مقالات

6: الكسور المستمرة - الرياضيات


6: الكسور المستمرة - الرياضيات

الكسور المستمرة أنا

هل وجدت أسهل طريقة لحساب هذه؟ على سبيل المثال ، يجب أن تكون قادرًا على رؤية أن الأخير هو $ <1 over displaystyle 1 + < strut 3 over displaystyle 5 >> quad = quad <5 over 8>. $ In هذا التسلسل من الكسور المستمرة يمكنك دائمًا حساب واحد بسرعة باستخدام الإجابة السابقة. الكسر التالي في هذا التسلسل هو $ <1 over displaystyle 1 + > quad = quad <8 over 13>. $ الأرقام التي نحصل عليها بالترتيب هي $ 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 دولارًا. ما رأيك هو الرقم التالي؟ نعم ، هذه هي أرقام فيبوناتشي. ما رأيك في الكسر المتواصل التالي في التسلسل؟

لنكتشف الآن ما سيحدث إذا استمر الكسر المستمر إلى الأبد. نكتب هذا كـ $ f = <1 over displaystyle 1+ < strut 1 over displaystyle 1 + < strut 1 over displaystyle 1 + cdots >>>. $ هل يمكنك معرفة السبب لدينا $ f = <1 over 1 + f> quad؟ $ هذا يعطي المعادلة التربيعية $ f ^ 2 + f -1 = 0 $. نظرًا لأن $ f $ موجب ، نحصل على الحل الواحد $ f = < sqrt <5> -1 over 2> ، وهي نسبة الجانب الأقصر إلى الجانب الأطول من المستطيل الذهبي!


جي ك [تحرير]

نأخذ إحدى النقاط المهمة هنا لتكون مهمة تمثيل السلسلة اللانهائية a0 ، a1 ،. و b0 و b1 و. بشكل مضغوط ، ويفضل وظيفيا. بالنسبة لنوع السلسلة التي يتم مواجهتها عادةً في الكسور المستمرة ، يتم تحقيق ذلك بسهولة في jq 1.4 باستخدام مرشح (وظيفة) ، يُسمى هنا "التالي" ، والذي ، بالنظر إلى الثلاثي [i ، [a [i] ، b [i ]] ، سينتج الثلاثي التالي [i + 1، a [i + 1]، b [i + 1]].

نقطة أخرى مثيرة للاهتمام هي تجنب الاضطرار إلى تحديد عدد التكرارات. النهج المعتمد هنا يسمح للشخص بتحديد الدقة المطلوبة في بعض الحالات ، ومن الممكن تحديد أن الحساب يجب أن يستمر حتى يتم تحقيق الدقة التي يسمح بها تمثيل النقطة العائمة الأساسي. يتم ذلك عن طريق تحديد دلتا على أنها 0 ، كما هو موضح في الأمثلة.

لذلك ننتقل إلى خطوتين: الكسر_المستمر (العد الأول التالي) يحسب تقريبًا استنادًا إلى مصطلحات "العد" الأولى ثم يحسب استمرار الكسر (أول دلتا تالية) الكسر المستمر حتى يصبح الفرق في التقديرات التقريبية أقل من أو يساوي دلتا ، والتي قد يكون 0 ، كما لوحظ سابقًا.


المخطوطات

02/2021

توصيفات جديدة للدالة التلخيصية لوظيفة موبيوس
نص كامل: arXiv / 2102.05842 (math.NT) مرجع البرنامج: حسابات وظائف Mertens (GitHub) الكلمات الدالة: دالة Möbius دالة Mertens دالة Dirichlet المعكوسة Liouville lambda وظيفة أوميغا الرئيسية وظيفة العد الأولي Dirichlet دالة توليد دالة Erdős-Kac دالة مضافة بقوة. MSC (2010): 11N37 11A25 11N60 11N64 و 11-04.

04/2020

كتالوج بهويات سلسلة لامبرت الممتعة والمفيدة
نص كامل: https://arxiv.org/pdf/2004.02976.pdf (math.NT، math.HO) الكلمات الدالة: سلسلة لامبرت سلسلة لامبرت المولدة لوظيفة المقسوم مجموع Anderson-Apostol sum Dirichlet Convolution Dirichlet دالة جمعية عكسية تولد دالة تحويل سلسلة هوية دالة حسابية. MSC (2010): 05A15 و 11Y70 و 11A25 و11-00.

08/2017

نظريات العوملة لمنتجات هادامارد والمشتقات عالية الرتبة لوظائف توليد سلسلة لامبرت
نص كامل: https://arxiv.org/abs/1712.00608 (math.NT) الكلمات الدالة: نظرية عامل سلسلة لامبرت دالة تقسيم عامل مصفوفة عامل Hadamard المنتج. MSC (2010): 11A25 11P81 05A17 05A19.

07/2017

الارتباط الثنائي وتوزيعات الفجوات لأسقف الاستبدال ومجموعات أولام المعممة في المستوى
عملت بشكل وثيق مع Jayadev Athreya في المشروع. نص كامل: https://arxiv.org/abs/1707.05509 الكلمات الدالة: استبدال تبليط عمان بتعيين Ulam ارتباط زوج توزيع فجوة التوزيع الاتجاهي. MSC (2010): 52C20 06A99 11B05 62H11 52C23.

06/2017

أزواج عوامل جديدة لتحليل وظائف توليد سلسلة لامبرت
مع ميرسيا ميركا. نص كامل: https://arxiv.org/abs/1706.02359 الكلمات الدالة: دالة تقسيم عامل مصفوفة عامل نظرية لامبرت. MSC (2010): 11A25 11P81 05A17 05A19.


التعبيرات

يمكنك استخدام عوامل التشغيل والأقواس التالية للتعبيرات:

