مقالات

2.4: الدوال المثلثية المعكوسة


أهداف التعلم

  • افهم واستخدم الدوال المعكوسة للجيب وجيب التمام والظل.
  • أوجد القيمة الدقيقة للتعبيرات التي تتضمن دوال الجيب العكسي وجيب التمام والظل.
  • استخدم الآلة الحاسبة لتقييم الدوال المثلثية العكسية.
  • أوجد القيم الدقيقة للدوال المركبة ذات الدوال المثلثية العكسية.

بالنسبة لأي مثلث قائم الزاوية ، بالنظر إلى زاوية أخرى وطول أحد أضلاعه ، يمكننا معرفة الزوايا والأضلاع الأخرى. لكن ماذا لو أعطينا ضلعين فقط في مثلث قائم الزاوية؟ نحتاج إلى إجراء يقودنا من نسبة الأضلاع إلى الزاوية. هذا هو المكان الذي تلعب فيه فكرة معكوس الدالة المثلثية. في هذا القسم ، سوف نستكشف الدوال المثلثية العكسية.

فهم واستخدام الدوال المعكوسة للجيب وجيب التمام والظل

من أجل استخدام الدوال المثلثية العكسية ، نحتاج إلى فهم أن الدالة المثلثية العكسية "تبطل" ما "تفعله" الدالة المثلثية الأصلية ، كما هو الحال مع أي دالة أخرى ومعكوسها. بمعنى آخر ، مجال الدالة العكسية هو نطاق الوظيفة الأصلية ، والعكس صحيح ، كما تم تلخيصه في الشكل ( PageIndex {1} ).

على سبيل المثال ، إذا (f (x) = sin space x ) ، فسنكتب (f ^ {- 1} (x) = { sin} ^ {- 1} x ). اعلم أن ({ sin} ^ {- 1} x ) لا يعني ( dfrac {1} { sin space x} ). توضح الأمثلة التالية الدوال المثلثية العكسية:

  • بما أن ( sin left ( dfrac { pi} {6} right) = dfrac {1} {2} ) ، ثم ( dfrac { pi} {6} = { sin} ^ {−1} left ( dfrac {1} {2} right) ).
  • بما أن ( cos ( pi) = - 1 ) ، إذن ( pi = { cos} ^ {- 1} (- 1) ).
  • بما أن ( tan left ( dfrac { pi} {4} right) = 1 ) ، ثم ( dfrac { pi} {4} = { tan} ^ {- 1} (1) ).

في الأقسام السابقة ، قمنا بتقييم الدوال المثلثية بزوايا مختلفة ، لكن في بعض الأحيان نحتاج إلى معرفة الزاوية التي ستنتج قيمة جيب أو جيب تمام أو ظل معين. لهذا ، نحتاج إلى دوال عكسية. تذكر أنه بالنسبة لدالة واحد لواحد ، إذا (f (a) = b ) ، فإن الدالة العكسية ترضي (f ^ {- 1} (b) = a ).

ضع في اعتبارك أن وظائف الجيب وجيب التمام والظل ليست وظائف فردية. الرسم البياني لكل دالة سيفشل في اختبار الخط الأفقي. في الواقع ، لا يمكن أن تكون أي دالة دورية واحدة لواحد لأن كل ناتج في نطاقها يتوافق مع إدخال واحد على الأقل في كل فترة ، وهناك عدد لا حصر له من الفترات. كما هو الحال مع الوظائف الأخرى التي لا تكون فردية ، سنحتاج إلى تقييد نطاق من كل دالة لإعطاء وظيفة جديدة واحدة لواحد. نختار مجالًا لكل دالة تتضمن الرقم 0. يوضح الشكل ( PageIndex {2} ) الرسم البياني لوظيفة الجيب التي تقتصر على ( left [- dfrac { pi} {2}، dfrac { pi} {2} right] ) والرسم البياني لوظيفة جيب التمام مقصوران على ([0، pi] ).

يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) الرسم البياني لوظيفة الظل التي تقتصر على ( left (- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right) ).

هذه الخيارات التقليدية للمجال المقيد اعتباطية إلى حد ما ، لكن لها خصائص مهمة ومفيدة. يتضمن كل مجال الأصل وبعض القيم الإيجابية ، والأهم من ذلك ، ينتج عن كل مجال دالة رأس برأس قابلة للعكس. يحتوي الاختيار التقليدي للمجال المقيد لوظيفة الظل أيضًا على خاصية مفيدة تمتد من واحد الخط المقارب الرأسي إلى الجزء التالي بدلاً من تقسيمه إلى جزأين بواسطة خط مقارب.

في هذه المجالات المقيدة ، يمكننا تحديد الدوال المثلثية العكسية.

  • دالة الجيب العكسية (y = { sin} ^ {- 1} x ) تعني (x = sin space y ). تسمى دالة الجيب العكسية أحيانًا بـ قوس وظيفة ، وتم تدوينها ( arcsin space x ).

    (y = { sin} ^ {- 1} x ) له مجال ([- 1،1] ) ونطاق ( يسار [- frac { pi} {2} ، frac { pi} {2} right] )

  • دالة جيب التمام العكسية (y = { cos} ^ {- 1} x ) تعني (x = cos space y ). تسمى دالة جيب التمام العكسي أحيانًا بـ أركوزين وظيفة ، وتم تدوينها ( arccos space x ).

    (y = { cos} ^ {- 1} x ) له مجال ([- 1،1] ) ونطاق ([0، π] )

  • دالة الظل العكسي (y = { tan} ^ {- 1} x ) تعني (x = tan space y ). تسمى أحيانًا دالة الظل العكسية قوس ظل وظيفة ، وتم تدوينها ( arctan space x ).

    (y = { tan} ^ {- 1} x ) له مجال ((- infty، infty) ) ونطاق ( left (- frac { pi} {2}، frac { pi} {2} right) )

تظهر الرسوم البيانية للدوال العكسية في الأشكال ( PageIndex {4} ) - ( PageIndex {6} ). لاحظ أن ناتج كل من هذه الدوال المعكوسة هو a عدد، زاوية في راديان. نرى أن ({ sin} ^ {- 1} x ) له نطاق ([−1،1] ) ونطاق ( left [- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right] ) ، ({ cos} ^ {- 1} x ) له مجال ([−1،1] ) ونطاق ([0، pi] ) ، و ({ tan} ^ {- 1} x ) له نطاق لجميع الأرقام الحقيقية ونطاق ( left (- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} حق)). للعثور على مجال ونطاق الدوال المثلثية العكسية ، بدّل مجال ونطاق الدوال الأصلية. كل رسم بياني للدالة المثلثية العكسية هو انعكاس للرسم البياني للدالة الأصلية حول الخط (y = x ).

العلاقات الخاصة بوظائف الجيب والجيب والظل المعكوس

للزوايا في الفاصل ( left [- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right] ) ، إذا ( sin y = x ) ، ثم ( { sin} ^ {- 1} س = ص ).

للزوايا في الفاصل ([0، pi] ) ، إذا ( cos y = x ) ، ثم ({ cos} ^ {- 1} x = y ).

للزوايا في الفاصل ( left (- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right) ) ، إذا ( tan y = x ) ، ثم ( { tan} ^ {- 1} x = y ).

مثال ( PageIndex {1} ): كتابة علاقة لدالة معكوسة

بالنظر إلى ( sin left ( dfrac {5 pi} {12} right) ≈0.96593 ) ، اكتب علاقة تتضمن معكوس الجيب.

المحلول

استخدم علاقة الجيب المعكوس. إذا كان ( sin y = x ) ، إذن ({ sin} ^ {- 1} x = y ).

في هذه المشكلة ، (x = 0.96593 ) و (y = dfrac {5 pi} {12} ).

({ sin} ^ {- 1} (0.96593) ≈ dfrac {5 pi} {12} )

تمرين ( PageIndex {1} )

بالنظر إلى ( cos (0.5) ≈0.8776 ) ، اكتب علاقة تتضمن معكوس جيب التمام.

إجابه

( arccos (0.8776) ≈0.5 )

إيجاد القيمة الدقيقة للتعبيرات التي تتضمن دوال الجيب وجيب التمام والظل المعكوسة

الآن بعد أن تمكنا من تحديد الدوال العكسية ، سنتعلم كيفية تقييمها. بالنسبة لمعظم القيم في نطاقاتها ، يجب علينا تقييم الدوال المثلثية العكسية باستخدام آلة حاسبة ، أو الإقحام من جدول ، أو باستخدام بعض الأساليب العددية الأخرى. تمامًا كما فعلنا مع الدوال المثلثية الأصلية ، يمكننا إعطاء قيم دقيقة للدوال العكسية عندما نستخدم الزوايا الخاصة ، على وجه التحديد ( dfrac { pi} {6} ) (30 درجة) ، ( dfrac { pi} {4} ) (45 درجة) و ( dfrac { pi} {3} ) (60 درجة) وانعكاساتها في الأرباع الأخرى.

