مقالات

4.6: دوال خطية - حسابات - رياضيات


عندما تقفز في سيارة أجرة في لاس فيغاس ، سيقرأ العداد على الفور 3.50 دولار ؛ هذا هو "انخفاض" الشحنة التي يتم إجراؤها عند تنشيط عداد التاكسي. هذا الفصل جزء من Precalculus: تحقيق في الوظائف © Lippman & Rasmussen 2017. باستخدام المتغيرات الوصفية ، نختار (m ) للأميال و (C ) للتكلفة بالدولار كدالة للأميال: (C (m) ).

نحن نعلم على وجه اليقين أن (C (0) = 3.50 ) ، نظرًا لأنه يتم تقييم رسوم إسقاط 3.50 دولار بغض النظر عن عدد الأميال المقطوعة. منذ أن تمت إضافة 2.67 دولار لكل ميل مدفوع ، إذن

[C (1) = 3.50 + 2.67 = 6.17 عدد غير رقمي ]

إذا قطعنا بعد ذلك ميلًا ثانيًا ، فسيتم إضافة 2.67 دولارًا آخر إلى التكلفة:

[C (2) = 3.50 + 2.67 + 2.67 = 3.50 + 2.67 (2) = 8.84 nonumber ]

إذا قطعنا ميلًا ثالثًا ، فسيتم إضافة 2.67 دولار أخرى إلى التكلفة:

[C (3) = 3.50 + 2.67 + 2.67 + 2.67 = 3.50 + 2.67 (3) = 11.51 nonumber ]

من هذا قد نلاحظ النمط ، ونستنتج أنه إذا تم قطع (م ) أميال ،

(C (م) = 3.50 + 2.67 م ) لأننا نبدأ برسم إسقاط 3.50 دولار ثم نضيف 2.67 دولار لكل ميل زيادة.

من الجيد التحقق من أن الوحدات منطقية في هذه المعادلة. تقاس رسوم الإسقاط 3.50 دولار بالدولار ؛ يتم قياس تكلفة 2.67 دولار بالدولار لكل ميل.

[C (m) = 3.50 text {dollar} + left (2.67 dfrac { text {dollar}} { text {mile}} right) left (m ؛ text {miles} right )لا يوجد رقم ]

عندما يتم ضرب الدولارات لكل ميل في عدد الأميال ، تكون النتيجة عدد الدولارات ، ومطابقة الوحدات الموجودة في 3.50 ، ومطابقة الوحدات المرغوبة لـ ج وظيفة.

لاحظ أن هذه المعادلة (C (م) = 3.50 + 2.67 م ) تتكون من كميتين. الأول هو الرسم الثابت 3.50 دولار والذي لا يتغير بناءً على قيمة المدخلات. والثاني هو 2.67 دولار لكل ميل ، وهو أ معدل التغيير. في المعادلة ، يتم ضرب معدل التغيير هذا في قيمة الإدخال.

بالنظر إلى هذه المشكلة نفسها في تنسيق الجدول ، يمكننا أيضًا رؤية تغيرات التكلفة بمقدار 2.67 دولار لكل زيادة قدرها ميل واحد.

(م )0123
(سم))3.506.178.8411.51

من المهم هنا ملاحظة أنه في هذه المعادلة ، فإن معدل التغيير ثابت؛ على أي فترة ، يكون معدل التغيير هو نفسه.

برسم هذه المعادلة بالرسم البياني ، (C (م) = 3.50 + 2.67 م ) نرى أن الشكل عبارة عن خط ، وهو كيف تحصل هذه الوظائف على أسمائها: وظائف خطية.

عندما يكون عدد الأميال صفرًا ، تكون التكلفة 3.50 دولارًا ، مما يعطي النقطة (0 ، 3.50) على الرسم البياني. هذا هو التقاطع الرأسي أو (C (m) ). الرسم البياني يتزايد في خط مستقيم من اليسار إلى اليمين لأن التكلفة ترتفع بمقدار 2.67 دولار لكل ميل ؛ يظل هذا المعدل ثابتًا.