  • + للإضافة
  • - للطرح
  • * من أجل الضرب
  • / لتقسيم عدد صحيح
  • ٪ للمعامل (باقي القسمة الصحيحة)
  • ^ أو ** للأس (يجب أن يكون الأس أكبر من أو يساوي الصفر).
  • & lt, ==, & GT & lt =, & GT =،! = للمقارنات. تعيد العوامل صفرًا للخطأ و -1 للصواب.
  • و, أو, XOR, ليس للمنطق الثنائي. تتم العمليات في نظام ثنائي (الأساس 2). يتم تقديم الأرقام الموجبة (السالبة) مع عدد لا نهائي من البتات مضبوطة على صفر (واحد).
  • SHL أو & lt & lt: عندما b & ge 0 ، تزيح a SHL b a يسارًا عدد البتات المحدد بواسطة b. هذا يعادل a & ضرب 2 ب. وإلا ، فإن SHL b يزيح عدد البتات المحدد بواسطة & ناقص b إلى اليمين. هذا يعادل الكلمة (أ / 2 & ناقص ب). مثال: 5 SHL 3 = 40.
  • SHR أو & GT & GT: عندما b & ge 0 ، يُزيح a SHR b عدد البتات المحدد بواسطة b إلى اليمين. هذا يعادل الكلمة (أ / 2 ب). وإلا ، فإن SHR b يزيح a يسارًا عدد البتات المحدد بواسطة & ناقص b. هذا يعادل a & ضرب 2 & ناقص ب. مثال: -19 SHR 2 = -5.
  • ن!: عاملي (يجب أن تكون n أكبر من أو تساوي الصفر). مثال: 6! = 6 مرات 5 مرات 4 مرات 3 مرات 2 = 720.
  • ن!! . !: مضروب متعدد (يجب أن تكون n أكبر من أو تساوي الصفر). إنه حاصل ضرب n مرات n & ناقص k مرات n & ناقص 2k. (جميع الأرقام أكبر من الصفر) حيث k هو عدد علامات التعجب. مثال: 7 !! = 7 مرات 5 مرات 3 مرات 1 = 105.
  • ص #: primorial (حاصل ضرب كل الأعداد الأولية الأقل أو المساوية من p). مثال: 12 # = 11 & times 7 & times 5 & 3 & times 2 = 2310.
  • ب (ن): عدد أولي محتمل سابق من قبل ن. مثال: ب (24) = 23.
  • و (ن): رقم فيبوناتشي Fن من التسلسل 0 ، 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، إلخ. حيث يساوي كل عنصر مجموع العضوين السابقين من المتسلسلة. مثال: F (7) = 13.
  • L (اسم): رقم لوكاس L.ن = F. ن -1 + ف ن +1
  • ن (ن): رئيس الوزراء المحتمل التالي بعد ن. مثال: N (24) = 29.
  • ف (ن): رقم القسم غير المقيد (عدد تحليلات n إلى مجموعات من الأعداد الصحيحة دون النظر إلى الترتيب). مثال: P (4) = 5 لأن الرقم 4 يمكن تقسيمه بخمس طرق مختلفة: 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1.
  • Gcd (م ، ن): القاسم المشترك الأكبر لهذين العددين الصحيحين. مثال: GCD (12 ، 16) = 4.
  • مودينف (م ، ن): معكوس m modulo n ، صالح فقط عندما تكون m و n جريمة مشتركة ، مما يعني أنه ليس لديهما عوامل مشتركة. مثال: Modinv (3،7) = 5 لأن 3 × 5 & equiv 1 (mod 7)
  • Modpow (م ، ن ، ص): يجد m n modulo r. مثال: Modpow (3 ، 4 ، 7) = 4 ، لأن 3 4 وتعادل 4 (تعديل 7).
  • جاكوبي (م ، ن): يحصل على رمز جاكوبي لـ m و n. عندما تكون الوسيطة الثانية عددًا أوليًا ، تكون النتيجة صفرًا عندما يكون m مضاعفًا لـ n ، وتكون واحدة إذا كان هناك حل لـ x & sup2 & equiv m (mod n) وتساوي & ناقص 1 عندما لا يكون للتطابق المذكور أي حل.
  • IsPrime (اسم): تُرجع صفرًا إذا لم يكن n عددًا أوليًا محتملاً ، و -1 إذا كان كذلك. مثال: IsPrime (5) = -1.
  • سكرت (ن): جزء صحيح من الجذر التربيعي للوسيطة.
  • NumDigits (n ، r): عدد أرقام n في القاعدة r. مثال: NumDigits (13، 2) = 4 لأن 13 في النظام الثنائي (الأساس 2) يتم التعبير عنها كـ 1101.
  • SumDigits (ن ، ص): مجموع أرقام n في القاعدة r. مثال: SumDigits (213، 10) = 6 لأن مجموع الأرقام المعبر عنها في النظام العشري هو 2 + 1 + 3 = 6.
  • RevDigits (ن ، ص): يجد القيمة التي تم الحصول عليها بكتابة أرقام n في الأساس r للخلف. مثال: RevDigits (213 ، 10) = 312.

يمكنك استخدام البادئة 0x للأرقام السداسية العشرية ، على سبيل المثال 0x38 تساوي 56.


الجزء المستمر المرتبط بـ KdV solitons

خلفية (قد يتم تخطيها من قبل المهتمين فقط بالسؤال الأساسي وليس الارتباطات المهمة):

CF للمعاملة بالمثل

يوضح أويلر أن قيمة $ q $ يتم تحديدها بواسطة معادلة Riccati

ثم من الصيغ في مساهمتي (18 سبتمبر 2014) إلى OEIS 008292 على أرقام أويلريان مع $ hat

= فارك

$ ,

هو على سبيل المثال و. بالنسبة إلى كثيرات حدود أويلر ثنائية المتغير $ E_n (a، b) $ ، التي تكون معاملاتها هي تلك الخاصة بمتجهات h لـ permutohedra ،

مع $ (u) ^ n = u_n = h_(أ، ب) $ a متعدد الحدود الكامل المتجانس في اثنين غير محددين مع $ h_n (1، x) $ المتجه h لـ $ <(n-1)> $ -dimensional فرط السطوح ، هي دالة إنشاء سجل للتجانس الكامل كثيرات الحدود

مثال على معادلة ريكاتي

والتي يمكن كتابتها من حيث وظيفة Weierstrass الإهليلجية (انظر Buchstaber & amp Bunkova في إدخال OEIS)

بشكل أكثر عمومية ، كثيرات حدود صف أويلر ثنائية المتغير $ E_n (a، b) $ من $ A (x، a، b) $ مع $ E_0 (a، b) = 0 $ يتم إنشاؤها بواسطة

(انظر OEIS A145271 لمولد من الانعكاسات التركيبية عبر أرقام أويلريان المكررة)

لذلك ، مع $ x = a / p $ ، يتم تقييم الجزء المستمر من أويلر تحليليًا كـ

مع عدم الاستمرارية - قفزة من $ -1 $ إلى $ 1 $ حيث تمر الوسيطة عبر الأصل من القيم السالبة إلى القيم الموجبة $ x $.

المتبادل ، بالطبع ، هو

بنفس عدم الاستمرارية عند الأصل $ x = 0 $.

العرض الأكثر طبيعية هو

بدون انقطاع للحجة الحقيقية المحدودة $ frac

$ .

يسمى قانون المجموعة الرسمي الزائدي ويتعلق بنظرية cohomology المعممة التي اقترحها لينارت وزينوللين.

هذا هو قانون الجمع أو التركيب للسرعات في النسبية الخاصة لـ $ c = 1 $ وصيغة الظل الزائدي للمجاميع

شاهد رسالتي & quot The Elliptic Lie Triad: KdV and Riccati Equations، Infinigens و Elliptic Genera & quot للعلاقات مع حل Soliton لمعادلة KdV ومعادلة Riccati المرتبطة أو مساهمتي في MO-Q & quotI هل هناك تفسير أساسي للقوى السحرية من Schwarzian؟ & quot للحصول على مذكرة مختصرة حول بعض جوانب العلاقات.

ما هي تكرار الكسور المستمرة لـ

وما هي المراجع المتاحة لأي ممثل معين (عبر المصادر المجانية المعتادة)؟

أظن أن بعض إصدارات المعادلة 4 في & quot مقدمة إلى الفصل 3 حول الكسور المستمرة [الإصدار 5 ، 29 يناير 2013] & quot بواسطة Xavier Viennot المفسرة من حيث مسارات Dyck lattice يجب أن تنطبق نظرًا لأنه يمكن تطبيق كثيرات حدود التقسيم Associahedra لـ OEIS A133437 للانقلاب التركيبي إلى $ B (x، a، b) $ للحصول على $ A (x، a، b) $ وهذه المتجهات متعددة الحدود هي تنقيح لتلك الخاصة بـ A126216 ، والتي ترتبط بمسارات Dyck المميزة (وشرودر - راجع Drake فيه).

دليل محتمل آخر هو A134264 / A125181 للانعكاس التركيبي عبر أقسام غير متقاطعة / مسارات Dyck ذات أطوال متساوية. انظر & quotA ملحوظة على قسمين غير متقاطعين ومسارات موتزكين المرجحة & quot بواسطة إيرا جيسيل وجانغ سو كيم ، المتعلقة بـ CFs.