بإعطاء قيمة إدخال "خاصة" ، قم بتقييم دالة مثلثية عكسية.

  1. أوجد الزاوية (x ) التي لها ناتج للدالة المثلثية الأصلية يساوي المدخلات المعطاة للدالة المثلثية العكسية.
  2. إذا لم يكن (x ) في النطاق المحدد للمعكوس ، فابحث عن زاوية أخرى (y ) في النطاق المحدد ولها نفس الجيب أو جيب التمام أو الظل مثل (x ) ، اعتمادًا على أي زاوية يتوافق مع دالة عكسية معينة.

مثال ( PageIndex {2} ): تقييم الدوال المثلثية المعكوسة لقيم الإدخال الخاصة

قم بتقييم كل مما يلي.

  1. ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) )
  2. ({ sin} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) )
  3. ({ cos} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {3}} {2} right) )
  4. ({ tan} ^ {- 1} (1) )

المحلول

  1. تقييم ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) ) هو نفسه تحديد الزاوية التي سيكون لها قيمة جيب ( dfrac {1} { 2} ). بمعنى آخر ، ما الزاوية (x ) التي تحقق ( sin (x) = dfrac {1} {2} )؟ هناك قيم متعددة ترضي هذه العلاقة ، مثل ( dfrac { pi} {6} ) و ( dfrac {5 pi} {6} ) ، لكننا نعلم أننا بحاجة إلى الزاوية في الفاصل ( left [- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right] ) ، لذا ستكون الإجابة ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) = dfrac { pi} {6} ). تذكر أن المعكوس دالة ، لذلك سنحصل على خرج واحد بالضبط لكل إدخال.
  2. لتقييم ({ sin} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) ) ، نعلم أن ( dfrac {5 pi} {4} ) و ( dfrac {7 pi} {4} ) كلاهما لهما قيمة جيبية لـ (- dfrac { sqrt {2}} {2} ) ، لكن كلاهما ليس في الفاصل ( يسار [- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right] ). لذلك ، نحتاج إلى الزاوية السالبة مع ( dfrac {7 pi} {4} ): ({ sin} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} { 2} right) = - dfrac { pi} {4} ).
  3. لتقييم ({ cos} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {3}} {2} right) ) ، نبحث عن زاوية في الفاصل ([0، pi] ) بقيمة جيب التمام (- dfrac { sqrt {3}} {2} ). الزاوية التي تحقق ذلك هي ({ cos} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {3}} {2} right) = dfrac {5 pi} {6} ).
  4. بتقييم ({ tan} ^ {- 1} (1) ) ، نبحث عن زاوية في الفاصل ( left (- dfrac { pi} {2}، dfrac { pi} { 2} right) ) بقيمة ظلية لـ (1 ). الزاوية الصحيحة هي ({ tan} ^ {- 1} (1) = dfrac { pi} {4} ).

تمرين ( PageIndex {2} )

قم بتقييم كل مما يلي.

  1. ({ sin} ^ {- 1} (- 1) )
  2. ({ tan} ^ {- 1} (- 1) )
  3. ({ cos} ^ {- 1} (- 1) )
  4. ({ cos} ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) )
الإجابة أ

(- dfrac { pi} {2} )

الجواب ب

(- dfrac { pi} {4} )

الجواب ج

( بي )

الجواب د

( dfrac { pi} {3} )

استخدام الآلة الحاسبة لتقييم الدوال المثلثية المعكوسة

لتقييم الدوال المثلثية العكسية التي لا تتضمن الزوايا الخاصة التي تمت مناقشتها مسبقًا ، سنحتاج إلى استخدام آلة حاسبة أو أي نوع آخر من التكنولوجيا. تحتوي معظم الآلات الحاسبة العلمية وتطبيقات محاكاة الآلة الحاسبة على مفاتيح أو أزرار محددة للوظائف المعكوسة للجيب وجيب التمام والظل. قد يتم تصنيفها ، على سبيل المثال ، SIN-1 أو ARCSIN أو ASIN.

في الفصل السابق ، عملنا مع حساب المثلثات على مثلث قائم الزاوية لإيجاد أضلاع مثلث بمعلومية جانب واحد وزاوية إضافية. باستخدام الدوال المثلثية العكسية ، يمكننا إيجاد زوايا مثلث قائم الزاوية بمعلومية ضلعين ، ويمكننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد القيم لأقرب عدة منازل عشرية.

في هذه الأمثلة والتمارين ، سيتم تفسير الإجابات على أنها زوايا وسنستخدم ( theta ) كمتغير مستقل. قد تكون القيمة المعروضة على الآلة الحاسبة بالدرجات أو الراديان ، لذا تأكد من ضبط الوضع المناسب للتطبيق.

مثال ( PageIndex {3} ): إيجاد قيمة الجيب المعكوس في الآلة الحاسبة

أوجد قيمة ({ sin} ^ {- 1} (0.97) ) باستخدام الآلة الحاسبة.

المحلول

نظرًا لأن ناتج الدالة العكسية عبارة عن زاوية ، فإن الآلة الحاسبة ستعطينا قيمة درجة إذا كانت في وضع الدرجة وقيمة راديان إذا كانت في وضع الراديان. تستخدم الآلات الحاسبة أيضًا نفس قيود المجال على الزوايا التي نستخدمها.

في وضع الراديان ، ({ sin} ^ {- 1} (0.97) ≈1.3252 ). في وضع الدرجة ، ({ sin} ^ {- 1} (0.97) ≈75.93 ° ). لاحظ أنه في حساب التفاضل والتكامل وما بعده ، سنستخدم الراديان في جميع الحالات تقريبًا.

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد قيمة ({ cos} ^ {- 1} (- 0.4) ) باستخدام الآلة الحاسبة.

إجابه

(1.9823 ) أو (113.578 ^ { circ} )

إذا أخذنا ضلعين في مثلث قائم الزاوية مثل المثلث الموضح في الشكل 8.4.7 ، فأوجد زاوية.

  1. إذا كان أحد الأضلاع هو وتر الطول (h ) وكان ضلع الطول (أ ) المجاور للزاوية المرغوبة ، فاستخدم المعادلة ( theta = { cos} ^ {- 1} يسار ( dfrac {a} {h} right) ).
  2. إذا كان أحد الأضلاع هو وتر الطول (h ) وكان ضلع الطول (p ) المقابل للزاوية المرغوبة ، فاستخدم المعادلة ( theta = { sin} ^ {- 1} يسار ( dfrac {p} {h} right) ).
  3. إذا تم إعطاء الساقين (الضلع المجاور للزاوية اليمنى) ، فاستخدم المعادلة ( theta = { tan} ^ {- 1} left ( dfrac {p} {a} right) ) .

مثال ( PageIndex {4} ): تطبيق معكوس جيب التمام على مثلث قائم الزاوية

حل المثلث في الشكل ( PageIndex {8} ) للزاوية ( theta ).

المحلول

نظرًا لأننا نعرف الوتر والضلع المجاور للزاوية ، فمن المنطقي أن نستخدم دالة جيب التمام.

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {9} {12} theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {9} {12} right) qquad text {تطبيق تعريف المعكوس} theta & almost 0.7227 qquad text {or about} 41.4096 ^ { circ} text {Evaluate} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {4} )

حل المثلث في الشكل ( PageIndex {9} ) للزاوية ( theta ).

إجابه

({ sin} ^ {- 1} (0.6) = 36.87 ° = 0.6435 ) راديان

إيجاد القيم الدقيقة للدوال المركبة ذات الدوال المثلثية المعكوسة

هناك أوقات نحتاج فيها إلى تكوين دالة مثلثية بدالة مثلثية معكوسة. في هذه الحالات ، يمكننا عادةً العثور على قيم دقيقة للتعبيرات الناتجة دون اللجوء إلى الآلة الحاسبة. حتى عندما يكون الإدخال إلى الدالة المركبة متغيرًا أو تعبيرًا ، يمكننا غالبًا العثور على تعبير للمخرج. للمساعدة في فرز الحالات المختلفة ، دع (f (x) ) و (g (x) ) هما وظيفتان مثلثيتان مختلفتان تنتمي إلى المجموعة { ( sin (x) ) ، ( cos () x) ) و ( tan (x) )} وليكن (f ^ {- 1} (y) ) و (g ^ {- 1} (y) ) مقلوب لهم.

