مقالات

9.3: حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع - الرياضيات


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • أكمل مربع التعبير ذي الحدين
  • حل المعادلات التربيعية بالصيغة (x ^ {2} + bx + c = 0 ) بإكمال المربع
  • حل المعادلات التربيعية بالصيغة (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) بإكمال المربع

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. وسّع: ((x + 9) ^ {2} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 5.32.
  2. حلل العامل (y ^ {2} -14 y + 49 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 6.9.
  3. العامل (5 n ^ {2} +40 n + 80 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 6.14.

لقد حللنا حتى الآن المعادلات التربيعية عن طريق التحليل واستخدام خاصية الجذر التربيعي. في هذا القسم ، سنحل المعادلات التربيعية بعملية تسمى استكمال المربع، وهو أمر مهم لعملنا على المخروطيات لاحقًا.

أكمل مربع التعبير ذي الحدين

في القسم الأخير ، تمكنا من استخدام خاصية الجذر التربيعي لحل المعادلة ((y-7) ^ {2} = 12 ) لأن الجانب الأيسر كان مربعًا كاملًا.

لقد حللنا أيضًا معادلة كان فيها الجانب الأيسر عبارة عن مثلث مربع كامل ، ولكن كان علينا إعادة كتابته بالصيغة ((x − k) ^ {2} ) لاستخدام خاصية الجذر التربيعي.

ماذا يحدث إذا لم يكن المتغير جزءًا من مربع كامل؟ هل يمكننا استخدام الجبر لعمل مربع كامل؟

دعونا نلقي نظرة على مثالين لمساعدتنا في التعرف على الأنماط.

نعيد صياغة الأنماط هنا للرجوع إليها.

التعريف ( PageIndex {1} ): نمط المربعات ذات الحدين

إذا كان (أ ) و (ب ) أرقامًا حقيقية ،

يمكننا استخدام هذا النمط "لعمل" مربع كامل.

سنبدأ بالتعبير (x ^ {2} +6 x ). نظرًا لوجود علامة الجمع بين المصطلحين ، فسنستخدم النمط ((a + b) ^ {2} ) ، (a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} = (a + ب) ^ {2} ).

نحتاج في النهاية إلى إيجاد الحد الأخير من هذه الثلاثية والذي سيجعله مربعًا كاملًا ثلاثي الحدود. للقيام بذلك ، سنحتاج إلى إيجاد (ب ). لكن أولاً نبدأ بتحديد (أ ). لاحظ أن المصطلح الأول لـ (x ^ {2} + 6x ) مربع ، (x ^ {2} ). يخبرنا هذا أن (أ = س ).

ما الرقم ، (ب ), عندما تضرب بـ (2x ) يعطي (6x )؟ يجب أن يكون (3 ) ، وهو ( frac {1} {2} (6) ). لذلك (ب = 3 ).

الآن لإكمال المثلث الثلاثي للمربع الكامل ، سنجد الحد الأخير من خلال تربيع (b ) ، وهو (3 ^ {2} = 9 ).

يمكننا الآن أن نأخذ في الحسبان.

لذلك وجدنا أن إضافة (9 ) إلى (x ^ {2} +6 x ) "يكمل المربع" ، ونكتبه كـ ((x + 3) ^ {2} ).

Howto: أكمل مربع (x ^ {2} + bx )

  1. حدد (ب ) معامل (س ).
  2. ابحث عن ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ) ، الرقم لإكمال المربع.
  3. أضف ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ) إلى (x ^ {2} + bx ).
  4. حلل المثلث التربيعي الكامل إلى عوامل ، اكتبه في صورة تربيع ذي الحدين.

مثال ( PageIndex {1} )

أكمل المربع للحصول على ثلاثي حدود مربع كامل. ثم اكتب النتيجة في شكل مربع ذي الحدين.

  1. (س ^ {2} -26 س )
  2. (ص ^ {2} -9 ص )
  3. (n ^ {2} + frac {1} {2} n )

المحلول:

أ.

معامل (x ) هو -26.

ابحث عن ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ).

( left ( frac {1} {2} cdot (-26) right) ^ {2} )
((13)^{2})
169

أضف (169 ) إلى ذات الحدين لإكمال المربع.

(× ^ {2} -26 × + 169 )

حلل المثلث التربيعي الكامل إلى عوامل ، اكتبه في صورة تربيع ذي الحدين.

((x-13) ^ {2} )

ب.

معامل (ص ) هو (- 9 ).

ابحث عن ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ).

( left ( frac {1} {2} cdot (-9) right) ^ {2} )
( left (- frac {9} {2} right) ^ {2} )
( فارك {81} {4} )

أضف ( frac {81} {4} ) إلى ذي الحدين لإكمال المربع.

(y ^ {2} -9 y + frac {81} {4} )

حلل المثلث التربيعي الكامل إلى عوامل ، اكتبه في صورة تربيع ذي الحدين.

( left (y- frac {9} {2} right) ^ {2} )

ج.

معامل (n ) هو ( frac {1} {2} ).

ابحث عن ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ).

( left ( frac {1} {2} cdot frac {1} {2} right) ^ {2} )
( left ( frac {1} {4} right) ^ {2} )
( فارك {1} {16} )

أضف ( frac {1} {16} ) إلى ذي الحدين لإكمال المربع. (n ^ {2} + frac {1} {2} n + frac {1} {16} )
أعد الكتابة كمربع ذي الحدين. ( يسار (n + فارك {1} {4} يمين) ^ {2} )

تمرين ( PageIndex {1} )

أكمل المربع للحصول على ثلاثي حدود مربع كامل. ثم اكتب النتيجة في شكل مربع ذي الحدين.

  1. (أ ^ {2} -20 أ )
  2. (م ^ {2} -5 م )
  3. (p ^ {2} + frac {1} {4} ص )
إجابه
  1. ((أ -10) ^ {2} )
  2. ( left (b- frac {5} {2} right) ^ {2} )
  3. ( left (p + frac {1} {8} right) ^ {2} )

تمرين ( PageIndex {2} )

أكمل المربع للحصول على ثلاثي حدود مربع كامل. ثم اكتب النتيجة في شكل مربع ذي الحدين.

