مقالات

4: السلوك القريب من المسارات - الخطية


سنناقش الآن طريقة لتحليل الاستقرار تستخدم الخطية حول الكائن الذي يكون استقراره موضع اهتمام. في الوقت الحالي ، تعتبر "الأشياء محل الاهتمام" حلولًا محددة لحقل متجه. تمت تغطية بنية حلول أنظمة المعامل الثابت الخطي في العديد من الكتب المدرسية لـ ODE. كتاب أرنولد جيد جدًا أيضًا ، لكن العرض أكثر إحكاما ، مع عدد أقل من الأمثلة.

نبدأ بالنظر في مجال متجه عام غير مستقل:

[ dot {x} = f (x، t)، x in mathbb {R} ^ n، label {4.1} ]

ونفترض ذلك

[ bar {x} (t، t_ {0}، x_ {0})، label {4.2} ]

هو حل المعادلة المرجع {4.1} التي نرغب في تحديد خصائص ثباتها. كما هو الحال عندما قدمنا ​​تعريفات الاستقرار ، نواصل تعريب حقل المتجه حول حل الفائدة. نقوم بذلك عن طريق إدخال تغيير الإحداثيات

(س = ص + شريط {س} )

للمعادلة المرجع {4.1} على النحو التالي:

( dot {x} = dot {y} + dot { bar {x}} = f (y + bar {x}، t) ) ،

أو

( dot {y} = f (y + bar {x}، t) dot { bar {x}} ) ،

[= f (y + bar {x}، t) f ( bar {x}، t)، label {4.3} ]

حيث نحذف وسيطات ( bar {x} (t، t_ {0}، x_ {0}) ) من أجل تدوين أقل تعقيدًا. بعد ذلك ، قمنا بتوسيع تايلور (f (y + bar {x}، t) ) في (y ) حول الحل ( bar {x} ) ، لكننا سنطلب فقط مصطلحات الطلب الأولية بشكل صريح

[f (y + bar {x}، t) = f ( bar {x}، t) + Df ( bar {x}، t) y + mathbb {O} (| y | ^ 2)، التسمية {4.4} ]

حيث يشير (Df ) إلى المشتق (أي مصفوفة يعقوبية) للدالة ذات القيمة المتجهة f و ( mathbb {O} (| y | ^ 2) ) تشير إلى شروط الترتيب الأعلى في توسعة تايلور التي لن نحتاج إليها بشكل صريح. يؤدي استبدال هذا في المعادلة المرجع {4.4} إلى:

( النقطة {y} = f (y + bar {x}، t) - f ( bar {x}، t) ) ،

(= f ( bar {x}، t) + Df ( bar {x}، t) y + mathbb {O} (| y | ^ 2) f ( bar {x}، t) ) ،

[= Df ( bar {x}، t) y + mathbb {O} (| y | ^ 2). التسمية {4.5} ]

ضع في اعتبارك أننا مهتمون بسلوك الحلول بالقرب من ( bar {x} (t، t_ {0}، x_ {0}) ) ، أي لـ (y ) الصغيرة. لذلك ، في هذه الحالة ، يبدو من المعقول أن إهمال ( mathbb {O} (| y | ^ 2) ) في المعادلة المرجع {4.5} سيكون تقريبًا من شأنه أن يزودنا بالمعلومات المحددة التي نسعى إليها. على سبيل المثال ، هل ستوفر لنا معلومات كافية لتحديد الاستقرار؟ بخاصة،

[ dot {y} = Df ( bar {x}، t) y، label {4.6} ]

يشار إليه على أنه الخطية لحقل المتجه ( نقطة {x} = f (x، t) ) حول الحل ( bar {x} (t، t_ {0}، x_ {0}) ).

قبل أن نجيب على السؤال حول ما إذا كانت المعادلة المرجع {4.1} توفر تقريبًا مناسبًا لحلول المعادلة المرجع {4.5} لـ y "صغير" ، سنقوم أولاً بدراسة حقول المتجه الخطية بمفردها.

يمكن أيضًا تصنيف حقول المتجهات الخطية على أنها غير مستقل أو واثق من نفسه. يتم الحصول على حقول ناقلات خطية غير مستقلة عن طريق خطية مجال متجه غير مستقل حول حل (والاحتفاظ فقط بالمصطلحات الخطية). لديهم الشكل العام:

[ dot {y} = A (t) y، y (0) = y_ {0}، label {4.7} ]

أين

[A (t) equiv Df ( bar {x} (t، t_ {0}، x_ {0})، t) label {4.8} ]

هي (n times n ) مصفوفة. يمكن أيضًا الحصول عليها عن طريق خطية مجال ناقل مستقل حول حل يعتمد على الوقت.