تقييم تركيبات النموذج (f (f ^ {- 1} (y)) ) و (f ^ {- 1} (f (x)) )

لأي دالة مثلثية ، (f (f ^ {- 1} (y)) = y ) لجميع (y ) في المجال المناسب للدالة المحددة. يأتي هذا من تعريف المعكوس ومن حقيقة أن نطاق (f ) تم تعريفه ليكون مطابقًا لمجال (f ^ {- 1} ). ومع ذلك ، يجب أن نكون أكثر حرصًا مع التعبيرات ذات الشكل (f ^ {- 1} (f (x)) ).

تكوينات الوظيفة المثلثية وعكسها

[ begin {align *} sin ({ sin} ^ {- 1} x) & = x qquad text {for} -1 leq x leq 1 cos ({ cos} ^ {-1} x) & = x qquad text {for} -1 leq x leq 1 tan ({ tan} ^ {- 1} x) & = x qquad text {for} - infty

سؤال وجواب

هل صحيح أن ({ sin} ^ {- 1} ( sin x) = x )؟

لا. هذه المعادلة صحيحة. ifx x ينتمي إلى المجال المقيد ( left [- dfrac { pi} {2}، dfrac { pi} {2} right] ) ، ولكن الجيب معرّف للجميع قيم الإدخال الحقيقية ، وبالنسبة إلى (x ) خارج الفاصل الزمني المقيّد ، فإن المعادلة غير صحيحة لأن معكوسها دائمًا ما يعرض قيمة في ( left [- dfrac { pi} {2}، dfrac { pi } {2} right] ). الوضع مشابه لجيب التمام والظل وانعكاساتهما. على سبيل المثال ، ({ sin} ^ {- 1} left ( sin left ( dfrac {3 pi} {4} right) right) = dfrac { pi} {4} ) .

إعطاء تعبير بالصيغة (f ^ {- 1} (f ( theta)) ) حيث (f ( theta) = sin theta ) أو ( cos theta ) أو ( tan theta ) ، قم بالتقييم.

  1. إذا كان ( theta ) في المجال المقيد لـ (f ) ، إذن (f ^ {- 1} (f ( theta)) = theta ).
  2. إذا لم يكن كذلك ، فابحث عن زاوية ( phi ) داخل المجال المقيد خارج f بحيث (f ( phi) = f ( theta) ). ثم (f ^ {- 1} (f ( theta)) = phi ).

مثال ( PageIndex {5} ): استخدام الدوال المثلثية المعكوسة

قم بتقييم ما يلي:

  1. ({ sin} ^ {- 1} left ( sin left ( dfrac { pi} {3} right) right) )
  2. ({ sin} ^ {- 1} left ( sin left ( dfrac {2 pi} {3} right) right) )
  3. ({ cos} ^ {- 1} left ( cos left ( dfrac {2 pi} {3} right) right) )
  4. ({ cos} ^ {- 1} left ( cos left (- dfrac { pi} {3} right) right) )

المحلول

  1. ( dfrac { pi} {3} ) موجود في ( left [- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right] ) ، لذلك ({ sin} ^ {- 1} left ( sin left ( dfrac { pi} {3} right) right) = dfrac { pi} {3} ).
  2. ( dfrac {2 pi} {3} ) ليس في ( left [- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right] ) ، ولكن (sin left ( dfrac {2 pi} {3} right) = sin left ( dfrac { pi} {3} right) ) ، لذلك ({ sin} ^ {- 1} يسار ( sin left ( dfrac {2 pi} {3} right) right) = dfrac { pi} {3} ).
  3. ( dfrac {2 pi} {3} ) موجود في ([0، pi] ) ، لذلك ({ cos} ^ {- 1} left ( cos left ( dfrac { 2 pi} {3} right) right) = dfrac {2 pi} {3} ).
  4. (- dfrac { pi} {3} ) ليس في ([0، pi] ) ، ولكن ( cos left (- dfrac { pi} {3} right) = cos left ( dfrac { pi} {3} right) ) لأن جيب التمام هو دالة زوجية. ( dfrac { pi} {3} ) موجود في ([0، pi] ) ، لذلك ({ cos} ^ {- 1} left ( cos left (- dfrac { pi} {3} right) right) = dfrac { pi} {3} ).

تمرين ( PageIndex {5} )

تقييم ({ tan} ^ {- 1} left ( tan left ( dfrac { pi} {8} right) right) ) و ({ tan} ^ {- 1} يسار ( tan left ( dfrac {11 pi} {9} right) right) ).

إجابه

( dfrac { pi} {8} ) ؛ ( dfrac {2 pi} {9} )

تقييم تركيبات النموذج (f ^ {- 1} (g (x)) )

الآن بعد أن أصبح بإمكاننا تكوين دالة مثلثية بعكسها ، يمكننا استكشاف كيفية تقييم تركيبة دالة مثلثية وعكس دالة مثلثية أخرى. سنبدأ بتراكيب من النموذج (f ^ {- 1} (g (x)) ). للقيم الخاصة لـ (x ) ، يمكننا بالضبط تقييم الوظيفة الداخلية ثم الدالة الخارجية العكسية. ومع ذلك ، يمكننا العثور على نهج أكثر عمومية من خلال النظر في العلاقة بين الزاويتين الحادتين لمثلث قائم الزاوية حيث يكون أحدهما ( theta ) ، مما يجعل الآخر ( dfrac { pi} {2} - theta ضع في اعتبارك الجيب وجيب التمام لكل زاوية من زوايا المثلث القائم في الشكل ( PageIndex {10} ).

لأن ( cos theta = dfrac {b} {c} = sin left ( dfrac { pi} {2} - theta right) ) ، لدينا ({ sin} ^ {- 1} ( cos theta) = dfrac { pi} {2} - theta ) إذا (0≤ theta≤ pi ). إذا لم يكن ( theta ) في هذا المجال ، فسنحتاج إلى إيجاد زاوية أخرى لها نفس جيب التمام مثل ( theta ) وتنتمي إلى المجال المقيد ؛ ثم نطرح هذه الزاوية من ( dfrac { pi} {2} ). وبالمثل ، ( sin theta = dfrac {a} {c} = cos left ( dfrac { pi} { 2} - theta right) ) ، لذلك ({ cos} ^ {- 1} ( sin theta) = dfrac { pi} {2} - theta ) إذا (- dfrac { pi} {2} ≤ theta≤ dfrac { pi} {2} ). هذه فقط علاقات الوظيفة المشتركة معروضة بطريقة أخرى.

بالنظر إلى دوال النموذج ({ sin} ^ {- 1} ( cos x) ) و ({ cos} ^ {- 1} ( sin x) ) ، قم بتقييمهما.

  1. إذا كان (x ) في ([0، pi] ) ، إذن ({ sin} ^ {- 1} ( cos x) = dfrac { pi} {2} −x ) .
  2. إذا لم يكن (x ) في ([0، pi] ) ، فابحث عن زاوية أخرى (y ) في ([0، pi] ) بحيث ( cos y = cos س ).

    [{ sin} ^ {- 1} ( cos x) = dfrac { pi} {2} −y ]

  3. إذا كان (x ) في ( left [- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right] ) ، إذن ({ cos} ^ {- 1 } ( sin x) = dfrac { pi} {2} −x ).
  4. إذا لم يكن (x ) في ( left [- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right] ) ، فابحث عن زاوية أخرى (y ) في ( left [- dfrac { pi} {2}، dfrac { pi} {2} right] ) بحيث ( sin y = sin x ).

    [{ cos} ^ {- 1} ( sin x) = dfrac { pi} {2} −y ]

مثال ( PageIndex {6} ): تقييم تكوين الجيب المعكوس باستخدام جيب التمام

تقييم ({ sin} ^ {- 1} left ( cos left ( dfrac {13 pi} {6} right) right) )

  1. عن طريق التقييم المباشر.
  2. بالطريقة الموصوفة سابقًا.

المحلول

  1. هنا ، يمكننا مباشرة تقييم الجزء الداخلي من التكوين. [ begin {align *} cos left ( dfrac {13 pi} {6} right) & = cos left ( dfrac { pi} {6} +2 pi right) & = cos left ( dfrac { pi} {6} right) & = dfrac { sqrt {3}} {2} end {align *} ] الآن ، يمكننا تقييم دالة عكسية كما فعلنا سابقًا. [{ sin} ^ {- 1} left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) = dfrac { pi} {3} ]
  2. لدينا (x = dfrac {13 pi} {6} ) و (y = dfrac { pi} {6} ) و [ begin {align *} { sin} ^ { -1} left ( cos left ( dfrac {13 pi} {6} right) right) & = dfrac { pi} {2} - dfrac { pi} {6} & = dfrac { pi} {3} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {6} )

تقييم ({ cos} ^ {- 1} left ( sin left (- dfrac {11 pi} {4} right) right) ).