  1. (ب ^ {2} -4 ب )
  2. (n ^ {2} +13 n )
  3. (q ^ {2} - frac {2} {3} q )
إجابه
  1. ((ب -2) ^ {2} )
  2. ( left (n + frac {13} {2} right) ^ {2} )
  3. ( left (q- frac {1} {3} right) ^ {2} )

حل المعادلات التربيعية بالصيغة (x ^ {2} + bx + c = 0 ) بإكمال المربع

عند حل المعادلات ، يجب أن نفعل الشيء نفسه دائمًا لكلا طرفي المعادلة. هذا صحيح ، بالطبع ، عندما نحل أ معادلة من الدرجة الثانية بواسطة استكمال المربع أيضا. عندما نضيف حدًا إلى أحد طرفي المعادلة لنحصل على مربع كامل ثلاثي الحدود ، يجب علينا أيضًا إضافة المصطلح نفسه إلى الجانب الآخر من المعادلة.

على سبيل المثال ، إذا بدأنا بالمعادلة (x ^ {2} + 6x = 40 ) ، وأردنا إكمال المربع الموجود على اليسار ، فسنضيف 9 إلى كلا طرفي المعادلة.

الآن المعادلة في صيغة يتم حلها باستخدام خاصية الجذر التربيعي! يُعد إكمال المربع طريقة لتحويل المعادلة إلى الشكل الذي نحتاجه حتى نتمكن من استخدام خاصية الجذر التربيعي.

مثال ( PageIndex {2} ) كيفية حل معادلة من الدرجة الثانية للصيغة (x ^ {2} + bx + x = 0 ) بإكمال المربع

حل بإكمال المربع: (x ^ {2} + 8x = 48 ).

المحلول:

الخطوة 1: افصل الحدود المتغيرة في جانب والثابت على الجانب الآخر.تحتوي هذه المعادلة على جميع المتغيرات على اليسار. ( start {array} {l} { color {red} {x ^ {2} + bx quad : : : c}} {x ^ {2} +8 x = 48} نهاية {مجموعة} )
الخطوة 2: ابحث عن ( left ( frac {1} {2} cdot b right) ^ {2} ) ، الرقم لإكمال المربع. أضفه إلى طرفي المعادلة.

خذ نصف (8 ) وربعه.

(4^{2}=16)

أضف (16 ) إلى كلا طرفي المعادلة.

(x ^ {2} +8 x + frac {} { color {red} { left ( frac {1} {2} cdot 8 right) ^ {2}}} color {black} { =} 48 )

(x ^ {2} +8 x color {red} {+ 16} color {black} {=} 48 color {red} {+ 16} )

الخطوه 3: حلل المثلث التربيعي الكامل كمربع ذي الحدين.

(س ^ {2} +8 س + 16 = (س + 4) ^ {2} )

أضف الشروط على اليمين.

((س + 4) ^ {2} = 64 )
الخطوة 4: استخدم خاصية الجذر التربيعي. (x + 4 = pm sqrt {64} )
الخطوة الخامسة: بسّط الجذر ثم حل المعادلتين الناتجتين.

(س + 4 = مساء 8 )

الخطوة 6: تحقق من الحلول.ضع كل إجابة في المعادلة الأصلية للتحقق منها. عوّض (x = 4 ) و (x = -12 ).

( start {array} {r} {x ^ {2} +8 x = 48} {( color {red} {4} color {black} {)} ^ {2} +8 ( color {red} {4} color {black} {)} stackrel {؟} {=} 48} {16 + 32 stackrel {؟} {=} 48} {48 = 48} end {مجموعة مصفوفة})

تمرين ( PageIndex {3} )

حل بإكمال المربع: (x ^ {2} +4 x = 5 ).

إجابه

(س = -5 ، س = -1 )

تمرين ( PageIndex {4} )

حل بإكمال المربع: (y ^ {2} −10y = −9 ).

إجابه

(ص = 1 ، ص = 9 )

خطوات حل المعادلة التربيعية بإكمال المربع مذكورة هنا.

حل معادلة من الدرجة الثانية بالصيغة (x ^ {2} + bx + c = 0 ) بإكمال المربع

  1. افصل الحدود المتغيرة في جانب والحدود الثابتة في الجانب الآخر.
  2. ابحث عن ( left ( frac {1} {2} cdot b right) ^ {2} ) ، الرقم المطلوب لإكمال المربع. أضفه إلى طرفي المعادلة.
  3. حلل المثلث التربيعي الكامل إلى عوامل ، وكتابته في صورة تربيع ذي الحدين على اليسار ، وبسّط بإضافة الحدود على اليمين.
  4. استخدم خاصية الجذر التربيعي.
  5. بسّط الجذر ثم حل المعادلتين الناتجتين.
  6. تحقق من الحلول.

عندما نحل معادلة بإكمال المربع ، لن تكون الإجابات دائمًا أعدادًا صحيحة.

مثال ( PageIndex {3} )

حل بإكمال المربع: (x ^ {2} +4 x = -21 ).

المحلول:

الشروط المتغيرة على الجانب الأيسر.

خذ نصف (4 ) وقم بتربيته.

( left ( frac {1} {2} (4) right) ^ {2} = 4 )
أضف (4 ) إلى كلا الجانبين.
حلل المثلث التربيعي الكامل إلى عوامل ، اكتبه في صورة تربيع ذي الحدين.
استخدم خاصية الجذر التربيعي.
التبسيط باستخدام الأعداد المركبة.
اطرح (2 ) من كل جانب.
أعد الكتابة لإظهار حلين.
نترك لك الشيك.

تمرين ( PageIndex {5} )

حل بإكمال المربع: (y ^ {2} -10 y = -35 ).

إجابه

(y = 5 + sqrt {15} i، y = 5- sqrt {15 i} )

تمرين ( PageIndex {6} )

حل بإكمال المربع: (z ^ {2} +8 z = -19 ).

