مقالات

2.9: حل المتباينات المركبة - الاتحاد ، التقاطع


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • حل التفاوتات المركبة باستخدام الحرفين "و"
  • حل المتباينات المركبة باستخدام "أو"
  • حل التطبيقات ذات المتباينات المركبة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. بسّط: ( frac {2} {5} (x + 10) ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  2. بسّط: (- (x − 4) ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].

حل المتباينات المركبة باستخدام "و"

الآن بعد أن عرفنا كيفية حل المتباينات الخطية ، فإن الخطوة التالية هي النظر إلى المتباينات المركبة. أ عدم المساواة المركبة يتكون من متباينين ​​مرتبطين بكلمة "و" أو كلمة "أو". على سبيل المثال ، فيما يلي عدم المساواة المركبة.

[ start {array} {lll} {x + 3> −4} & { text {and}} & {4x − 5 leq 3} {2 (y + 1) <0} & { text {or}} & {y − 5 geq −2} end {array} nonumber ]

عدم مساواة المركب

أ عدم المساواة المركبة يتكون من متباينين ​​مرتبطين بكلمة "و" أو كلمة "أو".

لحل متباينة مركبة ، يعني إيجاد جميع قيم المتغير التي تجعل المتباينة المركبة بيانًا صحيحًا. نحل المتباينات المركبة باستخدام نفس الأساليب التي استخدمناها لحل المتباينات الخطية. نحل كل متباينة على حدة ثم ننظر في الحلين.

لحل متباينة مركبة باستخدام كلمة "و" ، نبحث عن جميع الأعداد التي تتكون منها على حد سواء عدم المساواة صحيح. لحل متباينة مركبة باستخدام كلمة "أو" ، نبحث عن جميع الأعداد التي تتكون منها إما عدم المساواة صحيح.

لنبدأ بأوجه عدم المساواة المركبة بـ "و". سيكون حلنا هو الأرقام التي تمثل حلولًا لـ على حد سواء عدم المساواة المعروفة باسم تقاطع اثنين من المتباينات. ضع في اعتبارك أن تقاطع شارعين - الجزء الذي تتداخل فيه الشوارع - ينتمي إلى كلا الشارعين.

لإيجاد حل المتباينة المركبة "و" ، نلقي نظرة على الرسوم البيانية لكل متباينة ثم نجد الأرقام التي تنتمي إلى كلا الرسمين البيانيين - حيث تتداخل الرسوم البيانية.

بالنسبة إلى المتباينة المركبة (x> −3 ) و (x leq 2 ) ، فإننا نرسم كل متباينة بيانيًا. ثم نبحث عن مكان "تداخل" الرسوم البيانية. سيتم تظليل الأرقام المظللة في كلا التمثيلين على التمثيل البياني لحل المتباينة المركبة. راجع الشكل ( PageIndex {1} ).

يمكننا أن نرى أن الأرقام بين (- 3 ) و (2 ) مظللة في كلا الرسمين البيانيين الأولين. ثم يتم تظليلها على الرسم البياني للحل.

الرقم (- 3 ) غير مظلل في الرسم البياني الأول ، وبالتالي نظرًا لأنه غير مظلل في كلا الرسمين البيانيين ، فإنه غير مضمن في الرسم البياني للحل.

الرقم اثنان مظلل في الرسمين البيانيين الأول والثاني. لذلك ، فهو مظلل على الرسم البياني للحل.

هذه هي الطريقة التي سنعرض بها حلنا في الأمثلة التالية.

مثال ( PageIndex {1} )

حل (6x − 3 <9 ) و (2x + 7 geq 3 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
(6 س − 3 <9 )و (2x + 9 جيك 3 )
الخطوة 1. حل كل
عدم المساواة.
(6 س − 3 <9 ) (2x + 9 جيك 3 )
(6x <12 ) (2x geq −6 )
(س <2 )و (س جيك -3 )
الخطوة 2. ارسم كل حل بيانيًا. سيظهر الرسم البياني النهائي جميع الأرقام التي تجعل كلا المتراجحتين صحيحين — الأعداد المظللة على حد سواء من أول رسمين بيانيين.
الخطوه 3. اكتب الحل في تدوين الفترة.([−3,2))
كل الأعداد التي تجعل كلا المتراجحتين صحيحة هي حل المتباينة المركبة.

مثال ( PageIndex {2} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة: (4x − 7 <9 ) و (5x + 8 geq 3 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {3} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة: (3x − 4 <5 ) و (4x + 9 geq 1 ).

إجابه

حل مشكلة عدم المساواة المركبة باستخدام "و."

  1. حل كل متباينة.
  2. ارسم كل حل بيانيًا. ثم رسم بياني الأرقام التي تصنع على حد سواء عدم المساواة صحيح.
    يوضح هذا الرسم البياني حل المتباينة المركبة.
  3. اكتب الحل في تدوين الفترة.

مثال ( PageIndex {4} )

حل (3 (2x + 5) leq 18 ) و (2 (x − 7) <- 6 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
(3 (2x + 5) leq 18 )و (2 (س − 7) <- 6 )
حل كل منهما
عدم المساواة.
(6x + 15 leq 18 ) (2 س − 14 <6 )
(6x leq 3 ) (2x <8 )
(x leq frac {1} {2} )و (س <4 )
رسم بياني لكل منهما
المحلول.
ارسم الأرقام
التي تجعل كلاهما
عدم المساواة صحيح.
اكتب الحل
في تدوين الفاصل.
((- infty، frac {1} {2}] )

مثال ( PageIndex {5} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في شكل الفترة الزمنية: (2 (3x + 1) leq 20 ) و (4 (x − 1) <2 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {6} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في شكل الفترة الزمنية: (5 (3x − 1) leq 10 ) و (4 (x + 3) <8 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {7} )

حل ( frac {1} {3} x − 4 geq −2 ) و (- 2 (x − 3) geq 4 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
( frac {1} {3} x − 4 geq −2 )و (- 2 (x − 3) geq 4 )
حل كل متباينة. ( frac {1} {3} x − 4 geq −2 ) (- 2 س + 6 جيك 4 )
( frac {1} {3} x geq 2 ) (- 2x geq −2 )
(س جيك 6 )و (س leq 1 )
ارسم كل حل بيانيًا.
ارسم الأرقام التي
جعل كلا من عدم المساواة
حقيقية.
لا توجد أرقام تجعل كلا التفاوتين صحيحين.