إجابه

( dfrac {3 pi} {4} )

تقييم تركيبات النموذج (f (g ^ {- 1} (x)) )

لتقييم التراكيب من النموذج (f (g ^ {- 1} (x)) ) ، حيث (f ) و (g ) هما أي من الدالتين الجيب ، أو جيب التمام ، أو الظل و ( x ) هو أي إدخال في مجال (g ^ {- 1} ) ، لدينا صيغ دقيقة ، مثل ( sin ({ cos} ^ {- 1} x) = sqrt {1− س ^ 2} ). عندما نحتاج إلى استخدامها ، يمكننا اشتقاق هذه الصيغ باستخدام العلاقات المثلثية بين زوايا وأضلاع مثلث قائم الزاوية ، جنبًا إلى جنب مع استخدام علاقة فيثاغورس بين أطوال الأضلاع. يمكننا استخدام متطابقة فيثاغورس ، ({ sin} ^ 2 x + { cos} ^ 2 x = 1 ) ، لحل واحدة عند إعطاء الأخرى. يمكننا أيضًا استخدام الدوال المثلثية العكسية لإيجاد التركيبات التي تتضمن تعبيرات جبرية.

مثال ( PageIndex {7} ): تقييم تكوين الجيب باستخدام جيب التمام المعكوس

ابحث عن قيمة دقيقة لـ ( sin left ({ cos} ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) right) ).

المحلول

بداية من الداخل ، يمكننا القول أن هناك زاوية ما مثل ( theta = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) ) ، مما يعني ( cos theta = dfrac {4} {5} ) ونحن نبحث عن ( sin theta ). يمكننا استخدام متطابقة فيثاغورس للقيام بذلك.

[ begin {align *} { sin} ^ 2 theta + { cos} ^ 2 theta & = 1 qquad text {استخدم قيمتنا المعروفة لجيب التمام} { sin} ^ 2 theta + { يسار ( dfrac {4} {5} right)} ^ 2 & = 1 qquad text {Solve for sine} { sin} ^ 2 theta & = 1- dfrac {16} {25} sin theta & = pm dfrac {9} {25} & = pm dfrac {3} {5} end {align *} ]

بما أن ( theta = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) ) في الربع الأول ، يجب أن يكون ( sin theta ) موجبًا ، لذا الحل هو (35 ). راجع الشكل ( PageIndex {11} ).

نعلم أن جيب التمام العكسي يعطي دائمًا زاوية على الفترة ([0، pi] ) ، لذلك نعلم أن جيب هذه الزاوية يجب أن يكون موجبًا ؛ لذلك ( sin left ({ cos} ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) right) = sin theta = dfrac {3} {5} ) .

تمرين ( PageIndex {7} )

تقييم ( cos left ({ tan} ^ {- 1} left ( dfrac {5} {12} right) right) ).

إجابه

( فارك {12} {13} )

مثال ( PageIndex {8} ): تقييم تكوين الجيب باستخدام الظل المعكوس

ابحث عن قيمة دقيقة لـ ( sin left ({ tan} ^ {- 1} left ( dfrac {7} {4} right) right) ).

المحلول

بينما يمكننا استخدام أسلوب مشابه كما في المثال ( PageIndex {6} ) ، سنعرض أسلوبًا مختلفًا هنا. من الداخل ، نعلم أن هناك زاوية مثل ( tan theta = dfrac {7} {4} ). يمكننا أن نتصور هذا على أنه الضلع المقابل والمجاور لمثلث قائم الزاوية ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {12} ).

باستخدام نظرية فيثاغورس ، يمكننا إيجاد وتر هذا المثلث.

[ ابدأ {محاذاة *}
4 ^ 2 + 7 ^ 2 & = {الوتر} ^ 2
وتر المثلث & = sqrt {65}
text {الآن ، يمكننا حساب جيب الزاوية على أنه الضلع المقابل مقسومًا على الوتر.}
sin theta & = dfrac {7} { sqrt {65}}
text {هذا يعطينا التكوين المطلوب.}
sin left ({ tan} ^ {- 1} left ( dfrac {7} {4} right) right) & = sin theta
& = dfrac {7} { sqrt {65}}
& = dfrac {7 sqrt {65}} {65}
النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {8} )

قيِّم ( cos left ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {7} {9} right) right) ).

إجابه

( dfrac {4 sqrt {2}} {9} )

مثال ( PageIndex {9} ): إيجاد جيب تمام الجيب المعكوس لتعبير جبري

ابحث عن تعبير مبسط لـ ( cos left ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {x} {3} right) ) من أجل (- 3≤x≤3 ).

المحلول

نعلم أن هناك زاوية ( theta ) مثل ( sin theta = dfrac {x} {3} ).

[ begin {align *} { sin} ^ 2 theta + { cos} ^ 2 theta & = 1 qquad text {Use the Pythagorean Theorem} { left ( dfrac {x} {3} right)} ^ 2 + { cos} ^ 2 theta & = 1 qquad text {Solve for cosine} { cos} ^ 2 theta & = 1- dfrac {x ^ 2} {9} cos theta & = pm sqrt { dfrac {9-x ^ 2} {9}} & = pm sqrt { dfrac {9-x ^ 2} {3}} end { محاذاة *} ]

نظرًا لأننا نعلم أن الجيب العكسي يجب أن يعطي زاوية على الفاصل ([- dfrac { pi} {2}، dfrac { pi} {2}] ) ، يمكننا استنتاج أن جيب التمام لتلك الزاوية يجب أن تكون إيجابية.

(cos left ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {x} {3} right) right) = sqrt { dfrac {9-x ^ 2} {3}} )

تمرين ( PageIndex {9} )

ابحث عن تعبير مبسط لـ ( sin ({ tan} ^ {- 1} (4x)) ) لـ (- dfrac {1} {4} ≤x≤ dfrac {1} {4} ) .

إجابه

( dfrac {4x} { sqrt {16x ^ 2 + 1}} )

وسائل الإعلام

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات وممارسات إضافية مع الدوال المثلثية العكسية.

  • تقييم التعبيرات التي تتضمن الدوال المثلثية المعكوسة

قم بزيارة هذا الموقع للحصول على أسئلة تدريب إضافية من Learningpod.

المفاهيم الرئيسية

  • الوظيفة العكسية هي الوظيفة التي "تبطل" وظيفة أخرى. مجال الدالة العكسية هو نطاق الوظيفة الأصلية ونطاق الدالة العكسية هو مجال الوظيفة الأصلية.
  • نظرًا لأن الدوال المثلثية ليست واحدة لواحد في مجالاتها الطبيعية ، يتم تعريف الدوال المثلثية العكسية للمجالات المقيدة.
  • لأي دالة مثلثية (f (x) ) ، إذا (x = f ^ {- 1} (y) ) ، ثم (f (x) = y ). ومع ذلك ، فإن (f (x) = y ) يعني فقط (x = f ^ {- 1} (y) ) إذا كان (x ) في المجال المقيد لـ (f ). راجع المثال ( PageIndex {1} ).
  • الزوايا الخاصة هي مخرجات الدوال المثلثية العكسية لقيم المدخلات الخاصة ؛ على سبيل المثال ، ( frac { pi} {4} = { tan} ^ {- 1} (1) ) و ( frac { pi} {6} = { sin} ^ {- 1 } ( frac {1} {2}) ). انظر المثال ( PageIndex {2} ).
  • ستعيد الآلة الحاسبة زاوية داخل المجال المقيد للدالة المثلثية الأصلية. راجع المثال ( PageIndex {3} ).
  • تسمح لنا الدوال العكسية بإيجاد زاوية عند إعطاء ضلعين في مثلث قائم الزاوية. راجع المثال ( PageIndex {4} ).
  • في تكوين الدالة ، إذا كانت الدالة الداخلية دالة مثلثية عكسية ، فهناك تعبيرات دقيقة ؛ على سبيل المثال ، ( sin ({ cos} ^ {- 1} (x)) = sqrt {1 − x ^ 2} ). راجع المثال ( PageIndex {5} ).
  • إذا كانت الدالة الداخلية دالة مثلثية ، فإن التوليفات الممكنة الوحيدة هي ({ sin} ^ {- 1} ( cos x) = frac { pi} {2} −x ) إذا (0≤ x≤ pi ) و ({ cos} ^ {- 1} ( sin x) = frac { pi} {2} −x ) إذا (- frac { pi} {2} ≤x≤ frac { pi} {2} ). راجع المثال ( PageIndex {6} ) والمثال ( PageIndex {7} ).
  • عند تقييم تكوين الدالة المثلثية باستخدام دالة مثلثية عكسية ، ارسم مثلثًا مرجعيًا للمساعدة في تحديد نسبة الجوانب التي تمثل ناتج الدالة المثلثية. راجع المثال ( PageIndex {8} ).
  • عند تقييم تركيب دالة مثلثية بدالة مثلثية عكسية ، يمكنك استخدام متطابقات حساب المثلثات للمساعدة في تحديد نسبة الأضلاع. راجع المثال ( PageIndex {9} ).