لقد قمت بمسح أكثر من عشرات المراجع حول كثيرات الحدود المتعامدة والكسور المستمرة خلال الأسبوعين الماضيين ، ولكن لم أجدها حتى الآن & quot ؛ مسارات شعرية وكسور متفرعة: تسلسل لا نهائي من التعميمات لـ Stieltjes-Rogers و Thron- كثيرات حدود روجرز ، بإيجابية معامل هانكل الكلي & مثل ماتياس بيتريول ، آلان سوكال ، وباو شوان تشو. تنص الحاشية السفلية في الصفحة 77 على ما يلي:

تم العثور على الهوية (12.6) - أي الكسر S لكثيرات حدود أويلريان - بواسطة Stieltjes [160 ، القسم 79]. لا يذكر Stieltjes على وجه التحديد كثيرات حدود Eulerian ، لكنه يذكر أن الكسر المستمر هو تحويل لابلاس الرسمي لـ $ (1 - y) / (e ^ - y) ، والتي من المعروف أنها دالة التوليد الأسية لكثيرات حدود أويلريان. يمتنع Stieltjes أيضًا عن إظهار الدليل: "Pour abreger، je supprime toujours les artifices qu’il faut Employer pour obtenir la convert de l’int´egrale Definie en fraction" (!). لكن الدليل مرسوم في كتاب الحائط [165 ، ص 207-208] ، وإن كان بدون تفسير. تم إثبات الجزء J المقابل لانكماش هذا الجزء S ، من خلال طرق اندماجية ، بواسطة Flajolet [52 ، Theorem 3B (ii) مع خطأ مطبعي طفيف]. قدم Dumont [41 ، الاقتراحان 2 و 7] دليلًا اندماجيًا مباشرًا للكسر S ، استنادًا إلى تفسير متعددات حدود أويلريان من حيث "ارتباطات ثنائية من [2 ن]" وانحرافها على مسارات دايك.

(تحتوي الورقة أيضًا ، في الصفحة 83 ، على كثيرات حدود التقسيم لـ A190015 ، والتي يسمونها متعددات حدود أويلر المتماثل ، مدعين أنهم قدموها في الأصل في ورقتهم. كما هو مذكور في إدخال OEIS ، فهي نسخة مصغرة من A145271 والتي أسميها كثيرات حدود أويلريان المكررة المذكورة أعلاه.)


مواضيع الاستكشاف الرياضيات IA # 8211

قم بالتمرير لأسفل هذه الصفحة لتجد أكثر 300 مثال موضوعات استكشاف الرياضيات IA والأفكار لطلاب الرياضيات في البكالوريا الدولية الذين يقومون بعمل دورات التقييم الداخلي (IA). تشمل الموضوعات الجبر والرقم (البرهان) والهندسة وحساب التفاضل والتكامل والإحصاء والاحتمالات والفيزياء والروابط مع الموضوعات الأخرى. مناسب لطلاب التطبيقات والتفسيرات (SL و HL) وأيضًا طلاب التحليل والنهج (SL و HL).

الموارد الأساسية لطلاب البكالوريا الدولية:

تم تجميع Revision Village لمساعدة طلاب البكالوريا الدولية في مراجعة الموضوع سواء أثناء الدورة أو في نهاية امتحانات المدرسة للعام 12 والامتحانات النهائية للعام 13. أوصي بشدة الطلاب باستخدام هذا كمورد أثناء الدورة (ليس فقط للمراجعة النهائية في Y13!) هناك موارد محددة لطلاب HL و SL لكل من التحليل والتطبيقات.

يوجد بنك أسئلة شامل يأخذك إلى تفصيل لكل مجال موضوع رئيسي (مثل الجبر وحساب التفاضل والتكامل وما إلى ذلك) ثم يوفر مجموعة كبيرة من الأسئلة المصنفة. ما يعجبني في هذا هو أنه يتم منحك تصنيفًا للصعوبة ، بالإضافة إلى مخطط علامات وأيضًا فيديو تعليمي فعال. حقا مفيد!

يأخذك قسم الاختبارات التدريبية إلى عدد كبير من الاختبارات والامتحانات والأوراق المتوقعة الجاهزة. لقد عملت كل هذه الحلول وتسمح لك بالتركيز على مواضيع محددة أو بدء المراجعة العامة. يحتوي هذا أيضًا على بعض الأسئلة الصعبة الممتازة لأولئك الطلاب الذين يهدفون إلى الحصول على 6 و 7 ثوانٍ.

تحتوي كل دورة أيضًا على قسم فيديو تعليمي مخصص يوفر مقاطع فيديو تعليمية مدتها 5-15 دقيقة على كل جزء منهج فردي & # 8211 مصنفة بسهولة في فئات الموضوعات.

لقد قمت بتجميع أربعة أدلة شاملة بتنسيق pdf لمساعدة الطلاب على الاستعداد لدورات الاستكشاف وتحقيقات الورقة 3. تتحدث أدلة الاستكشاف من خلال معايير التصحيح وأخطاء الطلاب الشائعة والأفكار الممتازة للاستكشافات والمشورة التقنية وطرق النمذجة ومجموعة متنوعة من التقنيات الإحصائية مع تفسيرات مفصلة. لقد قدمت أيضًا 17 سؤال تحقيق كامل ، وهي أيضًا نقاط بداية ممتازة للاستكشافات. يمكن تنزيل أدلة الاستكشاف هنا ويمكن تنزيل أسئلة الورقة 3 هنا.

مواضيع استكشاف الرياضيات IA & # 8211 الرياضيات

قائمة تحتوي على أكثر من 300 مثال لموضوعات استكشاف الرياضيات IA وأفكار لطلاب الرياضيات في البكالوريا الدولية الذين يقومون بعمل دوراتهم الدراسية للتقييم الداخلي (IA). مناسب لطلاب التطبيقات والتفسيرات (SL و HL) وأيضًا طلاب التحليل والنهج (SL و HL).

الجبر والعدد

1) الحساب النمطي & # 8211 تستخدم هذه التقنية في جميع أنحاء نظرية الأعداد. على سبيل المثال ، Mod 3 يعني الباقي عند القسمة على 3.

2) حدسية غولدباخ: & # 8220 يمكن التعبير عن كل رقم زوجي أكبر من 2 كمجموع اثنين من الأعداد الأولية. & # 8221 إحدى أكبر المسائل التي لم يتم حلها في الرياضيات.

3) نظرية الأعداد الاحتمالية

4) تطبيقات الأعداد المركبة: يتم إنشاء الرسومات المذهلة لمجموعات ماندلبروت وجوليا بواسطة أرقام مركبة.

5) معادلات ديوفانتين: هذه هي كثيرات الحدود التي لها حلول عدد صحيح. Fermat & # 8217s Last Theorem هي واحدة من أشهر هذه المعادلات.

6) الكسور المستمرة: هذه هي الكسور التي تستمر إلى ما لا نهاية. اكتشف عالم الرياضيات الهندي العظيم رامانوجان بعض الأمثلة المدهشة على ذلك.

7) الأنماط في مثلث باسكال: هناك عدد كبير من الأنماط لاكتشاف & # 8211 بما في ذلك تسلسل فيبوناتشي.

8) إيجاد الأعداد الأولية: يعد البحث عن الأعداد الأولية والتخمين الأولي المزدوج من أهم المشكلات في الرياضيات. هناك جائزة بقيمة مليون دولار لحل فرضية ريمان و 250 ألف دولار متاحة لأي شخص يكتشف عددًا أوليًا جديدًا كبيرًا حقًا.

10) ثلاثية فيثاغورس: مقدمة رائعة في نظرية الأعداد & # 8211 التحقيق في حلول فيثاغورس & # 8217 نظرية التي هي أعداد صحيحة (على سبيل المثال. 3،4،5 مثلث).