يتم الحصول على حقل ناقل خطي مستقل عن طريق خطية مجال ناقل مستقل حول نقطة توازن. بتعبير أدق ، دع ( dot {x} = f (x) ) يشير إلى حقل متجه مستقل ودع (x = x_ {0} ) يشير إلى نقطة التوازن ، أي (f (x_ {0}) = 0 ). حقل المتجه الخطي المستقل حول نقطة التوازن هذه له الشكل:

[ dot {y} = Df (x_ {0}) y، y (0) = y_ {0}، label {4.9} ]

أو

[ dot {y} = نعم ، ص (0) = y_ {0} ، التسمية {4.10} ]

حيث (A equiv Df (x_ {0}) ) عبارة عن (n times n ) مصفوفة من الأرقام الحقيقية. هذا مهم لأنه يمكن حل (4.10) باستخدام تقنيات الجبر الخطي ، لكن المعادلة المرجع {4.7} ، بشكل عام ، لا يمكن حلها بهذه الطريقة. ومن ثم ، سوف نصف الآن الحل العام (4.10).

يتم الحصول على الحل العام للمعادلة المرجع {4.10} من خلال:

[y (t) = e ^ {At} y_ {0}. التسمية {4.11} ]

من أجل التحقق من أن هذا هو الحل ، نحتاج فقط إلى التبديل في الجانب الأيمن والجانب الأيسر من (4.10) وإظهار أن المساواة ثابتة. ومع ذلك ، نحتاج أولاً إلى شرح ما هو (e ^ {At} ) ، أي أسي (n times n ) المصفوفة A (بفحص المعادلة المرجع {4.11} يجب أن يكون واضحًا أنه إذا كانت المعادلة المرجع {4.11} يجب أن يكون منطقيًا رياضيًا ، إذن (e ^ {At} ) يجب أن يكون (n times n ) مصفوفة).

تمامًا مثل أسي العددي ، يتم تعريف الأسي للمصفوفة من خلال السلسلة الأسية على النحو التالي:

(e ^ {At} equiv mathbb {I} + At + frac {1} {2!} A ^ {2} t ^ {2} + ··· + frac {1} {n!} A ^ {n} t ^ {n} + cdots ) ​​،

[= sum_ {i = 0} ^ {n} frac {1} {i!} A ^ {i} t ^ {i}، label {4.12} ]

حيث يشير ( mathbb {I} ) إلى (n times n ) مصفوفة الهوية. لكن لا يزال يتعين علينا الإجابة على السؤال ، "هل هذه السلسلة الأسية التي تتضمن منتجات المصفوفات لها معنى رياضي"؟ بالتأكيد يمكننا حساب حاصل ضرب المصفوفات في العدد القياسي. لكن علينا أن نعطي معنى لمجموع لا نهائي من هذه الأشياء الرياضية. نقوم بذلك عن طريق تحديد قاعدة المصفوفة ثم النظر في تقارب السلسلة في القاعدة. عندما يتم ذلك فإن "مشكلة التقارب" هي بالضبط نفس مشكلة الأسي للعددي. لذلك ، فإن السلسلة الأسية لمصفوفة تتقارب تمامًا لجميع t ، وبالتالي يمكن تمييزها فيما يتعلق بـ t مصطلحًا تلو الآخر ، كما أن سلسلة المشتقات الناتجة تتقارب تمامًا.

بعد ذلك ، علينا أن نجادل في أن المعادلة ref {4.11} هي حل المعادلة ref {4.10}. إذا ميزنا السلسلة (4.12) حسب المصطلح ، نحصل على ما يلي:

[ frac {d} {dt} e ^ {At} = Ae ^ {At} = e ^ {At} A ، label {4.13} ]

حيث استخدمنا حقيقة أن المصفوفتين A و (e ^ {At} ) يتنقلان (من السهل استنتاج ذلك من حقيقة أن A يتنقل بأي قوة من A) ثم يتبع من هذا الحساب ما يلي:

[ dot {y} = frac {d} {dt} e ^ {At} y_ {0} = Ae ^ {At} y_ {0} = نعم. التسمية {4.14} ]

لذلك فإن المشكلة العامة لحل (4.10) تعادل الحوسبة (e ^ {At} ) ، ونحن الآن نوجه انتباهنا إلى هذه المهمة.