هذا تناقض لذلك لا يوجد حل ، لا توجد أرقام تجعل كلا التفاوتين صحيحين.

هذا تناقض لذلك لا يوجد حل ، لا توجد أرقام تجعل كلا التفاوتين صحيحين.

هذا تناقض لذا لا يوجد حل.

مثال ( PageIndex {8} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في شكل الفترة الزمنية: ( frac {1} {4} x − 3 geq −1 ) و (- 3 (x − 2) geq 2 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {9} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل بترميز الفترة الزمنية: ( frac {1} {5} x − 5 geq −3 ) و (- 4 (x − 1) geq −2 ).

إجابه

أحيانًا يكون لدينا متباينة مركبة يمكن كتابتها بإيجاز أكبر. على سبيل المثال ، يمكن كتابة (a عدم المساواة المزدوجة. الشكلين متكافئان.

ضعف عدم المساواة

المتباينة المزدوجة هي متباينة مركبة مثل (a

[ text {Other Forms:} quad begin {array} {lllll} {a x> b} & { text {يعادل}} & {a> x} & { text {and}} & {x> b} {a geq x geq b} & { text {يعادل}} & {a geq x} & { text {and}} & {x geq b} end {array} nonumber ]

لحل المتباينة المزدوجة ، نقوم بإجراء نفس العملية على "الأجزاء" الثلاثة من المتباينة المزدوجة بهدف عزل المتغير في المركز.

مثال ( PageIndex {10} )

حل (- 4 leq 3x − 7 <8 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
أضف 7 إلى الأجزاء الثلاثة.
تبسيط. (3 لو 3 س <15 )
قسّم كل جزء على ثلاثة. ( dfrac {3} { color {red} {3}} leq dfrac {3x} { color {red} {3}} < dfrac {15} { color {red} {3}} )
تبسيط. (1 leq x <5 )
ارسم الحل.
اكتب الحل في تدوين الفترة.( [1, 5) )

عند كتابتها في صورة متباينة مزدوجة ، (1 leq x <5 ) ، من السهل ملاحظة أن الحلول هي الأرقام التي تم التقاطها بين واحد وخمسة ، بما في ذلك واحد ، ولكن ليس خمسة. يمكننا بعد ذلك رسم الحل على الفور كما فعلنا أعلاه.

هناك طريقة أخرى لرسم حل (1 leq x <5 ) وهي رسم كل من حل (x geq 1 ) وحل (x <5 ). سنجد بعد ذلك الأعداد التي تجعل كلا المتباينات صحيحة كما فعلنا في الأمثلة السابقة.

مثال ( PageIndex {11} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل بعلامة الفترة: (- 5 leq 4x − 1 <7 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {12} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل على شكل الفترة الزمنية: (- 3 <2x − 5 leq 1 ).

إجابه

حل المتباينات المركبة باستخدام "أو"

لحل أ عدم المساواة المركبة بـ "أو" ، نبدأ تمامًا كما فعلنا مع المتباينات المركبة بـ "و" - نحل المتراجعتين. ثم نجد كل الأرقام التي تصنعها إما عدم المساواة صحيح.

تمامًا كما أن الولايات المتحدة هي اتحاد جميع الولايات الخمسين ، فإن الحل سيكون اتحاد جميع الأرقام التي تجعل أيًا من عدم المساواة صحيحًا. لإيجاد حل المتباينة المركبة ، نلقي نظرة على الرسوم البيانية لكل متباينة ، ونوجد الأعداد التي تنتمي إلى أي من الرسمين البيانيين ونجمع كل هذه الأرقام معًا.

لكتابة الحل في تدوين الفاصل، سنستخدم غالبًا ملحق رمز الاتحاد، ( كوب ) ، لإظهار اتحاد الحلول الموضحة في الرسوم البيانية.

حل مشكلة عدم المساواة المركبة باستخدام "أو."

  1. حل كل متباينة.
  2. ارسم كل حل بيانيًا. ثم رسم بيانيًا الأرقام التي تجعل عدم المساواة صحيحة.
  3. اكتب الحل في تدوين الفترة.

مثال ( PageIndex {13} )

حل (5−3x leq −1 ) أو (8 + 2x leq 5 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
(5−3x leq −1 )أو (8 + 2x leq 5 )
حل كل متباينة. (5−3x leq −1 ) (8 + 2x leq 5 )
(- 3x leq −6 ) (2x leq −3 )
(س جيك 2 )أو (x leq - frac {3} {2} )
ارسم كل حل بيانيًا.
أرقام الرسم البياني
جعل إما عدم المساواة
حقيقية.
((- infty، −32] كوب [2، infty) )

مثال ( PageIndex {14} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة الزمنية: (1−2x leq −3 ) أو (7 + 3x leq 4 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {15} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة الزمنية: (2−5x leq −3 ) أو (5 + 2x leq 3 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {16} )

حل ( frac {2} {3} x − 4 leq 3 ) أو ( frac {1} {4} (x + 8) geq −1 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
( frac {2} {3} x − 4 leq 3 )أو ( frac {1} {4} (x + 8) geq −1 )
حل كل منهما
عدم المساواة.
(3 ( frac {2} {3} x − 4) leq 3 (3) ) (4⋅ فارك {1} {4} (س + 8) geq 4⋅ (−1) )
(2x − 12 leq 9 ) (س + 8 جيك −4 )
(2x leq 21 ) (س جيك −12 )
(x leq frac {21} {2} )
(x leq frac {21} {2} )أو (س جيك −12 )
رسم بياني لكل منهما
المحلول.
أرقام الرسم البياني
التي تجعل إما
عدم المساواة صحيح.
الحل يغطي جميع الأرقام الحقيقية.
((- infty، infty) )

مثال ( PageIndex {17} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل بتدوين الفترة: ( frac {3} {5} x − 7 leq −1 ) أو ( frac {1} {3} (x + 6) geq −2 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {18} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل بتدوين الفترة: ( frac {3} {4} x − 3 leq 3 ) أو ( frac {2} {5} (x + 10) geq 0 ) .