11) أعداد ميرسين الأولية: وهي أعداد أولية يمكن كتابتها على هيئة 2 ^ n -1.

12) المربعات والمكعبات السحرية: اكتشف الخدع السحرية التي تستخدم الرياضيات. لماذا المربعات السحرية تعمل؟

13) Loci والأعداد المركبة

14) الكسور المصرية: يمكن أن تحتوي الكسور المصرية على بسط 1 & # 8211 مما يؤدي إلى بعض الأنماط المثيرة للاهتمام. يمكن كتابة 2/3 بالشكل 1/6 + 1/2. هل يمكن كتابة جميع الكسور ذات البسط 2 في صورة كسرين مصريين؟

15) الأعداد المركبة والتحولات

16) هوية أويلر: معادلة تم التصويت عليها كأجمل معادلة في كل العصور ، تربط هوية أويلر & # 8217s معًا 5 من أهم الأرقام في الرياضيات.

17) نظرية الباقي الصينية. هذا هو اللغز الذي طرحه عالم رياضيات صيني منذ أكثر من 1500 عام. أنها تنطوي على فهم عملية modulo.

18) نظرية فيرما الأخيرة: مشكلة حيرت علماء الرياضيات لقرون & # 8211 والتي تم حلها مؤخرًا فقط.

19) اللوغاريتمات الطبيعية للأعداد المركبة

20) مشكلة الأعداد الأولية المزدوجة: إن السؤال عما إذا كانت هناك أنماط في الأعداد الأولية قد أذهل علماء الرياضيات لعدة قرون. تنص التخمين الأولي المزدوج على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية المتتالية (على سبيل المثال ، 5 و 7 هي أعداد أولية متتالية). كان هناك اختراقة في الآونة الأخيرة في هذه المشكلة.

22) تطبيق ديوفنتين: أرقام كول

23) الأعداد المثالية: الأعداد المثالية هي مجموع عواملها (بصرف النظر عن العامل الأخير). أي 6 هو رقم مثالي لأن 1 + 2 + 3 = 6.

24) الخوارزمية الإقليدية لـ GCF

25) أرقام Palindrome: أرقام Palindrome هي نفس الأرقام الأمامية.

26) نظرية فيرما الصغيرة: إذا كان p عددًا أوليًا ، فإن a ^ p & # 8211 a هو مضاعف p.

28) تكرار التعبيرات لـ phi (النسبة الذهبية): يظهر Phi مع تناسق ملحوظ في الطبيعة ويبدو أنه يشكل فهمنا للجمال والتناسق.

29) فرضية ريمان & # 8211 واحدة من أعظم المشاكل التي لم يتم حلها في الرياضيات & # 8211 بقيمة مليون دولار لأي شخص يحلها (ليس لأصحاب القلوب الضعيفة!)

30) السفر عبر الزمن إلى المستقبل: اكتشف كيف أن السفر بالقرب من سرعة الضوء يسمح للناس بالسفر & # 8220forward & # 8221 في الوقت المناسب بالنسبة لشخص ما على الأرض. لماذا تعمل مفارقة التوأم؟

31) Graham & # 8217s Number & # 8211 رقم كبير جدًا لدرجة أن التفكير فيه قد يؤدي إلى انهيار عقلك في ثقب أسود.

32) كود RSA & # 8211 أهم كود في العالم؟ كيف يتم الحفاظ على أمان جميع اتصالاتنا الرقمية من خلال خصائص الأعداد الأولية.

33) The Chinese Remainder Theorem: هذه طريقة طورها عالم الرياضيات الصيني سون زي منذ أكثر من 1500 عام لحل اللغز العددي. نظرة ثاقبة مثيرة للاهتمام في المجال الرياضي لنظرية الأعداد.

34) تلخيص سيزارو: هل 1 - 1 + 1 - 1 ... = 1/2 ؟. منشور يبحث في الرياضيات وراء هذه السلسلة المزعجة بشكل خاص.

35) Fermat & # 8217s Theorem على مجموع 2 مربعات & # 8211 مثال على كيفية استخدام البرهان الرياضي لحل المسائل في نظرية الأعداد.

36) هل يمكننا إثبات أن 1 + 2 + 3 + 4 & # 8230. = -1/12؟ كيف تحدث الأشياء الغريبة عندما نبدأ في التلاعب بالسلسلة المتباعدة.

37) البرهان والمفارقة الرياضية & # 8211 فرصة جيدة لاستكشاف بعض طرق الإثبات ولإظهار كيفية حدوث الأخطاء المنطقية.

38) الأعداد المألوفة ، الأعداد الفردية ، الأعداد الصحيحة. تحقق مما يجعل الرقم سعيدًا أو حزينًا أو مؤنسًا! هل يمكنك أن تجد حلقة الحزن اللامتناهي؟

39) مفارقة زينو - أخيل والسلحفاة & # 8211 نظرة على المفارقة الكلاسيكية من اليونان القديمة & # 8211 الفيلسوف & # 8220proved & # 8221 عداء لا يمكن أبدا التقاط سلحفاة & # 8211 بغض النظر عن السرعة التي ركض بها.

40) Stellar Numbers & # 8211 هذا مثال ممتاز لفحص تسلسل النمط. اختر استقصاء النمط الخاص بك للاستكشاف.

41) لغز الأرقام الحسابية & # 8211 قد يكون من المثير للاهتمام القيام باستكشاف حيث يمكنك حل مسائل الأرقام & # 8211 مثل هذه.

42) الأرقام العادية - ومولدات الأرقام العشوائية & # 8211 ما هو الرقم العادي & # 8211 وكيف يتم توصيلها بمولدات الأرقام العشوائية؟

43) الأرقام النرجسية & # 8211 ما الذي يجعل الرقم نرجسيًا & # 8211 وكيف يمكننا العثور عليها جميعًا؟

44) نمذجة الفوضى & # 8211 كيف يمكننا استخدام البرامج grahical لفهم سلوك التسلسلات

45) معادلة مورديل. ما هي معادلة مورديل وكيف تساعدنا في حل المسائل الرياضية في نظرية الأعداد؟

46) تاكسي رامانوجان ومجموع 2 مكعبات. اكتشف هذا اللغز الشهير لنظرية الأعداد.

47) فحص المكعبات المجوفة والمكعبات المفرطة. اكتشف نظرية الأعداد بأبعاد أعلى!

48) متى يساوي مربعان 2 مكعبين؟ مشكلة كلاسيكية في نظرية الأعداد يمكن حلها من خلال القوة الحسابية.

49) تقريب عقلاني للأعداد غير المنطقية. ما مدى دقة تقريبية يمكن أن تكون غير منطقية؟

50) الأعداد المثلثة المربعة. متى يكون لدينا رقم مربع وهو أيضًا رقم مثلث؟

51) الأعداد المركبة كمصفوفات & # 8211 هوية أويلر & # 8217. يمكننا استخدام تمثيل مصفوفة للأعداد المركبة لاختبار ما إذا كانت هوية أويلر & # 8217 لا تزال قائمة.

52) هل لديك عقل خارق؟ كم عدد الطرق المختلفة التي يمكننا استخدامها لحل مشكلة نظرية الأعداد؟

ملاحظات مراجعة البكالوريا الدولية للتحليل والتطبيقات

إن ملاحظات IB Analysis and Approaches SL عبارة عن 60 صفحة في اليوم ، وملاحظات HL عبارة عن ملف pdf 112 صفحة وملاحظات تطبيقات SL مكونة من 53 صفحة. كلها محدثة بالكامل للمنهج الجديد. أود حقًا أن أوصي بهذه الموارد لجميع طلاب البكالوريا الدولية - يتطلب الأمر الكثير من المهارة لتكثيف المنهج الدراسي بنجاح في المحتوى الأساسي - وهذه الملاحظات حقًا من أعلى مستويات الجودة. يمكنك تنزيل هذه الملاحظات على موقعي هنا.

