال أن تكون الخنفساء ذات النمط نادرًا: ما هو ص(نادر | نمط)؟

من الشكل الممتد لنظرية بايز (حيث أن أي خنفساء إما نادرة أو شائعة) ،

تحرير الأحداث

تحرير النموذج البسيط

للأحداث أ و ب، بشرط ص(ب) ≠ 0,

في العديد من التطبيقات ، على سبيل المثال في الاستدلال البايزي ، الحدث ب تم إصلاحه في المناقشة ، ونرغب في النظر في تأثير ملاحظته على إيماننا بالعديد من الأحداث المحتملة أ. في مثل هذه الحالة ، يكون مقام التعبير الأخير ، احتمال الدليل المعطى ب، تم إصلاح ما نريد تغييره أ. ثم توضح نظرية بايز أن الاحتمالات اللاحقة متناسبة مع البسط ، وبالتالي تصبح المعادلة الأخيرة:

في الكلمات ، اللاحق يتناسب مع الأوقات السابقة الاحتمالية. [6]

إذا كانت الأحداث أ1, أ2و. حصرية وشاملة للطرفين ، أي أن أحدهما سيحدث بالتأكيد ولكن لا يمكن أن يحدث اثنان معًا ، يمكننا تحديد ثابت التناسب باستخدام حقيقة أن احتمالاتهم يجب أن تصل إلى واحد. على سبيل المثال ، لحدث معين أ، الحدث أ نفسها ومكملتها ¬أ حصرية وشاملة. دلالة على ثابت التناسب ب ج لدينا

بإضافة هاتين الصيغتين نستنتج ذلك

1 = ج ⋅ (الفوسفور (ب | أ) ⋅ الفوسفور (أ) + الفوسفور (ب | ¬ أ) ⋅ الفوسفور (¬ أ)) ،

تحرير النموذج البديل

شكل آخر من نظرية بايز لاثنين من العبارات أو الفرضيات المتنافسة هو:

للحصول على تفسير معرفي:

للاقتراح أ والأدلة أو الخلفية ب, [7]

  • الفوسفور (A) هو الاحتمال السابق ، الدرجة الأولية للاعتقاد أ.
  • الفوسفور (¬ A) هي الدرجة الأولية المقابلة للاعتقاد في لا أ، الذي - التي أ غير صحيح ، حيث P (¬ A) = 1 - P (A)
  • الفوسفور (B | A) هو الاحتمال أو الاحتمال الشرطي ، درجة الاعتقاد في ب بالنظر إلى هذا الاقتراح أ صحيح.
  • الفوسفور (B | ¬ A) هو الاحتمال أو الاحتمال الشرطي ، درجة الاعتقاد في ب بالنظر إلى هذا الاقتراح أ هو زائف.
  • الفوسفور (A | B) هو الاحتمال اللاحق ، احتمال أ بعد الاخذ بعين الاعتبار ب.

موسعة تحرير النموذج

في كثير من الأحيان ، بالنسبة لبعض الأقسام <أي> من مساحة العينة ، يتم إعطاء مساحة الحدث من حيث ص(أي) و ص(ب | أي). ومن ثم فمن المفيد أن تحسب ص(ب) باستخدام قانون الاحتمال الكلي:

في حالة خاصة حيث أ هو متغير ثنائي:

المتغيرات العشوائية تحرير

ضع في اعتبارك مساحة عينة تم إنشاؤها بواسطة متغيرين عشوائيين X و ص. من حيث المبدأ ، تنطبق نظرية بايز على الأحداث أ = <X = x> و ب = <ص = ذ>.

ومع ذلك ، تصبح المصطلحات 0 عند النقاط التي يكون فيها لكل متغير كثافة احتمالية محدودة. لتبقى مفيدة ، يجب صياغة نظرية بايز من حيث الكثافات ذات الصلة (انظر الاشتقاق).