في هذا المثال ، شاهدت تكلفة سيارة الأجرة على شكل كلمات ومعادلة وجدول وفي شكل رسومي. كلما كان ذلك ممكنًا ، تأكد من أنه يمكنك ربط هذه التمثيلات الأربعة معًا لبناء مهاراتك باستمرار. من المهم ملاحظة أنك لن تكون دائمًا قادرًا على العثور على جميع التمثيلات الأربعة لمشكلة ما ، وبالتالي فإن القدرة على العمل مع الأشكال الأربعة كلها أمر مهم للغاية.

التعريف: دالة خطية

أ دالة خطية هي وظيفة ينتج رسمها البياني خطًا. يمكن دائمًا كتابة الوظائف الخطية في النموذج

(f (x) = b + mx ) أو (f (x) = mx + b ) ؛ إنها متكافئة

أين

  • (b ) هي القيمة الأولية أو القيمة الأولية للدالة (عند الإدخال ، x = 0) ، و
  • (م ) هو المعدل الثابت لتغيير الوظيفة

يحب الكثير من الناس كتابة وظائف خطية بالصيغة (f (x) = b + mx ) لأنها تتوافق مع الطريقة التي نميل إلى التحدث بها: "يبدأ الإخراج عند (b ) ويزداد بمعدل (م). "

لهذا السبب وحده سنستخدم النموذج (f (x) = b + mx ) للعديد من الأمثلة ، لكن تذكر أنها متكافئة ويمكن كتابتها بشكل صحيح في كلا الاتجاهين.

التعريف: انحدار وتزايد / تناقص

(م ) هو المعدل الثابت لتغيير الوظيفة (يسمى أيضًا ميل). المنحدر يحدد الميل ما إذا كانت الدالة دالة متزايدة أم دالة تناقصية.

(f (x) = b + mx ) هو في ازدياد تعمل إذا (م> 0 )

(f (x) = b + mx ) هو أ تناقص تعمل إذا (م <0 )

إذا كان (م = 0 ) ، معدل التغيير صفر ، والدالة (f (x) = b + 0 x = b ) هي مجرد خط أفقي يمر عبر النقطة (0، (b )) ، لا زيادة ولا تناقص.

مثال ( PageIndex {1} )

يمتلك ماركوس حاليًا 200 أغنية في مجموعة iTunes الخاصة به. كل شهر ، يضيف 15 أغنية جديدة. اكتب معادلة لعدد الأغاني ، (N ) ، في مجموعة iTunes الخاصة به كدالة لعدد الأشهر ، (م ). كم عدد الأغاني التي سيمتلكها في السنة؟

المحلول

القيمة الأولية لهذه الوظيفة هي 200 ، لأنه يمتلك حاليًا 200 أغنية ، لذلك (N (0) = 200 ). يزداد عدد الأغاني بمقدار 15 أغنية في الشهر ، وبذلك يكون معدل التغيير 15 أغنية في الشهر. باستخدام هذه المعلومات ، يمكننا كتابة الصيغة:

[N (م) = 200 + 15 م غير عدد ]

(N (m) ) دالة خطية متزايدة. باستخدام هذه الصيغة ، يمكننا توقع عدد الأغاني التي سيحصل عليها في عام واحد (12 شهرًا):

[N (12) = 200 + 15 (12) = 200 + 180 = 380 بدون رقم ] سيحصل ماركوس على 380 أغنية في 12 شهرًا.

تمرين ( PageIndex {1} )

إذا كنت تكسب 30000 دولار في السنة وتنفق 29000 دولار في السنة ، فاكتب معادلة لمبلغ المال الذي تدخره بعد ذلك ذ سنوات ، إذا بدأت بلا شيء.

"أهم شيء ، أنفق أقل مما تكسب! (http://www.thesimpledollar.com/2009/...than-you-earn/)

إجابه

(S (y) = 30،000y - 29،000y = 1000y ) يتم توفير 1000 دولار سنويًا.