1 أ) الأشكال الهندسية غير الإقليدية: هذا يسمح لنا & # 8220break & # 8221 قواعد الهندسة التقليدية & # 8211 على سبيل المثال ، الزوايا في المثلث لم تعد تضيف ما يصل إلى 180 درجة. في بعض الأشكال الهندسية ، تضيف المثلثات ما يصل إلى أكثر من 180 درجة ، وفي حالات أخرى أقل من 180 درجة.

1 ب) شكل الكون & # 8211 الهندسة غير الإقليدية هو جوهر نظريات أينشتاين والنسبية العامة وهو ضروري لفهم شكل وسلوك الكون.

2) Hexaflexagons: هذه أشكال بأسلوب الأوريغامي والتي من خلال الطي يمكن أن تكشف عن وجوه إضافية.

3) الحد الأدنى من الأسطح وفقاعات الصابون: تفترض فقاعات الصابون الحد الأدنى من مساحة السطح الممكنة لاحتواء حجم معين.

4) Tesseract - مكعب رباعي الأبعاد: كيف يمكننا استخدام الرياضيات لتخيل أبعاد أعلى.

5) تكديس كرات المدفع: تحقيق في الأنماط المتكونة من تكديس كرات المدفع بطرق مختلفة.

6) مجموعة ماندلبروت والأشكال الكسورية: استكشف عالم الصور التي تم إنشاؤها بلا حدود والأبعاد الكسرية.

7) مثلث Sierpinksi: تصميم كسوري يستمر إلى الأبد.

8) تربيع الدائرة: هذا لغز من العصور القديمة & # 8211 الذي كان يهدف إلى معرفة ما إذا كان يمكن إنشاء مربع له نفس مساحة دائرة معينة. يتم استخدامه الآن كمثل لتمثيل شيء مستحيل.

9) Polyominoes: وهي أشكال مصنوعة من المربعات. يتمثل التحدي في معرفة عدد الأشكال المختلفة التي يمكن صنعها باستخدام عدد معين من المربعات & # 8211 وكيف يمكن أن تتلاءم معًا؟

10) Tangrams: تحقق من عدد الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها تركيب الأشكال ذات الأحجام المختلفة معًا.

11) فهم البعد الرابع: كيف يمكننا استخدام الرياضيات لتخيل (واختبار) أبعاد إضافية.

12) كرة ريمان & # 8211 استكشاف لبعض الهندسة غير الإقليدية. الخطوط المستقيمة ليست مستقيمة ، والخطوط المتوازية تلتقي والزوايا في المثلث لا تصل إلى 180 درجة.

13) فهم الجذور المعقدة بيانياً & # 8211 هل سبق لك أن تساءلت عما يعنيه الجذر المركب من التربيعية في الواقع بيانياً؟ اكتشف!

14) الانعكاس الدائري & # 8211 ماذا يعني الانعكاس في الدائرة؟ مقدمة رائعة لبعض الأفكار وراء الهندسة غير الإقليدية.

15) مجموعات جوليا ومجموعات ماندلبروت & # 8211 يمكننا استخدام الأعداد المركبة لإنشاء أنماط جميلة من الفركتلات المتكررة بلا حدود. اكتشف كيف!

16) رسم بياني للتحقيق في المضلعات. هل يمكننا إيجاد دالة ترسم مربعًا؟ هل هناك دوال ترسم أي مضلعات؟ استخدم الرسوم البيانية الحاسوبية للتحقيق.

17) الرسوم البيانية Stewie من Family Guy. كيفية استخدام برامج الجرافيك لصنع فن من المعادلات.

18) الهندسة الزائدية & # 8211 كيف يمكننا تعيين المستوى الزائدي اللانهائي على دائرة الوحدة ، وكيف ألهم ذلك فن Escher.

19) المنحنيات الإهليلجية & # 8211 كيف أن لهذه الفئة من المنحنيات أهمية في حل نظرية فيرما & # 8217s الأخيرة وفي التشفير.

20) مفارقة الساحل & # 8211 كيف يمكننا قياس أطوال الخطوط الساحلية ، واستخدام فكرة الفركتلات للوصول إلى أبعاد كسرية.

21) الهندسة الإسقاطية & # 8211 تطوير البراهين الهندسية على أساس النقاط في اللانهاية.

22) ورقة ديكارت. هذه طريقة لطيفة لربط بعض تاريخ الرياضيات بدراسة وظيفة مثيرة للاهتمام.

23) قياس المسافة إلى النجوم. ترتبط الرياضيات ارتباطًا وثيقًا بعلم الفلك & # 8211 نرى كيف يمكننا حساب المسافة إلى النجوم.

24) إثبات هندسي للمتوسط ​​الحسابي والهندسي. لا يجب أن يكون الدليل & # 8217t دائمًا جبريًا. هنا دليل هندسي.

25) دائرة أويلر ذات 9 نقاط. هذا بناء جميل باستخدام البوصلات والمسطرة فقط.

26) رسم مجموعة Mandelbrot & # 8211 باستخدام Geogebra لإنشاء مجموعة Mandelbrot بيانياً.

27) تحسين حجم متوازي المستطيلات & # 8211 كيفية استخدام التفاضل والتكامل والحلول الرسومية لتحسين حجم متوازي المستطيلات.

28) دوائر فورد & # 8211 كيفية إنشاء دوائر فورد وعلاقاتها بالكسور.

29) لغز الهندسة الكلاسيكية: إيجاد نصف القطر. هذا لغز هندسي جميل تم حله باستخدام مجموعة متنوعة من الطرق.

31) خوارزمية رباط الحذاء لإيجاد مناطق المضلعات. كيف يمكننا إيجاد مساحة أي مضلع؟

32) فقاعات الصابون ، الثقوب الدودية والكاتينويدات. ما هو الشكل الهندسي لفقاعات الصابون؟

33) هل يمكنك حل سؤال دخول أكسفورد؟ تطلب منك هذه المشكلة استكشاف سلم منزلق.

34) دائرة الطوسي & # 8211 كيفية إنشاء دائرة تدور داخل دائرة أخرى باستخدام المعادلات البارامترية.

35) تغليف Sphere & # 8211 كيفية وضع الكرات في عبوة لتقليل النفايات.

36) مثلث Sierpinski & # 8211 نمط كسوري متكرر بلا حدود ناتج عن الكود.

37) توليد البريد من خلال الاحتمالات والمكعبات الزائدة. يمكن أن تولد هذه النتيجة المذهلة البريد من خلال التفكير في الأشكال فائقة الأبعاد.

38) أوجد متوسط ​​المسافة بين نقطتين على مربع. إذا تم اختيار أي نقاط بشكل عشوائي في مربع ما هي المسافة المتوقعة بينهما؟

39) إيجاد متوسط ​​المسافة بين نقطتين على المكعب المفرط. هل يمكننا توسيع بحثنا أعلاه إلى مكعب متعدد الأبعاد؟

40) البحث عن التركيز مع أرخميدس. استخدم الإغريق نهجًا مختلفًا تمامًا لفهم التربيعية & # 8211 ونتيجة لذلك كان لديهم فهم أعمق لخصائصهم الفيزيائية المرتبطة بالضوء والانعكاس.

41) الفوضى وعوامل الجذب الغريبة: خريطة Henon. احصل على فهم أعمق لنظرية الفوضى من خلال هذا التحقيق.