إجابه

حل التطبيقات ذات المتباينات المركبة

المواقف في العالم الحقيقي تنطوي أيضًا على عدم مساواة مركبة. سنستخدم نفس استراتيجية حل المشكلات التي استخدمناها لحل المعادلات الخطية وتطبيقات عدم المساواة.

تذكر أن استراتيجيات حل المشكلات هي قراءة المشكلة أولاً والتأكد من فهم كل الكلمات. ثم حدد ما نبحث عنه وقم بتعيين متغير لتمثيله. بعد ذلك ، أعد صياغة المشكلة في جملة واحدة لتسهيل الترجمة إلى ملف عدم المساواة المركبة. أخيرًا ، سنحل المتباينة المركبة.

مثال ( PageIndex {19} )

بسبب الجفاف في ولاية كاليفورنيا ، فإن العديد من المجتمعات لديها معدلات مياه متدرجة. هناك معدلات مختلفة لاستخدام الحفظ والاستخدام العادي والاستخدام المفرط. يقاس الاستخدام بعدد مائة قدم مكعب يستخدمها صاحب العقار.

خلال فصل الصيف ، سيدفع مالك العقار 24.72 دولارًا أمريكيًا بالإضافة إلى 1.54 دولارًا أمريكيًا لكل hcf للاستخدام العادي. ستكون فاتورة الاستخدام العادي بين أو تساوي 57.06 دولارًا و 171.02 دولارًا أمريكيًا. كم hcf يمكن للمالك استخدامه إذا أراد أن يظل استخدامه في النطاق الطبيعي؟

إجابه
حدد ما نبحث عنه.عدد hcf الذي يمكنه استخدامه والبقاء في نطاق فواتير "الاستخدام العادي".
اسم ما نبحث عنه.دع x = x = عدد hcf الذي يمكنه استخدامه.
ترجمة إلى عدم المساواة.الفاتورة 24.72 دولارًا أمريكيًا بالإضافة إلى 1.54 دولارًا أمريكيًا ضعف عدد hcf الذي يستخدمه أو (24.72 + 1.54x ).

( color {Cerulean} { underbrace { color {black} { text {ستكون فاتورته بين أو تساوي} $ 57.06 text {and} $ 171.02.}}} )

(57.06 leq 24.74 + 1.54x leq 171.02 )

حل المتباينة.

(57.06 leq 24.74 + 1.54x leq 171.02 )

(32.34 leq 1.54x leq 146.3 )

( dfrac {32.34} { color {red} {1.54}} leq dfrac {1.54x} { color {red} {1.54}} leq dfrac {146.3} { color {red} {1.54 }} )

(21 leq x leq 95 )

اجب على السؤال.يمكن لمالك العقار استخدام (21–95 ) hcf ولا يزال يقع ضمن نطاق فواتير "الاستخدام العادي".

مثال ( PageIndex {20} )

بسبب الجفاف في كاليفورنيا ، أصبح لدى العديد من المجتمعات الآن معدلات مياه متدرجة. يقاس الاستخدام بعدد مائة قدم مكعب يستخدمها صاحب العقار.

خلال فصل الصيف ، سيدفع مالك العقار 24.72 دولارًا أمريكيًا بالإضافة إلى 1.32 دولارًا أمريكيًا لكل hcf لاستخدام الحفظ. ستكون فاتورة استخدام الحفظ بين أو تساوي 31.32 دولارًا أمريكيًا و 52.12 دولارًا أمريكيًا. كم عدد hcf الذي يمكن للمالك استخدامه إذا أراد أن يظل استخدامه في نطاق الحفظ؟

إجابه

يمكن لمالك المنزل استخدام (5–20 ) hcf ولا يزال يقع ضمن نطاق فواتير "استخدام الحفظ".

مثال ( PageIndex {21} )

بسبب الجفاف في ولاية كاليفورنيا ، فإن العديد من المجتمعات لديها معدلات مياه متدرجة. يقاس الاستخدام بعدد مائة قدم مكعب يستخدمها صاحب العقار.

خلال فصل الشتاء ، سيدفع مالك العقار 24.72 دولارًا أمريكيًا بالإضافة إلى 1.54 دولارًا أمريكيًا لكل hcf للاستخدام العادي. ستكون فاتورة الاستخدام العادي بين أو تساوي 49.36 دولارًا أمريكيًا و 86.32 دولارًا أمريكيًا. كم عدد hcf الذي سيسمح له باستخدامه إذا أراد أن يظل استخدامه في النطاق الطبيعي؟

إجابه

يمكن لمالك المنزل استخدام (16–40 ) hcf ولا يزال يقع ضمن نطاق فواتير "الاستخدام العادي".

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية لحل التفاوتات المركبة.