تحرير النموذج البسيط

لو X مستمر و ص منفصل ،

لو X منفصل و ص مستمر ،

إذا كان كل من X و ص مستمرة ،

موسعة تحرير النموذج

غالبًا ما يتم تصور مساحة الحدث المستمر من حيث مصطلحات البسط. من المفيد بعد ذلك حذف المقام باستخدام قانون الاحتمال الكلي. إلى عن على Fص(ذ) ، يصبح هذا جزءًا لا يتجزأ:

تعديل قاعدة بايز

يسمى عامل بايز أو نسبة الاحتمالية. الاحتمالات بين حدثين هي ببساطة نسبة احتمالات الحدثين. هكذا

وبالتالي ، تنص القاعدة على أن الاحتمالات اللاحقة هي أوقات الاحتمالات السابقة لعامل بايز ، أو بعبارة أخرى ، يتناسب اللاحق مع الأوقات السابقة الاحتمالية.

تحرير المنطق الإقتراحي

تمثل نظرية بايز تعميمًا للمعارضة التي يمكن التعبير عنها في المنطق الافتراضي على النحو التالي:

الصيغة المقابلة من حيث حساب الاحتمالات هي نظرية بايز التي يتم التعبير عنها في شكلها الموسع على النحو التالي:

تحرير المنطق الذاتي

تمثل نظرية بايز حالة خاصة من الانعكاس الشرطي في المنطق الذاتي معبرًا عنها على النحو التالي:

¬ B S) = (ω B ∣ A S ، ω B ∣ ¬ A S) ϕ

ومن ثم ، فإن نظرية بايز الذاتية تمثل تعميمًا لنظرية بايز. [9]

نسخة مشروطة تحرير

تنتج نسخة مشروطة من نظرية بايز [10] من إضافة حدث ثالث C < displaystyle C> حيث تكون جميع الاحتمالات مشروطة:

تحرير الاشتقاق

الفوسفور (A ∩ B ∩ C) = الفوسفور (A ∣ B ∩ C) الفوسفور (B ∣ C) الفوسفور (C)

الفوسفور (A ∩ B ∩ C) = الفوسفور (B ∩ A ∩ C) = الفوسفور (B ∣ A ∩ C) الفوسفور (A ∣ C) الفوسفور (C)

يتم الحصول على النتيجة المرجوة من خلال تحديد كل من التعبيرات وحل الفوسفور (أ ∣ ب ∩ ج) .

قاعدة بايز مع 3 أحداث تحرير

في حالة وجود 3 أحداث - A و B و C - يمكن إظهار ما يلي:

تمت تسمية نظرية بايز على اسم القس توماس بايز (/ b eɪ z / c.1701 - 1761) ، الذي استخدم لأول مرة الاحتمال الشرطي لتوفير خوارزمية (اقتراحه 9) الذي يستخدم الدليل لحساب الحدود على معلمة غير معروفة ، تم نشره على أنه مقال تجاه حل مشكلة في عقيدة الفرص (1763). درس كيفية حساب التوزيع لمعلمة الاحتمال للتوزيع ذي الحدين (في المصطلحات الحديثة). عند وفاة بايز ، نقلت عائلته أوراقه إلى صديقه القديم ، ريتشارد برايس (1723 - 1791) الذي قام على مدى عامين بتحرير المخطوطة غير المنشورة بشكل كبير ، قبل إرسالها إلى صديق قرأها بصوت عالٍ في الجمعية الملكية في 23 ديسمبر 1763. [1] [ الصفحة المطلوبة ] تحرير برايس [12] عمل بايز الرئيسي "مقال نحو حل مشكلة في عقيدة الفرص" (1763) ، والذي ظهر في المعاملات الفلسفية، [13] ويحتوي على نظرية بايز. كتب برايس مقدمة للورقة تقدم بعض الأسس الفلسفية لإحصاءات بايز واختار أحد الحلين اللذين قدمهما بايز. في عام 1765 ، تم انتخاب برايس زميلًا في الجمعية الملكية تقديراً لعمله على إرث بايز. [14] [15] في 27 أبريل ، تمت قراءة رسالة مرسلة إلى صديقه بنجامين فرانكلين في الجمعية الملكية ، وتم نشرها لاحقًا ، حيث يطبق برايس هذا العمل على السكان وحساب "المعاشات السنوية". [16]