أولاً ، افترض أن (A ) عبارة عن مصفوفة قطرية ، على سبيل المثال

[A = begin {pmatrix} { lambda_ {1}} & {0} & { cdots} & {0} {0} & { lambda_ {2}} & { cdots} & {0 } {0} & {0} & { cdots} & {0} {0} & {0} & { cdots} & { lambda_ {n}} end {pmatrix} label {4.15 } ]

ثم من السهل رؤيتها عن طريق الاستبدال أ في السلسلة الأسية (4.12) أن:

[e ^ {At} = begin {pmatrix} {e ^ { lambda_ {1} t}} & {0} & { cdots} & {0} {0} & {e ^ { lambda_ {2} t}} & { cdots} & {0} {0} & {0} & { cdots} & {0} {0} & {0} & { cdots} & {e ^ { lambda} t} end {pmatrix} label {4.16} ]

لذلك ، ستكون استراتيجيتنا هي تحويل الإحداثيات بحيث يصبح A في الإحداثيات الجديدة قطريًا (أو "أقرب ما يمكن" من القطر ، وهو ما سنشرحه قريبًا). بعد ذلك ، سيكون من السهل حساب (e ^ {At} ) في هذه الإحداثيات. بمجرد أن يتم تحقيق ذلك ، فإننا نستخدم معكوس التحويل لتحويل الحل مرة أخرى إلى نظام الإحداثيات الأصلي.

الآن نجعل هذه الأفكار دقيقة. نحن نسمح

[y = Tu، u in mathbb {R} ^ n، y in mathbb {R} ^ n، label {4.17} ]

حيث T هي (n times n ) مصفوفة سيتم تطوير خصائصها الدقيقة في ما يلي.

هذا هو نهج نموذجي في ODE. نقترح تحويل إحداثيات عام لـ ODE ، ثم نقوم ببنائه بطريقة تعطي خصائص ODE التي نرغب فيها. استبدال (4.17) في (4.10) يعطي:

[ dot {y} = T dot {u} = Ay = ATu ، label {4.18} ]

سيتم إنشاء T بطريقة تجعلها قابلة للعكس ، بحيث يكون لدينا:

[ dot {u} = T ^ {- 1} ATu، u (0) = T ^ {- 1} y (0). التسمية {4.19} ]

لتبسيط التدوين ندع:

[T = T ^ {- 1} AT ، label {4.20} ]

أو

[A = T ^ {- 1} Lambda T. label {4.21} ]

استبدال (4.21) في سلسلة المصفوفة الأسية (4.12) يعطي:

(e ^ {At} = e ^ {T Lambda T ^ {- 1} t} ) ،

[= mathbb {1} + T Lambda T ^ {- 1} t + frac {1} {2!} (T Lambda T ^ {- 1}) ^ {2} t ^ 2 + cdots + frac {1} {n!} (T Lambda T ^ {- 1}) ^ {n} t ^ n + cdots label {4.22} ]

لاحظ الآن أنه لأي عدد صحيح موجب n لدينا:

((T Lambda T ^ {- 1}) ^ {n} = underbrace {(T Lambda T ^ {- 1}) (T Lambda T ^ {- 1}) cdots (T Lambda T ^ {- 1}) (T Lambda T ^ {- 1})} _ {n العوامل} )

[= T Lambda ^ {n} T ^ {- 1} label {4.23} ]

استبدال هذا في (4.22) يعطي:

(e ^ {At} = sum_ {n = 0} ^ { infty} frac {1} {n!} (T Lambda T ^ {- 1}) ^ {n} t ^ n ) ،

(= T ( sum_ {n = 0} ^ { infty} frac {1} {n!} Lambda ^ {n} t ^ n) T ^ {- 1} ) ،

[= Te ^ { Lambda t} T ^ {- 1} label {4.24} ]

أو

[e ^ {At} = Te ^ { Lambda t} T ^ {- 1} label {4.25} ]

الآن نصل إلى نتيجتنا الرئيسية. إذا تم إنشاء T بحيث

[ Lambda = T ^ {- 1} AT label {4.26} ]