  • عدم المساواة المركبة

المفاهيم الرئيسية

  • كيفية حل مشكلة عدم المساواة المركبة باستخدام "و"
    1. حل كل متباينة.
    2. ارسم كل حل بيانيًا. ثم رسم بياني الأرقام التي تصنع على حد سواء عدم المساواة صحيح. يوضح هذا الرسم البياني حل المتباينة المركبة.
    3. اكتب الحل في تدوين الفترة.
  • عدم المساواة المزدوجة
    • أ عدم المساواة المزدوجة هي متباينة مركبة مثل (a أشكال أخرى: [ start {align *} a a≤x≤b & & text {مكافئ لـ} & & a≤x ؛ text {and} ؛ x≤b
      a> x> b & & text {يكافئ} & & a> x ؛ text {and} ؛ x> b
      a≥x≥b & & text {مكافئ لـ} & & a≥x ؛ text {and} ؛ x≥b end {align *} ]

  • كيفية حل مشكلة عدم المساواة المركبة باستخدام "أو"
    1. حل كل متباينة.
    2. ارسم كل حل بيانيًا. ثم رسم بيانيًا الأرقام التي تجعل عدم المساواة صحيحة.
    3. اكتب الحل في تدوين الفترة.

قائمة المصطلحات

عدم المساواة المركبة
تتكون المتباينة المركبة من متباينين ​​مرتبطين بكلمة "و" أو كلمة "أو".

كيف تجمع بين اثنين من عدم المساواة؟

من القانوني دائما أضف عدم المساواة تلك النقطة في نفس الاتجاه أو إلى يضيف نفس الكمية لكلا / كل أعضاء عدم المساواة.

وبالمثل ، كيف تحل و / أو عدم المساواة؟ ل يحل مركب عدم المساواة، أولاً افصله إلى قسمين عدم المساواة. تحديد ما إذا كان ينبغي أن تكون الإجابة اتحاد مجموعات ("أو") أو تقاطع مجموعات ("و"). ثم، يحل على حد سواء عدم المساواة والرسم البياني.

بالإضافة إلى ذلك ، كيف تجمع بين عدم المساواة المركبة؟

عندما يكون الاثنان عدم المساواة يتم ضمها بكلمة أو حل عدم المساواة المركبة يحدث عندما يكون أي من عدم المساواة صحيح. الحل هو الجمع أو الاتحاد بين الحلين الفرديين. دعنا نلقي نظرة فاحصة على ملف عدم المساواة المركبة التي تستخدم أو يجمع اثنين عدم المساواة.

هل يمكن طرح متباينتين؟

اذا أنت اطرح اثنين من المتباينات بنفس الاتجاه لا توجد طريقة للتنبؤ بنوع العلاقة إرادة نتيجة. لكن ، في هذه الحالة ، نحن يمكن طرح المتباينات التي لها اتجاهات معاكسة. لذا ، إذا كان a أكبر من b و c أكبر من d ، فليس لدينا طريقة لمقارنة حجم a- c بالحجم b- d.


المصادر المفتوحة لكلية الجبر في المجتمع

هذه المعلومات دقيقة اعتبارًا من أغسطس 2019. للحصول على أحدث برنامج CCOG ، تفضل بزيارة www.pcc.edu/ccog.

حدد ما إذا كانت العلاقة دالة عندما يتم التعبير عن العلاقة المعينة جبريًا و / أو بيانيًا و / أو رقميًا و / أو ضمن سياقات العالم الحقيقي من خلال تطبيق تعريف الوظيفة.

استخدم تعريف المجال والنطاق لتحديد المجال ونطاق الدوال الممثلة بيانياً وعددياً ولفظياً.

حدد مجال الدالة جبريًا.

حدد المجال والمدى في كل من تدوين الفاصل الزمني والمجموعة.

افهم كيف يمكن لسياق الوظيفة المستخدمة كنموذج أن يحد من المجال والنطاق.

تقييم الوظائف بمدخلات معينة باستخدام تدوين الوظيفة حيث يتم تمثيل الوظائف بيانياً وجبرياً وعددياً ولفظياً (على سبيل المثال ، تقييم (f (7) )).

يميز بين التعبيرات المختلفة مثل (f (x + 2) text <،> ) (f (x) +2 text <،> ) (3f (x) text <،> ) و (f (3x) text <،> ) وقم بتبسيط كل منها.

فسر (f (a) = b ) في السياق المناسب (على سبيل المثال ، تفسير (f (3) = 5 ) حيث (f ) نماذج لدالة من العالم الحقيقي) وافهم ذلك (f (2) ) هو رقم وليس نقطة.

حل المعادلات الوظيفية حيث يتم تمثيل الوظائف بيانياً وجبرياً وعددياً ولفظياً (على سبيل المثال ، حل (f (x) = b ) من أجل (x )).

حلل العامل المشترك الأكبر من كثير الحدود إلى عوامل.

حلل كثير الحدود إلى أربعة عوامل باستخدام طريقة التجميع.

حلل العوامل ثلاثية الحدود التي لها معاملات أولية تساوي 1.

حلل العوامل ثلاثية الحدود التي لها معاملات بادئة بخلاف 1.

عامل الفروق بين المربعات.

حدد مجال الدوال الكسرية جبريًا وبيانيًا.

تبسيط الوظائف المنطقية ، وفهم أن ظروف المجال المفقودة أثناء التبسيط يجب ملاحظتها.

نفذ العمليات على التعبيرات المنطقية (الضرب والقسمة والجمع والطرح) وعبر عن النتيجة النهائية في صورة مبسطة.

حل المعادلات والمتباينات جبريًا

حل المعادلات التربيعية باستخدام مبدأ حاصل الضرب الصفري.

حل المعادلات التربيعية التي لها حلول حقيقية ومعقدة باستخدام طريقة الجذر التربيعي.

حل المعادلات التربيعية التي لها حلول حقيقية ومعقدة باستخدام الصيغة التربيعية.

حل المعادلات التربيعية التي لها حلول حقيقية ومعقدة بإكمال المربع (في الحالات الأبسط ، حيث (أ = 1 نص <،> ) و (ب ) زوجي).

حل معادلات القيمة المطلقة.