أدلة الاستكشاف والورقة 3 الموارد

لقد قمت بتجميع أربعة أدلة شاملة بتنسيق pdf لمساعدة الطلاب على الاستعداد لدورات الاستكشاف وتحقيقات الورقة 3. تتحدث أدلة الاستكشاف من خلال معايير التصحيح وأخطاء الطلاب الشائعة والأفكار الممتازة للاستكشافات والمشورة التقنية وطرق النمذجة ومجموعة متنوعة من التقنيات الإحصائية مع تفسيرات مفصلة. لقد قدمت أيضًا 17 سؤال تحقيق كامل ، وهي أيضًا نقاط بداية ممتازة للاستكشافات. يمكن تنزيل أدلة الاستكشاف هنا ويمكن تنزيل أسئلة الورقة 3 هنا.

حساب التفاضل والتكامل / التحليل والوظائف

1) السلسلة التوافقية: تحقق من العلاقة بين الكسور والموسيقى ، أو تحقق مما إذا كانت هذه السلسلة تتقارب.

2) Torus - صلب من ثورة: الحلقة هي شكل دائري يقدم بعض الأفكار الطوبولوجية المثيرة للاهتمام.

3) حركة المقذوفات: تعتبر دراسة حركة المقذوفات مثل كرات المدفع جزءًا أساسيًا من رياضيات الحرب. يمكنك أيضًا تصميم كل شيء بدءًا من Angry Birds وحتى القفز بالدراجة. استخدام جيد لمهاراتك في التفاضل والتكامل.

4) لماذا تعد قاعدة دالة اللوغاريتم الطبيعي: فرصة للتحقيق في الرقم المذهل e.

5) تحويلات فورييه - أهم أداة في الرياضيات؟ تلعب تحويلات فورييه دورًا أساسيًا في الحياة الحديثة & # 8211 وهي أحد المفاتيح لفهم العالم من حولنا. وصفت هذه المعادلة الرياضية بأنها الأكثر أهمية في الفيزياء. اكتشف المزيد! (هذا الموضوع مناسب فقط لطلاب IB HL).

6) باتمان وسوبرمان الرياضيات & # 8211 كيفية استخدام ولفرام ألفا لرسم الرسوم البيانية لشعار باتمان وسوبرمان

7) اكتشف وظيفة Si (x) & # 8211 وظيفة خاصة في حساب التفاضل والتكامل يمكن & # 8217t أن تكون متكاملة في دالة أولية.

8) وظيفة دلتا ديراك الرائعة. تستخدم هذه الوظيفة في ميكانيكا الكم & # 8211 وهي تصف ذروة العرض الصفري ولكن مع المنطقة 1.

9) الاستغلال الأمثل للمنطقة - تحقيق. هذا مثال جيد لكيفية التحقيق في تحسين منطقة المضلعات المختلفة.

10) غلاف حركة المقذوفات. يبحث هذا عن نسخة عامة من حركة المقذوفات & # 8211 يكتشف الشكل الذي تم إنشاؤه.

11) التحقيق في حركة المقذوفات II. يأخذ هذا الأفكار المعتادة لحركة المقذوفات ويعممها للتحقيق في معادلات الأشكال البيضاوية المتكونة.

12) حركة المقذوفات الثالثة: تفاوت الجاذبية. كيف ستبدو حركة المقذوفات على الكواكب المختلفة؟

13) الزوجان الطوسي - دائرة تتدحرج داخل دائرة. هذه نتيجة جميلة تستخدم الدوال البارامترية لإنشاء مثال جميل للفن الرياضي.

14) طائرات جاليليو المائلة. كيف حقق جاليليو فهمه الخارق للجاذبية؟ اتبع خطى عبقري!

الإحصاء والنمذجة 1 [يمكن دراسة الموضوعات بتعمق]

1) تدفق حركة المرور: كيف يمكن للرياضيات أن تشكل نموذجًا لحركة المرور على الطرق.

2) الوظيفة اللوجستية والنمو المقيد

3) Benford & # 8217s Law & # 8211 باستخدام الإحصائيات للقبض على المجرمين من خلال الاستفادة من توزيع مفاجئ.

4) الرياضيات السيئة في المحكمة & # 8211 كيف يمكن أن يؤدي سوء استخدام الإحصائيات في قاعة المحكمة إلى أخطاء مدمرة في تطبيق العدالة.

5) رياضيات السلبيات & # 8211 كيف يستخدم المحتالون المخططات الهرمية لتحقيق الثراء السريع.

6) تأثير الأرض & # 8211 ماذا سيحدث إذا اصطدم كويكب أو نيزك بالأرض؟

7) أحداث البجعة السوداء & # 8211 كيف يمكن للرياضيات أن تتنبأ بأحداث ذات احتمالية صغيرة عالية التأثير؟

8) نمذجة السعادة & # 8211 كيف يمكن لفهم قيمة المنفعة أن يجعلك أكثر سعادة.

9) هل يتنبأ طول الإصبع بالقدرة الرياضية؟ تحقق من الارتباط المدهش بين نسب الإصبع وجميع أنواع القدرات والسمات.

10) نمذجة الأوبئة / انتشار الفيروس

11) مشكلة مونتي هول & # 8211 سيوضح هذا الفيديو لماذا تقودك الإحصائيات غالبًا إلى نتائج غير بديهية.

12) محاكاة مونت كارلو

14) نظرية بايز: مدى أهمية فهم الاحتمالية لنظامنا القانوني.

15) Birthday paradox: The birthday paradox shows how intuitive ideas on probability can often be wrong. How many people need to be in a room for it to be at least 50% likely that two people will share the same birthday? Find out!

16) Are we living in a computer simulation? Look at the Bayesian logic behind the argument that we are living in a computer simulation.

17) Does sacking a football manager affect results? A chance to look at some statistics with surprising results.

18) Which times tables do students find most difficult? A good example of how to conduct a statistical investigation in mathematics.

19) Introduction to Modelling. This is a fantastic 70 page booklet explaining different modelling methods from Moody’s Mega Maths Challenge.

20) Modelling infectious diseases – how we can use mathematics to predict how diseases like measles will spread through a population

21) Using Chi Squared to crack codes – Chi squared can be used to crack Vigenere codes which for hundreds of years were thought to be unbreakable. Unleash your inner spy!

22) Modelling Zombies – How do zombies spread? What is your best way of surviving the zombie apocalypse? Surprisingly maths can help!

23) Modelling music with sine waves – how we can understand different notes by sine waves of different frequencies. Listen to the sounds that different sine waves make.

24) Are you psychic? Use the binomial distribution to test your ESP abilities.

25) Reaction times – are you above or below average? Model your data using a normal distribution.

26) Modelling volcanoes – look at how the Poisson distribution can predict volcanic eruptions, and perhaps explore some more advanced statistical tests.

27) Could Trump win the next election? How the normal distribution is used to predict elections.

28) How to avoid a Troll – an example of a problem solving based investigation

29) The Gini Coefficient – How to model economic inequality

30) Maths of Global Warming – Modeling Climate Change – Using Desmos to model the change in atmospheric Carbon Dioxide.

31) Modelling radioactive decay – the mathematics behind radioactivity decay, used extensively in science.

32) Circular Motion: Modelling a Ferris wheel. Use Tracker software to create a Sine wave.

33) Spotting Asset Bubbles. How to use modeling to predict booms and busts.

34) The Rise of Bitcoin. Is Bitcoin going to keep rising or crash?

35) Fun with Functions!. Some nice examples of using polar coordinates to create interesting designs.