قطري ، ثم يتبع من (4.16) و (4.25) أنه يمكن دائمًا حساب (e ^ {At} ). لذا تصبح مشكلة حل (4.10) مشكلة في الجبر الخطي. ولكن هل يمكن دائمًا تحديد قطري (n times n ) مصفوفة A عامة؟ إذا كان لديك دورة في الجبر الخطي ، فأنت تعلم أن الإجابة على هذا السؤال هي "لا". هناك نظرية (حقيقية) ستطبق هنا. ومع ذلك ، قد يأخذنا ذلك إلى تحويل كبير للغاية لهذه الدورة. بدلاً من ذلك ، سننظر في الحالات القياسية الثلاث لمصفوفات (2 مرات 2 ). سيكون ذلك كافياً لتقديم الأفكار الرئيسية دون التورط في الجبر الخطي. ومع ذلك ، لا يمكن تجنبه بالكامل. ستحتاج إلى أن تكون قادرًا على حساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفات (2 مرات 2 ) ، وفهم معناها.

تتميز الحالات الثلاث للمصفوفات (2 مرات 2 ) التي سننظر فيها بقيمها الذاتية:

  • اثنين من قيم eigenvalues ​​الحقيقية ، قطريًا A ،
  • قيمتان متطابقتان متطابقتان ، أ غير قابل للتحليل ،
  • زوج مترافق معقد من القيم الذاتية.

في الجدول أدناه ، نلخص الشكل الذي يمكن تحويل هذه المصفوفات إليه (يشار إليه باسم A) والأسي الناتج من هذا الشكل الأساسي.

بمجرد تنفيذ التحويل إلى ( Lambda ) ، سنستخدم هذه النتائج لاستنتاج (e ^ { Lambda} ).


4: السلوك القريب من المسارات - الخطية

يمكن تفسير المشكلة أدناه على أنها تصف تفاعل نوعين مع السكان x و ذ.

قم بتنفيذ الخطوات التالية:
(أ) ارسم مجال اتجاه ووصف كيف يبدو أن الحلول تتصرف.

(ب) أوجد النقاط الحرجة.

(ج) ابحث عن النظام الخطي المقابل لكل نقطة حرجة. ابحث عن قيم eigenvalues ​​والمتجهات الذاتية للنظام الخطي وصنف كل نقطة حرجة بالنسبة للكتابة ، وحدد ما إذا كانت مستقرة أو غير مستقرة بشكل مقارب.

(د) رسم المسارات في جوار كل نقطة حرجة.

(هـ) حساب ورسم مسارات كافية للنظام المحدد لإظهار سلوك الحلول بوضوح.

(و) تحديد السلوك المقيد لـ x و ذ كما ر يقترب من اللانهاية ، ويفسر النتائج من حيث عدد السكان من النوعين.


مثال 1. واحد Dimesnional ODE

ضع في اعتبارك ODE المستقل أحادي البعد: [ frac

= y (1-y) (2-y) ]

مجال التدفق

الرسم التالي يرسم مجال التدفق ومسارات مختلفة ، مضيفًا خطوطًا أفقية عند نقاط التوازن:

الشكل 2: مجال التدفق ومسارات مختلفة ، إضافة خطوط أفقية عند نقاط التوازن.

النقاط الثابتة

تشير الخطوط الأفقية على الرسم البياني إلى أنه تم تحديد ثلاث نقاط توازن عند (y ^ * = 0،1،2 ). إذا حددنا ( hat y = 0، ) يمكننا حل نقاط التوازن الثلاث تحليليًا:

استقرار النقاط الثابتة

طريقة 1. طور بورتريه

التآمر على صورة المرحلة، نجد أن (y ^ * = 0 ) و (y ^ * = 2 ) غير مستقرين و (y ^ * = 1 ) مستقر

الشكل 3: مجال التدفق ومسارات مختلفة ، إضافة خطوط أفقية عند نقاط التوازن.

الطريقة الثانية. نهج سلسلة تايلور

باستخدام نهج سلسلة تايلور لدينا:

نرسم نفس النتيجة كما من صورة المرحلة. يمكننا تأكيد تحليل تايلور باستخدام الاستقرار () للتحقق من ثبات كل نقطة توازن:

ومن ثم توصلنا إلى استنتاج على النحو الوارد أعلاه أن (y ^ * = 2 ) مستقر ، و (y ^ * = - 2 ) غير مستقر. لذلك ، إذا (y (0) & gt2 ) أو (0 & lty (0) & lt2 ) ، فإن الحل سيقترب في النهاية من (y = 2 ). ومع ذلك ، إذا (y (0) & lt0 ) ، (y rightarrow- infty ) مثل (t rightarrow infty ).