إجابه

(z = -4 + sqrt {3} i، z = -4- sqrt {3} i )

في المثال السابق ، كانت حلولنا عبارة عن أعداد مركبة. في المثال التالي ، ستكون الحلول أرقامًا غير منطقية.

مثال ( PageIndex {4} )

حل بإكمال المربع: (y ^ {2} -18 y = -6 ).

المحلول:

الشروط المتغيرة على الجانب الأيسر. خذ نصف (- 18 ) وقم بتربيته.
( left ( frac {1} {2} (- 18) right) ^ {2} = 81 )
أضف (81 ) للجانبين.
حلل المثلث التربيعي الكامل إلى عوامل ، اكتبه في صورة تربيع ذي الحدين.
استخدم خاصية الجذر التربيعي.
بسّط الجذر.
حل من أجل (ص ).

التحقق من.

هناك طريقة أخرى للتحقق من ذلك وهي استخدام الآلة الحاسبة. أوجد قيمة (y ^ {2} −18y ) لكلا الحلين. يجب أن تكون الإجابة (- 6 ).

تمرين ( PageIndex {7} )

حل بإكمال المربع: (x ^ {2} -16 x = -16 ).

إجابه

(س = 8 + 4 الجذر التربيعي {3} ، س = 8-4 الجذر التربيعي {3} )

تمرين ( PageIndex {8} )

حل بإكمال المربع: (y ^ {2} +8 y = 11 ).

إجابه

(y = -4 + 3 sqrt {3}، y = -4-3 sqrt {3} )

سنبدأ المثال التالي بعزل الحدود المتغيرة على الجانب الأيسر من المعادلة.

تمرين ( PageIndex {9} )

حل بإكمال المربع: (a ^ {2} +4 a + 9 = 30 ).

إجابه

(أ = -7 ، أ = 3 )

تمرين ( PageIndex {10} )

حل بإكمال المربع: (b ^ {2} +8 b-4 = 16 ).

إجابه

(ب = -10 ، ب = 2 )

لحل المعادلة التالية ، يجب علينا أولاً جمع كل الحدود المتغيرة على الجانب الأيسر من المعادلة. ثم ننتقل كما فعلنا في الأمثلة السابقة.

مثال ( PageIndex {6} )

حل بإكمال المربع: (n ^ {2} = 3 n + 11 ).

المحلول:

اطرح (3n ) للحصول على الحدود المتغيرة في الجانب الأيسر.
خذ نصف (- 3 ) وقم بتربيته.
( left ( frac {1} {2} (- 3) right) ^ {2} = frac {9} {4} )
أضف ( frac {9} {4} ) إلى كلا الجانبين.
حلل المثلث التربيعي الكامل إلى عوامل ، اكتبه في صورة تربيع ذي الحدين.
أضف الكسور على الجانب الأيمن.
استخدم خاصية الجذر التربيعي.
بسّط الجذر.
حل من أجل (n ).
أعد الكتابة لإظهار حلين.

التحقق من:

نترك الشيك لك!

تمرين ( PageIndex {11} )

حل بإكمال المربع: (p ^ {2} = 5 p + 9 ).

إجابه

(p = frac {5} {2} + frac { sqrt {61}} {2} ، p = frac {5} {2} - frac { sqrt {61}} {2} )

تمرين ( PageIndex {12} )

حل بإكمال المربع: (q ^ {2} = 7 q-3 ).

إجابه

(q = frac {7} {2} + frac { sqrt {37}} {2} ، q = frac {7} {2} - frac { sqrt {37}} {2} )

لاحظ أن الجانب الأيسر من المعادلة التالية في صورة عوامل. لكن الجانب الأيمن ليس صفرًا. لذلك ، لا يمكننا استخدام خاصية المنتج الصفري لأنه يقول "If (a⋅b = 0 ) ، ثم (a = 0 ) أو (b = 0 )." بدلاً من ذلك ، نضرب العوامل ثم نضع المعادلة في الصورة القياسية لحلها عن طريق إكمال المربع.

مثال ( PageIndex {7} )

حل بإكمال المربع: ((x-3) (x + 5) = 9 ).

المحلول:

نحن نضاعف ذات الحدين على اليسار.
أضف (15 ) لعزل الحدود الثابتة على اليمين.
خذ نصف (2 ) وقم بتربيته.
( left ( frac {1} {2} cdot (2) right) ^ {2} = 1 )
أضف (1 ) إلى كلا الجانبين.
حلل المثلث التربيعي الكامل إلى عوامل ، اكتبه في صورة تربيع ذي الحدين.
استخدم خاصية الجذر التربيعي.
حل ل x).
أعد الكتابة لإظهار حلين.
تبسيط.

التحقق من:

نترك الشيك لك!

تمرين ( PageIndex {13} )

حل بإكمال المربع: ((c-2) (c + 8) = 11 ).

إجابه

(ج = -9 ، ج = 3 )

تمرين ( PageIndex {14} )

حل بإكمال المربع: ((د -7) (د + 3) = 56 ).

إجابه

(د = 11 ، د = -7 )

حل المعادلات التربيعية بالصيغة (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) بإكمال المربع

عملية استكمال المربع يعمل بشكل أفضل عندما يكون معامل (x ^ {2} ) هو (1 ) ، لذلك يكون الجانب الأيسر من المعادلة على الشكل (x ^ {2} + bx + c ). إذا كان للمصطلح (x ^ {2} ) معامل غير (1 ) ، فإننا نتخذ بعض الخطوات الأولية لجعل المعامل يساوي (1 ).

في بعض الأحيان ، يمكن تحليل المعامل إلى عوامل من جميع الحدود الثلاثية للحدود. ستكون هذه استراتيجيتنا في المثال التالي.

تمرين ( PageIndex {15} )

حل بإكمال المربع: (2 م ^ {2} +16 م + 14 = 0 ).

إجابه

(م = -7 ، م = -1 )

تمرين ( PageIndex {16} )

حل بإكمال المربع: (4 n ^ {2} -24 n-56 = 8 ).