36) Predicting the UK election using linear regression. The use of regression in polling predictions.

37) Modelling a Nuclear War. What would happen to the climate in the event of a nuclear war?

38) Modelling a football season. We can use a Poisson model and some Excel expertise to predict the outcome of sports matches – a technique used by gambling firms.

39)Modeling hours of daylight – using Desmos to plot the changing hours of daylight in different countries.

40) Modelling the spread of Coronavirus (COVID-19). Using the SIR model to understand epidemics.

42) The Martingale system paradox. Explore a curious betting system still used in currency trading today.

Statistics and modelling 2 [more simplistic topics: correlation, normal, Chi squared]

1) Is there a correlation between hours of sleep and exam grades?Studies have shown that a good night’s sleep raises academic attainment.

2) Is there a correlation between height and weight? (pdf). The NHS use a chart to decide what someone should weigh depending on their height. Does this mean that height is a good indicator of weight?

3) Is there a correlation between arm span and foot height? This is also a potential opportunity to discuss the Golden Ratio in nature.

4) Is there a correlation between smoking and lung capacity?

5) Is there a correlation between GDP and life expectancy? Run the Gapminder graph to show the changing relationship between GDP and life expectancy over the past few decades.

7) Is there a correlation between numbers of yellow cards a game and league position?
Use the Guardian Stats data to find out if teams which commit the most fouls also do the best in the league.

8) Is there a correlation between Olympic 100m sprint times and Olympic 15000m times?
Use the Olympic database to find out if the 1500m times have got faster in the same way the 100m times have got quicker over the past few decades.

9) Is there a correlation between time taken getting to school and the distance a student lives from school?

10) Does eating breakfast affect your grades?

11) Is there a correlation between stock prices of different companies? Use Google Finance to collect data on company share prices.

13) Is there a correlation between height and basketball ability? Look at some stats for NBA players to find out.

14) Is there a correlation between stress and blood pressure?

16) Are a sample of student heights normally distributed? We know that adult population heights are normally distributed – what about student heights?

17) Are a sample of flower heights normally distributed?

18) Are a sample of student weights normally distributed?

19) Are the IB maths test scores normally distributed? (pdf). IB test scores are designed to fit a bell curve. Investigate how the scores from different IB subjects compare.

20) Are the weights of “1kg” bags of sugar normally distributed?

21) Does gender affect hours playing sport? A UK study showed that primary school girls play much less sport than boys.

22) Investigation into the distribution of word lengths in different languages. The English language has an average word length of 5.1 words. How does that compare with other languages?

23) Do bilingual students have a greater memory recall than non-bilingual students?
Studies have shown that bilingual students have better “working memory” – does this include memory recall?

Games and game theory

1) The prisoner’s dilemma: The use of game theory in psychology and economics.

3) Gambler’s fallacy: A good chance to investigate misconceptions in probability and probabilities in gambling. Why does the house always win?

4) Bluffing in Poker: How probability and game theory can be used to explore the the best strategies for bluffing in poker.

5) Knight’s tour in chess: This chess puzzle asks how many moves a knight must make to visit all squares on a chess board.

8) How to “Solve” Noughts and Crossess (Tic Tac Toe) – using game theory. This topics provides a fascinating introduction to both combinatorial Game Theory and Group Theory.

9) Maths and football – Do managerial sackings really lead to an improvement in results? We can analyse the data to find out. Also look at the finances behind Premier league teams

10) Is there a correlation between Premier League wages and league position? Also look at how the Championship compares to the Premier League.

11) The One Time Pad – an uncrackable code? Explore the maths behind code making and breaking.

12) How to win at Rock Paper Scissors. Look at some of the maths (and psychology behind winning this game.

13) The Watson Selection Task – a puzzle which tests logical reasoning. Are maths students better than history students?

Topology and networks

3) Chinese postman problem – This is a problem from graph theory – how can a postman deliver letters to every house on his streets in the shortest time possible?

4) Travelling salesman problem

5) Königsberg bridge problem: The use of networks to solve problems. This particular problem was solved by Euler.

6) Handshake problem: With n people in a room, how many handshakes are required so that everyone shakes hands with everyone else?

7) Möbius strip: An amazing shape which is a loop with only 1 side and 1 edge.

10) Codes and ciphers: ISBN codes and credit card codes are just some examples of how codes are essential to modern life. Maths can be used to both make these codes and break them.

11) Zeno’s paradox of Achilles and the tortoise: How can a running Achilles ever catch the tortoise if in the time taken to halve the distance, the tortoise has moved yet further away?

12) Four colour map theorem – a puzzle that requires that a map can be coloured in so that every neighbouring country is in a different colour. What is the minimum number of colours needed for any map?

13) Telephone Numbers – these are numbers with special properties which grow very large very quickly. This topic links to graph theory.

14)The Poincare Conjecture and Grigori Perelman – Learn about the reclusive Russian mathematician who turned down $1 million for solving one of the world’s most difficult maths problems.

Mathematics and Physics

1) The Monkey and the Hunter – How to Shoot a Monkey – Using Newtonian mathematics to decide where to aim when shooting a monkey in a tree.

2) How to Design a Parachute – looking at the physics behind parachute design to ensure a safe landing!

3) Galileo: Throwing cannonballs off The Leaning Tower of Pisa – Recreating Galileo’s classic experiment, and using maths to understand the surprising result.

4) Rocket Science and Lagrange Points – how clever mathematics is used to keep satellites in just the right place.

5) Fourier Transforms – the most important tool in mathematics? – An essential component of JPEG, DNA analysis, WIFI signals, MRI scans, guitar amps – find out about the maths behind these essential technologies.

6) Bullet projectile motion experiment – using Tracker software to model the motion of a bullet.

7) Quantum Mechanics – a statistical universe? Look at the inherent probabilistic nature of the universe with some quantum mechanics.

8) Log Graphs to Plot Planetary Patterns. The planets follow a surprising pattern when measuring their distances.

9) Modeling with springs and weights. Some classic physics – which generates some nice mathematical graphs.

10) Is Intergalactic space travel possible? Using the physics of travel near the speed of light to see how we could travel to other stars.

Maths and computing

1) The Van Eck Sequence – The Van Eck Sequence is a sequence that we still don’t fully understand – we can use programing to help!

2) Solving maths problems using computers – computers are really useful in solving mathematical problems. Here are some examples solved using Python.

3) Stacking cannonballs – solving maths with code – how to stack cannonballs in different configurations.

4) What’s so special about 277777788888899? – Playing around with multiplicative persistence – can you break the world record?

5) Project Euler: Coding to Solve Maths Problems. A nice starting point for students good at coding – who want to put these skills to the test mathematically.

6) Square Triangular Numbers. Can we use a mixture of pure maths and computing to solve this problem?

7) When do 2 squares equal 2 cubes? Can we use a mixture of pure maths and computing to solve this problem?

9) Coding Hailstone Numbers. How can we use computers to gain a deeper understanding of sequences?

Further ideas:

1) Radiocarbon dating – understanding radioactive decay allows scientists and historians to accurately work out something’s age – whether it be from thousands or even millions of years ago.

2) Gravity, orbits and escape velocity – Escape velocity is the speed required to break free from a body’s gravitational pull. Essential knowledge for future astronauts.

3) Mathematical methods in economics – maths is essential in both business and economics – explore some economics based maths problems.

4) Genetics – Look at the mathematics behind genetic inheritance and natural selection.

5) Elliptical orbits – Planets and comets have elliptical orbits as they are influenced by the gravitational pull of other bodies in space. Investigate some rocket science!

6) Logarithmic scales – Decibel, Richter, etc. are examples of log scales – investigate how these scales are used and what they mean.