بشكل مستقل عن بايز ، بيير سيمون لابلاس في عام 1774 ، ولاحقًا في عام 1812 Théorie analytique des probabilités، استخدم الاحتمال الشرطي لصياغة علاقة الاحتمال اللاحق المحدث من الاحتمال السابق ، الدليل المعطى. أعاد إنتاج ووسع نتائج بايز في عام 1774 ، على ما يبدو غير مدرك لعمل بايز. [الملاحظة 1] [17] تم تطوير التفسير البايزي للاحتمال بشكل أساسي بواسطة لابلاس. [18]

وضع السير هارولد جيفريز خوارزمية بايز وصياغة لابلاس على أساس بديهي ، وكتب أن نظرية بايز "بالنسبة لنظرية الاحتمال ما هي نظرية فيثاغورس للهندسة". [19]

استخدم ستيفن ستيجلر حجة بايز لاستنتاج أن نظرية بايز قد اكتشفها نيكولاس سوندرسون ، عالم رياضيات إنجليزي كفيف ، قبل فترة من الزمن قبل بايز [20] [21] هذا التفسير ، مع ذلك ، كان محل خلاف. [22] مارتن هوبر [23] وشارون ماكغرين [24] جادلوا بأن مساهمة ريتشارد برايس كانت كبيرة:

بالمعايير الحديثة ، يجب أن نشير إلى قاعدة Bayes – Price. اكتشف برايس عمل بايز ، وأدرك أهميته ، وصححه ، وساهم في المقال ، ووجد فائدة له. إن العرف الحديث المتمثل في استخدام اسم بايز وحده غير عادل ولكنه راسخ لدرجة أن أي شيء آخر لا معنى له. [24]

في علم الوراثة ، يمكن استخدام نظرية بايز لحساب احتمال أن يكون لدى الفرد نمط وراثي معين. يسعى العديد من الأشخاص لتقريب فرص تأثرهم بمرض وراثي أو احتمال أن يكونوا حاملين للجين المتنحي محل الاهتمام. يمكن إجراء تحليل بايز بناءً على تاريخ العائلة أو الاختبارات الجينية ، من أجل التنبؤ بما إذا كان الفرد سيصاب بمرض أو سينقل مرضًا إلى أطفاله. يعد الاختبار والتنبؤ الجيني ممارسة شائعة بين الأزواج الذين يخططون لإنجاب أطفال ولكنهم قلقون من أن كلاهما قد يكون حاملاً لمرض ما ، خاصةً داخل المجتمعات ذات التباين الوراثي المنخفض. [ بحاجة لمصدر ]

تتمثل الخطوة الأولى في تحليل بايزي للوراثة في اقتراح فرضيات متنافية لبعضها البعض: بالنسبة لأليل معين ، يكون الفرد حاملًا أو لا يكون كذلك. بعد ذلك ، يتم حساب أربعة احتمالات: الاحتمال المسبق (احتمالية كل فرضية بالنظر إلى المعلومات مثل تاريخ العائلة أو التنبؤات بناءً على الوراثة المندلية) ، والاحتمال الشرطي (لنتيجة معينة) ، والاحتمال المشترك (ناتج أول اثنين) ، والاحتمالية اللاحقة الاحتمالية (منتج مرجح محسوب بقسمة الاحتمال المشترك لكل فرضية على مجموع الاحتمالين المشتركين). يمكن إجراء هذا النوع من التحليل بناءً على التاريخ العائلي للحالة أو بالتنسيق مع الاختبارات الجينية. [ بحاجة لمصدر ]