إجابه

(n = -2، n = 8 )

لإكمال المربع ، يجب أن يكون معامل (x ^ {2} ) هو (1 ). عندما قيادة معامل في الرياضيات او درجة ليس عاملاً لجميع المصطلحات ، فسنقسم كلا طرفي المعادلة على المعامل الرئيسي! سيعطينا هذا كسرًا للمعامل الثاني. لقد رأينا بالفعل كيفية إكمال المربع بالكسور في هذا القسم.

مثال ( PageIndex {9} )

حل بإكمال المربع: (2 x ^ {2} -3 x = 20 ).

المحلول:

لإكمال المربع ، نحتاج إلى معامل (x ^ {2} ) ليكون واحدًا. سنقسم كلا طرفي المعادلة على معامل (x ^ {2} ). ثم يمكننا متابعة حل المعادلة بإكمال المربع.

اقسم كلا الجانبين على (2 ) لتحصل على معامل (x ^ {2} ) ليكون (1 ).
تبسيط.
خذ نصف (- frac {3} {2} ) وقم بتربيعه.
( left ( frac {1} {2} left (- frac {3} {2} right) right) ^ {2} = frac {9} {16} )
أضف ( frac {9} {16} ) إلى كلا الجانبين.
حلل المثلث التربيعي الكامل إلى عوامل ، اكتبه في صورة تربيع ذي الحدين.
أضف الكسور على الجانب الأيمن.
استخدم خاصية الجذر التربيعي.
بسّط الجذر.
حل ل x).
أعد الكتابة لإظهار حلين.
تبسيط.

التحقق من:

نترك الشيك لك!

تمرين ( PageIndex {17} )

حل بإكمال المربع: (3 r ^ {2} -2 r = 21 ).

إجابه

(r = - frac {7} {3} ، r = 3 )

تمرين ( PageIndex {18} )

حل بإكمال المربع: (4 t ^ {2} +2 t = 20 ).

إجابه

(t = - فارك {5} {2} ، t = 2 )

الآن وقد رأينا أن معامل (x ^ {2} ) يجب أن يكون (1 ) لإكمال المربع ، نقوم بتحديث الإجراء الخاص بنا لحل معادلة من الدرجة الثانية بإكمال المربع لتضمين المعادلات بالصيغة (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

Howto: حل معادلة من الدرجة الثانية للصيغة (a x ^ {2} + b x + c = 0 ) بإكمال المربع

  1. اقسم على aa لتحصل على معامل (x ^ {2} ) الحد (1 ).
  2. افصل الحدود المتغيرة في جانب والحدود الثابتة في الجانب الآخر.
  3. ابحث عن ( left ( frac {1} {2} cdot b right) ^ {2} ) ، الرقم المطلوب لإكمال المربع. أضفه إلى طرفي المعادلة.
  4. حلل المثلث التربيعي الكامل إلى عوامل ، وكتابته في صورة تربيع ذي الحدين على اليسار ، وبسّط بإضافة الحدود على اليمين.
  5. استخدم خاصية الجذر التربيعي.
  6. بسّط الجذر ثم حل المعادلتين الناتجتين.
  7. تحقق من الحلول.

مثال ( PageIndex {10} )

حل بإكمال المربع: (3 x ^ {2} +2 x = 4 ).

المحلول:

مرة أخرى ، ستكون خطوتنا الأولى هي جعل المعامل (x ^ {2} ) واحدًا. بقسمة طرفي المعادلة على معامل (x ^ {2} ) ، يمكننا بعد ذلك متابعة حل المعادلة بإكمال المربع.

اقسم كلا الجانبين على (3 ) لتجعل معامل (x ^ {2} ) يساوي (1 ).
تبسيط.
خذ نصف ( frac {2} {3} ) وقم بتربيعه.
( left ( frac {1} {2} cdot frac {2} {3} right) ^ {2} = frac {1} {9} )
أضف ( frac {1} {9} ) إلى كلا الجانبين.
حلل المثلث التربيعي الكامل إلى عوامل ، اكتبه في صورة تربيع ذي الحدين.
استخدم خاصية الجذر التربيعي.
بسّط الجذر.
حل ل x).
أعد الكتابة لإظهار حلين.

التحقق من:

نترك الشيك لك!

تمرين ( PageIndex {19} )

حل بإكمال المربع: (4 x ^ {2} +3 x = 2 ).

إجابه

(x = - frac {3} {8} + frac { sqrt {41}} {8} ، x = - frac {3} {8} - frac { sqrt {41}} {8 } )

تمرين ( PageIndex {20} )

حل بإكمال المربع: (3 y ^ {2} -10 y = -5 ).

إجابه

(y = frac {5} {3} + frac { sqrt {10}} {3} ، y = frac {5} {3} - frac { sqrt {10}} {3} )

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية مع إكمال المربع.

  • إكمال المثلثات التربيعية المثالية
  • استكمال المربع 1
  • إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية
  • إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية: مزيد من الأمثلة
  • استكمال المربع 4

المفاهيم الرئيسية

  • نمط المربعات ذات الحدين
    إذا كان (أ ) و (ب ) أرقامًا حقيقية ،
  • كيف تكمل مربع
    1. حدد (ب ) معامل (س ).
    2. ابحث عن ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ) ، الرقم لإكمال المربع.
    3. أضف ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ) إلى (x ^ {2} + bx )
    4. أعد كتابة ثلاثي الحدود كمربع ذي الحدين
  • كيفية حل المعادلة التربيعية للصيغة (أ س ^ {2} + ب س + ج = 0 ) بإكمال المربع.
    1. اقسم على (a ) لتحصل على معامل (x ^ {2} ) الحد (1 ).
    2. افصل الحدود المتغيرة في جانب والحدود الثابتة في الجانب الآخر.
    3. ابحث عن ( left ( frac {1} {2} cdot b right) ^ {2} ) ، الرقم المطلوب لإكمال المربع. أضفه إلى طرفي المعادلة.
    4. حلل المثلث التربيعي الكامل إلى عوامل ، اكتبه في صورة تربيع ذي الحدين على اليسار وبسّط بإضافة الحدود على اليمين.
    5. استخدم خاصية الجذر التربيعي.
    6. بسّط الجذر ثم حل المعادلتين الناتجتين.
    7. تحقق من الحلول.

حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

لقد حللنا حتى الآن المعادلات التربيعية عن طريق التحليل واستخدام خاصية الجذر التربيعي. في هذا القسم ، سنحل المعادلات التربيعية بعملية تسمى استكمال المربع، وهو أمر مهم لعملنا على المخروطيات لاحقًا.

أكمل مربع التعبير ذي الحدين

في القسم الأخير ، تمكنا من استخدام ملف خاصية الجذر التربيعي لحل المعادلة (ذ - 7) 2 = 12 لأن الطرف الأيسر مربع كامل.

لقد حللنا أيضًا معادلة كان فيها الجانب الأيسر عبارة عن مربع كامل ثلاثي الحدود ، ولكن كان علينا إعادة كتابته بالصيغة (x - k) 2

من أجل استخدام خاصية الجذر التربيعي.

ماذا يحدث إذا لم يكن المتغير جزءًا من مربع كامل؟ هل يمكننا استخدام الجبر لعمل مربع كامل؟

دعونا نلقي نظرة على مثالين لمساعدتنا في التعرف على الأنماط.

نعيد صياغة الأنماط هنا للرجوع إليها.

لو أ و ب هي أرقام حقيقية ،

يمكننا استخدام هذا النمط "لعمل" مربع كامل.

سنبدأ بالتعبير x 2 + 6x. نظرًا لوجود علامة زائد بين المصطلحين ، فسنستخدم (أ + ب) 2 نمط ، أ 2 + 2أب + ب 2 = (أ + ب) 2 .

نحتاج في النهاية إلى إيجاد الحد الأخير من هذه الثلاثية والذي سيجعله مربعًا كاملًا ثلاثي الحدود. للقيام بذلك سنحتاج أن نجد ب. لكن أولاً نبدأ بالتحديد أ. لاحظ أن الفصل الأول من x 2 + 6x هو مربع x 2. هذا يخبرنا بذلك أ = x.

أي رقم، ب، عندما تضرب في 2x يعطي 6x؟ يجب أن يكون 3 ، وهو 1 2 (6).

الآن لإكمال المربع الكامل ثلاثي الحدود ، سنجد الحد الأخير من خلال التربيع بوهي 3 2 = 9.

يمكننا الآن التحليل.

إذن وجدنا أن جمع 9 إلى x 2 + 6x "يكمل المربع" ، ونكتبه كـ (x + 3) 2 .

الرقم لإكمال المربع.

أكمل المربع للحصول على ثلاثي حدود مربع كامل. ثم اكتب النتيجة في شكل مربع ذي الحدين.

معامل x هو 26.
أوجد (1 2 ب) 2. (1 2 · (26)) 2 (13) 2196
أضف 169 إلى ذات الحدين لإكمال المربع.
حلل المثلث التربيعي الكامل إلى عوامل ، اكتبه في صورة تربيع ذي الحدين.

معامل y هو −9.
أوجد (1 2 ب) 2. (1 2 · (9)) 2 (- 9 2) 2 81 4
أضف 81 4 إلى ذات الحدين لإكمال المربع.
حلل المثلث التربيعي الكامل إلى عوامل ، اكتبه في صورة تربيع ذي الحدين.

معامل ن

أوجد (1 2 ب) 2. (1 2 · 1 2) 2 (1 4) 2 1 16
أضف 1 16
إلى ذي الحدين لإكمال المربع.
أعد الكتابة كمربع ذي الحدين.

أكمل المربع للحصول على ثلاثي حدود مربع كامل. ثم اكتب النتيجة في شكل مربع ذي الحدين.


9.3: حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع - الرياضيات

8.2 الجذور ذات الترتيب الأعلى التي تحتوي على

المتغيرات. 8.3 تبسيط التعبيرات الجذرية. 8.4

جمع وطرح التعبيرات الجذرية. 8.5

ضرب وقسمة التعبيرات الجذرية. 8.6

حل المعادلات الجذرية صيغة المسافة.

8.7 الأسس العقلانية. ملخص الفصل و

إعادة النظر. اختبار الفصل. مراجعة تراكمية. 9.

المعادلات التربيعية. 9.1 حل التربيعية

المعادلات: خاصية الجذر التربيعي. 9.2 الحل

المعادلات التربيعية: إكمال المربع.

9.3 حل المعادلات التربيعية: التربيعي

معادلة. 9.4 الرسم البياني المعادلات التربيعية. 9.5

ارقام مركبة. ملخص الفصل والمراجعة.

اختبار الفصل. مراجعة تراكمية. ملحق 1

إحصائيات. الملحق 2 الجذور والسلطات.

آلان س.توسي ، كلية الحمضيات ، ديان كونيج ، كلية روك فالي


مرحبًا بك في دليل الدرس المجاني هذا المصاحب لإكمال المربع الموضح! فيديو تعليمي ، حيث ستتعرف على إجابات الأسئلة والمعلومات الرئيسية التالية:

ما هي صيغة استكمال الصيغة التربيعية؟

كيف يمكنني حل المشكلة بإكمال المربع؟

كيف يمكنني إتقان حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع؟

ما هي خطوات استكمال المربع؟

هذه الدليل الكامل لإكمال الساحة يتضمن العديد من الأمثلة ، ودرسًا تعليميًا تفصيليًا ، ودرسًا مصغرًا لفيديو متحرك ، وورقة عمل مجانية ومفتاح إجابة.


المعادلات التربيعية

القطع المكافئ لها أعلى أو أدنى نقطة تسمى الرأس. يتم فتح القطع المكافئ الخاص بنا وبالتالي يكون لديه أدنى نقطة (الحد الأدنى المطلق AKA). نحن نعلم هذا حتى قبل رسم "y" لأن معامل الحد الأول ، 1 ، موجب (أكبر من الصفر).