4: السلوك القريب من المسارات - الخطية

الأنظمة الخطية في حد ذاتها لها سلوك ديناميكي بسيط إلى حد ما. السبب ، لماذا تحليل النظام الخطي مهم جدًا ، هو أن الأنظمة غير الخطية يتم تحليلها غالبًا عن طريق الخطية المحلية [83] ، أي أن الوظيفة غير الخطية تقترب (محليًا) من خلال دالة خطية. عادةً ما يتم إجراء الخطية باستخدام توسع تايلور لوظيفة ما وإهمال شروط الترتيب الأعلى. انظر مكافئ. 3.14 لتوسيع تايلور لدالة عددية ، مكافئ. يوضح الشكل 3.15 توسع تايلور لوظيفة متجه. هذا النوع من التحليل سهل بشكل خاص بالقرب من النقاط الحرجة ، لأن السلوك طويل المدى يتطابق بشكل تافه مع السلوك المحلي في هذه النقاط.

  الجدول 3.2: الخطية المحلية بالقرب من النقاط الحرجة
حالة مستمرة حالة منفصلة
ناقلات المجال def. (أ)
نقطة حرجة. (ب)
إعادة كتابة x، x n س = ج + د س ن = ج + د ن (ج)
باستخدام Taylor exp. (د)
نظام خطي (هـ)
 

للحفاظ على بساطة التحليل ، نفترض أن النظام مستقل ومستقل عن الوقت (انظر علامة التبويب 3.2 (أ) للتعريفات). بافتراض وجود نقطة حرجة واحدة على الأقل (انظر علامة التبويب 3.2 (ب) للتعريفات) ، يمكن إعادة كتابة أي حالة للنظام الديناميكي بالقرب من النقطة الحرجة ج فيما يتعلق بـ c (انظر علامة التبويب 3.2 (ج)). مع إعادة الصياغة هذه ، يمكن تقريب النظام الديناميكي من خلال توسع تايلور كما هو موضح في Tab. 3.2 (د). تشير إلى المصفوفة اليعقوبية لـ f (x) التي تم تقييمها في c. باستخدام Tab. 3.2 (ج) مرة أخرى ، الجانب الأيسر من توسع تايلور في علامة التبويب. 3.2 (د) يمكن إعادة كتابتها. ينتج عن هذه العملية أنظمة خطية للاضطرابات الصغيرة حول النقطة الحرجة ج (انظر علامة التبويب 3.2 (هـ)). يمكن الآن تحليل هذه الأنظمة الخطية كما تمت مناقشته في القسم الأخير.


1 إجابة 1

إذا فهمت سؤالك بشكل صحيح ، من خلال النظر إلى مسارات هذا النظام ، فلديك انطباع بأن بعض المسارات هي نوع من متقاربة إلى مسار محدد ، وتريد أن تعرف ما هو هذا المسار.

المشكلة هي أنه لا يمكنك تخمين السلوك العام للنظام الديناميكي بمجرد النظر إلى مخطط التدفق الخاص به في محدود فاصلة. ولكن قبل مناقشة هذا الأمر ، دعنا نلقي نظرة على معادلة النظام: $ startنقطة& amp = x ^ 2 + x y ^ 2 dot& amp = y-y ^ 2 + 2x ^ 2 end$ مما يدل على $ frac= فارك$ الآن إذا أجريت تحليلًا نوعيًا لهذه المعادلة ، يمكنك أن ترى أن المصطلحات ذات الدرجة الأعلى في البسط والمقام هي $ 2x ^ 2 $ و $ xy ^ 2 $ ، على التوالي. مما يعني أن $ fracسيكون $ بقيم كبيرة $ x و y $ و $ x neq 0 $ صفرًا.

لذا كانت المشكلة ، أنك قمت بحكم سريع وعممت اتجاهًا محليًا إلى اتجاه عالمي. هذه المخططات بديهية:


قائمة المصطلحات

  • ز(x) هي وظيفة تحليلية في الأصل (أو ، بشكل أكثر دقة ، تعترف بتقريب تايلور من الدرجة الثانية)
  • كما x & rarr 0,

مثال 1: ليس نظامًا خطيًا تقريبًا

لتحليل مسارات المعادلة eqref، من الملائم استخدام الإحداثيات القطبية

في حالة وجود & دلتا: 0 & lt & delta & le ص& # 8320 ، بحيث ، لأي مسار حل & phi = & langle & phi & # 8321، & phi & # 8322 & rangle of nonlinear system eqref التي تحتوي على نقطة واحدة على الأقل داخل الدائرة 0 & lt ص & lt & delta ، الحل موجود على نطاق أ ر نصف خط ، وإذا