باستخدام النسب لحساب الاحتمالات تحرير

فرضية الفرضية 1: المريض ناقل الفرضية 2: المريض ليس ناقلًا
احتمال مسبق 1/2 1/2
الاحتمال الشرطي بأن النسل الأربعة لن يتأثر (1/2) · (1/2) · (1/2) · (1/2) = 1/16 حوالي 1
الاحتمال المشترك (1/2) · (1/16) = 1/32 (1/2) · 1 = 1/2
الاحتمال المعاكس (1/32) / (1/32 + 1/2) = 1/17 (1/2) / (1/32 + 1/2) = 16/17

مثال على جدول تحليل بايزي لخطر إصابة الفرد بمرض ما بناءً على معرفة أن المرض موجود في أشقائها ولكن ليس في والديها أو أي من أطفالها الأربعة. بناءً على حالة أشقاء الموضوع ووالديه فقط ، من المحتمل أيضًا أن تكون ناقلًا لأنها ليست حاملة (يتم الإشارة إلى هذا الاحتمال بواسطة الفرضية السابقة). ومع ذلك ، فإن احتمال عدم تأثر جميع الأبناء الأربعة للموضوع هو 1/16 (½ · ½ · ½ · ½) إذا كانت شركة نقل ، حوالي 1 إذا كانت غير شركة نقل (هذا هو الاحتمال الشرطي). يوفق الاحتمال المشترك بين هذين التنبؤين بضربهما معًا. يتم حساب السطر الأخير (الاحتمال الخلفي) بقسمة الاحتمال المشترك لكل فرضية على مجموع الاحتمالين المشتركين. [25]

باستخدام نتائج الاختبار الجيني تحرير

يمكن للاختبار الوراثي للوالدين اكتشاف حوالي 90٪ من الأليلات المرضية المعروفة لدى الآباء والتي يمكن أن تؤدي إلى حالة حامل أو إصابة طفلهم. التليف الكيسي هو مرض وراثي ناتج عن طفرة وراثية متنحية على جين CFTR ، [26] الموجود على ذراع q للكروموسوم 7. [27]

تحليل بايزي لمريضة لديها تاريخ عائلي للإصابة بالتليف الكيسي (CF) ، والتي كانت نتيجة اختبارها سلبية للتليف الكيسي ، مما يوضح كيف تم استخدام هذه الطريقة لتحديد خطر ولادة طفل مصاب بالتليف الكيسي:

لأن المريضة غير متأثرة ، فهي إما متماثلة اللواقح للأليل من النوع البري ، أو متغايرة الزيجوت. لتحديد الاحتمالات السابقة ، يتم استخدام مربع Punnett ، بناءً على معرفة أن أيًا من الوالدين لم يتأثر بالمرض ولكن كلاهما كان من الممكن أن يكون حاملًا:

متماثل الزيجوت للبرية-
اكتب أليل (غير ناقل)

متغاير الزيجوت (ناقل CF)

متماثل الزيجوت للبرية-
اكتب أليل (غير ناقل)

متغاير الزيجوت (ناقل CF)

(تتأثر بالتليف الكيسي)

بالنظر إلى أن المريض لم يتأثر ، هناك ثلاثة احتمالات فقط. ضمن هذه الثلاثة ، هناك سيناريوهان يحمل فيه المريض الأليل الطافر. وبالتالي فإن الاحتمالات السابقة هي ⅔ و.

بعد ذلك ، يخضع المريض لاختبارات وراثية واختبارات سلبية للتليف الكيسي. يحتوي هذا الاختبار على معدل اكتشاف 90٪ ، لذا فإن الاحتمالات الشرطية للاختبار السلبي هي 1/10 و 1. أخيرًا ، يتم حساب الاحتمالات المشتركة والخلفية كما في السابق.