التعريف: حساب معدل التغيير

إعطاء قيمتين للإدخال ، (x_ {1} { rm ؛ و ؛} x_ {2} ) ، وقيمتان متناظرتان للإخراج ، (y_ {1} { rm ؛ و ؛} y_ {2} ) ، أو مجموعة من النقاط ، ((x_ {1} { rm، ؛ ؛} y_ {1}) ) و ((x_ {2} { rm، ؛ ؛} y_ {2}) ) ، إذا أردنا إيجاد دالة خطية تحتوي على كلتا النقطتين يمكننا حساب معدل التغيير ، م:

[m = dfrac { rm تغيير ؛ في؛ الإخراج} { rm تغيير ؛ في؛ input} = dfrac { Delta y} { Delta x} = dfrac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} ]

يُطلق أيضًا على معدل تغيير الدالة الخطية اسم ميل من الخط.

لاحظ في تدوين الوظيفة ، (y_ {1} = f (x_ {1}) ) و (y_ {2} = f (x_ {2}) ) ، حتى نتمكن من الكتابة بشكل مكافئ

[m = dfrac {f left (x_ {2} right) -f left (x_ {1} right)} {x_ {2} -x_ {1}} ]

مثال ( PageIndex {2} )

زاد عدد سكان المدينة من 23400 إلى 27800 بين عامي 2002 و 2006. أوجد معدل تغير السكان خلال هذه الفترة الزمنية.

المحلول

معدل التغيير سيربط التغيير في عدد السكان بالتغير في الوقت. زاد عدد السكان بمقدار (27800-23400 = 4400 ) شخصًا خلال فترة 4 سنوات. للعثور على معدل التغيير ، تغير عدد الأشخاص في السنة من خلال:

[ dfrac {4400 text {people}} {4 text {years}} = 1100 dfrac { text {people}} { text {year}} = 1100 text {people per year} nonumber ]

لاحظ أننا علمنا أن عدد السكان يتزايد ، لذلك نتوقع أن تكون قيمة (م ) موجبة. هذه طريقة سريعة للتحقق مما إذا كانت قيمتك معقولة.

مثال ( PageIndex {3} )

يعتمد الضغط ، (P ) ، بالجنيه لكل بوصة مربعة (PSI) على الغطاس على عمقهم تحت سطح الماء ، (د ) ، بالأقدام ، باتباع المعادلة (P (d) = 14.696 + 0.434d ). فسر مكونات هذه الوظيفة.

المحلول

معدل التغيير ، أو الميل ، 0.434 سيكون له وحدات ( dfrac { text {output}} { text {input}} = dfrac { text {pressure}} { text {deep}} = dfrac { text {PSI}} { text {ft}} ). هذا يخبرنا أن الضغط على الغواص يزداد بمقدار 0.434 رطل لكل بوصة مربعة لكل قدم يزداد عمقها.

سيكون للقيمة الأولية ، 14.696 ، نفس وحدات الإخراج ، لذلك يخبرنا هذا أنه على عمق 0 قدم ، سيكون الضغط على الغواص 14.696 رطل لكل بوصة مربعة.

مثال ( PageIndex {4} )

إذا كانت (f (x) ) دالة خطية ، (f (3) = - 2 ) ، و (f (8) = 1 ) ، فأوجد معدل التغيير.

المحلول

(f (3) = - 2 ) يخبرنا أن الإدخال 3 يتوافق مع الناتج -2 ، و (f (8) = 1 ) يخبرنا أن الإدخال 8 يتوافق مع الناتج 1. للعثور على معدل التغيير ، نقسم التغيير في الناتج بالتغيير في المدخلات:

[m = dfrac { text {change in output}} { text {change in input}} = dfrac {1 - (- 2)} {8-3} = dfrac {3} {5} إذا رغبت في ذلك ، يمكننا أيضًا كتابة هذا كـ (م = 0.6 )

لاحظ أنه ليس من المهم أي زوج من القيم يأتي أولاً في عمليات الطرح طالما أن قيمة الإخراج الأولى المستخدمة تتوافق مع قيمة الإدخال الأولى المستخدمة.

تمرين ( PageIndex {2} )

بمعلومية النقطتين (2، 3) و (0، 4) ، أوجد معدل التغيير. هل هذه الوظيفة تتزايد أم تتناقص؟

إجابه

(m = dfrac {4-3} {0-2} = dfrac {1} {- 2} = - dfrac {1} {2} ) ؛ المتناقص بسبب (م <0 )

يمكننا الآن إيجاد معدل التغيير بالنظر إلى زوجين من المدخلات والمخرجات ، ويمكننا كتابة معادلة للدالة الخطية بمجرد أن نحصل على معدل التغيير والقيمة الأولية. إذا كان لدينا زوجان من المدخلات والمخرجات ولم يتضمنا القيمة الأولية للدالة ، فسنضطر إلى حلها.