§4.23 الدوال المثلثية المعكوسة

في (4.23.1) و (4.23.2) قد لا تمر مسارات التكامل عبر أي من النقطتين t = ± 1. تفترض الوظيفة (1 - t 2) 1/2 قيمتها الأساسية عندما t ∈ (- 1 ، 1) في أي مكان آخر على مسارات التكامل يتم تحديد الفرع بالاستمرارية. في (4.23.3) قد لا يتقاطع مسار التكامل ± i. كل دالة من الوظائف الست هي دالة متعددة القيم لـ z. Arctan ⁡ z و Arccot ​​⁡ z لهما نقاط فرعية عند z = ± i للوظائف الأربعة الأخرى نقاط تفرع عند z = ± 1.


مشتقات الدوال المثلثية المعكوسة & # 8211 الصفحة 2

نطبق قاعدة السلسلة مرتين ونبسط التعبير الناتج:

المثال 8.

المثال 9.

يتم تحديد الوظيفة (y left (x right) = arcsin x ) في الفاصل الزمني المفتوح ( left (<& # 8211 1،1> right). ) جيب الجيب المعكوس هو مساو

نأخذ مشتق كلا الجانبين (يعتبر الجانب الأيسر دالة مركبة).

ويترتب على ذلك أن مشتق دالة الجيب العكسي معطى بواسطة

المثال 10.

من خلال قاعدة السلسلة ، لدينا

النسبة ( كبير فارك<< اليسار | x right | >> normalsize ) مجرد علامة على المتغير (x ) ( ( textس )). لذلك ، يتم كتابة الإجابة النهائية على شكل

المثال 11.

المثال 12.

المثال 13.

المثال 14.

قم بتحويل الجانب الأيسر كما يلي:

وهكذا ، تم إثبات الهوية.

المثال 15.

لاحظ أن دالة الجيب العكسية يتم تعريفها على الفاصل ( left [<& # 8211 1،1> right] ). في حالتنا ، الشرط الذي يحدد القيم المسموح بها لـ (x ) يبدو كما يلي:

من الواضح أن هذه التفاوتات تتحقق لأي (x. ) حقيقي.

نحسب المشتق باستخدام قاعدة السلسلة:

ضع في اعتبارك أن النسبة ( large frac<< اليسار | x right | >> normalsize ) تساوي ( pm 1 ) اعتمادًا على علامة المتغير (x، ) أي

ثم يمكن كتابة المشتق كـ

المثال 16.

نبدأ في حساب المشتق بقاعدة المنتج:

وقاعدة السلسلة ، لدينا

مجال الوظيفة المعينة ومشتقاتها بالشكل: (x in left (<& # 8211 1،0> right) cup left (<0،1> right). )


الرياضيات PreCalculus Mathematics في نبراسكا

في هذا الفصل ، قمنا بتقييم الدوال المثلثية بزوايا مختلفة ، ولكن ماذا لو احتجنا إلى معرفة الزاوية التي تنتج قيمة جيب أو جيب تمام أو ظل معين؟ لإيجاد الزوايا ، نحتاج إلى دوال مثلثية عكسية.

المثال 45

إذا ( cos ( ثيتا) = - 0.4 نص <،> ) في أي الأرباع يمكن ( ثيتا ) أن تكذب؟

نظرًا لأن قيمة جيب التمام سالبة وجيب التمام يتوافق مع (س ) إحداثي نقطة على دائرة الوحدة ، يمكن أن يقع ( ثيتا ) في الربع الثاني أو الربع الثالث.

في المثال السابق ، حصلنا على قيمة مثلثية ويمكننا استخدام تعريف جيب التمام لتحديد الأرباع التي يمكن أن تقع فيها ( theta ). ومع ذلك ، لحل مشكلة ( theta text <،> ) نحتاج إلى أداة إضافية.

عكس وظائف الجيب وجيب التمام والظل

إذا ( sin ( theta) = a text <،> ) ثم ( sin ^ <-1> (a) = theta )

إذا كان ( cos ( theta) = a text <،> ) ثم ( cos ^ <-1> (a) = theta )

إذا كان ( tan ( theta) = a text <،> ) ثم ( tan ^ <-1> (a) = theta )

نلاحظ أن انتاج من كل من هذه الوظائف العكسية هو زاوية.

الملاحظة 46 تدوين مشترك

دالة الجيب العكسية ، ( sin ^ <-1> (a) ) تسمى أحيانًا الوظيفة ، ويتم تمييزها ( arcsin (a) text <.> )

دالة جيب التمام العكسية ، ( cos ^ <-1> (a) ) تسمى أحيانًا الوظيفة ، ويتم تمييزها ( arccos (a) text <.> )

دالة الظل العكسي ، ( tan ^ <-1> (a) ) تسمى أحيانًا الوظيفة ، ويتم تدوينها ( arctan (a) text <.> )

الحذر 47

استنادًا إلى التعريفات أعلاه فقط ، فإن الدوال المثلثية العكسية ليست في الواقع وظائف على الإطلاق! على سبيل المثال ، بما أن ( sin (0) = 0 ) و ( sin (2 pi) = 0 text <،> ) لدينا هذا ( sin ^ <-1> (0) = 0 ) و ( sin ^ <-1> (0) = 2 pi text <.> )

يمكن إصلاح ذلك عن طريق قصر النواتج على فترة زمنية معينة. على سبيل المثال ، ستعطي معظم الآلات الحاسبة ناتجًا لـ ( cos ^ <-1> ) في الفاصل ([0، pi] text <،> ) ولكنها ستعطي ناتجًا لـ ( sin ^ <-1> ) و ( tan ^ <-1> ) في الفاصل الزمني ([- frac < pi> <2> ، frac < pi> <2>] text <.> )

مثال 48

أوجد زاويتين في الفترة الزمنية ([0،2 pi] ) بحيث ( displaystyle sin ( theta) = frac <1> <2> text <.> )

نظرًا لأننا حصلنا على قيمة جيب ، فإننا نعلم أننا نبحث عن زوايا ذات إحداثي (ص ) (1/2 ) على دائرة الوحدة.

من الزوايا المشتركة في دائرة الوحدة ، الزاويتان حيث ( sin ( theta) = 1/2 ) في الفاصل ([0،2 pi] ) هما

المثال 49

أوجد زاويتين في الفترة الزمنية ([0،2 pi] ) بحيث ( displaystyle cos ( theta) = - frac < sqrt <3>> <2> text <.> )

نظرًا لأننا حصلنا على قيمة جيب التمام ، فنحن نعلم أننا نبحث عن الزوايا ذات الإحداثي (x ) (- sqrt <3> / 2 ) على دائرة الوحدة.

من الزوايا المشتركة في دائرة الوحدة ، الزاويتان حيث ( cos ( theta) = - sqrt <3> / 2 ) في الفاصل ([0،2 pi] ) هما

مثال 50

أوجد زاويتين في الفاصل ([0،2 pi] ) بحيث ( tan ( theta) = 1 text <.> )

نظرًا لأننا حصلنا على قيمة الظل 1 و ( tan ( theta) = y / x text <،> ) فإننا نعلم أننا نبحث عن الزوايا حيث (x ) و (y ) القيم متساوية على دائرة الوحدة.