صور المرحلة للأنظمة غير الخطية

النظر في أ ، ربما نظام مستقل غير خطي , (تعني كلمة مستقلة أن المتغير المستقل ، يعتقد أنه يمثل الوقت ، لا يحدث على الجانب الأيمن من المعادلات). تمامًا كما فعلنا مع الأنظمة الخطية ، نريد أن ننظر إلى مسارات النظام. نظرًا لأنه من المستحيل في معظم الحالات حل هذه الأنظمة تمامًا ، فسوف نركز على الجوانب النوعية ، وخاصة على كيفية رسم صورة المرحلة يدويًا.
  • تتبع المسارات مجال الاتجاه. متجه السرعة لحل عند نقطة ما في الطائرة . اتجاه المسار هو اتجاه هذا المتجه.
  • المنحنيات و هي الخطوط المتساوية التي يكون اتجاه المسار فيها عموديًا وأفقيًا على التوالي. هذه الخطوط المتساوية تقسم المستوى إلى مناطق. في كل منطقة علامات و لا تتغير ، على سبيل المثال إذا كان كلاهما موجبًا ، يكون الاتجاه دائمًا صعودًا وإلى اليمين. عادة عندما تعبر خط متساوي ، يتغير أحد مكونات علامة السرعة. وبالتالي ، من خلال معرفة الاتجاه في نقطة واحدة ، يمكنك تحديد الاتجاهات في جميع المناطق.
  • خط متساوي (أو جزء منه) الخط العمودي هو مسار (أو ربما العديد منها). وبالمثل ، خط متساوي (أو جزء منه) الخط الأفقي هو مسار (أو عدة).
  • المسارات لا تلتقي أو تتوقف ، باستثناء ذلك في الحد مثل أو يمكنهم الاقتراب من نقطة التوازن.
  • نقاط التوازن (المعروفة أيضًا بالنقاط الحرجة أو الثابتة) هي النقاط التي يكون فيها كلاهما و . وبالتالي فهم في تقاطعات تلك الخطوط المتساوية.
  • السلوك بالقرب من نقاط التوازن مهم. يتم تقريب المسارات بالقرب من نقطة التوازن بشكل جيد للغاية من خلال تلك الخاصة بالتخطيط الخطي للنظام في تلك النقطة ، ويمكن تصنيف النقطة الحرجة باستخدام هذا الخطي (مع استثناءين سنراهما).
  • المصفوفة المنفصلة (فواصل الجمع) هي مسار يفصل بين منطقتين يكون فيهما سلوك الحلول كما يلي: أو مختلف. غالبًا ما تكون المسارات التي تدخل وتخرج من نقطة السرج عبارة عن مسارات منفصلة. يجب أن تكون هذه من بين المسارات الأولى التي ترسمها.
  • إذا كان النظام به بعض التناظر ، فقد يساعد ذلك. تتضمن أمثلة التناظر التبادل و ، أو تغيير علامة و / أو .


التقريب الخطي لدالة متغيرين بالقرب من نقطة يكون

نريد القيام بذلك على وجه الخصوص عند نقطة التوازن ، حيث . من المفيد إجراء تغيير في المتغيرات , ، وبالتالي , يتوافق مع نقطة التوازن. ثم الخطية لنظامنا عند نقطة التوازن هذه هي نظام خطي متجانس ذو معامل ثابت

يسمى حقل يعقوبي المتجه .

مثال: ضع في اعتبارك النظام

نحتاج إلى نقطة التوازن (بمعنى آخر. أو ) و (بمعنى آخر. أو ). وبالتالي هناك نقطتان للتوازن: و .

قبل تصنيف نقاط التوازن ، من الجيد رسم الخطوط المتساوية لها و . سوف أرسم الأول باللون الأزرق والثاني باللون الأخضر. أشير بالسهام إلى مجال الاتجاه في كل منطقة وعلى الخطوط المتساوية. تقاطعات الخطوط المتساوية الزرقاء والخضراء هي نقاط التوازن.

المصفوفة اليعقوبية هي . عند نقطة التوازن هذا هو . هذا له قيمة ذاتية مزدوجة ، واثنين من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا. لذلك فإن نقطة التوازن هي عقدة مفردة وجاذبة.