حل المعادلات (الخطية والتربيعية والعقلانية والجذرية والقيمة المطلقة) في مجموعة مسائل مختلطة.

حدد كيفية المضي قدمًا في عملية الحل بناءً على المعادلة المقدمة.

تحديد متى قد ينتج عن حلول دخيلة. (ضع في اعتبارك استخدام التكنولوجيا لإثبات أن الحلول الخارجية ليست في الحقيقة حلولًا).

تحقق من حلول المعادلات جبريًا.

حل معادلة منطقية ذات متغيرات متعددة لمتغير معين.

حل التطبيقات التي تتضمن معادلات تربيعية وعقلانية (بما في ذلك مسائل المسافة ، والمعدل ، والوقت ، ومسائل معدل العمل).

يجب تحديد المتغيرات المستخدمة في التطبيقات بشكل جيد.

يجب ذكر الاستنتاجات في جمل مع وحدات مناسبة.

حل المعادلات الوظيفية للصيغ جبريًا:

(f (x) = b ) حيث (f ) دالة خطية أو تربيعية أو عقلانية أو جذرية أو قيمة مطلقة.

(f (x) = g (x) ) حيث (f ) و (g ) هي دالات بحيث لا تنتج المعادلة أي شيء أكثر صعوبة من المعادلة التربيعية أو الخطية بمجرد مسح الكسر أو تتم إزالة الجذر إذا كان موجودًا.

حل المتباينات الخطية المركبة جبريًا.

اتحاد اثنين من المتباينات الخطية ("أو" بيان).

تقاطع اثنين من المتباينات الخطية (بيان "و").

متباينة ثلاثية الجوانب مثل (a lt f (x) lt b ) حيث (f (x) ) هو تعبير خطي به ثوابت (a ) و (b ).

يجب التعبير عن مجموعات الحلول في تدوين الفاصل.

مراجعة موجزة للرسومات البيانية للوظائف الخطية ، بما في ذلك إيجاد صيغة الدالة مع إعطاء زوجين مرتبين في تدوين الوظيفة.

الرسم البياني للوظائف التربيعية باليد.

راجع إيجاد الرأس بالصيغة (h = - frac<2> نص <.> )

أكمل المربع لوضع دالة تربيعية في شكل رأس.

بالنظر إلى دالة تربيعية في شكل رأس ، لاحظ التحول الرأسي والانزياح الأفقي من الرسم البياني لـ (y = x ^ 2 text <.> )

حدد مجال ومدى دالة تربيعية.

راجع البحث عن تقاطعات أفقية ورأسية للوظائف الخطية والتربيعية يدويًا ، والتعبير عنها كأزواج مرتبة في أمثلة مجردة وتفسيرها باستخدام جمل كاملة في أمثلة تطبيقية.

حل المعادلات بيانياً باستخدام التكنولوجيا.

استكشف الوظائف بيانياً باستخدام التكنولوجيا.

البحث عن الاعتراضات الرأسية والأفقية.

أوجد رأس القطع المكافئ.

قم بإنشاء نافذة عرض مناسبة.

حل القيمة المطلقة والتباينات التربيعية بيانياً (على سبيل المثال (f (x) lt b text <،> ) (f (x) gt b )) حيث (f ) هي دالة ذات قيمة مطلقة عندما:

بالنظر إلى الرسم البياني للوظيفة.

باستخدام التكنولوجيا لرسم الوظيفة.

حل التباينات الوظيفية المعطاة بيانياً (f (x) lt b text <،> ) (f (x) gt b text <،> ) (f (x) gt g (x) text <،> ) و (a lt f (x) lt b ) حيث يجب أن يتضمن (f ) و (g ) الدوال الخطية على سبيل المثال لا الحصر.


عدم المساواة المركبة

أمثلة على عدم المساواة المركبة:

$ x le 5 quad أو quad 5 gt 2x + 1 $

8 دولارات gt x-2 quad and quad x le 7 $

عدم المساواة المركبة بالصيغة: $ a lt x lt b $ هو نفسه $ a lt x $ و $ x lt b $. هذا يعني أن $ x $ يقع بين $ a $ و $ b $.

في تدوين الفترات ، $ a lt x lt b $ هو $ (a، b) $ و

كلمة "أو" تتوافق مع اتحاد العملية وكلمة "و" تتوافق مع تداخل عملية.

اتحاد

إذا كان $ A $ و $ B $ مجموعتين ، فإن اتحاد من $ A $ و $ B $ هي مجموعة العناصر الموجودة في $ A $ أو $ B $ أو في كلٍّ من $ A $ و $ B $.

الاتحاد $ A $ و $ B $ أو $ A $ union $ B $ يُرمز إليه $ A $ و $ B $ أو $ A $ union $ B $.

تجمع عملية الاتحاد بين المجموعتين.

مثال:أوجد اتحاد المجموعتين A و B ، حيث $ A = $ و $ B = $.

الحل: ارسم الرسم البياني لـ $ A $ و $ B $ وادمجهما:


تداخل

إذا كان $ A $ و $ B $ مجموعتين ، فإن تداخل من $ A $ و $ B $ هي مجموعة العناصر المشتركة لكل من $ A $ و $ B $.

يُشار إلى تقاطع $ A $ و $ B $ أو $ A $ $ B $ على أنه $ A cap B $.

عملية التقاطع تستخرج العناصر المشتركة لكلتا المجموعتين.

$ A cap B = <3،4 > : $ فقط 3 و 4 بالدولار A $ و $ B $.

المثال 2: إذا كان $ P = $ و $ Q = $ إذن

$ P cap Q = < quad > $ ، المجموعة الفارغة. رمز المجموعة الفارغة هو $ emptyset $.

مثال:أوجد تقاطع المجموعتين A و B ، حيث $ A = $ و $ B = $.