لكل قطع مكافئ خط عمودي من التماثل يمر عبر قمته. بسبب هذا التناظر ، سيمر خط التناظر ، على سبيل المثال ، عبر نقطة منتصف تقاطع x (الجذور أو الحلول) للقطع المكافئ. هذا هو ، إذا كان للقطع المكافئ حلين حقيقيين بالفعل.

يمكن أن تشكل القطع المكافئة نموذجًا للعديد من مواقف الحياة الواقعية ، مثل الارتفاع فوق الأرض لجسم ما تم إلقاؤه لأعلى بعد فترة زمنية معينة. يمكن لرأس القطع المكافئ أن يزودنا بمعلومات ، مثل أقصى ارتفاع يمكن أن يصل إليه هذا الجسم ، عندما يُلقى إلى أعلى. لهذا السبب نريد أن نتمكن من إيجاد إحداثيات الرأس.

بالنسبة لأي قطع مكافئ ، Ax 2 + Bx + C ، يُعطى المحور x للرأس بواسطة -B / (2A). الإحداثي x في حالتنا هو 2.0000

بالتعويض في صيغة القطع المكافئ 2.0000 لـ x يمكننا حساب تنسيق y:
ص = 1.0 * 2.00 * 2.00 - 4.0 * 2.00 - 27.0
أو ص = -31.000

القطع المكافئ ، قمة الرسم البياني والتقاطعات السينية:

مؤامرة الجذر لـ: y = x2 -4x-27
محور التناظر (متقطع) = < 2.00>
Vertex في = < 2.00,-31.00>
x-Intercepts (Roots):
جذر 1 في = <-3.57, 0.00>
الجذر 2 في =

حل المعادلة التربيعية بإكمال المربع

2.2 حل x 2 -4x-27 = 0 بإكمال المربع.

أضف 27 إلى كلا طرفي المعادلة:
× 2 -4 س = 27

الآن البتة الذكية: خذ معامل x ، وهو 4 ، اقسم على اثنين ، ونعطي 2 ، وأخيراً تربيعها لنحصل على 4

أضف 4 لطرفي المعادلة:
على الجانب الأيمن لدينا:
27 + 4 أو (27/1) + (4/1)
المقام المشترك للكسرين هو 1 جمع (27/1) + (4/1) يعطي 31/1
إذن بإضافة كلا الجانبين نحصل أخيرًا على:
× 2 -4 س + 4 = 31

تؤدي إضافة 4 إلى إكمال الجانب الأيسر في مربع كامل:
× 2 -4 س + 4 =
(x-2) • (x-2) =
(x-2) 2
الأشياء التي تساوي نفس الشيء تتساوى أيضًا مع بعضها البعض. منذ
× 2 -4 س + 4 = 31 و
× 2 -4 س + 4 = (س -2) 2
إذن ، وفقًا لقانون العبور ،
(س -2) 2 = 31

سنشير إلى هذه المعادلة باسم Eq. # 2.2.1

ينص مبدأ الجذر التربيعي على أنه عند تساوي شيئين ، فإن جذورهما التربيعية متساوية.

لاحظ أن الجذر التربيعي لـ
(x-2) 2 هو
(x-2) 2/2 =
(x-2) 1 =
x-2

الآن ، قم بتطبيق مبدأ الجذر التربيعي على Eq. # 2.2.1 نحصل على:
س -2 = √ 31

أضف 2 إلى كلا الجانبين للحصول على:
س = 2 + 31

بما أن الجذر التربيعي له قيمتان ، إحداهما موجبة والأخرى سالبة
× 2 - 4 س - 27 = 0
له حلين:
س = 2 + 31
أو
س = 2 - 31

حل المعادلة التربيعية باستخدام الصيغة التربيعية

2.3 حل x 2 -4x-27 = 0 بالصيغة التربيعية.

وفقًا للصيغة التربيعية ، x ، يتم إعطاء حل Ax 2 + Bx + C = 0 ، حيث تكون A و B و C أرقامًا ، تسمى غالبًا معاملات ، من خلال:

- ب ± √ ب 2 -4AC
س = —————————
2 أ

في حالتنا ، أ = 1
ب = -4
ج = -27

وفقًا لذلك ، B 2 - 4AC =
16 - (-108) =
124

تطبيق الصيغة التربيعية:

نعم ! التحليل الأولي لـ 124 هو
2•2 •31
لتكون قادرًا على إزالة شيء ما من تحت الجذر ، يجب أن يكون هناك حالتان منه (لأننا نأخذ مربعًا أي جذرًا ثانيًا).

√ 31 ، مقربًا إلى 4 أرقام عشرية ، يساوي 5.5678
حتى الآن نحن ننظر إلى:
س = (4 ± 2 • 5.568) / 2


الحل: أنا لا أفهم هذا على الإطلاق لحل كل من المعادلات التربيعية التالية بإكمال المربع. س ^ 2-6 س - 3 = 0

أضف هذه النتيجة (9) للطرفين. أصبح التعبير الآن ثلاثي حدود مربع كامل.


عامل في (ملاحظة: إذا كنت بحاجة إلى مساعدة في التحليل ، تحقق من هذا الحل)

الدمج مثل الشروط في الاتجاه الصحيح

أخذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين

أضف 3 إلى كلا الجانبين لعزل x.

لذلك ينقسم التعبير إلى
أو


لذا فإن إجابتنا تقريبية
أو


عندما نستخدم ميزة البحث عن الجذر في الآلة الحاسبة ، سنجد أن تقاطعات x هي ، وبالتالي يتحقق هذا من إجابتنا.

يمكنك وضع هذا الحل على موقع الويب الخاص بك!
س ^ 2-6 س -3 = 0
علينا أن نأخذ 3 إلى الجانب الآخر بإضافة 3 إلى كلا الطرفين
س ^ 2-6 س -3 + 3 = 0 +3
س ^ 2-6 س = 3
الآن علينا إكمال المربع بقسمة 2 على 6 ثم تربيعه.
(6/2)^2 = (3)^2 = 9
نضيف الآن 9 للطرفين
س ^ 2-6 س + 9 = 3 + 9
(x-3) ^ 2 = 12
نأخذ الآن الجذر التربيعي في كلا طرفي المعادلة.