من الزوايا المشتركة في دائرة الوحدة ، الزاويتان حيث تكون قيمتا (x ) و (y ) متساوية و ( tan ( theta) = 1 ) في الفاصل ([0،2 pi] ) هي

المثال 51

أوجد جميع الزوايا في الفترة الزمنية ( displaystyle [0،2 pi] ) على هذا النحو

  1. نظرًا لأننا حصلنا على قيمة جيب (- 1 نص <،> ) ، فإننا نعلم أننا نبحث عن الزوايا حيث تكون قيمة (y ) مساوية لـ (- 1 نص <.> ) فقط هذه الزاوية في الفاصل ( displaystyle [0،2 pi] ) هي ( theta = frac <3 pi> <2> text <.> )
  2. نظرًا لأننا حصلنا على قيمة جيب التمام لـ ( frac < sqrt <2>> <2> text <،> ) فإننا نبحث عن الزوايا حيث تكون قيمة (x ) مساوية لـ ( frac < sqrt <2>> <2> text <.> ) من الزاويتين المشتركتين في دائرة الوحدة ، فإن الزاويتين في الفاصل ( displaystyle [0،2 pi] ) هما

هذه المرة نبحث عن زوايا كهذه

هاتان الزاويتان هما ( frac < pi> <3> ) (والذي يتوافق مع ( sin ( theta) = sqrt <3> / 2 ) و ( cos ( theta) = 1/2 )) و ( frac <4 pi> <3> ) (الذي يتوافق مع ( sin ( theta) = - sqrt <3> / 2 ) و ( cos ( ثيتا) = - 1/2 )).

في الأمثلة والتمارين السابقة ، كنا قادرين على استخدام دائرة الوحدة لحل ( theta text <،> ) ولكن إذا أعطينا قيمًا مثلثية لا تتوافق مع الزوايا المشتركة في دائرة الوحدة ، فسنقوم بذلك. need to use a calculator to find approximate values for ( heta ext<.>)

Example 52

Find two angles in the interval ([0,2pi]) such that (cos( heta)=-0.4 ext<.>)

Let's start by drawing a picture and labeling the known information and the angles we are trying to find.

Since we are given a cosine value, we know that we are looking for angles with an (x) coordinate of (-0.4) on the unit circle. Below is a sketch showing two angles that correspond to (cos( heta) = -0.4 ext<.>) Recall back to Example45 that these two angles lie in Quadrant II and Quadrant III since our cosine value is negative.

Since (x=-0.4) does not correspond to a common angle on the unit circle, we need to use a calculator to solve for an approximate value of ( heta ext<.>) Applying the inverse cosine function we get that

To evaluate this, we can use our calculator. Since the output of the inverse function is an angle, our calculator will give us an angle in degrees if it is in or an angle in radians if it is in .

Here, we need to decide whether to provide our answer in degrees or radians. Since we are given the interval ([0,2pi] ext<,>) which is radians, we will provide our answers in radians. Using our calculator in we get that

We have now found one angle in the interval ([0,2pi]) such that (cos( heta) = -0.4 ext<.>) However, as shown above, ( heta) could lie in either Quadrant II or Quadrant III. Since 1.982 is bigger than (pi/2 approx 1.571) and smaller than (pi approx 3.142 ext<,>) we know that ( heta=1.982) lies in Quadrant II. Therefore, we have found the angle shown below.

We can now use symmetry to find a second angle in the interval ([0,2pi]) such that (cos( heta) = -0.4 ext<.>) From our work in Example45, we know this angle should be located in Quadrant III. By symmetry, we also know that the two angles shown below are equal.

Therefore, to find the second angle, we can take the first angle we found and subtract it from (2pi ext<.>) This gives us an angle of

Thus, the two angles in the interval ([0,2pi]) that satisfy (cos( heta) = -0.4) are

An easy way to check our solutions is to evaluate (cos(1.982)) and (cos(4.301)) on our calculators. If our calculator returns values close to (-0.4 ext<,>) then we know the angles we have found are correct. Using our calculator (in radian mode), we get

Since both of these values are very close and round to -0.4, we can be confident that we have found the two angles in the interval ([0,2pi]) that satisfy (cos( heta)=-0.4 ext<.>)

Example 53

Find two angles in the interval ([0,2pi]) such that (sin( heta)=0.65 ext<.>)

Let's start by drawing a picture and labeling the known information and the angles we are trying to find.

Since we are given a sine value, we know that we are looking for angles with an (y) coordinate of (0.65) on the unit circle. Below is a sketch showing two angles that correspond to (sin( heta) = 0.65 ext<.>) Note that these two angles lie in Quadrant I and Quadrant II since our sine value is positive.

Since (y=0.65) does not correspond to a common angle on the unit circle, we need to use a calculator to solve for an approximate value of ( heta ext<.>) Applying the inverse sine function we get that

Using our calculator in we get that

We have now found one angle in the interval ([0,2pi]) such that (sin( heta) = 0.65 ext<.>) However, as shown above, ( heta) could lie in either Quadrant I or Quadrant II. Since 0.708 is bigger than 0 and smaller than (pi/2 approx 1.571 ext<,>) we know that ( heta=0.708) lies in Quadrant I. Therefore, we have found the angle shown below.

We can now use symmetry to find a second angle in the interval ([0,2pi]) such that (sin( heta) = 0.65 ext<.>) From our work above, we know this angle should be located in Quadrant II. By symmetry, we also know that the two angles shown below are equal.

Therefore, to find the second angle, we can take the first angle we found and subtract it from (pi ext<.>) This gives us an angle of

Thus, the two angles in the interval ([0,2pi]) that satisfy (sin( heta) = 0.65) are

Before we move on, let's check our solutions by evaluating (sin(0.708)) and (sin(2.434)) on our calculators. If our calculator returns values close to (0.65 ext<,>) then we know the angles we have found are correct. Using our calculator (in radian mode), we get

Since both of these values are very close to 0.65, we can be confident that we have found the two angles in the interval ([0,2pi]) that satisfy (sin( heta)=0.65 ext<.>)

Example 54

Find all angles in the interval ([0,2pi]) such that ( an( heta)=7 ext<.>)

Since we are given a tangent value, we know that we are looking for angles where (y/x=7) on the unit circle. In addition, our tangent value is positive, so this means that ( heta) must lie in Quadrant I, where both (x) and (y) are positive, or in Quadrant III, where both (x) and (y) are negative.

Since ( an( heta)=7) does not correspond to a common angle on the unit circle, we need to use a calculator to solve for an approximate value of ( heta ext<.>) Applying the inverse tangent function we get that

Using our calculator in we get that

We have now found one angle in the interval ([0,2pi]) such that ( an( heta) = 7 ext<.>) However, from our work above, we know that ( heta) could lie in either Quadrant I or Quadrant III. Since 1.429 is bigger than 0 and smaller than (pi/2 approx 1.571 ext<,>) we know that ( heta=1.429) lies in Quadrant I. Therefore, we have found the angle shown below.

We can now use our knowledge of the tangent function to find a second angle in the interval ([0,2pi]) such that ( an( heta) = 7 ext<.>) From our work above, we know this angle should be located in Quadrant III, and from Section, we know that the period of tangent is (pi ext<.>) Therefore, the other angle where ( an( heta)=7) should be located halfway around the unit circle from our first value.

To find this second angle, we can add (pi) to the first angle we found, which gives us an angle of

Thus, the two angles in the interval ([0,2pi]) that satisfy ( an( heta) = 7) are

Before we move on, let's check our solutions by evaluating ( an(1.429)) and ( an(4.570)) on our calculators. If our calculator returns values close to (7 ext<,>) then we know the angles we have found are correct. Using our calculator (in radian mode), we get

Since both of these values are very close to 7, we can be confident that we have found the two angles in the interval ([0,2pi]) that satisfy ( an( heta)=7 ext<.>)

Using inverse trig functions, we can also solve for the angles of a right triangle given two of its sides.

Example 55

Solve the triangle for the angle ( heta ext<.>)

Since we know the hypotenuse and the side adjacent to the angle, it makes sense for us to use the cosine function.


Reciprocal trigonometric functions

Other than our basic trigonometric functions – sine, cosine, tangent and cotangent there are a lot more. Some of them are called reciprocal trigonometric functions cosecant and secant.

Cosecant is the reciprocal of the sine function. هذا يعني أنه إذا

Secant is the reciprocal of the cosine function. هذا يعني أنه إذا

Example 1. Find values of sine, cosine, tangent, cotangent, secant and cosecant for the given triangle in angle $alpha$.


INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS

T HE ANGLES in calculus will be in radian measure. Thus if we are given a radian angle, for example, then we can evaluate a function of it.

Inversely , if we are given that the value of the sine function is ½, then the challenge is to name the radian angle x .

"The sine of what angle is equal to ½?"

We write however: Evaluate

"The angle whose sine is ½."

is called the inverse of the funtion

arcsin x is the angle whose sine is the number x .

Strictly, arcsin x is the arc whose sine is x . Because in the unit circle, the length of that arc is the radian measure. Topic 14.