عند نقطة التوازن الثانية المصفوفة اليعقوبية هي . هذا له قيم eigenvalues ​​1 و . لذلك فإن نقطة التوازن سرج. المتجهات الذاتية هي لمدة 1 و إلى عن على . توضح الصورة أدناه مستوى الطور مع بعض أجزاء المسارات بالقرب من نقطتي التوازن. لاحظ أن اتجاهات هذه المسارات تتفق مع أسهم مجال الاتجاه من الصورة السابقة.

الآن نرسم بعض المسارات. هناك مسارات على و المحاور (الذهاب إلى الداخل إلى نقطة التوازن عند الأصل) ، لأن متي و متي . بعد ذلك ، من الجيد رسم المسارات التي تخرج من وتنتقل إلى نقطة السرج. على سبيل المثال ، يأتي المرء إلى نقطة السرج من الأسفل وإلى اليمين. نعود بالزمن للخلف ، متبعين الأسهم للخلف. تشير هذه الأسهم إلى أعلى وإلى اليسار في المنطقة , . يجب أن ينحني المسار لتجنب المسار على الموجب محور. من المفترض أنه مقارب لهذا المحور. يجب أن يستمر المسار الذي يخرج من نقطة السرج لأسفل وإلى اليسار لأسفل وإلى اليسار حتى ينتهي عند نقطة التوازن .

أخيرًا ، نرسم بعض المسارات الأخرى ، بما في ذلك مسار واحد على الأقل في كل منطقة. لاحظ أن تلك المسارات التي تدخل نقطة التوازن عند يمكن أن تفعل ذلك في أي زاوية.

صورتنا متماثلة حول الخط ، لأن نظام المعادلات يظل كما هو إذا قمت بالتبادل و .

المسارات التي تدخل وتخرج من نقطة السرج هي مسارات منفصلة. تنتقل جميع المسارات الموجودة أسفل وإلى يسار المسارين اللذين يدخلان السرج إلى نقطة التوازن كما ، في حين أن أولئك الموجودين فوق وإلى اليمين ينطلقون إلى ما لا نهاية مقارب للخط . أسفل وعلى يمين المسارات التي تغادر السرج ، يأتي كل شيء من اللانهاية المقاربة إلى الإيجابية المحور (مثل ) ، في حين أن كل شيء فوق وإلى يسار هذه الأشياء يأتي من اللانهاية المقاربة إلى الإيجابية محور.


كما ذكرت ، هناك استثناءان لقاعدة أن صورة الطور بالقرب من نقطة التوازن يمكن تصنيفها عن طريق الخطية عند نقطة التوازن هذه. الأول هو حيث القيمة 0 هي القيمة الذاتية للخطية (لم ننظر حتى إلى النظام الخطي في هذه الحالة!). الاستثناء الثاني هو المكان الذي يكون فيه الخطي مركزًا. يحتوي النظام الخطي على حلول دورية تتوافق مع المسارات ذات المنحنيات المغلقة (علامات الحذف). تخيل أنك تبدأ من نقطة ما وتتبع مجال الاتجاه. بعد السير على طول الطريق حول نقطة التوازن ، في النظام الخطي تعود بالضبط إلى النقطة التي بدأت منها. هذه مسألة حساسة للغاية ، وأي تأثير غير خطي ، حتى لو كان صغيرًا جدًا ، يمكن أن يفسدها. إذا عدت في النظام غير الخطي بعيدًا قليلاً عن نقطة التوازن عن المكان الذي بدأت منه ، فلا يمكن أن يكون مسارك منحنى مغلق. في المرة القادمة ، ستكون بعيدًا. سوف يتدحرج المسار بعيدًا عن نقطة التوازن. إذا كانت جميع المسارات بالقرب من نقطة التوازن على هذا النحو ، فإن نقطة التوازن تكون دوامة غير مستقرة. من ناحية أخرى ، إذا كنت بعد دورة واحدة حول نقطة التوازن ، فأنت أقرب قليلاً من حيث بدأت ، فإن مسارك يدور إلى الداخل. إذا كانت جميع المسارات بالقرب من نقطة التوازن على هذا النحو ، فإن نقطة التوازن هي حلزوني ثابت (وجاذب). فيما يلي صور لهذين الاحتمالين. الاحتمال الثالث ، بالطبع ، هو أنك تعود بالضبط إلى النقطة التي بدأت منها ، وهي حقًا مركز.