س - 3 = 2
س - 3 + 3 = 3 + 2
س = 3 + 2 أو س = 3-2
عادةً ما تستخدم علامة الجذر الصقري وعلامة الجمع أو الطرح.
آمل أن يساعدك هذا. حظا سعيدا. )


السبب الوحيد الذي جعلنا نتمكن من حلها في الصفحة السابقة هو أنهم وضعوا بالفعل جميع ملفات x داخل مربع ، حتى نتمكن من نقل الجزء العددي تمامًا من المعادلة إلى الجانب الآخر من علامة & quotals & quot ؛ ثم الجذر التربيعي لكلا الجانبين. لن يقوموا دائمًا بتنسيق الأشياء بشكل جيد مثل هذا. إذن كيف ننتقل من معادلة تربيعية عادية مثل المذكورة أعلاه إلى معادلة جاهزة للجذر التربيعي؟

سيتعين علينا & quot إكمال المربع & quot.

إليك كيفية حل المعادلة الأخيرة في الصفحة السابقة ، إذا لم يتم تنسيقها بشكل جيد بالنسبة لنا.

استخدم إكمال المربع لحل المشكلة x 2 و - 4x & ndash 8 = 0.

كما أشرنا أعلاه ، لا تحسب هذه المعادلة التربيعية في الحسبان ، لذا لا يمكنني حل المعادلة بالتحليل إلى عوامل. ولم يعطوني المعادلة بصيغة جاهزة لحساب الجذر التربيعي. لكن هناك طريقة يمكنني من خلالها معالجة المعادلة التربيعية لوضعها في هذا النموذج الجاهز للتجذير التربيعي ، حتى أتمكن من حلها.

أولاً ، أضع الرقم الحر في الجانب الآخر من المعادلة:

ثم ألقي نظرة على معامل x -المصطلح ، وهو & ndash4 في هذه الحالة. آخذ نصف هذا الرقم (بما في ذلك العلامة) ، مما يعطيني & ndash2. (أحتاج إلى تتبع هذه القيمة. ستعمل على تبسيط عملي لاحقًا.)

ثم أقوم بتربيع هذه القيمة للحصول على +4 ، وأضف هذه القيمة التربيعية إلى كلا طرفي المعادلة:

تخلق هذه العملية تعبيرًا تربيعيًا يمثل مربعًا كاملًا في الجانب الأيسر من المعادلة. يمكنني التحليل ، أو يمكنني ببساطة استبدال المعادلة التربيعية بالصيغة التربيعية ذات الحدين ، وهو المتغير ، x ، جنبًا إلى جنب مع رقم النصف الذي حصلت عليه من قبل (ولاحظت أنني سأحتاج لاحقًا) ، والذي كان & ndash2. في كلتا الحالتين ، أحصل على معادلة الجذر التربيعي:

(أعلم أنه & quot & ndash2 & quot داخل الأقواس لأن نصف & ndash4 كان & ndash2. من خلال ملاحظة العلامة عندما أجد نصف المعامل ، أساعد في منع نفسي من العبث بالإشارة لاحقًا ، عندما أقوم بالتحويل إلى شكل مربع ذي الحدين.)

(بالمناسبة ، تسمى هذه العملية & quot إكمال المربع & quot لأننا نضيف مصطلحًا لتحويل التعبير التربيعي إلى شيء عامل كمربع ذي الحدين ، أي أننا & quot؛ أكمل & & quot؛ التعبير لإنشاء مربع كامل ذي الحدين.)

الآن يمكنني إيجاد الجذر التربيعي لطرفي المعادلة وتبسيطهما وحلهما:

باستخدام هذه الطريقة ، أحصل على نفس الإجابة التي حصلت عليها من قبل وهي:

حل 2x 2 و - 5x + 1 = 0 بإكمال المربع.

هناك خطوة إضافية واحدة لحل هذه المعادلة ، لأن المعامل الرئيسي ليس 1 ، وسأقسم أولاً لتحويل المعامل الرئيسي إلى 1. ها هي عمليتي:

الآن وقد حصلت على جميع الحدود ذات المتغيرات في أحد طرفيها ، مع الحد العددي تمامًا في الطرف الآخر ، فأنا على استعداد لإكمال المربع في الطرف الأيسر. أولاً ، آخذ معامل المصطلح الخطي (مكتمل بعلامته) ، & ndash (5/2) ، واضربه في النصف ، ومربع:

ثم أضفت هذه القيمة الجديدة إلى كلا الجانبين ، وقمت بالتحويل إلى الشكل التربيعي ذي الحدين على الجانب الأيسر ، وحل:

يمكن الجمع بين المصطلحين الموجودين على الجانب الأيمن من السطر الأخير أعلاه فوق قاسم مشترك ، وغالبًا ما يتم كتابة هذه الإجابة (& quotedually & quot؟) ، خاصة إذا تضمنت تعليمات التمرين الشرط لـ & quotsimplify & quot the الجواب النهائي:

في مكان آخر ، لدي درس حول حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع. يشرح هذا الدرس (إعادة) الخطوات ويعطي (المزيد) أمثلة لهذه العملية. يوضح أيضًا كيف يمكن اشتقاق الصيغة التربيعية من هذه العملية. إذا كنت بحاجة إلى مزيد من التعليمات أو الممارسة حول هذا الموضوع ، فيرجى قراءة الدرس على الارتباط التشعبي أعلاه.

بالمناسبة ، ما لم يتم إخبارك بذلك لديك لاستخدام إكمال المربع ، ربما لن تستخدم هذه الطريقة أبدًا في الممارسة الفعلية عند حل المعادلات التربيعية. إما أن تكون بعض الطرق الأخرى (مثل العوملة) واضحة وأسرع ، أو أن الصيغة التربيعية (التي تمت مراجعتها بعد ذلك) ستكون أسهل في الاستخدام. ومع ذلك ، إذا غطى الفصل الخاص بك إكمال المربع ، فيجب أن تتوقع أن يُطلب منك إظهار أنه يمكنك إكمال المربع لحل تربيعي في الاختبار التالي.