فرضية الفرضية 1: المريض ناقل الفرضية 2: المريض ليس ناقلًا
احتمال مسبق 2/3 1/3
الاحتمال الشرطي للاختبار السلبي 1/10 1
الاحتمال المشترك 1/15 1/3
الاحتمال المعاكس 1/6 5/6

بعد إجراء نفس التحليل على الشريك الذكر للمريض (بنتيجة اختبار سلبية) ، تكون فرص إصابة طفلهم مساوية لمنتج الاحتمالات اللاحقة للوالدين لكونهما حاملات ضعف فرص إنتاج اثنين من الناقلات النسل المصاب (¼).

يتم إجراء الاختبارات الجينية بالتوازي مع تحديد عوامل الخطر الأخرى. يحرر

يمكن إجراء تحليل بايز باستخدام معلومات النمط الظاهري المرتبطة بحالة وراثية ، وعندما يقترن بالاختبار الجيني ، يصبح هذا التحليل أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال ، يمكن التعرف على التليف الكيسي في الجنين من خلال الموجات فوق الصوتية التي تبحث عن الأمعاء المولدة للصدى ، مما يعني أن الأمعاء تبدو أكثر إشراقًا من المعتاد في الفحص 2. هذا ليس اختبارًا مضمونًا ، حيث يمكن أن تكون الأمعاء المولدة للصدى موجودة في جنين يتمتع بصحة جيدة. يعتبر الاختبار الجيني للوالدين مؤثرًا جدًا في هذه الحالة ، حيث يمكن أن يكون للوجه المظهري تأثير مفرط في حساب الاحتمالات. في حالة الجنين المصاب بأمعاء مولدة للصدى ، مع أم تم اختبارها ومعروفة بأنها حاملة للتليف الكيسي ، فإن الاحتمال اللاحق أن يكون الجنين مصابًا بالفعل بالمرض يكون مرتفعًا للغاية (0.64). ومع ذلك ، بمجرد أن يختبر الأب سلبيًا من أجل التليف الكيسي ، ينخفض ​​الاحتمال اللاحق بشكل ملحوظ (إلى 0.16). [25]

يعد حساب عامل الخطر أداة قوية في الاستشارة الوراثية والتخطيط الإنجابي ، ولكن لا يمكن التعامل معه على أنه العامل الوحيد المهم الذي يجب مراعاته. كما هو مذكور أعلاه ، يمكن أن يؤدي الاختبار غير المكتمل إلى احتمال كبير كاذب لحالة الناقل ، وقد يتعذر الوصول إلى الاختبار من الناحية المالية أو يتعذر الوصول إليه في حالة عدم وجود أحد الوالدين.


11.2 نظرية بايز والاستدلال العكسي

The reason that Bayesian statistics has its name is because it takes advantage of Bayes’ theorem to make inferences from data about the underlying process that generated the data. Let’s say that we want to know whether a coin is fair. To test this, we flip the coin 10 times and come up with 7 heads. Before this test we were pretty sure that the (P_=0.5) , but finding 7 heads out of 10 flips would certainly give us pause if we believed that (P_=0.5) . We already know how to compute the conditional probability that we would flip 7 or more heads out of 10 if the coin is really fair ( (P(nge7|p_=0.5)) ), using the binomial distribution.

The resulting probability is 0.055. That is a fairly small number, but this number doesn’t really answer the question that we are asking – it is telling us about the likelihood of 7 or more heads given some particular probability of heads, whereas what we really want to know is the true probability of heads for this particular coin. This should sound familiar, as it’s exactly the situation that we were in with null hypothesis testing, which told us about the likelihood of data rather than the likelihood of hypotheses.