تتمثل إحدى طرق إظهار أن مركز النظام الخطي لا يزال مركزًا في النظام غير الخطي في إيجاد معادلة للمسارات. إذا كان هناك مثل هذه المعادلة (الضمنية) أين هي وظيفة سلسة وليست ثابتة في أي منطقة ، و ثابت اعتباطي ، فالمسارات ، وهي منحنيات مستوى لهذه الوظيفة ، لا يمكن أن تكون لولبية ولكن يمكن أن تكون منحنيات مغلقة. يحدث هذا في كل من أنظمة المفترس والفريسة والبندول.


محتويات

المعادلة النهائية لوظيفة خطية عند x = a < displaystyle x = a> هي:

المعادلة العامة لوظيفة خطية متعددة المتغيرات f (x) )> عند نقطة ف > هو:

يجعل الخطية من الممكن استخدام أدوات لدراسة الأنظمة الخطية لتحليل سلوك وظيفة غير خطية بالقرب من نقطة معينة. إن التحويل الخطي لوظيفة ما هو المصطلح الأول لتوسع تايلور حول نقطة الاهتمام. لنظام محدد بالمعادلة

يمكن كتابة النظام الخطي كـ

تحليل الاستقرار تحرير

في تحليل الاستقرار للأنظمة المستقلة ، يمكن للمرء استخدام القيم الذاتية لمصفوفة جاكوبي التي تم تقييمها عند نقطة التوازن القطعي لتحديد طبيعة هذا التوازن. هذا هو محتوى نظرية الخطية. بالنسبة للأنظمة المتغيرة بمرور الوقت ، يتطلب التحويل الخطي تبريرًا إضافيًا. [3]

تحرير الاقتصاد الجزئي

في علم الاقتصاد الجزئي ، يمكن تقريب قواعد القرار في إطار نهج فضاء الدولة في الخطية. [4] في ظل هذا النهج ، يتم وضع معادلات أويلر لمشكلة تعظيم المنفعة خطيًا حول الحالة الثابتة الثابتة. [4] تم إيجاد حل فريد لنظام المعادلات الديناميكية الناتجة. [4]

تحرير التحسين

في التحسين الرياضي ، يمكن جعل وظائف التكلفة والمكونات غير الخطية في الداخل خطية من أجل تطبيق طريقة حل خطية مثل خوارزمية Simplex. يتم الوصول إلى النتيجة المُحسَّنة بشكل أكثر كفاءة وهي حتمية باعتبارها أفضل عالمية.

تحرير تعدد الفيزياء

في الأنظمة متعددة الفيزياء - الأنظمة التي تتضمن مجالات فيزيائية متعددة تتفاعل مع بعضها البعض - يمكن تنفيذ الخطية فيما يتعلق بكل مجال من المجالات الفيزيائية. ينتج عن هذا الخطي للنظام فيما يتعلق بكل حقل نظام معادلة خطية متجانسة يمكن حلها باستخدام إجراءات الحل التكراري الأحادي مثل طريقة نيوتن-رافسون. ومن الأمثلة على ذلك أنظمة التصوير بالرنين المغناطيسي التي ينتج عنها نظام المجالات الكهرومغناطيسية والميكانيكية والصوتية. [5]


تعاريف (في) الاستقرار

نقاط التوازن غير المستقرة هي غير مستقر


3 إجابات 3

بشكل عام ، يمكنك وضع خطي حول أي ملف حل معروف. الفكرة هي أنه بمجرد معرفة الحل $ theta_0 (t) $ ، فإن الحلول القريبة $ theta $ تتبع تقريبًا معادلة خطية: أي كتابة $ theta (t) = theta_0 (t) + h (t) $ نحصل على $ I theta '' + Mgl sin theta almost (I theta_0 '' + Mgl sin theta_0) + Ih '+ (Mgl cos theta_0) h $ مما يؤدي إلى معادلة خطية تقريبية $ Ih '' + (Mgl cos theta_0) h = 0 $ لأن $ (I theta_0 '' + Mgl sin theta_0) = u $.

المهم هو: هل تعرف $ theta_0 $ لتبدأ؟ من السهل إيجاد حل التوازن. إيجاد حل عام. حسنًا ، هذه هي المشكلة الأصلية فقط.

لكنك سترى أحيانًا خطيًا على طول مدار دوري غير ثابت يسمى a دورة محدودة أو حتى مسار تعسفي. يشار إلى هذا عمومًا باسم التحكم في التتبع.


شاهد الفيديو: ادارة السلوك (شهر اكتوبر 2021).