مثال ( PageIndex {5} )

اكتب معادلة للدالة الخطية مرسومة إلى اليمين.

المحلول

بالنظر إلى الرسم البياني ، قد نلاحظ أنه يمر بالنقطتين (0 ، 7) و (4 ، 4). من القيمة الأولى ، نعلم أن القيمة الأولية للدالة هي (b = 7 ) ، لذلك في هذه الحالة سنحتاج فقط إلى حساب معدل التغيير:

[m = dfrac {4-7} {4-0} = dfrac {-3} {4} nonumber ]

هذا يسمح لنا بكتابة المعادلة:

[f (x) = 7- dfrac {3} {4} x nonumber ]

مثال ( PageIndex {6} )

إذا كانت (f (x) ) دالة خطية ، (f (3) = - 2 ) ، و (f (8) = 1 ) ، ابحث عن معادلة للدالة.

المحلول

في المثال 3 ، حسبنا معدل التغيير ليكون (m = dfrac {3} {5} ). في هذه الحالة ، لا نعرف القيمة الأولية (f (0) ) ، لذلك سيتعين علينا حلها. باستخدام معدل التغيير ، نعلم أن المعادلة سيكون لها الشكل (f (x) = b + dfrac {3} {5} x ). نظرًا لأننا نعرف قيمة الدالة عند (x = 3 ) ، يمكننا تقييم الدالة عند 3.

[f (3) = b + dfrac {3} {5} (3) nonumber ] بما أننا نعلم أن (f (3) = - 2 ) ، يمكننا الاستبدال في الجانب الأيسر

[- 2 = b + dfrac {3} {5} (3) nonumber ] هذا يترك لنا معادلة يمكننا حلها من أجل القيمة الأولية

[b = -2- dfrac {9} {5} = dfrac {-19} {5} nonumber ]

بدمج هذا مع قيمة معدل التغيير ، يمكننا الآن كتابة صيغة لهذه الدالة:

[f (x) = dfrac {-19} {5} + dfrac {3} {5} x nonumber ]

مثال ( PageIndex {7} )

من خلال العمل كمندوب مبيعات تأمين ، يكسب إيليا راتبًا أساسيًا وعمولة على كل بوليصة تأمين جديدة ، لذلك يعتمد الدخل الأسبوعي لإيليا ، (I ) ، على عدد السياسات الجديدة ، (n ) ، التي يبيعها خلال الأسبوع. في الأسبوع الماضي ، باع 3 وثائق جديدة ، وحقق 760 دولارًا عن الأسبوع. في الأسبوع السابق ، باع 5 وثائق جديدة ، وحقق 920 دولارًا. ابحث عن معادلة (I (n) ) ، وفسر معنى مكونات المعادلة.

المحلول

تعطينا المعلومات المعطاة زوجين من المدخلات والمخرجات: (3760) و (5920). نبدأ بإيجاد معدل التغيير.

[m = dfrac {920-760} {5-3} = dfrac {160} {2} = 80 nonumber ]

يمكن أن يساعدنا تتبع الوحدات في تفسير هذه الكمية. زاد الدخل بمقدار 160 دولارًا عندما زاد عدد السياسات بمقدار 2 ، وبالتالي فإن معدل التغيير هو 80 دولارًا لكل بوليصة ؛ يكسب إيليا عمولة قدرها 80 دولارًا عن كل وثيقة يتم بيعها خلال الأسبوع.

يمكننا بعد ذلك إيجاد القيمة الأولية

[I (n) = b + 80n nonumber ] ثم عندما (n = 3 ) ، (I (3) = 760 ) ، إعطاء

[760 = b + 80 (3) nonumber ] هذا يسمح لنا بحل (b )

[ب = 760-80 (3) = 520 بدون رقم ]

هذه القيمة هي قيمة البداية للدالة. هذا هو دخل إيليا عندما (n = 0 ) ، مما يعني عدم بيع بوالص التأمين الجديدة. يمكننا تفسير هذا على أنه الراتب الأساسي لإيليا للأسبوع ، والذي لا يعتمد على عدد الوثائق المباعة.