يمكنك استخدام أداة Mathway أدناه للتدرب على حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع. جرب التمرين الذي تم إدخاله ، أو اكتب التمرين الخاص بك. ثم انقر فوق الزر وحدد & quotSolve من خلال إكمال المربع & quot لمقارنة إجابتك بإجابتك في Mathway. (أو تخطي الأداة وتوجه إلى الصفحة التالية.)

(انقر فوق & quotTap لعرض الخطوات & quot ليتم نقلك مباشرةً إلى موقع Mathway للحصول على ترقية مدفوعة.)


التحميل الان!

لقد سهلنا عليك العثور على كتب إلكترونية بتنسيق PDF دون أي حفر. ومن خلال الوصول إلى كتبنا الإلكترونية عبر الإنترنت أو عن طريق تخزينها على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، لديك إجابات مريحة مع 9 2 حل المعادلات التربيعية عن طريق إكمال المربع. للبدء في العثور على 9 2 حل المعادلات التربيعية عن طريق إكمال The Square ، فأنت محق في العثور على موقعنا الإلكتروني الذي يحتوي على مجموعة شاملة من الأدلة المدرجة.
مكتبتنا هي الأكبر من بين هذه المكتبات التي تحتوي على مئات الآلاف من المنتجات المختلفة الممثلة.

أخيرًا ، حصلت على هذا الكتاب الإلكتروني ، شكرًا لجميع هذه المعادلات التربيعية 9 2 من خلال إكمال المربع الذي يمكنني الحصول عليه الآن!

لم أكن أعتقد أن هذا سيعمل ، أظهر لي أفضل أصدقائي هذا الموقع ، وهو يعمل! أحصل على الكتاب الإلكتروني المطلوب

وتف هذا الكتاب الاليكترونى الرائع مجانا ؟!

أصدقائي غاضبون جدًا لدرجة أنهم لا يعرفون كيف أمتلك كل الكتب الإلكترونية عالية الجودة التي لا يعرفون عنها!

من السهل جدًا الحصول على كتب إلكترونية عالية الجودة)

الكثير من المواقع المزيفة. هذا هو أول واحد نجح! شكرا جزيلا

wtffff أنا لا أفهم هذا!

ما عليك سوى اختيار النقر ثم زر التنزيل ، وإكمال العرض لبدء تنزيل الكتاب الإلكتروني. إذا كان هناك استبيان يستغرق 5 دقائق فقط ، فجرب أي استطلاع يناسبك.


حلول المعادلات التربيعية بإكمال المربع

لقد تعلمت في القسم السابق طريقة واحدة للحصول على جذور المعادلة التربيعية. في هذا القسم ، سوف ندرس طريقة أخرى. لتنفيذ هذه الطريقة ، لدينا بعض الخطوات التي يجب اتباعها. سوف نفهم الخطوات مع "2x ^ 2 + 7x-9 = 0" هذا المثال-
1) اجعل معامل "x ^ 2" 1. لذلك علينا قسمة المعادلة بأكملها على معامل "x ^ 2". في المثال أعلاه ، معامل `x ^ 2` هو 2 ، لذا سنقسم المعادلة على 2 ، نحصل على ،` x ^ 2 + "7x" / 2-9 / 2 = 0`

2) بعد ذلك خذ الثابت إلى RHS. لذلك نحصل على `x ^ 2 +" 7x "/ 2 = 9 / 2`.

3) خذ الآن مربع معامل x بعد الضرب بـ "1/2" ، ثم أضف هذا الرقم إلى كلا الجانبين ، أي أضف: `(1/2 & times" coefficient "" لـ "x) ^ 2`

معامل x هنا هو `7/2 ، (1/2 & times7 / 2) ^ 2 = (7/4) ^ 2`

بإضافة `(7/4) ^ 2` نحصل على كلا الجانبين ،` x ^ 2 + "7x" / 2 + (7/4) ^ 2 = 9/2 + (7/4) ^ 2`

عن طريق الانحراف نحصل على ، `ج = 9/2 + 49/16`

وبالتالي ، فإن جذور "2x ^ 2 + 7x-9 = 0" هي "1 أو -9 / 2"

يمكننا حل المزيد من الأمثلة باستخدام طريقة التربيع الكاملة لفهمها بسهولة.


استكمال الساحة

إكمال المربع هو طريقة مستخدمة لحل معادلة تربيعية عن طريق تغيير شكل المعادلة بحيث يكون الجانب الأيسر ثلاثي حدود مربع كامل.

لحل أ س 2 + ب س + ج = 0 بإكمال المربع:

1. قم بتحويل المعادلة بحيث يكون الحد الثابت c وحده في الجانب الأيمن.
2. إذا كان المعامل الرئيسي a (معامل الحد x 2) لا يساوي 1 ، اقسم كلا الطرفين على a.

3. Add the square of half the coefficient of the x -term, ( b 2 a ) 2 to both sides of the equation.

4. Factor the left side as the square of a binomial.

5. Take the square root of both sides. (Remember: ( x + q ) 2 = r is equivalent to x + q = ± r .)

Solve x 2 &minus 6 x &minus 3 = 0 by completing the square.

7 x 2 &minus 8 x = &minus 3 x 2 &minus 8 7 x = &minus 3 7 x 2 &minus 8 7 x + ( &minus 4 7 ) 2 = &minus 3 7 + 16 49 ( x &minus 4 7 ) 2 = &minus 5 49 x &minus 4 7 = ± 5 7 i x = 4 7 ± 5 7 i ( x &minus 3 ) 2 = 12 x &minus 3 = ± 12 &thinsp &thinsp &thinsp &thinsp &thinsp &thinsp &thinsp &thinsp &thinsp &thinsp &thinsp = ± 2 3 x = 3 ± 2 3


شاهد الفيديو: الصف الثامن -الفصل الثاني--الوحدة الخامسة -الدرس الثاني#حل المعادلة التربيعية بطريقة اكمال المربع# (شهر اكتوبر 2021).