الحل: ارسم الرسم البياني لـ $ A $ و $ B $ وخذ جزء الحل المشترك لكليهما:

حل المتباينات المركبة

مثال 1 حل ، $ 4x lt x-6 $ أو $ x ge 3 $

المحلول:
$ تبدأ 4x lt x-6 ، & أو x ge 3 -x: quad 4x-x lt -6 ، & أو ، x ge 3 div 3: qquad x lt -2 ، & أو ، x ge 3 end$

الحل في شكل رسومي:

الحل في تدوين الفاصل:

المثال 2: حل $ 4x-2 lt 14 $ و $ 2x ge 2 $

$ تبدأ 4x-2 lt 14 quad & and quad2x ge 2 4x lt 16 quad & and quad x ge 1 x lt 4 quad & and quad x ge 1 end$

الحل في شكل رسومي:

الحل في تدوين الفاصل الزمني:


2.9: حل المتباينات المركبة - الاتحاد ، التقاطع

اكتب معادلة للحد النوني من المتتابعة: -2 ، 48 ، 98 ، 148 ، 198.

أن = 50 ن - 52
(من1 = -2 ، د = 50 ، إذن
أن = -2 + 50 (ن -1) = -2 + 50 ن - 50)

حل متباينة الخطوة الواحدة:
x - 18 و GT 20

ما المتباينة التي يمثلها خط الأعداد هذا؟

لماذا عادةً ما يكون للتباينات في القيمة المطلقة حلين (على سبيل المثال ، | x | & gt 5 لها حلين)؟

غالبًا ما تكون القيم المطلقة لرقمين هي نفسها (على سبيل المثال: | -6 | = 6 و | 6 | = 6). لذا يجب حل المشكلة في كلتا الحالتين: x & gt 5 و x & lt -5.

يجب طهي الهامبرغر في حدود 5 درجات من 160 درجة فهرنهايت حتى يُعتبر جيدًا (يتم حرق المزيد ، والأقل غير آمن). اكتب متباينة تخبرنا بمدى درجات الحرارة المحتملة للهامبرغر.

حدد ما إذا كانت 3/4 و 18/24 نسبتان متساويتان إذا لم تكن كذلك ، حدد أيهما أعلى.

هم متكافئون.
(3/4 * 6/6 = 18/24)

حل متباينة الخطوة الواحدة:
5x & lt -15

صِف عدم المساواة أدناه على أنها "اتحاد" أو "تقاطع" واكتبها على أنها عدم مساواة.

إنه اتحاد x & lt 7 أو x & GT 11
(x أقل من 7 OR x أكبر من أو تساوي 11)

يخبر طبيب بيطري أنتوني أن الوزن الصحي للقطط الزرقاء الروسية يبلغ 4 ± 1.2 كجم. اكتب وحل متباينة توضح نطاق الأوزان الصحي.

من السطور التالية ، أيهما لا موازية إلى الثلاثة الآخرين؟
(أ) ص = -3/4 س + 2
(ب) ص - 3 = 4/3 (س + 2)
(ج) 3 س + 4 ص = -16
(د) 8 ص = -6 س

(ب). الثلاثة الآخرون هم جميعهم منحدر = -3/4 ، لكن (B) له ميل 4/3 ، مما يجعله عموديًا على هؤلاء!

اشرح سبب كون مجموعة الحلول للمتباينة التالية ليس x & gt -4:

عند تغيير 12 علامة إلى علامة سالبة ، تتغير علامة "أكبر من" (& GT) إلى علامة "أقل من" (& lt). يجب أن يكون الحل:
x & lt -4

صِف الرسم البياني التالي على أنه اتحاد أو تقاطع واكتب متباينة مركبة تصفها.


تقاطع -1 & lt x & lt 2
(-1 أقل من x ، وهو أيضًا أقل من 2)

اكتب الخطوة الأولى ، ثم ابحث عن مجموعة حلول لـ | 10x + 15 | & GT 105.

الخطوة الأولى:
استخدم 10x + 15 & GT 105 أو 10x + 15 & lt -105

يخبر طبيب بيطري أنتوني أن الوزن الصحي للقطط الزرقاء الروسية يبلغ 4 ± 1.2 كجم. اكتب وحل متباينة تخبرنا بمدى الأوزان الأمم المتحدةصحي.

| x - 4 | & GT 1.2
المحلول:
x & lt 2.8 أو x & gt 5.2

ثلاثة أضعاف مجموع عدد و 7 يساوي 4 أضعاف نفس العدد. هل 3n + 7 = 4n يحل هذا الموقف؟

حل المتباينة متعددة الخطوات:

طريقة:
2/3 x & lt -10 (بطرح 25)
x & lt -15 (بضرب 3/2)

حل المتباينة المركبة في تدوين Set-builder:
-15 & lt -3x & lt5

-5/3 & lt x & lt 5
خطوات:
-15 & lt -3x و -3 x & lt5
قسّم -3: 5 & gt x و x & gt -5/3
إعادة الطلب: -5/3 & lt x & lt 5

ابحث عن مجموعة حلول لـ | 13/4 x - 22/7 | & lt -1

لمسابقة المنح الدراسية ، كان على إيفا كتابة مقال. بالنسبة للمقال ، كان على إيفا أن تكتب أكثر من 250 كلمة ، لكن لا يمكن أن تتجاوز 500 كلمة. اكتب عدم المساواة التي توضح وضع إيفا.

| س - 375 | & lt 125
ملاحظة: يأتي 375 من متوسط ​​500 و 250 (500 + 250) / 2 = 375 ، و 125 هو الفجوة من كليهما | 250-375 | و | 500-375 |

يوضح الجدول التالي مسافة زحف الطفل بمرور الوقت. هل هذا الجدول يصور وظيفة خطية؟


نعم y = 2.4x (معدل التغيير ثابت عند 2.4)

حل المتباينة متعددة الخطوات (تبسيط):

x & lt 11/9
خطوات:
-12x + 48 & GT 15x + 15
أضف 12x: 48 & gt 27x + 15
اطرح 15:33 & gt 27x
قسّم 27: 33/27 & gt x
تبسيط: 11/9 و GT x

حل المتباينة المركبة:

x & GT 2
خطوات:
حل 1 + 3x & gt 7: x & gt 2
3 - 7x & lt -18
اطرح 3: -7x & lt -21
قسمة -7: x & GT 3
لأن هذا اتحاد ، يجب أن نجمع كلا الحلين. بما أن x & gt 2 يتضمن x & GT 3 ، هذا يكفي.