Remember that Bayes’ theorem provides us with the tool that we need to invert a conditional probability:

We can think of this theorem as having four parts:

  • prior ( (P(Hypothesis)) ): Our degree of belief about hypothesis H before seeing the data D
  • likelihood ( (P(Data|Hypothesis)) ): How likely are the observed data D under hypothesis H?
  • marginal likelihood ( (P(Data)) ): How likely are the observed data, combining over all possible hypotheses?
  • posterior ( (P(Hypothesis|Data)) ): Our updated belief about hypothesis H, given the data D

In the case of our coin-flipping example:

  • prior ( (P_) ): Our degree of belief about the likelhood of flipping heads, which was (P_=0.5)
  • likelihood ( (P( ext<7 or more heads out of 10 flips>|P_=0.5)) ): How likely are 7 or more heads out of 10 flips if (P_=0.5)) ?
  • marginal likelihood ( (P( ext<7 or more heads out of 10 flips>)) ): How likely are we to observe 7 heads out of 10 coin flips, in general?
  • posterior ( (P_| ext<7 or more heads out of 10 coin flips>)) ): Our updated belief about (P_) given the observed coin flips

Here we see one of the primary differences between frequentist and Bayesian statistics. Frequentists do not believe in the idea of a probability of a hypothesis (i.e. our degree of belief about a hypothesis) – for them, a hypothesis is either true or it isn’t. Another way to say this is that for the frequentist, the hypothesis is fixed and the data are random, which is why frequentist inference focuses on describing the probability of data given a hypothesis (i.e. the p-value). Bayesians, on the other hand, are comfortable making probability statements about both data and hypotheses.


Addition Law, Multiplication Law and Bayes Theorem

In this lesson we will look at some laws or formulas of probability: the Addition Law, the Multiplication Law and the Bayes&rsquo Theorem or Bayes&rsquo Rule.

The following diagram shows the Addition Rules for Probability: Mutually Exclusive Events and Non-Mutually Exclusive Events. Scroll down the page for more examples and solutions on using the Addition Rules.

Addition Law of Probability

The general law of addition is used to find the probability of the union of two events. The expression denotes the probability of X occurring or Y occurring or both X and Y occurring.

The Addition Law of Probability is given by

If the two events are mutually exclusive, the probability of the union of the two events is the probability of the first event plus the probability of the second event. Since mutually exclusive events do not intersect, nothing has to be subtracted.

If X and Y are mutually exclusive, then the addition law of probability is given by

Multiplication Law of Probability

The following diagram shows the Multiplication Rules for Probability (Independent and Dependent Events) and Bayes' Theorem. Scroll down the page for more examples and solutions on using the Multiplication Rules and Bayes' Theorem.

The probability of the intersection of two events is called joint probability.

The Multiplication Law of Probability is given by

The notation is the intersection of two events and it means that both X and Y must happen. denotes the probability of X occurring given that Y has occurred.

When two events X and Y are independent,

If X and Y are independent then the multiplication law of probability is given by

Bayes&rsquo Theorem or Bayes&rsquo Rule

The Bayes&rsquo Theorem was developed and named for Thomas Bayes (1702 &ndash 1761). Bayes&rsquo rule enables the statistician to make new and different applications using conditional probabilities. In particular, statisticians use Bayes&rsquo rule to &lsquorevise&rsquo probabilities in light of new information.

The Bayes&rsquo theorem is given by

Bayes&rsquo theorem can be derived from the multiplication law

Bayes&rsquo Theorem can also be written in different forms

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات.


When does Bayes’ Theorem help?

Let’s consider this problem.

A, B, C are the rating that a bank gives to its
borrowers. Let’s the probability of getting rated A, B, and C are as follows.

Some of the customers defaulted on their borrowings. 1%
of the customers who were rated A, 10% of the customers who were rated B and
18% of the customers who were rated C became defaulters.

If a customer who is a defaulter. What is the probability
that he was rated A?

We can show all the customers of the bank by a rectangle and designate the portion of the customer’s who are rated A, B and C respectively by sections which are named A, B, and C as below. Also, the circle represents the customers who are defaulters and is denoted by D.