كتابة المعادلة النهائية:

[أنا (ن) = 520 + 80 ن بلا رقم ]

تفسيرنا النهائي هو: الراتب الأساسي لإيليا هو 520 دولارًا أمريكيًا في الأسبوع ، وهو يكسب عمولة إضافية قدرها 80 دولارًا أمريكيًا عن كل وثيقة يتم بيعها كل أسبوع.

استرجاع

النظر إلى المثال 7:

حدد المتغيرات المستقلة والتابعة.

ما هو المجال والنطاق المعقول؟

هل هذه الوظيفة فردية؟

إجابه

(n ) (عدد السياسات المباعة) هو المتغير المستقل

(I (n) ) (الدخل الأسبوعي كدالة لسياسات البيع) هو المتغير التابع.

النطاق المعقول هو (0 ، 15) ({} ^ {*} )

النطاق المعقول هو (540 دولارًا ، 1740 دولارًا) ({} ^ {*} )

({} ^ {*} ) قد تختلف الإجابات نظرًا لذكر المنطق ؛ 15 هو الحد الأعلى التعسفي على أساس بيع 3 سياسات في اليوم في أسبوع عمل 5 أيام و 1740 دولارًا يتوافق مع المجال.

نعم هذه الوظيفة هي واحد لواحد

تمرين ( PageIndex {3} )

الرصيد في حساب دفع كليتك ، (C ) ، هو دالة لعدد الأرباع ، (q ) ، التي تحضرها. فسر الدالة (C (a) = 20000-4000q ) بالكلمات. كم عدد أرباع الكلية التي يمكنك دفع رسومها حتى يصبح هذا الحساب فارغًا؟

إجابه

يبدأ حساب الكلية الخاص بك بمبلغ 20000 دولار فيه ، وتقوم بسحب 4000 دولار كل ربع سنة (أو يحتوي حسابك على 20000 دولار وينخفض ​​بمقدار 4000 دولار كل ربع سنة.) حل (C (a) = 0 ) يعطي (أ = 5 ). يمكنك الدفع مقابل 5 أرباع قبل نفاد الأموال الموجودة في هذا الحساب.

مثال ( PageIndex {8} )

بالنظر إلى الجدول أدناه ، اكتب معادلة خطية تمثل قيم الجدول

(w ) ، عدد الأسابيع0246
(P (w) ) ، عدد الفئران1000108011601240

المحلول

يمكننا أن نرى من الجدول أن القيمة الأولية للفئران هي 1000 حتى في التنسيق الخطي

[P (w) = b + mw، : b = 1000 nonumber ]

بدلاً من إيجاد قيمة (م ) ، يمكننا أن نلاحظ من الجدول أن عدد السكان يرتفع بمقدار 80 لكل أسبوعين بعد ذلك. هذا المعدل ثابت من الأسبوع 0 إلى الأسبوع 2 و 4 و 6. معدل التغيير هو 80 جرذًا لكل أسبوعين. يمكن تبسيط هذا إلى 40 جرذًا في الأسبوع ويمكننا الكتابة

[P (w) = b + mw text {as} P (w) = 1000 + 40w nonumber ]

إذا لم تكن قد لاحظت ذلك من الجدول ، فلا يزال بإمكانك إيجاد الميل باستخدام أي نقطتين من الجدول. على سبيل المثال ، باستخدام (2 ، 1080) و (6 ، 1240) ،

[m = dfrac {1240-1080} {6-2} = dfrac {160} {4} = 40 text {الفئران في الأسبوع} nonumber ]

موضوعات مهمة في هذا القسم

  • تعريف النمذجة
  • تعريف دالة خطية
  • هيكل دالة خطية
  • زيادة الوظائف وتقليلها
  • إيجاد التقاطع الرأسي (0 ، ب)
  • إيجاد المنحدر / معدل التغيير ، م
  • تفسير الدوال الخطية


شاهد الفيديو: Graphing Linear Functions - الدالة الخطية - الدوال الخطية - التمثيل البياني لدالة خطية (شهر اكتوبر 2021).