أوجد مجموعة حلول لـ -2 (5 + | x |) & lt 24

كل الأرقام الحقيقية!
خطوات:
قسّم -2: 5 + | x | & GT -12
اطرح 5: | x | & GT -17
جميع القيم المطلقة أكبر من -17.

يريد Aiden إنفاق 25000 كحد أقصى على الغداء والحافلة هذا الأسبوع. إذا كان يجب عليه دفع 10000 لرحلات الحافلة وأراد شراء 4 وجبات غداء ، فقم بإعداد وحل مشكلة عدم المساواة التي تحل تكلفة كل وجبة غداء.


المتباينات العقلانية

حل المتباينات العقلانية
& # 8226 نفس عملية حل أ
عدم المساواة متعدد الحدود
& # 8226 تحتاج أيضًا إلى مراعاة قيم
المتغير الذي يتسبب في المقام إلى
يساوي 0
& # 8226 لحل عدم المساواة العقلانية:
& # 8211 اضبط جانبًا على الصفر واكتب الجانب الآخر
كتعبير عقلاني
& # 8211 تحديد القيم الحرجة & # 8211 تلك القيم
التي تسبب إما البسط أو
المقام يساوي 0
& # 8211 انقسام (-oo، + oo) إلى فترات فرعية بناءً على
القيم الحرجة
& # 8226 تمامًا كما هو الحال مع متباينة متعددة الحدود
& # 8211 اختبر كل فترة فرعية لتحديد تلك التي
مدرجة في مجموعة الحلول
& # 8226 تنطبق قاعدة الإشارة الخاصة بكثيرات الحدود على العقلانية
التعبيرات كذلك
& # 8211 إذا لزم الأمر ، اضبط الفواصل الزمنية لـ
حلول دخيلة!

المثال 14: حل الحل واكتبه على فترات
الرموز:

المثال 15: حل الحل واكتبه على فترات
الرموز:

ملخص
& # 8226 بعد دراسة هذه الشرائح ، يجب أن تعرف كيفية القيام بذلك
ما يلي:
& # 8211 حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا واكتبها في كل من الفاصل الزمني والمجموعة
تدوين المنشئ للأنواع التالية من عدم المساواة:
& # 8226 خطي
& # 8226 كمبوند
& # 8226 القيمة المطلقة
& # 8226 متعدد الحدود
& # 8226 عقلاني
& # 8226 ممارسة إضافية
& # 8211 راجع قائمة المشاكل المقترحة لـ 1.5
& # 8226 الدرس التالي
& # 8211 الرسوم البيانية والدوائر أمبير (القسم 2.1)


عدم المساواة المركبة

أ مجمع عدم المساواة، يشار إليها أحيانًا باسم عدم المساواة مجتمعة، هي متباينة تجمع بين اثنين أو أكثر من المتباينات البسيطة المرتبطة معًا أوأو و.

ليكون حلا ل أوعدم المساواة ، يجب أن تجعل القيمة جزءًا واحدًا فقط من عدم المساواة صحيحًا. هذا يعني أن الحل النهائي سيكون اتحاد من حلول المتباينات المنفصلة. ليكون حلا ل وعدم المساواة ، يجب أن تجعل كلا الجزأين صحيحين. عدم المساواة التي تتقيد شروطها و ليست مستقلة عن بعضها البعض. هذا يعني أن الحل النهائي سيكون تداخل من حلول المتباينات المنفصلة.

أو $ Rightarrow $ union

وتقاطع $ Rightarrow $

مثال مع أو عدم المساواة

$ x & lt5 $ أو $ x & gt9 $ السؤال المطروح في المثال هو: ما هي الأرقام التي يمكن استبدالها في مكان $ x $ بحيث تكون إحدى المتباينات صحيحة؟

$ x & lt5 Rightarrow x in left & lt- infty، 5 right & gt $

$ x & gt9 Rightarrow x in left & lt9، infty right & gt $

الإجابة هي جميع الأرقام الأقل من 5 وجميع الأرقام أكبر من 9 ، لذا فإن الحل هو اتحاد بين فترتين $ left & lt- infty ، 5 right & gt cup left & lt9 ، infty right & gt $.

مثال مع و عدم المساواة

هذا البيان يعادل $ 4 & ltx & lt7 $.

$ x & gt4 Rightarrow x in left & lt4، infty right & gt $

$ x & lt7 Rightarrow x in left & lt- infty، 7 right & gt $

الحل هو تقاطع فترتين $ left & lt- infty ، 7 right & gt cap left & lt4 ، infty right & gt $ ، وهو الفاصل $ left & lt4 ، 7 right & gt $.

$ 2 + 2x leq x & lt 5 + x $ يمكن حل هذه المشكلة بطريقتين.

تنقسم المشكلة إلى متباينتين يتم حلهما بعد ذلك بشكل منفصل. الحل هو تداخل من الحلول الفردية.