7) Fibonacci sequence and spirals in nature – There are lots of examples of the Fibonacci sequence in real life – from pine cones to petals to modelling populations and the stock market.

8) Change in a person’s BMI over time – There are lots of examples of BMI stats investigations online – see if you can think of an interesting twist.

9) Designing bridges – Mathematics is essential for engineers such as bridge builders – investigate how to design structures that carry weight without collapse.

10) Mathematical card tricks – investigate some maths magic.

11) Flatland by Edwin Abbott – This famous book helps understand how to imagine extra dimension. You can watch a short video on it here

12) Towers of Hanoi puzzle – This famous puzzle requires logic and patience. Can you find the pattern behind it?

13) Different number systems – Learn how to add, subtract, multiply and divide in Binary. Investigate how binary is used – link to codes and computing.

14) Methods for solving differential equations – Differential equations are amazingly powerful at modelling real life – from population growth to to pendulum motion. Investigate how to solve them.

15) Modelling epidemics/spread of a virus – what is the mathematics behind understanding how epidemics occur? Look at how infectious Ebola really is.

16) Hyperbolic functions – These are linked to the normal trigonometric functions but with notable differences. They are useful for modelling more complex shapes.

17) Medical data mining – Explore the use and misuse of statistics in medicine and science.

18)Waging war with maths: Hollow squares. How mathematical formations were used to fight wars.

19) The Barnsley Fern: Mathematical Art – how can we use iterative processes to create mathematical art?


The ordinary and matrix continued fractions in the theoretical analysis of Hermitian and relaxation operators

We consider the theory of the resolvent for Hermitian or relaxation operators, and we address the problem of the explicit evaluation of the Green's function. The continued fractions are shown to be an efficient and natural calculational tool. With respect to the literature, we provide here for the first time a systematic theory, which develops directly from the general Dyson equation. Our novel treatment allows us to extend the theory of ordinary continued fractions from scalar to matrix parameters it provides a unified formal treatment of both Hermitian and relaxation operators it makes transparent the natural link, overlooked in the literature, between continued fraction approach and renormalization group techniques finally it allows to establish the relationship with the moment method. A few examples are also reported to illustrate some relevant numerical or applicative aspects.


Continued Fractions

This is a thesis/capstone paper.
The paper should have an abstract, an introduction and different sections.(i will attach the format)
Talk about euclidean algorithm and continued fractions, finite and infinite cont. fract.,convergent continued fractions and linear algebra, periodic continued fractions and quadratic irrationals.

CONTINUED FRACTIONS
Abstract. In this paper, we will talk about continued fractions. To get started, we will discuss the
development of the subject throughout history, we will give some definitions, theorems, proofs and some
أمثلة. We will show the expansion properties of continuous fractions and its the convergents. Lastly, we
will touch based on Diophantine equations. We use only the theory of simple continued fractions to show
how one may find fundamental solutions of these equations.
1. Introduction
Continued fractions have a long history behind them. They started with the Euclidean algorithm. Continued
fractions provide much insight into mathematical problems, particularly into the nature of numbers.
In the computer field, continued fractions are used to give approximations to various complicated functions,
rapid numerical results valuable to scientists and more. The purpose of this paper is to analyze the structures
or patterns of irrational numbers expansions. First, let us start with the description of the Euclidean
algorithm.
2. Euclidean Algorithm and continued fractions
Though the Euclidean algorithm first appeared in Euclid?s The Elements, written around 300 BC, the
algorithm itself is thought to have been in existence since around 500 BC. It is one of the oldest mathematical
algorithms. Euclid?s method however, was applied geometrically as a method to find a common measure
between two lines segments and numbers. Basically, the algorithm leads us to perform successive division.
First of the smaller of the two numbers into the larger, followed by the resulting remainder divided into the
divisor of each division until the remainder is equal to zero. This leads us to our first theorem.
Theorem 2.1. The Euclidean algorithm always terminates after finitely many steps.
Proof. لدينا:
a = bq1 + r1,
b = r1q2 + r2,
r1 = r2q3 + r3,
r2 = r3q4 + r4,

rn-2 = rn-1qn + rn,
rn-1 = rnqn+1 + 0,
We know that: b > r1 > r2 > … > rn-2 > rr-1 > rn > 0. This only works for two numbers because they
are integers. So the algorithm has to terminate.
Theorem 2.2. Let a and b be positive integers. Then the Euclidean algorithm gives the gcd of (a,b).
Proof. The key idea of the proof is to prove that rn is the greatest common divisor for a and b. We observe
the following:
gcd(a, b) = gcd(a – bq1,b) = gcd(r1, b) = gcd(r1, b – r1q2)=gcd(r1, r2)
=gcd(r1 – r2q3, r2)= gcd(r3, r2).
By mathematical induction, we end up seeing that gcd(a, b) = gcd(rn-1, rn)=gcd(rn, 0) = rn. Concluding
the proof that rn is the gcd(a,b).
This following example will be used to provide an idea as to why the Euclidean algorithm works.
Example 2.1. Find the GCD of 11 and 6.
By the Euclidean Algorithm we have:
11 = 1 x 6 +5
6 = 1 x 5 + 1
1
2 CONTINUED FRACTIONS
5 = 5 x 1 + 0
As we now have a remainder of 0, we stop the process. The new larger number is the GCD of the two
original numbers. In our case, it is 1.
By using the Euclidean algorithm, we can express rational numbers in a very special way. على سبيل المثال،
the Euclidean algorithm produces the following sequence of equations:
Example 2.2. From our previous example, we divide both sides of each equation by the divisor of that
equation, we obtain:
11
6
=1+5/6,
6
5
=1+1/5. By combining these equations, we find that
11
6
=1 +
1
1 +
1
5
These are what we will call Continued Fractions.
3. continued fractions and rational numbers
Definition 3.1. An expression of the form a0 +
1
a1 +
1
a2 +
1
a3 + …
where [a0 a1, a2, a3…] are positive real
numbers is called a simple continued fraction. The real numbers a0 a1, a2, a3… are called partial quotients of
the continued fraction. We will use this notation [a0, a1, a2, a3…] to represent the simple continued fraction
in the above definition. There are different categories of continued fractions. In this paper, we really are
referring to simple continued fractions, the only form we consider.
Theorem 3.1. A number can be represented as a finite simple continued fraction if and only if it is a
rational number.
Proof. Let p/q, where p and q are integers with q > 0. Let r0 = p and r1 = q. Then the Euclidean algorithm
produces the following sequence of equations:
r0 = r1a1 + r2, 0


Continued fractions play an essential role in the solution of Pell's equation. For example, for positive integers Template:Mvar and Template:Mvar, ص 2 − 2q 2 = ±1 if and only if << safesubst:#invoke:Unsubst||$B= ص / q >> is a convergent of Template:Sqrt.

Continued fractions also play a role in the study of dynamical systems, where they tie together the Farey fractions which are seen in the Mandelbrot set with Minkowski's question mark function and the modular group Gamma.

The backwards shift operator for continued fractions is the map h(x) = 1/Template:Mvar − ⌊1/Template:Mvar⌋ called the Gauss map, which lops off digits of a continued fraction expansion: h([0 أ1, أ2, أ3, …]) = [0 أ2, أ3, …] . The transfer operator of this map is called the Gauss–Kuzmin–Wirsing operator. The distribution of the digits in continued fractions is given by the zero'th eigenvector of this operator, and is called the Gauss–Kuzmin distribution.


شاهد الفيديو: رياضيات الصف الرابع. مقارنة الكسور (شهر اكتوبر 2021).