Now there are many angles whose sine is ½. It wll be any angle whose corresponding acute angle is . Therefore we must restrict the range of y = arcsin x -- the values of that angle -- so that it will in fact be a function so that it will be single-valued.

How will we do that? We will restrict them to those angles that have the smallest absolute value.

They are called the principal values of y = arcsin x .

The first quadrant angle is the angle with the smallest absolute value whose sine is ½.

Example 1. Evaluate arcsin (&minus½).

المحلول. Angles whose sines are negative fall in the 3rd and 4th quadrants. The angle of smallest absolute value falls in the 4th quadrant between 0 and &minus .

The angle whose sine is &minus x is simply the negative of the angle whose sine is x .

The range , then, of the function y = arcsin x will be angles that fall in the 1st and 4th quadrants, between &minus and .

Angles whose sines are positive will be 1st quadrant angles. Angles whose sines are negative will fall in the 4th quadrant.

To restrict the range of arcsin x is equivalent to restricting the domain of sin x to those same values. This will be the case with all the restricted ranges that follow.

Another notation for arcsin x is sin &minus1 x . Read: "The inverse sine of x ." &minus1 here is not an exponent. (See Topic 19 of Precalculus.)

Problem 1. Evaluate the following in radians.

To see the answer, pass your mouse over the colored area.
To cover the answer again, click "Refresh" ("Reload").
Do the problem yourself first!

Corresponding to each trigonometric function, there is its inverse function.

In each one, we are given the value x of the trigonometric function. We are to name the radian angle that has that value.

In each case, we must retstrict its range so that the function will be single-valued.

Like y = arcsin x , y = arctan x has its smallest absolute values in the 1st and 4th quadrants.

Note that y -- the angle whose tangent is x -- must be greater than &minus and less than . For at those quadrantal angles, the tangent does not exist. (Topic 15.)

Angles whose tangents are positive will be 1st quadrant angles. Angles whose tangents are negative will fall in the 4th quadrant.

That is exactly the same as with arcsin (&minus x ).

The angle whose tangent is &minus x is simply the negative of the angle whose tangent is x .

Problem 2. Evaluate the following.

a) arctan 1 = & بي
4
b) arctan (&minus1) = &ناقص & بي
4
c) tan &minus1 = & بي
3
d) tan &minus1 (&minus ) = &ناقص & بي
3
e) arctan 0 = 0 f) = &ناقص & بي
6

Example 2. Evaluate arccos ½.

المحلول . arccos ½ = & بي
3
.
The radian angle whose cosine is ½ is & بي
3
(60°).

Problem 3. Why is this not true?

&minus is a 4th quadrant angle. And in the 4th quadrant, the cosine is positive.

An angle whose cosine is negative will fall in the 2nd quadrant, where it will have its smallest absolute value. (Topic 15.)

The cosine of a 2nd quadrant angle is the negative of the cosine of its corresponding acute angle, which is its supplement.

The angle &theta whose cosine is &minus x is the supplement
of the angle whose cosine is x .

Example 3. Evaluate arccos (&minus½).

Therefore, arccos (&minus½) is the supplement of &mdashwhich is the angle we must add to to equal &pi .

Now, is one-third of &pi . Therefore, its supplement will be two-

The range , then, of y = arccos x will be from 0 to &pi .

An angle whose cosine is positive will be a 1st quadrant angle an angle whose cosine is negative will fall in the 2nd. It will be the supplement of the 1st quadrant angle.

Problem 4. Evaluate the following.

a) arccos 1 = 0 b) arccos (&minus1) = & بي
c) cos &minus1
2
= & بي
4
d) cos &minus1 (&minus
2
) = &pi &minus & بي
4
= 3 &pi
4
e) = & بي
6
f) = &pi &minus & بي
6
= 5 &pi
6
g) arccos 0 = & بي
2

The inverse relation is as follows:

arccos ½ = & بي
3
if and only if ½ = cos & بي
3
.

This in general is the case.

a) arctan t = &beta if and only if t = tan &beta.

b) arcsec u = &alpha if and only if u = sec &alpha.

c) arccos 1 = 0 if and only if 1 = cos 0.

d) arccot 1 = & بي
4
if and only if 1 = cot & بي
4
.

In calculus, sin &minus1 x , tan &minus1 x , and cos &minus1 x are the most important inverse trigonometric functions. Nevertheless, here are the ranges that make the rest single-valued.

If x is positive, then the value of the inverse function is always a first quadrant angle, or 0. If x is negative, the value of the inverse will fall in the quadrant in which the direct function is negative. Thus if x is negative, arcsec x will fall in the 2nd quadrant, because that is where sec x is negative.

The only inverse function below in which x may be 0, is arccot x . arccot 0 = &pi /2.

Again, we restrict the values of y to those angles that have the smallest absolute value.

then according to the definition of inverse functions (Topic 19 of Precalculus):

f ( g ( x ) ) = x and g ( f ( x ) ) = x .

sin(arcsin x ) = x and arcsin(sin x ) = x .

arcsin x = ذ
then on taking the inverse function -- the sine -- of both sides:
x = sin y .

By taking the inverse function of both sides, we have extracted, or freed, the argument x . (See Topic 19 of Precalculus, Extracting the argument.) That enables us to solve many trigonometric equations .

المحلول . By taking the inverse function -- the sine -- of both sides, we can free the argument x &minus 1, and write immediately --

x + 2 = arctan 1 = & بي
4
.
x = & بي
4
&minus 2.

sin &minus1 ( x 2 &minus 1) = 0.
x 2 &minus 1 = arcsin 0 = 0
x 2 = 1
x = ±1.

sec y tan y is never negative.

For, if y = arcsec x , then the angle y falls either in the first or second quadrants. When angle y falls in the first quadrant, then both sec y and tan y are positive. Therefore their product is positive.

When angle y falls in the second quadrant, sec y and tan y are both negative, so that again their product is positive.

If y = 0, then tan y = 0, hence the product sec y tan y is 0.

Therefore, that product is never negative.

(This theorem is referenced in the proof of the derivative of y = arcsec x .)

يرجى التبرع لإبقاء TheMathPage على الإنترنت.
حتى دولار واحد سيساعد.


Complex Inverse Trigonometric Function

For inverse trigonometric functions, the notations sin -1 and cos -1 are often used for arcsin and arccos , etc. When this notation is used, the inverse functions are sometimes confused with the multiplicative inverses of the functions. The notation using the "arc-" prefix avoids such confusion.

The inverse trigonometric and hyperbolic functions are the multivalued function that are the inverse functions of the trigonometric and hyperbolic functions.

2) Range of usual principal value

The trigonometric functions are periodic, so we must restrict their domains before we are able to define a unique inverse.

3) Definitions as infinite series

The inverse trigonometric functions can be defined in terms of infinite series.

4) Logarithmic forms

4.1 Natural logarithm's expressions

The inverse trigonometric functions may be expressed using natural logarithms.

arctan( ض ) = ( ln( 1 - iz ) - ( ln( 1 + iz ))

arccot( ض ) = ( ln( 1 - ) - ( ln( 1 + ))

4.2 Logarithmic formulas and connections

arcsin( ض ) = arccsc( ) 4.3.1 Proof
arccos( ض ) = arcsec( ) 4.3.2 Proof
arctan( ض ) = arccot( ) 4.3.3 Proof
arccot( ض ) = arctan( ) 4.3.4 Proof
arccsc( ض ) = arcsin( ) 4.3.5 Proof
arcsec( ض ) = arccos( ) 4.3.6 Proof

4.3 Logarithmic formulas and connections. Proofs

arctan( ض ) = ( ln( 1 - iz ) - ( ln( 1 + iz )) = arccot( )

arccot( ض ) = ( ln( 1 - ) - ( ln( 1 + )) = arctan( )

5) Derivatives of inverse trigonometric functions

6) Indefinite integrals of inverse trigonometric functions


2.4: Inverse Trigonometric Functions

2.4 Tables of Trigonometric Function

When solving problems using trigonometric functions, either the angle is given and the value of t-function must be found, or the value of the t-function is given and angle must be found.

These two processes are inverse of each other. Thus inverse notations are used to express an angel in terms of the values of t-functions. For instant cos a = 0.5 can be put in the form a = cos -1 (-0.5) or a = Arc cos (- 0.5). The two expressions are read as Alpha equals to 'Inverse cos of (-0.5) or Alpha equals to Arc cos (- 0.5).