12.4: Bayes Theorem

In example 17 we considered a diagnostic test, and the probability of the test detecting the disease in someone who has it. But diagnostic tests can sometimes produce ‘false positives’: a test may claim the presence of the disease in someone who does ليس have it. In these situations, we will want to know how likely it is someone has the disease, conditional on their test result.

A new diagnostic test has been developed for a particular disease. It is known that 0.1% of people in the population have the disease. The test will detect the disease in 95% of all people who really do have the disease. However, there is also the possibility of a “false positive” out of all people who do ليس have the disease, the test will claim they do in 2% of cases.

A person is chosen at random to take the test, and the result is “positive”. How likely is it that that person has the disease?

Theoremل. (Bayes’ theorem) Suppose we have a partition of $mathcal= < E_1,ldots ,E_n>$ of a sample space $S$. Then for any event $F$,

Note that we can calculate $P(F)$ via the law of total probability:

Using this we can write Bayes’ theorem as

This is often the most useful version in practice.

Note that if $E$ is a single event then $< E,ar> $ is a partition with $n=2$, so we get a special case of Bayes’ theorem,

In the context of Bayes’ theorem, we sometimes refer to $P(E_i)$ as the prior probability of $E_i$, and $P(E_i|F)$ as the posterior probability of $E_i$ given $F$. The prior probability states how likely we thought $E_i$ was before we knew that $F$ had occurred, and the posterior probability states how likely we think $E_i$ is بعد، بعدما we have learnt that $F$ has occurred.


Now,lets get back to our problem and try to solve it using Bayes’s Theorem
A = Probability of Bag 1
B = Probability of Black ball

P(A) = 1/2 = 0.5(Since there are two bags,probability of choosing Bag 1 is 1/2)
P(B|A) = 0.48 (Probability of black ball given bag1 #We have already solved this above)
P(B) = (24+40)/110 = 0.58 (Number of black balls in both the bags/Total number of balls in both the bags)

Thus,P(A|B) = 0.5 * 0.48 / 0.58 = 0.41

This example shows one application of Bayes Theorem.This theorem helps you to get one conditional probability from other.


Chapter 13 Class 12 Probability

Get NCERT solutions of all examples, exercises and Miscellaneous questions of Chapter 13 Class 12 Probability with detailed explanation. Formula sheet also available.

We started learning about Probability from Class 6,

we learned that Probability is Number of outcomes by Total Number of Outcomes.

In Class 11, we learned about Sample Space, Events, using Sets.

In this chapter, we will learn about

  • Conditional Probability - Finding probability of something when an event has already occurred. For example - finding probability of 4 coming in second throw of die if 6 has come in first throw. We also discuss its formula, properties and questions
  • Independent events - What is an independent event, and where is it used?
  • Multiplication rule of probability - We learn about dependent and independent events, and the multiplication rule for 2, or more than two events
  • Basic Probability - We solve questions using basic formula - Number of outcomes/Total Outcomes to find Probability, set theory, and permutation and combinations to find probability.
  • Theorem of total probability - We use the formula P(A) = P(B) P(A|B) + P(B') P(A|B')
  • Bayes theorem - Finding probability when an event has already happened
  • Random Variable - Writing random variable
  • Probability distribution - Finding probability distribution of random variable, and finding its mean (or expectation)
  • Variance and Standard Deviation of a Random Variable - Finding variance and standard deviation using probability distribution
  • Bernoulli Trials - Checking if an event is a Bernoulli trial
  • Binomial Distribution - For Bernoulli Trial, finding probability using Binomial Distribution

Check the chapter from different Concepts, starting from Basic to Advanced, or you can also refer to the exercises mentioned in the NCERT Book. Click on a topic below to start


شاهد الفيديو: الاحتمالات والإحصاء الرياضي. نظرية بيز Bayes Theorem. محاضرة 48 (شهر اكتوبر 2021).