$ 2 + 2x leqslant x $ و $ x & lt 5 + x $ 2 + 2x leqslant x Rightarrow 2 leq -x Rightarrow x leq & # 8211 2 Rightarrow x in left & lt- infty، & # 8211 2 right] $ $ x & lt 5 + x Rightarrow 0 & lt 5 $ من المتباينة الثانية تتبع العبارة $ 0 & lt 5 $ ، وهي صحيحة دائمًا ، لذا فإن الحل هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

إذا كانت الحالة مختلفة وكانت العبارة & # 8217t صحيحة ، على سبيل المثال $ 5 & lt 0 $ ، فلن يكون للتفاوت & # 8217t حلول. على سبيل المثال ، المتباينة $ x & ltx-1 $ ليس لها حلول.

حل المتباينة من المثال 1 هو المجموعة $ left & lt- infty، & # 8211 2 right] $.

عند العمل مع المعادلات ، يمكن للمرء أن يضيف ويطرح ويضرب ويقسم التعبير ، ولكن ما يتم تغييره في أحد الجانبين يجب أيضًا تغييره بالطريقة نفسها في الجانب الآخر. إنه مشابه عند العمل مع عدم المساواة. إذا قمت بالجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة ، يجب أن تفعل ذلك لكل جزء من المتباينة.

في مثالنا يمكننا طرح $ 2x $.

2 دولار leqslant & # 8211 x & lt 5 & # 8211 x $
دائمًا ما يكون $ & # 8211 x & lt 5 & # 8211 x $ عبارة صحيحة ، لذا فإن الجزء الوحيد الذي يقيد مجموعة الحلول هو $ 2 leqslant & # 8211 x $. إذن ، الحل هو المجموعة $ left & lt- infty ، & # 8211 2 right] $.

1 $ + 58x & lt 55x & lt 57x + 10 $
يتم طرح 57 دولارًا × دولارًا من كل جزء من عدم المساواة:

عندما يتم قسمة التعبير $ & # 8211 2x & lt 10 $ على $ -2 $ ، تتغير علامة عدم المساواة.

$ x & lt - frac <1> <3> $ و $ x & gt & # 8211 5 $

الحل النهائي هو set $ left & lt- 5، - frac <1> <3> right & gt $.

في حالة خلو التقاطع ، لا توجد حلول.

على سبيل المثال ، إذا كان $ x & gt 5 $ و $ x & lt & # 8211 7 $ ، فإن تقاطع المجموعات $ left & lt5 ، infty right & gt $ و $ left & lt- infty ، -7 right & gt $ فارغ. لذلك ، لا توجد حلول لعدم المساواة.

$ 5 & gt x $ و $ x & gt 2 Rightarrow x in left & lt2، 5 right & gt $

$ x & gt & # 8211 6 $ و $ x & gt 2 Rightarrow x in left & lt2، + infty right & gt $

2 دولار و 4 دولارات أو 4 دولارات أو ما يعادلها بالعملة المحلية و 7 دولارات أمريكية
$ 2x & gt 4 Rightarrow x & gt 2 $ $ & # 8211 x & gt 7 Rightarrow x & lt & # 8211 7 $

يتم تعيين حل المتباينة الأولى $ left & lt2 ، infty right & gt $ وحل المتباينة الثانية هو $ left & lt- infty ، & # 8211 7 right & gt $.

الحل النهائي هو اتحاد هاتين المجموعتين: $ left & lt- infty ، & # 8211 7 right & gt cup left & lt2 ، infty right & gt $.

$ فارك <2> & gt 3 $ أو $ x geqslant & # 8211 3 $
$ x & gt 6 $ أو $ x geqslant- 3 $ في حالة كهذه ، ليست هناك حاجة لكتابة اتحاد من مجموعتين لأن إحداهما هي مجموعة فرعية من الأخرى. الحل ببساطة هو المجموعة الأكبر ، في هذه الحالة $ left [- 3 ، + infty right & gt $.


إلى ما لا نهاية (ليس بعدها):

an interval may be defined as a subset of the extended real numbers, the set of all real numbers augmented with +∞ and −∞.

Interval Notationعدم المساواةتفاصيل
(a, +∞)x > agreater than a
[a, +∞)x ≥ agreater than or equal to a
(-∞, a)x < aless than a
(-∞, a]x ≤ aless than or equal to a
(-∞, ) < x < ∞no limit

In this interpretation, the notations above are all meaningful and distinct. In particular, (−∞, +∞) denotes the set of all ordinary real numbers, while [−∞, +∞] denotes the extended reals.


- compound inequalities.

Compound Inequality: - In compound inequality, there are at least two inequalities and these inequalities are separated by “and” or “or”.

1. 5 < x < 7 ( x > 5 a n d x < 7 )

Here, we can see using graph, if two inequalities are separated by “and” then solution is intersection of both inequalities.

Here, we can see using graph, if two inequalities are separated by “or” then solution is union of both inequalities.

Calculation:-

Since, option (A) contains two inequalities which are separated by “or”.

So, Option (A) is compound inequality.

Since, option (B) contains one inequality.

So, Option (B) is not compound inequality.

Option (C) :- 8 ≤ 5 x < 30 ( 8 ≤ 5 x a n d 5 x < 30 )

Since, option (C) contains two inequalities which are separated by “and”.


Another type of compound inequality਌ontains the word or. A compound inequality containing or is true if one or more of the inequalities is true. The graph of a compound inequality containing or is the of the graphs of the two inequalities.

In other words, the solution of the਌ompound inequality is a solution of either inequality, not necessarily both. The union can be found by graphing each inequality.

Solve the compound inequality. Then graph the solution set

Subtract by 2 on both sides

Subtract by 2 on both sides

By graphing the inequality k > 10, we get the graph given below.

By graphing the inequality  ≤  16 , we get the graph given below.

By combining the above two graphs, we get the common region between 10 and 16.

Solve the following inequality and graph the solution

Solve the following inequality and graph the solution

Divide by 3 on both sides

Divide by 2 on both sides

Solve the following inequality and graph the solution

Divide by 4 on both sides

Divide by 4 on both sides

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


شاهد الفيديو: ما هي المتباينات الرياضية (شهر اكتوبر 2021).