Both these operations can be done either using a calculator or using a trigonometric table. It should clearly be noted that both calculator or a table gives only approximate answers. Even so we use equality sign (=) but more correctly the use of approximation sign ( » ) is welcomed. Approximate values of the functions of acute angles are given in Tables of Natural Trigonometric functions . We shall use a Trigonometric table giving values to four decimal places. As it is clear that Tables cannot list all angles. Therefore, approximation must be used to find values between those given in the table. This method is known as Linear interpolation .

Assumption : Differences in functional values are directly proportional to the Differences in measures of angle over a very small interval.

Caution : This is not a real truth ! Yet it gives a better answer than just going for nearest value in the table.

Using linear interpolation Find sin (24 0 43'), given that sin (24 0 40') = 0.4173 and sin (24 0 50') = 0.4200

We have sin (24 0 50') = 0.4200
and sin (24 0 40')= 0.4173
Difference for 10'= 0.0027

Owing to the assumption made if x is the difference for required 3' we have a ratio

x = 0.3 (0.0027) = 0.00081 » 0.0008 (rounded off to 4 decimal places)
Thus sin (24 0 40') = sin (24 0 40') + sin (0.3') angle increase with an increment in its sine of angle and vice versa.
Thus sin (24 0 43') = 0.4173 + 0.0008 = 0. 4181

Find cos (64 0 26'), given that cos (64 0 20') = 0.4331 and cos (64 0 30') = 0.4305

We have cos (64 0 30') = 0.4331
cos (64 0 20') = 0.4305

Tabular difference for 10' = 0.0026

The required difference for 6' = (If x)

x = 0.6 (0.0026) = 0.00156 or 0.0016 (104 decimal places)

As the angle increases, the cosine of angle decreases. Thus cos (64 0 26') = 0.4331 - 0.0016

Find tan (28.43) 0 , given that tan (28.40) 0 = 0.5407 and tan (28.50) 0 = 0.5430

As angle increases, the tangent of angle also increases.
Thus tan (28.43) 0 = 0.5407 + 0.0007 = 0.5414

Illustration 4
Solve the right triangle in which a = 24.36 Ð A = 58 0 53'.


In right triangle ABC
A + B + C = 180 0
58 0 53' + B + C = 180 0 , given that C = 90 0
B = 90 0 - 58 0 53' = 31 0 7'
Using the formulas for t-ratios,
b / a = cot A, b = a cot A = 24.36 (0.6036) = 14.70 ( cot A = 0.6036)
c/a = csc A, c = a csc A = 24.36 (1.1681) = 28.45
a/c = sin A, c = a / sin A = 24.36 / 0.8562 = 28.45
b/c = cos A, b = c cos A = 28.45 (0.5168) = 14.70

Note : To save time, consider Illustration 1
Step (1) sin (24 0 41') = 0.4173, take only 4173
(2) Find mentally the tabular difference 27 between 4200 (for sin 24 0 40') and 4173 (for sin 24 0 40')
(3) Difference for 3' = 0.3 (27) = 8.1 (rounded off).
(4) Add (since sine) to 4178 to get 4181 then sin 24 0 31' = 0.4181.

Illustration 5
Find angle A, given that sin A = 0.4234

المحلول
We will not find this entry in the table.
However 0.4226 = sin 25 0 0'
0.4253 = sin 25 0 10'
Tabular difference = 0.0027
Now 0.4226 = sin 25.0'
0.4234 = sin A
0.0008 = partial difference
correction = (nearest minute)
Adding (since sine) the correction is A = 25 0 0' + 3' = 25 0 3'

Illustration 6
Find A, given that cot A = 0.6345

المحلول
We have 0.6330 = cot 57 0 40' (from the table)
0.6371 = cot 57 0 30'
Tabular diff. = 0.0041
Now 0.6330 = cot 57 0 40'
0.6345 = cot A
Partial diff. = 0.0015
Correction = (nearest minute)
subtracting (since cot), the correction is A = 57 0 40' - 4' = 57 0 36'.

Note : Saving the time as - (Consider Illustration 5)
Step (1) Locate the next smaller entry, 0.4226 = sin 25 0 0'. Use 4226 only.
(2) Find tabular diff. (mentally), 27.
(3) Find partial diff. (mentally), 8 between 4226 and 4234.
(4) Find (10') = 3' and add (since sine) to get A = 25 0 3'
Commit to memory the values of t-functions of angles measuring 0 0 , 30 0 , 45 0 , 60 0 and 90 0 as follows:

(1) Write angle ( q ) in the given order in the 1st column and the t-ratios, sin q , cos q , tan q , csc q , sec q , cot q in the 1st row.
(2) Put 0, 1, 2, 3, 4 in sin q column (see the table), then put 4, 3, 2, 1, 0 in cos q column (see the table).
(3) Divide by 4 to each entry then find square root of each entry. These are values of sine and cosine ratios of angles 0 0 , 30 0 , 45 0 , 60 0 and 90 0
(4) Use tan q = q and reciprocal relations for csc q , sec q and cot q .


NCERT Exemplar Class 12 Maths Chapter 2 Inverse Trigonometric Functions

Short Answer Type Questions










Long Answer Type Questions








Objective Type Questions











Fill in the Blanks Type Questions







True/False Type Questions



I think you got complete solutions for this chapter. If You have any queries regarding this chapter, please comment on the below section our subject teacher will answer you. We tried our best to give complete solutions so you got good marks in your exam.


Properties of Inverse Trig Identities

Property 1

  1. sin -1 (1/x) = cosec -1 x , x ≥ 1 or x ≤ -1
  2. cos -1 (1/x) = sec -1 x , x ≥ 1 or x ≤ -1
  3. tan -1 (1/x) = cot -1 x , x > 0

Proof : sin -1 (1/x) = cosec -1 x , x ≥ 1 or x ≤ -1,

Let sin−1x=y
i.e. x = cosec y
1x=siny
sin−11x)=y
sin−11x)=cosec−1x
sin−1(1x)=cosec−1x
Hence, sin−11x=cosec−1x where, x ≥ 1 or x ≤ -1.

Property 2

Proof: sin -1 (-x) = -sin -1 (x), x ∈ [-1,1]
Let, sin−1(−x)=y
Then −x=siny
x=−siny
x=sin(−y)
sin−1=sin−1(sin(−y))
sin−1x=y
sin−1x=−sin−1(−x)
Hence,sin−1(−x)=−sin−1 x ∈ [-1,1]

Property 3

Proof : cos -1 (-x) = π – cos -1 x, x ∈ [-1,1]
Let cos−1(−x)=y
cosy=−x x=−cosy
x=cos(π−y)
Since, cosπ−q=−cosq
cos−1x=π−y
cos−1x=π–cos−1–x
Hence, cos−1−x=π–cos−1x

Property 4

  1. sin -1 x + cos -1 x = π/2, x ∈ [-1,1]
  2. tan -1 x + cot -1 x = π/2, x ∈ R
  3. cosec -1 x + sec -1 x = π/2, |x| ≥ 1

Proof : sin -1 x + cos -1 x = π/2, x ∈ [-1,1]
Let sin−1x=y or x=siny=cos(π2−y)
cos−1x=cos−1(cos(π2−y))
cos−1x=π2−y
cos−1x=π2−sin−1x
sin−1+cos−1x=π2
بالتالي, sin -1 x + cos -1 x = π/2, x ∈ [-1,1]

Property 5

Proof : tan -1 x + tan -1 y = tan -1 ((x+y)/(1-xy)), xy < 1.
Let tan−1x=A
And tan−1y=B
Then, tanA=x
tanB=y
Now, tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1−tanAtanB)
tan(A+B)=x+y1−xy
tan−1(x+y1−xy)=A+B
Hence, tan−1(x+y1−xy)=tan−1x+tan−1y

Property 6

  1. 2tan -1 x = sin -1 (2x/(1+x 2 )), |x| ≤ 1
  2. 2tan -1 x = cos -1 ((1-x 2 )/(1+x 2 )), x ≥ 0
  3. 2tan -1 x = tan -1 (2x/(1 – x 2 )), -1 < x <1

Proof : 2tan -1 x = sin -1 (2x/(1+x 2 )), |x| ≤ 1
Let tan−1x=y and x=tany
Consider RHS. sin−1(2ࡧ+x2)
=sin−1(2tany1+tan2y)
=sin−1(sin2y)
Since, sin2θ=2tanθ/(1+tan 2 θ),
=2y
=2tan−1x which is our LHS
Hence 2 tan -1 x = sin -1 (2x/(1+x 2 )), |x| ≤ 1


شاهد الفيديو: اشتقاق الدوال المثلثية العكسية Derivatives of the inverse trigonometric functions (شهر اكتوبر 2021).